最新人教版高一数学必修1第一章《函数的图像与性质》

专题一 函数的图像与性质3·2看吧对闭眼打转问题的探讨公元1896年,挪威生理学家古德贝尔对闭眼打转的问题进行了深入的研究.他收集了大量事例后分析说：这一切都是由于人自身两条腿在作怪！长年累月养成的习惯,使每个人一只脚伸出的步子,要比另一只脚伸出的步子长一段微不足道的距离,而正是这一段很小的步差x,导致了这个人走出一个半径为y 的大圈子！现在我们来研究一下x 与y 之间的函数关系：假定某个两脚踏线间相隔为d.很明显,当人在打圈子时,两只脚实际上走出了两个半径相差为d 的同心圆.设该人平均步长为l.那么,一方面这个人外脚比内脚多走路程2π(y+2d )-2π(y -2d)=2πd;另一方面,这段路程又等于这个人走一圈的步数与步差的乘积,即2πd=l y 22 ·x,化简得y=xdl2.对一般的人,d=0.1米,l=0.7米,代入得(单位:米)y=x14.0.这就是所求的迷路人打圈子的半径公式.今设迷路人两脚差为0.1毫米,仅此微小的差异,就足以使他在大约三公里的范围内 绕圈子！上述公式中变量x,y 之间的关系,在数学上称为反比例函数关系.所谓反比例函数,就是形如y=xk(k 为常数)这样的函数.它的图像是两条弯曲的曲线,数学上称为等边双曲线,在工业、国防、科技等领域都很有用场. 3年高考平台2006高考题一、选择题1.(2006全国高考卷１,理2文3)已知函数y=e x 的图象与函数y=f(x)的图象关于直线y=x 对称，则（ ）A.f(2x)=e 2x (x ∈R )B.f(2x)=ln2·lnx(x ＞0)C.f(2x)=2e x (x ∈R )D.f(2x)=lnx+ln2(x ＞0) 答案:D解析:∵y=e x 与y=f(x)的图象关于y=x 对称, ∴y=e x 与y=f(x)互为反函数. ∴f(x)=lnx(x ＞0).故f(2x)=ln(2x)=lnx+ln2(x ＞0).2.(2006全国高考卷Ⅱ,理6)函数y=lnx+1(x ＞0)的反函数为( ) A.y=e x+1(x ∈R ) B.y=e x-1(x ∈R ) C.y=e x+1(x ＞1) D.y=e x-1(x ＞1) 答案:B解析:y=lnx+1(x ＞0),y ∈R . ∴y-1=lnx. ∴e y-1=x.∴y=e x-1,x ∈R . ∴选B.3.(2006全国高考卷Ⅱ,理8)函数y=f(x)的图象与函数g(x)=log 2x(x ＞0)的图象关于原点对称,则f(x)的表达式为( )A.f(x)=x 2log 1(x ＞0)B.f(x)=)(log 12x -(x ＜0)C.f(x)=-log 2x(x ＞0)D.f(x)=-log 2(-x)(x ＜0) 答案:D解析:设y=f(x)上任一点(x,y)关于原点的对称点(-x,-y)在g(x)=log 2x 上, ∴-y=log 2(-x). ∴y=-log 2(-x).∴f(x)=-log 2(-x)(x ＜0). ∴选D.4.(2006北京高考,理5)已知f(x)=⎩⎨⎧≥<+1x x,log 1,x 4a,1)x -(3a a 是(-∞,+∞)上的减函数,那么a 的取值范围是( )A.(0,1)B.(0,31) C.［71,31) D.［71,1) 答案:C解析:当x ＜1时,f 1(x)=(3a-1)x+4a 为减函数,需3a-1=0, ∴a ＜31. ① 当x≥1时,f 2(x)=log a x 为减函数,需0＜a ＜1. ②又函数在(-∞,+∞)上为减函数,则需［f 1(x)］min ≥［f 2(x)］max ,即f 1(1)≥f 2(1), 代入解得a≥71. ③ ①②③取交集, ∴71≤a ＜31. 5.(2006辽宁高考,理2文3)设f(x)是R 上的任意函数,则下列叙述正确的是( ) A.f(x)f(-x)是奇函数 B.f(x)|f(-x)|是奇函数 C.f(x)-f(x)是偶函数 D.f(x)+f(-x)是偶函数 答案:D解析:据奇偶函数性质,易判定 f(x)·f(-x)是偶函数,f(x)-f(-x)是奇函数. f(x)·|f(-x)|的奇偶取决于f(x)的性质. 