2012全国联赛模拟题五

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2012年全国初中数学竞赛试题

2012全国初中数学竞赛各省市试题汇编重排版目录一2012广东初中数学竞赛预赛................................................................................................- 2 -二2012年全国初中数学竞赛预赛试题及参考答案（河南赛区）........................................- 5 -三2012年北京市初二数学竞赛试题..................................................................................... - 10 -四2012年全国初中数学竞赛（海南赛区）......................................................................... - 11 -五2012年全国初中数学竞赛（海南赛区）初赛试卷参考答案......................................... - 13 -六2012年全国初中数学竞赛试卷答案（福建赛区）......................................................... - 15 -七2012年全国初中数学竞赛试题......................................................................................... - 19 -八2012年全国初中数学竞赛天津赛区初赛试卷................................................................. - 21 -九2012年全国初中数学联赛（浙江赛区）试题及参考答案..............................................- 26 -十2012年四川初中数学联赛(初二组)初赛试卷 .................................................................. - 29 -十一2012年全国初中数学竞赛试题【安徽赛区】............................................................. - 30 -十二2012届湖北省黄冈地区九年级四科联赛数学试题..................................................... - 35 -十三2012年全国初中数学竞赛试题（副题）..................................................................... - 39 -十四2012年全国初中数学竞赛试题（副题）参考答案..................................................... - 41 -十五2012年全国初中数学竞赛试题（正题）..................................................................... - 50 -十六2012年全国初中数学竞赛试题（正题）参考答案......................................................- 55 -小贴士：word目录发生下列问题ctrl+左键显示“由于本机的限制，该操作已被取消，请与系统管理员联系”请按下列步骤自行解决1.开始，运行里输入regedit,回车2.在注册表中，找到HKEY_CURRENT_USER\Software\Classes\.html 项3.在默认项上点右键选择修改4.将Max2.Association.HTML改为Htmlfile，确认，然后退出注册表5.重启正在使用的Office程序，然后再次点Office里面超链接，ok了2012广东初中数学竞赛预赛2012年全国初中数学竞赛预赛试题及参考答案（河南赛区）一、选择题（共6小题，每小题6分，共36分.1．在1,3,6,9四个数中，完全平方数、奇数、质数的个数分别是【】（A ）2,3,1 （B ）2,2,1 （C ）1,2,1 （D ）2,3,2 【答】A ．解：完全平方数有1,9；奇数有1,3,9；质数有3．2．已知一次函数(1)(1)y m x m =++-的图象经过一、二、三象限，则下列判断正确的是【】（A ）1m >- （B ）1m <- （C ）1m > （D ）1m <【答】C ．解：一次函数(1)(1)y m x m =++-的图象经过一、二、三象限，说明其图象与y 轴的交点位于y 轴的正半轴，且y 随x 的增大而增大，所以10,10.m m ->⎧⎨+>⎩ 解得1m >．3．如图，在⊙O 中， CD DA AB ==，给出下列三个结论：（1）DC =AB ；（2）AO ⊥BD ；（3）当∠BDC =30°时，∠DAB =80°．其中正确的个数是【】（A ）0 （B ）1 （C ）2 （D ）3【答】D ．解：因为 CD AB =，所以DC =AB ；因为AD AB =，AO 是半径,所以AO ⊥BD ；设∠DAB =x 度，则由△DAB 的内角和为180°得：2(30)180x x -︒+=︒，解得80x =︒． 4. 有4张全新的扑克牌，其中黑桃、红桃各2张，它们的背面都一样，将它们洗匀后，背面朝上放到桌面上，从中任意摸出2张牌，摸出的花色不一样的概率是【】第3题图（A ）34 （B ）23 （C ）13 （D ）21【答】B ．解：从4张牌中任意摸出2张牌有6种可能，摸出的2张牌花色不一样的有4种可能，所以摸出花色不一样的概率是3264=. 5．在平面直角坐标系中，点A 的坐标是(1,0)，点B 的坐标是(3,3)--，点C 是y 轴上一动点，要使△ABC 为等腰三角形，则符合要求的点C 的位置共有【】（A ）2个（B ）3个（C ）4个【答】D ．解：由题意可求出AB =5，如图，以点A 为圆心AB 的长为半径画弧，交y 轴于C 1和C 2，利用勾股定理可求出OC 1=OC 2=)62,0(),62,0(21-C C ，以点B 为圆心BA 的长为半径画弧，交y 轴于点C 3和C 4，可得34(0,1),(0,7)C C -，AB 的中垂线交y 轴于点C 5，利用三角形相似或一次函数的知识可求出)617,0(5-C ． 6．已知二次函数221y x bx =++（b 为常数），当b 物线系”，图中的实线型抛物线分别是b 取三个不同的值时二次函数的图象，它们的顶点在一条抛物线上（图中虚线型抛物线），这条抛物线的解析式是【】（A ）221y x =-+ （B ）2112y x =-+ （C ）241y x =-+ （D ）2114y x =-+【答】A ．解：221y x bx =++的顶点坐标是⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--88,42b b ，设4b x -=，882b y -=，由4b x -=得x b 4-=，所以222218)4(888x x b y -=--=-=．二、填空题（共6小题，每小题6分，共36分）7．若2=-n m ，则124222-+-n mn m 的值为．【答】7．解：71221)(212422222=-⨯=--=-+-n m n mn m ． 8．方程112(1)(2)(2)(3)3x x x x +=++++的解是．【答】120,4x x ==-．解：11(1)(2)(2)(3)x x x x +++++11111223x x x x =-+-++++y xO 第6题图第5题图11213(1)(3)x x x x =-=++++.∴22(1)(3)3x x =++，解得 1x 9．如图，在平面直角坐标系中，点B 的坐标是（1,0），若点A 的坐标为（a ，b ），将线段BA 绕点B 顺时针旋转 90°得到线段BA '，则点A '的坐标是．【答】(1,1)b a +-+．解：分别过点A 、A '作x 为C 、D ．显然Rt △ABC ≌Rt △B A 'D ．由于点A 的坐标是(,)a b ，所以OD OB BD =+1OB AC b =+=+，1A D BC a '==-，所以点的A '坐标是(1,1)b a +-+．10．如图，矩形ABCD 中，AD =2，AB =3，AM =1， DE是以点A 为圆心2为半径的41圆弧， NB是以点M 为圆心2为半径的41圆弧，则图中两段弧之间的阴影部分的面积为．【答】2．解：连接MN ，显然将扇形AED 向右平移可与扇形MBN 重合，图中阴影部分的面积等于矩形AMND 的面积，等于221=⨯．11．已知α、β是方程2210x x +-=的两根，则3510αβ++的值为．【答】2-．解：∵α是方程2210x x +-=的根，∴212αα=-．∴ 322(12)22(12)52αααααααααα=⋅=-=-=--=-，又 ∵2,αβ+=-∴ 3510(52)5105()8αβαβαβ++=-++=++=5(2)82⨯-+=-．12．现有145颗棒棒糖，分给若干小朋友，不管怎样分，都至少有1个小朋友分到5颗或5颗以上，这些小朋友的人数最多有个．【答】36．解：利用抽屉原理分析，设最多有x 个小朋友，这相当于x 个抽屉，问题变为把145颗糖放进x 个抽屉，至少有1个抽屉放了5颗或5颗以上,则41x +≤145，解得x ≤36，所以小朋友的人数最多有36个．三、解答题（第13题15分，第14题15分，第15题18分，共48分）13．王亮的爷爷今年（2012年）80周岁了，今年王亮的年龄恰好是他出生年份的各位数字之和，问王亮今年可能是多少周岁？解：设王亮出生年份的十位数字为x ，个位数字为y （x 、y 均为0 ~ 9的整数）．∵王亮的爷爷今年80周岁了，∴王亮出生年份可能在2000年后，也可能是2000年前．故应分两种情况： …………………2分（1）若王亮出生年份为2000年后，则王亮的出生年份为200010x y ++，依题意，得2012(200010)20x y x y -++=+++，A BM 第10题图 E 第9题图整理，得 1011,2xy -=x 、y 均为0 ~ 9的整数，∴0.x = 此时 5.y =∴王亮的出生年份是2005年，今年7周岁．…………………8分（2）若王亮出生年份在2000年前，则王亮的出生年份为190010x y ++，依题意，得2012(190010)19x y x y -++=+++，整理，得 111022x y =-，故x 为偶数，又1021110211,09,22x xy --=≤≤ ∴ 779,11x ≤≤ ∴ 8.x = 此时7.y = ∴王亮的出生年份是1987年，今年25周岁． …………………14分综上，王亮今年可能是7周岁，也可能是25周岁．……………15分14．如图，在平面直角坐标系中，直角梯形OABC 的顶点A 、B 的坐标分别是(5,0)、(3,2)，点D 在线段OA 上，BD =BA ，点Q 是线段BD 上一个动点，点P 的坐标是(0,3)，设直线PQ 的解析式为y kx b =+．（1）求k 的取值范围；（2）当k 为取值范围内的最大整数时，若抛物线25y ax ax =-的顶点在直线PQ 、OA 、AB 、BC 围成的四边形内部，求a 的取值范围．解：（1）直线y kx b =+经过P (0,3)，∴ 3b =．∵B (3,2)，A (5,0)，BD =BA ，∴ 点D 的坐标是(1,0)， ∴ BD 的解析式是1y x =-, 1 3.x ≤≤依题意，得 1,3.y x y kx =-⎧⎨=+⎩，∴4,1x k =- ∴ 41 3.1k -≤≤解得13.3k --≤≤……………………………………………7分（2） 13,3k --≤≤且k 为最大整数，∴1k =-.则直线PQ 的解析式为3y x =-+.……………………………………………9分又因为抛物线25y ax ax =-的顶点坐标是525,24a ⎛⎫-⎪⎝⎭，对称轴为52x =．解方程组⎪⎩⎪⎨⎧=+-=.25,3x x y 得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==.21,25y x 即直线PQ 与对称轴为52x =的交点坐标为51(,)22， ∴125224a <-<．解得 822525a -<<-．……………………………………15分 15. 