新沪科版七年级数学下册《8章整式乘法与因式分解 8.2 整式乘法单项式除以单项式》课件_0

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沪科版七年级数学下册 8.2.1 整式乘法单项式乘以单项式、单项式除以单项式 (共17张PPT)

别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式.
注意（1）系数相乘；（2）相同字母的幂相乘；（3）其余字母连同它的指数不变，作为积的因式.
典例精析
例1 计算： (1) (-5a2b)(-3a)；解: (1) (-5a2b)(-3a) = [(-5)×(-3)](a2•a)b = 15a3b；
动，行动会变成习惯，习惯会变成性格。性格会影响人生！
习惯不加以抑制，会变成生活的必需品，不良的习惯随时改变人生走向。人往往难以改变习惯，因为造习惯的就是自己，结果人又成为习惯的奴隶！人生重要的不是你从哪里来，而是你到哪里去。当你在埋头工作的时侯，一定要抬头看看你去的方向。方向不对，努力白费！你来自何处并不重要，重要的是你要去往何方，人生最重要的不是所站的位置，而是所去的方向。人只要不失去方向，就永远不会失去自己！这个世界唯一不变的真理就是变化，任何优势都是暂时的。当你在占有这个优势时，必须争取主动，再占据下一个优势，这需要前瞻的决断力，需要的是智慧！惟一能移山的方法就是：山不过来，我就过去。人生最聪明的态度就是：改变可以改变的一切，适应不能改变的一切！是产生在人的思想里。你没找到路，不等于没有路，你想知道将来要得到什么，你必须知道现在应该先放弃什么！把人抛入最低谷时，往往是人生转折的最佳期。谁能积累能量，谁就能获得回报；谁若自怨自艾，必会坐失良机！人人都有两个门：一个是家门，成长的地方；一个是心门，成功的地方。能赶走门中的小人，就会唤醒心中的巨人！要想事情改变，首先自己改变，只
×
（4）12a3b ÷4a2=3a (
) 3ab
只在一个被除式里含有的字母，要连同它的指数写在商里，防止遗漏.
2.计算：（1）6a3÷2a2；（2）24a2b3÷3ab；（3）-21a2b3c÷3ab.

2023七年级数学下册第8章整式乘法与因式分解8.4因式分解2公式法教案(新版)沪科版

4. 一个正方形的边长是 \(x+2\)，求这个正方形的面积。
题型三：综合题
5. 已知一个二次方程 \(x^2 + (a+b)x + ab = 0\) 的两个根的和为 \(-a-b\)，两个根的积为 \(ab\)，求这个二次方程。
提示：在解题过程中，请同学们注意运用完全平方公式和平方差公式，以及灵活运用所学的因式分解技巧。
1.理论介绍：首先，我们要了解公式法分解因式的基本概念。公式法是利用特定的数学公式将一个多项式分解成两个或多个多项式的乘积。它是解决因式分解问题的重要方法之一。
2.案例分析：接下来，我们来看一个具体的案例。这个案例展示了公式法在实际中的应用，以及它如何帮助我们解决问题。
3.重点难点解析：在讲授过程中，我会特别强调完全平方公式和平方差公式这两个重点。对于难点部分，我会通过举例和比较来帮助大家理解。
四、教学资源
软硬件资源：
1. 教室内的多媒体设备，包括投影仪和计算机。
2. 学生用的计算器。
3. 白板和记号笔。
课程平台：
1. 人教版七年级数学下册教材。
2. 与教材配套的练习册和作业本。
信息化资源：
1. 教学PPT，包含本节课的主要内容和例题。
2. 在线数学题库，用于学生练习和巩固知识。
教学手段：
六、教学资源拓展
1.拓展资源：
（1）课后习题：为学生提供与本节课内容相关的课后习题，包括不同难度的题目，以便学生巩固所学知识。
（2）在线课程：推荐一些与因式分解相关的在线课程或视频，如“公式法分解因式技巧讲解”、“因式分解的实际应用”等，以便学生进一步学习和拓展知识。
（3）数学竞赛题目：提供一些与因式分解相关的数学竞赛题目，激发学生的学习兴趣和挑战精神。

精品试题沪科版七年级数学下册第8章整式乘法与因式分解重点解析试题(含答案解析)

七年级数学下册第8章整式乘法与因式分解重点解析考试时间：90分钟；命题人：数学教研组考生注意：1、本卷分第I 卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分100分，考试时间90分钟2、答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级填写在试卷规定位置上3、答案必须写在试卷各个题目指定区域内相应的位置，如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用涂改液、胶带纸、修正带，不按以上要求作答的答案无效。

