高考冲刺安徽省芜湖市2015届高三5月模拟考试数学理试题

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2015年安徽省芜湖市高考物理模拟试卷(5月份)(解析版)

2015年安徽省芜湖市高考物理模拟试卷（5月份）一、选择题1．（6分）19世纪30年代，法拉第提出一种观点，认为在电荷周围存在电场，电荷之间通过电场传递相互作用力．如图所示，对于电荷A和电荷B之间的电场，下列说法中正确的是（）A．电荷B在电荷A的电场中受电场力的作用，自身并不产生电场B．撤去电荷B，电荷A激发的电场就不存在了C．电场是法拉第假想的，实际上并不存在D．空间某点的电场场强等于A、B两电荷在该点激发电场场强的矢量和2．（6分）如图所示，一质量为m的滑块静止置于倾角为30°的粗糙固定斜面上，一根轻弹簧一端固定在竖直墙上的P点，另一端系在滑块上，弹簧与斜面垂直，物块处于静止．则（）A．滑块不可能只受到三个力作用B．弹簧不可能处于伸长状态C．斜面对滑块的摩擦力大小一定等于mgD．滑块对斜面的压力大小可能为零3．（6分）如图所示，质量相同的两小球a、b分别从斜面顶端A和斜面中点B 沿水平方向抛出，都恰好落在斜面底端，不计空气阻力，则（）A．小球a、b沿水平方向抛出的初速度之比为2：1B．小球a、b离开斜面的最大距离之比为2：1C．小球a、b到达斜面底端时的动能之比为4：1D．小球a、b在空中飞行的时间之比为2：14．（6分）“风云二号08星（G星）”于2014年12月31日在西昌卫星发射中心成功发射进入地球同步轨道，则下列有关叙述正确的是（）A．根据所给信息可求出“风云二号08星（G星）”在其轨道上所受万有引力的大小B．“风云二号08星（G星）”在其轨道上的运行速度大于第一宇宙速度C．“风云二号08星（G星）”在其轨道上的向心加速度大于静止在赤道上物体的向心加速度D．“风云二号08星（G星）”在其轨道上向后喷气就能追上在其前面的同轨道的其他同步卫星5．（6分）现在高速公路上的标志牌都用“回归反光膜”制成，夜间行车时，它能把车灯射出的光逆向返回，使标志牌上的字特别醒目．这种“回归反光膜”是用球体反射材料制成的．如图所示，反光膜内均匀分布着直径为10μm的细玻璃珠，所用玻璃的折射率为，为使车灯光线经玻璃珠“折射→反射→再折射”射出后恰好和入射光线平行，则光线射入玻璃珠时的入射角应是（）A．60°B．45°C．30°D．15°6．（6分）长为L的长木板水平放置，在木板的A端放置一个质量为m的小物块（可视为质点），现缓慢地抬高A端，使木板以左端为轴转动，当木板转到与水平面的夹角为α时小物块开始滑动（如图所示），此时停止转动木板，小物块滑到底端的速度为v，则对整个过程，下列说法不正确的是（）A．木板对物块的力所做的总功为mv2B．木板对小物块的摩擦力所做的功为mgLsinαC．木板对小物块的支持力所做的功为mgLsinαD．木块对小物块的滑动摩擦力所做的功为mv2﹣mgLsinα7．（6分）如图所示，竖直面内有一个闭合导线框ACDE（由细软导线制成）挂在两固定点A、D上，水平线段AD为半圆的直径，在导线框的E处有一个动滑轮，动滑轮下面挂一重物，使导线处于绷紧状态．在半圆形区域内，有磁感应强度大小为B、方向垂直纸面向里的有界匀强磁场．设导线框的电阻为r，圆的半径为R，在将导线上的C点以恒定角速度ω（相对圆心角O）从A点沿半圆形磁场边界移动的过程中，若不考虑导线中电流间的相互作用，则下列说法正确的是（）A．在C从A点沿圆弧移动到D点的过程中，导线框中感应电流的方向先顺时针，后逆时针B．在C从A点沿圆弧移动到图中∠ADC=30°位置的过程中，通过导线上C点的电量为C．当C沿圆弧移动到圆心O的正上方时，导线框中的感应电动势最大D．在C从A点沿圆弧移动到D点的过程中，导线框中产生的电热为二、非选择题8．（8分）测定木块与长木板之间的动摩擦因数时，采用如图1所示的装置，图中长木板水平固定．（1）实验过程中，电火花计时器应接在（选填“直流”或“交流”）电源上，调整定滑轮高度，使．（2）已知重力加速度为g，测得木块的质量为M，砝码盘和砝码的总质量为m，木块的加速度为a，则木块与长木块间动摩擦因数μ=．（用题中所给物理量符号表示）（3）如图2所示为木块在水平木板上带动纸带运动打出的一条纸带的一部分，0、1、2、3、4、5、6为计数点，相邻两计数点间还有4个打点未画出，从纸带上测出x1=3.18cm，x2=4.52cm，x5=8.42cm，x6=9.70cm．则木块加速度大小a= m/s2．（结果保留三位有效数字）9．（10分）在“测定金属的电阻率”的实验中，电阻丝的电阻R，约为20Ω．（1）用螺旋测微器测量电阻丝直径，其示数如图1所示，则该电阻丝直径的测量值d=mm；（2）实验中提供下列器材：电压表V1（量程0～3V，内阻约3kΩ）；电压表V2（量程0～15V，内阻约15kΩ）；电流表A1（量程0～200mA，内阻约3Ω）；电流表A2（量程0～0.6A，内阻约0.1Ω）；滑动变阻器R1（0～10Ω）；滑动变阻器R2（0～500Ω）；电源E（电动势为3.0V，内阻不计），开关、导线若干实验要求：为了调节方便，测量准确，并使实验中电阻丝两端电压变化范围尽量大一些．除了选用电源、开关、导线若干外，该实验还需要从上述器材中选用（选填器材的名称代号）（3）请根据电路图2，用笔画线代替导线将图3中的实验器材连接完整，并使滑动变阻器滑片P置于最左端时接通电路后流过电阻丝的电流最小；（实物连线时导线不得相交）（4）滑动变阻器R1、R2线圈的两个固定端接线柱之间的距离相等．在该实验中，若将滑动变阻器R1、R2分别接入上述电路，将滑片P从最左端向右滑动，设滑（图动的距离x，对应图4中电压表示数U随x变化的图象可能正确的是．4中实线表示接入R1时的情况，虚线表示接入R2时的情况）10．（14分）一质量m=0.5kg的滑块以一定的初速度从底端冲上一倾角为30°足够长的固定斜面，某同学利用DIS实验系统测出了滑块冲上斜面过程中多个时刻的瞬时速度，并通过计算机绘制出滑块上滑过程的v﹣t图象，如图所示．（g取10m/s2）（1）求滑块与斜面间的动摩擦因数；（2）判断滑块能否返回斜面底端？若能返回，求出滑块返回斜面底端时的动能；若不能返回，求出滑块停止的位置距出发点多远．11．（16分）水平直线ab上方L处的P点有一个粒子源，可以向各个方向发射速度大小相同的带电粒子，粒子的电荷量为+q，质量为m．如果在ab上方区域存在垂直该平面向里、磁感应强度为B的匀强磁场，沿纸面水平向左射出的带电粒子恰到达Q点．如图所示，PC垂直于ab，QC=．如果在ab上方区域只存在平行于纸面的匀强电场，沿不同方向发射的带电粒子到达ab边界时，它们的动能都相等，且沿水平向左射出的带电粒子也恰好到达Q点．不计带电粒子的重力（sin37°=0.6；cos37°=0.8），求：（1）带电粒子的发射速率；（2）匀强电场的场强大小和方向；（3）当仅如上述磁场时，能射出磁场区域的带电粒子在磁场中运动的最短路程．12．（20分）如图所示，在倾角θ=30°的斜面上放置一凹槽B，B与斜面间的动摩擦因数μ=，凹槽B的左侧壁（侧壁厚度不计）距斜面底端距离L=15m．槽内靠近右侧壁处有一小物块A（可视为质点），它到凹槽左侧壁的距离d=0.10m．A、B的质量都为m=2.0kg，B与斜面间的最大静摩擦力可认为等于滑动摩擦力，不计A、B之间的摩擦．现同时由静止释放A、B，经过一段时间，A与B的侧壁发生碰撞，碰撞过程不计机械能损失，碰撞时间极短．取g=10m/s2．求：（1）A与B的左侧壁发生第一次碰撞后瞬间A、B的速度；（2）在A与B的左侧壁发生第一次碰撞后到第二次碰撞前的这段时间内，A与B的左侧壁之间的最大距离；（3）A从开始下滑到B的左侧壁滑至斜面底端的过程中，A与B的左侧壁碰撞的次数．2015年安徽省芜湖市高考物理模拟试卷（5月份）参考答案与试题解析一、选择题1．（6分）19世纪30年代，法拉第提出一种观点，认为在电荷周围存在电场，电荷之间通过电场传递相互作用力．如图所示，对于电荷A和电荷B之间的电场，下列说法中正确的是（）A．电荷B在电荷A的电场中受电场力的作用，自身并不产生电场B．撤去电荷B，电荷A激发的电场就不存在了C．电场是法拉第假想的，实际上并不存在D．空间某点的电场场强等于A、B两电荷在该点激发电场场强的矢量和【解答】解：A、电荷B处在电荷A激发的电场中，受到电荷A电场的作用力，B自身也激发电场．故A错误．B、电荷A激发的电场与电荷B无关，撤去B，电荷A激发的电场仍然存在．故B错误．C、电场是不同与实物的一种物质存在的方式，是客观存在的．故C错误．D、电荷周围就产生电场，所以电荷A和电荷B都可以激发电场，它们叠加可以成一个新的电场．空间某点的场强等于A、B两电荷在该点激发电场场强的矢量和．故D正确．故选：D．2．（6分）如图所示，一质量为m的滑块静止置于倾角为30°的粗糙固定斜面上，一根轻弹簧一端固定在竖直墙上的P点，另一端系在滑块上，弹簧与斜面垂直，物块处于静止．则（）A．滑块不可能只受到三个力作用B．弹簧不可能处于伸长状态C．斜面对滑块的摩擦力大小一定等于mgD．滑块对斜面的压力大小可能为零【解答】解：滑块可能受重力、支持力和静摩擦力这三个力，弹簧处于原长，此时支持力的大小为mgcos30°，f=mgsin30°=．滑块可能受重力、支持力、弹簧的弹力和静摩擦力平衡，此时支持力可能大于mgcos30°，可能小于mgcos30°，若支持力小于mgcos30°；此时弹力为向上的；弹簧处于伸长状态；摩擦力大小f=mgsin30°=．故C正确，ABD错误．故选：C．3．（6分）如图所示，质量相同的两小球a、b分别从斜面顶端A和斜面中点B 沿水平方向抛出，都恰好落在斜面底端，不计空气阻力，则（）A．小球a、b沿水平方向抛出的初速度之比为2：1B．小球a、b离开斜面的最大距离之比为2：1C．小球a、b到达斜面底端时的动能之比为4：1D．小球a、b在空中飞行的时间之比为2：1【解答】解：A、两球的水平位移之比为2：1，时间之比为：1，根据v0=知，初速度之比为：1，故A错误．B、当小球平抛过程中，速度方向平行与斜面时，离开斜面的距离为最大，根据运动的分解，将初速度与加速度分解成垂直斜面与平行斜面两方向，设斜面的倾角为α，因此垂直斜面方向的位移为：（v0sinα）2=2gcosαh，那么离开斜面的最大距离与初速度的平方成正比，即为之比为2：1，故B正确C、根据动能定理可知，到达斜面底端时的动能之比E Ka：E kb=（）：（）=2：1，故C错误．D、因为两球下落的高度之比为2：1，根据h=得，t=，高度之比为2：1，则时间之比为：1，故D错误．故选：B4．（6分）“风云二号08星（G星）”于2014年12月31日在西昌卫星发射中心成功发射进入地球同步轨道，则下列有关叙述正确的是（）A．根据所给信息可求出“风云二号08星（G星）”在其轨道上所受万有引力的大小B．“风云二号08星（G星）”在其轨道上的运行速度大于第一宇宙速度C．“风云二号08星（G星）”在其轨道上的向心加速度大于静止在赤道上物体的向心加速度D．“风云二号08星（G星）”在其轨道上向后喷气就能追上在其前面的同轨道的其他同步卫星【解答】解：A、由于卫星的质量未知，不能求解卫星所受万有引力的大小，故A错误．B、由万有引力提供向心力得：G=m，解得：v=，线速度v随轨道半径r的增大而减小，v=7.9 km/s为第一宇宙速度，即围绕地球表面运行的速度，因同步卫星轨道半径比地球半径大很多，因此其线速度应小于7.9 km/s，故B错误．C、卫星的角速度与静止在赤道上物体的角速度，由于卫星的轨道半径比物体的半径大，由a=rω2，知卫星的向心加速度大小大于静止在赤道上物体的向心加速度大小．故C正确．D、风云二号08星在其轨道上向后喷气加速，做离心运动，偏离原轨道，不可能追上同轨道上的其他同步卫星．故D错误．故选：C．5．（6分）现在高速公路上的标志牌都用“回归反光膜”制成，夜间行车时，它能把车灯射出的光逆向返回，使标志牌上的字特别醒目．这种“回归反光膜”是用球体反射材料制成的．如图所示，反光膜内均匀分布着直径为10μm的细玻璃珠，所用玻璃的折射率为，为使车灯光线经玻璃珠“折射→反射→再折射”射出后恰好和入射光线平行，则光线射入玻璃珠时的入射角应是（）A．60°B．45°C．30°D．15°【解答】解：由题意分析：光线照射在玻璃球上，最终能沿原方向相反方向射出，说明入射光路与出射光路平行对称，作出返回光线的光路如图，则：=n=由几何关系知，出射光线与入射光线平行的条件为：θ1=2θ2故联立解得：θ1=60°．故选：A．6．（6分）长为L的长木板水平放置，在木板的A端放置一个质量为m的小物块（可视为质点），现缓慢地抬高A端，使木板以左端为轴转动，当木板转到与水平面的夹角为α时小物块开始滑动（如图所示），此时停止转动木板，小物块滑到底端的速度为v，则对整个过程，下列说法不正确的是（）A．木板对物块的力所做的总功为mv2B．木板对小物块的摩擦力所做的功为mgLsinαC．木板对小物块的支持力所做的功为mgLsinαD．木块对小物块的滑动摩擦力所做的功为mv2﹣mgLsinα【解答】解：A、对整体过程研究，重力做功为零，根据动能定理得：木板对物块做的总功W=mv2．故A正确．B、缓慢地抬高A端的过程中摩擦力不做功，下滑过程，滑动摩擦力对物块做负功，摩擦力做功为W f=﹣mgcosαL=﹣mgLcosα．故B错误．C、缓慢地抬高A端的过程中，根据动能定理得：W N﹣mgLsinα=0，得到支持力对小物块做功为W N=mgLsinα．下滑过程中支持力不做功，所以支持力做的总功为W N=mgLsinα．故C正确．D、对下滑过程，根据动能定理得：mgLsinα+W f=mv2﹣0，得到滑动摩擦力对小物块做功为W f=mv2﹣mgLsinα．故D正确．本题选不正确的，故选：B．7．（6分）如图所示，竖直面内有一个闭合导线框ACDE（由细软导线制成）挂在两固定点A、D上，水平线段AD为半圆的直径，在导线框的E处有一个动滑轮，动滑轮下面挂一重物，使导线处于绷紧状态．在半圆形区域内，有磁感应强度大小为B、方向垂直纸面向里的有界匀强磁场．设导线框的电阻为r，圆的半径为R，在将导线上的C点以恒定角速度ω（相对圆心角O）从A点沿半圆形磁场边界移动的过程中，若不考虑导线中电流间的相互作用，则下列说法正确的是（）A．在C从A点沿圆弧移动到D点的过程中，导线框中感应电流的方向先顺时针，后逆时针B．在C从A点沿圆弧移动到图中∠ADC=30°位置的过程中，通过导线上C点的电量为C．当C沿圆弧移动到圆心O的正上方时，导线框中的感应电动势最大D．在C从A点沿圆弧移动到D点的过程中，导线框中产生的电热为【解答】解：A、设转过角度为θ=ωt，根据几何知识知线框的面积：S=•2R•Rsinθ=R2sinθ，磁通量为Φ=BR2sinθ=BR2sinωt，磁通量先增大后减小，根据楞次定律知电流的方向先逆时针，后顺时针，故A错误；B、根据q=知，通过导线上C点的电量q==，故B 错误；C、根据e=知e=ωBR2cosωt，C沿圆弧移动到圆心O的正上方时，导线框中的感应电动势最小为零，故C错误；D、根据C项知电动势有效值为E=，故电热为Q=t，又t=，解得Q=．故D正确；故选：D．二、非选择题8．（8分）测定木块与长木板之间的动摩擦因数时，采用如图1所示的装置，图中长木板水平固定．（1）实验过程中，电火花计时器应接在交流（选填“直流”或“交流”）电源上，调整定滑轮高度，使细线与长木板平行．（2）已知重力加速度为g，测得木块的质量为M，砝码盘和砝码的总质量为m，木块的加速度为a，则木块与长木块间动摩擦因数μ=．（用题中所给物理量符号表示）（3）如图2所示为木块在水平木板上带动纸带运动打出的一条纸带的一部分，0、1、2、3、4、5、6为计数点，相邻两计数点间还有4个打点未画出，从纸带上测出x1=3.18cm，x2=4.52cm，x5=8.42cm，x6=9.70cm．则木块加速度大小a= 1.30 m/s2．（结果保留三位有效数字）【解答】解：（1）实验过程中，电火花计时器应接在交流电源上；实验前应调整定滑轮高度，使细线与长木板平行．（2）对木块、砝码盘和砝码组成的系统，由牛顿第二定律得：mg﹣μMg=（M+m）a，解得：μ=；（3）相邻两计数点间还有4个打点未画出，所以相邻的计数点之间的时间间隔为0.1s，根据运动学公式得：△x=at2，a==≈1.30m/s2．故答案为：（1）交流；细线与长木板平行；（2）；（3）1.30．9．（10分）在“测定金属的电阻率”的实验中，电阻丝的电阻R，约为20Ω．（1）用螺旋测微器测量电阻丝直径，其示数如图1所示，则该电阻丝直径的测量值d= 1.212mm；（2）实验中提供下列器材：电压表V1（量程0～3V，内阻约3kΩ）；电压表V2（量程0～15V，内阻约15kΩ）；电流表A1（量程0～200mA，内阻约3Ω）；电流表A2（量程0～0.6A，内阻约0.1Ω）；滑动变阻器R1（0～10Ω）；滑动变阻器R2（0～500Ω）；电源E（电动势为3.0V，内阻不计），开关、导线若干实验要求：为了调节方便，测量准确，并使实验中电阻丝两端电压变化范围尽量大一些．除了选用电源、开关、导线若干外，该实验还需要从上述器材中选用V1，A1，R1（选填器材的名称代号）（3）请根据电路图2，用笔画线代替导线将图3中的实验器材连接完整，并使滑动变阻器滑片P置于最左端时接通电路后流过电阻丝的电流最小；（实物连线时导线不得相交）（4）滑动变阻器R1、R2线圈的两个固定端接线柱之间的距离相等．在该实验中，若将滑动变阻器R1、R2分别接入上述电路，将滑片P从最左端向右滑动，设滑动的距离x，对应图4中电压表示数U随x变化的图象可能正确的是B．（图4中实线表示接入R1时的情况，虚线表示接入R2时的情况）【解答】解：（1）螺旋测微器的读数为d=1+21.2×0.01mm=1.212mm；那么读数在此范围内：1.211～1.213mm；（2）根据电源电动势大小可知电压表应选择V1；根据欧姆定律可知通过待测电阻的最大电流为I max==A=150mA，所以电流表应选择A1；根据实验要求电压调节范围尽量大可知变阻器应采用分压式接法，应选择阻值小的变阻器R1以方便调节；（3）实物连线图如图所示：（4）设变阻器的全电阻为R，变阻器左端电阻为R1，根据欧姆定律可求出变阻器的输出电压应为U=，设变阻器两接线柱距离为L，则单位长度的电阻为R0=，所以R1=xR0=•x，＜R x，且R1越小时R并越接近R1，所即变阻器的输出电压U出＜•x，由于R并考虑电阻丝是圆形不是直线，所以U﹣x图象一定不能是线性关系，排除C、D 选项，再根据上面分析可知，当变阻器的全电阻越小时线性越好，变阻器的输出电压越大，所以可能符合实际的图象应是B；故答案为：（1）1.212；（2）V1，A1，R1；③如上图所示；（4）B．10．（14分）一质量m=0.5kg的滑块以一定的初速度从底端冲上一倾角为30°足够长的固定斜面，某同学利用DIS实验系统测出了滑块冲上斜面过程中多个时刻的瞬时速度，并通过计算机绘制出滑块上滑过程的v﹣t图象，如图所示．（g取10m/s2）（1）求滑块与斜面间的动摩擦因数；（2）判断滑块能否返回斜面底端？若能返回，求出滑块返回斜面底端时的动能；若不能返回，求出滑块停止的位置距出发点多远．【解答】解：（1）滑块的加速度：a===12m/s2①物体在冲上斜面过程中，由牛顿第二定律得：mgsin30°+μmgcos30°=ma…②联①②式解得：μ=；（2）滑块速度减小到零时，重力的分力小于最大静摩擦力，不能再下滑．s===1.5m，滑块停在距底端1.5m处．答：（1）滑块与斜面间的动摩擦因数为；（2）判断滑块最后不能返回斜面底端，滑块停在距底端1.5m处．11．（16分）水平直线ab上方L处的P点有一个粒子源，可以向各个方向发射速度大小相同的带电粒子，粒子的电荷量为+q，质量为m．如果在ab上方区域存在垂直该平面向里、磁感应强度为B的匀强磁场，沿纸面水平向左射出的带电粒子恰到达Q点．如图所示，PC垂直于ab，QC=．如果在ab上方区域只存在平行于纸面的匀强电场，沿不同方向发射的带电粒子到达ab边界时，它们的动能都相等，且沿水平向左射出的带电粒子也恰好到达Q点．不计带电粒子的重力（sin37°=0.6；cos37°=0.8），求：（1）带电粒子的发射速率；（2）匀强电场的场强大小和方向；（3）当仅如上述磁场时，能射出磁场区域的带电粒子在磁场中运动的最短路程．【解答】解：（1）只加磁场时，粒子做匀速圆周运动，设粒子轨道半径为R，子运动轨迹如图所示：由几何知识得：=，解得：R=QO=L，粒子做匀速圆周运动，洛伦兹力通过向心力，由牛顿第二定律得：qvB=m，解得：v=；（2）只加匀强电场时，粒子到达ab直线的动能相等，则ab为等势面，则电场方向垂直ab向下，水平向左射出的粒子做类平抛运动，与ab平行方向：CQ==vt，与ab垂直方向：PC=L=at2，加速度：a=，解得：E=；（3）只加磁场时，圆弧O1经C点，粒子转过的圆心角最小，运动时间最短，对应的路程最小，运动轨迹如图所示：由几何知识得：sinθ==，解得：θ=53；最小圆心角：α=2θ=106°，最短路程：s=×2πR=；答：（1）带电粒子的发射速率是；（2）匀强电场的场强大小为：，方向：垂直ab向下；（3）当仅如上述磁场时，能射出磁场区域的带电粒子在磁场中运动的最短路程为．12．（20分）如图所示，在倾角θ=30°的斜面上放置一凹槽B，B与斜面间的动摩擦因数μ=，凹槽B的左侧壁（侧壁厚度不计）距斜面底端距离L=15m．槽内靠近右侧壁处有一小物块A（可视为质点），它到凹槽左侧壁的距离d=0.10m．A、B的质量都为m=2.0kg，B与斜面间的最大静摩擦力可认为等于滑动摩擦力，不计A、B之间的摩擦．现同时由静止释放A、B，经过一段时间，A与B的侧壁发生碰撞，碰撞过程不计机械能损失，碰撞时间极短．取g=10m/s2．求：（1）A与B的左侧壁发生第一次碰撞后瞬间A、B的速度；（2）在A与B的左侧壁发生第一次碰撞后到第二次碰撞前的这段时间内，A与B的左侧壁之间的最大距离；（3）A从开始下滑到B的左侧壁滑至斜面底端的过程中，A与B的左侧壁碰撞的次数．【解答】解：（1）A在凹槽内，B受到的滑动摩擦力为：f=μ•3mgcosθ=10NB所受重力沿斜面的分力为：G1=2mgsinθ=10N因为G1=f，所以B受力平衡，释放后B保持静止，释放A后，A做匀加速运动，由牛顿定律和运动学规律得：mgsinθ=ma1，v12=2a1d，解得，A的加速度和碰撞前的速度分别为：a1=5m/s2，v1=1.0m/s2．A．B发生碰撞，规定沿斜面向下为正方向，由系统动量守恒得：mv1=mv1′+mv2′碰撞过程不损失机械能，得：mv12=mv1′2+mv2′2解得第一次发生碰撞后瞬间A，B的速度分别为：v1′=0m/s，方向沿斜面向上，v2′=1m/s，方向沿斜面向下；（2）A．B第一次碰撞后，B做匀速运动，有：s2′=v′2tA做匀加速运动，加速度仍为a1 ，则有：s1′=a1t2，v A=a1t，经过时间t1，A的速度与B相等，A与B的左侧壁距离达到最大，即：a1t1=v2′，又s=s2′﹣s1′，代入数据解得A与B左侧壁的距离：s=0.10m因为s=d，A恰好运动到B的右侧壁，而且速度相等，所以A与B的右侧壁恰好接触但没有发生碰撞．因此A与B的左侧壁的距离最大可达到0.10m．（3）A、B每次碰撞后交换速度，设第n次碰撞前A的速度为v n，碰撞交换速度后v An=v n，v Bn=v（n﹣1），A做匀加速直线运动，加速度为a1，t+a1t2=v n t，解得：v n﹣v（n﹣1）=at1，则A、B再次碰撞时，v（n﹣1）应用逐差法可得：v n=nav1t=nv1=n （m/s）由以上分析可知，物块A与凹槽B的左侧壁第n次碰撞后瞬间A、B的速度大小分别为：v An=（n﹣1）（m/s），v Bn=n （m/s），B物体的v﹣t图象如图所示：由图象可知，从初始位置到物块A 与凹槽B 的左臂发生第n 次碰撞时B 的位移大小为：x=0.4×1.0[1+2+3+…+（n ﹣1）]=0.2（n2﹣n ） m ，解得：n ≈9.2，所以A 与B 的左臂碰撞的次数额外9次；答：（1）A 与B 的左侧壁发生第一次碰撞后瞬间A 、B 的速度分别为：0m/s 、1m/s ；（2）在A 与B 的左侧壁发生第一次碰撞后到第二次碰撞前的这段时间内，A 与B 的左侧壁之间的最大距离为0.1m ；（3）A 从开始下滑到B 的左侧壁滑至斜面底端的过程中，A 与B 的左侧壁碰撞的次数是9次．赠送—高中数学知识点【1.3.1】单调性与最大（小）值（1）函数的单调性②在公共定义域内，两个增函数的和是增函数，两个减函数的和是减函数，增函数减去一个减函数为增函数，减函数减去一个增函数为减函数．③对于复合函数[()]y f g x =，令()u g x =，若()y f u =为增，()u g x =为增，则[()]y f g x =为增；若()y f u =为减，()u g x =为减，则[()]y f g x =为增；若()y f u =为yxo。