如图，扇形OMN 的半径为1，圆心角是90°．点B 是 MN上一动点， BA ⊥OM 于点A ，BC ⊥ON 于点C ，点D 、E 、F 、G 分别是线段OA 、AB 、BC 、CO 的中点，GF 与CE 相交于点P ，DE 与AG 相交于点Q ．（1）求证：四边形EPGQ 是平行四边形；（2）探索当OA 的长为何值时，四边形EPGQ 是矩形；（3）连结PQ ，试说明223PQ OA +是定值．解：（1）证明：如图①， ∵∠AOC =90°，BA ⊥OM ，BC ⊥ON ， ∴四边形OABC 是矩形． ∴OC AB OC AB =,//． ∵E 、G 分别是AB 、CO 的中点， ∴.,//GC AE GC AE =∴四边形AECG 为平行四边形.∴.//AG CE ……………………………4分连接OB ， ∵点D 、E 、F 、G 分别是线段OA 、AB 、BC 、CO 的中点， ∴ GF ∥OB ，DE ∥OB ， ∴ PG ∥EQ ，∴四边形EPGQ 是平行四边形．………………………………………………6分（2）如图②，当∠CED =90°时，□EPGQ 是矩形．此时 ∠AED +∠CEB =90°．又∵∠DAE =∠EBC =90°，∴∠AED =∠BCE ．∴△AED ∽△BCE ．………………………………8分 ∴AD AEBE BC=．设OA =x ，AB =y ，则2x ∶2y =2y ∶x ，得222y x =．…10分又 222OA AB OB +=，即2221x y +=．∴2221x x +=，解得x =∴当OA的长为3时，四边形EPGQ 是矩形．………………………………12分（3）如图③，连结GE 交PQ 于O '，则.,E O G O Q O P O '=''='．过点P 作OC 的平行线AB C ODEF GP QMN 图②A B CO D EF GPQM N图①分别交BC 、GE 于点B '、A '．由△PCF ∽△PEG 得，2,1PG PE GE PF PC FC === ∴ PA '=23A B ''=13AB ， GA '=13GE =13OA ，∴ 1126A O GE GA OA '''=-=．在Rt △PA O ''中，222PO PA A O ''''=+，即 2224936PQ AB OA =+，又 221AB OA +=， ∴ 22133PQ AB =+，∴ 2222143()33OA PQ OA AB +=++=．……………………………………18分2012年北京市初二数学竞赛试题．选择题(每小题5分，共25分)．方程|2x －4|＝5的所有根的和等于( )．A ．－0.5B ．4.5C ．5D ．4．在直角坐标系xOy 中，直线y ＝ax ＋24与两个坐标轴的正半轴形成的三角形的面积等于72，则不在直线y ＝ax ＋24上的点的坐标是( )．A ．(3，12)B ．(1，20)C ．(－0.5，26)D ．(－2.5，32)．两个正数的算术平均数等于，则期中的大数比小数大( )．A ．4B．C ．6D ．．在△ABC 中，M 是AB 的中点，N 是BC 边上一点，且CN ＝2BN ，连接AN 与MC 交于点O ，四边形BMON 的面积为14cm2，则△ABC 的面积为( )．A ．56cm2B ．60cm2C ．64cm2D ．68cm2．当a ＝1.67，b ＝1.71，c ＝0.46时，222121a ac ab bc b ab bc ac c ac bc ab++--+--+--+等于( )．A ．20B ．15C ．10D ．5.55 ．填空题(每小题7分，共35分)．计算：1×2－3×4＋5×6－7×8＋…＋2009×2010－2011×2012＝＿＿＿．．由1到10这十个正整数按某个次序写成一行，记为a1，a2，…，a10，S1＝a1，S2＝a1＋a2，…，S10＝a1＋a2＋…＋a10，则在S1，S2，…，S10中，最多能有＿＿个质数．．△ABC 中，AB ＝12cm ，AC ＝9cm ，BC ＝13cm ，自A 分别作∠C 平分线的垂线，垂足为M ，作∠B 的平分线的垂线，垂足为N ，连接MN ，则AMNABCS S ∆∆=＿＿＿＿．．实数x 和y 满足x2＋12xy ＋52y2－8y ＋1＝0，则x2－y2＝＿＿＿．．P 为等边△ABC 内一点，AP ＝3cm ，BP ＝4cm ，CP ＝5cm ，则四边形ABCP 的面积等于＿＿cm2．B'N MA'QP O'GF E D C BA O 图③(满分10分)．求证：对任意两两不等的三个数a，b ，c ，222()()()()()()()()()a b c b c a c a b a c b c b a c a c b a b +-+-+-++------是常数．(满分15分)．已知正整数n 可以表示为2011个数字和相同的自然数之和，同时也能表示为2012个数字和相同的自然数之和，试确定n 的最小值．(满分15分)．如图，在△ABC 中，∠ABC ＝∠BAC ＝70°，P 为形内一点，∠PAB ＝40°，∠PBA ＝20°，求证：PA ＋PB ＝PC ．2012年全国初中数学竞赛（海南赛区）初赛试卷（本试卷共4页，满分120分，考试时间：3月11日8:30——10:30）一、选择题（本大题满分50分，每小题5分） 1、下列运算正确的是（）A ．x 2‧x 3=x 6B ． 2x +3x =5x 2C ．(x 2)3=x 6D ． x 6÷x 2=x 32、有大小两种游艇，2艘大游艇与3艘小游艇一次可载游客57人，3艘大游艇与2艘小游艇一次可载游客68人，则3艘大游艇与6艘小游艇一次可载游客的人数为（） A ．129 B ．120 C ．108 D ．963、实数a ＝20123－2012，下列各数中不能整除a 的是（） A ．2013 B ．2012 C ．2011 D ．20104、如图1所示的两个圆盘中，指针落在每一个数所在的区域上的机会均等，则两个指针同时落在数“1”所在的区域上的概率是（）A ．251B ．252C ．256D ．25245、一辆公共汽车从车站开出，加速行驶一段时间后匀速行驶，过了一段时间，汽车到达下一个车站．乘客上下车后汽车开始加速，一段时间后又开始匀速行驶，下面可以近似地刻画出汽车在这段时间内的速度变化情况的图象是（）P CBA图16、要使1213-+-x x 有意义，则x 的取值范围为 A ．321　x ≤≤ B ．321　＜x ≤ C ．321x ＜≤ D ． 321＜x＜7、菱形的两条对角线之和为L 、面积为S ，则它的边长为（）A ．S L 4212-B ．S L 2212-C ．S L 4221-D ．2421L S -8、如图2，将三角形纸片ABC 沿DE 折叠，使点A 落在BC 边上的点F 处，且DE ∥BC ，下列结论中，一定正确的个数是（）①△CEF 是等腰三角形 ②四边形ADFE 是菱形③四边形BFED 是平行四边形 ④∠BDF +∠CEF ＝2∠AA ．1B ．2C ．3D ．4 9、如图3，直线x ＝1是二次函数 y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象的对称轴，则有A ．a ＋b ＋c ＝0B ．b ＞a ＋cC ．b ＝2aD ．abc ＞010、铁板甲形状为直角梯形，两底边长分别为4cm ，10cm ，且有一内角为60°；铁板乙形状为等腰三角形，其顶角为45°，腰长12cm ．在不改变形状的前提下，试图分别把它们从一个直径为8.5cm 的圆洞中穿过，结果是（）A．甲板能穿过，乙板不能穿过 B ．甲板不能穿过，乙板能穿过 C ．甲、乙两板都能穿过 D ．甲、乙两板都不能穿过二、填空题（本大题满分40分，每小题5分）11、x 与y 互为相反数，且3=-y x ，那么122++xy x 的值为__________. 12、一次函数y =ax +b 的图象如图4所示，则化简1++-b b a 得________.13、若x=－1是关于x 的方程a 2x 2+2011ax －2012=0的一个根，则a 的值为__________. 14、一只船从A 码头顺水航行到B 码头用6小时，由B 码头逆水航行到A 码头需8小时，则一块塑料泡沫从A 码头顺水漂流到B 码头要用______小时（设水流速度和船在静水中的速度不变）．15、如图5，边长为1的正方形ABCD 的对角线相交于点O ，过点O 的直线分别交AD 、BC 于E 、F ，则阴影部分的面积是．16、如图6，直线l 平行于射线AM ，要在直线l 与射线AM 上各找一点B 和C ，使得以A 、B 、C 为顶点的三角形是等腰直角三角形，这样的三角形最多能画_______个．17、如图7，△ABC 与△CDE 均是等边三角形，若∠AEB =145°，则∠DBE 的度数是________. 18、如图8所示，矩形纸片ABCD 中，AB ＝4cm ，BC ＝3cm ，图3 图4AB C D E F 图2图7 A B C D E图5 F 图6 l B ＇ D ＇C DG把∠B、∠D分别沿CE、AG翻折，点B、D分别落在对角线AC的点B＇和D＇上，则线段EG的长度是________.三、解答题(本大题满分30分，每小题15分)19、某市道路改造工程，如果让甲工程队单独工作，需要30天完成，如果让乙工程队单独工作，则需要60天方可完成；甲工程队施工每天需付施工费2.5万元，乙工程队施工每天需付施工费1万元.请解答下列问题：（1）甲、乙两个工程队一起合作几天就可以完成此项工程？（2）甲、乙两个工程队一起合作10天后，甲工程队因另有任务调离，剩下的部分由乙工程队单独做，请问共需多少天才能完成此项工程？（3）如果要使整个工程施工费不超过65万元，甲、乙两个工程队最多能合作几天？（4）如果工程必须在24天内（含24天）完成，你如何安排两个工程队施工，才能使施工费最少？请说出你的安排方法，并求出所需要的施工费.20、如图9，四边形ABCD是矩形，点P是直线AD与BC外的任意一点，连接PA、PB、PC、PD．请解答下列问题：（1）如图9（1），当点P在线段BC的垂直平分线MN上（对角线AC与BD的交点Q除外）时，证明△PAC≌△PDB；（2）如图9（2），当点P在矩形ABCD内部时，求证：PA2+PC2=PB2+PD2；（3）若矩形ABCD在平面直角坐标系xoy中，点B的坐标为（1，1），点D的坐标为（5，3），如图9（3）所示，设△PBC的面积为y，△PAD的面积为x，求y与x之间的函数关系式．2012年全国初中数学竞赛（海南赛区）初赛试卷参考答案一、选择题（本大题满分50分，每小题5分）图9 （2）图9（1）MNQAB CDP79、分析:由函数的图象可知:当x=1时有a ＋b ＋c ＜0,当x=-1时有a-b ＋c ＞0,即a ＋c ＞b,即b ＜a ＋c ，函数的对称轴为12=-=ab x ，则b ＝－2a ，因为抛物线的开口向上，所以a ＞0，抛物线与y 轴的交点在负半轴，所以c ＜0，由b ＝－2a 可得b ＜0．所以abc ＞0，因而正确答案为D 10、分析：分别计算铁板的最窄处便可知，如图Ａ，直角梯形，AD=4cm ，BC=10cm ，∠C=60°，过点A 过AE//CD ，交BC 于点E ，过点B 作BE ⊥CD 于点F ，可求得AB=36cm ＞8.5cm ，BE=35cm ＞8.5cm 铁板甲不能穿过，如图Ｂ，等腰三角形ABC 中，顶角∠A=45°，作腰上的高线BD ，可求得BD=26cm ＜8.5cm ，所以铁板乙可以穿过；所以选择Ｂ二、填空题（本大题满分40分，每小题5分）11、 45- 12、a +1 13、 a 1=2012, a 2=－1 14、4815、41单位面积 16、3个 17、85° 18、1017、分析：易证△CEA 与△CDB 全等，从而有∠DBC=∠EAC ，因为，∠ABE+∠BAE=180°-145°=35°所以有∠EAC+∠EBC=120°-35°=85°，所以∠EBD=∠EBC+∠DBC=85°18、分析：AB ＝4cm ，BC ＝3cm ，可求得AC=5cm ，由题意可知C B ＇=BC=3cm ，A B ＇=2cm 设BE=x ，则AE=4-x ，则有(4-x )2-x 2 =22,x =1.5cm ，即BE=DG=1.5cm ，过点G 作GF ⊥AB 于点F ，则可求出EF=1 cm ，所以EG=103122=+三、解答题(本大题满分30分，每小题15分)19、本题满分15分，第（1）、（2）、（3）小题，每小题4分，第（4）小题3分. 解：（1）设甲、乙两个工程队一起合作x 天就可以完成此项工程，依题意得：1)601301(=+x ，解得：x =20 答：甲、乙两个工程队一起合作20天就可以完成此项工程.（2）设完成这项道路改造工程共需y 天，依题意得：16010301=+⨯y ，解得y =40 。

