【高考】2018-2019学年数学高考二轮复习专题一第3讲不等式案-文科
【2018年高考一轮课程】文科数学全国通用版不等式选讲教案
【2018年⾼考⼀轮课程】⽂科数学全国通⽤版不等式选讲教案⼀、⾃我诊断知⼰知彼1、解不等式：|21|3x x +-< 【答案】4(2,)3-【解析】根据题意，原不等式等价于：43213,23x x x x -<-<-∴-<<，解集为4(2,)3-。
2、已知函数52)(---=x x x f（I ）证明：3)(3≤≤-x f ；（II ）求不等式158)(2+-≥x x x f 的解集. 【答案】（I ）略；（II ）}635{≤≤-x x【解析】（I ）3,2,()|2||5|27,25,3, 5.x f x x x x x x -≤??=---=-<当25,327 3.x x <<-<-<时所以3() 3.f x -≤≤（II ）由（I ）可知，当2≤x 时，158)(2+-≥x x x f 的解集为空集；当52<158)(2+-≥x x x f 的解集为}535{<≤-x x ；当5≥x 时，158)(2+-≥x x x f 的解集为}65{≤≤x x ；综上，不等式158)(2+-≥x x x f 的解集为}635{≤≤-x x 。
3、不等式|5||3|10x x -++≥的解集为（A ）]7,5[- （B ）]6,4[- （C ）(,5][7,)-∞-?+∞ （D ）(,4][6,)-∞-?+∞ 【答案】D【解析】根据题意，双绝对值的分界点为-3,5，（1）当3-≤x 时，1035≥---x x ，解得4-≤x ；（2）当53<<-x 时，1035≥++-x x ，⽆解；（3）当5≥x 时，1035≥++-x x ，解得6≥x ，综合上述不等式的解集为(,4][6,)-∞-?+∞，选项D 正确。
4、若存在实数x 使|||1|3x a x -+-≤成⽴，则实数a 的取值范围是________ 【答案】42≤≤-a【解析】根据题意，|||1|3x a x -+-≤表⽰在数轴上，a 到1的距离⼩于等于3，即31≤-a则42≤≤-a 。
2018_2019学年高中数学第三讲柯西不等式与排序不等式一二维形式的柯西不等式习题课件
柯西不等式与排序不等式
一
二维形式的柯西不等式
[A A．a2＋b2≥2ab(a，b∈R)
基础达标] )
1．二维形式的柯西不等式可用下列式子表示的为( B．(a2＋b2)(c2＋d2)≥(ab＋cd)2(a，b，c，d∈R) C．(a2＋b2)(c2＋d2)≥(ac＋bd)2(a，b，c，d∈R) D．(a2＋b2)(c2＋d2)≤(ac＋bd)2(a，b，c，d∈R)
3．函数 y＝ x－5＋2 6－x的最大值是( A． 3 C．3 B． 5 D．5
)
解析：选 B.设 m＝( x－5， 6－x)，n＝(1，2)， 则 m· n＝ x－5＋2 6－x≤|m||n|＝ （ x－5）2＋（ 6－x）2· 12＋22＝ 26 5，当且仅当 6－x＝2 x－5，即 x＝ 时等号成立． 5
9 解：因为 a＞0，b＞0，且 a ＋b ＝ ， 2
2 2
所以 9＝(a2＋b2)(12＋12)≥(a＋b)2. 所以
3 a＋b≤3当且仅当a＝b，即a＝b＝2时取等号.
又因为 a＋b≤m 恒成立，所以 m≥3.
[B
能力提升]
1 2 1．设 x，y∈R＋，且 x＋2y＝36， 则x＋y 的最小值为________．
解析：因为 a2＋b2＝9，x2＋y2＝4， 由柯西不等式(a2＋b2)(x2＋y2)≥(ax＋by)2， 得 36≥(ax＋by)2，当且仅当 ay＝bx 时取等号， 所以 ax＋by 的最大值为 6，最小值为－6， 即 m＝6，n＝－6， 所以 mn＝－36.
答案：－36
8．若函数 y＝a x＋1＋ 6－4x的最大值为 2 5，则正数 a 的 值为________．
4 9 4．已知x＋y ＝2，x，y∈R＋，则 x＋y 的最小值是( 25 A． 2 5 C． 2 25 B． 4 D．5
2018届高考数学二轮复习(文科数学)不等式课件(全国通用)
(1)
3.指数不等式、对数不等式及抽象函数不等式,可利用函数的单调性求 解.
典型例题
1 x , x 1, (1)若函数f(x)= 2 则f(x)≥2的解集为 log x, x 1, 2
第 3讲
不等式
考情分析
总纲目录
考点一 不等式的解法及应用 考点二 基本不等式及其应用 考点三 简单的线性规划问题（高频考点）
考点一 不等式的解法及应用
1.一元二次不等式的解法
把一元二次不等式先化为一般形式ax2+bx+c>0(a≠0),再求相应一元二
次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根,最后根据相应二次函数图象与x轴的位置 关系,确定一元二次不等式的解集. 2.简单分式不等式的解法
1 4
典型例题
x y (1)(2017山东,12,5分)若直线 + =1(a>0,b>0)过点(1,2),则2a+b的 a b
最小值为
a 4 4b 4 1 ab (2)(2017天津,13,5分)若a,b∈R,ab>0,则 的最小值为
.
.
答案
8 4
1 2 解析 (1)由题设可得 a + b =1,∵a>0,b>0, b 4a b 4a 1 2 ∴2a+b=(2a+b) a b =2+ a + b +2≥4+2 a b =8
跟踪集训
2018-2019年高三数学(文)二轮复习：专题二 函数、不等式、导数2.3PPT课件
，
解析：
(1)画出不等式组表示的平面区域，如图中阴影部分所示．
由题意可知， 当直线 y＝x－z 过点 A(2,0)时， z 取得最大值， 即 zmax＝2－0＝2； 当直线 y＝x－z 过点 B(0,3)时，z 取得最小值，即 zmin＝0－3＝－3. 所以 z＝x－y 的取值范围是[－3,2]． 故选 B.
∴Q＝[－ 3，－1)∪(1， 3]． ∵Q⊆P， ∴P＝(－∞，－1)∪(a，＋∞)． ∴－1≤a≤1.
(2)当 a>1 时，由题意可得 x －ax－2a >0
10 m≥a ，所以 x2＋2mx－m≤0
2
2
1 2 的解集为(－a,2a)，且ax ＋2mx－
恒成立，这显然是不可能的．当 0<a<1 时，由题意
第一部分 专题突破——破译命题密码
第 3 课时 不等式
高考对本部分考查主要从以下方面进行： (1)对于解不等式，主要涉及一元二次不等式、分式不等式、 对数和指数不等式， 并且以一元二次不等式为主． 不等式的 解法是基本功，它渗透在很多题型中．
(2)对于线性规划知识的考查主要通过图示的方法获得最优 解或已知最优解求参数， 此类题型有时需要借助一个实际背 景． 其中以考查线性目标函数的最值为重点， 常结合其代数 式的几何意义(如斜率、截距、距离、面积等)来求解． (3)对于基本不等式重在考查对代数式的转化过程及适用条 件、 等号成立条件的检验， 在求最值或不等式恒成立问题中 常用基本不等式.
2．不等式(a－2)x2＋2(a－2)x－4<0 的解集为 R，则实数 a 的取值范围是 ________． 解析： 当 a＝2 时，不等式化为－4<0，恒成立；当 a≠2 时，由条件知 ，解得－2<a<2.综上所述，a 的取值范围是(－2,2]．
2019-2020年高考数学二轮复习 专题1 高考客观题常考知识 第3讲 不等式与线性规划 理
2019-2020年高考数学二轮复习专题1 高考客观题常考知识第3讲不等式与线性规划理不等式的解法1.设f(x)=则不等式f(x)<2的解集为( B )(A)(,+∞) (B)(-∞,1)∪[2,)(C)(1,2]∪(,+∞) (D)(1,)解析:原不等式等价于或即或解得2≤x<或x<1.故选B.2.(xx山东卷)若函数f(x)=是奇函数,则使f(x)>3成立的x的取值范围为( C )(A)(-∞,-1) (B)(-1,0)(C)(0,1) (D)(1,+∞)解析:f(-x)==,由f(-x)=-f(x)得=-,即1-a·2x=-2x+a,化简得a·(1+2x)=1+2x,所以a=1.f(x)=.由f(x)>3,得0<x<1,故选C.3.(xx陕西西安市模拟)关于x的不等式x2-2ax-3a2<0(a<0)的解集为(x1,x2),且x2-x1=12,则实数a的值等于.解析:因为关于x的不等式x2-2ax-3a2<0(a<0)的解集为(x1,x2),所以x1+x2=2a,x1·x2=-3a2,又x2-x1=12,(x2-x1)2=(x2+x1)2-4x1·x2,所以144=4a2+12a2=16a2,解得a=±3,因为a<0,所以a=-3.答案:-3简单的线性规划问题4.(xx北京卷)若x,y满足,则z=x+2y的最大值为( D )(A)0 (B)1 (C) (D)2解析:由x,y的约束条件可画出可行域(如图所示),其中A（,）,B(0,1),易知直线x+2y-z=0经过点B(0,1)时,z取最大值2,故选D.5.(xx浙江温州市第二次适应测试)若实数x,y满足不等式组且z=y-2x的最小值等于-2,则实数m的值等于( A )(A)-1 (B)1 (C)-2 (D)2解析:由z=y-2x,得y=2x+z,作出不等式对应的可行域,平移直线y=2x+z,由平移可知当直线y=2x+z经过点A时,直线y=2x+z的截距最小,此时z取得最小值为-2, 即y-2x=-2,由解得即A(1,0),点A也在直线x+y+m=0上,则m=-1.故选A.6.(xx贵州遵义市第二次联考)若则目标函数z=的取值范围是( A )(A)[2,5] (B)[1,5] (C)[,2] (D)[2,6]解析:z==1+2,可理解为求斜率的最值问题,画出可行域如图阴影部分,可知k=在(1,2)点处最大,最大为2;在(2,1)点处最小,最小为,所以z的取值范围为[2,5].故选A.7.(xx河南开封市模拟)设不等式组表示的平面区域为D,若指数函数y=a x的图象上存在区域D上的点,则a的取值范围是.解析:作出区域D的图象,联系指数函数y=a x的图象,能够看出,当图象经过区域的边界点C(2,9)时,a可以取到最大值3,而显然只要a大于1,图象必然经过区域内的点.则a的取值范围是1<a≤3.答案:(1,3]基本不等式的应用8.(xx甘肃省河西五地市高三第一次联考)函数y=a1-x(a>0,a≠1)的图象恒过定点A,若点A 在直线mx+ny-1=0(mn>0)上,则+的最小值为( B )(A)3 (B)4 (C)5 (D)6解析:函数y=a1-x(a>0,a≠1)的图象恒过定点A(1,1),又点A在直线mx+ny-1=0(mn>0)上,所以m+n=1,所以+=(m+n)(+)=2++≥2+2=4,当且仅当m=n=时取等号.故选B.9.(xx河南郑州市第一次质量预测)某三棱锥的三视图如图所示,且三个三角形均为直角三角形,则xy的最大值为( C )(A)32 (B)32 (C)64 (D)64解析:设该三棱锥的高为h,由三视图知,两式相减并整理得x2+y2=128.又因为xy≤==64(仅当x=y时取等号).10.(xx广东深圳市第一次调研考试)已知向量a=(-1,1),b=(1,)(x>0,y>0),若a⊥b,则x+4y的最小值为.解析:由a⊥b得-1+=0,+=1,(x+4y)·(+)=5++≥2+5=9.（当且仅当=时取等号）答案:9一、选择题1.(xx四川资阳市三模)已知loa<lob,则下列不等式一定成立的是( A )(A)（）a<()b (B)>(C)ln(a-b)>0 (D)3a-b<1解析:因为y=lox是定义域上的减函数,且loa<lob,所以a>b>0.又因为y=()x是定义域R上的减函数,所以()a<()b;又因为y=x b在(0,+∞)上是增函数,所以（）b<（）b;所以（）a<（）b,选项A正确.2.(xx湖南卷)若变量x,y满足约束条件则z=3x-y的最小值为( A )(A)-7 (B)-1 (C)1 (D)2解析:画出可行域如图所示.当直线y=3x-z过点C(-2,1)时,z取最小值,故z min=3×(-2)-1=-7.故选A.3.(xx广西柳州市、北海市、钦州市1月份模拟)设变量x,y满足约束条件则z=2x×的最小值为( B )(A) (B) (C) (D)解析:可得z=2x-2y,设m=x-2y,不等式组表示的平面区域如图阴影部分,平移直线l:y=x,由图象可知直线l经过点A时,其截距最大,m最小,z最小,解方程组得A(2,2),则z最小=.4.(xx江西南昌市第一次模拟)已知实数x,y满足若目标函数z=2x+y的最大值与最小值的差为2,则实数m的值为( C )(A)4 (B)3 (C)2 (D)-解析:作出可行域如图,根据目标函数的几何意义可转化为直线y=-2x+z的截距,可知在N点z取最小值,在M点z取最大值.因为N(m-1,m),M(4-m,m),所以z M-z N=2(4-m)+m-2(m-1)-m=10-4m=2,所以m=2.5.(xx甘肃省河西五地市高三第一次联考)已知集合{(x,y)|}表示的平面区域为Ω,若在区域Ω内任取一点P(x,y),则点P的坐标满足不等式x2+y2≤2的概率为( D )(A) (B) (C) (D)解析:作出不等式组对应的平面区域如图,则对应的区域为△AOB.由解得即B(4,-4).由解得即A（,）.直线2x+y-4=0与x轴的交点坐标为(2,0),则△OAB的面积S=×2×+×2×4=.点P的坐标满足不等式x2+y2≤2区域面积S=×π×()2=,由几何概型的概率公式得点P的坐标满足不等式x2+y2≤2的概率为=.故选D.6.(xx陕西卷)某企业生产甲、乙两种产品均需用A,B两种原料,已知生产1吨每种产品所需原料及每天原料的可用限额如表所示,如果生产1吨甲、乙产品可获利润分别为3万元、4万元,则该企业每天可获得最大利润为( D )甲乙原料限额A(吨) 3 2 12B(吨) 1 2 8解析:设该企业每天生产甲产品x吨,乙产品y吨,每天获得的利润为z万元,则有z=3x+4y,由题意得x,y满足不等式组表示的可行域是以O(0,0),A(4,0),B(2,3),C(0,4)为顶点的四边形及其内部.根据线性规划的有关知识,知当直线3x+4y-z=0过点B(2,3)时,z取最大值18,故该企业每天可获得最大利润为18万元.故选D.7.设f(x)=ln x,0<a<b,若p=f(),q=f(),r=[f(a)+f(b)],则下列关系式中正确的是( C )(A)q=r<p (B)q=r>p(C)p=r<q (D)p=r>q解析:由题意得p=ln ,q=ln ,r=(ln a+ln b)=ln =p,因为0<a<b,所以>,所以ln >ln ,所以p=r<q.故选C.8.(xx四川南充市第一次高考适应性考试)若目标函数z=ax+by(a>0,b>0)满足约束条件且最大值为40,则+的最小值为( B )(A) (B) (C)1 (D)4解析:不等式表示的平面区域为如图阴影部分,当直线z=ax+by(a>0,b>0)过直线x-y+2=0与直线2x-y-6=0的交点(8,10)时,目标函数z=ax+by(a>0,b>0)取得最大值40,即8a+10b=40,即4a+5b=20,而+=(+)=+(+)≥+1=.故选B.9.(xx山东卷)已知x,y满足约束条件当目标函数z=ax+by(a>0,b>0)在该约束条件下取到最小值2时, a2+b2的最小值为( B )(A)5 (B)4 (C) (D)2解析:不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示,根据目标函数的几何意义可知,目标函数在点A(2,1)处取得最小值,故2a+b=2.法一将2a+b=2两边分别平方得4a2+b2+4ab=20,而4ab=2×a×2b≤a2+4b2,当且仅当a=2b, 即a=,b=时取等号.所以20≤4a2+b2+a2+4b2=5(a2+b2),所以a2+b2≥4,即a2+b2的最小值为4.故选B.法二将2a+b=2看作平面直角坐标系aOb中的直线,则a2+b2的几何意义是直线上的点与坐标原点距离的平方,故其最小值为坐标原点到直线2a+b=2距离的平方,即()2=4.故选B.10.(xx重庆卷)若不等式组表示的平面区域为三角形,且其面积等于,则m的值为( B )(A)-3 (B)1 (C) (D)3解析:作出不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示,由图可知,要使不等式组表示的平面区域为三角形,则m>-1.由解得即A(1-m,1+m).由解得即B(-m,+m).因为S△ABC=S△ADC-S△BDC=(2+2m)[(1+m)-(+m)]=(m+1)2=,所以m=1或m=-3(舍去),故选B.11.(xx四川宜宾市二诊)已知集合A={x∈R|x4+mx-2=0},满足a∈A的所有点M(a,)均在直线y=x的同侧,则实数m的取值范围是( A )(A)(-∞,-)∪(,+∞)(B)(-,-1)∪(1,)(C)(-5,-)∪(,6)(D)(-∞,-6)∪(6,+∞)解析:因为集合A={x∈R|x4+mx-2=0},所以方程的根显然x≠0,原方程等价于x3+m=,原方程的实根是曲线y=x3+m与曲线y=的交点的横坐标,而曲线y=x3+m是由曲线y=x3向上或向下平移|m|个单位而得到的,若交点(x i,)(i=1,2)均在直线y=x的同侧,因直线y=x与y=交点为(-,-),(,);所以结合图象可得或解得m>或m<-.故选A.12.已知函数f(x)=x+sin x(x∈R),且f(y2-2y+3)+f(x2-4x+1)≤0,则当y≥1时,的取值范围是( A )(A)[,] (B)[0,] (C)[,] (D)[0,]解析:因为f(-x)=-x+sin(-x)=-f(x),且f′(x)=1+cos x≥0,所以函数f(x)为奇函数,且在R上是增函数.所以由f(y2-2y+3)+f(x2-4x+1)≤0,得f(y2-2y+3)≤f(-x2+4x-1),所以y2-2y+3≤-x2+4x-1,即(x-2)2+(y-1)2≤1,其表示圆(x-2)2+(y-1)2=1及其内部.表示满足的点P与定点A(-1,0)连线的斜率.结合图形分析可知,直线AC的斜率=最小,切线AB的斜率tan∠BAX=tan 2∠PAX===最大.故选A.二、填空题13.(xx江苏卷)不等式<4的解集为.解析:不等式<4可转化为<22,由指数函数y=2x为增函数知x2-x<2,解得-1<x<2,故所求解集为(-1,2).答案:(-1,2)14.(xx新课标全国卷Ⅱ)已知偶函数f(x)在[0,+∞)单调递减,f(2)=0.若f(x-1)>0,则x的取值范围是.解析:由题意,得函数f(x)的草图如图所示.因为f(x-1)>0,所以|x-1|<2,所以-2<x-1<2,所以-1<x<3.答案:(-1,3)15.(xx合肥八中段考)若正数a,b满足a+2b=3,且使不等式+-m>0恒成立,则实数m的取值范围是.解析:不等式+-m>0恒成立,即3(+)>3m恒成立.又正数a,b满足a+2b=3,(a+2b)(+)=+++2≥,当且仅当a=b=1时取“=”,所以实数m的取值范围是(-∞,).答案:(-∞,)16.(xx浙江卷)已知函数f(x)=则f(f(-3))= ,f(x)的最小值是.解析:因为-3<1,所以f(-3)=lg[(-3)2+1]=lg 10=1,所以f(f(-3))=f(1)=1+-3=0.当x≥1时,f(x)=x+-3≥2-3(当且仅当x=时,取“=”),当x<1时,x2+1≥1,所以f(x)=lg(x2+1)≥0,又因为2-3<0,所以f(x)min=2-3.答案:0 2-3。
高考文科数学不等式复习教案
高考文科数学不等式复习教案【小编寄语】查字典数学网小编给大家整理了2021届高考文科数学不等式温习教案，希望能给大家带来协助!新课标——回归教材不等式1、不等式的性质:称号不等式称号不等式对称性 (充要条件)传递性可加性 (充要条件)同向不等式可加性:异向不等式可减性:可乘性同向正数不等式可乘性:异向正数不等式可除性:乘方法那么开方法那么倒数法那么常用结论 (充要条件)注:表中是等价关系的是解、证明不等式的依据,其它的仅仅是证明不等式的依据.典例:1)关于实数中,给出以下命题:① ;② ;其中正确的命题是②③⑥⑦⑧ .2) , ,那么的取值范围是 ;3) ,且那么的取值范围是 .2、不等式大小比拟的常用方法:(1)作差:作差后经过火解因式、配方等手腕判别差的符号得出结果;(2)作商(常用于分数指数幂的代数式);(3)剖析法;(4)平方法;(5)分子(或分母)有理化;(6)应用函数的单调性;(7)寻觅中间量或放缩法;(8)图象法.其中比拟法(作差、作商)是最基本的方法.典例:1)设 ,比拟的大小答案:①当时, (在时取〝=〞);②当时, (在时取〝=〞);2) ,试比拟的大小.( 答: )3)设 , , ,试比拟的大小(答: );4)比拟1+ 与的大小.答:当或时,1+ > ;当时,1+ < ;当时,1+ =5)假定 ,且 ,比拟的大小.(答: )3.应用重要不等式求函数最值:〝一正二定三相等,和定积最大,积定和最小〞.典例:1)以下命题中正确的选项是( B )A. 的最小值是2B. 的最大值是C. 的最小值是2D. 的最小值是 ;2)假定 ,那么的最小值是 ;3) ,且 ,那么的最小值为18;变式①: ,那么的最小值为 18 ;②: ,且 ,那么的最大值为 1 ;③: ,且 ,那么的最小值为 9 ;4.常用不等式有:(1) 当时取=号)(2) 当时取=号)上式从左至右的结构特征为:〝平方和〞不小于〝战争方之半〞不小于〝积两倍〞.(3)真分数性质定理:假定 ,那么 (糖水的浓度效果).典例:假定 ,满足 ,那么的取值范围是¬ .5、证明不等式的方法:比拟法、剖析法、综合法和放缩法.比拟法的步骤是:作差(商)后经过火解因式、配方、通分等手腕变形判别符号或与1的大小,然后作出结论.) 常用的放缩技巧有: (左边当时成立)典例:1) ,求证: ;2) ,求证: ;3) ,且 ,求证: ;4)假定是不全相等的正数,求证: ;5)假定 ,求证: ;6)求证: .6.常系数一元二次不等式的解法:判别式-图象法步骤:(1)化普通方式: ,其中 ;(2)求根的状况: ;(3)由图写解集:思索图象得解.典例:解不等式 .(答: )注:解一元二次不等式的进程实践上是一种函数、方程与不等式思想的转换进程,从中我们不美观出〝三个二次〞关系是中心,即一元二次不等式解集定值端点(非正负无量大)是对应一元二次方程(函数)的根(零点).典例:假定关于的不等式的解集为 ,解关于的不等式 .(答: )7.复杂的一元高次不等式的解法:标根法:其步骤是:(1)分解成假定干个一次因式的积,并使每一个因式中最高次项的系数为正;(2)将每一个一次因式的根标在数轴上,从最大根右上方依次经过每一点画曲线(奇穿偶回);(3)依据曲线显现的符号变化规律,写出不等式的解集.典例:1)解不等式 .(答: 或 );2)不等式的解集是 ;3)设函数、的定义域都是 ,且的解集为 , 的解集为 ,那么不等式的解集为 ;4)要使满足关于的不等式 (解集非空)的每一个的值至少满足不等式和中的一个,那么实数的取值范围是 .8.分式不等式的解法:分式不等式的普通解题思绪是先移项使左边为0,再通分并将分子分母分解因式,并使每一个因式中最高次项的系数为正,最后用标根法求解.解分式不等式时,普通不能去分母,但分母恒为正或恒为负时可去分母.典例:1)解不等式 (答: );2)关于的不等式的解集为 ,那么关于的不等式的解集为 .注:和一元二次不等式一样,不等式解集的端点值往往是不等式对应方程的根或不等式有意义范围的端点值.9.相对值不等式的解法:(了解)(1)分域讨论法(最后结果应取各段的并集)典例:解不等式 ;(答: );(3)应用相对值的定义;(3)数形结合;典例:解不等式 ;(答: )(4)两边平方典例:假定不等式对恒成立,那么实数的取值范围为10、含参不等式的解法:通法是〝定义域为前提,函数增减性为基础,分类讨论是关键.〞留意:①解完之后要写上:〝综上,原不等式的解集是…〞.②按参数讨论,最后应按参数取值区分说明其解集;但假定按未知数讨论,最后应求并集.典例:1)假定 ,那么的取值范围是 ;2)解不等式 .(答: 时, ; 时, 或 ; 时, 或 )含参数的一元二次不等式的解法:三级讨论法.普通地,设关于的含参数的一元二次方式的不等式为: .(1)第一级讨论:讨论二次项系数能否为零;(2)第二级讨论:假定时,先观察其左边能否因式分解,否那么讨论的符号;(3)第三级讨论:假定时,先观察两根大小能否确定,否那么讨论两根的大小.留意:每一级的讨论中,都有三种状况能够出现,即〝>〞,〝=〞,〝<〞,应做到不重不漏.典例:1)解关于的不等式 .答:①当时, ;②当时, ;③当时, ;④当时,⑤当时,2)解关于的不等式 .答:①当时, ;②当时,③当时, ;④当时, ;⑤当时,提示:解不等式是求不等式的解集,最后务必有集合的方式表示.11.不等式的恒成立、能成立、恰成立等效果:不等式恒成立效果的惯例处置方式?常运用函数方程思想和〝分别变量法〞转化为最值效果,也可抓住所给不等式的结构特征,应用数形结合法.1).恒成立效果★★★假定不等式在区间上恒成立,那么等价于在区间上假定不等式在区间上恒成立,那么等价于在区间上典例:1)设实数满足 ,当时, 的取值范围是 ;2)不等式对一实在数恒成立,务实数的取值范围 ;3)假定对满足的一切都成立,那么的取值范围 ;4)假定不等式关于恣意正整数恒成立,那么实数的取值范围是5)假定不等式对恒成立,那么的取值范围2).能成立效果假定在区间上存在实数使不等式成立,那么等价于在区间上 ;假定在区间上存在实数使不等式成立,那么等价于在区间上的 .留意:假定方程有解,那么等价于典例:1) 在实数集上的解集不是空集,务实数的取值范围2) 函数的定义域为 .①假定 ,务实数的取值范围.(答: )②假定方程在内有解,务实数的取值范围.(答: )3). 恰成立效果假定不等式在区间上恰成立,那么等价于不等式的解集为 ;假定不等式在区间上恰成立,那么等价于不等式的解集为 .12..复杂的线性规划效果:(1)二元一次不等式(组)表示平面区域①普通地,二元一次不等式在平面直角坐标系中表示直线某一侧的一切点组成的平面区域(半平面)不含边界限;。
【60天冲刺】高考二轮三轮总复习专题学案课件专题3数列、不等式(大纲文科专用)
na1q＝1， (3)求和公式：Sn＝a111－－qqn＝a11－－aqnqq≠1.
第9讲 │ 主干知识整合
(4)性质： 性质 1: 若{an}为等比数列，m，n，k，l∈N*，且 m ＋n＝k＋l，则 am·an＝ak·al. 性质 2: 若{an}和{bn}均是等比数列，则{anbn}仍为等 比数列． 性质 3：等比数列中依次 k 项和成等比数列，即 Sk， S2k－Sk，S3k－S2k，…成等比数列，公比为 qk(公比 q 不 为－1)． 性质 4: 等比数列中依次 k 项积成等比数列，记 Tn 为前 n 项积，即 Tk，TT2kk，TT32kk，…成等比数列，其公比为 qk2.
第9讲 │ 主干知识整合
性质 4：若{an}和{bn}均是等差数列，则{man＋kbn}仍为等差数列，m， k 为常数．
性质 5：等差数列中依次 k 项和成等差数列，即 Sk，S2k－Sk，S3k－S2k，… 成等差数列，公差为 k2d.