只有f(x)+f(-x)是偶函数正确.6.(2006福建高考,文12)已知f(x)是周期为2的奇函数,当0＜x ＜1时,f(x)=lgx.设a=f(56),b=f(23),c=f(25),则( )A.a ＜b ＜cB.b ＜a ＜cC.c ＜b ＜aD.c ＜a ＜b 答案:A解析:∵f(x)为周期是2的奇函数且0＜x ＜1时,f(x)=lgx,则a=f(56)=f(56-2)=-f(54)=-lg 54, b=f(23)=f(23-2)=-f(21)=-lg 21,c=f(25)=f(25-2)=f(21)=lg 21.∴c ＞b ＞a.7.(2006湖北高考,理4文7)设f(x)=lgx x -+22,则f(2x )+f(x2)的定义域为( ) A.(-4,0)∪(0,4) B.(-4,-1)∪(1,4)C.(-2,-1)∪(1,2)D.(-4,-2)∪(2,4) 答案:B 解析:∵xx-+22＞0, ∴-2＜x ＜2.∴⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧<<<< 2.22-2,22-xx解得x ∈(-4,-1)∪(1,4).8.(2006湖南高考,理1)函数y=2log 2-x 的定义域是( )A.(3,+∞)B.［3,+∞)C.(4,+∞)D.［4,+∞) 答案:D解析:y=2log 21-x 的定义域是⎩⎨⎧>≥0,x 0,2-x log 2解这个不等式得x≥4. 9.(2006广东高考,1)函数f(x)=xx -132+1g(3x+1)的定义域是( )A.（-31,+∞） B.（-31,1） C.（-31,31） D.（-∞,-31） 答案:B解析:x 应满足⎩⎨⎧>+>013x 0x -1⇒⎪⎩⎪⎨⎧-><31x 1x ⇒-31＜x ＜1.10.(2006广东高考,3)下列函数中，在其定义域内既是奇函数又是减函数的是（ ）A.y=-x 3,x ∈RB.y=sinx,x ∈RC.y=x,x ∈RD.y=(21)x,x ∈R 答案:A解析:B.y=sinx,x ∈R ,是奇函数,但不单调. C.y=x,x ∈R 是奇函数,增函数. D.y=(21)x,x ∈R 是减函数,但无奇偶性. 11.(2006重庆高考,理9)如图所示,单位圆中的长为x,f(x)表示与弦AB 所围成的弓形面积的2倍,则函数y=f(x)的图象是( )答案:D解析:特殊值法,当弓形所对圆心角为2π、23π时,易验证D 正确.12.(2006重庆高考,文6)设函数y=f(x)的反函数为y=f -1(x),且y=f(2x-1)的图象过点(21,1),则y=f -1(x)的图象必过点( ) A.(21,1) B.(1,21) C.(1,0) D.(0,1) 答案:C解析:由y=f(2x-1)过(21,1)点可知f(0)=1, ∴y=f -1(x)过(1,0)点.13.(2006山东高考,理2文3)函数y=1+a x (0＜a ＜1)的反函数的图象大致是( )答案:A解析:∵0＜a＜1,∴y=1+a x单调递减.故其反函数在相应区间上单调递减.∴排除C、D.又∵a x＞0,∴y=1+a x＞1,即反函数定义域为(1,+∞).∴选A.14.(2006山东高考,理6文5)已知定义在R上的奇函数f(x)满足f(x+2)=-f(x),则f(6)的值为( )A.-1B.0C.1D.2答案:B解析:∵f(x+2)=-f(x),∴f(6)=f(4+2)=-f(4)=f(2)=-f(0).又f(x)为R上的奇函数,∴f(0)=0.∴f(6)=0.15.(2006江西高考,理12)某地一年内的气温Q(t)(单位:℃)与时间t(月份)之间的关系如图(1)所示,已知该年的平均气温为10℃.令C(t)表示时间段［0，t］的平均气温，C（t)与t之间的函数关系用下列图象表示,则正确的应该是( )答案:A解析:选取特殊点用排除法. t=12时,C(t)=10,从而排除D. t 在12附近时Q(t)＜10.