8.2弹性体的剪切应变ppt课件
弹性波动理论
四、波动方程 若应力体内两相邻质点应力相同，无相对运动，静止平衡状态
若二者之间有应力差，产生波动
为研究弹性波动形成的物理机制和传播规律，须建立波的运动方程（波动方程）
波动方程: 研究介质中质点位移随时间和空间的变化规律。
在弹性理论中，对于均匀、各向同性、理想弹性介质中的三维波动方程式为
(
)
x
2u
2u t 2
一个体积为V的立方体，在流体静压力P的挤压下所发生体积形变。即每个正
截面的压体变模量（压缩模量）: 压力P与体积相对变化之比
P K=-
(1.7)
(4) 切变模量（μ）
切变模量（刚性模量）:表示了物体切应力与切应变之比
μ=
(1.8)
对于液体: μ=0，不产生切应变，只有体积变化。
(5) 拉梅常数（λ、μ） 弹性力学中：受力物体内任意点受力 沿坐标轴分为三个分力，每个分力 都会引起纵向和横向沿三个轴的应力与应变。
因此：振动图是描述地震波质点位移随时间的变化规律的图像。 图中： t1――初至，质点刚开始振动 △t――波（质点振动）的延续时间，△t的大小直接影响地震勘探的分辨率。
1.8 (a) 振动图 (b)波形记录
体波：纵、横波，在整个空间
面波：弹性分界面附近 瑞利面波：自由界面，地滚波，R波 特点：低频、低速，能量大（强振幅），旋转（铅垂面，椭圆，逆转）
天然地震中，危害极大 勒夫面波：低速带顶底界面，平行界面的波动，振动方向垂直传播方向，
SH波 特点：对纵波勘探影响不大，对横波勘探严重干扰
图1.5 (a)瑞雷面波的传播 (b)勒夫面波的传播
自然界中绝大部分物体，在外力作用下，既可显弹，也可显塑
地震勘探，震源是脉冲式的，作用时间很短（持续十几～几十毫秒），岩土受 到的作用力很小，可把岩、土介质看作弹性介质，用弹性波理论来研究地震波。
弹性体的应变与应力特性
弹性体的应变与应力特性弹性体是一种特殊的材料，具有独特的应变和应力特性。
在应用中，了解弹性体的应变和应力特性对于设计和制造具有弹性特性的产品至关重要。
首先，了解什么是应变。
应变是弹性体在受力作用下发生的形变量。
它通常以变形体积与初始体积之比来表示。
当施加外力时，弹性体内的分子或原子之间的相对位置会发生变化，从而引起材料的形变。
应变是弹性体发生的可逆性变形，即当外力消失时，弹性体会恢复到原始形态。
而应力则是弹性体内部由于外界施加力而产生的内部力。
应力和力的大小成正比，与受力点附近的弹性体横截面积成反比。
应力可以分为拉伸应力、压缩应力和剪切应力等。
在材料的应变-应力曲线中，通常可以观察到不同阶段的特征。
首先是线性弹性阶段，这个阶段的特点是应变与应力成正比。
当外力移除时，弹性体会回到原始状态，没有留下永久变形。
接着是屈服点之后的塑性变形阶段。
在这个阶段，应变增加，但材料没有完全失去可逆性。
当外力移除后，材料会部分恢复，但仍然存在永久塑性变形。
最后是断裂阶段，材料无法恢复原状，会发生破裂。
这时，应变和应力之间的关系失去线性关系，也就是材料的断裂点。
弹性体的应变和应力特性对于产品设计和材料选择至关重要。
学习和预测这些特性可以帮助工程师选择恰当的材料，并了解产品在受力时的行为。
例如，汽车制造业中常用的悬挂系统。
这些悬挂系统需要具有弹性特性，以吸收和缓解车辆在不平路面上的震动和冲击。
由于弹性体的应变和应力特性，悬挂系统可以使车辆在行驶过程中保持稳定性和驾驶舒适度。
另一个例子是运动鞋的制造。
在设计运动鞋的缓震系统时，工程师必须考虑弹性体的应变和应力特性。
优秀的缓震系统可以缓解由于跑步等运动产生的震动和冲击，为运动员提供更加舒适和安全的体验。
除了产品设计，了解弹性体的应变和应力特性还有助于研究材料的性能和改进材料的制造工艺。
利用工程分析和模拟方法，可以精确地预测弹性体在不同受力情况下的行为，进而优化产品的设计和生产过程。
弹性力学课件
弹性力学的研究对象主要是弹性 体，即在外力作用下能够发生变 形，当外力去除后又能恢复到原 来形状的物体。
弹性体基本假设与约束条件
基本假设
弹性体在变形过程中，其内部各点间 距离的变化是微小的，且这种变化不 影响物体的整体形状和大小。
约束条件
弹性体的变形受到外部约束条件的限 制，如支撑、连接等，这些约束条件 对弹性体的变形和内力分布产生影响 。
2
例题2
