2018_2019学年九年级数学下册第一章直角三角形的边角关系1.230°45°60°角的三角函数值同步练习新北师大

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九年级数学下册第一章直角三角形的边角关系 1.2 30°,45°,60°角的三角函数值作业设计

1.2 30 °，45 °，60 °角的三角函数值一、选择题1．sin60°的值为（）A. B. C. D.2．若∠A=30°，则下列判断正确的是（）A．sin A=B．cos A=C．tan A=D．cot A=3．计算sin245°+cos30°×tan60°的结果是（）A．2 B．1 C. D.4．在Rt△ABC中，∠C=90°，若∠B=2∠A，则tan A等于（）A. B. C. D.5．若∠α为锐角，且tan（α-10°）=，则∠α等于（）A．50° B．60° C．70° D．80°6．如图，小明爬一土坡，他从A处到B处所走的直线距离AB=4 m，此时，他距离地面的高度h=2 m，则这个土坡的坡角∠A的度数为（）A．30° B．45° C．60° D．以上都不对7．如图是某商场一楼与二楼之间的手扶电梯示意图，其中AB，CD分别表示一楼、二楼地面的水平线，∠ABC=150°，BC的长是8 m，则乘电梯从点B到点C上升的高度h是（）A. m B．4 m C．4m D．8 m8．如图，长4 m的楼梯AB的倾斜角∠ABD为60°，为了改善楼梯的安全性能，准备重新建造楼梯，使其倾斜角∠ACD为45°，则调整后的楼梯AC的长为（）A．2 m B．2 mC．（2-2）m D．（2-2）m9．如图，要测量点B到河岸AD的距离，在点A测得∠BAD=30°，在点C测得∠BCD=60°，又测得AC=100 m，则点B到河岸AD的距离为（）A．100 m B．50 m C. m D．50 m二、填空题10．在△ABC中，∠A，∠B都是锐角，如果sin A=，cos B=，那么∠C=________°．11．若α是锐角，tanα=2cos30°，则α=________°.12．如图，测量河宽AB（假设河的两岸平行），在点C测得∠ACB=30°，在点D测得∠ADB=60°，若CD=100 m，则河宽AB为________m（结果保留根号）．13．在△ABC中，若锐角∠A，∠B满足关系式+（sin B-）2=0，则∠C=________°.14．如图，在△ABC中，∠A=30°，tan B=，BC=，则AB的长为________．三、解答题15．计算：（1）（2cos45°-sin60°）+；（2）-tan45°+tan30°；（3）cos245°+-×tan30°；（4）+3tan30°-（-5）0-（-）-1.16．数学拓展课程《玩转学具》课堂中，小陆同学发现：在一副三角板中，含45°角的三角板的斜边与含30°角的三角板的长直角边相等，于是，小陆同学提出一个问题：如图，将一副三角板的直角顶点重合拼放在一起，点B，C，E在同一直线上，若BC=2，求AF的长．请你运用所学的数学知识解决这个问题．17．如图，在△ABC中，∠C=150°，AC=4，tan B=.（1）求BC的长；（2）利用此图形求tan15°的值（精确到0.1，参考数据：≈1.4，≈1.7，）．18．对于钝角∠α，定义它的三角函数值如下：sinα=sin（180°-α），cosα=-cos（180°-α）．（1）求sin120°，cos120°，sin150°的值；（2）若一个三角形的三个内角的度数之比是1：1：4，A，B是这个三角形的两个顶点，sin A，cos B是方程4x2-mx-1=0的两个不相等的实数根，求m的值及∠A和∠B的度数．参考答案一、1．C2．A 3．A4．B 5．C 6．A 7．B 8．B 9．B二、10．105 11．60 12．5013．75 14．3+三、15．解：（1）原式=×（2×-）+=2-+=2．（2）原式=-1+×=1-1+1=1．（3）原式=（）2+-×=+-1=．（4）原式=-1+3×-1+3=-1+-1+3=2+1．16．解：∵在Rt△ABC中，∠ACB=90°，BC=2，∠A=30°，∴AC==2，∴EF=AC=2．∵∠ECF=90°，∠E=45°，∴FC=EF·sin E=，∴AF=AC- FC=2-．∴AF的长为2-．17．解：（1）如图，过点A作AD⊥BC，交BC的延长线于点D．∵∠ACB=150°，∴∠ACD=30°.在Rt△ADC中，AC=4，∴AD =AC =2，CD =AC ·cos30°=4×=2．在Rt△ABD 中，∵tan B ===，∴BD =16． ∴BC =BD - CD =16-2．（2）如图，在BC 边上取一点M ，使CM =AC ，连接AM ． ∵∠ACB =150°，∴∠AMC =∠MAC =15°． ∴tan15°=tan∠AMD ==≈0.3．18．解：（1）由题意，得sin120°=sin （180°-120°）=sin60°=，cos120°=-cos （180°-120°）=-cos60°=-， sin150°=sin （180°-150°）=sin30°=．（2）∵三角形的三个内角的度数之比是1：1：4， ∴三个内角分别为30°，30°，120°．①当∠A =30°，∠B =120°时，方程的两根分别为，-．将x=代入方程，得4×（）2-m -1=0，解得m =0．经检验，x=-是方程4x 2-1=0的根，∴m =0符合题意． ②当∠A =120°，∠B =30°时，两根均为，不符合题意．③当∠A =30°，∠B =30°时，两根分别为12，.将x=代入方程，得4×（）2-m -1=0，解得m =0．经检验，x=不是方程4x 2-1=0的根．综上所述，m=0，∠A=30°，∠B=120°．。