从而在此之前C(t)＞10,从而排除B.t 在6附近时Q(t)＞10,从而C(t)应为增函数,从而排除C.故选A.16.(2006安徽高考,理5)函数y=⎩⎨⎧<≥0 x ,x -0,x 2x,2的反函数是( )A.y=⎪⎩⎪⎨⎧<≥0x ,x -0x ,2xB.y=⎩⎨⎧<≥0x ,x -0 x 2x,C.y=⎪⎩⎪⎨⎧<≥0x ,x --0x ,2xD.y=⎩⎨⎧<≥0x ,x --0 x 2x,答案：C解析：当x≥0时y=2x,x=2y ,则其反函数即为y=2x .又当x≥0时，2x≥0,y=2x 的值域即为［0,+∞).∴反函数在x≥0时为y=2x(x≥0). 当x ＜0时y=-x 2,则∵x 2∈［0,+∞),则-x 2∈(-∞,0),即y=-x 2的值域为(-∞,0)，即反函数的定义域为(-∞,0).又y=-x 2,则-y=x 2,则x=±y -.又x ＜0, ∴x=-y -,即反函数在x ＜0时为y=-x -.∴原函数的反函数为y=⎪⎩⎪⎨⎧<≥0.x ,x --0,x ,2x17.(2006陕西高考,理10)已知函数f(x)=ax 2+2ax+4(0＜a ＜3),若x 1＜x 2,x 1+x 2=1-a ，则（ ） A.f(x 1)＜f(x 2) B.f(x 1)=f(x 2)C.f(x 1)＞f(x 2)D.f(x 1)与f(x 2)的大小不能确定 答案:A解析:由f(x)=ax 2+2ax+4(0＜a ＜3),得f(x)为二次函数且对称轴为x 0=-1,∵x 1+x 2=1-a, ∴221x x +=21a -,即x 1、x 2中点的横坐标为21a-.又∵0＜a ＜3, ∴21a-＞-1. 又∵x 1＜x 2,如上图,∴x 1离对称轴的距离小于x 2离对称轴的距离. ∴f(x 1)＜f(x 2). 二、填空题18.(2006北京高考,文11)已知函数f(x)=a x -4a+3的反函数的图象经过点(-1,2),那么a 的值等于_________________________. 答案:2解析:由原函数与反函数的关系可知原函数必过点(2,-1),代入f(x)=a x -4a+3,得-1=a 2-4a+3, ∴a=2.19.(2006安徽高考,理15文15)函数f(x)对于任意实数x 满足条件f(x+2)=)(1x f ,若f(1)=-5,则f ［f(5)］=___________________. 答案：-51 解析：∵f(x+2)=)(1x f , ∴f(x+2+2)=)2(1+x f =f(x),即f(x+4)=f(x).故f(x)是以4为周期的函数.又f(1)=-5,∴f(1+4)=f(1)=-5,即f(5)=-5.∴f ［f(5)］=f(-5).又f(-5)=f(-5+4)=f(-1)且f(-1)=f(-1+2)=)1(1f =-51， ∴f(-5)=-51, 即f ［f(5)］=-51. 三、解答题20.(2006重庆高考,理21)已知定义域为R 的函数f(x)满足f(f(x)-x 2+x)=f(x)-x 2+x. (1)若f(2)=3,求f(1);又若f(0)=a,求f(a).(2)设有且仅有一个实数x 0,使得f(x 0)=x 0,求函数f(x)的解析表达式. 解:(1)因为对任意x ∈R ,有f(f(x)-x 2+x)=f(x)-x 2+x, 所以f(f(2)-22+2)=f(2)-22+2.又由f(2)=3,得f(3-22+2)=3-22+2,即f(1)=1. 若f(0)=a,则f(a-02+0)=a-02+0,即f(a)=a.(2)因为对任意x ∈R ,有f(f(x)-x 2+x)=f(x)-x 2+x, 又因为有且只有一个实数x 0,使得f(x 0)=x 0, 所以对任意x ∈R ,有f(x)-x 2+x=x 0, 在上式中令x=x 0,有f(x 0)-x 02+x 0=x 0.又因为f(x 0)=x 0, 所以x 0-x 02=0, 故x 0=0或x 0=1.若x 0=0,则f(x)-x 2+x=0, 即f(x)=x 2-x.但方程x 2-x=x 有两个不同实根,与题设条件矛盾,故x 0≠0. 