1.2.1 平面距离问题

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121平面距离问题

20 A. 3
6米
10 C. 3
6米
B．10 6米 D．20 2米
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解析：依题意，构造图形如下图所示，其中A点表示树干底部，B点为折断点，C为树尖着地处．在△ABC 中，由正弦定理得：
sind45°＝sin2060°，∴d＝203
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解三角形
1.2 应用举例 1.2.1 平面距离问题
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1．能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些与测量和几何计算有关的平面上的点之间方位与距离的实际问题．
2．会设计测量方式解决平面上的距离计算问题．
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基础梳理 1．(1)仰角和俯角：在视线和水平线所成的角中，把视线在水平线上方的角称为仰角，视线在水平线下方的角称为俯角，如图(1)．
跟踪训练
1．据新华社2010年9月23日报道，强台风“凡亚比”在广东登陆．台风中心最大风力达到12级以上，大风降雨给灾区带来严重的灾害，不少大树被大风折断．某路边一树干被台风吹断后，折成与地面成45°角，树干也倾斜与地面成 75°角，树干底部与树尖着地处相距20米，则折断点与树干底部的距离是( )
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3．已知两座灯塔A和B与海洋观察站C的距离相等，灯塔 A在观察站C的北偏东40°，灯塔B在观察站C的南偏东60°，则灯塔A在灯塔B的________．