无限大平板受均布载荷作用下的应力分 析。利用弹性力学理论求解无限大平板 在均布载荷作用下的应力分布，并讨论 平板厚度对应力分布的影响。
3
例题3
圆柱体受内压作用下的应力分析。通过 解析法或数值法求解圆柱体在内压作用 下的应力分布，并讨论不同材料属性和 几何参数对应力分布的影响。
03
弹性体变形协调方程与几何方程
3
讨论
通过对比各向同性和各向异性材料的力学行为， 加深对材料本构关系的理解。
05
平面问题求解方法与应用举例
平面问题定义及分类
平面应力问题
长柱形物体受平行于横截面的外力作用，横截面尺寸远小于轴向 尺寸。
平面应变问题
平面或板状物体受平行于中面的外力作用，中面尺寸远大于厚度。
平面问题的简化
忽略体力，将空间问题简化为平面问题。
各向异性材料本构关系简介
各向异性假设
材料在各个方向上具有不同的力学性质。
本构关系特点
应力与应变之间的关系复杂，需要考虑材料的方 向性。
典型各向异性材料
纤维增强复合材料、层合板等。
典型例题解析与讨论
1 2
例题一
求解各向同性材料在简单拉伸条件下的应力和应 变。
例题二
分析各向异性材料在复杂应力状态下的力学行为 。
弹性应变能基本概念及原理
实际问题识别和解决方案设计
识别工程中的实际问题
如结构刚度不足、变形过大、能量耗散过快等，分析其原因和影 响。
设计针对性的解决方案
根据问题性质，提出加强结构刚度、优化变形控制、提高能量利用 效率等具体措施。
方案实施与效果评估
将解决方案应用于实际工程中，通过对比分析和实验验证，评估其 效果和可行性。
创新思路在解决实际问题中应用
弹性波传播速度与介质参数关系
分析波速与介质密度、弹性模量等参数的关系。
弹性波在界面上的反射与透射
探讨波在两种不同介质界面上的性应变能与振动能量关系
阐述弹性应变能在振动过程中的作用，以及其与振动能量的关系 。
弹性体振动时的能量转换
分析弹性体在振动过程中，动能与弹性应变能之间的转换。
弹性应变能基本概念 及原理
汇报人： 2024-02-05
目录 CONTENTS
• 弹性应变能基本概念及原理 • 材料力学中的弹性应变能问题 • 结构力学中的弹性应变能问题 • 弹性波传播与振动问题中弹性应变
能应用 • 实验方法及测量技术探讨 • 工程案例分析与实际问题解决方案
01
弹性应变能基本概念及 原理
数据处理技术
介绍实验数据的处理方法，如数据平 滑、异常值剔除、误差修正等，以提 高数据质量和可靠性。
误差分析和提高测量精度措施
误差来源分析
分析实验中可能产生的误差来源，如仪器误差、操作误差、环境误差等，以及各种误差对实验结果的影响程度。
提高测量精度措施
根据误差分析结果，采取相应的措施来减小误差，提高测量精度。例如，优化实验方案、改进测量方法、提高仪 器精度等。
01
结构力学是研究结构在荷载作用下的内力和变形规律的学科。
第八章 弹性体的应力和应变
第八章弹性体的应力和应变8.1弹性体的拉伸和压缩四种物体的形变：拉伸压缩、剪切、扭转、弯曲本节从弹性均质直杆的情况出发讨论拉伸、压缩的正应力与形变的关系。
（一）外力、内力和应力：对于直杆整体来说作用在直杆的拉力（或压力）F'和F F'''=-是外力，设想在直杆上某位置作与轴线垂直的假想截面AB，截面上半部分通过假想截面对下半部分施以向上（或向下）的拉（或压）力F-，下半部分通过假想截面对上半部分施以向下（或向下）的拉（或压）力F，对直杆整体而言，这对力为内力。
当作用力远大于自重时，可把自重忽略不计，据平衡条件得出内力和外力大小相等即：F F F'''==二、直杆的应力：如果杆的直径比长度小很多，则可认为直杆横向假想截面应力分布均匀的，应力大小为：nFSσ=nF→内力在假想截面外法线方向的投影，S表示横截面的面积，拉伸应力0σ>，压缩应力0σ<。
FF(a)FF(b)（二）直杆的线应变以杆的拉伸为例，如图所示，直杆在竖直方向拉力作用下发生拉伸形变。
设 0l 直杆的原长l 形变后的长度0l l l ∆=- 0l ∆>为绝对伸长0l ∆<为绝对压缩一、线应变：绝对伸长和压缩之比称相对伸长（或压缩）又叫线应变。
l l ε∆=0ε> 为拉伸 0ε< 为压缩二、泊松系数：直杆拉伸压缩时，还产生横向形变。
直杆沿轴向拉伸时，则横向收缩，直杆沿轴向压缩时，则横向膨胀。
设想直杆横截面是正方形，每边长为0b ，横向形变后边长为b ，则横向相对形变或应变为：010b b b b bε-∆== 实验证明，对于大多数教材1ε的绝对值比相对线应变ε的绝对值小3～4倍。
