南开大学716数学分析高等代数2016年考研专业课真题试卷
2016年南开大学数学分析考研试题
考试科目：数学分析
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4. (15 分) 求 f (x, y) = 9x2 + 6xy + 4y2 − 12y 在闭域 D : {(x, y)|9x2 + 6y2 ≤ 36} 内的最大 值.
5. (15 分) fn(x) 在 I 上一致连续, 且 fn(x) 一致收敛于 f (x). 证明: f (x) 在 I 上一致连续.
南开大学
2016 年招收攻读硕士学位研究生入学统一考试试题 科目名称：数学分析
考生须知： 1. 本试卷满分为 150 分，全部考试时间总计 180 分钟； 2. 所有答案必须写在答题纸上，写在试题纸上或草稿纸上一律无效。 ————————————————————————————————————————
6.
(15 分) 证明:
f (x)
在
(0, +∞)
上非负. 对 ∀A > 0, x f (x) 在 [0, A]
lim
A→+∞
1 A
∫A
0
xLeabharlann f(x)dx
=
0.
内可积且
∫ +∞
0
f (x)dx
收敛.
7. (20 分) 求极限
lim
x→+∞
x2
[( 1
+
x
1 +
)x+1 1
−
( 1
+
1 )x] x
.
8.
1. (15 分) 求定积分
∫e
xn ln xdx, n ∈ Z.
1
2. (20 分) 求曲线积分
2016年南开大学应用数学考研 招生目录 考研笔记 内部资料 主导教师 复试分数线
2016年南开大学应用数学考研招生目录考研笔记内部资料主导教师复试分数线专业课的复习和应考有着与公共课不同的策略和技巧，虽然每个考生的专业不同，但是在总体上都有一个既定的规律可以探寻。
以下就是针对考研专业课的一些十分重要的复习方法和技巧。
一、专业课考试的方法论对于报考本专业的考生来说，由于已经有了本科阶段的专业基础和知识储备，相对会比较容易进入状态。
但是，这类考生最容易产生轻敌的心理，因此也需要对该学科能有一个清楚的认识，做到知己知彼。
跨专业考研或者对考研所考科目较为陌生的同学，则应该快速建立起对这一学科的认知构架，第一轮下来能够把握该学科的宏观层面与整体构成，这对接下来具体而丰富地掌握各个部分、各个层面的知识具有全局和方向性的意义。
做到这一点的好处是节约时间，尽快进入一个陌生领域并找到状态。
很多初入陌生学科的同学会经常把注意力放在细枝末节上，往往是浪费了很多时间还未找到该学科的核心，同时缺乏对该学科的整体认识。
其实考研不一定要天天都埋头苦干或者从早到晚一直看书，关键的是复习效率。
要在持之以恒的基础上有张有弛。
具体复习时间则因人而异。
一般来说，考生应该做到平均一周有一天的放松时间。
四门课中，专业课（数学也属于专业课）占了300分，是考生考入名校的关键，这300分最能拉开层次。
例如，专业课考试中，分值最低的一道名词解释一般也有4分或者更多，而其他专业课大题更是动辄十几分，甚至几十分，所以在时间分配上自然也应该适当地向专业课倾斜。
根据我们的经验，专业课的复习应该以四轮复习为最佳，所以考生在备考的时候有必要结合下面的内容合理地安排自己的时间：第一轮复习：每年的2月—8月底这段时间是整个专业复习的黄金时间，因为在复习过程遇到不懂的难题可以尽早地寻求帮助得到解决。
这半年的时间相对来说也是整个专业复习压力最小、最清闲的时段。
考生不必要在这个时期就开始紧张。