安徽省芜湖市高三5月模拟考试理科数学试题(解析版)

安徽省芜湖市高三5月模拟考试理科数学试题（解析版）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1. 已知集合，则（）A. [-2，-1]B. [-1，2)C. [-1，1]D. [1，2)2. 设复数，则下列命题中错误的是A. B. C.在复平面上对应的点在第一象限 D.z的虚部为13. 若满足约束条件则的最大值为（）A. 2B. 6C. 7D. 84. 若圆锥曲线的离心率为，则（）A. B. C. D.5. 芜湖高铁站芜湖至地上午发车时间分别为7:00，8:00，8:30，小明需在当天乘车到地参加一高校自主招生，他在7:50至8:30之间到达发车站乘坐班车，且到达发车站的时刻是随机的，则他等车时间不超过10分钟的概率是（）A. B. C. D.6. 我国古代数学著作《九章算术》中，其意是：“今有器中米，不知其数，前人取半，中人三分取一，后人四分取一，余米一斗五升．问：米几何？右图是源于其思想的一个程序框图，若输出的（单位：升），则输入的值为（）A. 6B. 7C. 8D. 97. 已知是定义在上偶函数，对任意都有且，则的值为（）A. 2B. 3C. 4D. 58. 某几何体的三视图如右图所示，图中的四边形都是边长为1的正方形，其中正(主)视图、侧(左)视图中的两条虚线互相垂直，则该几何体的体积是（）A. B. C. D.9. 已知函数．将的图象向左平移个单位长度后所得的函数为偶函数，则关于函数，下列命题正确的是（）A. 函数在区间上有最小值B. 函数的一条对称轴为C. 函数在区间上单调递增D. 函数的一个对称点为10. 设，，均为实数，且，，，则（）A. B. C. D.11. 已知椭圆的右焦点为．圆上所有点都在椭圆的内部，过椭圆上任一点作圆的两条切线，为切点，若，则椭圆C的离心率为（）A. B. C. D.12. 已知函数，其中为自然对数的底数．若函数在区间内有两个零点，则的取值范围是（）A. B. C. D.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分13. 已知向量的夹角为，，，则=_______．14. 已知展开式中只有第4项的二项式系数最大，则展开式中常数项为_______．15. 在三棱锥中，，当三棱锥体积最大时，其外接球的表面积为_______．16. 已知的内角的对边分别为，若，则最小值是_______．三、解答题：共70分。

安徽省2015年普通高等学校招生全国统一考试(五)数学(理)试卷及答案

安徽省2015年普通高等学校招生全国统一考试数学（理）试题本试卷分第I 卷（选择题）和第且卷（非选择题）两部分。

全卷满分150 分，考试时间为120 分钟。

考生注意事项1．答题前，考生先将自己的姓名、考场座位号及姓名在答题卡条形码处填写清楚。

2．选择题部分必须使用ZB 铅笔填涂；非选择题部分必须使用。

．5 毫米的黑色签字笔书写，字体工整、笔迹清楚．3．请按照题号顺序在答题卡上的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。

