2018届人教A版 立体几何 (2) 单元测试
人教版A版必修二第二章立体几何复习题及答案
１一、选择题1. 如图，在体积为1的三棱锥A BCD -侧棱A BA C A D ，，上分别取点E F G ，，，使21AE EB AF FC AG GD ===∶∶∶∶，记O 为三平面BCG CDE DBF ，，的交点，则三棱锥O BCD -的体积等于（ ）Ａ．19Ｂ．18Ｃ．17Ｄ．142.木星的体积约是地球体积的倍，则它的表面积是地球表面积的（ ） Ａ．60倍Ｂ．Ｃ．120倍Ｄ．3. 三棱锥P ABC -中，PA PB PC ，，互相两两垂直，且14PC PA x PB y x y ===+=，，，，则三棱锥P ABC -体积的最大值（ ）Ａ．1 Ｂ．13Ｃ．23Ｄ．不存在4. 一条直线和直线外不在同一条直线上的三点所确定的过该直线的平面有（ ） Ａ．1个 Ｂ．2个 Ｃ．3个 Ｄ．至多3个5. 异面直线a b a b c ，，⊥，与a 成30角，则c 与b 成角范围是（ ）Ａ．[6090]，Ｂ．[3090]，Ｃ．[60120]，Ｄ．[30120]，6. 在正方体1111ABCD A B C D -中，表面的对角线与1AD 成60的有（ ） Ａ．4条Ｂ．6条Ｃ．8条Ｄ．10条7. 如果两面角l αβ--的平面角是锐角，点P 到αβ，和棱l的距离分别为4和为（ ） Ａ．45或30Ｂ．15 或75Ｃ．30 或60Ｄ．15 或608. 下列四个命题，下确的结论个数有（ ）①若三条直线两两相交，则它们组成的图形为平面图形 ②一条直线和一个点确定一个平面 ③若四点不共面，则每三点一定不共线 ④三条平行线确定三个平面 Ａ．1个 Ｂ．2个 Ｃ．3个 Ｄ．4个 9. 下列命题中正确的是（ ）Ａ．两条直线可以确定一个平面 Ｂ．一组对边平行的四边形是平面图形 Ｃ．一个点与一条直线可以确定一个平面 Ｄ．两两相交的三条直线一定共面 10. 给出下列四个命题，其中正确的是（ ）①在空间若两条直线不相交，则它们一定平行 ②平行于同一条直线的两条直线 ③一条直线和两条平行直线的一条相交，那么它也和另一条相交④空间四条直线a ，b ，c ，d ，如果a b ∥，c d ∥，且a d ∥，那么b c ∥ Ａ．①②③ Ｂ．②④ Ｃ．③④ Ｄ．②③ 11. 下列说法中错误．．的个数是（ ） ①过平面外一点有一条直线和该平面平行 ②过平面外一点只有一条直线和该平面平行 ③过平面一点外有且只有一条直线和该平面平行 Ａ．0 Ｂ．1 Ｃ．2 Ｄ．3A EB FOCGD２12. 已知直线a ∥直线b ，b ∥直线c ，c ∥平面α，则（ ） Ａ．a α∥ Ｂ．a α⊂ Ｃ．a 与α相交 Ｄ．a α∥或a α⊂ 13. 能保证直线a 与平面α平行的条件是（ ）Ａ．a α⊄，b α⊂，a b ∥ Ｂ．b α⊂，a b ∥ Ｃ．b α⊂，c b ∥，a c ∥ Ｄ．b α⊂，A a ∈，B a ∈，C b ∈，D b ∈，且AC BD = 14. 下列四个命题中，不正确的命题是（ ）Ａ．如果一条直线与两条平行直线中的一条垂直，那么也和另一条垂直Ｂ．已知直线a ，b ，c ，a b ∥，c 与a ，b 都不相交，若c 与a 所成的角为θ，则c 与b 所成的角也等于θ Ｃ．如果空间四个点不共面，则四个点中可能有三个点共线Ｄ．若直线a ∥平面α，点P α∈，则过点P 作a 的平行线一定在α内 15. 下列命题中，正确的是（ ）Ａ．直线a ∥平面α，则a 平行于α内任何一条直线Ｂ．直线a 与平面α相交，则a 不平行于α内的任何一条直线 Ｃ．直线a 不平行于平面α，则a 不平行于α内任何一条直线Ｄ．直线a 不垂直于平面α内的某一条直线，则a 不垂直于α内任何一条直线二、填空题16. 已知m n ，是不同的直线，αβ，是不重合的平面，给出下列命题：① 若m n αβαβ⊂⊂，，∥，则m n ∥ ②若m n m n αββ⊂，，，∥∥，则αβ∥③若m n m n αβ⊥⊥，，∥，则αβ∥④m n ，是两条异面直线，若m m n n αβαβ，，，∥∥∥∥，则αβ∥ 上面命题中，真命题的序号是 （写出所有真命题的序号）． 17. 若a b c a d b ∥，⊥，⊥，则c 与d 关系为 ．18. 正方形ABCD 中，E F ，分别是AB CD ，中点，沿EF 将正方形折成60的二面角，则异面直线FB 与AE 所成的角的余弦值是 ．19. 如图，1111ABCD A B C D -是正方体，E F ， 分别是111AA A B ，的中点，则EF 与对角面11A C CA 所成角的度数是 ．20. 如图，在空间四边形ABCD 中，2AD BC ==，E ，F 分别是AB ，CD的中点，若EF =AD ，BC 所成的角为．21. 有以下命题，正确命题的序号是 ． ①直线与平面没有公共点，则直线与平面平行②直线与平面内的任何一条直线都不相交，则直线与平面平行； ③直线上有两点，它们到平面的距离相等，则直线与平面平行； ④直线与平面内的无数条直线不相交，则直线与平面平行．三、解答题22. 如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，13454AC BC AB AA ====，，，，点D 是AB 的中点． （Ⅰ）求证1AC BC ⊥；（Ⅱ）求证1AC ∥平面1CDB ； （Ⅲ）求异面直线1AC 与1B C 所成角的余弦值．ＡＢＣＥＤ Ｆ 1A 1D 1C 1B Ｆ Ｄ ＡＥＢ Ｃ1C 1B 1A CDAB３23. 如图，在直四棱柱1111ABCD A B C D -中，2AB AD ==，DC =1AA =AD DC AC BC ⊥⊥，，垂足为E ．（Ⅰ）求证11BD AC ⊥；（Ⅱ）求二面角11A BD C --的大小； （Ⅲ）求异面直线AD 与1BC 所成角的大小．24. 已知：四边形ABCD 中，AB CD AB BC DC AD ∥，，，，（或其延长线）分别与平α相交于E F G H ，，，四点．求证：E F G H ，，，四点共线．25. 在空间四边形ABCD 中，E F ，分别为AB BC ，的中点．求证：EF 和AD 为异面直线．26. 如图，在二面角l αβ--中，A B C D l α∈∈，，，，ABCD 为矩形，P β∈，PA α⊥，且PA AD =，M N ，依次是AB PC ，的中点．（1）求二面角l αβ--的大小；（2）求证：MN AB ⊥；（3）求异面直线PA 与MN 所成角的大小．DβαＥ ＣＢＭ Ａ ＱＰ Ｎl1AA 1DD1BE1C C４27. 已知四边形ABCD 是空间四边形，E ，H 分别是线段AB ，AD 的中点，F ，G 分别是线段CB ，CD 上的点且23CF CG CB CD ==，求证：EF ，GH ，CA 交于一点．28. 如图所示，P 是ABC △所在平面外的一点，M ，N 分别是AB ，PC 的中点，已知PA BC m ==，PB AC =， （1）求证：MN 是AB 和PC 的公垂线；（2）当PA ，BC 成90角时，求AB 和PC 间的距离．29. 如图，正方体1111ABCD A B C D -中，AC BD O = ，11111AC B D O = ．求证：1OO ⊥平面ABCD ．30. 如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，求1A B 与平面11A B CD 所成的角．ＣＭ ＢＰ ＮＣＯ1O 1D 1A 1C 1B DC BA1A1D 1C1BＯＣＢＡＤ５一、选择题1. Ｃ．2. Ｃ．3. Ｃ4. Ｄ5. Ａ 6. A 7. Ｂ8. Ａ9. Ｂ10. Ｂ11. Ｃ12. Ｄ13. Ａ14. Ｃ15. Ｂ二、填空题16. ③，④ 17. 平行、相交或异面．18.10． 19. 30 ． 20. 6021. ①② 三、解答题22. （Ⅰ）∵直三棱柱111ABC A B C -底面三边长345AC BC AB ===，，，AC BC ⊥∴，且1BC 在平面ABC 内的射影为BC ，1AC BC ⊥∴．（Ⅱ）设1CB 与1C B 的交点为E ，连结DE ．D ∵是AB 的中点，E 是1BC 的中点，1DE AC ∴∥． DE ⊂∵平面1CDB ，1AC ⊄平面1CDB ，1AC ∴∥平面1CDB ．（Ⅲ）1DE AC ∵∥，CED ∠∴为1AC 与1B C 所成的角．在CED △中，11522ED AC ==，1522CD AB ==，112CE CB ==8cos 522CED ==∴ ∴异面直线1AC 与1B C23. （Ⅰ）在直四棱柱1111ABCD A B C D -中，1A A ⊥∵底面ABCD ，AC ∴是1AC 在平面ABCD 上的射影．BD AC ⊥∵，1BD AC ⊥∴． （Ⅱ）连结1111A E C E AC ，，．与（Ⅰ）同理可证1BD A E⊥，1BD C E ⊥， 11A EC ∠∴_为二面角11A BD C --的平面角．AD DC ⊥∵，11190A D C ADC ∠=∠= ∴．又112A D AD ==，11D C DC ==，1AA =AC BD ⊥，11413AC AE EC ===，，∴112A E C E ==，∴在11A EC △中，2221111AC A E C E =+６1190A EC ∠= ∴,即二面角11A BD C --的大小为90 ．（Ⅲ）过B 作BF AD ∥交AC 于F ，连结1FC ，则1C BF ∠就是AD 与1BC 所成的角．21AB AD BD AC AE ==⊥=，，∵，212BF EF FC BC DC ====，，，∴，11FC BC ==∴．在1BFC △中，1cos C BF ==1C BF ∠=∴ 即异面直线AD 与1BC所成的角的大小为 24. 证明：如图，AB CD ∥， AB CD ∴，确定一个平面β．BC AD ββ∴⊂⊂，．又E F G H ，，，分别在AB BC CD AD ，，，上，E F G H β∴∈，，，；又E F G H α∈，，，．E F G H ∴，，，必在平面αβ，的交线上E F G H ∴，，，四点共线．25. 证明：如图，假设EF 和AD 在同1平面α内， 则A D E F α∈，，，； 又A E AB AB B αα∈∴⊂∴∈，，，，同理C α∈ 故A B C D α∈，，，，这与ABCD 是空间四边形矛盾． EF ∴和AD 为异面直线．26. （1）解：连结PD ，PA α ⊥，AD l ⊥， PD l ∴⊥， PDA ∴∠是二面角l αβ--的平面角．由PA AD =，有45PAD ∠=，故二面角l αβ--的大小为45 ．（2）证明：取CD 的中点为E ，连ME ，NE ，则EM AD ∥，EN PD ∥， CD ME ∴⊥，CD NE ⊥，CD ∴⊥平面MNE ，又AB CD ∥， AB ∴⊥平面MNE ，故AB MN ⊥，（3）解：取PD 中点为Q ，连QA ，QN ，则12QN CD∥，而12AM CD∥， QNMA ∴是平行四边形，AQ MN ∴∥，７PAQ ∴∠是异面直线PA 与MN 所成的角．PAD △为等腰直角三角形，AQ 为斜边上的中线， 45PAQ ∴∠= ，即PA 与MN 所成的角的大小为45 ．27. 证明：如图，连结BD ． EH ∵是ABD △的中位线，12EH BD ∴ ∥ 又23CF CG CB CD ==∵， 23FG BD ∴ ∥．EH FC ∴∥且EH FG <． ∴四边形EFGH 是一个梯形． 设EF 交GH 于P 点，EF ⊂∵平面ABC ，GH ⊂平面ACD ， P ∴是平面ABC 与平面ACD 的公共点．∴点P 在两平面的交线AC 上，即EF ，GH ，CA 三线交于一点．28. （1）证明：连结AN 和BN ，在PAC △和CBP △中，PA BC =，AC PB =，PC PC =，PAC CBP ∴△≌△．N ∵是公共边PC 的中点，AN BN ∴=． M ∵是AB 的中点， NM AB ∴⊥．同理MN PC ⊥．故MN 是AB 和PC 的公垂线．（2）解：取PB 的中点D ，连结DM ，DN ，于是DM PA ∥，且1122DM PA m ==，同理DN BC ∥，且1122DN BC m ==，于是MDN ∠是异面直线PA ，BC 所成的角， 90MDC ∴∠=．从而MN =，即AB 和PC．29. 证明：1111ABCD A B C D -∵为正方体，1AA AB ∴⊥，1AA AD ⊥．AB AD A = ∵，1AA ∴⊥平面AC ．11AA BB ∥∵，11BB CC ∥，11AA CC ∴ ∥．∴四边形11AA C C 为平行四边形． O ∵，1O 分别为AC ，11A C 的中点，11OO AA ∴∥，1OO ⊥平面AC ．30. 解：连结1BC 交1B C 于O ，连结1AO ，在正方体1111ABCD A B C D -中各个面为正方形，设其棱长为a ．11111111111111A B B C A B BCC B A B B B BC BCC B ⎫⎫⇒⎬⎪⎬⎭⎪⊂⎭平面平面⊥⊥⊥11111111A A B BC BC B CD BC B C ⇒⎫⇒⎬⎭平面⊥⊥ ⊥８1AO ⇒为1A B 在平面11A B CD 内的射影 1B AO ⇒∠为1A B 与平面11A B CD 所成的角．111111111Rt 21sin 23030.BAO A B OB a OB BAO A B BAO BAO A B A B CD ⎫==⎪⎪⎪⎫⇒==⎪⎪⇒=⎬⎬⎪⎪∠⎭⎪⎪⇒⎪⎭在△中，， 为锐角与平面所成的角为。
高三立体几何单元测试卷及详细答案
立体几何单元测试卷一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．每小题中只有一项符合题目要求）1．设m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则下列四个命题:①若α∥β，m⊂α，则m∥β；②若m∥α，n⊂α，则m∥n；③若α⊥β，m ∥α，则m⊥β;④若m⊥α，m∥β，则α⊥β。
其中为真命题的是(）A．①③B．②③C．①④D．②④2．用与球心距离为1的平面去截球,所得的截面面积为π,则球的体积为(）A.8π3B.错误!C．82π D.错误!3．某个长方体被一个平面所截，得到几何体的三视图如图所示,则这个几何体的体积为（）A．4 B．2错误!C.错误!D．84. 如图所示，正四棱锥P－ABCD的底面积为3,体积为错误!，E为侧棱PC 的中点，则PA与BE所成的角为(）A。
错误! B.错误!C.错误!D。
错误!5．直三棱柱ABC－A1B1C1的直观图及三视图如下图所示,D为AC的中点，则下列命题是假命题的是（)A．AB1∥平面BDC1B．A1C⊥平面BDC1C．直三棱柱的体积V＝4D．直三棱柱的外接球的表面积为4错误!π。
6. 如图所示是一个直径等于4的半球，现过半球底面的中心作一个与底面成80°角的截面，则截面的面积为()A.π2B．πC．2πD．πsin80°7．一个圆锥被过顶点的平面截去了较小的一部分,余下的几何体的三视图如图，则该几何体的表面积为（)A。
错误!＋错误!＋错误!＋1 B．2错误!＋3错误!π＋错误!＋1C。
错误!＋错误!＋错误!D。
错误!＋错误!＋错误!＋18．二面角的棱上有A、B两点，直线AC、BD分别在这个二面角的两个半平面内，且都垂直于AB.已知AB＝4，AC＝6，BD＝8,CD＝2错误!,则该二面角的大小为（）A．150°B．45°C．60°D．120°9。
如图所示，已知△ABC为直角三角形，其中∠ACB＝90°，M为AB的中点，PM垂直于△ABC所在平面，那么（)A．PA＝PB〉PCB．PA＝PB<PCC．PA＝PB＝PCD．PA≠PB≠PC10．正方体ABCD－A1B1C1D1中，E是棱BB1中点，G是DD1中点，F是BC 上一点且FB＝错误!BC，则GB与EF所成的角为（)A．30°B．120°C．60°D．90°11．已知正方体ABCD－A1B1C1D1棱长为1，点P在线段BD1上,当∠APC最大时,三棱锥P－ABC的体积为（）A。
人教A版高一数学必修第二册第八章《立体几何初步》章末练习题卷含答案解析 (14)
高一数学必修第二册第八章《立体几何初步》单元练习题卷3（共22题）一、选择题（共10题）1.若正棱锥底面边长与侧棱长相等，则该棱锥一定不是( )A．三棱锥B．四棱锥C．五棱锥D．六棱锥2.两条直线a，b和直线l所成的角相等，则直线a，b( )A．相交B．异面C．平行D．可能相交，平行或异面3.已知在棱锥P−ABC的三条侧棱两两互相垂直，且PA=1，PB=2，PC=√3，则此三棱锥的外接球的表面积为( )A．8πB．8√2πC．16πD．32π4.若一个直三棱柱的所有棱长都为1，且其顶点都在一个球面上，则该球的表面积为( )A．πB．7π3C．11π3D．5π5.已知a，b，c为三条不重合的直线，α，β，γ为三个不重合的平面，下列四个命题中，正确命题的个数是( )① a∥c,b∥c}⇒a∥b；② a∥γ,b∥γ}⇒a∥b；③ a∥γ,α∥γ}⇒a∥α；④ a∥c,a⊄α}⇒a∥α．A．1B．2C．3D．46.在斜棱柱的侧面中，矩形最多有( )A．2个B．3个C．4个D．6个7.已知棱长为1的正方体被两个平行平面截去一部分后，剩余部分的三视图如图所示，则剩余部分的表面积为( )A．23B．3+√3C．9+√32D．2√38.如图所示，圆柱形容器的底面直径等于球的直径2R，把球放在圆柱里，注入水，使水面与球正好相切，然后将球取出，此时容器中水的深度是( )A．2R B．4R3C．23R D．R39.将图（1）中的等腰直角三角形ABC沿斜边BC的中线AD折起得到空间四面体ABCD，如图（2），则在空间四面体ABCD中，AD与BC的位置关系是( )A．相交且垂直B．相交但不垂直C．异面且垂直D．异面但不垂直10.在空间四边形ABCD中，E，F分别为边AB，AD上的点，且AE:EB=AF:FD=1:4，又H，G分别为BC，CD的中点，则( )A．BD∥平面EFG，且四边形EFGH是矩形B．EF∥平面BCD，且四边形EFGH是梯形C．HG∥平面ABD，且四边形EFGH是菱形D．EH∥平面ADC，且四边形EFGH是平行四边形二、填空题（共6题）11. 如图，将一个长方体用过相邻三条棱的中点的平面截出一个棱锥，则该棱锥的体积与剩下的几何体体积的比为 ．12. 如图所示，在四棱锥 P −ABCD 中，底面 ABCD 是正方形，PA ⊥底面ABCD ，PA =AB =2，E为 PA 的中点．则下列四个命题： （1）PC ⊥BD ；（2）平面 BED 将四棱锥分为两部分，这两部分的体积之比为 1:2； （3）平面PAB ⊥平面PBC ；（4）四棱锥 P −ABCD 外接球的表面积等于 12π． 其中正确的是 （写出所有正确结论的序号）．13. 已知函数 f (x )={x,0≤x ≤12−x,1<x ≤2，将 f (x ) 的图象与 x 轴围成的封闭图形绕 x 轴旋转一周，所得旋转体的体积为 ．14. 已知在三棱锥 A −BCD 中，AB ⊥平面BCD ，∠BDC =90∘，AB =BD =2，CD =1，则三棱锥的外接球体积为 ．15. 三条直线相交于一点，则它们最多能确定 个平面．16. 现有橡皮泥制作的底面半径为 5，高为 9 的圆锥和底面半径为 √3，高为 8 的圆柱各一个．若将它们重新制作成总体积与各自的高均保持不变，但底面半径相同的新的圆锥与圆柱各一个，则新的底面半径为 ，若新圆锥的内接正三棱柱表面积取到最大值，则此正三棱柱的底面边长为 ．三、解答题（共6题）17. 如图，P 是平行四边形 ABCD 所在平面外一点，M 是 PC 的中点，在 DM 上取一点 G ，过点G 和 AP 作平面，交平面 BDM 于 GH ．求证：AP ∥GH ．18.一个圆锥的底面半径为R，高为√3R．(1) 求圆锥的表面积；(2) 求圆锥内接正四棱柱的表面积的最大值．19.如图，在三棱锥P−ABC中，PA⊥平面ABC，AC⊥BC，D为侧棱PC上一点，它的正（主）视图和侧（左）视图如图所示．(1) 证明：AD⊥平面PBC；(2) 求三棱锥D−ABC的体积；(3) 在∠ACB的平分线上确定一点Q，使得PQ∥平面ABD，并求此时PQ的长．20.已知正四棱柱ABCD−A1B1C1D1中，底面边长为2，AA1=4，点M在线段CC1上．(1) 求异面直线A1B与AC所成角的大小（用反三角函数值表示）；，求多面体ABM−A1B1C1的体积．(2) 若直线AM、平面ABC所成角大小为π421.如图，正六棱锥被过棱锥高PO的中点Oʹ且平行于底面的平面所截，得到正六棱台OOʹ和较小的棱锥POʹ．(1) 求大棱锥，小棱锥，棱台的侧面面积之比；(2) 若大棱锥的侧棱长为12cm，小棱锥的底面边长为4cm，求截得的棱台的侧面面积和表面积．22.如图，在棱长为2的正方体ABCD−A1B1C1D1中，E，F分别为A1D1，B1C1的中点．(1) 求证：平面AB1E∥平面BD1F；(2) 求平面AB1E与平面BD1F之间的距离．答案一、选择题（共10题） 1. 【答案】D【解析】若正六棱锥底面边长与侧棱长相等，则正六棱锥的侧面都是等边三角形，侧面的六个顶角都为 60∘，六个顶角的和为 360∘，这样一来，六条侧棱在同一个平面内，这是不可能的． 【知识点】棱锥的结构特征2. 【答案】D【知识点】直线与直线的位置关系3. 【答案】A【知识点】组合体、球的表面积与体积4. 【答案】B【解析】画出其立体图形：因为直三棱柱的所有棱长都为 1，且每个顶点都在球 O 的球面上，设此直三棱柱两底面的中心分别为 O 1，O 2，则球心 O 为线段 O 1O 2 的中点， 设球 O 的半径为 R ，在 △A 1B 1C 1 中 A 1O 1 是其外接圆半径 r ， 由正弦定理可得：2r =1sin60∘，r =2√32=√33，即 A 1O 1=√33． 在 Rt △A 1O 1O 中，A 1O 2=A 1O 12+O 1O 2=(√33)2+(12)2=13+14=712．所以球 O 的表面积 S =4πR 2=4π×712=7π3．【知识点】球的表面积与体积5. 【答案】A【知识点】直线与平面平行关系的性质6. 【答案】D【知识点】棱柱的结构特征7. 【答案】B【解析】由三视图可得，该几何体为如图所示的正方体ABCD−A1B1C1D1截去三棱锥D1−ACD 和三棱锥B−A1B1C1后的剩余部分．其表面为六个腰长为1的等腰直角三角形和两个边长为√2的等边三角形，所以其表面积为6×12×12+2×√34×(√2)2=3+√3．【知识点】棱锥的表面积与体积8. 【答案】C【解析】由题意，水的体积=πR2⋅2R−43πR3=23πR3，所以容器中水的深度ℎ=23πR3πR2=23R．【知识点】球的表面积与体积9. 【答案】C【解析】折起前AD⊥BC，折起后有AD⊥BD，AD⊥DC，所以AD⊥平面BCD，所以AD⊥BC．又AD与BC不相交，故AD与BC异面且垂直．【知识点】直线与直线的位置关系10. 【答案】B【解析】如图所示，在平面ABD内，因为AE:EB=AF:FD=1:4，所以EF∥BD．又BD⊂平面BCD，EF⊄平面BCD，所以EF∥平面BCD．因为H，G分别是BC，CD的中点，所以HG∥BD，所以HG∥EF．又EFBD =AEAB=15，HGBD=CHBC=12，所以EF≠HG．在四边形EFGH中，EF∥HG且EF≠HG，所以四边形EFGH为梯形．【知识点】直线与平面平行关系的判定二、填空题（共6题）11. 【答案】1:47【解析】设长方体长宽高分别为2a，2b，2c，所以长方体体积V1=2a×2b×2c=8abc，三棱锥体积V2=13×12×a×b×c=16abc，所以棱锥的体积与剩下的几何体体积的之比为：V2V1−V2=16abc(8−16)abc=147．【知识点】棱锥的表面积与体积、棱柱的表面积与体积12. 【答案】（1），（3），（4）【解析】（1）如图所示，连接AC，因为四边形ABCD为正方形，所以AC⊥BD．所以PA⊥BD．而PA∩AC=A，所以BD⊥平面PAC．故BD⊥PC．（2）由已知，可得S正方形ABCD=22=4，又PA⊥底面ABCD，所以V P−ABCD=13S正方形ABCD×PA=83．而V E−ABD=13S△ABD×EA=13×12AB×AD×AE=23，所以V E−ABD:(V P−ABCD−V E−ABD)=23:(83−23)=1:3．（3）因为PA⊥平面ABCD，PA⊂平面PAB，所以平面PAB⊥平面ABCD．又平面PAB∩平面ABCD=AB，CB⊥AB，所以CB⊥平面PAB．又CB⊂平面PBC，所以平面PAB⊥平面PBC．（4）由（3），知CB⊥平面PAB，故CB⊥PB．同理CD⊥PD．取PC的中点O，连接OB，OA，OD，如图所示，则在Rt△PBC中，OB=12PC．同理，在Rt△PAC中，OA=12PC．在Rt△PDC中，OD=12PC．所以O为四棱锥P−ABCD的外接球的球心．故外接球的半径r=12PC=12×√22+(2√2)2=√3，其表面积为S=4πr2=12π．综上所述，正确的命题有（1），（3），（4）．【知识点】棱锥的表面积与体积、球的表面积与体积13. 【答案】2π3【解析】函数f(x)的图象是两条线段构成的折线，线段端点依次为(0,0)，(1,1)，(2,0)，所得旋转体是同底的两个圆锥拼在一起，其体积为 13π×12×(1+1)=2π3．【知识点】圆锥的表面积与体积14. 【答案】 92π【解析】如图所示，三棱锥可补形为一个长、宽、高分别为 2，1，2 的长方体， 则三棱锥的外接球与长方体的外接球相同，设外接球半径为 R ， 则：(2R )2=22+22+12，则 R 2=94，R =32， 外接球的体积：V =43πR 3=43π×278=92π．【知识点】组合体、球的表面积与体积15. 【答案】 3【知识点】平面的概念与基本性质16. 【答案】 3 ；9√35【解析】设新的底面半径为 r ， 由 V 旧圆锥+V 旧圆柱=V 新圆锥+V 新圆柱，13×9×π×52+8×π×(√3)2=13×9⋅πr 2+8πr 2， 解得 r 2=9，r =3， 如图正三棱柱 ABC −A 1B 1C 1 内接于该圆锥，设 △A 1B 1C 1 边长为 a ，外接圆半径 R =a2sin60∘=√33a ， 由比例知上半个圆锥高 ℎ1 满足ℎ1 9=R3，ℎ1=3R=√3a，AA1=9−ℎ1=9−√3a，正三棱柱ABC−A1B1C1的，S 表=2S△A1B1C1+3S A1ABB1,=2⋅√34a2+3⋅a(9−√3a),=−√52√3a2+27a,在a=−2⋅(−52√3)时取到最大值，即a=9√35．【知识点】圆柱的表面积与体积、圆锥的表面积与体积三、解答题（共6题）17. 【答案】如图，连接AC，交BD于点O，连接MO．因为四边形ABCD是平行四边形，所以点O是AC的中点．又因为点M是PC的中点，所以OM∥AP．又因为AP⊄平面BDM，OM⊂平面BDM，所以AP∥平面BDM．因为平面PAHG∩平面BDM=GH，AP⊂平面PAHG，所以AP∥GH．【知识点】直线与平面平行关系的判定18. 【答案】(1) 由题意可知，圆锥的母线l长为√R2+(√3R)2=2R，所以该圆锥的表面积为πR(R+l)=3πR2．(2) 如图所示，设正四棱柱的底面对角线的一半为x，易知△PBC∽△PAO，所以BCAO =PCPO，即xR =√3R−OC√3R，解得OC=√3(R−x)，正四棱柱的底面是一个正方形，其底面边长为√2x，底面积为2x2，所以正四棱柱的表面积为S=2×2x2+4×√2x×√3(R−x)=(4−4√6)x2+4√6Rx，由二次函数的基本性质可知，当x=√6R8(√6−1)=√6R2(√6−1)时，正四棱柱的表面积S有最大值，且S max=6(√6+1)R25．【知识点】圆锥的表面积与体积、棱柱的表面积与体积19. 【答案】(1) 因为PA⊥平面ABC，所以PA⊥BC，又AC⊥BC，所以BC⊥平面PAC，所以BC⊥AD．由三视图可得，在△PAC中，PA=AC=4，D为PC中点，所以AD⊥PC，所以AD⊥平面PBC．(2) 由三视图可得BC=4，由（1）知∠ADC=90∘，BC⊥平面PAC，又三棱锥D−ABC的体积即为三棱锥B−ADC的体积，所以所求三棱锥的体积V=13×12×4×12×4×4=163．(3) 取AB的中点O，连接CO并延长至Q，使得CQ=2CO，点Q即为所求．因为O为CQ中点，所以PQ∥OD，因为PQ⊄平面ABD，OD⊂平面ABD，所以PQ∥平面ABD，连接AQ，BQ，四边形ACBQ的对角线互相平分，所以ACBQ为平行四边形，所以AQ=4，又PA⊥平面ABC，所以在直角△PAD中，PQ=√AP2+AQ2=4√2．【知识点】棱锥的表面积与体积、直线与平面垂直关系的判定、直线与平面平行关系的判定、空间线段的长度20. 【答案】(1) 连接BC1，则由于在正四棱柱ABCD−A1B1C1D1中，AC∥A1C1，故异面直线A1B与AC所成角即为直线A1B与A1C1所成的角．因为正四棱柱ABCD−A1B1C1D1中，底面边长为2，AA1=4，所以BC1=2√5，A1B=2√5，A1C1=2√2．所以cos∠BA1C1=BA12+A1C12−BC122BA1A1C1=√1010．所以异面直线A1B与AC所成角即为arccos√1010．(2) 因为正四棱柱ABCD−A1B1C1D1中MC⊥面ABCD，直线AM与平面ABC所成角为π4，所以∠MAC=π4，因为BC=2，所以MC=2√2，因为V ABM−A1B1C1=V ABC−A1B1C1−V M−ABC，所以V ABM−A1B1C1=12×2×2×4−13×12×2×2×2√2=8−4√23，即多面体ABM−A1B1C1的体积为8−4√23．【知识点】异面直线所成的角、棱锥的表面积与体积、棱柱的表面积与体积21. 【答案】(1) 设小棱锥的底面边长为a，斜高为ℎ，则大棱锥的底面边长为2a，斜高为2ℎ，所以大棱锥的侧面面积为6×12×2a×2ℎ=12aℎ，小棱锥的侧面面积为6×12aℎ=3aℎ，所以棱台的侧面面积为9aℎ，所以大棱锥、小棱锥、棱台的侧面面积之比为4:1:3．(2) 因为小棱锥的底面边长为4cm，所以大棱锥的底面边长为8cm，因为大棱锥PO的侧棱长为12cm，所以斜高为√144−16=8√2，所以大棱锥的一个侧面面积为12×8×8√2=32√2，所以棱台的一个侧面面积为24√2，则棱台的侧面积为6×24√2=144√2，棱台的上底面积为6×√34×42=24√3，下底面积为6×√34×82=96√3，所以棱台的表面120√3+144√2cm2．【知识点】棱锥的表面积与体积、棱台的表面积与体积22. 【答案】(1) 因为在正方体ABCD−A1B1C1D1中，E，F分别为A1D1，B1C1的中点，所以D1E∥B1F，D1E=B1F，所以四边形B1FD1E是平行四边形，所以B1E∥D1F，又B1E⊄平面BD1F，D1F⊂平面BD1F，所以B1E∥平面BD1F，连接EF，因为EF∥AB，EF=AB，所以四边形ABFE是平行四边形，所以AE∥BF，又AE⊄平面BD1F，BF⊂平面BD1F，所以AE∥平面BD1F，又因为AE∩B1E=E，AE,B1E⊂平面AB1E，所以平面AB1E∥平面BD1F．(2) 平面AB1E与平面BD1F之间的距离也就是点B到平面AB1E的距离，设为ℎ，因为正方体ABCD−A1B1C1D1的棱长为2，所以AE=B1E=√5，AB1=2√2，所以△AB1E的面积S△AB1E =12×2√2×√(√5)2−(√2)2=√6，所以三棱锥B−AB1E的体积V B−AB1E =13S△AB1E⋅ℎ=√63ℎ，易知三棱锥E−ABB1的体积V E−ABB1=13S△ABB1⋅A1E=13×12×2×2×1=23，由V B−AB1E =V E−ABB1可得，√63ℎ=23，解得ℎ=√63，所以平面AB1E与平面BD1F之间的距离为√63．【知识点】平面与平面平行关系的判定、点面距离（线面距离、点线距离、面面距离）。