性质 6：项数为奇数 2n－1 的等差数列{an}有 S2n－1＝(2n－1)an(an 为中 间项)．
第9讲 │ 要点热点探究
要点热点探究
► 探究点一 等差数列的通项、求和与性质 例 1 设 Sn 为等差数列{an}的前 n 项和，若 a1＝1，
公差 d＝2，Sk＋2－Sk＝24，求 k 的值． 【分析】 由已知条件，直接根据等差数列
求和公式或通项公式列出方程，即可求出 k 的值．
第9讲 │ 要点热点探究
例 2 已知数列{an}中，a1＝1，a2＝3，其前 n 项和为 Sn，且当 n≥2 时，an＋1Sn－1－anSn＝0.
2018届高考数学文二轮复习全国通用课件：专题一 函数与导数、不等式 第3讲 精品
高考定位 常以指数、对数式为载体，考查函数单调性的求 法或讨论，以及考查函数极值、最值的求法，综合考查与范 围有关的问题.
真题感悟
(2016·山东卷)设f(x)＝xln x－ax2＋(2a－1)x，a∈R. (1)令g(x)＝f ′(x)，求g(x)的单调区间； (2)已知f(x)在x＝1处取得极大值.求实数a的取值范围.
[微题型2] 已知函数的单调区间求参数范围
【例 1－2】 (2016·广东湛江二模)已知函数 f(x)＝x2＋2aln x. (1)若函数 f(x)的图象在(2，f(2))处的切线斜率为 1，求实数 a 的值； (2)若函数 g(x)＝2x＋f(x)在[1，2]上是减函数，求实数 a 的取 值范围.
热点三 利用导数研究函数的最值 【例3】 (2016·武汉二模)设函数f(x)＝ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ＋(1＋a)x－x2－x3，其
探究提高 已知函数的单调性，求参数的取值范围，应用条件 f ′(x)≥0(或f ′(x)≤0)，x∈(a，b)恒成立，解出参数的取值范围 (一般可用不等式恒成立的理论求解)，应注意参数的取值是f ′(x) 不恒等于0的参数的范围.
【训练 1】 已知函数 f(x)＝(ax2－x)lnx－12ax2＋x(a∈R). (1)当 a＝0 时，求曲线 y＝f(x)在点(e，f(e))处的切线方程(e＝ 2.718…)； (2)求函数 f(x)的单调区间. 解 (1)当 a＝0 时，f(x)＝x－xln x，f′(x)＝－ln x，所以 f(e)＝0， f′(e)＝－1.所以曲线 y＝f(x)在点(e，f(e))处的切线方程为 y＝ －x＋e，即 x＋y－e＝0. (2)函数 f(x)的定义域为(0，＋∞)， f ′(x)＝(ax2－x)1x＋(2ax－1)ln x－ax＋1＝(2ax－1)ln x.
2018年高考数学总复习不等式选讲
第三节不等式选讲(选修4-5)考纲解读1.了解绝对值的几何意义，会利用绝对值的定义解不等式，利用绝对值不等式证明不等式和求最值.2.了解柯西不等式与其几何意义，会用它来证明不等式和求最位.3.了解基本不等式，会用它来证明不等式和求最值.4.会用综合法、分析法、反证法与数学归纳法证明不等式.命题趋势探究本节内容为新课标新增内容，是高考选考内容.题型以含绝对值的不等式的解法和证明为重要考点，不等式的应用为次重要考点，不等式证明放在一般位置，难度为中档.知识点精讲一、不等式的性质1.同向合成（1）；（2）；（3）.（合成后为必要条件）2.同解变形（1）；（2）；（3）.（变形后为充要条件）3.作差比较法二、含绝对值的不等式（1）；（2）（3）零点分段讨论三、基本不等式（1）（当且仅当等号成立条件为）（2）（当且仅当等号成立条件为）；（当且仅当时等号成立）（3）柯西不等式（当且仅当时取等号）①几何意义：②推广：.当且仅当向量与向量共线时等号成立.四、不等式的证明（1）作差比较法、作商比较法.（2）综合法——由因到果.（3）分析法——执果索因.（4）数学归纳法.（5）构造辅助函数利用单调性证明不等式.（6）反证法.（7）放缩法.题型归纳即思路提示题型201 含绝对值的不等式一、解含绝对值的不等式思路提示对于含绝对值的不等式问题，首先要考虑的是根据绝对值的意义去掉绝对值.常用的去绝对值方法是零点分段法.特别用于多个绝对值的和或差不等式问题.若单个绝对值的不等式常用以下结论：；；.有时去绝对值也可根据来去绝对值.例16.14 在实数范围内，不等式的解集为 .解析由于，即，即，所以，所以.所以不等式的解集为.变式1 不等式的解集是（）A. B. C. D.变式2 已知函数.（1）证明：；（2）求不等式的解集.二、含绝对值不等式恒成立，求参数问题例16.15 （2012辽宁理24）已知,不等式的解集为.(1)求的值；(2)若恒成立，求的取值范围.解析（1）由得，又的解集为，所以当时，不合题意.当时，得.(2)记，则，所以，因此，即的取值范围是.变式1 （2012新课标理24）已知函数.（1）当时，求不等式的解集；（2）若的解集包含，求的取值范围.变式 2 (2013重庆理16) 若关于实数的不等式无解，则实数的取值范围是 .变式 3 (2013全国新课标I理24) 已知函数,.(1)当时，求不等式的解集；(2)设，且当时，，求的取值范围.三、含绝对值（方程）不等式有解，求参数问题例16.16 若关于的不等式存在实数解，则实数的取值范围是 .解析不等式有解，则，故实数的取值范围是.变式1 (2012陕西理15)若存在实数使成立，则实数的取值范围是 .变式2 已知，关于的方程有实根，求的取值范围.四、已知含绝对值不等式的解集，求参数的值或范围例16.17 （2013福建理23）设不等式的解集为，且 .(1)求的值；(2)求函数的最小值.分析先根据不等式的情况求出字母取值，在利用不等式求解最值.解析（1）因为且，所以，且，解得.又，所以.(2)因为，当且仅当，即时取等号，所以的最小值为.变式1 设函数，其中.(1) 当时，求不等式的解集；(2)若不等式的解集为，求的值.变式2 (2013辽宁理24) 已知函数，其中.(1) 当时，求不等式的解集；(2) 已知关于的不等式的解集为，求的值.变式 3 (2012山东理13) 若不等式的解集为，则实数= .题型202 不等式的证明一、比较法（差值法和比值法）思路提示将待比较的两个代数式通过作差或作商，与与进行比较，得到大小关系.例16.18 已知均为正实数，且，求证：.分析比较与的大小可通过作差法.解析.因为，，所以,,.故.所以.评注作差比较的基本步骤为：（1）作差.（2）变形.（3）判断符号.变式 1 已知，且,. 求证：.二、利用函数的单调性证明思路提示使用对象：在某区间成立的函数不等式、数值不等式的证明通常是通过辅助函数完成的.解题程序：（1）移项（有时需要作简单的恒等变形），使不等式一端为，另一端为所作辅助函数.（2）求并验证在指定区间上的单调性.（3）求出区间端点的函数值（或极限值），其中至少有一个为或已知符号，作比较即得所证.例16.19 已知，求证：.分析属于在某区间上成立的不等式，通过移项使得一端为，另一端为所作的辅助函数，利用函数的单调性证明.解析原不等式等价于.令，.令，则，故在上是减函数，所以当时，，故. 故，所以在上是增函数.又，所以当时，成立.于是成立.变式1 证明：当时，.三、综合法与分析法思路提示字母分别表示一组不等式，其中为已知不等式，为待证不等式.若有，综合法是由前进式地推导，分析法是由倒退式地分析到.用分析法时，必须步步可逆.1.综合法（由因到果）例16.20 证明：.分析观察到与是负数，被开方数分别为，显然满足，这样可以考虑将分子有理化.解析，，，故，即.评注类似的问题可以总结为d的形式或者更广泛的形式.变式1 设，求证：.2.分析法（由果索因）例16.21 设，求证：.分析利用分析法将证明的不等式进行恒等变形，从而探寻证明的突破口.解析要证明，只要证，即证.因为，所以.故原不等式成立.评注在证明不等式时，经常用分析法探寻证明思路，再用综合法表述证明过程，有些不等式的证明需要一边分析，一边综合，在使用分析法证明时，要注意分析过程步步可逆.变式1 若，且，求证：.四、反证法思路提示从否定结论出发，经过逻辑推理导出矛盾，证实结论的否定是错误的，从而肯定原结论是正确的.它的依据是原命题与逆否命题同真假.例16.22 已知为不小于的正数，求证：不可能同时大于.分析假设三式都大于，经过推理，导出矛盾，证实结论的否定是错误的，从而肯定原结论的正确性.解析假设三式都大于，即，有①同理②③三式相加得，矛盾，故原命题成立.评注对于从正面证明不易着手，但从反面证明相对简单的命题，利用反证法解题会很方便.这也体现了数学中“正难则反”的思想.变式1 已知，,求证：.五、放缩法思路提示预证，可通过适当放大或缩小，借助一个或多个中间量，使得或，再利用传递性，达到证明目的，常见的放缩途径有“添舍”放缩、“分母”放缩和“单调”放缩.例16.23 已知正数满足，求证：.分析采用“添项”放缩法解析①同理②③①+②+③得.评注放缩法的主要依据是不等式的传递性，通常，若所证不等式两边形式差异较大，则应考虑用放缩法.本题也可用柯西不等式证明：，所以.变式1 证明：.例16.24 求证：.分析采用“分母”放缩法证明.解析由题意，，则，.所以原不等式成立.例16.25 设，且满足，问取何值时，以为边可构成三角形，并判断该三角形的形状.解析由幂函数性质可知，，要构成三角形，只需，故，即证明，只需证明，即. ①由，且，由指数函数单调递减可知，要使得式①成立，只需.因此可知，要成立.只需成立.当时，，三角形为直角三角形；当时，即，此时三角形为钝角三角形；当时，即，此时三角形为锐角三角形.六、三角换元法思路提示若，等为已知条件，求证不等式时，利用三角换元法较容易，但是务必注意换元前后参数的范围变化.例16.26 设实数满足，，求证：.分析由，联想到三角换元.解析令，，.当，即时，取得最大值，证毕.评注三角换元在不等式证明以与求函数的最值、解析几何中参数的范围与最值方面有着极大的作用，常常可化难为易.变式1 设，，求证：.七、构造法思路提示一般说来，用构造法证明不等式，常见的构造方法如下：（1）构造辅助函数.（2）构造辅助数列.（3）构造几何图形.例16.27 设，，若，求证：.分析构造一次函数证明.解析即.若视为未知数，并用代替，即证明时，.即证.设,即证时，.而是关于的一次函数，且，，因此当时，成立，从而原不等式成立.评注本题也可利用如下解法：，，即证，，即证，即，由，得，故成立.例16.28 已知为三角形的三边长，求证：.分析不等式左右两边的个式子具有相同的结构形式，故考虑构造函数.解析，，说明函数在上单调递增，又为三角形的三边长，故，则.变式1 证明：.变式2 已知且，，求证：.例16.29 证明：当且时，有.分析本题通过构造辅助数列证明.解析构造数列，因为，所以数列为单调递减数列.所以，即.评注本题将看作参数构造辅助数列，判断数列的单调性从而证明结论.例16.30 设，求证：.分析根据已知式的形式特征联想勾股定理，构造几何图形证明.解析如图16-34所示，构造正方形，设，则，则.变式 1 设，求证：.八、利用柯西不等式证明不等式思路提示柯西不等式不仅具有优美的代数表现形式与向量表现形式，而且有明显的几何意义，它与基本不等式具有密切的关系，其作用类似于基本不等式可用来求最大（小）值或证明不等式，不过它的特点更明显应用更直接.1.二维形式的柯西不等式设，.等号成立图.证明设，由，得，又，即，，故等号成立即.2.一般形式的柯西不等式设与为任意实数，则，当且仅当（规定时，）时等号成立.证法一：当全为时，命题显然成立.否则，考查关于的二次函数，显然恒成立.注意到，而恒成立，且，故的判别式不大于零，即，整理后得.证法二：向量的内积证法.令，，为与的夹角.因为，且，所以，即，等号成立或平行.柯西不等式提示了任意两组实数积之和的平方与平方和之间的关系，应用它可以简单地证明许多复杂的不等式，下面举例说明.例16.31 已知函数，且的解集为.①求的值；②若，且，求证：.解析①因为，等价于.由有解，得，且其解集为.又的解集为，故.②由①知，又，由柯西不等式得.变式 1 已知，，求证：.变式2 已知，.求证：.例16.32 设实数满足，求证：.解析由柯西不等式，.所以，所以.评注有些证明不等式的题，表面上看与柯西不等式无关，然而通过对原不等式作适当的变形改造后却可以应用柯西不等式加以解决，当然具体如何变形改造是关键，也是难点，这往往需要经过观察、直觉、猜测、推理等.变式1 已知,且，求证：.变式 2 已知正实数满足，求证：.最有效训练题61(限时45分钟)1.不等式的解集是（）A. B. C. D.2.设，则（）A. 都不大于B. 都不小于C. 至少有一个不大于D. 至少有一个不小于3.若，，则的大小关系是（）A. B. C. D. 由的取值决定4.用数学归纳法证明某不等式，左边，“从到”应将左边加上（）A. B. C. D.5. 的最大值为（）A. B. C. D.6.若正数满足，则①的取值范围是；②的取值范围是 .7.在实数范围内，不等式的解集为 .8.若存在实数使成立，则实数的取值范围是 .9.已知,.求证：.10.已知函数.(1) 当时，求不等式的解集；(2)若的解集包含，求的取值范围.11. 已知函数，且的解集为.①求的值；②若，且，求证：.12.已知函数.设数列满足，，数列满足，.（1）用数学归纳法证明：；（2）证明：.。
高考数学二轮复习专题检测(三)不等式理解析版
专题检测（三） 不等式一、选择题1．已知不等式x 2－2x －3＜0的解集为A ，不等式x 2＋x －6＜0的解集为B ，不等式 x 2＋ax ＋b ＜0的解集为A ∩B ，则a ＋b ＝( )A ．1B ．0C ．－1D ．－3解析：选D 由题意得，不等式x 2－2x －3＜0的解集A ＝(－1，3)，不等式x 2＋x －6＜0的解集B ＝(－3,2)，所以A ∩B ＝(－1,2)，即不等式x 2＋ax ＋b ＜0的解集为(－1,2)，所以a ＝－1，b ＝－2，所以a ＋b ＝－3.2．若x >y >0，m >n ，则下列不等式正确的是( ) A ．xm >ym B ．x －m ≥y －n C.x n >y mD ．x >xy解析：选D A 不正确，因为同向同正不等式相乘，不等号方向不变，m 可能为0或负数；B 不正确，因为同向不等式相减，不等号方向不确定；C 不正确，因为m ，n 的正负不确定．故选D.3．已知a ∈R ，不等式x －3x ＋a≥1的解集为p ，且－2∉p ，则a 的取值范围为( ) A ．(－3，＋∞)B ．(－3,2)C ．(－∞，2)∪(3，＋∞)D ．(－∞，－3)∪[2，＋∞)解析：选D ∵－2 ∉ p ，∴－2－3－2＋a<1或－2＋a ＝0，解得a ≥2或a <－3. 4．(2018·成都一诊)若关于x 的不等式x 2＋2ax ＋1≥0在[0，＋∞)上恒成立，则实数a 的取值范围为( )A ．(0，＋∞)B ．[－1，＋∞)C ．[－1,1]D ．[0，＋∞)解析：选B 法一：当x ＝0时，不等式为1≥0恒成立；当x ＞0时，x 2＋2ax ＋1≥0⇒2ax ≥－(x 2＋1)⇒2a ≥－⎝⎛⎭⎪⎫x ＋1x ，又－⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋1x ≤－2，当且仅当x ＝1时取等号，所以2a ≥－2⇒a ≥－1，所以实数a 的取值范围为[－1，＋∞)．法二：设f (x )＝x 2＋2ax ＋1，函数图象的对称轴为直线x ＝－a .当－a ≤0，即a ≥0时，f (0)＝1＞0，所以当x ∈[0，＋∞)时，f (x )≥0恒成立；当－a ＞0，即a ＜0时，要使f (x )≥0在[0，＋∞)上恒成立，需f (－a )＝a 2－2a 2＋1＝ －a 2＋1≥0，得－1≤a ＜0.综上，实数a 的取值范围为[－1，＋∞)．5．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－ax ，x ＞0，2x－1，x ≤0，若不等式f (x )＋1≥0在R 上恒成立，则实数a的取值范围为( )A ．(－∞，0)B ．[－2,2]C ．(－∞，2]D ．[0,2]解析：选C 由f (x )≥－1在R 上恒成立，可得当x ≤0时，2x－1≥－1，即2x≥0，显然成立；又x ＞0时，x 2－ax ≥－1，即为a ≤x 2＋1x ＝x ＋1x ，由x ＋1x≥2x ·1x＝2，当且仅当x ＝1时，取得最小值2，可得a ≤2，综上可得实数a 的取值范围为(－∞，2]．6．若1a <1b <0，给出下列不等式：①1a ＋b <1ab ；②|a |＋b >0；③a －1a >b －1b ；④ln a 2>ln b 2.其中正确的不等式的序号是( )A ．①④B ．②③C ．①③D ．②④解析：选C 法一：因为1a <1b<0，故可取a ＝－1，b ＝－2.显然|a |＋b ＝1－2＝－1<0，所以②错误；因为ln a 2＝ln(－1)2＝0，ln b 2＝ln(－2)2＝ln 4>0，所以④错误，综上所述，可排除A 、B 、D ，故选C.法二：由1a <1b<0，可知b <a <0.①中，因为a ＋b <0，ab >0，所以1a ＋b <1ab，故①正确； ②中，因为b <a <0，所以－b >－a >0，故－b >|a |，即|a |＋b <0，故②错误； ③中，因为b <a <0，又1a <1b <0，则－1a >－1b >0，所以a －1a >b －1b，故③正确；④中，因为b <a <0，根据y ＝x 2在(－∞，0)上为减函数，可得b 2>a 2>0，而y ＝ln x 在定义域(0，＋∞)上为增函数，所以ln b 2>ln a 2，故④错误．由以上分析，知①③正确．7．(2018·长春质检)已知x ＞0，y ＞0，且4x ＋y ＝xy ，则x ＋y 的最小值为( ) A ．8 B ．9 C ．12D ．16解析：选B 由4x ＋y ＝xy ，得4y ＋1x＝1，则x ＋y ＝(x ＋y )⎝ ⎛⎭⎪⎫ 4y ＋1x ＝4x y ＋yx＋1＋4≥24＋5＝9，当且仅当4x y ＝yx，即x ＝3，y ＝6时取“＝”，故选B.8．如果实数x ，y 满足不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －3≤0， x －2y －3≤0，x ≥1，目标函数z ＝kx －y 的最大值为6，最小值为0，则实数k 的值为( )A ．1B ．2C ．3D ．4解析：选B 作出不等式组所表示的平面区域如图中阴影部分所示． 则A (1,2)，B (1，－1)，C (3,0)， 因为目标函数z ＝kx －y 的最小值为0，所以目标函数z ＝kx －y 的最小值可能在A 或B 处取得，所以若在A 处取得，则k －2＝0，得k ＝2，此时，z ＝2x －y 在C 点有最大值，z ＝2×3－0＝6，成立；若在B 处取得，则k ＋1＝0，得k ＝－1，此时，z ＝－x －y ， 在B 点取得最大值，故不成立，故选B.9．(2019届高三·湖北五校联考)某企业生产甲、乙两种产品均需用A ，B 两种原料，已知生产1吨每种产品所需原料及每天原料的可用限额如表所示．如果生产1吨甲、乙产品可获利润分别为3万元、4万元，则该企业每天可获得的最大利润为( )A ．15万元B ．16万元C ．17万元D ．18万元解析：选D 设生产甲产品x 吨，乙产品y 吨，获利润z 万元，由题意可知⎩⎪⎨⎪⎧ 3x ＋2y ≤12，x ＋2y ≤8，x ≥0， y ≥0，z ＝3x ＋4y ，作出不等式组所表示的可行域如图中阴影部分所示，直线z ＝3x ＋4y 过点M 时取得最大值，由⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋2y ＝12，x ＋2y ＝8，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝3，∴M (2,3)，故z ＝3x ＋4y 的最大值为18，故选D.10．已知实数x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋5≥0， x ＋y ≥0，x ≤3，若y ≥kx －3恒成立，则实数k的取值范围是( )A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－115，0 B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，113C ．(－∞，0]∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫115，＋∞D.⎝⎛⎦⎥⎤－∞，－115∪[0，＋∞)解析：选A 由约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋5≥0， x ＋y ≥0，x ≤3，作出可行域如图中阴影分部所示，则A ⎝ ⎛⎭⎪⎫－52，52，B (3，－3)，C (3,8)，由题意得⎩⎪⎨⎪⎧－3≥3k －3， 52≥－ 52k －3，解得－115≤k ≤0.所以实数k 的取值范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤－115，0. 11．若两个正实数x ，y 满足13x ＋3y ＝1，且不等式x ＋y 4－n 2－13n12＜0有解，则实数n 的取值范围是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫－2512，1B.⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－2512∪(1，＋∞) C ．(1，＋∞)D.⎝⎛⎭⎪⎫－∞，－2512 解析：选B 因为不等式x ＋y 4－n 2－13n12＜0有解，所以⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋y 4min ＜n 2＋13n 12，因为x ＞0，y ＞0，且13x ＋3y＝1，所以x ＋y 4＝⎝⎛⎭⎪⎫x ＋y 4⎝ ⎛⎭⎪⎫13x ＋3y ＝1312＋3x y ＋y 12x ≥1312＋23xy ·y 12x ＝2512， 当且仅当3x y ＝y 12x ，即x ＝56，y ＝5时取等号，所以⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋y 4min ＝2512，故n 2＋13n 12－2512＞0，解得n ＜－2512或n ＞1，所以实数n 的取值范围是⎝⎛⎭⎪⎫－∞，－2512∪(1，＋∞)．12．(2019届高三·福州四校联考)设x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y －3≤0，2x －2y －1≤0，x －a ≥0，其中a＞0，若x －yx ＋y的最大值为2，则a 的值为( ) A.12 B.14C.38D.59解析：选C 设z ＝x －y x ＋y ，则y ＝1－z 1＋z x ，当z ＝2时，y ＝－13x ，作出x ，y 满足的约束条件⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y －3≤0，2x －2y －1≤0，x －a ≥0，所表示的平面区域如图中阴影部分所示，作出直线y ＝－13x ，易知此直线与区域的边界线2x －2y －1＝0的交点为⎝ ⎛⎭⎪⎫38，－18，当直线x ＝a 过点⎝ ⎛⎭⎪⎫38，－18时，a ＝38，又此时直线y ＝1－z 1＋z x 的斜率1－z 1＋z 的最小值为－13，即－1＋2z ＋1的最小值为－13，即z 的最大值为2，符合题意，所以a 的值为38，故选C.二、填空题13．(2018·岳阳模拟)不等式3x －12－x ≥1的解集为________．解析：不等式3x －12－x ≥1可转化成3x －12－x －1≥0，即4x －32－x ≥0，等价于⎩⎪⎨⎪⎧4x －3x －2≤0，2－x ≠0，解得34≤x ＜2，故不等式的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪34≤x ＜2.答案：⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪34≤x ＜214．(2018·全国卷Ⅱ)若x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y －5≥0，x －2y ＋3≥0，x －5≤0，则z ＝x ＋y 的最大值为________．解析：作出不等式组所表示的可行域如图中阴影部分所示．由图可知当直线x ＋y ＝z 过点A 时z 取得最大值．由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝5，x －2y ＋3＝0得点A (5,4)，∴z max ＝5＋4＝9.答案：915．已知关于x 的不等式ax 2＋bx ＋c ＜0的解集为xx ＜－1或x ＞12，则关于x 的不等式c (lg x )2＋lg x b ＋a ＜0的解集为________．解析：由题意知－1，12是方程ax 2＋bx ＋c ＝0的两根，所以⎩⎪⎨⎪⎧ －12＝－b a ，－12＝ca ，且a ＜0，所以⎩⎪⎨⎪⎧b ＝12a ，c ＝－12a .所以不等式c (lg x )2＋lg x b＋a ＜0化为 －12a (lg x )2＋b lg x ＋a ＜0， 即－12a (lg x )2＋12a lg x ＋a ＜0.所以(lg x )2－lg x －2＜0，所以－1＜lg x ＜2，所以110＜x ＜100.答案：⎩⎨⎧⎭⎬⎫x|110＜x ＜10016．设x ＞0，y ＞0，且⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1y 2＝16y x ，则当x ＋1y 取最小值时，x 2＋1y2＝________.解析：∵x ＞0，y ＞0，∴当x ＋1y取最小值时，⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋1y 2取得最小值，∵⎝⎛⎭⎪⎫x ＋1y 2＝x 2＋1y2＋2x y，⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1y 2＝16y x， ∴x 2＋1y 2＝2x y ＋16y x，⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋1y 2＝4x y ＋16y x≥24x y ·16yx＝16，∴x ＋1y ≥4，当且仅当4x y ＝16yx，即x ＝2y 时取等号，∴当x ＋1y 取最小值时，x ＝2y ，x 2＋1y 2＋2x y ＝16，即x 2＋1y 2＋2×2y y＝16，∴x 2＋1y2＝16－4＝12.答案：12。
2018-2019学年高考数学(文科)一轮复习通用版：选修4-5 不等式选讲
