第三章离散系统时域分析

§3.3 卷积和 ( Convolution Sum)
LTI离散系统的零状态输出响应
δ(k) ∑Aδ(k-i) δ(k-n)
任意信号： 线性非时变 离散系统 （零状态）
h (k) ∑Ah (k-i) h (k-n)
零状态响应：
f (k) = ∑ f (i)δ (k −i)
∞
= f (k) ∗δ (k)
例3.求信号的卷积和： f (k) = ( 1 )k ε (−k) ∗(3)k [ε (k) −ε (k − 2)] 3.求信号的卷积和： 2 解： Q [ε (k) −ε (k − 2)] = δ (k) +δ (k −1)
∴ f (k) = ( 1 )k ε (−k) ∗[δ (k) + 3δ (k −1)] 2
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§3.2 单位序列和单位序列响应 单位脉冲序列和单位阶跃序列： 一、单位脉冲序列和单位阶跃序列：
定义
δ (k) =
0
1
δ (k)
k ≠0
k =0
1 −1 0 12 3
k
延迟的δ(k)
δ (k − 3) =
0
1
δ (k − 3)
k ≠3
k =3
1 −1 0 12 3 4
k
门函数
1
f (k)
第三章 离散时间系统的时域分析
本章要点： 本章要点：
1.LTI离散系统的响应： LTI离散系统的描述方法 差分方程） 离散系统的描述方法（ 1.LTI离散系统的响应： LTI离散系统的描述方法（差分方程）及 离散系统的响应 零输入响应和零状态响应的概念。 零输入响应和零状态响应的概念。 2.单位序列和单位序列响应 单位序列和单位序列响应： 2.单位序列和单位序列响应：概念 3.卷积和 时域分析的核心，理解其概念，会计算简单的卷积。 卷积和： 3.卷积和：时域分析的核心，理解其概念，会计算简单的卷积。 4.* 4.*反卷积 重点： 重点：卷积和
例2：求 y(k)=(0.5)k ε(k) ∗ [ε(k)- ε(k-5)] 解： y1(k) = (0.5) ε(k) ∗ε (k) = ∑(0.5)i ε (i)ε (k −i)
k k i =0 k +1
∑ai =
i=1
n
a1 − qan 1− q
= ∑(0.5)i =
i =0
k
1− (0.5) ε (k) = [2 − (0.5)k ]ε (k) 1− 0.5
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LTI离散系统的响应 §3.1. LTI离散系统的响应
一、差分与差分方程
序列的差分与累加：（离散）差分→微分（连续） 序列的差分与累加：（离散）差分→微分（连续） ：（离散 离散）累加→积分（连续） （离散）累加→积分（连续） 一阶前向(左移)差分: 一阶前向(左移)差分: 一阶后向(右移)差分: 一阶后向(右移)差分:
0
1
ε (k − 3)
1
k <3
k ≥3
L
−1 0 12 3 4 5 6
k
门函数
1
ε (k − 2) −ε (k − 6)
−1 0 12 3 4 5 6
k
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§3.2 单位序列和单位序列响应
δ (k) = ∇ε (k) = ε (k) − ε (k −1)
0, k < 0 ε (k) = ∑δ (i) = 1 i =−∞ , k ≥0
k
求：
− ∞ < k < ∞,
(1) f1 ( k ) ∗ f 2 ( k ) (2 ) f1 ( k ) ∗ f 2 ( k )
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§3.3 卷积和
例1：求 y(k)= ε(k) ∗ ε(k) 解： y(k) = ∑ε (i)ε (k − i) =∑ = (1+ k)ε (k) 1
i =0 i=0 k k
∑a
j =0
n
n− j
y zi (k − j ) = 0
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LTI离散系统的响应 §3.1 LTI离散系统的响应
四、零状态响应 零状态响应
系统的初始状态为零时，仅由输入信号 f (k ) 引起的响应， m 用 y zs (k ) 表示。 n
∑a
j =0
n− j
y zs (t ) = ∑ bm − i f (k − i )
h(k ) = ∇g (k ) = g (k ) − g (k − 1)
g (k ) =
i = −∞
∑ h(i ) = ∑ h(k − j )
j =0
k
∞
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§3.3 卷积和 ( Convolution Sum) 一、卷积和
任意离散信号可分解为单位函数：
f(k)=······+f(-1)δ(k+1)+ f(0)δ(k)+ f(1)δ(k-1)+ ······+ f(i)δ(k-i)+······
i =0