高中数学 1.2 点、线、面之间的位置关系 1.2.1 平面的基本性质与推论教案新人教B版必修2

1.2.1 平面的基本性质与推论示范教案整体设计教学分析教材通过实例归纳和抽象出了平面的基本性质与推论，以及异面直线的概念，并类比集合给出了点、直线和平面之间的关系的符号表示．在教学中，要留给学生足够的时间，引导学生归纳和抽象平面的基本性质与推论．三维目标1．掌握平面的基本性质及推论，提高学生的归纳、抽象能力．2．掌握异面直线的概念，能用集合符号表示点、直线、平面的位置关系，提高学生抽象思维和类比能力，培养空间想象能力．重点难点教学重点：平面的基本性质与推论，以及异面直线的概念．教学难点：归纳平面的基本性质与推论．课时安排1课时教学过程导入新课设计1.(情境导入)大家都看过电视剧《西游记》吧，如来佛对孙悟空说：“你一个跟头虽有十万八千里，但不会跑出我的手掌心”．结果孙悟空真没有跑出如来佛的手掌心，孙悟空可以看作是一个点，他的运动成为一条直线，大家说如来佛的手掌像什么？对，像一个平面，今天我们开始认识数学中的平面．设计2.(实例导入)观察长方体(下图)，你能发现长方体的顶点、棱所在的直线，以及侧面、底面之间的关系吗？长方体由上、下、前、后、左、右六个面围成．有些面是平行的，有些面是相交的；有些棱所在的直线与面平行，有些棱所在的直线与面相交；每条棱所在的直线都可以看成是某个面内的直线等等．怎样用符号表示空间中的点、直线、平面之间的位置关系呢？本节我们将讨论这些问题．推进新课新知探究提出问题1在几何学中，我们用点标记位置.在日常生活中，一位同学从一个位置走到另一个位置，他经过路径，就用一条线段来表示，连结两点的线中，什么线最短？2把一根直尺边缘上的任意两点放在平整的桌面上，可以看到直尺边缘与桌面重合，这是显而易见的事实，这说明了平面具有什么性质？3在日常生活中，照相机的脚架，施工用的撑脚架，天文望远镜的脚架等都制成三个脚，这样，可以使这些物体放置得很平稳.这说明了平面具有什么性质？4长方体表面中的任意两个面，要么平行，要么交于一条直线，其实空间任意两个不重合的平面都有这样的性质.那么，两个平面在什么情况下相交？这说明了平面具有什么性质？讨论结果：(1)连接两点的线中，线段最短；过两点有一条直线，并且只有一条直线．(2)基本性质1 如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上的所有点都在这个平面内(如左下图)．这时我们说，直线在平面内或平面经过直线．(3)基本性质2 经过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面(如右上图)．这也可以简单地说成，不共线的三点确定一个平面．(4)基本性质3 如果不重合的两个平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过这个点的公共直线．(如左下图)．为了简便，以后说到两个平面，如不特别说明，都是指不重合的两个平面．如果两个平面有一条公共直线，则称这两个平面相交．这条公共直线叫做这两个平面的交线．如下图，平面α与β相交，交线是a；平面δ与γ相交，交线是b.在画两个平面相交时，如果其中一个平面被另一个平面遮住，应把表示平面的平行四边形被遮住的部分画成虚线或不画．提出问题1经过一条直线和这条直线外一点，可以确定一个平面吗？2经过两条相交直线，可以确定一个平面吗？3经过两条平行直线，可以确定一个平面吗？4在空间中，存在既不平行又不相交的两条直线吗？5阅读教材，怎样用集合符号表示点、直线、平面的位置关系？讨论结果：(1)推论1 经过一条直线和直线外的一点，有且只有一个平面(如下图(1))．图(1) 图(2) 图(3)事实上，如上图(1)所示，直线BC外一点A和直线BC上的两点B，C不共线，根据基本性质2，A，B，C三点确定一个平面ABC.并且，点A和直线BC都在平面ABC内．(2)推论2 经过两条相交直线，有且只有一个平面(如上图(2))．事实上，如上图(2)所示，两条相交直线AB，AC相交于点A，三点A，B，C确定的平面就是直线AB和AC确定的平面(3)推论3 经过两条平行直线，有且只有一个平面(如上图(3))．事实上，根据平行线的定义，这两条平行线在同一平面内，又如上图(3)所示，这个平面含有一条直线上的点A和另一条线上的两点B，C，由基本性质2可知，这个平面是确定的．(4)在空间，两条直线还可能有既不相交也不平行的情况．如下图所示，直线AB与平面α相交于点B，点A在α外，直线l在α内，但不过点B.这时直线l与直线AB，既不相交也不平行，它们不可能在同一平面内，否则点A在α内．这与点A在α外矛盾．因此我们把这类既不相交又不平行的直线叫做异面直线．由以上分析，我们可以得到判断两条直线为异面直线的一种方法：与一平面相交于一点的直线与这个平面内不经过交点的直线是异面直线．(5)点A在平面α内，记作A∈α，点A不在α内，记作Aα；直线l在平面α内，记作l⊂α；直线l不在平面α内，记作lα；平面α与平面β相交于直线a，记作α∩β＝a；直线l和直线m相交于点A，记作l∩m＝{A}，简记作l∩m＝A.基本性质1可以用集合语言描述为：如果点A∈α，点B∈α，那么直线AB⊂α.应用示例思路1例1 如下图，用符号语言表示下列图形中点、直线、平面之间的位置关系．活动：学生自己思考或讨论，再写出(最好用实物投影仪展示写的正确的答案)．教师在学生中巡视，发现问题及时纠正，并及时评价．解：在上图(1)中，α∩β＝l，a∩α＝A，a∩β＝B.在上图(2)中，α∩β＝l，a⊂α，b⊂β，a∩l＝P，b∩l＝P.变式训练1．画图表示下列由集合符号给出的关系：(1)A∈α，B∉α，A∈l，B∈l；(2)a⊂α，b⊂β，a∥c，b∩c＝P，α∩β＝c.解：如下图．2．根据下列条件，画出图形．(1)α∩β＝l，直线AB⊂α，AB∥l，E∈AB，直线EF∩β＝F，F∉l；(2)α∩β＝a，△ABC的三个顶点满足条件：A∈a，B∈α，B∉a，C∈β，C∉a.答案：如下图．点评：图形语言与符号语言的转换是本节的重点，主要有两种题型：(1)根据图形，先判断点、直线、平面的位置关系，然后用符号表示出来．(2)根据符号，想象出点、直线、平面的位置关系，然后用图形表示出来．思路2例2对两条不相交的空间直线a与b，必存在平面α，使得( )A．a⊂α，b⊂α B．a⊂α，b∥αC．a⊥α，b⊥α D．a⊂α，b⊥α解析：若a、b异面，A、C选项错；若a、b不垂直，D选项错，故选B.答案：B例3 如下图，将无盖正方体纸盒展开，直线AB，CD在原正方体中的位置关系是( )A．平行 B．相交且垂直C．异面直线 D．相交成60°解析：如上图，将上面的展开图还原成正方体，点B与点D重合．容易知道AB＝BC＝CA，从而△ABC是等边三角形，所以选D.答案：D点评：解决立体几何中的翻折问题时，要明确在翻折前后，哪些量发生了变化，哪些量没有变化．变式训练1.如下图，表示一个正方体表面的一种展开图，图中的四条线段AB、CD、EF和GH在原正方体中相互异面的有__________对．答案：三2．在正方体ABCD—A1B1C1D1中，E、F分别为棱AA1、CC1的中点，则在空间中与三条直线A1D1、EF、CD都相交的直线( )A．不存在 B．有且只有两条C．有且只有三条 D．有无数条解析：在A1D1延长线上取一点H，使A1D1＝D1H，在DC延长线上取一点G.使CG＝2DC，延长EF，连结HG与EF交于一点．连结D1F必与DC延长线相交，延长D1A1，连结DE必与D1A1延长线相交．连结A1C与EF交于EF中点，故选D.答案：D知能训练1．画一个正方体ABCD—A′B′C′D′，再画出平面ACD′与平面BDC′的交线，并且说明理由．解：如下图，连结BD、AC交于点E，CD′、DC′交于点F，直线EF即为所求．∵F∈CD′，∴F∈平面ACD′.∵E∈AC，∴E∈平面ACD′.∵E∈BD，∴E∈平面BDC′.∵F∈DC′，∴F∈平面BDC′.∴EF为所求．2．已知△ABC三边所在直线分别与平面α交于P、Q、R三点，求证：P、Q、R三点共线．证明：如下图，∵A、B、C是不在同一直线上的三点，∴过A、B、C有一个平面β.又∵AB∩α＝P，且AB β，∴点P既在β内又在α内．设α∩β＝l，则P∈l，同理可证：Q∈l，R∈l.∴P、Q、R三点共线．3．O1是正方体ABCD—A1B1C1D1的上底面的中心，过D1、B1、A作一个截面，求证：此截面与对角线A1C的交点P一定在AO1上．证明：如下图，连结A1C1、AC，因AA1∥CC1，则AA1与CC1可确定一个平面AC1，易知截面AD1B1与平面AC1有公共点A、O1，所以截面AD1B1与平面AC1的交线为AO1.又P∈A1C，得P∈平面AC1，而P∈截面AB1D1，故P在两平面的交线上，即P∈AO1.点评：证明共点、共线问题关键是利用两平面的交点必在交线上．拓展提升求证：两两相交且不共点的四条直线在同一平面内．证明：如下图，直线a、b、c、d两两相交，交点分别为A、B、C、D、E、F，∵直线a∩直线b＝A，∴直线a和直线b确定平面设为α，即a，bα.∵B、C∈a，E、F∈b，∴B、C、E、F∈α.而B、F∈c，C、E∈d，∴c、dα，即a、b、c、d在同一平面内．点评：在今后的学习中经常遇到证明点和直线共面问题，除公理2外，确定平面的依据还有：(1)直线与直线外一点；(2)两条相交直线；(3)两条平行直线．课堂小结本节课学习了：1．平面的基本性质与推论；2．异面直线；3．用符号表示空间位置关系．作业本节练习A 2,3,4,5题．设计感想由于本节是学习位置关系的起始课，所以在设计时注重从不完全归纳入手，以培养学生的空间想象能力为核心，激发学生的发散思维．备课资料备选习题1．在正方体ABCD—A1B1C1D1中，A1C与面DBC1交于O点，AC、BD交于M，如下图．求证：C1、O、M三点共线．证明：∵C1、O、M∈平面BDC1，又C1、O、M∈平面A1ACC1，由公理2，C1、O、M在平面BDC1与平面A1ACC1的交线上，∴C1、O、M三点共线．2．已知一条直线与三条平行直线都相交，求证：这四条直线共面．证明：已知直线a∥b∥c，直线l∩a＝A，l∩b＝B，l∩c＝C.求证：l与a、b、c共面．证明：如下图，∵a∥b，∴a、b确定一个平面，设为α.∵l∩a＝A，l∩b＝B，∴A∈α，B∈α.又∵A∈l，B∈l，∴AB⊂α，即l⊂α.同理，b、c确定一个平面β，l⊂β.∴平面α与β都过两相交直线b与l.∵两条相交直线确定一个平面，∴α与β重合．故l与a、b、c共面．3．α∩β＝l，a⊂α，b⊂β，试判断直线a、b的位置关系，并画图表示．活动：学生自己思考或讨论，再写出正确的答案．教师在学生中巡视，发现问题及时纠正，并及时评价．解：如下图，直线a、b的位置关系是平行、相交、异面．。