很多考生认为这个时间开始复习有些过早，但是只有早准备才能在最后时刻不会因为时间不够而手忙脚乱。
南开大学高等代数历年考研真题专业课考试试题
2009年南开大学802高等代数考研 真题
2010年南开大学802高等代数考研 真题
2011年南开大学802高等代数考研 真题
一、（20分）设A为秩为1的n阶复方阵，A的迹tr（A）＝a≠0，试 求出A的所有特征值（写出重数）。
二、（20分）设V为4维实线性空间，ε1，ε2，ε3，ε4为一组基，已 知V上线性变换T在基ε1，ε2，ε3，ε4下的矩阵为
4 设V为数域P上的3维线性空间，已知V上线性变换T在基ε1， ε2，ε3下的矩阵为
试求V的一组基使得T在该基下的矩阵为
5 设n阶实矩阵P满足P1＝P2，试求出P的所有可能的特征值。 二、（20分）设A1，A2，…，Am为n阶方阵，且r（A1A2…Am）＝ r（Am）。证明：对任何1≤j，k≤m，齐次线性方程组AjAj＋1…AmX＝0 与AkAk＋1…AmX＝0同解。 三、（20分）设S，T都是半正定实对称n阶方阵，证明：det（S＋ T）≥（detS＋detT）/2。 四、（15分）设A，A－In都是n阶实对称正定矩阵，证明：In－A－ 1也是正定矩阵。 五、（15分）设f（x，y）为线性空间V上的非退化双线性函数，证
四、已知矩阵
与矩阵
（1）求x，y； （2）求阵。证明：s－秩（Es－AA′）＝n－秩（En－A ′A）。
六、设A为对称矩阵，存在线性无关的向量X1，X2使X1′AX1＞0， X2′AX2＜0，证明：存在线性无关的向量X3，X4使X1，X2，X3，X4线 性相关，且X3′AX3＝X4′AX4＝0。
（1）aij＞0，i＝1，2，…，n；
（2）aij＜0，i≠j；
（3）
，k＝1，2，···，n。
试求A的秩r（A）。
2 设A＝（aij）n×n为数域P上的n阶方阵，定义Pn×n上的线性变换T 使T（X）＝AX，X∈Pn×n，试求T的迹和行列式。
中国科学院大学《高等代数》《数学分析》考研真题汇总(2009-2018年汇编)
|z| ≤ na, |x| ≤ nh, |y| ≤ nk.
(2) 求证： Hermite 矩阵的特征值都是实数.
(3) 求证：反对称矩阵的非零特征值都是纯虚数.
六、 ( 15 分) 设 A 是 n 维实线性空间 V 的线性变换, n ≥ 1. 求证： A 至少存在一个一维或者二维的不变 子空间.
七、 ( 20 分) 设循环矩阵 C 为
01
生成的子空间. 求 W ⊥ 的一组标准正交基.
00
11
八、 ( 18 分) 设 T1, T2, · · · , Tn 是数域 F 上线性空间 V 的非零线性变换, 试证明存在向量 α ∈ V , 使得 Ti(α) = 0, i = 1, 2, · · · , n.
7
5. 2013年中国科学院大学《高等代数》研究生入学考试试题
三、 ( 20 分) 已知 n 阶方阵
a21
a1a2 + 1 · · · a1an + 1
A
=
a2a1 + 1
a22
···
a2an + 1
,
···
··· ··· ···
ana1 + 1 ana2 + 1 · · ·
a2n
n
n
其中 ai = 1, a2i = n.
i=1
八、 ( 15 分) 设 A 是 n 阶实方阵, 证明 A 为实对称阵当且仅当 AAT = A2, 其中 AT 表示矩阵 A 的转置.
6
4. 2012年中国科学院大学《高等代数》研究生入学考试试题
一、 ( 15 分) 证明：多项式 f (x) = 1 + x + x2 + · · · + xn 没有重根.
