基于齐次变换矩阵的机器人轨迹规划方法

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机器人技术二、齐次坐标变换

第二章机器人运动学
齐次变换矩阵
复合变换例题
假设（n，o，a）坐标系上的点P（7，3，2）也经历相同变换，但变换顺序按如下进行，求出变换后该点相对于参考坐标系的坐标。 1、绕z轴旋转90度； 2、接着平移（4，-3，7）； 3、接着再绕y轴旋转90度。
第二章机器人运动学
齐次变换矩阵
相对动坐标系的变换
因此通过求逆阵就可以求得求矩阵逆例题变换矩阵的逆第二章机器人运动学在一个具有六自由度的机器人的第五个连杆上装有照相机照相机观察物体并测定它相对于照相机坐标系的位置然后根据以下数据来确定末端执行器要到达物体所必须完成的运动
第二讲
齐次坐标变换
主讲：吴海彬
福州大学机械工程及自动化学院
主要内容
引言点的向量表示单位向量点和向量的齐次表示
a 1 o 1 n 1
a o 0
n a 0 n o 0
已知两个向量 a = ax i + ay j + az k b = bx i + by j + bz k 向量的点积是标量。用“ ·”来定义向量点积，即 a ·b = ax bx + ay by + az bz
向量的叉积是一个垂直于由叉积的两个向量构成的平面的向量。用“×”表示叉积，即
相对运动坐标系的变换与相对固定参考坐标系不同，这时需要右乘变换矩阵而不是左乘。
相对自身的运动即是相对动坐标。
相对动坐标是指动坐标系本身相对自身的运动，而不是动坐标系中的点相对动坐标系的运动。如果在一个变换过程中，既有相对固定坐标系的变换，也有相对于动坐标系的变换，则应先写出第一个变换因子，在根据变换的具体过程，依次左乘或右乘变换因子，最后乘以被变换的对象（点或坐标）。

齐次变换矩阵在机器人运动学中的应用

LIU Feng
（Hunan Institute of Technology，Hengyang Hunan 421002）
Abstract: Matrix is an important mathematical tool for robotics. In this paper, homogeneous transformation matrix was introduced to represent the pose of robot. To be specific, researchers established a proper coordinate system for each joint of the robot, and then used homogeneous coordinates to establish the transformation relationship between two adjacent coordinate systems, and then the kinematics equation of the robot was obtained. Keywords: robot；kinematics；rotation martrix；homogeneous transformation matrix
1 所示，则机械手（工具）的位姿可以由坐标系 {B} 的坐标
原点 o′ 在坐标系 {A} 中的坐标 ( px ,py ,pz)′ 和与 o′x′,o′y′,o′ z′ 正向同方向的单位向量在坐标系 {A} 中的坐标表示。
若记 i′,j′,k′ 表示与 o′x′,o′y′,o′ z′ 正向同方向的单位向
（6）
为了得到 P 在 {A} 坐标系中的坐标，要将 P 在 {B}

归纳总结机器人的坐标变换的类型

归纳总结机器人的坐标变换的类型摘要：一、机器人坐标变换的重要性二、机器人坐标变换的类型1.齐次变换2.旋转矩阵变换3.线性变换4.非线性变换三、各类坐标变换的应用场景四、坐标变换在机器人编程与控制中的作用五、总结与展望正文：一、机器人坐标变换的重要性在机器人技术中，坐标变换起着至关重要的作用。