y zs (− 1) = y zs (− 2 ) = ⋅ ⋅ ⋅ = y (− n ) = 0
y zs ( k ) = ∑ C zsj λkj + y p (k )
y C zsj为待定常数， p (k ) 为方程特解。
j =1
n
五、全响应
y (k ) = y zi (k ) + y zs (k )
f (k) = δ (k − 2) +δ (k − 3) +δ (k − 4) +δ (k − 5)
k
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−1 0 12 3 4 5 6
§3.2 单位序列和单位序列响应 定义
ε (k) =
0
1
ε (k)
k <0
k ≥0
1
L
−1 0 12 3 4 5 6
k
延迟的阶跃序列
ε (k − 3) =
∇ f (k ) =∇ ∇ [
n n− 1
n f (k )] = ∑(−1) f (k − j ) j j =0
nБайду номын сангаасj
n n！ = ， ，， n ， j (n − j ) j！ j = 0 1 2 ⋅ ⋅ ⋅， ！ 长春理工大学
§3.1. LTI离散系统的响应 LTI离散系统的响应 累加： 序列 f (k ) 累加：
i=−∞
yzs (k) = ∑ f (i)h(k −i) = f (k) ∗h(k)
i=−∞
∞
系统的零状态响应：
yzs (k) =L+ f (−1 h(k +1 + f (0)h(k) + f (1 h(k −1 + ) ) ) ) L+ f (i)h(k −i) +L = ∑ f (i)h(k −i) = f (k) ∗h(k)
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LTI离散系统的响应 §3.1. LTI离散系统的响应 二、差分方程的经典解
常系数线性差分方程
∑an− j y(k − j) = ∑bm−i f (k − i) j =0 i=0
式中： 式中：an =1 差分方程的全解为： 差分方程的全解为：
n
m
y(k) = yh (k) + yp (k)
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LTI离散系统的响应 §3.1. LTI离散系统的响应
齐次解 输入输出方程可用后向差分方程表示为 ：
y(k) + an−1 y(k −1) +La1 y(k − n +1) + a0 y(k − n) = bm f (k) + bm−1 f (k −1) +L+b1f (k − m +1) + b0 f (k − m)
∇f (k) = ∆f (k −1)
二阶后向(右移)差分: 二阶后向(右移)差分: n阶后向差分： 阶后向差分：
def 2
def
∇f (k) = f (k) − f (k −1)
∆f (k) = f (k +1) − f (k)
def
def
∇ f (k) =∇[∇f (k)] = f (k) − 2 f (k −1) + f (k − 2)
y2 (k) = (0.5)k ε (k) ∗ε (k − 5) = y1(k − 5) = [2 − (0.5)k−5 ]ε (k − 5)
∴ y(k) = y1(k) − y2 (k) = [2 − (0.5)k ]ε (k) −[2 − (0.5)k−5 ]ε (k − 5)
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§3.3 卷积和
m=−∞
∞
∞
f (k ) → f (k ) ∗ h(k )
于是，得到系统在一般信号f(k)激励下的零状态响应为
yzs (k) = ∑ f (i)h(k − i) = f (k) ∗ h(k)
i=−∞
∞
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§3.3 卷积和 ( Convolution Sum)
例 3.3-1如
f 1 ( k ) = (0 . 5 ) ε (k ) f 2 (k ) = 1， f 3 (k ) = ε (k ) ， ，
k
0, k < 0 ε (k) = ∑δ (k − j) = 1 j =0 , k ≥0
∞
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§3.2 单位序列和单位序列响应 二、单位序列响应和阶跃响应 单位脉冲序列 δ (k ) 作用于离散时间LTI系统所产生的 零状态响应称为单位脉冲响应, 用符号 h(k ) 表示 单位脉冲序列 ε (k ) 作用于离散时间LTI系统所产生的 零状态响应称为单位脉冲响应, 用符号 g (k ) 表示
= ( 1 )k ε (−k) ∗δ (k) + ( 1 )k ε (−k) ∗3δ (k −1) 2 2 = ( 1 )k ε (−k) + 3( 1 )k−1ε (−k +1) 2 2 = ( 1 )k ε (−k) + 3( 1 )k−1[ε (−k) +δ (k −1)] 2 2