若x 0=1,则有f(x)-x 2+x=1,即f(x)=x 2-x+1. 易验证该函数满足题设条件,综上,所求函数为f(x)=x 2-x+1(x ∈R ).2005高考题一、选择题1.(2005春季北京高考,文2)为了得到函数y=2x-3-1的图像，只需把函数y=2x 的图像上所有的点（ ）A.向右平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度B.向左平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度C.向右平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度D.向左平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度 答案：A解：由y=2x,得到y=2x-3-1.需用x-3换x,用y+1换y,即⎩⎨⎧=+= 1.-y y'3,x x'∴按平移向量(3,-1)平移,即向右平移3个单位,向下平移1个单位. 2.(2005春季上海高考,理13文13)若函数f(x)=121+x,则该函数在(-∞,+∞)上是（ ） A.单调递减无最小值 B.单调递减有最小值 C.单调递增无最大值 D.单调递增有最大值 答案：A解：令u(x)=2x +1,则f(u)=u 1.因为u(x)在(-∞,+∞)上单调递增且u(x)＞1,而f(u)=u1在(1,+∞)上单调递减,故f(x)=121+x在(-∞,+∞)上单调递减,且无限趋于0,故无最小值. 3.(2005天津高考,文10)设f(x)是定义在R 上以6为周期的函数,f(x)在(0,3)内单调递减,且y=f(x)的图像关于直线x=3对称,则下面正确的结论是（ ） A.f(1.5)＜f(3.5)＜f(6.5) B.f(3.5)＜f(1.5)＜f(6.5) C.f(6.5)＜f(3.5)＜f(1.5) D.f(3.5)＜f(6.5)＜f(1.5) 答案：B解：∵f(x)是以6为周期的函数, ∴f(x)=f(x+6).∴f(6.5)=f(0.5+6)=f(0.5). 又f(x)的图象关于x=3对称, ∴f(x)=f(6-x).∴f(3.5)=f(6-3.5)=f(2.5). 又f(x)在(0,3)上单减, ∴f(2.5)＜f(1.5)＜f(0.5).∴f(3.5)＜f(1.5)＜f(6.5).4.(2005浙江高考,理3)设f(x)=⎪⎩⎪⎨⎧>+≤1,|x |,x 111,|x | -2,|1-x |2则f ［f(21)］等于( )A.21 B.134 C.-59 D.4124答案：B解：∵f(21)=|21-1|-2=-23, ∴f ［f(21)］=f(-23)=2)23(11-+=134.5.(2005湖南高考,文10)某公司在甲、乙两地销售一种品牌车,利润(单位:万元)分别为L 1=5.06x-0.15x 2和L 2=2x,其中x 为销售量(单位:辆).若该公司在这两地共销售15辆车,则能获得的最大利润为( )A.45.606B.45.6C.45.56D.45.51 答案：B解：依题意可设甲销售x 辆,则乙销售(15-x)辆,∴总利润S=5.06x-0.15x 2+2(15-x)=-0.15x 2+3.06x+30(x≥0). ∴当x=10.2时,S max =45.6(万元).6.(2005广东高考,9)在同一平面直角坐标系中,函数y=f(x)和y=g(x)的图像关于直线y=x 对称,现将y=g(x)的图像沿x 轴向左平移2个单位,再沿y 轴向上平移1个单位,所得的图像是由两条线段组成的折线(如图所示),则函数f(x)的表达式为()A.f(x)=⎪⎩⎪⎨⎧≤<+≤≤+2x 02,20x 1- 2,2x xB.f(x)=⎪⎩⎪⎨⎧≤<-≤≤-2x 02,20x 1- 2,2x xC.f(x)=⎪⎩⎪⎨⎧≤<+≤≤-4x 21,20x 1 2,2x xD.f(x)=⎪⎩⎪⎨⎧≤<-≤≤-4x 23,22x 1 6,2x x答案：A解：由题图知g(x)向左平移2个单位,向上平移1个单位后,函数解析式为y=⎪⎩⎪⎨⎧≤<+≤≤+ 1.x 01,2x 0,x 2- 1,x 21再把该函数图象向下平移1个单位,向右平移两个单位后得到g(x), ∴g(x)=⎪⎩⎪⎨⎧≤<≤≤ 3.x 2 2),-2(x 2,x 0 2),-(x 21再求g(x)的反函数,得到f(x)=⎪⎩⎪⎨⎧≤<+≤≤+ 2.x 0 2,2x 0,x 1- 2,2x故选A.