高中数学立体几何初步单元测
第八章 立体几何初步 （单元测）第八章 立体几何初步（单元测试）_一、单选题1．已知圆锥的底面半径为1，侧面展开图的圆心角为，则该圆锥的高为（ ）A．B．C．D．42．若水平放置的四边形按“斜二测画法”得到如图所示的直观图，其中，，，，则原四边形中的长度为（ ）A．B．C．2D．3．如图，古希腊数学家阿基米德的墓碑上刻着一个圆柱，圆柱内有一个内切球，这个球的直径恰好与圆柱的高相等．相传这个图形表达了阿基米德最引以为豪的发现．记图中圆柱的体积为，表面积为，球的体积为，表面积为，则下列说法正确的是（ ）A．B．C．D．4．已知，是两条不同的直线，，是两个不同的平面，给出下列四个命题：①如果，，，，那么；②如果，，那么；③如果，，，那么；④如果，，，那么.其中正确命题的个数有（ ）A．4 个B．3 个C．2 个D．1 个5．梯形ABCD中，，∠ABC＝90°，AD＝1，BC＝2，∠DCB＝60°，在平面ABCD内过点C作l⊥CB以l所在直线为轴旋转一周，则该旋转体的表面积为（ ）A．B．C．D．6．如图所示，在棱长为2的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E，F，G分别为所在棱的中点，则下列结论中正确的序号是（ ）①三棱锥D1﹣EFG的体积为；②BD1∥平面EFG；③BD1∥EG；④AB1⊥EG. A．③④B．①②④C．②③④D．①③7．直三棱柱中，，，则与平面所成的角为（ ）A．B．C．D．8．在棱长为1的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，点M，N分别是棱BC，CC1的中点，动点P在正方形BCC1B1（包括边界）内运动．若平面AMN，则P A1的最小值是（ ）A．1B．C．D．二、多选题9．如图是一个正方体的展开图，如果将它还原为正方体，则下列说法中正确的是（ ）A ．直线与直线共面B．直线与直线异面C ．直线与直线共面D．直线与直线异面10．高空走钢丝是杂技的一种，渊源于古代百戏的走索，演员手拿一根平衡杆，在一根两头拴住的钢丝上来回走动，并表演各种动作．在表演时，假定演员手中的平衡杆是笔直的，水平地面内一定存在直线与演员手中的平衡杆所在直线（ ）A．垂直B．相交C．异面D．平行11．在长方体中，O为与的交点，若，则（ ）A．B．C．三棱锥的体积为D．二面角的大小为12．攒尖是我国古代建筑中屋顶的一种结构形式，通常有圆形攒尖、三角攒尖、四角攒尖、八角攒尖，多见于亭阁式建筑、园林建筑下面以四角攒尖为例，如图，它的屋顶部分的轮廓可近似看作一个正四棱锥，已知此正四棱锥的侧面与底面所成的二面角为30°，侧棱长为米，则该正四棱锥的（ ）A．底面边长为6米B．侧棱与底面所成角的余弦值为C．侧面积为平方米D．体积为立方米三、填空题13．如图，某几何体由共底面的圆锥和圆柱组合而成，且圆柱的两个底面圆周和圆锥的顶点均在体积为的球面上，若圆柱的高为2，则圆锥的侧面积为______．14．《九章算术》中将四个面都为直角三角形的三棱锥称之为鳖臑．若三棱锥为鳖臑，平面，，，三棱锥的四个顶点都在球O的球面上，则球O的体积为___________15．在正四面体ABCD中，E为BC的中点，则异面直线AE与CD所成角的余弦值为_ __________.16．如图，在正方体中，E为的中点，F为正方体棱的中点，则满足条件直线平面的点F的个数是___________.四、解答题17．如图，四棱锥中，底面为边长为2的菱形且对角线与交于点O，底面，点E是的中点．(1)求证：∥平面；(2)若三棱锥的体积为，求的长．18．如图，已知四棱锥的底面是直角梯形，，，，，.(1)若为侧棱的中点，求证：平面；(2)求三棱锥的体积.19．如图，在棱长为的正方体中，、分别为棱、的中点．(1)证明：平面平面；(2)求异面直线与所成角的余弦值．20．如图，直三棱柱的体积为4，的面积为．(1)求到平面的距离；(2)设D为的中点，，平面平面，求线段BC的长度．21．在等腰梯形（图1）中，，是底边上的两个点，且.将和分别沿折起，使点重合于点，得到四棱锥（图2）.已知分别是的中点.(1)证明：平面.(2)证明：平面.(3)求二面角的正切值.22．如图，垂直于⊙所在的平面，为⊙的直径，，，，，点为线段上一动点．(1)证明：平面AEF⊥平面PBC；(2)当点F与C点重合，求 PB与平面AEF所成角的正弦值．一、单选题23．南水北调工程缓解了北方一些地区水资源短缺问题，其中一部分水蓄入某水库.已知该水库水位为海拔时，相应水面的面积为；水位为海拔时，相应水面的面积为，将该水库在这两个水位间的形状看作一个棱台，则该水库水位从海拔上升到时，增加的水量约为（）（ ）A．B．C．D．24．已知正三棱台的高为1，上、下底面边长分别为和，其顶点都在同一球面上，则该球的表面积为（ ）A．B．C．D．25．甲、乙两个圆锥的母线长相等，侧面展开图的圆心角之和为，侧面积分别为和，体积分别为和．若，则（ ）A．B．C．D．26．已知正四棱锥的侧棱长为l，其各顶点都在同一球面上.若该球的体积为，且，则该正四棱锥体积的取值范围是（ ）A．B．C．D．二、多选题27．如图，四边形为正方形，平面，，记三棱锥，，的体积分别为，则（ ）A．B．C．D．28．已知正方体，则（ ）A．直线与所成的角为B．直线与所成的角为C．直线与平面所成的角为D．直线与平面ABCD所成的角为三、填空题29．已知一个圆锥的底面半径为6，其体积为则该圆锥的侧面积为________. 30．已知直四棱柱ABCD–A1B1C1D1的棱长均为2，∠BAD=60°．以为球心，为半径的球面与侧面BCC1B1的交线长为________．31．如图，六角螺帽毛坯是由一个正六棱柱挖去一个圆柱所构成的．已知螺帽的底面正六边形边长为2 cm，高为2 cm，内孔半径为0.5 cm，则此六角螺帽毛坯的体积是 ____ cm3.四、解答题32．如图，四面体中，，E为AC的中点．(1)证明：平面平面ACD；(2)设，点F在BD上，当的面积最小时，求三棱锥的体积．参考答案：1．C【分析】由扇形弧长公式求圆锥的母线长，再根据圆锥的母线、高和底面半径的关系求高.【详解】因为底面半径，所以母线长，所以圆锥的高.故选：C2．B【分析】过点作,垂足为，求出直观图中的长度即得解.【详解】解：过点作,垂足为.因为，，，；，所以原四边形中的长度为2.故选：B3．B【分析】根据已知条件得出球的直径恰好与圆柱的高相等，设球的半径为r，进而分别表示出圆柱的体积为，表面积为，球的体积为，表面积为，进而求出.【详解】由已知条件，设球的半径为r，可知圆柱的底面半径为r，圆柱的高为2r，则圆柱的表面积，体积，球表面积，答案第1页，共2页体积，．故选：B.4．D【分析】根据空间中线线、线面、面面的位置关系一一判断即可.【详解】解：对于①如果，，，，那么或与相交，故①错误；对于②如果，，由线面垂直的性质可知，故②正确；对于③如果，，，那么或或与相交（不垂直）或与异面（不垂直），故③错误；对于④如果，，，那么或与相交（不垂直），当且仅当，，，，那么，故④错误.故选：D5．B【分析】旋转体为圆柱去去掉一个圆锥，计算圆柱的高和圆锥的底面半径和母线长，分别计算各面的面积，得出表面积．【详解】解：旋转体为圆柱去去掉一个圆锥，过作于，则，，，，圆锥的底面半径为，圆柱的底面半径为，圆柱和圆锥的高均为，圆锥的母线为，几何体的表面积为．故选：B.6．B【分析】利用等积法处理①，用面面平行得到线面平行处理②，用平行的传递性处理③，利用线面垂直得到线线垂直处理④.【详解】对于①，由等体积法可得：，故正确；对于②，连接，由面面平行的判定易得平面平面，由平面与平面平行的性质可得平面，故正确；对于③，如下图，连接，取的中点，连接，则，若，则，矛盾，故错误；对于④，由题意，，，可得平面，又平面，可得，故正确．故选：B．7．A【分析】将直三棱柱补全为正方体，根据正方体性质、线面垂直的判定可得面，由线面角的定义找到与平面所成角的平面角，进而求其大小.【详解】由题意，将直三棱柱补全为如下图示的正方体，为上底面对角线交点，所以，而面，面，故，又，面，故面，则与平面所成角为，若，所以，，则，故.故选：A8．C【分析】由平面，可以找到点在右侧面的运动轨迹，从而求出的最小值【详解】如图所示，取的中点,的中点，连接，因为分别是棱 的中点，所以，，又因为,,，所以平面平面，平面，且点在右侧面，所以点的轨迹是，且，，所以当点位于中点处时，最小，此时，.故选：C9．ACD【分析】作出正方体的直观图，逐项判断可得出合适的选项.【详解】如图，点与点重合，则与相交，故A正确；在正方体中，且，故四边形为平行四边形，，则、共面，故B错误；因为，故、共面，故C正确；由图可知，、不在同一个平面，且、既不平行也不相交，、为异面直线，故D正确.故选：ACD.10．AC【分析】对直线l与平面的任何位置关系，平面内均存在直线与直线l垂直；平衡杆所在直线与水平地面的位置关系：平行或相交，根据线面关系可知：若直线与平面平行，则该直线与平面内的直线的位置关系：平行或异面若直线与平面相交，则该直线与平面内的直线的位置关系：相交或异面；理解判断．【详解】根据题意可得：对直线l与平面的任何位置关系，平面内均存在直线与直线l垂直，A正确；平衡杆所在直线与水平地面的位置关系：平行或相交根据线面关系可知：若直线与平面平行，则该直线与平面内的直线的位置关系：平行或异面若直线与平面相交，则该直线与平面内的直线的位置关系：相交或异面C正确；B、D错误；故选：AC．11．BCD【分析】由题意，根据长方体的结合性质，结合线面垂直判定定理以及二面角的平面角定义和三棱锥的体积公式，可得答案.【详解】连接．因为，所以，又易证平面，所以，所以，所以为二面角的一个平面角．在中，，因为在中，，，所以，所以二面角的大小为．．故选：BCD．12．AD【分析】画出几何体的直观图，结合已知条件求得棱锥的底面边长，逐项求解，即可得到答案.【详解】对A，如图所示，在正四棱锥中，为正方形的中心，且，设底面边长为，正四棱锥的侧面与底面所成的二面角为，所以，则，在直角中，可得，即，解得，所以正四棱锥的底面边长为，所以A正确；对B，因为平面，所以为侧棱与底面所成的角，在直角中，可得，所以B错误；对C，正四棱锥的侧面积为平方米，所以C错误；对D，正四棱锥的体积为立方米，所以D正确.故选：AD.13．【分析】根据题意画出该几何体的轴截面，如图，设是球心，是圆锥的顶点，是圆锥的母线，求出球的半径，从而可求出，进而可求得圆锥的侧面积.【详解】其中，是球心，是圆锥的顶点，是圆锥的母线，由题意可知，解得，由于圆柱的高为2，，，，母线，∴圆锥的侧面积为．故答案为：14．【分析】根据题意，得到为球的直径，求得的长，得到球的半径，进而求得球的体积，得到答案.【详解】如图所示，取的中点，根据直角三角形的性质，可得，所以为球的直径，且，可得球的半径为，所以球的体积为.故答案为：.15．##【分析】取BD的中点F，作出异面直线AE与CD所成的角，再利用三角形计算作答.【详解】在正四面体ABCD中，取BD的中点F，连接，如图，设，因E为BC的中点，则，，即有是异面直线AE与CD所成的角或其补角，而，在等腰中，，所以异面直线AE与CD所成角的余弦值为.故答案为：16．【分析】为了得到直线平面，只需求得平面平面，即平面内的任意一条直线都与平面平行，进而求得点的个数.【详解】分别取的中点，连接，，在正方体中，，，四边形是平行四边形，，，又平面，平面，平面，同理平面，又，平面，平面，平面平面，平面内的任意一条直线都与平面平行，则满足条件直线平面的点可以是的任何一个，点F的个数是个.故答案为：.17．(1)证明见解析(2)【分析】（1）由中位线证得，即可证得∥平面；（2）取中点F，证得平面，再由结合棱锥的体积公式即可求解.【详解】（1）证明：连接．∵点O，E分别为的中点，∴，∵平面平面，∴∥平面；（2）取中点F，连接．∵E为中点，∴为的中位线，∴，且．由菱形的性质知，为边长为2的等边三角形．又平面，∴平面，，点E是的中点，∴，∴．18．(1)证明见解析(2)【分析】（1）取的中点，通过，即可证明平面；（2）利用等积法，即求解即可【详解】（1）取的中点，连接，，在中，，在梯形中，，∴，，∴四边形是平行四边形，∴，而平面，平面，∴平面；（2）∵，，而∴平面，即为三棱锥的高，因为，，所以，又，所以19．(1)证明见解析(2)【分析】（1）证明出平面，平面，再利用面面平行的判定定理可证得结论成立；（2）分析可知异面直线与所成角为或其补角，计算出的三边边长，利用余弦定理可求得结果.【详解】（1）证明：连接，因为四边形为平行四边形，则且，、分别为、的中点，则且，所以，四边形为平行四边形，则且，因为且，且，故四边形为平行四边形，所以，，平面，平面，平面，同理可证且，所以，四边形为平行四边形，所以，，平面，平面，平面，，所以，平面平面.（2）解：，所以，异面直线与所成角为或其补角，在中，，，由余弦定理可得，所以，异面直线与所成角的余弦值为.20．(1)到平面的距离为(2)线段BC的长为2【分析】（1）利用体积法可求点到平面的距离；（2）利用面面垂直，线面垂直得线线垂直，最后利用的面积为即可求得线段BC的长．【详解】（1）解：由直三棱柱的体积为4，可得，设到平面的距离为，由，，，解得．即到平面的距离为；（2）解：连接交于点由直三棱柱，故四边形为正方形，，又平面平面，平面平面，平面，，由直三棱柱知平面，，又，平面，，，，又，解得，则线段BC的长为2.21．(1)证明见解析；(2)证明见解析；(3).【分析】（1）由题可得四边形是平行四边形，然后利用线面平行的判定定理即得；（2）利用线面垂直的判定定理可得平面，进而即得；（3）过点作，由题可得是二面角的平面角，结合条件即得.【详解】（1）由题意可得，在等腰梯形中，，在中，因为，所以，四边形为正方形.在四棱锥中，连接，因为分别是的中点，所以，且，在正方形中，因为是的中点，所以，且，所以，且，∴四边形是平行四边形，，因为平面，平面，所以平面；（2）由（1）知，在中，，因为为的中点，所以，在等腰梯形中，，所以在四棱锥中，，因为， 平面，平面，所以平面，因为平面，所以，又因为，，平面，平面，所以平面；（3）在中，过点作，垂足为，连接，由（2）知平面，平面，所以，因为，平面，平面，所以平面，平面，∴，故是二面角的平面角，由（1）知，在四棱锥中，，设，则，在中，，所以，在中，，故二面角的正切值为.22．(1)证明见解析(2)【分析】（1）由垂直于⊙所在的平面，可得，再由圆的性质可得，则由线面垂直的判定可得平面，则，从而平面，进而由面面垂直的判定可证得结论，（2）过点作∥交于点，则，设点到平面的距离为，利用可求出，然后由可求得结果.【详解】（1）证明：因为垂直于⊙所在的平面，即平面，平面，所以，又为⊙的直径，所以，因为，所以平面，又平面，所以，因为，所以平面，又平面，所以平面平面．（2）因为，，所以，又，所以，由，得,如图，过点作∥交于点，则，可得，又，所以，所以，设点到平面的距离为，由，可得，所以解得，所以当点移动到点时，与平面所成角的正弦值为．23．C【分析】根据题意只要求出棱台的高，即可利用棱台的体积公式求出．【详解】依题意可知棱台的高为(m)，所以增加的水量即为棱台的体积．棱台上底面积，下底面积，∴．故选：C．24．A【分析】根据题意可求出正三棱台上下底面所在圆面的半径，再根据球心距，圆面半径，以及球的半径之间的关系，即可解出球的半径，从而得出球的表面积．【详解】设正三棱台上下底面所在圆面的半径，所以，即，设球心到上下底面的距离分别为，球的半径为，所以，，故或，即或，解得符合题意，所以球的表面积为．故选：A．25．C【分析】设母线长为，甲圆锥底面半径为，乙圆锥底面圆半径为，根据圆锥的侧面积公式可得，再结合圆心角之和可将分别用表示，再利用勾股定理分别求出两圆锥的高，再根据圆锥的体积公式即可得解.【详解】解：设母线长为，甲圆锥底面半径为，乙圆锥底面圆半径为，则，所以，又，则，所以，所以甲圆锥的高，乙圆锥的高，所以.故选：C.26．C【分析】设正四棱锥的高为，由球的截面性质列方程求出正四棱锥的底面边长与高的关系，由此确定正四棱锥体积的取值范围.【详解】∵球的体积为，所以球的半径,[方法一]：导数法设正四棱锥的底面边长为，高为，则，,所以，所以正四棱锥的体积，所以，当时，，当时，，所以当时，正四棱锥的体积取最大值，最大值为，又时，，时，,所以正四棱锥的体积的最小值为，所以该正四棱锥体积的取值范围是.故选：C.[方法二]：基本不等式法由方法一故所以当且仅当取到，当时，得，则当时，球心在正四棱锥高线上，此时，，正四棱锥体积，故该正四棱锥体积的取值范围是27．CD【分析】直接由体积公式计算，连接交于点，连接，由计算出，依次判断选项即可.【详解】设，因为平面，，则，，连接交于点，连接，易得，又平面，平面，则，又，平面，则平面，又，过作于，易得四边形为矩形，则，则，，，则，，，则，则，，，故A、B错误；C、D正确.故选：CD.28．ABD【分析】数形结合，依次对所给选项进行判断即可.【详解】如图，连接、，因为，所以直线与所成的角即为直线与所成的角，因为四边形为正方形，则，故直线与所成的角为，A正确；连接，因为平面，平面，则，因为，，所以平面，又平面，所以，故B正确；连接，设，连接，因为平面，平面，则，因为，，所以平面，所以为直线与平面所成的角，设正方体棱长为，则，，，所以，直线与平面所成的角为，故C错误；因为平面，所以为直线与平面所成的角，易得，故D正确.故选：ABD29．【分析】利用体积公式求出圆锥的高，进一步求出母线长，最终利用侧面积公式求出答案.【详解】∵∴∴∴.故答案为：.30．.【分析】根据已知条件易得，侧面，可得侧面与球面的交线上的点到的距离为，可得侧面与球面的交线是扇形的弧，再根据弧长公式可求得结果.【详解】如图：取的中点为，的中点为，的中点为，因为60°，直四棱柱的棱长均为2，所以△为等边三角形，所以，，又四棱柱为直四棱柱，所以平面，所以，因为，所以侧面，设为侧面与球面的交线上的点，则，因为球的半径为，，所以，所以侧面与球面的交线上的点到的距离为，因为，所以侧面与球面的交线是扇形的弧，因为，所以，所以根据弧长公式可得.故答案为：.【点睛】本题考查了直棱柱的结构特征，考查了直线与平面垂直的判定，考查了立体几何中的轨迹问题，考查了扇形中的弧长公式，属于中档题.31．【分析】先求正六棱柱体积，再求圆柱体积，相减得结果.【详解】正六棱柱体积为圆柱体积为所求几何体体积为故答案为：【点睛】本题考查正六棱柱体积、圆柱体积，考查基本分析求解能力，属基础题. 32．(1)证明详见解析(2)【分析】（1）通过证明平面来证得平面平面.（2）首先判断出三角形的面积最小时点的位置，然后求得到平面的距离，从而求得三棱锥的体积.【详解】（1）由于，是的中点，所以.由于，所以，所以，故，由于，平面，所以平面，由于平面，所以平面平面.（2）[方法一]：判别几何关系依题意，，三角形是等边三角形，所以，由于，所以三角形是等腰直角三角形，所以.，所以，由于，平面，所以平面.由于，所以，由于，所以，所以，所以，由于，所以当最短时，三角形的面积最小过作，垂足为，在中，，解得，所以，所以过作，垂足为，则，所以平面，且，所以，所以.[方法二]：等体积转换，，是边长为2的等边三角形，连接。
人教A版高一数学必修第二册第八章《立体几何初步》单元练习题卷含答案解析 (55)
高一数学必修第二册第八章《立体几何初步》单元练习题卷6（共22题）一、选择题（共10题） 1. 已知 4+(a−2)ii为纯虚数，则实数 a 的值为 ( )A ． 4B ． 2C ． 1D ． −22. 如图，在矩形 OACB 中，E 和 F 分别是边 AC 和 BC 上的点，且满足 AC =3AE ，BC =3BF ，若 OC⃗⃗⃗⃗⃗ =λOE ⃗⃗⃗⃗⃗ +μOF ⃗⃗⃗⃗⃗ ，其中 λ,μ∈R ，则 λ+μ 是A ．83B ．32C ．53D ．13. 棱锥的侧面和底面可以都是 ( ) A ．三角形B ．四边形C ．五边形D ．六边形4. 有下列三个说法：① 两个互相平行的面是正方形，其余各面都是四边形的几何体一定是棱台； ②有两个面平行且相似，其余各面都是梯形的多面体是棱台； ③有两个面互相平行，其余四个面都是等腰梯形的六面体是棱台． 其中正确的有 ( ) A ． 0 个B ． 1 个C ． 2 个D ． 3 个5. 某地区经过一年的新农村建设，农村的经济收入增加了一倍，实现翻番．为更好地了解该地区农村的经济收入变化情况，统计了该地区新农村建设前后农村的经济收入构成比例，得到如下饼图： 则下面结论中不正确的是 ( )A．新农村建设后，种植收入减少B．新农村建设后，其他收入增加了一倍以上C．新农村建设后，养殖收入增加了一倍D．新农村建设后，养殖收入与第三产业收入的总和超过了经济收入的一半6.根据下面给出的2004年至2013年我国二氧化硫年排放量（单位：万吨）柱形图，以下结论中不正确的是( )A．逐年比较，2008年减少二氧化硫排放量的效果最显著B．2007年我国治理二氧化硫排放显现成效C．2006年以来我国二氧化硫年排放量呈减少趋势D．2006年以来我国二氧化硫年排放量与年份正相关7.已知i为虚数单位，下列各式的运算结果为纯虚数的是( )A．i(1+i)B．i(1−i)2C．i2(1+i)2D．i+i2+i3+i48.在下列结论中，正确的是( )A．若两个向量相等，则它们的起点和终点分别重合B．模相等的两个平行向量是相等向量C．若a和b⃗都是单位向量，则a=b⃗D．两个相等向量的模相等9.某书店新进了一批书籍，如表是某月中连续6天的销售情况记录：日期6日7日8日9日10日11日根据上表估计该书店该月（按31天计当日销售量(本)304028443842算）的销售总量是 ( ) A ． 1147 本 B ． 1110 本 C ． 1340 本 D ． 1278 本10. 在 △ABC 中，内角 A ，B ，C 的对边分别为 a ，b ，c ，且 bsin (π−C )−√2ccos (π+B )=0，则tanB = ( ) A ．√22B ． √2C ． −√22D ． −√2二、填空题（共6题）11. A ，B 两种品牌各三种车型 2017 年 7 月的销量环比（与 2017 年 6 月比较）增长率如下表：A 品牌车型A 1A 2A 3环比增长率−7.29%10.47%14.70%B 品牌车型B 1B 2B 3环比增长率−8.49%−28.06%13.25%根据此表中的数据，有如下四个结论：① A 1 车型销量比 B 1 车型销量多；② A 品牌三种车型总销量环比增长率可能大于 14.70%； ③ B 品牌三种车型车总销量环比增长率可能为正；④ A 品牌三种车型总销量环比增长率可能小于B 品牌三种车型总销量环比增长率．其中正确的结论个数是 ．12. 设复数 z 1=x +2i ，z 2=3−yi （x,y ∈R ），若 z 1+z 2=5−6i ，则 z 1−z 2= ．13. 如果两个球的体积之比为 8:27，那么两个球的表面积之比为 ．14. 在复平面内，点 A (−2,1) 对应的复数 z ，则 ∣z +1∣= ．15. 已知点 A (−2,0)，设 B ，C 是圆 O ：x 2+y 2=1 上的两个不同的动点，且向量 OB⃗⃗⃗⃗⃗ =tOA ⃗⃗⃗⃗⃗ +(1−t )OC ⃗⃗⃗⃗⃗ （其中 t 为实数），则 AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AC ⃗⃗⃗⃗⃗ = ．16. 如图，在平面四边形 ABCD 中，AB ⊥BC ，AB =√3，BC =1，△ACD 是等边三角形，则 AC⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 的值为 ．三、解答题（共6题）17. 