2012全国高中数学联赛广东预赛试题及解答

2012年全国高中数学联赛广东省预赛试题（考试时间：2012年9月8日上午10∶00—11∶20）一、填空题：本大题共8小题，每小题8分，共64分．把答案填在横线上1. 已知()02014201320112010201222>=⨯⨯⨯+k k ，则=k .答案： 220122-（或4048142）解: 2222(2)(1)(1)(2)(4)(1)n n n n n n n n +--++=+--2. 函数()sin()sin()cos 366f x x x x ππ=++--+的最小值等于 . 答案：1解：因为所以)(x f 的最小值为1. 3. 已知 1()2bx f x x a +=+，其中,a b 为常数，且2ab ≠. 若 1()()f x f k x⋅=为常数，则k 的值为 . 答案：1.4解：由于是常数，故2a k b ⋅=，且22(4)1a k b +=+. 将2b ak =代入22(4)1a k b +=+整理得22(4)(14)0k k a k -+-=，分解因式得2(41)(1)0k ka --=. 若410k -≠，则210ka -=，因此222ab ka ==，与条件相矛盾. 故410k -=，即14k =. 4. 已知方程2133x x p +-=有两个相异的正实数解，则实数p 的取值范围是 . 答案：9(,2).4-- 解法一：令3x t =，则原方程化为230t t p --=.根据题意，方程230t t p --=有两个大于1的相异实根.令2()3f t t t p =--，则22(3)40,9(1)1310, 2.43 1.2p f p p ⎧∆=-+>⎪⎪=-⨯->⇒-<<-⎨⎪⎪>⎩解法二：令3x y =，则原方程化为230y y p --=. 注意到这个关于y 的方程最多有两个解，而由3x y =严格单调递增知每个y 最多对应一个x ，因此所求的p 应当使230y y p --=有两个相异的实数解12,y y ，且满足12123,3x x y y ==的两个实数12,x x 都是正的. 由于12,x x 都是正的，故12,y y 都应大于1. 由于123y y +=，故213y y =-，因此1y 必须满足11y >，131y ->及113y y ≠-. 因此1y 的取值范围为33(1,)(,2)22U . 因此1211(3)p y y y y =-=--的取值范围为9(,2)4--. 5. 将25个数排成五行五列：已知第一行11a ,12a ,13a ,14a ,15a 成等差数列，而每一列1j a ，2j a ，3j a ，4j a ，5j a （15j ≤≤）都成等比数列，且五个公比全相等. 若244a =,412a =-,4310a =,则1155a a ⨯的值为______.答案：11-解：可知每一行上的数都成等差数列，但这五个等差数列的公差不一定相等. 由412a =-,4310a =知4210(2)42a +-==且公差为6，故4416a =,4522a =. 由244a =,4416a =知公比2±=q .若2=q ，则113214a s -==-,55222411a =⨯=⨯，故115511a a ⨯=-；若2-=q ，则113214a s -==,5522(2)4(11)a =⨯-=⨯-，故115511a a ⨯=-. 6.设点P 在曲线12x y e =上，点Q 在曲线ln(2)y x =上，则PQ 的最小值为______.ln 2)-. 函数12x y e =与函数ln(2)y x =互为反函数，图象关于y x =对称. 函数12x y e =上的点1(,)2x P x e 到直线y x =的距离为d =.设函数min min 11()()1()1ln 222x x g x e x g x e g x d '=-⇒=-⇒=-⇒=. 由图象关于y x =对称得：PQ最小值为min 2ln 2)d =-.7.将2个a 和2个b 共4个字母填在4×4方格表的16个小方格内，每个小方格内至多填一个字母，若使相同字母既不同行也不同列，则不同的填法种数共有 .答案：3960解：使得2个a 既不同行也不同列的填法有224472C A =种，使得2个b 既不同行也不同列的填法有224472C A =种，故由乘法原理，这样的填法共有272种.其中不合要求的有两种情况：2个a 所在的方格内都填有b 的情况有72种；2个a 所在的方格内恰有1个方格填有b 的情况有121691672C A =⨯种. 所以，符合条件的填法共有2727216723960--⨯=种.8.一个直角梯形的上底比下底短，该梯形绕它的上底旋转一周所得旋转体的体积为112π，该梯形绕它的下底旋转一周所得旋转体的体积为80π，该梯形绕它的直角腰旋转一周所得旋转体的体积为156π，则该梯形的周长为 .答案：16+解：设梯形的上底长为a ，下底长为b ，高为h ，则梯形绕上底旋转所得旋转体的体积为22211()(2)33h b h a b h a b πππ+-=+，因此21(2)1123h a b ππ+=，即2(2)336h a b +=. 同理有2(2)240h a b +=，两式相除得2336722405a b a b +==+，去分母化简得3b a =，代入2(2)336h a b +=得248ah =.注意到直角腰长等于高h ，梯形绕它的直角腰旋转一周所得旋转体为圆台，其体积为221()1563h a ab b ++=. 将3b a =代入化简得236a h =. 结合248ah =可解得3,4a h ==，因此9b =，由勾股定理知另一条腰的长度为=39416+++=+二、解答题：本大题共3小题，共56分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．1．（本小题满分16分）设椭圆2222+=1x y a b(>>0)a b 的左、右顶点分别为,A B ，点P 在椭圆上且异于,A B 两点，O 为坐标原点. 若||=||AP OA ，证明：直线OP 的斜率k 满足||k >.解法一：设(cos ,sin )(02)P a b θθθπ≤<,(,0)A a -. 由||||AP OA =，有a =，即22222cos 2cos sin 0a a b θθθ++=. ……4分从而 22222221cos 0,cos 2cos sin sin .a a b a θθθθθ-<<⎧⎨--=<⎩所以，1cos 02θ-<<，且2222sin 213cos cos b a θθθ=-->.所以，sin ||cos b k a θθ==> ……16分解法二：设(cos ,sin )(02)P a b θθθπ≤<.则线段OP 的中点(cos ,sin )22a b Q θθ. ||=||AP OA 1AQ AQ OP k k ⇔⊥⇔⨯=-. sin sin cos 22cos AQ AQ AQ b k b ak ak a a θθθθ=⇔-=+. ……8分||||AQ k k ⇔<⇔> ……16分 2．（本小题满分20分）设非负实数a ，b ，c 满足3=++c b a . 求的最大值.解：不妨设c b a ≥≥.显然有222b bc c b -+≤，222c ca a a -+≤.……………5分根据AM-GM 不等式可得……………15分所以S 的最大值为12，这时()()0,1,2,,=c b a .……………20分3．（本小题满分20分）求出所有的函数**:f N N →使得对于所有x ，y *N ∈，2(())f x y +都能被2()f y x +整除. 解：根据题目的条件，令1==y x ，则2((1))1f +能被(1)1f +整除. 因此2((1))(1)f f -能被(1)1f +整除，也就是(1)((1)1)f f -能被(1)1f +整除. 因为(1)f 与(1)1f +互素，所以(1)1f -能被(1)1f +整除，且(1)1(1)1f f +>-，所以(1)10f -=，(1)1f =.……………10分令1=y ，则2(())1f x +能被21x +整除，因此22(())f x x ≥.从而()f x x ≥，对所有x *N ∈.令1=x ，则1y +能被()1f y +整除.从而()y f y ≥，对所有y *N ∈. 综上所述，()f x x =，对所有x *N ∈.……………20分。

2012年全国高中物理竞赛模拟测试带答案

2012年全国高中物理竞赛模拟测试带答案2012年全国高中物理竞赛模拟测试1.在折射率为n 的介质A 中有一半经为R 的球形气泡，气体的折射率为n 0.现在在气泡中再放一个与气泡同心的由透明介质B 构成的球，并令一均匀平行光束射向气泡1）如果任意一条在介质A 中射向气泡表面的入射光线，在通过各介质界面时的入射角和折射角都满足sin θ=θ的条件，且该光线再进入介质A 时能沿原入射光线方向行进，如图，则介质B 的折射率n ’和B 球的半径R ’必须满足什么样的关系式2）如果两球间的介质不是气体而是一种透明液体（折射率n 0），并要求任何入射角和折射角的数值都不大于0.1rad ，则符合此条件的入射光束占射至外球面上的光束的百分比为多少1. n ’=n 0n/[n-(R ’/R)(n-n 0)]2. n>n 0 ,0.01(n 0R ’/nR)2 n<="" 0r="" [nr-r="" p="" ’="" ’(n-n="">2.半径为R 的细圆环上分布有不能移动的电荷，总电量为Q ，若已知环内某直径AOB 上的场强处处为零，试求圆环上电荷线密度λ的分布。