九下第1章直角三角形的边角关系(知识清单)

九下第1章直角三角形的边角关系知识清单一、锐角三角函数1.三角函数：锐角A 的正弦、余弦、正切都叫做∠A 的锐角三角函数．2.在Rt △ABC 中，∠C=90°（1）正弦：我们把锐角A 的对边a 与斜边c 的比叫做∠A 的正弦，记作sinA ．即ca A ==斜边对边sin （2）余弦：锐角A 的邻边b 与斜边c 的比叫做∠A 的余弦，记作cosA ．即cb A ==斜边邻边cos （3）正切：锐角A 的对边a 与邻边b 的比叫做∠A 的正切，记作tanA ．即ba A ==邻边对边tan二、同角三角函数关系（1）平方关系：1cos sin 22=+αα（2）比值关系：一个角的正切值等于这个角的正弦与余弦的比，即αααcos sin tan = 三、互余两角三角函数关系在直角三角形中，∠A+∠B=90°时，正余弦之间的关系为：（1）一个角的正弦值等于这个角的余角的余弦值，即sinA=cos （90°-∠A ）；（2）一个角的余弦值等于这个角的余角的正弦值，即cosA=sin （90°-∠A ）；即若∠A+∠B=90°，那么sinA=cosB 或sinB=cosA ．四、特殊角的三角函数值1. 解直角三角形的定义在直角三角形中，由已知元素求未知元素的过程就是解直角三角形．2.解直角三角形要用到的关系（1）锐角直角的关系：∠A+∠B=90°（2）三边之间的关系：a 2+b 2=c 2（3）边角之间的关系：c a A ==斜边对边sin ，c b A ==斜边邻边cos ，b a A ==邻边对边tan （a ，b ，c 分别是∠A 、∠B 、∠C 的对边）六、坡度1. 坡度是坡面的铅直高度h 和水平宽度l 的比，又叫做坡比，它是一个比值，反映了斜坡的陡峭程度，一般用i 表示，常写成i=1：m 的形式．2.坡面与水平面的夹角α叫做坡角，坡度i 与坡角α之间的关系：i=h/l=tan α．3.在解决坡度的有关问题中，一般通过作高构成直角三角形，坡角即是一锐角，坡度实际就是一锐角的正切值，水平宽度或铅直高度都是直角边，实质也是解直角三角形问题．七、仰角与俯角仰角：在竖直面内的水平线与向上递升线段之间的角度（朝上看时，视线与水平面夹角为俯角）。