横向应 变与纵向应变之比的绝对值称为泊松系数，μ是描写物质弹性特征的物理量。
1εμε= (三)胡克定律一、内容：对于有拉伸压缩形变的弹性体，当应变较小时，应变与应力成正比。
第八章 弹性体的应力和应变
第八章 弹性体的应力和应变习题解答8．1．1一钢杆的截面积为，所受轴向外力如图所示，试计算A 、B,B 、C ，C 、D之间的应力。
、、。
解：在AB 段、BC 段、CD 段各假想一截面、、，对整体取为隔离体为拉应力取为隔离体为压应力取为隔离体为拉应力8．1．2利用直径为0.02m的钢杆CD固定刚性杆AB。
若CD杆内的应力不得超过，问至多悬挂多大重量（不计杆自重）。
解：设B处悬挂W重的物体时AB杆刚好能承受，由于CD杆静止，故对过A点的垂直轴力矩代数和为零。
由得8．1．3图中上半段横截面等于且杨氏模量为的铝制杆，下半段横截面等于且杨氏模量为的钢杆，铝杆内允许最大应力为，钢杆内允许最大应力为。
不计杆的自重，求杆下端所能承受的最大负荷以及在此负荷下杆的总伸长量。
解：钢杆能承受的最大拉力：铝杆能承受的最大拉力：杆下端能承担的最大负荷为。
由胡克定律：8．1．4电梯用不在一条直线上的三根钢索悬挂，电梯质量为500kg。
最大负载极限5.5KN。
每根绳索都能独立承担总负载，且其应力仅为允许应力的70%，若电梯向上的最大加速度为g/5，求钢索的直径为多少？将钢索看作圆柱体，且不计其自重，取钢的允许应力为。
解：电梯与负载总质量：m=500+550=1050(kg)当电梯向上的加速度上升时，由牛顿第二定律：因为：，所以钢索拉力为：该力与绳索内力相等即：8．1．5（1）矩形横截面杆在轴向拉力作用下拉伸应变为，此材料的柏松系数为。
求证杆体积的相对改变为。
表示原体积，V表示变形后的体积。
（2）上式是否适用于压缩？（3）低碳钢杨氏模量为，柏松系数受到的应力为，求杆件体积的相对改变量。
（1）、解：设杆原长，经过拉伸后变为两者之间关系分别为：由纵向应变公式：，横向相对应变公式：泊松系数公式：含有两个或三个项，为高阶无穷小量，可省略。
（2）、压缩证明同上，同样适用。
（3）、解：，，，代入（1）的证明结果：体积相对变化8．1．6（1）杆件受轴向拉力F，其横截面积为S，材料的重度（单位体积物质的重量）为，证明考虑材料的重量时横截面内的应力为：（2）杆内应力如上式，证明杆的总伸长量：（1）、解：建立如图所示坐标，任意一点x 处做一微分截面，以斜面下方物体为隔离体： 因为处于平衡状态所以，为拉应力。
材料力学课件第三章剪切
剪切现象
生活中的剪切现象
如剪刀剪纸、锯子锯木头等，都 是典型的剪切现连接处， 由于受到垂直于连接面的力而发 生相对错动。
剪切应力与应变
剪切应力
在剪切过程中，作用在物体上的剪切力与物体截面面积的比值称 为剪切应力。
剪切应变
04
剪切破坏与预防措施
剪切破坏类型
01
02
03
04
脆性剪切
材料在无明显屈服的情况下突 然发生剪切断裂，多发生在脆 性材料中。
韧性剪切
材料在发生屈服后逐渐发生剪 切断裂，多发生在韧性材料中 。
疲劳剪切
材料在循环应力作用下发生的 剪切断裂，多发生在高强度材 料中。
热剪切
由于温度变化引起的剪切断裂 ，多发生在高温环境下。
车辆工程中的剪切问题
航空航天器在高速飞行时，会受到气 动力的剪切效应，影响其稳定性。
车辆在行驶过程中，车体结构会受到 风力、路面等载荷的剪切作用，影响 车辆的安全性和舒适性。
船舶结构中的剪切变形
船舶在航行过程中，会受到波浪、水 流等载荷的剪切作用，影响其结构安 全。
THANK YOU
感谢聆听
患。
05
剪切在实际工程中的应用
建筑结构中的剪切问题
80%
桥梁结构的剪切变形
桥梁在受到车辆等载荷作用时， 会发生剪切变形，影响结构的稳 定性。
100%
高层建筑的剪切力传递
高层建筑中的剪切力对建筑物的 稳定性和安全性具有重要影响。
80%
地震作用下的剪切效应
地震时，建筑结构会受到地震波 的剪切作用，可能导致结构破坏 。
03
剪切与弯曲的关系
弯曲与剪切的相互作用
《弹性动力学引论》PPT课件
均匀性假设
• 假设弹性物体是由同一类型的均匀材料组成，认为弹性体 内不同点处的材料具有相同的性质。
•
弹性常数不随坐标的位置改变而改变；
• • 作用 可以取出物体的任意一个小部分讨论，
•