南开大学(已有09试题)
南开大学陈省身数学研究所数学分析2000——2023年年（2023年年有答案）高等代数2003——2023年年（2023年年有答案）空间解析几何与高等代数2000——2002抽象代数2002微分几何1999——2000实变函数1999——2000泛函分析1999——2000概率统计1999——2000拓扑学1999——2000实变函数与泛函分析1999——2000数理方程1999——2000概率论与数理统计1999——2000偏微分方程数值解法1999——2000计算主意1999——2000数理统计1999——2000概率统计信息1999——2000量子力学1999——2023年年量子力学（物理）1999——2000量子力学导论2002——2023年年数学物理主意2003——2023年年数学科学学院数学分析2000——2023年年（2023年年有答案）高等代数2003——2023年年（2023年年有答案）空间解析几何与高等代数2000——2002抽象代数2002第 1 页/共22 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5 页/共22 页药物化学2004——2023年年细胞生物学1999——2000生物化学1999——2000固体物理（基础部分）2004——2023年年普通生物化学2003——2023年年植物化学保护1999——2000，2004生命科学学院微生物学1999——2000，2003——2023年年细胞生物学1999——2000生物化学1999——2000数学分析2000——2023年年（2023年年有答案）高等代数2003——2023年年（2023年年有答案）遗传学1999——2000，2003，2023年年真菌学1999——2000普通植物生理学1999——2000，2003——2023年年植物学1999——2000，2003动物学1999，2003——2023年年昆虫学2003——2023年年分子遗传学1999——2000植物生理学2000，2003——2023年年植物化学保护1999——2000，2004植物解剖学2023年年普通生态学1999——2000，2003——2023年年普通生物化学2003——2023年年普通微生物学2003——2023年年普通物理1999——2000，2003——2004数据结构（含程序设计）2002数据结构与算法2003——2004数据结构1998——2000医学院病理学2004——2023年年人体解剖学2004——2023年年生理学2004——2023年年生物化学（医）2004——2023年年药理学2004——2023年年汉语言文化学院汉语2023年年古代汉语2002现代汉语（文学院）2001现代汉语（汉语言文化学院）2002——2004语言学理论基础（汉语言文化学院）2001——2004 语言学理论2023年年文学院文学基础2023年年中国古代文学2023年年人文社科基础2004——2023年年世界文学2023年年综合考试（文学）1999——2000文学综合1999——2000文艺理论1999——2000，2004——2023年年文艺评论2004——2023年年文艺写作2023年年文艺评论写作1999——2000中国文学史1998——2002第7 页/共22 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页/共22 页保险学原理1999——2000劳动经济学1999——2000人口经济学1999——2000人口学理论2003——2023年年计量经济学1999——2000世界经济概论1999——2000房地产经济1999——2000财产学1999——2000世界经济概论与世界经济情况1999——2000市场学1999——2000信息系统技术1999——2000环境经济学1999——2000国际经济学1999——2002（2000——2002有答案）外国近现代经济史1999——2000日本研究院日本经济2004日本史2003，2023年年日本通史2004世界近现代史（历史学院）2003——2023年年世界近现代史（日研院）2023年年微观、宏观经济学2002，2023年年（2023年年有答案）微观经济学1999——2001宏观经济学1999——2001（1999——2000有答案）专业基础（微观经济学、宏观经济学、保险学）2003——2004（2003——2004有答案）专业基础（微观经济学、宏观经济学、财政学）2003——2004（2003——2004有答案）专业基础（微观经济学、宏观经济学、产业经济学）2003——2004（2003——2004有答案）专业基础（微观经济学、宏观经济学、国际经济学）2003——2004（2003——2004有答案）专业基础（微观经济学、宏观经济学、金融工程学）2003——2004（2003——2004有答案）专业基础（微观经济学、宏观经济学、经济思想史）2003（2003有答案）专业基础（微观经济学、宏观经济学、劳动经济学）2003——2004（2003——2004有答案）专业基础（微观经济学、宏观经济学、区域经济学）2003——2004（2003——2004有答案）专业基础（微观经济学、宏观经济学、人口经济学）2003——2004（2003——2004有答案）专业基础（微观经济学、宏观经济学、台湾经济）2003（2003有答案）专业基础（微观经济学、宏观经济学、西方经济学流派）2003——2004（2003——2004有答案）专业基础（微观经济学、宏观经济学、应用统计学）2003（2003有答案）专业基础（微观经济学、宏观经济学、政治经济学）2003——2004（2003——2004有答案）专业基础（微观经济学、宏观经济学、中国近代经济史）2003——2004（2003——2004有答案）专业基础（国际经济学）（世界经济、国际贸易专业）2003西方经济学1999——2003（1999——2000，2002有答案）政治经济学1999——2000，2002，2023年年（1999——2000，2002，2023年年有答案）当代西方经济学1999——2001（2000——2001有答案）区域经济学2002——2003（2002——2003有答案）产业经济学2002——2003（2002——2003有答案）货币银行学1999——2001（1999——2001有答案）国际金融1999——2001（1999——2001有答案）第21 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南开大学2000-2016数学分析考研试题汇总
取
07
83
且
4
当α
∞ an = S n = +∞ 时， ∑ α ∑ an 发散； = 0 ，且 nlim →∞ n =1 S n n =1
0
n 所以 ∑ α 发散； n =1 S n
(
w
w
∞
a
w
N an an S N ≥ = α ∑ 因为 ∑ α α S1 n =1 S n n =1 S1
.