19-20学年九年级数学下册第一章直角三角形的边角关系1.3-4教学课件

1.在 Rt△ABC 中，∠C=90°，∠A，∠B，∠C
所对的边分别为 a，b，c，根据下列条件求出直角三
角形的其他元素（角度精确到 1°）.
（1）已知 a=4，b=8；
（2）已知 b=10，∠B=60°；
?
（3）已知 c=20°，∠A=60°.
2.如图，工件上有一V型槽，测得它的上口宽 20 mm，深 19.2 mm.求V型角（∠ACB）的大小（结果精确到 1°）.
解：问题（1）可以归结为：在 Rt△ABC 中，已知 ∠A=75°，斜边 AB=6，求 ∠A 的对边 BC 的长．
由 sin A BC，得 AB
B
BC AB sin A 6 sin 75
由计算器计算，得 sin 75°≈ 0.97，所以 BC ≈ 6×0.97≈ 5.8.
α
A
C
A
25° 55°┌
B 20 C
D
9. 如图，根据图中已知的数据，求△ABC 其余各边的长，
各角的度数和 △ABC 的面积.
A
a Bα
βC
10. 如图，根据图中已知的数据，求 AD.
A
α β┌ BaC D
直角三角形中的边角关系
1. 填表（一式多变，适当选用）:
已知两边求角已知一边一角已知一边一角
按键的顺序
显示结果
sin A=0.981 6 SHFT cos B=0.860 7 SHFT tan C=56.78 SHFT
Sin 0 . 9 8 1 6 =
sin-1 0.981 6 =78.991 840 39
cos
0 . 8 6 07 =
cos-1 10.860 7 =30.604 730 07

九年级数学下册第一章直角三角形的边角关系专题训练(一)求锐角三角函数值的方法归类练习北师大版(20

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专题训练（一）求锐角三角函数值的方法归类►方法一运用定义求锐角三角函数值1．2017·日照在Rt△ABC中，∠C＝90°,AB＝13，AC＝5，则sin A的值为（）A.错误!B.错误!C.错误!D.错误!2．如图1－ZT－1,在平面直角坐标系中，点A的坐标为（4,3），那么cosα的值是（) A.错误! B。

错误! C。

错误! D.错误!图1－ZT－1►方法二巧设参数求锐角三角函数值3．在Rt△ABC中，∠C＝90°，若sin A＝错误!,则tan B的值为( ）A.错误! B。

错误! C。

错误! D。

错误!4．在Rt△ABC中，∠C＝90°，tan B＝错误!，那么cos A的值为( ）A.错误!B.错误!C。

错误! D.错误!5．如图1－ZT－2,在菱形ABCD中，DE⊥AB，cos A＝错误!，BE＝2，则tan∠DBE的值是( )图1－ZT－2A.错误! B．2 C。

错误! D.错误!6．已知a，b，c分别是△ABC中∠A，∠B,∠C的对边,且a,b,c满足b2＝(c＋a)(c－a）．若5b－4c＝0，求sin A＋sin B的值．7．如图1－ZT－3，在Rt△BAD中，延长斜边BD到点C，使DC＝错误!BD,连接AC，若tan B ＝错误!,求tan∠CAD的值．图1－ZT－3►方法三在网格中构造直角三角形求锐角三角函数值8．如图1－ZT－4，在边长为1的小正方形组成的网格中,△ABC的三个顶点均在格点上，则tan A的值为( ）图1－ZT－4A.错误! B。

2018新版北师大版数学九年级下册教案(全)

第一章直角三角形的边角关系第1课时§1.1.1锐角三角函数教学目标1、经历探索直角三角形中边角关系的过程2、理解锐角三角函数（正切、正弦、余弦）的意义，并能够举例说明3、4、1、题。

