3.3.2直线交点坐标与距离公式(2)

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高中数学人教A版必修二课件：两条直线的交点坐标两点间的距离公式

[答案] (1)C (2)C
[ 解析] 1 点为(3，1)． 12 (2)分别令 x＝0，求得两直线与 y 轴的交点分别为：－ m 和－ 12 m m 6. 3 ，由题意得－ m ＝－ 3 ，解得 m＝±
3x＋4y－5＝0 (1)联立方程组 3x＋5y－6＝0
1 x＝，解得 3 ，故交 y＝1
求平面上两点间距离
已知 A(a,3)和 B(3,3a＋3)的距离为 5，求 a 的值.
[ 思路分析]
[ 解析]
2
利用两点间距离公式列方程解得 a 的值．
∵|AB|＝ a－32＋3－3a－32＝5，
8 即 5a －3a－8＝0，∴a＝－1 或 a＝5.
[ 规律总结]
两点间的距离公式与两点的先后顺序无关，也就
是说公式既可以写成 |P1P2| ＝ x2－x12＋y2－y12 ，也可以写成 |P1P2|＝ x1－x22＋y1－y22，利用此公式可以将有关的几何问题转化为代数问题进行研究．在直角坐标系中，我们求线段的长度时，常常使用两点间的距离公式．
已知点 A(3,6)，在 x 轴上的点 P 与点 A 的距离等于 10，则点 P 的坐标为________．
A1x＋B1y＋C1＝0 l2 平行时，方程组 A2x＋B2y＋C2＝0
解的个数是 (
)
A．0 C．2
B．1 D．无数个
[答案] A [解析] 当l1∥l2时，直线l1与l2无公共点，故方程组无解．
3．已知 M(2,1)、N(－1,5)，则|MN|＝_______.
[ 答案]
[ 解析]
1.两条直线 l1：2x－y－1＝0 与 l2：x＋3y－11＝0 的交点坐标为 ( ) A．(3,2) C．(－2，－3) B．(2,3) D．(－3，－2)

3.3直线的交点坐标与距离公式

.
1.求两直线交点的方法（联立方程组）
2.平面内两点P1(x1,y1), P2(x2,y2) 的距离公式是
|P 1P 2 |
( x2 x1 ) ( y2 y1 )
2
2
1.求两直线交点的方法（联立方程组）
2.平面内两点P1(x1,y1), P2(x2,y2) 的距离公式是
|P 1P 2 |
一般式通过化简 A C y= − B x + B
如何利用斜率、截距来判断两直线的位置关系？
直线方程：y = kx + b
A C y= − B x + B
两直线平行
k1 k2 b1 b2 k1 k2 b1 b2 k1 k2 k1k2 1
A1 B2 A2 B1
A1C2 A2C1
( x2 x1 ) ( y2 y1 )
2
2
3.平面内一点P(x0,y0) 到直线Ax+By+C=0的距离公式是
d
Ax0 By0 C A B
2 2
当A=0或B=0时, 公式仍然成立.
4.两条平行线Ax+By+C1=0与Ax+By+C2=0的距离是
d
C1 C2 A B
2 2
l2 : 6 x 2 y 1 0
的交点
3 x y 4 0 6 x 2 y 1 0
∴两直线无公共点
无解
例3：求直线的交点坐标
l1 :3x 4 y 5 0
和 l2 : 6 x 8 y 10 0
解：解方程组
3 x 4 y 5 0 6 x 8 y 10 0
因为点R ， S 在直线l上，

数学33《直线的交点坐标与距离公式》试题(新人教必修2)

3.3直线的交点坐标与距离公式第1题. 到两条直线3450x y -+=与512130x y -+=的距离相等的点()P x y ，必定满足方程〔〕Ａ．440x y -+= Ｂ．740x y +=Ｃ．440x y -+=或4890x y -+= Ｄ．740x y +=或3256650x y -+= 答案：Ｄ．第2题. 设点P 在直线30x y +=上，且P 到原点的距离与P 到直线320x y +-=的距离相等，那么点P 坐标是．答案：31()55-，或31()55-，第3题. ABC △中，(32)A ，，(15)B -，，C 点在直线330x y -+=上，假设ABC △的面积为10，求出点C 坐标．答案：解：由题得：[]223(1)(25)5AB =--+-=．1102ABC S AB h ==△∵，4h =∴〔h 为点C 到直线AB 的距离〕．设点C 坐标为00()x y ，，AB 的方程为32(3)4y x -=--，即34170x y +-=．由0000330341745x y x y -+=⎧⎪⎨+-=⎪⎩，解得0012x y =-⎧⎨=⎩或00538x y ⎧=⎪⎨⎪=⎩．∴C 点坐标为(10)-，或5(8)3，．第4题. 直线l 在两坐标轴上的截距相等，且(43)P ，到直线l 的距离为32l 的方程．答案：解：由题，假设截距为0，那么设所求l 的直线方程为y kx =．243321k k -=+123142k -±=假设截距不为0，那么设所求直线方程为0x y a +-=．43322a+-=∵，1a =∴或13a =，∴所求直线为123142y x -±=，10x y +-=或130x y +-=．第5题. 用解析法证明：等腰三角形底边上任意一点到两腰的距离之和等于一腰上的高的长．答案：证明：建立如下列图坐标系，(0)A a ，，(0)B b ，，(,0)C a -(00)a b >>，那么直线AB 方程为0bx ay ab +-=，直线BC 的方程为0bx ay ab -+=．设底边AC 上任意一点为(0)P x ，，()a x a -≤≤，那么P 到AB 的距离为2222()bx ab b a x PE a b a b--==++，P 到BC 的距离为2222()bx ab b a x PF a ba b++==++，A 到BC 的距离为22222ba ab ab h a ba b+==++，222222()()2b a x b a x ab PE PF h a ba ba b-++=+==+++∵，∴原结论成立．第6题. 直线3230x y +-=和610x my ++=互相平行，那么它们之间的距离是〔〕Ａ．4Ｂ．21313Ｃ．51326Ｄ．71326答案：Ｄ．第7题. 一直线过点(20)P ，，且点43(2Q -，到该直线距离等于4，求该直线倾斜角．答案：解：当过P 点的直线垂直于x 轴时，Q 点到直线的距离等于4，此时直线的倾斜角为2π，当过P 点的直线不垂直于x 轴时，直线斜率存在，设过P 点的直线为(2)y k x =-，即20kx y k --=．由24322341k k d k ---==+，解得33k =． ∴直线倾斜角为6π．综上，该直线的倾斜面角为6π或2π．第8题. 等腰直角三角形ABC 的斜边所在的直线是320x y -+=，直角顶点是(32)C -，，那么两条直角边AC ，BC 的方程是〔〕Ａ．350x y -+=，270x y +-= Ｂ．240x y +-=，270x y --= Ｃ．240x y -+=，270x y +-= Ｄ．3220x y --=，220x y -+= 答案：Ｂ．第9题. 求经过两直线1l ：240x y -+=和2l ：20x y +-=的交点P ，且与直线3l ：3450x y -+=垂直的直线l 的方程．答案：解法一：解方程组24020x y x y -+=⎧⎨+-=⎩的交点P (0，2)．∵直线3l 的斜率为34，∴直线l 的斜率为43-．∴直线l 的方程为42(0)3y x -=--，即4360x y +-=．解法二：设所求直线l 的方程为24(2)0x y x y λ-+++-=．由该直线的斜率为43-，求得λ的值11，即可以得到l 的方程为4360x y +-=．第10题. 入射光线线在直线1l ：230x y --=上，经过x 轴反射到直线2l 上，再经过y 轴反射到直线3l 上，那么直线3l 的方程为〔〕Ａ．230x y -+=Ｂ．230x y -+=Ｃ．230x y +-=Ｄ．260x y -+= 答案：Ｂ．第11题. 直线420mx y +-=与250x y n -+=垂直，垂足为(1，p )，那么m n p -+=．答案：20第12题. 试求直线1l ：20x y --=，关于直线2l ：330x y -+=对称的直线l 的方程．答案：解法一：由方程组20330x y x y --=⎧⎨-+=⎩得5292x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩∴直线1l 、2l 的交点为A (52-，92-)．设所求直线l 的方程为95()22y k x +=+，即22590kx y k -+-=．由题意知：1l 到2l 与2l 到l 的角相等，那么31313113k k--=+⨯+，7k =-∴．即所求直线l 的方程为7220x y ++=．解法二：在1l 上任取点P (1x ，1y )〔2P l ∉〕，设点P 关于2l 的对称点为Q (x '，y ')．那么11113302231x x y y y y x x ++⎧-+=⎪⎪⎨+⎪=-+⎪⎩''''解得1143953495x y x x y y -+-⎧=⎪⎪⎨+-⎪=⎪⎩''''又点P 在1l 上运动，1120x y --=∴．4393432055x y x y -+-++--=∴''''．即7220x y ++=''，也就是7220x y ++=．第13题. 点(0，5)到直线20x y -=的距离是〔〕Ａ．52532Ｄ．54 答案：B ．第14题. 直线1l 与2l 夹角平分线所在直线为y x =，如果1l 的方程是0(0)ax by c ab ++=>，那么直线2l 的方程是〔〕Ａ．0bx ay c ++=Ｂ．0ax by c -+= Ｃ．0bx ay c +-=Ｄ．0bx ay c -+= 答案：Ａ．第15题. 假设直线5421x y m +=+与直线23x y m +=的交点在第四象限，那么m 的取值范围是〔〕Ａ．2m <Ｂ．32m >Ｃ．32m <-Ｄ．322m -<<答案：Ｄ．第16题. 直线l 过直线240x y -+=与350x y -+=的交点，且垂直于直线12y x =，那么直线l 的方程是．答案：10580x y ++=．第17题. 直线l 与直线3100x y -+=，280x y +-=分别交于点M ，N ，假设MN 的中点是(01)，，求直线l 的方程．答案：解：设直线l 的方程为1y kx -=或0x =，17310031y kx x x y k =+⎧⇒=⎨-+=-⎩； 172802y kx x x y k =+⎧⇒=⎨+-=+⎩，由770312k k +=-+，得14k =-，又直线0x =不合题意． ∴所求直线方程为440x y +-=．第18题. 〔1〕(34)A -，，(2B ，在x 轴上找一点P ，使PA PB =，并求PA 的值；〔2〕点(4)M x -，与(23)N ，间的距离为x 的值．答案：解〔1〕设点P 为(0)x ，，那么有PA ==PB ==由PA PB =得2262547x x x x ++=-+，解得95x =-．即所求点P 为9(0)5-，且2292109(3)(04)55PA =-++-=．〔2〕由72MN =，又22(2)(43)72MN x =-+--=，得24450x x --=，解得19x =或25x =-，故所求x 值为9+或5-．第19题. 直线l 经过(25)P -，，且与点(32)A -，和(16)B -，的距离之比为12：，求直线l 的方程．答案：解：由题知，直线l 的斜率存在．设斜率为k ，∵直线l 过点(25)P -，，∴直线l 方程为5(2)y k x +=-，即250kx y k ---=．记点A 到直线l 的距离为1223(2)25311k k k d k k-----==++．记点B 到直线l 的距离为222(1)62531111k k k d k k----+==++．又1212d d =∵：：，313112k k -=+∴，化简得：218170k k ++=，解得11k =-，217k =-，∴所求直线l 为：30x y ++=或17290x y +-=．第20题. 假设点(3)P a ，到直线340x y +-=的距离为1，那么a 值为〔〕333-Ｃ．333333- 答案：Ｄ．第21题. 设点P 在直线30x y +=上，且P 到原点的距离与P 到直线320x y +-=的距离相等，那么点P 坐标是．答案：31()55-，或31()55-，．第22题. 直线l 在两坐标轴上的截距相等，且(43)P ，到直线l 的距离为32l 的方程．答案：解：由题，假设截距为0，那么设所求l 的直线方程为y kx =．243321k k -=+∵，123142k -±=．假设截距不为0，那么设所求直线方程为0x y a +-=，43322a+-=∵，1a =∴或13a =，∴所求直线为123142y x -±=，10x y +-=或130x y +-=．第23题. 一直线过点(20)P ，，且点43(2)3Q -，到该直线距离等于4，求该直线倾斜角．答案：解：当过P 点的直线垂直于x 轴时，Q 点到直线的距离等于4，此时直线的倾斜角为2π，当过P 点的直线不垂直于x 轴时，直线斜率存在，设过P 点的直线为(2)y k x =-，即20kx y k --=．由24322341k k d k ---==+，解得33k =． ∴直线倾斜角为6π．综上，该直线的倾斜角为6π或2π．第24题. 直线180l mx y n ++=：，直线2210l x my +-=：，12l l ∥，两平行直线间距离为5，而过点()(00)A m n m n >>，，的直线l 被1l 、2l 截得的线段长为10，求直线l 的方程．答案：解：∵12l l ∥，2160m -=∴得4m =±．0m >∵，4m =∴．故1:480l x y n ++=，24820l x y +-=：．又1l 与2l 5，222548n +=+18n =或22n =-〔舍〕．故A 点坐标为(418)，．再设l 与1l 的夹角为θ，斜率为k ，1l 斜率为12-， 2sin 2θ=∵，4θ=π∴，1()2tan 1141()2k k--==+-π，解得13k =或3k =-．∴直线l 的方程为118(4)3y x -=-或183(4)y x -=--．即3500x y -+=或3300x y +-=．第25题. 直线210mx y m -++=经过一定点，那么该定点的坐标为〔〕Ａ．(21)-，Ｂ．(21)，Ｃ．(12)-，Ｄ．(12)，答案：Ａ．第26题. 假设(16)P --，，(30)Q ，，延长QP 到A ，使13AP PQ =，那么A 的坐标为〔〕Ａ．7(8)3--，Ｂ．9(0)2，Ｃ．2(2)3-，Ｄ．2(2)3-，答案：Ａ．。