点到平面方程的距离公式

点到平面方程的距离公式点到平面的距离是空间解析几何的重要内容之一、在解决实际问题中经常会遇到求点到平面的距离的情况，例如在建筑设计中，需要确定一根柱子与地面的距离，或者在机械制造中，需要确定一台机器与地面的距离。

本文将详细讨论点到平面的距离的公式及其推导。

平面方程的标准形式为Ax+By+Cz+D=0。

其中A、B、C为平面的法向量分量，(x,y,z)为平面上的任意一点。

为求点P(x0,y0,z0)到平面Ax+By+Cz+D=0的距离。

首先，任意一点P(x0,y0,z0)到平面的距离可以看作是该点到平面上一点Q(x,y,z)的距离的最小值。

我们设距离最小值对应的点为Q(x,y,z)。

由点到平面的距离定义可知，点Q到平面Ax+By+Cz+D=0的距离等于点到平面的垂直距离。

也就是说，Q点与平面的法向量垂直。

知道了Q点与平面的法向量垂直，在解决问题中，我们经常会利用向量的内积关系来求解。

设平面的法向量为n，平面上一点为M(x,y,z)，则点P到平面的垂直距离等于两个向量nP和PQ的内积除以向量nP的模长。

表示为:d=，nP·PQ，/，nP其中，点P到平面的垂直距离就是d，向量nP是平面的法向量，向量PQ是向量nP的投影。

接下来，我们将推导点到平面的距离公式。

首先，根据平面的法向量分量，可以得到平面的法向量为n=(A,B,C)。

设平面上任一点为M(x,y,z)，点P为P(x0,y0,z0)。

平面的法向量与向量PQ垂直，可以得到两个向量的内积为0，即:nP·P Q=0将向量nP和PQ展开，可以得到:(A,B,C)·(x-x0,y-y0,z-z0)=0展开后整理得到:A(x-x0)+B(y-y0)+C(z-z0)=0通过整理，可以得到:Ax+By+Cz=Ax0+By0+Cz0由平面的标准形式可知:Ax+By+Cz+D=0其中D=-(Ax0+By0+Cz0)将其代入上式中，可以得到:Ax+By+Cz=D这是平面的方程。

平面点与平面距离

平面点与平面距离平面几何是数学中的一个重要分支，研究平面上的点、线、面及它们之间的关系。

平面点与平面距离是在平面几何研究中常遇到的一个问题，本文将深入探讨平面点与平面距离的概念、计算方法以及应用。

一、平面点与平面距离的概念在平面几何中，点是最基本的图形元素，它在平面上不占据空间，没有长度、宽度和高度，可以用一个字母表示。

平面距离是指平面上两点之间的最短距离，也可以看作是一个点到平面上某一点的最短距离。

二、计算平面点与平面距离的方法1. 已知点到平面的距离假设平面方程为Ax + By + Cz + D = 0，其中A、B、C和D为常数，点P(x0, y0, z0)为平面外一点，则点P到平面的距离为：d = |Ax0 + By0 + Cz0 + D| / sqrt(A^2 + B^2 + C^2)2. 计算平面上点与平面上点的距离假设平面上有两点A(x1, y1, z1)和B(x2, y2, z2)，则点A与点B之间的距离为：d = sqrt((x2 - x1)^2 + (y2 - y1)^2 + (z2 - z1)^2)3. 计算平面上点到平面上点的距离假设平面方程为Ax + By + Cz + D = 0，其中A、B、C和D为常数，平面上有一点P(x0, y0, z0)，平面上的一点Q(x, y, z)与点P的距离为：d = |Ax + By + Cz + D| / sqrt(A^2 + B^2 + C^2)三、平面点与平面距离的应用平面点与平面距离的应用非常广泛，下面列举几个具体的例子。

1. 建筑设计中的平面布局在建筑设计中，平面布局是一项重要的任务。

设计师需要根据建筑空间的需求，合理安排平面上的各个点位的距离，以实现功能的有效布局。

2. 机械加工中的定位误差控制在机械加工中，定位误差是一个常见的问题。

通过计算平面点与平面距离，可以判断工件的定位准确性，从而及时调整机械设备，保证加工的精度。

3. 三维建模中的点云配准在三维建模中，点云配准是一个重要的步骤。

高一数学点到平面距离的求法

例谈点到平面距离的求法立体几何的空间距离是历年高考考查的重点和热点。

由于线面距离、面面距离以及两异面直线间的距离都可以转化为点到平面的距离来解决，因此点到平面的距离更值得我们关注。

点到平面的距离的求法可分为三大类：一、由点向平面引垂线，且垂足位置可确定转化到在某平面内，求出点和垂足间的线段的长。

1、用定义直接构造法例1、如图，三棱锥S-ABC 中，ABC ∆是等腰三角形，2AB BC a ==，0120ABC ∠=,且SA ⊥面ABC ，SA=3a 。

求点A 到平面SBC 的距离。

解：作AD BC ⊥交BC 于D,连结SD.SA ⊥平面ABC,根据三垂线定理有SD BC ⊥又SD AD D ⋂=,BC ∴⊥平面SAD 。

又BC ⊂平面SBC ， ∴平面SBC ⊥平面ADS ，且平面SBC ⋂平面ADS=SD∴过点A 作AH SD ⊥于H ，则AH ⊥平面SBC 。

在Rt SAD ∆中，SA=3a,0sin60AD AB ==，32a AH ∴==故点A 到平面SBC 的距离为32a 。

【点评】利用构造法关键是定位点在面内的射影。

常常要寻找过已知点且与所给面垂直的面，再过已知点作两垂面交线的垂线。

2、转移构造法（1）利用平行线转换点例2、在直三棱柱111ABC A B C -中，11AB BC ⊥,1,AB CC a BC b ===（b >a ）（1）求证：11AC AB ⊥ (2)求点1B 到平面1ABC 的距离.解：(1)连结1A B ,则11AB A B ⊥，又11AB BC ⊥，故111AB A BC ⊥面。

