最新人教版高中数学必修4第一章《任意角的三角函数》温故知新
高一数学人教A版必修4第一章1.2任意角的三角函数5课时课件()
习题 1.2 A组
第 1、2、3、4、5、8 题
习题 1.2
A组
1. 用定义法、公式一以及计算器等求下列角的
三个三角函数的值:
(1)
-
17
3
;
(2)
21
4
;
解: (1) 定义法:
(3)
-
23
6
;
(4) 1500.
yp
因为 与 的终边相同, 如图:
取终边上一点P, x =1,
则 r =2.
得
o1 x
(2) tan193 ;
(4)
tan(
-
31
4
).
解: (1) cos1109= cos(29+3360)
= cos29 ≈0.8746.
(2)
练习: (课本15页)
7. 求下列三角函数值(可用计算器):
(1) cos1109; (3) sin(-1050);
(2) tan193 ;
(4)
tan(
o
x
(-) (-) (-) (+) (+) (-)
sina
cosa
tana
请同学们归纳后记住各象限角的符号:
正弦上正下负, 余弦右正左负, 正切一三正二四负.
例3. 求证: 当且仅当下列不等式组成立时, 角q 为
第三象限角.
stainnqq
0, 0.
证明: 若 sinq <0 q 是三、四象限的角,
5. 根据下列条件求函数
f
(x)
=
sin(
x
+
4
)+
2sin(
x
-
高中数学必修4：1.2 任意角的三角函数(人教版高中数学必修4第一章三角函数)
r
r
x
一个角的三角函数的值，与其终边所在的位置有关. 一个角的三角函数的符号，与其终边所在的象限有关.
s in y ，c o s x , ta n y
r
r
x
y
y
y
（ ）（ ）（ ） （ ） （ ） （ ）
ox
ox
ox
（ ） （ ）（ ） （ ） （ ） （ ）
sin
sin2 cos2
cos2 sin2 cos2
1
cos2
(1+tan 2 ) cos2 1
“同角”的含义
“同角”有两层含义，一是“角相同”，二是对“任意”一 个角(在使函数有意义的前提下)关系式都成立，与角的表 达形式无关．如：sin23α＋cos23α＝1等.
注意：三角函数的符号与角所在象限的关系.
1.2.3 高考真题演练
1 （2014全国1卷文2）
sin PM y
OP r
cos OM x
OP r
tan PM y
OM x
y
r α O
P(x , y)
M
x
sin
y
3
3r 2
cos
x
1
3r2
tan
y
3
3x
y P
2
60o
O
M
x
y
sin 5 y 1
6 r2
cos 5 x 3
P
6r 2
2
tan 5 y 1 3
150o
6x
内容提要
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1.2.1 任意角的三角函数 1.2.2 同角三角函数的基本关系 1.2.3 高考真题演练
人教课标版高中数学必修4第一章 三角函数任意角的三角函数课件
C．tan
D． cot
）．
（2）函数 y tan x cot x 的定义域是（
k B． x x R，x ，k Z 2
x x R，x k，k Z C．
x x R ， x k ， k Z D． 2
练习： 确定下列三角函数的符号： (1)cos250 ; (2)tan(-672 );
0 0
0
1 (2)sin(- π); 4
(4)tan( 11 π).
3
0
解：(1)因为250 是第三象限角，所以cos250 〈0；
1 1 (2)因为- 4 π是第四象限角，所以sin(- 4 π)〈0；
0 0 0 0
x
O O
y
x
O
y
x
O
x
p ( x, y )
p ( x, y )
如图：设 是任意角，的终边上任意一点P的坐标是( x, y )， 当角 在第一、第二、第三、第四象限的情形，它与原点的 距离为r，则r x y
2 2
y y 定义： (1)比值 叫做的正弦，记作 sin ，即sin r r x x (2)比值 叫做的余弦，记作 cos ，即 cos r r y y (3)比值 叫做的正切，记作 tan ，即 tan x x
(3)因为tan(-672 )=tan(48 -2×360 )=tan48 , 而48 是第一象限角，所以tan(-672 ) 〉0；
11 (4)因为tan( 3
0 0
5 而 3 π是第四象限角，所以tan( 3 π)〈0。
5 5 π)=tan( 3π+2π)=tan( π), 11 3
1.2.1任意角的三角函数课件高中数学人教A版必修4第一章
反思与感悟
利用诱导公式一可把负角的三角函数
化为0到2π间的三角函数，也可把大于2π的角的三
角函数化为0到2π间的三角函数，即实现了“负化
正，大化小”.同时要熟记特殊角的三角函数值.
明目标、知重点
跟踪训练3
求下列各式的值：
23π
(1)cos－ 3 ＋tan
解
17π
4 ；
π
π
原式＝cos3＋－4×2π＋tan4＋2×2π
角为自变量，以比值为函数值的函数， 角的概念推广
后，这样的三角函数的定义明显不再适用，如何对三角
函数重新定义，这一节我们就来一起研究这个问题.
明目标、知重点
探究点一 锐角三角函数的定义
思考1 如图， Rt△ABC中，∠C＝90°，若已知
a＝3，b＝4，c＝5，试求sin A，cos B，sin B，
反思与感悟
准确确定三角函数值中角所在象限是基
础，准确记忆三角函数在各象限的符号是解决这类问
题的关键.可以利用口诀“一全正、二正弦、三正切、
四余弦”来记忆.
明目标、知重点
跟踪训练2
已知cos θ·tan θ<0，那角θ是( C )
A.第一或第二象限角
B.第二或第三象限角
C.第三或第四象限角
D.第一或第四象限角
明目标、知重点
； 叫做α的正切，记作
②终边定义法：
设角α终边上任意一点的坐标为(x，y)，它与原点的距离为r，则
2
2
x
＋y
有sin α＝
，cos α＝
，tan α＝
必修4 第一章 三角函数 知识点详解
资料范本本资料为word版本，可以直接编辑和打印，感谢您的下载必修 4 第一章三角函数知识点详解地点：__________________时间：__________________说明：本资料适用于约定双方经过谈判，协商而共同承认，共同遵守的责任与义务，仅供参考，文档可直接下载或修改，不需要的部分可直接删除，使用时请详细阅读内容必修4 第一章三角函数任意角和弧度制一: 角的概念的推广：平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所的图形。
按逆时针方向旋转所形成的角叫正角，按顺时针方向旋转所形成的角叫负角，一条射线没有作任何旋转时，称它形成一个零角。
射线的起始位置称为始边，终止位置称为终边。
角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形.正角:按逆时针方向旋转所形成的角.负角:按顺时针方向旋转所形成的角.零角:如果一条射线没有做任何旋转,我们称它形成了一个零角.角的概念是通过角的终边的运动来推广的，既有旋转方向，又有旋转大小，同时没有旋转也是一个角，从而得到正角、负角和零角的定义.二: 象限角的概念：在直角坐标系中，使角的顶点与原点重合，角的始边与轴的非负半轴重合，角的终边在第几象限，就说这个角是第几象限的角。
如果角的终边在坐标轴上，就认为这个角不属于任何象限。
三: 终边相同的角的表示：= 1 \* GB3 ①与（0°≤＜360°）终边相同的角的集合（角与角的终边重合）：= 2 \* GB3 ②终边在x轴上的角的集合：= 3 \* GB3 ③终边在y轴上的角的集合：= 4 \* GB3 ④终边在坐标轴上的角的集合：= 5 \* GB3 ⑤终边在y=x轴上的角的集合：= 6 \* GB3 ⑥终边在轴上的角的集合：= 7 \* GB3 ⑦若角与角的终边关于x轴对称，则角与角的关系：= 8 \* GB3 ⑧若角与角的终边关于y轴对称，则角与角的关系：= 9 \* GB3 ⑨若角与角的终边在一条直线上，则角与角的关系：= 10 \* GB3 ⑩角与角的终边互相垂直，则角与角的关系：注意: (1) 终边相同的前提是：原点，始边均相同；(2) 终边相同的角不一定相等，但相等的角终边一定相同；(3) 终边相同的角有无数多个，它们相差的360°整数倍.四: 角度与弧度的互换关系：360°=2 180°= 1°=0.01745, 1=57.30°=57°18′注意：正角的弧度数为正数，负角的弧度数为负数，零角的弧度数为零.、弧度与角度互换公式： 1rad＝°≈57.30°=57°18ˊ．1°＝≈0.01745（rad）五: 弧长公式：，扇形面积公式：，1弧度(1rad).任意角的三角函数一: 任意角的三角函数的定义：设是任意一个角，P是的终边上的任意一点（异于原点），它与原点的距离是，那么，，，，。
高中数学 1.2.1任意角的三角函数 新人教A版必修4
0～ 2 （或0°～360°)范围内的三角函数
值.
ppt课件
例5. 求下列三角函数的值：
(1) cos9;
4
(2) tan( 11).