直线的交点坐标与距离公式

合．
预习导学
2．过定点的直线系方程已知直线 l1：A1x＋B1y＋C1＝0 与直线 l2：A2x＋B2y＋C2＝0 交于点 P(x0，y0)，则方程 A1x＋B1y＋C1＋λ(A2x＋B2y＋C2)
过点P ＝0 表示__________ 的直线系，不包括直线 l2.
3．两点间的距离平面上的两点 P1(x1，y1)，P2(x2，y2)间的距离公式 x2－x12＋y2－y12 |P1P2|＝____________________________.
2 ∵直线过坐标原点，∴其斜率 k＝＝－1. －2 故直线方程为 y＝－x，即 x＋y＝0. 法二 ∵l2 不过原点，∴可设 l 的方程为 3x＋4y－2＋ λ(2x＋y＋2)＝0(λ∈R)，即(3＋2λ)x＋ (4＋λ)y＋2λ－2＝0.将原点坐标(0,0)代入上式，得 λ＝1，∴直线 l 的方程为 5x＋ 5y＝0，即 x＋y＝0.
课堂讲义
跟踪演练3 已知：等腰梯形ABCD中，AB∥DC，对角线为 AC和BD. 求证：|AC|＝|BD|.
证明如图所示，建立直角坐标系，设 A(0,0)， B(a,0)， C(b， c)，则点 D 的坐标是(a－b，c)． ∴|AC|＝ b－02＋c－02＝ b2＋c2， |BD|＝ a－b－a2＋c－02＝ b2＋c2. 故|AC|＝|BD|.
(1)解设点 M 的坐标为(x，y)，因为点 M 为 BC 的中点， 3＋1 －3＋7 所以 x＝＝2， y＝＝2，即点 M 的坐标为(2,2)．由 2 2 两点间的距离公式得|AM|＝－3－22＋1－22＝ 26，所以 BC 边上的中线 AM 的长为 26.
课堂讲义
(2)证明根据题意可得， |AB|＝－3－32＋1＋32＝2 13， |BC|＝ 1－32＋7＋32＝2 26， |AC|＝－3－12＋1－72＝2 13，所以|AB|＝|AC|，且|AB|2＋|AC|2＝|BC|2，所以△ABC 为等腰直角三角形．

直线的交点坐标与距离公式

直线的交点坐标与距离公式在平面几何中，直线是直角坐标系中的基本图形之一、直线的交点坐标和距离公式在解决直线的相关问题时非常有用。

接下来，我将详细介绍直线的交点坐标和距离公式。

1.直线的交点坐标公式：设直线L1的方程为y=k1x+b1，直线L2的方程为y=k2x+b2、若L1和L2有交点，则交点的坐标(x0,y0)满足以下等式：k1x0+b1=k2x0+b2解上述等式可以得到交点的横坐标x0。

将x0带入其中一个直线的方程，可以求得交点的纵坐标y0。

如果两条直线平行，则它们没有交点。

2.直线的距离公式：设点P到直线L的距离为d。

L的一般方程为Ax+By+C=0。

点P的坐标为(x0,y0)。

则点P到直线L的距离d可以由以下公式计算：d=，Ax0+By0+C，/√(A^2+B^2)以上就是直线的交点坐标和距离公式的基本内容。

下面我们将通过具体的例子来进一步理解和应用这些公式。

例1：求直线y=2x+3和y=-x+4的交点坐标。

解：将两个方程相等，得到：2x+3=-x+43x=1x=1/3将x=1/3带入其中一个方程，可以求得y的值：y=2*(1/3)+3=7/3因此，这两条直线的交点坐标为(1/3,7/3)。

例2：求点(1,-2)到直线3x-4y+5=0的距离。

解：由于A=3，B=-4，C=5，将这些值代入距离公式中，可以得到：d=，3*1-4*(-2)+5，/√(3^2+(-4)^2)=，3+8+5，/√(9+16)=16/√25=16/5因此，点(1,-2)到直线3x-4y+5=0的距离为16/5通过以上两个例子，我们可以看到直线的交点坐标和距离公式在解决直线相关问题时的重要性。

它们能够帮助我们简单、快速地求解直线的交点和距离，为我们的几何计算提供便利。

除了直线的交点坐标和距离公式，还有其他的直线相关的公式和定理，如直线的斜率公式、两直线垂直的判定等等。

通过深入学习和理解这些公式和定理，我们将能够更好地应用它们解决各种几何问题，提高我们的数学能力。

直线的交点坐标与距离公式

直线的交点坐标与距离公式知识要点梳理知识点一：直线的交点求两直线与的交点坐标，只需求两直线方程联立所得方程组的解即可.①若有，则方程组有无穷多个解，此时两直线重合；②若有，则方程组无解，此时两直线平行；③若有，则方程组有唯一解，此时两直线相交，此解即两直线交点的坐标。

要点诠释：求两直线的交点坐标实际上就是解方程组，看方程组解的个数。

知识点二：两点间的距离公式两点间的距离公式为。

要点诠释：此公式可以用来求解平面上任意两点之间的距离，它是所有求距离问题的基础，点到直线的距离和两平行直线之间的距离均可转化为两点之间的距离来解决.知识点三：点到直线的距离公式点到直线的距离为。

要点诠释：①此公式常用于求三角形的高、两平行间的距离。

②点到直线的距离为直线上所有的点到已知点的距离中最小距离。

知识点四：两平行线间的距离本类问题常见的有两种解法：①转化为点到直线的距离问题，在任一条直线上任取一点，此点到另一条直线的距离即为两直线之间的距离；②距离公式：直线与直线的距离为。

要点诠释：(1)两条平行线间的距离，可以看作在其中一条直线上任取一点，这个点到另一条直线的距离，此点一般可以取直线上的特殊点，也可以看作是两条直线上各取一点，这两点间的最短距离；(2)利用两条平行直线间的距离公式时，一定先将两直线方程化为一般形式，且两条直线中x，y的系数要保持一致。