某鱼苗实验场进行某种淡水鱼的人工孵化试验，按在同一条件下的试验结果，10000 个鱼卵能孵出 8520 尾鱼苗．(1) 求这种鱼卵孵化的频率（经验概率）；(2) 估计 30000 个这种鱼苗能孵化出多少尾鱼苗？ (3) 若要孵出 5000 尾鱼苗，估计需要准备多少个鱼卵？18. 在数学考试中，小明的成绩在 90 分以上的概率是 0.18，在 80∼89 分的概率是 0.51，在70∼79 分的概率是 0.15，在 60∼69 分的概率是 0.09，60 分以下的概率是 0.07，计算： (1) 小明在数学考试中取得 80 分以上成绩的概率； (2) 小明考试及格的概率．19. 从① B =π3，② a =2，③ bcosA +acosB =√3+1 这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并解决相应问题．已知在锐角 △ABC 中，角 A ，B ，C 的对边分别为 a ，b ，c ，△ABC 的面积为 S ，若 4S =b 2+c 2−a 2，b =√6，且 ，求 △ABC 的面积 S 的大小．20. 现有一个底面是菱形的直四棱柱，它的体对角线长为 9 和 15，高是 5，求该直四棱柱的侧面积、表面积．21. 某班抽取 20 名学生周测物理考试成绩（单位：分）的频率分布直方图如下．(1) 求频率分布直方图中 a 的值，并写出众数；(2) 分别求出成绩落在 [50,60) 与 [60,70) 中的学生人数；(3) 从成绩在 [50,70) 的学生中任选 2 人，求这 2 人的成绩都在 [60,70) 中的概率．22. 已知点 O (0,0)，A (1,2)，B (4,5)，且 OP ⃗⃗⃗⃗⃗ =OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +tAB⃗⃗⃗⃗⃗ ． (1) t 为何值时，P 在 x 轴上？P 在 y 轴上？P 在第二象限？(2) 四边形 OABP 能否成为平行四边形？若能，求出相应的 t 值；若不能，说明理由．答案一、选择题（共10题）1. 【答案】B【解析】4+(a−2)ii =−i[4+(a−2)i]−i⋅i=a−2−4i为纯虚数，则实数a满足：a−2=0，解得a=2．【知识点】复数的乘除运算2. 【答案】B【解析】以O为原点，OA为x轴、OB为y轴建立平面直角坐标系．设OA=a，OB=b，则E(a,b3)，F(a3,b)，C(a,b)．由已知，得(a,b)=λ(a,b3)+μ(a3,b)，则有{a=λa+μa3,b=λb3+bμ,解得λ=μ=34，因此λ+μ=32．【知识点】平面向量的分解、平面向量的坐标运算3. 【答案】A【解析】三棱锥的侧面和底面都是三角形．故选A．【知识点】棱锥的结构特征4. 【答案】A【解析】当两个互相平行的正方形全等时，不是棱台，故①中说法错误；②③可用反例去检验，如图（1）（2）所示，故②③中说法错误．故选A．【知识点】棱台的结构特征5. 【答案】A【解析】设建设前经济收入为a，则建设后经济收入为2a，由题图可知：种植收入第三产业收入养殖收入其他收入建设前经济收入0.6a0.06a0.3a0.04a建设后经济收入0.74a0.56a0.6a0.1a据如表可知B，C，D中结论均正确，A中论不正确．【知识点】频率分布直方图6. 【答案】D【解析】由柱形图可知：A，B，C均正确，2006年以来我国二氧化硫年排放量在逐渐减少，所以排放量与年份负相关，所以D不正确．【知识点】频率分布直方图7. 【答案】C【解析】对于A，i(1+i)=i−1不是纯虚数；对于B，i(1−i)2=−2i2=2是实数；对于C，i2(1+i)2=−2i为纯虚数；对于D，i+i2+i3+i4=i−1−i+1=0不是纯虚数．【知识点】复数的乘除运算8. 【答案】D【解析】由平面向量的基本概念可得，D是正确的．【知识点】平面向量的概念与表示9. 【答案】A=37（本）,【解析】从表中6天的销售情况可得，一天的平均销售量为30+40+28+44+38+426该月共31天，故该月的销售总量约为37×31=1147（本）．【知识点】样本数据的数字特征10. 【答案】D【解析】由已知得bsinC+√2ccosB=0，即sinBsinC+√2sinCcosB=0，因为sinC≠0，所以sinB+√2cosB=0，故tanB=−√2．【知识点】正弦定理二、填空题（共6题）11. 【答案】2【知识点】概率的应用12. 【答案】 −1+10i【解析】因为 z 1+z 2=x +2i +(3−yi )=(x +3)+(2−y )i =5−6i (x,y ∈R )， 所以 x =2 且 y =8，所以 z 1−z 2=2+2i −(3−8i )=−1+10i ． 【知识点】复数的加减运算13. 【答案】 4:9【解析】因为 V 1:V 2=8:27=R 13:R 23，所以 R 1:R 2=2:3，所以 S 1:S 2=R 12:R 22=4:9．【知识点】球的表面积与体积14. 【答案】 √2【知识点】复数的几何意义15. 【答案】 3【解析】 OB⃗⃗⃗⃗⃗ =tOA ⃗⃗⃗⃗⃗ +(1−t )OC ⃗⃗⃗⃗⃗ ⇒CB ⃗⃗⃗⃗⃗ =tCA ⃗⃗⃗⃗⃗ ， 所以 A ，B ，C 三点共线，所以设直线 BC ：y =k (x +2)．{x 2+y 2=1,y =k (x +2)⇒(1+k 2)x 2+4k 2x +4k 2−1=0， 设 B (x 1,y 1)，C (x 2,y 2)， 所以 x 1+x 2=−4k 21+k 2，x 1x 2=4k 2−11+k 2．所以AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(x 1+2,y 1)(x 2+2,y 2)=(x 1+2)(x 2+2)+k 2(x 1+2)(x 2+2)=(1+k 2)[x 1x 2+2(x 1+x 2)+4]=(1+k2)⋅(4k 2−11+k 2−8k 21+k 2+4)=3.【知识点】平面向量数量积的坐标运算16. 【答案】 −1【解析】 AB ⊥BC ，AB =√3，BC =1， 所以 AC =2，∠BCA =60∘； 又 △ACD 是等边三角形， 所以 AD =AC =2，AD ⊥AB ， 所以AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +BC ⃗⃗⃗⃗⃗ )⋅(BA ⃗⃗⃗⃗⃗ +AD ⃗⃗⃗⃗⃗ )=AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BA ⃗⃗⃗⃗⃗ +BC ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AD ⃗⃗⃗⃗⃗ =−√3×√3+1×2=−1.【知识点】平面向量的数量积与垂直三、解答题（共6题） 17. 【答案】(1) 0.852．(2) 25560 尾．(3) 约 5869 个．【知识点】频率与概率18. 【答案】(1) 分别记小明的成绩“在 90 分以上”“在 80∼89 分”“在 70∼79 分”“在 60∼69 分”为事件 B ，C ，D ，E ，这四个事件彼此互斥．小明的成绩在 80 分以上的概率是 P (B ∪C )=P (B )+P (C )=0.18+0.51=0.69． (2) 法一：小明考试及格的概率是P (B ∪C ∪D ∪E )=P (B )+P (C )+P (D )+P (E )=0.18+0.51+0.15+0.09=0.93.法二：小明考试不及格的概率是 0.07，又小明考试不及格与及格互为对立事件，故小明考试及格的概率 P =1−0.07=0.93． 【知识点】事件的关系与运算19. 【答案】因为 4S =b 2+c 2−a 2，cosA =b 2+c 2−a 22bc，S =12bcsinA ，所以 2bcsinA =2bccosA ，显然 cosA ≠0， 所以 tanA =1， 又 A ∈(0,π)， 所以 A =π4．若选择① B =π3，由 asinA =bsinB ，得a=bsinAsinB =√6×√22√32=2．又sinC=sin[π−(A+B)]=sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinB=√22×12+√22×√32=√6+√24,所以S=12absinC=3+√32．若选择② a=2，由asinA =bsinB，得sinB=bsinAa=√32，B∈(0,π2)，所以cosB=12．sinC=sin[π−(A+B)]=sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinB=√6+√24.所以S=12absinC=3+√32．若选择③ bcosA+acosB=√3+1，所以acosB=1，即a⋅a 2+c2−62ac=1，所以a2=6+2c−c2，又a2=6+c2−2√6c⋅√22=6+c2−2√3c，所以6+2c−c2=6+c2−2√3c，解得c=√3+1，所以S=12bcsinA=3+√32．【知识点】正弦定理、余弦定理20. 【答案】如图，设底面对角线AC=a，BD=b，交点为O，体对角线A1C=15，B1D=9，所以a2+52=152，b2+52=92，所以a2=200，b2=56．因为该直四棱柱的底面是菱形，所以AB2=(AC2)2+(BD2)2=a2+b24=200+564=64，所以AB=8．所以直四棱柱的侧面积 S 侧=4×8×5=160． 所以直四棱柱的底面积 S 底=12AC ⋅BD =20√7．所以直四棱柱的表面积 S 表=160+2×20√7=160+40√7． 【知识点】棱柱的表面积与体积21. 【答案】(1) 据直方图知组距 =10，由 (2a +3a +6a +7a +2a )×10=1，解得 a =1200=0.005， 众数：75．(2) 成绩落在 [50,60) 中的学生人数为 2×0.005×10×20=2， 成绩落在 [60,70) 中的学生人数为 3×0.005×10×20=3．(3) 记成绩落在 [50,60) 中的 2 人为 A 1，A 2，成绩落在 [60,70) 中的 3 人为 B 1，B 2，B 3， 则从成绩在 [50,70) 的学生中任选 2 人的基本事件共有 10 个：(A 1,A 2)，(A 1,B 1)，(A 1,B 2)，(A 1,B 3)，(A 2,B 1)，(A 2,B 2)，(A 2,B 3)，(B 1,B 2)，(B 1,B 3)，(B 2,B 3)， 记“两人成绩都落在 [60,70)”为事件 C ，则事件 C 包含的基本事件有 3 个：(B 1,B 2)，(B 1,B 3)，(B 2,B 3)， P (C )=310．【知识点】样本数据的数字特征、频率分布直方图、古典概型22. 【答案】(1) OA⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,2)，OB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(4,5)，OP ⃗⃗⃗⃗⃗ =(1+3t,2+3t )． 若 P 在 x 轴上，则 t =−23． 若 P 在 y 轴上，则 t =−13． 若 P 在第二象限，则 −23<t <−13．(2) OA⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,2)，PB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(3−3t,3−3t )． 若 OABP 成平行四边形，则 OA ⃗⃗⃗⃗⃗ =PB⃗⃗⃗⃗⃗ ，即 {3−3t =1,3−3t =2, 此方程无解．故不能． 【知识点】平面向量的坐标运算、平面向量数乘的坐标运算。
第八章 立体几何初步单元检测(提升卷)高一数学新教材单元双测卷(人教A版2019必修第二册)
必修第二册第八章立体几何初步提升卷学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 本卷共22小题，其中单选8小题，多选4小题，填空4小题，解答题6小题，满分150分一、单选题1．一个棱柱是正四棱柱的条件是（）A．底面是正方形，有两个面是矩形的四棱柱B．底面是正方形，两个侧面垂直于底面的四棱柱C．底面是菱形，且有个顶点处的两条棱互相垂直的四棱柱D．底面是正方形，每个侧面都是全等的矩形的四棱柱【答案】D【分析】根据正四棱柱的概念，结合反例，即可得答案；【详解】选项A、B中，两个面为相对侧面时，四棱柱不一定是直四棱柱，C中底面不是正方形，故排除选项A、B、C，故选：D.2．如图是一个正方体的平面展开图，在这个正方体中BM ED①//EF CD②//③CN与BM为异面直线④DM BN以上四个命题中，正确的序号是（）A．①②③B．②④C．③④D．②③④【答案】D【分析】作出直观图,根据正方体的结构特征进行判断.【详解】作出正方体得到直观图如图所示:由直观图可知,BM 与DE 为互相垂直的异面直线,故①不正确;////EF AB CD ,故②正确;CN 与BM 为异面直线,故③正确;由正方体性质可知BN ⊥平面DEM ,故BN DM ⊥,故④正确.故选:D【点睛】本题考查了正方体的结构特征,直线,平面的平行于垂直,属于基础题.3．设1l 、2l 、3l 是三条不同的直线，α、β、γ是三个不同的平面，则下列命题是真命题的是（ ） A ．若1//l α，2//l α，则12l l //B ．若1l α⊥，2l α⊥，则12l l ⊥C ．若12//l l ，1l α⊂，2l β⊂，3l αβ⋂=，则13//l lD ．若αβ⊥，1l αγ=，2l βγ⋂=，则12l l //【答案】C【分析】利用已知条件判断1l 与2l 的位置关系，可判断AD 选项的正误；利用线面垂直的性质定理可判断B 选项的正误；利用线面平行的性质定理可判断C 选项的正误.【详解】对于A 选项，若1//l α，2//l α，则1l 与2l 平行、相交或异面，A 选项错误；对于B 选项，若1l α⊥，2l α⊥，由线面垂直的性质定理可得12//l l ，B 选项错误；对于C 选项，12//l l ，1l α⊂，2l β⊂，α、β不重合，则1l β⊄，1//l β∴，1l α⊂，3l αβ⋂=，13//l l ∴，C 选项正确；对于D 选项，若αβ⊥，1l αγ=，2l βγ⋂=，则1l 与2l 相交或平行，D 选项错误.故选：C.【点睛】方法点睛：对于空间线面位置关系的组合判断题，解决的方法是“推理论证加反例推断”，即正确的结论需要根据空间线面位置关系的相关定理进行证明，错误的结论需要通过举出反例说明其错误，在解题中可以以常见的空间几何体（如正方体、正四面体等）为模型进行推理或者反驳． 4．在直三棱柱111ABC A B C -中，16AA AB ==，8BC =，10AC =，则该三棱柱内能放置的最大球的表面积是（ ）A ．16πB ．24πC ．36πD ．64π 【答案】A【分析】先由题意可得球的半径为底面三角形内切圆的半径r ，易得2r ，又1r AA <，可得该三棱柱内能放置的最大球半径为2，最后由球的表面积计算公式计算即可.【详解】由题意，球的半径为底面三角形内切圆的半径r ，∵底面三角形的边长分别为6、8、10，∴底面三角形为直角三角形， 6810222AB BC AC r +-+-===， 又∵16AA =，26<，∴该三棱柱内能放置的最大球半径为2，此时2244216S r πππ==⨯=表面积.故选：A .【点睛】关键点睛：解题关键是得出所求球的半径为直三棱柱底面三角形内切圆的半径r ，继而进行分析计算. 5．日晷是中国古代用来测定时间的仪器，利用与晷面垂直的晷针投射到晷面的影子来测定时间．把地球看成一个球(球心记为O )，地球上一点A 的纬度是指OA 与地球赤道所在平面所成角，点A 处的水平面是指过点A 且与OA 垂直的平面.在点A 处放置一个日晷，若晷面与赤道所在平面平行，点A 处的纬度为北纬40°，则晷针与点A 处的水平面所成角为（ ）A ．20°B ．40°C ．50°D ．90°【答案】B【分析】画出过球心和晷针所确定的平面截地球和晷面的截面图，根据面面平行的性质定理和线面垂直的定义判定有关截线的关系，根据点A 处的纬度，计算出晷针与点A 处的水平面所成角.【详解】画出截面图如下图所示，其中CD 是赤道所在平面的截线；l 是点A 处的水平面的截线，依题意可知OA l ⊥；AB 是晷针所在直线.m 是晷面的截线，依题意依题意,晷面和赤道平面平行，晷针与晷面垂直，根据平面平行的性质定理可得可知//m CD 、根据线面垂直的定义可得AB m ⊥..由于40,//AOC m CD ∠=︒，所以40OAG AOC ∠=∠=︒，由于90OAG GAE BAE GAE ∠+∠=∠+∠=︒，所以40BAE OAG ∠=∠=︒，也即晷针与点A 处的水平面所成角为40BAE ∠=︒.故选：B【点睛】本小题主要考查中国古代数学文化，考查球体有关计算，涉及平面平行，线面垂直的性质，属于中档题. 6．《九章算术》卷五《商功》中描述几何体“阳马”为“底面为矩形，一棱垂直于底面的四棱锥”.现有阳马P ABCD -(如图)，PA ⊥平面ABCD .1==PA AB ，3AD =，点E ，F 分别在AB ，BC 上，当空间四边形PEFD 的周长最小时，三棱锥P ADF -外接球的表面积为（ ）A ．9πB ．11πC ．12πD ．16π【答案】B【分析】 把平面PAB 展开到与平面ABCD 共面的P AB '的位置，根据图象可得当P '，E ，F ，D 四点共线时，空间四边形PEFD 的周长最小，进而可求得各个边长，根据正弦定理，可求得AFD 外接圆的半径r ，在三棱锥P ADF -中，可确定外接球球心的位置，根据勾股定理，可求得外接球半径，即可得答案.【详解】把平面PAB 展开到与平面ABCD 共面的P AB '的位置(如下图)，延长DC 到D ，使得1CD '=，则DF D F '=，因为PD 的长度为定值，故只需求PE EF FD P E EF FD ''++=++最小，只需P '，E ，F ，D 四点共线，因为4P D '=，2DD '=，CF CD P D DD '=''，所以2CF =，所以2AF =，5DF =，45DAF ∠=︒，由正弦定理得，AFD 外接圆的半径15102222r =⨯=. 设ADF 外接圆的圆心为O '，则三棱锥P ADF -外接球的球心O 一定在过O '且与平面ADF 垂直的直线上，因为O 到点P ，A 的距离相等，所以22101112442PA OA r ⎛⎫=+=+= ⎪⎝⎭， 此即为三棱锥P ADF -外接球的半径， 所以该球的表面积为2114π11π2⎛⎫⨯= ⎪ ⎪⎝⎭. 故选：B.【点睛】难点在于，需将平面PAB 展开到与平面ABCD 共面的位置，当P '，E ，F ，D 四点共线时，空间四边形PEFD 的周长最小，求得各个边长，进而再结合正弦定理，勾股定理求解，考查数形结合，分析计算的能力，属中档题.7．已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为2，AB ，AD 中点分别为E ，F ，若过EF 的平面截该正方体所得的截面是一个五边形，则该五边形周长的最大值为（ ）A ．2213+B ．213+C ．3225+D ．325+【答案】A【分析】 将面11BCC B 展开与面11ABB A 处于同一平面要使1l E QC C Q FH H +++最大,则沿面1C QEFH 切才能保证五点共面，展开图计算求解即可.【详解】将面11BCC B 展开与面11ABB A 处于同一平面要使1l E QC C Q FH H +++最大,则沿面1C QEFH 切才能保证五点共面，在1Rt ECC △中,112,12CC BC BE AB ====,此时()22122113EQ QC +=++=,又113FH HC EQ QC +=+=.∴周长()122213EF EQ QC =++=+故选:A8．（chuhong ），中国古代算术中的一种几何形体，《九章算术》中记载“刍甍者，下有褒有广，而上有褒无广．刍，草也．甍，屋盖也．”翻译为“底面有长有宽为矩形，顶部只有长没有宽为一条棱，刍甍字面意思为茅草屋顶”，如图为一“刍甍”的五面体，其中ABCD 为矩形，ADE 和BCF △都是等腰三角形，2AE ED BF CF AD ====，//EF AB ，若3AB EF =，且2AD EF =，则异面直线AE 与CF 所成角的大小为（ ）A ．6πB ．4πC ．3πD ．2π 【答案】C【分析】作平行四边形AGFE ，得到//AE GF ，异面直线AE 与CF 所成角为GFC ∠，求出GFC 的边长求角即可.【详解】设1EF =，在AB 上取点G 满足1AG EF ==，故//AG EF 且AG EF =，故四边形AGFE 是平行四边形，故//AE GF异面直线AE 与CF 所成角为GFC ∠，22GF CF == 22222222CG GB BC =+=+=故GFC 为等边三角形故3GFC π∠=故选：C【点睛】平移线段法是求异面直线所成角的常用方法，其基本思路是通过平移直线，把异面直线的问题化归为共面直线问题来解决，具体步骤如下：①平移：平移异面直线中的一条或两条，作出异面直线所成的角；②认定：证明作出的角就是所求异面直线所成的角；③计算：求该角的值，常利用解三角形；④取舍：由异面直线所成的角的取值范围是0,2π⎛⎤ ⎥⎝⎦，当所作的角为钝角时，应取它的补角作为两条异面直线所成的角．二、多选题9．如图，在透明塑料制成的长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1容器内灌进一些水，将容器底面一边BC 固定于地面上，再将容器倾斜，随着倾斜度的不同，有下列四个说法中正确的是（ ）A ．水的部分始终呈棱柱状；B ．水面四边形EFGH 的面积不改变；C ．棱A 1D 1始终与水面EFGH 平行；D ．当E ∈AA 1时，AE ＋BF 是定值．【答案】ACD【分析】从棱柱的特征平面可判断A ；由水是四棱柱或者五棱柱时或者三棱柱时可判断B ；由11//B C 平面EFGH ，棱1111//B C A D 可判断C ；由体积是定值，高BC 为定值，则底面积EABF 为定值，可判断D.【详解】由于BC 固定，所以倾斜的过程中，始终有AD //EH //FG //BC ，且平面AEFB //平面DHGC ，故水的部分始终呈现棱柱状（三棱柱、四棱柱、五棱柱）；当水是四棱柱或者五棱柱时，水面面积与上下底面面积相等，当水是三棱柱时，则水面四边形EFGH 的面积可能变大，也可能变小，水面的面积改变；BC 为棱柱的一条侧棱，随着倾斜度的不同， 但水的部分始终呈棱柱状，且棱11//B C 平面EFGH ，棱1111//B C A D ，∴11//A D 平面EFGH ；∵体积是定值，高BC 为定值，则底面积EABF 为定值，即EA BF +为定值，综上ACD 正确．故选：ACD.【点睛】方法点睛：本题考查了线面平行的判定、棱柱的结构特征，对于证明线线关系，线面关系，面面关系等方面的问题，必须在熟练掌握有关的定理和性质的前提下，再利用已知来进行证明，对于棱柱的结构特征要非常熟悉.10．如图，在棱长为a 的正方体1111ABCD A B C D -中，P 为11A D 的中点，Q 为11A B 上任意一点，E 、F为CD 上两点，且EF 的长为定值，则下面四个值中是定值的是（ ）A ．点P 到平面QEF 的距离B ．直线PQ 与平面PEF 所成的角C ．三棱锥P QEF -的体积D ．QEF △的面积【答案】ACD【分析】 由Q 为11A B 上任意一点，知平面QEF 是确定，从而判断A ，而11//A B CD ，因此11A B 与平面PCD 平行，根据直线与平面所成的角的定义可判断B ，由棱锥体积公式和三角形面积公式可判断CD ．【详解】平面QEF 就是平面11A B CD ，是确定的平面，因此点P 到平面QEF 的距离为定值，A 正确； 平面PEF 即平面PCD ，而Q 在直线11A B 上，11//A B CD ，因此11A B 与平面PCD 平行，Q 到平面PEF 的距离为定值，但Q 运动时，PQ 的长度在变化，因此直线PQ 与平面PEF 所成的角也在变化，B 错误； P 点到直线CD 的距离是确定，而EF 的长度不变，因此PEF S △为定值，又Q 到平面PEF 的距离为定值，从而三棱锥P QEF -的体积为定值，C 正确；11//A B CD ，Q 到EF 的距离为定值，EF 的长度不变，∴QEF △的面积为定值，D 正确．故选：ACD ．【点睛】关键点点睛：本题考查点到平面的距离，直线与平面所成的角，棱锥的体积等知识，解题关键是抓住11//A B CD ，由此得平面QEF 是确定的平面，再结合定点和定长，从而确定各选项中的定值． 11．如图所示，有一正四面体形状的木块，其棱长为a ，点P 是ACD △的中心.劳动课上，需过点P 将该木块锯开，并使得截面平行于棱AB 和CD ，则下列关于截面的说法中正确的是（ ）A ．截面与侧面ABC 的交线平行于侧面ABDB ．截面是一个三角形C ．截面是一个四边形D ．截面的面积为24a【答案】AC 【分析】先作出符合题意的截面，分别取BC 、AC 、BD 、AD 的三等分点E 、M （靠近C 点），F 、N （靠近D 点），四边形EMNF 是平行四边形，即为所作截面，即可逐一判断四个选项的正误. 【详解】因为正四面体的四个面都是等边三角形， 点P 是ACD △的中心，所以P 位于CD 中线的23处， 分别取BC 、AC 、BD 、AD 的三等分点E 、M （靠近C 点），F 、N （靠近D 点）， 则//EM AB ，//EF CD ，且截面EMNF 经过点P ，满足题意， 因为//EM FN 且=EM FN ，所以四边形EMNF 是平行四边形， 平面EMNF ⋂平面ABC EM =，//EM FN ，NF ⊂平面ABD ， 所以//EM 平面ABD ，所以选项A 正确；截面是一个四边形，故选项B 不正确；选项C 正确；四边形EMNF 是边长为23a 的菱形，所以面积不是24a ，故选项D 不正确，故选：AC 【点睛】本题主要考查了线面平行判断的应用以及空间几何体的截面图形，属于中档题12．如图所示，在棱长为1的正方体1111—ABCD A B C D 中，M ，N 分别为棱11A D ，1DD 的中点，则以下四个结论正确的是（ ）A ．1//BC MN B ．1B C ⊥平面1MNC C ．A 到直线MN 的距离为324D ．过MN 作该正方体外接球的截面，所得截面的面积的最小值为38π 【答案】ACD 【分析】由11//A D B C 可得判断AB ，利用11AD A D ⊥，1AD MN ⊥，求出距离可判断C ，由对称性得过MN 作该正方体外接球的截面，所得截面的面积的最小的圆是以MN 所在弦为直径的圆，圆心为MN 中点F ，求出圆面积断D ． 【详解】正方体中，11//A D B C ，而M ，N 分别为棱11A D ，1DD 的中点，则1//MN A D ，所以1//B C MN ，A 正确，B 错误；设1AD 与1,A D MN 分别交于点,E F ，则11AD A D ⊥，1AD MN ⊥， 由M ，N 分别为棱11A D ，1DD 的中点，知F 是1ED 中点，133244AF AD ==，C 正确；正方体外接球球心是正方体对角线交点O ，由对称性知过MN 作该正方体外接球的截面，所得截面的面积最小的圆是以MN 所在的弦为直径的截面圆，即截面圆圆心为F ，13OD =，124DF =，11126cos 3AD OD F BD ∠===， 222111112cos OF D F D O D F D OFD O =+-⋅∠23236321648=+-⨯⨯⨯=， 截面圆半径为r ，则2221333488r OD OF =-=-=，面积为238S r ππ==，D 正确． 