6
(3)cos4200 (4)sin(3150)
练习:教材P.15练p习pt课件第7题第⑵、⑷.
本堂课我们学到了什么?
1.学习了利用三角函数的定义判断三角 函数值的符号并总结了记忆方法
三角函数
第一象限 第二象限 cos
第三象限 第四象限
sin
+
+_ _
scions
cos
+
__
+
tan
+
_+
_
思考2:你有什么办p法pt课件记住这些信息？
方法总结（二)
• 就象限而言
一全二正弦;三切四余弦
ppt课件
例3 求证：当不等式组
sin
t
a
n
0 0
成立时，角θ为第三象限角.
反之也成立 .
ppt课件
P(x，y)
自学指导
• 1、请同学们根据任意角三角函数的定义判 断三角函数的值在各象限的符号情况，并 尝试归纳出记忆方法。
• 2、仔细理解公式一的内容并考虑该公式有 何功能作用。
• 3、给定一个角如何判定其三角函数值的符 号，请总结解题步骤。
ppt课件
任意角的三角函数值在各象限的符号：
例4 确定下列三角函数值的符号.
（1）cos250 ;（2）s i n ( ) ;（3）tan(672) ;
4
（4）tan3
; （5）c o s 9 4
(完整版)新课标人教A版高中数学必修四三角函数知识点总结,推荐文档
高中数学必修4三角函数知识点总结§1.1.1、任意角1、 正角、负角、零角、象限角的概念.2、 与角终边相同的角的集合：.α{}Z k k ∈+=,2παββ§1.1.2、弧度制1、 把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角.2、 .rl =α3、弧长公式：.R Rn l απ==1804、扇形面积公式：.lR R n S 213602==π§1.2.1、任意角的三角函数1、 设是一个任意角，它的终边与单位圆交于点，那么：α()y x P ,xyx y ===αααtan ,cos ,sin 2、 设点为角终边上任意一点，那么：（设）(),A x yαr =，，，sin y r α=cos x r α=tan yx α=cot x yα=3、 ，，在四个象限的符号和三角函数线的画法.αsin αcos αtan 正弦线：MP; 余弦线：OM; 正切线：AT 4、 特殊角0°，30°，45°，60°，90°，180°，270等的三角函数值.α6π4π3π2π23π34ππ32π2πsin αcos αtan α§1.2.2、同角三角函数的基本关系式1、 平方关系：.1cos sin 22=+αα2、 商数关系：.αααcos sin tan =3、 倒数关系：tan cot 1αα=§1.3、三角函数的诱导公式（概括为“奇变偶不变，符号看象限”）Z k ∈1、 诱导公式一： （其中：(),cos 2cos ,sin 2sin απααπα=+=+k k ）Z k ∈2、 诱导公式二： ()()().tan tan ,cos cos ,sin sin ααπααπααπ=+-=+-=+3、诱导公式三： ()()().tan tan ,cos cos ,sin sin αααααα-=-=--=-4、诱导公式四： ()()().tan tan ,cos cos ,sin sin ααπααπααπ-=--=-=-5、诱导公式五：.sin 2cos ,cos 2sin ααπααπ=⎪⎭⎫⎝⎛-=⎪⎭⎫⎝⎛-6、诱导公式六：.sin 2cos ,cos 2sin ααπααπ-=⎪⎭⎫⎝⎛+=⎪⎭⎫⎝⎛+§1.4.1、正弦、余弦函数的图象和性质、能够对照图象讲出正弦、余弦函数的相关性质：定义域、值域、最大最小值、对称轴、对称中心、奇偶性、单调性、周期性.3、会用五点法作图.在上的五个关键点为： sin y x =[0,2]x π∈30010-12022ππππ（，）（，，）（，，）（，，）（，，）.§1.4.3、正切函数的图象与性质1、记住正切函数的图象：2、记住余切函数的图象：3、能够对照图象讲出正切函数的相关性质：定义域、值域、对称中心、奇偶性、单调性、周期性.周期函数定义：对于函数，如果存在一个非零常数T ，使得当取定义域内的每一个值时，都有()x f x ，那么函数就叫做周期函数，非零常数T 叫做这个函数的周期.()()x f T x f =+()x f图表归纳：正弦、余弦、正切函数的图像及其性质xysin =xycos =xy tan =图象定义域RR},2|{Z k k x x ∈+≠ππ值域[-1,1][-1,1]R最值max min 2,122,12x k k Z y x k k Z y ππππ=+∈==-∈=-时，时，max min 2,12,1x k k Z y x k k Z y πππ=∈==+∈=-时，时，无周期性π2=T π2=T π=T 奇偶性奇偶奇单调性Zk ∈在上单调递增[2,2]22k k ππππ-+在上单调递减3[2,2]22k k ππππ++在上单调递增[2,2]k k πππ-在上单调递减[2,2]k k πππ+在上单调递(,)22k k ππππ-+增对称性Zk ∈对称轴方程：2x k ππ=+对称中心(,0)k π对称轴方程：x k π=对称中心(,0)2k ππ+无对称轴对称中心,0)(2k π§1.5、函数的图象()ϕω+=x A y sin 1、对于函数：有：振幅A ，周期，初相，相位，频率()()sin 0,0y A x B A ωφω=++>>2T πω=ϕϕω+x .πω21==Tf 2、能够讲出函数的图象与x y sin =的图象之间的平移伸缩变换关系.()sin y A x B ωϕ=++①先平移后伸缩：平移个单位sin y x =||ϕ()sin y x ϕ=+()sin y A x ϕ=+纵坐标变为原来的A 倍()sin y A x ωϕ=+横坐标变为原来的倍1||ω()sin A x Bωϕ=++（上加下减）②先伸缩后平移：sin y =sin y A x =纵坐标变为原来的A 倍sin y A xω=横坐标变为原来的倍1||ω()sin A x ωϕ=+()sin A x Bωϕ=++（上加下减）3、三角函数的周期，对称轴和对称中心函数，x∈R 及函数，x∈R(A,,为常数，且A ≠0)的周期；sin()y x ωϕ=+cos()y x ωϕ=+ωϕ2||T πω=函数，(A,ω,为常数，且A ≠0)的周期.tan()y x ωϕ=+,2x k k Z ππ≠+∈ϕ||T πω=对于和来说，对称中心与零点相联系，对称轴与最值点联系.sin()y A x ωϕ=+cos()y A x ωϕ=+求函数图像的对称轴与对称中心，只需令与sin()y A x ωϕ=+()2x k k Z πωϕπ+=+∈()x k k Z ωϕπ+=∈解出即可.余弦函数可与正弦函数类比可得.x 4、由图像确定三角函数的解析式利用图像特征：，.max min 2y y A -=max min2y y B +=要根据周期来求,要用图像的关键点来求.ωϕ§1.6、三角函数模型的简单应用1、 要求熟悉课本例题.第三章、三角恒等变换§3.1.1、两角差的余弦公式记住15°的三角函数值：ααsin αcos αtan 12π426-426+32-§3.1.2、两角和与差的正弦、余弦、正切公式1、()βαβαβαsin cos cos sin sin +=+2、()βαβαβαsin cos cos sin sin -=-3、()βαβαβαsin sin cos cos cos -=+4、()βαβαβαsin sin cos cos cos +=-5、.()tan tan 1tan tan tan αβαβαβ+-+=6、.()tan tan 1tan tan tan αβαβαβ-+-=§3.1.3、二倍角的正弦、余弦、正切公式1、，αααcos sin 22sin =.12sin cos sin 2ααα=2、ααα22sin cos 2cos -=1cos 22-=α.α2sin 21-=变形如下：升幂公式：222cos 1cos 22sin ααα=⎨-=⎪⎩降幂公式：221cos (1cos 2)21sin (1cos 2)2αααα=+=-⎧⎪⎨⎪⎩3、.ααα2tan 1tan 22tan -=4、sin 21cos 2tan 1cos 2sin 2ααααα-==+§3.2、简单的三角恒等变换1、注意正切化弦、平方降次.2、辅助角公式)sin(cos sin 22ϕ++=+=x b a x b x a y （其中辅助角所在象限由点的象限决定, ).