经典例题透析类型一：求交点坐标判断下列各对直线的位置关系，如果相交，求出交点的坐标.。

类型二：求两点间的距离在直线2x-y=0 上求一点P ，使它到点 M(5，8) 的距离为５，并求直线PM 的方程。

类型三：求点到直线的距离求点P(3，-2)到下列直线的距离：类型四：求两平行直线间的距离求两条平行线间的距离。

思路点拨：求两平行直线间的距离可以转化为点到直线的距离，也可以利用距离公式.题组一两条直线的交点问题1．若直线l 1：y ＝kx ＋k ＋2l 2y x k 的取值围是( )A ．k >－23B ．k <2C ．－23<k <2D ．k <－23或k >2 2．若y ＝a |x |的图象与直线y ＝x ＋a (a >0)有两个不同交点，则a 的取值围是( )A ．0<a ．a ＝1题组二有关直线的对称问题3．直线l ：4x ＋3y －2＝0A )A ．4x ＋3y －4＝0B ．4x ＋3y －12＝0C ．4x －3y －4＝0D ．4x －3y －12＝04．已知A (3,1)、B (－1,2)，若∠ACB 的平分线在y ＝x ＋1上，则AC 所在直线方程是____________．题组三有关距离问题5．已知点A (－3，－4)，B (6,3)l ax y 则实数a 的值等于( )A.79 B ．－13 C ．－79或－13 D ．79或136．若动点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)分别在直线l 1：x ＋y －7＝0和l 2：x ＋y －5＝0上移动，则线段AB 的中点M 到原点的距离的最小值为 ( )A ．2 3B ．3 3C ．3 2D ．4 2题组四综合问题7．若k ，－1，b y kx b ( )A ．(1，－2)B ．(1,2)C ．(－1,2)D ．(－1，－2)8．点P (－1,3)到直线l ：y ＝k (x －2)的距离的最大值等于 ( )A ．2B ．3C ．3 2D ．2 39．已知点A (3,1)，在直线x －y ＝0和y ＝0上分别有点M 和N 使△AMN 的周长最短，求点M 、N 的坐标．10．已知n 条直线：l 1：x －y ＋C 1＝0，C 1＝2且l 2：x －y ＋C 2＝0，l 3：x －y ＋C 3＝0，…，l n ：x －y ＋C n ＝0，其中C 1<C 2<C 3<…<C n ，这n 条平行直线中，每相邻两条之间的距离顺次为2,3,4，…，n .(1)求C n ；(2)求x －y ＋C n ＝0与x 轴、y 轴围成的图形的面积．直线的交点坐标与距离公式练习一、选择题1．两条平行线l 1：3x ＋4y ＋c 1＝0，l 2：6x ＋8y ＋c 2＝0之间的距离是 ( )A ．d ＝|c 1－c 2|5B ．d ＝|2c 1－c 2|10C ．d ＝|2c 1－c 2|5D ．以上皆非 2．当0＜k ＜12时，直线l 1：kx －y ＝k －1与直线l 2：ky －x ＝2k 的交点在 ( ) A ．第一象限 B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限3．直线y ＝2x ＋10，y ＝x ＋1，y ＝ax －2交于一点，则a 的值为 ( )A.13B.43C.23D.534．点P (m －n ，－m )到直线x m ＋y n＝1的距离等于 ( ) A.m 2＋n 2 B.m 2－n 2 C.－m 2＋n 2 D.m 2±n 25．若直线l 1：y ＝k (x －4)与直线l 2关于点(2,1)对称，则直线l 2恒过定点( ) A ．(0,4) B ．(0,2) C ．(－2,4) D ．(4，－2)二、填空题6．若两平行直线3x －2y －1＝0,6x ＋ay ＋c ＝0之间的距离为21313，则c ＋2a的值为______． 7．直线3x －4y －27＝0上到点P (2,1)距离最近的点的坐标是________．8．与直线x －y －2＝0平行，且它们的距离为22的直线方程是________________．三、解答题9．求过直线l 1：x －2y ＋3＝0与直线l 2：2x ＋3y －8＝0的交点，且到点P (0,4)的距离为2的直线方程．10．已知直线l ：3x －y ＋3＝0，求：(1)点P (4,5)关于l 的对称点；(2)直线x －y －2＝0关于直线l 对称的直线方程．11．已知直线l 经过直线2x ＋y －5＝0与x －2y ＝0的交点，(1)点A (5,0)到l 的距离为3，求l 的方程；(2)求点A (5,0)到l 的距离的最大值．.直线的交点坐标与距离公式练习答案1、解析：l 2：3x ＋4y ＋c 22＝0，∴d ＝|c 1－c 22|5. 答案：B2、解析：解方程组⎩⎪⎨⎪⎧ kx －y ＝k －1，ky －x ＝2k ，得两直线的交点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫k k －1，2k －1k －1，因为0＜k ＜12，所以k k －1＜0，2k －1k －1＞0，所以交点在第二象限．答案：B3、解析：直线y ＝2x ＋10与y ＝x ＋1的交点坐标为(－9，－8)，代入y ＝ax －2，得－8＝a ·(－9)－2，a ＝23. 答案：C4、解析：因为直线x m ＋y n＝1可化为nx ＋my －mn ＝0，则由点到直线的距离公式，得 d ＝|(m －n )n ＋(－m )m －mn |m 2＋n 2. 答案：A5、解析：由于直线l 1：y ＝k (x －4)恒过定点(4,0)，其关于点(2,1)对称的点为(0,2)，又由于直线l 1：y ＝k (x －4)与直线l 2关于点(2,1)对称，∴直线l 2恒过定点(0,2)．答案：B6、解析：由题意得，36＝－2a ≠－1c，∴a ＝－4，c ≠－2，则6x ＋ay ＋c ＝0可化为3x －2y ＋c 2＝0，由两平行线间的距离，得21313＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪c 2＋113，解得c ＝2或－6，所以c ＋2a＝±1. 7、解析：数形结合所求点即为过P 点垂直于已知直线的交点，可得P ′(5，－3)．答案：(5，－3)8、解析：设所求直线l ：x －y ＋m ＝0，由|m ＋2|2＝22，∴m ＝2或－6. 答案：x －y ＋2＝0或x －y －6＝09、解：由⎩⎪⎨⎪⎧ x －2y ＋3＝0，2x ＋3y －8＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝1，y ＝2，∴l 1，l 2交点为(1,2)．设所求直线方程为y －2＝k (x －1)，即kx －y ＋2－k ＝0，∵P (0,4)到直线距离为2，∴2＝|－2－k |1＋k 2，解得：k ＝0或k ＝43. ∴直线方程为y ＝2或4x －3y ＋2＝0.10、解：设P (x ，y )关于直线l ：3x －y ＋3＝0的对称点为P ′(x ′，y ′)． ∵k PP ′·k 1＝－1，即y ′－y x ′－x×3＝－1. ① 又PP ′的中点在直线3x －y ＋3＝0上，∴3×x ′＋x 2－y ′＋y 2＋3＝0. ② 由①②得43953435x y x x y y -+-⎧'=⎪⎪⎨++⎪'=⎪⎩③ ④(1)把x ＝4，y ＝5代入③及④得x ′＝－2，y ′＝7，∴P (4,5)关于直线l 的对称点P ′的坐标为(－2,7)．(2)用③④分别代换x －y －2＝0中的x ，y ，得关于l 的对称直线方程为－4x ＋3y －95－3x ＋4y ＋35－2＝0，化简得7x ＋y ＋22＝0. 11、解：(1)经过两已知直线交点的直线系方程为(2x +y -5)+λ(x -2y )=0，即(2+λ)x +(1-2λ)y -5=0，221055(2)(1)λλλ+-++-=3.即2λ2-5λ+2=0，∴λ=2或12. ∴l 方程为x =2或4x-3y -5=0.(2)由250,20,x y x y +-=⎧⎨-=⎩解得交点P (2,1)，如图，过P 作任一直线l ，设d 为点A 到l 的距离，则d ≤|PA |(当l ⊥PA 时等号成立)．∴d max =|PA 10。

3.3.2两条直线的交点坐标

解析：方法一 P(0,2)，
x－2y＋4＝0，解方程组得交点 ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱx＋y－2＝0
4 (1)由直线平行于 l 知斜率 k＝， 3 4 ∴所求直线方程为 y－2＝ x，即 4x－3y＋6＝0. 3
工具
必修2
第三章直线与方程
栏目导引
(2)直线垂直于 l2 知斜率 k＝1， ∴所求直线方程为 y－2＝x，即 x－y＋2＝0. 方法二＝0，即(1＋λ)x＋(λ－2)y＋(4－2λ)＝0. (1)∵与 l：8x－6y＋11＝0 平行， 1＋λ λ－2 4－2λ ∴ ＝ ≠ ， 8 11 －6 5 ∴λ＝，∴直线方程为 4x－3y＋6＝0. 7
工具
必修2
第三章直线与方程
栏目导引
解析：直线 x－y＋5＝0 与 x＋y－3＝0 的交点为(－ 3 1,4)，直线 3x－2y＋4＝0 的斜率为，所以直线 l 的斜率 2 2 2 为－，其方程为 y－4＝－ (x＋1)，即 2x＋3y－10＝0. 3 3
工具
必修2
第三章直线与方程
栏目导引
栏目导引
1．判断下列直线的位置关系，若相交求出它们的交点坐标． (1)l1：2x－y＝7 和 l2：3x＋2y－7＝0； (2)l1：y＝3x＋1 和 l2：6x－2y＋3＝0.
工具
必修2
第三章直线与方程
栏目导引
解析：
(1)由题意知，两直线的斜率分别为 k1＝2，
3 k2＝－，由 k1≠k2，且 k1· k2≠－1 可知两直线相交但不垂 2 直．
A1x＋B1y＋C1＝0 x＝x0 有唯一解 . A2x＋B2y＋C2＝0 y＝y0
(x0，y0) ．相交，交点坐标为_________ 结论：两直线______