λ=Qsin θ/4R3.一根绳的一端连接于A 点，绳上距A 端为a 处系有一个质量为m 的质点B ，绳的另一端通过固定在C 点的滑轮，A 、C 位于同一水平线上．某人握住绳的自由端，以恒定的速率v 收绳，当绳收至图所示的位置时，质点B 两边的绳与水平线的夹角分别为a 和β，求这时人收绳的力．忽略绳与滑轮的质量以及滑轮的摩擦．F=[mgcos θ/sin(α+β)]+[cos(α+β)/sin 4(α+β)][1+sin βcos(α+β)/si n α]mv 2/a线光射入4.一台激光器发出的激光功率为N=1000W，出射的光束截面积为A=1cm2, ○1当该光束垂直入射到一物体平面上时，可能产生的光压的最大值为多少○2这束光垂直射到温度T为273K，厚度d为2cm 的铁板上，如果有80%的光束能量被激光所照射到的那一小部分铁板所吸收，并使其溶化成与光束等面积的直圆孔，这需要多少时间？已知，对于波长为λ的光束，其每一个光子的动量为p=h/λ,铁：热容量C=26.6J/m ol·k,密度ρ=7.9×103kg/m3,熔点Tm=1798k,溶解热Lm=1.49×104J/mol,摩尔质量μ=56×10-3kg1. 0.0667Pa2. 19.56s5. 直立的气缸内装有一定质量的理想气体。

2012年全国高中数学联赛一试及加试试题参考答案及详细评分标准(A卷word版)

2012年全国高中数学联赛一试及加试试题参考答案及详细评分标准(A 卷word 版)一、填空题：本大题共８小题，每小题８分，共６４分．把答案填在题中的横线上．１．设P 是函数2y x x=+（0x >）的图像上任意一点，过点P 分别向直线y x =和y 轴作垂线，垂足分别为,A B ，则PA PB ⋅的值是．解:方法1:设0002(,),p x x x +则直线PA 的方程为0002()(),y x x x x -+=--即0022.y x x x =-++由00000011(,).22y xA x x y x x x x x=⎧⎪⇒++⎨=-++⎪⎩又002(0,),B x x +所以00011(,),(,0).PA PB x x x =-=-故001() 1.PA PB x x ⋅=⋅-=- ２．设ABC ∆的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，且满足3cos cos 5a Bb Ac -=，则tan tan A B的值是 . 解:由题设及余弦定理得222223225c a b b c a a b c ca bc +-+-⋅-⋅=,即22235a b c -=故222222222222228tan sin cos 2542tan sin cos 5a cb ac A A B ca b ac b c a B B A b c a c b +-⋅+-=====+-+-⋅. ３．设,,[0,1]x y z ∈，则M=.解:不妨设01,x y z≤≤≤≤则M=所以 1.M ≤=当且仅当1,0,1,2y x z y x z y -=-===时上式等号同时成立.故max 1.M = 4.抛物线22(0)y px p =>的焦点为F ，准线为ｌ，,A B 是抛物线上的两个动点，且满足3AFB π∠=．设线段ＡＢ的中点M 在ｌ上的投影为N ，则||||MN AB 的最大值是 . 解:由抛物线的定义及梯形的中位线定理得.2AF BFMN +=在AFB ∆中,由余弦定理得2222cos3AB AF BF AF BF π=+-⋅2()3AF BF AF BF =+-⋅22()3()2AF BF AF BF +≥+-22().2AF BF MN +==当且仅当AF BF =时等号成立.故MNAB的最大值为1.5．设同底的两个正三棱锥P ABC -和Q ABC -内接于同一个球．若正三棱锥P ABC -的侧面与底面所成的角为45，则正三棱锥Q ABC -的侧面与底面所成角的正切值是．解:如图.连结PQ ,则PQ ⊥平面ABC ,垂足H 为正ABC ∆的中心,且PQ 过球心O ,连结CH 并延长交AB 于点M ,则M 为AB 的中点,且CM AB ⊥,易知,PMH QMH ∠∠分别为正三棱锥,P ABC Q ABC --的侧面与底面所成二角的平面角,则45PMH ∠=,从而12PH MH AH ==,因为90,,PAQ AH PQ ∠=⊥所以2,AP PH QH =⋅即21.2AH AH QH =⋅所以24.QH AH MH ==,故tan 4QHQMH MH∠==6. 设()f x 是定义在R 上的奇函数，且当0x ≥时，()f x x 2=．若对任意的[,2]x a a ∈+，不等式()2()f x a f x +≥恒成立，则实数a 的取值范围是．解:由题设知22(0)()(0)x x f x x x ⎧≥⎪=⎨-<⎪⎩,则2()).f x f =因此,原不等式等价于()).f x a f +≥因为()f x 在R 上是增函数,所以,x a +≥即1).a x ≥又[,2],x a a ∈+所以当2x a =+时,1)x 取得最大值1)(2).a +因此,1)(2),a a ≥+解得a ≥故a 的取值范围是).+∞７．满足11sin 43n π<<的所有正整数n 的和是．解:由正弦函数的凸性,有当(0,)6x π∈时,3sin ,x x x π<<由此得131sin ,sin ,1313412124πππππ<<>⨯=131sin ,sin .10103993πππππ<<>⨯=所以11sin sin sin sin sin .134********πππππ<<<<<< 故满足11sin 43n π<<的正整数n 的所有值分别为10,11,12,它们的和为33.８．某情报站有,,,A B C D 四种互不相同的密码，每周使用其中的一种密码，且每周都是从上周未使用的三种密码中等可能地随机选用一种．设第１周使用Ａ种密码，那么第７周也使用Ａ种密码的概率是．（用最简分数表示）解:用k P 表示第k 周用A 种密码的概率,则第k 周末用A 种密码的概率为1k P -.于是,有11(1),3k k P P k N *+=-∈,即1111()434k k P P +-=--由11P =知，14kP ⎧⎫-⎨⎬⎩⎭是首项为34，公比为13-的等比数列。

2012年高中联赛模拟题5

数学奥林匹克高中训练题(5)第一试一、填空题（每小题8份，共64分）1.函数x x y --+=3413的值域为_____.2.能被3整除,且含有数字3的四位数的个数为_____.3.过点)0,(a A 可以作曲线x x y -=3的切线条数的最大值为_____.4.若三棱锥的三条侧棱两两垂直,且其外接球半径为r ,则该三棱锥体积的最大值为_____.5.若集合22{(,)|(20)(12)10,,}P x y x y x Z y Z =-+-≤∈∈,则集合P 中的元素个数为_____.6.对于不同的实数m ,方程0494622=++--m m x my y 就表示不同的抛物线.若直线l 被每一条这样的抛物线所截得的弦长均为958,则直线l 的方程为_____. (专题与模拟P153) 7.在ABC ∆中,若C B A m sin sin sin ++=,2cos 2cos 2cosC B A n ++=,则n m ,的大小关系为_____. 8.删去正整数数列 ,3,2,1中的所有完全平方数后,得到一个新数列,这个新数列的第2012项为_____.二、解答题（共56分）9.(16分)求函数48148)(22----=x x x x x f 的最大值. (专题与模拟P3)10.(20分)已知经过椭圆2222=+y x 右焦点F 的直线l 与椭圆交于B A ,两点,垂直于直线l 的直线'l 与椭圆交于D C ,两点,设AB ,CD 的中点分别为Q P ,,求证:直线PQ 过定点. (自编)11.(20分)在数列{}n a 中311=a ,且1221+-=+n n n n a a a a ,求证:n n n i i a 212312131211-<<-∑=-. (2010-11)第二试一、(40分)如图,已知C 是半圆弧的中点,点P 在直径BA 的延长线上,过P 作半圆的切线PD ,D 为切点,BPD ∠的平分线分别交BC AC ,于点F E ,,求证:OE 与OF 垂直且相等. (专题与模拟P124)二、(40分)求证:对每一个素数p ,总存在无穷多个正整数n 使得n p n -2|. (专题与模拟P93)三、(50分)在数列}{n a 中,10=a ,51=a ,nn n n a a a a 29321212--=+++,求证:Z a n ∈. (专题与模拟P9)四、(50分)求最小的正整数n ,使得对任意的n 元正整数集合A ,在集合A 中都存在15个元素,其和能够被15整除. (专题与模拟P136)。

2012年全国高中数学联赛模拟精彩试题一

2012年全国高中数学联赛模拟试题一一、选择题：每题6分，满分36分1、设函数)(x f 的定义域为R ，且对任意实数)2,2(ππ-∈x ，x x f 2sin )(tan =，则)sin 2(x f 的最大值为（）A 0 B21C 22D 12、实数列}{n a 定义为,7,1,,3,2,1291112===++-=--a a n a a a a a n nn n n Λ则5a 的值为（）A 3B -4C 3或-4D 83、正四面体ABCD 的棱长为1，E 是△ABC 内一点，点E 到边AB,BC,CA 的距离之和为x ，点E 到平面DAB,DBC,DCA 的距离之和为y ，则22y x +等于（）A 1 B26 C 35 D 127 4．已知集合{|(1)(3)(5)0,},{|(2)(4)(6)0,}M x x x x x N x x x x x = ---< ∈ = ---> ∈． R RM N =I （） .(A) (2,3)(B) (3,4) (C) (4,5) (D) (5,6) 5．已知3)nz i =, 若z 为实数，则最小的正整数n 的值为（） .(A) 3(B) 4(C) 5(D) 66．已知p ：,,,a b c d 成等比数列，q:ad bc =，则p 是q 的（） . (A) 充分不必要条件 (B) 必要不充分条件 (C) 充分且必要条件 (D) 既不充分也不必要条件二、填空题：每小题9分，满分54分7、实数z y x ,,满足,146,74,72222-=+-=+=+x z z y y x 则222z y x ++＝ .8、设S 是集合｛1，2，…，15｝的一个非空子集，若正整数n 满足：S S n S n ∈+∈,，则称n 是子集S 的模范数，这里|S|表示集合S 中元素的个数。