然后将分析结果应用于整个物体
• • 应用与整个弹性动力学方程建立的。
各向同性假设
假定物体内一点的弹性性质在所有各个方向都相同。
弹性力学的发展
到19世纪末和20世纪初，又应当提到的是另外 两个人，一位是英国人乐甫，他是总结到他那 时全部弹性力学成果的一位大师，并且奠定了 薄壳理论的基础，以及系统将弹性力学成功地 应用于地球物理的第一人。另一位是苏联学者 穆斯海利什维利，他终生致力于用复变函数求 解弹性力学。
弹性力学的发展
§1-2 弹性力学的研究内容
应力分析 位移和应变分析 • 弹性动力学的研究内容 应力和应变的关系
弹性波的传播
§1-3 弹性力学中的基本假定
• 问题的提出
由于工程实际问题的复杂性是由多方面因素构成 的，如果不分主次地考虑所有因素，问题是十分 复杂的，数学推导将困难重重，以至于不可能求 解。因此根据问题性质建立力学模型时，必须作 出一些基本假设，忽略部分可以暂时不予考虑的 因素，使研究的问题限制在一个方便可行的范围 之内。对于弹性力学分析，这是十分必要的。
（4） 应力
(1) 一点应力的概念
(1) 物体内部分子或原子间的相互作
内力
用力;
(不考虑)
(2) 由于外力作用引起的相互作用力.
lim s
Q
(1) P点的内力面分布集度 ----P点的应力
A0 A (2) 应力矢量. Q的极限方向
由外力引起的在 P点的某一面上内力分布集度
弹性体的应力和应变
5
数学弹性力学的典型问题主要有一般性理论、柱体扭转和弯曲、 数学弹性力学的典型问题 主要有 一般性理论 、 柱体扭转和弯曲 、 主要有一般性理论 平面问题、变截面轴扭转，回转体轴对称变形等方面 平面问题、变截面轴扭转，回转体轴对称变形等方面。 等方面。 在近代，经典的弹性理论得到了新的发展。例如， 在近代 ， 经典的弹性理论得到了新的发展 。 例如 ， 把切应力的成 对性发展为极性物质弹性力学；把协调方程(保证物体变形后连续，各 对性发展为极性物质弹性力学；把协调方程(保证物体变形后连续， 应变分量必须满足的关系)发展为非协调弹性力学；推广胡克定律， 应变分量必须满足的关系)发展为非协调弹性力学；推广胡克定律，除 机械运动本身外，还考虑其他运动形式和各种材科的物理方程称为本 机械运动本身外 ， 还考虑其他运动形式和各种材科的物理方程称为 本 构方程。对于弹性体的某一点的本构方程， 构方程 。 对于弹性体的某一点的本构方程 ， 除考虑该点本身外还要考 虑弹性体其他点对该点的影响，发展为非局部弹性力学等。 虑弹性体其他点对该点的影响，发展为非局部弹性力学等。 但是，由于课程所限， 但是 ， 由于课程所限 ， 我们在以下几节里仅对弹性体力学作简单 的介绍，为振动部分和波动部分作准备。 的介绍，为振动部分和波动部分作准备。
6
§8.1 弹性体力学－－弹性体的应力和应变简介 弹性体力学－－ －－弹性体的应力和应变简介
弹性体有四种形变 拉伸压缩、剪切、扭转和弯曲。其实， 弹性体有四种形变：拉伸压缩、剪切、扭转和弯曲。其实，最基本的形 四种形变： 变只有两种 拉伸压缩和剪切形变； 两种： 变只有两种：拉伸压缩和剪切形变；扭转和弯曲可以看作是由两种基本形变 的组成。 的组成。
Fn ∆l =Y S l0
其中：Y 称为杨氏模量，反映材料对于拉伸或压缩变形的抵抗能力。 杨氏模量， 其中： 称为杨氏模量 反映材料对于拉伸或压缩变形的抵抗能力。
《力学》第八章弹性体应力和应变ppt课件
＝ y(x x) y(x)
x
当 x 0 时：
＝ lim y(x x) y(x) y
x0
x
x
因此，
＝G y
x
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第八章 弹性体的应力和应变 5、剪切形变的弹性势能密度（单位体积的弹性势能）：
E
0 p
1 G
2
2
（5）
注意：切变只能在固体中产生，流体中不会产生。所以流体中只 能传播纵波，而固体中既能传播纵波，也能传播横波。
弹性体是变形体的一种，它的特征为：在外力作用 下物体变形，当外力不超过某一限度时，除去外力后物 体即恢复原状。绝对弹性体是不存在的。物体在外力除 去后的残余变形很小时，一般就把它当作弹性体处理。
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第八章 弹性体的应力和应变