它为机器人编程和控制提供了方便，使得机器人在执行任务时能够准确地定位和执行相应的操作。

坐标变换是将机器人从一个坐标系转换到另一个坐标系的过程，它有助于实现机器人末端执行器在不同坐标系下的定位和运动控制。

二、机器人坐标变换的类型1.齐次变换：齐次变换是一种将机器人从源坐标系变换到目标坐标系的方法，它通过一个4x4的齐次矩阵实现。

齐次变换可以保持机器人的姿态不变，仅改变其位置。

2.旋转矩阵变换：旋转矩阵变换主要用于将机器人的姿态从源坐标系变换到目标坐标系。

通过旋转矩阵，可以实现机器人末端执行器在不同坐标系下的旋转。

3.线性变换：线性变换是将机器人从一个坐标系变换到另一个坐标系的一种方法，它包括平移和缩放两个过程。

线性变换可以实现机器人末端执行器在不同坐标系下的位置和尺寸变化。

4.非线性变换：非线性变换是指在变换过程中，机器人坐标系之间的转换关系不是线性的。

非线性变换通常用于处理机器人运动过程中的摩擦力、弹簧力等非线性因素。

三、各类坐标变换的应用场景各类坐标变换在机器人技术中有着广泛的应用。

例如，在工业机器人中，齐次变换和旋转矩阵变换用于实现机器人末端执行器的定位和姿态控制；线性变换则用于处理机器人末端执行器在不同坐标系下的尺寸变化。

在机器人导航和路径规划中，非线性变换有助于解决机器人运动过程中的非线性约束。

四、坐标变换在机器人编程与控制中的作用坐标变换在机器人编程与控制中起到了关键作用。

通过对机器人进行坐标变换，可以使机器人更好地适应不同的工作环境，提高其在各种任务中的性能。

同时，坐标变换为机器人编程提供了便利，使得开发者可以更轻松地编写机器人控制程序，降低机器人编程的难度。

机器人轨迹规划算法研究及其在自动化生产中的应用

机器人轨迹规划算法研究及其在自动化生产中的应用近年来，随着工业自动化的快速发展，机器人已经得到了广泛的应用，无论在工业、医疗、军事等领域，都悄然地融入了人们的日常生活之中。

而机器人轨迹规划算法则是机器人技术中的一个重要组成部分，是实现机器人自主控制的基础。

本文将从机器人的轨迹规划算法入手，探讨其研究现状以及在自动化生产中的应用。

1、机器人轨迹规划算法概述机器人轨迹规划算法，顾名思义即是为机器人制定轨迹。

其目标是在预设的约束条件下，最小化机器人的路径和能耗，以及确保轨迹的安全和稳定。

为了实现机器人的自主运动，轨迹规划算法主要分为全局规划和局部规划两种。

全局规划：是指在环境中搜索一条全局最优的路径来达到目标点。

全局规划通常需要全局地搜索，需要运算大量的计算量，适用于较为静态的环境下，但对于动态的环境效果不佳。

局部规划：是对当前机器人的位置、朝向和速度等信息进行分析，根据环境中的动态障碍物和目标位置，确定机器人移动的方向和速度，以适应当前环境所要求的轨迹。

局部规划可以适应动态环境，但也需要在局部范围内进行规划，需要不断的更新。

2、机器人轨迹规划算法的研究现状目前，机器人轨迹规划算法的研究主要集中在基于随机搜索和优化算法的全局规划和基于局部可行性的局部规划。

全局规划方面，Dijkstra算法被广泛应用，该算法已成为全局规划的基础算法之一。

同时，A*算法、D*算法、RRT算法等也在不断的发展中。

这些算法通过对预设的目标点和障碍物的地图进行优化、实现机器人在环境中高效且安全地移动。

而局部规划方面，ROS 中 move_base库实现了大部分机器人轨迹规划功能。

该库是基于DWA算法的局部规划方案，可以实现机器人对于环境的快速响应，以保持安全、稳定的轨迹。

3、机器人轨迹规划在自动化生产中的应用机器人技术已广泛应用于自动化生产中。

目前，机器人轨迹规划技术已成为提高生产效率和质量的关键技术之一，其在自动化生产中的应用具有以下优点：（1）提高生产效率机器人特别适用于重复性、高频率、高精度、高速运动的工作，机器人在生产线上的自动化运用，可以大大提高生产效率。