选修4－5 不等式选讲第1课绝对值不等式[过双基]1．绝对值三角不等式定理1：如果a ，b 是实数，则|a ＋b |≤|a |＋|b |，当且仅当ab ≥0时，等号成立． 定理2：如果a ，b ，c 是实数，那么|a －c |≤|a －b |＋|b －c |，当且仅当(a －b )(b －c )≥0时，等号成立．2．绝对值不等式的解法(1)含绝对值的不等式|x |<a 与|x |>a 的解集(2)|ax ＋b |①|ax ＋b |≤c ⇔－c ≤ax ＋b ≤c ； ②|ax ＋b |≥c ⇔ax ＋b ≥c 或ax ＋b ≤－c .(3)|x －a |＋|x －b |≥c ，|x －a |＋|x －b |≤c (c >0)型不等式的解法： ①利用绝对值不等式的几何意义求解； ②利用零点分段法求解；③构造函数，利用函数的图象求解． [小题速通]1．不等式|x ＋1|－|x －2|≥1的解集是________． 解析：f (x )＝|x ＋1|－|x －2|＝⎩⎪⎨⎪⎧－3，x ≤－1，2x －1，－1<x <2，3，x ≥2.当－1<x <2时，由2x －1≥1，解得1≤x <2. 又当x ≥2时，f (x )＝3>1， 所以不等式的解集为{}x |x ≥1. 答案：{x |x ≥1}2．若存在实数x使|x－a|＋|x－1|≤3成立，则实数a的取值范围是________．解析：∵|x－a|＋|x－1|≥|(x－a)－(x－1)|＝|a－1|，要使|x－a|＋|x－1|≤3有解，可使|a－1|≤3，∴－3≤a－1≤3，∴－2≤a≤4.答案：[－2,4]x|1≤x≤3，则实数k＝________.3．若不等式|kx－4|≤2的解集为{}解析：由|kx－4|≤2⇔2≤kx≤6.x|1≤x≤3，∵不等式的解集为{}∴k＝2.答案：24．设不等式|x＋1|－|x－2|>k的解集为R，则实数k的取值范围为____________．解析：∵||x＋1|－|x－2||≤3，∴－3≤|x＋1|－|x－2|≤3，∴k＜(|x＋1|－|x－2|)的最小值，即k＜－3.答案：(－∞，－3)[清易错]1．对形如|f(x)|>a或|f(x)|<a型的不等式求其解集时，易忽视a的符号直接等价转化造成失误．2．绝对值不等式||a|－|b||≤|a±b|≤|a|＋|b|中易忽视等号成立的条件．如|a－b|≤|a|＋|b|，当且仅当ab≤0时等号成立，其他类似推导．1．设a，b为满足ab<0的实数，那么()A．|a＋b|>|a－b|B．|a＋b|<|a－b|C．|a－b|＜||a|－|b||D．|a－b|<|a|＋|b|解析：选B∵ab<0，∴|a－b|＝|a|＋|b|>|a＋b|.2．若|x－1|≤1，|y－2|≤1，则|x－2y＋1|的最大值为________．解析：|x－2y＋1|＝|(x－1)－2(y－2)－2|≤|x－1|＋2|y－2|＋2≤5.答案：5绝对值不等式的解法[典例] 设函数(x )＝|x ＋1|－|x －1|＋a (a ∈R)． (1)当a ＝1时，求不等式f (x )>0的解集；(2)若方程f (x )＝x 只有一个实数根，求实数a 的取值范围． [解] (1)依题意，原不等式等价于： |x ＋1|－|x －1|＋1>0，当x <－1时，－(x ＋1)＋(x －1)＋1>0， 即－1>0，此时解集为∅；当－1≤x ≤1时，x ＋1＋(x －1)＋1>0， 即x >－12，此时－12<x ≤1；当x >1时，x ＋1－(x －1)＋1>0， 即3>0，此时x >1.综上所述，不等式f (x )>0的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫xx >－12.(2)依题意，方程f (x )＝x 等价于a ＝|x －1|－|x ＋1|＋x ， 令g (x )＝|x －1|－|x ＋1|＋x . ∴g (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2，x <－1，－x ，－1≤x ≤1，x －2，x >1..画出函数g (x )的图象如图所示，∴要使原方程只有一个实数根，只需a >1或a <－1. ∴实数a 的取值范围是(－∞，－1)∪(1，＋∞)． [方法技巧](1)求解绝对值不等式的两个注意点：①要求的不等式的解集是各类情形的并集，利用零点分段法的操作程序是：找零点、分区间、分段讨论．②对于解较复杂绝对值不等式，要恰当运用条件，简化分类讨论，优化解题过程． (2)求解该类问题的关键是去绝对值符号，可以运用零点分段法去绝对值，此外还常利用绝对值的几何意义求解．[即时演练]1．解不等式|2x －1|＋|2x ＋1|≤6.解：法一：当x >12时，原不等式转化为4x ≤6⇒12<x ≤32；当－12≤x ≤12时，原不等式转化为2≤6⇒－12≤x ≤12；当x <－12时，原不等式转化为－4x ≤6⇒－32≤x <－12.综上知，原不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |－32≤x ≤32.法二：原不等式可化为⎪⎪⎪⎪x －12＋⎪⎪⎪⎪x ＋12≤3， 其几何意义为数轴上到12，－12两点的距离之和不超过3的点的集合，数形结合知，当x＝32或x ＝－32时，到12，－12两点的距离之和恰好为3，故当－32≤x ≤32时，满足题意，则原不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |－32≤x ≤32.2．解不等式|x －1|－|x －5|<2.解：当x <1时，不等式可化为－(x －1)－(5－x )<2， 即－4<2，显然成立，所以此时不等式的解集为(－∞，1)； 当1≤x ≤5时，不等式可化为x －1－(5－x )<2， 即2x －6<2，解得x <4，所以此时不等式的解集为[1,4)； 当x >5时，不等式可化为(x －1)－(x －5)<2， 即4<2，显然不成立．所以此时不等式无解． 综上，不等式的解集为(－∞，4)．绝对值不等式的证明[典例] 已知x ，y ∈R ，且|x ＋y |≤16，|x －y |≤14，求证：|x ＋5y |≤1.[证明] ∵|x ＋5y |＝|3(x ＋y )－2(x －y )|. ∴由绝对值不等式的性质，得|x ＋5y |＝|3(x ＋y )－2(x －y )|≤|3(x ＋y )|＋|2(x －y )| ＝3|x ＋y |＋2|x －y |≤3×16＋2×14＝1.即|x ＋5y |≤1. [方法技巧]绝对值不等式证明的3种主要方法(1)利用绝对值的定义去掉绝对值符号，转化为普通不等式再证明． (2)利用三角不等式||a |－|b ||≤|a ±b |≤|a |＋|b |进行证明． (3)转化为函数问题，数形结合进行证明． [即时演练]已知f (x )＝|x ＋2|－|2x －1|，M 为不等式f (x )>0的解集． (1)求M ；(2)求证：当x ，y ∈M 时，|x ＋y ＋xy |<15.解：(1)f (x )＝⎩⎨⎧x －3，x <－2，3x ＋1，－2≤x ≤12，－x ＋3，x >12，当x <－2时，由x －3>0，得x >3，舍去； 当－2≤x ≤12时，由3x ＋1>0，得x >－13，即－13<x ≤12；当x >12时，由－x ＋3>0，得x <3，即12<x <3，综上，M ＝⎝⎛⎭⎫－13，3. (2)证明：∵x ，y ∈M ，∴|x |<3，|y |<3，∴|x ＋y ＋xy |≤|x ＋y |＋|xy |≤|x |＋|y |＋|xy |＝|x |＋|y |＋|x |·|y |<3＋3＋3×3＝15.绝对值不等式的综合应用[典例] (1)求不等式f (x )≥1的解集；(2)若不等式f (x )≥x 2－x ＋m 的解集非空，求m 的取值范围． [解] (1)f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－3，x ＜－1，2x －1，－1≤x ≤2，3，x ＞2.当x ＜－1时，f (x )≥1无解；当－1≤x ≤2时，由f (x )≥1，得2x －1≥1，解得1≤x ≤2； 当x ＞2时，由f (x )≥1，解得x ＞2. 所以f (x )≥1的解集为{x |x ≥1}．(2)由f (x )≥x 2－x ＋m ，得m ≤|x ＋1|－|x －2|－x 2＋x .而|x ＋1|－|x －2|－x 2＋x ≤|x |＋1＋|x |－2－x 2＋|x |＝－⎝⎛⎭⎫|x |－322＋54≤54， 且当x ＝32时，|x ＋1|－|x －2|－x 2＋x ＝54.故m 的取值范围为⎝⎛⎦⎤－∞，54. [方法技巧](1)研究含有绝对值的函数问题时，根据绝对值的定义，分类讨论去掉绝对值符号，将原函数转化为分段函数，然后利用数形结合解决问题，这是常用的思想方法．(2)f (x )＜a 恒成立⇔f (x )max ＜a . f (x )＞a 恒成立⇔f (x )min ＞a . [即时演练]已知函数f (x )＝|x －a |－|2x －1|. (1)当a ＝2时，求f (x )＋3≥0的解集；(2)当x ∈[1,3]时，f (x )≤3恒成立，求a 的取值范围． 解：(1)当a ＝2时，由f (x )＋3≥0， 可得|x －2|－|2x －1|≥－3，①⎩⎪⎨⎪⎧ x <12，2－x ＋2x －1≥－3或②⎩⎪⎨⎪⎧12≤x <2，2－x －2x ＋1≥－3或 ③⎩⎪⎨⎪⎧x ≥2，x －2－2x ＋1≥－3. 解①得－4≤x <12；解②得12≤x <2；解③得x ＝2.综上所述，不等式的解集为{x |－4≤x ≤2}． (2)当x ∈[1,3]时，f (x )≤3恒成立， 即|x －a |≤3＋|2x －1|＝2x ＋2. 故－2x －2≤x －a ≤2x ＋2， 即－3x －2≤－a ≤x ＋2，∴－x －2≤a ≤3x ＋2对x ∈[1,3]恒成立． ∴a ∈[－3,5]．1．(2017·全国卷Ⅰ)已知函数f (x )＝－x 2＋ax ＋4，g (x )＝|x ＋1|＋|x －1|. (1)当a ＝1时，求不等式f (x )≥g (x )的解集；(2)若不等式f (x )≥g (x )的解集包含[－1,1]，求a 的取值范围． 解：(1)当a ＝1时，不等式f (x )≥g (x )等价于 x 2－x ＋|x ＋1|＋|x －1|－4≤0. ①当x ＜－1时，①式化为x 2－3x －4≤0，无解；当－1≤x ≤1时，①式化为x 2－x －2≤0，从而－1≤x ≤1； 当x ＞1时，①式化为x 2＋x －4≤0， 从而1＜x ≤－1＋172.所以f (x )≥g (x )的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪－1≤x ≤－1＋172. (2)当x ∈[－1,1]时，g (x )＝2.所以f (x )≥g (x )的解集包含[－1,1]，等价于当x ∈[－1,1]时，f (x )≥2.又f (x )在[－1,1]的最小值必为f (－1)与f (1)之一， 所以f (－1)≥2且f (1)≥2，得－1≤a ≤1. 所以a 的取值范围为[－1,1]．2．(2015·全国卷Ⅰ)已知函数f (x )＝|x ＋1|－2|x －a |，a >0. (1)当a ＝1时，求不等式f (x )>1的解集；(2)若f (x )的图象与x 轴围成的三角形面积大于6，求a 的取值范围． 解：(1)当a ＝1时，f (x )>1化为|x ＋1|－2|x －1|－1>0. 当x ≤－1时，不等式化为x －4>0，无解； 当－1<x <1时，不等式化为3x －2>0，解得23<x <1；当x ≥1时，不等式化为－x ＋2>0，解得1≤x <2.所以f (x )>1的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x 23<x <2.(2)由题设可得f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x －1－2a ，x <－1，3x ＋1－2a ，－1≤x ≤a ，－x ＋1＋2a ，x >a .所以函数f (x )的图象与x 轴围成的三角形的三个顶点分别为A ⎝ ⎛⎭⎪⎫2a －13，0，B (2a ＋1,0)，C (a ，a ＋1)，△ABC 的面积为23(a ＋1)2.由题设得23(a ＋1)2>6，故a >2.所以a 的取值范围为(2，＋∞)．3．(2016·江苏高考)设a ＞0，|x －1|＜a 3，|y －2|＜a3，求证：|2x ＋y －4|＜a .证明：因为|x －1|＜a 3，|y －2|＜a3，所以|2x ＋y －4|＝|2(x －1)＋(y －2)|≤2|x －1|＋|y －2|＜2×a 3＋a3＝a .4．(2013·全国卷Ⅰ)已知函数f (x )＝|2x －1|＋|2x ＋a |，g (x )＝x ＋3. (1)当a ＝－2时，求不等式f (x )＜g (x )的解集；(2)设a ＞－1，且当x ∈⎣⎡⎭⎫－a 2，12时，f (x )≤g (x )，求a 的取值范围． 解：(1)当a ＝－2时，不等式f (x )＜g (x )可化为|2x －1|＋|2x －2|－x －3＜0. 设函数y ＝|2x －1|＋|2x －2|－x －3，则y ＝⎩⎨⎧－5x ，x ＜12，－x －2，12≤x ≤1，3x －6，x ＞1.其图象如图所示．从图象可知，当且仅当x ∈(0,2)时，y <0. 所以原不等式的解集是{x |0＜x ＜2}． (2)当x ∈⎣⎡⎭⎫－a 2，12时，f (x )＝1＋a . 不等式f (x )≤g (x )化为1＋a ≤x ＋3. 所以x ≥a －2对x ∈⎣⎡⎭⎫－a 2，12都成立． 故－a 2≥a －2，即a ≤43.从而a 的取值范围是⎝⎛⎦⎤－1，43.1．(2018·唐山模拟)已知函数f (x )＝|2x －a |＋|x ＋1|. (1)当a ＝1时，解不等式f (x )<3； (2)若f (x )的最小值为1，求a 的值．解：(1)因为f (x )＝|2x －1|＋|x ＋1|＝⎩⎨⎧－3x ，x ≤－1，－x ＋2，－1<x <12，3x ，x ≥12，且f (1)＝f (－1)＝3，所以f (x )<3的解集为{x |－1<x <1}．(2)|2x －a |＋|x ＋1|＝⎪⎪⎪⎪x －a 2＋|x ＋1|＋⎪⎪⎪⎪x －a 2≥⎪⎪⎪⎪1＋a 2＋0＝⎪⎪⎪⎪1＋a 2， 当且仅当(x ＋1)⎝⎛⎭⎫x －a 2≤0且x －a2＝0时，取等号． 所以⎪⎪⎪⎪1＋a2＝1， 解得a ＝－4或0.2．已知函数f (x )＝|2x ＋1|，g (x )＝|x －1|＋a . (1)当a ＝0时，解不等式f (x )≥g (x )；(2)若对任意x ∈R ，f (x )≥g (x )恒成立，求实数a 的取值范围． 解：(1)当a ＝0时，由f (x )≥g (x )，得|2x ＋1|≥|x －1|， 两边平方整理得x 2＋2x ≥0，解得x ≥0或x ≤－2. 所以原不等式的解集为(－∞，－2]∪[0，＋∞)． (2)由f (x )≥g (x )，得a ≤|2x ＋1|－|x －1|. 令h (x )＝|2x ＋1|－|x －1|，则h (x )＝⎩⎨⎧－x －2，x ≤－12，3x ，－12<x <1，x ＋2，x ≥1.故h (x )min ＝h ⎝⎛⎭⎫－12＝－32. 故所求实数a 的取值范围为⎝⎛⎦⎤－∞，－32. 3．已知函数f (x )＝|2x －a |＋|2x －1|，a ∈R. (1)当a ＝3时，求关于x 的不等式f (x )≤6的解集； (2)当x ∈R 时，f (x )≥a 2－a －13，求实数a 的取值范围． 解：(1)当a ＝3时，不等式f (x )≤6可化为|2x －3|＋|2x －1|≤6.当x <12时，不等式可化为－(2x －3)－(2x －1)＝－4x ＋4≤6，解得－12≤x <12；当12≤x ≤32时，不等式可化为－(2x －3)＋(2x －1)＝2≤6，解得12≤x ≤32； 当x >32时，不等式可化为(2x －3)＋(2x －1)＝4x －4≤6，解得32<x ≤52.综上所述，关于x 的不等式f (x )≤6的解集为 ⎩⎨⎧⎭⎬⎫x －12≤x ≤52.(2)当x ∈R 时，f (x )＝|2x －a |＋|2x －1|≥|2x －a ＋1－2x |＝|1－a |， 所以当x ∈R 时，f (x )≥a 2－a －13等价于|1－a |≥a 2－a －13. 当a ≤1时，等价于1－a ≥a 2－a －13，解得－14≤a ≤1； 当a >1时，等价于a －1≥a 2－a －13，解得1<a ≤1＋13， 所以a 的取值范围为[－14，1＋13]． 4．已知函数f (x )＝|x －a |＋|2x ＋1|. (1)当a ＝1时，解不等式f (x )≤3；(2)若f (x )≤2a ＋x 在[a ，＋∞)上有解，求a 的取值范围． 解：(1)当a ＝1时，f (x )≤3化为|x －1|＋|2x ＋1|≤3， 则⎩⎪⎨⎪⎧ x <－12，1－x －1－2x ≤3或⎩⎪⎨⎪⎧－12≤x ≤1，1－x ＋2x ＋1≤3或⎩⎪⎨⎪⎧x >1，x －1＋2x ＋1≤3，解得－1≤x <－12或－12≤x ≤1或∅.所以原不等式解集为{x |－1≤x ≤1}．(2)因为x ∈[a ，＋∞)，所以f (x )＝|x －a |＋|2x ＋1|＝x －a ＋|2x ＋1|≤2a ＋x ， 即|2x ＋1|≤3a 有解，所以a ≥0， 所以不等式化为2x ＋1≤3a 有解， 即2a ＋1≤3a ，解得a ≥1， 所以a 的取值范围为[1，＋∞)． 5．设函数f (x )＝|2x －a |＋2a .(1)若不等式f (x )≤6的解集为{x |－6≤x ≤4}，求实数a 的值；(2)在(1)的条件下，若不等式f (x )≤(k 2－1)x －5的解集非空，求实数k 的取值范围． 解：(1)∵|2x －a |＋2a ≤6，∴|2x －a |≤6－2a,2a －6≤2x －a ≤6－2a ， ∴32a －3≤x ≤3－a 2. 而f (x )≤6的解集为{x |－6≤x ≤4}，故有⎩⎨⎧32a －3＝－6，3－12a ＝4，解得a ＝－2.(2)由(1)得f (x )＝|2x ＋2|－4， ∴不等式|2x ＋2|－4≤(k 2－1)x －5， 化简得|2x ＋2|＋1≤(k 2－1)x ，令g (x )＝|2x ＋2|＋1＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋3，x ≥－1，－2x －1，x <－1.画出函数y ＝g (x )的图象如图所示．要使不等f (x )≤(k 2－1)x －5的解集非空，只需k 2－1>2或k 2－1≤－1， 解得k >3或k <－3或k ＝0，∴实数k 的取值范围为(－∞，－3)∪{0}∪(3，＋∞)． 6．设函数f (x )＝|ax －1|.(1)若f (x )≤2的解集为[－6,2]，求实数a 的值；(2)当a ＝2时，若存在x ∈R ，使得不等式f (2x ＋1)－f (x －1)≤7－3m 成立，求实数m 的取值范围．解：(1)显然a ≠0，当a ＞0时，解集为⎣⎡⎦⎤－1a ，3a ， 则－1a ＝－6，3a ＝2，无解； 当a ＜0时，解集为⎣⎡⎦⎤3a，－1a ，则－1a ＝2，3a ＝－6，得a ＝－12.综上所述，a ＝－12.(2)当a ＝2时，令h (x )＝f (2x ＋1)－f (x －1)＝|4x ＋1|－|2x －3|＝⎩⎪⎨⎪⎧－2x －4，x ≤－14，6x －2，－14＜x ＜32，2x ＋4，x ≥32，由此可知，h (x )在⎝⎛⎭⎫－∞，－14上单调递减，在⎝⎛⎭⎫－14，32上单调递增，在⎝⎛⎭⎫32，＋∞上单调递增，则当x ＝－14时，h (x )取到最小值－72，由题意知，－72≤7－3m ，解得m ≤72，故实数m 的取值范围是⎝⎛⎦⎤－∞，72. 7．(2018·九江模拟)已知函数f (x )＝|x －3|－|x －a |. (1)当a ＝2时，解不等式f (x )≤－12；(2)若存在实数a ，使得不等式f (x )≥a 成立，求实数a 的取值范围． 解：(1)∵a ＝2，∴f (x )＝|x －3|－|x －2|＝⎩⎪⎨⎪⎧1，x ≤2，5－2x ，2<x <3，－1，x ≥3，∴f (x )≤－12等价于⎩⎪⎨⎪⎧x ≤2，1≤－12或⎩⎪⎨⎪⎧ 2<x <3，5－2x ≤－12或⎩⎪⎨⎪⎧x ≥3，－1≤－12，解得114≤x ＜3或x ≥3，∴不等式的解集为⎣⎡⎭⎫114，＋∞.(2)由不等式性质可知f (x )＝|x －3|－|x －a |≤|(x －3)－(x －a )|＝|a －3|， ∴若存在实数x ，使得不等式f (x )≥a 成立，则|a －3|≥a ，解得a ≤32，∴实数a 的取值范围是⎝⎛⎦⎤－∞，32. 8．已知函数f (x )＝|2x ＋1|－|x |＋a ， (1)若a ＝－1，求不等式f (x )≥0的解集；(2)若方程f (x )＝2x 有三个不同的解，求a 的取值范围． 解：(1)当a ＝－1时，不等式f (x )≥0可化为 |2x ＋1|－|x |－1≥0， ∴⎩⎪⎨⎪⎧ x <－12，－(2x ＋1)－(－x )－1≥0或⎩⎪⎨⎪⎧－12≤x <0，(2x ＋1)－(－x )－1≥0或⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，(2x ＋1)－x －1≥0，解得x ≤－2或x ≥0，∴不等式的解集为(－∞，－2]∪[0，＋∞)． (2)由f (x )＝2x ，得a ＝2x ＋|x |－|2x ＋1|， 令g (x )＝2x ＋|x |－|2x ＋1|，则g (x )＝⎩⎨⎧3x ＋1，x <－12，－x －1，－12≤x <0，x －1，x ≥0，作出函数y ＝g (x )的图象如图所示，易知A ⎝⎛⎭⎫－12，－12，B (0，－1)， 结合图象知：当－1<a <－12时，函数y ＝a 与y ＝g (x )的图象有三个不同交点，即方程f (x )＝2x 有三个不同的解，∴a 的取值范围为⎝⎛⎭⎫－1，－12.第2课不等式证明[过双基]1．基本不等式定理1：如果a ，b ∈R ，那么a 2＋b 2≥2ab ，当且仅当a ＝b 时，等号成立． 定理2：如果a ，b ＞0，那么a ＋b2≥ab ，当且仅当a ＝b 时，等号成立，即两个正数的算术平均不小于(即大于或等于)它们的几何平均．定理3：如果a ，b ，c ∈R ＋，那么a ＋b ＋c 3≥3abc ，当且仅当a ＝b ＝c 时，等号成立． 2．比较法(1)比差法：依据是a －b ＞0⇔a ＞b ；步骤是“作差→变形→判断差的符号”．变形是手段，变形的目的是判断差的符号．(2)比商法：若B ＞0，欲证A ≥B ，只需证AB ≥1. 3．综合法与分析法(1)综合法：一般地，从已知条件出发，利用定义、公理、定理、性质等，经过一系列的推理、论证而得出命题成立．(2)分析法：从要证的结论出发，逐步寻求使它成立的充分条件，直至所需条件为已知条件或一个明显成立的事实(定义，公理或已证明的定理，性质等)，从而得出要证的命题成立．4．柯西不等式(1)设a ，b ，c ，d 都是实数，则(a 2＋b 2)(c 2＋d 2)≥(ac ＋bd )2，当且仅当ad ＝bc 时等号成立．(2)若a i ，b i (i ∈N *)为实数，则⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫∑i ＝1n a 2i ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫∑i ＝1n b 2i ≥⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫∑i ＝1n a i b i 2，当且仅当b 1a 1＝b 2a 2＝…＝b na n (当a i ＝0时，约定b i ＝0，i ＝1,2，…，n )时等号成立．(3)柯西不等式的向量形式：设α，β为平面上的两个向量，则|α||β|≥|α·β|，当且仅当α，β共线时等号成立．[小题速通]1．若m ＝a ＋2b ，n ＝a ＋b 2＋1，则m 与n 的大小关系为________． 解析：∵n －m ＝a ＋b 2＋1－a －2b ＝b 2－2b ＋1＝(b －1)2≥0，∴n ≥m .答案：n ≥m2．若a ＞0，b ＞0，a ＋b ＝2，则下列不等式对一切满足条件的a ，b 恒成立的是________(填序号)．①ab ≤1；② a ＋b ≤2；③a 2＋b 2≥2； ④a 3＋b 3≥3；⑤1a ＋1b ≥2. 解析：令a ＝b ＝1，排除②④；由2＝a ＋b ≥2ab ⇒ab ≤1，命题①正确； a 2＋b 2＝(a ＋b )2－2ab ＝4－2ab ≥2，命题③正确； 1a ＋1b ＝a ＋b ab ＝2ab ≥2，命题⑤正确． 答案：①③⑤3．已知a ，b ，c 是正实数，且a ＋b ＋c ＝1，则1a ＋1b ＋1c 的最小值为________． 解析：把a ＋b ＋c ＝1代入1a ＋1b ＋1c 得a ＋b ＋c a ＋a ＋b ＋c b ＋a ＋b ＋c c＝3＋⎝⎛⎭⎫b a ＋a b ＋⎝⎛⎭⎫c a ＋a c ＋⎝⎛⎭⎫c b ＋b c ≥3＋2＋2＋2＝9，当且仅当a ＝b ＝c ＝13时，等号成立．答案：9[清易错]1．在使用作商比较法时易忽视说明分母的符号．2．在用综合法证明不等式时，不等式的性质和基本不等式是最常用的．在运用这些性质时，易忽视性质成立的前提条件．1．已知a >0，b >0，则a a b b ________(ab )a ＋b2(填大小关系)．解析：∵a a b b (ab )a ＋b 2＝⎝⎛⎭⎫a b a －b 2，∴当a ＝b 时，⎝⎛⎭⎫a b a －b2＝1，当a >b >0时，a b >1，a －b 2>0，∴⎝⎛⎭⎫a b a －b 2>1， 当b >a >0时，0<ab <1，a －b 2<0，则⎝⎛⎭⎫a b a －b 2>1，∴a a b b≥(ab )a ＋b2.答案：≥2．设x >y >z >0，求证：x －z ＋8(x －y )(y －z )≥6.证明：x －z ＋8(x －y )(y －z )＝(x －y )＋(y －z )＋8(x －y )(y －z )≥33(x －y )(y －z )8(x －y )(y －z )＝6.当且仅当x －y ＝y －z ＝8(x －y )(y －z )时取等号，所以x －z ＋8(x －y )(y －z )≥6.[典例] (2018·a ＋b )． [证明] (a 2＋b 2)－ab (a ＋b ) ＝(a 2－a ab )＋(b 2－b ab ) ＝a a (a －b )＋b b (b －a ) ＝(a －b )(a a －b b ) ＝(a 12－b 12)(a 32－b 32)．因为a ≥0，b ≥0，所以不论a ≥b ≥0，还是0≤a ≤b ，都有a 12－b 12与a 32－b 32同号，所以(a 12－b 12)(a 32－b 32)≥0， 所以a 2＋b 2≥ab (a ＋b )． [方法技巧]比较法证明不等式的方法和步骤(1)求差比较法：由a >b ⇔a －b >0，a <b ⇔a －b <0，因此要证明a >b 只要证明a －b >0即可，这种方法称为求差比较法．(2)求商比较法：由a >b >0⇔a b >1且a >0，b >0，因此当a >0，b >0时，要证明a >b ，只要证明ab >1即可，这种方法称为求商比较法．(3)用比较法证明不等式的一般步骤是：作差(商)—变形—判断—结论，而变形的方法一般有配方、通分和因式分解．[即时演练]求证：当x ∈R 时，1＋2x 4≥2x 3＋x 2. 证明：法一：(1＋2x 4)－(2x 3＋x 2) ＝2x 3(x －1)－(x ＋1)(x －1) ＝(x －1)(2x 3－x －1) ＝(x －1)(2x 3－2x ＋x －1) ＝(x －1)[2x (x 2－1)＋(x －1)] ＝(x －1)2(2x 2＋2x ＋1) ＝(x －1)2⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫x ＋122＋12≥0， 所以1＋2x 4≥2x 3＋x 2. 法二：(1＋2x 4)－(2x 3＋x 2) ＝x 4－2x 3＋x 2＋x 4－2x 2＋1 ＝(x －1)2·x 2＋(x 2－1)2≥0， 所以1＋2x 4≥2x 3＋x 2.综合法证明不等式[典例] 已知a ，(1)(ax ＋by )2≤ax 2＋by 2； (2)⎝⎛⎭⎫a ＋1a 2＋⎝⎛⎭⎫b ＋1b 2≥252.