第I 卷（选择题 30分）一、单选题（10小题，每小题3分，共计30分）1、下列运算中，结果正确的是（）A ．()325a a =B ．()2236a a =C ．623a a a ÷=D ．235a a a ⋅=2、下列计算正确的是（）A ．x 2•x 4＝x 6B ．a 0＝1C ．（2a ）3＝6a 3D ．m 6÷m 2＝m 3 3、下列各式运算正确的是（）A ．22(2)4x x -=-B ．325()x x =C ．22323232xy x x y ⎛⎫⋅-=- ⎪⎝⎭D ．0( 3.14)0π-=4、把多项式25x x m ++因式分解得()()2x n x +-，则常数m ，n 的值分别为（）A ．14m =-，7n =B ．14m ，7n =-C ．14m ，7n =D ．14m =-，7n =-5、下列运算正确的是（）．A ．a 2•a 3＝a 6B ．a 3÷a ＝a 3C ．(a 2)3＝a 5D ．(3a 2)2＝9a 46、一个大正方形和四个全等的小正方形按图①、②两种方式摆放，则图②的大正方形中未被小正方形覆盖部分的面积是（）A ．2abB ．abC ．a 2﹣4b 2D ．（a ﹣2b ）27、如图，从边长为a 的正方形中去掉一个边长为b 的小正方形，然后将剩余部分剪后拼成一个长方形，上述操作能验证的等式是（）A ．22()()a b a b a b +-=-B ．222()2a b a ab b -=-+C ．222()2a b a ab b +=++D ．2()a ab a a b +=+ 8、下列计算正确的是（）A ．a 3+a 3＝a 6B ．a 3•a 3＝a 6C ．a 3•a 3＝2a 3D ．a 3•a 3＝a 99、下列计算正确的是（）A ．532-=ab a bB ．()224239a b a b -= C ．()222a b a b -=- D ．2222a b b a +=10、对于两个有理数a 、b ，定义一种新的运算：1b a b a ab ⊕=++，若20m ⊕=，则2m ⊕的值为（）A ．32-B ．3-C ．0D ．12- 第Ⅱ卷（非选择题 70分）二、填空题（5小题，每小题4分，共计20分）1、随着2022年北京冬奥会的日益临近，人们越来越感受到冰雪运动的独特魅力，冬奥会周边及相关物品也不断带给人们惊喜，深受人们的喜爱．某玩具商购进甲、乙两款以冬奥会运动项目为主题的立体拼图，甲、乙两款拼图的数量比为9:2．已知销售每套甲款拼图的利润率为30%，销售每套乙款拼图的利润率为40%，当把所有拼图销售完毕，该玩具商得到的总利润率为34%．该玩具商又购进新的一批甲、乙两款拼图，两款拼图每套的进价与售价均与前一次相同；同时，该玩具商还购进一批丙款拼图，每套丙款拼图的进价为每套甲款拼图进价的2倍，并按进价提高35%进行销售．已知第二次购进的甲、乙、丙三款拼图的数量比为5:3:3，并且所有拼图全部销售完毕，则该玩具商在第二次销售中得到的总利润率为__________．2、若a +b =8，ab =-5，则()2a b -＝___________3、本学期我们学习了“有理数的乘方”运算，知道乘方的结果叫做“幂”，下面介绍一种有关“幂”的新运算．定义：a m 与a n （a ≠0，m ，n 都是正整数）叫做同底数幂，同底数幂除法记作a m ÷a n ．其中“同底数幂除法”运算法则中规定当m ＝n 时，a m ÷a n ＝a m ﹣n ＝a 0＝1，根据“同底数幂除法”法则中的规定和你已经学过的知识，如果等式x 2x +4÷x x +7＝1成立，则请写出满足等式成立的所有的x 的值 ______．4、引入新数i ，新数i 满足分配律、结合律、交换律，已知21i =-，则()()11i i +-=_____．5、计算下列各题：（1）3x x ⋅=______；（2）()3ab =______；（3）()42m =______；（4）63x x +=______．三、解答题（5小题，每小题10分，共计50分）1、分解因式：322336---x xy x y ．2、先化简，再求值：2(21)(21)(21)x x x +-+-，其中14x =-．3、计算：（1）（23ab 2﹣2ab ）12⋅ab ．（2）（x ﹣2y ）3﹣（x 2﹣2xy +4y 2）（x +2y ）．4、计算：（结果用幂的形式表示）3x 2•x 4﹣（﹣x 3）25、化简：（x ﹣2）2﹣x （x +4）．-参考答案-一、单选题1、D【分析】根据幂的乘方，积的乘方运算法则，同底数幂的乘除法逐项分析判断即可【详解】解：A. ()326a a =，故该选项不正确，不符合题意； B. ()2239a a =，故该选项不正确，不符合题意；C. 624a a a ÷=，故该选项不正确，不符合题意；D. 235a a a ⋅=，故该选项正确，符合题意；故选D【点睛】本题考查了幂的乘方，积的乘方运算法则，同底数幂的乘除法，掌握以上运算法则是解题的关键．2、A【分析】根据零指数幂运算，同底数幂的乘法运算，积的乘方运算，同底数幂的除法运算法则求解即可．【详解】解：A、x2•x4＝x6，故选项正确，符合题意；a=时，0a无意义，故选项错误，不符合题意；B、当0C、（2a）3＝8a3，故选项错误，不符合题意；D、m6÷m2＝m4，故选项错误，不符合题意．故选：A．【点睛】此题考查了零指数幂运算，同底数幂的乘法运算，积的乘方运算，同底数幂的除法运算法则，解题的关键是熟练掌握零指数幂运算，同底数幂的乘法运算，积的乘方运算，同底数幂的除法运算法则．3、C【分析】利用完全平方公式进行计算判断A，利用幂的乘方运算法则进行计算判断B，根据单项式乘单项式的运算法则进行计算判断C，根据零指数幂的运算法则进行计算判断D．【详解】解：A、原式244=-+，原计算错误，故此选项不符合题意；x xB、原式6x=，原计算错误，故此选项不符合题意；C、原式32=-，原计算正确，故此选项符合题意；3x yD、原式1=，原计算错误，故此选项不符合题意；故选：C．【点睛】本题考查整式的混合运算，掌握幂的乘方()m n mn a a =，完全平方公式222()2a b a ab b ±=±+的结构是解题关键．4、A【分析】根据因式分解是恒等式，展开比较系数即可．【详解】∵25x x m ++=()()2x n x +-，∴25x x m ++=2222(2)2x x nx n x n x n -+-=+--，∴n -2=5，m =-2n ，∴n =7，m =-14，故选A ．【点睛】本题考查了因式分解，正确理解因式分解的恒等性是解题的关键．5、D【分析】分别根据同底数幂的乘法法则、同底数幂的除法法则、幂的乘方法则以及积的乘方法则逐一判断即可．【详解】解：A 、a 2•a 3= a 5≠a 6，故本选项不合题意；B 、a 3÷a = a 2≠a 3，故本选项不合题意；C 、(a 2)3= a 6≠a 5，故本选项不合题意；D 、(3a 2)2=9a 4，故本选项符合题意；故选：D ．【点睛】本题考查了同底数幂的乘法，同底数幂的除法，幂的乘方，掌握运算法则正确计算是本题的解题关键．6、B【分析】设小正方形的边长为x ，大正方形的边长为y ，列方程求解，用大正方形的面积减去4个小正方形的面积即可．【详解】解：设小正方形的边长为x ，大正方形的边长为y ，则：22x y a y x b+=⎧⎨-=⎩ ，解得：42a b x a b y -⎧=⎪⎪⎨+⎪=⎪⎩， ∴阴影面积=（2a b +）2﹣4×（4a b -）22222224444a ab b a ab b ab ++-+=-=＝ab ．故选B【点睛】本题考查了整式的混合运算，求得大正方形的边长和小正方形的边长是解题的关键．7、A【分析】如图，两个正方形面积的差，通过将阴影部分面积转移，构造一个长为a b +，宽为-a b 的长方形，相同的面积用不同的表达式表示，从而可推导验证乘法公式中的平方差公式．解：如图，将大正方形的一边延长到a b +，另一边长表示成-a b 的形式变化前后面积相等由题意可知长方形面积为()()a b a b +-大正方形减去小正方形后的面积为22a b -故有22()()a b a b a b +-=-故选Ａ．【点睛】本题主要考察了平方差公式．解题的关键在于对长方形的构造．8、B【分析】利用合并同类项的法则，同底数幂的乘法的法则对各项进行运算即可．【详解】解：A 、a 3+a 3＝2a 3，故A 不符合题意；B 、a 3•a 3＝a 6，故B 符合题意；C 、a 3•a 3＝a 6，故C 不符合题意；D 、a 3•a 3＝a 6，故D 不符合题意；【点睛】此题考查了整式的计算，正确掌握整式的合并同类项的法则，同底数幂的乘法的法则是解题的关键．9、B【分析】根据积的乘方、完全平方公式、同类项的合并等知识即可作出判断．【详解】解：选项A 与D ，相加的两项不是同类项，故不能相加，故错误；B 选项，根据积的乘方可得正确；D 选项，()2222a b a ab b -=-+，故错误；故选：B【点睛】本题考查了积的乘方、完全平方公式、同类项的合并，掌握它们是关键．10、D【分析】根据新定义的运算法则得到()210m +=，求解m 的值，再按照新定义对2m ⊕进行运算即可.【详解】解： 1b a b a ab ⊕=++，∴ 22210m m m ⊕=++=，210m ，解得：1,m =-()()111=2122111.222m -⊕⊕-=+⨯-+=-=-∴ 故选D【点睛】本题考查的是新定义运算，完全平方公式的应用，负整数指数幂的含义，理解新定义，按照新定义的运算法则进行运算是解本题的关键.二、填空题1、36%【分析】设甲款拼图的成本为10a ，乙款拼图的成本为10b ，第一次购进两种甲款款拼图的数量为9k , 乙款拼图的数量为2k ．根据销售每套甲款拼图的利润率为30%，可求甲款利润10a ×30%=3a ，根据销售每套乙款拼图的利润率为40%，可求乙款利润10b ×40%=4b ，根据该玩具商得到的总利润率为34%．得出3b a =．设第二次购进的甲、乙、丙三款拼图的数量分别为5,3,3m m m ，可得甲、乙、丙三种拼图的成本，利润，拼图数量如表所示：利用三种拼图总利润÷三种拼图总成本×100%得出总利润率即可．【详解】解：设甲款拼图的成本为10a ，乙款拼图的成本为10b ，第一次购进两种甲款款拼图的数量为9k , 乙款拼图的数量为2k ．销售每套甲款拼图的利润率为30%，甲款利润10a ×30%=3a ，销售每套乙款拼图的利润率为40%，乙款利润10b ×40%=4b ，当把所有拼图销售完毕，该玩具商得到的总利润率为34%． ∴3942100%34%109102a k b k a k b k⋅+⋅⨯=⋅+⋅，解得3b a =．第二次购进的甲、乙、丙三款拼图的数量分别为5,3,3m m m则甲、乙、丙三种拼图的成本，利润，拼图数量如表所示：∴第二次销售的总利润率3512373100%36% 105303203a m a m a ma m a m a m⋅+⋅+⋅=⨯=⋅+⋅+⋅．故答案为：36%．【点睛】本题考查二元一次方程，列代数式，整式的乘除混合运算，利润率=利润÷成本×100%，掌握列代数式，利润率=利润÷成本×100%，整式的乘除混合运算，根据利润率列二元一次方程是解题关键．2、84【分析】根据完全平方公式的变形即可求解．【详解】∵a+b=8，ab=-5∴()2a b-=()24a b ab+-=64-4×（-5）=84故答案为：84．【点睛】此题主要考查代数式求值，解题的关键是熟知完全平方公式的变形．3、1或-1或3【分析】根据已知分三种情况，底数是1或-1，及（2x ＋4）−（x ＋7）＝0，再求出x 即可．【详解】有三种情况：①当x ＝1时，x 2x +4÷x x +7＝16÷18＝1，②当x ＝-1时，x 2x +4÷x x +7＝（-1）2÷（-1）6＝12÷16＝1，③（2x +4）﹣（x +7）＝0，解得：x ＝3，所以x ＝1或-1或3，故答案为：1或-1或3．【点睛】本题主要考查有理数的混合运算，同底数幂除法，解题的关键是掌握同底数幂的除法法则、分类讨论思想运用等知识点．4、2【分析】先根据平方差公式化简，再把21i =-代入计算即可．【详解】解：2(1)(1)11(1)2i i i =-=---=+．故答案为2．【点睛】本题考查了新定义运算及平方差公式，熟练掌握平方差公式是解答本题的关键.5、4x 33a b 8m ()331x x +【分析】（1）根据同底数幂相乘运算法则计算即可；（2）根据积的乘方的运算法则计算即可；（3）根据幂的乘方的运算法则计算即可；（3）根据提取公因式法因式分解即可．【详解】解：（1）34x x x ⋅=；（2）()333ab a b =；（3）()428m m =；（4）()63331x x x x +=+．故答案是：（1）4x ；（2）33a b ；（3）8m ；（4）()331x x +．【点睛】本题主要考查了同底数幂相乘、幂的乘方、积的乘方以及运用提取公因式法分解因式等知识点，灵活运用相关运算法则成为解答本题的关键．三、解答题1、()23x x y -+．【分析】综合利用提公因式法和完全平方公式进行因式分解即可得．【详解】解：原式()2232x x xy y =-++ ()23x x y =-+．【点睛】本题考查了因式分解，熟练掌握因式分解的各方法是解题关键．2、42x +，1【分析】先根据完全平方公式和平方差公式将整式展开，进而合并同类项，最后将x 的值代入求解即可【详解】原式=()2244141x x x ++--=224414+1x x x ++-= 4 2.x + 当14x =-时，原式=12 1.-+=【点睛】本题考查了整式的乘法运算，化简求值，掌握乘法公式是解题的关键．3、（1）13a 2b 3﹣a 2b 2．（2）﹣6x 2y +12xy 2﹣16y 3【分析】（1）根据单项式乘多项式的法则求解即可；（2）根据乘法公式以及多项式乘多项式的法则展开，再合并求解即可．（1）解：（23ab 2﹣2ab ）12⋅ab ＝23ab 2⋅12ab ﹣2ab ⋅12ab＝13a2b3﹣a2b2．（2）解：（x﹣2y）3﹣（x2﹣2xy+4y2）（x+2y）＝（x﹣2y）3﹣（x3+8y3）＝x3﹣6x2y+12xy2﹣8y3﹣x3﹣8y3＝﹣6x2y+12xy2﹣16y3．【点睛】本题考查了整式的乘法，熟练掌握整式乘法的运算法则以及乘法公式是解题的关键．4、2x6【分析】根据同底数幂的乘法和幂的乘方计算即可．【详解】解：3x2•x4-（-x3）2=3x6-x6=2x6．【点睛】本题考查了同底数幂的乘法和幂的乘方，掌握法则是解题的关键．5、4-8x．【分析】先根据完全平方公式，单项式乘多项式进行计算，再合并同类项即可．【详解】解：（x﹣2）2﹣x（x+4）=x2-4x+4-x2-4x=4-8x．【点睛】本题考查了整式的化简，能正确根据整式的运算法则进行化简是解此题的关键，注意运算顺序．。

沪科版数学七年级下册第8章整式乘法和因式分解 84 因式分解公式法共17张

（二）结构特点： 1、左边是二项式，每项都是平方的形式，两项的符号相反； 2、右边是两个多项式的积，一个因式是两数的和，另一个因式是这两数的差．
（三）语言：两个数的平方差，等于这两个数的和与这两个数的差的积.这个公式就是平方差公式.
例2：把下列各式分解因式
（1）x2 ? 14x ? 49
(2)9a 2 ? 30ab ? 25b2
a2 - b2= ( a + b)( a - b ) 4x2- 9y2=(2x)2-(3y)2=(2x+3y)(2x-3y)
如果把乘法公式反过来，就可以用来把某些多项式分解因式.这种分解因式的方法叫做运用公式法.
关键词：公式反某些
平方差公式
（一）公式： a2-b2=(a+b)(a-b)
? (3m ? n（) m ? 3n)
解 : (2) （x ? ? 2 ?(x ? y) ?1 ?（1）2 22
?（x ? y ? 1 )2 2
解：（3） 6xy? x2 ? 9 y2 ? ?（x2 ? 6xy? 9 y2 ) ? ?［x2 ? 2 ?x?3y ? (3y)2］ ? ?（x ? 3y）2
a2 - 2 a b + b2 = ( a - b)2
（3）9 x2 ? 6 x ? 1
? (3x)2 ? 2?(3x)?1? 12 ? (3x?1)2
a 2 ? 2ab ? b2 ? ?a ? b?2
完全平方公式
（一）公式： a 2 ? 2ab ? b2 ? (a ? b)2
（二）结构特点： 1、公式左边是三项式，其中首末两项都为正，且这两项可化为两个数的平方，中间一项可正可负，还是这两个数的乘积的2倍； 2、右边是两个数的和（或差）的平方.