机器人运动规划中的轨迹生成算法

机器人运动规划中的轨迹生成算法机器人运动规划是指描述和控制机器人在给定环境中实现特定任务的过程。

其中，轨迹生成算法是机器人运动规划中的关键环节。

本文将介绍几种常用的机器人轨迹生成算法，包括直线轨迹生成算法、插补轨迹生成算法和优化轨迹生成算法。

一、直线轨迹生成算法直线轨迹生成算法是最简单和基础的轨迹生成算法。

它通过给定机器人的起始位置和目标位置，计算机器人在二维平面上的直线路径。

该算法可以通过简单的公式求解，即直线方程，将机器人从起始点移动到目标点。

首先，根据起始点和目标点的坐标计算直线的斜率和截距。

然后，根据斜率和截距计算机器人在每个时间步骤上的位置。

最后，将计算得到的位置点连接起来，形成直线轨迹。

直线轨迹生成算法的优点是简单直观，计算效率高。

然而，该算法无法应对复杂的环境和机器人动力学模型，因此在实际应用中有着较大的局限性。

二、插补轨迹生成算法插补轨迹生成算法是一种基于离散路径点的轨迹生成算法。

它通过在起始位置和目标位置之间插补一系列路径点，使机器人在这些路径点上运动，并最终到达目标位置。

常用的插补轨迹生成算法包括线性插值算法和样条插值算法。

线性插值算法将起始点和目标点之间的轨迹划分为多个小段，每个小段的位置可以通过线性方程求解。

样条插值算法则通过引入额外的控制点，使得轨迹更加光滑。

插补轨迹生成算法的优点是适用于复杂环境和机器人动力学模型。

它可以在运动过程中改变速度和加速度，从而实现更加灵活的路径规划。

不过，插补轨迹生成算法的计算量较大，需要更多的计算资源。

三、优化轨迹生成算法优化轨迹生成算法通过优化目标函数来生成最优的机器人轨迹。

它将机器人运动规划问题转化为优化问题，通过调整机器人轨迹上的参数，使得目标函数达到最小或最大值。

常见的优化轨迹生成算法包括遗传算法、粒子群算法和模拟退火算法。

这些算法主要通过搜索机器人轨迹参数的空间来寻找最优解。

遗传算法模拟生物进化过程，粒子群算法模拟鸟群觅食行为，模拟退火算法则模拟物体在不同温度下的热力学过程。

计算相机坐标系到机械臂末端坐标系的齐次变换矩阵

相机坐标系到机械臂末端坐标系的齐次变换矩阵是机器视觉和工业机器人领域中一个非常重要的概念。

对于工业领域的自动化生产，机械臂和相机之间的精确配准是至关重要的，而齐次变换矩阵正是用来描述相机坐标系到机械臂末端坐标系之间的关系的。

本篇文章将深入探讨相机坐标系到机械臂末端坐标系的齐次变换矩阵的计算方法，并且将详细介绍该计算方法的原理和实际应用。

一、齐次变换矩阵的概念和基本原理齐次变换矩阵是一种用来描述坐标系之间关系的数学工具，它可以将一个坐标系中的点映射到另一个坐标系中去。

在工业机器人和机器视觉系统中，我们常常需要将相机坐标系中的点映射到机械臂末端坐标系中，这就需要使用到齐次变换矩阵。

齐次变换矩阵的基本形式如下所示：\[ T = \begin{bmatrix} R & t \\ 0 & 1 \end{bmatrix} \]其中，\[R\]为旋转矩阵，\[t\]为平移向量。

齐次变换矩阵可以将一个点的坐标\[P\]从相机坐标系变换到机械臂末端坐标系：\[ P' = T \times P \]二、计算相机坐标系到机械臂末端坐标系的齐次变换矩阵计算相机坐标系到机械臂末端坐标系的齐次变换矩阵需要以下步骤：1. 确定相机坐标系和机械臂末端坐标系的原点需要确定相机坐标系和机械臂末端坐标系的原点位置。