人类从很早时就已经知道利用物体的弹性性质了，比如古代 弓箭就是利用物体弹性的例子。当时人们还是不自觉的运用弹 性原理，而人们有系统、定量地研究弹性力学，是从17世纪开 始的。
由于课程所限，我们在本章仅对弹性体力学作简单的 介绍，为振动部分和波动部分作准备。
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第八章 弹性体的应力和应变
§8.1 弹性体的拉伸和压缩形变
弹性体有四种形变：拉伸压缩、剪切、扭转和弯曲。其实，最基本的形 变只有两种：拉伸压缩和剪切形变；扭转和弯曲可以看作是由两种基本形变 的组成。
1. 正压力（拉伸压缩应力）
＝ Fn
S
（1）
其中，F沿作用力截面的法线方向。
例：如图示，一般取n为外法线方向，则
0,也可能是 0.
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第八章 弹性体的应力和应变
2. 线应变（相对伸长或压缩）
弹性力学初步
线应变
取一根长、宽、高分别为l，w，h的等截面杆形材料。如果两端 在拉力F作用下，其长度伸长为l，并满足小变形假设。
胡克定律：力与伸长成正比，即F∝l。
杆伸长l不仅取决于外力F，也取决于杆的长度。 F∝l/l 相对伸长l/l就是单位长度的伸长，一般称为应变。
为得到杆形材料的伸长l，力F将取决于该材料的横截面积。
即
G
G称切变模量，由材料弹性决定. G反映材料抵抗剪
切形变的能力， 单位与弹性模量相同.
弹性模量E、切变模量G和泊松系数 之间的关系为
G E 2(1 v)
由上式得， 要大于-1。否则剪切模量G为负值，材 料会在做剪切形变时对外力做功而不是外力做功使材 料发生形变。
Y、G和 之间关系的推导
r12
d
m2
2.切应力
与参考点的选择无关
O
r2
F2
剪切形变——物体受到力偶作用使物体两个平行
截面间发生相对平行移动.
物体受到力偶 F F
切应力 F
S
S是截面ABCD的面积，
发生剪切变形 FD A
C
切应力具有与正应力相同的量纲和单位. B F
3.纯剪切状态：剪切应力互等
解：（1）剪切应力：
（2）剪切应变：
（3）应变与相对滑移：
由实验知，在小变形的条件下，一根受
扭转的棒所受的力矩与扭转角 成正比，
其比例系数取决于棒的材料以及棒的几 何尺寸。下面我们将导出这个比例系数。
一根长度为L，半径为a，
其一端相对于另一端扭转
角度 的圆柱形棒。
扭转的本质是剪切应变。这是一个材料内部不同部分 受有不同应力的问题。
解：扭转角：
弹性力学_第三章 应变
变形的度量——应变
一个物体受作用力后，其内部质点不仅要发生相对位置的改 变（产生了位移），而且要产生形状的变化（产生了变形）。 物体的变形程度用应变来度量，物体在某一时刻的形态与早先 的形态（一般指初始状态或未变形的状态）之间的差别就是物 体在该时刻的应变。物体变形时，其体内各质点在各方向上都 会有应变。
直，相应的应变称为主应变 。
剪应变为零的方向就是应变主轴方向；主轴方向的应变就是主应变
主应变和应变张量不变量
qNi li
ij ij l j 0
主方向方程有非零解的条件是其系数行列式必为零。
ij ij 0
展开得关于 的一元三次方程：
主应变特征方程
3
(
x
y
z
)
2
[
x
y
y z
z
x
(
弹性力学
第三章 应变
§3-1 变形与应变概念 §3-2 变形连续条件 §3-3 应变增量和应变速率张量 §3-4 应力应变分析的相似性与差异性
§3-1 变形与应变概念
弹性体在受外力以后，还将发生变形。物体的 变形状态，一般有两种方式来描述：
1、给出各点的位移；2、给出各体素的变形。
弹性体内任一点的位移，用此位移在x、y、z 三个坐标轴上的投影u、v、w来表示。以沿坐标轴 正方向为正，沿坐标轴负方向为负。这三个投影称 为位移分量。一般情况下，弹性体受力以后，各点 的位移并不是定值，而是坐标的函数。
31
1 2
(
3
1
)
max
பைடு நூலகம்
1 2
(1
3
)
应变张量分解和应变偏量不变量
力学(专)第八章 弹性体的应力和应变
（ 3）
b b 0
其中：设想直杆横截面是正方形每边长为 b，横向形变后为 b。 其中： 0 横向形变和纵向形变之比为泊松系数 横向形变和纵向形变之比为泊松系数： 泊松系数：
7