4．考试结束，将本试卷和答题卡一并交回。

第I卷（选择题共50 分）一、选择题（本大题共10 小题．每小题5 分，共50 分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．复数z 满足方程z=（z－2 ）i（i为虚数单位），则z=（）A．1 +i B．1－i C．-1 + i D．-1－i2．设a , b ∈R ，则“a > b , ，是“a|a|> b|b| ”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件3．某程序框图如图所示，若输出的S 一57 ，则判断框内为（）A．k>4 ?B．k>5 ?C．k>6 ?D．k>7 ?4．若某几何体的二视图如右图所示，则此几何体的体积等于（）A．30B．12C．24D．45．若实数x , y 满足1020,30x yxx y-+≥⎧⎪-≤⎨⎪+-≥⎩则24xyz=的取值范围是A．1[,1]16B．1[,2]8C．11[,]168D．1[,2]166．如果直线l 将圆：22240x y x y +--=平分，且不通过第四象限，那么l 的斜率的取值范围是（）A ．[0，2]B ．[0，1]C ．[0，12]D ．(,0)(2,)-∞+∞ 7．在△ ABC 中，若111,,tan tan tan A B C依次成等差数列，则（）A ．a , b ，c 依次成等差数列 BC ．222,,a b c 依次成等差数列D ．222,,a c b 依次成等比数列 8．已知函数f （x ）=sinx ，0＜x 1＜x 2＜2π，则下列四个命题中正确的是（） ①112212[()()]()0x f x x f x x x --<； ②2112()()x f x x f x >;③1221()()f x x f x x +>+ ；④112212()()2()x f x x f x x f x +> A ．① ② ③ B ．① ③ ④ C ．② ④ D ．② ③ ④9．已知F 为抛物线y 2=2px （p > 0 ）的焦点，过F 的直线l 交抛物线于A （x 1, y 1） , B （x 2, y 2）,O 为坐标原点，若△OAB 的面积为p 2，则2212y y +的值为（） A ．210p B ．212p C ．214p D ．216p 10．设123,,l l l 为空间中三条互相平行且两两间的距离分别为4 , 5 , 6 的直线．给出下列三个结论：①i i A ∃∈（i=1 , 2 , 3 ），使得△ A 1A 2A 3 是直角三角形；②i i A ∃∈（i=1 , 2 , 3 ），使得△A 1A 2A 3是等边三角形；③ 三条直线上存在四点i A （i=1 , 2 , 3 ），使得四面体A 1A 2A 3A 4为在一个顶点处的三条棱两两互相垂直的四面体．其中，所有正确结论的序号是（）A ．①B ．① ②C ．① ③D ．② ③第Ⅱ卷（非选择题共100 分）二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分．把答案填在答题卡的相应位置）11．极坐标系中，A , B 分别是直线cos sin 50ρθρθ-+=和圆2sin ρθ=上的动点，则A , B 两点之间距离的最小值是．12．已知（1+x ）（2－x ）10＝b 0+b l （x －1）+ b 2（x －l ）2+…+b 11（x －l ）11，则b 1+b 2+…+b 11= .13．已知平面向量a =（2 , 1 ）, b =（3 , k ），若（2a －b ）⊥b ，则实数k = _ ．14．如图，用4 种不同的颜色对图中5 个区域涂色（斗种颜色全部使用），要求每个区域涂一种颜色，相邻的区域不能涂相同的颜色，则不同的涂色种数有种．15．已知函数()2sin cos()f x x x θ=++，其中θ是常数．给下列五个命题：① 存在θ ，使函数f （ x ）是奇函数；② 存在θ，使函数f （ x ）是偶函数；③ 函数f （ x ）的最大值为3 ; ④ 记f （x ），的最小值为g(θ)，则g (θ)的最大值为一1；⑤ 若6πθ=，则x=3π是函数f （ x ）图象的一条对称轴．其中正确的命题的序号为（把所有正确命题的的序号都填上）．三、解答题（本大题共6 小题，共75 分，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤． 16 ．（本小题满分12 分）已知sin ,cos θθ是关于二的方程20()x ax a a R -+=∈的两个根．（Ⅰ）求3cos()sin()22ππθθ+++的值；（Ⅱ）求1tan()tan πθθ--的值。

2015年安徽省示范高中高考一模数学试卷(理科)【解析版】

2015年安徽省示范高中高考数学一模试卷（理科）一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的．）1．（5分）设i是虚数单位，z表示复数z的共轭复数，z+＝2，z•＝2，则z 的虚部是（）A．1B．±i C．±1D．﹣12．（5分）双曲线x2﹣3y2＝﹣1的渐近线的倾斜角为（）A．B．C．或D．或3．（5分）若x，y满足，则z＝y﹣x的最大值为（）A．2B．﹣2C．1D．﹣14．（5分）已知m，n为不同的直线，α，β为不同的平面，则下列说法正确的是（）A．m⊂α，n∥m⇒n∥αB．m⊂α，n⊥m⇒n⊥αC．m⊂α，n⊂β，m∥n⇒α∥βD．n⊂β，n⊥α⇒α⊥β5．（5分）执行如图所示的程序框图，输出的k的值为（）A．2B．3C．4D．56．（5分）“0＜k＜9”是“曲线﹣＝1与曲线﹣＝1的焦距相同”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件7．（5分）函数y＝f′（x）的图象如图所示，则关于函数y＝f（x）的说法正确的是（）A ．函数y ＝f （x ）有3个极值点B ．函数y ＝f （x ）在区间（﹣∞，﹣4）单调递减C ．函数y ＝f （x ）在区间（﹣2，+∞）单调递增D ．x ＝1时函数y ＝f （x ）取极大值8．（5分）某产品的广告费用x 万元与销售额y 万元的统计数据如下表：根据上表可得回归方程＝bx +a 中b 为9.4，据此模型预报广告费用为6万元时，销售额为65.5，则a ，m 为（）A ．a ＝9.1，m ＝54B ．a ＝9.1，m ＝53C ．a ＝9.4，m ＝52D ．a ＝9.2，m ＝54 9．（5分）为了得到函数f （x ）＝cos （2x +）的图象，只要把函数g （x ）＝f ′（x ）的图象（） A ．向左平行移动个单位长度 B ．向右平行移动个单位长度 C ．向左平行移动个单位长度 D ．向右平行移动个单位长度10．（5分）已知集合M ＝{（x ，y ）|f （x ，y ）＝0}，若对任意P 1（x 1，y 1）∈M ，均不存在P 2（x 2，y 2）∈M 使得x 1x 2+y 1y 2＝0成立，则称集合M 为“好集合”，下列集合为“好集合”的是（） A ．M ＝{（x ，y ）|y ﹣lnx ＝0}B ．M ＝{（x ，y ）|y ﹣x 2﹣1＝0}C ．M ＝{（x ，y ）|（x ﹣2）2+y 2﹣2＝0}D ．M ＝{（x ，y ）|x 2﹣2y 2﹣1＝0}二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．11．（5分）以平面直角坐标系的原点为极点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，两种坐标系中取相同的长度单位，直线l的参数方程为（t 为参数），曲线C的极坐标方程为p＝2cosθ，则t与C公共点的个数为．12．（5分）（x2+）6的展开式中常数项是．（用数字作答）13．（5分）直线x＝1与抛物线y2＝4x围成图形的面积是．14．（5分）在△ABC中，已知||2＝（+）•，则＝．15．（5分）已知数列A：a1，a2，a3，…，a n（0≤a1＜a2＜a3＜…＜a n，n≥3，n∈N*）具有性质P：对任意的i，j（1≤i≤j≤n，i，j∈N*），a j+a i与a j﹣a i两数中至少有一个是数列A中的项，现下列命题正确的是：．（写出所有正确答案的序号）①数列A：0，1，3与数列B：0，2，4，6都具有性质P；②a1＝0；③2（a1+a2+a3+…+a n）＝na n；④当n＝5时，a1，a2，a3，a4，a5成等差数列．三、解答：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．16．（12分）一档电视闯关节目规定：三人参加，三人同时闯关成功为一等奖，资金为2000元，三人中有两人闯关成功为二等奖，资金为1000元，三人中有一人闯关成功为三等奖，资金为400元，其它情况不得奖，现有甲乙丙三人参加此活动，甲乙闯关成功的概率都为，丙闯关成功的概率为，三人闯关相互独立．（Ⅰ）求得一等奖的概率；（Ⅱ）求得资金的数学期望．17．（12分）如图，直角三角形ABC中，∠ACB＝90°，AB＝2BC＝4，D、E 分别为AC、AB边的中点．将△ADE沿DF折起，使二面角A﹣DE﹣C的余弦值为，求：（Ⅰ）四棱锥A﹣BCDE的体积；（Ⅱ）二面角A﹣BE﹣C的余弦值．18．（12分）三角形ABC中，角A，B，C所对的边为a，b，c且+＝2．（Ⅰ）求A；（Ⅱ）若a＝2，求三角形ABC周长l的最大值．19．（12分）数列{a n}是公比为的等比数列，且1﹣a2是a1与1+a3的等比中项，前n项和为S n，数列{b n}是等差数列，b1＝8，前n项和T n满足T n＝nλ•b n+1（λ为常数，且λ≠1）．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式及λ的值；（Ⅱ）令∁n＝++…+，求证：∁n≤S n．20．（13分）已知椭圆E1：+＝1，E2：+＝2，过E1上第一象限上一点P作E1的切线，交于E2于A，B两点．（Ⅰ）已知x2+y2＝r2上一点P（x0，y0），则过点P（x0，y0）的切线方程为xx0+yy0＝r2．类比此结论，写出椭圆+＝1在其上一点P（x0，y0）的切线方程，并证明；（Ⅱ）求证：|AP|＝|BP|．21．（14分）已知函数f（x）＝﹣lnx++（1﹣a）x+2．（Ⅰ）当a＞0时，求函数f（x）的单调区间；（Ⅱ）若0＜x＜1，求证：f（1+x）＜f（1﹣x）；（Ⅲ）若A（x1，y1），B（x2，y2）为函数y＝f（x）的图象上的两点，记k为直线AB的斜率，若x0＝，f′（x）为f（x）的导函数，求证：f′（x0）＞k．2015年安徽省示范高中高考数学一模试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的．）1．（5分）设i是虚数单位，z表示复数z的共轭复数，z+＝2，z•＝2，则z 的虚部是（）A．1B．±i C．±1D．﹣1【解答】解：设z＝a+bi（a，b∈R），则，由，得a＝1，由z•＝2，得a2+b2＝2，∴b＝±1．∴z的虚部是±1．故选：C．2．（5分）双曲线x2﹣3y2＝﹣1的渐近线的倾斜角为（）A．B．C．或D．或【解答】解：双曲线x2﹣3y2＝﹣1的渐近线方程为：y＝，渐近线的斜率为：，所以双曲线x2﹣3y2＝﹣1的渐近线的倾斜角为或．故选：D．3．（5分）若x，y满足，则z＝y﹣x的最大值为（）A．2B．﹣2C．1D．﹣1【解答】解：由约束条件作可行域如图，化目标函数z＝y﹣x为y＝x+z，由图可知，最优解为B（0，2），∴z的最大值为：2﹣0＝2．故选：A．4．（5分）已知m，n为不同的直线，α，β为不同的平面，则下列说法正确的是（）A．m⊂α，n∥m⇒n∥αB．m⊂α，n⊥m⇒n⊥αC．m⊂α，n⊂β，m∥n⇒α∥βD．n⊂β，n⊥α⇒α⊥β【解答】解：在A选项中，可能有n⊂α，故A错误；在B选项中，可能有n⊂α，故B错误；在C选项中，两平面有可能相交，故C错误；在D选项中，由平面与平面垂直的判定定理得D正确．故选：D．5．（5分）执行如图所示的程序框图，输出的k的值为（）A．2B．3C．4D．5【解答】解：执行程序框图，可知k＝0时coxA＜sin A＝1；满足条件；k＝1时cos A＝sin A；满足条件；k＝2时cos A＜sin A；满足条件；k＝3时cos A＜sin A；满足条件；K＝4时cos A＞sin A；不满足条件，退出循环，输出k的值为4．故选：C．6．（5分）“0＜k＜9”是“曲线﹣＝1与曲线﹣＝1的焦距相同”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件【解答】解：当0＜k＜9时，曲线﹣＝1的焦距为2，曲线﹣＝1的焦距为相同．当k＝0 时，曲线﹣＝1与曲线﹣＝1的焦距相同为．因此“0＜k＜9”是“曲线﹣＝1与曲线﹣＝1的焦距相同”的充分不必要条件．故选：A．7．（5分）函数y＝f′（x）的图象如图所示，则关于函数y＝f（x）的说法正确的是（）A．函数y＝f（x）有3个极值点B．函数y＝f（x）在区间（﹣∞，﹣4）单调递减C．函数y＝f（x）在区间（﹣2，+∞）单调递增D．x＝1时函数y＝f（x）取极大值【解答】解：函数有两个极值点：x ＝﹣5和x ＝﹣2，但x ＝3不是函数的极值点，所以A 错误；函数在（﹣∞，﹣5）和（﹣2，+∞）上单调递增，在（﹣5，﹣2）上单调递减，所以B 错误，C 正确；x ＝1不是函数的极值班点，所以D 错误．故选：C ．8．（5分）某产品的广告费用x 万元与销售额y 万元的统计数据如下表：根据上表可得回归方程＝bx +a 中b 为9.4，据此模型预报广告费用为6万元时，销售额为65.5，则a ，m 为（）A ．a ＝9.1，m ＝54B ．a ＝9.1，m ＝53C ．a ＝9.4，m ＝52D ．a ＝9.2，m＝54 【解答】解：∵回归方程＝bx +a 中b 为9.4，据此模型预报广告费用为6万元时，销售额为65.5， ∴a＝9.1， ∴＝9.4x +9.1∵＝（4+2+3+5）＝3.5， ∴＝（49+26+39+m ）＝42， ∴m ＝54．故选：A ．9．（5分）为了得到函数f （x ）＝cos （2x +）的图象，只要把函数g （x ）＝f ′（x ）的图象（） A ．向左平行移动个单位长度 B ．向右平行移动个单位长度C．向左平行移动个单位长度D．向右平行移动个单位长度【解答】解：∵f（x）＝cos（2x+），∴g（x）＝f′（x）＝﹣sin（2x+）＝cos（2x+），右移得．故选：B．10．（5分）已知集合M＝{（x，y）|f（x，y）＝0}，若对任意P1（x1，y1）∈M，均不存在P2（x2，y2）∈M使得x1x2+y1y2＝0成立，则称集合M为“好集合”，下列集合为“好集合”的是（）A．M＝{（x，y）|y﹣lnx＝0}B．M＝{（x，y）|y﹣x2﹣1＝0}C．M＝{（x，y）|（x﹣2）2+y2﹣2＝0}D．M＝{（x，y）|x2﹣2y2﹣1＝0}【解答】解：由x1x2+y1y2＝0得OP1⊥OP2，即存在两点与原点连线互相垂直；A．取（e，1）∈M，（）∈M，有；B．取（2，2），（﹣2，2）∈M，有2•（﹣2）+2•2＝0；C．取（1，1），（1，﹣1），有1•1+1•（﹣1）＝0；D．x2﹣2y2＝1，渐近线方程为：，容易知道这两条渐近线夹角小于90°，所以不存在两点和原点的连线相互垂直，即该选项正确．故选：D．二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．11．（5分）以平面直角坐标系的原点为极点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，两种坐标系中取相同的长度单位，直线l的参数方程为（t 为参数），曲线C的极坐标方程为p＝2cosθ，则t与C公共点的个数为两个．【解答】解：直线l的参数方程为（t为参数）转化为直角坐标方程为：x+y＝2曲线C的极坐标方程为p＝2cosθ转化为直角坐标方程为：（x﹣1）2+y2＝1利用圆心到直线的距离：d＝＜1则：t与C公共点的个数为两个．故答案为：t与C公共点的个数为两个．12．（5分）（x2+）6的展开式中常数项是15．（用数字作答）【解答】解：设通项公式为，整理得C6r x12﹣3r，因为是常数项，所以12﹣3r＝0，所以r＝4，故常数项是c64＝15故答案为15．13．（5分）直线x＝1与抛物线y2＝4x围成图形的面积是．【解答】解：联立直线x＝1与抛物线y2＝4x构成方程组得解得x＝1，y ＝±2．故直线x＝1与抛物线y2＝4x围成图形的面积S＝（1﹣）dy＝（y﹣）|＝4﹣＝，故答案为：14．（5分）在△ABC中，已知||2＝（+）•，则＝5．【解答】解：在△ABC中，∵||2＝（+）•，则有||2＝（+）•（﹣）＝﹣CA2，∴c2＝a2﹣b2．则＝＝＝＝5，故答案为：5．15．（5分）已知数列A：a1，a2，a3，…，a n（0≤a1＜a2＜a3＜…＜a n，n≥3，n∈N*）具有性质P：对任意的i，j（1≤i≤j≤n，i，j∈N*），a j+a i与a j﹣a i两数中至少有一个是数列A中的项，现下列命题正确的是：②③④．（写出所有正确答案的序号）①数列A：0，1，3与数列B：0，2，4，6都具有性质P；②a1＝0；③2（a1+a2+a3+…+a n）＝na n；④当n＝5时，a1，a2，a3，a4，a5成等差数列．【解答】解：对于①因为1+3＝4，3﹣1＝2，都不是数列A中的项，故命题①错误；对于②，考查该数列中的最大项a n，显然a n+a n＝2a n不是数列中的项，则必有a n﹣a n＝0属于该数列，故0∈A，且a1＝0，故②正确；对于③若数列A具有该性质P，设a n是最大项，则具有性质，不在A中，则a n﹣a i是数列A中的项，则依题意：a n﹣a n＜a n﹣a n﹣1＜a n﹣a n﹣2＜…＜a n﹣a2＜a n﹣a1，则由给的数列A的性质可知；a n﹣a n＝a1，a n﹣a n﹣1＝a2，a n﹣a n﹣2＝a3，…a n﹣a2＝a n﹣1，a n﹣a1＝a n，将前面n个式子相加得：na n﹣（a1+a2+a3+…a n﹣1+a n）＝a1+a2+a3+…+a n﹣1+a n，故na n＝2（a1+a2+a3+…a n﹣1+a n），故③正确；对于④，当n＝5时，因为a1＝0，a2﹣a1＝a2，且⇒⇒2a3＝a4+a2⇒2a3＝a4+a2，而a4+a3＞2a3＝a5不是数列A中的项，则a4﹣a3是数列A中的项，所以a1＜a4﹣a3＜a5﹣a3＝a3，所以a4﹣a3＝a2，所以a2﹣a1＝a3﹣a2＝a4﹣a5＝a5﹣a4，故④成立．故答案为：②③④三、解答：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．16．（12分）一档电视闯关节目规定：三人参加，三人同时闯关成功为一等奖，资金为2000元，三人中有两人闯关成功为二等奖，资金为1000元，三人中有一人闯关成功为三等奖，资金为400元，其它情况不得奖，现有甲乙丙三人参加此活动，甲乙闯关成功的概率都为，丙闯关成功的概率为，三人闯关相互独立．（Ⅰ）求得一等奖的概率；（Ⅱ）求得资金的数学期望．【解答】解：（1）获得一等奖的概率＝．（4分）2）二等奖的概率p2＝＝．（6分）三等奖的概率P3＝＝，（8分）不得奖的概率P4＝＝，∴X的分布列为：（10分）奖金的数学期望EX＝＝937.5．（12分）17．（12分）如图，直角三角形ABC中，∠ACB＝90°，AB＝2BC＝4，D、E 分别为AC、AB边的中点．将△ADE沿DF折起，使二面角A﹣DE﹣C的余弦值为，求：（Ⅰ）四棱锥A﹣BCDE的体积；（Ⅱ）二面角A﹣BE﹣C的余弦值．【解答】解：（Ⅰ）∵D，E是边AC、AB的中点，∴DE是△ABC的中位线，∵直角三角形ABC中，∠ACB＝90°，∴DE⊥AC，∵DE⊥AD，DE⊥DC，AD∩DC＝D，∴DE⊥平面ADC，∴平面ADC⊥平面CBED，过点A作AM⊥CD，则AM⊥面CBED，∵∠ADC为二面角A﹣DE﹣C的平面角，∴cos∠ADC＝，（3分），DM＝，＝＝．（6分）∴V A﹣BCDE（Ⅱ）∵DE＝1，DM＝，∴EM＝，∵MC＝，BC＝2，∴BM＝，BE＝2，BM2＝EM2+BE2，∴ME⊥BE，∵AM⊥BE，AM∩ME＝M，∴BE⊥平面AME，∴BE⊥AE．（10分）∴∠AEM为二面角A﹣BE﹣C的平面角，∴cos∠AEM＝＝．（12分）18．（12分）三角形ABC中，角A，B，C所对的边为a，b，c且+＝2．（Ⅰ）求A；（Ⅱ）若a＝2，求三角形ABC周长l的最大值．【解答】解：（Ⅰ）三角形ABC中，角A，B，C所对的边为a，b，c且+＝2由正弦定理得：sin2A＝sin（B+C）则：B+C＝2AA＝60°（Ⅱ）由正弦定理：b＝c＝l＝2++＝2+4（）＝2+4sin（C+）当C＝时，l max＝6故答案为：（1）A＝60°（2）当C＝时，l max＝619．（12分）数列{a n}是公比为的等比数列，且1﹣a2是a1与1+a3的等比中项，前n项和为S n，数列{b n}是等差数列，b1＝8，前n项和T n满足T n＝nλ•b n+1（λ为常数，且λ≠1）．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式及λ的值；（Ⅱ）令∁n＝++…+，求证：∁n≤S n．【解答】解：（Ⅰ）∵数列{a n}是公比为的等比数列，且1﹣a2是a1与1+a3的等比中项，∴（1﹣a2）2＝a1（1+a3），解得，∴，（2分）由已知得，从而，解得，d＝8，解得b n＝8n．（4分）（Ⅱ）c n＝＝（1﹣）＝，＝，（8分）c n≤，即，∴n+1≤2n，（9分）当n＝1时，2n＝n+1，（10分）当n≥2时，2n＝（1+1）n＝＝1+n+…+1＞n+1．∴n+1≤2n成立．∴∁n≤S n．（12分）20．（13分）已知椭圆E1：+＝1，E2：+＝2，过E1上第一象限上一点P作E1的切线，交于E2于A，B两点．（Ⅰ）已知x2+y2＝r2上一点P（x0，y0），则过点P（x0，y0）的切线方程为xx0+yy0＝r2．类比此结论，写出椭圆+＝1在其上一点P（x0，y0）的切线方程，并证明；（Ⅱ）求证：|AP|＝|BP|．【解答】（Ⅰ）解：切线方程在第一象限内，由+＝1可得y＝﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（2分）椭圆在点P处的切线斜率k＝﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（4分）切线方程为y＝﹣（x﹣x0）+y0，即．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（6分）（Ⅱ）证明：设A（x1，y1），B（x2，y2），则与+＝2联立可得（）x2﹣x+﹣2a2b2＝0﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（9分）所以（x1+x2）＝•＝x0，所以P为A，B中点，所以|AP|＝|BP|．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（13分）21．（14分）已知函数f（x）＝﹣lnx++（1﹣a）x+2．（Ⅰ）当a＞0时，求函数f（x）的单调区间；（Ⅱ）若0＜x＜1，求证：f（1+x）＜f（1﹣x）；（Ⅲ）若A（x1，y1），B（x2，y2）为函数y＝f（x）的图象上的两点，记k为直线AB的斜率，若x0＝，f′（x）为f（x）的导函数，求证：f′（x0）＞k．【解答】解：（Ⅰ）f′（x）＝﹣+ax+（1﹣a）＝，∴当0＜x＜1时，f′（x）＜0，f（x）单调递减，当x＞1时，f′（x）＞0，f（x）单调递增；（Ⅱ）f（1+x）﹣f（1﹣x）＝ln（1﹣x）﹣ln（1+x）+2x，令g（x）＝ln（1﹣x）﹣ln（1+x）+2x，∴g′（x）＝，∵0＜x＜1，g′（x）＜0，g（x）单调递减，∴g（x）＜g（0）＝0．∴f（1+x）＜f（1﹣x）．（Ⅲ）k＝＝+a（x2﹣x1）+1﹣a，f′（x0）＝﹣+ax0+1﹣a＞+a（x2﹣x1）+1﹣a，⇔＜⇔ln＞2，令x2＞x1＞0，＝t，（0＜t＜1），∴＝，ln＞2⇔ln＞2t⇔ln（1+t）﹣ln（1﹣t）+2t＜0，由（Ⅱ）可知上式成立．∴f′（x0）＞k成立．。