这两个坐标系的原点通常是相机的光学中心和机械臂末端执行器的中心点。

确定了原点位置之后，我们可以将相机坐标系和机械臂末端坐标系的坐标系原点重合。

2. 计算旋转矩阵接下来，需要计算相机坐标系到机械臂末端坐标系的旋转矩阵。

旋转矩阵描述了两个坐标系之间的旋转关系。

在实际应用中，可以通过标定相机和机械臂的姿态来获取旋转矩阵。

3. 计算平移向量除了旋转矩阵之外，还需要计算相机坐标系到机械臂末端坐标系的平移向量。

平移向量描述了两个坐标系之间的平移关系。

平移向量可以通过相机和机械臂的空间位置信息来计算得到。

4. 组合旋转矩阵和平移向量将计算得到的旋转矩阵和平移向量组合在一起，就得到了相机坐标系到机械臂末端坐标系的齐次变换矩阵。

机器人的轨迹规划

我们在阐述机器人自动规划问题时，机器人一般配备有传感器和一组能在某个易于理解的现场中完成的基本动作。这些动作可把该现场从一种状态或布局变换为另一种状态或布局。例如， “积木世界” 。
3
目标状态
机器人能得到的一个解答是由下面的算符序列组成的：
机器人规划是机器人学的一个重要研究领域，也是人工智能与机器人学一个令人感兴趣的结合点。
机器人轨迹规划属于机器人低层规划，基本上不涉及人工
智能问题，而是在机械手运动学和动力学的基础上，讨论机
器人运动的规划及其方法。所谓轨迹，就是指机器人在运动
过程中的位移、速度和加速度。
轨迹规划问题通常是将轨迹规划器看成“黑箱”，接受表示
路径约束的输入变量，输出为起点和终点之间按时间排列的操
作机中间形态（位姿, 速度和加速度）序列。
在关节轨迹的典型约束条件之下，我们所要研究的是选择一种 n 次(或小于 n 次)的多项式函数，使得在各结点(初始点，提升点，下放点和终止点)上满足对位置、速度和加速度的要求，并使关节位置、速度和加速度在整个时间间隔 [ t0, tf ] 中保持连续。
15
➢ 规划关节插值轨迹的约束条件：
1. 位置(给定)
9
在关节变量空间的规划有三个优点： (1) 直接用运动时的受控变量规划轨迹； (2) 轨迹规划可接近实时地进行； (3) 关节轨迹易于规划。
伴随的缺点是难于确定运动中各杆件和手的位置，但是，为了避开轨迹上的障碍．常常又要求知道一些杆件和手位置。
由于面向笛卡尔空间的方法有前述钟种缺点，使得面向关节空间的方法被广泛采用。它把笛卡尔结点变换为相应的关节坐标，并用低次多项式内插这些关节结点。这种方法的优点是计算较快，而且易于处理操作机的动力学约束。但当取样点落在拟合的光滑多项式曲线上时，面向关节空间的方法沿笛卡尔路径的准确性会有损失。

机器人技术二、齐次坐标变换

例：如图所示为F坐标系位于参考坐标系中（3，5，7）的位置，它的n轴与x轴平行，o轴相对于y轴的角度为45度，a轴相对于z的角度为45度。请写出该坐标的齐次表达形式。
第二章机器人运动学
点、向量和坐标系的齐次表示
图
刚体的表示
一个刚体在空间的表示可以这样实现：通过在它上面固连一个坐标系，再将该固连的坐标系在空间表示出来。由于这个坐标系一直固连在该刚体上，所以该刚体相对于坐标系的位姿是已知的。因此，只要这个坐标系可以在空间表示出来，那么这个刚体相对于固定坐标系的位姿也就已知了。由此可知，刚体在参考坐标系的表示与坐标系是完全一样的。
因此，习惯上用W＝1表示向量的长度，用W＝0表示向量的方向，而且方向向量一般表示成单位向量的形式。形式如下：
a x b P y cz 1
2 a x P a 2 x a 2 x ax by cz by by cz cz by cz 0
齐次变换矩阵
相对动坐标系的变换－例题
坐标系B绕x轴旋转90度，然后沿当前坐标系a轴做了3英寸的平移，然后再绕z轴旋转90度，最后沿当前坐标系o轴做5 英寸的平移。 1、写出描述该运动的方程； 2、求坐标系中的点P（1，5，4）相对于参考坐标系的最终位置。
提示：先求 U TB ，再求 U PU TB B P
Pxyz Rot( y, ) Trans(l1 , l2 , l3 ) Rot( x, ) Pnoa
注：矩阵的顺序不能变；
相对固定坐标系的平移和旋转，变换矩阵左乘。
相对坐标系的齐次矩阵
齐次变换矩阵
复合变换例题
固连在坐标系（n，o，a）上的点P（7，3，2）经历如下变换，求出变换后该点相对于参考坐标系的坐标。 1、绕z轴旋转90度； 2、接着绕y轴旋转90度； 3、接着再平移（4，-3，7）。