对集合｛1，2，…，15｝的所有非空子集S ，模范数的个数之和为 .9、对于121≤≤x ，当25)21)(1()1(x x x --+取得最大值时，x ＝ . 10．已知()cos 2|cos |f x x p x p =++，x ∈R ．记()f x 的最大值为()h p ，则()h p 的表达式为 .11．已知sin(sin )cos(cos )x x x x +=-，[]0,,x π∈ 则=x .12．设,A B 为抛物线22(0)y px p =>上相异两点，则22OA OB AB +-u u u v u u u v u u u v 的最小值为___________________．三、解答题：每小题20分，满分60分13、如图，已知三角形ABC 的内心为I ，AC ≠BC ，内切圆与边AB,BC,CA 分别相切于点D,E,F ，EF CI S I =，连结CD 与内切圆的另一个交点为M ，过M 的切线交AB 的延长线于点G .求证：（1）CDI ∆∽DSI ∆；（2）CI GS ⊥14、设c b a ,,是正整数，关于x 的一元二次方程02=++c bx ax 的两实数根的绝对值均小于31，求c b a ++的最小值.15.甲乙两人进行某种游戏比赛，规定每一次胜者得1分，负者得0分；当其中一人的得分比另一人的多2分时即赢得这场游戏，比赛随之结束；同时规定比赛次数最多不超过20次，即经20次比赛，得分多者赢得这场游戏，得分相等为和局．已知每次比赛甲获胜的概率为p （01p <<），乙获胜的概率为1q p =-．假定各次比赛的结果是相互独立的，比赛经ξ次结束，求ξ的期望E ξ的变化范围．2012年全国高中数学联赛模拟试题二一、选择题：每题6分，满分36分1、数列10021,,,x x x Λ满足如下条件：对于k x k ,100,2,1Λ=比其余99个数的和小k ，已知nmx =50，m ，n 是互质的正整数，则m+n 等于（） A 50 B 100 C 165 D 1732、若26cos cos ,22sin sin =+=+y x y x ，则)sin(y x +等于（） A 22 B 23 C 26 D 13、P 为椭圆191622=+y x 在第一象限上的动点，过点P 引圆922=+y x 的两条切线PA 、PB ，切点分别为A 、B ，直线AB 与x 轴、y 轴分别交于点M 、N ，则MON S ∆的最小值为（）A29 B 329 C 427 D 3427 4．函数20.3()log (2)f x x x =+-的单调递增区间是（） .(A) (,2)-∞-(B) (,1)-∞(C) (-2,1)(D) (1,) +∞5．已知,x y 均为正实数，则22x yx y x y+++的最大值为（） .(A) 2 (B) 23 (C) 4 (D) 436．直线y=5与1y =-在区间40,πω⎡⎤⎢⎥⎦⎣上截曲线sin (0, 0)2y m x n m n ω=+>>所得的弦长相等且不为零，则下列描述正确的是（） . （A ）35,n=22m ≤（B ）3,2m n ≤= （C ）35,n=22m >（D ）3,2m n >=二、填空题：每小题9分，满分54分7、函数)(x f 满足：对任意实数x,y ，都有23)()()(++=-y x xy f y f x f ，则=)36(f .8、正四面体ABCD 的体积为1，O 为为其中心. 正四面体D C B A ''''与正四面体ABCD 关于点O 对称，则这两个正四面体的公共部分的体积为 .9、在双曲线xy ＝1上，横坐标为1+n n 的点为n A ，横坐标为nn 1+的点为)(+∈N n B n .记坐标为（1，1）的点为M ，),(n n n y x P 是三角形M B A n n 的外心，则=+++10021x x x Λ .10．已知sin(sin )cos(cos )x x x x +=-，[]0,,x π∈ 则=x .11．设,A B 为抛物线22(0)y px p =>上相异两点，则22OA OB AB +-u u u v u u u v u u u v 的最小值为___________________．12．已知ABC ∆中，G 是重心，三内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，且564035aGA bGB cGC ++=0u u u r u u u v u u u v，则B ∠=__________．三、解答题：每小题20分，满分60分13、设集合A 和B 都是由正整数组成的集合，|A|＝10，|B|＝9，并且集合A 满足如下条件：若v u y x A v u y x +=+∈,,,,，则},{},{v u y x =.令},|{B b A a b a B A ∈∈+=+求证：|A+B|≥50. （|X|表示集合X 的元素个数）14已知在正方体1111ABCD A B C D -中，,,,O E F G 分别为11111,,,BD BB A D D C 的中点，且1AB =．求四面体OEFG 的体积．15在平面直角坐标系中, 已知圆1C 与圆2C 相交于点P ，Q , 点P 的坐标为()3,2, 两圆半径的乘积为132．若圆1C 和2C 均与直线l : y kx =及x 轴相切，求直线l 的方程．A12012年全国高中数学联赛模拟试题三一、选择题1.由0,1,2,3,4,5六个数字能组成数字不重复且百位数字不是5的偶数有（）个 A.360 B.252 C.720 D.2402.已知数列{n a }(n ≥1)满足2+n a =1+n a -n a ，且2a =1,若数列的前2005项之和为2006，则前2006项的和等于（）A.2005B.2006C.2007D.20083.有一个四棱锥，底面是一个等腰梯形，并且腰长和较短的底长都是1，有一个底角是060，又侧棱与底面所成的角都是045，则这个棱锥的体积是（）A.1B.3C.43 D.23 4．设1()lg ,||1,1xf x x x-=<+则323()13x x f x ++等于（）. （A ）2()f x （B ）3()f x （C ）2()f x （D ）3()f x5．,a b 是不等于1的正数，3(,2),2πθπ∈若tan tan 1a b θθ>>，则成立的是（）.（A ）1a b >> （B ）1a b << （C ）1b a << （D ）1b a >> 6．ABC ∆中，,,,BC a AC b AB c ===则使等式2222sin sin sin cos 2222A B C B++=成立的充要条件是（）.（A ）2a b c += （B ）2b c a += （C ）2c a b += （D ）2c a b ⋅=二、填空题1．设()f x 适合等式1()2(),f x f x x-=则()f x 的值域是。

2012年全国初中数学联赛试卷

2012年全国初中数学联赛试卷一、选择题：（本题满分42分，每小题7分）223．（7分）已知正方形ABCD的边长为1，E为BC边的延长线上一点，CE=1，连接AE，与CD交于点F，连接．C D．2244．．5．（7分）若方程x2+2px﹣3p﹣2=0的两个不相等的实数根x1，x2满足，则实数p的所C．6．（7分）由1，2，3，4这四个数字组成四位数（数字可重复使用），要求满足a+c=b+d．这样的四位数共有二、填空题：（本题满分28分，每小题7分）7．（7分）已知互不相等的实数a，b，c满足，则t=_________．8．（7分）使得5×2m+1是完全平方数的整数m的个数为_________．9．（7分）在△ABC中，已知AB=AC，∠A=40°，P为AB上一点，∠ACP=20°，则=_________．10．（7分）已知实数a，b，c满足abc=﹣1，a+b+c=4，，则a2+b2+c2= _________．三、解答题（共3小题）11．（20分）已知直角三角形的边长均为整数，周长为60，求它的外接圆的面积．12．（25分）如图，PA为⊙O的切线，PBC为⊙O的割线，AD⊥OP于点D，△ADC的外接圆与BC的另一个交点为E．证明：∠BAE=∠ACB．13．（25分）已知抛物线的顶点为P，与x轴的正半轴交于A（x1，0）、B（x2，0）（x1＜x2）两点，与y轴交于点C，PA是△ABC的外接圆的切线．设M（0，），若AM∥BC，求抛物线的解析式．2012年全国初中数学联赛试卷参考答案与试题解析一、选择题：（本题满分42分，每小题7分）﹣b=﹣﹣=，=+，=+1=＜＜，＜＜，22，3．（7分）已知正方形ABCD的边长为1，E为BC边的延长线上一点，CE=1，连接AE，与CD交于点F，连接．C D．DE=DE=．，=．2244．．≤，﹣+≤时，时，﹣（﹣）+×+﹣，，或a=﹣5．（7分）若方程x2+2px﹣3p﹣2=0的两个不相等的实数根x1，x2满足，则实数p的所C．然后利用得到有关+﹣=[+﹣（+）得=4﹣（），﹣（﹣．6．（7分）由1，2，3，4这四个数字组成四位数（数字可重复使用），要求满足a+c=b+d．这样的四位数共有二、填空题：（本题满分28分，每小题7分）7．（7分）已知互不相等的实数a，b，c满足，则t=±1．=t，b+=t=t，=t，得：=t=t，时，﹣时，a+8．（7分）使得5×2m+1是完全平方数的整数m的个数为1．或9．（7分）在△ABC中，已知AB=AC，∠A=40°，P为AB上一点，∠ACP=20°，则=．BCBAE=PAsin60=AP==故答案为：10．（7分）已知实数a，b，c满足abc=﹣1，a+b+c=4，，则a2+b2+c2=．，同理可得：，=+，+=，=，即整理得：，=故答案为：三、解答题（共3小题）11．（20分）已知直角三角形的边长均为整数，周长为60，求它的外接圆的面积．∴只可能是或或，三角形的外接圆的面积为12．（25分）如图，PA为⊙O的切线，PBC为⊙O的割线，AD⊥OP于点D，△ADC的外接圆与BC的另一个交点为E．证明：∠BAE=∠ACB．13．（25分）已知抛物线的顶点为P，与x轴的正半轴交于A（x1，0）、B（x2，0）（x1＜x2）两点，与y轴交于点C，PA是△ABC的外接圆的切线．设M（0，），若AM∥BC，求抛物线的解析式．中，，的横坐标为：﹣=3b，纵坐标为：b的坐标为是一元二次方程，．，即，．代入，解得（另一解舍去）∴抛物线的解析式为。