知111AC AB ⊥，得1111AC ABB A ⊥面,知11AC AB ⊥。

（2）由（1）得111ABC AAC ⊥面面.11111,A B AB A B ABC ∴平面1111A ABC ABC ∴到平面的距离等于B 到平面的距离过1A 作11AG AC ⊥于G , 11AB ACC A ⊥平面, 1AB AG ∴⊥从而11AG ABC ⊥平面. 故1AG即为所求的距离。

平面间距离的计算公式推导

平面间距离的计算公式推导假设在平面上有两个点P1和P2，分别具有坐标(x1,y1)和(x2,y2)。

我们的目标是计算P1和P2之间的距离D。

首先，我们可以根据两点的坐标计算出它们在x轴和y轴上的差值，即Δx和Δy：Δx=x2-x1Δy=y2-y1然后，我们可以利用勾股定理来计算P1和P2之间的直线距离D：D=√(Δx²+Δy²)这个公式是平面上两点距离的标准公式。

现在，我将详细解释如何推导这个公式。

我们可以通过画一个直角三角形来推导这个公式，其中直角位于P1和P2之间的连线上。

这个三角形的斜边就是我们想要计算的距离D。

根据直角三角形的定义，我们可以得到三条边的关系：D²=Δx²+Δy²这是因为D是斜边，Δx是直角边之一，Δy是直角边之二、通过引用勾股定理，我们可以得到这个等式。

接下来，我们可以对这个等式进行变换，找出关于D的表达式。

首先，我们可以将Δx²和Δy²求和得到一个平方差：(Δx+Δy)(Δx-Δy)=Δx²-Δy²然后，我们可以将等式两边都除以(Δx-Δy)：D(Δx+Δy)=Δx²-Δy²最后，我们可以得到D的表达式：D=(Δx²-Δy²)/(Δx+Δy)这个表达式与最初的表达式相同，但在计算时可能更方便。