机器人的数学基础齐次变换矩阵及其运算

• (-1,2,2)平移后到{A’}；动坐标系{A}相对于自身坐标系(即动系)的 X、Y、Z轴分别作(-1,2,2)平移后到{A’’}。已知A,写出坐标系{A’} 、 {0 1 1 1
0
0
0 1
0 1 0 0
A' 1 0 0 3 0 0 1 3
0
0
0 1
W Rot(Y,90)Rot(Z,90)U
0 0 1 0 0 1 0 0 7
0
1
0
0
1
0
0
0
3
1 0 0 0 0 0 1 0 2
0
0
0
1 0
0
0
1
1
上海电机学院机械学院
• 平移变换和旋转变换可以组合在一个齐次变换中。上例中点U若还要作4i-3j+7k的平移，则只要左乘上平移变换算子即可得到最后的列阵表达式。
z' z
x' cos sin 0 0 x
y'
sin
cos
0
0
y
z' 0
0 1 0 z
1
0
0
0
1
1
记为: a′=Rot(z, θ)a
上海电机学院机
械学院
旋转算子
绕Z轴旋转算子内容为：
cos sin 0 0
Rot(z,
)
sin
0
cos
0
0 0 1 0
0
0 0 1
同理，绕x轴、Y轴旋转算子内容为：
B C
R
0
B
pC 1
0
复合变换可解释为：
(1)CAT 和 CBT 分别代表同一坐标系{C}相对于{A}和{B}的描述。

举例说明运用齐次变换矩阵求解机器人正运动学的方法

举例说明运用齐次变换矩阵求解机器人正运动学的方法齐次变换矩阵用于描述刚体在空间中的位姿（位置和方向）。

在机器人正运动学问题中，运用齐次变换矩阵可以求解机器人末端执行器的位姿。

我们以一个简单的2R（两个旋转关节）机械臂为例进行说明。

假设2R机械臂有两个关节q1和q2，臂长分别为L1和L2。

我们的目标是求解两个关节角度q1和q2下，末端执行器的位置坐标(x, y)和方向theta。

首先，我们需确定两个坐标系。

通常将基坐标系（frame0）放在第一个关节处，frame1放在第二个关节处，frame2放在末端执行器处。

然后，我们需要分别计算从frame0到frame1的齐次变换矩阵T01和从frame1到frame2的齐次变换矩阵T12。

T01表示frame1相对于frame0的位姿，其旋转角度为q1，平移距离为L1。

矩阵形式如下：```T01 = | cos(q1) -sin(q1) 0 L1*cos(q1) || sin(q1) cos(q1) 0 L1*sin(q1) || 0 0 1 0 || 0 0 0 1 |```同理，T12表示frame2相对于frame1的位姿，其旋转角度为q2，平移距离为L2。

矩阵形式如下：```T12 = | cos(q2) -sin(q2) 0 L2*cos(q2) || sin(q2) cos(q2) 0 L2*sin(q2) || 0 0 1 0 || 0 0 0 1 |```接下来，我们需要计算从frame0到frame2的齐次变换矩阵T02。

通过矩阵乘法，我们可以得到：```T02 = T01 * T12```最后，我们从T02矩阵中提取机器人末端执行器的位置和方向。

位置坐标(x, y)就是T02矩阵中的平移部分，即：```x = T02[0][3]y = T02[1][3]```方向theta可以通过以下公式计算：```theta = atan2(T02[1][0], T02[0][0])```所以，通过齐次变换矩阵，我们可以求解出机器人末端执行器的位置和方向，从而解决2R机械臂的正运动学问题。