故选：ACD ．【点睛】关键点点睛：本题考查正方体中的平行与垂直，考查球的截面圆问题．特殊的几何图形如正方体、正四面体等几何体中有许多直线、平面间的平行与垂直关系，我们必须掌握，并能应用，在判断D 时，利用正方体的对称性是解题的关键．这样可得到面积最小的截面圆的直径是MN 所在的弦，从而求得半径长．三、填空题13．如图，矩形O A B C ''''水平放置的一个平面图形OABC 的直观图，其中6O A ''=，3O C ''=，//B C x '''轴，则原平面图形OABC 的面积为______.【答案】362 【分析】还原图形后可知原图形的高是直观图中矩形高的22底不变，由此可得面积比，利用直观图的面积求得原图形的面积.【详解】设B C ''与y '轴交于点D ，还原后BC 与y 轴交于点DO D ''在y '轴上 ∴OD 在y 轴上且2OD O D ''=，可还原图形如下：OD ∴为还原后的平行四边形OABC 的高 222OD O D O C ''''==，OA O A ''=∴原平面图形OABC 的面积S 为矩形O A B C ''''的面积S '的2222222263362S S O A O C '''''∴==⋅=⨯=故答案为：362【点睛】本题考查根据直观图计算原图形的面积的问题，关键是能够通过高的比例关系得到直观图面积与原图形面积的比例关系，进而求得结果.14．中国南北朝时期，祖冲之与他的儿子祖暅通过对几何体体积的研究，早于西方1100多年，得出一个原理：“幂势既同，则积不容异”，“幂”是面积，“势”是高.也就是说：夹在两个平行平面间的两个几何体，被平行于这两个平行平面的任何平面所截，如果截得两个截面的面积总相等，那么这两个几何体的体积相等.上述原理被称为祖暅原理.现有水平放置的三棱锥和圆锥各一个，用任何一个平行于底面的平面去截它们时，所截得的两个截面面积都相等，若圆锥的侧面展开图是半径为4的半圆，根据祖暅原理可知这个三棱锥的体积为______. 83π【分析】根据圆锥侧面积展开图是半径为4的半圆，求得圆锥底面半径，进一步求圆锥的高，计算出圆锥的体积，由此求出三棱锥的体积. 【详解】设圆锥的底面半径为r ，则12242r ππ=⨯⨯，解得2r ，圆锥的高为224223h =-=，所以圆锥的体积即为三棱锥的体积为218322333V ππ=⨯⨯=. 故答案为：833π. 15．早期的毕达哥拉斯学派学者注意到：用等边三角形或正方形为表面可构成四种规则的立体图形，即正四面体、正六面体、正八面体和正二十面体，它们的各个面和多面角都全等．如图，正二十面体是由20个等边三角形组成的正多面体，共有12个顶点，30条棱，20个面，是五个柏拉图多面体之一．如果把sin36︒按35计算，则该正二十面体的表面积与该正二十面体的外接球表面积之比等于___________．【答案】336π【分析】可得正二十面体的外接球即为上方正五棱锥的外接球，设外接球半径为R ，正五边形的外接圆半径为r ，正二十面体的棱长为l ，可得56l r =，311R =，即可表示出外接球的表面积和正二十面体的表面积，得出答案. 【详解】由图知正二十面体的外接球即为上方正五棱锥的外接球，设外接球半径为R ，正五边形的外接圆半径为r ，正二十面体的棱长为l ，则3sin 3652lr =︒=，得56lr =， 所以正五棱锥的顶点到底面的距离是22225116l h l r l ⎛⎫=-=-= ⎪⎝⎭，所以222()R r R h =+-，即22251166l R R ⎛⎫⎛⎫=+- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，解得311R =．所以该正二十面体的外接球表面积为222311364411S R l l πππ⎛⎫==⨯= ⎪ ⎪⎝⎭球，而该正二十面体的表面积是2120sin 60532S l l l =⨯⨯⨯⨯︒=正二十面体， 所以该正二十面体的表面积与该正二十面体的外接球表面积之比等于55336π． 故答案为：553. 【点睛】本题考查几何体的外接球问题，解题的关键是将正二十面体的外接球等价于上方正五棱锥的外接球，表示出半径.16．如图，已知边长为1的正方形ABCD 与正方形BCFE 所在平面互相垂直，P 为EF 的中点，Q 为线段FC 上的动点，当三棱锥P ABQ -的体积最大时，三棱锥P ABQ -的外接球的表面积为______.【答案】4116π 【分析】由题意知三棱锥P ABQ -的体积最大时，点Q 与点C 重合，问题转化为求三棱锥P ABC -外接球的表面积，然后，利用勾股定理求出外接球半径R ，进而可求解 【详解】如图，由题意知三棱锥P ABQ -的体积最大时，点Q 与点C 重合，即求三棱锥P ABC -外接球的表面积，因为正方形ABCD 与正方形BCFE 的边长均为1，点P 为EF 的中点，所以1AB BC ==，2AC =，5BP PC ==过点P 作PG BC ⊥，垂足为G ，由正方形ABCD 与正方形BCFE 所在平面互相垂直，得PG ⊥平面ABC .设三棱锥P ABC -外接球的球心为O ，AC 的中点为1O ，连接1OO ，则1OO ⊥平面ABC .延长1OO 到点H ，使1O H PG =.连接,,PH OP OA ，设1OO x =，则1OH x =-，()222221122x x ⎛⎛⎫+=+- ⎪ ⎝⎭⎝⎭，解得38x =，设三棱锥P ABC -外接球的半径为R ，则2221314128264R x ⎛⎫=+=+=⎪⎝⎭.故所求表面积24141446416S R πππ==⨯= 故答案为：4116π 【点睛】关键点睛：三棱锥的体积与底面积和高有关，若底面面积不变，高增大时，体积增大；若高不变，底面面积增大时，体积增大，本题中，点A 到平面PBQ 的距离不变，当三角形PBQ 的面积最大时，三棱锥P ABQ -的体积取最大值，另外求球的半径，可以根据题意先确定出球心的位置，然后可在直角三角形中表示球的半径，此类问题考查空间想象能力和运算求解能力，难度比较大.四、解答题17．如图，在三棱柱111ABC A B C -中，平面11A ABB ⊥平面ABC ，AB BC ⊥，114===B B AB AB ，3BC =，D 为AC 的中点．（1）求证：1//AB 平面1BC D ； （2）求三棱锥11-B A CB 体积． 【答案】（1）证明见解析；（2）3【分析】（1）设1B C 与1C B 交于点O ，连接OD ，得1//OD AB ，可证得线面平行；（2）设1B A 与1A B 交于点O '，证明1'B O 是三棱锥11-B A CB 的高，由体积公式可得． 【详解】（1）证明：设1B C 与1C B 交于点O ，连接OD ， 在三棱柱111ABC A B C -中，侧面11B C CB 是平行四边形， 因为对角线1B C 与1C B 交于点O ，所以O 为1B C 的中点， 因为D 为AC 的中点，所以1//OD AB 因为OD ⊂平面1BC D ，1AB ⊄平面1BC D ， 所以1//AB 平面1BC D ；（2）设1B A 与1A B 交于点O '，在三棱柱111ABC A B C -中，侧面11A ABB 是平行四边形， 因为114===B B AB AB ，所以侧面11A ABB 是菱形，1322443A B BO '===， 因为1B A ，1A B 为菱形11A ABB 的对角线，所以11B A A B ⊥因为平面11A ABB ⊥平面ABC ，平面11A ABB ⋂平面ABC AB =，AB BC ⊥，BC ⊂平面ABC ，所以BC ⊥平面11A ABB ，因为11,⊂A B B A 平面11A ABB ，所以1⊥BC B A ，1BC A B ⊥ 因为1BC A B B ⋂=，1,⊂BC A B 平面ABC ，1B A ⊥平面1A CB 所以三棱锥11-B A CB 的高为1'B O ， 所以三棱锥11-B A CB 的体积11111143344332212V BA BC B A =⨯⨯⨯⨯=⨯⨯= 【点睛】思路点睛：本题考查证明线面平行，考查求三棱锥的体积．证明线面平行的方法是利用中位线定理得线线平行，然后根据线面平行的判定定理得出结论．求棱锥的体积的方法是棱锥体积公式，找到棱锥的高，求出底面积即可得体积．18．如图，在直角梯形ABCD 中，//AB DC ，90BAD ∠=︒，4AB =，2AD =，3DC =，点E 在CD 上，且2DE =，将ADE 沿AE 折起，使得平面ADE ⊥平面ABCE (如图)，G 为AE 中点.（1）求证：DG ⊥平面ABCE ； （2）求四棱锥D ABCE -的体积；（3）在线段BD 上是否存在点P ，使得//CP 平面ADE ？若存在，求BPBD的值；若不存在，请说明理由.【答案】（1）证明见解析；（2）523；（3）存在，34BP BD = 【分析】（1）证明DG AE ⊥，再根据面面垂直的性质得出DG ⊥平面ABCE ； （2）分别计算DG 和梯形ABCE 的面积，即可得出棱锥的体积；（3）过点C 作//CF AE 交AB 于点F ，过点F 作//FP AD 交DB 于点P ，连接PC ，可证明//PCF 平面ADE ，故//CP 平面ADE ，根据//PF AD 计算BPBD的值. 【详解】（1）因为G 为AE 中点，2AD DE ==， 所以DG AE ⊥，因为平面ADE ⊥平面ABCE ， 平面ADE平面ABCE AE =，DG ⊂平面ADE ，所以DG ⊥平面ABCE ； （2）在直角三角形ADE 中，2AD DE ==，22AE ∴=，122DG AE ∴== 所以四棱锥D ABCE -的体积为()111521422332D ABCE ABCE V S DG -=⋅=⨯⨯+⨯=梯形； （3）如图，过点C 作//CF AE 交AB 于点F ，过点F 作//FP AD 交DB 于点P ，连接PC ， 因为//CF AE ，AE ⊂平面ADE ，CF ⊄平面ADE ， 所以//CF 平面ADE ， 同理//PF 平面ADE ， 又因为CF PF F ⋂=， 所以平面//PCF 平面ADE ， 因为CP ⊂平面CFP ， 所以//CP 平面ADE ，所以BD 上存在点P ，使得//CP 平面ADE ，//AE CF ，//AF CE∴四边形AECF 是平行四边形，1AF CE ∴==， 3FB ∴=，又//PF AD ，34BP BF BD AB ∴==. 19．在四棱锥P -ABCD 中，侧面PAD ⊥ 底面ABCD ，底面ABCD 为直角梯形，//BC AD ，∠ADC =90°，BC =CD =12AD =1，PA =PD ，E ，F 分别为AD ，PC 的中点.（1）求证：//PA 平面BEF ；（2）若PC 与AB 所成角为45°，求二面角F -BE -A 的余弦值.【答案】（1）证明见解析；（2）33-. 【分析】（1）连接AC 交BE 于O ，并连接FO ，根据条件可证//OF PA ，从而可证明结论.（2）由ABCE 为平行四边形可得//EC AB ，PCE ∠为PC 与AB 所成角，即45PCE ∠=︒，又由条件可得PE ABCD ⊥平面，可得2PE EC ==，取PD 中点M ，连,ME MA MF ，，可得MEA ∠为F BE A --的平面角，可得答案.【详解】（1）证明：连接AC 交BE 于O ，并连接FO ，1,2BC AD BC AD =∥，E 为AD 中点，∴//AE BC ，且AE =BC . ∴四边形ABCE 为平行四边形，∴O 为AC 中点， 又F 为AD 中点，//OF PA ∴，OF ⊂平面,BEF PA ⊄平面BEF ，//PA ∴平面BEF .（2）由BCDE 为正方形可得22EC BC ==由ABCE 为平行四边形可得//EC AB .PCE ∴∠为PC 与AB 所成角，即45PCE ∠=︒.PA PD =E 为AD 中点,所以PE AD ⊥.侧面PAD ⊥底面,ABCD 侧面PAD底面,ABCD AD PE =⊂平面PAD ，PE ∴⊥平面ABCD ，PE EC ∴⊥，2PE EC ∴==.取PD 中点M ，连,ME MA MF ，，由M F ，，分别为,PD PC 的中点，所以//,MF CD 又//CD BE ，所以//MF BE ,所以,,,B E M F 四点共面. 因为平面PAD ⊥平面ABCD ，且平面PAD平面,ABCD AD BE AD =⊥，BE ∴⊥平面PAD ，,EM AE ⊂平面PAD所以,BE AE BE EM ⊥⊥,则MEA ∠为F BE A --的平面角.又311,1,EM AE AM ===，3cos MEA ∴∠=-. 所以二面角F BE A --的余弦值为3-. 【点睛】本题考查证明线面平行和求二面角的平面角，解答本题的关键是取PD 中点M ，连,ME MA MF ，，证明出,BE AE BE EM ⊥⊥,得到MEA ∠为F BE A --的平面角，属于中档题.20．如图所示，已知平行四边形ABCD 和矩形ACEF 所在平面互相垂直，1AB =，2AD =，ADC 60∠=，1AF =，M 是线段EF 的中点.（1）求证：AC BF ⊥；（2）求直线AD 与平面BDF 所成角的余弦值；（3）设点P 为一动点，若点P 从M 出发，沿棱按照→→M E C 的路线运动到点C ，求这一过程中形成的三棱锥P BFD -的体积的最小值.【答案】（1）证明见解析；（2；（3.【分析】（1）利用余弦定理求出AC ，利用勾股定理可得出AB AC ⊥，由已知可得出AF AC ⊥，利用线面垂直的判定定理可得出AC ⊥平面ABF ，由此可得出AC BF ⊥；（2）设点A 在平面BDF 内的射影为点O ，连接DO ，可得出ADO ∠为直线AD 与平面BDF 所成角，利用等体积法计算出AO ，可求得sin ADO ∠，再利用同角三角函数的基本关系可求得直线AD 与平面BDF 所成角的余弦值；（3）设AC 与BD 相交于N ，连接FN 、CM ，推导出//FN CM ，可得出//CM 平面BDF ，结合图形可知，当点P 在M 或C 时，三棱锥P BFD -的体积最小，可得()min P BFD C BFD F BCD V V V ---==，利用锥体体积公式可求得结果. 【详解】（1）在平行四边形ABCD 中，ADC 60∠=，1CD AB ==，2AD =，由余弦定理可得2222cos 3AC AD CD AD CD ADC =+-⋅∠=，AC ∴=2BC AD ==，222AB AC BC ∴+=，90BAC ∴∠=，AB AC ∴⊥，因为四边形ACEF 为矩形，则AF AC ⊥，AB AF A =，AC ∴⊥平面ABF ，BF ⊂平面ABF ，所以AC BF ⊥；（2）在ABD △中，1AB =，2AD =，180120BAD ADC ∠=-∠=， 由余弦定理可得2222cos 7BD AB AD AB AD BAD =+-⋅∠=，AB AC ⊥，平面ABCD ⊥平面ACEF ，平面ABCD 平面ACEF AC =，AB 平面ABCD ，AB ∴⊥平面ACEF ，AF ⊂平面ACEF ，AB AF ∴⊥，则BF == AF AC ⊥，AB AC A ⋂=，AF ∴⊥平面ABCD ，AD ⊂平面ABCD ，AD AF ∴⊥，DF ∴=，222BF DF BD ∴+=，由勾股定理的逆定理知90BFD ∠=，11022BDF S BF DF ∴=⋅=△， 设点A 在平面BFD内的射影为O ，连接DO ，则ADO ∠为直线AD 与平面BDF 所成角，132ABD ABC S S AB AC ==⋅=△△， 由A BDF F ABD V V --=，可得1133BDF ABD AO S AF S ⋅=⋅△△，可得313021010ABD BDFAF S AO S ⨯⋅===△△，又2AD =，30130sin 2AO ADO AD ∠==⨯=，2370cos 1sin ADO ADO ∴∠=-∠=， 因此，直线AD 与平面BDF 所成角的余弦值为37020； （3）设AC 与BD 相交于N ，连接FN 、CM ，因为四边形ABCD 为平行四边形，且AC BD N ⋂=，则N 为AC 的中点，//AC EF 且AC EF =，M 为EF 的中点，//CN FM ∴且CN FM =，所以，四边形CMFN 为平行四边形，则//CM FN ，FN ⊂平面BDF ，CM ⊄平面BDF ，//CM ∴平面BDF ，由图可知，当点P 在M 或C 时，三棱锥P BFD -的体积最小，()min 11321sin120132P BFD C BFD F BCD V V V ---===⋅⋅⋅⋅⋅=. 【点睛】方法点睛：计算线面角，一般有如下几种方法：（1）利用面面垂直的性质定理，得到线面垂直，进而确定线面角的垂足，明确斜线在平面内的射影，即可确定线面角；（2）在构成线面角的直角三角形中，可利用等体积法求解垂线段的长度h ，从而不必作出线面角，则线面角θ满足sin hlθ=（l 为斜线段长），进而可求得线面角； （3）建立空间直角坐标系，利用向量法求解，设a 为直线l 的方向向量，n 为平面的法向量，则线面角θ的正弦值为sin cos ,a n θ=<>.21．已知四棱锥P ABCD -的底面是菱形，60,BCD PD AD ∠=︒⊥，点E 是BC 边的中点．（Ⅰ）求证：AD ⊥平面PDE ；（Ⅱ）若二面角P AD C --的大小等于60︒，且34,3AB PD == ①点P 到平面ABCD 的距离；②求直线PB 与平面ABCD 所成角的大小． 【答案】（Ⅰ）证明见解析；（Ⅱ）①4，②3π. 【分析】（Ⅰ）连接BD ，点E 是BC 边的中点，得出DE BC ⊥，DE AD ⊥再由DP AD ⊥，得出结果； （Ⅱ）DE AD ⊥，PD AD ⊥，PDE ∠为二面角P AD C --的平面角，60PDE ∠=︒，过P 在平面PDE 内做PK DE ⊥于K ，易证PK ⊥面ABCD ，PK 为点到面的距离，PBK ∠即为线面角. 【详解】（Ⅰ）连接BD ，底面ABCD 是菱形，∠BDC =60°， ∴△BCD 是正三角形．∵点E 是BC 边的中点，∴DE ⊥BC ，∵AD ∥BC ，∴DE ⊥AD ．∵DP ⊥AD ，DP ∩AD =D ， ∴AD ⊥平面PDE ；（Ⅱ）①∵DE ⊥AD ，PD ⊥AD ，∴PDE ∠为二面角P -AD -C 的平面角，∴60PDE ∠=︒， 过P 在平面PDE 内做PK DE ⊥于K ，由（Ⅰ）易AD PK ⊥． ∴PK ⊥面ABCD ． ∵83PD =∴43DK =，4PK =， 即点P 到平面ABCD 的距离是4． ②AB =4，∴23DE =∴23DK DE =，∴K 为BCD △重心． 连接BK ，∵BCD △为正三角形，所以BK 为BP 在面ABCD 内的射影． ∴PB ⊥AB ，PBK ∠为直线PB 与平面ABCD 所成角，RT PKB △中，tan 3PK PK PKB KB DK ∠===3PKB π∠=， 直线PB 与平面ABCD 所成角的大小为3π.【点睛】求直线与平面所成的角的一般步骤：①找直线与平面所成的角，即通过找直线在平面上的射影来完成； ②计算，要把直线与平面所成的角转化到一个三角形中求解．22．北京大兴国际机场的显著特点之一是各种弯曲空间的运用．刻画空间的弯曲性是几何研究的重要内容．用曲率刻画空间弯曲性，规定：多面体顶点的曲率等于2π与多面体在该点的面角之和的差（多面体的面的内角叫做多面体的面角，角度用弧度制），多面体面上非顶点的曲率均为零，多面体的总曲率等于该多面体各顶点的曲率之和．例如：正四面体在每个顶点有3个面角，每个面角是3π，所以正四面体在各顶点的曲率为233πππ-⨯=，故其总曲率为4π．。
立体几何第二章空间点线面的位置关系单元测试题(含详细答案解析)
第二章综合素能检测本试卷分第Ⅰ卷（选择题)和第Ⅱ卷(非选择题）两部分．满分150分．考试时间120分钟．第Ⅰ卷（选择题共60分）一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．直线l1∥l2，在l1上取3个点，在l2上取2个点，由这5个点能确定平面的个数为错误!（）A．5B．4C．9D．1［答案] D[解析］由经过两条平行直线有且只有一个平面可知分别在两平行直线上的5个点只能确定一个平面．2．教室内有一直尺，无论怎样放置，在地面总有这样的直线，使得它与直尺所在直线错误!（)A．平行B．垂直C．相交D．异面[答案] B[解析］当直尺垂直于地面时，A不对;当直尺平行于地面时,C不对；当直尺位于地面上时，D不对．3．已知m、n是两条不同直线，α、β是两个不同平面，则下列命题正确的是错误!(）A．若α、β垂直于同一平面，则α与β平行B．若m、n平行于同一平面，则m与n平行C．若α、β不平行．．．与β平行的直线．．．,则在α内不存在D．若m、n不平行．．．垂直于同一平面．．．，则m与n不可能[答案］ D［解析]A项，α、β可能相交，故错误；B项，直线m、n的位置关系不确定，可能相交、平行或异面,故错误；C项，若m⊂α，α∩β＝n,m∥n，则m∥β，故错误;D项，假设m、n垂直于同一平面,则必有m∥n，所以原命题正确，故D项正确．4．已知α、β是两个平面,直线l⊄α，l⊄β,若以①l⊥α；②l∥β；③α⊥β中两个为条件,另一个为结论构成三个命题，则其中正确的命题有错误!（)A．①③⇒②；①②⇒③B．①③⇒②；②③⇒①C．①②⇒③；②③⇒①D．①③⇒②；①②⇒③;②③⇒①［答案] A［解析]因为α⊥β，所以在β内找到一条直线m，使m⊥α，又因为l⊥α,所以l∥m.又因为l⊄β，所以l∥β,即①③⇒②；因为l∥β，所以过l可作一平面γ∩β＝n，所以l∥n，又因为l⊥α，所以n⊥α，又因为n⊂β，所以α⊥β，即①②⇒③.5．如图，在斜三棱柱ABC－A1B1C1中，∠BAC＝90°，BC1⊥AC，若过C1作C1H⊥平面ABC，垂足为H，则点H一定在导学号 92180601（)A．直线AC上B．直线AB上C．直线BC上D．△ABC的内部[答案] B[解析］∵∠BAC＝90°,∴BA⊥AC．又∵BC1⊥AC,∴AC⊥平面ABC1，∴平面ABC⊥平面ABC1.∵平面ABC∩平面ABC1＝AB，∴C1在面ABC上的射影在直线AB上．6．设直线l⊂平面α，过平面α外一点A与l，α都成30°角的直线有错误!（) A．1条B．2条C．3条D．4条[答案] B［解析］如图，和α成30°角的直线一定是以A为顶点的圆锥的母线所在直线,当∠ABC＝∠ACB＝30°且BC∥l时，直线AC，AB都满足条件，故选B．7．（2016·浙江文）已知互相垂直的平面α、β交于直线l.若直线m、n满足m∥α，n⊥β，则错误!(）A．m∥l B．m∥nC．n⊥l D．m⊥n[答案］ C[解析]选项A，只有当m∥β或m⊂β时,m∥l；选项B,只有当m⊥β时,m∥n；选项C,由于l⊂β,∴n⊥l；选项D，只有当m∥β或m⊂β时，m⊥n,故选C．8．（2016·南安一中高一检测)如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，M、N分别为棱BC 和棱CC1的中点，则异面直线AC与MN所成的角为错误!（）A．30°B．45°C．60°D．90°[答案] C[解析］如图，连接A1C1、BC1、A1B．∵M、N分别为棱BC和棱CC1的中点，∴MN∥BC1。
人教A版第八章《立体几何初步》章末检测1
第八章《立体几何初步》章末检测一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1、列说法中，正确的是()B.若棱柱有两个侧面是矩形，则该棱柱的其他侧面也是矩形2、一平面四边形OABC的直观图O′A′B′C′如图所示，其中O′C′⊥x′轴，A′B′⊥x′轴，B′C′∥y′轴，则四边形OABC的面积为()A．322B．32C．3 D．323、如图，在三棱柱ABC－A1B1C1中，AA1⊥底面ABC，AB⊥BC，AA1＝AC＝2，直线A1C与侧面AA1B1B所成的角为30°，则该三棱柱的侧面积为()A．4＋42B．4＋43C．12 D．8＋4 2 4、已知三棱台ABC－A1B1C1中，三棱锥A－A1B1C1的体积为4，三棱锥A1－ABC 的体积为8，则该三棱台的体积为()A．12＋3 3 B．12＋4 2C．12＋4 3 D．12＋475、如图1，正方形SG1G2G3中，E、F分别是G1G2、G2G3的中点，D是EF的中点，如图2，沿SE、SF、EF将正方形折成一个四面体，使G1、G2、G3重合，重合后的点记为G，则在四面体S－EGF中()A．SG⊥平面EFG B．SD⊥平面EFGC．GF⊥平面SEF D．GD⊥平面SEF6、设m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，p：m⊥n，若p是q 的必要条件，则q可能是()A．q：m⊥α，n∥β，α⊥βB．q：m⊂α，n⊥β，α∥βC．q：m⊥α，n⊥β，α∥βD．q：m⊂α，n∥β，α⊥β7、如图，在三棱锥P－ABC中，点D，E分别为棱PB，BC的中点．若点F在线段AC上，且满足AD∥平面PEF，则AFFC的值为()A．1 B．2C．12D．238、棱长为1的正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F，G分别是AB，BC，B1C1不正确的是()A.P点在直线BC1上运动时，三棱锥A－D1PC体积不变B.Q点在直线EF上运动时，直线GQ始终与平面AA1C1C平行B1BD⊥平面ACD1D－EFG的体积为3 8二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9、设有不同的直线a，b和不同的平面α，β，给出下列四个命题中，其中正确的是()A．若a∥α，b∥α，则a∥b B．若a∥α，a∥β，则α∥βC．若a⊥α，b⊥α，则a∥b D．若a⊥α，a⊥β，则α∥β10、如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，M，N，P分别是C1D1，BC，A1D1的中点，下列结论正确的是()A.AP与CM是异面直线B.AP，CM，DD1相交于一点C.MN∥BD1D.MN∥平面BB1D1D11、“阿基米德多面体”也称为半正多面体，是由边数不全相同的正多边形为面围成的多面体，它体现了数学的对称美．如图，将正方体沿交于一顶点的三条棱的中点截去一个三棱锥，共截去八个三棱锥，得到的半正多面体的表面积为12＋43，则关于该半正多面体的下列说法中正确的是()A．AB＝ 2B．该半正多面体的外接球的表面积为6πC．AB与平面BCD所成的角为π4D．与AB所成的角是π3的棱共有16条12、如图，正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为3，线段B1D1上有两个动点E，F，且EF＝1，则当E，F移动时，下列结论正确的是( )A.AE ∥平面C 1BD ACEF 的体积不为定值 A －BEF 的体积为定值 D.四面体ACDF 的体积为定值三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13、一个圆台上、下底面的半径分别为3 cm 和8 cm ，若两底面圆心的连线长为12 cm ，则这个圆台的母线长为________cm.14、在正四棱柱ABCD －A 1B 1C 1D 1中，O 为底面ABCD 的中心，P 是DD 1的中点，设Q 是CC 1上的点，则点Q 满足条件________时，有平面D 1BQ ∥平面P AO . 15、已知△ABC 是面积为934的等边三角形，且其顶点都在球O 的球面上，若球O 的表面积为16π，则O 到平面ABC 的距离为________．16、如图所示，在四棱锥P －ABCD 中，底面ABCD 是菱形，∠DAB ＝π3，侧面P AD 是等边三角形，且平面P AD ⊥平面ABCD ，E 为棱PC 上一点，若平面EBD ⊥平面ABCD ，则PEEC ＝ .四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17、（1）已知圆锥的顶点为A ，过母线AB ，AC 的截面面积是2 3.若AB ，AC 的夹角是60°，且AC 与圆锥底面所成的角是30°，求该圆锥的表面积； （2）已知三棱锥S －ABC 中，∠SAB ＝∠ABC ＝π2，SB ＝4，SC ＝213，AB ＝2，BC ＝6，求三棱锥S －ABC 的体积.18、如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是矩形，点E在棱PC上(异于点P，C)，平面ABE与棱PD交于点F.(1)求证：AB∥EF；(2)若AF⊥EF，求证：平面P AD⊥平面ABCD.19、如图，在四棱锥C－ABED中，四边形ABED是正方形，点G，F分别是线段EC，BD的中点．(1)求证：GF∥平面ABC；(2)线段BC上是否存在一点H，使得平面GFH∥平面ACD？若存在，请找出点H并证明；若不存在，请说明理由．20、在四棱锥P－ABCD中，平面P AD⊥平面ABCD，P A＝PD＝2，四边形ABCD 是边长为2的菱形，∠DAB＝60°，E是AD的中点．(1)求证：BE⊥平面P AD；(2)求点E到平面P AB的距离．21、如图，在四棱锥P－ABCD中，四边形ABCD是边长为2的正方形，△PBC为正三角形，M，N分别为PD，BC的中点，PN⊥AB.(1)求三棱锥P－AMN的体积；(2)求二面角M－AN－D的正切值.22、在四棱锥P-ABCD中，△P AD是等边三角形，且平面P AD⊥平面ABCD，AD＝2AB＝2BC，∠BAD＝∠ABC＝90°.(1)AD上是否存在一点M，使得平面PCM⊥平面ABCD，若存在，请证明；若不存在，请说明理由；(2)若△PCD的面积为87，求四棱锥P-ABCD的体积．。