1）（2）3）2、3、（1（2a、如图，在△ACB中，∠C=90°，1）tanA=；tanB=；2）若AC=4，BC=3，则tanA=；tanB=；3）若AC=8，AB=10，则tanA=；tanB=；b、如图，在△ACB中，tanA=。

（不是直角三角形）（3）tanA的值越大，梯子越陡4、讲解例题例1 图中表示甲、乙两个自动扶梯，哪一个自动扶梯比较陡？分析：通过计算正切值判断梯子的倾斜程度。

这是上述结论的直接应用。

例2 如图，在△ACB 中，∠C=90°，AC=6，43tan B ，求BC 、AB 的长。

分析：通过正切函数求直角三角形其它边的长。

随堂练习5、书本P4随堂练习小结正切函数的定义。

作业书本P4习题1.11、2、4。

第2课时 §1.1.2锐角三角函数教学目标5、经历探索直角三角形中边角关系的过程6、理解锐角三角函数（正切、正弦、余弦）的意义，并能够举例说明7、能够运用三角函数表示直角三角形中两边的比8、能够根据直角三角形中的边角关系，进行简单的计算教学重点和难点重点：理解正弦、余弦函数的定义✧ 6、 7、 c 、 1） 2）若3）若d 、 8、 9、 sinA 10、例3 例4如图，在Rt △ABC 中，∠C=90°，AC=10，1312cos =A ，求AB 的长及sinB 。

分析：通过正切函数求直角三角形其它边的长。

随堂练习11、书本P 随堂练习小结正弦、余弦函数的定义。

作业书本P6习题1、2、3、4、5第3课时ABC§1.230°、45°、60°角的三角函数值教学目标9、经历探索30°、45°、60°角的三角函数值的过程，能够进行有关推理，进一步体会三角函数的意义 10、能够进行含有30°、45°、60°角的三角函数值的计算11、能够根据30°、45°、60°角的三角函数值，说出相应的锐角的大小教学重点和难点重点：进行含有30°、45°、60°角的三角函数值的计算难点：记住30°、45°、60°角的三角函数值教学过程设计从学生原有的认知结构提出问题12、算。

九年级数学下册第一章直角三角形的边角关系1.230°、45°、60°角的三角函数值课件(新版)北师大版

[解析] 过点 M 作 MN⊥OB，MN 的长即为所求． ∵∠AOB＝60°，OM＝4， ∴MN＝4×sin60°＝2 3.
2 30°，45 °，60°角的三角函数
12．如图 K－3－4，在△ABC 中，∠A＝30°，∠B＝45°，AC＝2 3，则 AB 的长为__3＋ ___3___．
图K－3－4
2 30°，45 °，60°角的三角函数
二、填空题
8．点 M(－sin60°，cos60°)关于x轴对称的点的坐标是 ___－__2_3_，_－__12_ ___．
[解析]
∵sin60°＝
23，cos60°＝12，∴点
M

的坐标为－

23，12.∵点
M
关于
x
轴对称的点，横坐标不变，纵坐标为其相反数，∴点 M 关于 x 轴对称的点的坐标

是－

23，－12.
2 30°，45 °，60°角的三角函数
9．在 Rt△ABC 中，∠C＝90°，BC＝5 2，AC＝5 6，则∠A＝ ____3_0___°.
[解析] ∵在 Rt△ABC 中，∠C＝90°，BC＝5
2，AC＝5
6，∴tanA＝55
2 6
＝ 33，∴∠A＝30°.故答案为 30.
图K－3－2
2 30°，45 °，60°角的三角函数
BC 3 2 2 [解析] C ∵sin∠CAB＝AC＝ 6 ＝ 2 ，∴∠CAB＝45°.∵sin∠C′AB′＝ B′C′ 3 3 3 AC′ ＝ 6 ＝ 2 ，∴∠C′AB′＝60°，∴∠CAC′＝60°－45°＝15°，即鱼竿转过的角度是 15°.故选 C.
2 30°，45 °，60°角的三角函数
1 解：(1)原式＝2－2×(