2022年沪科版七年级数学下册第8章整式乘法与因式分解章节练习试题(含答案解析)

七年级数学下册第8章整式乘法与因式分解章节练习考试时间：90分钟；命题人：数学教研组考生注意：1、本卷分第I 卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分100分，考试时间90分钟2、答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级填写在试卷规定位置上3、答案必须写在试卷各个题目指定区域内相应的位置，如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用涂改液、胶带纸、修正带，不按以上要求作答的答案无效。

第I 卷（选择题 30分）一、单选题（10小题，每小题3分，共计30分）1、下列计算正确的是（）A ．3412a a a ⋅=B ．()3339x x =C ．()235b b =D ．1028a a a ÷=2、PM 2.5是大气中直径小于0.0000025m 的颗粒物，将0.0000025用科学记数法表示为（）A ．50.2510-⨯B ．60.2510-⨯C ．62.510-⨯D ．52.510-⨯3、如图，若将①中的阴影部分剪下来，拼成图②所示的长方形，比较两图阴影部分的面积，可以得到乘法公式的是（）A ．()2222a b a ab b -=-+B ．()2a a b a ab -=-C ．()222a b a b -=-D ．()()22a b a b a b -=+-4、近年来，新冠肺炎给人类带来了巨大灾难，经科学家研究，冠状病毒多数为球形或近似球形，其直径约为0.00000011米，其中数据0.00000011用科学记数法表示正确的是（）A ．81.110-⨯B ．71.110-⨯C ．61.110-⨯D ．60.1110-⨯5、下列运算正确的是（）．A ．a 2•a 3＝a 6B ．a 3÷a ＝a 3C ．(a 2)3＝a 5D ．(3a 2)2＝9a 46、把多项式25x x m ++因式分解得()()2x n x +-，则常数m ，n 的值分别为（）A ．14m =-，7n =B ．14m ，7n =-C ．14m ，7n =D ．14m =-，7n =-7、若(3)(3)55x x +-=，则x 的值为（）A ．8B ．8-C ．8±D ．6或88、已知一个正方形的边长为1a +，则该正方形的面积为（）A ．221a a ++B ．221a a -+C ．21a +D ．21a +9、下列各式中，不能因式分解的是（）A ．4x 2﹣4x +1B ．x 2﹣4y 2C ．x 3﹣2x 2y +xy 2D ．x 2+y 2+x 2y 210、下列各式计算正确的是（）A ．248a a a +=B ．()44422ab a b =C ．()248a a =D ．824a a a ÷=第Ⅱ卷（非选择题 70分）二、填空题（5小题，每小题4分，共计20分）1、若3x ﹣2＝y ，则8x ÷2y ＝_____．2、若29a ka ++是一个完全平方式，则k 的值是________．3、已知225a a -=，则代数式()()2221a a -++的值为______． 4、计算()2022202180.125⨯=______．5、1秒是1微秒的1000000倍，那么3微秒可以用科学记数法记作________秒．三、解答题（5小题，每小题10分，共计50分）1、计算：（3x 2＋2）（2x ＋1）﹣2x （2x ＋1）．2、计算：（1）()()321232x y x y -⋅- （2）()()()2221x x x +--+3、计算下列各式（1）()()--⋅-2332423x x x x（2）()2231222m mn m n ⎛⎫⋅-⋅- ⎪⎝⎭4、我们知道，任意一个正整数c 都可以进行这样的分解：c =a ×b （．b 是正整数，且a ≤b ），在c 的所有这些分解中，如果a ，b 两因数之差的绝对值最小，我们就称a ×b 是c 的最优分解并规定：M（c ）=b a，例如9可以分解成1×9，3×3，因为9-1＞3-3，所以3×3是9的最优分解，所以M （9）=33=1（1）求M （8）；M （24）；M [（c +1）2]的值；（2）如果一个两位正整数d （d =10x +y ，x ，y 都是自然数，且1≤x ≤y ≤9），交换其个位上的数与十位上的数得到的新数加上原来的两位正整数所得的和为66，那么我们称这个数为“吉祥数”，求所有“吉祥数”中M （d ）的最大值．5、观察下列等式：第1个等式：12＝13；第2个等式：(1+2)2＝13+23；第3个等式：(1+2+3)2＝13+23+33；第4个等式：(1+2+3+4)2＝13+23+33+43；……按照以上规律，解决下列问题：（1）写出第5个等式：__________________；（2）写出第n（n为正整数）个等式：__________________（用含n的等式表示）；（3）利用上述规律求值：3333 11121320 11121320++++++++．-参考答案-一、单选题1、D【分析】利用同底数幂相乘的法则，积的乘方的法则，幂的乘法的法则，同底数幂相除的法则，对各项进行运算即可．【详解】解：A、347a a a⋅=，故A不符合题意；B、()33327x x=，故B不符合题意；C、()236b b=，故C不符合题意；D 、1028a a a ÷=，故D 符合题意；故选：D ．【点睛】本题主要考查整式的运算，掌握幂的运算法则是解答本题的关键．2、C【分析】科学记数法的形式是：10n a ⨯ ，其中1a ≤＜10，n 为整数．所以 2.5a =，n 取决于原数小数点的移动位数与移动方向，n 是小数点的移动位数，往左移动，n 为正整数，往右移动，n 为负整数．本题小数点往右移动到2的后面，所以 6.n =-【详解】解：0.000002562.510-=⨯故选C【点睛】本题考查的知识点是用科学记数法表示绝对值较小的数，关键是在理解科学记数法的基础上确定好,a n 的值，同时掌握小数点移动对一个数的影响．3、D【分析】根据图形可以写出相应的等式，从而可以解答本题．【详解】解：由图可得，()()22a b a b a b -=+- ，故选：D ．【点睛】本题考查平方差公式，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．4、B【分析】绝对值小于1的数可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10-n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．【详解】解：0.00000011=7⨯，1.110-故选B．【点睛】此题考查了科学记数法的表示方法，科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n 为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．5、D【分析】分别根据同底数幂的乘法法则、同底数幂的除法法则、幂的乘方法则以及积的乘方法则逐一判断即可．【详解】解：A、a2•a3= a5≠a6，故本选项不合题意；B、a3÷a= a2≠a3，故本选项不合题意；C、(a2)3= a6≠a5，故本选项不合题意；D、(3a2)2=9a4，故本选项符合题意；故选：D．【点睛】本题考查了同底数幂的乘法，同底数幂的除法，幂的乘方，掌握运算法则正确计算是本题的解题关键．6、A【分析】根据因式分解是恒等式，展开比较系数即可．【详解】∵25x x m ++=()()2x n x +-，∴25x x m ++=2222(2)2x x nx n x n x n -+-=+--，∴n -2=5，m =-2n ，∴n =7，m =-14，故选A ．【点睛】本题考查了因式分解，正确理解因式分解的恒等性是解题的关键．7、C【分析】化简后利用平方根的定义求解即可．【详解】解：∵(3)(3)55x x +-=，∴x 2-9=55，∴x 2=64，∴x =±8，故选C ．【点睛】本题考查了平方根的定义，熟练掌握平方根的定义是解答本题的关键，正数有两个不同的平方根，它们是互为相反数，0的平方根是0，负数没有平方根．8、A【分析】先根据正方形的面积公式列式，然后再根据完全平方公式计算即可．【详解】解：该正方形的面积为（a+1）2=a2+2a+1．故选：A．【点睛】本题主要考查列代数式、完全平方公式等知识点，灵活运用完全平方公式成为解答本题的关键．9、D【分析】直接利用公式法以及提取公因式分解因式进而判断即可．【详解】解：A、4x2﹣4x+1＝（2x−1）2，故本选项不合题意；B、x2﹣4y2＝（x＋2y）（x-2y），故本选项不合题意；C、x3﹣2x2y+xy2=x（x-y）2，故本选项不合题意；D、x2+y2+x2y2不能因式分解，故本选项符合题意；故选：D．【点睛】此题主要考查了提取公因法以及公式法分解因式，正确应用公式法分解因式是解题关键．10、C【分析】根据合并同类项、积的乘方运算法则、幂的乘方运算法则、同底数幂的除法运算法则逐项判断解答即可．【详解】解：A 、a 2、a 4不是同类项，不能合并计算，此选项错误，不符合题意；B 、()4444442126ab a b a b ==，此选项错误，不符合题意；C 、()248a a =，此选项正确，符合题意；D 、82826a a a a -÷==，此选项错误，不符合题意，故选：C ．【点睛】本题考查合并同类项、积的乘方、幂的乘方、同底数幂的除法，熟练掌握运算法则是解答的关键．二、填空题1、4【分析】由3x ﹣2＝y 可得3x ﹣y ＝2，再根据幂的乘方运算法则以及同底数幂的除法法则计算即可．【详解】解：因为3x ﹣2＝y ，所以3x ﹣y ＝2，所以8x ÷2y ＝23x ÷2y ＝23x ﹣y ＝22＝4．故答案是：4．【点睛】本题主要考查了幂的乘方运算法则和同底数幂的除法法则，灵活运用相关运算法则成为解答本题的关键．2、6±【分析】利用完全平方公式的结构特征判断即可确定出k 的值．【详解】解：29a ka ++是一个完全平方式，即22233a a ±⨯+是一个完全平方式，6k ∴=±故答案为：6±【点睛】本题考查了完全平方式，两数的平方和，再加上或减去他们乘积的 2倍，就构成一个完全平方式，熟练掌握完全平方公式的特点是解题关键．3、11【分析】先将原代数式化简，再将225a a -=代入，即可求解．【详解】解：()()2221a a -++ 24422a a a =-+++226a a =-+∵225a a -=，∴原式5611=+= ．故答案为：11【点睛】本题主要考查了整式混合运算，熟练掌握整式混合运算法则是解题的关键．4、0.12518【分析】先把原式变为()2021202180.1250.125⨯⨯，再根据积的乘方的逆运算求解即可．【详解】解：()2022202180.125⨯()2021202180.1250.125=⨯⨯()20210.1280255.1=⨯⨯202110.125⨯=0.125=，故答案为：0.125．【点睛】本题主要考查了积的乘方的逆运算，熟知积的乘方的逆运算是解题的关键．5、3×10－6【分析】根据科学记数法表示绝对值小于1的数的一般形式a ×10-n （1≤｜a ｜＜10，n 为正整数），确定a 和n 值即可．【详解】解：3微妙=3÷1000000=3×10－6秒，故答案为：3×10－6．【点睛】本题考查科学记数法，熟知用科学记数法表示绝对值小于1的数的一般形式，正确确定a 和n 值是关键．三、解答题1、32622x x x -++【分析】根据整式乘法运算展开，再合并同类项即可；【详解】原式()322634242x x x x x =+++-+，322634242x x x x x =+++--，32622x x x =-++．【点睛】本题主要考查了整式乘法和合并同类项，准确计算是解题的关键．2、（1）98xy ；（2）25x --．【分析】（1）先计算积的乘方与幂的乘方，再计算同底数幂的乘法即可得；（2）先计算平方差公式和完全平方公式，再计算整式的加减即可得．【详解】解：（1）原式33468x y x y -=⋅98xy =；（2）原式()22421x x x =--++22421x x x =----25x =--．【点睛】本题考查了积的乘方与幂的乘方、负整数指数幂、同底数幂的乘法、乘法公式等知识点，熟练掌握各运算法则和公式是解题关键．3、（1）67x（2）542m n【分析】（1）先算积的乘方，同底数幂相乘，幂的乘方，最后进行整式的加减运算；（2）按照单项式的乘法进行运算即可．（1）解：原式=()6666699117x x x x x --=--=；（2）解：原式=()()()2231222m m m n n ⎡⎤⎛⎫⨯-⨯-⋅⋅⋅ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦， =542m n【点睛】此题考查了整式的混合的运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．4、（1）12；23；1；（2）23；【分析】（1）根据c =a ×b 中，c 的所有这些分解中，如果a ，b 两因数之差的绝对值最小，就称a ×b 是c 的最优分解，因此M （8）=24=12，M （24）=46=23，M [（c +1）2]= 111c c +=+；（2）设这个两位正整数d交换其个位上的数与十位上的数得到的新数为d'，则d+d'=（10x+y）+（10y+x）=11x+11y=11（x+y）=66，由于x，y都是自然数，且1≤x≤y≤9，所以满足条件的“吉祥数”有15、24、33所以M（15）=35，M（24）=46=23，M（33）=311，所以所有“吉祥数”中M（d）的最大值为23．【详解】解：（1）由题意得，M（8）=24=12；M（24）=46=23；M[（c+1）2]=111cc+=+；（2）设这个两位正整数d交换其个位上的数与十位上的数得到的新数为d'，则d+d'=（10x+y）+（10y+x）=11x+11y=11（x+y）=66，∵x，y都是自然数，且1≤x≤y≤9，∴满足条件的“吉祥数”有15、24、33∴M（15）=35，M（24）=46=23，M（33）=311，∵23＞35＞311，∴所有“吉祥数”中M（d）的最大值为23．【点睛】本题考查了分解因式的应用，根据示例进行分解因式是解题的关键．5、（1）（1+2+3+4+5）2＝13+23+33+43+53；（2）（1+2+3+4+5+…+n）2＝13+23+33+43+53+…+n3；（3）265【分析】（1）根据前几个等式的变化规律解答即可；（2）根据前几个等式的变化规律写出第n个等式即可；（3）根据变化规律和平方差公式进行计算即可．（1）解：根据题意，第5个等式为（1+2+3+4+5）2＝13+23+33+43+53，故答案为：（1+2+3+4+5）2＝13+23+33+43+53；（2）解：根据题意，第n个等式为（1+2+3+4+5+…+n）2＝13+23+33+43+53+…+n3，故答案为：（1+2+3+4+5+…+n）2＝13+23+33+43+53+…+n3；（3）解：由（2）中（1+2+3+4+5+…+n）2＝13+23+33+43+53+…+n3知，（1+2+3+4+5+…+20）2＝13+23+33+43+53+…+203①，（1+2+3+4+5+…+10）2＝13+23+33+43+53+…+103②，①－②得：（1+2+3+4+5+...+20+1+2+3+4+5+...+10）×（11+12+13+...+20）=113+123+133+ (203)∴3333 11121320 11121320++++++++=（1+2+3+4+5+...+20+1+2+3+4+5+ (10)=265．【点睛】本题考查数字类规律探究、平方差公式、与实数运算相关的规律题，理解题意，正确得出等式的变化规律并能灵活运用是解答的关键．。