[证明] (1)(ax ＋by )2－(ax 2＋by 2)＝a (a －1)x 2＋b (b －1)y 2＋2abxy ， 因为a ＋b ＝1，所以a －1＝－b ，b －1＝－a ，又a ，b 均为正数， 所以a (a －1)x 2＋b (b －1)y 2＋2abxy ＝－ab (x 2＋y 2－2xy )＝－ab (x －y )2≤0，当且仅当x ＝y 时等号成立． 所以(ax ＋by )2≤ax 2＋by 2.(2)⎝⎛⎭⎫a ＋1a 2＋⎝⎛⎭⎫b ＋1b 2＝4＋a 2＋b 2＋⎝⎛⎭⎫1a 2＋1b 2 ＝4＋a 2＋b 2＋(a ＋b )2a 2＋(a ＋b )2b 2＝4＋a 2＋b 2＋1＋2b a ＋b 2a 2＋a 2b 2＋2a b ＋1＝4＋(a 2＋b 2)＋2＋⎝⎛⎭⎫2b a ＋2a b ＋⎝⎛⎭⎫b 2a 2＋a 2b 2≥6＋(a ＋b )22＋4＋2＝252， 当且仅当a ＝b ＝12时，等号成立，所以⎝⎛⎭⎫a ＋1a 2＋⎝⎛⎭⎫b ＋1b 2≥252. [方法技巧]1．综合法证明不等式的方法综合法证明不等式，要着力分析已知与求证之间，不等式的左右两端之间的差异与联系．合理进行转换，恰当选择已知不等式，这是证明的关键．2．综合法证明时常用的不等式 (1)a 2≥0. (2)|a |≥0.(3)a 2＋b 2≥2ab ，它的变形形式有：a 2＋b 2≥2|ab |；a 2＋b 2≥－2ab ；(a ＋b )2≥4ab ；a 2＋b 2≥12(a ＋b )2；a 2＋b 22≥⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 22. (4)a ＋b 2≥ab ，它的变形形式有：a ＋1a ≥2(a >0)；ab ＋b a ≥2(ab >0)； a b ＋ba ≤－2(ab <0)． [即时演练]设a ，b ，c 均为正数，且a ＋b ＋c ＝1，求证： (1)ab ＋bc ＋ac ≤13；(2)a 2b ＋b 2c ＋c 2a ≥1.证明：(1)由a 2＋b 2≥2ab ，b 2＋c 2≥2bc ，c 2＋a 2≥2ca ， 得a 2＋b 2＋c 2≥ab ＋bc ＋ca . 由题设得(a ＋b ＋c )2＝1，即a 2＋b 2＋c 2＋2ab ＋2bc ＋2ca ＝1， 所以3(ab ＋bc ＋ca )≤1， 即ab ＋bc ＋ca ≤13.(2)因为a 2b ＋b ≥2a ，b 2c ＋c ≥2b ，c 2a ＋a ≥2c ， 故a 2b ＋b 2c ＋c 2a ＋(a ＋b ＋c )≥2(a ＋b ＋c )， 即a 2b ＋b 2c ＋c 2a ≥a ＋b ＋c . 所以a 2b ＋b 2c ＋c 2a ≥1.分析法证明不等式[典例] 设a ，b 求证：(1)a ＋b ＋c ≥ 3. (2)a bc ＋b ac ＋cab ≥3(a ＋b ＋c )．[证明] (1)要证a ＋b ＋c ≥3， 由于a ，b ，c ＞0， 因此只需证明(a ＋b ＋c )2≥3.即证a 2＋b 2＋c 2＋2(ab ＋bc ＋ca )≥3，而ab ＋bc ＋ca ＝1，故需证明a 2＋b 2＋c 2＋2(ab ＋bc ＋ca )≥3(ab ＋bc ＋ca )． 即证a 2＋b 2＋c 2≥ab ＋bc ＋ca .而这可以由ab ＋bc ＋ca ≤a 2＋b 22＋b 2＋c 22＋c 2＋a 22＝a 2＋b 2＋c 2(当且仅当a ＝b ＝c 时等号成立)证得．所以原不等式成立． (2)abc＋ b ac＋ c ab ＝a ＋b ＋c abc. 在(1)中已证a ＋b ＋c ≥ 3. 因此要证原不等式成立， 只需证明1abc≥ a ＋b ＋c ， 即证a bc ＋b ac ＋c ab ≤1， 即证a bc ＋b ac ＋c ab ≤ab ＋bc ＋ca . 而a bc ＝ab ·ac ≤ab ＋ac2，b ac ≤ab ＋bc 2，c ab ≤bc ＋ac2.所以a bc ＋b ac ＋c ab ≤ab ＋bc ＋ca 当且仅当a ＝b ＝c ＝33时等号成立． 所以原不等式成立． [方法技巧]1．用分析法证“若A 则B ”这个命题的模式 为了证明命题B 为真，只需证明命题B 1为真，从而有… 只需证明命题B 2为真，从而有… ……只需证明命题A 为真，而已知A 为真，故B 必真． 2．分析法的应用当所证明的不等式不能使用比较法，且和重要不等式、基本不等式没有直接联系，较难发现条件和结论之间的关系时，可用分析法来寻找证明途径，使用分析法证明的关键是推理的每一步必须可逆．[即时演练]已知a >0，b >0,2c >a ＋b ，求证：c －c 2－ab <a <c ＋c 2－ab . 证明：要证c －c 2－ab <a <c ＋c 2－ab ，即证－c 2－ab <a －c <c 2－ab ，即证|a －c |<c 2－ab ，即证(a －c )2<c 2－ab ， 即证a 2－2ac <－ab .因为a >0，所以只要证a －2c <－b ， 即证a ＋b <2c .由已知条件知，上式显然成立，所以原不等式成立．1．(2017·全国卷Ⅱ)已知a >0，b >0，a 3＋b 3＝2.证明： (1)(a ＋b )(a 5＋b 5)≥4； (2)a ＋b ≤2.证明：(1)(a ＋b )(a 5＋b 5)＝a 6＋ab 5＋a 5b ＋b 6 ＝(a 3＋b 3)2－2a 3b 3＋ab (a 4＋b 4) ＝4＋ab (a 2－b 2)2≥4.(2)因为(a ＋b )3＝a 3＋3a 2b ＋3ab 2＋b 3 ＝2＋3ab (a ＋b )≤2＋3(a ＋b )24(a ＋b )＝2＋3(a ＋b )34，所以(a ＋b )3≤8，因此a ＋b ≤2.2．(2016·全国卷Ⅱ)已知函数f (x )＝⎪⎪⎪⎪x －12＋⎪⎪⎪⎪x ＋12，M 为不等式f (x )<2的解集．(1)求M ；(2)证明：当a ，b ∈M 时，|a ＋b |<|1＋ab |.解：(1)f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－2x ，x ≤－12，1，－12<x <12，2x ，x ≥12.当x ≤－12时，由f (x )<2得－2x <2，解得x >－1；当－12<x <12时，f (x )<2恒成立；当x ≥12时，由f (x )<2得2x <2，解得x <1.所以f (x )<2的解集M ＝{x |－1<x <1}．(2)证明：由(1)知，当a ，b ∈M 时，－1<a <1，－1<b <1， 从而(a ＋b )2－(1＋ab )2＝a 2＋b 2－a 2b 2－1 ＝(a 2－1)(1－b 2)<0. 因此|a ＋b |<|1＋ab |.3．(2015·全国卷Ⅱ)设a ，b ，c ，d 均为正数，且a ＋b ＝c ＋d ，证明： (1)若ab >cd ，则a ＋b >c ＋d ；(2)a ＋b >c ＋d 是|a －b |<|c －d |的充要条件． 证明：(1)因为(a ＋b )2＝a ＋b ＋2ab ， (c ＋d )2＝c ＋d ＋2cd ， 由题设a ＋b ＝c ＋d ，ab >cd ， 得(a ＋b )2>(c ＋d )2. 因此a ＋b >c ＋d . (2)①必要性：若|a －b |<|c －d |， 则(a －b )2<(c －d )2，即(a ＋b )2－4ab <(c ＋d )2－4cd . 因为a ＋b ＝c ＋d ，所以ab >cd . 由(1)，得a ＋b >c ＋d .②充分性：若a ＋b >c ＋d ， 则(a ＋b )2>(c ＋d )2， 即a ＋b ＋2ab >c ＋d ＋2cd . 因为a ＋b ＝c ＋d ，所以ab >cd .于是(a －b )2＝(a ＋b )2－4ab <(c ＋d )2－4cd ＝(c －d )2. 因此|a －b |<|c －d |.综上，a ＋b >c ＋d 是|a －b |＜|c －d |的充要条件． 4．(2014·全国卷Ⅰ)若a >0，b >0，且1a ＋1b ＝ab .(1)求a 3＋b 3的最小值；(2)是否存在a ，b ，使得2a ＋3b ＝6？并说明理由． 解：(1)由ab ＝1a ＋1b ≥2ab，得ab ≥2，且当a ＝b ＝2时等号成立．故a 3＋b 3≥2a 3b 3≥42，且当a ＝b ＝2时等号成立． 所以a 3＋b 3的最小值为4 2. (2)由(1)知，2a ＋3b ≥26ab ≥4 3. 由于43>6，从而不存在a ，b ， 使得2a ＋3b ＝6.1．已知a ，b 都是正实数，且a ＋b ＝2，求证：a 2a ＋1＋b 2b ＋1≥1.证明：∵a ＞0，b ＞0，a ＋b ＝2，∴a 2a ＋1＋b 2b ＋1－1＝a 2(b ＋1)＋b 2(a ＋1)－(a ＋1)(b ＋1)(a ＋1)(b ＋1) ＝a 2b ＋a 2＋b 2a ＋b 2－ab －a －b －1(a ＋1)(b ＋1)＝a 2＋b 2＋ab (a ＋b )－ab －(a ＋b )－1(a ＋1)(b ＋1)＝a 2＋b 2＋2ab －ab －3(a ＋1)(b ＋1)＝(a ＋b )2－3－ab (a ＋1)(b ＋1)＝1－ab (a ＋1)(b ＋1).∵a ＋b ＝2≥2ab ，∴ab ≤1. ∴1－ab (a ＋1)(b ＋1)≥0. ∴a 2a ＋1＋b 2b ＋1≥1. 2．已知定义在R 上的函数f (x )＝|x ＋1|＋|x －2|的最小值为a . (1)求a 的值；(2)若p ，q ，r 是正实数，且满足p ＋q ＋r ＝a ，求证：p 2＋q 2＋r 2≥3. 解：(1)因为|x ＋1|＋|x －2|≥|(x ＋1)－(x －2)|＝3， 当且仅当－1≤x ≤2时，等号成立， 所以f (x )的最小值等于3，即a ＝3. (2)证明：由(1)知p ＋q ＋r ＝3， 又因为p ，q ，r 是正实数，所以(p 2＋q 2＋r 2)(12＋12＋12)≥(p ×1＋q ×1＋r ×1)2＝(p ＋q ＋r )2＝9，即p 2＋q 2＋r 2≥3. 3．(2018·云南统一检测)已知a 是常数，对任意实数x ，不等式|x ＋1|－|2－x |≤a ≤|x ＋1|＋|2－x |都成立．(1)求a 的值；(2)设m ＞n ＞0，求证：2m ＋1m 2－2mn ＋n 2≥2n ＋a .解：(1)设f (x )＝|x ＋1|－|2－x |， 则f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－3，x ≤－1，2x －1，－1＜x ＜2，3，x ≥2，∴f (x )的最大值为3.∵对任意实数x ，|x ＋1|－|2－x |≤a 都成立，即f (x )≤a ， ∴a ≥3.设h (x )＝|x ＋1|＋|2－x |，则h (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－2x ＋1，x ≤－1，3，－1＜x ＜2，2x －1，x ≥2，则h (x )的最小值为3.∵对任意实数x ，|x ＋1|＋|2－x |≥a 都成立，即h (x )≥a ， ∴a ≤3. ∴a ＝3.(2)证明：由(1)知a ＝3. ∵2m ＋1m 2－2mn ＋n 2－2n ＝(m －n )＋(m －n )＋1(m －n )2，且m ＞n ＞0，∴(m －n )＋(m －n )＋1(m －n )2≥33(m －n )(m －n )1(m －n )2＝3.∴2m ＋1m 2－2mn ＋n 2≥2n ＋a .4．已知x ，y ，z 是正实数，且满足x ＋2y ＋3z ＝1. (1)求1x ＋1y ＋1z 的最小值；(2)求证：x 2＋y 2＋z 2≥114. 解：(1)∵x ，y ，z 是正实数，且满足x ＋2y ＋3z ＝1， ∴1x ＋1y ＋1z ＝⎝⎛⎭⎫1x ＋1y ＋1z (x ＋2y ＋3z )＝6＋2y x ＋3z x ＋x y ＋3z y ＋x z ＋2yz ≥6＋22＋23＋26， 当且仅当2y x ＝x y 且3z x ＝x z 且3z y ＝2yz 时取等号． (2)由柯西不等式可得1＝(x ＋2y ＋3z )2≤(x 2＋y 2＋z 2)(12＋22＋32) ＝14(x 2＋y 2＋z 2)，∴x 2＋y 2＋z 2≥114， 当且仅当x ＝y 2＝z 3，即x ＝114，y ＝17，z ＝314时取等号．故x 2＋y 2＋z 2≥114.5．(2018·石家庄模拟)已知函数f (x )＝|x |＋|x －1|. (1)若f (x )≥|m －1|恒成立，求实数m 的最大值M ；(2)在(1)成立的条件下，正实数a ，b 满足a 2＋b 2＝M ，证明：a ＋b ≥2ab . 解：(1)由绝对值不等式的性质知 f (x )＝|x |＋|x －1|≥|x －x ＋1|＝1， ∴f (x )min ＝1， ∴只需|m －1|≤1， 即－1≤m －1≤1， ∴0≤m ≤2，∴实数m 的最大值M ＝2.(2)证明：∵a 2＋b 2≥2ab ，且a 2＋b 2＝2， ∴ab ≤1，∴ab ≤1，当且仅当a ＝b 时取等号．① 又ab ≤a ＋b 2，∴ab a ＋b ≤12，∴ab a ＋b ≤ab2，当且仅当a ＝b 时取等号．②由①②得，ab a ＋b ≤12，∴a ＋b ≥2ab . 6．(2018·吉林实验中学模拟)设函数f (x )＝|x －a |. (1)当a ＝2时，解不等式f (x )≥4－|x －1|；(2)若f (x )≤1的解集为[0,2]，1m ＋12n ＝a (m >0，n >0)，求证：m ＋2n ≥4.解：(1)当a ＝2时，不等式为|x －2|＋|x －1|≥4.①当x ≥2时，不等式可化为x －2＋x －1≥4，解得x ≥72；②当1＜x ＜2时，不等式可化为2－x ＋x －1≥4， 不等式的解集为∅；③当x ≤1时，不等式可化为2－x ＋1－x ≥4，解得x ≤－12.综上可得，不等式的解集为⎝⎛⎦⎤－∞，－12∪⎣⎡⎭⎫72，＋∞. (2)证明：∵f (x )≤1，即|x －a |≤1，解得a －1≤x ≤a ＋1，而f (x )≤1的解集是[0,2]，∴⎩⎪⎨⎪⎧a －1＝0，a ＋1＝2，解得a ＝1， 所以1m ＋12n ＝1(m >0，n >0)，所以m ＋2n ＝(m ＋2n )⎝⎛⎭⎫1m ＋12n ＝2＋m 2n ＋2nm≥2＋2m 2n ·2nm＝4， 当且仅当m ＝2，n ＝1时取等号． 7．已知a ，b ，c ，d 均为正数，且ad ＝bc . (1)证明：若a ＋d >b ＋c ，则|a －d |>|b －c |；(2)若t ·a 2＋b 2·c 2＋d 2＝a 4＋c 4＋b 4＋d 4，求实数t 的取值范围． 解：(1)证明：由a ＋d >b ＋c ，且a ，b ，c ，d 均为正数， 得(a ＋d )2>(b ＋c )2，又ad ＝bc ， 所以(a －d )2>(b －c )2，即|a －d |>|b －c |.(2)因为(a 2＋b 2)(c 2＋d 2)＝a 2c 2＋a 2d 2＋b 2c 2＋b 2d 2＝a 2c 2＋2abcd ＋b 2d 2＝(ac ＋bd )2， 所以t ·a 2＋b 2·c 2＋d 2＝t (ac ＋bd )． 由于a 4＋c 4≥ 2ac,b 4＋d 4≥ 2bd ，又已知t ·a 2＋b 2·c 2＋d 2＝a 4＋c 4＋b 4＋d 4，则t (ac ＋bd )≥ 2(ac ＋bd )，故t ≥ 2，当且仅当a ＝c ，b ＝d 时取等号． 所以实数t 的取值范围为[2，＋∞)． 8．已知函数f (x )＝|x －1|.(1)解不等式f (2x )＋f (x ＋4)≥8； (2)若|a |<1，|b |<1，a ≠0，求证：f (ab )|a |>f ⎝⎛⎭⎫b a . 解：(1)f (2x )＋f (x ＋4)＝|2x －1|＋|x ＋3|＝⎩⎨⎧－3x －2，x <－3，－x ＋4，－3≤x <12，3x ＋2，x ≥12，当x <－3时，由－3x －2≥8，解得x ≤－103；当－3≤x <12时，－x ＋4≥8无解；当x ≥12时，由3x ＋2≥8，解得x ≥2.所以不等式f (2x )＋f (x ＋4)≥8的解集为⎝⎛⎦⎤－∞，－103∪[2，＋∞)． (2)证明：f (ab )|a |>f ⎝⎛⎭⎫b a 等价于f (ab )>|a |f ⎝⎛⎭⎫b a ， 即|ab －1|>|a －b |. 因为|a |<1，|b |<1，所以|ab －1|2－|a －b |2＝(a 2b 2－2ab ＋1)－(a 2－2ab ＋b 2)＝(a 2－1)(b 2－1)>0， 所以|ab －1|>|a －b |. 故所证不等式成立.阶段滚动检测(六)全程仿真验收(时间120分钟 满分150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．若集合A ＝{1,2,3}，B ＝{(x ，y )|x ＋y －4＞0，x ，y ∈A }，则集合B 中的元素个数为( ) A ．9 B ．6 C ．4D ．3解析：选D 集合A ＝{1,2,3}，B ＝{(x ，y )|x ＋y －4＞0，x ，y ∈A }＝{(2,3)，(3,2)，(3,3)}，则集合B 中的元素个数为3.2．若复数2a ＋2i1＋i (a ∈R)是纯虚数，则复数2a ＋2i 在复平面内对应的点在( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限解析：选B2a ＋2i 1＋i ＝(2a ＋2i )(1－i )(1＋i )(1－i )＝2a ＋2＋(2－2a )i2，由题意可知2a ＋2＝0且2－2a ≠0，所以a ＝－1，则复数2a ＋2i 在复平面内对应的点(－2,2)在第二象限．3．已知命题p ：∃x 0∈(－∞，0)，2x 0＜3x 0；命题q ：∀x ∈0，π2，cos x ＜1，则下列命题为真命题的是( )A ．p ∧qB ．p ∨(綈q )C ．(綈p )∧qD ．p ∧(綈q )解析：选C 因为x ∈(－∞，0)时，2x 3x ＝⎝⎛⎭⎫23x＞1，所以2x ＞3x ，故命题p 是假命题；命题q ：∀x ∈⎝⎛⎭⎫0，π2，cos x ＜1，是真命题，则綈p 是真命题，綈q 是假命题，故(綈p )∧q 是真命题．4.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为( )A ．1＋2πB ．1＋4π3C ．1＋π2D ．1＋π6解析：选D 由三视图可知，该几何体是一个组合体，上面是一个半径为12的球，下面是一个棱长为1的正方体，所以该几何体的体积V ＝4π3·⎝⎛⎭⎫123＋1＝1＋π6.5．函数y ＝x 22x －2－x的图象可能是( )解析：选C 因为f (－x )＝x 22－x －2x ＝－f (x )，即函数y ＝x 22x －2－x是奇函数，故排除B 、D ；当x >0，且x →＋∞时，y →0，故排除A ，因此选C.6．执行如图所示的程序框图，如果输入的m ，n 分别为1 848,936，则输出的m 的值为( )A ．168B ．72C ．36D ．24解析：选D 根据题意，运行程序：m ＝1 848，n ＝936；r ＝912，m ＝936，n ＝912；r ＝24，m ＝912，n ＝24；r ＝0，m ＝24，n ＝0，此时满足条件，循环结束，输出m ＝24，故选D.7.如图，Rt △ABC 中，AB ＝AC ，BC ＝4，O 为BC 的中点，以O 为圆心，1为半径的半圆与BC 交于点D ，P 为半圆上任意一点，则BP ―→·AD ―→的最小值为( )A ．2＋ 5 B. 5 C ．2D ．2－ 5解析：选D 建立如图所示的平面直角坐标系，则B (－2,0)，A (0,2)，D (1,0)，设P (x ，y )，故BP ―→＝(x ＋2，y )，AD ―→＝(1，－2)，所以BP ―→·AD ―→＝x －2y ＋2.令x －2y ＋2＝t ，根据直线的几何意义可知，当直线x －2y ＋2＝t 与半圆相切时，t 取得最小值，由点到直线的距离公式可得|2－t |5＝1，t ＝2－5，即BP ―→·AD ―→的最小值是2－ 5.8．将函数f (x )＝cos ωx (ω＞0)的图象向右平移π3个单位，若所得图象与原图象重合，则f ⎝⎛⎭⎫π24不可能等于( )A ．0B ．1 C.22D.32解析：选D 将函数f (x )＝cos ωx (ω＞0)的图象向右平移π3个单位，得函数y ＝cos ⎝⎛⎭⎫ωx －ωπ3，由题意可得ωπ3＝2k π，k ∈Z ，因为ω＞0，所以ω＝6k ＞0，k ∈Z ，则f ⎝⎛⎭⎫π24＝cos ωπ24＝cos k π4，k ∈Z ，显然，f ⎝⎛⎭⎫π24不可能等于32，故选D. 9．(2017·郑州二模)已知实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧y ≥x ＋2，x ＋y ≤6，x ≥1，则z ＝2|x －2|＋|y |的最小值是( )A ．6B ．5C ．4D ．3解析：选C作出不等式组⎩⎨⎧y ≥x ＋2，x ＋y ≤6，x ≥1表示的可行域如图中阴影部分所示，其中A (2,4)，B (1,5)，C (1，3)，∴x ∈[1,2]，y ∈[3,5]．∴z ＝2|x －2|＋|y |＝－2x ＋y ＋4，当直线y ＝2x －4＋z 过点A (2,4)时，直线在y 轴上的截距最小，此时z 有最小值，∴z min ＝－2×2＋4＋4＝4，故选C.10．在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，A ＝π4，b 2－a 2＝12c 2，则tanC ＝( )A ．2B ．－2 C.12D ．－12解析：选A 因为b 2－a 2＝12c 2且b 2＋c 2－a 2＝2bc cos A ＝2bc ，所以b ＝3c 22，a ＝5c 22，由余弦定理可得cos C ＝58c 2＋98c 2－c 22×5c 22×3c 22＝15，则角C 是锐角，sin C ＝25，则tan C ＝sin C cos C ＝2.11．已知点P 在双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的右支上，F 1，F 2分别为双曲线的左、右焦点，若|PF 1―→ |2－|PF 2―→|2＝12a 2，则该双曲线的离心率的取值范围是( )A ．[3，＋∞)B ．(2,4]C ．(2,3]D ．(1,3]解析：选D 根据题意，因为|PF 1―→|2－|PF 2―→|2＝12a 2，且|PF 1|－|PF 2|＝2a ，所以|PF 1|＋|PF 2|＝6a ≥|F 1F 2|＝2c ，所以e ≤3.又因为e >1，所以该双曲线的离心率的取值范围是(1,3]．12．已知f ′(x )为函数f (x )的导函数，且f (x )＝12x 2－f (0)x ＋f ′(1)e x －1，若g (x )＝f (x )－12x 2＋x ，则方程g ⎝⎛⎭⎫x2a －x －x ＝0有且仅有一个根时，实数a 的取值范围是( ) A ．(－∞，0)∪{1} B ．(－∞，1] C ．(0,1]D ．[1，＋∞)解析：选A 由函数的解析式可得f (0)＝f ′(1)e －1，f ′(x )＝x －f (0)＋f ′(1)e x －1，f ′(1)＝1－f (0)＋f ′(1)，所以f ′(1)＝e ，f (0)＝1，所以f (x )＝12x 2－x ＋e x ，g (x )＝f (x )－12x 2＋x ＝e x ，则e x 2a －x －x ＝0有且仅有一个根，即x 2a ＝x ＋ln x 有且仅有一个根，分别作出y ＝x 2a 和y＝x ＋ln x 的图象，由图象知a <0或a ＝1.二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．请把正确答案填在题中的横线上) 13．(m ＋x )(1＋x )3的展开式中x 的奇数次幂项的系数之和为16，则⎠⎛-11x m d x ＝________.解析：(m ＋x)(1＋x)3＝(m ＋x)(C 03x 3＋C 13x 2＋C 23x ＋C 33)，所以x 的奇数次幂项的系数之和为m C 03＋m C 23＋C 13＋C 33＝16，解得m ＝3，所以⎠⎛-11x md x ＝⎠⎛-11x 3d x ＝14x 4⎪⎪⎪1-1＝0.答案：014．在△ABC 中，AB ⊥AC ，AB ＝1t，AC ＝t ，P 是△ABC 所在平面内一点，若AP ―→＝4AB―→|AB ―→|＋AC ―→|AC ―→|，则△PBC 面积的最小值为________． 解析：由于AB ⊥AC ，故以AB ，AC 所在直线分别为x 轴，y 轴，建立平面直角坐标系(图略)，则B ⎝⎛⎭⎫1t ，0，C(0，t)，因为AP ―→＝4AB ―→|AB ―→|＋AC ―→|AC ―→|，所以点P 坐标为(4,1)，直线BC 的方程为t 2x ＋y －t ＝0，所以点P 到直线BC 的距离为d ＝|4t 2＋1－t|t 4＋1，BC ＝t 4＋1t，所以△PBC 的面积为12×|4t 2＋1－t|t 4＋1×t 4＋1t ＝12⎪⎪⎪⎪4t ＋1t －1≥32，当且仅当t ＝12时取等号． 答案：3215．若m ∈(0,3)，则直线(m ＋2)x ＋(3－m)y －3＝0与x 轴、y 轴围成的三角形的面积小于98的概率为________． 解析：令x ＝0，得y ＝33－m ；令y ＝0，得x ＝3m ＋2.所以12·|x|·|y|＝12·⎪⎪⎪⎪⎪⎪3m ＋2·⎪⎪⎪⎪⎪⎪33－m ＜98，因为m ∈(0,3)，所以解得0<m<2，由几何概型概率公式可得，所求事件的概率为23.答案：2316．已知M(x 0，y 0)是椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a>b>0)上一点，A ，B 是其左、右顶点，若AM―→2AM ―→·BM ―→＝x 20－a 2，则离心率e ＝________.解析：由题意知A(－a,0)，B(a,0)，∴AM ―→＝(x 0＋a ，y 0)，BM ―→＝(x 0－a ，y 0)，∵2AM ―→·BM―→＝x 20－a 2，∴2(x 20－a 2＋y 20)＝x 20－a 2，∴x 20＝a 2－2y 20. 又x 20a 2＋y 20b 2＝1，∴a 2－2y 20a 2＋y 20b2＝1， ∴－2a 2＋1b2＝0，∴a 2＝2b 2，∴c 2a 2＝a 2－b 2a 2＝1－b 2a 2＝1－12＝12，∴e ＝22. 答案：22三、解答题(本大题共6小题，共70分，解答时写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17．(本小题满分12分)已知数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1＝2，且满足a n ＋1＝S n ＋2n ＋1(n∈N *)．(1)证明数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n 2n 为等差数列；(2)求S 1＋S 2＋…＋S n .解：(1)证明：由条件可知，S n ＋1－S n ＝S n ＋2n ＋1， 即S n ＋1－2S n ＝2n ＋1，整理得S n ＋12n ＋1－S n2n ＝1，所以数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n 2n 是以1为首项，1为公差的等差数列．(2)由(1)可知，S n2n ＝1＋n －1＝n ，即S n ＝n ·2n ，令T n ＝S 1＋S 2＋…＋S n ，则T n ＝1×2＋2×22＋…＋n ×2n ①2T n ＝1×22＋2×23＋…＋n ×2n ＋1，②①－②，得－T n ＝2＋22＋…＋2n －n ·2n ＋1＝2(1－2n)1－2－n ·2n ＋1＝(1－n )·2n ＋1－2，所以T n ＝2＋(n －1)·2n ＋1.18．(本小题满分12分)如图所示的是某母婴用品专卖店根据以往销售奶粉的销售记录绘制的日销售量的频率分布直方图．将日销售量落入各组的频率视为概率，并假设每天的销售量相互独立．(1)估计日销售量的平均值；(2)求未来连续三天里，有两天日销售量不低于100袋且另一天销售量低于50袋的概率； (3)记X 为未来三天里日销售量不低于150袋的天数，求X 的分布列和均值(数学期望)． 解：(1)估计日销售量的平均值为25×0.003×50＋75×0.005×50＋125×0.006×50＋175×0.004×50＋225×0.002×50＝117.5.(2)不低于100袋的概率为0.6，低于50袋的概率为0.15，设事件A 表示有两天日销售量不低于100袋且另一天销售量低于50袋，则P (A )＝C 23(0.6)2×0.15＝0.162.(3)不低于150袋的概率为0.3，由题意知，X ～B (3,0.3)，P (X ＝0)＝C 03(0.7)3＝0.343， P (X ＝1)＝C 13(0.7)2×0.3＝0.441， P (X ＝2)＝C 23×0.7×0.32＝0.189， P (X ＝3)＝C 33×0.33＝0.027.所以X 的分布列为则X 的均值为E (X 19．(本小题满分12分)如图①，等腰直角三角形ABC 的底边AB ＝4，点D 在线段AC。