直线的交点坐标与距离公式(2)

直线的交点坐标与距离公式
复习引入
直线方程点斜式斜截式两点式截距式一般式形式 y—y1=k(x—x1) y=kx＋b y—y1 x—x1 = y2—y1 x2—x1 x y ＋ =1 a b Ax+By+C=0 限制条件不含垂直于 x 轴的直线不含垂直于 x 轴的直线不包括垂直于坐标轴不包括垂直于坐标轴和过原点的直线无限制
【例 3】求经过点(2,3), 且经过两条直线 l1: x-3y-4=0, l2: 5x+2y+6=0 交点的直线方程.
A1x+B1y+C1=0 方程组的解 A2x+B2y+C2=0
一组一个相交
无数组无数个重合
无解零个平行
两条直线 l1 , l2 的公共点直线 l1 , l2 的位置关系
例题选讲
【例 1】判断下列各对直线的位置关系. 如果相交, 求出交点的坐标. (1) l1: x-y=0, (2) l1: 3x-y+4=0, (3) l1: 3x+4y-5=0, l2: 3x+3y-10=0. l2: 6x-2y-1=0 l2: 6x+8y-10=0.
例题选讲
【例 3】求经过点(2,3), 且经过两条直线 l1: x-3y-4=0, l2: 5x+2y+6=0 交点的直线方程.
探究 2
当 λ 变化时, 方程 3x+4y-2+λ(2x+y+2)=0 表示什么图形？图形有何特点？
拓展：过两条直线 l1: A1x+B1y+C1=0 和 l2: A2x+B2y+C2=0 的交点的直线系方程为 A1x+B1y+C1+λ(A2x+B2y+C2)=0,或 A2x+B2y+C2=0, 其中 λ∈R.