ϕ(,)a b tan b aϕ=第二章：平面向量§2.1.1、向量的物理背景与概念1、 了解四种常见向量：力、位移、速度、加速度.2、 既有大小又有方向的量叫做向量.§2.1.2、向量的几何表示1、 带有方向的线段叫做有向线段，有向线段包含三个要素：起点、方向、长度.2、 向量的大小，也就是向量的长度（或称模），记作；长度为零的向量叫做零向量；长度AB AB AB等于1个单位的向量叫做单位向量.3、 方向相同或相反的非零向量叫做平行向量（或共线向量）.规定：零向量与任意向量平行.§2.1.3、相等向量与共线向量1、 长度相等且方向相同的向量叫做相等向量.§2.2.1、向量加法运算及其几何意义1、 三角形加法法则和平行四边形加法法则.2§2.2.2、向量减法运算及其几何意义1、 与长度相等方向相反的向量叫做的相反向量.a a2、 三角形减法法则和平行四边形减法法则.§2.2.3、向量数乘运算及其几何意义1、 规定：实数与向量的积是一个向量，这种运算叫做向量的数乘.记作：，它的长度和方向规λa a λ定如下： ⑵当时, 的方向与的方向相同；当时, 的方向与的方向相反.0>λa λa 0<λa λa 2、 平面向量共线定理：向量与 共线，当且仅当有唯一一个实数，使.()0≠a a b λa b λ=§2.3.1、平面向量基本定理1、 平面向量基本定理：如果是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内任一向量，21,e e a 有且只有一对实数，使.21,λλ2211e e a λλ+=§2.3.2、平面向量的正交分解及坐标表示1、 .()y x j y i x a ,=+=§2.3.3、平面向量的坐标运算1、 设，则：()()2211,,,y x b y x a == ⑴，()2121,y y x x b a ++=+⑵，()2121,y y x x b a --=-⑶，()11,y x a λλλ=⑷.1221//y x y x b a =⇔2、 设，则：()()2211,,,y x B y x A .()1212,y y x x AB --=§2.3.4、平面向量共线的坐标表示1、设，则()()()332211,,,,,y x C y x B y x A ⑴线段AB 中点坐标为，()222121,y y x x ++⑵△ABC 的重心坐标为.()33321321,y y y x x x ++++§2.4.1、平面向量数量积的物理背景及其含义1、 .θb a ⋅2、 在.a b θ34.5、 .0=⋅⇔⊥b a b a §2.4.2、平面向量数量积的坐标表示、模、夹角1、 设，则：()()2211,,,y x b y x a ==⑴2121y y x x b a +=⋅2121y x +⑶121200a b a b x x y y ⊥⇔⋅=⇔+=⑷1221//0a b a b x y x y λ⇔=⇔-=2、 设，则：()()2211,,,y x B y x A3、两向量的夹角公式cos a ba bθ⋅==4、点的平移公式平移前的点为（原坐标），平移后的对应点为（新坐标），平移向量为，(,)P x y (,)P x y '''(,)PP h k '=则.x x hy y k '=+⎧⎨'=+⎩ 函数的图像按向量平移后的图像的解析式为()y f x =(,)a h k =().y k f x h -=-§2.5.1、平面几何中的向量方法§2.5.2、向量在物理中的应用举例知识链接：空间向量空间向量的许多知识可由平面向量的知识类比而得.下面对空间向量在立体几何中证明，求值的应用进行总结归纳.1、直线的方向向量和平面的法向量⑴．直线的方向向量： 若A 、B 是直线上的任意两点，则为直线的一个方向向量；与平行的任意非零向量也是l AB l AB直线的方向向量.l ⑵．平面的法向量： 若向量所在直线垂直于平面，则称这个向量垂直于平面，记作，如果，那么向量nααn α⊥ n α⊥ 叫做平面的法向量.nα⑶．平面的法向量的求法（待定系数法）： ①建立适当的坐标系．②设平面的法向量为．α(,,)n x y z =③求出平面内两个不共线向量的坐标．123123(,,),(,,)a a a a b b b b ==④根据法向量定义建立方程组.n a n b ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ ⑤解方程组，取其中一组解，即得平面的法向量.α（如图）建议收藏下载本文，以便随时学习！2、用向量方法判定空间中的平行关系⑴线线平行设直线的方向向量分别是，则要证明∥，只需证明∥，即.12,l l a b 、1l 2l a b ()a kb k R =∈ 即：两直线平行或重合两直线的方向向量共线.⑵线面平行①（法一）设直线的方向向量是，平面的法向量是，则要证明∥，只需证明，即l a αul αa u ⊥ .0a u ⋅= 即：直线与平面平行直线的方向向量与该平面的法向量垂直且直线在平面外②（法二）要证明一条直线和一个平面平行，也可以在平面内找一个向量与已知直线的方向向量是共线向量即可.⑶面面平行若平面的法向量为，平面的法向量为，要证∥，只需证∥，即证.αu βv αβu vu v λ= 即：两平面平行或重合两平面的法向量共线.3、用向量方法判定空间的垂直关系⑴线线垂直设直线的方向向量分别是，则要证明，只需证明，即.12,l l a b、12l l ⊥a b ⊥ 0a b ⋅= 即：两直线垂直两直线的方向向量垂直.⑵线面垂直①（法一）设直线的方向向量是，平面的法向量是，则要证明，只需证明∥，即l a αu l α⊥a u.a u λ= ②（法二）设直线的方向向量是，平面内的两个相交向量分别为，若l a αm n 、0,.a m l a n α⎧⋅=⎪⊥⎨⋅=⎪⎩则即：直线与平面垂直直线的方向向量与平面的法向量共线直线的方向向量与平面内两条不共线直线的方向向量都垂直.⑶面面垂直若平面的法向量为，平面的法向量为，要证，只需证，即证.αuβv αβ⊥u v ⊥ 0u v ⋅= 即：两平面垂直两平面的法向量垂直.4、利用向量求空间角⑴求异面直线所成的角已知为两异面直线，A ，C 与B ，D 分别是上的任意两点，所成的角为，,a b ,a b ,a b θ 则cos .AC BDAC BDθ⋅=9⑵求直线和平面所成的角①定义：平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角叫做这条斜线和这个平面所成的角②求法：设直线的方向向量为，平面的法向量为，直线与平面所成的角为，与的夹角为l a αu θa u ， 则为的余角或的补角ϕθϕϕ的余角.即有：cos s .in a u a uϕθ⋅== ⑶求二面角①定义：平面内的一条直线把平面分为两个部分，其中的每一部分叫做半平面；从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角，这条直线叫做二面角的棱，每个半平面叫做二面角的面二面角的平面角是指在二面角的棱上任取一点O ，分别在两个半平面内作射线βα--l ，则为二面角的平面角.l BO l AO ⊥⊥,AOB ∠βα--l 如图：②求法：设二面角的两个半平面的法向量分别为，再设的夹角为，二面角l αβ--m n 、m n 、ϕ的平面角为，则二面角为的夹角或其补角l αβ--θθm n 、ϕ.πϕ-根据具体图形确定是锐角或是钝角：θ◆如果是锐角，则，θcos cos m n m nθϕ⋅== 即；arccos m n m nθ⋅= ◆如果是钝角，则，θcos cos m n m nθϕ⋅=-=- 即.arccos m n m n θ⎛⎫⋅ ⎪=- ⎪⎝⎭5、利用法向量求空间距离⑴点Q 到直线距离l 若Q 为直线外的一点,在直线上，为直线的方向向量，=，则点Q 到直线距离为l P l a l b PQ l h =⑵点A 到平面的距离α若点P 为平面外一点，点M 为平面内任一点，αα平面的法向量为，则P 到平面的距离就等于在法向量方向上的投影的绝对值.αn αMP n 即cos ,d MP n MP=10n MP MP n MP ⋅=⋅ n MP n⋅= ⑶直线与平面之间的距离a α 当一条直线和一个平面平行时，直线上的各点到平面的距离相等.