2018年高考数学二轮复习专题一第3讲不等式案文
第3讲 不等式高考定位 1.利用不等式性质比较大小、不等式的求解、利用基本不等式求最值及线性规划问题是高考的热点，主要以选择题、填空题为主；2.在解答题中，特别是在解析几何中求最值、范围问题或在解决导数问题时常利用不等式进行求解，难度较大.真 题 感 悟1.(2017·全国Ⅰ卷)设x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋3y ≤3，x －y ≥1，y ≥0，则z ＝x ＋y 的最大值为( )A.0B.1C.2D.3解析 根据约束条件画出可行域，如图中阴影部分(含边界)，则当目标函数z ＝x ＋y 经过A (3，0)时取得最大值，故z max ＝3＋0＝3.答案 D2.(2016·山东卷)若变量x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≤2，2x －3y ≤9，x ≥0，则x 2＋y 2的最大值是( )A.4B.9C.10D.12解析 作出不等式组表示的平面区域，如图中阴影部分所示：x 2＋y 2表示区域内点到原点距离的平方，由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝2，2x －3y ＝9得A (3，－1).由图形知，(x 2＋y 2)max ＝|OA |2＝32＋(－1)2＝10. 答案 C3.(2017·天津卷)若a ，b ∈R ，ab >0，则a 4＋4b 4＋1ab 的最小值为________.解析 ∵a ，b ∈R ，ab >0，∴a 4＋4b 4＋1ab ≥4a 2b 2＋1ab ＝4ab ＋1ab ≥24ab ·1ab＝4，当且仅当⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝2b 2，4ab ＝1ab ，即⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝22，b 2＝24时取得等号. 答案 44.(2017·全国Ⅲ卷)设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1，x ≤0，2x ，x >0，则满足f (x )＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －12>1的x 的取值范围是________.解析 当x ≤0时，f (x )＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －12＝(x ＋1)＋⎝ ⎛⎭⎪⎫x －12＋1，原不等式化为2x ＋32>1，解得－14<x ≤0，当0<x ≤12时，f (x )＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －12＝2x ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫x －12＋1原不等式化为2x＋x ＋12>1，该式恒成立，当x >12时，f (x )＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －12＝2x ＋2x －12，又x >12时，2x ＋2x －12>212＋20＝1＋2>1恒成立，综上可知，不等式的解集为⎝ ⎛⎭⎪⎫－14，＋∞. 答案 ⎝ ⎛⎭⎪⎫－14，＋∞考 点 整 合1.不等式的解法(1)一元二次不等式的解法.一元二次不等式ax 2＋bx ＋c >0(或<0)(a ≠0，Δ＝b 2－4ac >0)，如果a 与ax 2＋bx ＋c 同号，则其解集在两根之外；如果a 与ax 2＋bx ＋c 异号，则其解集在两根之间. (2)简单分式不等式的解法. ①f （x ）g （x ）>0(<0)⇔f (x )g (x )>0(<0). ②f （x ）g （x ）≥0(≤0)⇔f (x )g (x )≥0(≤0)且g (x )≠0. (3)指数不等式、对数不等式及抽象函数不等式，可利用函数的单调性求解. 2.几个不等式(1)a 2＋b 2≥2ab (取等号的条件是当且仅当a ＝b ).(2)ab ≤⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 22(a ，b ∈R ).(3)a 2＋b 22≥a ＋b2≥ab ≥2aba ＋b(a >0，b >0). (4)2(a 2＋b 2)≥(a ＋b )2(a ，b ∈R ，当a ＝b 时等号成立). 3.利用基本不等式求最值(1)如果x >0，y >0，xy ＝p (定值)，当x ＝y 时，x ＋y 有最小值2p (简记为：积定，和有最小值).(2)如果x >0，y >0，x ＋y ＝s (定值)，当x ＝y 时，xy 有最大值14s 2(简记为：和定，积有最大值).4.简单的线性规划问题解决线性规划问题首先要找到可行域，再根据目标函数表示的几何意义，数形结合找到目标函数达到最值时可行域上的顶点(或边界上的点)，但要注意作图一定要准确，整点问题要验证解决.热点一 不等式的性质及解法【例1】 (1)已知函数f (x )＝(x －2)(ax ＋b )为偶函数，且在(0，＋∞)单调递增，则f (2－x )>0的解集为( ) A.{x |x >2或x <－2} B.{x |－2<x <2} C.{x |x <0或x >4}D.{x |0<x <4}(2)(2017·江苏卷)已知函数f (x )＝x 3－2x ＋e x－1e x ，其中e 是自然对数的底数，若f (a －1)＋f (2a 2)≤0，则实数a 的取值范围是________.解析 (1)∵f (x )＝(x －2)(ax ＋b )为偶函数，∴(－x －2)(－ax ＋b )＝(x －2)(ax ＋b )，则(2a －b )x ＝0恒成立. 因此2a －b ＝0，即b ＝2a ，则f (x )＝a (x －2)(x ＋2). 又函数在(0，＋∞)上单调递增，所以a >0.f (2－x )>0即ax (x －4)>0，解得x <0或x >4.(2)f ′(x )＝3x 2－2＋e x ＋1e x ≥3x 2－2＋2e x ·1ex ＝3x 2≥0且f ′(x )不恒为0，所以f (x )为单调递增函数.又f (－x )＝－x 3＋2x ＋e －x －e x ＝－(x 3－2x ＋e x－1e x )＝－f (x )，故f (x )为奇函数，由f (a －1)＋f (2a 2)≤0，得f (2a 2)≤f (1－a )， ∴2a 2≤1－a ，解之得－1≤a ≤12，故实数a 的取值范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1，12. 答案 (1)C (2)⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1，12 探究提高 1.解一元二次不等式：先化为一般形式ax 2＋bx ＋c >0(a >0)，再结合相应二次方程的根及二次函数图象确定一元二次不等式的解集.2.(1)对于和函数有关的不等式，可先利用函数的单调性进行转化. (2)含参数的不等式的求解，要对参数进行分类讨论.【训练1】 (1)若不等式x 2－ax ＋1≥0对于一切a ∈[－2，2]恒成立，则x 的取值范围是________. (2)已知不等式2x －1≥15|a 2－a |对于x ∈[2，6]恒成立，则a 的取值范围是________. 解析 (1)因为a ∈[－2，2]，可把原式看作关于a 的一次函数，即g (a )＝－xa ＋x 2＋1≥0，由题意可知⎩⎪⎨⎪⎧g （－2）＝x 2＋2x ＋1≥0，g （2）＝x 2－2x ＋1≥0，解之得x ∈R . (2)设y ＝2x －1，y ′＝－2（x －1）2<0， 故y ＝2x －1在x ∈[2，6]上单调递减，则y min ＝26－1＝25， 故不等式2x －1≥15|a 2－a |对于x ∈[2，6]恒成立等价于 15|a 2－a |≤25恒成立，化简得⎩⎪⎨⎪⎧a 2－a －2≤0，a 2－a ＋2≥0，解得－1≤a ≤2，故a 的取值范围是[－1，2]. 答案 (1)R (2)[－1，2] 热点二 基本不等式及其应用【例2】 (1)(2017·山东卷)若直线x a ＋yb＝1(a >0，b >0)过点(1，2)，则2a ＋b 的最小值为________.(2)(2016·江苏卷改编)已知函数f (x )＝2x＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12x，若对于任意x ∈R ，不等式f (2x )≥mf (x )－6恒成立，则实数m 的最大值为________. 解析 (1)∵直线x a ＋y b＝1(a >0，b >0)过点(1，2)， ∴1a ＋2b＝1(a >0，且b >0)，则2a ＋b ＝(2a ＋b )⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋2b＝4＋b a＋4ab ≥4＋2b a ·4ab＝8. 当且仅当b a ＝4ab，即a ＝2，b ＝4时上式等号成立.因此2a ＋b 的最小值为8. (2)由条件知f (2x )＝22x＋2－2x＝(2x ＋2－x )2－2＝(f (x ))2－2.∵f (2x )≥mf (x )－6对于x ∈R 恒成立，且f (x )>0， ∴m ≤（f （x ））2＋4f （x ）对于x ∈R 恒成立.又（f （x ））2＋4f （x ）＝f (x )＋4f （x ）≥2f （x ）·4f （x ）＝4，且（f （0））2＋4f （0）＝4，∴m ≤4，故实数m 的最大值为4. 答案 (1)8 (2)4探究提高 1.利用基本不等式求最值，要注意“拆、拼、凑”等变形，变形的原则是在已知条件下通过变形凑出基本不等式应用的条件，即“和”或“积”为定值，等号能够取得. 2.特别注意：(1)应用基本不等式求最值时，若遇等号取不到的情况，则应结合函数的单调性求解.(2)若两次连用基本不等式，要注意等号的取得条件的一致性，否则会出错.【训练2】 (1)已知向量a ＝(3，－2)，b ＝(x ，y －1)，且a ∥b ，若x ，y 均为正数，则3x ＋2y的最小值是( ) A.53 B.83 C.8D.24(2)若实数a ，b 满足1a ＋2b＝ab ，则ab 的最小值为( )A. 2B.2C.2 2D.4解析 (1)∵a ∥b ，∴3(y －1)＋2x ＝0， 即2x ＋3y ＝3.∵x ＞0，y ＞0， ∴3x ＋2y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫3x ＋2y ·13(2x ＋3y ) ＝13⎝⎛⎭⎪⎫6＋6＋9y x ＋4x y ≥13(12＋2×6)＝8.当且仅当3y ＝2x 时取等号. (2)依题意知a >0，b >0，则1a ＋2b ≥22ab＝22ab，当且仅当1a ＝2b，即b ＝2a 时，“＝”成立.∵1a ＋2b＝ab ，∴ab ≥22ab，即ab ≥22，∴ab 的最小值为2 2. 答案 (1)C (2)C热点三 简单的线性规划问题命题角度1 已知线性约束条件，求线性目标函数最值【例3－1】 (1)(2017·天津卷)设变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y ≥0，x ＋2y －2≥0，x ≤0，y ≤3，则目标函数z ＝x＋y 的最大值为( )A.23B.1C.32D.3(2)(2017·全国Ⅲ卷)若x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －y ≥0，x ＋y －2≤0，y ≥0，则z ＝3x －4y 的最小值为________.解析 (1)作出约束条件所表示的可行域如图中阴影部分所示，由z ＝x ＋y 得y ＝－x ＋z ，作出直线y ＝－x ，平移使之经过可行域，观察可知，最优解在B (0，3)处取得，故z max ＝0＋3＝3，选项D 符合.(2)由题设，画出可行域如图阴影部分所示：由z ＝3x －4y ， 得y ＝34x －z4，作出直线y ＝34x ，平移使之经过可行域，观察可知，当直线经过点A (1，1)时，z 有最小值.故z min ＝3×1－4×1＝－1. 答案 (1)D (2)－1命题角度2 求非线性目标函数的最值【例3－2】 (2017·汉中模拟)已知实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧2x －y －4≥0，x －2y －2≤0，y ≤6，则z ＝y ＋1x ＋2的取值范围是________. 解析 作出约束条件所表示的可行域如图中阴影部分所示，联立⎩⎪⎨⎪⎧2x －y －4＝0，x －2y －2＝0，得A (2，0).联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝6，2x －y －4＝0，得点B (5，6).z ＝y ＋1x ＋2的几何意义为可行域内的动点与定点P (－2，－1)连线的斜率， ∵k PA ＝14，k PB ＝1，∴z ＝y ＋1x ＋2的取值范围为⎣⎢⎡⎦⎥⎤14，1. 答案 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤14，1命题角度3 线性规划中参数问题【例3－3】 (2017·池州模拟)已知x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －y －2≤0，ax ＋y ≥4，x －2y ＋3≥0，目标函数z ＝2x －3y的最大值是2，则实数a ＝( ) A.12 B.1 C.32D.4解析 作出约束条件所表示的可行域如图中阴影部分所示，∵目标函数z ＝2x －3y 的最大值是2，由图象知z ＝2x －3y 经过平面区域的A 时目标函数取得最大值2.由⎩⎪⎨⎪⎧x －y －2＝0，2x －3y ＝2，解得A (4，2)，同时A (4，2)也在直线ax ＋y －4＝0上， ∴4a ＝2，则a ＝12.答案 A探究提高 1.线性规划的实质是把代数问题几何化，即数形结合的思想.需要注意的是：一，准确无误地作出可行域；二，画目标函数所对应的直线时，要注意与约束条件中的直线的斜率进行比较，避免出错；三，一般情况下，目标函数的最大或最小值会在可行域的端点或边界上取得.2.对于线性规划中的参数问题，需注意：(1)当最值是已知时，目标函数中的参数往往与直线斜率有关，解题时应充分利用斜率这一特征加以转化.(2)当目标函数与最值都是已知，且约束条件中含有参数时，因为平面区域是变动的，所以要抓住目标函数及最值已知这一突破口，先确定最优解，然后变动参数范围，使得这样的最优解在该区域内即可.【训练3】 (1)(2017·山东卷)已知x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －2y ＋5≤0，x ＋3≥0，y ≤2，则z ＝x ＋2y 的最大值是( ) A.－3 B.－1 C.1D.3(2)(2017·新乡模拟)若实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧2x －y ＋2≥0，2x ＋y －6≤0，0≤y ≤3，且z ＝mx －y (m <2)的最小值为－52，则m 等于( )A.54 B.－56C.1D.13解析 (1)已知约束条件可行域如图中阴影部分所示，z ＝x ＋2y 经过B (－1，2)时有最大值，∴z max ＝－1＋2×2＝3.(2)作出约束条件所表示的可行域如图中阴影部分所示，z ＝mx －y (m <2)的最小值为－52，可知目标函数的最优解过点A ，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝3，2x －y ＋2＝0，解得A ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，3.∴－52＝m2－3，解得m ＝1.答案 (1)D (2)C1.多次使用基本不等式的注意事项当多次使用基本不等式时，一定要注意每次是否能保证等号成立，并且要注意取等号的条件的一致性，否则就会出错，因此在利用基本不等式处理问题时，列出等号成立的条件不仅是解题的必要步骤，也是检验转换是否有误的一种方法.2.基本不等式除了在客观题考查外，在解答题的关键步骤中也往往起到“巧解”的作用，但往往需先变换形式才能应用.3.解决线性规划问题首先要作出可行域，再注意目标函数表示的几何意义，数形结合找到目标函数达到最值时可行域的顶点(或边界上的点)，但要注意作图一定要准确，整点问题要验证解决.4.解答不等式与导数、数列的综合问题时，不等式作为一种工具常起到关键的作用，往往涉及到不等式的证明方法(如比较法、分析法、综合法、放缩法、换元法等).在求解过程中，要以数学思想方法为思维依据，并结合导数、数列的相关知识解题，在复习中通过解此类问题，体会每道题中所蕴含的思想方法及规律，逐步提高自己的逻辑推理能力.一、选择题1.(2016·全国Ⅲ卷)已知a ＝243，b ＝323，c ＝2513，则( ) A.b <a <c B.a <b <c C.b <c <aD.c <a <b解析 a ＝243＝316，b ＝323＝39，c ＝2513＝325，所以b <a <c .答案 A2.(2017·南昌模拟)若正数x ， y 满足1y ＋3x＝1，则3x ＋4y 的最小值是( )A.24B.28C.25D.26解析 ∵正数x ，y 满足1y ＋3x＝1，则3x ＋4y ＝(3x ＋4y )⎝ ⎛⎭⎪⎫1y ＋3x ＝13＋3x y ＋12y x≥13＋3×2x y ×4yx＝25，当且仅当x ＝2y ＝5时取等号.∴3x ＋4y 的最小值是25. 答案 C3.(2017·全国Ⅲ卷)设x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋2y －6≤0，x ≥0，y ≥0，则z ＝x －y 的取值范围是( )A.[－3，0]B.[－3，2]C.[0，2]D.[0，3]解析 画出不等式组表示的可行域(如图阴影部分所示).结合目标函数的几何意义，函数在点A (0，3)处取得最小值z ＝0－3＝－3，在点B (2，0)处取得最大值z ＝2－0＝2. 答案 B4.已知当x ＜0时，2x 2－mx ＋1＞0恒成立，则m 的取值范围为( )A.[22，＋∞)B.(－∞，22]C.(－22，＋∞)D.(－∞，－22)解析 由2x 2－mx ＋1＞0，得mx ＜2x 2＋1， 因为x ＜0，所以m ＞2x 2＋1x ＝2x ＋1x.又2x ＋1x ＝－⎣⎢⎡⎦⎥⎤（－2x ）＋1（－x ）≤－2（－2x ）×1（－x ）＝－2 2.当且仅当－2x ＝－1x ，即x ＝－22时取等号，所以m ＞－2 2. 答案 C5.(2017·济南十校二模)已知x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －y ≥0，x ＋y ≤2，y ≥0，若z ＝ax ＋y 的最大值为4，则a＝( ) A.3 B.2 C.－2D.－3解析 不等式组表示的平面区域如图阴影部分所示.易知A (2，0)，由⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＝0，x ＋y ＝2，得B (1，1).由z ＝ax ＋y ，得y ＝－ax ＋z .∴当a ＝－2或－3时，z ＝ax ＋y 在O (0，0)处取得最大值，最大值为z max ＝0，不满足题意，排除C ，D ；当a ＝2或3时，z ＝ax ＋y 在A (2，0)处取得最大值，∴2a ＝4，∴a ＝2，排除A ，故选B. 答案 B 二、填空题6.已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 3x ，x ＞0，⎝ ⎛⎭⎪⎫13x ，x ≤0，那么不等式f (x )≥1的解集为________.解析 当x ＞0时，由log 3x ≥1可得x ≥3，当x ≤0时，由⎝ ⎛⎭⎪⎫13x≥1可得x ≤0，∴不等式f (x )≥1的解集为(－∞，0]∪[3，＋∞). 答案 (－∞，0]∪[3，＋∞)7.(2017·北京卷)已知x ≥0，y ≥0，且x ＋y ＝1，则x 2＋y 2的取值范围是________. 解析 法一 ∵x ≥0，y ≥0且x ＋y ＝1. ∴2xy ≤x ＋y ＝1，当且仅当x ＝y ＝12取等号，从而0≤xy ≤14，因此x 2＋y 2＝(x ＋y )2－2xy ＝1－2xy ， 所以12≤x 2＋y 2≤1.法二 可转化为线段AB 上的点到原点距离平方的范围，AB 上的点到原点距离的范围为⎣⎢⎡⎦⎥⎤22，1，则x 2＋y 2的取值范围为⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，1.答案 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，18.(2017·长郡中学二模)曲线x ＝|y －1|与y ＝2x －5围成封闭区域(含边界)为Ω，直线y ＝3x ＋b 与区域Ω有公共点，则b 的最小值为________. 解析 作x ＝|y －1|与y ＝2x －5围成的平面区域如图，由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝y －1，y ＝2x －5，解得A (6，7)， 平移直线y ＝3x ＋b ，则由图象可知当直线经过点A 时，直线y ＝3x ＋b 在y 轴上的截距最小，此时b 最小.∴b ＝－3x ＋y 的最小值为－18＋7＝－11. 答案 －11 三、解答题9.(2017·郴州二模改编)设关于x ，y 的不等式组⎩⎪⎨⎪⎧2x －y ＋1>0，x ＋m <0，y －m >0表示的平面区域内存在点P (x 0，y 0)，满足x 0－2y 0＝2，求实数m 的取值范围.解 先根据约束条件⎩⎪⎨⎪⎧2x －y ＋1>0，x ＋m <0，y －m >0画出可行域(图略)要使可行域存在，必有m <－2m ＋1，要求可行域包含直线y ＝12x －1上的点，只要边界点(－m ，1－2m )在直线y ＝12x －1的上方，且(－m ，m )在直线y ＝12x －1的下方，故得不等式组⎩⎪⎨⎪⎧m <－2m ＋1，1－2m >－12m －1，m <－12m －1，解之得m <－23.故实数m 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－23.10.已知函数f (x )＝2xx 2＋6. (1)若f (x )＞k 的解集为{x |x ＜－3，或x ＞－2}，求k 的值； (2)对任意x ＞0，f (x )≤t 恒成立，求t 的取值范围. 解 (1)f (x )＞k ⇔kx 2－2x ＋6k ＜0.由已知{x |x ＜－3，或x ＞－2}是其解集，得kx 2－2x ＋6k ＝0的两根是－3，－2. 由根与系数的关系可知(－2)＋(－3)＝2k ，即k ＝－25.(2)因为x ＞0，f (x )＝2x x 2＋6＝2x ＋6x≤226＝66，当且仅当x ＝6时取等号. 由已知f (x )≤t 对任意x ＞0恒成立， 故t ≥66，即t 的取值范围是⎣⎢⎡⎭⎪⎫66，＋∞. 11.(2017·天津卷)电视台播放甲、乙两套连续剧，每次播放连续剧时，需要播放广告.已知每次播放甲、乙两套连续剧时，连续剧播放时长、广告播放时长、收视人次如下表所示：已知电视台每周安排的甲、乙连续剧的总播放时间不多于600分钟，广告的总播放时间不少于30分钟，且甲连续剧播放的次数不多于乙连续剧播放次数的2倍.分别用x ，y 表示每周计划播出的甲、乙两套连续剧的次数.(1)用x ，y 列出满足题目条件的数学关系式，并画出相应的平面区域； (2)问电视台每周播出甲、乙两套连续剧各多少次，才能使总收视人次最多？解 (1)由已知，x ，y 满足的数学关系式为⎩⎪⎨⎪⎧70x ＋60y ≤600，5x ＋5y ≥30，x ≤2y ，x ≥0，y ≥0，即⎩⎪⎨⎪⎧7x ＋6y ≤60，x ＋y ≥6，x －2y ≤0，x ≥0，y ≥0，该二元一次不等式组所表示的平面区域为图1中的阴影部分：(2)设总收视人次为z 万，则目标函数为z ＝60x ＋25y .考虑z ＝60x ＋25y ，将它变形为y ＝－125x ＋z 25，这是斜率为－125，随z 变化的一族平行直线，z25为直线在y 轴上的截距，当z25取得最大值时，z 的值最大.又因为x ，y 满足约束条件，所以由图2可知，当直线z ＝60x ＋25y 经过可行域上的点M 时，截距z25最大，即z 最大.解方程组⎩⎪⎨⎪⎧7x ＋6y ＝60，x －2y ＝0，得点M 的坐标为(6，3).所以，电视台每周播出甲连续剧6次、乙连续剧3次时才能使总收视人次最多.。
高考数学第3讲 不等式性质与线性规划、基本不等式
大二轮复习 数学（文）
得 f(2a)－12(2a＋2)2＜f(12－a)－12(12－a＋2)2， 即 g(2a)＜g(12－a)，所以 2a＞12－a，所以 a＞4， 又 2a＞－2，12－a＞－2，所以 4＜a＜14. 故选 B.
核心知识 核心考点 高考押题 限时规范训练
核心知识 核心考点 高考押题 限时规范训练
大二轮复习 数学（文）
考点一 不等式性质及求解
——清楚条件，等价转化
(1)[考题打磨]设 a＝2ln 3，b＝2－0.1，c＝ln 8，则 a，b，c
的大小关系是( A )
A．a＞c＞b
B．a＞b＞c
C．b＞a＞c
D．c＞a＞b
解析：选 A.a＝2ln 3＝ln 9＞ln 8＞1. b＝2－0.1＜1，∴a＞c＞b，选 A.
的最大值为 的最小值为
___2__S______．
核心知识 核心考点 高考押题 限时规范训练
大二轮复习 数学（文）
3．不等式 y>kx＋b 表示直线 y＝kx＋b 上方的区域；y<kx＋b 表示 直线 y＝kx＋b 下方的区域．
4．绝对值不等式：|x|＞a(a＞0)⇔ __x_＞__a__或__x_＜__－__a___， |x|＜a(a＞0)⇔ _－__a_＜__x_＜__a__.