2020高中数学第三章直线与方程3.3直线的交点坐标与距离公式(第2课时)点到直线的距离、两条平行线间的距离

第2课时点到直线的距离、两条平行线间的距离[核心必知]1．预习教材，问题导入根据以下提纲，预习教材P 106～P 109，回答下列问题：(1)如何用代数方法求点P 0(x 0，y 0)到直线l ：Ax ＋By ＋C ＝0的距离？提示：由P 0Q ⊥l ，以及直线l 的斜率为－A B ，可得l 的垂线P 0Q 的斜率为B A，因此，垂线P 0Q 的方程可求出．解垂线P 0Q 与直线l 的方程组成的方程组，得点Q 的坐标，用两点间距离公式求出|P 0Q |，即为点P 0到直线l 的距离．(2)能否将平行直线间的距离转化为点到直线的距离，如何转化？提示：能，由于一条直线上任意一点到另一条直线的距离都是两条平行直线间的距离，所以只要在一条直线上找到一个已知点，求这点到另一条直线的距离即可．2．归纳总结，核心必记 (1)点到直线的距离①概念：过一点向直线作垂线，则该点与垂足之间的距离，就是该点到直线的距离． ②公式：点P (x 0，y 0)到直线l: Ax ＋By ＋C ＝0的距离，d ＝|Ax 0＋By 0＋C |A 2＋B 2.(2)两平行直线间的距离①概念：夹在两条平行直线间的公垂线段的长度就是两条平行直线间的距离． ②公式：两条平行直线l 1：Ax ＋By ＋C 1＝0与l 2：Ax ＋By ＋C 2＝0之间的距离d ＝|C 1－C 2|A 2＋B2.[问题思考]1．在使用点到直线的距离公式时，对直线方程的形式有何要求？提示：应用点到直线距离公式的前提是直线方程为一般式． 2．在使用两平行线间距离公式时，对直线方程的形式有何要求？提示：两直线的方程为一般式且x ，y 的系数分别相同．[课前反思]通过以上预习，必须掌握的几个知识点．(1)点到直线的距离公式是什么？应注意什么？；(2)两平行直线间的距离公式是什么？应注意什么？ .在铁路的附近，有一大型仓库，现要修建一条公路与之连接起来，易知，从仓库垂直于铁路方向所修的公路最短．将铁路看作一条直线l ，仓库看作点P .[思考1] 若已知直线l 的方程和点P 的坐标(x 0，y 0)，如何求P 到直线l 的距离？名师指津：过点P 作直线l ′⊥l ，垂足为Q ，|PQ |即为所求的距离．直线l 的斜率为k ，则l ′的斜率为－1k ，∴l ′的方程为y －y 0＝－1k(x －x 0)，联立l ，l ′的方程组，解出Q 点坐标，利用两点间距离公式求出|PQ |.[思考2] 在直角坐标系中，若P (x 0，y 0)，则P 到直线l: Ax ＋By ＋C ＝0的距离是不是过点P 到直线l 的垂线段的长度？提示：是．[思考3] 应用点到直线的距离公式应注意什么问题？名师指津：(1)直线方程应为一般式，若给出其他形式，应先化成一般式再用公式．例如求P (x 0，y 0)到直线y ＝kx ＋b 的距离，应先把直线方程化为kx －y ＋b ＝0，得d ＝|kx 0－y 0＋b |k 2＋1.(2)点P 在直线l 上时，点到直线的距离为零，公式仍然适用，故应用公式时不必判定点P 与直线l 的位置关系．(3)直线方程Ax ＋By ＋C ＝0中A ＝0或B ＝0时，公式也成立，也可以用下列方法求点到直线的距离．①P (x 0，y 0)到x ＝a 的距离d ＝|a －x 0|；②P (x 0，y 0)到y ＝b 的距离d ＝|b －y 0|. 讲一讲1．(1)在平面直角坐标系xOy 中，点P (2,2)到直线4x ＋3y ＋5＝0的距离为________．(链接教材P 107－例5)(2)求垂直于直线x ＋3y －5＝0且与点P (－1,0)的距离是3510的直线l 的方程．[尝试解答] (1)由点到直线的距离公式可得d ＝|4×2＋3×2＋5|42＋32＝195. (2)设与直线x ＋3y －5＝0垂直的直线的方程为3x －y ＋m ＝0，则由点到直线的距离公式知：d ＝－－0＋m |32＋－2＝|m －3|10＝3510. 所以|m －3|＝6，即m －3＝±6. 得m ＝9或m ＝－3，故所求直线l 的方程为3x －y ＋9＝0或3x －y －3＝0. [答案] (1)195点到直线的距离的求解方法(1)求点到直线的距离时，只需把直线方程化为一般式方程，直接应用点到直线的距离公式求解即可．(2)对于与坐标轴平行(或重合)的直线x ＝a 或y ＝b ，求点到它们的距离时，既可以用点到直线的距离公式，也可以直接写成d ＝|x 0－a |或d ＝|y 0－b |.(3)若已知点到直线的距离求参数时，只需根据点到直线的距离公式列方程求解参数即可．练一练1．已知点A (a,2)(a ＞0)到直线l: x －y ＋3＝0的距离为1，则a ＝( ) A. 2 B ．2－ 2 C.2－1 D.2＋1解析：选C 由点到直线的距离公式知，d ＝|a －2＋3|2＝|a ＋1|2＝1，得a ＝－1± 2.又∵a ＞0，∴a ＝2－1.2．点P (2,4)到直线l ：3x ＋4y －7＝0的距离是________．解析：点P 到直线l 的距离d ＝|3×2＋4×4－7|32＋42＝155＝3. 答案：3观察下面坐标系中的直线，思考如下问题：[思考1] 若过P (x 0，y 0)的直线l ′与l: Ax ＋By ＋C ＝0平行，那么点P 到l 的距离与l ′与l 的距离相等吗？提示：相等．[思考2] 怎样理解两平行直线间的距离公式？名师指津：(1)求两平行线间的距离可以转化为求点到直线的距离，也可以利用公式． (2)利用公式求平行线间的距离时，两直线方程必须是一般式，且x ，y 的系数对应相等． (3)当两直线都与x 轴(或y 轴)垂直时，可利用数形结合来解决． ①两直线都与x 轴垂直时，l 1：x ＝x 1，l 2：x ＝x 2，则d ＝|x 2－x 1|； ②两直线都与y 轴垂直时，l 1：y ＝y 1，l 2：y ＝y 2，则d ＝|y 2－y 1|. 讲一讲2．已知直线l 1：3x －2y －1＝0和l 2：3x －2y －13＝0，直线l 与l 1，l 2的距离分别是d 1，d 2，若d 1∶d 2＝2∶1，求直线l 的方程．[尝试解答] 由直线l 1，l 2的方程知l 1∥l 2.又由题意知，直线l 与l 1，l 2均平行(否则d 1＝0或d 2＝0，不符合题意)．设直线l ：3x －2y ＋m ＝0(m ≠－1且m ≠－13)，由两平行线间的距离公式，得d 1＝|m ＋1|13，d 2＝|m ＋13|13，又d 1∶d 2＝2∶1，所以|m ＋1|＝2|m ＋13|，解得m ＝－25或m ＝－9.故所求直线l 的方程为3x －2y －25＝0或3x －2y －9＝0.求两平行直线间距离的两种思路(1)利用“化归”法将两条平行线的距离转化为求一条直线上任意一点到另一条直线的距离．(2)直接利用两平行线间的距离公式，当直线l 1：y ＝kx ＋b 1，l 2：y ＝kx ＋b 2，且b 1≠b 2时，d ＝|b 1－b 2|k 2＋1；当直线l 1：Ax ＋By ＋C 1＝0，l 2：Ax ＋By ＋C 2＝0且C 1≠C 2时，d ＝|C 1－C 2|A 2＋B 2，必须注意两直线方程中x ，y 的系数对应相等．练一练3．两直线3x ＋4y －2＝0与6x ＋8y －5＝0的距离等于( ) A ．3 B ．7 C.110 D.12解析：选C 在3x ＋4y －2＝0上取一点⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12，其到6x ＋8y －5＝0的距离即为两平行线间的距离，d ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪0＋8×12－562＋82＝110.讲一讲3．两条互相平行的直线分别过点A (6,2)和B (－3，－1)，并且各自绕着A ，B 旋转，如果两条平行直线间的距离为d .求：(1)d 的变化范围；(2)当d 取最大值时两条直线的方程．[思路点拨] (1)由两平行线间的距离公式写出d 与斜率之间的函数关系式，不难求出d 的范围或利用数形结合求d 的范围．(2)求出d 取最大值时斜率的值，即可求出所求直线方程．[尝试解答] (1)法一：①当两条直线的斜率不存在时，即两直线分别为x ＝6和x ＝－3，则它们之间的距离为9.②当两条直线的斜率存在时，设这两条直线方程为l 1：y －2＝k (x －6)，l 2：y ＋1＝k (x ＋3)，即l 1：kx －y －6k ＋2＝0，l 2：kx －y ＋3k －1＝0，∴d ＝|3k －1＋6k －2|k 2＋1＝3|3k －1|k 2＋1，即(81－d 2)k 2－54k ＋9－d 2＝0. ∵k ∈R ，且d ≠9，d ＞0，∴Δ＝(－54)2－4(81－d 2)(9－d 2)≥0，即0＜d ≤310且d ≠9.综合①②可知，所求d 的变化范围为(0,310]．法二：如图所示，显然有0＜d ≤|AB |. 而|AB |＝＋2＋＋2＝310.故所求的d 的变化范围为(0,310]．(2)由图可知，当d 取最大值时，两直线垂直于AB . 而k AB ＝2－－6－－＝13， ∴所求直线的斜率为－3.故所求的直线方程分别为y －2＝－3(x －6)，y ＋1＝－3(x ＋3)，即3x ＋y －20＝0和3x ＋y ＋10＝0.解这类题目常用的方法是待定系数法，即根据题意设出方程，然后由题意列方程求参数．也可以综合应用直线的有关知识，充分发挥几何图形的直观性，判断直线l 的特征，然后由已知条件写出l 的方程．练一练4．