人教A版数学必修第2册单元测试第八章 立体几何初步(原卷版)
第八章 立体几何初步 综合测试(原卷版)考试时间120分钟，满分150分．一、单项选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．已知三棱柱有a 个顶点，b 条棱，则a －b ＝( ) A ．－3 B ．3 C ．4D ．－42．在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的所有面对角线中，所在直线与直线A 1B 互为异面直线且所成角为60°的面对角线的条数为( )A ．2B ．4C ．6D ．83．已知某圆柱的内切球半径为92，则该圆柱的侧面积为( )A ．49π2B ．49πC ．81π2D ．81π4．空间四点A ，B ，C ，D 共面而不共线，那么这四点中( ) A ．必有三点共线 B ．必有三点不共线 C ．至少有三点共线D ．不可能有三点共线5．设α，β为两个不同的平面，则α∥β的一个充分条件可以是( ) A ．α内有无数条直线与β平行 B ．α，β垂直于同一条直线 C ．α，β平行于同一条直线D ．α，β垂直于同一个平面6．E ，F ，G 分别是空间四边形ABCD 的棱BC ，CD ，DA 的中点，则此四面体中与过E ，F ，G 的截面平行的棱的条数是( )A ．0B ．1C ．2D ．37．如图，P为平行四边形ABCD所在平面外一点，过BC的平面与平面P AD交于EF，E在线段PD上且异于P、D，则四边形EFBC是()A．空间四边形B．矩形C．梯形D．平行四边形8．(2022·新高考Ⅰ卷)南水北调工程缓解了北方一些地区水资源短缺问题，其中一部分水蓄入某水库．已知该水库水位为海拔148.5 m时，相应水面的面积为140.0 km2；水位为海拔157.5 m时，相应水面的面积为180.0 km2，将该水库在这两个水位间的形状看作一个棱台，则该水库水位从海拔148.5 m上升到157.5 m时，增加的水量约为(7≈2.65)() A．1.0×109 m3B．1.2×109 m3C．1.4×109 m3D．1.6×109 m3二、多项选择题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多个选项是符合题目要求的，全部选对的得5分，选对但不全的得2分，有选错的得0分)9．以下关于空间几何体特征性质的描述，错误的是()A．以直角三角形一边所在直线为旋转轴，其余两边旋转形成的曲面所围成的几何体是圆锥B．有两个面互相平行，其余各面都是四边形的几何体是棱柱C．有一个面是多边形，其余各面都是三角形的几何体是棱锥D．两底面互相平行，其余各面都是梯形，侧棱延长线交于一点的几何体是棱台10．如图，在四面体ABCD中，截面PQMN是正方形，则在下列命题中，一定正确的为()A．AC⊥BD B．AC∥截面PQMNC．AC＝BD D．异面直线PM与BD所成的角为45°11．如图，在平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，点M，P，Q分别为棱AB，CD，BC 的中点，若平行六面体的各棱长均相等，则下列说法正确的是()A．A1M∥D1P B．A1M∥B1QC．A1M∥平面DCC1D1D．A1M∥平面D1PQB112．如图，在棱长均相等的正四棱锥P－ABCD中，M、N分别为侧棱P A、PB的中点，O是底面四边形ABCD对角线的交点，下列结论正确的有()A．PC∥平面OMN B．平面PCD∥平面OMNC．OM⊥P A D．PD⊥平面OMN三、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)13．一个圆柱的侧面展开图是一个边长为1的正方形，则该圆柱的体积是____．14．将长为3，宽为2的长方形，绕其一边旋转成的几何体的表面积为____．15．一个直径为32厘米的圆柱形水桶中放入一个铁球，球全部没入水中后，水面升高9厘米，则此球的半径为___厘米．16．我国有着丰富悠久的“印章文化”，古时候的印章一般用贵重的金属或玉石制成，本是官员或私人签署文件时代表身份的信物，后因其独特的文化内涵，也被作为装饰物来使用．图1是明清时期的一个金属印章摆件，除去顶部的环以后可以看作是一个正四棱柱和一个正四棱锥组成的几何体，如图2．已知正四棱柱和正四棱锥的高相等，且底面边长均为2，若该几何体的所有顶点都在同一个球的表面上，则这个球的表面积为____．四、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17．(本小题满分10分)如图，圆锥底面半径为1，高为3．(1)求圆锥内接圆柱(一底面在圆锥底面上，另一底面切于圆锥侧面)侧面积的最大值；(2)圆锥内接圆柱的表面积是否存在最大值？若存在，请求出最大值；若不存在，请说明理由．18．(本小题满分12分)如图所示，一个圆锥形的空杯子上面放着一个半球形的冰淇淋，如果冰淇淋融化了，会溢出杯子吗？请用你的计算数据说明理由．19．(本小题满分12分)如图所示，在四棱锥P－ABCD中，侧面P AD⊥底面ABCD，侧棱P A⊥PD，底面ABCD是直角梯形，其中BC∥AD，∠BAD＝90°，AD＝3BC，O是AD上一点．(1)若CD∥平面PBO，试指出点O的位置；(2)求证：平面P AB⊥平面PCD．20．(本小题满分12分)(2020·江苏卷)在三棱柱ABC－A1B1C1中，AB⊥AC，B1C⊥平面ABC，E，F分别是AC，B1C的中点．(1)求证：EF∥平面AB1C1；(2)求证：平面AB1C⊥平面ABB1．21．(本小题满分12分)(2021·全国乙卷)如图，四棱锥P－ABCD的底面是矩形，PD⊥底面ABCD，PD＝DC＝1，M为BC的中点，且PB⊥AM．(1)求BC；(2)求二面角A－PM－B的正弦值．22．(本小题满分12分)如图，在三棱柱ABC－A1B1C1中，AA1⊥平面ABC，AC＝BC，AB＝2A1A＝4，以AB，BC为邻边作平行四边形ABCD，连接A1D，DC1．(1)求证：DC1∥平面A1ABB1；(2)若二面角A1－DC－A为45°．①求证：平面A1C1D⊥平面A1AD；②求直线AB1与平面A1AD所成角的正切值．。
人教A版高一数学必修第二册第八章《立体几何初步》单元练习题卷含答案解析 (28)
高一数学必修第二册第八章《立体几何初步》单元练习题卷4（共22题）一、选择题（共10题）1.若直线l1和l2是异面直线，l1在平面α内，l2在平面β内，l是平面α与平面β的交线，则下列命题正确的是( )A．l至少与l1，l2中的一条相交B．l与l1，l2都相交C．l至多与l1，l2中的一条相交D．l与l1，l2都不相交2.空间四点A，B，C，D共面而不共线，那么这四点中( )A．必有三点共线B．必有三点不共线C．至少有三点共线D．不可能有三点共线3.下列几何体中是棱柱的有( )A．1个B．2个C．3个D．4个4.下列三个命题中错误的个数是( )①经过球面上任意两点，可以作且只可以作一个球的大圆；②球面积是它大圆面积的四倍；③球面上两点的球面距离，是这两点所在截面圆上以这两点为端点的劣弧的长．A．0B．1C．2D．35.棱长为a的正四面体的表面积是( )A．√36a2B．√312a2C．√34a2D．√3a26.如图所示的几何体是( )A．五棱锥B．五棱台C．五棱柱D．五面体7.如图，在长方体ABCD−A1B1C1D1中，AA1=AD=2，AB=3，E，F分别为棱AA1，CC1的中点，过BF的平面α与直线C1E平行，则平面α截该长方体所得截面的面积为( )A．3B．3√2C．3√3D．3√58.有以下结论：①平面是处处平直的面；②平面是无限延展的；③平面的形状是平行四边形；④一个平面的厚度可以是0.001cm．其中正确结论的个数为A．1B．2C．3D．49.若直线a，b与直线l所成的角相等，则a，b的位置关系是( )A．异面B．平行C．相交D．相交、平行、异面均有可能10.一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为( )C．2+√2D．2√3+1 A．2B．52二、填空题（共6题），11.已知四面体ABCD内接于球O，且AB=BC=√2，AC=2，若四面体ABCD的体积为2√33球心O恰好在棱DA上，则球O的表面积是．12.在棱长为6的正方体ABCD−A1B1C1D1中，P，Q是直线DD1上的两个动点．如果PQ=2，那么三棱锥P−BCQ的体积等于．13.表面积相等的球和正方体的体积比为．14.如图所示，在四棱锥P−ABCD中，PA⊥底面ABCD，且底面各边都相等，M是PC上的一动点，当点M满足时，平面MBD⊥平面PCD．（只要填写一个你认为是正确的条件即可）15.半径为3的球体表面积为．16.已知正六棱柱的侧面积为72cm2，高为6cm，那么它的体积为cm3．三、解答题（共6题）17.如图，在三棱柱ABC−A1B1C1中，AA1⊥平面ABC，AA1=AC=BC=2，∠ACB=90∘，D，E分别是A1B1，CC1的中点．(1) 求证：C1D∥平面A1BE；(2) 求直线BC1与平面A1BE所成角的正弦值；(3) 在棱CC1上是否存在一点P，使得平面PAB与平面A1BE所成二面角为60∘？若存在，求出线段CP的长；若不存在，请说明理由．18.如果两条直线和第三条直线成等角，那么这两条直线平行吗？19.如图：四棱锥P−ABCD底面为一直角梯形，AB⊥AD，CD⊥AD，CD=2AB，PA⊥平面ABCD，F是PC中点．(1) 求证：平面PDC⊥平面PAD；(2) 求证：BF∥平面PAD．20.若两个平面平行，那么两个平面内的所有直线都相互平行吗？21.如图所示是一个圆台形的纸篓（有底无盖），它的母线长为50cm，两底面直径分别为40cm和30cm．求纸篓（外侧部分）的表面积．22.如图所示，已知一条直线a分别与两条平行直线b，c相交．求证：a，b，c三线共面．答案一、选择题（共10题）1. 【答案】A【解析】若直线l1和l2是异面直线，l1在平面α内，l2在平面β内，l是平面α与平面β的交线，则l至少与l1，l2中的一条相交，故选A．【知识点】直线与直线的位置关系2. 【答案】B【解析】由图（1）（2）（3）知，A，C，D均不正确，只有B正确．【知识点】平面的概念与基本性质3. 【答案】C【解析】观察图形得：“有两个面互相平行，其余各面都是四边形，”的几何体有：①③⑤，只有它们是棱柱，共三个．【知识点】棱柱的结构特征4. 【答案】C【知识点】球面距离、球的结构特征5. 【答案】Da2=√3a2．【解析】棱长为a的正四面体的四个面都是正三角形，正四面体的表面积是4×√34【知识点】棱锥的表面积与体积6. 【答案】C【解析】由图知，该几何体底面是五边形，且为柱体，所以是五棱柱．【知识点】棱柱的结构特征7. 【答案】D【知识点】棱柱的结构特征8. 【答案】B【解析】平面处处平直，无限延展，但是没有大小、形状、厚薄等，因此①②两种说法是正确的，③④两种说法是错误的．【知识点】平面的概念与基本性质9. 【答案】D【知识点】直线与直线的位置关系10. 【答案】C【解析】由题意，几何体的直观图如图，是正方体的一部分，四棱锥P−ABCD，几何体的表面积为：1×1+2×12×1×1+2×12×1×√2=2+√2．故选：C．【知识点】棱锥的表面积与体积、三视图二、填空题（共6题）11. 【答案】16π【解析】如图：在三角形ABC中，因为AB2+BC2=AC2，所以△ABC为直角三角形，所以三角形ABC的外接圆的圆心为AC的中点O1．连OO1，根据垂径定理，可得OO1⊥平面ABC，因为O，O1为AD，AC的中点可知DC⊥平面ABC，所以DC为四面体ABCD的高．所以13DC×12×√2×√2=2√33，解得DC=2√3．所以AD=√(2√3)2+22=4．所以四面体ABCD的外接球的半径为2，表面积为4πR2=4π×22=16π．【知识点】棱锥的表面积与体积、球的表面积与体积12. 【答案】12【解析】因为在棱长为6的正方体ABCD−A1B1C1D1中，P，Q是直线DD1上的两个动点，PQ=2，所以S△PQC=12×PQ×CD=12×2×6=6，所以三棱锥P−BCQ的体积：V P−BCQ=V B−PQC=13×S△PQC×BC=13×6×6=12．【知识点】棱锥的表面积与体积13. 【答案】√6π【知识点】表面积与体积、棱柱的表面积与体积14. 【答案】 DM ⊥PC （或 BM ⊥PC ）【知识点】平面与平面垂直关系的判定15. 【答案】 36π【知识点】球的表面积与体积16. 【答案】36√3【解析】设正六棱柱的底面边长为 x cm ， 由题意得 6x ⋅6=72，所以 x =2， 于是其体积 V =√34×22×6×6=36√3(cm 3)．【知识点】棱柱的表面积与体积三、解答题（共6题） 17. 【答案】(1) 取 AB 的中点 F ，连接 DF ，交 A 1B 于点 M ，可知 M 为 DF 的中点， 连接 EM ，易知四边形 C 1DME 为平行四边形， 所以 C 1D ∥EM ，又 C 1D ⊄平面A 1BE ，EM ⊂平面A 1BE ，所以 C 1D ∥平面A 1BE ．(2) 分别以 CA ，CB ，CC 1 所在的直线为 x 轴，y 轴，z 轴建立如图所示的空间直角坐标系， 可得 B (0,2,0)，C 1(0,0,2)，E (0,0,1)，A 1(2,0,2)， 则 BC 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,−2,2)，EA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(2,0,1)，EB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,2,−1)， 设平面 A 1BE 的法向量为 n ⃗ =(x,y,z )，则 {n ⃗ ⋅EA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0,n ⃗ ⋅EB ⃗⃗⃗⃗⃗ =0,即 {2x +z =0,2y −z =0,令 x =1，可得 y =−1，z =−2，即 n ⃗ =(1,−1,−2)，所以 cos⟨BC 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,n ⃗ ⟩=BC 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⋅n ⃗ ∣BC 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ∣⋅∣n ⃗ ∣=−√36， 所以直线 BC 1 与平面 A 1BE 所成角的正弦值为√36． (3) 假设在棱 CC 1 是存在一点 P ，设 CP =a (0<a <2)，可得 P (0,0,a )，由 A (2,0,0)，B (0,2,0)，可得 PA⃗⃗⃗⃗⃗ =(2,0,−a )，PB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,2,−a )， 设平面 PAB 的法向量为 m ⃗⃗ =(x 1,y 1.z 1)， 则 {m ⃗⃗ ⋅PA⃗⃗⃗⃗⃗ =0,m ⃗⃗ ⋅PB ⃗⃗⃗⃗⃗ =0,即 {2x 1−az =0,2y 2−az =0,令 z =2，可得 x 1=a ，y 1=a ， 即 m ⃗⃗ =(a,a,2)，又由平面 A 1BE 的一个法向量为 n ⃗ =(1,−1,−2)， 所以 cos⟨m ⃗⃗ ,n ⃗ ⟩=m⃗⃗⃗ ⋅n ⃗ ∣m ⃗⃗⃗ ∣⋅∣n ⃗ ∣=√a 2+a 2+4⋅√6，因为平面 PAB 与平面 A 1BE 所成二面角为 60∘，可得 √a 2+a 2+4⋅√6=cos60∘=12，解得 a 2=103，此时 a =√303，符合题意， 所以在棱 CC 1 上存在一点 P ，使得平面 PAB 上与平面 A 1BE 所成二面角为 60∘，且 CP =√303． 【知识点】二面角、利用向量的坐标运算解决立体几何问题、线面角、直线与平面平行关系的判定18. 【答案】不一定，这两条直线可能相交、平行或异面．【知识点】空间中直线与直线平行19. 【答案】(1) 因为 PA ⊥平面ABCD,CD ⊂平面ABCD ， 所以 PA ⊥CD ，又因为 CD ⊥AD ，PA ∩AD =A ，AD ⊂平面PAD ，PA ⊂平面PAD ， 所以 CD ⊥平面PAD ， 因为 CD ⊂平面PCD ，所以平面 PDC ⊥平面PAD ．(2) 取 PD 的中点为 E ，连接 EF,AE ， 因为 F 为 PC 的中点， 所以 EF 为 △PCD 的中位线， 所以 EF ∥CD ，CD =2EF ， 又因为 CD =2AB ，AB ∥CD ， 所以 EF =AB ，并且 EF ∥AB ， 所以四边形 ABEF 为平行四边形， 所以 BF ∥AE ，因为 AE ⊂平面PAD ，BF ⊄平面PAD所以 BF ∥平面PAD ．【知识点】平面与平面垂直关系的判定、直线与平面平行关系的判定20. 【答案】不是．【知识点】平面与平面平行关系的性质21. 【答案】根据题意可知，纸篓底面圆的半径 rʹ=15 cm ，上口的半径 r =20 cm ，母线长 l =50 cm ，则纸篓的表面积 S =π(rʹ2+rʹl +rl )=π(152+15×50+20×50)=1975π(cm 2)．【知识点】圆台的表面积与体积22. 【答案】因为b∥c，所以b，c确定一个平面，设为α，如图所示．令a∩b=A，a∩c=B，所以A∈α，B∈α，所以AB⊂α，即直线a⊂α．所以a，b，c三线共面．【知识点】平面的概念与基本性质。
2018-2019学年人教A版高中数学必修二：空间几何体的表面积和体积(知识讲解+例题演练)
空间几何体的表面积和体积【学习目标】1.通过对柱、锥、台体的研究，掌握柱、锥、台的表面积和体积的求法；2.能运用公式求解柱体、锥体和台体的体积，并且熟悉台体与柱体和锥体之间的转换关系；3.了解球的表面积和体积公式推导的基本思想，掌握球的表面积和体积的计算公式，并会求球的表面积和体积；4.会用柱、锥、台体和球的表面积和体积公式求简单几何体的表面积和体积. 【要点梳理】要点一、棱柱、棱锥、棱台的表面积棱柱、棱锥、棱台是多面体，它们的各个面均是平面多边形，它们的表面积就是各个面的面积之和．计算时要分清面的形状，准确算出每个面的面积再求和．棱柱、棱锥、棱台底面与侧面的形状如下表：求多面体的表面积时，只需将它们沿着若干条棱剪开后展开成平面图形，利用平面图形求多面体的表面积．要点二、圆柱、圆锥、圆台的表面积圆柱、圆锥、圆台是旋转体，它们的底面是圆面，易求面积，而它们的侧面是曲面，应把它们的侧面展开为平面图形，再去求其面积．1．圆柱的表面积（1）圆柱的侧面积：圆柱的侧面展开图是一个矩形，如下图，圆柱的底面半径为r ，母线长l ，那么这个矩形的长等于圆柱底面周长C=2πr ，宽等于圆柱侧面的母线长l （也是高），由此可得S 圆柱侧=C l =2πr l ．（2）圆柱的表面积：2222()S r rl r r l πππ=+=+圆柱表．2．圆锥的表面积（1）圆锥的侧面积：如下图（1）所示，圆锥的侧面展开图是一个扇形，如果圆锥的底面半径为r ，母线长为l ，那么这个扇形的弧长等于圆锥底面周长C=πr ，半径等于圆锥侧面的母线长为l ，由此可得它的侧面积是12S Cl rl π==圆锥侧． （2）圆锥的表面积：S 圆锥表=πr 2+πr l ．3．圆台的表面积（1）圆台的侧面积：如上图（2）所示，圆台的侧面展开图是一个扇环．如果圆台的上、下底面半径分别为r ＇、r ，母线长为l ，那么这个扇形的面积为π(r ＇+r)l ，即圆台的侧面积为S 圆台侧=π(r ＇+r)l ．（2）圆台的表面积：22('')S r r r l rl π=+++圆台表．要点诠释：求旋转体的表面积时，可从旋转体的生成过程及其几何特征入手，将其展开后求表面积，但要搞清它们的底面半径、母线长与对应的侧面展开图中的边长之间的关系．4．圆柱、圆锥、圆台的侧面积公式之间的关系如下图所示．要点三、柱体、锥体、台体的体积 1．柱体的体积公式棱柱的体积：棱柱的体积等于它的底面积S 和高h 的乘积，即V 棱柱=Sh ． 圆柱的体积：底面半径是r ，高是h 的圆柱的体积是V 圆柱=Sh=πr 2h ． 综上，柱体的体积公式为V=Sh ． 2．锥体的体积公式棱锥的体积：如果任意棱锥的底面积是S ，高是h ，那么它的体积13V Sh =棱锥． 圆锥的体积：如果圆锥的底面积是S ，高是h ，那么它的体积13V Sh =圆锥；如果底面积半径是r ，用πr 2表示S ，则213V r h π=圆锥． 综上，锥体的体积公式为13V Sh =． 3．台体的体积公式棱台的体积：如果棱台的上、下底面的面积分别为S ＇、S ，高是h ，那么它的体积是1(')3V h S S =棱台．圆台的体积：如果圆台的上、下底面半径分别是r ＇、r ，高是h ，那么它的体积是2211(')('')33V h S S h r rr r π=+=++圆台．综上，台体的体积公式为1(')3V h S S =． 4．柱体、锥体、台体的体积公式之间的关系如下图所示．要点四、球的表面积和体积 1．球的表面积（1）球面不能展开成平面，要用其他方法求它的面积． （2）球的表面积设球的半径为R ，则球的表面积公式 S 球=4πR 2． 即球面面积等于它的大圆面积的四倍． 2．球的体积设球的半径为R ，它的体积只与半径R 有关，是以R 为自变量的函数． 球的体积公式为343V R π=球． 要点五、侧面积与体积的计算 1．多面体的侧面积与体积的计算在掌握直棱柱、正棱锥、正棱台侧面积公式及其推导过程的基础上，对于一些较简单的几何组合体的表面积与体积，能够将其分解成柱、锥、台、球，再进一步分解为平面图形（正多边形、三角形、梯形等），以求得其表面积与体积．要注意对各几何体相重叠部分的面积的处理，并要注意一些性质的灵活运用．（1）棱锥平行于底的截面的性质：在棱锥与平行于底的截面所构成的小棱锥中，有如下比例关系：S S S S S S ===小锥底小锥全小锥侧大锥底大锥全大锥侧对应线段（如高、斜高、底面边长等）的平方之比．要点诠释：这个比例关系很重要，在求锥体的侧面积、底面积比时，会大大简化计算过程．在求台体的侧面积、底面积比时，将台体补成锥体，也可应用这个关系式．（2）有关棱柱直截面的补充知识．在棱柱中，与各侧棱均垂直的截面叫做棱柱的直截面，正棱柱的直截面是其上下底面及与底面平行的截面．棱柱的侧面积与直截面周长有如下关系式：S 棱柱侧=C 直截l （其中C 直截、l 分别为棱柱的直截面周长与侧棱长）， V 棱柱=S 直截l （其中S 直截、l 分别为棱柱的直截面面积与侧棱长）． 2．旋转体的侧面积和体积的计算（1）圆柱、圆锥、圆台的侧面积分别是它们侧面展开图的面积，因此弄清侧面展开图的形式及侧面展开图中各线段与原旋转体的关系，是掌握它们的侧面积公式及解决有关问题的关键．（2）计算柱体、锥体和台体的体积，关键是根据条件找出相应的底面面积和高，要充分运用多面体的有关问题的关键．【典型例题】类型一、简单几何体的表面积例1．如右图，有两个相同的直三棱柱，高为2a，底面三角形的三边长分别为345(0)a a a a >、、．用它们拼成一个三棱柱或四棱柱，在所有可能的情形中，全面积最小的是一个四棱柱，则a 的取值范围是 ．【答案】03a <<． 【解析】底面积为26a ，侧面面积分别为6、8、10，拼成四棱柱时，有三种情况：221(86)2462428s a a =+⨯+⨯=+222242(108)2436,s a a =++=+ 223242(106)2432,s a a =++=+拼成三棱柱时也有三种情况：表面积为22262(1086)1248a a ⨯+++=+，24a 2+36, 24a 2+32由题意得2224281248a a +<+，解得03a <<． 【总结升华】（1）直棱柱的侧面积等于它的底面周长和高的乘积；表面积等于它的侧面积与上、下两个底面的面积之和．（2）求斜棱柱的侧面积一般有两种方法：一是定义法；二是公式法．所谓定义法就是利用侧面积为各侧面面积之和来求，公式法即直接用公式求解．举一反三：【变式1】一个圆柱的底面面积是S ，侧面展开图是正方形，那么该圆柱的侧面积为（ ）A ．4S πB ．2S πC ．S πD S 【答案】A【解析】由圆柱的底面面积是S ，求出圆柱的半径为r =4S π．例2．在底面半径为R ，高为h 的圆锥内有一内接圆柱，求内接圆柱的侧面积最大时圆柱的高，并求此时侧面积的最大值．【思路点拨】一般要画出其轴截面来分析，利用相似三角形求解。
高中数学第八章立体几何初步 立体图形的直观图课后提能训练新人教A版必修第二册