(5)形如 y＝ax＋bx(a>0，b>0)，x∈(0，＋∞)取最小值时，ax＝bx⇒x b
＝______a_____，即“对号函数”单调变化的分界点；
__P2__2_(6_)_a_>_0_，_ ；b>若0，a若b ＝a
＋b＝P，当且仅当 S，当且仅当 a＝
a b
高考化学二轮复习课时作业：专题1第3讲 离子反应 氧化还原反应 〖无忧资源〗
课时作业3 离子反应 氧化还原反应一、选择题(每小题5分，共50分)1．下列操作过程中一定有氧化还原反应发生的是( )解析：D 项发生的反应为2H 2O=====通电2H 2↑＋O 2↑，属于氧化还原反应；A 、C 项为物理变化；B 项为非氧化还原反应。
答案：D2．(2011·南京学情分析)下列离子方程式中正确的是( ) A ．实验室用烧碱溶液除去尾气中的Cl 2：Cl 2＋OH －===Cl －＋HClOB ．向AlCl 3溶液中滴加过量氨水制备Al(OH)3：Al 3＋＋3NH 3·H 2O===Al(OH)3↓＋3NH ＋4 C ．用惰性电极电解饱和MgCl 2溶液：2Cl －＋2H 2O=====电解Cl 2↑＋H 2↑＋2OH －D ．用FeCl 3溶液腐蚀铜制印刷电路板：Fe 3＋＋Cu===Fe 2＋＋Cu 2＋解析：本题考查离子方程式的书写。
氯气与烧碱反应，产物是NaClO ，而不是HClO ，A 项错误；实验室制Al(OH)3可选用铝盐和弱碱反应，因为Al(OH)3不溶于弱碱，B 项正确；电解饱和MgCl 2溶液时，会生成氢氧化镁沉淀，C 项错误；D 项电荷不守恒，错误。
答案：B3．如图所示，两圆圈相交的阴影部分表示圆圈内物质相互发生的反应，其中属于氧化还原反应，但水既不作氧化剂也不作还原剂的是( )A ．甲、乙B ．甲、丙C．乙、丙D．丙、丁解析：水中氢元素处于最高价，具有氧化性，氧元素处于最低价，具有还原性，水作还原剂的反应是－2价的氧元素被氧化成O2的反应。
水作氧化剂的反应是＋1价的氢元素被还原成H2的反应，水既不作氧化剂也不作还原剂的反应是既没有O2产生又没有H2产生的反应。
各个反应的方程式及水的作用分析如下表：化学方程式是否是氧化还原反应水的作用甲SO3＋H2O===H2SO4不是非氧化剂，非还原剂乙Cl2＋H2O===HCl＋HClO 是非氧化剂，非还原剂丙3NO2＋H2O===2HNO3＋NO 是非氧化剂，非还原剂丁2Na＋2H2O===2NaOH＋H2↑是氧化剂答案：C4．相同质量的铜片分别与体积相同且过量的浓硝酸、稀硝酸反应，二者比较相等的是( )①反应中氧化剂得到电子总数②铜片消耗完所需时间③反应后溶液中铜离子浓度④反应生成气体的体积(同温、同压)A．①③B．②④C．①④D．②③解析：本题考查的是有关Cu与浓、稀硝酸反应中的相关问题，难度中等。
2018-2019学年高考数学(文科)一轮复习通用版：第九单元 不等式
第九单元 不等式教材复习课“不等式”相关基础知识一课过1．两个实数比较大小的方法 (1)作差法⎩⎪⎨⎪⎧a －b >0⇔a >b ，a －b ＝0⇔a ＝b ，a －b <0⇔a <b ；(2)作商法⎩⎪⎨⎪⎧ab>1⇔a >b (a ∈R ，b >0)，ab ＝1⇔a ＝b (a ∈R ，b >0)，a b<1⇔a <b (a ∈R ，b >0).2．不等式的性质 (1)对称性：a >b ⇔b <a ； (2)传递性：a >b ，b >c ⇒a >c ； (3)可加性：a >b ⇔a ＋c >b ＋c ； a >b ，c >d ⇒a ＋c >b ＋d ； (4)可乘性：a >b ，c >0⇒ac >bc ； a >b >0，c >d >0⇒ac >bd ；(5)可乘方性：a >b >0⇒a n >b n (n ∈N ，n ≥1)； (6)可开方性：a >b >0⇒n a >nb (n ∈N ，n ≥2)． 3．三个“二次”间的关系ax 2＋bx ＋c ＜0 (a ＞0)的解集 {x |x 1＜x ＜x 2} ∅∅1．若a >b >0，则下列不等式中恒成立的是( ) A.b a >b ＋1a ＋1B ．a ＋1a >b ＋1b C ．a ＋1b >b ＋1aD.2a ＋b a ＋2b >a b解析：选C 由a >b >0⇒0<1a <1b ⇒a ＋1b >b ＋1a ，故选C.2．设M ＝2a (a －2)，N ＝(a ＋1)(a －3)，则( ) A ．M >N B ．M ≥N C ．M ＜ND ．M ≤N解析：选A 由题意知，M －N ＝2a (a －2)－(a ＋1)(a －3)＝2a 2－4a －(a 2－2a －3)＝(a －1)2＋2>0恒成立，所以M >N .3．已知一元二次不等式f (x )＞0的解集为xx ＜－1或x ＞12，则f (10x )＞0的解集为( )A ．{x |x ＜－1或x ＞lg 2}B ．{x |－1＜x ＜lg 2}C ．{x |x ＞－lg 2}D ．{x |x ＜－lg 2}解析：选C 一元二次不等式f (x )＞0的解集为xx ＜－1或x ＞12，则不等式f (10x )＞0可化为10x ＜－1或10x ＞12，解得x ＞lg 12，即x ＞－lg 2，所以所求不等式的解集为{x |x ＞－lg 2}．4．不等式－6x 2＋2＜x 的解集是________． 解析：不等式－6x 2＋2＜x 可化为6x 2＋x －2＞0， 即(3x ＋2)(2x －1)＞0， 解不等式得x <－23或x >12，所以该不等式的解集是⎝⎛⎭⎫－∞，－23∪⎝⎛⎭⎫12，＋∞. 答案：⎝⎛⎭⎫－∞，－23∪⎝⎛⎭⎫12，＋∞ [清易错]1．在乘法法则中，要特别注意“乘数c 的符号”，例如当c ≠0时，有a >b ⇒ac 2>bc 2；若无c ≠0这个条件，a >b ⇒ac 2>bc 2就是错误结论(当c ＝0时，取“＝”)．2．对于不等式ax 2＋bx ＋c >0，求解时不要忘记讨论a ＝0时的情形．3．当Δ<0时，ax 2＋bx ＋c >0(a ≠0)的解集为R 还是∅，要注意区别a 的符号． 1．若(m ＋1)x 2－(m －1)x ＋3(m －1)<0对任何实数x 恒成立，则实数m 的取值范围是( )A ．(1，＋∞)B ．(－∞，－1)C.⎝⎛⎭⎫－∞，－1311 D.⎝⎛⎭⎫－∞，－1311∪(1，＋∞) 解析：选C ①当m ＝－1时，不等式为2x －6<0，即x <3，不符合题意．②当m ≠－1时，则⎩⎪⎨⎪⎧m ＋1<0，Δ<0，解得m <－1311，符合题意．故实数m 的取值范围为⎝⎛⎭⎫－∞，－1311. 2．对于实数a ，b ，c ，有下列命题： ①若a ＞b ，则ac ＜bc ； ②若ac 2＞bc 2，则a ＞b ； ③若a ＜b ＜0，则a 2＞ab ＞b 2； ④若c ＞a ＞b ＞0，则a c －a ＞bc －b； ⑤若a ＞b ，1a ＞1b ，则a ＞0，b ＜0.其中真命题的序号是________．解析：当c ＝0时，若a ＞b ，则ac ＝bc ，故①为假命题； 若ac 2＞bc 2，则c ≠0，c 2＞0，故a ＞b ，故②为真命题；若a ＜b ＜0，则a 2＞ab 且ab ＞b 2，即a 2＞ab ＞b 2，故③为真命题； 若c ＞a ＞b ＞0，则c a ＜c b ，则c －a a ＜c －b b ，则a c －a ＞bc －b ，故④为真命题；若a ＞b ，1a ＞1b ，即b －a ab >0，故ab ＜0，则a ＞0，b ＜0，故⑤为真命题．故②③④⑤为真命题． 答案：②③④⑤3．若不等式ax 2－bx ＋c ＜0的解集是(－2,3)，则不等式bx 2＋ax ＋c ＜0的解集是________．解析：∵不等式ax 2－bx ＋c ＜0的解集是(－2,3)， ∴a ＞0，且对应方程ax 2－bx ＋c ＝0的实数根是－2和3，由根与系数的关系，得⎩⎨⎧ca ＝－2×3，ba ＝－2＋3，即ca＝－6，ba＝1，∴b＞0，且ab＝1，cb＝－6，∴不等式bx2＋ax＋c＜0可化为x2＋x－6＜0，解得－3＜x＜2，∴该不等式的解集为(－3,2)．答案：(－3,2)1．一元二次不等式(组)表示的平面区域[小题速通]1．不等式(x－2y＋1)(x＋y－3)≤0在坐标平面内表示的区域(用阴影部分表示)应是()解析：选C 由(x －2y ＋1)(x ＋y －3)≤0⇔⎩⎪⎨⎪⎧ x －2y ＋1≥0，x ＋y －3≤0或⎩⎪⎨⎪⎧x －2y ＋1≤0，x ＋y －3≥0.结合图形可知选C.2．(2017·全国卷Ⅰ)设x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋3y ≤3，x －y ≥1，y ≥0，则z ＝x ＋y 的最大值为( )A ．0B ．1C ．2D ．3解析：选D 不等式组表示的可行域如图中阴影部分所示，平移直线y ＝－x ，当直线经过点A (3,0)时，z ＝x ＋y 取得最大值，此时z max ＝3＋0＝3.3．在平面直角坐标系xOy 中，P 为不等式组⎩⎪⎨⎪⎧y ≤1，x ＋y －2≥0，x －y －1≤0所表示的平面区域上一动点，则直线OP 斜率的最大值为( )A ．2 B.13 C.12D ．1解析：选D 作出可行域如图中阴影部分所示，当点P 位于⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝2，y ＝1的交点(1,1)时，(k OP )max ＝1.4．已知z ＝2x ＋y ，实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧y ≥x ，x ＋y ≤2，x ≥m ，且z 的最大值是最小值的4倍，则m的值是( )A.14B.15C.16D.17解析：选A 根据题意画出如图所示的可行域如图中阴影部分所示．平移直线l ：2x ＋y ＝0，当l 过点A (m ，m )时z 最小，过点B (1,1)时z 最大，由题意知，z max ＝4z min ，即3＝4×3m ，解得m ＝14.[清易错]1．画出平面区域．避免失误的重要方法就是首先把二元一次不等式化为ax ＋by ＋c >0(a >0)．2．线性规划问题中的最优解不一定是唯一的，即可行域内使目标函数取得最值的点不一定只有一个，也可能有无数多个，也可能没有．实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧xy ≥0，|x ＋y |≤1，使z ＝ax ＋y 取得最大值的最优解有2个，则z 1＝ax ＋y ＋1的最小值为( )A ．0B ．－2C ．1D ．－1解析：选A 画出不等式组所表示的可行域如图中阴影部分所示，∵z ＝ax ＋y 取得最大值的最优解有2个，∴－a ＝1，a ＝－1，∴当x ＝1，y ＝0或x ＝0，y ＝－1时，z ＝ax ＋y ＝－x ＋y 有最小值－1，∴ax ＋y ＋1的最小值是0.基本不等式 [过双基]1．基本不等式ab ≤a ＋b2(1)基本不等式成立的条件：a >0，b >0. (2)等号成立的条件：当且仅当a ＝b . 2．几个重要的不等式 (1)a 2＋b 2≥ 2ab (a ，b ∈R)； (2)b a ＋ab ≥2(a ，b 同号)； (3)ab ≤⎝⎛⎭⎫a ＋b 22(a ，b ∈R)； (4)⎝⎛⎭⎫a ＋b 22≤a 2＋b 22(a ，b ∈R)． 3．算术平均数与几何平均数设a ＞0，b >0，则a ，b 的算术平均数为a ＋b2，几何平均数为ab ，基本不等式可叙述为：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数．4．利用基本不等式求最值问题 已知x >0，y >0，则(1)如果xy 是定值p ，那么当且仅当x ＝y 时，x ＋y 有最小值是2p (简记：积定和最小)． (2)如果x ＋y 是定值q ，那么当且仅当x ＝y 时，xy 有最大值是q 24(简记：和定积最大)． [小题速通]1．若实数a ，b 满足1a ＋2b ＝ab ，则ab 的最小值为( )A. 2 B ．2 C ．2 2D ．4解析：选C 由1a ＋2b ＝ab ，知a ＞0，b ＞0， 所以ab ＝1a ＋2b≥22ab，即ab ≥22， 当且仅当⎩⎨⎧1a ＝2b ，1a ＋2b ＝ab ，即a ＝42，b ＝242时取“＝”，所以ab 的最小值为2 2.2．已知直线2ax ＋by －2＝0(a ＞0，b ＞0)过点(1,2)，则1a ＋1b 的最小值是( )A ．2B ．3C ．4D ．1解析：选C 由直线2ax ＋by －2＝0(a ＞0，b ＞0)过点(1,2)， 可得2a ＋2b ＝2，即a ＋b ＝1.则1a ＋1b ＝⎝⎛⎭⎫1a ＋1b (a ＋b )＝2＋a b ＋b a ≥2＋2 b a ×a b ＝4，当且仅当a ＝b ＝12时取等号． ∴1a ＋1b的最小值为4. 3．已知x ，y ∈R 且2x ＋2y ＝1，则x ＋y 的取值范围为________． 解析：根据题意知，2x ＞0,2y ＞0， 所以1＝2x ＋2y ≥22x ·2y ＝22x ＋y ，即2x ＋y ≤14＝2－2，x ＋y ≤－2，所以x ＋y 的取值范围为(－∞，－2]．答案：(－∞，－2][清易错]1．求最值时要注意三点：一是各项为正；二是寻求定值；三是考虑等号成立的条件． 2．多次使用基本不等式时，易忽视取等号的条件的一致性． 1．在下列函数中，最小值等于2的函数是( ) A ．y ＝x ＋1x B ．y ＝cos x ＋1cos x ⎝⎛⎭⎫0<x <π2C ．y ＝x 2＋3x 2＋2D ．y ＝e x ＋4ex －2解析：选D 当x <0时，y ＝x ＋1x ≤－2，故A 错误；因为0<x <π2，所以0<cos x <1，所以y ＝cos x ＋1cos x >2，故B 错误；因为x 2＋2≥2，所以y ＝x 2＋2＋1x 2＋2>2，故C 错误；因为e x >0，所以y ＝e x ＋4e x －2≥2e x ·4e x －2＝2，当且仅当e x ＝4ex ，即e x ＝2时等号成立，故选D.2．(2017·天津高考)若a ，b ∈R ，ab >0，则a 4＋4b 4＋1ab 的最小值为________．解析：因为ab >0，所以a 4＋4b 4＋1ab ≥24a 4b 4＋1ab ＝4a 2b 2＋1ab ＝4ab ＋1ab ≥24ab ·1ab ＝4，当且仅当⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝2b 2，ab ＝12时取等号，故a 4＋4b 4＋1ab 的最小值是4. 答案：4一、选择题1．(2018·洛阳统考)已知a <0，－1<b <0，那么( ) A ．a >ab >ab 2 B ．ab 2>ab >a C ．ab >a >ab 2D ．ab >ab 2>a解析：选D ∵－1<b <0，∴b <b 2<1， 又a <0，∴ab >ab 2>a .2．下列不等式中正确的是( ) A ．若a ∈R ，则a 2＋9>6aB ．若a ，b ∈R ，则a ＋bab≥2 C ．若a >0，b >0，则2lg a ＋b2≥lg a ＋lg bD ．若x ∈R ，则x 2＋1x 2＋1>1 解析：选C ∵a 2－6a ＋9＝(a －3)2≥0，∴A 错误；显然B 不正确；∵a >0，b >0，∴a ＋b2≥ab .∴2lg a ＋b 2≥2lg ab ＝lg(ab )＝lg a ＋lg b ，∴C 正确；∵当x ＝0时，x 2＋1x 2＋1＝1，∴D 错误，故选C.3．若角α，β满足－π2<α<β<π，则α－β的取值范围是( )A.⎝⎛⎭⎫－3π2，3π2B.⎝⎛⎭⎫－3π2，0 C.⎝⎛⎭⎫0，3π2 D.⎝⎛⎭⎫－π2，0 解析：选B ∵－π2<α<π，－π2<β<π，∴－π<－β<π2，∴－3π2<α－β<3π2.又∵α<β，∴α－β<0，从而－3π2<α－β<0.4．若关于x 的不等式x 2－2ax －8a 2<0(a >0)的解集为(x 1，x 2)，且x 2－x 1＝15，则a ＝( ) A.52 B.72 C.154D.152 解析：选A 由条件知x 1，x 2为方程x 2－2ax －8a 2＝0，(a >0)的两根，则x 1＋x 2＝2a ，x 1x 2＝－8a 2，故(x 2－x 1)2＝(x 1＋x 2)2－4x 1x 2＝(2a )2－4×(－8a 2)＝36a 2＝152，解得a ＝52.5．不等式组⎩⎪⎨⎪⎧y ≤－x ＋2，y ≤x －1，y ≥0所表示的平面区域的面积为( )A ．1 B.12 C.13D.14解析：选D 作出不等式组对应的区域为△BCD ，由题意知x B ＝1，x C ＝2.由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－x ＋2，y ＝x －1，得y D ＝12，所以S △BCD ＝12×(2－1)×12＝14.6．(2018·成都一诊)已知x ，y ∈(0，＋∞)，且log 2x ＋log 2y ＝2，则1x ＋1y 的最小值是( )A ．4B ．3C ．2D ．1解析：选D 1x ＋1y ＝x ＋y xy ≥2xy xy ＝2xy ，当且仅当x ＝y 时取等号．∵log 2x ＋log 2y ＝log 2(xy )＝2，∴xy ＝4.∴1x ＋1y ≥2xy ＝1.故1x ＋1y 的最小值为1. 7．设变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋y －6≥0，x －y －2≤0，y －3≤0，则目标函数z ＝y －2x 的最小值为( )A ．－7B ．－4C ．1D ．2解析：选A 法一：将z ＝y －2x 化为y ＝2x ＋z ，作出可行域和直线y ＝2x (如图所示)，当直线y ＝2x ＋z 向右下方平移时，直线y ＝2x ＋z 在y 轴上的截距z 减小，数形结合知当直线y ＝2x ＋z 经过点A (5，3)时，z 取得最小值3－10＝－7.法二：易知平面区域的三个顶点坐标分别为B (1,3)，C (2,0)，A (5,3)，分别代入z ＝y －2x ，得z 的值为1，－4，－7，故z 的最小值为－7.8．(2017·山东高考改编)若直线x a ＋yb ＝1(a ＞0，b ＞0)过点(1,2)，则2a ＋b 的最小值为( )A ．4B ．3＋2 2C ．8D ．4 2解析：选C ∵直线x a ＋yb ＝1(a ＞0，b ＞0)过点(1,2)，∴1a ＋2b ＝1，∵a ＞0，b ＞0， ∴2a ＋b ＝(2a ＋b )⎝⎛⎭⎫1a ＋2b ＝4＋b a ＋4ab ≥4＋2b a ·4ab ＝8，当且仅当b a ＝4ab ，即a ＝2，b ＝4时等号成立， ∴2a ＋b 的最小值为8.二、填空题9．(2018·沈阳模拟)已知实数x ，y 满足x 2＋y 2－xy ＝1，则x ＋y 的最大值为________． 解析：因为x 2＋y 2－xy ＝1， 所以x 2＋y 2＝1＋xy .所以(x ＋y )2＝1＋3xy ≤1＋3×⎝⎛⎭⎫x ＋y 22，当且仅当x ＝y 时等号成立， 即(x ＋y )2≤4，解得－2≤x ＋y ≤2. 所以x ＋y 的最大值为2. 答案：210．(2017·郑州二模)某校今年计划招聘女教师a 名，男教师b 名，若a ，b 满足不等式组⎩⎪⎨⎪⎧2a －b ≥5，a －b ≤2，a ＜7，设这所学校今年计划招聘教师最多x 名，则x ＝________.解析：画出不等式组所表示的可行域如图中阴影部分所示，作直线l ：b ＋a ＝0，平移直线l ，再由a ，b ∈N ，可知当a ＝6，b ＝7时，招聘的教师最多，此时x ＝a ＋b ＝13.答案：1311．一段长为30 m 的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园，墙长18 m ，则这个矩形的长为________ m ，宽为________ m 时菜园面积最大．解析：设矩形的长为x m ，宽为y m ．则x ＋2y ＝30，所以S ＝xy ＝12x ·(2y )≤12⎝⎛⎭⎫x ＋2y 22＝2252，当且仅当x ＝2y ，即x ＝15，y ＝152时取等号． 答案：1515212．(2018·邯郸质检)若不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －3≥0，y ≤kx ＋3，0≤x ≤3表示的平面区域为一个锐角三角形及其内部，则实数k 的取值范围是________．解析：直线y ＝kx ＋3恒过定点(0,3)，作出不等式组表示的可行域知，要使可行域为一个锐角三角形及其内部，需要直线y ＝kx ＋3的斜率在0与1之间，即k ∈(0,1)．答案：(0,1) 三、解答题13．已知f (x )＝－3x 2＋a (6－a )x ＋6. (1)解关于a 的不等式f (1)>0；(2)若不等式f (x )>b 的解集为(－1,3)，求实数a ，b 的值． 解：(1)∵f (x )＝－3x 2＋a (6－a )x ＋6， ∴f (1)＝－3＋a (6－a )＋6 ＝－a 2＋6a ＋3，∴原不等式可化为a 2－6a －3<0， 解得3－23<a <3＋2 3.∴原不等式的解集为{a |3－23<a <3＋23}．(2)f (x )>b 的解集为(－1,3)等价于方程－3x 2＋a (6－a )x ＋6－b ＝0的两根为－1,3， 故⎩⎨⎧－1＋3＝a (6－a )3，－1×3＝－6－b3，解得⎩⎨⎧a ＝3±3，b ＝－3.14．(2018·济南一模)已知x >0，y >0，且2x ＋5y ＝20. (1)求u ＝lg x ＋lg y 的最大值； (2)求1x ＋1y 的最小值． 解：(1)∵x >0，y >0，∴由基本不等式，得2x ＋5y ≥210xy .∵2x ＋5y ＝20，∴210xy ≤20，即xy ≤10，当且仅当2x ＝5y 时等号成立．因此有⎩⎪⎨⎪⎧ 2x ＋5y ＝20，2x ＝5y ，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝5，y ＝2， 此时xy 有最大值10.∴u ＝lg x ＋lg y ＝lg(xy )≤lg 10＝1.∴当x ＝5，y ＝2时，u ＝lg x ＋lg y 有最大值1.(2)∵x >0，y >0，∴1x ＋1y ＝⎝⎛⎭⎫1x ＋1y ·2x ＋5y 20＝120⎝⎛⎭⎫7＋5y x ＋2x y ≥120⎝⎛⎭⎫7＋2 5y x ·2x y ＝7＋21020， 当且仅当5y x ＝2xy 时等号成立．∴1x ＋1y 的最小值为7＋21020. 高考研究课(一)不等式性质、一元二次不等式 [全国卷5年命题分析]考点 考查频度 考查角度 不等式性质 5年2考 比较大小一元二次不等式解法 5年8考 与集合交汇命题考查解法 不等式恒成立问题5年1考利用不等式恒成立求参数不等式的性质及应用利用不等式性质比较大小或判断命题真假，一般直接利用性质推导或特殊值法验证. [典例] 若1a <1b <0，给出下列不等式：①1a ＋b <1ab ；②|a |＋b >0；③a －1a >b －1b ；④ln a 2>lnb 2.其中正确的不等式是( )A ．①④B ．②③C ．①③D ．②④[解析] 法一：用“特值法”解题因为1a <1b <0，故可取a ＝－1，b ＝－2.显然|a |＋b ＝1－2＝－1<0，所以②错误；因为ln a 2＝ln(－1)2＝0，ln b 2＝ln(－2)2＝ln 4>0，所以④错误，综上所述，可排除A 、B 、D ，选C.法二：用“直接法”解题 由1a <1b<0，可知b <a <0. ①中，因为a ＋b <0，ab >0，所以1a ＋b<1ab ，故①正确；②中，因为b <a <0，所以－b >－a >0.故－b >|a |，即|a |＋b <0，故②错误； ③中，因为b <a <0，又1a <1b <0，则－1a >－1b >0，所以a －1a >b －1b ，故③正确；④中，因为b <a <0，根据y ＝x 2在(－∞，0)上为减函数，可得b 2>a 2>0，而y ＝ln x 在定义域(0，＋∞)上为增函数，所以ln b 2>ln a 2，故④错误．由以上分析，知①③正确．[答案] C[方法技巧]不等式性质应用问题的3大常见类型及解题策略(1)利用不等式性质比较大小熟记不等式性质的条件和结论是基础，灵活运用是关键，要注意不等式性质成立的前提条件．(2)与充要条件相结合问题用不等式的性质分别判断p ⇒q 和q ⇒p 是否正确，要注意特殊值法的应用． (3)与命题真假判断相结合问题解决此类问题除根据不等式的性质求解外，还经常采用特殊值验证的方法． [即时演练]1．(2018·泰安调研)设a ，b ∈R ，若p ：a <b ，q ：1b <1a <0，则p 是q 的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：选B 当a <b 时，1b <1a <0不一定成立；当1b <1a <0时，a <b <0.综上可得，p 是q 的必要不充分条件．2．若a ＜b ＜0，给出下列不等式：①a 2＋1＞b 2；②|1－a |＞|b －1|；③1a ＋b ＞1a ＞1b ，其中正确的个数是( )A ．0B ．1C ．2D ．3解析：选D 因为a ＜b ＜0，所以－a ＞－b ＞0，则1－a ＞1－b ＞1，所以①a 2＋1＞b 2正确；②|1－a |＞|b －1|正确；因为a ＜b ＜0，所以a ＋b ＜a ＜b ＜0，所以③1a ＋b ＞1a ＞1b 正确，故选D.3．已知a ＋b >0，则a b 2＋b a 2与1a ＋1b的大小关系是________．解析：a b 2＋b a 2－⎝⎛⎭⎫1a ＋1b ＝a －b b 2＋b －a a 2＝(a －b )·⎝⎛⎭⎫1b 2－1a 2＝(a ＋b )(a －b )2a 2b 2. ∵a ＋b >0，(a －b )2≥0， ∴(a ＋b )(a －b )2a 2b 2≥0.∴a b 2＋b a 2≥1a ＋1b . 答案：a b 2＋b a2≥1a ＋1b[典例] (1)－3x 2－2x ＋8≥0； (2)0＜x 2－x －2≤4；(3)ax 2－(a ＋1)x ＋1＜0(a ＞0)．[解] (1)原不等式可化为3x 2＋2x －8≤0， 即(3x －4)(x ＋2)≤0. 解得－2≤x ≤43，所以原不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪－2≤x ≤43. (2)原不等式等价于⎩⎪⎨⎪⎧ x 2－x －2＞0，x 2－x －2≤4⇔⎩⎪⎨⎪⎧x 2－x －2＞0，x 2－x －6≤0⇔⎩⎪⎨⎪⎧ (x －2)(x ＋1)＞0，(x －3)(x ＋2)≤0⇔⎩⎪⎨⎪⎧x ＞2或x ＜－1，－2≤x ≤3. 借助于数轴，如图所示，故原不等式的解集为{}x |－2≤x ＜－1或2＜x ≤3. (3)原不等式变为(ax －1)(x －1)＜0， 因为a ＞0，所以a ⎝⎛⎭⎫x －1a (x －1)＜0. 所以当a ＞1时，解为1a ＜x ＜1； 当a ＝1时，解集为∅； 当0＜a ＜1时，解为1＜x ＜1a.综上，当0＜a ＜1时，不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪1＜x ＜1a ； 当a ＝1时，不等式的解集为∅；当a ＞1时，不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪1a＜x ＜1. [方法技巧]解一元二次不等式的4个步骤[即时演练]1．若(x －1)(x －2)＜2，则(x ＋1)(x －3)的取值范围是( ) A ．(0,3) B ．[－4，－3) C ．[－4,0)D ．(－3,4]解析：选C 解不等式(x －1)(x －2)＜2，可得0＜x ＜3，(x ＋1)(x －3)＝x 2－2x －3，由二次函数的性质可得(x ＋1)(x －3)的取值范围是[－4,0)．2．(2018·昆明、玉溪统考)若不等式ax 2＋bx ＋c >0的解集为{x |－1<x <2}，则不等式a (x 2＋1)＋b (x －1)＋c >2ax 的解集为( )A ．{x |－2<x <1}B ．{x |x <－2或x >1}C ．{x |0<x <3}D ．{x |x <0或x >3}解析：选C 由题意a (x 2＋1)＋b (x －1)＋c >2ax ，整理得ax 2＋(b －2a )x ＋(a ＋c －b )>0 ①，又不等式ax 2＋bx ＋c >0的解集为{x |－1<x <2}，则a <0，且－1,2分别为方程ax 2＋bx ＋c ＝0的两根，由根与系数的关系得⎩⎨⎧－1＋2＝－ba ，(－1)×2＝ca ，即⎩⎨⎧ba ＝－1，ca ＝－2②，将①两边同除以a 得x 2＋⎝⎛⎭⎫b a －2x ＋⎝⎛⎭⎫1＋c a －b a <0， 将②代入得x 2－3x <0，解得0<x <3.1．(2018·南昌一模)已知函数f (x )＝mx 2－2x －m ＋1，是否存在实数m 对所有的实数x ，f (x )<0恒成立？若存在，求出m 的取值范围；若不存在，请说明理由．解：f (x )＝mx 2－2x －m ＋1＜0恒成立，即函数f (x )＝mx 2－2x －m ＋1的图象全部在x 轴下方． 当m ＝0时，1－2x ＜0，则x ＞12，不满足题意；当m ≠0时，函数f (x )＝mx 2－2x －m ＋1为二次函数， 需满足开口向下且方程mx 2－2x －m ＋1＝0无解，即⎩⎪⎨⎪⎧m ＜0，Δ＝4－4m (1－m )＜0， 不等式组的解集为空集，即m 无解． 综上可知不存在这样的m . [方法技巧]对于一元二次不等式恒成立问题，恒大于0就是相应的二次函数的图象在给定的区间上全部在x 轴上方，恒小于0就是相应的二次函数的图象在给定的区间上全部在x 轴下方．角度二：形如f (x )≥0(≤0)(x ∈[a ，b ])确定参数的范围2．(2018·西安八校联考)设函数f (x )＝mx 2－mx －1(m ≠0)，若对于x ∈[1,3]，f (x )＜－m ＋5恒成立，求m 的取值范围．