已知直线l 经过直线2x ＋y －5＝0与x －2y ＝0的交点． (1)若点A (5,0)到l 的距离为3，求l 的方程； (2)求点A (5,0)到l 的距离的最大值．解：(1)法一：联立⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y －5＝0，x －2y ＝0⇒交点P (2,1)，当直线斜率存在时，设l 的方程为y －1＝k (x －2)，即kx －y ＋1－2k ＝0， ∴|5k ＋1－2k |k 2＋1＝3，解得k ＝43，∴l 的方程为y －1＝43(x －2)，即4x －3y －5＝0.而直线斜率不存在时直线x ＝2也符合题意，故所求l 的方程为4x －3y －5＝0或x ＝2.法二：经过两已知直线交点的直线系方程为(2x ＋y －5)＋λ(x －2y )＝0，即(2＋λ)x ＋(1－2λ)y －5＝0， ∴＋λ－5|＋λ2＋－2λ2＝3，即2λ2－5λ＋2＝0，解得λ＝2或12，∴l 的方程为4x －3y －5＝0或x ＝2.(2)由⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y －5＝0，x －2y ＝0，解得交点P (2,1)，过P 任意作直线l ，设d 为A 到l 的距离，则d ≤|PA |(当l ⊥PA 时等号成立)， ∴d max ＝|PA |＝10.—————————[课堂归纳·感悟提升]———————————1．本节课的重点是掌握点到直线的距离公式，能用公式求点到直线的距离，会求两条平行直线间的距离．难点是能用公式求点到直线的距离．2．本节课要重点掌握的规律方法 (1)点到直线的距离的求解方法，见讲1. (2)求两平行直线间的距离有两种思路，见讲2. (3)待定系数法求解有关距离问题的方法，见讲33．本节课的易错点是求两条平行线间距离时易用错公式，如讲2.课下能力提升(二十一) [学业水平达标练]题组1 点到直线的距离1．点(1，－1)到直线x －y ＋1＝0的距离是( ) A ．3 2 B.22 C ．3 D.322解析：选D 点(1，－1)到直线x －y ＋1＝0的距离d ＝|1－－＋1|12＋－2＝322. 2．点(5，－3)到直线x ＋2＝0的距离等于( ) A ．7 B ．5 C ．3 D ．2解析：选A 直线x ＋2＝0，即x ＝－2为平行于y 轴的直线，所以点(5，－3)到x ＝－2的距离d ＝|5－(－2)|＝7.3．倾斜角为60°，并且与原点的距离是5的直线方程为________．解析：因为直线斜率为tan 60°＝3，可设直线方程为y ＝3x ＋b ，化为一般式得3x －y ＋b ＝0.由直线与原点距离为5，得|0－0＋b |32＋－2＝5⇒|b |＝10.所以b ＝±10，所以所求直线方程为3x －y ＋10＝0或3x －y －10＝0.答案：3x －y ＋10＝0或3x －y －10＝04．若点(2，k )到直线5x －12y ＋6＝0的距离是4，则k 的值是________．解析：∵|5×2－12k ＋6|52＋122＝4，∴|16－12k |＝52， ∴k ＝－3，或k ＝173.答案：－3或173题组2 两条平行线间的距离5．已知直线l 1：x ＋y ＋1＝0，l 2：x ＋y －1＝0，则l 1，l 2之间的距离为( ) A ．1 B. 2 C. 3 D ．2解析：选B 在l 1上取一点(1，－2)，则点到直线l 2的距离为|1－2－1|12＋12＝ 2. 6．两平行线分别经过点A (5,0)，B (0,12)，它们之间的距离d 满足的条件是( ) A ．0＜d ≤5 B ．0＜d ≤13 C ．0＜d ＜12 D ．5≤d ≤12解析：选B 当两平行线与AB 垂直时，两平行线间的距离最大，|AB |＝13，所以0＜d ≤13.7．已知直线l 经过点P (－2,5)，且斜率为－34.(1)求直线l 的方程；(2)若直线m 与l 平行，且点P 到直线m 的距离为3，求直线m 的方程．解：(1)由直线方程的点斜式，得y －5＝－34(x ＋2)，整理得所求直线方程为3x ＋4y －14＝0.(2)由直线m 与直线l 平行，可设直线m 的方程为3x ＋4y ＋C ＝0，由点到直线的距离公式得－＋4×5＋C |32＋42＝3，即|14＋C |5＝3，解得C ＝1或C ＝－29，故所求直线方程为3x ＋4y ＋1＝0或3x ＋4y －29＝0. 题组3 距离的综合应用8．直线l 过点A (3,4)且与点B (－3,2)的距离最远，那么l 的方程为( ) A ．3x －y －13＝0 B ．3x －y ＋13＝0 C ．3x ＋y －13＝0 D ．3x ＋y ＋13＝0解析：选C 由已知可知，l 是过A 且与AB 垂直的直线，∵k AB ＝2－4－3－3＝13，∴k l ＝－3，由点斜式得，y －4＝－3(x －3)，即3x ＋y －13＝0.9．已知△ABC 三个顶点坐标A (－1,3)，B (－3,0)，C (1,2)，求△ABC 的面积S .解：由直线方程的两点式得直线BC 的方程为y 2－0＝x ＋31＋3，即x －2y ＋3＝0.由两点间距离公式得|BC |＝－3－2＋－2＝2 5.设点A 到BC 的距离为d ，即为BC 边上的高，d ＝|－1－2×3＋3|12＋－2＝455，所以S ＝12|BC |·d ＝12×25×455＝4，即△ABC 的面积为4.[能力提升综合练]1．(2016·济宁高一检测)两条平行线l 1：3x ＋4y －2＝0，l 2：9x ＋12y －10＝0间的距离等于( )A.75B.715C.415D.23解析：选C l 1的方程可化为9x ＋12y －6＝0，由平行线间的距离公式得d ＝|－6＋10|92＋122＝415. 2．到直线3x －4y －11＝0的距离为2的直线方程为( ) A ．3x －4y －1＝0B ．3x －4y －1＝0或3x －4y －21＝0C ．3x －4y ＋1＝0D ．3x －4y －21＝0解析：选B 设所求的直线方程为3x －4y ＋c ＝0.由题意|c －－32＋－2＝2，解得c ＝－1或c ＝－21.故选B.3．直线2x ＋3y －6＝0关于点(1，－1)对称的直线方程是( ) A ．3x －2y －6＝0 B ．2x ＋3y ＋7＝0 C ．3x －2y －12＝0 D ．2x ＋3y ＋8＝0解析：选 D 法一：设所求直线的方程为2x ＋3y ＋C ＝0，由题意可知|2－3－6|22＋32＝|2－3＋C |22＋32.∴C ＝－6(舍)或C ＝8.故所求直线的方程为2x ＋3y ＋8＝0. 法二：令(x 0，y 0)为所求直线上任意一点，则点(x 0，y 0)关于(1，－1)的对称点为(2－x 0，－2－y 0)，此点在直线2x ＋3y －6＝0上，代入可得所求直线方程为2x ＋3y ＋8＝0.4．直线l 到直线x －2y ＋4＝0的距离和原点到直线l 的距离相等，则直线l 的方程是__________．解析：由题意设所求l 的方程为x －2y ＋C ＝0，则|C －4|12＋22＝|C |12＋22，解得C ＝2，故直线l 的方程为x －2y ＋2＝0.答案：x －2y ＋2＝05．已知直线l 与直线l 1：2x －y ＋3＝0和l 2：2x －y －1＝0的距离相等，则l 的方程是____________________．解析：法一：由题意可设l 的方程为2x －y ＋c ＝0，于是有|c －3|22＋－2＝|c －－22＋－2，即|c －3|＝|c ＋1|，解得c ＝1，则直线l 的方程为2x －y ＋1＝0.法二：由题意知l 必介于l 1与l 2中间，故设l 的方程为2x －y ＋c ＝0，则c ＝3＋－2＝1.则直线l 的方程为2x －y ＋1＝0.答案：2x －y ＋1＝06．已知正方形ABCD 一边CD 所在直线的方程为x ＋3y －13＝0，对角线AC ，BD 的交点为P (1,5)，求正方形ABCD 其他三边所在直线的方程．解：点P (1,5)到l CD 的距离为d ，则d ＝310.∵l AB ∥l CD ，∴可设l AB ：x ＋3y ＋m ＝0.点P (1,5)到l AB 的距离也等于d ，则|m ＋16|10＝310 . 又∵m ≠－13，∴m ＝－19，即l AB ：x ＋3y －19＝0.∵l AD ⊥l CD ，∴可设l AD ：3x －y ＋n ＝0，则P (1,5)到l AD 的距离等于P (1,5)到l BC 的距离，且都等于d ＝310，|n －2|10＝310，n ＝5，或n ＝－1，则l AD ：3x －y ＋5＝0，l BC ：3x －y －1＝0.所以，正方形ABCD 其他三边所在直线方程为x ＋3y －19＝0,3x －y ＋5＝0,3x －y －1＝0.7．已知点P (2，－1)．(1)求过点P 且与原点的距离为2的直线的方程；(2)求过点P 且与原点的距离最大的直线的方程，并求出最大距离；(3)是否存在过点P 且与原点的距离为6的直线？若存在，求出该直线的方程；若不存在，说明理由．解：(1)①当直线的斜率不存在时，方程x ＝2符合题意；②当直线的斜率存在时，设斜率为k ，则直线方程应为y ＋1＝k (x －2)，即kx －y －2k －1＝0. 根据题意，得|2k ＋1|k 2＋1＝2，解得k ＝34. 则直线方程为3x －4y －10＝0.故符合题意的直线方程为x －2＝0或3x －4y －10＝0.(2)过点P 且与原点的距离最大的直线应为过点P 且与OP 垂直的直线．则其斜率k ＝2，所以其方程为y ＋1＝2(x －2)，即2x －y －5＝0.最大距离为5，(3)不存在．理由：由于原点到过点(2，－1)的直线的最大距离为5，而6＞5，故不存在这样的直线.。