沪科版七年级下册数学精品教学课件第8章整式乘法与因式分解第2课时平方差公式

(2) 原式＝ x2－(2y)2 ＝ x2－4y2.
(3) 原式＝ (－m)2－n2 ＝ m2－n2.
注意：1. 先把要计算的式子与公式对照； 2. 哪个是 a? 哪个是 b?
练一练利用平方差公式计算： (1) (－7m＋8n)(－8n－7m)； (2) (x－2)(x＋2)(x2＋4)．
解：(1) 原式＝(－7m)2－(8n)2 ＝49m2－64n2.
合作探究
平方差公式
算一算：看谁算得又快又准. ① (x + 1)( x - 1)；
② (m + 2)( m - 2)；
③ (2m + 1)(2m - 1)；
④ (Hale Waihona Puke y + z)(5y - z).
① (x + 1)( x - 1) = x2 - 1 = x2 - 12
用自己的语
② (m + 2)( m - 2) = m2 - 4 = m2 - 22
= 14396.
注意：不能直接应用公式的，要适当变形才可以应用.
例3 计算： (1) a2(a + b)(a－b) + a2b2； (2) (2x－5)(2x + 5) －2x(2x－3).
解：(1) 原式 = a2(a2－b2) + a2b2 = a4－a2b2 + a2b2 = a4 .
(2) 原式 = (2x)2－25－(4x2－6x) = 4x2－25－4x2 + 6x = 6x－25.
= (－2)2－(3a)2
= 4－9a2.
3. 已知 a = 7202，b = 721×719，则 ( B )
A. a = b
B. a＞b

沪科版七年级下册数学精品教学课件-第8章-整式乘法与因式分解-公式法(2024版)

步骤
一提：公因式；
二套：公式；
三查：多项式的因式分解有没有分解到不能再分解为止.
1. 下列多项式中能用平方差公式分解因式的是（ D ）
A．a2 ＋ ( - b)2
B．5m2 - 20mn
C．- x2 - y2
D． - x2 ＋ 9
2. 分解因式 ( 2x + 3 )2 - x2 的结果是（ D ）
A．3(x2 + 4x + 3)
B．3(x2 + 2x + 3)
C．(3x + 3)(x + 3)
x＋y ＝ 1①，
所以 x - y ＝ -2②.
联立①②组成二元一次方程组，
解得
x y
3 2
1 2
.
，
方法总结：在与 x2－y2，x±y 有关的求代数式或未知数的值的问题中，通常需先因式分解，然后整体代入或联立方程组求值.
例3 计算下列各题： (1) 1012 - 992； (2) 53.52×4 46解.52：×(41.) 原式＝(101＋99)(101－99)＝400.
因式吗？是 a，b 两数的平方差的形式
平方差公式：整式乘法
( a + b )( a - b ) = a2 - b2 a2 - b2 = ( a + b )( a - b )
因式分解
两个数的平方差，等于这两个数的和与这两个数的差的乘积.
辨一辨：下列多项式能否用平方差公式来分解因式，
为什么？（1）x2 + y2 （2）x2 - y2
解析：∵ 16 = (±4)2，∴ - m = 2×(±4)，即 m = ±8.
方法总结：本题要熟练掌握完全平方公式的结构特征，根据参数所在位置，结合公式，找出参数与已知项之间的数量关系，从而求出参数的值. 计算过程中，要注意积的 2 倍的符号，避免漏解.

8.整式乘法-----单项式与单项式相乘课件数学沪科版七年级下册

=29×0.25×(-217)×(a²·a²)·(b²·b²·b³)·(c·c6)
=- 1 a4b7c7.
24
例1 计算：
(2)5ab·(-2a)-(-b2)·1ab+10a2·(-2b).
2
5
解：(2)5ab·(-2a)-(-b2)·1ab+10a2·(-2b)
2
5
①注意系数前面的符号，不要漏掉“-”.
根据题意，可得3m=3,3n=6,解得m=1,n=2.
1.（202X贵港中考）下列计算正确的是( C )
A．a2＋a2＝a4
B．2a-a＝1
C．2a·(-3a)＝-6a2
D．(a2)3＝a5
2.（202X临沂中考）计算2a3·5a3的结果是( A )
A．10a6
B．10a9
C．7a3
D．7a6
3.计算：（1）2x2y·3xy；
5.已知a2m＝2，b3n＝3，求(b2n)3-a3m·b3n·a5m的值．
解：因为a2m＝2，b3n＝3，所以(b2n)3-a3m·b3n·a5m ＝(b3n)2-a8m·b3n ＝32-(a2m)4×3 ＝32-24×3 ＝-39.
单项式乘单项式的运算法则
单项式相乘，把系数、同底数幂分别相乘，作为积的因式；对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式.
1.上面的Leabharlann 算应用了哪些性质？(3×105)×(4×3×107)=4×3×3×105×107=36×1012
=3.6×1013(km).
乘法交换律
乘法结合律
科学记数法
2.如果把上面算式中的数字换成字母，例如bc5×abc7,该如何计算呢？

潢川县五中七年级数学下册第8章整式乘法与因式分解8.2整式乘法1单项式与单项式相乘第2课时单项式除

（三）典例精析 , 掌握新知
例1计算 :
(1)32x5y3÷8x3y ; 〔2〕-7a8b4c2÷49a7b4.
例2〞卡西尼〞号土星深测器历经7年多 , 行程约3.5×109km后进入环绕土星运行的轨道.
〔1〕它的这一行程相当于地球赤道多少圈？〔已知地球半径约6.4×103km,π取3.14〕
(2)这一行程如果由速度是100km/h的汽车来完成 , 需要行驶多少年？〔1年按365天计算〕
（二）思考探究 , 获取新知
单项式的除法法那么思考怎样计算15a4b3x2÷3a2b3?探究 : 我们知道 , 计算15a4b3x2÷3a2b3, 就是要求一个单项式 , 使它与3a2b3相乘的积等于15a4b3x2.因为(5a2x2)·(3a2b3)=15a4b3x2
2.所以15a4b3x2÷3a2b3=5a2x2.
[教学重点]
理解并准确运用单项式除以单项式的计算法那么.
[教学难点]
熟练地运用单项式除以单项式的计算法那么进行计算.
（一）情境导入 , 初步认识
问题一个长方形的面积为15a4b3x2平方米.它的宽为3a2b3米, 长为多少米呢？
[教学说明]
教师提出问题 , 学生很容易列出算式 , 初步感受单项式除以单项式 , 激发学生探求新知识的欲望.
分析所得式子 , 能得到什么规律？
[教学说明]
教师提出问题 , 学生观察、分析、思考 , 很容易从除法与乘法的互逆关系中找到答案.然后相互交流各自的心得 , 最后共同归纳单项式的除法法那么.
[归纳结论]
单项式相除 , 把系数、同底数幂分别相除 , 作为商的因式 ; 対于只在被除式里含有的字母 , 那么连同它的指数作为商的一个因式.
〔3〕这一行程如果由速度是10m/s的短跑飞人来完成 , 需要跑多少年？

沪科版七年级下册知识点

2. 用计算器求立方根用计算器求一个数a的立方根，其按键顺序为
2ndF
a=
三、实数 1.实数的分类
按定义分：有理数：有限小数或无限循环小数
实数
无理数：无限不循环小数
整数
分数开方开不尽的数
含有π 的数
有规律但不循环的数
按大小分类：
实数
负实数
0
正实数
负有理数负无理数正有理数正无理数
2. 算术平方根的概念及性质 a (1)定义：a的正平方根叫作a的算术平方根.
(2)性质：0的算术平方根是0，只有非负数才有算术平方根，而且算术平方根也是非负数.
二、立方根
1. 立方根的概念及性质 3 a (1)定义：如果b3=a，那么b叫作a的立方根. (2)性质：每一个实数都有一个与它本身符号相同的立方根.
分式的分子与分母都乘同一个非零整式，所
得分式与原分式相等.
a
即对于分式 b ，有
a b
a ·m a ·m
am am
( m 0 ).
4.分式的约分：约分的定义根据分式的基本性质，把一个分式的分子与分母的公因式约去，叫做分式的约分．
最简分式的定义分子与分母没有公因式的式子，叫做最简分式注意：分式的约分，一般要约去分子和分母所有的公因式，使所得的结果成为最简分式或整式.
平面位置关系两条直线相交对顶角相等垂线点到直线的距离两条直线被第三条直线所截两直线平行两直线平行的判定两直线平行的性质课堂小结同位角内错角同旁内角将贮存的编码信息转化为成适当的行为
第六章实数知识点
6.1 平方根、立方根 6.2 实数
要点梳理
一、平方根 1. 平方根的概念及性质 a (1)定义：若r2=a，则r叫作a的一个平方根. (2)性质：正数a有两个平方根，它们互为相反数； 0的平方根是0，负数没有平方根.