由此可知，直线到平面的距离可转化为求直线上任一点到平面的距离，即转化为点面距离.即.n MP d n ⋅= ⑷两平行平面之间的距离,αβ 利用两平行平面间的距离处处相等，可将两平行平面间的距离转化为求点面距离.即.n MP d n⋅= ⑸异面直线间的距离设向量与两异面直线都垂直，则两异面直线间的距离就是在向量方n ,a b ,,M a P b ∈∈,a b d MP n 向上投影的绝对值. 即.n MP d n⋅= 6、三垂线定理及其逆定理⑴三垂线定理：在平面内的一条直线，如果它和这个平面的一条斜线的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直推理模式：,,PO O PA A a PAa a OA αααα⊥∈⎫⎪=⇒⊥⎬⎪⊂⊥⎭概括为：垂直于射影就垂直于斜线.⑵三垂线定理的逆定理：在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线垂直，那么它也和这条斜线的射影垂直推理模式：,,PO O PA A a AOa a AP αααα⊥∈⎫⎪=⇒⊥⎬⎪⊂⊥⎭概括为：垂直于斜线就垂直于射影.7、三余弦定理设AC 是平面内的任一条直线，AD 是的一条斜线AB 在内的射影，且BD⊥AD，垂足为D.设AB ααα与 α(AD)所成的角为， AD 与AC 所成的角为， AB 与AC 所1θ2θ11成的角为．则.θ12cos cos cos θθθ=8、 面积射影定理已知平面内一个多边形的面积为，它在平面内的射影图形的面积为，平面与β()S S 原α()S S '射α平面所成的二面角的大小为锐二面角，则βθ 'cos =.S S S S θ=射原9、一个结论长度为的线段在三条两两互相垂直的直线上的射影长分别为，夹角分别为,则l 123l l l 、、123θθθ、、有 .2222123l l l l =++222123cos cos cos 1θθθ⇔++=222123sin sin sin 2θθθ⇔++=（立体几何中长方体对角线长的公式是其特例）.。
人教A版高中数学必修4《第一章 三角函数 1.2 任意角的三角函数 阅读与思考 三角学与天文学》_0
“任意角的三角函数”教学设计•数学（4）》（人教A版）。
三角函数是描述周期运动现象的重要的数学模型，有非常广泛的应用.直角三角形简单朴素的边角关系，以直角坐标系为工具进行自然地推广而得到简明的任意角的三角函数定义，紧紧扣住三角函数定义这个宝贵的源泉，自然地导出三角函数线、定义域、符号判断、同角三角函数关系、多组诱导公式、图象和性质。
三角函数定义必然是学好全章内容的关键，如果学生掌握不好，将直接影响到后续内容的学习，由三角函数定义的基础性和应用的广泛性决定了本节教材的重点就是定义本身.二、学情分析在初中学生学习过锐角三角函数。
因此本课的内容对于学生来说，有比较厚实的基础，新课的引入会比较容易和顺畅。
学生要面对的新的学习问题是，角的概念推广了，原先学生所熟悉的锐角三角函数的定义是否也可以推广到任意角呢？通过这个问题，让学生体会到新知识的发生是可能的，自然的。
三、教学方法与手段教学中注意用新课程理念处理教材，采用学生自主探索、动手实践、合作交流、阅读自学，师生互动，教师发挥组织者、引导者、合作者的作用，引导学生主体参与、揭示本质、经历过程.根据本节课内容、高一学生认知特点，本节课采用“启发探索、讲练结合”的方法组织教学.四、教学目标1．掌握任意角的正弦、余弦、正切的定义（包括这三种三角函数的定义域和函数值在各象限的符号）；2、理解任意角的三角函数不同的定义方法；掌握并能初步运用公式一；树立映射观点，正确理解三角函数是以实数为自变量的函数.3、通过单位圆和角的终边,探讨任意角的三角函数值的求法,最终得到任意角三角函数的定义.根据角终边所在位置不同,分别探讨各三角函数的定义域以及这三种函数的值在各象限的符号.借助有向线段进一步认识三角函数.4、通过任意三角函数的定义，认识锐角三角函数是任意三角函数的一种特例，加深特殊与一般关系的理解。
5、通过三角函数的几何表示，使学生进一步加深对数形结合思想的理解，拓展思维空间。
人教版高中数学必修4教案第一章三角函数1.1.1任意角
第一章 三角函数1.1任意角和弧度制1.1.1任意角一、 教学目标：1、知识与技能（1）推广角的概念、引入大于360︒角和负角；（2）理解并掌握正角、负角、零角的定义；（3）理解任意角以及象限角的概念；(4)掌握所有与α角终边相同的角（包括α角）的表示方法；（5）树立运动变化观点，深刻理解推广后的角的概念；（6）揭示知识背景，引发学生学习兴趣.（7）创设问题情景，激发学生分析、探求的学习态度，强化学生的参与意识.2、过程与方法通过创设情境：“转体720︒，逆（顺）时针旋转”，角有大于360︒角、零角和旋转方向不同所形成的角等，引入正角、负角和零角的概念；角的概念得到推广以后，将角放入平面直角坐标系，引入象限角、非象限角的概念及象限角的判定方法；列出几个终边相同的角，画出终边所在的位置，找出它们的关系，探索具有相同终边的角的表示；讲解例题，总结方法，巩固练习.3、情态与价值通过本节的学习，使同学们对角的概念有了一个新的认识，即有正角、负角和零角之分.角的概念推广以后，知道角之间的关系.理解掌握终边相同角的表示方法，学会运用运动变化的观点认识事物.二、教学重、难点重点: 理解正角、负角和零角的定义，掌握终边相同角的表示法.难点: 终边相同的角的表示.三、学法与教学用具之前的学习使我们知道最大的角是周角,最小的角是零角.通过回忆和观察日常生活中实际例子,把对角的理解进行了推广.把角放入坐标系环境中以后,了解象限角的概念.通过角终边的旋转掌握终边相同角的表示方法.我们在学习这部分内容时,首先要弄清楚角的表示符号,以及正负角的表示.另外还有相同终边角的集合的表示等.教学用具:电脑、投影机、三角板四、教学设想【创设情境】思考:你的手表慢了5分钟，你是怎样将它校准的？假如你的手表快了1.25小时，你应当如何将它校准？当时间校准以后，分针转了多少度？[取出一个钟表,实际操作]我们发现，校正过程中分针需要正向或反向旋转，有时转不到一周，有时转一周以上,这就是说角已不仅仅局限于0360︒︒~之间，这正是我们这节课要研究的主要内容——任意角.【探究新知】1．初中时，我们已学习了0360︒︒~角的概念，它是如何定义的呢？[展示投影]角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形.如图1.1-1，一条射线由原来的位置OA ，绕着它的端点O 按逆时针方向旋转到终止位置OB ，就形成角α.旋转开始时的射线OA 叫做角的始边，OB 叫终边，射线的端点O 叫做叫α的顶点.2.如上述情境中所说的校准时钟问题以及在体操比赛中我们经常听到这样的术语：“转体720︒” （即转体2周），“转体1080︒”（即转体3周）等,都是遇到大于360︒的角以及按不同方向旋转而成的角.同学们思考一下:能否再举出几个现实生活中“大于360︒的角或按不同方向旋转而成的角”的例子,这些说明了什么问题?又该如何区分和表示这些角呢?[展示课件]如自行车车轮、螺丝扳手等按不同方向旋转时成不同的角, 这些都说明了我们研究推广角概念的必要性. 为了区别起见，我们规定:按逆时针方向旋转所形成的角叫正角(positive angle),按顺时针方向旋转所形成的角叫负角(negative angle).如果一条射线没有做任何旋转,我们称它形成了一个零角(zero angle).[展示课件]如教材图 1.1.3(1)中的角是一个正角,它等于750︒；图 1.1.3(2)中，正角210α︒=，负角150,660βγ︒︒=-=-；这样，我们就把角的概念推广到了任意角（any angle ）,包括正角、负角和零角. 为了简单起见，在不引起混淆的前提下，“角α”或“α∠”可简记为α.3.在今后的学习中，我们常在直角坐标系内讨论角，为此我们必须了解象限角这个概念. 角的顶点与原点重合，角的始边与x 轴的非负半轴重合。
最新人教版高中数学必修4第一章第一章三角函数整合1
距离为 ,则 f(x)图象的一个对称中心是( A.(0,0) B. C. π 6
D.(π,0)
∴ω=2,∴f(x)=12sin 2������ +
π 6 π ������π ∴x=- + ,k∈Z, 12 2
.