2012全国高中数学联赛广东预赛解答

2012年全国高中数学联赛广东省预赛试题（考试时间：2012年9月8日上午10∶00—11∶20）一、填空题：本大题共8小题，每小题8分，共64分．把答案填在横线上1. 已知()02014201320112010201222>=⨯⨯⨯+k k ，则=k . 答案： 220122-（或4048142）解: 2222(2)(1)(1)(2)(4)(1)n n n n n n n n +--++=+--24222(54)(2).n n n n =+-+=-2. 函数()sin()sin()cos 366f x x x x ππ=++--+的最小值等于 .答案：1 解：因为()sin coscos sinsin coscos sincos 36666cos 32sin()3,6f x x x x x x x x x πππππ=++--+=-+=-+所以)(x f 的最小值为1.3. 已知 1()2bx f x x a +=+，其中,a b 为常数，且2ab ≠. 若 1()()f x f k x⋅=为常数，则k 的值为 .答案：1.4解：由于222211(1)()()222(4)2bx b x bx b x bk f x f x x a ax ax a x a+++++=⋅=⋅=+++++是常数，故2a k b ⋅=，且22(4)1a k b +=+. 将2b ak =代入22(4)1a k b +=+整理得22(4)(14)0k k a k -+-=，分解因式得2(41)(1)0k ka --=. 若410k -≠，则210ka -=，因此222ab ka ==，与条件相矛盾. 故410k -=，即14k =.4. 已知方程2133x x p +-=有两个相异的正实数解，则实数p 的取值范围是 .答案：9(,2).4--解法一：令3x t =，则原方程化为230t t p --=. 根据题意，方程230t t p --=有两个大于1的相异实根.令2()3f t t t p =--，则22(3)40,9(1)1310, 2.431.2p f p p ⎧∆=-+>⎪⎪=-⨯->⇒-<<-⎨⎪⎪>⎩解法二：令3x y =，则原方程化为230y y p --=. 注意到这个关于y 的方程最多有两个解，而由3x y =严格单调递增知每个y 最多对应一个x ，因此所求的p 应当使230y y p --=有两个相异的实数解12,y y ，且满足12123,3x x y y ==的两个实数12,x x 都是正的. 由于12,x x 都是正的，故12,y y 都应大于1. 由于123y y +=，故213y y =-，因此1y 必须满足11y >，131y ->及113y y ≠-. 因此1y 的取值范围为33(1,)(,2)22U . 因此1211(3)p y y y y =-=--的取值范围为9(,2)4--.5. 将25个数排成五行五列：11121314152122232425313233343541424344455152535455a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a 已知第一行11a ,12a ,13a ,14a ,15a 成等差数列，而每一列1j a ，2j a ，3j a ，4j a ，5j a （15j ≤≤）都成等比数列，且五个公比全相等. 若244a =,412a =-,4310a =,则1155a a ⨯的值为______.答案：11-解：可知每一行上的数都成等差数列，但这五个等差数列的公差不一定相等.由412a =-,4310a =知4210(2)42a +-==且公差为6，故4416a =,4522a =. 由244a =,4416a =知公比2±=q .若2=q ，则113214a s -==-,55222411a =⨯=⨯，故115511a a ⨯=-；若2-=q ，则113214a s -==,5522(2)4(11)a =⨯-=⨯-，故115511a a ⨯=-.6.设点P 在曲线12x y e =上，点Q 在曲线ln(2)y x =上，则PQ 的最小值为______.ln 2)-.函数12x y e =与函数ln(2)y x =互为反函数，图象关于y x =对称.函数12x y e =上的点1(,)2x P x e 到直线y x =的距离为d =.设函数min min 11()()1()1ln 222x x g x e x g x e g x d '=-⇒=-⇒=-⇒=由图象关于y x =对称得：PQ最小值为min 2ln 2)d =-.7.将2个a 和2个b 共4个字母填在4×4方格表的16个小方格内，每个小方格内至多填一个字母，若使相同字母既不同行也不同列，则不同的填法种数共有 .答案：3960解：使得2个a 既不同行也不同列的填法有224472C A =种，使得2个b 既不同行也不同列的填法有224472C A =种，故由乘法原理，这样的填法共有272种.其中不合要求的有两种情况：2个a 所在的方格内都填有b 的情况有72种；2个a 所在的方格内恰有1个方格填有b 的情况有121691672C A =⨯种. 所以，符合条件的填法共有2727216723960--⨯=种.8.一个直角梯形的上底比下底短，该梯形绕它的上底旋转一周所得旋转体的体积为112π，该梯形绕它的下底旋转一周所得旋转体的体积为80π，该梯形绕它的直角腰旋转一周所得旋转体的体积为156π，则该梯形的周长为 .答案：16+解：设梯形的上底长为a ，下底长为b ，高为h ，则梯形绕上底旋转所得旋转体的体积为22211()(2)33h b h a b h a b πππ+-=+，因此21(2)1123h a b ππ+=，即2(2)336h a b +=. 同理有2(2)240h a b +=，两式相除得2336722405a b a b +==+，去分母化简得3b a =，代入2(2)336h a b +=得248ah =.注意到直角腰长等于高h ，梯形绕它的直角腰旋转一周所得旋转体为圆台，其体积为221()1563h a ab b ++=. 将3b a =代入化简得236a h =. 结合248ah =可解得3,4a h ==，因此9b =，由勾股定理知另一条腰的长度为=39416+++=+二、解答题：本大题共3小题，共56分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．1．（本小题满分16分）设椭圆2222+=1x y a b(>>0)a b 的左、右顶点分别为,A B ，点P 在椭圆上且异于,A B 两点，O 为坐标原点. 若||=||AP OA ，证明：直线OP 的斜率k满足||k >.解法一：设(cos ,sin )(02)P a b θθθπ≤<,(,0)A a -. 由||||AP OA =，有a =，即22222cos 2cos sin 0a a b θθθ++=. ……4分从而 22222221cos 0,cos 2cos sin sin .a ab a θθθθθ-<<⎧⎨--=<⎩ 所以，1cos 02θ-<<，且2222sin 213cos cos b a θθθ=-->.所以，sin ||cos b k a θθ==> ……16分解法二：设(cos ,sin )(02)P a b θθθπ≤<.则线段OP 的中点(cos ,sin )22a bQ θθ.||=||AP OA 1AQ AQ OP k k ⇔⊥⇔⨯=-.sin sin cos 22cos AQ AQ AQ b k b ak ak a a θθθθ=⇔-=+. ……8分22222222222)cos (sin )(2AQAQ AQ AQ k a a k a b k b b ak +<+=+⋅+≤⇒θθ||||AQ k k ⇔<⇔> ……16分2．（本小题满分20分）设非负实数a ，b ，c 满足3=++c b a . 求222222()()()S a ab b b bc c c ca a =-+-+-+的最大值.解：不妨设c b a ≥≥.显然有222b bc c b -+≤，222c ca a a -+≤.……………5分根据AM-GM 不等式可得2222223662255433()()9223344()4()()12.229333ab ab S a b a ab b a ab b ababa b a b c a ab b ≤-+=⋅⋅⋅-++++++-+≤=≤=⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎣⎦ ……………15分所以S 的最大值为12，这时()()0,1,2,,=c b a .……………20分3．（本小题满分20分）求出所有的函数**:f N N →使得对于所有x ，y*N ∈，2(())f x y +都能被2()f y x +整除.解：根据题目的条件，令1==y x ，则2((1))1f +能被(1)1f +整除. 因此2((1))(1)f f -能被(1)1f +整除，也就是(1)((1)1)f f -能被(1)1f +整除. 因为(1)f 与(1)1f +互素，所以(1)1f -能被(1)1f +整除，且(1)1(1)1f f +>-，所以(1)10f -=，(1)1f =.……………10分令1=y ，则2(())1f x +能被21x +整除，因此22(())f x x ≥.从而()f x x ≥，对所有x *N ∈.令1=x ，则1y +能被()1f y +整除.从而()y f y ≥，对所有y *N ∈. 综上所述，()f x x =，对所有x *N ∈.……………20分。

2012年全国高中数学联赛模拟卷(5)(一试+二试,附详细解答)

2012年全国高中数学联赛模拟卷(5)第一试(考试时间：80分钟满分：120分)姓名：_____________考试号：______________得分：____________一、填空题（本大题共8小题，每小题8分，共64分）__________1. 正八边形87654321A A A A A A A A 边长为1，任取两点j i A A ，则21A A A A j i ⋅最大值为__________2. 若ii ikk k kxa x x f C-==∑∑=--=20072007020072007)3()1()(，则∑=20071k ka＝_________3. 若关于x 的方程0142)6(22222=+-+++-+-b a b a x b b a x 的两个实数根21,x x 满足,1021≤≤≤x x 则4422+++a b a 的最小值为______________, 最大值分别为____________4. 设P 双曲线x 2a 2－y 2b2＝1右支上一动点，过P 向两条渐近线作垂线，垂足分别为点B A ,，若点B A ,始终在第一、第四象限内，则双曲线离心率e 的取值范围是___________. 5. 对于实数x ，[]x 表示不超过x 的最大整数。

对于某个整数k ，恰存在2008个正整数200821,,,n n n ，满足[][][]320083231n n n k ====，并且k 整除)2008,2,1( =i n i，则k =___________.6. A 、B 两队进行乒乓球团体对抗赛，每队各三名队员，每名队员出场一次。

A 队的三名队员是321,,A A A ，B 队三名队员是B 1, B 2, B 3,，且i A 对j B 的胜率为ii +j(1≤i , j ≤3)，A 队得分期望的最大可能值是________.7. △ABC 的三边长分别为13, 14, 15, 有4个半径同为r 的圆O , O 1, O 2, O 3放在△ABC 内，并且⊙O 1与边AB 、AC 相切，⊙O 2与边BA 、BC 相切，⊙O 3与边CB 、CA 相切，⊙O 与⊙O 1, O 2, O 3相切, 则r =_________. 8. 设,a b都是正整数，且(1001a +=，则ab 的个位数字是__________二、解答题（本大题共3小题，第9题16分，第10、11题20分，共56分）9．已知：实数),,2,1(n i a i =满足1(1,2,,)ia i n i≥= ，证明：1212112(1)()()(12)2(1)!nn na a a a a na n n +++≥+++++10. 已知数列}{n a 由222*11112,,()3n nn a a a a a n N +-==++∈ 确定, 若对于任意*N n ∈，12111111nM a a a ++<+++ 恒成立。

2012年全国高中数学联赛模拟卷(2)(一试+二试_附详细解答)

n
a0 n
当 n 1 时，
1 a0 n ．即有 an a0 n ,从而 an1 a0 (n 1) .于是， i 1 1 ai 1
n
1 a
i 1
n
1

i 1
1 1； 1 a0
a 当 2 n 0 1 时，由 {an } 递减得 2
距离的两倍,设 P(x, ex)为 y=ex 上任意点, 则 P 到直线 y=x 的距离 d ( x)
/ 因 d ( x)
| ex x | 2

ex x 2
,
2 ,即 PQ min= 2 . 2 2 2 2 2 6.解: 解：用 1 x 代替原式中的 x 得： f ( x 3x 5) 2 f ( x x 3) 6 x 2 x 13 2 2 解二元一次方程组得 f ( x x 3) 2x 2x 3 ，所以： f ( x) 2 x 3 ，则 f (2011) 4019 ．（分析得 f ( x ) 为一次多项式，可直接求 f ( x ) 解析式）
n
1 a
i 1
n
1

i 1
n n 1. 1 an1 a0 n 2
1 故 a0 n an a0 n a0 n 1．所以， [an ] a0 n . i 1 1 ai 1 10. 解（1）依题意设直线 l 方程为 y k ( x 2) 3 ，与椭圆联立得
kabc (a b) 2 (a b 4c) 2 ，求 k 的最大值。 abc
1
2012 年全国高中数学联赛模拟卷答案
1.解：令 sinx+cosx=t, 则 t= 2 sin( x

NOIP2012信息学奥林匹克竞赛初赛-模拟卷

2012年全国青少年信息学奥林匹克联赛初赛模拟试题一.单项选择题（共10题,每题1.5分,共计15分,每题有且仅有一个正确答案。

）1、以下说法正确的是（）A、第一个提出“goto语句有害论”的计算机科学家是Donald E.KnuthB、被誉为“迄今最伟大的计算机程序员、算法学家”的是Edsger Wybe DijkstraC、世界上第一位程序员是V on NoumaD、被誉为“计算机语言之母”的是Grace Hopper2、关于CPU的说法正确的是（）A、计算机的运算速度取决于给定的时间内,它的处理器所能处理的数据量。

