第20课时 垂直平分线、角平分线及尺规作图

第20课时垂直平分线、角平分线及尺规作图课时分层训练|夯实基础|1.[2019·宜昌]通过如下尺规作图,能确定点D是BC边中点的是()图20-112.[2019·河北]根据圆规作图的痕迹,可用直尺成功找到三角形外心的是()图20-123.[2019·南充]如图20-13,在△ABC中,AB的垂直平分线交AB于点D,交BC于点E,若BC=6,AC=5,则△ACE的周长为()图20-13A.8B.11C.16D.174.[2019·青岛]如图20-14,BD是△ABC的角平分线,AE⊥BD,垂足为F.若∠ABC=35°,∠C=50°,则∠CDE的度数为()图20-14A.35°B.40°C.45°D.50°5.[2019·包头样题二]如图20-15,在已知△ABC中,按以下步骤作图:①分别以B,C为圆心,以大于1BC的长为半径画弧,两弧相交于两点M,N;②作直线MN交AB于点D,连接CD.2若CD=AC,∠B=25°,则∠ACB的度数是()图20-15A.90°B.95°C.100°D.105°AC的长为半径作弧, 6.[2019·青山区二模]如图20-16,在△ABC中,∠ACB=90°,分别以点A和点C为圆心,以大于12两弧相交于点M和点N,作直线MN交AB于点D,交AC于点E,连接CD.若∠B=34°,则∠BDC的度数是()图20-16A.68°B.112°C.124°D.146°7.[2019·东营]如图20-17,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,分别以点B和点C为圆心,大于1BC的长为半径作弧,两弧2相交于D,E两点,作直线DE交AB于点F,交BC于点G,连接CF,若AC=3,CG=2,则CF的长为()图20-17B.3A.52C.2D.728.[2019·襄阳]如图20-18,分别以线段AB的两个端点为圆心,大于AB的一半的长为半径画弧,两弧分别交于C,D 两点,连接AC,BC,AD,BD,则四边形ADBC一定是()图20-18A.正方形B.矩形C.梯形D.菱形9.[2016·湖州]如图20-19,AB∥CD,BP和CP分别平分∠ABC和∠DCB,AD过点P,且与AB垂直.若AD=8,则点P 到BC的距离是()图20-19A.8B.6C.4D.210.如图20-20,已知在△ABC中,CD是AB边上的高,BE平分∠ABC,交CD于点E.若BC=5,DE=2,则△BCE的面积等于()图20-20A.10B.7C.5D.411.[2018·淄博]如图20-21,在Rt△ABC中,∠A=90°,CM平分∠ACB交AB于点M,过点M作MN∥BC交AC于点N,且MN平分∠AMC.若AN=1,则BC的长为()图20-21A.4B.6C.4√3D.812.[2019·潍坊]如图20-22,已知∠AOB,按照以下步骤作图:①以点O为圆心,以适当的长为半径作弧,分别交∠AOB的两边于C,D两点,连接CD.CD的长为半径作弧,两弧在∠AOB内交于点E,连接CE,DE.②分别以点C,D为圆心,以大于12③连接OE交CD于点M.图20-22下列结论中错误的是()A.∠CEO=∠DEOB.CM=MDC.∠OCD=∠ECDCD·OED.S四边形OCED=1213.如图20-23,AD是△ABC的角平分线,DE,DF分别是△ABD和△ACD的高,连接EF与AD交于点O.有下面四个结论:①OA=OD;②AD⊥EF;③当∠BAC=90°时,四边形AEDF是正方形;④AE2+DF2=AF2+DE2.其中正确的是()图20-23A.②③B.②④C.①③④D.②③④14.[2019·兰州]如图20-24,矩形ABCD,∠BAC=60°,以点A为圆心,以任意长为半径作弧分别交AB,AC于点M,N,再分别以点M,N为圆心,以大于1MN的长为半径作弧,两弧交于点P,作射线AP交BC于点E,若BE=1,则矩形2ABCD的面积等于.图20-2415.[2019·泰州]如图20-25,△ABC中,∠C=90°,AC=4,BC=8.(1)用直尺和圆规作AB的垂直平分线;(保留作图痕迹,不要求写作法)(2)若(1)中所作的垂直平分线交BC于点D,求BD的长.图20-2516.[2019·宜昌]如图20-26,在△ABC中,D是BC边上一点,AB=DB,BE平分∠ABC,交AC边于点E,连接DE.(1)求证:△ABE≌△DBE;(2)若∠A=100°,∠C=50°,求∠AEB的度数.图20-2617.[2019·杭州]如图20-27,在△ABC中,AC<AB<BC.(1)已知线段AB的垂直平分线与BC边交于点P,连接AP,求证:∠APC=2∠B;(2)以点B为圆心,线段AB的长为半径画弧,与BC边交于点Q,连接AQ.若∠AQC=3∠B,求∠B的度数.