令 2x+ =kπ,k∈Z,
∴f(x)图象的对称中心是 而选项中仅有 答案:C
π ,0 12
π ������π + ,0 12 2
,k∈Z,
是对称中心.
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1.1 DNA重组技术的基本工具
专题一 专题二 专题三 专题四
知识网络
专题归纳
高考真题
专题三
同角三角函数的基本关系式和诱导公式
1.诱导公式属异角三角函数间基本关系式,它与同角三角函数的基本 关系式协同作战,能量无穷,近几年的高考命题中,主要考查利用公式进行恒 等变形的技能以及基本运算能力,特别突出对推理、计算的考查. 2.本类问题在具体解决时常会用到数形结合思想、分类讨论思想、转 化思想以及函数与方程的思想等.
������ = sin������:������∈R,������∈[-1,1],������ = 2π,奇函数,有单调递增区间和单调递减区间 性质 ������ = cos������:������∈R,������∈[-1,1],������ = 2π,偶函数,有单调递增区间和单调递减区间 ������ = tan������:������ ≠ ������π +
∴sin θ+cos θ<0. 又(sin θ+cos θ)2=1+2sin θcos θ=1+ = , ∴sin θ+cos θ=15 . 3 2 3 5 3
人教版数学必修4第一章1.2.1《任意角的三角函数》课件
转化为求 0 到 2 或 0 到 角3 的三 6 角函0数值 .
例3 求下列三角函数值：
（1） cos9
4
（2） tan( 11)
6
解：（1）co 9 4 sco 4 s 2 ( ) co 4 s2 2
（2）ta 1 n )1 ( ta n 2 ) (ta n ta n 3
A.4 3
B.4 3
C.4 3
D. 3
例2、已知角 的终边经过点P0(3,4)，求角
的正弦、余弦和正切值 .
解：由已知可得：
rx2y2 3 2 ( 4 )2 5
于是，sin y 4 r5
cosx 3 r5
tan y 4 x3
合作 演练
变式1、已知角 的终边过点 P1,2 5 ，
求 的三个三角函数值.
规律： “一全正、二正弦正、三正切正、四余弦正”
“一全二正弦，三切四余弦”
例1 确定下列三角函数值的符号：
（1）co2s50（2）tan(67)2（3）sin
4
解：（1）因为 250是第三象限角，所以co 2s5 0 0；
（2）因为 tan(67)2= ta 2 n 3 ( 6 4 ) 0 8 ta 4 ，n 8
r
第 二 象 限 ： x 0 ,r 0 ,故 r x 为 负 值 ； o
x
第 三 象 限 ： x 0 ,r 0 ,故 x 为 负 值 ； r
第 四 象 限 ： x 0 ,r 0 ,故 x 为 正 值 ； r
三角函数在各象限内的符号：
交叉正负
第 3一 、 象 正 限 切 ： 函 x 数 0 ,值 y t0 a,n 故 y 为 x y 正 值 ； y x
(完整版)人教高中数学必修四第一章三角函数知识点归纳.doc
三角函数一、任意角、弧度制及任意角的三角函数1．任意角(1)角的概念的推广①按旋转方向不同分为正角、负角、零角．正角 : 按逆时针方向旋转形成的角任意角 负角: 按顺时针方向旋转形成的角零角 : 不作任何旋转形成的角②按终边位置不同分为象限角和轴线角．角 的顶点与原点重合，角的始边与 x 轴的非负半轴重合，终边落在第几象限，则称 为第几象限角．第一象限角的集合为 k 360ok 360o 90o , k第二象限角的集合为 k 360o 90o k 360o 180o , k第三象限角的集合为 k 360o 180o k 360o 270o , k第四象限角的集合为k 360o 270ok 360o360o , k终边在 x 轴上的角的集合为 k 180o , k终边在 y 轴上的角的集合为 k 180o 90o , k终边在坐标轴上的角的集合为k 90o ,k(2)终边与角 α相同的角可写成 α＋ k ·360 °(k ∈ Z)．终边与角 相同的角的集合为k 360o, k(3)弧度制① 1 弧度的角：把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1 弧度的角．②弧度与角度的换算： 360°＝ 2π弧度； 180°＝ π弧度．③ 半径为 r 的圆的圆心角所对弧的长为 l ，则角 的弧度数的绝对值是lr④ 若扇形的圆心角为 为弧度制 ，半径为 r ，弧长为 l ，周长为 C ，面积为 S ，则 l r，C 2r l ，S 1 lr1 r2 ．2 22 ．任意角的三角函数定义设 α是一个任意角，角 α的终边上任意一点P(x ， y)，它与原点的距离为 r rx 2 y 2 ，那么角 α的正弦、余弦、rrx （三角函数值在各象限的符号规律概括为：一全正、二正弦、三正切分别是： sin α＝ y ， cos α＝ x ， tan α＝ y．正切、四余弦）角度0 30 45 60 90 120 135 150 180 270 360函数角 a 的弧度0 π /6 π/4 π /3 π /2 2π /3 3π /4 5π/6 π3π /2 2πsina 0 1/2 √ 2/2 √ 3/2 1 √ 3/2 √ 2/2 1/2 0 -1 0 cosa 1 √ 3/2 √ 2/2 1/2 0 -1/2 -√ 2/2 -√ 3/2 -1 0 1 tana 0 √ 3/3 1 √ 3 -√ 3 -1 -√ 3/3 0 0二、同角三角函数的基本关系与诱导公式A.基础梳理1．同角三角函数的基本关系(1)平方关系： sin2α＋ cos2α＝ 1；（在利用同角三角函数的平方关系时，若开方，要特别注意判断符号）sin α(2)商数关系：＝tanα.（3）倒数关系：tan cot 1cos α2．诱导公式公式一： sin( α＋ 2kπ)＝sin α， cos(α＋ 2kπ)＝cos_α，tan(2k )tan其中 k∈Z .公式二： sin( π＋α)＝－ sin_α， cos( π＋α)＝－ cos_α， tan( π＋α)＝ tan α.公式三： sin( π－α)＝ sin α， cos( π－α)＝－ cos_α，tan tan ．公式四： sin( －α)＝－ sin_α， cos(－α)＝ cos_α，tan tan .ππ公式五： sin －α＝ cos_α， cos －α＝ sin α.2 2ππ公式六： sin 2＋α＝ cos_α， cos 2＋α＝－ sin_α.π口诀：奇变偶不变，符号看象限．其中的奇、偶是指π诱导公式可概括为 k· ±α的各三角函数值的化简公式．的奇数2 2倍和偶数倍，变与不变是指函数名称的变化．若是奇数倍，则函数名称要变( 正弦变余弦，余弦变正弦 ) ；若是偶数倍，则函数名称不变，符号看象限是指：把πα看成锐角时，根据 k· ±α在哪个象限判断原三角函数值的符号，最后作为结．．．． 2 ．．．果符号．B. 方法与要点一个口诀1、诱导公式的记忆口诀为：奇变偶不变，符号看象限．2、四种方法在求值与化简时，常用方法有：sin α(1)弦切互化法：主要利用公式tan α＝化成正、余弦．cos α(2)和积转换法：利用 (sin θ±cos θ)2＝1 ±2sin θcos θ的关系进行变形、转化．（ sin cos、sin cos、sin cos三个式子知一可求二）(3)巧用 “1”的变换： 1＝ sin 2θ＋ cos 2θ= sinπ＝tan 42（4）齐次式化切法：已知 tank ，则 a sinbcos a tan b ak bm sinn cos m tan n mk n三、三角函数的图像与性质学习目标：1 会求三角函数的定义域、值域2 会求三角函数的周期 ：定义法，公式法，图像法（如y sin x 与 y cosx 的周期是）。
最新人教版高中数学必修4第一章《三角函数》_综览
第四单元三角函数
单元综览
三角函数是描述周期现象的数学模型,也是一种基本初等函数,在数学和其他领域中具有重要的作用.三角函数既是解决生产实际问题的工具,又是进一步学习的基础.
本章的知识结构如下:
近几年高考对三角变换的考查要求有所降低,而对本章内容的考查有逐步加强的趋势,主要表现在对三角函数的图象与性质的考查上有所加强.
对本章内容一般以选择、填空题形式进行考查,且难度不大,从1996年至2005年考查的内容看,大致可分为四类问题:
(1)与三角函数单调性有关的问题；
(2)与三角函数图象有关的问题；
(3)应用同角变换和诱导公式,求三角函数值及化简和等式证明的问题；
(4)与周期和奇偶性有关的问题.