二、填空题7.(2005全国高考卷Ⅲ,理16文16)已知在△ABC 中,∠ACB=90°,BC=3,AC=4,P 是AB 上的点,则点P 到AC 、BC 的距离乘积的最大值是____________________. 答案:3解：如图所示,设P 到AC 、BC 的距离分别为x 、y(0≤x≤3,0≤y≤4).∵BC x =AB AP ,BA BPAC y =,∴AB ABAB BP AP y x =+=+43=1,即43y x +=1. ∴xy=12·3x ·4y ≤12·(243y x +)2=3. 当且仅当3x =4y,即⎪⎩⎪⎨⎧==2y ,23x 时取“=”. ∴当x=23,y=2时,xy 的最大值是3. 8.(2005江苏高考,16)若3a =0.618,a ∈［k,k+1),k ∈Z ,则k=_______________. 答案：-1 解：∵3-1=31,30=1,∴31＜0.618＜1,即3-1＜3a ＜30. ∴-1＜a ＜0.又a ∈［k,k+1),k ∈Z .∴k=-1.9.(2005湖北高考,文13)函数f(x)=32--x x lg x -4的定义域是________________. 答案：［2,3)∪(3,4) 解：原函数定义域等价于解不等式组⎪⎩⎪⎨⎧>≠≥0,x -40,3-x 0,2-x解得2≤x ＜3或3＜x ＜4.10.(2005湖南高考,理14文14)设函数f(x)的图像关于点(1,2)对称,且存在反函数f -1(x),f(4)=0,则f -1(4)=_________________.答案：-2解：∵f(x)关于点(1,2)对称,且f(4)=0,∴(4,0)−−−−→−对称关于)2,1((-2,4).又∵f(x)存在f -1(x),从而f -1(4)=-2.三、解答题11.(2005全国高考卷Ⅰ,文19)已知二次函数f(x)的二次项系数为a,且不等式f(x)＞-2x 的解集为(1,3),(1)若方程f(x)+6a=0有两个相等的根,求f(x)的解析式;(2)若f(x)的最大值为正数,求a 的取值范围.解析：本小题主要考查二次函数、方程的根与系数关系,考查运用数学知识解决问题的能力.(1)∵f(x)+2x ＞0的解集为(1,3),∴f(x)+2x=a(x-1)(x-3),且a ＜0.因而f(x)=a(x-1)(x-3)-2x=ax 2-(2+4a)x+3a. ①由方程f(x)+6a=0,得ax 2-(2+4a)x+9a=0. ②∵方程②有两个相等的根,∴Δ=［-(2+4a)］2-4a·9a=0,即5a 2-4a-1=0.解得a=1或a=-51. 由于a ＜0,舍去a=1.将a=-51代入①,得f(x)的解析式f(x)=-51x 2-56x-53. (2)由f(x)=ax 2-2(1+2a)x+3a =a(x-a a 21+)2-aa a 142++及a ＜0,可得f(x)的最大值为-aa a 142++. 由⎪⎩⎪⎨⎧<>++-,0,0142a a a a 解得a ＜-2-3或-2+3＜a ＜0.故当f(x)的最大值为正数时,实数a 的取值范围是(-∞,-2-3)∪(-2+3,0).12.(2005春季上海高考,理21)对定义域分别是D f 、D g 的函数y=f(x)、y=g(x),规定:函数h(x)=⎪⎩⎪⎨⎧∈∉∉∈∈∈∙.D x D x g(x),,D x D x f(x),,D x D x g(x),f(x)g f g f g f 且当且当且当(1)若函数f(x)=11-x ,g(x)=x 2,写出函数h(x)的解析式; (2)求问题(1)中函数h(x)的值域;(3)若g(x)=f(x+α),其中α是常数,且α∈［0,π］,请设计一个定义域为R 的函数y=f(x),及一个α的值,使得h(x)=cos4x,并予以证明.