，
k
N
A'
收集整理：我欲封天
07
A"
0
83
4
Q
由条件得 f ( x, u ) 在 [ A' , A' ' ] × [α , β ] 上一致连续，从而 lim f ( x, u ) = f ( x, β ) ，
u →β
且关于 x ∈ [ A′, A′′] 是一致收敛的；或者说 在
∫
A'
A′′
A′
f ( x, u )dx 在 [α , β ] 上连续，
f ( x, u )dx 在 [α , β ) 上一致收敛，
所以 ∀ε > 0, ∃A0 (ε ) > 0 ，当 A' , A" > A0 (ε ) 时， ∀u ∈ [α , β ) ，有 又由 f ( x, u ) 在 [ a, +∞ ) × [α , β ] 中连续，
5
∫ f (x, u )dx < ε ，
发
w然
n
= +∞ 时，
comÐO›
方法一
n+ p
研
式成立，于是 {∑ 方法二 因为
N
k =2
2016年南开大学数学分析考研真题(回忆版)【圣才出品】
6．（15 分）f（x）在（0,＋∞）上非负，对任意 A＞0，xf（x）在[0,A]内可积．证明：
1A
lim xf (x)dx 0
A A
0
7．（20 分）求极限
1/2
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lim
x
x2
1
1
x
2n1
3．（15 分）求 n1 2n 1 2 x 的收敛域与和函数．
4．（15 分）求 f（x,y）＝9x2＋6xy＋4y2－12y 在闭域 D＝{（x,y）|9x2＋6y2≤36}内 的最大值．
5．（15 分）fn（x）在 I 上一致连续，且 fn（x）一致收敛于 f（x）．证明：f（x）在 I 上一致连续．
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2016 年南开大学数学分析考研真题（回忆版）
说明：以下试题来源于网络，仅供参考！ 1．（15 分）求定积分∫1exnlnxdx，n∈Z
2．（20 分）求曲线积分∫Lx2－yzds，其中 L 是 x＋y＋z＝0 与 x2＋y2＋z2＝1 的交线．
2/2
1
x1
x 1
(1
1)x x
2 f 8．（20 分）设 f（x,y）二阶可导，D＝{（x,y）|x2＋y2≤1}且 x2
2Байду номын сангаасf y2
1 ．求证：
D
x
f x
y
f y
dxdy
4
9．（15 分）已知 f（x）在[0,1]连续，在（0,1）可导，且 f（x）＝f（x＋1），f（0） ＝0，f′（x）单调递减．对任意 x 和任意 n∈Z，证明：f（nx）≤nf（x）．
2016年南开大学基础数学考研
有些学校的部分专业没有指定的参考书目，这样真题就更为重要了。真题不是拿来做完 了事的，要从命题人的角度、命题者的思路去推测出题偏好，推测这个院系的教学风格。考 生复习时，每复习一遍或每过一段时间，就应该拿出真题研究一下，结合年内的行业热点（无 论是文科还是理科，其核心期刊总会反映年度热点问题）和近期理论界的研究争论焦点进行 分析。事实证明，考生对专业真题的钻研确实可以让考生猜到那么几十分的题目。专业课的 真题，要训练对分析题的解答，把自己的答案切切实实写在纸上，不要打腹稿（这样有时候 感觉自己给分点都答到了，实际上却相差很远），再反复对照自己和参考答案（如果有的话） 的差别，分析答题角度，揣摩命题人意图，并用同一道题在相隔一定时间后反复训练，慢慢 完善自己此类题型的解答方法。
结语总之，从心理到实战，考研对每一个选择它的人都赋予了公平的起点和特别的困难。 当你选择考研时，你要相信自己是勇敢的，与众不同的。而当你的毅力和努力让你有一天相 信自己能够战胜这个挑战时，你就离胜利不远了。
资料来源：育明考研考博官网
复习的尺度上，主要是将专业课教材精读两遍以上，这里精读的速度不宜太快，否则会 有遗漏，一般每天弄懂两到三个问题为宜。由于这段时间较长，考生完全可以把专业问题都 吃透。事实上，一本专业课的书，并非所有的东西都能够作为考试内容，但是重要的内容则 会不厌其烦地在不同年份的考卷中变换着面孔出现。所以，考生在第一遍精读的时候就需要 把这些能够成为考题的东西挖掘出来，整理成问答的形式。
2016考研数学一真题及答案解析