我们只需计算一次平方和一次减法，然后在除法中进行除法运算。

因此，我们可以使用这个表达式来计算平面上两点之间的距离。

总结起来，平面间距离的计算公式可以通过推导勾股定理和直角三角形的定义得出。

这个公式可以用来计算平面上两点之间的最短距离，利用了欧几里德距离的概念。

人教A版高中数学必修五1.2.1平面距离问题

高中数学学习材料金戈铁骑整理制作数学·必修5(人教A 版)1.2 应用举例1．2.1 平面距离问题►基础达标1．有一长为1公里的斜坡，它的倾斜角为20°，现要将倾斜角改成10°，则斜坡长为( )A ．1B ．2sin 10°C ．2cos 10°D ．cos 20°解析：原来的斜坡、覆盖的地平线及新的斜坡构成等腰三角形，这个等腰三角形的底边长就是所求．答案：C2．甲船在岛B 的正南A 处，AB ＝10千米，甲船以每小时4千米的速度向正北航行，同时乙船自B 出发以每小时6千米的速度向北偏东60°的方向驶去，当甲、乙两船相距最近时，它们航行的时间是( )A.1507分钟B.157小时C ．21.5分钟D ．2.15分钟答案：A3．如图，已知A ，B ，C 三地，其中A ，C 两地被一个湖隔开，测得AB ＝3 km ，B ＝45°，C ＝30°，则A 、C 两地的距离为( )A ．3 2 kmB ．3 3 kmC ．6 kmD ．3 6 km解析：根据题意，由正弦定理可得AB sin C ＝AC sin B，代入数值得3sin 30°＝AC sin 45°，解得AC ＝3 2.故选A. 答案：A4．在△ABC 中，若C ＝90°，a ＝6，c ＝10，则AB 边上的高等于( )A.125B.485C.65D.245解析：如下图所示，Rt △ABC 中，b ＝102－62＝8，AB 边上的高h ＝6×810＝245.故选D.答案：D5.等腰三角形一腰上的高是3，底边长为23，则这条高与底边的夹角为( )A ．30°B ．45°C ．60°D ．75°解析：如下图所示，等腰三角形ABC 的腰AB 边上的高CH ＝3，而底边BC ＝23，∴cos ∠BCH ＝323＝12， ∵0°<∠HCB <90°，∴∠HCB ＝60°.故选C.答案：C6.设A 、B 两点在河的两岸，要测量两点之间的距离，测量者在A 的同侧，在河岸边选定一点C ，测出AC 的距离是100 m ，∠BAC ＝60°，∠ACB ＝30°，则A 、B 两点的距离为( )A ．40 mB ．50 mC ．60 mD ．70 m解析：如下图所示，△ABC 是Rt △，AB ＝12AC ，∴AB ＝50 m ．故选B.答案：B►巩固提高7．两灯塔A、B与海洋观察站C的距离都等于2 2 km，灯塔A在观察站C的北偏东30°，灯塔B在观察站C南偏东60°，则A、B之间的距离为()A．2 km B．3 km C．4 km D．5 km解析：如下图所示，∠ACB＝90°，又AC＝BC＝22，在△ABC中由勾股定理得：AB＝AC2＋BC2＝8＋8＝4.故选C.答案：C8.如右图所示，A、B两点都在河的对岸(不可到达)，在河岸边选定两点C、D，测得CD＝100 m，并且在C、D两点分别测得∠BCA ＝60°，∠ACD＝30°，∠CDB＝45°，∠BDA＝60°，则A、B两点的距离为()A．50 6 m B．100 6 mC．100 3 m D．100 2 m答案：A9.如右图所示，某船在海上航行中不幸遇险，并发出呼救信号，我海上救生艇在A处获悉后，立即测出该船的方位角为45°，与之相距10 海里的C处，还测得该船正沿方位角105°的方向以每小时9 海里的速度向一小岛靠近，我海上救生艇立即以每小时21 海里的速度前往营救，试求出该海上救生艇的航向及与呼救船相遇所需时间．解析：设所需时间为t小时，在点B处相遇，在△ABC中，AC＝10，AB＝21t，BC＝9t，∠ACB＝360°－135°－105°＝120°.由余弦定理：(21t)2＝102＋(9t)2－2×10×9t×cos 120°，整理得：36t2－9t－10＝0，解得：t1＝23，t2＝－512(舍去)，由正弦定理得：AB sin 120°＝BC sin ∠CAB⇒ sin ∠CAB ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫9×23×3221×23＝3314， ∴∠CAB＝21°47′，答：该海上救生艇的航向为北偏东66°47′，与呼救船相遇所需时间为23小时．10．如右图所示，当甲船位于A 处时获悉，在其正东方方向相距20海里的B 处有一艘渔船遇险等待营救．甲船立即前往救援，同时把消息告知在甲船的南偏西30°，相距10海里C 处的乙船，试问乙船应朝北偏东多少度的方向沿直线前往B 处救援(角度精确到1°)?解析：连接BC ，由余弦定理得：BC 2＝202＋102－2×20×10cos 120°＝700.于是，BC ＝107. ∵sin ∠ACB 20＝sin 120°107，∴sin ∠ACB ＝37， ∵∠ACB ＜90°，∴∠ACB ＝41°.∴乙船应朝北偏东71°方向沿直线前往B 处救援．1．解决实际测量问题一般要充分理解题意，正确作出图形，从中抽象出一个或几个三角形把实际问题里的条件和所求转换成三角形中的已知和未知的边、角，然后解三角形，得到实际问题的解．2．解斜三角形应用题的一般步骤．(1)分析：理解题意，分清已知与未知，画出示意图．(2)建模：根据已知条件与求解目标，把已知量与求解量尽量集中在有关的三角形中，建立一个解斜三角形的数学模型．(3)求解：利用正弦定理或余弦定理有序地解出三角形，求得数学模型的解．(4)检验：检验上述所求的解是否有实际意义，从而得出实际问题的解．3．平面上两点的距离测量问题一般有如下几类情况：(1)A、B两点在河的两岸，一点可到达，另一点不可到达．方法是在可到达一侧再找一点进行测量．(2)A、B两点都在河的对岸(不可到达)．方法是在可到达一侧找两点进行测量．(3)A、B两点不可到达(如隔着一座山或建筑)．方法是找一点可同时到达A、B两点进行测量.。

求点到平面距离的基本方法

求点到平面距离的基本方法点到平面的距离是空间几何中一个重要的概念，它对于解决一些实际问题以及理论研究都有着重要的意义。

在本文中，我将介绍点到平面距离的基本方法，包括数学公式的推导、几何解法、向量法和线代法等。

首先，我们考虑三维空间中的一个平面，假设平面方程为Ax+By+Cz+D=0，其中A，B，C和D为常数，并且平面上有一点P(x0,y0,z0)。

我们的目标是求点P到平面的距离。

一、数学公式的推导为了推导出点到平面距离的公式，我们可以利用向量的知识。

首先，设平面上任意一点Q(x,y,z)，则该点到平面的距离为点PQ的长度。

由于平面上的点Q一定满足平面方程，将Q的坐标代入平面方程可得：Ax+By+Cz+D=0然后，我们用向量表示点P到点Q的向量为向量v=PQ=(x-x0,y-y0,z-z0)。

由向量的点积定义可知，点积v·(A, B, C) = ，v， * ，(A, B, C)，* cosθ，其中，v，表示向量v的长度，(A, B, C)，表示向量(A, B, C)的长度，θ表示二者之间的夹角。

将向量v和(A,B,C)的定义代入点积公式可得：(A, B, C)·(x - x0, y - y0, z - z0) = ，v， * ，(A, B, C)，* cosθ化简上式得：Ax - Ax0 + By - By0 + Cz - Cz0 = ，v， * (A^2 + B^2 + C^2) * cosθ由于点P和点Q都在平面上，点P到平面的距离与平面的法向量垂直，即θ = 90°，cosθ = 0。

因此，上式最后一项为0。

进一步得到点P到平面的距离公式为：d=，Ax0+By0+Cz0+D，/√(A^2+B^2+C^2)这就是点到平面的距离的数学公式。

二、几何解法除了数学公式，我们还可以利用几何的方法来求点到平面的距离。

首先，我们可以将平面方程转化为点法式方程，即n·(P-P0)=0，其中n为平面的法向量，P为平面上任意一点的坐标，P0为平面上已知的一点的坐标。

平面上的距离

平面上的距离
简介
本文将讨论平面上的距离，包括点到点的距离、点到直线的距离以及两条直线之间的距离。

点到点的距离
在平面上，两个点之间的距离可以通过计算它们的欧几里得距离来获得。

欧几里得距离是通过应用勾股定理计算出的，即两点之间的直线距离。

给定平面上两个点A(x1, y1)和B(x2, y2)，它们之间的距离可以使用以下公式计算：
距离= √((x2 - x1)² + (y2 - y1)²)
点到直线的距离
对于平面上的一点P(x, y)和一条直线ax + by + c = 0，点到直
线的距离可以使用以下公式计算：
距离= |ax + by + c| / √(a² + b²)
其中，|x|表示x的绝对值。