第八章 8.2A级——基础过关练1．根据斜二测画法的规则画直观图时,把Ox,Oy,Oz轴画成对应的O′x′,O′y′,O′z′,则∠x′O′y′与∠x′O′z′的度数分别为( )A．90°,90°B．45°,90°C．135°,90°D．45°或135°,90°【答案】D【解析】根据斜二测画法的规则,∠x′O′y′的度数应为45°或135°,∠x′O′z′指的是画立体图形时的横轴与纵轴的夹角,所以度数为90°.2.(2021年绵阳模拟)(多选)如图,已知等腰三角形ABC,则如下所示的四个图中,可能是△ABC的直观图的是( )A B C D【答案】CD【解析】等腰三角形画成直观图后,原来的腰长不相等,CD两图分别为在∠x′O′y′成135°和45°的坐标系中的直观图．3．把△ABC按斜二测画法得到△A′B′C′(如图所示),其中B′O′＝C′O′＝1,A′O′＝32,那么△ABC是一个( )A．等边三角形B．直角三角形C．等腰三角形D．三边互不相等的三角形【答案】A【解析】根据斜二测画法还原三角形在直角坐标系中的图形,如图所示,由图易得AB＝BC＝AC＝2,故△ABC为等边三角形,故选A.4．(2021年南宁模拟)如果一个水平放置的图形的斜二测直观图是一个底角为45°,腰和上底均为1的等腰梯形,那么原平面图形的面积是( )A ．2＋ 2B ．1＋22C ．2＋22D ．1＋ 2【答案】A【解析】画出其相应平面图易求S ＝12(1＋1＋2)×2＝2＋2,故选A.5．水平放置的△ABC ,有一边在水平线上,用斜二测画法作出的直观图是正三角形A ′B ′C ′,则△ABC 是( )A ．锐角三角形B ．直角三角形C ．钝角三角形D ．任意三角形【答案】C【解析】将△A ′B ′C ′还原,由斜二测画法知,△ABC 为钝角三角形．故选C. 6．有一个长为4 cm,宽为3 cm 的矩形,则其直观图的面积为________cm 2. 【答案】3 2【解析】该矩形的面积为S ＝4×3＝12(cm 2),由平面图形的面积与直观图的面积间的关系,可得直观图的面积为S ′＝24S ＝32(cm 2)． 7．如图,矩形O ′A ′B ′C ′是水平放置的一个平面图形的直观图,其中O ′A ′＝6,O ′C ′＝3,B ′C ′∥x ′轴,则原平面图形的面积为________．【答案】36 2【解析】在直观图中,设B ′C ′与y ′轴的交点为D ′,则易得O ′D ′＝32,所以原平面图形为一边长为6,高为62的平行四边形,所以其面积为6×62＝36 2.8．在直观图中,四边形O′A′B′C′为菱形且边长为2 cm,则在坐标系xOy中原四边形OABC为________(填形状),面积为________cm2.【答案】矩形8【解析】由题意,结合斜二测画法可知,四边形OABC为矩形,其中OA＝2 cm,OC＝4 cm,所以四边形OABC的面积S＝2×4＝8(cm2)．9．画出一个上、下底面边长分别为1,2,高为2的正三棱台的直观图．解：(1)画轴．如图,画x轴、y轴、z轴相交于点O,使∠xOy＝45°,∠xOz＝90°.(2)画下底面．以O为线段中点,在x轴上取线段AB,使AB＝2,在y轴上取线段OC,使OC＝32.连接BC,CA,则△ABC为正三棱台的下底面的直观图．(3)画上底面．在z轴上取OO′,使OO′＝2,过点O′作O′x′∥Ox,O′y′∥Oy,建立坐标系x′O′y′.在x′O′y′中,类似步骤(2)的画法得上底面的直观图△A′B′C′.(4)连线成图．连接AA′,BB′,CC′,去掉辅助线,将被遮住的部分画成虚线,则三棱台ABC－A′B′C′即为要求画的正三棱台的直观图．10．如图,正方形O′A′B′C′的边长为1 cm,它是水平放置的一个平面图形OABC的直观图．请画出原来的平面图形的形状,并求原图形的周长与面积．解：如图,建立直角坐标系xOy,在x轴上取OA＝O′A′＝1 cm；在y 轴上取OB ＝2O ′B ′＝2 2 cm ； 在过点B 的x 轴的平行线上取BC ＝B ′C ′＝1 cm.连接O ,A ,B ,C 各点,即得到了原图形．由作法可知OABC 为平行四边形,OC ＝OB 2＋BC 2＝8＋1＝3(cm),∴平行四边形OABC 的周长为(3＋1)×2＝8(cm),面积为S ＝1×22＝22(cm 2)．B 级——能力提升练11．下列选项中的△ABC 均是水平放置的边长为1的正三角形,在斜二测画法下,其直观图不是全等三角形的一组是( )A BC D【答案】C【解析】C 中,前者在斜二测画法下所得的直观图中,底边AB 不变,高变为原来的12,后者在斜二测画法下所得的直观图中,高OC 不变,底边AB 变为原来的12,故C 中两个图形在斜二测画法下所得直观图不全等．12．水平放置的△ABC 的直观图如图所示,已知B ′C ′＝4,A ′C ′＝3,B ′C ′∥y ′轴,则△ABC 中AB 边上的中线的长度为( )A ．732B ．73C ．5D ．52【答案】A【解析】由斜二测画法规则知AC ⊥BC ,即△ABC 为直角三角形,其中AC ＝3,BC ＝8,所以AB ＝73,AB 边上的中线长度为732.故选A. 13．已知两个圆锥,底面重合在一起,其中一个圆锥顶点到底面的距离为2 cm,另一个圆锥顶点到底面的距离为3 cm,则其直观图中这两个顶点之间的距离为( )A ．2 cmB ．3 cmC ．2.5 cmD ．5 cm【答案】D【解析】由题意可知其直观图如图,由图可知两个顶点之间的距离为5 cm.故选D.14．(2021年河南模拟)已知用斜二测画法,画得的正方形的直观图面积为182,则原正方形的面积为______．【答案】72【解析】如图,作出正方形OABC 的直观图O ′A ′B ′C ′,作C ′D ′⊥x ′轴于点D ′.S 直观图＝O ′A ′×C ′D ′.又S 正方形＝OC ×OA .所以S 正方形S 直观图＝OC ×OAO ′A ′×C ′D ′, 又在Rt △O ′D ′C ′中,O ′C ′＝2C ′D ′, 即C ′D ′＝22O ′C ′,结合平面图与直观图的关系可知OA ＝O ′A ′,OC ＝2O ′C ′, 所以S 正方形S 直观图＝OC ×OAOA ×22O ′C ′＝2O ′C ′22O ′C ′＝2 2.又S 直观图＝182,所以S 正方形＝22×182＝72.15．如图所示,△A ′O ′B ′表示水平放置的△AOB 的直观图,点B ′在x ′轴上,A ′O ′与x ′轴垂直,且A ′O ′＝2,则△AOB 的边OB 上的高为________．【答案】4 2【解析】设△AOB 的边OB 上的高为h ,由直观图中边O ′B ′与原图形中边OB 的长度相等,及S原图＝22S直观图,得12OB ×h ＝22×12×A ′O ′×O ′B ′,则h ＝4 2.故△AOB 的边OB 上的高为4 2.16．如图是一个边长为1的正方形A ′B ′C ′D ′,已知该正方形是某个水平放置的四边形用斜二测画法画出的直观图,试画出该四边形的原图形并求出其面积．解：四边形ABCD 的真实图形如图所示,因为A ′C ′在水平位置,四边形A ′B ′C ′D ′为正方形,所以∠D ′A ′C ′＝∠A ′C ′B ′＝45°,所以在原四边形ABCD 中,AD ⊥AC ,AC ⊥BC .因为AD ＝2D ′A ′＝2,AC ＝A ′C ′＝2, 所以S 四边形ABCD ＝AC ·AD ＝2 2.C 级——探索创新练17．如图所示的是水平放置的正方形ABCO ,在平面直角坐标系xOy 中,点B 的坐标为(4,4),则由斜二测画法画出该正方形的直观图中,顶点B ′到x ′轴的距离为________．【答案】 2【解析】水平放置的正方形ABCO ,在平面直角坐标系xOy 中,点B 的坐标为(4,4),由斜二测画法画出的该正方形的直观图如下：由斜二测画法的规则,得O ′A ′＝12OA ＝2,O ′C ′＝OC ＝4,∠A ′O ′C ′＝45°,四边形A ′B ′C ′O ′是平行四边形,∴顶点B ′到x ′轴的距离与A ′到x 轴的距离相等．∴顶点B ′到x ′轴的距离d ＝|O ′A ′|sin 45°＝2×22＝ 2.18．一个建筑物上部为四棱锥,下部为长方体,且四棱锥的底面与长方体的上底面尺寸一样,已知长方体的长、宽、高分别为20 m,5 m,10 m,四棱锥的高为8 m,若按1∶500的比例画出它的直观图,那么直观图中,长方体的长、宽、高和棱锥的高应分别为____________________．【答案】4 cm,0.5 cm,2 cm,1.6 cm【解析】由20 m ＝2 000 cm,2 000500＝4 cm,同理可得宽、高分别为1 cm 、2 cm,四棱锥的高为1.6 cm.在直观图中,宽变为一半,长、高不变．。
人教A版高一数学必修第二册第八章《立体几何初步》单元练习题卷含答案解析 (23)
高一数学必修第二册第八章《立体几何初步》单元练习题卷5（共22题）一、选择题（共10题）1.在三棱锥P−ABC中，PA=PB=PC=2√5，AB=AC=BC=2√3，则三棱锥P−ABC外接球的体积是( )A．36πB．125π6C．32π3D．50π2.如图所示，在四面体DABC中，若AB=BC，AD=CD，E是AC的中点，则下列结论中正确的是( )A．平面ABC⊥平面ABDB．平面ABD⊥平面BDCC．平面ABC⊥平面BDE，且平面ADC⊥平面BDED．平面ABC⊥平面ADC，且平面ADC⊥平面BDE3.一个圆柱形的罐子半径是4米，高是9米，将其水平躺倒，并在其中注入深2米的水，截面如图所示，水的体积是( )立方米．A．24π−24√3B．36π−36√3C．36π−24√3D．48π−36√34.已知圆锥的底面半径为1，母线与底面所成的角为π3，则此圆锥的侧面积为( ) A．2√3πB．2πC．√3πD．π5.已知α，β是两个不重合的平面，下列选项中，一定能得出平面α与平面β平行的是( )A．平面α内有一条直线与平面β平行B．平面α内有两条直线与平面β平行C．平面α内有一条直线与平面β内的一条直线平行D．平面α与平面β不相交6.棱锥的侧面和底面可以都是( )A．三角形B．四边形C．五边形D．六边形7.已知正四棱锥P−ABCD的底面是边长为√2的正方形，其体积为4，若圆柱的一个底面的圆周3经过正方形的四个顶点，另一个底面的圆心为该棱锥的高的中点，则该圆柱的表面积为( ) A．πB．2πC．4πD．6π8.如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某几何体的三视图，该几何体由一平面将一圆柱截去一部分后所得，则该几何体的体积为( )A．90πB．63πC．42πD．36π9.如图，在正四棱柱ABCD−A1B1C1D1中，底面边长AB=2，高A1A=4，E为棱A1A的中点．设∠BAD=α，∠BED=θ，∠B1ED=γ，则α，β，γ之间的关系正确的是( )A．α=γ>θB．γ>α>θC．θ>γ>αD．α>θ>γ10.如图，扇形OAB的圆心角为90∘，半径为1，则该扇形绕OB所在直线旋转一周得到的几何体的表面积为( )A．3πB．2πC．3πD．4π4二、填空题（共6题）11.已知球的体积为36π，则该球大圆的面积等于．12.设∠A与∠B的两边分别平行，且∠A=45∘，则∠B=．13.已知点P，Q在平面α内，点M在平面β内，又α∩β=l，M∉l，PQ∩l=R，过P，Q，M的平面为γ，则β∩γ是直线．14.正四棱锥S−ABCD的底面边长和各侧棱长都为√2，点S，A，B，C，D都在同一球面上，则此球的体积为．15.给出下列平面图形：①三角形；②四边形；③五边形；④六边形．则过正方体中心的截面图形可以是．（填序号）16.如图所示的图形可用符号表示为．三、解答题（共6题）17.若直线l与平面α相交于点O，A,B∈l，C,D∈α，且AC∥BD，求证：O，C，D三点共线．18.正三棱台的高为3，上、下底面边长分别为2和4，求这个棱台的侧棱长和斜高．19.已知棱长均为5，底面为正方形的四棱锥S−ABCD如图所示，求它的侧面积、表面积．AD=a，E是AD的20.如图（1），在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠BAD=90∘，AB=BC=12中点，O是AC与BE的交点，将△ABE沿BE折起到图（2）中△A1BE的位置，得到四棱锥A1−BCDE．(1) 证明：CD⊥平面A1OC；(2) 当平面A1BE⊥平面BCDE时，四棱锥A1−BCDE的体积为36√2，求a的值．21.已知：a⫋α，b⫋α，a∩b=A，P∈b，PQ∥a．求证：PQ⫋α．22.如图，在多面体ABCDEF中，底面ABCD为矩形，侧面ADEF为梯形，AF∥DE，DE⊥AD，DC=DE．(1) 求证：AD⊥CE；(2) 求证：BF∥平面CDE；(3) 判断线段BE上是否存在点Q，使得平面ADQ⊥平面BCE？并说明理由．答案一、选择题（共10题）1. 【答案】B【解析】如图，Oʹ为△ABC外接圆的圆心，O为三棱锥P−ABC外接球的球心．因为AB=AC=BC=2√3，所以OʹA=3×23=2．因为PA=PB=PC=2√5，所以POʹ=4．设三棱锥P−ABC外接球的半径为R，则(4−R)2+4=R2，解得R=52，故三棱锥P−ABC外接球的体积是43πR3=125π6．【知识点】球的表面积与体积2. 【答案】C【解析】因为AB=BC，且E是AC的中点，所以BE⊥AC．同理，DE⊥AC．又BE∩DE=E，所以AC⊥平面BDE．因为AC⊂平面ABC，所以平面ABC⊥平面BDE．因为AC⊂平面ADC，所以平面ADC⊥平面BDE．【知识点】平面与平面垂直关系的判定3. 【答案】D【解析】由已知中罐子半径是4米，水深2米，故截面中阴影部分的面积 S =13π×42−√34×42=16π3−4√3 平方米，又由圆柱形的罐子的高 ℎ=9 米，故水的体积 V =Sℎ=48π−36√3 立方米， 故选：D ．【知识点】圆柱的表面积与体积4. 【答案】B【知识点】圆锥的表面积与体积5. 【答案】D【知识点】平面与平面平行关系的判定6. 【答案】A【解析】棱锥的侧面都是三角形，所以若底面和侧面相同，则只能是三角形． 【知识点】棱锥的结构特征7. 【答案】C【解析】因为正四棱锥 P −ABCD 的底面是边长为 √2 的正方形， 其体积为 43，底面积为 S =(√2)2=2． 所以棱锥高 ℎ=3V S=42=2，即圆柱的高为 2．因为圆柱的一个底面的圆周经过正方形的四个顶点，所以正方形的对角线为圆的直径 2R =√2×√2=2，即 R =1． 所以圆柱的表面积为 S =2×πR 2+2πR h2=2π+2π=4π． 【知识点】棱锥的表面积与体积、圆柱的表面积与体积8. 【答案】B【知识点】三视图、圆柱的表面积与体积9. 【答案】B【知识点】棱柱的结构特征10. 【答案】C【解析】由题可得，以 OB 所在直线为轴旋转一周所得的几何体是一个半球， 其中半球的半径 r =1，故半球的表面积为 2πr 2+πr 2=2π+π=3π． 【知识点】球的表面积与体积二、填空题（共6题）11. 【答案】9π【解析】因为球的体积为36π，设球的半径为r，则43πr3=36π，解得：r=3，因为球大圆即是过球心的截面圆，因此大圆的面积为S=πr2=9π．故答案为：9π．【知识点】球的表面积与体积12. 【答案】45∘或135∘【知识点】直线与直线的位置关系13. 【答案】RM【知识点】平面的概念与基本性质14. 【答案】4π3【解析】设正四棱锥的底面中心为O1，外接球的球心为O，如图所示．所以由球的截面的性质，可得OO1⊥平面ABCD．又SO1⊥平面ABCD，所以球心O必在SO1所在的直线上．所以△ASC的外接圆就是外接球的一个轴截面圆，外接圆的半径就是外接球的半径．在△ASC中，由SA=SC=√2，AC=2，得SA2+SC2=AC2．所以△ASC是以AC为斜边的直角三角形．所以AC2=1是外接圆的半径，也是外接球的半径．故V球=4π3．【知识点】组合体、球的表面积与体积15. 【答案】②④【解析】过正方体中心的平面截正方体所得的截面，至少与正方体的四个面相交，所以不可能是三角形．又因为截面为五边形时不过正方体的中心，过正方体各面上相邻两边的中点以及正方体的中心的截面图形为正六边形．【知识点】棱柱的结构特征16. 【答案】α∩β=AB【知识点】平面的概念与基本性质三、解答题（共6题）17. 【答案】因为AC∥BD，所以AC与BD确定一个平面，记作平面β，则α∩β=直线CD．因为l∩α=O，所以O∈α，又因为O∈AB，AB⊂β，所以O∈β，所以O∈直线CD，所以O，C，D三点共线．【知识点】平面的概念与基本性质18. 【答案】如图，在正三棱台ABC−A1B1C1中，两底面中心分别为O，O1，AB和A1B1的中点分别是E，E1，连接OO1，EE1，O1A1，OA，O1E1，OE，则四边形OAA1O1，四边形OEE1O1，都是直角梯形.在等边△ABC中，AB=4，则OA=4√33，OE=2√33，在等边△A1B1C1中，A1B1=2，则O1A1=2√33，O1E1=√33．在直角梯形OAA1O1中，OO1=3，所以AA1=√OO12+(OA−O1A1)2=√32+(4√33−2√33)2=√933．即棱台的侧棱长为√933．在直角梯形OEE1O1中，EE1=√OO12+(OE−O1E1)2=√32+(2√33−√33)2=2√213，即棱台的斜高为2√213．【知识点】棱台的结构特征19. 【答案】因为四棱锥S−ABCD的各棱长均为5，所以各侧面都是全等的正三角形，设E为AB的中点，连接SE，则SE⊥AB，所以S侧=4S△SAB=4×12AB×SE=2×5×√52−(52)2=25√3，S 表=S侧+S底=25√3+25=25(√3+1)．【知识点】棱锥的表面积与体积20. 【答案】(1) 连接CE．在直角梯形ABCD中，因为AB=BC=12AD=a，点E是AD的中点，∠BAD=90∘，所以四边形ABCE是正方形，所以BE⊥AC．在四棱锥A1−BCDE中，BE⊥A1O，BE⊥OC．因为A1O∩OC=O，A1O⊂平面A1OC，OC⊂平面A1OC，所以BE⊥平面A1OC．又因为DE∥BC，DE=BC，所以四边形BCDE是平行四边形，所以CD∥BE，所以CD⊥平面A1OC．(2) 由已知，平面A1BE⊥平面BCDE，且平面A1BE∩平面BCDE=BE．又由（1）知，A1O⊥BE，所以A1O⊥平面BCDE，即A1O是四棱锥A1−BCDE的高．平行四边形BCDE的面积S=BC⋅AB=a2，所以四棱锥A1−BCDE的体积V=13×S×A1O=√26a3．由√26a3=36√2，解得a=6．【知识点】直线与平面垂直关系的判定、棱锥的表面积与体积、平面与平面垂直关系的性质21. 【答案】因为PQ∥a，所以PQ与a确定一个平面β，所以直线a⫋β，点P∈β．因为P∈b，b⫋α,所以P∈α,又因为a⫋α.所以α与β重合，因为PQ⫋α．【知识点】直线与平面的位置关系22. 【答案】(1) 由底面ABCD为矩形，知AD⊥CD．又因为DE⊥AD，DE∩CD=D，所以AD⊥平面CDE．又因为CE⊂平面CDE，所以AD⊥CE．(2) 由底面ABCD为矩形，知AB∥CD，又因为AB⊄平面CDE，CD⊂平面CDE，所以AB∥平面CDE．同理AF∥平面CDE，又因为AB∩AF=A，所以平面ABF∥平面CDE．又因为BF⊂平面ABF，所以BF∥平面CDE．(3) 结论：线段BE上存在点Q（即BE的中点），使得平面ADQ⊥平面BCE．证明如下：取CE的中点P，BE的中点Q，连接AQ，DP，PQ，则PQ∥BC．由AD∥BC，得PQ∥AD．所以A，D，P，Q四点共面．由（Ⅰ）知AD⊥平面CDE，所以AD⊥DP，故BC⊥DP．在△CDE中，由DC=DE，可得DP⊥CE．又因为BC∩CE=C，所以DP⊥平面BCE．又因为DP⊂平面ADPQ，所以平面ADPQ⊥平面BCE（即平面ADQ⊥平面BCE）．即线段BE上存在点Q（即BE中点），使得平面ADQ⊥平面BCE．【知识点】平面与平面平行关系的性质、平面与平面垂直关系的判定、直线与平面垂直关系的性质11。
新教材 人教A版高中数学必修第二册 第八章立体几何初步 课时练习题及章末测验 精选配套习题含解析
第八章立体几何初步1、棱柱、棱锥、棱台的结构特征................................................................................ - 1 -2、圆柱、圆锥、圆台、球与简单组合体的结构特征................................................ - 7 -3、立体图形的直观图.................................................................................................. - 12 -4、棱柱、棱锥、棱台的表面积和体积...................................................................... - 18 -5、圆柱、圆锥、圆台的表面积和体积...................................................................... - 23 -6、球的表面积和体积.................................................................................................. - 29 -7、平面 ......................................................................................................................... - 35 -8、空间点、直线、平面之间的位置关系.................................................................. - 40 -9、直线与直线平行直线与平面平行...................................................................... - 44 -10、平面与平面平行.................................................................................................... - 49 -11、直线与直线垂直.................................................................................................... - 56 -12、直线与平面垂直.................................................................................................... - 63 -13、平面与平面垂直.................................................................................................... - 70 -章末综合测验................................................................................................................ - 76 -1、棱柱、棱锥、棱台的结构特征一、选择题1．(多选题)观察如下所示的四个几何体，其中判断正确的是()A．①是棱柱B．②不是棱锥C．③不是棱锥D．④是棱台ACD[结合棱柱、棱锥、棱台的定义可知①是棱柱，②是棱锥，④是棱台，③不是棱锥．]2．(多选题)下列说法错误的是()A．有2个面平行，其余各面都是梯形的几何体是棱台B．多面体至少有3个面C．各侧面都是正方形的四棱柱一定是正方体D．九棱柱有9条侧棱，9个侧面，侧面为平行四边形ABC[选项A错误，反例如图①；一个多面体至少有4个面，如三棱锥有4个面，不存在有3个面的多面体，所以选项B错误；选项C错误，反例如图②，上、下底面是全等的菱形，各侧面是全等的正方形，它不是正方体；根据棱柱的定义，知选项D正确．①②]3．在下列四个平面图形中，每个小四边形皆为正方形，其中可以沿相邻正方形的公共边折叠围成一个正方体的图形是()C[动手将四个选项中的平面图形折叠，看哪一个可以折叠围成正方体即可．]4.如图，将装有水的长方体水槽固定底面一边后倾斜一个小角度，则倾斜后水槽中的水形成的几何体是()A．棱柱B．棱台C．棱柱与棱锥的组合体D．不能确定A[如图．因为有水的部分始终有两个平面平行，而其余各面都易证是平行四边形，因此是棱柱．]5．用一个平面去截一个三棱锥，截面形状是()A．四边形B．三角形C．三角形或四边形D．不可能为四边形C[按如图①所示用一个平面去截三棱锥，截面是三角形；按如图②所示用一个平面去截三棱锥，截面是四边形．①②]二、填空题6．一棱柱有10个顶点，其所有的侧棱长的和为60 cm，则每条侧棱长为________cm.12[该棱柱为五棱柱，共有5条侧棱，每条侧棱长都相等，所以每条侧棱长为12 cm.]7．如图所示，在所有棱长均为1的三棱柱上，有一只蚂蚁从点A出发，围着三棱柱的侧面爬行一周到达点A1，则爬行的最短路程为________．10[将三棱柱沿AA1展开如图所示，则线段AD1即为最短路线，即AD1＝AD2＋DD21＝10.]8．以三棱台的顶点为三棱锥的顶点，这样可以把一个三棱台分成________个三棱锥．3[如图，三棱台可分成三棱锥C1-ABC，三棱锥C1-ABB1，三棱锥A-A1B1C1，共3个．]三、解答题9．如图所示的几何体中，所有棱长都相等，分析此几何体的构成？有几个面、几个顶点、几条棱？[解]这个几何体是由两个同底面的四棱锥组合而成的八面体，有8个面，都是全等的正三角形；有6个顶点；有12条棱．10．试从正方体ABCD-A1B1C1D1的八个顶点中任取若干，连接后构成以下空间几何体，并且用适当的符号表示出来．(1)只有一个面是等边三角形的三棱锥；(2)四个面都是等边三角形的三棱锥；(3)三棱柱．[解](1)如图①所示，三棱锥A1-AB1D1(答案不唯一)．(2)如图②所示，三棱锥B1-ACD1(答案不唯一)．(3)如图③所示，三棱柱A1B1D1-ABD(答案不唯一)．①②③11．由五个面围成的多面体，其中上、下两个面是相似三角形，其余三个面都是梯形，并且这些梯形的腰延长后能相交于一点，则该多面体是() A．三棱柱B．三棱台C．三棱锥D．四棱锥B[该多面体有三个面是梯形，而棱锥最多有一个面是梯形(底面)，棱柱最多有两个面是梯形(底面)，所以该多面体不是棱柱、棱锥，而是棱台．三个梯形是棱台的侧面，另两个三角形是底面，所以这个棱台是三棱台．]12．如图所示都是正方体的表面展开图，还原成正方体后，其中两个完全一样的是()①②③④A．①②B．②③C．③④D．①④B[在图②③中，⑤不动，把图形折起，则②⑤为对面，①④为对面，③⑥为对面，故图②③完全一样，而图①④则不同．]13．五棱柱中，不同在任何侧面且不同在任何底面的两顶点的连线称为它的对角线，那么一个五棱柱的对角线共有________条．10[在上底面选一个顶点，同时在下底面选一个顶点，且这两个顶点不在同一侧面上，这样上底面每个顶点对应两条对角线，所以共有10条．]14.如图，在边长为2a的正方形ABCD中，E，F分别为AB，BC的中点，沿图中虚线将3个三角形折起，使点A、B、C重合，重合后记为点P.问：(1)折起后形成的几何体是什么几何体？(2)这个几何体共有几个面，每个面的三角形有何特点？(3)每个面的三角形面积为多少？[解](1)如图，折起后的几何体是三棱锥．(2)这个几何体共有4个面，其中△DEF为等腰三角形，△PEF为等腰直角三角形，△DPE和△DPF均为直角三角形．(3)S△PEF＝12a2，S△DPF＝S△DPE＝12×2a×a＝a2，S△DEF＝S正方形ABCD－S△PEF－S△DPF－S△DPE＝(2a)2－12a2－a2－a2＝32a2.15.如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB＝3，BC＝4，A1A＝5，现有一只甲壳虫从点A出发沿长方体表面爬行到点C1来获取食物，试画出它的最短爬行路线，并求其路程的最小值．