高中数学第三章直线与方程3.3.1两条直线的交点坐标3.3.2两点间的距离课件新人教A版必修

A.x+3y=0

2

3
C. + =1
答案:C
1
3
1
D.y=- x+4
3
B.y=- x-12
)
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2.两点间的距离公式
已知平面上两点 P1(x1,y1),P2(x2,y2)间的距离为|P1P2|,则
-1
2-1
=
-(-3)
,
2-(-3)
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探究二
探究三
探究四
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探究五
探究四坐标法的应用
将几何问题代数化,即用代数的语言描述几何要素及其关系,并最终解决几
何问题,这种处理问题的方法叫作坐标法(或解析法),通过这种方法,把点与
坐标、曲线与方程联系起来,实现空间形式与数量关系的结合.
坐标法解决几何问题时,关键要结合图形的特征,建立平面直角坐标系.
坐标系建立的是否合适,会直接影响问题能否方便解决.建系的原则主要有
两点:
①让尽可能多的点落在坐标轴上,这样便于运算;②如果条件中有互相
垂直的两条线,要考虑将它们作为坐标轴;如果图形为中心对称图形,可考虑
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探究五
解:(1)设所求直线方程为 x+2y-2+λ(3x-2y+2)=0.

第三章 3.3.1~3.3.2 两条直线的交点坐标及两点间距离

§3.3直线的交点坐标与距离公式3.3.1两条直线的交点坐标3.3.2两点间的距离学习目标 1.会用解方程组的方法求两条相交直线的交点坐标.2.会根据方程解的个数判定两条直线的位置关系.3.掌握两点间距离公式并会应用.知识点一两条直线的交点1.两直线的交点2.两直线的位置关系知识点二两点间的距离1.公式：点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)间的距离公式|P1P2|＝(x2－x1)2＋(y2－y1)2.2.文字叙述：平面内两点的距离等于这两点的横坐标之差与纵坐标之差的平方和的算术平方根.特别提醒：(1)此公式与两点的先后顺序无关.(2)当直线P1P2平行于x轴时，|P1P2|＝|x2－x1|.当直线P 1P 2平行于y 轴时，|P 1P 2|＝|y 2－y 1|.特别地，原点O (0,0)与任一点P (x ，y )的距离|OP |＝x 2＋y 2.1.若两直线相交，则交点坐标一定是两直线方程所组成的二元一次方程组的解.( √ )2.点P 1(0，a )，点P 2(b,0)之间的距离为a －b .( × )3.无论m 为何值，x －y ＋1＝0与x －2my ＋3＝0必相交.( × )4.若两直线的方程组成的方程组有解，则两直线相交.( × )题型一求相交直线的交点坐标例1 (1)求经过点(2,3)且经过直线l 1：x ＋3y －4＝0与l 2：5x ＋2y ＋6＝0的交点的直线方程； (2)求经过两条直线2x －3y －3＝0和x ＋y ＋2＝0的交点且与直线3x ＋y －1＝0垂直的直线方程.解 (1)联立⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋3y －4＝0，5x ＋2y ＋6＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2，y ＝2，所以直线l 1与l 2的交点为(－2,2).由两点式可得所求直线的方程为y －32－3＝x －2－2－2，即x －4y ＋10＝0.(2)由方程组⎩⎪⎨⎪⎧2x －3y －3＝0，x ＋y ＋2＝0，得⎩⎨⎧x ＝－35，y ＝－75，因为所求直线和直线3x ＋y －1＝0垂直，所以所求直线的斜率k ＝13，所以有y －⎝⎛⎭⎫－75＝13⎣⎡⎦⎤x －⎝⎛⎭⎫－35，即所求的直线方程为5x －15y －18＝0.反思感悟求两相交直线的交点坐标，关键是解方程组，解二元一次方程组的常用方法有代入消元法和加减消元法.(1)若一条直线的方程是斜截式，常常应用代入消元法解方程组. (2)若直线的方程都是一般式，常常应用加减消元法解方程组.跟踪训练1 (1)已知直线l 1：3x ＋4y －5＝0与l 2：3x ＋5y －6＝0相交，则它们的交点是( ) A.⎝⎛⎭⎫－1，13 B.⎝⎛⎭⎫13，1C.⎝⎛⎭⎫1，13D.⎝⎛⎭⎫－1，－13 答案 B(2)经过直线2x －y ＋4＝0与x －y ＋5＝0的交点，且垂直于直线x －2y ＝0的直线方程是( ) A.2x ＋y －8＝0 B.2x －y －8＝0 C.2x ＋y ＋8＝0 D.2x －y ＋8＝0答案 A题型二两点间的距离例2 如图，已知△ABC 的三顶点A (－3,1)，B (3，－3)，C (1,7)，(1)判断△ABC 的形状； (2)求△ABC 的面积. 考点两点间的距离公式题点两点间距离公式的综合应用解 (1)方法一 ∵|AB |＝(3＋3)2＋(－3－1)2＝52＝213， |AC |＝(1＋3)2＋(7－1)2＝52＝213，又|BC |＝(1－3)2＋(7＋3)2＝104＝226， ∴|AB |2＋|AC |2＝|BC |2，且|AB |＝|AC |， ∴△ABC 是等腰直角三角形.方法二 ∵k AC ＝7－11－(－3)＝32，k AB ＝－3－13－(－3)＝－23，∴k AC ·k AB ＝－1，∴AC ⊥AB .又|AC |＝(1＋3)2＋(7－1)2＝52＝213， |AB |＝(3＋3)2＋(－3－1)2＝52＝213， ∴|AC |＝|AB |，∴△ABC 是等腰直角三角形. (2)S △ABC ＝12|AC |·|AB |＝12(52)2＝26，∴△ABC 的面积为26.反思感悟 (1)判断三角形的形状，要采用数形结合的方法，大致明确三角形的形状，以确定证明的方向.(2)在分析三角形的形状时，要从两方面考虑：一是要考虑角的特征，主要考察是否为直角或等角；二是要考虑三角形的长度特征，主要考察边是否相等或是否满足勾股定理. 跟踪训练2 已知点A (－1,2)，B (2，7)，在x 轴上求一点P ，使|P A |＝|PB |，并求|P A |的值. 考点两点间的距离公式题点已知两点间的距离求参数的值解设P (x,0)，|P A |＝(x ＋1)2＋(－2)2， |PB |＝(x －2)2＋(－7)2，∵|P A |＝|PB |，∴(x ＋1)2＋4＝(x －2)2＋7，解得x ＝1，∴P (1,0)， ∴|P A |＝(1＋1)2＋4＝2 2. 题型三直线系过定点问题例3 无论m 为何值，直线l ：(m ＋1)x －y －7m －4＝0恒过一定点P ，求点P 的坐标. 解 ∵(m ＋1)x －y －7m －4＝0， ∴m (x －7)＋(x －y －4)＝0，∴⎩⎪⎨⎪⎧ x －7＝0，x －y －4＝0，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝7，y ＝3.∴点P 的坐标为(7,3).反思感悟解含有参数的直线恒过定点的问题(1)方法一：任给直线中的参数赋两个不同的值，得到两条不同的直线，然后验证这两条直线的交点就是题目中含参数直线所过的定点，从而问题得解.(2)方法二：含有一个参数的二元一次方程若能整理为A 1x ＋B 1y ＋C 1＋λ(A 2x ＋B 2y ＋C 2)＝0，其中λ是参数，这就说明了它表示的直线必过定点，其定点可由方程组⎩⎪⎨⎪⎧A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0，A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0解得.若整理成y －y 0＝k (x －x 0)的形式，则表示的所有直线必过定点(x 0，y 0).跟踪训练3 已知直线方程为(2＋λ)x ＋(1－2λ)y ＋4－3λ＝0，求证：不论λ取何实数值，此直线必过定点.证明把直线方程整理为2x ＋y ＋4＋λ(x －2y －3)＝0.解方程组⎩⎪⎨⎪⎧ 2x ＋y ＋4＝0，x －2y －3＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1，y ＝－2.即点(－1，－2)是方程2x ＋y ＋4＋λ(x －2y －3)＝0的解，也就是方程(2＋λ)x ＋(1－2λ)y ＋4－3λ＝0的解，所以不论λ取何实数值，直线(2＋λ)x ＋(1－2λ)y ＋4－3λ＝0必过定点(－1，－2).直线系方程的应用典例1 已知直线(a －2)y ＝(3a －1)x －1，求证：无论a 为何值，直线总经过第一象限. 证明将直线方程整理为a (3x －y )＋(－x ＋2y －1)＝0. 因为直线3x －y ＝0与x －2y ＋1＝0的交点为⎝⎛⎭⎫15，35，即直线系恒过第一象限内的定点⎝⎛⎭⎫15，35，所以无论a 为何值，直线总经过第一象限.典例2 求过两直线x －2y ＋4＝0和x ＋y －2＝0的交点，且分别满足下列条件的直线l 的方程：(1)直线l 与直线3x －4y ＋1＝0平行； (2)直线l 与直线5x ＋3y －6＝0垂直.解设过两直线x －2y ＋4＝0和x ＋y －2＝0的交点的直线l 的方程为x －2y ＋4＋λ(x ＋y －2)＝0，即(1＋λ)x ＋(λ－2)y ＋4－2λ＝0. (1)∵直线l 与直线3x －4y ＋1＝0平行， ∴1＋λ3＝λ－2－4≠4－2λ1，∴λ＝27. ∴97x －127y ＋247＝0，∴3x －4y ＋8＝0. (2)∵直线l 与直线5x ＋3y －6＝0垂直， ∴5·(1＋λ)＋3·(λ－2)＝0，∴λ＝18，∴98x －158y ＋308＝0，∴3x －5y ＋10＝0. [素养评析] 过两条直线交点的直线方程的求法(1)常规解法(方程组法)：一般是先解方程组求出交点坐标，再结合其他条件写出直线方程. (2)特殊解法(直线系法)：先设出过两直线交点的直线方程，再结合条件利用待定系数法求出参数，最后确定直线方程.这两种方法，体现了两种不同的思路和技巧，考查了数学运算的数学核心素养.1.已知点(x ，y )到原点的距离等于1，则实数x ，y 满足的条件是( ) A.x 2－y 2＝1 B.x 2＋y 2＝0 C.x 2＋y 2＝1 D.x 2＋y 2＝0答案 C解析由两点间的距离公式得：x 2＋y 2＝1.2.直线y ＝x 上的两点P ，Q 的横坐标分别是1,5，则|PQ |等于( ) A.4 B.4 2 C.2 D.2 2 答案 B解析 ∵P (1,1)，Q (5,5)，∴|PQ |＝42＋42＝4 2.3.到A (1,3)，B (－5,1)的距离相等的动点P 满足的方程是( ) A.3x －y －8＝0 B.3x ＋y ＋4＝0 C.3x －y ＋6＝0 D.3x ＋y ＋2＝0考点两点间的距离公式题点两点间距离公式的综合应用答案 B解析设P (x ，y )，则(x －1)2＋(y －3)2＝(x ＋5)2＋(y －1)2，即3x ＋y ＋4＝0.4.已知△ABC 的顶点坐标为A (－1,5)，B (－2，－1)，C (2,3)，则BC 边上的中线长为________. 考点两点间的距离公式题点两点间距离公式的综合应用答案17解析 BC 的中点坐标为(0,1)，则BC 的中线长为(－1－0)2＋(5－1)2＝17.5.斜率为－2，且过两条直线3x －y ＋4＝0和x ＋y －4＝0交点的直线方程为______________. 考点过两条直线交点的直线方程题点直接求过两直线交点的直线方程答案 2x ＋y －4＝0解析设所求直线方程为3x －y ＋4＋λ(x ＋y －4)＝0，即(3＋λ)x ＋(λ－1)y ＋4－4λ＝0， ∴k ＝3＋λ1－λ＝－2，解得λ＝5.∴所求直线方程为2x ＋y －4＝0.1.方程组⎩⎪⎨⎪⎧A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0，A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0有唯一解的等价条件是A 1B 2－A 2B 1≠0，亦即两条直线相交的等价条件是A 1B 2－A 2B 1≠0，直线A 1x ＋B 1y ＋C 1＋λ(A 2x ＋B 2y ＋C 2)＝0(λ∈R )是过直线l 1：A 1x＋B 1y ＋C 1＝0与l 2：A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0交点的直线(不含l 2).其中A 21＋B 21≠0，A 22＋B 22≠0.2.两点P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)间的距离公式|P 1P 2|＝(x 1－x 2)2＋(y 1－y 2)2与两点的先后顺序无关，其反映了把几何问题代数化的思想.一、选择题1.直线x ＝1和直线y ＝2的交点坐标是( ) A.(2,2) B.(1,1) C.(1,2) D.(2,1) 考点两条直线的交点题点求两条直线的交点坐标答案 C解析由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝2，得交点坐标为(1,2)，故选C.2.直线3x ＋2y ＋6＝0和2x ＋5y －7＝0的交点坐标为( ) A.(－4，－3) B.(4,3) C.(－4,3) D.(3,4)答案 C解析由方程组⎩⎪⎨⎪⎧ 3x ＋2y ＋6＝0，2x ＋5y －7＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－4，y ＝3.故选C.3.已知坐标平面内三点A (3,2)，B (0,5)，C (4,6)，则△ABC 的形状是( ) A.直角三角形 B.等边三角形 C.等腰三角形 D.等腰直角三角形答案 C解析由两点间的距离公式，可得|AB |＝18，|BC |＝|CA |＝17，且|BC |2＋|CA |2≠|AB |2， ∴△ABC 为等腰三角形.4.以点A (－3,0)，B (3，－2)，C (－1,2)为顶点的三角形是( ) A.等腰三角形 B.等边三角形 C.直角三角形D.以上都不是考点两点间的距离公式题点求两点间的距离答案 C解析 |AB |＝(－3－3)2＋22＝36＋4＝40＝210， |BC |＝(－1－3)2＋(2＋2)2＝16＋16＝32＝42，|AC |＝(－1＋3)2＋22＝8＝22， ∵|AC |2＋|BC |2＝|AB |2， ∴△ABC 为直角三角形.故选C.5.若三条直线2x ＋3y ＋8＝0，x －y ＝1和x ＋ky ＝0相交于一点，则k 的值为( ) A.－12 B.12 C.2 D.－2考点两条直线的交点题点已知相交关系，求参数的值答案 A解析由方程组⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋3y ＋8＝0，x －y －1＝0，得直线2x ＋3y ＋8＝0与x －y －1＝0的交点坐标为(－1，－2)，代入直线x ＋ky ＝0，得k ＝－12.6.直线kx ＋y ＋1＝2k ，当k 变动时，所有直线都通过定点( ) A.(2，－1) B.(－2，－1) C.(2,1)D.(－2,1)考点恒过定点的直线题点求直线恒过的定点坐标答案 A解析 kx ＋y ＋1＝2k ，可化为y ＋1＝k (2－x )，故该直线恒过定点(2，－1).7.在△ABC 中，已知A (4,1)，B (7,5)，C (－4,7)，D 为BC 边的中点，则线段AD 的长是( ) A.2 5 B.3 5 C.52 5 D.72 5答案 C解析由中点坐标公式可得，BC 边的中点D ⎝⎛⎭⎫32，6. 由两点间的距离公式得|AD |＝⎝⎛⎭⎫4－322＋(1－6)2＝552.故选C.8.直线x ＋y －1＝0上与点P (－2,3)的距离等于2的点的坐标是( )A.(－4,5)B.(－3,4)C.(－3,4)或(－1,2)D.(－4,5)或(0,1)考点两点间的距离公式题点两点间距离公式的综合应用答案 C解析设所求点的坐标为(x 0，y 0)，有 x 0＋y 0－1＝0，且(x 0＋2)2＋(y 0－3)2＝2，两式联立解得⎩⎪⎨⎪⎧ x 0＝－3，y 0＝4或⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝－1，y 0＝2.故选C.二、填空题9.设点A 在x 轴上，点B 在y 轴上，AB 的中点是P (2，－1)，则|AB |＝________. 考点两点间的距离公式题点求两点间的距离答案 2 5解析设A (a,0)，B (0，b )，由中点坐标公式，得⎩⎨⎧a ＋02＝2，b ＋02＝－1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝4，b ＝－2，∴|AB |＝(4－0)2＋(0＋2)2＝2 5.10.三条直线ax ＋2y ＋8＝0,4x ＋3y ＝10,2x －y ＝10相交于一点，则实数a 的值为________. 答案－111.直线2x －5y －10＝0与坐标轴所围成的三角形面积是________. 答案 5解析令x ＝0，则y ＝－2；令y ＝0，则x ＝5. ∴S ＝12×|－2|×|5|＝5.三、解答题12.求经过直线l 1：7x －8y －1＝0和l 2：2x ＋17y ＋9＝0的交点，且垂直于直线2x －y ＋7＝0的直线方程.解由方程组⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋17y ＋9＝0，7x －8y －1＝0，解得⎩⎨⎧x ＝－1127，y ＝－1327，所以交点坐标为⎝⎛⎭⎫－1127，－1327.又因为直线斜率为k ＝－12，所以，求得直线方程为27x ＋54y ＋37＝0.13.已知直线l 1：2x ＋y －6＝0和点A (1，－1)，过A 点作直线l 与已知直线l 1相交于B 点，且使|AB |＝5，求直线l 的方程.解当直线l 的斜率存在时，设直线l 的方程为 y ＋1＝k (x －1)，解方程组⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y －6＝0，y ＝kx －k －1，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝7＋kk ＋2，y ＝4k －2k ＋2，即B ⎝⎛⎭⎪⎫7＋k k ＋2，4k －2k ＋2.由|AB |＝⎝ ⎛⎭⎪⎫7＋k k ＋2－12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫4k －2k ＋2＋12＝5，解得k ＝－34，∴直线l 的方程为y ＋1＝－34(x －1)，即3x ＋4y ＋1＝0.当过A 点的直线的斜率不存在时，方程为x ＝1. 此时，与l 1的交点为(1,4)也满足题意，综上所述，直线的方程为3x ＋4y ＋1＝0或x ＝1.14.已知x ，y ∈R ，S ＝(x ＋1)2＋y 2＋(x －1)2＋y 2，则S 的最小值是( ) A.0 B.2 C.4 D. 2 考点两点间的距离公式题点两点间距离公式的综合应用答案 B解析 S ＝(x ＋1)2＋y 2＋(x －1)2＋y 2可以看作是点(x ，y )到点(－1,0)与点(1,0)的距离之和，数形结合(图略)易知最小值为2.15.已知△ABC 的顶点A (5,1)，AB 边上的中线CM 所在直线方程为2x －y －5＝0，AC 边上的高BH 所在的直线方程为x －2y －5＝0，求顶点C 的坐标. 考点两条直线的交点题点两直线交点的综合应用解由题意知BH 与AC 垂直，所以k BH ·k AC ＝12k AC ＝－1，所以k AC ＝－2，所以直线AC 的方程为y －1＝－2(x －5)，即2x ＋y －11＝0.解方程组⎩⎪⎨⎪⎧ 2x －y －5＝0，2x ＋y －11＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4，y ＝3，所以点C 的坐标为(4,3).。