两条直线之间的距离
对于平面上的两条直线，它们之间的距离可以通过计算它们的
垂直距离来获得。

两条直线的垂直距离是指它们的垂线之间的距离。

给定直线L1：a1x + b1y + c1 = 0和直线L2：a2x + b2y + c2 = 0，它们之间的距离可以使用以下公式计算：
距离 = |c2 - c1| / √(a² + b²)
结论
在平面上，通过适当的公式可以计算点到点的距离、点到直线的距离以及两条直线之间的距离。

这些距离的计算可以帮助我们解决各种几何问题，从而更好地理解和应用平面几何学。

点到平面的距离的几种求法高中数学高考立体几何

点到平面的距离的几种求法求‘点到平面的距离’是立体几何学习中不可忽视的一个基本问题，是近几年高考的一个热点．本文试通过对一道典型例题的多种解法的探讨，结合《立体几何》(必修本)中的概念、习题，概括出求‘点到平面的距离'的几种基本方法．例:已知ＡＢＣＤ是边长为4的正方形，Ｅ、Ｆ分别是ＡＢ、ＡＤ的中点,ＧＣ垂直于ＡＢＣＤ所在平面,且ＧＣ＝２,求点B到平面ＥＦＧ的距离．一、直接通过该点求点到平面的距离１．直接作出所求之距离，求其长．解法1．如图1,为了作出点B到平面EFG的距离，延长FE交ＣＢ的延长线于Ｍ，连结GM，作BN⊥BC，交GM于N,则有BN∥CG,BN⊥平面ABCD．作BP⊥EM，交EM于P,易证平面BPN⊥平面EFG．作BQ⊥PN，垂足为Q，则BQ⊥平面EFG．于是BQ是点B到平面EFG的距离．易知BN＝，BP＝，PZ＝,由BQ·PN＝PB·BN,得BQ＝．图1 图2２．不直接作出所求之距离,间接求之．（１）利用二面角的平面角．课本Ｐ．４２第4题,Ｐ．４６第2题、第4题给出了“二面角一个面内的一个点,它到棱的距离、到另一个面的距离与二面角的大小之间所满足的关系”．如图2，二面角Ｍ-ＣＤ—Ｎ的大小为α，Ａ∈Ｍ,ＡＢ⊥ＣＤ，ＡＢ＝ａ，点Ａ到平面Ｎ的距离ＡＯ＝ｄ, 则有ｄ＝ａｓｉｎα．①①中的α也就是二面角的大小，而并不强求要作出经过ＡＢ的二面角的平面角．解法2．如图3,过Ｂ作ＢＰ⊥ＥＦ，交ＦＥ的延长线于Ｐ，易知ＢＰ＝，这就是点Ｂ到二面角Ｃ—ＥＦ—Ｇ的棱ＥＦ的距离．连结ＡＣ交ＥＦ于Ｈ，连结ＧＨ，易证∠ＧＨＣ就是二面角Ｃ-ＥＦ-Ｇ的平面角．∵ ＧＣ＝２，ＡＣ＝４,ＡＨ＝，∴ＣＨ＝３,ＧＨ＝,ｓｉｎ∠ＧＨＣ＝２/，于是由①得所求之距离ｄ＝ＢＰ·ｓｉｎ∠ＧＨＣ＝·＝．解略．（２)利用斜线和平面所成的角．如图4，ＯＰ为平面α的一条斜线,Ａ∈ＯＰ，ＯＡ＝ｌ,ＯＰ与α所成的角为θ，Ａ到平面α的距离为ｄ，则由斜线和平面所成的角的定义可知，有ｄ＝ｌｓｉｎθ．②经过ＯＰ与α垂直的平面与α相交,交线与ＯＰ所成的锐角就是②中的θ，这里并不强求要作出点Ａ在α上的射影Ｂ,连结ＯＢ得θ．解法3．如图5,设Ｍ为ＦＥ与ＣＢ的延长线的交点，作ＢＲ⊥ＧＭ,Ｒ为垂足．又ＧＭ⊥ＥＢ，易得平面ＢＥＲ⊥平面ＥＦＧ，ＥＲ为它们的交线，所以∠ＲＥＢ就是ＥＢ与平面ＥＦＧ所成的角θ．由△ＭＲＢ∽△ＭＣＧ，可得ＢＲ＝，在Ｒｔ△ＲＥＢ中，∠Ｂ＝９０°，ＢＲ＝，ＥＢ＝２，所以ｓｉｎθ＝ＢＲ/ＥＲ＝，于是由②得所求之距离ｄ＝．图5 图6（３)利用三棱锥的体积公式．解法4．如图6，设点Ｂ到平面ＥＦＧ的距离为ｄ,则三棱锥Ｂ—ＥＦＧ的体积Ｖ＝(１/３）Ｓ△ＥＦＧ·ｄ．另一方面又可得这个三棱锥的体积Ｖ＝（１/３）Ｓ△ＦＥＢ·ＣＧ,可求得Ｓ△ＦＥＢ＝(１/４)Ｓ△ＤＡＢ＝２,Ｓ△ＥＦＧ＝，所以有１/３··ｄ＝１/３·２·２，得ｄ＝．二、不经过该点间接确定点到平面的距离１．利用直线到平面的距离确定解法5．如图7，易证ＢＤ∥平面ＥＦＧ,所以ＢＤ上任意一点到平面ＥＦＧ的距离就是点Ｂ到平面ＥＦＧ的距离．由对称思想可知,取ＢＤ中点Ｏ，求点Ｏ到平面ＥＦＧ的距离较简单．ＡＣ交ＥＦ于Ｈ，交ＢＤ于Ｏ．易证平面ＧＨＣ⊥平面ＥＦＧ,作ＯＫ⊥ＨＧ，Ｋ为垂足,ＯＫ＝为所求之距离．图7 图8２．利用平行平面间的距离确定如图8，把平面ＥＦＧ补成一个正四棱柱的截面所在的平面,可使题设中的点、线、面之间的位置关系更加明朗．面ＧＭＴ是正四棱柱ＡＢＣＤ—Ａ１Ｂ１ＧＤ１经过Ｆ、Ｅ、Ｇ的截面所在的平面．ＭＧ交ＢＢ１于Ｎ，ＴＧ交ＤＤ１于Ｑ，作ＢＰ∥ＭＧ，交ＣＧ于Ｐ，连结ＤＰ，则有平面ＧＴＭ∥平面ＰＤＢ．它们之间的距离就是所求之距离．于是可以把点Ｂ平移到平面ＰＤＢ上任何一个位置,哪里方便就在哪里求．这两个平行平面的距离ｄ又同三棱柱ＧＱＮ—ＰＤＢ的体积有关，所以也可以利用三棱柱的体积确定所求之距离．据此可得解法６．解法6．三棱柱ＧＱＮ-ＰＤＢ的体积Ｖ＝Ｓ△ＰＤＢ·ｄ，另一方面又有Ｖ＝Ｓ△ＣＤＢ·ＢＮ，可求得ＢＮ＝２/３,ＣＰ＝４/３，ＰＢ＝ＰＤ＝,ＢＤ＝,Ｓ△ＰＤＢ＝，Ｓ△ＣＤＢ＝８，所以·ｄ＝８·２/３，得ｄ＝为所求之距离．。