①②图20-27|拓展提升|18.如图20-28,在△ABC中,AB=AC,∠A=30°,E为BC延长线上一点,∠ABC与∠ACE的平分线相交于点D,则∠D 等于()图20-28A.15°B.17.5°C.20°D.22.5°19.[2019·烟台]已知∠AOB=60°,以O为圆心,以任意长为半径作弧,交OA,OB于点M,N,分别以M,N为圆心,以大于1MN的长度为半径作弧,两弧在∠AOB内交于点P,以OP为边作∠POC=15°,则∠BOC的度数为() 2A.15°B.45°C.15°或30°D.15°或45°【参考答案】1.A2.C3.B [解析]∵DE 垂直平分AB ,∴AE=BE ,∴△ACE 的周长=AC +CE +AE=AC +CE +BE=AC +BC=5+6=11.故选B .4.C [解析]因为BD 平分∠ABC ,AE ⊥BD ,所以△ABF ≌△EBF ,所以BD 是线段AE 的垂直平分线,所以AD=ED ,所以∠BAD=∠BED=180°-35°-50°=95°,所以∠CDE=95°-50°=45°.5.D6.B [解析]根据作图方法可知,DE 是AC 的垂直平分线,∴DC=DA.∴∠DCA=∠A=180°-90°-34°=56°,∴∠BDC=∠A +∠DCA=56°+56°=112°.故选B .7.A [解析]由作图可知,DE 是边BC 的垂直平分线,那么BC=2CG=4.在Rt △ABC 中,由勾股定理,可得AB=5.因为∠ACB=90°,所以DE ∥AC.因为G 为BC 的中点,所以F 为AB 的中点,所以CF=12AB=52.8.D9.C [解析]如图,过点P 作PE ⊥BC 于点E.∵AB ∥CD ,P A ⊥AB ,∴PD ⊥CD.∵BP 和CP 分别平分∠ABC 和∠DCB ,∴P A=PE ,PD=PE ,∴PE=P A=PD.∵P A +PD=AD=8,∴P A=PD=4,∴PE=4.10.C [解析]过点E 作EK ⊥BC 于点K.因为BE 平分∠ABC ,CD ⊥AB ,所以EK=ED=2,所以S △BCE =12BC ·EK=12×5×2=5.故选C .11.B [解析]∵MN ∥BC ,∴∠ANM=∠ACB ,∠NMC=∠MCB.∵CM 平分∠ACB ,∴∠MCB=∠MCN=12∠ACB ,∴∠NMC=∠NCM ,∴MN=NC.∵MN 平分∠AMC ,∴∠AMN=∠NMC=12∠AMC ,∴∠AMN=12∠ACB=12∠ANM.∵∠A=90°,∴∠AMN=30°.∵AN=1,∴MN=2,∴NC=2,∴AC=3.∵∠B=∠AMN=30°,∴BC=2AC=6. 故选B .12.C [解析]由作图可知OC=OD ,CE=DE ,OE=OE ,所以△OCE ≌△ODE ,所以∠CEO=∠DEO ,选项A 正确;根据“三线合一”可知,CM=MD ,CD ⊥OE ,所以选项B,D 正确;选项C 错误.故选C . 13.D14.3√3 [解析]在矩形ABCD 中,∠BAC=60°,∴∠B=90°,∠BCA=30°.由作图知,AE 平分∠BAC ,∴∠BAE=∠EAC=30°.∵在Rt △ABE 中,BE=1,∴AE=1sin30°=2,AB=1tan30°=√3,∵∠EAC=∠ECA=30°,∴EC=AE=2,∴BC=3,∴S矩形ABCD=AB·BC=3√3.15.解:(1)如图所示,直线l为AB的垂直平分线.(2)设AB的垂直平分线交AB于点E.连接AD.因为DE垂直平分AB,所以AD=BD, 设AD=BD=x,则CD=8-x,在Rt△ACD中,AC2+CD2=AD2,即42+(8-x)2=x2,解得x=5,所以BD的长为5.16.解:(1)证明:∵BE平分∠ABC,∴∠ABE=∠DBE,在△ABE和△DBE中,{AB=DB,∠ABE=∠DBE, BE=BE,∴△ABE≌△DBE(SAS).(2)∵∠A=100°,∠C=50°,∴∠ABC=30°.∵BE平分∠ABC,∴∠ABE=∠DBE=12∠ABC=15°,在△ABE中,∠AEB=180°-∠A-∠ABE=180°-100°-15°=65°.17.解:(1)证明:∵线段AB的垂直平分线与BC边交于点P, ∴P A=PB,∴∠B=∠BAP.∵∠APC=∠B+∠BAP,∴∠APC=2∠B.(2)根据题意可知BA=BQ,∴∠BAQ=∠BQA.∵∠AQC=3∠B,∠AQC=∠B+∠BAQ,∴∠BAQ=2∠B.∵∠BAQ+∠BQA+∠B=180°,∴5∠B=180°,∴∠B=36°.18.A19.D[解析]由题意可以得出OP为∠AOB的平分线,所以∠AOP=∠BOP=1∠AOB=30°.又因为∠POC=15°,考2虑到点C有可能在∠AOP内也有可能在∠BOP内,所以当点C在∠AOP内时,∠BOC=∠BOP+∠POC=45°,当点C在∠BOP内时,∠BOC=∠POC=15°.。