综合解析沪科版七年级数学下册第8章整式乘法与因式分解专项测试试题(含详解)

七年级数学下册第8章整式乘法与因式分解专项测试考试时间：90分钟；命题人：数学教研组考生注意：1、本卷分第I 卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分100分，考试时间90分钟2、答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级填写在试卷规定位置上3、答案必须写在试卷各个题目指定区域内相应的位置，如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用涂改液、胶带纸、修正带，不按以上要求作答的答案无效。

第I 卷（选择题 30分）一、单选题（10小题，每小题3分，共计30分）1、下列关系式中，正确的是（）A ．（a ﹣b ）2＝a 2﹣b 2B ．（a ＋b ）（﹣a ﹣b ）＝a 2﹣b 2C ．（a ＋b ）2＝a 2＋b 2D ．（﹣a ﹣b ）2＝a 2＋2ab ＋b 22、已知一个正方形的边长为1a +，则该正方形的面积为（）A ．221a a ++B ．221a a -+C ．21a +D ．21a +3、下列计算正确的是（）A ．x 2•x 4＝x 6B ．a 0＝1C ．（2a ）3＝6a 3D ．m 6÷m 2＝m 3 4、下列计算正确的是（）A ．236a a a ⋅=B ．824a a a ÷=C ．()326a a =D ．224a a a +=5、下列计算中，正确的是（）A ．3515a a a ⋅=B ．22a b ab +=C ．()2362a b a b =D ．()2224a a =++6、下列各式中，从左到右的变形是因式分解的是（）A ．()2111x x x x -+=-+B ．()2x y x xy x +=+ C ．()()22x y x y x y +-=- D ．()2222x xy y x y -+=- 7、下列运算正确的是（）．A ．a 2•a 3＝a 6B ．a 3÷a ＝a 3C ．(a 2)3＝a 5D ．(3a 2)2＝9a 48、PM 2.5是大气中直径小于0.0000025m 的颗粒物，将0.0000025用科学记数法表示为（）A ．50.2510-⨯B ．60.2510-⨯C ．62.510-⨯D ．52.510-⨯9、如果一个正整数能表示为两个连续偶数的平方差，那么称这个正整数为“智慧数”，下列正整数中是“智慧数”的是（）A ．2014B ．2018C ．2020D ．2022 10、已知()()22202120207a a -+-=，则代数式()()20212020a a --的值是（）A ．2B ．1C ．3-D ．3第Ⅱ卷（非选择题 70分）二、填空题（5小题，每小题4分，共计20分）1、将()232a a b -写成不含分母的形式，其结果为_______．2、计算下列各题：（1）3x x ⋅=______；（2）()3ab =______；（3）()42m =______；（4）63x x +=______． 3、（1）（﹣2020）0＝_____；（2）（x 3y ）2＝_____；（3）3a 2•2a 4＝_____．4、)012--=________． 5、乘积(5)(2)x x +-的计算结果是_______．三、解答题（5小题，每小题10分，共计50分）1、（1）计算：()221- （2）分解因式：4abx aby ab -+．2、观察下列因式分解的过程：①2298(8)(8)(8)(8)(1)(8)x x x x x x x x x x ++=+++=+++=++②223444(4)(4)(4)(1)x x x x x x x x x x --=-+-=-+-=-+③2256236(2)3(2)(2)(3)x x x x x x x x x x -+=--+=---=--……根据上述因式分解的方法，尝试将下列各式进行因式分解：（1）223x x --；（2）287t t -+．3、先化简，再求值：2222)()(x x y xy x x y y --+-+，其中4x =，12y =-．4、计算（1）（3x ﹣2）（2x +y +1）．（2）62a （13ab ﹣2b ）﹣22a b （a ﹣b ）．5、（1）请写出三个代数式（a +b ）2、（a ﹣b ）2和ab 之间数量关系式．（2）应用上一题的关系式，计算：xy ＝﹣3，x ﹣y ＝4，试求x +y 的值．（3）如图，线段AB＝10，C点是AB上的一点，分别以AC、BC为边长在AB的异侧做正方形ACDE和正方形CBGF，连接AF；若两个正方形的面积S1+S2＝32，求阴影部分△ACF面积．-参考答案-一、单选题1、D【分析】根据完全平方公式判断即可．【详解】解：A选项，原式＝a2﹣2ab+b2，故该选项计算错误；B选项，原式＝﹣（a+b）2＝﹣a2﹣2ab﹣b2，故该选项计算错误；C选项，原式＝a2+2ab+b2，故该选项计算错误；D选项，原式＝[﹣（a+b）]2＝（a+b）2＝a2+2ab+b2，故该选项计算正确；故选：D．【点睛】本题考查了完全平方公式，掌握（a±b）2=a2±2ab+b2是解题的关键．2、A【分析】先根据正方形的面积公式列式，然后再根据完全平方公式计算即可．【详解】解：该正方形的面积为（a+1）2=a2+2a+1．故选：A．【点睛】本题主要考查列代数式、完全平方公式等知识点，灵活运用完全平方公式成为解答本题的关键．3、A【分析】根据零指数幂运算，同底数幂的乘法运算，积的乘方运算，同底数幂的除法运算法则求解即可．【详解】解：A、x2•x4＝x6，故选项正确，符合题意；a 时，0a无意义，故选项错误，不符合题意；B、当0C、（2a）3＝8a3，故选项错误，不符合题意；D、m6÷m2＝m4，故选项错误，不符合题意．故选：A．【点睛】此题考查了零指数幂运算，同底数幂的乘法运算，积的乘方运算，同底数幂的除法运算法则，解题的关键是熟练掌握零指数幂运算，同底数幂的乘法运算，积的乘方运算，同底数幂的除法运算法则．4、C【分析】利用同底数幂的乘法的法则，同底数幂的除法的法则，幂的乘方的法则，合并同类项法则对各项进行运算即可．【详解】解：A 、235a a a ⋅=，故A 不符合题意；B 、826a a a ÷=，故B 不符合题意；C 、()326a a =，故C 符合题意； D 、2222a a a +=，故D 不符合题意；故选：C ．【点睛】本题主要考幂的乘方，同底数幂的乘法，同底数幂的除法，合并同类项法则，掌握相应的运算法则是解题的关键．5、C【分析】根据同底数幂的乘法、合并同类项、积的乘方、幂的乘方运算法则以及完全平方公式对各项进行计算即可解答．【详解】解：A . 3583+5=a a a a ⋅=，故原选项计算错误，不符合题意；B . 2a 与b 不能合并，故原选项计算错误，不符合题意；C . ()2362a b a b =，计算正确，符合题意； D . ()22244a a a +=++，故原选项计算错误，不符合题意．故选：C ．【点睛】本题主要考查了同底数幂的乘法、合并同类项、幂的乘方运算法则以及完全平方公式等知识点，灵活运用相关运算法则是解答本题的关键．6、D【分析】根据因式分解是把一个多项式化为几个整式的积的形式逐项判断即可．【详解】解： A选项的右边不是积的形式，不是因式分解，故不符合题意；B选项的右边不是积的形式，不是因式分解，故不符合题意；C选项的右边不是积的形式，不是因式分解，故不符合题意；D选项的右边是积的形式，是因式分解，故符合题意，故选：D．【点睛】本题考查因式分解，熟知因式分解是把一个多项式化为几个整式的积的形式是解答的关键．7、D【分析】分别根据同底数幂的乘法法则、同底数幂的除法法则、幂的乘方法则以及积的乘方法则逐一判断即可．【详解】解：A、a2•a3= a5≠a6，故本选项不合题意；B、a3÷a= a2≠a3，故本选项不合题意；C、(a2)3= a6≠a5，故本选项不合题意；D、(3a2)2=9a4，故本选项符合题意；故选：D．【点睛】本题考查了同底数幂的乘法，同底数幂的除法，幂的乘方，掌握运算法则正确计算是本题的解题关键．8、C【分析】科学记数法的形式是：10n a ⨯ ，其中1a ≤＜10，n 为整数．所以 2.5a =，n 取决于原数小数点的移动位数与移动方向，n 是小数点的移动位数，往左移动，n 为正整数，往右移动，n 为负整数．本题小数点往右移动到2的后面，所以 6.n =-【详解】解：0.000002562.510-=⨯故选C【点睛】本题考查的知识点是用科学记数法表示绝对值较小的数，关键是在理解科学记数法的基础上确定好,a n 的值，同时掌握小数点移动对一个数的影响．9、C【分析】设两个连续偶数为2k 和2k +2（k 为正整数），表示出这两个数的平方差，然后逐项验证即可【详解】设两个连续偶数为2k 和2k +2（k 为整数），(2k +2)2-(2k )2=4k 2+8k +4-4k 2=8k +4，A.若8k +4=2014，则k =10054，故不符合题意； B. 若8k +4=2018，则k =10074，故不符合题意； C. 若8k +4=2020，则k =252，符合题意；D. 若8k +4=2022，则k =10094，故不符合题意；故选C ．【点睛】本题考查了新定义，整式的混合运算，以及一元一次方程的应用，解题的关键是表示出这两个数的平方差．10、C【分析】根据完全平方公式()()()()()()2222021202020212202120202020a a a a a a -+-=-+--+-⎡⎤⎣⎦可以得到()()()()()()2222202120202021202020212020a a a a a a --=-+-----⎡⎤⎣⎦，由此求解即可．【详解】解：∵()()()()()()2222021202020212202120202020a a a a a a -+-=-+--+-⎡⎤⎣⎦，∴()()()()()()2222202120202021202020212020a a a a a a --=-+-----⎡⎤⎣⎦∵()()22202120207a a -+-=， ∴()()[]2220212020202120207a a a a --=-+--，∴()()172021202032a a ---==-，故选C ．【点睛】本题主要考查了完全平方公式的变形求值，熟知完全平方公式是解题的关键．二、填空题1、()232a a b --【分析】直接利用负整数指数幂的性质化简得出答案．【详解】解：将分式()232a a b -表示成不含分母的形式：()232a a b --．故答案为：()232a a b --．【点睛】此题主要考查了负整数指数幂的性质，正确掌握1(0,,p p a a a p a -=≠均为正整数）是解题关键． 2、4x 33a b 8m ()331x x +【分析】（1）根据同底数幂相乘运算法则计算即可；（2）根据积的乘方的运算法则计算即可；（3）根据幂的乘方的运算法则计算即可；（3）根据提取公因式法因式分解即可．【详解】解：（1）34x x x ⋅=；（2）()333ab a b =；（3）()428m m =；（4）()63331x x x x +=+．故答案是：（1）4x ；（2）33a b ；（3）8m ；（4）()331x x +．【点睛】本题主要考查了同底数幂相乘、幂的乘方、积的乘方以及运用提取公因式法分解因式等知识点，灵活运用相关运算法则成为解答本题的关键．3、1 x6y2 6a6【分析】（1）根据非零数的零次幂等于1求解；（2）根据积的乘方法则计算；（3）根据单项式与单项式的乘法法则计算；【详解】解：（1）(﹣2020)0＝1；（2）(x3y)2＝x6y2；（3）3a2•2a4＝6a6．故答案为：（1）1；（2）x6y2；（3）6a6．【点睛】本题考查了零次幂的意义、积的乘方计算、以及单项式与单项式的乘法计算，单项式与单项式的乘法法则是，把它们的系数相乘，字母部分的同底数的幂分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，连同它的指数作为积的一个因式．4、1-【分析】利用零指数幂，绝对值的性质，即可求解．【详解】解：)012121--=-=-．故答案为：1-【点睛】本题主要考查了零指数幂，绝对值的性质，熟练掌握零指数幂，绝对值的性质是解题的关键． 5、2310x x +-【分析】根据多项式乘以多项式的运算法则即可得．【详解】解：22(5)(2)2510310x x x x x x x +-=-+-=+-，故答案为：2310x x +-．【点睛】本题考查了多项式乘以多项式，熟练掌握运算法则是解题关键．三、解答题1、（1（2）(4)ab x y -+【分析】（1）先计算乘方运算，求解算术平方根，化简绝对值，再合并即可；（2）提取公因式ab 即可.【详解】解：（1）解：原式431=-=（2）解：原式(4)ab x y =-+【点睛】本题考查的是立方根的含义，绝对值的化简，实数的运算，提公因式法分解因式，掌握“实数的运算及提公因式分解因式”是解本题的关键.2、（1）(1)(3)x x +-；（2）()()71t t --【分析】（1）根据题中的方法，适当加减适合的数，再提取公因式，将各式分解即可；（2）根据题中的方法分解因式即可．【详解】解：（1）()()()()()()2223333331x x x x x x x x x x --=-+-=-+-=-+；（2）()()()()()()2228777777771t t t t t t t t t t t t t -+=--+=---=---=--．【点睛】本题考查了因式分解，解题的关键是熟练掌握提取公因式进行因式分解．3、2xy -，-1【分析】先计算乘法，再合并，最后把4x =，12y =-代入，即可求解．【详解】解：2222)()(x x y xy x x y y --+-+ 222222222x xy xy x xy xy =-+-+-2xy =-当4x =，12y =-时，2214()2xy --⨯-= 1=-．【点睛】本题主要考查了整式的化简求值，熟练掌握整式四则混合运算法则是解题的关键．4、（1）62x+3xy﹣x﹣2y﹣2（2）﹣42a2b【分析】（1）根据多项式乘以多项式的运算法则计算即可；（2）根据单项式乘以多项式的运算法则计算即可．（1）解：（1）（3x﹣2）（2x+y+1）＝62x+3xy+3x﹣4x﹣2y﹣2＝62x+3xy﹣x﹣2y﹣2．（2）解：原式＝62a×13ab﹣62a×2b﹣22a b×a+22a b×b＝23a b﹣62a2b﹣23a b+22a2b＝﹣42a2b．【点睛】本题考查了了整式的乘法，熟练掌握乘法运算的法则是解题的关键．5、（1）（a+b）2﹣（a﹣b）2＝4ab；（2）x+y的值＝±2；（3）阴影部分△ACF面积为17．【分析】（1）根据完全平方公式的变形即可求得；（2）根据（1）的关系式，代入数据求值即可；（3）设AC＝x，BC＝y，根据图形可得x2+y2＝32，x+y＝10，根据（1）的关系式即可求得xy的值，进而求得△ACF面积【详解】（1）∵由完全平方公式（a+b）2＝a2+2ab+b2，（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2，可得（a+b）2﹣（a﹣b）2＝（a2+2ab+b2）﹣（a2﹣2ab+b2，）＝4ab，即（a+b）2﹣（a﹣b）2＝4ab，故答案为：（a+b）2﹣（a﹣b）2＝4ab；（2）由（1）题结果可得，（x+y）2＝（x﹣y）2+4xy＝16﹣12＝4∴x+y∴x+y的值＝±2；（3）设AC＝x，BC＝y则x2+y2＝32，x+y＝10，∵2xy＝（x+y）2﹣（x2+y2）＝102﹣32＝100﹣32＝68，∴xy＝682＝34，∴111722ACFS AC CF xy∆=⨯==，∴阴影部分△ACF面积为17．【点睛】本题考查了完全平方公式的变形以及完全平方公式与图形面积之间的关系，掌握完全平方公式是解题的关键．。