解：要使f (x )＜－m ＋5在[1,3]上恒成立，则mx 2－mx ＋m －6＜0，即m ⎝⎛⎭⎫x －122＋34m －6＜0在x ∈[1,3]上恒成立． 有以下两种方法：法一：令g (x )＝m ⎝⎛⎭⎫x －122＋34m －6，x ∈[1,3]． 当m ＞0时，g (x )在[1,3]上是增函数， 所以g (x )max ＝g (3)＝7m －6＜0. 所以m ＜67，则0＜m ＜67.当m ＜0时，g (x )在[1,3]上是减函数， 所以g (x )max ＝g (1)＝m －6＜0. 所以m ＜6，则m ＜0.综上所述，m 的取值范围是(－∞，0)∪⎝⎛⎭⎫0，67. 法二：因为x 2－x ＋1＝⎝⎛⎭⎫x －122＋34＞0， 又因为m (x 2－x ＋1)－6＜0，所以m ＜6x 2－x ＋1.因为函数y ＝6x 2－x ＋1＝6⎝⎛⎭⎫x －122＋34在[1,3]上的最小值为67，所以只需m ＜67即可．因为m ≠0，所以m 的取值范围是(－∞，0)∪⎝⎛⎭⎫0，67. [方法技巧]解决一元二次不等式的恒成立问题常转化为求二次函数的最值或用分离参数法求最值．角度三：形如f (x )≥0(≤0)(参数m ∈[a ，b ])确定x 的范围3．对任意m ∈[－1,1]，函数f (x )＝x 2＋(m －4)x ＋4－2m ≥0恒成立，求x 的取值范围． 解：由f (x )＝x 2＋(m －4)x ＋4－2m ＝(x －2)m ＋x 2－4x ＋4， 令g (m )＝(x －2)m ＋x 2－4x ＋4.由题意知在[－1,1]上，g (m )的值恒大于零，∴⎩⎪⎨⎪⎧g (－1)＝(x －2)×(－1)＋x 2－4x ＋4>0，g (1)＝(x －2)＋x 2－4x ＋4>0， 解得x <1或x >3.故当x ∈(－∞，1)∪(3，＋∞)时，对任意的m ∈[－1,1]，函数f (x )的值恒大于零． [方法技巧]解决恒成立问题一定要清楚选谁为主元，谁是参数．一般地，知道谁的范围，就选谁当主元，求谁的范围，谁就是参数．即把变元与参数交换位置，构造以参数为变量的函数，根据原变量的取值范围列式求解．1．(2014·全国卷Ⅰ)已知集合A ＝{x |x 2－2x －3≥0}，B ＝{x |－2≤x ＜2}，则A ∩B ＝( ) A ．[－2，－1] B ．[－1,2) C ．[－1,1]D ．[1,2)解析：选A A ＝{x |x ≤－1或x ≥3}，故A ∩B ＝[－2，－1]．2．(2014·全国卷Ⅱ)设集合M ＝{0,1,2}，N ＝{x |x 2－3x ＋2≤0}，则M ∩N ＝( ) A ．{1} B ．{2} C ．{0,1}D ．{1,2}解析：选D N ＝{x |x 2－3x ＋2≤0}＝{x |1≤x ≤2}，又M ＝{0,1,2}，所以M ∩N ＝{1,2}． 3．(2012·全国卷)已知集合A ＝{x |x 2－x －2<0}，B ＝{x |－1<x <1}，则( ) A ．A BB ．B AC ．A ＝BD ．A ∩B ＝∅解析：选B A ＝{x |x 2－x －2<0}＝{x |－1<x <2}， B ＝{x |－1<x <1}，所以B A .一、选择题1．(2018·唐山一模)下列命题中，正确的是( ) A ．若a >b ，c >d ，则ac >bd B ．若ac >bc ，则a >b C ．若1a <1b <0，则|a |＋b <0D ．若a >b ，c >d ，则a －c >b －d解析：选C 取a ＝2，b ＝1，c ＝－1，d ＝－2，可知A 错误；当c <0时，ac >bc ⇒a <b ，∴B 错误；由1a <1b <0，可知b <a <0，所以－b >－a >0，故－b >|a |，即|a |＋b <0，故C 正确；取a ＝c ＝2，b ＝d ＝1，可知D 错误．2．(2017·山东高考)若a >b >0，且ab ＝1，则下列不等式成立的是( ) A ．a ＋1b <b2a <log 2(a ＋b )B.b 2a <log 2(a ＋b )<a ＋1b C ．a ＋1b <log 2(a ＋b )<b 2aD ．log 2(a ＋b )<a ＋1b <b2a解析：选B 根据题意，令a ＝2，b ＝12进行验证，易知a ＋1b ＝4，b 2a ＝18，log 2(a ＋b )＝log 252>1，因此a ＋1b >log 2(a ＋b )>b 2a .3．已知集合M ＝{x |x 2－4x >0}，N ＝{x |m <x <8}，若M ∩N ＝{x |6<x <n }，则m ＋n ＝( ) A ．10 B ．12 C ．14D ．16解析：选C ∵M ＝{x |x 2－4x >0}＝{x |x >4或x <0}，N ＝{x |m <x <8}，由于M ∩N ＝{x |6<x <n }，∴m ＝6，n ＝8，∴m ＋n ＝14.4．(2018·重庆检测)不等式2x ＋1<1的解集是( ) A ．(－∞，－1)∪(1，＋∞)B ．(1，＋∞)C ．(－∞，－1)D ．(－1,1)解析：选A ∵2x ＋1<1，∴2x ＋1－1<0，即1－x x ＋1<0，该不等式可化为(x ＋1)(x －1)>0，∴x <－1或x >1.5．不等式f (x )＝ax 2－x －c >0的解集为{x |－2<x <1}，则函数y ＝f (－x )的图象为( )解析：选B 由根与系数的关系得1a ＝－2＋1，－c a ＝－2，得a ＝－1，c ＝－2，∴f (x )＝－x 2－x ＋2(经检验知满足题意)，∴f (－x )＝－x 2＋x ＋2，其图象开口向下，对称轴为x ＝12，结合图象知选B. 6．(2018·合肥一模)若不等式2kx 2＋kx －38<0对一切实数x 都成立，则k 的取值范围为( )A ．(－3,0)B ．[－3,0)C ．[－3,0]D ．(－3,0]解析：选D 当k ＝0时，显然成立；当k ≠0时，即一元二次不等式2kx 2＋kx －38<0对一切实数x 都成立，则⎩⎪⎨⎪⎧k <0，Δ＝k 2－4×2k ×⎝⎛⎭⎫－38<0，解得－3<k <0. 综上，满足不等式2kx 2＋kx －38<0对一切实数x 都成立的k 的取值范围是(－3,0]．7．若不等式x 2－(a ＋1)x ＋a ≤0的解集是[－4,3]的子集，则a 的取值范围是( ) A ．[－4,1] B ．[－4,3] C ．[1,3]D ．[－1,3]解析：选B 原不等式为(x －a )(x －1)≤0，当a <1时，不等式的解集为[a,1]，此时只要a ≥－4即可，即－4≤a <1；当a ＝1时，不等式的解为x ＝1，此时符合要求；当a >1时，不等式的解集为[1，a ]，此时只要a ≤3即可，即1<a ≤3.综上可得－4≤a ≤3.8．某商场若将进货单价为8元的商品按每件10元出售，每天可销售100件，现准备采用提高售价来增加利润．已知这种商品每件销售价提高1元，销售量就要减少10件．那么要保证每天所赚的利润在320元以上，销售价每件应定为( )A ．12元B ．16元C ．12元到16元之间D ．10元到14元之间解析：选C 设销售价定为每件x 元，利润为y ， 则y ＝(x －8)[100－10(x －10)]，依题意有，(x －8)[100－10(x －10)]＞320， 即x 2－28x ＋192＜0， 解得12＜x ＜16，所以每件销售价应为12元到16元之间． 二、填空题9．(2018·武汉一模)已知存在实数a 满足ab 2>a >ab ，则实数b 的取值范围是__________． 解析：∵ab 2>a >ab ，∴a ≠0， 当a >0时，b 2>1>b ，即⎩⎪⎨⎪⎧ b 2>1，b <1，解得b <－1； 当a <0时，b 2<1<b ，即⎩⎪⎨⎪⎧b 2<1，b >1，此式无解． 综上可得实数b 的取值范围为(－∞，－1)． 答案：(－∞，－1)10．(2018·河南六市一联)不等式x 2＋ax ＋4<0的解集不是空集，则实数a 的取值范围是________．解析：∵不等式x 2＋ax ＋4<0的解集不是空集， ∴Δ＝a 2－4×4>0，即a 2>16. ∴a >4或a <－4.答案：(－∞，－4)∪(4，＋∞)11．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋ax ，x ≥0，bx 2－3x ，x <0为奇函数，则不等式f (x )<4的解集为________．解析：当x >0时，－x <0，即f (－x )＝bx 2＋3x ，因为f (x )为奇函数，所以f (－x )＝－f (x )，即－bx 2－3x ＝x 2＋ax ，可得a ＝－3，b ＝－1，所以f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－3x ，x ≥0，－x 2－3x ，x <0.当x ≥0时，由x 2－3x <4，解得0≤x <4；当x <0时，由－x 2－3x <4，解得x <0，所以不等式f (x )<4的解集为(－∞，4)．答案：(－∞，4)12．对一切实数x ，不等式x 2＋a |x |＋1≥0恒成立，则实数a 的取值范围是________． 解析：当x ＝0时，不等式恒成立，当x ≠0时，将问题转化为－a ≤1|x |＋|x |，由1|x |＋|x |≥2，故－a ≤2，即a ≥－2.所以实数a 的取值范围为[－2，＋∞)．答案：[－2，＋∞) 三、解答题13．已知a ∈R ，解关于x 的方程ax 2－(a ＋2)x ＋2＜0. 解：原不等式等价于(ax －2)(x －1)＜0.(1)当a ＝0时，原不等式为－(x －1)＜0，解得x ＞1. 即原不等式的解集为(1，＋∞)．(2)若a ＞0，则原不等式可化为⎝⎛⎭⎫x －2a (x －1)＜0， 对应方程的根为x ＝1或x ＝2a.当2a ＞1，即0＜a ＜2时，不等式的解为1＜x ＜2a ； 当a ＝2时，不等式的解集为∅；当2a ＜1，即a ＞2时，不等式的解为2a ＜x ＜1. (3)若a ＜0，则原不等式可化为⎝⎛⎭⎫x －2a (x －1)＞0， 所以2a ＜1，所以不等式的解为x ＞1或x ＜2a . 综上，当a ＝0时，不等式的解集为(1，＋∞)． 当0＜a ＜2时，不等式的解集为⎝⎛⎭⎫1，2a . 当a ＝2时，不等式的解集为∅. 当a ＞2时，不等式的解集为⎝⎛⎭⎫2a ，1.当a ＜0时，不等式的解集为⎝⎛⎭⎫－∞，2a ∪(1，＋∞)． 14．某汽车厂上年度生产汽车的投入成本为10万元/辆，出厂价为12万元/辆，年销售量为10 000辆．本年度为适应市场需求，计划提高产品质量，适度增加投入成本．若每辆车投入成本增加的比例为x (0<x <1)，则出厂价相应地提高比例为0.75x ，同时预计年销售量增加的比例为0.6x ，已知年利润＝(出厂价－投入成本)×年销售量．(1)写出本年度预计的年利润y 与投入成本增加的比例x 的关系式；(2)为使本年度的年利润比上年度有所增加，则投入成本增加的比例x 应在什么范围内？解：(1)由题意得，y ＝[12(1＋0.75x )－10(1＋x )]×10 000(1＋0.6x )(0<x <1)， 整理得y ＝－6 000x 2＋2 000x ＋20 000(0<x <1)． (2)要保证本年度的年利润比上年度有所增加，必须有⎩⎪⎨⎪⎧y －(12－10)×10 000>0，0<x <1，即⎩⎪⎨⎪⎧－6 000x 2＋2 000x >0，0<x <1，解得0<x <13，所以投入成本增加的比例应在⎝⎛⎭⎫0，13范围内． 15．已知函数f (x )＝2kxx 2＋6k(k ＞0)． (1)若f (x )＞m 的解集为{x |x ＜－3或x ＞－2}，求不等式5mx 2＋kx ＋3＞0的解集； (2)若存在x ＞3，使得f (x )＞1成立，求k 的取值范围． 解：(1)由不等式f (x )＞m ⇔2kxx 2＋6k ＞m ⇔mx 2－2kx ＋6km ＜0，∵不等式mx 2－2kx ＋6km ＜0的解集为{x |x ＜－3或x ＞－2}， ∴－3，－2是方程mx 2－2kx ＋6km ＝0的根，∴⎩⎪⎨⎪⎧ 2k m ＝－5，6k ＝6，解得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝1，m ＝－25，故有5mx 2＋kx ＋3＞0⇔2x 2－x －3＜0⇔－1＜x ＜32， ∴不等式5mx 2＋kx ＋3＞0的解集为⎝⎛⎭⎫－1，32. (2)f (x )＞1⇔2kxx 2＋6k＞1⇔x 2－2kx ＋6k ＜0⇔(2x －6)k ＞x 2.存在x ＞3，使得f (x )＞1成立，即存在x ＞3，使得k ＞x 22x －6成立．令g (x )＝x 22x －6，x ∈(3，＋∞)，则k ＞g (x )min .令2x －6＝t ，则x ＝t ＋62，则t ∈(0，＋∞)，y ＝⎝⎛⎭⎫t ＋622t＝t 4＋9t＋3≥2 t 4·9t＋3＝6， 当且仅当t 4＝9t ，即t ＝6时等号成立．当t ＝6时，x ＝6，∴g (x )min ＝g (6)＝6， 故k 的取值范围为(6，＋∞)．1．已知函数f (x )＝－x 2＋ax ＋b (a ，b ∈R )的值域为(－∞，0]，若关于x 的不等式f (x )＞c －1的解集为(m －4，m ＋1)，则实数c 的值为________．解析：∵函数f (x )＝－x 2＋ax ＋b (a ，b ∈R )的值域为(－∞，0]， ∴Δ＝a 2＋4b ＝0，∴b ＝－a 24.∵关于x 的不等式f (x )＞c －1的解集为(m －4，m ＋1)， ∴方程f (x )＝c －1的两根分别为m －4，m ＋1， 即－x 2＋ax －a 24＝c －1的两根分别为m －4，m ＋1，∵－x 2＋ax －a 24＝c －1的根为x ＝a2±1－c ，∴两根之差为：21－c ＝(m ＋1)－(m －4)， 解得c ＝－214.答案：－2142．已知实数x ，y ，z 满足⎩⎪⎨⎪⎧xy ＋2z ＝1，x 2＋y 2＋z 2＝5，则xyz 的最小值为________．解析：由xy ＋2z ＝1，可得z ＝1－xy2， 则5＝x 2＋y 2＋⎝⎛⎭⎫1－xy 22≥2|xy |＋(1－xy )24.当xy ≥0时，不等式可化为x 2y 2＋6xy －19≤0； 当xy <0时，不等式可化为x 2y 2－10xy －19≤0. 由x 2y 2＋6xy －19≤0，解得0≤xy ≤－3＋27. 由x 2y 2－10xy －19≤0，解得5－211≤xy <0， 所以5－211≤xy ≤－3＋27. 则xyz ＝xy ·1－xy 2＝－12⎝⎛⎭⎫xy －122＋18， 根据二次函数的单调性可得当xy ＝5－211时，xyz 取得最小值为911－32. 答案：911－32 高考研究课(二) 简单的线性规划问题 [全国卷5年命题分析][典例] (1)不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≥2，2x －y ≤4，x －y ≥0所围成的平面区域的面积为( )A ．32B ．6 2C ．6D ．3(2)已知不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －1≤0，x －y ＋1≥0，y ≥0表示的平面区域被直线2x ＋y －k ＝0平分成面积相等的两部分，则实数k 的值为________．[解析] (1)如图，不等式组所围成的平面区域为△ABC ，其中A (2,0)，B (4,4)，C (1,1)，所求平面区域的面积为S △ABO －S △ACO ＝12(2×4－2×1)＝3.(2)画出可行域如图中阴影部分所示，其面积为12×1×(1＋1)＝1，可知直线2x ＋y －k ＝0与区域边界的交点A ，B 的坐标分别为⎝⎛⎭⎫k －13，k ＋23及⎝⎛⎭⎫k2，0，要使直线2x ＋y －k ＝0把区域分成面积相等的两部分，必有12×⎝⎛⎭⎫k2＋1×k ＋23＝12，解得k ＝6－2. [答案] (1)D (2)6－2 [方法技巧]确定二元一次不等式表示平面区域的方法与技巧1．在平面直角坐标系中，不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，x ＋y ≤2，x ≤y 所表示的平面区域的面积为( )A ．1B ．2C ．4D ．8解析：选A 作出不等式组所表示的平面区域如图中阴影部分所示，A (1,1)，B (0,2)，则平面区域的面积为＝12×2×1＝1.2．不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x >0，y >0，2x ＋y <6所表示的平面区域内的整点个数为( )A ．2B ．3C ．4D ．5解析：选C 由不等式2x ＋y <6得y <6－2x ，且x >0，y >0，则当x ＝1时，0<y <4，则y ＝1,2,3，此时整点有(1,1)，(1,2)，(1,3)；当x ＝2时，0<y <2，则y ＝1，此时整点有(2,1)；当x ＝3时，y 无解．故平面区域内的整点个数为4.3．在直角坐标系中，若不等式组⎩⎪⎨⎪⎧y ≥0，y ≤2x ，y ≤k (x －1)－1，表示一个三角形区域，则实数k的取值范围是( )A ．(－∞，－1)B ．(0，＋∞)C ．(0,2)∪(2，＋∞)D ．(－∞，－1)∪(0,2)∪(2，＋∞)解析：选A 直线y ＝k (x －1)－1过定点A (1，－1)．当这条直线的斜率为负值时，如图1所示，若不等式组表示一个三角形区域，则该直线的斜率k ∈(－∞，－1)；当这条直线的斜率为正值时，如图2所示，y ≤k (x －1)－1所表示的区域是直线y ＝k (x －1)－1及其右下方的半平面，这个区域和另外两个半平面的交集是一个无界区域，不能构成三角形．因此k 的取值范围是(－∞，－1)．1．(2017·全国卷Ⅱ)设x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋3y －3≤0，2x －3y ＋3≥0，y ＋3≥0，则z ＝2x ＋y 的最小值是( )A ．－15B ．－9C ．1D ．9解析：选A 法一：作出不等式组表示的可行域如图中阴影部分所示．易求得可行域的顶点A (0，1)，B (－6，－3)，C (6，－3)，当直线z ＝2x ＋y 过点B (－6，－3)时，z 取得最小值，z min ＝2×(－6)－3＝－15.法二：易求可行域顶点A (0,1)，B (－6，－3)，C (6，－3)，分别代入目标函数，求出对应的z 的值依次为1，－15,9，故最小值为－15.角度二：非线性目标函数的最值2．(2018·太原一模)已知实数x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋y ＋3≥0，2x －y ＋2≤0，x ＋2y －4≤0，则z ＝x 2＋y 2的取值范围为( )A ．[1,13]B ．[1,4]C.⎣⎡⎦⎤45，13 D.⎣⎡⎦⎤45，4解析：选C 画出不等式组表示的平面区域，如图中阴影部分所示，由此得z ＝x 2＋y 2的最小值为点O 到直线BC ：2x －y ＋2＝0的距离的平方，所以z min ＝⎝⎛⎭⎫252＝45，最大值为点O 与点A (－2,3)的距离的平方，z max ＝|OA |2＝(－2)2＋32＝13.3．如果实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧2x －y －1≥0，2x ＋y －4≤0，y －1≥0，则z ＝2x －yx的最大值为________． 解析：作出不等式组对应的平面区域如图中阴影部分所示，z ＝2x －y x ＝2－y x . 设k ＝yx ，则z ＝2－k ，k 的几何意义是区域内的点到原点的斜率， 要求z ＝2－k 的最大值，即求k 的最小值， 由图象知OC 的斜率最小，由⎩⎪⎨⎪⎧y －1＝0，2x ＋y －4＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝32，y ＝1，即C ⎝⎛⎭⎫32，1，则k ＝132＝23，所以z max ＝2－23＝43.答案：43角度三：求线性规划中参数值或范围 4．已知实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y －5≥0，x －3y ＋5≥0，kx －y －5k ≤0，若目标函数z 1＝3x ＋y 的最小值的7倍与z 2＝x ＋7y 的最大值相等，则实数k 的值为( )A ．2B ．1C ．－1D ．－2解析：选A作出不等式组所表示的可行域如图中阴影部分所示，由图知，当z 1＝3x ＋y 过点A 时取得最小值，由⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋2y －5＝0，x －3y ＋5＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝2，即A (1,2)，所以z 1＝3x ＋y 的最小值为5，故z 2＝x ＋7y 的最大值为35，由图知z 2＝x ＋7y 过点B 时取得最大值．由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋7y ＝35，x －3y ＋5＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝7，y ＝4，代入kx －y －5k ＝0，得k ＝2. 5．(2018·汉中质检)若x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≥1，x －y ≥－1，2x －y ≤2，且目标函数z ＝ax ＋2y 仅在点(1,0)处取得最小值，则a 的取值范围是( )A ．[－4,2]B ．(－4,2)C ．[－4,1]D ．(－4,1)解析：选B 作出不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示，直线z ＝ax ＋2y 的斜率为k ＝－a 2，从图中可以看出，当－1＜－a2＜2，即－4＜a ＜2时，目标函数仅在点(1,0)处取得最小值．角度四：线性规划的实际应用6．(2016·天津高考)某化肥厂生产甲、乙两种混合肥料，需要A ，B ，C 三种主要原料．生产1车皮甲种肥料和生产1车皮乙种肥料所需三种原料的吨数如下表所示：现有A 种原料200吨，种肥料．已知生产1车皮甲种肥料，产生的利润为2万元；生产1车皮乙种肥料，产生的利润为3万元．分别用x ，y 表示计划生产甲、乙两种肥料的车皮数．(1)用x ，y 列出满足生产条件的数学关系式，并画出相应的平面区域；(2)问分别生产甲、乙两种肥料各多少车皮，能够产生最大的利润？并求出此最大利润． 解：(1)由已知，x ，y 满足的数学关系式为⎩⎪⎨⎪⎧4x ＋5y ≤200，8x ＋5y ≤360，3x ＋10y ≤300，x ≥0，y ≥0.该二元一次不等式组所表示的平面区域为图①中的阴影部分．(2)设利润为z 万元，则目标函数为z ＝2x ＋3y .考虑z ＝2x ＋3y ，将它变形为y ＝－23x ＋z 3，它的图象是斜率为－23，随z 变化的一族平行直线，z3为直线在y 轴上的截距，当z3取最大值时，z 的值最大．根据x ，y 满足的约束条件，由图②可知，当直线z ＝2x ＋3y 经过可行域上的点M 时，截距z3最大，即z 最大．解方程组⎩⎪⎨⎪⎧4x ＋5y ＝200，3x ＋10y ＝300，得点M 的坐标为(20,24)，所以z max ＝2×20＋3×24＝112.答：生产甲种肥料20车皮，乙种肥料24车皮时利润最大，且最大利润为112万元． [方法技巧]1．求目标函数的最值3步骤(1)作图——画出约束条件所确定的平面区域和目标函数所表示的平行直线系中过原点的那一条直线；(2)平移——将l 平行移动，以确定最优解的对应点的位置；(3)求值——解方程组求出对应点坐标(即最优解)，代入目标函数，即可求出最值． 2．常见的3类目标函数 (1)截距型：形如z ＝ax ＋by .求这类目标函数的最值常将函数z ＝ax ＋by 转化为直线的斜截式：y ＝－a b x ＋zb ，通过求直线的截距zb 的最值间接求出z 的最值．(2)距离型：形如z ＝(x －a )2＋(y －b )2. (3)斜率型：形如z ＝y －bx －a. 3．解答线性规划实际问题的3步骤(1)根据题意设出变量，找出约束条件和目标函数； (2)准确作出可行域，求出最优解；(3)将求解出来的结论反馈到实际问题当中，设计最佳方案． [提醒] 注意转化的等价性及几何意义．1．(2014·全国卷Ⅰ)不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≥1，x －2y ≤4的解集记为D .有下面四个命题：p 1：∀(x ，y )∈D ，x ＋2y ≥－2，p 2：∃(x ，y )∈D ，x ＋2y ≥2， p 3：∀(x ，y )∈D ，x ＋2y ≤3，p 4：∃(x ，y )∈D ，x ＋2y ≤－1. 其中真命题是( ) A ．p 2，p 3 B ．p 1，p 4 C ．p 1，p 2D ．p 1，p 3解析：选C 画出可行域如图中阴影部分所示，由图可知，当目标函数z ＝x ＋2y 经过可行域内的点A (2，－1)时，取得最小值0，故x ＋2y ≥0，因此p 1，p 2是真命题，选C.2．(2017·全国卷Ⅰ)设x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y ≤1，2x ＋y ≥－1，x －y ≤0，则z ＝3x －2y 的最小值为________．解析：画出不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y ≤1，2x ＋y ≥－1，x －y ≤0所表示的可行域如图中阴影部分所示，由可行域知，当直线y ＝32x －z 2过点A 时，在y轴上的截距最大，此时z 最小，由⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋2y ＝1，2x ＋y ＝－1，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1，y ＝1.∴z min ＝－5. 答案：－53．(2017·全国卷Ⅲ)若x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －y ≥0，x ＋y －2≤0，y ≥0，则z ＝3x －4y 的最小值为________．解析：作出约束条件表示的可行域如图中阴影部分所示，作出直线l ：3x －4y ＝0，平移直线l ，当直线z ＝3x －4y 经过点A (1,1)时，z 取得最小值，最小值为3－4＝－1.答案：－14．(2016·全国卷Ⅲ)若x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋1≥0，x －2y ≤0，x ＋2y －2≤0，则z ＝x ＋y 的最大值为________．解析：作出不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示． 平移直线x ＋y ＝0，当直线经过A 点时，z 取得最大值，由⎩⎪⎨⎪⎧x －2y ＝0，x ＋2y －2＝0得A ⎝⎛⎭⎫1，12，z max ＝1＋12＝32. 答案：325．(2015·全国卷Ⅰ)若x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －1≥0，x －y ≤0，x ＋y －4≤0，则yx 的最大值为________．解析：画出可行域如图阴影部分所示，∵yx 表示过点(x ，y )与原点(0,0)的直线的斜率，∴点(x ，y )在点A 处时yx最大．由⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝1，x ＋y －4＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝3. ∴A (1,3)． ∴yx 的最大值为3. 答案：36．(2016·全国卷Ⅰ)某高科技企业生产产品A 和产品B 需要甲、乙两种新型材料．生产一件产品A 需要甲材料1.5 kg ，乙材料1 kg ，用5个工时；生产一件产品B 需要甲材料0.5。
2018_2019学年高中数学第三讲柯西不等式与排序不等式二一般形式的柯西不等式习题课件新人教A版选修4_5
解析：选 A.因为(a1x1＋a2x2＋…＋anxn)2 ≤(a21＋a22＋…＋a2n)(x21 ＋x22＋…＋x2n)＝1×1＝1， 当且仅当 ai＝kxi (i＝1，2，…，n)时，等号成立， 所以 a1x1＋a2x2＋…＋anxn 的最大值是 1.故选 A.
3．已知 x2＋3y2＋4z2＝2，则|x＋3y＋4z|的最大值为( )
)
A．1
B．4
C．6
D．9
解析：选 C.由柯西不等式得
(a＋b＋c)1a＋4b＋9c
＝[( a)2＋( b)2＋( c)2]·
1a2＋
4b2＋
92 c
≥
a·1a＋
b·2b＋
c·3c2＝36.
即 61a＋4b＋9c≥36.
第三讲 柯西不等式与排序不等式
二 一般形式的柯西不等式
[A 基础达标]
1．设 a，b，c 为正数，且 a＋b＋4c＝1，则 a＋ b＋ 2c的最
大值为( )
A．
10 2
B． 10
C．2 10
D．3 10
解析：选 A.由柯西不等式，得( a＋ b＋ 2c)2
≤12＋12＋
222[(
A．2
B．4
C．6
D．8
解析：选 B.由柯西不等式知(x2＋3y2＋4z2)(1＋3＋4)≥(x＋3y
＋4z)2，
又 x2＋3y2＋4z2＝2 所以 2×8≥(x＋3y＋4z)2.
所以|x＋3y＋4z|≤4.