用S表示横截面面积， n 表示内力在 en 上的投影，则 表示横截面面积， 上的投影， F
F σ＝ n S
称作假想截面S上的拉伸或压缩应力，又统称正应力 称作假想截面S上的拉伸或压缩应力，又统称正应力 为正， σ为正，表示有向面元 为负， σ 为负，表示有向面元
(1) 若内力与有向假想截面外法向方向相同，则 若内力与有向假想截面外法向方向相同， 某一侧受到另外一侧的拉力， 某一侧受到另外一侧的拉力，为拉伸应力 (2) 若内力与有向假想截面外法向方向相反，则 若内力与有向假想截面外法向方向相反， 某一侧受到另外一侧的压力， 某一侧受到另外一侧的压力，为压缩应力
4
弹性力学的基本内容 弹性力学所依据的基本规律有三个：变形连续规律、应力-应变关系和 弹性力学所依据的基本规律有三个：变形连续规律、应力-应变关系和 基本规律有三个 运动(或平衡)规律，它们有时被称为弹性力学三大基本规律。 运动(或平衡)规律，它们有时被称为弹性力学三大基本规律。弹性力学中 许多定理、公式和结论等，都可以从三大基本规律推导出来。 许多定理、公式和结论等，都可以从三大基本规律推导出来。 连续变形规律是指弹性力学在考虑物体的变形时， 连续变形规律是指弹性力学在考虑物体的变形时，只考虑经过连续变 形后仍为连续的物体，如果物体中本来就有裂纹，则只考虑裂纹不扩展 形后仍为连续的物体，如果物体中本来就有裂纹，则只考虑裂纹不扩展的 裂纹不扩展的 情况。这里主要使用数学中的几何方程和位移边界条件等方面的知识。 情况。这里主要使用数学中的几何方程和位移边界条件等方面的知识。 求解一个弹性力学问题，就是设法确定弹性体中各点的位移、 求解一个弹性力学问题，就是设法确定弹性体中各点的位移、应变和 应力共15个函数。从理论上讲，只有15个函数全部确定后，问题才算解决。 应力共15个函数。从理论上讲，只有15个函数全部确定后，问题才算解决。 15个函数 15个函数全部确定后 但在各种实际问题中，起主要作用的常常只是其中的几个函数， 但在各种实际问题中，起主要作用的常常只是其中的几个函数，有时甚至 只是物体的某些部位的某几个函数。所以常常用实验和数学相结合的方法， 只是物体的某些部位的某几个函数。所以常常用实验和数学相结合的方法， 就可求解。 就可求解。
第八章弹性体的应力和应变-精选
弹性势能等于自势能零点开始保守力做功的负值。
外力拉压杆件时，外力的功与弹性体反抗形变而施于外
界的力所做的功大小相等符号相反。因此，弹性势能等 于自势能零点开始外力做功的正值。
A0lF ndY l0 S0ld1 2Y l0l2Sl0
若取未变形时未势能零点，则外力的功等于形变达到时
F S
剪切应力互等定律： 作用于互相垂直的假想截面上并垂直于该两平面交线
的剪切应力是相等的。
剪切应变： 平行截面间相对滑动位移与截面垂直距离之比。
tgbb' bb' 式中 为切变角。
ab
ab
2. 剪切形变的胡克定律 实验表明，若形变在一定限度内，
剪切应力与剪切应变成正比
N
简称“帕”，符号“Pa”。
量纲：L-1MT-2
［例题１］薄壁圆柱形容 器壁内的应力。
[解] 按平衡条件
2pR2D0
得到应力
Rp d
2. 直杆的线应变
设直杆原长和形变后的长度分别为l０和l，
则线应变 l0 l l
l0
l0
设直杆横截面是正方形，每边长b０，横向 形变后边长为b，则横向应变为
第八章 弹性体的应力和应变
这一章将考虑物体的形变，弹性体是研究形变 的一个理想模型，它假设物体受外力发生的形变在 外力撤消后能够消失。研究弹性体的力学称弹性力 学，弹性力学将弹性体看作是连续介质，所以也叫 连续介质力学。
弹性体的形变有四种：拉伸压缩、剪切、扭转 和弯曲，其中最基本的是拉伸压缩和剪切。
1 12
K R Ybh3
式中表示加于梁的 力偶矩，b 为梁的 宽度，h 为梁的高 度。
2. 杆的扭转
杆扭转的原因：杆受到作用在与其轴线垂直的两个平面上 大小相等方向相反的力矩。
8.2弹性体的剪切应变
τ =τ′
剪切应力互等定律： 剪切应力互等定律：作用于互相垂直的假想截面上并 垂直于该两平面交线的切应力相等. 垂直于该两平面交线的切应力相等
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第八章 弹性的应力和应变 3.剪切应变描述 剪切应变描述 剪切形变特征: 剪切形变特征