2016年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题一、选择题:1～8小题，每小题4分，共32分.下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸．．．指定位置上.1、若反常积分1(1)a bdx x x +∞+⎰收敛，则（A ）1a <且1b >.（B ）1a >且1b >.（C ）1a <且1a b +>.（D ）1a >且1a b +>.2、已知函数2(1),1,()ln ,1,x x f x x x -<⎧=⎨≥⎩则()f x 的一个原函数是（A ）2(1), 1.()(ln 1), 1.x x F x x x x ⎧-<=⎨-≥⎩（B ）2(1), 1.()(ln 1)1, 1.x x F x x x x ⎧-<=⎨--≥⎩（C ）2(1), 1.()(ln 1)1, 1.x x F x x x x ⎧-<=⎨++≥⎩（D ）2(1), 1.()(ln 1)1, 1.x x F x x x x ⎧-<=⎨-+≥⎩3、若222(1)1y x x =+-+，222(1)1y x x =+++是微分方程'()()y p x y q x +=的两个解，则()q x =（A ）23(1)x x +.（B ）23(1)x x -+.（C ）21x x +.（D ）21xx-+.4、已知函数,0,()111,,1,2,,1x x f x x n nn n≤⎧⎪=⎨<≤=⎪+⎩ 则（A ）0x =是()f x 的第一类间断点.（B ）0x =是()f x 的第二类间断点.（C ）()f x 在0x =处连续但不可导.（D ）()f x 在0x =处可导.5、设A ，B 是可逆矩阵，且A 与B 相似，则下列结论错误的是（A ）T A 与TB 相似.（B ）1A -与1B -相似.（C ）TA A +与TB B +相似.（D ）1A A -+与1B B -+相似.6、设二次型222123123121323(,,)444f x x x x x x x x x x x x =+++++，则123(,,)2f x x x =在空间直角坐标下表示的二次曲面为（A ）单叶双曲面（B ）双叶双曲面（C ）椭球面（D ）柱面7、设随机变量2~(,)(0)X N μσσ>，记2{}p P X μσ=≤+，则（A ）p 随着μ的增加而增加（B ）p 随着σ的增加而增加（C ）p 随着μ的增加而减少（D ）p 随着σ的增加而减少8、随机试验E 有三种两两不相容的结果1A ，2A ，3A ，且三种结果发生的概率均为13，将试验E 独立重复做2次，X 表示2次试验中结果1A 发生的次数，Y 表示2次试验中结果2A 发生的次数，则X 与Y 的相关系数为（A ）12-（B ）13-（C ）13（D ）12二、填空题：9～14小题,每小题4分,共24分.请将答案写在答题纸．．．指定位置上.9、02ln(1sin )lim_______.1cos xx t t t dt x →+=-⎰10、向量场(,,)()A x y z x y z i xyj zk =++++的旋度_______.rotA =11、设函数(,)f u v 可微，(,)z z x y =由方程22(1)(,)x z y x f x z y +-=-确定，则(0,1)|______.dz =12、设函数2()arctan 1xf x x ax=-+，且(0)1f '''=，则a =______.13、行列式100010014321λλλλ--=-+______.14、设12,,,n x x x 为来自总体2(,)N μσ的简单随机样本，样本均值9.5x =，参数μ的置信度为0.95的双侧置信区间的置信上限为10.8，则μ的置信度为0.95的双侧置信区间为______.三、解答题：15～23小题,共94分.请将解答写在答题纸．．．指定位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15、（本题满分10分）已知平面区域{=(,)|22(1cos ),22D r r ππθθθ⎫≤≤+-≤≤⎬⎭，计算二重积分Dxdxdy ⎰⎰.16、（本题满分10分）设函数()y x 满足方程20y y ky '''++=，其中01k <<.（1）证明：反常积分()y x dx +∞⎰收敛；（2）若(0)1y =，(0)1y '=，求0()y x dx +∞⎰的值.17、（本题满分10分）设函数(,)f x y 满足2(,)(21)x y f x y x e x-∂=+∂，且(0,)1f y y =+，t L 是从点(0,0)到点(1,)t 的光滑曲线。