另外,三角函数与向量等内容的结合可能成为新的命题热点,在复习中要注意加强训练.。
高中数学第一章三角函数新人教版必修4
【创新设计】（浙江专用）2016-2017高中数学第一章三角函数新人教版必修41.1 任意角和弧度制1.1.1 任意角目标定位 1.认识角的扩充的必要性，了解任意角的概念；2.能用集合和数学符号表示终边相同的角；3.能用集合和数学符号表示象限角及终边满足一定条件的角.自主预习1.角的概念(1)角的概念：角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形.(2)角的分类：按旋转方向可将角分为如下三类2.角的顶点与坐标原点重合，角的始边与x轴的非负半轴重合，那么，角的终边(除端点外)在第几象限，就说这个角是第几象限角.如果角的终边在坐标轴上，就认为这个角不属于任何一个象限.3.终边相同的角所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合S＝{β|β＝α＋k²360°，k ∈Z}，即任一与角α终边相同的角，都可以表示成角α与整数个周角的和.4.象限角的集合表示即时自测1.思考判断(正确的打“√”，错误的打“³”)(1)第一象限角是锐角.(³)(2)小于90°的角是锐角.(³)(3)若角α与β的终边关于x轴对称，则α＋β＝0°.(³)(4)若两个角始边相同，终边也相同，则这两个角相等.(³)提示(1)第一象限角仅仅是终边位置在第一象限，如α＝－330°角不一定是锐角，故错.(2)负角小于90°，但不是锐角，故错.(3)α＋β＝k²180°，k∈Z，故错.(4)两个角可能相差360°的整数倍，故错.2.手表时针走过2小时，时针转过的角度为( )A.60°B.－60°C.30°D.－30°解析由于时针是顺时针旋转，故时针转过的角度为负数，212³360°＝60°，故时针转过的角度为－60°.答案 B3.下列各角中与330°角终边相同的角是( )A.510°B.150°C.－150°D.－390°解析与330°终边相同的角可表示为α＝330°＋k²360°(k∈Z)，令k＝－2，则α＝－390°.答案 D4.－60°是第象限角_____.解析－60°是顺时针旋转60°(以x轴的非负半轴的为始边)所得角，故－60°为第四象限角.答案四类型一象限角的判定【例1】在0°～360°范围内，找出与下列各角终边相同的角，并判定它们是第几象限角.(1)－150°；(2)650°；(3)－950°15′.解(1)因为－150°＝－360°＋210°，所以在0°～360°范围内，与－150°角终边相同的角是210°角，它是第三象限角.(2)因为650°＝360°＋290°，所以在0°～360°范围内，与650°角终边相同的角是290°角，它是第四象限角.(3)因为－950°15′＝－3³360°＋129°45′，所以在0°～360°范围内，与－950°15′角终边相同的角是129°45′角，它是第二象限角.规律方法求在0°～360°范围内与已知角终边相同的角，并判断其为第几象限角，关键是将所给的角写成α＋k²360°(k∈Z)的形式，这是为以后证明恒等式、化简及利用诱导公式求三角函数的值打基础.【训练1】给出下列四个命题：①－75°角是第四象限角；②225°角是第三象限角；③475°角是第二象限角；④－315°是第一象限角，其中真命题有( )A.1个B.2个C.3个D.4个解析对于①：如图1所示，－75°角是第四象限角；对于②：如图2所示，225°角是第三象限角；对于③：如图3所示，475°角是第二象限角；对于④：如图4所示，－315°角是第一象限角.答案 D类型二终边相同的角【例2】写出终边落在直线y＝x上的角的集合S，并把S中适合不等式－360°≤β<720°的元素β写出来.解直线y＝x与x轴的夹角是45°，在0°～360°范围内，终边在直线y＝x上的角有两个：45°，225°.因此，终边在直线y＝x上的角的集合：S＝{β|β＝45°＋k²360°，k∈Z}∪{β|β＝225°＋k²360°，k∈Z}＝{β|β＝45°＋2k²180°，k∈Z}∪{β|β＝45°＋(2k＋1)²180°，k∈Z}＝{β|β＝45°＋n²180°，n∈Z}.∴S中适合－360°≤β<720°的元素是：45°－2³180°＝－315°；45°－1³180°＝－135°；45°＋0³180°＝45°；45°＋1³180°＝225°；45°＋2³180°＝405°；45°＋3³180°＝585°.规律方法解答本题关键是找到0°～360°范围内，终边落在直线y＝x的角：45°，225°，再利用终边相同的角的关系写出符合条件的所有角的集合，如果集合能化简的还要化成最简. 【训练2】写出终边落在x轴上的角的集合S.解S＝{α|α＝k²360°，k∈Z}∪{α|α＝k²360°＋180°，k∈Z}＝{α|α＝2k²180°，k∈Z}∪{α|α＝(2k＋1)²180°，k∈Z}＝{α|α＝n²180°，n∈Z}.类型三区域角的表示(互动探究)【例3】如图，写出终边落在阴影部分的角的集合.[思路探究]探究点一终边落在阴影部分的角可分成哪几部分？提示可分为x轴上方部分和x轴下方部分.探究点二终边落在同一条直线上的角有怎样的关系？提示终边落在同一条直线上的角相差180°的整数倍.探究点三边界为实线与虚线有区别吗？提示有.实线表示边界角能取到，虚线表示边界角取不到.解设终边落在阴影部分的角为α，角α的集合由两部分组成.①{α|k²360°＋30°≤α<k²360°＋105°，k∈Z}.②{α|k²360°＋210°≤α<k²360°＋285°，k∈Z}.∴角α的集合应当是集合①与②的并集：{α|k²360°＋30°≤α<k²360°＋105°，k∈Z}∪{α|k²360°＋210°≤α<k²360°＋285°，k∈Z}＝{α|2k²180°＋30°≤α<2k²180°＋105°，k∈Z}∪{α|(2k＋1)180°＋30°≤α<(2k＋1)180°＋105°，k∈Z}＝{α|2k²180°＋30°≤α<2k²180°＋105°或(2k＋1)²180°＋30°≤α<(2k＋1)180°＋105°，k∈Z}＝{α|n²180°＋30°≤α<n²180°＋105°，n∈Z}.规律方法解答此类题目应先在0°～360°上写出角的集合，再利用终边相同的角写出符合条件的所有角的集合，如果集合能化简的还要化成最简.本题还要注意实线边界与虚线边界的差异.【训练3】如图，若角α的终边落在函数y＝x(x≥0)与y＝－x(x≤0)的图象所夹的区域(即图中阴影部分，不包括边界)内，求角α的集合.解终边落在函数y＝x(x≥0)的图象上的角的集合是{α|α＝45°＋k²360°，k∈Z}，终边落在函数y＝－x(x≤0)的图象上的角的集合是{α|α＝135°＋k²360°，k∈Z}.所以所求角的集合是{α|45°＋k²360°<α<135°＋k²360°，k∈Z}.[课堂小结]1.本节课在介绍将角的概念推广的必要性的基础上，定义了正角、负角、零角(按旋转方向)；2.按终边所在平面直角坐标系上的位置定义了象限角；3.难点是利用集合表示终边相同的角及区域角.1.－361°的终边落在( )A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限解析∵－361°＝－360°－1°，∴－361°角终边落在第四象限.答案 D2.下列命题中正确的是( )A.三角形的内角必是第一、二象限角B.第一象限角必是锐角C.不相等的角终边一定不相同D.若β＝α＋k²360°(k∈Z)，则α和β终边相同解析90°的角可以是三角形的内角，但它不是第一、二象限角；390°的角是第一象限角，但它不是锐角；390°角和30°角不相等，但终边相同；故A、B、C均不正确.对于D，由终边相同的角的概念可知正确.答案 D3.终边在直线y＝－x上的角的集合S＝_____.解析由于直线y＝－x是第二、四象限的角平分线，在0°～360°间所对应的两个角分别是135°和315°，从而S＝{α|α＝k²360°＋135°，k∈Z}∪{α|α＝k²360°＋315°，k∈Z}＝{α|α＝2k²180°＋135°，k∈Z}∪{α|α＝(2k＋1)²180°＋135°，k∈Z}＝{α|α＝n²180°＋135°，n∈Z}.