当且仅当 x＝ 33y＝22z，即 x＝y＝z＝12时取等号．
4．设 a，b，c∈R＋，a＋b＋c＝6，则1a＋4b＋9c的最小值为(
)
2019年高考文科数学二轮复习：不等式选讲
2019年高考文科数学二轮复习不等式选讲高考定位 本部分主要考查绝对值不等式的解法.求含绝对值的函数的最值及求含参数的绝对值不等式中的参数的取值范围，不等式的证明等，结合集合的运算、函数的图象和性质、恒成立问题及基本不等式，绝对值不等式的应用成为命题的热点，主要考查基本运算能力与推理论证能力及数形结合思想、分类讨论思想.真 题 感 悟1.(2018·全国Ⅲ卷)设函数f (x )＝|2x ＋1|＋|x －1|. (1)画出y ＝f (x )的图象；(2)当x ∈[0，＋∞)时，f (x )≤ax ＋b ，求a ＋b 的最小值.解 (1)f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－3x ，x <－12，x ＋2，－12≤x <1，3x ，x ≥1.y ＝f (x )的图象如图所示.(2)由(1)知，y ＝f (x )的图象与y 轴交点的纵坐标为2，且各部分所在直线斜率的最大值为3，故当且仅当a ≥3且b ≥2时，f (x )≤ax ＋b 在[0，＋∞)成立，因此a ＋b 的最小值为5.2.(2017·全国Ⅰ卷)已知函数f (x )＝－x 2＋ax ＋4，g (x )＝|x ＋1|＋|x －1|. (1)当a ＝1时，求不等式f (x )≥g (x )的解集；(2)若不等式f (x )≥g (x )的解集包含[－1，1]，求a 的取值范围. 解 (1)当a ＝1时，f (x )＝－x 2＋x ＋4，g (x )＝|x ＋1|＋|x －1|＝⎩⎨⎧2x ，x >1，2，－1≤x ≤1，－2x ，x <－1.①当x >1时，f (x )≥g (x )⇔－x 2＋x ＋4≥2x ， 解之得1<x ≤17－12.②当－1≤x ≤1时，f (x )≥g (x )⇔(x －2)(x ＋1)≤0， 则－1≤x ≤1.③当x <－1时，f (x )≥g (x )⇔x 2－3x －4≤0， 解得－1≤x ≤4，又x <－1，∴不等式此时的解集为空集.综上所述，f (x )≥g (x )的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪－1≤x ≤17－12. (2)依题意得：－x 2＋ax ＋4≥2在[－1，1]上恒成立. 则x 2－ax －2≤0在[－1，1]上恒成立.则只需⎩⎨⎧12－a ·1－2≤0，（－1）2－a （－1）－2≤0，解之得－1≤a ≤1. 故a 的取值范围是[－1，1].考 点 整 合1.绝对值不等式的性质定理1：如果a ，b 是实数，则|a ＋b |≤|a |＋|b |，当且仅当ab ≥0时，等号成立. 定理2：如果a ，b ，c 是实数，那么|a －c |≤|a －b |＋|b －c |，当且仅当(a －b )(b －c )≥0时，等号成立.2.|ax＋b|≤c，|ax＋b|≥c(c>0)型不等式的解法(1)|ax＋b|≤c⇔－c≤ax＋b≤c.(2)|ax＋b|≥c⇔ax＋b≥c或ax＋b≤－c.3.|x－a|＋|x－b|≥c，|x－a|＋|x－b|≤c(c>0)型不等式的解法(1)利用绝对值不等式的几何意义直观求解.(2)利用零点分段法求解.(3)构造函数，利用函数的图象求解.4.基本不等式定理1：设a，b∈R，则a2＋b2≥2ab.当且仅当a＝b时，等号成立.定理2：如果a，b为正数，则a＋b2≥ab，当且仅当a＝b时，等号成立.定理3：如果a，b，c为正数，则a＋b＋c3≥3abc，当且仅当a＝b＝c时，等号成立.定理4：(一般形式的算术—几何平均不等式)如果a1，a2，…，a n为n个正数，则a1＋a2＋…＋a nn≥na1a2…a n，当且仅当a1＝a2＝…＝a n时，等号成立.热点一绝对值不等式的解法【例1】(2018·衡水中学质检)已知函数f(x)＝|2x－2|＋|x＋3|.(1)求不等式f(x)≥3x＋2的解集；(2)若不等式f(x)>1x＋a的解集包含[2，3]，求实数a的取值范围.解(1)依题意得|2x－2|＋|x＋3|≥3x＋2，当x<－3时，原不等式可化为2－2x－x－3≥3x＋2，解得x≤－12，故x<－3；当－3≤x≤1时，原不等式可化为2－2x＋x＋3≥3x＋2，解得x≤34，故－3≤x≤34；当x>1时，原不等式可化为2x－2＋x＋3≥3x＋2，无解.综上所述，不等式f (x )≥3x ＋2的解集为⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，34.(2)依题意，|2x －2|＋|x ＋3|>1x ＋a 在[2，3]上恒成立，则3x ＋1－1x >a 在[2，3]上恒成立.又因为g (x )＝3x ＋1－1x 在[2，3]上为增函数，所以有3×2＋1－12>a ，解得a <132.故实数a 的取值范围为⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，132.探究提高 1.含绝对值的函数本质上是分段函数，绝对值不等式可利用分段函数的图象的几何直观性求解，体现了数形结合的思想.2.解绝对值不等式的关键是去绝对值符号，常用的零点分段法的一般步骤：求零点；划分区间，去绝对值符号；分段解不等式；求各段的并集.此外，还常用绝对值的几何意义，结合数轴直观求解.【训练1】 (2018·全国Ⅱ卷)设函数f (x )＝5－|x ＋a |－|x －2|. (1)当a ＝1时，求不等式f (x )≥0的解集； (2)若f (x )≤1，求a 的取值范围.解(1)当a ＝1时，f (x )＝⎩⎨⎧2x ＋4，x ≤－1，2，－1<x ≤2，－2x ＋6，x >2.可得f (x )≥0的解集为{x |－2≤x ≤3}. (2)f (x )≤1等价于|x ＋a |＋|x －2|≥4.又|x ＋a |＋|x －2|≥|a ＋2|，且当x ＝2或x ＝－a 时等号成立. 故f (x )≤1等价于|a ＋2|≥4. 由|a ＋2|≥4可得a ≤－6或a ≥2.所以a 的取值范围是(－∞，－6]∪[2，＋∞). 热点二 不等式的证明【例2】 (2017·全国Ⅱ卷)已知实数a >0，b >0，且a 3＋b 3＝2. 证明：(1)(a ＋b )(a 5＋b 5)≥4； (2)a ＋b ≤2.证明 (1)(a ＋b )(a 5＋b 5)＝a 6＋ab 5＋a 5b ＋b 6＝(a 3＋b 3)2－2a 3b 3＋ab (a 4＋b 4)＝4＋ab (a 2－b 2)2≥4. (2)因为(a ＋b )3＝a 3＋3a 2b ＋3ab 2＋b 3＝2＋3ab (a ＋b ) ≤2＋3（a ＋b ）24·(a ＋b )＝2＋3（a ＋b ）34，所以(a ＋b )3≤8，因此a ＋b ≤2.探究提高 1.证明不等式的基本方法有比较法、综合法、分析法和反证法，其中比较法和综合法是基础，综合法证明的关键是找到证明的切入点.2.当要证的不等式较难发现条件和结论之间的关系时，可用分析法来寻找证明途径，使用分析法证明的关键是推理的每一步必须可逆.如果待证命题是否定性命题、唯一性命题或以“至少”“至多”等方式给出的，则考虑用反证法. 【训练2】 (2018·济南调研)已知函数f (x )＝|x －1|. (1)解不等式f (x )＋f (2x ＋5)≥x ＋9；(2)若a >0，b >0，且1a ＋4b ＝2，证明：f (x ＋a )＋f (x －b )≥92，并求f (x ＋a )＋f (x －b )＝92时，a ，b 的值.解 (1)f (x )＋f (2x ＋5)＝|x －1|＋|2x ＋4|≥x ＋9， 当x ≤－2时，不等式为4x ≤－12， 解得x ≤－3，故x ≤－3，当－2<x <1时，不等式为5≥9，不成立；当x ≥1时，不等式为2x ≥6，解得x ≥3，故x ≥3， 综上所述，不等式的解集为(－∞，－3]∪[3，＋∞). (2)f (x ＋a )＋f (x －b )＝|x ＋a －1|＋|x －b －1| ≥|x ＋a －1－(x －b －1)|＝|a ＋b |＝a ＋b (a >0，b >0). 又1a ＋4b ＝2，所以a ＋b ＝(a ＋b )⎝ ⎛⎭⎪⎫12a ＋2b ＝52＋b 2a ＋2ab≥52＋2b 2a ·2a b ＝92，当且仅当b 2a ＝2ab ，即b ＝2a 时“＝”成立； 由⎩⎪⎨⎪⎧b ＝2a ，1a ＋4b ＝2，可得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝32，b ＝3.热点三 绝对值不等式恒成立(存在)问题【例3】 (2017·全国Ⅲ卷)已知函数f (x )＝|x ＋1|－|x －2|. (1)求不等式f (x )≥1的解集；(2)若不等式f (x )≥x 2－x ＋m 的解集非空，求m 的取值范围.解(1)f (x )＝|x ＋1|－|x －2|＝⎩⎨⎧－3，x ≤－1，2x －1，－1<x <2，3，x ≥2.由f (x )≥1可得①当x ≤－1时显然不满足题意；②当－1<x <2时，2x －1≥1，解得x ≥1，则1≤x <2； ③当x ≥2时，f (x )＝3≥1恒成立，∴x ≥2. 综上知f (x )≥1的解集为{x |x ≥1}.(2)不等式f (x )≥x 2－x ＋m 等价于f (x )－x 2＋x ≥m ， 令g (x )＝f (x )－x 2＋x ，则g (x )≥m 解集非空只需要[g (x )]max ≥m .由(1)知g (x )＝⎩⎨⎧－x 2＋x －3，x ≤－1，－x 2＋3x －1，－1<x <2，－x 2＋x ＋3，x ≥2.①当x ≤－1时，[g (x )]max ＝g (－1)＝－1－1－3＝－5； ②当－1<x <2时，[g (x )]max ＝g ⎝ ⎛⎭⎪⎫32＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫322＋3×32－1＝54；③当x ≥2时，[g (x )]max ＝g (2)＝－22＋2＋3＝1. 综上，[g (x )]max ＝54，故m ≤54. 所以实数m 的取值范围是⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，54.探究提高 1.不等式恒成立问题，存在性问题都可以转化为最值问题解决. 2.本题分离参数m ，对含绝对值符号的函数g (x )分段讨论，求出g (x )的最大值，进而求出m 的取值范围，优化解题过程.【训练3】 (2018·郑州调研)设函数f (x )＝|x ＋a |＋2a .(1)若不等式f (x )≤1的解集为{x |－2≤x ≤4}，求实数a 的值；(2)在(1)的条件下，若不等式f (x )≥k 2－k －4恒成立，求实数k 的取值范围. 解 (1)因为|x ＋a |＋2a ≤1，所以|x ＋a |≤1－2a ， 所以2a －1≤x ＋a ≤1－2a ，所以a －1≤x ≤1－3a . 因为不等式f (x )≤1的解集为{x |－2≤x ≤4}， 所以⎩⎨⎧a －1＝－2，1－3a ＝4，解得a ＝－1.(2)由(1)得f (x )＝|x －1|－2. 不等式f (x )≥k 2－k －4恒成立， 只需f (x )min ≥k 2－k －4，所以－2≥k 2－k －4，即k 2－k －2≤0， 所以k 的取值范围是[－1，2].1.绝对值不等式的三种常用解法：零点分段法、几何法(利用绝对值几何意义)、构造函数法.前者体现了分类讨论思想，后者体现了数形结合思想的应用.2.利用绝对值三角不等式定理|a |－|b |≤|a ±b |≤|a |＋|b |求函数最值，要注意其中等号成立的条件，利用基本不等式求最值也必须满足等号成立的条件.不等式恒成立问题、存在性问题都可以转化为最值问题解决.3.分析法是证明不等式的重要方法，当所证不等式不能使用比较法且与重要不等式、基本不等式没有直接联系，较难发现条件和结论之间的关系时，可用分析法来寻找证明途径，使用分析法证明的关键是推理的每一步必须可逆.1.(2018·湖南六校联考)已知函数f (x )＝|2x ＋3|－|1－2x |.若存在x ∈R ，使得f (x )>|3a －1|成立，求实数a 的取值范围.解 ∵f (x )＝|2x ＋3|－|1－2x |≤|(2x ＋3)＋(1－2x )|＝4.画出f (x )的图象，如图所示：∴f (x )max ＝4.若存在x ∈R ，使得f (x )>|3a －1|成立. ∴|3a －1|<4，解之得－1<a <53， 故实数a 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，53. 2.设a ，b ，c ，d 均为正数，且a ＋b ＝c ＋d ，证明： (1)若ab >cd ，则a ＋b >c ＋d ；(2)a ＋b >c ＋d 是|a －b |<|c －d |的充要条件. 证明 (1)∵a ，b ，c ，d 为正数，且a ＋b ＝c ＋d ， 要证a ＋b >c ＋d ，只需证明(a ＋b )2>(c ＋d )2， 也就是证明a ＋b ＋2ab >c ＋d ＋2cd ， 只需证明ab >cd ，即证ab >cd . 由于ab >cd ，因此a ＋b >c ＋d .(2)必要性：若|a －b |<|c －d |，则(a －b )2<(c －d )2， 即(a ＋b )2－4ab <(c ＋d )2－4cd . ∵a ＋b ＝c ＋d ，所以ab >cd . 由(1)得a ＋b >c ＋d .充分性：若a ＋b >c ＋d ，则(a ＋b )2>(c ＋d )2， ∴a ＋b ＋2ab >c ＋d ＋2cd . ∵a ＋b ＝c ＋d ，所以ab >cd .于是(a －b )2＝(a ＋b )2－4ab <(c ＋d )2－4cd ＝(c －d )2. 因此|a －b |<|c －d |.综上，a ＋b >c ＋d 是|a －b |<|c －d |的充要条件. 3.(2018·南宁联考)已知函数f (x )＝|x －1|. (1)求不等式f (x )≥3－2|x |的解集；(2)若函数g (x )＝f (x )＋|x ＋3|的最小值为m ，正数a ，b 满足a ＋b ＝m ，求证：a 2b ＋b 2a ≥4.(1)解 当x ≥1时，x －1≥3－2x ，解得x ≥43，故x ≥43； 当0<x <1时，1－x ≥3－2x ，解得x ≥2，无解； 当x ≤0时，1－x ≥3＋2x ，解得x ≤－23，故x ≤－23.∴原不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪x ≥43或x ≤－23.(2)证明 ∵g (x )＝|x －1|＋|x ＋3| ≥|(x －1)－(x ＋3)|＝4， ∴m ＝4，则a ＋b ＝4.又a 2b ＋b ≥2a ，b 2a ＋a ≥2b ，∴两式相加得⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2b ＋b ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b 2a ＋a ≥2a ＋2b ，∴a 2b ＋b 2a ≥a ＋b ＝4，当且仅当a ＝b ＝2时等号成立.4.(2018·全国Ⅰ卷)已知f (x )＝|x ＋1|－|ax －1|. (1)当a ＝1时，求不等式f (x )>1的解集；(2)若x ∈(0，1)时不等式f (x )>x 成立，求a 的取值范围. 解 (1)当a ＝1时，f (x )＝|x ＋1|－|x －1|，即f (x )＝⎩⎨⎧－2，x ≤－1，2x ，－1<x <1，2，x ≥1.则当x ≥1时，f (x )＝2>1恒成立，所以x ≥1； 当－1<x <1时，f (x )＝2x >1，所以12<x <1； 当x ≤－1时，f (x )＝－2<1. 故不等式f (x )>1的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x >12. (2)当x ∈(0，1)时|x ＋1|－|ax －1|>x 成立等价于当x ∈(0，1)时|ax －1|<1成立. 若a ≤0，则当x ∈(0，1)时，|ax －1|≥1；若a >0，|ax －1|<1的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪0<x <2a ，所以2a ≥1，故0<a ≤2. 综上，a 的取值范围为(0，2].5.(2016·全国Ⅱ卷)已知函数f (x )＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪x －12＋⎪⎪⎪⎪⎪⎪x ＋12，M 为不等式f (x )<2的解集. (1)求M ；(2)证明：当a ，b ∈M 时，|a ＋b |<|1＋ab |.(1)解 f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－2x ，x ≤－12，1，－12<x <12，2x ，x ≥12.当x ≤－12时，由f (x )<2得－2x <2， 解得x >－1，所以－1<x ≤－12； 当－12<x <12时，f (x )<2恒成立.当x ≥12时，由f (x )<2得2x <2，解得x <1，所以12<x <1.所以f (x )<2的解集M ＝{x |－1<x <1}. (2)证明 由(1)知，a ，b ∈(－1，1)， 从而(a ＋b )2－(1＋ab )2＝a 2＋b 2－a 2b 2－1 ＝(a 2－1)(1－b 2)<0，所以(a ＋b )2<(1＋ab )2，因此|a ＋b |<|1＋ab |.6.(2018·武汉二模)已知函数f (x )＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪a ＋1x ＋⎪⎪⎪⎪⎪⎪a －1x ，a 为实数.(1)当a ＝1时，求不等式f (x )>4的解集； (2)求f (a )的最小值.解 (1)当a ＝1时，不等式f (x )>4， 即f (x )＝|x ＋1|＋|x －1||x |>4，①当x <－1时，得f (x )＝2>4，无解；。
2018_2019高中数学第三讲柯西不等式与排序不等式3.2一般形式的柯西不等式导学案
3.2 一般形式的柯西不等式学习目标1.掌握三维形式和多维形式的柯西不等式．2.会利用一般形式的柯西不等式解决简单问题. 一、自学释疑根据线上提交的自学检测，生生、师生交流讨论，纠正共性问题。
二、合作探究探究1．如何理解柯西不等式的结构特征？探究2．在一般形式的柯西不等式中，等号成立的条件记为a i ＝kb i (i ＝1,2,3…，n )，可以吗？名师点拨：1.三维形式的柯西不等式三维形式的柯西不等式可以对比二维形式的柯西不等式来理解和记忆，一般形式的柯西不等式又可以参照三维形式的柯西不等式来理解和推广，这样易于记忆不等式的结构特征，对不等式等号成立的条件加深理解．2．一般形式的柯西不等式定理称为柯西不等式的一般形式，它主要用来证明不等式和解决一些实际应用的最值问题．在使用柯西不等式时需要掌握一些方法技巧，如：巧拆常数，重新安排某些项的次序，适当的拼凑项、添项等，以构造出符合柯西不等式的形式及条件，达到使用柯西不等式证明的目的．对于许多不等式问题，应用柯西不等式来解往往简单快捷，要正确理解柯西不等式，只有掌握了它的结构特征，才能灵活应用.【例1】 已知a ，b ，c ∈R ＋，求证：⎝ ⎛⎭⎪⎫a b ＋b c ＋c a ⎝ ⎛⎭⎪⎫b a ＋c b ＋ac ≥9.【变式训练1】 已知x ，y ，z ∈R ＋，且x ＋y ＋z ＝1. 求证：1x ＋4y ＋9z≥36.【例2】 设a ，b ，c 为正实数，且a ＋b ＋c ＝3，求证：2a ＋1＋2b ＋1＋2c ＋1≤3 3.【变式训练2】 已知a ，b ，c ∈R ＋，且a ＋b ＋c ＝1，求4a ＋1＋4b ＋1＋4c ＋1的最大值．【例3】 已知x 1，x 2，x 3，x 4为实数，且x 1＋x 2＋x 3＋x 4＝6，x 21＋x 22＋x 23＋x 24＝12. 求证：0≤x i ≤3，i ＝1,2,3,4.【变式训练3】 设实数a ，b ，c ，d ，e 满足a ＋b ＋c ＋d ＋e ＝8，a 2＋b 2＋c 2＋d 2＋e 2＝16，求e 的最大值．【例4】 已知a 1，a 2，…，a n 都是正实数，且a 1＋a 2＋…＋a n ＝1，求证：a 21a 1＋a 2＋a 22a 2＋a 3＋…＋a 2n －1a n －1＋a n＋a 2na n ＋a 1≥12.【变式训练4】 设a 1>a 2>…>a n >a n ＋1，求证：1a 1－a 2＋1a 2－a 3＋…＋1a n －a n ＋1＋1a n ＋1－a 1>0.参考答案探究1．【提示】归纳类比二维形式、三维形式和一般形式的柯西不等式的结构特征，可知柯西不等式的结构特点为：左边为平方和的积，右边是积的和的平方．探究2．【提示】不可以．若b i＝0而a i≠0，则k不存在．【例1】【分析】利用柯西不等式证明其他不等式时，关键是构造两组数，向着柯西不等式的形式转化．本例中对应三维柯西不等式，记a1＝ab，a2＝bc，a3＝ca，b1＝ba，b2＝cb，b3＝ac，而a1b1＝a2b2＝a3b3＝1，因而得证．【证明】由柯西不等式知左边＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝⎛⎭⎪⎫ab2＋⎝⎛⎭⎪⎫bc2＋⎝⎛⎭⎪⎫ca2×⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝⎛⎭⎪⎫ba2＋⎝⎛⎭⎪⎫cb2＋⎝⎛⎭⎪⎫ac2≥⎝⎛⎭⎪⎫ba·ab＋bc·cb＋ca·ac2＝(1＋1＋1)2＝9.∴原不等式成立．【变式训练1】证明证法一：(利用基本不等式)1x＋4y＋9z＝1x(x＋y＋z)＋4y(x＋y＋z)＋9z(x＋y＋z)＝14＋⎝⎛⎭⎪⎫yx＋4xy＋⎝⎛⎭⎪⎫zx＋9xz＋⎝⎛⎭⎪⎫4zy＋9yz≥14＋4＋6＋12＝36.当且仅当y＝2x，z＝3x，且x＋y＋z＝1，∴x＝16，y＝13，z＝12时等号成立．证法二：(利用柯西不等式)(x＋y＋z)⎝⎛⎭⎪⎫1x＋4y＋9z≥⎝⎛⎭⎪⎫x·1x＋y·4y＋z·9z2＝(1＋2＋3)2＝36，当且仅当x2＝14y2＝19z2，即x＝16，y＝13，z＝12时等号成立．【例2】【分析】利用柯西不等式的向量形式，目标式的左边应是两个向量的数量积．由于变量a，b，c的系数都相等，由整体性可构造向量m＝(2a＋1，2b＋1，2c＋1)，n＝(1,1,1)．利用|m ·n |<|m ||n |可得证．【证明】 令m ＝(2a ＋1，2b ＋1，2c ＋1)，n ＝(1,1,1)，则m ·n ＝2a ＋1＋2b ＋1＋2c ＋1.而|m |＝2a ＋1＋2b ＋1＋2c ＋1＝2a ＋b ＋c ＋3＝3.又|n |＝3，由|m ·n |≤|m ||n |，得∴2a ＋1＋2b ＋1＋2c ＋1≤3 3. 当且仅当a ＝b ＝c ＝1时，等号成立．【变式训练2】解 方法一：由柯西不等式，得(4a ＋1＋4b ＋1＋4c ＋1)2＝(1×4a ＋1＋1×4b ＋1＋1×4c ＋1)2≤(12＋12＋12)(4a ＋1＋4b ＋1＋4c ＋1) ＝3[4(a ＋b ＋c )＋3]＝21. 当且仅当a ＝b ＝c ＝13时，取等号．故4a ＋1＋4b ＋1＋4c ＋1的最大值为21. 方法二：令m ＝(4a ＋1，4b ＋1，4c ＋1)．n ＝(1,1,1)，则|m |＝4a ＋1＋4b ＋1＋4c ＋1 ＝4a ＋b ＋c ＋3＝7，|n |＝12＋12＋12＝ 3.m ·n ＝4a ＋1＋4b ＋1＋4c ＋1，由|m ·n |≤|m ||n |，得4a ＋1＋4b ＋1＋4c ＋1≤21.故4a ＋1＋4b ＋1＋4c ＋1的最大值为21，当且仅当a ＝b ＝c ＝13时，取等号．【例3】【分析】 由于x 1，x 2，x 3，x 4的对称性，只需证明一个x ，其他可以同理得到．充分利用已知的等式，将x 2，x 3，x 4用x 1表示，从而得到只含x 1的式子，进一步求解．【证明】 由柯西不等式，得(x 2＋x 3＋x 4)2≤(1＋1＋1)·(x 22＋x 23＋x 24)． 由题设条件，得x 2＋x 3＋x 4＝6－x 1，x 22＋x 23＋x 24＝12－x 21.∴(6－x 1)2≤3(12－x 21)． ∴4x 21－12x 1≤0.∴0≤x 1≤3.同理可证0≤x i ≤3.i ＝2,3,4. 【变式训练3】解 将条件改写为 8－e ＝a ＋b ＋c ＋d ， 16－e 2＝a 2＋b 2＋c 2＋d 2， 由柯西不等式，得(a ＋b ＋c ＋d )2≤(1＋1＋1＋1)(a 2＋b 2＋c 2＋d 2)， 将条件代入上式，得 (8－e )2≤4(16－e 2)． 即64－16e ＋e 2≤64－4e 2. 即5e 2－16e ≤0，∴0≤e ≤165.当且仅当a ＝b ＝c ＝d ＝65时，e 取最大值165.【例4】 【证明】 左边＝a 21a 1＋a 2＋a 22a 2＋a 3＋…＋a 2n －1a n －1＋a n ＋a 2na n ＋a 1＝[(a 1＋a 2)＋(a 2＋a 3)＋…＋(a n －1＋a n )＋(a n ＋a 1)]×⎣⎢⎡⎝ ⎛⎭⎪⎫a 1a 1＋a 22＋⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2a 2＋a 32＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫a n －1a n －1＋a n 2＋⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫a n a n ＋a 12×12＝[(a 1＋a 2)2＋(a 2＋a 3)2＋…＋(a n －1＋a n )2＋(a n ＋a 1)2]×⎣⎢⎡⎝ ⎛⎭⎪⎫a 1a 1＋a 22＋⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2a 2＋a 32＋…＋⎝⎛⎭⎪⎫a n －1a n －1＋a n 2＋⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫a n a n ＋a 12×12≥ ⎝⎛a 1＋a 2·a 1a 1＋a 2＋a 2＋a 3·a 2a 2＋a 3＋…＋a n －1＋a n ·⎭⎪⎫a n －1a n －1＋a n ＋a n ＋a 1·a n a n ＋a 12×12＝(a 1＋a 2＋…＋a n )2×12＝12＝右边，所以原不等式成立．【变式训练4】证明 为了运用柯西不等式，我们将a 1－a n ＋1写成a 1－a n ＋1＝(a 1－a 2)＋(a 2－a 3)＋…＋(a n －a n ＋1)，于是[(a 1－a 2)＋(a 2－a 3)＋…＋(a n －a n＋1)]·⎝⎛⎭⎪⎫1a 1－a 2＋1a 2－a 3＋…＋1a n －a n ＋1≥n 2>1.即(a 1－a n ＋1)·⎝⎛⎭⎪⎫1a 1－a 2＋1a 2－a 3＋…＋1a n －a n ＋1>1，所以1a1－a2＋1a2－a3＋…＋1a n－a n＋1>1a1－a n＋1，故1a1－a2＋1a2－a3＋…＋1a n－a n＋1＋1a n＋1－a1>0.。
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- 1 - 第3讲 不等式
高考定位 1.利用不等式性质比较大小、不等式的求解、利用基本不等式求最值及线性规划问题是高考的热点，主要以选择题、填空题为主；2.在解答题中，特别是在解析几何中求最值、范围问题或在解决导数问题时常利用不等式进行求解，难度较大
.
真 题 感 悟
1.(2017·全国Ⅰ卷)设x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋3y ≤3，x －y ≥1，y ≥0，
则z ＝x ＋y 的最大值为( )
A.0
B.1
C.2
D.3
解析 根据约束条件画出可行域，如图中阴影部分(含边界)，则当目标函数z ＝x ＋y 经过A (3，0)时取得最大值，故z max ＝3＋0＝
3.
答案 D
2.(2016·山东卷)若变量x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≤2，2x －3y ≤9，x ≥0，
则x 2＋y 2的最大值是( )
A.4
B.9
C.10
D.12
解析 作出不等式组表示的平面区域，如图中阴影部分所示：x 2＋y 2表示区域内点到原点距离
的平方，由⎩
⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝2，2x －3y ＝9得A (3，－1).。