2022年沪科版七年级数学下册第8章整式乘法与因式分解章节测试试题(含详解)

七年级数学下册第8章整式乘法与因式分解章节测试考试时间：90分钟；命题人：数学教研组考生注意：1、本卷分第I 卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分100分，考试时间90分钟2、答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级填写在试卷规定位置上3、答案必须写在试卷各个题目指定区域内相应的位置，如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用涂改液、胶带纸、修正带，不按以上要求作答的答案无效。

第I 卷（选择题 30分）一、单选题（10小题，每小题3分，共计30分）1、肥皂属于碱性，碱性会破坏细菌的内部结构，对去除细菌有很强的效果，用肥皂洗手对预防传染疾病起到很重要的作用．肥皂泡的泡壁厚度大约是0.0000007m ，将数字0.0000007用科学记数法表示应为（）A ．6710-⨯B ．60.710-⨯C ．7710-⨯D ．70.710-⨯2、下列计算正确的是（）A ．2323a a a +=B ．623a a a ÷=C ．33(2)6a a =D ．()1432a a = 3、下列运算正确的是（）A ．933a a a ÷=B ．3332a a a ⋅=C ．459236a a a ⋅=D ．()437a a -= 4、 “杨辉三角”（如图），也叫“贾宪三角”，是中国古代数学无比睿智的成就之一，被后世广泛运用．用“杨辉三角”可以解释()n a b +（n ＝1，2，3，4，5，6）的展开式的系数规律．例如，在“杨辉三角”中第3行的3个数1，2，1，恰好对应着2()a b +展开式222a ab b ++中各项的系数；第4行的4个数1，3，3，1，恰好对应着3()a b +展开式322333a a b ab b +++中各项的系数，等等．当n 是大于6的自然数时，上述规律仍然成立，那么91()a a-展开式中7a 的系数是（）A ．9B ．9-C ．36D ．36-5、据《央视网》 2021年10月26日报道，我国成功研制出超导量子计算原型机“祖冲之二号”．截至报道时，根据已公开的最优经典算法，在处理“量子随机线路取样”问题时，全球其他最快的超级计算机用时2.3秒的计算量，“祖冲之二号”用时大约为0.000 000 23秒，将数字0.000 000 23用科学记数法表示应为（）A ．62.310-⨯B ．72.310-⨯C ．60.2310-⨯D ．82310-⨯6、长郡中学官方微信曾连续两次入选获评“长沙十大最具影响力政务微信”，全年发布的图文消息总阅读量超220万，220万这个数用科学记数法表示应为（）A ．22.210⨯B ．62.210⨯C ．52210⨯D ．62.210-⨯7、下列各式从左到右的变形中，属于因式分解的是（）A ．34341234m n m n =⋅B ．2221(1)x x x -+=-C ．()a m n am an +=+D ．2289(3)2x x x x ++=++8、如果一个正整数能表示为两个连续偶数的平方差，那么称这个正整数为“智慧数”，下列正整数中是“智慧数”的是（）A ．2014B ．2018C ．2020D ．20229、如图，由4个全等的小长方形与一个小正方形密铺成一个大的正方形图案，该图案的面积为100，里面的小正方形的面积为16，若小长方形的长为a ，宽为b ，则下列关系式中：①222100a ab b ++=；②22216a ab b -+=；③2256a b +=；④2240a b -=，正确的有（）个A ．1B ．2C ．3D ．410、下列计算中，结果正确的是（）A ．3515x x ⋅=B ．248x x x ⋅=C ．()236x x =D ．623x x x ÷=第Ⅱ卷（非选择题 70分）二、填空题（5小题，每小题4分，共计20分）1、已知14x x -=，则221x x+=______． 2、若()0211x -=，则x ≠______．3、若3x －5y －1=0，则351010x y ÷=________．4、本学期我们学习了“有理数的乘方”运算，知道乘方的结果叫做“幂”，下面介绍一种有关“幂”的新运算．定义：a m 与a n （a ≠0，m ，n 都是正整数）叫做同底数幂，同底数幂除法记作a m ÷a n ．其中“同底数幂除法”运算法则中规定当m ＝n 时，a m ÷a n ＝a m ﹣n ＝a 0＝1，根据“同底数幂除法”法则中的规定和你已经学过的知识，如果等式x 2x +4÷x x +7＝1成立，则请写出满足等式成立的所有的x 的值 ______．5、一次研究中发现某个新冠肺炎病毒的尺寸大约0.00000003m ，则0.00000003用科学记数法可写为_____．三、解答题（5小题，每小题10分，共计50分）1、计算：（1）2(5)(3)(3)x x x +-+-（2）()22()(3)262x y x y x y xy x +-++÷2、阅读题在现今“互联网+”的时代，密码与我们的生活已经密切相连，密不可分，而诸如“123456”、生日等简单密码又容易被破解，因此利用简单方法产生一组容易记忆的密码就很有必要了．有一种用“因式分解”法产生的密码，方便记忆，其原理是：将一个多项式分解因式，如多项式x 3﹣x 2因式分解的结果为x 2（x ﹣1），当x ＝5时，x 2＝25，x ﹣1＝04，此时可以得到数字密码2504或0425；如多项式x 3+2x 2﹣x ﹣2因式分解的结果为（x ﹣1）（x +1）（x +2），当x ＝10时，x ﹣1＝09，x +1＝11，x +2＝12，此时可以得到数字密码091112．（1）根据上述方法，当x ＝12，y ＝5时，求多项式x 3﹣xy 2分解因式后可以形成哪些数字密码；（写出三个）（2）若一个直角三角形的周长12，斜边长为5，其中两条直角边分别为x ，y ，求出一个由多项式x 3y +xy 3分解因式后得到密码；（只需一个即可）（3）若多项式x 2+（m ﹣3n ）x ﹣6n 因式分解后，利用本题的方法，当x ＝25时可以得到一个密码2821，求m 、n 的值．3、先化简，再求值：()()()235⎡⎤-++-÷⎣⎦x y x y x y x ，其中1x =，5y =． 4、分解因式：（1）22363a ab b -+；（2）()()2222x m y m -+-．5、从边长为a 的正方形中减掉一个边长为b 的正方形（如图1），然后将剩余部分拼成一个长方形（如图2）．（1）上述操作能验证的等式是；（2）运用你从（1）写出的等式，完成下列各题：①已知：a ﹣b ＝3，a 2﹣b 2＝21，求a +b 的值； ②计算：2222211111(1)(1)(1)(1)(1)23420202021-⨯-⨯-⨯⨯-⨯-．-参考答案-一、单选题1、C【分析】绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a ×10−n ，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．据此即可得到答案.【详解】解：0.0000007=7×10−7.故选C .【点睛】本题考查了用科学记数法表示较小的数，一般形式为a ×10−n ，其中1⩽|a|<10，n 为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．2、D【分析】根据合并同类项，同底数幂的除法，积的乘方，幂的乘方依次计算判断即可得．【详解】解：A 、22a a +，不是同类项，不能化简，选项错误；B 、624a a a ÷=，选项错误；C 、()3328a a =，选项错误； D 、()4312a a =，选项正确；故选：D ．【点睛】本题主要考查合并同类项，同底数幂的除法，积的乘方，幂的乘方，熟练掌握各运算法则是解题的关键．3、C【分析】由同底数幂的除法运算可判断A ，由同底数幂的乘法运算可判断B ，由单项式乘以单项式可判断C ，由幂的乘方运算可判断D ，从而可得答案.【详解】解：936,a a a ÷=故A 不符合题意； 336,a a a ⋅=故B 不符合题意；459236,a a a ⋅=故C 符合题意；()1243,a a -=故D 不符合题意；故选C【点睛】本题考查的是同底数幂的除法运算，同底数幂的乘法运算，幂的乘方运算，单项式乘以单项式，掌握幂的运算法则是解本题的关键.4、B【分析】结合“杨辉三角”得出91a a ⎛⎫- ⎪⎝⎭的各项系数，然后考虑符号计算即可．【详解】解：结合“杨辉三角”可得91a a ⎛⎫- ⎪⎝⎭的各项系数（不考虑符号）为： 1，9，36，84，126，126，84，36，9，1，7a 由81·a a ⎛⎫- ⎪⎝⎭可得，符号为负号，系数为倒数第二个系数9， ∴7a 的系数为9-，故选：B ．【点睛】题目主要考查整式的乘法运算规律，理解题意中的“杨辉三角”是解题关键．5、B【分析】绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a ×10﹣n ，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．【详解】解：0.000 000 23米，用科学记数法表示为2.3×10﹣7米．故选：B ．【点睛】本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为a ×10﹣n ，其中1≤|a |＜10，n 为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．6、B【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．