答案：(1)解:h(x)=⎪⎩⎪⎨⎧=+∞⋃∞∈1. x 1,),(1,,1)(- x ,1-x x 2(2)解:当x≠1时,h(x)=12-x x =x-1+11-x +2, 若x ＞1,则h(x)≥4,其中等号当x=2时成立.若x ＜1,则h(x)≤0,其中等号当x=0时成立.∴函数h(x)的值域是（-∞,0］∪{1}∪［4,+∞）.(3)解法一:令f(x)=sin2x+cos2x,α=4π, 则g(x)=f(x+α)=sin2(x+4π)+cos2(x+4π)=cos2x-sin2x, 于是h(x)=f(x)·f(x+α)=(sin2x+cos2x)(cos2x -sin2x)=cos4x.解法二:令f(x)=1+2sin2x,α=2π,则g(x)=f(x+α)=1+2sin2(x+2π)=1-2sin2x. 于是h(x)=f(x)·f(x+α)=(1+2sin2x)(1-2sin2x)=1-2sin 22x=cos4x.2004高考题一、选择题1.(2004全国高考卷Ⅳ,理12)设函数f(x)(x ∈R )为奇函数,f(1)=21,f(x+2)=f(x)+f(2),则f(5)等于( )A.0B.1C.25 D.5 答案：C解析：本题主要考查函数的性质,对抽象函数性质的理解与运用.由f(x+2)=f(x)+f(2),令x=-1,得f(1)=f(-1)+f(2).∵f(1)=21,f(-1)=-f(1), ∴f(2)=1. ∴f(5)=f(3+2)=f(3)+f(2)=f(1+2)+f(2)=f(1)+2f(2)=21+2=25. 2.(2004北京春季高考,理5文7)函数f(x)=x 2-2ax-3在区间［1,2］上存在反函数的充分必要条件是( )A.a ∈(-∞,1］B.a ∈［2,+∞)C.a ∈［1,2］D.a ∈(-∞,1］∪［2,+∞)答案：D解析：本题主要考查二次函数的性质、反函数的概念,以及充要条件等基础知识.由反函数的定义知二次函数在R 上不存在反函数,但在其任意给定的单调区间上都有反函数.这里二次函数的对称轴为x=a,若在区间［1,2］上存在反函数,则充分必要条件是a≤1或a≥2.3.(2004江苏高考,11)设k ＞1,f(x)=k(x-1)(x ∈R )在平面直角坐标系xOy 中,函数y=f(x)的图像与x 轴交于A 点,它的反函数y=f -1(x)的图像与y 轴交于B 点,并且这两个函数的图像交于P 点.已知四边形OAPB 的面积是3,则k 等于( )A.3B.23C.34D.56 答案：B解析：本题主要考查函数的图象与性质、互为反函数的图象之间的关系,以及直线方程等基础知识.求四边形OAPB 的面积,关键要抓住互为反函数图象间的对称性,实际上S 四边形OAPB =2S △POA ,而求△POA 的面积,只涉及OA 的长度以及P 点的纵坐标,知|OA|=1,因此求P 点的纵坐标是解题的突破口.由⎩⎨⎧==1),-k(x y x,y 得P 点的纵坐标为1-k k . ∵k ＞1,∴S 四边形OAPB =1×1-k k . 解方程1-k k =3,得k=23. 4.(2004浙江高考,理12文12)若f(x)和g(x)都是定义在实数集R 上的函数,且方程x-f ［g(x)］=0有实数解,则g ［f(x)］不可能是( )A.x 2+x-51 B.x 2+x+51 C.x 2-51 D.x 2+51 答案：B解析：本题主要考查二次方程解的讨论,以及特殊化思想．不妨设f(x)=x,则f ［g(x)］=g ［f(x)］=g(x),显然x 2+x+51=x,即x 2+51=0时,该方程无解. 5.(2004湖南高考,理16)设函数f(x)=⎩⎨⎧>≤++0, x2,0,x c,bx x 2若f(-4)=f(0),f(-2)=-2,则关于x 的方程f(x)=x 解的个数为( ) A.1 B.2 C.3 D.4答案：C解：由f(-4)=f(0),得b=4.