南开大学2016年数学分析考研试题解答
南开大学2016年数学分析考研试题解答1.(15分)求定积分xdx en x ln 1⎰,Z n ∈.解:令t x =ln ,则[]1,0,∈=t x e t 且.则原积分化为dt t etn )1(10+⎰=11+n )()1(1etn d t +⎰=11+n ⎥⎦⎤⎢⎣⎡-⎰++10)1(1dt e e t n n =11+n . 2.(20分)求曲线积分,2yzds L x -⎰其中L 是0=++z y x 和1222=++z y x 的交线.解:首先,根据对称性可知,=⎰ds Lx 2ds zy x L 22231++⎰=32π又有⎰-Lyzds =61-⎰++Lzxds yz xy 222=61-ds zy x z y x L2222)(---⎰++=3π 故原积分=-⎰yzds L x 23π+32π=π. 3.(15分)求)2(120121x xn n n +∑+∞=+的收敛域及和函数. 解:命()=x a n)2(12121x x n n +++,则()=+x a n 1)2(32321xx n n +++.故 ()()x x a a nn n 1lim +∞→=)2()2(lim 12323212x x x x n n n n n ++++∞→++=)2(2xx +, 故由Alembert d '判别法可知, 当)2(2xx +<1时所给的广义幂级数绝对收敛;当xx+2=-1时,由Leibnitz 判别法易知级数收敛.解上述关于x 的不等式即得此广义幂级数的收敛域为)[∞+-,1. 记()=x S )2(120121xxn n n +∑+∞=+,则易验证其在)(∞+-,1内一致收敛.因而()∑+∞=='02)2(n nxx x S =xx x 444442+++,)(∞+-∈∀,1x .两边对x 积分及结合()00=S 即可得到())1ln(4181432x x x S x +++=,)(∞+-∈∀,1x . 又由于()41π=-S ,即得()x S 表达式. 4.(15分)求)(y xy y x f y x 12469,22-++=在闭域D :)({}3669,22≤+y x y x 内的最大值.5.(15分)设()x f n 在I 上一致连续,且()x f n 一致收敛于()x f .证明:()x f 在I上一致连续.证明:由()x f n 一致连续知,0>∀ε,0>∃δ只要δ<-x x 21就有()()321ε<-x f x f nn.又由()x f n一致收敛于()x f 知,对上述,0>εN N ,+∈∃当N n >时,()()3ε<-x f x f n 对I x ∈成立.则有()()≤-x x f f 21()()+-x f x nf 11()()x f x f nn21-()()x x f f n22-+3ε<εεε=++33.由此知()x f 在I上一致连续.6.(15分)设()x f 在)(∞+,0上非负,对,0>∀A ()x xf 在][A ,0上可积,且()dx x f ⎰+∞收敛.证明:().01lim 0=⎰+∞→dx x xf A AA证明:()dx x f ⎰+∞0收敛知:,0>∀ε..,0t s M >∃()ε<⎰+∞dx x f M.取A,..M A t s >ε则()=⎰dx x xf A A1()=⎰dx x f AxA()()dx x f A x dx x f AxA A A ⎰⎰+εε()()dx x f dx x f AA A ⎰⎰+<εεε0()⎪⎭⎫ ⎝⎛+<⎰+∞01dx x f ε 由此即可得证. 7.