举例说明运用齐次变换矩阵求解机器人正运动学的方法

举例说明运用齐次变换矩阵求解机器人正运动学的方法运用齐次变换矩阵求解机器人正运动学是机器人学中重要的一个应用。

在机器人学中，正运动学问题是指根据机器人各关节的运动参数，求解机器人末端执行器的位置和姿态。

齐次变换矩阵是一种用来描述从一个坐标系到另一个坐标系的变换关系的方法，它可以将平移和旋转变换统一起来，因此非常适用于机器人的运动学描述。

下面我们以一个简单的二自由度机械臂为例，详细说明如何运用齐次变换矩阵求解机器人正运动学。

1.机器人几何参数的定义我们首先需要定义机器人的几何参数，包括各关节的长度、原点位置和旋转轴方向等。

假设我们的机器人臂长分别为L1和L2，关节1的旋转轴在z轴上，关节2相对于关节1的旋转轴在y轴上。

2.齐次变换矩阵的构建根据机器人的几何参数，我们可以构建各关节相对于前一关节的齐次变换矩阵。

对于本例中的二自由度机械臂，我们需要构建两个齐次变换矩阵，分别表示关节1和关节2相对于机器人基座的变换关系。

假设关节1的变换矩阵为T1，关节2的变换矩阵为T2，机器人基座的变换矩阵为Tbase。

根据机器人几何参数的定义，我们可以得到如下变换矩阵的表达式：T1 = [cos(θ1) -sin(θ1) 0 L1*cos(θ1)sin(θ1) cos(θ1) 0 L1*sin(θ1)00100001]T2 = [cos(θ2) 0 sin(θ2) L2*cos(θ2)0100-sin(θ2) 0 cos(θ2) L2*sin(θ2)0001]Tbase = [1 0 0 001000 0 1 d_base0001]其中θ1和θ2分别表示关节1和关节2的旋转角度，d_base表示机器人基座的高度。

3.机器人末端执行器的正运动学求解对于机器人末端执行器的正运动学问题，我们需要根据机器人各关节的运动参数，如各关节的旋转角度，通过乘法计算得到末端执行器的位置和姿态。

具体过程如下：a)首先，将各关节的变换矩阵相乘，得到机器人末端执行器相对于基座的变换矩阵。

机器人轨迹规划

04
基于动力学的方法
牛顿-欧拉方程
描述机器人运动和动态特性的重要方程之一。
通过分析机器人各部分的加速度、速度和位置之间的关系，来预测机器人的运动轨迹。
可以用于实时控制机器人的运动状态，确保机器人运动的稳定性和准确性。
拉格朗日方程
另一种描述机器人运动和动态特性的方程。
基于能量的概念，通过分析机器人各部分的动能和势能之间的关系，来预测机器人的运动轨迹。
服务机器人轨迹规划
总结词
服务机器人轨迹规划技术主要用于公共服务、餐饮、旅游等领域。通过自主导航、避障和路径规划，实现自主行走和任务执行。
详细描述
服务机器人通常采用轮式结构，具有较好的稳定性和移动能力。通过对机器人的轮子进行精确控制，可以使其按照预定的路径进行运动，同时通过避障和路径规划算法，实现自主导航和任务执行。
具有简洁、易于理解和计算的优点，适用于复杂机器人的运动规
划。
卡尔曼滤波器
一种用于估计和预测机器人状态的方法。
基于一系列传感器数据，通过建立数学模型对数据进行处理和分析，得到机器人位置、速度等运动状态的估计值。
具有实时性、精确性和鲁棒性等优点，广泛应用于机器人导航、定位和跟踪等领域。
05
基于机器学习的方法
医疗机器人轨迹规划
总结词
医疗机器人轨迹规划技术主要用于手术、康复、护理等领域。通过精确的轨迹规划和运动控制，实现高精度、高效率的医疗操作。
详细描述
医疗机器人通常采用医用高精度机械臂或手术器械，具有高精度、高稳定性和高度可控性等特点。通过对机器人的运动进行精确控制，可以使其按照预定的路径进行运动，实现高精度、高效率的医疗操作。同时，医疗机器人还可以实现远程手术和康复治疗等功能，为医疗行业的发展提供了重要的技术支持。