再由f(-2)=-2,得c=2．∴x ＞0时,显然x=2是方程f(x)=x 的解;x≤0时,方程f(x)=x 即为x 2+4x+2=x,解得x=-1或x=-2. 综上,方程f(x)=x 解的个数为3．二、填空题6.(2004北京高考,理13文13)在函数f(x)=ax 2+bx+c 中,若a 、b 、c 成等比数列且f(0)=-4,则f(x)有最______________值(填“大”或“小”),且该值为__________________.答案：大 -3解析：本题主要考查二次函数的性质,以及等比数列的概念等基础知识.∵a 、b 、c 成等比数列,∴b 2=ac.又f(0)=-4,∴c=-4.∴a ＜0.故f(x)有最大值,最大值是ab ac 442-=c-4c =-3. 7.(2004浙江高考,理13文13)已知f(x)=⎩⎨⎧<≥0,x 1,-0,x 1,则不等式x+(x+2)·f(x+2)≤5的解集是______________________.答案：（-∞,23］ 解析：考查分段函数的对应关系及不等式的解法．原不等式可化为下面两个不等式组⎩⎨⎧≤∙++≥+512)(x x 0,2x 或⎩⎨⎧≤∙++<+5,(-1)2)(x x 0,2x 解得-2≤x≤23或x≤-2,即x≤23． 8.(2004春季安徽高考,理15)函数y=x -x(x≥0)的最大值为_________________. 答案：41 解析：考查二次函数的最值、换元法等基础知识与技能. 令x =t,则y=-t 2+t,当t=21, 即x=41时,y 有最大值41.三、解答题9.(2004北京高考,理18)函数f(x)是定义在［0,1］上的增函数，满足f(x)=2f(2x )且f(1)=1,在每个区间(i 21,121-i ］(i=1,2,…)上，y=f(x)的图像都是斜率为同一常数k 的直线的一部分. (1)求f(0)及f(21)、f(41)的值，并归纳出f(i 21)(i=1,2,…)的表达式； （2）设直线x=i 21、x=121-i 、x 轴及y=f(x)的图像围成的梯形的面积为a i (i=1,2,…),记S(k)=∞→n lim (a 1+a 2+……+a n ),求S(k)的表达式，并写出其定义域和最小值. 解析：本题主要考查函数、数列等基本知识，考查分析问题和解决问题的能力.（1）由f(0)=2f(0),得f(0)=0.由f(1)=2f(21)及f(1)=1, 得f(21)=21f(1)= 21. 同理，f(41)=21f(21)=41. 归纳得f(i 21)=i 21(i=1,2,…). (2)当i 21＜x≤121-i 时， f(x)=121-i +k(x-121-i ), a i =21［121-i +121-i +k(i 21-121-i )］(121-i -i 21)=(1-4k )1221-i (i=1,2,…). ∴｛a n ｝是首项为21(1-4k ),公比为41的等比数列. ∴S(k)=∞→n lim (a 1+a 2+…+a n )=411)41(21--k =32(1-4k ). S(k)的定义域为0＜k≤1,当k=1时取得最小值21. 10.(2004上海高考,理20)已知二次函数y=f 1(x)的图像以原点为顶点且过点(1,1),反比例函数y=f 2(x)的图像与直线y=x 的两个交点间的距离为8,f(x)=f 1(x)+f 2(x).（1）求函数f(x)的表达式；（2）证明:当a ＞3时,关于x 的方程f(x)=f(a)有三个实数解.解：(1)由已知，设f 1(x)=ax 2,由f 1(1)=1,得a=1.∴f 1(x)=x 2.设f 2(x)=xk (k ＞0)，它的图象与直线y=x 的交点分别为A （k ,k ）,B(-k ,-k ). 由|AB|=8，得k=8.∴f 2(x)=x8. 故f(x)=x 2+x 8. (2)证法一：由f(x)=f(a),得x 2+x 8=a 2+a8,即x 8=-x 2+a 2+a8. 