[解]把长方体的部分面展开，如图，有三种情况．对甲、乙、丙三种展开图利用勾股定理可得AC1的长分别为90，74，80，由此可见乙是最短线路，所以甲壳虫可以先在长方形ABB1A1内由A到E，再在长方形BCC1B1内由E到C1，也可以先在长方形AA1D1D内由A到F，再在长方形DCC1D1内由F到C1，其最短路程为74.2、圆柱、圆锥、圆台、球与简单组合体的结构特征一、选择题1．下列几何体中是旋转体的是 ( )①圆柱；②六棱锥；③正方体；④球体；⑤四面体．A ．①和⑤B ．①和②C ．③和④D ．①和④D [根据旋转体的概念可知，①和④是旋转体．]2．图①②中的图形折叠后的图形分别是( )① ②A ．圆锥、棱柱B ．圆锥、棱锥C ．球、棱锥D ．圆锥、圆柱B [根据图①的底面为圆，侧面为扇形，得图①折叠后的图形是圆锥；根据图②的底面为三角形，侧面均为三角形，得图②折叠后的图形是棱锥．]3．圆锥的侧面展开图是直径为a 的半圆面，那么此圆锥的轴截面是( )A ．等边三角形B ．等腰直角三角形C ．顶角为30°等腰三角形D ．其他等腰三角形A [设圆锥底面圆的半径为r ，依题意可知2πr ＝π·a 2，则r ＝a 4，故轴截面是边长为a 2的等边三角形．]4．如图，在日常生活中，常用到的螺母可以看成一个组合体，其结构特征是( )A ．一个棱柱中挖去一个棱柱B ．一个棱柱中挖去一个圆柱C ．一个圆柱中挖去一个棱锥D ．一个棱台中挖去一个圆柱B [一个六棱柱挖去一个等高的圆柱，选B ．]5．用长为8，宽为4的矩形做侧面围成一个圆柱，则圆柱的轴截面的面积为( )A ．32B ．32πC ．16πD ．8πB [若8为底面周长，则圆柱的高为4，此时圆柱的底面直径为8π，其轴截面的面积为32π；若4为底面周长，则圆柱的高为8，此时圆柱的底面直径为4π，其轴截面的面积为32π.]二、填空题6．如图是一个几何体的表面展开图形，则这个几何体是________．圆柱 [一个长方形和两个圆折叠后，能围成的几何体是圆柱．]7．下列命题中错误的是________．①过球心的截面所截得的圆面的半径等于球的半径；②母线长相等的不同圆锥的轴截面的面积相等；③圆台所有平行于底面的截面都是圆面；④圆锥所有的轴截面都是全等的等腰三角形．② [因为圆锥的母线长一定，根据三角形面积公式，当两条母线的夹角为90°时，圆锥的轴截面面积最大．]8．一个半径为5 cm 的球，被一平面所截，球心到截面圆心的距离为4 cm ，则截面圆面积为________ cm 2.9π [设截面圆半径为r cm ，则r 2＋42＝52，所以r ＝3.所以截面圆面积为9π cm 2.]三、解答题9．如图所示，梯形ABCD中，AD∥BC，且AD<BC，当梯形ABCD绕AD所在直线旋转一周时，其他各边旋转围成了一个几何体，试描述该几何体的结构特征．[解]如图所示，旋转所得的几何体是一个圆柱挖去两个圆锥后剩余部分构成的组合体．10．一个圆台的母线长为12 cm，两底面面积分别为4π cm2和25π cm2.求：(1)圆台的高；(2)截得此圆台的圆锥的母线长．[解](1)圆台的轴截面是等腰梯形ABCD(如图所示)．由已知可得上底面半径O1A＝2(cm)，下底面半径OB＝5(cm)，又因为腰长为12 cm，所以高AM＝122－(5－2)2＝315(cm)．(2)如图所示，延长BA，OO1，CD交于点S，设截得此圆台的圆锥的母线长为l，则由△SAO1∽△SBO可得l－12l＝25，解得l＝20 (cm)，即截得此圆台的圆锥的母线长为20 cm.11. (多选题)对如图中的组合体的结构特征有以下几种说法，其中说法正确的是()A．由一个长方体割去一个四棱柱所构成的B．由一个长方体与两个四棱柱组合而成的C．由一个长方体挖去一个四棱台所构成的D．由一个长方体与两个四棱台组合而成的AB[如图，该组合体可由一个长方体割去一个四棱柱所构成，也可以由一个长方体与两个四棱柱组合而成．故选项AB正确．]12.在正方体ABCD-A′B′C′D′中，P为棱AA′上一动点，Q为底面ABCD上一动点，M是PQ的中点，若点P，Q都运动时，点M构成的点集是一个空间几何体，则这个几何体是()A．棱柱B．棱台C．棱锥D．球的一部分A[由题意知，当P在A′处，Q在AB上运动时，M的轨迹为过AA′的中点，在平面AA′B′B内平行于AB的线段(靠近AA′)，当P在A′处，Q在AD上运动时，M的轨迹为过AA′的中点，在平面AA′D′D内平行于AD的线段(靠近AA′), 当Q在B处，P在AA′上运动时，M的轨迹为过AB的中点，在平面AA′B′B内平行于AA′的线段(靠近AB), 当Q在D处，P在AA′上运动时，M的轨迹为过AD的中点，在平面AA′D′D内平行于AA′的线段(靠近AB), 当P在A处，Q在BC上运动时，M 的轨迹为过AB的中点，在平面ABCD内平行于AD的线段(靠近AB), 当P在A处，Q在CD上运动时，M的轨迹为过AD的中点，在平面ABCD内平行于AB的线段(靠近AD), 同理得到：P在A′处，Q在BC上运动；P在A′处，Q在CD上运动；Q在C处，P在AA′上运动；P，Q都在AB，AD，AA′上运动的轨迹．进一步分析其他情形即可得到M的轨迹为棱柱体．故选A．]13．如图所示，已知圆锥SO中，底面半径r＝1，母线长l＝4，M为母线SA 上的一个点，且SM＝x，从点M拉一根绳子，围绕圆锥侧面转到点A．则绳子的最短长度的平方f(x)＝________.x2＋16(0≤x≤4)[将圆锥的侧面沿SA展开在平面上，如图所示，则该图为扇形，且弧AA′的长度L就是圆O的周长，所以L＝2πr＝2π，所以∠ASM＝Ll＝π2.由题意知绳子长度的最小值为展开图中的AM，其值为AM＝x2＋16 (0≤x≤4)．所以f(x)＝AM2＝x2＋16(0≤x≤4)．]14．球的两个平行截面的面积分别是5π，8π，两截面间的距离为1，求球的半径．[解]设两个平行截面圆的半径分别为r1，r2，球半径为R.由πr21＝5π，得r1＝ 5.由πr22＝8π，得r2＝2 2.(1)如图，当两个截面位于球心O的同侧时，有R2－r21－R2－r22＝1，即R2－5＝1＋R2－8，解得R＝3.(2)当两个截面位于球心O的异侧时，有R2－5＋R2－8＝1.此方程无解．由(1)(2)知球的半径为3.15．圆台上底面面积为π，下底面面积为16π，用一个平行于底面的平面去截圆台，该平面自上而下分圆台的高的比为2∶1，求这个截面的面积．[解]圆台的轴截面如图，O1，O2，O3分别为上底面、下底面、截面圆心．过点D作DF⊥AB于点F，交GH于点E.由题意知DO1＝1，AO2＝4，∴AF＝3.∵DE＝2EF，∴DF＝3EF，∴GEAF＝DEDF＝23，∴GE＝2.∴⊙O3的半径为3.∴这个截面面积为9π.3、立体图形的直观图一、选择题1．(多选题)如图，已知等腰三角形ABC，则如下所示的四个图中，可能是△ABC 的直观图的是()A B C DCD[原等腰三角形画成直观图后，原来的腰长不相等，CD两图分别为在∠x′O′y′成135°和45°的坐标系中的直观图．]2．(多选题)对于用斜二测画法画水平放置的图形的直观图来说，下列描述正确的是()A．三角形的直观图仍然是一个三角形B．90°的角的直观图会变为45°的角C．与y轴平行的线段长度变为原来的一半D．由于选轴的不同，所得的直观图可能不同ACD [对于A ，根据斜二测画法特点知，相交直线的直观图仍是相交直线，因此三角形的直观图仍是一个三角形，故A 正确；对于B,90°的角的直观图会变为45°或135°的角，故B 错误；C ，D 显然正确．]3．把△ABC 按斜二测画法得到△A ′B ′C ′(如图所示)，其中B ′O ′＝C ′O ′＝1，A ′O ′＝32，那么△ABC 是一个( )A ．等边三角形B ．直角三角形C ．等腰三角形D ．三边互不相等的三角形A [根据斜二测画法还原三角形在直角坐标系中的图形，如图所示：由图易得AB ＝BC ＝AC ＝2，故△ABC 为等边三角形，故选A ．]4．一个建筑物上部为四棱锥，下部为长方体，且四棱锥的底面与长方体的上底面尺寸一样，已知长方体的长、宽、高分别为20 m 、5 m 、10 m ，四棱锥的高为8 m ，若按1∶500的比例画出它的直观图，那么直观图中，长方体的长、宽、高和棱锥的高应分别为( )A ．4 cm,1 cm,2 cm,1.6 cmB ．4 cm,0.5 cm,2 cm,0.8 cmC ．4 cm,0.5 cm,2 cm,1.6 cmD ．2 cm,0.5 cm,1 cm,0.8 cmC [由比例尺可知长方体的长、宽、高和四棱锥的高分别为4 cm,1 cm,2 cm 和1.6 cm ，再结合斜二测画法，可知直观图的相应尺寸应分别为4 cm,0.5 cm ，2 cm ，1.6 cm.]5．如果一个水平放置的图形的斜二测直观图是一个底角为45°，腰和上底均为1的等腰梯形，那么原平面图形的面积是( )A ．2＋ 2B ．1＋22C ．2＋22D ．1＋2A[画出其相应平面图易求，故选A．]二、填空题6．斜二测画法中，位于平面直角坐标系中的点M(4,4)在直观图中的对应点是M′，则点M′的坐标为________．(4,2)[在x′轴的正方向上取点M1，使O′M1＝4，在y′轴上取点M2，使O′M2＝2，过M1和M2分别作平行于y′轴和x′轴的直线，则交点就是M′.] 7．水平放置的△ABC的斜二测直观图如图所示，已知A′C′＝3，B′C′＝2，则AB边上的中线的实际长度为________．2.5[由直观图知，由原平面图形为直角三角形，且AC＝A′C′＝3，BC＝2B′C′＝4，计算得AB＝5，所求中线长为2.5.]8．水平放置的△ABC在直角坐标系中的直观图如图所示，其中D′是A′C′的中点，且∠ACB≠30°，则原图形中与线段BD的长相等的线段有________条．2[△ABC为直角三角形，因为D为AC中点，所以BD＝AD＝CD．所以与BD的长相等的线段有2条．]三、解答题9．画出水平放置的四边形OBCD(如图所示)的直观图．[解](1)过点C作CE⊥x轴，垂足为点E，如图①所示，画出对应的x′轴、y′轴，使∠x′O′y′＝45°，如图②所示．①②③(2)如图②所示，在x′轴上取点B′，E′，使得O′B′＝OB，O′E′＝OE；在y′轴上取一点D′，使得O′D′＝12OD；过点E′作E′C′∥y′轴，使E′C′＝12EC．(3)连接B′C′，C′D′，并擦去x′轴与y′轴及其他一些辅助线，如图③所示，四边形O′B′C′D′就是所求的直观图．10．如图，△A′B′C′是水平放置的平面图形的直观图，试画出原平面图形△ABC．[解](1)画法：过C′，B′分别作y′轴的平行线交x′轴于D′，E′.(2)在直角坐标系xOy中．在x轴上取两点E，D使OE＝O′E′，OD＝O′D′，再分别过E，D作y轴平行线，取EB＝2E′B′，DC＝2D′C′.连接OB，OC，BC即求出原△ABC．11.如图所示，△A′O′B′表示水平放置的△AOB的直观图，B′在x′轴上，A′O′和x′轴垂直，且A′O′＝2，则△AOB的边OB上的高为()A ．2B ．4C ．2 2D ．42D [设△AOB 的边OB 上的高为h ，由题意，得S 原图形＝22S 直观图，所以12OB ·h ＝22×12×2×O ′B ′.因为OB ＝O ′B ′，所以h ＝4 2.故选D ．]12．已知两个圆锥，底面重合在一起，其中一个圆锥顶点到底面的距离为2 cm ，另一个圆锥顶点到底面的距离为 3 cm ，则其直观图中这两个顶点之间的距离为( )A ．2 cmB ．3 cmC ．2.5 cmD ．5 cmD [由题意可知其直观图如图，由图可知两个顶点之间的距离为5 cm.故选D ．]13．已知用斜二测画法，画得的正方形的直观图面积为182，则原正方形的面积为________．72 [如图所示，作出正方形OABC 的直观图O ′A ′B ′C ′，作C ′D ′⊥x ′轴于点D ′.S 直观图＝O ′A ′×C ′D ′.又S 正方形＝OC ×OA ． 所以S 正方形S 直观图＝OC ×OAO ′A ′×C ′D ′， 又在Rt △O ′D ′C ′中，O ′C ′＝2C ′D ′，即C ′D ′＝22O ′C ′，结合平面图与直观图的关系可知OA ＝O ′A ′，OC ＝2O ′C ′， 所以S 正方形S 直观图＝OC ×OA OA ×22O ′C ′＝2O ′C ′22O ′C ′＝2 2. 又S 直观图＝182，所以S 正方形＝22×182＝72.]14.如图是一个边长为1的正方形A ′B ′C ′D ′，已知该正方形是某个水平放置的四边形用斜二测画法画出的直观图，试画出该四边形的真实图形并求出其面积．[解]四边形ABCD的真实图形如图所示，因为A′C′在水平位置，A′B′C′D′为正方形，所以∠D′A′C′＝∠A′C′B′＝45°，所以在原四边形ABCD中，AD⊥AC，AC⊥BC，因为AD＝2D′A′＝2，AC＝A′C′＝2，＝AC·AD＝2 2.所以S四边形ABCD15．画出底面是正方形，侧棱均相等的四棱锥的直观图．[解](1)画轴．画x轴、y轴、z轴，使∠xOy＝45°，∠xOz＝90°，如图①.(2)画底面．以O为中心在xOy平面内画出正方形水平放置的直观图ABCD．(3)画顶点．在Oz轴上截取OP，使OP的长度是原四棱锥的高．(4)成图．连接P A、PB、PC、PD，并擦去辅助线，得四棱锥的直观图如图②.①②4、棱柱、棱锥、棱台的表面积和体积一、选择题1．如图，ABC-A′B′C′是体积为1的棱柱，则四棱锥C-AA′B′B的体积是()A ．13 B ．12 C ．23D ．34C [∵V C -A ′B ′C ′＝13V ABC -A ′B ′C ′＝13，∴V C -AA ′B ′B＝1－13＝23.] 2．正方体的表面积为96，则正方体的体积为( ) A ．48 6 B ．64 C ．16 D ．96[答案] B3．棱锥的一个平行于底面的截面把棱锥的高分成1∶2(从顶点到截面与从截面到底面)两部分，那么这个截面把棱锥的侧面分成两部分的面积之比等于( )A ．1∶9B ．1∶8C ．1∶4D ．1∶3 B [两个锥体的侧面积之比为1∶9，小锥体与台体的侧面积之比为1∶8，故选B ．]4．若正方体八个顶点中有四个恰好是正四面体的顶点，则正方体的表面积与正四面体的表面积之比是( )A ． 3B ． 2C ．23D ．32 A [如图所示，正方体的A ′、C ′、D 、B 的四个顶点可构成一个正四面体，设正方体边长为a ，则正四面体边长为2a . ∴正方体表面积S 1＝6a 2， 正四面体表面积为S 2＝4×34×(2a )2＝23a 2，∴S 1S 2＝6a 223a 2＝ 3.] 5．四棱台的两底面分别是边长为x 和y 的正方形，各侧棱长都相等，高为z ，且侧面积等于两底面积之和，则下列关系式中正确的是( )A ．1x ＝1y ＋1zB ．1y ＝1x ＋1zC ．1z ＝1x ＋1yD ．1z ＝1x ＋yC [由条件知，各侧面是全等的等腰梯形，设其高为h ′，则根据条件得， ⎩⎪⎨⎪⎧4·x ＋y 2·h ′＝x 2＋y 2，z 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y －x 22＝h ′2，消去h ′得，4z 2(x ＋y )2＋(y －x )2(y ＋x )2＝(x 2＋y 2)2. ∴4z 2(x ＋y )2＝4x 2y 2， ∴z (x ＋y )＝xy ， ∴1z ＝1x ＋1y .] 二、填空题6．已知一个长方体的三个面的面积分别是2，3，6，则这个长方体的体积为________．6[设长方体从一点出发的三条棱长分别为a ，b ，c ，则⎩⎪⎨⎪⎧ab ＝2，ac ＝3，bc ＝6，三式相乘得(abc )2＝6，故长方体的体积V ＝abc ＝ 6.]7．(一题两空)已知棱长为1，各面均为等边三角形的四面体，则它的表面积是________，体积是________．3 212 [S 表＝4×34×12＝3， V 体＝13×34×12×12－⎝ ⎛⎭⎪⎫33 2＝212.]8.如图，在棱长为a 的正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，则点A 到平面A 1BD 的距离d ＝________.33a [在三棱锥A 1-ABD 中，AA 1是三棱锥A 1-ABD 的高，AB ＝AD ＝AA 1＝a ，A 1B ＝BD ＝A 1D ＝2a ，∵V 三棱锥A 1-ABD ＝V 三棱锥A -A 1BD ， ∴13×12a 2×a ＝13×12×2a ×32×2a ×d ， ∴d ＝33a .∴点A 到平面A 1BD 的距离为33a .] 三、解答题9．已知四面体ABCD 中，AB ＝CD ＝13，BC ＝AD ＝25，BD ＝AC ＝5，求四面体ABCD 的体积．[解] 以四面体的各棱为对角线还原为长方体，如图． 设长方体的长、宽、高分别为x ，y ，z ，则⎩⎨⎧x 2＋y 2＝13，y 2＋z 2＝20，x 2＋z 2＝25，∴⎩⎨⎧x ＝3，y ＝2，z ＝4.∵V D -ABE ＝13DE ·S △ABE ＝16V 长方体， 同理，V C -ABF ＝V D -ACG ＝V D -BCH ＝16V 长方体， ∴V 四面体ABCD ＝V 长方体－4×16V 长方体＝13V 长方体． 而V 长方体＝2×3×4＝24，∴V 四面体ABCD ＝8.10．如图，已知正三棱锥S -ABC 的侧面积是底面积的2倍，正三棱锥的高SO ＝3，求此正三棱锥的表面积．[解] 如图，设正三棱锥的底面边长为a ，斜高为h ′，过点O 作OE ⊥AB ，与AB 交于点E ，连接SE ，则SE ⊥AB ，SE ＝h ′.∵S 侧＝2S 底， ∴12·3a ·h ′＝34a 2×2. ∴a ＝3h ′.∵SO ⊥OE ，∴SO 2＋OE 2＝SE 2. ∴32＋⎝ ⎛⎭⎪⎫36×3h ′2＝h ′2.∴h ′＝23，∴a ＝3h ′＝6.∴S 底＝34a 2＝34×62＝93，S 侧＝2S 底＝18 3. ∴S 表＝S 侧＋S 底＝183＋93＝27 3.11．正方体的棱长为2，以其所有面的中心为顶点的多面体的体积为( ) A ．3π B ．43 C ．32πD ．1B [如图所示，由图可知，该几何体由两个四棱锥构成，并且这两个四棱锥体积相等．四棱锥的底面为正方形，且边长为2，故底面积为(2)2＝2；四棱锥的高为1，故四棱锥的体积为13×2×1＝23.则几何体的体积为2×23＝43.]12．正三棱锥的底面周长为6，侧面都是直角三角形，则此棱锥的体积为( ) A ．423 B ． 2 C ．223 D ．23D [由题意，正三棱锥的底面周长为6，所以正三棱锥的底面边长为2，侧面均为直角三角形，可知侧棱长均为2，三条侧棱两两垂直，所以此三棱锥的体积为13×12×2×2×2＝23.]13．(一题两空)已知某几何体是由两个全等的长方体和一个三棱柱组合而成，如图所示，其中长方体的长、宽、高分别为4,3,3，三棱柱底面是直角边分别为4,3的直角三角形，侧棱长为3，则此几何体的体积是________，表面积是________．90 138 [该几何体的体积V ＝4×6×3＋12×4×3×3＝90，表面积S ＝2(4×6＋4×3＋6×3)－3×3＋12×4×3×2＋32＋42×3＋3×4＝138.]14．如图，在多面体ABCDEF 中，已知平面ABCD 是边长为4的正方形，EF ∥AB ，EF ＝2，EF 上任意一点到平面ABCD 的距离均为3，求该多面体的体积．[解] 如图，连接EB ，EC ．四棱锥E -ABCD 的体积 V 四棱锥E -ABCD ＝13×42×3＝16. ∵AB ＝2EF ，EF ∥AB ， ∴S △EAB ＝2S △BEF .∴V 三棱锥F -EBC ＝V 三棱锥C -EFB ＝12V 三棱锥C -ABE ＝12V 三棱锥E -ABC ＝12×12V 四棱锥E -ABCD ＝4. ∴多面体的体积V ＝V 四棱锥E -ABCD ＋V 三棱锥F -EBC ＝16＋4＝20.15．一个正三棱锥P -ABC 的底面边长为a ，高为h .一个正三棱柱A 1B 1C 1-A 0B 0C 0的顶点A 1，B 1，C 1分别在三条棱上，A 0，B 0，C 0分别在底面△ABC 上，何时此三棱柱的侧面积取到最大值？[解] 设三棱锥的底面中心为O ，连接PO (图略)，则PO 为三棱锥的高，设A 1，B 1，C 1所在的底面与PO 交于O 1点，则A 1B 1AB ＝PO 1PO ，令A 1B 1＝x ，而PO ＝h ，则PO 1＝ha x ，于是OO 1＝h －PO 1＝h －h a x ＝h ⎝ ⎛⎭⎪⎫1－x a .所以所求三棱柱的侧面积为S ＝3x ·h ⎝ ⎛⎭⎪⎫1－x a ＝3h a (a －x )x ＝3h a ⎣⎢⎡⎦⎥⎤a 24－⎝ ⎛⎭⎪⎫x －a 22.当x ＝a 2时，S 有最大值为34ah ，此时O 1为PO 的中点．5、圆柱、圆锥、圆台的表面积和体积一、选择题1．面积为Q 的正方形，绕其一边旋转一周，则所得几何体的侧面积为( ) A ．πQ B ．2πQ C ．3πQD ．4πQB [正方形绕其一边旋转一周，得到的是圆柱，其侧面积为S ＝2πrl ＝2π·Q ·Q ＝2πQ .故选B ．]2．一个圆台的母线长等于上、下底面半径和的一半，且侧面积是32π，则母线长为( )A ．2B ．2 2C ．4D ．8C[圆台的轴截面如图，由题意知，l＝12(r＋R)，S圆台侧＝π(r＋R)·l＝π·2l·l＝32π，∴l＝4.]3．圆台的一个底面周长是另一个底面周长的3倍，母线长为3，圆台的侧面积为84π，则圆台较小底面的半径为()A．7B．6C．5D．3A[设圆台较小底面半径为r，则另一底面半径为3r.由S＝π(r＋3r)·3＝84π，解得r＝7.]4．已知某圆柱的底面周长为12，高为2，矩形ABCD是该圆柱的轴截面，则在此圆柱侧面上，从A到C的路径中，最短路径的长度为()A．210 B．2 5C．3 D．2A[圆柱的侧面展开图如图，圆柱的侧面展开图是矩形，且矩形的长为12，宽为2，则在此圆柱侧面上从A到C的最短路径为线段AC，AC＝22＋62＝210.故选A．]5．用平行于圆锥底面的平面截圆锥，所得截面面积与底面面积的比是1∶3，这截面把圆锥母线分为两段的比是()A．1∶3 B．1∶ (3－1)C．1∶9 D．3∶2B[由面积比为1∶3，知小圆锥母线与原圆锥母线长之比为1∶3，故截面把圆锥母线分为1∶(3－1)两部分，故选B．]二、填空题6．表面积为3π的圆锥，它的侧面展开图是一个半圆，则该圆锥的底面直径为________．2 [设圆锥的母线为l ，圆锥底面半径为r ，由题意可知，πrl ＋πr 2＝3π，且πl ＝2πr .解得r ＝1，即直径为2.]7．我国古代数学名著《数书九章》中有“天池盆测雨”题：在下雨时，用一个圆台形的天池盆接雨水．天池盆盆口直径为二尺八寸，盆底直径为一尺二寸，盆深一尺八寸．若盆中积水深九寸，则平地降雨量是________寸．(注：①平地降雨量等于盆中积水体积除以盆口面积；②一尺等于十寸) 3 [圆台的轴截面是下底长为12寸，上底长为28寸，高为18寸的等腰梯形，雨水线恰为中位线，故雨水线直径是20寸，所以降水量为π3(102＋10×6＋62)×9π×142＝3(寸)．]8．圆台的上、下底面半径分别是10 cm 和20 cm ，它的侧面展开图扇环的圆心角是180°(如图)，那么圆台的体积是________．7 000π3 3 cm 3[180°＝20－10l ×360°，∴l ＝20， h ＝103，V ＝13π(r 21＋r 22＋r 1r 2)·h ＝7 0003π3 (cm 3)．] 三、解答题9．若圆锥的表面积是15π，侧面展开图的圆心角是60°，求圆锥的体积． [解] 设圆锥的底面半径为r ，母线为l ， 则2πr ＝13πl ，得l ＝6r .又S 圆锥＝πr 2＋πr ·6r ＝7πr 2＝15π，得r ＝157，圆锥的高h ＝⎝⎛⎭⎪⎫61572－⎝⎛⎭⎪⎫1572＝53，V ＝13πr 2h ＝13π×157×53＝2537π.10．如图是一个底面直径为20 cm 的装有一部分水的圆柱形玻璃杯，水中放着一个底面直径为6 cm ，高为20 cm 的圆锥形铅锤，且水面高于圆锥顶部，当铅锤从水中取出后，杯里的水将下降多少？[解] 因为圆锥形铅锤的体积为13×π×⎝ ⎛⎭⎪⎫622×20＝60π(cm 3)，设水面下降的高度为x cm ，则小圆柱的体积为π⎝ ⎛⎭⎪⎫2022x ＝100πx .所以有60π＝100πx ，解此方程得x ＝0.6. 故杯里的水将下降0.6 cm.11．已知圆柱的侧面展开图矩形面积为S ，底面周长为C ，它的体积是( ) A ．C 34πS B ．4πS C 3 C ．CS 2πD ．SC 4πD [设圆柱底面半径为r ，高为h ，则⎩⎨⎧Ch ＝S ，C ＝2πr ，∴r ＝C 2π，h ＝S C .∴V ＝πr 2·h ＝π⎝ ⎛⎭⎪⎫C 2π2·S C ＝SC4π.]12．如图，已知底面半径为r 的圆柱被一个平面所截，剩下部分母线长的最大值为a ，最小值为b .那么圆柱被截后剩下部分的体积是________．πr 2(a ＋b )2 [采取补体方法，相当于一个母线长为a ＋b 的圆柱截成了两个体积相等的部分，所以剩下部分的体积V ＝πr 2(a ＋b )2.]13．(一题两空)圆柱内有一个内接长方体ABCD -A 1B 1C 1D 1，长方体的体对角线长是10 2 cm ，圆柱的侧面展开图为矩形，此矩形的面积是100π cm 2，则圆柱的底面半径为________cm ，高为________cm.5 10 [设圆柱底面半径为r cm ，高为h cm ，如图所示，则圆柱轴截面长方形的对角线长等于它的内接长方体的体对角线长，则：⎩⎨⎧(2r )2＋h 2＝(102)2，2πrh ＝100π， 所以⎩⎨⎧r ＝5，h ＝10.即圆柱的底面半径为5 cm ，高为10 cm.]14．如图在底面半径为2，母线长为4的圆锥中内接一个高为3的圆柱，求圆柱的表面积．[解] 设圆锥的底面半径为R ，圆柱的底面半径为r ，表面积为S .则R ＝OC ＝2，AC ＝4， AO ＝42－22＝2 3.如图所示，易知△AEB ∽△AOC ，所以AE AO ＝EB OC ，即323＝r 2，所以r ＝1，S 底＝2πr 2＝2π，S 侧＝2πr ·h ＝23π. 所以S ＝S 底＋S 侧＝2π＋23π＝(2＋23)π.15．某养路处建造圆锥形仓库用于贮藏食盐(供融化高速公路上的积雪用)．已建的仓库的底面直径为12 m ，高为4 m ．养路处拟建一个更大的圆锥形仓库，以存放更多食盐．现有两种方案：一是新建的仓库的底面直径比原来大4 m(高不变)；二是高度增加4 m(底面直径不变)．(1)分别计算按这两种方案所建的仓库的体积； (2)分别计算按这两种方案所建的仓库的表面积； (3)哪种方案更经济些？[解] (1)设两种方案所建的仓库的体积分别为V 1，V 2.方案一：仓库的底面直径变成16 m ，则其体积V 1＝13×π×⎝ ⎛⎭⎪⎫1622×4＝2563π(m 3)； 方案二：仓库的高变成8 m ，则其体积V 2＝13×π×⎝ ⎛⎭⎪⎫1222×8＝96π(m 3)．(2)设两种方案所建的仓库的表面积分别为S 1，S 2. 方案一：仓库的底面直径变成16 m ，半径为8 m ， 此时圆锥的母线长为l 1＝82＋42＝45(m)，则仓库的表面积S 1＝π×8×(8＋45)＝(64＋325)π(m 2)；方案二：仓库的高变成8 m ，此时圆锥的母线长为l 2＝82＋62＝10(m)， 则仓库的表面积S 2＝π×6×(6＋10)＝96π(m 2)． (3)因为V 2>V 1，S 2<S 1， 所以方案二比方案一更加经济．。