安徽2015届高三高考冲刺模拟卷(一)数学理试题(扫描版含答案)

第Ⅰ卷一、选择题：本题共10小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.B2.B3.A4.C5.B6.D7.C8.D9. C 10. D 7.C解析：设切点00(,)P x y ，则切线的斜率为0'0|2x x yx ==.由题意有002y x x =又2001y x =+ 解得: 201,2,b x e a =∴===8.D 解析：,,a b c 是单位向量()()2()a c b c a b a b c c∴-∙-=-++21,1->≥+<+=故选D.9. C解析：结合长方体的对角线在三个面的投影来理解计算。

如图设长方体的长宽高分别为,,m n k ，由题意得，=1n ⇒=a =b =，所以22(1)(1)6a b -+-=228a b ⇒+=，22222()282816a b a ab b ab a b +=++=+≤++=∴ 4a b ⇒+≤当且仅当2a b ==时取等号。

10. D解析：由|f (x )|≤M |x |对x ∈R 恒成立，知⎪⎪⎪⎪⎪⎪f (x )x max≤M .①中⎪⎪⎪⎪⎪⎪f (x )x ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪1x ∈(0，＋∞)，故不存在常数M 使不等式恒成立；②中⎪⎪⎪⎪⎪⎪f (x )x ＝|x |∈[0，＋∞)，故不存在常数M 使不等式恒成立； ③中⎪⎪⎪⎪⎪⎪f (x )x ＝|sin x ＋cos x |＝2⎪⎪⎪⎪⎪⎪sin (x ＋π4)≤2，故存在M 使不等式恒成立； ④中⎪⎪⎪⎪⎪⎪f (x )x ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪1x 2＋x ＋1＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪1(x ＋12)2＋34≤43，故存在M 使不等式恒成立．卷Ⅱ（非选择题，共100分）二、填空题（本题共5道小题，每题5分，共25分；将答案直接答在答题卷上指定的位置）11. a ＝2.612.解析画出可行域，知当直线y ＝a 在x －y ＋5＝0与y 轴的交点(0,5)和x －y ＋5＝0与x ＝2的交点(2,7)之间移动时平面区域是三角形，故5≤a <7. 答案 [5,7)13. 解析：选出 1 5 9 的颜色有3种,再考虑4 8的颜色，48可以相同这时有48只有两种颜色可选，而7则有三种颜色可选，即2×3=6种同理，263的选法也和478的选法一样，有6种,因此共有3x6x6=108种选法。

安徽省名校联盟2015届高考数学一模试卷理(含解析)