bb′ = cc′
b
γ
b′
c dΒιβλιοθήκη c′切应变γ : 平行截面间相对滑 移与截面垂直距离之比. 移与截面垂直距离之比 即 形变小时， 形变小时，
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第八章 弹性的应力和应变 2. E、G和µ 之间关系的定性说明 和 设杆所受外界拉力一定. 设杆所受外界拉力一定
F
µ 一定时，E与G成正比 一定时， 与 成正比 成正比.
E一定时， µ 大G小， µ 小G大 一定时， 一定时 小 大 单位体积剪切形变的弹性势能为
0 Ep
1 = Gγ 2 2
tan γ = bb′ ab
a
tan γ ≈ γ
bb′ γ = ab
γ又称切变角 又称切变角.
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第八章 弹性的应力和应变
§8.2.2剪切形变的胡克定律 剪切形变的胡克定律
1. 剪切形变的胡克定律 剪切形变的胡克定律——若形变在一定限度内，切 若形变在一定限度内， 剪切形变的胡克定律 若形变在一定限度内 应力与切应变成正比. 应力与切应变成正比
τ = Gγ 即 G称切变模量，由材料弹性决定 G反映材料抵抗剪 称切变模量， 称切变模量 由材料弹性决定. 反映材料抵抗剪
切形变的能力， 单位与弹性模量相同. 切形变的能力， 单位与弹性模量相同 弹性模量E、切变模量 和泊松系数 弹性模量 、切变模量G和泊松系数µ 之间的关系为
弹性体
§8.1 外力、内力、应力
㈠外力与内力
• 外界对弹性体的作用力称为外力；内力就是弹性体内 部各部分间的相互作用力 • 为研究内力，必须在弹性体内部取一假想截面 S ，它 把弹性体分为两部分，这两部分间的相互作用力叫截 面 S 上的内力，内力总是成对出现的 • 在一般情况下，取不同的截面，内力不同；在同一截 面的不同点处，内力也不相同
z
τ'
R
r
⒈切应变和切应力的分布规律
从外观看，上端面各半径直线相对下底面转过一个相同 的角度φ ，此角称为杆的扭转角 ；侧面轴向直线倾斜一 个相同角度 r ，它就是外层体元的切变角 L r 坐标为r的体元，切变角为： L G r 由胡克定律，切应力 M G L 11
B B'
γ A
C C' D
F
8
§8.4弯曲和扭转
㈠梁的纯弯曲
b h F R F
o' θ
o
y
o x
y dx
x 梁仅在一对等大反向力偶距作用下的弯曲称为纯弯曲,上层被 压缩, 下层被拉长，y 轴所在的中间层，既不被压缩，也不被 拉长,保持原长，称为中性层,可见纯弯曲形变是由程度不同的 拉、压形变组成。
7
㈡剪切形变的胡克定律：
在切应变较小的情况下，切应力与切应变成正比，即 τ=Gγ，G是由材料本身决定的切变弹性模量 通过理论推导可知，材料的杨氏模量、切变模量和泊 松系数有如下关系： G
E 2(1 )
0 2 Ep 1 G 2
F
㈢剪切形变的势能密度：
0 2 E 与拉、压形变的势能密度 Ep 1 具有相同的形式 2
⒈应变、应力分布规律 • x 处取一厚度为 dx 薄层, 其线应变
弹性体的应力和应变
第八章 弹性体的应力和应变迄今为止，我们总是把研究对象简化为“质点”或“刚体”这样的理想模型。
我们都知道刚体是在任何情况下形状大小都不发生变化的力学对象，用质点系的观点来说，就是内部质点之间没有相对运动。
但是，任何物体在力的作用下都或多或少的发生形变，而且，有些物理现象，从本质上来讲，就是形变引起的，如声音在弹性媒质中的传播和媒质内的形变有关。
因此，讨论物体在力作用下形变的规律，也是力学不可缺少的内容。
本章及后面两章将讨论连续媒质力学：连续媒质的共同特点是其内部质点间可以有相对运动。
宏观地看，连续媒质可以有形变或非均匀流动。
弹性体：若物体所受外力撤消后，在外力作用下所发生的形状和体积的变化能够消失的物体，相应的形变叫弹性形变。
显然，弹性体也是一种理想模型。
即不存在绝对弹性体，只有近似的弹性体，例如，房屋的地基，水库的堤坝等在形变极小时，均可视为弹性体。
若弹性体内各点弹性相同，则叫作均匀弹性体，若每点的弹性不仅相同，而且与方向无关，则叫均匀、各向同性弹性体。
处理连续媒质的办法不是把它们看成一个个离散的质点，而是取“质元”，即有质量的体积元。