3.3.1_两条直线的交点坐标&3.3.2_两点间的距离

解得 x=1。所以，所求点P（1，0）且
PA (1 1) 2 (0 2) 2 2 2
例5; 证明：平行四边行四条边的平方和等于两条对角线的平方和。分析：首先要建立直角坐标系，用坐标表示有关量，然后用代数进行运算，最后把代数运算“翻译”成几何关系。
证明：如图所示，以顶点Ａ为坐标原点，ＡＢ边所在的直线为ｘ轴，建立直角坐标系.
∴l1与l2的交点是（2，2）
设经过原点的直线方程为 y=k x
把（2，2）代入方程，得k=1，所求方程为 x-y=0
思考与探究：当变化时，方程
3x 4 y 2 (2 x y 2) 0
表示何图形，图形有何特点？解：先以特殊值引路：
=0时，方程为3x+4y-2=0 =1时，方程为5x+5y=0
则A(0，0)。设B(ａ，0)， D(ｂ，ｃ)，由平行四边形性质得点 C的坐标为(ａ＋ｂ，ｃ)，
y D C
A
B
x
因为
AB a CD , AD BC b 2 c 2
2 2 2 2 2
AC (a b) c , BD (a b) 2 c 2
2 2 2 2
所以
AB CD AD BC 2(a 2 b 2 c 2 )
2 2 2 2
AC BD 2(a 2 b 2 c 2 )
2 2
所以
AB CD AD BC AC BD
2 2 2 2
2
2
因此，平行四边形四条边的平方和等于两条对角线的平方和。
用“坐标法”解决有关几何问题的基本步骤：第一步；建立坐标系，用坐标系表示有关的量
第二步：进行有关代数运算

【高中数学必修二】3.3(第2节)直线的交点坐标与距离公式(2)

1 d | SR | 2
二、点到直线的距离:
已知P0(x0 , y0)到直线l:Ax+By+C=0的
距离公式：
d
| Ax0 By 0 C | A B
2 2
注：1.此公式是在A≠0、B≠0的前提下推导的； 2.如果A或B中有一个为0，此公式也成立； 3.用此公式时直线方程要先化成一般式。
(2)x1=x2
y1
y
P ，y1 1 x1
o
y2

P2 x2，y2
x
P 1P 2 y2 y1
P ，y1 和 P2 x2，y2 ，已知：求:两点间的距离 1 x1
(3) x1 x2 , y1 y2
y

P ，y1 1 x1
o P2 x2，y2
Qx1，y2
l2 x
l1 :Ax+By+C1=0 l2 :Ax+By+C2=0
O
Q
d
Ax0 By0 C2

C1 C2
2
A B
2
2

C1 C2 A B
2 2
A B
2
三、两条平行直线的距离:
两条平行直线l1 :Ax+By+C1=0与 l2 :Ax+By+C2=0
间的距离公式：
d
| C1 C2 | A B
3.3 直线的交点坐标与距离公式
第二课时
P ，y1 和 P2 x2，y2 ，已知：求:两点间的距离 1 x1
(1)y1=y2

y
P ，y1 1 x1
P2 x2，y2
x1 o

3.3直线的交点坐标与距离公式(2)

L
答案 : 1, 4
A
A’
四.直线关于直线对称问题例4.已知直线l1 : 2 x y 4 0, 求l1关于直线 l : 3 x 4 y 1 0 对称的直线l2方程.
答案 : 2 x 11 y 16 0
L2 A’ L M L1 A O
方法总结 : 转化为点的对称问题
(3)A’在L2上
(4)由O,A’求出直线L2
几种常用的特殊对称 : (1) A(a , b)关于x轴的对称点为A(a , b); ( 2) B(a , b)关于y轴的对称点为B( a , b ); (3)C (a , b)关于直线y x的对称点为C (b, a ); ( 4) D(a , b)关于直线y x的对称点为D( b, a ); (5) P (a , b)关于直线x m的对称点为P ( 2m a , b ); (6)Q(a , b)关于直线y n的对称点为Q (a , 2n b );
答案 : y 2 x 4; y 2 x 4;
2 19 答案 : , 5 5
练习4 : 作业本P 45, T 10 如图, 射线OA, OB分别与x轴正半轴成 45 和30 的角, 过点P (1, 0)作直线AB分别交OA, OB于点A, B ,当AB的中点C 恰好落在直线 1 y x上时, 求直线AB的方程. 2
练习3 : 作业本P 45, T11 已知ABC的一个顶点为A （3， 1），B 被y轴平分，C 被直线y x平分, 求直线BC 的方程。
答案 : y 2 x 5
A''
y
B
O
A'
xAΒιβλιοθήκη C两直线的交点坐标
(2)

3.3.直线的交点坐标与距离公式

36-§3.3.1-§3.3.2两条直线的交点坐标与两点间的距离学习目标：（1）根据直线的方程判断两直线的位置关系和已知两直线求交点；（2）会求平面内两点间的距离，及建立恰当的直角坐标系.学习重点：判断两直线是否相交，求交点坐标，理解两直线的交点与方程组的解之间的关系.两点间的距离公式的推导.学习难点：两直线相交与二元一次方程的关系，理解两直线的交点与方程组的解之间的关系. 两点间的距离公式的运用.新知导学：探究1、直线上的点与其方程0=++C By Ax 的解有什么样的关系？那如果两直线相交于一点A(a,b)，这一点与两直线0:有何关系？看下表，并填空。

新知1、如何利用方程判断两直线的位置关系？两直线是否有公共点，要看它们的方程是否有公共解。

因此，只要将两条直线1l 和2l 的方程联立，得方程组⎩⎨⎧=++=++00222111C y B x A C y B x A若方程组无解，则1l 与2l ；若方程组有且只有一个解，则1l 与2l ；若方程组有无数解，则1l 与2l .探究2、当λ变化时，方程0)22(243=+++-+y x y x λ表示什么图形？图形有什么特点？（取0,1, 1.λλλ===-画图试试看）问题：方程0)22(243=+++-+y x y x λ经过定点________.这个点与两条直线,0243=-+y x022=++y x 有什么关系？ .结论：方程0)22(243=+++-+y x y x λ是表示经过直线0243=-+y x 和022=++y x 的_______________的直线系。

变式：无论m 取何实数，直线（2m-1）x-(m+3)y-(m-11)=0恒过定点，并求出此定点的坐标。

例1、 P103例2练习1、P104. 1、2.探究3、求点B(3，4)到原点的距离是多少?在平面直角坐标系中，如何求点A(1,1x y )和点B(2,2x y )间的距离?新知2、两点间的距离公式：设1122(,),A x y B x y ，（）是平面直角坐标系中的任意两个点，则AB = 例2、已知点A （-1,2），B （2，7），在x 轴上求一点P ，使PB PA =,并求PA 的值.例3、证明平行四边形四条边的平方和等于两条对角线的平方和.练习2、P106 1、2.当堂检测：1、两直线12:210,:220l x y l x y ++=-++=的交点坐标为（）.A ．13(,)24B ．13(,)24-C ．13(,)24--D ．13(,)24-2、点M(1,2)与直线:2430l x y -+=的位置关系是（） A .M l ∈ B M l ∉. C.重合 D.不确定3、已知集合M={(x ,y )∣x +y =2}，N={(x ,y )∣x –y =4},那么集合M∩N 为( ) A. {3,–1} B. 3,–1 C. (3,–1)D.{(3,–1)}4、直线0mx y m +-=，无论m 取任意实数，它都过点 .5、两点(0,4)(0,1)A B --与间的距离是 .6、一条直线经过点（1，1），以及直线2x-3y+6=0与x 轴的交点，则这条直线的方程是________________7、当k 为何值时，直线3y kx =+过直线2x y -10+=与5y x =+的交点?学习反思：37-§3.3.3-§3.3.4 点到直线的距离与两条平行直线间的距离学习目标：（1）了解点到直线距离公式的推导，能记住点到直线距离的公式，并会应用公式解题。

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