【详解】220万用科学记数法表示为2.2×106，故选：B．【点睛】此题考查了科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n 为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．7、B【分析】根据因式分解的定义逐个判断即可．【详解】解：A、是单项式的乘法，不是因式分解，故本选项不符合题意；B、是因式分解，利用了完全平方差公式进行了因式分解，故本选项符合题意；C、是整式的乘法，不是因式分解，故本选项不符合题意；D、因式分解错误，故本选项不符合题意；故选：B．【点睛】本题考查了因式分解的定义，解题的关键是能熟记因式分解的定义的内容是解此题的关键，注意：把一个多项式化成几个整式的积的形式，叫因式分解．8、C【分析】设两个连续偶数为2k和2k+2（k为正整数），表示出这两个数的平方差，然后逐项验证即可【详解】设两个连续偶数为2k和2k+2（k为整数），(2k+2)2-(2k)2=4k2+8k+4-4k2=8k+4，A.若8k+4=2014，则k=10054，故不符合题意；B. 若8k+4=2018，则k=10074，故不符合题意；C. 若8k+4=2020，则k=252，符合题意；D. 若8k+4=2022，则k=10094，故不符合题意；故选C．【点睛】本题考查了新定义，整式的混合运算，以及一元一次方程的应用，解题的关键是表示出这两个数的平方差．9、C【分析】能够根据大正方形和小正方形的面积分别求得正方形的边长，再根据其边长分别列方程，根据4个矩形的面积和等于两个正方形的面积差列方程．【详解】①大正方形的边长为a+b，面积为100()2100a b+=222100a ab b++=故①正确②小正方形的边长为a-b，面积为16()216a b -=22216a ab b -+=故②正确③()()2241001684ab a b a b =+--=-=21ab ∴=()222210022158a b a b ab ∴+=+-=-⨯= 故③错④()()2210016a b a b +-=⨯()()40a b a b ∴+-=2240a b ∴-=故④正确故选C【点睛】此题考察了平方差公式、完全平方公式及数形结合的应用，关键是能够结合图形和图形的面积公式正确分析，对每一项进行分析计算，进而得出结果．10、C【分析】根据整式乘法的法则及幂的乘方法则、同底数幂除法法则依次判断．【详解】解：A 、3515x x ⋅=x 2，故该项不符合题意，B 、246x x x ⋅=，故该项不符合题意，C 、()236x x =，故该项符合题意， D 、624x x x ÷=，故该项不符合题意，故选：C ．【点睛】此题考查了整式的计算法则，正确掌握整式乘法的法则及幂的乘方法则、同底数幂除法法则是解题的关键．二、填空题1、18【分析】由2116x x ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，整理得2211162x x x x +=+⋅，即可求出．【详解】解：14x x -=， 2116x x ⎛⎫∴-= ⎪⎝⎭， 2211216x x x x∴+-⋅=， 22116218x x ∴+=+=，故答案是：18．【点睛】本题考查了完全平方公式，求代数式的值，解题的关键是掌握完全平方公式．2、12##【分析】直接利用零指数幂的底数不为0可得出答案．【详解】解：∵（2x ﹣1）0＝1，∴2x ﹣1≠0，解得：x ≠12．故答案为：12．【点睛】此题主要考查了零指数幂，正确掌握零指数幂的底数不为0是解题关键．3、10【分析】原式利用同底数幂的除法法则变形，将已知等式代入计算即可求出值．【详解】解：3510x y --=，即351x y -=，∴原式=351101010x y -==．故答案为：10【点睛】此题考查了同底数幂的除法，熟练掌握运算法则是解本题的关键．4、1或-1或3【分析】根据已知分三种情况，底数是1或-1，及（2x ＋4）−（x ＋7）＝0，再求出x 即可．【详解】有三种情况：①当x＝1时，x2x+4÷x x+7＝16÷18＝1，②当x＝-1时，x2x+4÷x x+7＝（-1）2÷（-1）6＝12÷16＝1，③（2x+4）﹣（x+7）＝0，解得：x＝3，所以x＝1或-1或3，故答案为：1或-1或3．【点睛】本题主要考查有理数的混合运算，同底数幂除法，解题的关键是掌握同底数幂的除法法则、分类讨论思想运用等知识点．5、8⨯310-【分析】绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10﹣n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负整数指数幂，指数n由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．【详解】解：0.00000003＝8⨯310-故答案为：8310-⨯【点睛】本题考察了绝对值小于1的数利用科学记数法表示，需要注意负整数指数幂是本题的易错点．三、解答题1、x+；（1）1034-（2）2x xy【分析】（1）利用完全平方公式和平方差公式进行整式运算即可；（2）根据多项式乘以多项式运算法则、多项式除以单项式运算法则进行整式运算即可（1）解：2(5)(3)(3)x x x +-+-221025(9)x x x =++--2210259x x x =++-+1034x =+；（2）解：()22()(3)262x y x y x y xy x +-++÷222333x xy xy y xy y =-+-++2x xy =-．【点睛】本题考查整式的混合运算、完全平方公式、平方差公式，熟记公式，掌握运算法则是解答的关键． 2、（1）120717；121707，171207．（2）1225（3）m =5，n =2【分析】（1）首先把x 3-xy 2分解因式，然后求出当x =12，y =5时，x -y 、x +y 的值各是多少，写出可以形成的三个数字密码即可．（2）由题意得：22725x y x y +=⎧⎨+=⎩，求出xy 的值是多少，再根据x 3y +xy 3=xy （x 2+y 2），求出可得的数字密码为多少即可．（3）首先根据密码为2821，可得：当x =25时，x 2+（m ﹣3n ）x ﹣6n =（x +3）（x -4），据此求出m 、n 的值各是多少即可．（1）x 3-xy 2=x （x -y ）（x +y ），当x =12，y =5时，x -y =07，x +y =17，可得数字密码是120717；也可以是121707，171207．（2）由题意得：22725x y x y +=⎧⎨+=⎩，解得xy =12，而x 3y +xy 3=xy （x 2+y 2），∴可得数字密码为1225．（3）∵密码为2821，∴当x =25时，∴x 2+（m ﹣3n ）x ﹣6n =（x +3）（x -4），即：x 2+（m -3n ）x -6n =x 2-x -12，∴31612m n n --⎧⎨--⎩＝＝，解得52m n =⎧⎨=⎩．【点睛】此题主要考查了因式分解的应用，以及用“因式分解”法产生的密码的方法，要熟练掌握．3、625x y -，-4 【分析】首先利用完全平方公式和平方差公式对括号内的式子进行化简，然后进行整式的除法计算即可化简，然后代入求值．【详解】解：()()()235⎡⎤-++-÷⎣⎦x y x y x y x ， ()2222965x xy y x y x =-++-÷，()21065x xy x =-÷，625x y =-，当1x =，5y =时，原式62152645=⨯-⨯=-=-．【点睛】本题主要考查了公式法化简求值，完全平方公式和平方差公式的利用，熟记公式并能灵活运用是解题的关键．4、（1）23()a b -；（2）()()()2m x y x y -+-【分析】（1）先提公因数3，再利用完全平方公式公式分解因式即可；（2）先提公因式（m －2），再利用平方差公式分解因式即可．【详解】解：（1）22363a ab b -+=223(2)a ab b -+=23()a b -；（2）()()2222x m y m -+-=()()222m x y --=()()()2m x y x y -+-．【点睛】本题考查因式分解、完全平方公式、平方差公式，熟记公式，熟练掌握因式分解的方法是解答的关键．5、（1）a 2-b 2=（a +b ）（a -b ）；（2）①7；②10112020．【分析】（1）分别表示出图1阴影部分的面积和图2阴影部分的面积，由二者相等可得等式；（2）①将已知条件代入（1）中所得的等式，计算即可；②利用平方差公式将原式的各个因式进行拆分，计算即可．【详解】解：（1）图1阴影部分的面积为a 2-b 2，图2阴影部分的面积为（a +b ）（a -b ），二者相等，从而能验证的等式为：a 2-b 2=（a +b ）（a -b ），故答案为：a 2-b 2=（a +b ）（a -b ）；（2）①∵a -b =3，a 2-b 2=21，a 2-b 2=（a +b ）（a -b ），∴21=（a +b ）×3，∴a +b =7； ②2222211111(1)(1)(1)(1)(1)23420202021-⨯-⨯-⨯⨯-⨯-=1111111111 (1)(1)(1)(1)(1)(1)(1)(1)(1)(1)2233442020202020212021 -+-+-+-+-+=1324352019202120202022 2233442020202020212021⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯=12022 22021⨯=1011 2020．【点睛】本题考查了平方差公式的几何背景及其在计算中的应用，熟练掌握平方差公式是解题的关键．。