平面解析几何中三类距离公式

平面解析几何中三类距离公式在平面解析几何中，距离是指平面上两点之间的直线距离。

平面解析几何中常用的距离公式有三种：两点之间的距离公式、点到直线的距离公式和点到平面的距离公式。

第一类距离公式是两点之间的距离公式。

设平面上有两点A(x1,y1)和B(x2,y2)，则点A和点B之间的直线距离D可以使用以下公式给出：D=√((x2-x1)^2+(y2-y1)^2)这个公式是利用勾股定理得到的。

在平面直角坐标系中，我们可以将两点之间的距离看作是一个直角三角形的斜边长度。

其中√(x2-x1)^2+(y2-y1)^2)就是这个斜边的长度。

第二类距离公式是点到直线的距离公式。

考虑一个平面直角坐标系上的点P(x0,y0)和一条直线l，该直线的一般方程表示为Ax+By+C=0。

点P到直线l的距离d可以使用以下公式给出：d=，Ax0+By0+C，/√(A^2+B^2)这个公式是通过将直线看作是一个平面上的向量来推导的。

设向量n=(A,B)为直线的法向量，将点P与直线上的一点Q(x,y)进行连接，得到向量PQ=(x-x0,y-y0)。

根据向量的内积公式，我们有PQ·n=0，即(x-x0)A+(y-y0)B=0。

将该方程变换为一般方程形式，得到Ax+By+(x0A+y0B)=0。

将P代入方程，得到Ax0+By0+C=0，其中C=x0A+y0B。

因此，点P到直线l的距离d即为C的绝对值除以向量n的模长。

第三类距离公式是点到平面的距离公式。

考虑平面直角坐标系上的一个点P(x0,y0,z0)和一个平面π，该平面可以表示为Ax+By+Cz+D=0。

点P到平面π的距离d可以使用以下公式给出：d=，Ax0+By0+Cz0+D，/√(A^2+B^2+C^2)这个公式是通过将平面看作是空间中的一个向量来推导的。

设向量n=(A,B,C)为平面的法向量，将点P与平面上的一点Q(x,y,z)进行连接，得到向量PQ=(x-x0,y-y0,z-z0)。

平面到平面的距离公式向量法

平面到平面的距离公式向量法
平面到平面的距离公式是指两个平面之间的距离，一般用欧几里得距离来表示。

在向量法中，我们可以将两平面表示为法向量，然后计算两个法向量之间的夹角，再通过余弦公式求出距离。

具体计算方法如下：
设两个平面分别为P1和P2，它们的法向量分别为n1和n2。

则两个平面之间的夹角θ为：
cosθ = (n1 · n2) / (|n1| × |n2|)
其中，·表示向量的点积，|n1|和|n2|分别表示n1和n2的模长。

通过余弦公式，可得两个平面之间的距离d为：
d = |n1 × n2| / |n1| × |n2| × sinθ
其中，×表示向量的叉积。

这就是平面到平面的距离公式的向量法。

- 1 -。

两平面之间的距离公式

两平面之间的距离公式
（一）两平面的距离当然是指互相平行的两个平面
设两个平面是：ax+by+cz+d＝0
ax+by+cz+e＝0之间的距离为|d-e|/√（a²+b²+c²）
两点间距离公式常用于函数图形内求两点之间距离、求点的坐标的基本公式，是距离公式之一。

两点间距离公式叙述了点和点之间距离的关系。

（二）扩展资料：
证点P到直线上任意一点的距离的最小值就是点P到直线的距离。

在上取任意点用两点的距离公式有，为了利用条件上式变形一下，配凑系数处理得：当且仅当时取等号所以最小值就是。

证点P到直线上任意一点Q的距离的最小值就是点P到直线的距离。

由柯西不等式，当且仅当时取等号所以最小值就是。

平面外一点到平面距离公式

平面外一点到平面距离公式嘿，咱今天来唠唠平面外一点到平面距离公式这个事儿。

咱先从一个简单的例子说起哈。

就说有一天我去一个新建的公园散步，这公园有个造型奇特的花坛，从上面看是个规则的多边形。

我站在花坛外面的一个固定点上，突然就想到了平面外一点到平面距离的问题。

那到底啥是平面外一点到平面距离公式呢？其实啊，就是用来计算一个点到一个平面的最短距离的。

比如说，在空间直角坐标系中，平面的方程是 Ax + By + Cz + D = 0 ，有个点 P(x₀, y₀, z₀)在平面外，那这个点到平面的距离 d 就可以用公式 |Ax₀ + By₀ + Cz₀ + D| / √(A² +B² + C²) 来算。