机器人的数学基础齐次变换矩阵及其运算

相对于固定坐标系
算子左乘
相对于动坐标系
算子右乘
上海电机学院机械学院
❖ 已知坐标系中点U的位置矢量 u 7 3 2 1，T 将此点绕Z轴旋转90°，再绕Y轴旋转90°，如图所示，求旋转变换后所得的点W。
W Rot(Y,90)Rot(Z,90)U
0 0 1 0 0 1 0 0 7
0Leabharlann 1000 0
0 1 0 0
0 0 1 0
x
y
z
1
cos
Rot(
z,
)
sin 0
0
sin cos
0 0
0 0 1 0
0 0 0 1
上海电机学院机械学院
CAT ABT CBT
4．变换矩阵相乘
对于给定的坐标系｛A｝、｛B｝、｛C｝，已知｛B｝相对｛A｝的描述为 ABT ，｛C｝相对｛B｝的描述为 CBT ，则
x' x cos y sin
y'
x
sin
y
c os
z' z
x' cos sin 0 0 x
y'
sin
cos
0
0
y
z' 0
0 1 0 z
1
0
0
0
1
1
记为: a′=Rot(z, θ)a
旋转算子
上海电机学院机械学院
绕Z轴旋转算子内容为：
cos sin 0 0
Rot(z,
)
sin
1
0
0
0
3
1 0 0 0 0 0 1 0 2
0
0
0
1 0
0

举例说明运用齐次变换矩阵求解机器人正运动学的方法

举例说明运用齐次变换矩阵求解机器人正运动学的方法机器人正运动学是指根据机器人关节角度，求出机器人末端执行器的位置和姿态。

运用齐次变换矩阵的方法可以方便地求解机器人正运动学。

齐次变换矩阵是一种描述机器人移动和旋转的数学工具，它能够将机器人的位置和姿态用一个矩阵表示出来。

在机器人正运动学中，我们需要根据机器人各个关节的角度来求出机器人的位置和姿态。

假设机器人有n个关节，每个关节的旋转角度分别为θ1,θ2,...,θn。

我们可以用齐次变换矩阵来表示机器人每个关节的旋转和移动。

假设第i个关节的齐次变换矩阵为Ti，则Ti = [cosθi -sinθi 0 ai;sinθi cosθi 0 bi;0 0 1 ci;0 0 0 1];其中ai, bi, ci分别表示第i个关节的位置坐标，θi表示第i个关节的旋转角度。

机器人的末端执行器的位置和姿态可以通过将所有关节的齐次变换矩阵相乘得到。

即T0n = T1 * T2 * ... * Tn;其中T0n表示机器人的末端执行器的齐次变换矩阵。

通过分析T0n的各个元素，我们可以得到机器人末端执行器的位置和姿态信息。

举例说明，假设有一个二自由度机器人，其第一个关节的旋转角度为θ1，第二个关节的旋转角度为θ2。

假设机器人的关节长度均为1，且第二个关节相对于第一个关节的位置偏移为1。

则第一个关节的齐次变换矩阵为T1 = [cosθ1 -sinθ1 0 0;sinθ1 cosθ1 0 0;0 0 1 0;0 0 0 1];第二个关节相对于第一个关节的位置偏移为1，因此第二个关节的位置坐标为(1,0,0)。

其齐次变换矩阵为T2 = [cosθ2 -sinθ2 0 1;sinθ2 cosθ2 0 0;0 0 1 0;0 0 0 1];将两个齐次变换矩阵相乘得到机器人的末端执行器的齐次变换矩阵为T0n = T1 * T2= [cosθ1cosθ2-sinθ1sinθ2 -cosθ1sinθ2-sinθ1cosθ2 0 cosθ1;sinθ1cosθ2+cosθ1sinθ2 -sinθ1sinθ2+cosθ1cosθ2 0 sinθ1;0 0 1 0;0 0 01];通过分析T0n的各个元素，我们可以得到机器人末端执行器的位置和姿态信息。

基于齐次变换矩阵的机器人轨迹规划方法

机器人技术 二、齐次坐标变换

齐次变换矩阵在机器人运动学中的应用

归纳总结机器人的坐标变换的类型

机器人轨迹规划算法研究及其在自动化生产中的应用

机器人运动规划中的轨迹生成算法

计算相机坐标系到机械臂末端坐标系的齐次变换矩阵

机器人的轨迹规划

机器人技术 二、齐次坐标变换

机器人的数学基础齐次变换矩阵及其运算

举例说明运用齐次变换矩阵求解机器人正运动学的方法

举例说明运用齐次变换矩阵求解机器人正运动学的方法

机器人轨迹规划

机器人的数学基础齐次变换矩阵及其运算

举例说明运用齐次变换矩阵求解机器人正运动学的方法

机器人技术二、齐次坐标变换

机器人技术二、齐次坐标变换