2015年安徽省名校联盟高考数学一模试卷（理科）一、选择题（共10小题，每小题5分，满分50分，只有一个选项符号题目要求）1．已知集合A={x|x2﹣2x＜0}，B={x|＞0}，则A∩（∁R B）=（）A．{x|0＜x＜1} B．{x|1≤x＜2} C．{x|0＜x≤1}D．{x|1＜x＜2}2．已知i是虚数单位，则复数等于（）A．﹣ +i B．﹣ +i C．﹣i D．﹣i3．某校在暑假组织社会实践活动，将8名高一年级学生，平均分配甲、乙两家公司，其中两名英语成绩优秀学生不能分给同一个公司；另三名电脑特长学生也不能分给同一个公司，则不同的分配方案有（）A．36种B．38种C．108种D．114种4．执行如图所示的程序框图，若输入的x的值为2，则输出的x的值为（）A．3 B．126 C．127 D．1285．某几何体的三视图如图所示，该几何体的体积是（）A．B．C． D．6．在数列{a n}中，a1=3，a n+1a n+2=2a n+1+2a n（n∈N+），则该数列的前2015项的和是（）A．7049 B．7052 C．14098 D．141017．已知双曲线﹣=1的一个焦点与抛物线y2=4x的焦点重合，且双曲线的渐近线方程为y=±x，则该双曲线的方程为（）A．﹣=1 B．﹣y2=1 C．x2﹣=1 D．﹣=18．在正方体8个顶点中任选3个顶点连成三角形，则所得的三角形是等腰直角三角形的概率为（）A．B．C．D．9．设定义域为（0，+∞）的单调函数f（x），对任意的x∈（0，+∞），都有f[f（x）﹣lnx]=e+1，若x0是方程f（x）﹣f′（x）=e的一个解，则x0可能存在的区间是（）A．（0，1） B．（e﹣1，1）C．（0，e﹣1）D．（1，e）10．如图，已知双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的左右焦点分别为F1，F2，|F1F2|=4，P是双曲线右支上一点，直线PF2交y轴于点A，△AF1P的内切圆切边PF1于点Q，若|PQ|=1，则双曲线的渐近线方程为（）A．y=±x B．y=±3x C．y=±x D．y=±x二、填空题（共5小题，每小题5分，满分25分）11．已知α为钝角，sin（+α）=，则sin（﹣α）= ．12．直线l：（t为参数）与圆C：（θ为参数）相交所得的弦长的取值范围是．13．设等差数列{a n}的前n项和为S n，若﹣1＜a3＜1，0＜a6＜3，则S9的取值范围是．14．若正数m、n满足mn﹣m﹣n=3，则点（m，0）到直线x﹣y+n=0的距离最小值是．15．如图所示，正方体ABCD﹣A′B′C′D′的棱长为1，E、F分别是棱AA′，CC′的中点，过直线EF的平面分别与棱BB′、DD′交于M、N，设BM=x，x∈[0，1]，给出以下四个命题：①平面MENF⊥平面BDD′B′；②当且仅当x=时，四边形MENF的面积最小；③四边形MENF周长l=f（x），x∈0，1]是单调函数；④四棱锥C′﹣MENF的体积v=h（x）为常函数；以上命题中真命题的序号为．三、解答题（共6小题，满分75分）16．△ABC中，角A，B，C所对的边之长依次为a，b，c，且cosA=，5（a2+b2﹣c2）=3ab．（Ⅰ）求cos2C和角B的值；（Ⅱ）若a﹣c=﹣1，求△ABC的面积．17．某校举办学生综合素质大赛，对该校学生进行综合素质测试，学校对测试成绩（10分制）大于或等于7.5的学生颁发荣誉证书，现从A和B两班中各随机抽5名学生进行抽查，其成绩记录如下：由于表格被污损，数据x，y看不清，统计人员只记得x＜y，且A和B两班被抽查的5名学生成绩的平均值相等，方差也相等．（Ⅰ）若从B班被抽查的5名学生中任抽取2名学生，求被抽取2学生成绩都颁发了荣誉证书的概率；（Ⅱ）从被抽查的10名任取3名，X表示抽取的学生中获得荣誉证书的人数，求X的期望．18．如图，椭圆C1：的离心率为，x轴被曲线C2：y=x2﹣b截得的线段长等于椭圆C1的短轴长．C2与y轴的交点为M，过点M的两条互相垂直的直线l1，l2分别交抛物线于A、B两点，交椭圆于D、E两点，（Ⅰ）求C1、C2的方程；（Ⅱ）记△MAB，△MDE的面积分别为S1、S2，若，求直线AB的方程．19．如图，四面体ABCD中，平面ABC⊥平面BCD，AC=AB，CB=CD，∠DCB=120°，点E在BD 上，且CE=DE．（Ⅰ）求证：AB⊥CE；（Ⅱ）若AC=CE，求二面角A﹣CD﹣B的余弦值．20．已知数列{a n}满足a1=，a n+1=a n+（n∈N*）．证明：对一切n∈N*，有（Ⅰ）＜；（Ⅱ）0＜a n＜1．21．已知函数f（x）=lnx﹣a（1﹣），a∈R．（Ⅰ）求f（x）的单调区间；（Ⅱ）若f（x）的最小值为0．（i）求实数a的值；（ii）已知数列{a n}满足：a1=1，a n+1=f（a n）+2，记[x]表示不大于x的最大整数，求证：n ＞1时[a n]=2．2015年安徽省名校联盟高考数学一模试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（共10小题，每小题5分，满分50分，只有一个选项符号题目要求）1．已知集合A={x|x2﹣2x＜0}，B={x|＞0}，则A∩（∁R B）=（）A．{x|0＜x＜1} B．{x|1≤x＜2} C．{x|0＜x≤1}D．{x|1＜x＜2}【考点】交、并、补集的混合运算．【专题】集合．【分析】分别求出A与B中不等式的解集，确定出A与B，根据全集R求出B的补集，找出A与B补集的交集即可．【解答】解：∵集合A={x|x2﹣2x＜0}，B={x|＞0}，∴A={x|0＜x＜2}，B={x|x＞1，或x＜﹣1}，∴∁R B═{x|﹣1≤x≤1}，∴A∩（∁R B）={x|0＜x≤1}，故选：C【点评】此题考查了交、并、补集的混合运算，熟练掌握各自的定义是解本题的关键．2．已知i是虚数单位，则复数等于（）A．﹣ +i B．﹣ +i C．﹣i D．﹣i【考点】复数代数形式的乘除运算．【专题】数系的扩充和复数．【分析】利用复数的运算法则即可得出．【解答】解：复数===，故选：A．【点评】本题考查了复数的运算法则，属于基础题．3．某校在暑假组织社会实践活动，将8名高一年级学生，平均分配甲、乙两家公司，其中两名英语成绩优秀学生不能分给同一个公司；另三名电脑特长学生也不能分给同一个公司，则不同的分配方案有（）A．36种B．38种C．108种D．114种【考点】计数原理的应用．【专题】排列组合．【分析】分类讨论：①甲部门要2个电脑特长学生和一个英语成绩优秀学生；②甲部门要1个电脑特长学生和1个英语成绩优秀学生．分别求得这2个方案的方法数，再利用分类计数原理，可得结论．【解答】解：由题意可得，有2种分配方案：①甲部门要2个电脑特长学生，则有3种情况；英语成绩优秀学生的分配有2种可能；再从剩下的3个人中选一人，有3种方法．根据分步计数原理，共有3×2×3=18种分配方案．②甲部门要1个电脑特长学生，则方法有3种；英语成绩优秀学生的分配方法有2种；再从剩下的3个人种选2个人，方法有33种，共3×2×3=18种分配方案．由分类计数原理，可得不同的分配方案共有18+18=36种，故选A．【点评】本题考查计数原理的运用，根据题意分步或分类计算每一个事件的方法数，然后用乘法原理和加法原理计算，是解题的常用方法．4．执行如图所示的程序框图，若输入的x的值为2，则输出的x的值为（）A．3 B．126 C．127 D．128【考点】程序框图．【专题】算法和程序框图．【分析】分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是利用循环计算x值并输出，模拟程序的运行过程，即可得到答案．【解答】解：当输出的x=2时，执行循环体后，x=3，不满足退出循环的条件，当x=3时，执行循环体后，x=7，不满足退出循环的条件，当x=7时，执行循环体后，x=127，满足退出循环的条件，故输出的x值为127故选：C【点评】本题考查的知识点是程序框图，在写程序的运行结果时，模拟程序的运行过程是解答此类问题最常用的办法．5．某几何体的三视图如图所示，该几何体的体积是（）A．B．C． D．【考点】由三视图求面积、体积．【专题】计算题；空间位置关系与距离．【分析】根据已知中的三视图可分析出该几何体的直观图，代入棱锥体积公式可得答案．【解答】解：几何体如图所示，则V=，故选：A．【点评】本题考查的知识点是由三视图求体积，正确得出直观图是解答的关键．6．在数列{a n}中，a1=3，a n+1a n+2=2a n+1+2a n（n∈N+），则该数列的前2015项的和是（）A．7049 B．7052 C．14098 D．14101【考点】数列的求和；数列递推式．【专题】等差数列与等比数列．【分析】a n+1a n+2=2a n+1+2a n（n∈N+），变形（a n+1﹣2）（a n﹣2）=2，当n≥2时，（a n﹣2）（a n﹣1﹣2）=2，两式相除可得a n+1=a n﹣1，可得数列{a n}是周期为2的周期数列．即可得出．【解答】解：∵a n+1a n+2=2a n+1+2a n（n∈N+），∴（a n+1﹣2）（a n﹣2）=2，当n≥2时，（a n﹣2）（a n﹣1﹣2）=2，∴，可得a n+1=a n﹣1，因此数列{a n}是周期为2的周期数列．a1=3，∴3a2+2=2a2+2×3，解得a2=4，∴S2015=1007（3+4）+3=7052．【点评】本题考查了数列的周期性，考查了计算能力，属于中档题．7．已知双曲线﹣=1的一个焦点与抛物线y2=4x的焦点重合，且双曲线的渐近线方程为y=±x，则该双曲线的方程为（）A．﹣=1 B．﹣y2=1 C．x2﹣=1 D．﹣=1【考点】双曲线的简单性质．【专题】计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】首先根据双曲线的焦点和抛物线的焦点重合，建立a，b，c的关系式，进一步利用双曲线的渐近线建立关系式，进一步确定a和b的值，最后求出双曲线的方程．【解答】解：已知抛物线y2=4x的焦点和双曲线的焦点重合，则双曲线的焦点坐标为（，0），即c=，又因为双曲线的渐近线方程为y=±x，则有a2+b2=c2=10和=，解得a=3，b=1．所以双曲线的方程为：﹣y2=1．故选B．【点评】本题主要考查的知识要点：双曲线方程的求法，渐近线的应用．属于基础题．8．在正方体8个顶点中任选3个顶点连成三角形，则所得的三角形是等腰直角三角形的概率为（）A．B．C．D．【考点】列举法计算基本事件数及事件发生的概率．【专题】概率与统计．【分析】总的事件数是C83，而从正方体的8个顶点中任取3个顶点可形成的等腰直角三角形的个数按所选取的三个顶点是只能是来自于该正方体的同一个面．根据概率公式计算即可．【解答】解：正方体8个顶点中任选3个顶点连成三角形，所得的三角形是等腰直角三角形只能在各个面上，在每一个面上能组成等腰直角三角形的有四个，所以共有4×6=24个，而在8个点中选3个点的有C83=56，所以所求概率为=故选：C【点评】本题是一个古典概型问题，学好古典概型可以为其它概率的学习奠定基础，同时有利于理解概率的概念，有利于计算一些事件的概率，有利于解释生活中的一些问题．9．设定义域为（0，+∞）的单调函数f（x），对任意的x∈（0，+∞），都有f[f（x）﹣lnx]=e+1，若x0是方程f（x）﹣f′（x）=e的一个解，则x0可能存在的区间是（）A．（0，1） B．（e﹣1，1）C．（0，e﹣1）D．（1，e）【考点】函数零点的判定定理；导数的运算．【专题】函数的性质及应用．【分析】由题意知：f（x）﹣lnx为常数，令f（x）﹣lnx=k（常数），则f（x）=lnx+k．由f[f（x）﹣lnx]=e+1，得f（k）=e+1，又f（k）=lnk+k=e+1，所以f（x）=lnx+e，再用零点存在定理验证，【解答】解：由题意知：f（x）﹣lnx为常数，令f（x）﹣lnx=k（常数），则f（x）=lnx+k．由f[f（x）﹣lnx]=e+1，得f（k）=e+1，又f（k）=lnk+k=e+1，所以f（x）=lnx+e，f′（x）=，x＞0．∴f（x）﹣f′（x）=lnx﹣+e，令g（x）=lnx﹣+﹣e=lnx﹣，x∈（0，+∞）可判断：g（x）=lnx﹣，x∈（0，+∞）上单调递增，g（1）=﹣1，g（e）=1﹣＞0，∴x0∈（1，e），g（x0）=0，∴x0是方程f（x）﹣f′（x）=e的一个解，则x0可能存在的区间是（1，e）故选：D．【点评】本题考查了函数的单调性，零点的判断，构造思想，属于中档题．10．如图，已知双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的左右焦点分别为F1，F2，|F1F2|=4，P是双曲线右支上一点，直线PF2交y轴于点A，△AF1P的内切圆切边PF1于点Q，若|PQ|=1，则双曲线的渐近线方程为（）A．y=±x B．y=±3x C．y=±x D．y=±x【考点】双曲线的简单性质．【专题】直线与圆；圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】设内切圆与AP切于点M，与AF1切于点N，|PF1|=m，|QF1|=n，由双曲线的定义可得|PF1|﹣|PF2|=2a，即有m﹣（n﹣1）=2a，①运用对称性和切线的性质可得m﹣1=n，②，可得a=1，再由c=2，可得b，结合渐近线方程即可得到．【解答】解：设内切圆与AP切于点M，与AF1切于点N，|PF1|=m，|QF1|=n，由双曲线的定义可得|PF1|﹣|PF2|=2a，即有m﹣（n﹣1）=2a，①由切线的性质可得|AM|=|AN|，|NF1|=|QF1|=n，|MP|=|PQ|=1，|MF2|=|NF1|=n，即有m﹣1=n，②由①②解得a=1，由|F1F2|=4，则c=2，b==，由双曲线﹣=1的渐近线方程为y=±x，即有渐近线方程为y=x．故选D．【点评】本题考查双曲线的方程和性质，考查切线的性质，运用对称性和双曲线的定义是解题的关键．二、填空题（共5小题，每小题5分，满分25分）11．已知α为钝角，sin（+α）=，则sin（﹣α）= ﹣．【考点】两角和与差的正弦函数；运用诱导公式化简求值．【专题】计算题；三角函数的求值．【分析】运用的诱导公式求出cos（）的值，根据α为钝角，求出的取值范围，确定sin（）的符号，运用同角三角函数的平方关系即可得到结果．【解答】解：∵sin（+α）=，∴cos（﹣α）=cos[﹣（+α）]=sin（+α）=，∵α为钝角，即＜α＜π，∴＜﹣，∴sin（﹣α）＜0，∴sin（﹣α）=﹣=﹣=﹣，故答案为：﹣．【点评】本题考查运用诱导公式求三角函数值，注意不同角之间的关系，正确选择公式，运用平方关系时，必须注意角的范围，以确定函数值的符号．12．