2018_2019学年九年级数学下册第一章直角三角形的边角关系1.3三角函数的计算

三角函数的计算课题3　三角函数的计算授课人知识技能经历用计算器求已知锐角的三角函数值的过程，进一步体会三角函数的意义．数学思考能够运用计算器辅助解决含三角函数值计算的实际问题，提高用现代工具解决实际问题的能力．问题解决能够用计算器进行有关三角函数值的计算．教学目标情感态度积极参与数学活动，体会解决问题后的快乐，形成实事求是、严谨的学习态度．发现实际问题中的边角关系，提高学生有条理地思考和表达的能力．教学重点 1.用计算器求已知锐角的三角函数值；2.能够用计算器辅助解决含三角函数值计算的实际问题．教学难点能够用计算器辅助解决含三角函数值计算的实际问题．授课类型新授课课时教具计算器，多媒体课件教学活动教学步骤师生活动设计意图回顾直角三角形的边角关系问题：①直角三角形三边的关系：勾股定理a 2＋b 2＝c 2.②直角三角形两锐角的关系：两锐角互余∠A＋∠B＝90°.③互余两角之间的三角函数关系：sinA ＝cosB.④同角之间的三角函数关系：sin 2A ＋cos 2A ＝1.⑤特殊角30°，45°，60°的三角函数值.学生回忆并回答，为本课的学习提供迁移或类比方法.活动一：【课堂引入】1.如图1－3－5，当登山缆车的吊箱经过点A 到达点B 时，1.用贴近学生生活的问题情境引入课图1根据正弦的定义，sin16°＝＝，AB200∴BC＝AB·sin16°＝200sin16°(米).200sin16°米中的“sin16°”是多少呢？我们知道，三角函数中，当角的大小确定时，三角函数值与直角三角形的大小无关，随着角度的确定而确定.对于特殊角30°，45°，60°，可以根据勾股定理和含这2.由实际问题引出利用三角函数的关系来刻画事物，从而引出学习新知识的必要性．计算斜道的倾斜角时，需课，我们就来学习如何用科学计算器由锐角三角函数值求相应锐角的大小.活动二：实践探究交流新知【探究1】用科学计算器求一般锐角的三角函数值用科学计算器求三角函数值，要用到和键.sincos tan例如，求sin16°，cos42°，tan85°和sin72°38′25″的按键顺序如下表所示.按键顺序显示结果sin16°sin16＝sin16°＝0.275637355cos42°cos42＝cos42°＝0.743144825tan85°tan85＝tan85°＝11.4300523sin72°38′25″sin72°′”38°′”25°′”＝sin72°38′25″＝0．954450312同学们可用自己的计算器按上述按键顺序计算sin16°，cos42°，tan85°，sin72°38′25″，看显示的结果是否和表中显示的结果相同.【探究2】在活动一[课堂引入]的问题中，当缆车继续由点B到达点D时，它又走过了200 m，缆车由点B到点D的行驶路线与水平面的夹角为∠β＝42°，由此你还能计算什么？(小组讨论后，学生讲解设计方案)1.教学时应注意不同的计算器按键方式可能不同，可引导学生利用自己所使用的计算器探索计算三角函数值的具体步骤，也可以鼓励同学们互相交流用计算器计算三角函数值的方法.2.引导学生利用计算器探索计算三角函数值的具体步骤；让学生学会从数学角度提出问题、分析问题，并能综合运用所学知识和技能解决问题，发展学生的应用意识；3.通过本次活动向学生渗透逆向思维的数学思想方法，既会由锐角求三角函数值，又会由三角函数值求锐角，从而为三角函数的有关计算做好了铺垫.(续表)7888．99102049【应用举例】例1　如图1－3－8，工件上有一V形槽，测得它的上口宽20 mm，深19.2 mm，求V形角(∠ACB)的大小．(结果精确到1°)图1－3－9解：如图1－3－9，在Rt△ABC 中，AC ＝6.3 cm ，BC ＝9.8 cm ，∴tan∠ABC＝＝≈0.6429，AC BC 6.39.8∴∠ABC≈32°44′13″.因此，射线的入射角度约为32°44′13″.三：开放训练体现应用【拓展提升】例3　一个人从山底爬到山顶，需先爬40°的山坡300 m ，再爬30°的山坡100 m ，求山高．(结果精确到0.1 m)解：如图1－3－10，根据题意，可知BC ＝300 m ，BA ＝100m ，∠C＝40°，∠ABF＝30°.在Rt△CBD 中，BD ＝BC·sin40°≈300×0.6428≈192.8(m).在Rt△ABF 中，AF ＝AB·sin30°进一步加深对新80°角，房屋朝南的窗户高AB＝1.8 m，要在窗户外面上方安装一个水平挡板AC，使光线恰好不能直射室内，求挡板AC的宽度．(结果精确到0.01 m)[解析] 根据题意，将实际问题转化为数学问题．在窗户外面上方安装一个水平挡板AC，使光线恰好不能直射室内，即光线(续表)活动四：课堂总结反思【教学反思】①[授课流程反思]本节课通过创设很多符合学生实际的问题情境，提出引发学生思考的问题，这样做既激发了学生的好奇心与求知欲，又让学生经历从实际问题中抽象出锐角三角函数模型的过程，发展了学生的应用意识及分析问题、解决问题的能力，培养了学生的数学建模能力及转化思维方法.②[讲授效果反思]本节是学习用计算器求三角函数值并加以实际应用的内容，通过本节的学习，可以使学生充分认识到三角函数知识在现实世界中有着广泛的应用．本节课的知识点不是很多，但是学生通过积极参与课堂，提高了分析问题和解决问题的能力，并且在意志力、自信心和理性分析等方面都得到了良好的发展.③[师生互动反思]____________________________________________________________________________________________________________④[习题反思]好题题号错题题号反思，更进一步提升.。