答案{α|α＝n²180°＋135°，n∈Z}4.已知角α＝2 010°.(1)把α改写成k²360°＋β(k∈Z，0°≤β<360°)的形式，并指出它是第几象限角；(2)求θ，使θ与α终边相同，且－360°≤θ<720°.解(1)用2 010°除以360°商为5，余数为210°.∴k＝5.∴α＝5³360°＋210°，又β＝210°是第三象限角.∴α为第三象限角.(2)与2 010°终边相同的角：θ＝k²360°＋2 010°(k∈Z)，令－360°≤k²360°＋2 010°<720°(k∈Z)，解得－6712≤k<－3712(k∈Z)，所以k＝－6，－5，－4.将k的值代入k²360°＋2 010°中得：角θ的值为－150°，210°，570°.基础过关1.把－1 485°化成α＋k²360°(k∈Z，0°≤α<360°)的形式是( )A.45°－4³360°B.－45°－4³360°C.－45°－5³360°D.315°－5³360°答案 D2.若α是第四象限角，则180°－α是( )A.第一象限角B.第二象限角C.第三象限角D.第四象限角解析可以给α赋一特殊值－60°，则180°－α＝240°，故180°－α是第三象限角. 答案 C3.若α＝45°＋k²180°(k∈Z)，则α的终边在( )A.第一或第三象限B.第二或第三象限C.第二或第四象限D.第三或第四象限答案 A4.已知0°<α<360°，且α的终边与－60°角的终边关于x轴对称，则α＝_____.答案60°5.下列说法中，正确的是(填序号).①终边落在第一象限的角为锐角；②锐角是第一象限的角；③第二象限的角为钝角；④小于90°的角一定为锐角；⑤角α与－α的终边关于x轴对称.解析终边落在第一象限的角不一定是锐角，如400°的角是第一象限的角，但不是锐角，故①的说法是错误的；同理第二象限的角也不一定是钝角，故③的说法也是错误的；小于90°的角不一定为锐角，比如负角，故④的说法是错误的.答案②⑤6.在与角－2 013°终边相同的角中，求满足下列条件的角.(1)最小的正角；(2)最大的负角；(3)－720°～720°内的角.解(1)∵－2 013°＝－6³360°＋147°，∴与角－2 013°终边相同的最小正角是147°.(2)∵－2 013°＝－5³360°＋(－213°)，∴与角－2 013°终边相同的最大负角是－213°.(3)∵－2 013°＝－6³360°＋147°，∴与－2 013°终边相同也就是与147°终边相同.由－720°≤k²360°＋147°<720°，k∈Z，解得：k＝－2，－1，0，1.代入k²360°＋147°依次得：－573°，－213°，147°，507°.7.已知角x的终边落在图示阴影部分区域，写出角x组成的集合.解(1){x|k²360°－135°≤x≤k²360°＋135°，k∈Z}.(2){x|k²360°＋30°≤x≤k²360°＋60°，k∈Z}∪{x|k²360°＋210°≤x≤k²360°＋240°，k∈Z}＝{x|2k²180°＋30°≤x≤2k²180°＋60°或(2k＋1)²180°＋30°≤x≤(2k＋1)²180°＋60°，k∈Z}＝{x|n²180°＋30°≤x≤n²180°＋60°，n∈Z}.8.如果θ为小于360°的正角，这个角θ的4倍角的终边与这个角的终边重合，求θ的值. 解由题意得4θ＝θ＋k²360°，k∈Z，∴3θ＝k²360°，θ＝k²120°，又0°<θ<360°，∴θ＝120°或240°.能力提升9.集合M＝{x|x＝k²90°＋45°，k∈Z}，N＝{x|x＝k²45°＋90°，k∈Z}则有( )A.M＝NB.M NC.M ND.M∩N＝∅解析∵x＝k²90°＋45°＝2k²45°＋45°＝(2k－1)²45°＋45°，∴x∈M⇒x∈N.又特别地如x＝180°＝3³45°＋45°∈N，但x∈180°∉M，∴M N，故选C.答案 C10.有小于360°的正角，这个角的5倍角的终边与该角的终边重合，这个角的大小是( )A.90°B.180°C.270°D.90°，180°或270°解析由已知：5α＝α＋k²360°(k∈Z)，∴α＝k²90°.又∵0°<α<360°，∴0<k<4.又∵k∈Z，∴k＝1或2或3，∴α＝90°、180°或270°.答案 D11.角α，β的终边关于y轴对称，若α＝30°，则β＝_____.解析∵30°与150°的终边关于y轴对称，∴β的终边与150°角的终边相同.∴β＝150°＋k ²360°，k ∈Z . 答案 150°＋k ²360°，k ∈Z12.12点过14小时的时候，时钟分针与时针的夹角是.解析 时钟上每个大刻度为30°，12点过14小时，分针转过－90°，时针转过－7.5°，故时针与分针的夹角为82.5°. 答案 82.5°13.已知角β的终边在直线3x －y ＝0上. (1)写出角β的集合S ；(2)写出S 中适合不等式－360°<β<720°的元素.解 (1)如图，直线3x －y ＝0过原点，倾斜角为60°，在0°～360°范围内，终边落在射线OA 上的角是60°，终边落在射线OB 上的角是240°，所以以射线OA 、OB 为终边的角的集合为：S 1＝{β|β＝60°＋k ²360°，k ∈Z }， S 2＝{β|β＝240°＋k ²360°，k ∈Z }，所以，角β的集合S ＝S 1∪S 2＝{β|β＝60°＋k ²360°，k ∈Z }∪{β|β＝60°＋180°＋k ²360°，k ∈Z }＝{β|β＝60°＋2k ²180°，k ∈Z }∪{β|β＝60°＋(2k ＋1)²180°，k∈Z }＝{β|β＝60°＋n ²180°，n ∈Z }.(2)由于－360°<β<720°，即－360°<60°＋n ²180°<720°，n ∈Z . 解得－73<n <113，n ∈Z ，所以n ＝－2，－1，0，1，2，3.所以S 中适合不等式－360°<β<720°的元素为： 60°－2³180°＝－300°；60°－1³180°＝－120°； 60°＋0³180°＝60°；60°＋1³180°＝240°； 60°＋2³180°＝420°；60°＋3³180°＝600°.探 究 创 新14.已知α是第二象限角，试确定2α，α2的终边所在的位置.解 因为α是第二象限角，所以k ²360°＋90°<α<k ²360°＋180°，k ∈Z .所以2k ²360°＋180°<2α<2k ²360°＋360°，k ∈Z ， 所以2α的终边在第三或第四象限或在y 轴的负半轴上. 因为k ²360°＋90°<α<k ²360°＋180°，k ∈Z ， 所以k ²180°＋45°<α2<k ²180°＋90°，k ∈Z ，所以当k ＝2n ，n ∈Z 时，n ²360°＋45°<α2<n ²360°＋90°，即α2的终边在第一象限； 当k ＝2n ＋1，n ∈Z 时，n ²360°＋225°<α2<n ²360°＋270°，即α2的终边在第三象限.所以α2的终边在第一或第三象限. 1.1.2 弧度制目标定位 1.了解弧度制，能进行弧度与角度的换算；2.了解扇形的弧长和面积公式，能进行简单应用.自 主 预 习1.度量角的单位制 (1)角度制用度作为单位来度量角的单位制叫做角度制，规定1度的角等于周角的1360.(2)弧度制 ①弧度制的定义长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角，用符号rad 表示，读作弧度.以弧度作为单位来度量角的单位制叫做弧度制. ②任意角的弧度数与实数的对应关系正角的弧度数是一个正数；负角的弧度数是一个负数；零角的弧度数是零. ③角的弧度数的计算如果半径为r 的圆的圆心角α所对弧的长为l ，那么，角α的弧度数的绝对值是|α|＝l r. 2.角度制与弧度制的换算 (1)(2)3.设扇形的半径为R ，弧长为l ，α(0<α<2π)为其圆心角，则1.思考判断(正确的打“√”，错误的打“³”)(1)半径不同的圆中，长为l 的弧所对的圆心角都相等.(³) (2)角α＝3 rad 是第一象限角.(³)(3)弧长相等的弧所对的圆心角不一定相等.(√) (4)第一象限角可表示为(2k π，90°＋2k π)，k ∈Z .(³) 提示 (1)α＝l r，∵r 不同，故α不同. (2)α＝3>π2，故α为第二象限角.(3)角有正、负，|α|＝l r. (4)角度制与弧度制不可以混用. 