直线l：（t为参数）与圆C：（θ为参数）相交所得的弦长的取值范围是[4，16] ．【考点】参数方程化成普通方程．【专题】直线与圆；坐标系和参数方程．【分析】把直线与圆的参数方程化为普通方程，画出图形，结合图形，求出直线被圆截得的弦长的最大值与最小值即可．【解答】解：直线l：（t为参数），化为普通方程是=，即y=tanα•x+1；圆C的参数方程（θ为参数），化为普通方程是（x﹣2）2+（y﹣1）2=64；画出图形，如图所示；∵直线过定点（0，1），∴直线被圆截得的弦长的最大值是2r=16，最小值是2=2×=2×=4∴弦长的取值范围是[4，16]．故答案为：[4，16]．【点评】本题考查了直线与圆的参数方程的应用问题，解题时先把参数方程化为普通方程，再画出图形，数形结合，容易解答本题．13．设等差数列{a n}的前n项和为S n，若﹣1＜a3＜1，0＜a6＜3，则S9的取值范围是（﹣3，21）．【考点】等差数列的前n项和．【专题】等差数列与等比数列．【分析】利用等差数列的通项公式和前n项和公式及其“待定系数法”即可得出．【解答】解：∵数列{a n}是等差数列，∴S9=9a1+36d=x（a1+2d）+y（a1+5d）=（x+y）a1+（2x+5y）d，由待定系数法可得，解得x=3，y=6．∵﹣3＜3a3＜3，0＜6a6＜18，∴两式相加即得﹣3＜S9＜21．∴S9的取值范围是（﹣3，21）．故答案为：（﹣3，21）．【点评】本题考查了等差数列的通项公式和前n项和公式及其“待定系数法”等基础知识与基本技能方法，属于中档题．14．若正数m、n满足mn﹣m﹣n=3，则点（m，0）到直线x﹣y+n=0的距离最小值是．【考点】点到直线的距离公式．【专题】直线与圆．【分析】把已知的等式变形，得到（m﹣1）（n﹣1）≥4，写出点到直线的距离，然后利用基本不等式得答案．【解答】解：点（m，0）到直线x﹣y+n=0的距离为d=，∵mn﹣m﹣n=3，∴（m﹣1）（n﹣1）=4，（m﹣1＞0，n﹣1＞0），∴（m﹣1）+（n﹣1）≥2，∴m+n≥6，则d=≥3．故答案为：．【点评】本题考查了的到直线的距离公式，考查了利用基本不等式求最值，是基础题．15．如图所示，正方体ABCD﹣A′B′C′D′的棱长为1，E、F分别是棱AA′，CC′的中点，过直线EF的平面分别与棱BB′、DD′交于M、N，设BM=x，x∈[0，1]，给出以下四个命题：①平面MENF⊥平面BDD′B′；②当且仅当x=时，四边形MENF的面积最小；③四边形MENF周长l=f（x），x∈0，1]是单调函数；④四棱锥C′﹣MENF的体积v=h（x）为常函数；以上命题中真命题的序号为①②④．【考点】命题的真假判断与应用；棱柱、棱锥、棱台的体积；平面与平面垂直的判定．【专题】空间位置关系与距离．【分析】①利用面面垂直的判定定理去证明EF⊥平面BDD′B′．②四边形MENF的对角线EF是固定的，所以要使面积最小，则只需MN的长度最小即可．③判断周长的变化情况．④求出四棱锥的体积，进行判断．【解答】解：①连结BD，B′D′，则由正方体的性质可知，EF⊥平面BDD′B′，所以平面MENF⊥平面BDD′B′，所以①正确．②连结MN，因为EF⊥平面BDD′B′，所以EF⊥MN，四边形MENF的对角线EF是固定的，所以要使面积最小，则只需MN的长度最小即可，此时当M为棱的中点时，即x=时，此时MN 长度最小，对应四边形MENF的面积最小．所以②正确．③因为EF⊥MN，所以四边形MENF是菱形．当x∈[0，]时，EM的长度由大变小．当x∈[，1]时，EM的长度由小变大．所以函数L=f（x）不单调．所以③错误．④连结C′E，C′M，C′N，则四棱锥则分割为两个小三棱锥，它们以C′EF为底，以M，N 分别为顶点的两个小棱锥．因为三角形C′EF的面积是个常数．M，N到平面C'EF的距离是个常数，所以四棱锥C'﹣MENF的体积V=h（x）为常函数，所以④正确．故答案为：①②④．【点评】本题考查空间立体几何中的面面垂直关系以及空间几何体的体积公式，本题巧妙的把立体几何问题和函数进行的有机的结合，综合性较强，设计巧妙，对学生的解题能力要求较高．三、解答题（共6小题，满分75分）16．△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边之长依次为a ，b ，c ，且cosA=，5（a 2+b 2﹣c 2）=3ab ．（Ⅰ）求cos2C 和角B 的值；（Ⅱ）若a ﹣c=﹣1，求△ABC 的面积．【考点】正弦定理；余弦定理．【专题】解三角形．【分析】（Ⅰ）利用已知5（a 2+b 2﹣c 2）=3ab 代入余弦定理公式求得cosC 的值，利用同角三角函数关系求得sinC 的值，进而利用二倍角公式求得cos2C 的值；通过cosA 求得sinA 的值，最后利用两角和公式取得sin （A+C ）的值，进而取得sinB 的值，求得B ．（Ⅱ）利用正弦定理求得a 和c 的关系式，代入a ﹣c=﹣1求得a 和c ，最后利用三角形面积公式求得答案．【解答】解：（I ）由∵cosA=，0＜A ＜π，∴sinA==，∵5（a 2+b 2﹣c 2）=3ab ，∴cosC==， ∵0＜C ＜π，∴sinC==，∴cos2C=2cos 2C ﹣1=，∴cosB=﹣cos （A+C ）=﹣cosAcosC+sinAsinC=﹣×+×=﹣∵0＜B ＜π，∴B=．（II）∵=，∴a==c，∵a﹣c=﹣1，∴a=，c=1，∴S=acsinB=××1×=．【点评】本题主要考查了正弦定理和余弦定理的综合运用，两角和与差的正弦公式等知识．考查学生对基础知识的综合运用．17．某校举办学生综合素质大赛，对该校学生进行综合素质测试，学校对测试成绩（10分制）大于或等于7.5的学生颁发荣誉证书，现从A和B两班中各随机抽5名学生进行抽查，其成绩记录如下：由于表格被污损，数据x，y看不清，统计人员只记得x＜y，且A和B两班被抽查的5名学生成绩的平均值相等，方差也相等．（Ⅰ）若从B班被抽查的5名学生中任抽取2名学生，求被抽取2学生成绩都颁发了荣誉证书的概率；（Ⅱ）从被抽查的10名任取3名，X表示抽取的学生中获得荣誉证书的人数，求X的期望．【考点】离散型随机变量的期望与方差；离散型随机变量及其分布列．【专题】综合题；概率与统计．【分析】（Ⅰ）分别求出A和B的平均数和方差，由，得x+y=17，由，得（x﹣8）2+（y﹣8）2=1，由x＜y，得x=8，y=9，记“2名学生都颁发了荣誉证书”为事件C，则事件C包含个基本事件，共有个基本事件，由此能求出2名学生颁发了荣誉证书的概率．（Ⅱ）由题意知X所有可能的取值为0，1，2，3，分别求出相应的概率，由此能求出X的期望．【解答】解：（Ⅰ）∵（7+7+7.5+9+9.5）=8，=（6+x+8.5+8.5+y），∵，∴x+y=17，①∵，=，∵，得（x﹣8）2+（y﹣8）2=1，②由①②解得或，∵x＜y，∴x=8，y=9，记“2名学生都颁发了荣誉证书”为事件C，则事件C包含个基本事件，共有个基本事件，∴P（C）=，即2名学生颁发了荣誉证书的概率为．（Ⅱ）由题意知X所有可能的取值为0，1，2，3，P（X=0）==，P（X=1）==，P（X=2）==，P（X=3）==，EX==．【点评】本题考查概率的求法，考查离散型随机变量的方差的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意平均值和方差的计算和应用．18．如图，椭圆C1：的离心率为，x轴被曲线C2：y=x2﹣b截得的线段长等于椭圆C1的短轴长．C2与y轴的交点为M，过点M的两条互相垂直的直线l1，l2分别交抛物线于A、B两点，交椭圆于D、E两点，（Ⅰ）求C1、C2的方程；（Ⅱ）记△MAB，△MDE的面积分别为S1、S2，若，求直线AB的方程．【考点】直线与圆锥曲线的综合问题．【专题】综合题；圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】（Ⅰ）椭圆C1：的离心率为，x轴被曲线C2：y=x2﹣b 截得的线段长等于椭圆C1的短轴长，建立方程，求出几何量，即可求C1、C2的方程；（Ⅱ）设直线MA、MB的方程与y=x2﹣1联立，求得A，B的坐标，进而可表示S1，直线MA、MB的方程与椭圆方程联立，求得D，E的坐标，进而可表示S2，利用，即可求直线AB 的方程．【解答】解：（Ⅰ）∵椭圆C1：的离心率为，∴a2=2b2，令x2﹣b=0可得x=±，∵x轴被曲线C2：y=x2﹣b截得的线段长等于椭圆C1的短轴长，∴2=2b，∴b=1，∴C1、C2的方程分别为，y=x2﹣1；…（Ⅱ）设直线MA的斜率为k1，直线MA的方程为y=k1x﹣1与y=x2﹣1联立得x2﹣k1x=0∴x=0或x=k1，∴A（k1，k12﹣1）同理可得B（k2，k22﹣1）…∴S1=|MA||MB|=•|k1||k2|…y=k1x﹣1与椭圆方程联立，可得D（），同理可得E（）…∴S2=|MD||ME|=••…∴若则解得或∴直线AB的方程为或…【点评】本题考查椭圆的标准方程，考查直线与抛物线、椭圆的位置关系，考查三角形面积的计算，联立方程，确定点的坐标是关键．19．如图，四面体ABCD中，平面ABC⊥平面BCD，AC=AB，CB=CD，∠DCB=120°，点E在BD 上，且CE=DE．（Ⅰ）求证：AB⊥CE；（Ⅱ）若AC=CE，求二面角A﹣CD﹣B的余弦值．【考点】二面角的平面角及求法；空间中直线与直线之间的位置关系．【专题】空间位置关系与距离；空间角．【分析】（Ⅰ）由已知得∠CDB=30°，∠DCE=30°，∠BCE=90°，从而EC⊥BC，由平面ABC⊥平面BCD，得EC⊥平面ABC，由此能证明EC⊥AB．（Ⅱ）取BC的中点O，BE中点F，连结OA，OF，以O为原点，OB为y轴，OA为z轴，建立空间直角坐标系，求出平面ACD的法向量和平面BCD的法向量，由此利用向量法能注出二面角A﹣CD﹣B的余弦值．【解答】解：（Ⅰ）证明：△BCD中，CB=CD，∠BCD=120°，∴∠CDB=30°，∵EC=DE，∴∠DCE=30°，∠BCE=90°，∴EC⊥BC，又∵平面ABC⊥平面BCD，平面ABC与平面BCD的交线为BC，∴EC⊥平面ABC，∴EC⊥AB．（Ⅱ）解：取BC的中点O，BE中点F，连结OA，OF，∵AC=AB，∴AO⊥BC，∵平面ABC⊥平面BCD，平面ABC∩平面BCD=BC，∴AO⊥平面BCD，∵O是BC中点，F是BE中点，∴OF⊥BC，以O为原点，OB为y轴，OA为z轴，建立空间直角坐标系，设DE=2，则A（0，0，1），B（0，，0），C（0，﹣，0），D（3，﹣2，0），∴=（0，﹣，﹣1），=（3，﹣，0），设平面ACD的法向量为=（x，y，z），则，取x=1，得=（1，，﹣3），又平面BCD的法向量=（0，0，1），∴cos＜＞==﹣，∴二面角A﹣CD﹣B的余弦值为．【点评】本小题主要考查立体几何的相关知识，具体涉及到线面以及面面的垂直关系、二面角的求法及空间向量在立体几何中的应用．本小题对考生的空间想象能力与运算求解能力有较高要求．20．已知数列{a n}满足a1=，a n+1=a n+（n∈N*）．证明：对一切n∈N*，有（Ⅰ）＜；（Ⅱ）0＜a n＜1．【考点】数列递推式．【专题】等差数列与等比数列．【分析】（Ⅰ）由已知得a n＞0，a n+1=a n+＞0（n∈N*），a n+1﹣a n=＞0，由此能证明对一切n∈N*，＜．（Ⅱ）由已知得，当n≥2时，=＞，由此能证明对一切n∈N*，0＜a n ＜1．【解答】证明：（Ⅰ）∵数列{a n}满足a1=，a n+1=a n+（n∈N*），∴a n＞0，a n+1=a n+＞0（n∈N*），a n+1﹣a n=＞0，∴，∴对一切n∈N*，＜．（Ⅱ）由（Ⅰ）知，对一切k∈N*，＜，∴，∴当n≥2时，=＞3﹣[1+]=3﹣[1+]=3﹣（1+1﹣）=，∴a n＜1，又，∴对一切n∈N*，0＜a n＜1．【点评】本题考查不等式的证明，是中档题，解题时要注意裂项求和法和放缩法的合理运用，注意不等式性质的灵活运用．21．已知函数f（x）=lnx﹣a（1﹣），a∈R．（Ⅰ）求f（x）的单调区间；（Ⅱ）若f（x）的最小值为0．（i）求实数a的值；（ii）已知数列{a n}满足：a1=1，a n+1=f（a n）+2，记[x]表示不大于x的最大整数，求证：n ＞1时[a n]=2．【考点】利用导数研究函数的单调性；利用导数求闭区间上函数的最值；数列递推式．【专题】分类讨论；导数的综合应用；等差数列与等比数列．【分析】（Ⅰ）利用导数，对a讨论，当a≤0时，当a＞0时，即可求得f（x）的单调区间；（Ⅱ）（i）利用（Ⅰ）的结论即可求得a的值；（ii）利用归纳推理，猜想当n≥3，n∈N时，2＜a n＜，利用数学归纳法证明，即可得出结论．【解答】解：（Ⅰ）函数f（x）的定义域为（0，+∞），且f′（x）=﹣=．当a≤0时，f′（x）＞0，所以f（x）在区间（0，+∞）内单调递增；当a＞0时，由f′（x）＞0，解得x＞a；由f′（x）＜0，解得0＜x＜a．所以f（x）的单调递增区间为（a，+∞），单调递减区间为（0，a）．综上述：a≤0时，f（x）的单调递增区间是（0，+∞）；a＞0时，f（x）的单调递减区间是（0，a），单调递增区间是（a，+∞）．（Ⅱ）（ⅰ）由（Ⅰ）知，当a≤0时，f（x）无最小值，不合题意；当a＞0时，[f（x）]min=f（a）=1﹣a+lna=0，令g（x）=1﹣x+lnx（x＞0），则g′（x）=﹣1+=，由g′（x）＞0，解得0＜x＜1；由g′（x）＜0，解得x＞1．所以g（x）的单调递增区间为（0，1），单调递减区间为（1，+∞）．故[g（x）]max=g（1）=0，即当且仅当x=1时，g（x）=0．因此，a=1．（ⅱ）因为f（x）=lnx﹣1+，所以a n+1=f（a n）+2=1++lna n．由a1=1得a2=2于是a3=+ln2．因为＜ln2＜1，所以2＜a3＜．猜想当n≥3，n∈N时，2＜a n＜．下面用数学归纳法进行证明．①当n=3时，a3=+ln2，故2＜a3＜．成立．②假设当n=k（k≥3，k∈N）时，不等式2＜a k＜成立．则当n=k+1时，a k+1=1++lna k，由（Ⅰ）知函数h（x）=f（x）+2=1++lnx在区间（2，）单调递增，所以h（2）＜h（a k）＜h（），又因为h（2）=1++ln2＞2，h（）=1++ln＜1++1＜．故2＜a k+1＜成立，即当n=k+1时，不等式成立．根据①②可知，当n≥3，n∈N时，不等式2＜a n＜成立．综上可得，n＞1时[a n]=2．【点评】本题主要考查函数的导数、导数的应用等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力、创新意识等，考查函数与方程思想、化归与转化思想、分类与整合思想、有限与无限思想等，属难题．。