B、64位计算机指的是CPU每秒钟可处理的数据为2^64位。

C、双核CPU,是指在一个主板上放入两个CPU并行进行工作。

D、我国自主产权的CPU龙芯3A集成了两个处理器核心3、ASCII码表中的大写字母后有6个其它字符,接着便是小写字母。

现已知:A字母的ASCII码为（41）16{表示16进制数41 },那么f应为( )10A、46B、78C、102D、1084、Pascal的创始人是（）。

（A）Donald E.Knuth （B）Steve Jobs （C）Charles Bachman D （D）Niklaus Wirth5、若二叉树的先序遍历序列为ABDECF,中序遍历序列DBEAFC,则其后序遍历序列为（）A. DEBAFCB. DEFBCAC. DEBCFAD. DEBFCA6、已知后缀表达式abc+*d-,则它的中缀表达式和前缀表达式分别是:A） (a+b)*c-d -+*abcd B）a+b*c-d -+a*bcdC）a*(b+c)-d -*a+ bcd D）a*(b+c)-d -a b*+cd7、由权值为9,2,5,7的四个叶子结点构造一棵哈夫曼树,该树的带权路径长度为（）A.23B.37C.44D.468、排序算法是稳定的意思是:关键码相同的记录排序前后相对位置不发生改变,下列哪种排序算法是不稳定的:A) 冒泡排序 B) 插入排序 C) 归并排序 D) 快速排序9、下图给出了一个加权有向图,从顶点V1出发,以下哪个是活动中的关键路径（）A. V1,V5,V3,V2B. V1,V4,V3,V2C. V1,V4, V2D. V1,V4,V5,V3,V210、以下有关全国信息学奥林匹克竞赛说法有误的是（）A、 NOI评测只检查按照要求输出的结果,而不涉及过程和算法。

2012年全国高中数学联赛试题及详细解析

2012年全国高中数学联赛一试参考答案及详细评分标准一、填空题：本大题共8小题，每题8分，共64分．把答案填在题中的横线上． 1.设P 是函数2y x x=+〔0x >〕的图像上任意一点，过点P 分别向直线y x =和y 轴作垂线，垂足分别为,A B ，则PA PB ⋅的值是． 2.设ABC ∆的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，且满足3cos cos 5a Bb Ac -=，则tan tan AB的值是 .3.设,,[0,1]x y z ∈，则M =是 .4.抛物线22(0)y px p =>的焦点为F ，准线为ｌ，,A B 是抛物线上的两个动点，且满足3AFB π∠=．设线段ＡＢ的中点M 在ｌ上的投影为N ，则||||MN AB 的最大值是 . 5．设同底的两个正三棱锥P ABC -和Q ABC -内接于同一个球．假设正三棱锥P ABC -的侧面与底面所成的角为45，则正三棱锥Q ABC -的侧面与底面所成角的正切值是．()f x 是定义在R 上的奇函数，且当0x ≥时，()f x x 2=．假设对任意的[,2]x a a ∈+，不等式()2()f x a f x +≥恒成立，则实数a 的取值范围是． 7.满足11sin 43n π<<的所有正整数n 的和是． 8.某情报站有,,,A B C D 四种互不相同的密码，每周使用其中的一种密码，且每周都是从上周未使用的三种密码中等可能地随机选用一种．设第１周使用Ａ种密码，那么第７周也使用Ａ种密码的概率是．〔用最简分数表示〕二、解答题：本大题共3小题，共56分．解答应写出文字说明、推理过程或演算步骤． 9.〔本小题总分值16分〕已知函数131()sin cos 2,,022f x a x x a a R a a =-+-+∈≠ 〔1〕假设对任意x R ∈，都有()0f x ≤，求a 的取值范围；〔2〕假设2a ≥，且存在x R ∈，使得()0f x ≤，求a 的取值范围．10.〔本小题总分值20分〕已知数列{}n a 的各项均为非零实数，且对于任意的正整数n ，都有23331212()n n a a a a a a +++=+++〔1〕当3n =时，求所有满足条件的三项组成的数列123,,a a a ;〔2〕是否存在满足条件的无穷数列{}n a ，使得20132012?a =-假设存在，求出这样的无穷数列的一个通项公式；假设不存在，说明理由．11.〔本小题总分值20分〕如图，在平面直角坐标系XOY 中，菱形ABCD 的边长为4，且6OB OD ==．〔1〕求证：||||OA OC ⋅为定值；〔2〕当点A 在半圆22(2)4x y -+=〔24x ≤≤〕上运动时，求点C 的轨迹．2012年全国高中数学联赛加试试题一、〔此题总分值40分〕如图，在锐角ABC ∆中，,,AB AC M N >是BC 边上不同的两点，使得.BAM CAN ∠=∠设ABC ∆和AMN ∆的外心分别为12,O O ，求证：12,,O O A三点共线。

2012年全国高中数学联赛模拟卷(10)(一试+二试,附详细解答)

2012年全国高中数学联赛模拟卷(10)第一试(考试时间：80分钟满分：120分)姓名：_____________考试号：______________得分：____________一、填空题（本大题共8小题，每小题8分，共64分）1、设a , b 是两个正整数, 它们的最小公倍数是24·33·72·11, 那么这样的有序正整数对(a , b )有 _ 组.2、方程16sin πx cos πx ＝16x ＋1x的解集合为3、三棱锥S ABC -是三条侧棱两两垂直的三棱锥，O 是底面ABC ∆内的一点，那么tan tan tan W OSA OSB OSC =∠⋅∠⋅∠的最小值是______________4、对任意,x y R ∈，代数式M =________5、计算：232010sinsinsin sin 2011201120112011ππππ= _______________ 6、篮球场上有5个人在练球，其战术是由甲开始发球（第一次传球），经过六次传球跑动后（中途每人的传球机会均等）回到甲，由甲投3分球，其中不同的传球方式为___________种． 7、对,x y R ∀∈，函数(,)f x y 都满足：①(0,)1f y y =+；②(1,0)(,1)f x f x +=； ③(1,1)(,(1,))f x y f x f x y ++=+；则(3,2011)f =__________________8、设2n 个实数122,,,n a a a 满足条件21211()1n i i i aa -+=-=∑则12212()()n n n n a a a a a a μ++=+++-+++ 的最大值为________________二、解答题（本大题共3小题，第9题16分，第10、11题20分，共56分）9．设由不超过1000的两个正整数组成的数对(,)m n满足条件：11m m n n+<<+．试求所有这样的数对(,)m n 的个数．10. P 是椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)上任意一点，12,F F 是椭圆的焦点，12,PF PF 分别交椭圆与,A B 两点，求证：1212||||||||PF PF F A F B +是定值．11. 给定大于2011的正整数n ，将21,2,3,,n 分别填入n n ⨯的棋盘的方格中，使每个方格恰有一个数，如果一个方格中填的数大于它所在行至少2011个方格内所填的数，且大于它所在列至少2011个方格内所填的数，则称这个方格为“优格”，求棋盘中“优格”个数的最大值．(考试时间：150分钟满分：180分)姓名：_____________考试号：______________得分：____________一、（本题满分40分）设D 为ABC ∆内的一点，作DP ⊥BC 于P ，DQ ⊥AC 于Q ，DR ⊥AB 于R求证：QR PQ =是DCDABC BA =的充要条件。