在同一坐标系内作出f 2(x)=x 8和f 3(x)=-x 2+a 2+a8的大致图象，其中f 2(x)的图象是以坐标轴为渐近线，且位于第一、三象限的双曲线，f 3(x)的图象是以（0,a 2+a 8）为顶点，开口向下的抛物线.因此，f 2(x)与f 3(x)的图象在第三象限有一个交点，即f(x)=f(a)有一个负数解.又∵f 2(2)=4,f 3(2)=-4+a 2+a8, 当a ＞3时，f 3(2)-f 2(2)=a 2+a 8-8＞0, ∴当a ＞3时，在第一象限f 3(x)的图象上存在一点（2,f 3(2)）在f 2（x ）图象的上方. ∴f 2(x)与f 3(x)的图象在第一象限有两个交点，即f(x)=f(a)有两个正数解.因此，方程f(x)=f(a)有三个实数解.证法二：由f(x)=f(a)，得x 2+x 8=a 2+a 8， 即(x-a)(x+a-ax 8)=0，得方程的一个解x 1=a. 方程x+a-ax8=0化为ax 2+a 2x-8=0, 由a ＞3，Δ=a 4+32a ＞0，得x 2=a a a a 23242+--,x 3=aa a a 23242++-. ∵x 2＜0,x 3＞0,∴x 1≠x 2,且x 2≠x 3.若x 1=x 3,即a=aa a a 23242++-. 则3a 2=a a 324+,a 4=4a,得a=0或a=34,这与a ＞3矛盾，∴x 1≠x 3.故原方程有三个实数解.题源探究1.(2005浙江高考,11)函数y=2+x x (x ∈R 且x≠-2)的反函数是______________________. 答案:y=xx -12(x ∈R 且x≠1) 解:由y=2+x x ,得x=yy -12,且y=2222+-+x x =1-22+x ≠1. 故反函数为y=xx -12(x ∈R 且x≠1). 原题：(《数学》第一册上第103页复习参考题二B 组第5题)求下列函数的反函数:(1)f(x)=432+-x x . 探源：本质上都是考查分子、分母都是一次的分式函数的反函数问题,注意反函数的定义域就是使得分式有意义的x 的取值范围.2.(2005湖南高考2)函数f(x)=x 21-的定义域是( )A.(-∞,0］B.［0,+∞)C.(-∞,0)D.(0,+∞)答案:A解:依题可知x 应满足1-2x ≥0,即2x ≤1=20.∴x≤0.∴定义域为(-∞,0］.原题：(《数学》第一册上第102页复习参考题二A 组第13题)求下列函数的定义域：(2)f(x)=x)21(1-.探源：本题与课本习题基本一致,主要考查了根式及指数函数的单调性问题.3.(2005辽宁高考,5)函数y=ln(x+12+x )的反函数是( ) A.y=2x x e e -+ B.y=-2xx e e -+ C.y=2x x e e -- D.y=-2xx e e -- 答案:C解:∵y=ln(x+12+x ),∴x+12+x =e y ,x 2+1=e y -x, 12+x =e 2y -2x·e y +x 2.x=2212y y y y e e ee --=-互换x 、y 得y=2xx e e --. 原题：(《数学》第一册上第103页复习参考题二B 组第5题)求下列函数的反函数:(2)y=x+12+x .探源：两者形式上虽有一定的差别,但主要都是考查了求反函数问题.前者在后者的基础上进行了变形,增加了对指对数关系的考查.4.(2004全国Ⅱ,4)函数y=1-x +x(x≥1)的反函数是( )A.y=x 2-2x+2(x ＜1)B.y=x 2-2x+2(x≥1)C.y=x 2-2x(x ＜1)D.y=x 2-2x(x≥1)答案:B解析:本题主要考查求反函数的基本技能.求反函数要注意原函数定义域对反函数的定义域的影响.由y=1-x +1,解关于x 的方程得x=(y-1)2+1.又∵x≥1,∴y=1-x +1≥1. 故反函数为f -1(x)=(x-1)2+1,x≥1.原题：(《数学》第一册上第64页习题2.4第1题)求下列函数的反函数:(8)y=42-x (x≥2). 探源：涉及带根号的求反函数问题,本题是课本习题的变形题,在求解中,注意反函数的定义域即是原函数的值域.。