2015年安徽省高考一模数学试卷【解析版】

2015年安徽省高考数学一模试卷一、单项填空（共10小题；每小题5分，满分50分）．从A、B、C、D四个选项中，选出可以填入空白处的最佳选项，并在答题卡上将该项涂黑．1．（5分）已知集合A＝{x|≥2}，B＝{x|（x﹣1）（x﹣3）2≤0}，则A∪B 等于（）A．（3，+∞）B．（﹣∞，﹣7]C．（﹣∞，1]∪（3，﹢∞）D．（﹣∞，1]∪[3．﹢∞）2．（5分）命题“事件A与事件B互斥”是命题“事件A与事件B对立”的（）A．充分必要条件B．充分不必要条件C．必要不充分条件D．既不充分也不必要条件3．（5分）已知θ为实数，若复数z＝sin2θ﹣1+i（cosθ﹣1）是纯虚数，则z 的虚部为（）A．2B．0C．﹣2D．﹣2i4．（5分）已知如图1所示是某学生的14次数学考试成绩的茎叶图，第1次到第14次的考试成绩依次记为A1，A2，…A14，图2是统计茎叶图中成绩在一定范围内考试次数的一个程序框图，则输出的n的值是（）A．8B．9C．10D．115．（5分）等差数列{a n}的前n项和S n（n＝1，2，3…）当首项a1和公差d变化时，若a5+a8+a11是一个定值，则下列各数中为定值的是（）A．S15B．S16C．S17D．S186．（5分）过抛物线C1：y＝ax2（a＞0）的焦点作y轴的垂线交抛物线C1于A，B两点，若△OAB（O是坐标原点）是面积为的等腰三角形，则a的值为（）A．B．1C．D．27．（5分）定义在区间[0，1]上的函数f（x）的图象如图所示，以A（0，f（0））、B（1，f（1））、C（x，f（x））为顶点的△ABC的面积记为函数S（x），则函数S（x）的导函数S′（x）的大致图象为（）A．B．C．D．8．（5分）在△ABC中，a＝2，c＝1，则∠C的取值范围是（）A．（0，30°]B．[30°，60°]C．[60°90°]D．（90°，180°）9．（5分）已知O是平面上的一定点，A，B，C是平面上不共线的三个点，动点P满足，λ∈[0，+∞），则动点P的轨迹一定通过△ABC的（）A．内心B．垂心C．重心D．外心10．（5分）已知函数f（x）＝，若|f（x）|≥a（x﹣1），则a的取值范围是（）A．（﹣∞，﹣1]B．（﹣∞，1]C．[﹣1，1]D．[﹣1，0]二、填空题（共5小题；每小题5分，满分25分）．11．（5分）已知直线l1：x+ay+＝0与直线l2：ax+2y+2＝0平行，则直线l1的倾斜角为．12．（5分）若变量x，y满足约束条件，且z＝﹣2x+y的最大值为m，最小值为n，则log m（﹣n）＝．13．（5分）已知f（x）是定义域为R的偶函数，当x≥0时，f（x）＝x2﹣4x，那么，不等式f（x+2）＜5的解集是．14．（5分）如图，三棱柱ABC﹣A1B1C1中，底面是边长为2的正三角形，侧棱AA1⊥底面ABC，D为AB的中点，且A1D与底面ABC所成角的正切值为2，则三棱锥A1﹣ACD外接球的表面积为．15．（5分）在直角坐标平面内，点A（x，y）实施变换f后，对应点为A′（y，x），给出以下命题：①圆x2+y2＝r2（r≠0）上任意一点实施变换f后，对应点的轨迹仍是圆x2+y2＝r2：②若直线y＝kx+b上海一点实施变换f后，对应点的轨迹方程仍是y＝kx+b，则k＝﹣1；③椭圆每一点，实施变换f后，对应点的轨迹仍是离心率不变的椭圆；④曲线C ；y ＝lnx ﹣x （x ＞0）上每一点实施变换f 后，对应点轨迹足曲线C '，M是曲线C 上任意一点，N 是曲线C '上任意一点，则|MN |的最小值为．以上正确命题的序号是（写出全部正确命题的序号）三、解答题（共6小题，共75分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）16．（12分）已知函数f （x ）＝2（2cos 2ωx ﹣1）sin2ωx +cos （4ωx +），ω∈（0，1），且函数有一个最高点（，1）．（1）求实数ω的值和函数f （x ）的最小正周期；（2）求f （x ）在[，]上的最大值和最小值．17．（12分）在如图所示的几何体中，四边形ABEF 是长方形，DA ⊥平面ABEF ，BC ∥AD ，G ，H 分别为DF ，CE 的中点，且AD ＝AF ＝2BC ．（Ⅰ）求证：GH ∥平面ABCD ；（Ⅱ）求三棱锥E ﹣BCD 与D ﹣BEF 的体积之比．18．（12分）设数列{a n }、{b n }满足a 1＝1，a 2＝3，a n +1＝，a n b n ＝a n +1b n +1．（Ⅰ）求（a n ）的通项公式；（Ⅱ）设数列{c n }满足c n ＝b n log 3a n ，求数列{c n }的前n 项和． 19．（12分）一般来说，一个人脚掌越长，他的身高就越高．现对10名成年人的脚掌长x 与身高y 进行测量，得到数据（单位均为cm ）作为一个样本如上表示．（1）在上表数据中，以“脚掌长”为横坐标，“身高”为纵坐标，作出散点图后，发现散点在一条直线附近，试求“身高”与“脚掌长”之间的线性回归方程＝bx +a ；（2）若某人的脚掌长为26.5cm ，试估计此人的身高；（3）在样本中，从身高180cm 以上的4人中随机抽取2人作进一步的分析，求所抽取的2人中至少有1人身高在190cm 以上的概率．（参考数据：，）20．（13分）已知函数f （x ）＝a （x ﹣）﹣2lnx （a ∈R ）．（1）当﹣1＜a ＜1时，求函数f （x ）的单调区间；（2）设函数g （x ）＝﹣，若至少存在一个x 0∈[1，4]，使得f （x 0）＞g （x 0）成立，求实数a 的取值范围．21．（14分）如图，椭圆上的点M 与椭圆右焦点F 1的连线MF 1与x轴垂直，且OM （O 是坐标原点）与椭圆长轴和短轴端点的连线AB 平行．（1）求椭圆的离心率；（2）F 2是椭圆的左焦点，C 是椭圆上的任一点，证明：∠F 1CF 2≤；（3）过F 1且与AB 垂直的直线交椭圆于P 、Q ，若△PF 2Q 的面积是20，求此时椭圆的方程．2015年安徽省高考数学一模试卷参考答案与试题解析一、单项填空（共10小题；每小题5分，满分50分）．从A、B、C、D四个选项中，选出可以填入空白处的最佳选项，并在答题卡上将该项涂黑．1．（5分）已知集合A＝{x|≥2}，B＝{x|（x﹣1）（x﹣3）2≤0}，则A∪B 等于（）A．（3，+∞）B．（﹣∞，﹣7]C．（﹣∞，1]∪（3，﹢∞）D．（﹣∞，1]∪[3．﹢∞）【解答】解：由A中不等式变形得：﹣2≥0，即＝≥0，整理得：（x+7）（x﹣3）≥0，且x﹣3≠0，解得：x≤﹣7或x＞3，即A＝（﹣∞，﹣7]∪（3，+∞），由（x﹣3）2≥0，（x﹣1）（x﹣3）2≤0，得到x﹣1≤0，即x≤1或x＝3，∴B＝（﹣∞，1]∪{3}，则A∪B＝（﹣∞，1]∪[3．﹢∞），故选：D．2．（5分）命题“事件A与事件B互斥”是命题“事件A与事件B对立”的（）A．充分必要条件B．充分不必要条件C．必要不充分条件D．既不充分也不必要条件【解答】解：“事件A与事件B互斥”不能推出“事件A与事件B对立”，但是“事件A与事件B对立”，能推出“事件A与事件B互斥”，故命题“事件A与事件B互斥”是命题“事件A与事件B对立”的必要不充分条件．故选：C．3．（5分）已知θ为实数，若复数z＝sin2θ﹣1+i（cosθ﹣1）是纯虚数，则z 的虚部为（）A．2B．0C．﹣2D．﹣2i【解答】解：θ为实数，若复数z＝sin2θ﹣1+i（cosθ﹣1）是纯虚数，∴⇒⇒，（k∈Z），∴cosθ﹣1＝﹣2，故选：C．4．（5分）已知如图1所示是某学生的14次数学考试成绩的茎叶图，第1次到第14次的考试成绩依次记为A1，A2，…A14，图2是统计茎叶图中成绩在一定范围内考试次数的一个程序框图，则输出的n的值是（）A．8B．9C．10D．11【解答】解：由程序框图知：算法的功能是计算学生在14次数学考试成绩中，成绩大于等于90的次数，由茎叶图得，在14次测试中，成绩大于等于90的有：93、99、98、98、94、91、95、103、101、114共10次，∴输出n的值为10．故选：C．5．（5分）等差数列{a n}的前n项和S n（n＝1，2，3…）当首项a1和公差d变化时，若a5+a8+a11是一个定值，则下列各数中为定值的是（）A．S15B．S16C．S17D．S18【解答】解：由等差数列的性质可得a5+a8+a11＝3a8，再由求和公式可得S15＝＝＝15a8，故当a5+a8+a11为定值时，S15为定值．故选：A．6．（5分）过抛物线C1：y＝ax2（a＞0）的焦点作y轴的垂线交抛物线C1于A，B两点，若△OAB（O是坐标原点）是面积为的等腰三角形，则a的值为（）A．B．1C．D．2【解答】解：抛物线C1：y＝ax2（a＞0）的焦点为（0，），令y＝，则x＝±，即有|AB|＝2×＝，则有△OAB的面积为××＝，解得a＝．故选：A．7．（5分）定义在区间[0，1]上的函数f（x）的图象如图所示，以A（0，f（0））、B（1，f（1））、C（x，f（x））为顶点的△ABC的面积记为函数S（x），则函数S（x）的导函数S′（x）的大致图象为（）A．B．C．D．【解答】解：如图，△ABC的底边AB长一定，在点C由A到B的过程中，△ABC的面积由小到大再减小，然后再增大再减小，对应的面积函数的导数先正后负再正到负．且由原图可知，当C位于AB连线和函数f（x）的图象交点附近时，三角形的面积减或增较慢，故选：D．8．（5分）在△ABC中，a＝2，c＝1，则∠C的取值范围是（）A．（0，30°]B．[30°，60°]C．[60°90°]D．（90°，180°）【解答】解：由正弦定理可得，∴sin C＝＝∵a＞c∴A＞C∴0°＜C＜90°∵y＝sin x在（0，]上单调递增∴0°＜C≤30°故选：A．9．（5分）已知O是平面上的一定点，A，B，C是平面上不共线的三个点，动点P满足，λ∈[0，+∞），则动点P的轨迹一定通过△ABC的（）A．内心B．垂心C．重心D．外心【解答】解：设BC的中点为D，∵，∴＝+，即＝，两端同时点乘，∵•＝λ（）＝λ（）＝λ（﹣）＝0，∴DP⊥BC，∴点P在BC的垂直平分线上，即P经过△ABC的外心故选：D．10．（5分）已知函数f（x）＝，若|f（x）|≥a（x﹣1），则a的取值范围是（）A．（﹣∞，﹣1]B．（﹣∞，1]C．[﹣1，1]D．[﹣1，0]【解答】解：①当x≥1时，|f（x）|≥a（x﹣1）即为lnx≥a（x﹣1），令y＝lnx﹣a（x﹣1），y′＝﹣a，由于x≥1则0＜≤1，当a≤0时，y′＞0，函数y在x≥1递增，即有y≥ln1﹣a（1﹣1）＝0，成立；当a≥1时，y′＜0，函数y在x≥1递减，不等式不成立；当0＜a＜1时，函数y不单调，则不成立；②当0＜x＜1时，|f（x）|≥a（x﹣1）即为﹣lnx≥a（x﹣1），令y＝﹣lnx﹣a（x﹣1），y′＝﹣﹣a，由于0＜x＜1，则﹣＜﹣1，当a≥﹣1时，y′＜0，函数y在0＜x＜1递减，即有y＞﹣ln1﹣a（1﹣1）＝0，成立；当a＜﹣1时，函数y不单调，则不成立；③当x≤0时，|f（x）|≥a（x﹣1）即为x2﹣3x+2≥a（x﹣1），即（x﹣2）（x﹣1）≥a（x﹣1），即有a≥x﹣2，由x≤0，则x﹣2≤﹣2，即有a≥﹣2．综上可得，a≤0且a≥﹣1，且a≥﹣2，即为﹣1≤a≤0，故选：D．二、填空题（共5小题；每小题5分，满分25分）．11．（5分）已知直线l1：x+ay+＝0与直线l2：ax+2y+2＝0平行，则直线l1的倾斜角为．【解答】解：∵直线l1：x+ay+＝0与直线l2：ax+2y+2＝0平行，∴，解得a＝．∴直线l1的斜率为k＝．则直线l1的倾斜角为arctan．故答案为：．12．（5分）若变量x，y满足约束条件，且z＝﹣2x+y的最大值为m，最小值为n，则log m（﹣n）＝．【解答】解：不等式组对应的平面区域如图：由z＝﹣2x+y得y＝2x+z，平移直线y＝2x+z，则由图象可知当直线y＝2x+z经过点A（0，8）时，直线y ＝2x+z的截距最大，此时z最大，为z＝8，即m＝8，当直线y＝2x+z经过点B时，直线y＝2x+z的截距最小，此时z最小，由，解得，即B（4，4），此时z＝﹣8+4＝﹣4，即n＝﹣4，则log m（﹣n）＝log84＝故答案为：13．（5分）已知f（x）是定义域为R的偶函数，当x≥0时，f（x）＝x2﹣4x，那么，不等式f（x+2）＜5的解集是（﹣7，3）．【解答】解：因为f（x）为偶函数，所以f（|x+2|）＝f（x+2），则f（x+2）＜5可化为f（|x+2|）＜5，即|x+2|2﹣4|x+2|＜5，（|x+2|+1）（|x+2|﹣5）＜0，所以|x+2|＜5，解得﹣7＜x＜3，所以不等式f（x+2）＜5的解集是（﹣7，3）．故答案为：（﹣7，3）．14．（5分）如图，三棱柱ABC﹣A1B1C1中，底面是边长为2的正三角形，侧棱AA1⊥底面ABC，D为AB的中点，且A1D与底面ABC所成角的正切值为2，则三棱锥A1﹣ACD外接球的表面积为8π．【解答】解：如图示：∵侧棱AA1⊥底面ABC，∴∠A1DA就是A1D与底面ABC所成的角，在直角三角形A1DA中，tan∠A1DA＝＝2，∵底面是边长为2的正三角形，且AD＝1，∴A1A＝2，设三棱锥A1﹣ACD外接球的半径为r，＝×1×2＝1，∵S△A1DACD＝＝，∴三棱锥A1﹣ACD＝×1×＝，V三棱锥O﹣A1CD+V三棱锥O﹣A1AD+V三棱锥O﹣A1AC+V三棱锥O﹣ACD＝×××r+××2×1r+××2×2r+××1×r＝，∴r＝，∴三棱锥A1﹣ACD外接球的表面积为4πr2＝8π．故答案为：8π．15．（5分）在直角坐标平面内，点A（x，y）实施变换f后，对应点为A′（y，x），给出以下命题：①圆x2+y2＝r2（r≠0）上任意一点实施变换f后，对应点的轨迹仍是圆x2+y2＝r2：②若直线y＝kx+b上海一点实施变换f后，对应点的轨迹方程仍是y＝kx+b，则k＝﹣1；③椭圆每一点，实施变换f后，对应点的轨迹仍是离心率不变的椭圆；④曲线C；y＝lnx﹣x（x＞0）上每一点实施变换f后，对应点轨迹足曲线C'，M是曲线C上任意一点，N是曲线C'上任意一点，则|MN|的最小值为．以上正确命题的序号是①③④（写出全部正确命题的序号）【解答】解：由题意点A（x，y）实施变换f后，对应点为A'（y，x），对应曲线来说，就是求曲线关于直线y＝x的对称曲线．对于①，因为圆x2+y2＝r2（r≠0）的圆心在直线y＝x上，所以圆x2+y2＝r2（r ≠0）上任意一点实施变换f后，对应点的轨迹仍是圆x2+y2＝r2．所以①正确；对于②，直线y＝kx+b关于直线y＝x的对称曲线方程为，而直线y＝kx+b上每一点实施变换f后，对应点的轨迹方程仍是y＝kx+b，所以，解得，或．所以②不正确；对于③，椭圆上每一点，实施变换f后，对应点的轨迹为，所以轨迹仍是离心率不变的椭圆．所有③正确；对于④，令g（x）＝x﹣（lnx﹣x）＝2x﹣lnx（x＞0）．．当x∈（0，）时，g′（x）＜0，g（x）为减函数，当x∈（，+∞）时，g′（x）＞0，g（x）为增函数．所以g（x）在（0，+∞）上有极小值，也是最小值．最小值为．所以曲线y＝1nx﹣x（x＞0）上的点到直线y＝x的距离的最小值为．由对称性可知，曲线y＝1nx﹣x（x＞0）上的点与其关于直线y＝x的对称曲线上的点的最小值为即为．所以④正确．所以正确命题的序号是①③④．故答案为①③④．三、解答题（共6小题，共75分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）16．（12分）已知函数f（x）＝2（2cos2ωx﹣1）sin2ωx+cos（4ωx+），ω∈（0，1），且函数有一个最高点（，1）．（1）求实数ω的值和函数f（x）的最小正周期；（2）求f（x）在[，]上的最大值和最小值．【解答】解：（1）f（x）＝2（2cos2ωx﹣1）sin2ωx+cos（4ωx+）＝2cosωx sin2ωx+cos4ωx﹣sin4ωx＝sin4ωx+cos4ωx﹣sin4ωx＝sin4ωx+cos4ωx＝sin（4ωx+），∴f（x）＝sin（4ωx+），∵函数有一个最高点（，1），∴4ω×+＝+2kπ，k∈Z，∴ω＝+3k，k∈Z，∵ω∈（0，1），∴ω＝，∴f（x）＝sin（x+），∴T＝＝2π，∴f（x）的最小正周期2π；（2）∵x∈[，]，∴x+∈[，]，∴sin（x+）∈[﹣，1]，∴f（x）在[，]上的最大值1和最小值﹣．17．（12分）在如图所示的几何体中，四边形ABEF是长方形，DA⊥平面ABEF，BC∥AD，G，H分别为DF，CE的中点，且AD＝AF＝2BC．（Ⅰ）求证：GH∥平面ABCD；（Ⅱ）求三棱锥E﹣BCD与D﹣BEF的体积之比．【解答】（Ⅰ）证明：取AD，BC的中点P，Q，连接GP，PQ，HQ，则GP∥F A，GP＝F A同理HQ∥BE，HQ＝BE，∵ABEF是长方形，∴GP∥HQ，GP＝HQ，∴四边形GPQH是平行四边形，∴GH∥PQ，∵GH⊄平面ABCD，PQ⊂平面ABCD，∴GH∥平面ABCD；（Ⅱ）解：∵DA⊥平面ABEF，∴DA⊥F A，∵F A⊥AB，DA∩AB＝A，∴F A⊥平面ABCD，∴V E ﹣BCD ＝×BC ×AB ×AF ，V D ﹣BEF ＝×EF ×BE ×AD ，∵AD ＝AF ＝2BC ， ∴V E ﹣BCD ：V D ﹣BEF ＝1：2．18．（12分）设数列{a n }、{b n }满足a 1＝1，a 2＝3，a n +1＝，a n b n ＝a n +1b n +1．（Ⅰ）求（a n ）的通项公式；（Ⅱ）设数列{c n }满足c n ＝b n log 3a n ，求数列{c n }的前n 项和．【解答】解：（Ⅰ）由a 1＝1，a 2＝3，a 2＝，得b 1＝，∵a n b n ＝a n +1b n +1．∴{a n b n }是常数列． ∴a n b n ＝a 1b 1＝，b n ＝，a n +1＝＝3a n ，∴{a n }是以a 1＝1为首项，以3 为公比的等比数列． ∴a n ＝3n ﹣1，（Ⅱ）c n ＝b n log 3a n ＝（n ﹣1），设数列{c n }的前n 项和为S n ，则S n ＝[]，①S n ＝[+]②①﹣②得，S n ＝[﹣]＝[﹣]，∴S n ＝19．（12分）一般来说，一个人脚掌越长，他的身高就越高．现对10名成年人的脚掌长x 与身高y 进行测量，得到数据（单位均为cm ）作为一个样本如上表示．（1）在上表数据中，以“脚掌长”为横坐标，“身高”为纵坐标，作出散点图后，发现散点在一条直线附近，试求“身高”与“脚掌长”之间的线性回归方程＝bx +a ；（2）若某人的脚掌长为26.5cm ，试估计此人的身高；（3）在样本中，从身高180cm 以上的4人中随机抽取2人作进一步的分析，求所抽取的2人中至少有1人身高在190cm 以上的概率．（参考数据：，）【解答】解：（1）记样本中10人的“脚掌长”为x i （i ＝1，2，…10），“身高”为y i （i ＝1，2，…10），则，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（1分） ∵＝24.5，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（3分） ∴﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（4分） ∴﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（5分）（2）由（1）知，当x ＝26.5时，，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（6分）故估计此人的身高为185.5cm ．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（7分）（3）将身高为181、188、197、203（cm）的4人分别记为A、B、C、D，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（8分）记“从身高180cm以上4人中随机抽取2人，所抽的2人中至少有1个身高在190cm以上”为事件A，则基本事件有：（AB）、（AC）、（AD）、（BC）、（BD）、（CD），总数6，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（10分）A包含的基本事件有：（AC）、（AD）、（BC）、（BD）、（CD），个数5，所以．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（12分）20．（13分）已知函数f（x）＝a（x﹣）﹣2lnx（a∈R）．（1）当﹣1＜a＜1时，求函数f（x）的单调区间；（2）设函数g（x）＝﹣，若至少存在一个x0∈[1，4]，使得f（x0）＞g（x0）成立，求实数a的取值范围．【解答】解：（1）函数的定义域为（0，+∞），函数的导数f′（x）＝a（1+．设h（x）＝ax2﹣2x+a①当﹣1＜a≤0时，h（x）＝ax2﹣2x+a＜0在（0，+∞）上恒成立，则h（x）＝ax2﹣2x+a（x）＜0在（0，+∞）上恒成立，此时f（x）在（0，+∞）上单调递减．②若0＜a＜1，△＝4﹣4a2＞0，由f′（x）＞0，即h（x）＞0，得0＜x＜或x＞；由f′（x）＜0，即h（x）＜0，得＜x＜；即﹣1＜a≤0时，函数的单调减区间为（0，+∞），0＜a＜1时，函数f（x）的单调递增区间为（0，）和（，+∞）；单调递减区间为（，）．（2）因为存在一个x0∈[1，4]使得f（x0）＞g（x0），则ax0＞2lnx0，等价于a＞．令F（x）＝，等价于“当x∈[1，4]时，a＞F（x）min”．对F（x）求导，得F′（x）＝．因为当x∈[1，e]时，F′（x）≥0，所以F（x）在[1，e]上单调递增．当x∈[e，4]时，F′（x）＜0，所以F（x）在[e，4]上单调递减．所以F（x）min＝F（1）＝0，因此a＞0．21．（14分）如图，椭圆上的点M与椭圆右焦点F1的连线MF1与x轴垂直，且OM（O是坐标原点）与椭圆长轴和短轴端点的连线AB平行．（1）求椭圆的离心率；（2）F2是椭圆的左焦点，C是椭圆上的任一点，证明：∠F1CF2≤；（3）过F1且与AB垂直的直线交椭圆于P、Q，若△PF2Q的面积是20，求此时椭圆的方程．【解答】解：（1）易得，∴，∴．（2）证明：由椭圆定义得：第21页（共21页）＝．， ∴，∴．（3）解：设直线PQ 的方程为（x ﹣c ），即y ＝﹣．代入椭圆方程消去x 得：，整理得：，∴．∴，因此a 2＝50，b 2＝25，所以椭圆方程为．。