九年级数学(下)第一章直角三角形的边角关系

九年级数学下第一章直角三角形的边角关系
目录
• 直角三角形基本概念及性质 • 直角三角形边角关系探究 • 直角三角形在实际问题中应用 • 直角三角形证明和计算技巧 • 章节复习与总结
01 直角三角形基本概念及性质
直角三角形定义与分类
定义
有一个角是90度的三角形叫做直角三角形。
分类
按角分，可分为两类，一类是普通直角三角形，即三个角中有一个是90度；另一类是等腰直角三角形，即两个锐角都是45度。
通过图像可以直观了解三角函数的性质，如振幅、周期、相位等。
正切函数图像呈间断性变化，在特定区间内单调递增或递减。
解直角三角形方法总结
已知两边求角
利用正弦、余弦定理求解对应的角度大小。
已知两角求边
利用正切定理及已知条件构建方程求解未知边。
03 直角三角形在实际问题中应用
测量问题中构建和应用直角三角形模型
应用
勾股定理在几何、三角、代数、数论等领域都有着广泛的应用，如求解三角形边长、判断三角形形状、计算面积等。
直角三角形中的特殊角
30°-60°-90°直角三角形
在这个特殊的直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半，而60°角所对的直角边等于30°角所对直角边的根号3倍。
45°-45°-90°直角三角形
性质
相似直角三角形的对应边长成比例，对应角相等。这些性质是进行直角三角形证明和计算的基础。
利用相似性质进行边长和角度计算
边长计算
在相似直角三角形中，可以利用对应边长成比例的性质，通过已知边长求解未知边长。
角度计算
由于相似直角三角形的对应角相等，因此可以通过已知角度求解未知角度，或者通过角度关系求解其他相关角度。