高一数学必修2立体几何初步单元测试题（修改）
高一数学必修2立体几何初步单元测试题（修改）高一数学必修2立体几何初步单元测试题班级：姓名：学号：一、选择题：1、线段AB 在平面α内，则直线AB 与平面α的位置关系是（）A 、AB α? B 、AB α?C 、由线段AB 的长短而定D 、以上都不对2、下列说法正确的是A 、三点确定一个平面B 、四边形一定是平面图形C 、梯形一定是平面图形D 、平面α和平面β有不同在一条直线上的三个交点3、垂直于同一条直线的两条直线一定（）A 、平行B 、相交C 、异面D 、以上都有可能 4、在正方体1111ABCD A BC D -中，下列几种说法正确的是（）A 、11AC AD ⊥B 、11DC AB ⊥ C 、1AC 与DC 成45角 D 、11AC 与1BC成60角 5、若直线l ∥平面α，直线a α?，则l 与a 的位置关系是（）A 、l ∥aB 、l 与a 异面C 、l 与a 相交D 、l 与a 没有公共点6、下列命题中：（1）平行于同一直线的两个平面平行；（2）平行于同一平面的两个平面平行；（3）垂直于同一直线的两直线平行；（4）垂直于同一平面的两直线平行。
其中正确的个数有（）A 、1B 、2C 、3D 、47、a ，b ，c 表示直线，M 表示平面，给出下列四个命题：①若a ∥M ，b ∥M ，则a ∥b ；②若b íM ，a ∥b ，则a ∥M ；③若a ⊥c ，b ⊥c ，则a ∥b ；④若a ⊥M ，b ⊥M ，则a ∥b .其中正确命题的个数有（）A 、0个B 、1个C 、2个D 、3个8、如图:直三棱柱ABC —A 1B 1C 1的体积为V ，点P 、Q 分别在侧棱AA 1和CC 1上，AP=C 1Q ，则四棱锥B —APQC 的体积为（）A 、2VB 、3VC 、4VD 、5V二、填空题：9、等体积的球和正方体,它们的表面积的大小关系是S 球_____S 正方体(填”大于、小于或等于”).10、正方体1111ABCD A BC D -中，平面11AB D 和平面1BCD 的位置关系为QC'B'A'CBAB1C 1A 1D 1BAC D11、已知PA 垂直平行四边形ABCD 所在平面，若PC BD ⊥，则平行四边形ABCD 一定是 .12、如图，在直四棱柱A 1B 1C 1 D 1－ABCD 中，当底面四边形ABCD满足条件_________时，有A 1 B ⊥B 1 D 1．(注：填上你认为正确的一种条件即可，不必考虑所有可能的情形.)三、解答题：13、已知圆台的上下底面半径分别是2、5,且侧面面积等于两底面面积之和,求该圆台的母线长.14、已知E 、F 、G 、H 为空间四边形ABCD 的边AB 、BC 、CD 、DA 上的点,且ＥＨ∥ＦＧ．求证：EH ∥BD .15、已知ABC ?中90ACB ∠=,SA ⊥面ABC ,AD SC ⊥,求证：AD ⊥面SBC ．H G FE D B A CSDBA16、已知正方体1111ABCD A BC D -，O 是底ABCD 对角线的交点.,求证：(１) C 1O ∥面11AB D ；(2)面1BDC //面11AB D ．17、已知△BCD 中，∠BCD =90°，BC =CD =1，AB ⊥平面BCD ，∠ADB =60°，E 、F 分别是AC 、AD 上的动点，且ADAFAC AE = 求证：平面BEF ⊥平面ABC .D 1ODB AC 1B 1A 1CFEDBAC高一数学必修2立体几何测试题参考答案一、选择题 ACDDD BBB 二、填空题11、小于 12、平行 13、菱形 14、对角线A 1C 1与B 1D 1互相垂直三、解答题15、解:设圆台的母线长为l ,则圆台的上底面面积为224S ππ=?=上圆台的上底面面积为2525S ππ=?=下，所以圆台的底面面积为29S S S π=+=下上又圆台的侧面积(25)7S l l ππ=+=侧于是725l ππ= 即297l =为所求. 16、证明：,EH FG EH ? 面BCD ，FG ?面BCD∴EH ∥面BCD又EH ? 面BCD ，面BCD 面ABD BD =，∴EH ∥BD17、证明：90ACB ∠=BC AC ∴⊥又SA ⊥面ABC SA BC ∴⊥ BC ∴⊥面SAC BC AD ∴⊥ 又,SC AD SC BC C ⊥=AD ∴⊥面SBC19、证明：（1）连结11AC ，设11111ACB D O = 连结1AO ， 1111ABCD A BCD -是正方体11A ACC ∴是平行四边形∴A 1C 1∥AC 11AC AC = 又1,O O 分别是11,AC AC 的中点，∴O 1C 1∥AO 且11OC AO = 11AOC O ∴是平行四边形111,C O AO AO ∴? 面11ABD ，1C O ?面11AB D∴C 1O ∥面11AB D（2）1CC ⊥ 面1111A B C D 11!CC B D ∴⊥又1111AC B D ⊥ ，1111B D AC C ∴⊥面 111AC B D ⊥即同理可证11AC AB ⊥，又1111D B AB B =∴1AC ⊥面11AB D 20、证明：（Ⅰ）∵AB ⊥平面BCD ，∴AB ⊥CD ，∵CD ⊥BC 且AB ∩BC=B ，∴CD ⊥平面ABC.又ADAFAC AE = ∴EF ∥CD ，∴EF ⊥平面ABC ，EF ?平面BEF,∴平面BEF ⊥平面ABC.。
高中数学第八章立体几何初步测评习题含解析第二册
第八章测评(时间:120分钟满分：150分)一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的）1。
如图所示,△A’O’B'表示水平放置的△AOB的直观图,B’在x’轴上,A'O’与x’轴垂直,且A’O’=2,则△AOB的边OB上的高为（）A.2B.4 C。
2 D.4△AOB的边OB上的高为h,因为S原图形=2S直观图,所以×OB×h=2×O’B'×2,又OB=O’B'，所以h=4.2。
如图，一圆锥的母线长为4，其侧面积为4π，则这个圆锥的体积为（）A。
B.C。
πD。
π,此扇形的半径R=4，设其弧长为l,侧面积为扇形的面积，所以扇形的面积S1=Rl=4π，解得弧长l=2π,所以圆锥的底面周长为2π，由此可知底面半径r=1,所以底面面积为S=π,圆锥的高为h=，故圆锥的体积V=Sh=π.3。
在等腰直角三角形ABC中,AB=BC=1，M为AC的中点,沿BM把它折成二面角，折后A与C的距离为1，则二面角C—BM—A的大小为()A。
30°B。
60°C.90°D.120°,由A'B=BC=1，∠A’BC=90°知A'C=.∵M为A’C的中点，∴MC=AM=，且CM⊥BM,AM⊥BM,∴∠CMA为二面角C-BM—A的平面角。
∵AC=1，MC=MA=，∴∠CMA=90°,故选C。
4.如图,在四边形ABCD中,∠DAB=90°，∠ADC=135°，AB=5,CD=2，AD=2，则四边形ABCD绕AD所在直线旋转一周所成几何体的表面积为(）A.(60+4)πB。
（60+8）πC.(56+8）πD。
(56+4)πABCD绕AD所在直线旋转一周所成的几何体,如图.S表面=S圆台下底面+S圆台侧面+S圆锥侧面=π+π（r1+r2)l2+πr1l1=π×52+π×（2+5)×5+π×2×2=（60+4）π.故选A.5。
立体几何单元测试卷
立体几何测试题（2）班级___________ 姓名__________ 学号_________ 分数___________ 一、选择题（每小题5分，共60分）1、以下命题（其中a ，b 表示直线，α表示平面）其中正确命题的个数是（ ） ①若a ∥b ，b ⊂α，则a ∥α ②若a ∥α，b ∥α，则a ∥b③若a ∥b ，b ∥α，则a ∥α ④若a ∥α，b ⊂α，则a ∥b （A ）0个 （B ）1个 （C ）2个 （D ）3个 2、下列说法正确的是（ ）A 、三点确定一个平面B 、四边形一定是平面图形C 、梯形一定是平面图形D 、平面α和平面β有不同在一条直线上的三个交点 3、垂直于同一条直线的两条直线一定（ ）A 、平行B 、相交C 、异面D 、以上都有可能 4、在正方体1111ABC D A B C D -中，下列几种说法正确的是（ ）A 、11A C AD ⊥B 、11DC AB ⊥ C 、1AC 与D C 成45 角 D 、11A C 与1B C 成60 角 5、若直线l 平面α，直线a α⊂，则l 与a 的位置关系是（ ）A 、l aB 、l 与a 异面C 、l 与a 相交D 、l 与a 没有公共点 6、下列命题中：（1）、平行于同一直线的两个平面平行；（2）、平行于同一平面的两个平面平行；（3）、垂直于同一直线的两直线平行；（4）、垂直于同一平面的两直线平行.其中正确的个数有（ ）A 、1B 、2C 、3D 、4 7、在空间四边形A B C D 各边A B B C C D D A 、、、上分别取EFGH 、、、四点，如果与EF G H 、能相交于点P ，那么（ ） A 、点必P 在直线A C 上 B 、点P 必在直线BD 上C 、点P 必在平面ABC 内D 、点P 必在平面ABC 外 8、a ，b ，c 表示直线，M 表示平面，给出下列四个命题：其中正确的是（ ） ①若a ∥M ，b ∥M ，则a ∥b ； ②若b ⊂M ，a ∥b ，则a ∥M ； ③若a ⊥c ，b ⊥c ，则a ∥b ； ④若a ⊥M ，b ⊥M ，则a ∥b . A 、0个 B 、1个 C 、2个 D 、3个 9、一个棱柱是正四棱柱的条件是（ ） A.底面是正方形，有两个侧面是矩形 B.底面是正方形，有两个侧面垂直于底面 C.底面是菱形，且有一个顶点处的三条棱两两垂直 D.每个侧面都是全等矩形的四棱柱10、在棱长为1的正方体上，分别用过共顶点的三条棱中点的平面截该正方体,则截去8个三棱锥后,剩下的凸多面体的体积是（ ）A 、23B 、76C 、45D 、5611、已知二面角AB αβ--的平面角是锐角θ，α内一点C 到β的距离为3，点C 到棱AB 的距离为4，那么tan θ的值等于 （ ）A 、34B 、35C、7D、712、如图:直三棱柱ABC —A 1B 1C 1的体积为V ，点P 、Q 分别在侧棱AA 1和CC 1上，AP=C 1Q ，则四棱锥B —APQC 的体积为（ ）A 、2V B 、3V C 、4V D 、5V二、填空题（每小题5分，共２０分）13、在正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，E 、F 分别为棱AB 、CC 1的中点，则异面直线EF 与A 1C 所成角的大小是_______________．14、正方体1111ABC D A B C D -中，平面11A B D 和平面1B C D 的位置关系为 15、已知P A 垂直平行四边形A B C D 所在平面，若PC BD ⊥，平行则四边形A B C D 一定是 . 16、如图PA ⊥⊙O 所在平面，AB 是⊙O 的直径，C 是⊙O 上一点，E 、F 分别是点A 在PB 、PC 上的射影，给出下列结论：①AF ⊥PB ②EF ⊥PB ③AF ⊥BC④AE ⊥平面PBC ，其中真命题的序号是 。
高中数学 第三章《空间向量与立体几何》同步练习二 新人教A版选修2-1
空间向量与立体几何一选择题：1. 下列说法中正确的是（B ）A. 若∣a ∣=∣b ∣，则a ，b 的长度相同，方向相反或相同;B. 若a 与b 是相反向量，则∣a ∣=∣b ∣;C. 空间向量的减法满足结合律;D. 在四边形ABCD 中，一定有AB AD AC +=.2. 已知向量a ，b 是两个非零向量，00,a b 是与a ，b 同方向的单位向量，那么下列各式正确的是（ D ）A. 00a b =B. 00a b =或00a b =-C. 01a =D. ∣0a ∣=∣0b ∣3. 在四边形ABCD 中，若AC AB AD =+,则四边形是（ D ） A. 矩形 B. 菱形 C. 正方形 D. 平行四边形4. 下列说法正确的是（ D ） A. 零向量没有方向B. 空间向量不可以平行移动C. 如果两个向量不相同，那么它们的长度不相等D. 同向且等长的有向线段表示同一向量 5.以下四个命题中正确的是（ C ）A.空间的任何一个向量都可用其他三个向量表示B.若{→a ,→b ,→c }为空间向量的一组基底，则{→a +→b ,→b +→c ,→c -→a }构成空间向量的另一组基底C.△ABC 为直角三角形的充要条件为→AB ·→AC =0D.任何三个不共线的向量都可构成空间向量的一组基底6. 在平行六面体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，与向量→A 1B 1模相等的向量有(C ) A ．7个 B ．3个C ．5个D ．6个7.如图所示，在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，下列各式中运算结果为向量AC 1→的是( D )①(AB →＋BC →)＋CC 1→；②(AA 1→＋A 1D 1→)＋D 1C 1→； ③(AB →＋BB 1→)＋B 1C 1→；④(AA 1→＋A 1B 1→)＋B 1C 1→. A ．①③ B ．②④ C ．③④D ．①②③④8. 对于向量a 、b 、c 和实数λ，下列命题中的真命题是( B ) A 若a ·b ＝0，则a ＝0或b ＝0 B 若λa ＝0，则λ＝0或a ＝0 C 若a 2＝b 2，则a ＝b 或a ＝－b D 若a ·b ＝a ·c ，则b ＝c9.P 为正六边形ABCDEF 外一点，O 为ABCDEF 的中心则→PA +→PB +→PC +→PD +→PE +→PF 等于（ C ） A.→PO B.3→PO C.6→PO D.→0 10. 下列说法正确的是（ A ）A.a 与非零向量b 共线,b 与c 共线，则a 与c 共线B. 任意两个相等向量不一定共线C. 任意两个共线向量相等D. 若向量a 与b 共线，则a b λ=11. 将边长为1的正方形ABCD 沿角线BD 折成直二面角，若点P 满足→BP =12→BA -12→BC +→BD ,则|→BP|的值为（ D ）A.32B.2C.10-24D.9412.已知平行六面体''''ABCD A B C D -，M 是AC 与BD 交点，若',,AB a AD b AA c ===，则与'B M 相等的向量是（ A ）A. 11-22a b c -+；B. 11-22a b c +；C. 1122a b c -+；D. 1122a b c --+.13. 下列等式中，使M,A,B,C 四点共面的个数是（ B ）①;OM OA OB OC =--②111;532OM OA OB OC =++③0;MA MB MC ++=④0OM OA OB OC +++=.A. 1B. 2C. 3D. 414. 在下列命题中：①若a 、b 共线，则a 、b 所在的直线平行；②若a 、b 所在的直线是异面直线，则a 、b 一定不共面；③若a 、b 、c 三向量两两共面，则a 、b 、c 三向量一定也共面；④已知三向量a 、b 、c ，则空间任意一个向量p 总可以唯一表示为p ＝x a ＋y b ＋z c ．其中正确命题的个数为 （ A ）. A ．0 B.1 C. 2 D. 3 15. 下列命题中：①若0a b •=，则a ，b 中至少一个为0 ②若a 0≠且a b a c •=•，则b c = ③()()a b c a b c ••=••④22(32)(32)94a b a b a b +•-=-正确有个数为（ B ）A. 0个B. 1个C. 2个D. 3个 16. 已知1e 和2e 是两个单位向量，夹角为3π，则下面向量中与212e e -垂直的是（ C ） A. 12e e + B. 12e e - C. 1e D. 2e17.若a ＝123(,,)a a a ，b ＝123(,,)b b b ，则312123a a ab b b ==是//a b 的（ A ）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分又不不要条件18已知()()1,0,0,0,1,1A B -,OA OB λ+与OB 的夹角为120°，则λ的值为（ C ）A. D. 19.若()()2,2,0,3,2,a x b x x ==-，且,a b 的夹角为钝角，则x 的取值范围是（ A ）A. 4x <-B. 40x -<<C. 04x <<D. 4x >20.已知 ()()1,2,,,1,2a y b x =-=， 且(2)//(2)a b a b +-，则（ B ）A. 1,13x y ==B. 1,42x y ==-C. 12,4x y ==- D. 1,1x y ==-21. 已知两非零向量e 1，e 2不共线，设a ＝λe 1＋μe 2(λ、μ∈R 且λ2＋μ2≠0)，则( D ) A ．a ∥e 1 B ．a ∥e 2 C ．a 与e 1，e 2共面D ．以上三种情况均有可能22正方体ABCD －A ′B ′C ′D ′中，向量AB ′→与BC ′→的夹角是( C )A ．30° B ．45° C ．60°D ．90°23设A ，B ，C ，D 是空间不共面的四点，且满足A B →·A C →＝0，A C →·A D →＝0，A B →·A D →＝0，则△BCD 是( B )A ．钝角三角形B ．锐角三角形C ．直角三角形D ．不确定24.平行六面体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AB ＝1，AD ＝2，AA 1＝3，∠BAD ＝90°，∠BAA 1＝∠DAA 1＝60°，则AC 1的长为 ( D )A.13B.43C.33D.2325. 已知a ＝（2，－1，3），b ＝（－1，4，－2），c ＝（7，5，λ），若a 、b 、c 三向量共面，则实数λ=（ D ） A. 627 B. 637 C. 647 D. 65726 若a 、b 均为非零向量，则||||⋅=a b a b 是a 与b 共线的（ A ） A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分又不必要条件 27.已知△ABC 的三个顶点为A （3，3，2），B （4，－3，7），C （0，5，1），则BC 边上的中线长为（ B ）A ．2B ．3C ．4D ．528 已知a +b +c ＝0，|a |＝2，|b |＝3，|c |＝a 与b 之间的夹角,a b <>为（ C ）A ．30°B ．45°C ．60°D ．以上都不对29 .已知()()1,1,0,1,0,2,a b ==-且ka b +与2a b -互相垂直，则k 的值是（D ）A. .1B. 15C. 35D. 7530.若A )12,5,(--x x x ，B )2,2,1(x x -+，当B A取最小值时，x 的值等于（ C ）A ．19B ．78-C ．78D ．141931.空间四边形OABC 中，OB OC =，3AOB AOC π∠=∠=，则cos <,OA BC >的值是（D ）A ．21 B ．22 C ．－21D ．032.已知(1,2,3)OA =，(2,1,2)OB =，(1,1,2)OP =，点Q 在直线OP 上运动，则当QA QB ⋅取得最小值时，点Q 的坐标为 （ C ） (A)．131(,,)243(B)123(,,)234(C)448(,,)333(D)447(,,)333二填空题：33．已知ABCD ,顶点A(1,0,0),B(0,1,0),C(0,0,2)则顶点D 的坐标为_____.（1，-1,2） 34.Rt ABC 中，,∠BAC=90°, A(2,1,1),B(1,1,2), C(x,0,1)则x=______2 35已知A(3,5,-7),B(-2,4,3),则AB 在坐标平面yoz 上的射影的长度为_____101 36已知正方形ABCD 的边长为1，AB →＝a ，BC →＝b ，AC →＝c ，则|a ＋b ＋c|等于________． 3 37已知O 是空间任一点，A 、B 、C 、D 四点满足任三点均不共线，但四点共面，且OA →＝2xBO →＋3yCO →＋4zDO →， 则2x ＋3y ＋4z ＝____138．已知A ，B ，C 三点共线，则对空间任一点O ，存在三个不为0的实数λ，m ，n ，使λOA →＋mOB →＋nOC →＝0，那么λ＋m ＋n 的值为________． 139.已知矩形ABCD ，P 为平面ABCD 外一点，M 、N 分别为BC 、PD 的中点，且满足M N →＝xAB →＋yAD →＋zAP →则实数x ，y ，z 的值分别为________．-1,0,1240．在空间四边形ABCD 中，A B →·C D →＋B C →·A D →＋C A →·B D →＝________→0.41．已知|a|＝32，|b|＝4，a 与b 的夹角为135°，m ＝a ＋b ，n ＝a ＋λb ，则m ⊥n ，则λ＝________.11642．若向量)2,3,6(),4,2,4(-=-=b a，则(23)(2)a b a b -+=__________________。
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[A 级 基础演练]
1．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为( )
A.2π3 B ．π C.4π3
D ．12π
解析：选 A.由三视图可知该几何体的直观图为一个圆柱内挖去两个与圆柱同底的半球，所以该几何体的体积V ＝V 柱－2V 半球＝π×12×2－2×12×43π×13＝2
3π，选A.
2．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为( )
A.1
3＋2π B ．13π6 C.7π3
D ．5π2
解析：选 B.由三视图可知，该几何体是一个圆柱和半个圆锥组合而成的几何体，其体积为π×12×2＋12×13π×12×1＝13
6π.
3．某几何体三视图如图所示，则该几何体的体积为( )
A ．8－2π
B ．8－π
C ．8－π
2
D ．8－π
4
解析：选B.这是一个正方体切掉两个1
4圆柱后得到的几何体，
如图，几何体的高为2，V ＝23－1
4×π×12×2×2＝8－π. 4．一个四面体的三视图如图所示，则该四面体的表面积是( )
A ．1＋ 3
B ．1＋2 2
C ．2＋ 3
D ．2 2
解析：选C.如图，该四面体有两个面为等腰直角三角形，另外两个面为正三角形．故该四面体的表面积S ＝2×12×2×2＋2×1
2×2×2×3
2＝2＋ 3.
5．(2017·沈阳质检)四面体A -BCD 的四个顶点都在球O 的球面上，AB ⊥平面BCD ，△BCD 是边长为3的等边三角形．若AB ＝2，则球O 的表面积为( )
A.32π3 B ．12π C ．16π
D ．32π
解析：选C.将四面体A -BCD 补形成正三棱柱，则其外接球的球心为上、下底面的中心连线的中点，底面△BCD 的外接圆半径为3，所以外接球的半径R ＝
（3）2
＋⎝ ⎛⎭
⎪⎫AB 22
＝2，球O 的表面积S ＝4πR 2＝16π，故选C.
6．某四棱锥的三视图如图所示，该四棱锥最长棱的棱长为( )
A ．1
B ． 2 C. 3
D ．2
解析：选C.根据三视图，可知几何体的直观图为如图所示的四棱锥V -ABCD ，其中VB ⊥平面ABCD ，且底面ABCD 是边长为1的正方形，VB ＝1.所以四棱锥中最长棱为VD .连接BD ，易知BD ＝2，在Rt △VBD 中，VD ＝VB 2＋BD 2＝ 3.
7．一个多面体的三视图如图所示，则该多面体的体积为( )
A.233 B ．476 C ．6
D ．7
解析：选A.由三视图画出几何体的直观图如图所示．该几何体是正方体去掉两个角所形成的多面体．
其体积为V ＝2×2×2－2×13×12×1×1×1＝23
3.
8.某一容器的三视图如图所示，则该几何体的体积为 ．
解析：依题意，题中的几何体是从一个棱长为2的正方体中挖去一个圆锥，其中该圆锥的底面半径是1、高是2，因此题中的几何体的体积等于23－1
3π×12×2＝8－2π
3.
答案：8－2π
3
9．(2016·高考天津卷)已知一个四棱锥的底面是平行四边形，该四棱锥的三视图如图所示(单位：m)，则该四棱锥的体积为 m 3.
解析：根据三视图可知该四棱锥的底面是底边长为2 m 、高为1 m 的平行四边形，四棱锥的高为3 m ，故其体积为1
3×2×1×3＝2(m 3)．
答案：2
10．(2017·大连模拟)直三棱柱ABC -A 1B 1C 1的六个顶点都在球O 的球面上．若AB ＝BC ＝2，∠ABC ＝90°，AA 1＝22，则球O 的表面积为 ．
解析：由题设可知，直三棱柱可以补成一个球的内接长方体，所以球的直径为长方体的体对角线长，即22＋22＋（22）2＝4，故球O 的表面积S ＝4πR 2
＝16π.
答案：16π
[B 级 能力突破]
1．如图，在多面体ABCDEF 中，已知ABCD 是边长为1的正方形，且△ADE ，△BCF 均为正三角形，EF ∥AB ，EF ＝2，则该多面体的体积为( )
A.23 B ．33 C.43
D ．32
解析：选A.如图，分别过点A ，B 作EF 的垂线，垂足分
别为G ，H ，连接DG ，CH ，容易求得EG ＝HF ＝1
2，AG ＝GD
＝BH ＝HC ＝32，则△BHC 中BC 边的高h ＝2
2.
∴S △AGD ＝S △BHC ＝12×22×1＝2
4，
∴V ＝V E ADG ＋V F BHC ＋V AGD BHC ＝2V E ADG ＋V AGD BHC ＝13×24×12×2＋2
4×1
＝2
3.
2．如图是一几何体的三视图，则该几何体的表面积是( )
A ．5＋ 3
B ．5＋2 3
C ．4＋2 2
D ．4＋2 3
解析：选A.由三视图可知该几何体的直观图如图所示，该图是一个六面体ABCDEFG ，其中底面ABCD 为正方形，AF ∥
CG ，且AF ＝CG ＝1，DE ∥AF ，且DE ＝2AF ，易计算出EF ＝BF ＝BG ＝EG ＝2，所以四边形EFBG 为菱形，其对角线长分别为2和6，故该几何体的表面积S ＝1×1＋12×1×1×2＋12×(1＋2)×1×2＋1
2×6×2＝5＋3，故选A.
3．(2017·广西三市联考)三棱锥P -ABC 中，P A ⊥AB ，P A ⊥AC ，∠BAC ＝120°，P A ＝AB ＝AC ＝2，则此三棱锥外接球的体积为 ．
解析：设△ABC 外接圆的半径为r ，三棱锥外接球的半径为R ，∵AB ＝AC ＝2，∠BAC ＝120°，
∴BC ＝AB 2＋AC 2－2AB ·AC cos ∠BAC ＝
4＋4－2×2×2×⎝ ⎛⎭
⎪⎫
－12＝23，
∴2r ＝
23
32
＝4，∴r ＝2，由题意知P A ⊥平面ABC ，则将三棱锥补成三棱柱可得R ＝
⎝ ⎛⎭
⎪⎫P A 22＋r 2
＝5，∴此三棱锥外接球的体积为43π·(5)3＝
2053π. 答案：205
3π
4．若一个几何体的表面积和体积相同，则称这个几何体为“同积几何体”．已知某几何体为“同积几何体”，其三视图如图所示，则a 的值为 ．
解析：根据几何体的三视图可知该几何体是一个四棱柱，如图所示，可得其体积为12(a ＋2a )·a ·a ＝32a 3，其表面积为12
·(2a ＋a )·a ·2＋a 2＋a 2＋2a ·a ＋2a ·a ＝7a 2＋2a 2，所以7a 2＋2a 2＝3
2a 3，解得a ＝14
＋223.
答案：
14＋22
3。