在连续媒质力学中，力也不再看作是作用在一个个离散的质元上，而看成是作用在“质元”的表面上，因而需要引进作用在单位面积上的力，即“应力”的概念，为止，我们先来讨论弹性体的拉伸和压缩。
§8.1 弹性体的拉伸和压缩在上一章中采用的是刚体模型，要把固体的一切形变都忽略了，在本章中我们将讨论固体的弹性，即讨论固体在外力作用的形变规律。
（一） 外力、内力和应力我们先来研究横截面线度远小于其长度的直杆的拉伸和压缩形变。
如图所示，直杆的典型受力情况为两端受到沿轴线的力且处于平衡。
称一对拉力或压力F和连续媒质F '' 为外力，一般情况下 |F ' |>>mg(忽略不计)|F '' |>> mg内力：假想截面AB 两侧相互施以向上（下）的拉（压）力：F 和–F 于忽略重力，且处于平衡，故而 |F | = |F ' | = |F ''| （正）应力：s nF =σ其中: s — 横截面积n F — 内力在横截面处法线(即nˆ方向)上的投影 拉伸应力 > 0 F 与nˆ同向 σ压缩应力 < 0 F 与nˆ反向σσ的单位: 2m N 称为 “帕斯卡” (国际单位制)σ的量纲：21--MT L(L — 长度 M — 质量 T — 时间)〔例题1〕P333求壁内沿圆周切向的应力(忽略容器自重和大气压力)解：过圆心沿纵向取假想截面,其长度取为一个单位,将一半圆柱形容器和气体作为研究对象,受力情况如下图:按平衡条件:022=+⋅-d R p σ(R p 2⋅-下方气体对上方气体的力 d σ2下方器壁对上方气壁的力)则有: ⇒=d Pp σ器壁内沿圆周的拉伸压力,由此可见： 圆柱形容器外部受压而内部压强较小时,刚沿圆周切向有压缩压力。
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( a c) b ( b c) a
剪切应力互等定律：作用于互相垂直的假想截面上并
垂直于该两平面交线的切应力相等.
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第八章 弹性的应力和应变
3.剪切应变描述
剪切形变特征: bb cc 切应变 : 平行截面间相对滑 移与截面垂直距离之比.
b b
a
c c
d
即 形变小时，
弹性模量E、切变模量G和泊松系数 之间的关系为
G E
2(1 )
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第八章 弹性的应力和应变
2. E、G和 之间关系的定性说明
设杆所受外界拉力一定.
F
一定时，E与G成正比.
E一定时， 大G小， 小G大
单位体积剪切形变的弹性势能为
Ep0
1 2
G
2
F
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第八章 弹性的应力和应变
§8.2 弹性体的剪切形变
§8.2.1剪切形变·切应力与切应变 §8.2.2剪切形变的胡克定律
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第八章 弹性的应力和应变
§8.2 弹性体的剪切形变
§8.2.1剪切形变·切应力与切应变
1.切应力
剪切形变——物体受到力偶作用使物体两个平行
截面间发生相对平行移动.
物体受到力偶 F F 发生剪切变形 切应力 F
S
FD
A
C
S是截面ABCD的面积，
B F
切应力具有与正应力相同的量纲和单位.
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第八章 弹性的应力和应变
2.剪切应力互等
力偶矩
M (F , F ) M (F , F )
F
F
b F
c
F a
和’分别表示上下底面和左右侧面的切应力
tan bb
ab
tan
bb
ab
又称切变角.
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第八章 弹性的应力和应变
§8.2.2剪切形变的胡克定律
1. 剪切形变的胡克定律
剪切形变的胡克定律——若形变在一定限度内，切 应力与切应变成正比.
即
G
G称切变模量，由材料弹性决定. G反映材料抵抗剪
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切形变的能力， 单位与弹性模量相同.