2015年芜湖市高三模拟考试试卷(理科答案)

2015年芜湖市高三模拟考试理科数学试题参考答案一、选择题：本题考查基本知识和基本运算．每小题5分，满分50分．（1）B (2)C (3) A (4)A (5)C （6）D (7)D (8) C (9)B (10)D二、填空题：本题考查基本知识和基本运算．每小题5分，满分25分．(11) (12)13 (13) 5(14) 3- (15) ①③④⑤ 三、解答题：本大题共6小题，共75分．(16)（本小题满分12分）解：(Ⅰ) 设AD x =，AB =，2221x x +=Q ，x ∴=即AD ，ABsin ABD ∠=，cos ABD ∠. …………………3分sin sin()4DBC ABD π∠=-∠. …………………5分(Ⅱ)设AD x =，AB =，在△ABD 中,由余弦定理得2cos BAD ∠=，则sin BAD ∠=， …………………8分2122ABCS x =⋅=V …………………10分当x ABC S V 取最小值1. …………………12分 (17)（本小题满分12分）解:(Ⅰ) 设“D 课程没有被选中”为事件E ，“甲选择了A 课程”为事件F ,则()33327n E =⨯⨯=，()339n EF =⨯=，则()91()()273n EF P E F n F ===. ………5分 (Ⅱ) 解法一:X 的所有可能取值为0,1,2,3,且()333270464P X ===, ()12333271464C P X ⋅===, ()233392464C P X ⋅===, ()33313464C P X === …………………9分所以X 的分布列为所以X 的数学期望0123646464644EX =⨯+⨯+⨯+⨯=. …………………12分解法二:因为A 选修课被每位学生选中的概率均为14,没被选中的概率均为34.所以X 的所有可能取值为0,1,2,3,且13,4XB ⎛⎫⎪⎝⎭, …………………8分 ()33270464P X ⎛⎫=== ⎪⎝⎭, ()2131********P X C ⎛⎫==⋅⋅=⎪⎝⎭, ()22313924464P X C ⎛⎫==⋅⋅= ⎪⎝⎭, ()3113464P X ⎛⎫=== ⎪⎝⎭所以X 的分布列为…………………11分所以X 的数学期望13344EX =⨯=. …………………12分 (18)（本小题满分12分）设AC BD O =,以O 为原点，OC 为x 轴，OD 为y 轴建立空间直角坐标系，则((A C P 设(0,,0),(0,,0)B a D a -.（Ⅰ）证明：由2PE EC =uu u r uu u r 得2)E ，所以22),,)PC BE a =-=uu u r uu u r，(0,2,0)BD a =u u u r所以0,0PC BD PC BE ⋅=⋅=u u u r u u u r u u u r u u u r所以PC BE ⊥,PC BD ⊥，所以PC ⊥平面BED ； …………………6分（Ⅱ）设平面PAB 的法向量为(,,)n x y z =，又(0,0,2),(2,,0)AP AB a ==-，由0,0n AP n AB ⋅=⋅=得2(1,,0)n a=，设平面PBC 的法向量为(,,)m x y z =，又(2,,0),(2,0,2)B C a C P ==-，由0,0m BC m CP ⋅=⋅=，得(1,m =，因为直线PD 与平面PBC 所成角为6π，则sin 6π=||12||||PD m PD m ⋅=⋅，解得a = 于是2120m n a⋅=-=，则有平面APB ⊥平面PBC ，故二面角A PB C --的大小为2π. …………………12分 (19)（本小题满分13分）解：由题意知：12+=n n a S ，即1242++=n n n a a S (Ⅰ)当1n =时,21111442a S a a ==++1,解得11=a ．当2n ≥时,242n n n S a a =++1,211142n n n S a a ---=++1,相减得2211422n n n n n a a a a a --=-+-, 即()22112n n n n a a a a ---=+,又0n a >,所以10n n a a -+≠,则12n n a a --=,所以{}n a 是首项为1,公差为2的等差数列,故2n a n =-1． …………………6分 (Ⅱ) 由12)1(1-=-++n b b n n n 得，12]12)1[()1(12)1(112++-+--=++-=-++n n b n b b n n n n n n 12)12()1(++--+-=n n b n n ，即1212)1(2++--=++n n b b n n n ）（，也有3212)1(13+++--=+++n n b b nn n ）（，两式相加得44)1(2321++--=++++++n b b b b n n n n n ，设k 为整数，则10`164)14(4)1(21444342414+=+++--=++++++++k k b b b b k k k k k ，于是1830)10`16()(14443424141460=+=+++=∑∑=++++=k a a a aS k k k k k k .…………………12分(20)（本小题满分13分）（Ⅰ）221212(,),(,)44x x B x C x2,42x xy y '==，过B 点的切线为21124x x x y =-，过C 点的切线为22224x x x y =- 则1212(,)24x x x x A +，1211221221()()(,),(,)2424x x x x x x x x x x AB AC ----== ,0AB AC AB AC ⊥∴⋅=，即22121212()()0416x x x x x x ----+= 解得1214x x =-，所以点A 的纵坐标为1-； …………………6分 (Ⅱ)设:BC l y kx b =+，联立24x y =得2440x kx b --= 由根与系数知：12124,4x x k x x b +==-，则12x x -=，(2,)A k b -，2241164k b +=，即：224(02)k b b +=≤≤，又A 到直线BC的距离d =，则322214()ABCS x b k b ∆=-=+=+3322221174(4)4[()]24b b b =-+=--+≤当12b =时，△ABC 面积取最大值，此时221445k b ==-，解得2k =±.………13分 (21)（本小题满分13分）(Ⅰ)解：因为221ln 1ln 1()(ln )(ln )x x x x x f x x x x +--+'==，当),1(+∞∈x 时，有0)(ln 2>x x ，故只需考察函数1ln )(+-=x x x x g 在),1(+∞的函数值变化；而x x x g ln 11ln )('=-+= 当),1(+∞∈x 时，0ln )('>=x x g ，故1ln )(+-=x x x x g 在),1(+∞单调递增，则有：0)1(1ln )(=>+-=g x x x x g ，即当),1(+∞∈x ，0)('>x f .由导数与单调性的关系可知：)(x f y =在),1(+∞上单调递增. …………………6分 (Ⅱ)下面用数学归纳法证明:2ln 1n n a ≥.(i)当1n =时，1a =，所以12ln 1a ==，所以当1n =时，命题成立．(ii)假设n k = (1k ≥)时，命题成立，即:2ln 1k k a ≥.要证明1n k =+时，命题成立，即证明12(1)ln 1k k a ++≥，只需证明12(1)1k k a e ++≥，依题意知1()k k a f a +=，即证明:12(1)()k k f a e +≥.由归纳假设2ln 1k k a ≥，得121kk a e≥>，由(Ⅰ)知：111222112211()()=ln kkkk kkeef a f e e--≥=.①若11221()kk f e e+≥，则必有121()k k f a e+≥，下证：1112221121()=kkk kef e e+-≥.构造函数21)(xxxe e x g --=(x >0)，则'2222()=(1)22x x x x xx x g x e e e e e =----因为0x >，所以21x e > ，由（Ⅰ）知：0212>--xe x 所以，当0x >时，'()0g x >，则2()12x xg x e =--在),0(+∞上为增函数则1()(0),2g g k >即：11241102k k e e k--> 则111122421121()=kkkk ke f e ee+->>.②由①②及题意知121()k k f a e+≥，即12(1)ln 1k k a ++≥.综合(i)(ii)知，对任意的n N *∈，都有2ln 1n n a ≥成立． …………………13分。

2015年安徽省高考一模数学试卷(理科)【解析版】

2015年安徽省高考数学一模试卷（理科）一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，满分50分.每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．（5分）函数f（x）＝ln（2x﹣1）+的定义域为（）A．（，1]B．[，1]C．（﹣∞，1）D．（，+∞）2．（5分）满足：z（1+i）+i＝0的复数z＝（）A．﹣+i B．﹣﹣i C．+i D．﹣i 3．（5分）命题：存在x∈R，“（﹣2）n＞0”的否定是（）A．存在x∈R，“（﹣2）n≤0”B．存在x∈R，“（﹣2）n＜0”C．对任何x∈R，“（﹣2）n≤0”D．对任何x∈R，“（﹣2）n＜0”4．（5分）为了“城市品位、方便出行、促进发展”，近年合肥市正在修建地铁1号线，市某部门问卷调查了n个市民，其中赞城修建地铁的市民占80%，在赞城修建地铁的市民中又按年龄分组，得样本频率分布直方图如图，其中年龄在[30，40]岁的有2500人，年龄在[60，70）岁的有2000人，则m，n的值分别为（）A．0.2，12500B．0.2，10000C．0.02，12500D．0.02，10000 5．（5分）函数f（x）＝A cos（ωx+φ）（A＞0，ω＞0）在x＝3处取最大值，则（）A．f（x﹣3）一定是奇函数B．f（x﹣3）一定是偶函数C．f（x+3）一定是奇函数D．f（x+3）一定是偶函数6．（5分）以直角坐标系的原点为极点，x轴的正半轴为极轴，并在两种坐标系中取相同的单位长度，已知点M的极坐标是（2，θ），圆C的参数方程是（t为参数），点M与圆C的位置关系是（）A．在圆内B．在圆上C．在圆外D．在圆上或圆外7．（5分）△ABC中，若•＞0，则•（）A．大于0B．等于0C．小于0D．符号不定8．（5分）已知某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积为（）A．B．24C．8D．9．（5分）设函数f（x）＝log2（x2﹣4x+a）（a＞4），若所有点（s，f（t））（s，t∈[1，3]）构成一个正方形区域，则函数f（x）的单调增区间为（）A．[1，2]B．[2，3]C．（﹣∞，2]D．[2，+∞）10．（5分）已知数列{an}是等差数列，从a1，a2，a3，a4，a5，a6，a7中取走任意四项，则剩下三项构成等差数列的概率为（）A．B．C．1或D．1或二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分.把答案填在答案卡的相应位置）11．（5分）（x+）6的展开式中的常数项为．12．（5分）已知函数f（x）＝，则f（x）dx＝．（e为自然对数的底数）13．（5分）执行如图所示的程序框图，则输出的结果是．14．（5分）设F1，F2分别是双曲线C：﹣＝1（a＞0，b＞0）的左右焦点，A为双曲线的左顶点，以F1，F2为为直径的圆交双曲线的某条渐近线于MN 两点（M在x轴上方，N在x轴下方），c为双曲线的半焦距，O为坐标原点．则下列命题正确的是（写出所有正确命题的编号）．①|OM|＝|ON|＝c；②点N的坐标为（a，b）；③∠MAN＞90°；④若∠MAN＝120°，则双曲线C的离心率为；⑤若∠MAN＝120°，且△AMN的面积为2，则双曲线C的方程为﹣＝1．三、解答题（本大题共6小题，满分75分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

安徽省芜湖市2015届高三5月模拟考试理综物理试卷 Word版含解析.pdf

；(选填器材的名称代号)
(3)请根据电路图，用连线代替导线将图中的实验器材连接完整，并使滑动变阻器滑片P置于最左端时接通电路后流
过电阻丝的电流最小；(实物连线时导线不得相交)
滑动变阻器R1、R2R1、R2x，对应图中电压表示数U随x变化的图像可能正确的是
。(图中实线表示接入R1时
的情况，虚线表示接入R2时的情况)
【答案】(1)1.212-1.215mm(2)，，(3)如图所示(4)B
【解析】本题主要考查测定金属的电阻率；
主尺读数1mm，螺旋尺读数0.0121.3=0.213mm，最终结果为1.213mm；
电源电动势3V，而量程太大，故电压表选；由可知电流表选择；变阻器阻值太大，无论是分压接法还是限流接法都不可以，故滑动变阻器选择；如图所示 (4)阻值较小，接入电路时测量电路分得的电压随着滑动距离变化而更接近线性变化(图像近乎直线)，而阻值较大，接入电路时测量电路分得的电压随着滑动距离变化表现的线性效果更差一些，故选项B正确。【题型】实验题【备注】【结束】 22.【题文】求：(1)滑块与斜面间的动摩擦因数； (2)判断滑块能否返回斜面底端？若能返回，求出滑块返回斜面底端时的动能；若不能返回，求出滑块停止的位置距出发点多远。【答案】(2)1.5m 【解析】 (1)滑块的加速度物体在冲上斜面过程中解得 (2)滑块速度减小到零时，重力的分力小于最大静摩擦力，不能再下滑。滑块停在距底端1.5m处。【题型】计算题【备注】【结束】【题文】。如果在ab上方区域只存在平行于纸面的匀强电场，沿不同方向发射的带电粒子到达ab边界时，它们的动能都相等，且水平向左射出的带电粒子也恰好到达Q点．(不计带电粒子的重力，sin37°=0.6；cos37°=0.8 求：(1)带电粒子的发射速率； (2)匀强电场的场强大小和方向；当仅加上述磁场时，能射出磁场区域的带电粒子在磁场中运动的最短路程。【答案】(2)(3) 【解析】 (1)只加磁场时设粒子做匀速圆周运动的半径R，过O作PQ的垂线交PQ于A点，如图所示由几何知识可得：代入数据可得粒子轨迹半径：洛仑磁力提供向心力：解得粒子发射速度为： (2)只加匀强电场时，由粒子到达ab直线的动能相等，可得ab为等势面，电场方向垂直ab向下水平向左射出的粒子做类平抛运动，由运动学关系可知：与ab平行方向：与ab垂直方向：其中解得：只加磁场时，圆弧经C点，粒子转过的圆心角最小，运动时间最短．则：最小圆心角：最短时间：【题型】计算题【备注】【结束】【题文】，凹槽B的左侧壁(侧壁厚度不计)距斜面底端距离L=15m。槽内靠近右侧壁处有一小物块A(可视为质点 )，它到凹槽左侧壁的距离d＝0.10mA、Bm=2.0kg，B与斜面间的最大静摩擦力可认为等于滑动摩擦力，不计A、B之间的摩擦。现同时由静止释放A、B，经过一段时间，A与B的侧壁发生碰撞，碰撞过程不计机械能损失，碰撞时间极短。取 g=10m/s2。求： (1)A与B的左侧壁第一次发生碰撞后瞬间A与B的速度