2012年高中联赛模拟题1

全国高中数学联赛模拟题(1)一试一、填空题（本题满分64分,每小题8分）1.在数列{}n a 中,12a =,21a =-,且21n n n a a a ++=-,则2011a ＝．2.设正整数a ,b ,c 成等比数列,b a -是一个完全平方数,666log log log 6a b c ++=,则a b c ++= ．3.一列数123,,,a a a 满足对于任意正整数n ,都有312n a a a n +++= ,则23100111111a a a +++=--- ． 4.设1a <-,变量x 满足2x ax x +≤-,且2x ax +的最小值为12-,则a =_______． 5.正整数500n ≤,具有如下性质：从集合{}1,2,,500 中任取一个元素m ,则m 整除n 的概率是1100,则n 的最大值是 . 6.集合{1,2,…,2011}的元素和为奇数的非空子集的个数为 . 7．一个直径2AB =的半圆,过A 作这个圆所在平面的垂线,在垂线上取一点S ,使AS AB =,C 为半圆上一个动点,,N M 分别为A 在,SC SB 上的射影．当三棱锥S AMN -的体积最大时,BAC ∠=_________．8.抛物线28y x =被2y kx =-截得的弦AB 中点的横坐标为2,则AB = .二、解答题（第9题16分,第10、11题各20分,共56分）9.设[),,1x y z ∈+∞，,证明:2222(22)(22)(22)()22x x y y z z xyz xyz -+-+-+≤-+．10.已知双曲线C ：22221x y a b-=（0a >,0b >）的离心率为2,过点(0)P m ，（0m >）斜率为1的直线l 交双曲线C 于A 、B 两点,且3AP PB = ,3OA OB ⋅=．（1）求双曲线方程；（2）设Q 为双曲线C 右支上动点,F 为双曲线C 的右焦点,在x 轴负半轴上是否存在定点M 使得2QFM QMF ∠=∠？若存在,求点M 的坐标；若不存在,说明理由．11.设12,,,,n x x x 是不同的正实数.证明：12,,,,n x x x 是一个等比数列的充分必要条件是：对所有整数(2)n ≥,都有2221112212121n nn k k k x x x x x x x x x -=+-=-∑.加试1. 实数a 使得对于任意实数12345,,,,x x x x x ,不等式222221234512233445()x x x x x a x x x x x x x x ++++≥+++都成立,求a 的最大值．2. 在直角三角形ABC 中,90B ∠=︒,它的内切圆分别与边BC ,CA ,AB 相切与点D ,E ,F ,连接AD ,与内切圆相交于另一点P ,连接PC ,PE ,PF ．已知PC PF ⊥, 求证：PE ∥BC ．E F P D C B A3．对正整数n ,记()f n 为数231n n ++的十进制表示的数码和． (1) 求()f n 的最小值；(2) 是否存在一个正整数n ,使得()f n =100？4．求满足如下条件的最小正整数n ,在圆O 的圆周上任取n 个点12,,,n A A A ,则在2n C 个角(1)i j A OA i j n ∠≤<≤中,至少有2011个不超过120︒．参考答案一试1. 0．因为12a =,21a =-,33a =,44a =,51a =,63a =,72a =,81a =,91a =,100a =, 111a =,121a =,130a =,….所以,自第8项起,每三个相邻项周期地取1,1,0,故2011a =0． 2． 111．由题意,2b ac =,6log 6abc =,所以,66abc =,故2636b ==,236ac =．于是,36－a 是平方数,所以,a 只可能为11,20,27,32,35,而a 是236的约数,故27a =．进而,48c =．所以,111a b c ++=．3．33100．当2n ≥时,有312n a a a n +++= ,3121(1)n a a a n -+++=- ,两式相减,得 2331n a n n =-+,所以11111(),2,3,13(1)31n n a n n n n==-=--- 故23100111111a a a +++--- 11111111(1)()()32323399100=-+-++- 10033=．4. 32-．由1a <-及2x ax x +≤-得0(1)x a ≤≤-+,设222()()24a a f x x ax x =+=+-．若(1)2aa -+<-,即21a -<<-,则()f x 在(1)x a =-+处取最小值(1)1f a a --=+,因此112a +=-,32a =-．若(1)2a a -+≥-,即2a ≤-,则()f x 在2a x =-处取最小值24a -,故得2142a -=-,2a =±（舍去）． 5．81. 由题设知,n 恰有5个约数.设n 的质因数分解是11k kn p p αα= ,则n 的约数个数为1(1)(1)k αα++ ,所以1(1)(1)k αα++ ＝5,故n 具有4p 的形式,而44381,5625500==>,故n 的最大值为81.6． 22010．令f (x )=(1+x )(1+x 2)(1+x 3)…(1+x 2011),问题中要求的答案为f (x )的展开式中,x 的奇次项的系数和．故所求的答案为21(f (1)－f (－1))=22010.7．3arccos3．易知BC SAC ⊥面,所以BC AN ⊥,从而AN SBC ⊥面,所以AN SM ⊥,因此SM AMN ⊥面．13S AMN ANM V SM S -∆=⋅⋅,由2SA AB ==得：2AM SM ==,而AN NM ⊥,AMN ∆为斜边长为2的直角三角形,面积最大在1AN MN ==时取到,此时,3arccos3BAC ∠=． 8．215．设()()1122,,,A x y B x y ,由228ky y =-,即28160ky y --=,所以,1212816, y y y y k k +==-,因此()12128444y y k x x k k=+=+-=-,即220k k --=,因直线2y kx =-过()0,2-和122,2y y +⎛⎫⎪⎝⎭,则0k >,于是2k =,再由22y x =-,28y x =,得()()23, 223, 23, 223A B --++,所以215AB =．9.注意到1,1x y ≥≥,所以222(22)(22)(()22)x x y y xy xy -+-+--+ 222(22)(624)(242)y x y y x y y =-++--+-+22(1)((2)1)y x y x y =--+-+-2(1)(1)(1)0y x x y =---+-≤,所以222(22)(22)()22x x y y xy xy -+-+≤-+．同理,因为1,1xy z ≥≥,所以222(()22)(22)()22xy xy z z xyz xyz -+-+≤-+．10.（1）由双曲线离心率为2知,2c a =,3b a =,双曲线方程化为222213x y a a-=．又直线l 方程为y x m =+．由222213x y a a y x m ⎧-=⎪⎨⎪=+⎩,得2222230x mx m a ---=． ①设11()A x y ，,22()B x y ，,则12x x m +=,221232m a x x --=．因为 3AP PB =,所以 1122()3()x m y x y m --=-，，,123x x =-．结合12x x m +=,解得132x m =,212x m =-．代入221232m a x x --=,得2223342m a m ---=,化简得226m a =．又 1212121222221212()()2()33OA OB x x y y x x x m x m x x m x x m m a a ⋅=+=+++=+++=-=，且3OA OB ⋅=．所以21a =．此时,6m =,代入①,整理得222690x x --=,显然该方程有两个不同的实根．21a =符合要求．故双曲线C 的方程为2213y x -=．（2）假设点M 存在,设(0)M t ，．由（1）知,双曲线右焦点为(20)F ，．设00()Q x y ，（01x ≥）为双曲线C 右支上一点．当02x ≠时,00tan 2Q F y QFM k x ∠=-=--,00tan Q M yQMF k x t∠==-,因为2Q F M Q M F ∠=∠,所以 0002000221()y y x ty x x t⨯--=---．将220033y x =-代入,并整理得,22200002(42)4223x t x t x tx t -++-=--++．于是 242243t t t t +=-⎧⎨-=+⎩,解得1t =-．当02x =时,090QFM ∠=,而1t =-时,045QMF ∠=,符合2QFM QMF ∠=∠．所以1t =-符合要求．满足条件的点M 存在,其坐标为(10)-，．11.必要性：若12,,,,n x x x 是一个等比数列,设1k k x ar -=,则22(1)1112111211nn n n k k k k k x x r x x x rr----==+=∑∑2(1)22(2)2111n n r r rr ---=+++=- ＝2212221n x x x x --.充分性：当n ＝2时,两边都等于1.当n ＝3时,有222233311222122321x x x x x x x x x x x x ⎛⎫-+= ⎪-⎝⎭, 化简得2132x x x =,所以,123,,x x x 成等比数列.假设121,,,n x x x - 成等比数列(4n ≥),记1k k x ar -=,1,2,,1k n =- ,n n x au =,则2232522111111n n n n nu u r r r r r u r --⎛⎫-++++= ⎪-⎝⎭, 2242632224(1)(1)(1)n n n n n n u r r r r u r u r ---⎡⎤+++++-=-⎣⎦, 21324()0n n n n n u r r u r ------=,()()130n n nn ur u r ---+=,因为0n u >,所以1n n u r -=,即1n n x ar -=,从而12,,,n x x x 成等比数列.由数学归纳法知,12,,,,n x x x 是一个等比数列.加试1． a 的最大值为233．因为当123451,3,2,3,1x x x x x =====时,得23a ≤．又当23a =时,不等式恒成立．事实上2222212345222222223322441522332233x x x x x x x x x x x x x ++++⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+++++++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 1223344522223333x x x x x x x x ≥+++, 所以,a 的最大值为233．2．连接DE ,DF ,则△BDF 是等腰直角三角形．于是45FPD FDB ∠=∠=︒,故45DPC ∠=︒．又PDC PFD ∠=∠,所以△PFD ∽ △PDC ,所以PF PDFD DC=． ① 又由AFP ADF ∠=∠,AEP ADE ∠=∠,所以,△AFP ∽ △ADF ,△AEP ∽ △ADE ,于是EP AP AP FPDE AE AF DF===,故由①得 EP PDDE DC=． ② 因为EPD EDC ∠=∠,结合②得,△EPD ∽ △EDC ,所以,△EPD 也是等腰三角形,于是PED EPD EDC ∠=∠=∠,所以,PE ∥BC ．EF P DCBA3．（1）由于231n n ++是大于3的奇数,故()1f n ≠．若()2f n =,则231n n ++只能为首位和末位为1,其余数码为0的一个数,即231n n ++=101k +,k 是大于1的整数．于是(31)25k k n n +=⋅,由于(),311n n +=,所以2,315,kkn n ⎧=⎪⎨+=⎪⎩于是314425k kn n +≤=⋅<,矛盾！故()2f n ≠．又当n =8时,231n n ++=201,所以(8)3f =．综上所述,()f n 的最小值为3.（2）事实上,令101k n =-,则22313105103k k n n ++=⨯-⨯+1129999500003k k --=, 其数码和为29(1)5391k k +-++=+.由于100=9×11+1,故取11101n =-,则()f n =100.4．首先,当n ＝90时,如图,设AB 是圆O 的直径,在点A 和B的附近分别取45个点,此时,只有245245441980C =⨯=个角不超过120︒,所以,n ＝90不满足题意．当n ＝91时,下面证明至少有2011个角不超过120︒．把圆周上的91个点1291,,,A A A 看作一个图的91个顶点,1291,,,v v v ,若120i j A OA ∠>︒,则在它们对应的顶点,i j v v 之间连一条边,这样就得到一个图G ．设图G 中有e 条边,易知,图中没有三角形．若e ＝0,则有29140952011C =>个角不超过120︒,命题得证．若1e ≥,不妨设顶点12,v v 之间有边相连,因为图中没有三角形,所以,对于顶点(3,4,,91)i v i = ,它至多与12,v v 中的一个有边相连,所以12()()89291d v d v +≤+=,其中()d v 表示顶点v 的度,即顶点v 处引出的边数．因为1291()()()2d v d v d v e+++= ,而对于图G 中的每一条边的两个顶点,i j v v ,都有()()91i j d v d v +≤,于是,上式对每一条边求和可得2221291(())(())(())91d v d v d v e +++≤ ,由柯西不等式222221*********[(())(())(())][()()()]4d v d v d v d v d v d v e +++≥+++= ,所以 222212914(())(())(())9191e d v d v d v e ≤+++≤ , 故29120714e ≤<,所以,91个顶点中,至少有291207120242011C -=>个点对,它们之间没有边相连,从而,它们对应的顶点所对应的角不超过120︒．综上所述,n 但最小值为91．BAO。

2012年全国联赛模拟试卷

2 ． 9
由题设可知， MND 为直角三角形，MN 为斜边，在线段 MN 的运动过程中，总有 DP MN 1 ，所以 P 点的轨迹是以 D 为球心，半径为 1 的球面被直平行六面体 ABCD—A1B1C1D1 所截得的部分，又因为∠ ADC=120° ，所以 P 点的轨迹恰好是半个球面的三分之一，它与该直平行六面体表面所围成的几何体中较小的体积为 4．答案： 194．
1 2 2 ( xM x N ) x ( y M y N ) y ( y M yN ) ( xM x N ) 2
1 2 2 又 ( yM yN ) ( xM x N ) 2 1 4 2 ( 2 4k 2 ) ( 2 2k 2 ) 0 2 k k
2012 年高中数学联赛模拟真题第一试一、填空题：本大题共 8 小题，每小题 8 分，共 64 分．把答案填在横线上． 1 ．对于任意的 x ，都有 a cos x b cos 2 x 1 ，则 a b 的最大值是。
2．对于任意实数 a，b，不等式 max a b , a b , 2010 b C 恒成立，则常数 C 的最大值是中的最大者．） 3．已知每条棱长都为 3 的直平行六面体 ABCD—A1B1C1D1 中，∠ BAD=60° ，长为 2 的线段 MN 的一个端点 M 在 DD1 上运动，另一个端点 N 在底面 ABCD 上运动，则 MN 中点 P 的轨迹与该直平行六面体表面所围成的几何体中较小的体积值为 ___________．
1 1 4 3 2 1 ． 3 2 3 9 1 2
由题知 a c 2b, bd c2 , d a 90 ，消去 c、d，可得 b(a 90) (2b a)2 ，即 90b 4b a b a ，因为 4b a b a mod 6 ，所以 4b a, b a 都是 6 的倍数，又因为 3b 4b a 4b 22.5 b a 30 ，所以 b a 24 ，从而 4b a