这公式看着有点复杂，是吧？但咱慢慢捋捋。

先看分子 |Ax₀ +By₀ + Cz₀ + D| ，这部分其实就是把点 P 的坐标代入平面方程左边得到的一个值的绝对值。

再看分母√(A² + B² + C²) ，它就是个类似“标准量”的东西。

举个例子哈，假设平面方程是 2x + 3y - 4z + 5 = 0 ，有个点 P(1, 2, 3)在平面外。

那先算分子，把点 P 的坐标代入，就是 2×1 + 3×2 - 4×3 + 5 ，算出来是 -1 ，取绝对值就是 1 。

再算分母，A = 2 ，B = 3 ，C = -4 ，所以√(2² + 3² + (-4)²) = √29 。

最后距离 d 就是1 / √29 。

为啥要研究这个公式呢？用处可大啦！比如在建筑设计里，工程师要知道某个建筑物外的一点到某个墙面的距离，来确保施工的安全性和合理性。

又比如在数学解题中，碰到一些立体几何的难题，用这个公式能快速找到解题的突破口。

回到开头我在公园的那个事儿。

我当时就在想，如果把花坛的表面看作一个平面，我站的那个点就是平面外一点，那我到花坛表面的最短距离是不是就能用这个公式算出来呢？虽然实际生活中可能不会真的去算，但这种思考还挺有意思的。

空间几何点到平面的距离公式

空间几何点到平面的距离公式在空间几何中，点到平面的距离是一个基本概念。

首先，我们需要了解点到平面的距离公式的推导，然后再详细讨论其具体应用。

假设平面的方程为Ax+By+Cz+D=0，点P的坐标为(x0,y0,z0)。

我们需要求点P到平面的距离。

1.距离公式的推导：首先，我们可以在平面上任意选取一点Q(x,y,z)，则平面上任意一点R(x,y,z)到点P的距离为：d=PQ=√((x-x0)²+(y-y0)²+(z-z0)²)由于点R在平面上任意选取，所以点R也满足平面方程，带入平面方程可得：A(x-x0)+B(y-y0)+C(z-z0)+D=0化简得：Ax+By+Cz=Ax0+By0+Cz0+D将平面方程中的D通过移项放到右边，得到：Ax+By+Cz-Ax0-By0-Cz0=-D可以看出，距离d即为平面上任意一点R到平面方程的左边的数值。

所以，我们可以将平面方程中的Ax+By+Cz-Ax0-By0-Cz0=-D的绝对值除以平面方程的系数A²+B²+C²再开方，即可求得点到平面的距离公式。

2.点到平面的距离公式应用举例：例1：求点P(1,2,3)到平面2x+3y-z+1=0的距离。

根据距离公式，首先可以求出平面方程的系数A=2,B=3,C=-1，D=1，代入点P的坐标得到：距离d=，2(1)+3(2)-(-1)(3)-2(2)-3(2)-(-1)(3)-1，/√(2²+3²+(-1)²)计算得到距离d≈4.12例2：求点P(-5,1,0)到平面3x-4y+2z-6=0的距离。

同样地，根据距离公式，求出平面方程的系数A=3,B=-4,C=2，D=-6，代入点P的坐标得到：距离d=，3(-5)-4(1)+2(0)-(-5)(-5)+(-4)(1)+2(0)-6，/√(3²+(-4)²+2²)计算得到距离d≈7.34总之，点到平面的距离公式是空间几何中基本的概念和工具。

平面到平面的距离公式推导过程

平面到平面的距离公式推导过程好的，以下是为您生成的文章：在咱们数学的世界里，平面到平面的距离公式就像是一把神奇的钥匙，能帮咱们解开好多复杂的谜题。

今天咱们就一起来好好琢磨琢磨这个公式的推导过程，别怕，其实没那么难！咱们先从最基础的概念说起。

想象一下，有两个平行的平面，就像两块平行摆放的大木板。

平面嘛，其实就是由无数个点组成的一个大“面”。

那这两个平面之间的距离，到底咋算呢？比如说，有个平面π₁，它的方程是 Ax + By + Cz + D₁ = 0 ；还有另一个平行的平面π₂，方程是 Ax + By + Cz + D₂ = 0 。

咱们要找的就是这两个平面之间的距离。

那咋找呢？咱们先在平面π₁上随便找一个点 P(x₁, y₁, z₁) 。

这个点到平面π₂的距离，就是咱们要找的两个平面之间的距离啦。

那点到平面的距离公式是啥呢？这就得用到咱们学过的向量知识啦。

平面π₂的法向量 n = (A, B, C) ，那点 P 到平面π₂的距离 d 就等于|Ax₁ + By₁ + Cz₁ + D₂| / √(A² + B² + C²) 。

这一堆式子看着有点晕？别慌，咱们来举个具体的例子感受感受。

就比如说平面π₁是 2x + 3y - 4z + 5 = 0 ，平面π₂是 2x + 3y - 4z -1 = 0 。

咱们在平面π₁上找个点 P(1, 1, 1) 。

那点 P 到平面π₂的距离 d 就等于 |2×1 + 3×1 - 4×1 - 1| / √(2² + 3² + (-4)²) 。

算一算，分子是 |2 + 3 - 4 - 1| = 0 ，分母是√(4 + 9 + 16) = √29 。

所以距离 d 就是 0 啦，这说明这两个平面是重合的，距离为 0 。

再比如平面π₁是 x + y + z + 1 = 0 ，平面π₂是 x + y + z - 3 = 0 。

平面到平面的距离公式向量法

平面到平面的距离公式向量法
平面到平面的距离公式向量法是解决平面上两点之间的距离问题的一种有效方法。

这种方法使用向量的概念，将平面上的点表示为向量，然后计算两个向量之间的距离来得到两点之间的距离。

具体而言，假设有两个平面上的点A(x1,y1)和B(x2,y2)，将它们表示为向量OA和OB，其中O是平面上的原点。

则向量OA可以表示为OA=<x1,y1>，向量OB可以表示为
OB=<x2,y2>。

两个向量之间的距离可以使用向量的模长公式来计算，即：|OA-OB|=√[(x1-x2)^2+(y1-y2)^2]这个公式可以用来计算平面上任意两点之间的距离。

它的优点在于使用向量的概念，可以简化计算过程，同时也具有较高的精度和可靠性。

平面到平面的距离公式向量法是一种简单而有效的方法，可以用来解决平面上两点之间的距离问题。

它的应用范围广泛，不仅可以用于数学和物理学中的计算，还可以用于计算机图形学和工程设计等领域。

1.2.1 平面距离问题