数学下册第8章整式乘法与因式分解8.2整式乘法3多项式与多项式相乘教案(新版)沪科版

【知识与技能】1.理解多项式与多项式的乘法法则.2.能运用多项式与多项式的乘法法则进行计算.【过程与方法】从实际问题引出多项式乘以多项式，通过探索多项式乘以多项式的计算法则，进一步体会转化思想和数形结合思想.【情感态度】有意识地引导学生积极参与到数学活动过程中，培养学生观察、归纳的能力，通过合作交流，体验成功的喜悦.【教学重点】多项式与多项式相乘的计算法则.【教学难点】熟练地运用多项式与多项式相乘的计算法则进行计算.一、情境导入，初步认识问题一块长方形的菜地，长为a，宽为m，现将它的长增加b,宽增加n，求扩大后的菜地面积.【教学说明】教师提问题，让学生独立思考，尝试画出图形进行分析，进一步体会数形结合思想.二、思考探究，获取新知多项式与多项式的乘法法则探究：先按题意画图，结合图形考虑有几种计算方法？方法一：扩大后菜地的长是a+b，宽是m+n，所以它的面积是________.方法二：先算4块小长方形的面积，再求总面积，扩大后菜地的面积是________.【教学说明】学生尝试画出图形，然后根据图形列出算式，进一步体会数形结合思想.由方法一、二可得（a+b)(m+n)=am+bm+an+bn.上面的运算还可以把（a+b）看作一个整体运用分配律，再根据单项式与多项式的乘法法则，得(a+b)(m+n)=(a+b)m+(a+b)n=am+bm+an+bn.(a+b)(m+n)=am+bm+am+bn.【归纳结论】多项式与多项式的乘法法则：多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项与另一个多项式的每一项相乘，再把所得的积相加.三、典例精析，掌握新知例1计算：(1)(-2x-1)(3x-2);（2）(ax+b)(cx+d).【解】(1) (-2x-1)(3x-2)=(-2x)·3x+(-2x)·(-2)+(-1)·3x+(-1)×(-2)=-6x2+4x-3x+2=-6x2+x+2.（2）(ax+b)(cx+d)=ax·cx+ax·d+b·cx+bd=acx2+(ad+bc)x+bd.例2计算：（1）(a+b)(a2-ab+b2);（2）(y2+y+1)(y+2).【解】（1）(a+b)(a2-ab+b2)=a·a2-a·ab+a·b2+b·a2-b·ab+b·b2=a3+b3.（2）（y2+y+1)(y+2)=y3+2y2+y2+2y+y+2=y3+3y2+3y+2.例3在(ax+3y)与(x-y)的积中，不含有xy项，求a2+3a-1的值.【解】（ax+3y）(x-y)=ax2-axy+3xy-3y2=ax2+(3-a)xy-2y2由题意得：3-a=0∴a=3.∴a2+3a-1=32+3×3-1=17.【教学说明】教师给出例题，学生独立自主完成，教师可让几个学生上台在黑板上演算，然后给予点评.四、运用新知，深化理解1.下列各式计算正确的是（）A.(x+5)(x-5)=x2-10x+25B.(2x+3)(x-3)=2x2-9C.(3x+2)(3x-1)=9x2+3x-2D.(x-1)(x+7)=x2-6x-72.计算:(1)(2n+6)(n-3);(2)(3x-y)(3x+y);(3)(3a-2)(a-1)+(a+1)(a+2);(4)(3a+2)(3a-2)-9a(a-1);(5)(x-y)(x2+xy+y2);(6)(x+1)(x2-2x+3).3.先化简，再求值：(x-2y)(x+3y)-(2x-y)(x-4y)其中x=-1,y=2.2-5x-14=0,求(x-1)(2x-1)-(x-2)(x+4)的值.5.已知多项式(x2+ax+b)与(x2-2x-3)的乘积中不含x3与x2的项，求a,b的值.【教学说明】教师给出习题，学生独立完成.教师巡视，对学生解题过程中出现的问题及时予以指正，对解题有困难的学生给予点拨.【答案】2.（1）原式=2n2-6n+6n-18=2n2-18（2）原式=9x2+3xy-3xy-y2=9x2-y2(3)原式=3a2-3a-2a+2+a2+2a+a+2=4a2-2a+4(4)原式=9a2-6a+6a-4-9a2+9a=9a-4(5)原式=x3+x2y+xy2-x2y-xy2-y3=x3-y3(6)原式=x3-2x2+3x+x2-2x+3=x3-x2+x+3∴上式=14+9=23.五、师生互动，课堂小结通过这节课的学习，你掌握了哪些新知识？还有哪些疑问？请与同伴交流.【教学说明】学生相互交流，回顾多项式与多项式的乘法法则，加深对新知识的理解.完成练习册中本课时练习.从实际问题引出多项式与多项式的乘法，再探究多项式与多项式的乘法法则，然后运用新知识解决问题，激发学生的积极性.。

新沪科版七年级数学下册《8章整式乘法与因式分解 8.4 因式分解公式法》教案_9

运用公式法分解因式1．理解完全平方公式和平方差公式的特点,并能用语言表述这两个公式，培养学生的语言表达能力．2．能较熟练地运用完全平方公式和平方差公式分解因式．3．会用公式法分解因式求一些特殊代数式的值，体验分解因式在数学解题中的应用．4. 经历通过整式乘法和乘法公式逆向得出分解因式的方法的过程，进一步发展学生的逆向思维、整体换元思想和推理能力．三、教学重难点1.教学重点：运用公式法（完全平方公式和平方差公式）分解因式是本节课的教学重点．2.教学难点：灵活应用公式法分解因式是本节课的教学难点．四、学情分析及教学方法1. 学情分析：因式分解是数学学习的重要工具，它是约分和通分及后续学习的预备知识，根据知识内容和课程标准将本节教学内容安排四课时。

即第一课时是提公因式法，第二课时是运用公式法，第三课时是两种方法的综合应用，第四课时是分组分解法和十字相乘法。

本节课是因式分解的第二种方法，重点关注公式的基本特点和一般形式，使学生明确本节课的学习主线。

2.教学方法：探究与讲练相结合的方法．五、设计理念课件、投影片、导学案等．六、教学过程实录及点评活动1：创设情境，设疑激思.复习：1.什么叫因式分解？它和整式乘法有何关系？2.分解因式：6(x-y)3-3y(y-x)2；试问你用的是什么方法？你能用提公因式法分解下列多项式吗？（1）x2-6ax+9a2；（2）0.49x2-144y2.[师]本节课我和大家一道来解决这个提公因式法不能分解的问题.引例：在一个边长为（n+2)cm的正方形中，截去一个边长为ncn的正方形，请问剩下的面积是多少？问题1：解题中用到什么乘法公式？之前你学过了哪些乘法公式？问题2：根据等式性质的置换性，公式又能写成什么样的形式？此时从左往右叫什么运算？即：（1）a2+2ab+b2=（a+b)2；（2）a2-2ab+b2=(a-b）2；（3）a2-b2=(a+b)(a-b).[生]将整式乘法的平方差公式反过来写即是分解因式的平方差公式．同样道理，把整式乘法的完全平方公式反过来写即分解因式的完全平方公式．[师]能不能用语言叙述呢？[生]能．两个数的平方和，加上（或减去）这两数的积的2倍，等于这两个数的和（或差）的平方；两个数的平方差等于这两个数的和乘以这两个数的差. [师]今天我们就来研究用完全平方公式和平方差公式分解因式．活动2：理性思考，归纳公式.1. 填空：（1）4a 2=（）2；（2）49b 2=（）2；（3）0.16a 4=（）2；（4）1.21a 2b 2=（）2；2.下列各式是不是完全平方式？（1）a 2-4a+4（2）x 2+4x+14y 2 （3）4a 2+2ab+b2 （4）a 2-ab+b2 （5）x 2-6x-9（6）a 2+a+0.25（放手让学生讨论，达到熟悉公式结构特征的目的）．3.填空：（1）++mn m 31412 =+m 21( )2 （2）如果二次三项式4x 2+mx+36是一个完全平方式，则m= .4.公式特点(1）分解因式的完全平方公式，左边是一个二次三项式，其中有两个数的平方和还有这两个数的积的2倍或这两个数的积的2倍的相反数，符合这些特征，就可以化成右边的两数和（或差）的平方．从而达到因式分解的目的.（2）让同学们自行总结平方差公式的特点，说说如何利用平方差公式分解因式.5.例题解析例1. 分解因式：（1）x 2-6ax+9a 2；（2）0.49x 2-144y 2.( 关注学生对公式模式的识别，突出多项式的变形与验算，向学生讲清算理，切不可死记硬背公式，防止盲目乱套公式)活动3：深化探究，拓展公式.例2. 分解因式：（1）(m+n)2-6(m+n)+9 （2）9（a+b ）2-(a-b)2( 学生有前面学习公式法的经验，可以让学生先前面的因式分解加以比较，然后尝试独立完成，然后与同伴交流、总结解题经验．可提示学生运用整体换元思想分散解题难点) 归纳公式模型：活动4：知识应用，巩固新知.1.用因式分解解决引例中的问题.(让学生感受数学解题方法的多样性，体会优化数学解法的必要性)2.已知:2a+b=6，2a-b=5,利用因式分解计算4a 2-b 2.( 讲解时可分组完成，1,2两组用解方程组的方法，3,4两组用因式分解的方法，比一比哪组完成的既快又对.注重渗透与培养学生的整体思想，突出因式分解在数学解题中的重要性.)活动5：归纳理解，回顾现实.学习因式分解内容后，你有什么收获，能将前后知识联系，做个总结吗？（引导学生回顾本大节内容，梳理知识，培养学生的总结归纳能力，最后出示投影片，给出分解因式的知识框架图，使学生对这部分知识有一个清晰的了解）活动6：课后作业.1.填空（1）4a 2=（）2；（2）49b 2=（）2；（3）0.16a 4=（）2；（4）1.21a 2b 2=（）2；（5）2x 2=（）2；（6）949x 4y 2=（）2． 2..下列各式是不是完全平方式？（1）a 2-4a+4 （）（2）x 2+4x+4y 2 （）（3）4a 2+2ab+14b 2 （）（4）a 2-ab+b 2 （）（5）x 2-6x-9 （）（6）a 2+a+0.25 （）3.填空（1）++mn m 31412 =+m 21( )2 （2）如果二次三项式4x 2+mx+36是一个完全平方式，则m= .4.练一练把下列多项式分解因式：（1）6a-a 2-9；（2）-8ab-16a 2-b 2；（3）-16+m 2n 2；（4）4x 2+20（x-x 2）+25（1-x ）2七、教学反思。