(20分)求极限+∞→x lim ⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡-++++)11()111(12x x x xx 解:注意到+∞→x lim ⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡-++++)11()111(12x x x xx =()⎥⎦⎤⎢⎣⎡-⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛++++∞→e e x x x x x x 11ln 111ln 12lim ,则有()⎥⎦⎤⎢⎣⎡-⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫⎝⎛++++∞→ee xx x x x x 11ln 111ln 12lim=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+++-+++∞→++e xxx x x x xx )111ln()1()11ln(211lim )111(=()⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-⎪⎭⎫ ⎝⎛+++++++∞→)11ln(111ln 1lim 21)111(x x x x x xxx , ()1 又有()()⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡+-++=⎪⎭⎫ ⎝⎛+++++)(21111111ln 1)11()11(22x x o x x x x ,as +∞→x ,及 ⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡+-=+)1()1(21)11ln(22x x o x x x x ,as +∞→x .代入()1中即可得,+∞→x lim ⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡-++++)11()111(12x x x xx =2e .8.(20分)设二元函数)(y x f ,二阶可偏导，)({}1,22≤+=y x y x D 且.12222=∂+∂∂∂y xf f求证:dxdy y fy x f x D)(∂∂+∂∂⎰⎰=4π.证:先引进Laplacian f ∆,则.1=∆f我们只要考虑fdxdy Dy x ∆+⎰⎰)2(22即可.根据第二Green 公式可知,fdxdy Dy x ∆+⎰⎰)2(22=-dxdy y f y x f xD)(∂∂+∂∂⎰⎰+ds n Ly x ∂+⎰2(22, 其中L 方向为单位圆周沿逆时针方向，n 为外法向量.故dxdy y f y x f xD)(∂∂+∂∂⎰⎰=n L y x ∂+⎰2(22-fdxdy Dy x ∆+⎰⎰)2(22=ds n L ⎰∂21-dxdy Dy x ⎰⎰+)2(22=)(21dx y fdy x f L ∂∂-∂∂⎰-rdr d r ⎰⎰102202πθ =4π,证毕!9.(15分)已知()x f 在][1,0上连续,在)(1,0上可导.且()x f =()1+x f ,()0f =0,()x f '单调递减,对x ∀和Z n ∈∀,求证:()nx f ≤()x nf .证:)1由于()0f =0,故当0=x 时,()()x nf nx f =(Z n ∈∀).又()x f =()1+x f ,故()()1nf n f =也易验证.)2[]1,0∈∀x 注意到()nx f =()dtt f nx⎰'0=()dt t f nk kxx k ∑⎰=-'1)1(以及()x nf =()dt t f nk x∑⎰='1，因此只要证()dt t f kxxk ⎰-')1(≤()dt t f x⎰'0即可.N k +∈∀,若][][1,0,)1(⊂-kx x k ,根据()01≥-x k ,0≥kx 以及()x f '的递减性,上述不等式显然成立.若()x k 1-1<2<<kx (the case where1=kxis trivial),则有()dt t f kxxk ⎰-')1(=()()dt t f dt t f kxxk ⎰⎰'+'-11)1(=()()dt t f dt t f kx xk ⎰⎰--'+'101)1(将上述不等式左边减去右边,有()()dt t f dt t f kx xk ⎰⎰--'+'11)1(-()dt t f x⎰'0=()dt t f xk ⎰-'1)1(-()01≤'⎰-dt t f xkx ,此即所要证明的命题成立.。