2.时针经过一小时，时针转过了( ) A.π6 rad B.－π6 radC.π12 radD.－π12rad答案 B3.已知扇形的面积是3π8，半径是1，则扇形的圆心角是( )A.3π16B.3π8C.3π4D.3π2解析 设扇形的弧长为l ，则3π8＝12l ³1，故l ＝34π，所以扇形的圆心角为3π4.答案 C4.225°化为弧度为.解析 225°＝225³π180＝54π.答案 54π类型一 弧度制的概念【例1】 下列命题中，正确的命题是_____(填序号). ①1°的角是周角的1360，1 rad 的角是周角的12π；②1 rad 的角等于1°的角； ③180°的角一定等于π rad 的角； ④“度”和“弧度”是度量角的两种单位.解析 各命题正误分析如下：答案规律方法 正确理解弧度与角度的概念A.1弧度就是1°的圆心角所对的弧B.1弧度是长度等于半径的弧C.1弧度是1°的弧与1°的角之和D.1弧度是长度等于半径的弧所对的圆心角解析 根据弧度制和角度制的规定可知A 、B 、C 均错误，D 正确. 答案 D类型二 角度与弧度的互化【例2】 将下列角度与弧度进行互化： (1)20°；(2)－15°；(3)7π12；(4)－11π5.解 (1)20°＝20π180＝π9.(2)－15°＝－15180π＝－π12.(3)7π12＝712³180°＝105°.(4)－11π5＝－115³180°＝－396°.规律方法 (1)进行角度与弧度换算时，要抓住关系：πrad ＝180°.(2)熟记特殊角的度数与弧度数的对应值.【训练2】 (1)把112°30′化成弧度；(2)把－5π12化成度.解 (1)112°30′＝⎝⎛⎭⎪⎫2252°＝2252³π180＝5π8.(2)－5π12＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫5π12³180π°＝－75°.类型三 扇形的弧长及面积公式的应用(互动探究)【例3】 已知扇形的周长为30 cm ，当它的半径和圆心角各取什么值时，才能使扇形的面积最大？最大面积是多少？ [思路探究]探究点一 扇形的周长与扇形的弧长、半径有怎样的关系？ 提示 设扇形的弧长为l ，半径为r ，则l ＋2r ＝30.探究点二 扇形的面积与其弧长、半径有怎样的关系？ 提示 设扇形的面积为S ，则S ＝12lr .解 设扇形的圆心角为α，半径为r ，弧长为l ，面积为S ，则有l ＋2r ＝30， 即l ＝30－2r ，∴S ＝12lr ＝12(30－2r )r ＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫r －1522＋2254， ∴当r ＝152 cm 时，扇形的面积最大为2254 cm 2，此时α＝lr ＝30－2³152152＝2(rad).规律方法 (1)联系半径、弧长和圆心角的有两个公式：一是S ＝12lr ＝12|α|r 2，二是l ＝|α|r ，如果已知其中两个，就可以求出另一个.(2)当扇形周长一定时，其面积有最大值，最大值的求法是把面积S 转化为r 的函数. 【训练3】 一个扇形的面积为1，周长为4，求圆心角的弧度数. 解 设扇形的半径为r ，弧长为l ，则2r ＋l ＝4， ∴l ＝4－2r ，根据扇形面积公式S ＝12lr ，得1＝12(4－2r )²r ，∴r ＝1，∴l ＝2，∴α＝l r ＝21＝2，即扇形的圆心角为2 rad.[课堂小结]1.角的概念推广后，在弧度制下，角的集合与实数集R 之间建立起一一对应的关系：每一个角都有唯一的一个实数(即这个角的弧度数)与它对应；反过来，每一个实数也都有唯一的一个角(即弧度数等于这个实数的角)与它对应.2.解答角度与弧度的互化问题的关键在于充分利用“180°＝π rad ”这一关系式. 易知：度数³π180 rad ＝弧度数，弧度数³⎝ ⎛⎭⎪⎫180π°＝度数，度数与弧度数的换算也可借助计算器进行，一些特殊角的度数与弧度数的对应值应该记住.3.在弧度制下，扇形的弧长公式及面积公式都得到了简化，具体应用时，要注意角的单位取弧度.1.240°化成弧度是( ) A.π3B.2π3C.4π3D.5π3解析 240°＝240180³π＝4π3.答案 C2.下列与9π4的终边相同的角的表达式中正确的是( )A.2k π＋45°(k ∈Z )B.k ²360°＋94π(k ∈Z )C.k ²360°－315°(k ∈Z )D.k π＋5π4(k ∈Z )解析 与9π4的终边相同的角可以写成2k π＋94π(k ∈Z )，但是角度制与弧度制不能混用，所以只有答案C 正确. 答案 C3.把－114π表示成θ＋2k π(k ∈Z )的形式，使|θ|最小的θ值是_____.解析 －114π＝－2π＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－34π ＝2³(－1)π＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－34π.∴θ＝－34π.答案 －34π4.把－1 480°写成2k π＋α(k ∈Z )的形式，其中0≤α<2π，并判断它是第几象限角？解 －1 480°＝－1 480³π180＝－74π9＝－10π＋16π9，其中0≤16π9<2π，因为16π9是第四象限角，所以－1 480°是第四象限角.基 础 过 关1.－300°化为弧度是( ) A.－43πB.－53πC.－54πD.－76π答案 B2.集合A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫α|α＝k π＋π2，k ∈Z 与集合B ＝⎩⎨⎧α|α＝2k π±π2， }k ∈Z 的关系是( )A.A ＝BB.A ⊆BC.B ⊆AD.以上都不对答案 A3.已知扇形的周长是6 cm ，面积是2 cm 2，则扇形的圆心角的弧度数是( ) A.1 B.4 C.1或4D.2或4解析 设扇形半径为r ，圆心角弧度数为α，则由题意得226,1,2,14 1.2,2r r r r r αααα+=⎧==⎧⎧⎪∴⎨⎨⎨===⎩⎩⎪⎩或 答案 C4.已知两角的和是1弧度，两角的差是1°，则这两个角为_____.解析 设这两个角为α，β弧度，不妨设α>β，则1,π,180αβαβ+=⎧⎪⎨-=⎪⎩解得α＝12＋π360，β＝12－π360.答案 12＋π360，12－π3605.已知α是第二象限角，且|α＋2|≤4，则α的集合是______. 解析 ∵α是第二象限角， ∴π2＋2k π＜α＜π＋2k π，k ∈Z ，∵|α＋2|≤4，∴－6≤α≤2， 当k ＝－1时，－32π＜α＜－π，当k ＝0时，12π＜α≤2，当k 为其它整数时，满足条件的角α不存在. 答案 (－32π，－π)∪(12π，2]6.直径为1.4 m 的飞轮，每小时按顺时针方向旋转24 000转. (1)求飞轮每秒转过的弧度数； (2)求轮周上一点P 每秒经过的弧长. 解 (1)∵飞轮按顺时针方向旋转，∴飞轮每秒转过的弧度数为－24 000³2π3 600＝－403π.(2)轮周上一点P 每秒经过的弧长为l ＝|α|r ＝403π³1.42＝283π(m). 7.如图所示，半径为1的圆的圆心位于坐标原点，点P 从点A (1，0)出发，依逆时针方向等速沿单位圆周旋转，已知P 点在1 s 内转过的角度为θ (0<θ<π)，经过 2 s 达到第三象限，经过14 s 后又回到了出发点A 处，求θ.解 因为0<θ<π，且2k π＋π<2θ<2k π＋3π2(k ∈Z )，则必有k ＝0，于是π2<θ<3π4，又14θ＝2n π(n ∈Z )，所以θ＝n π7，从而π2<n π7<3π4，即72<n <214， 所以n ＝4或5，故θ＝4π7或5π7.8.(2016²泉州高二检测)一个半径为r 的扇形，若它的周长等于弧所在的半圆的弧长，那么扇形的圆心角是多少弧度？是多少度？扇形面积是多少？解 设弧长为l ，所对圆心角为α， 则l ＋2r ＝πr ，即l ＝(π－2)r . ∵|α|＝l r＝π－2＝(π－2)²⎝⎛⎭⎪⎫180°π≈65.41°.∴α的弧度数是π－2，度数为65.41°. 从而S 扇形＝12lr ＝12(π－2)r 2.能 力 提 升9.已知扇形面积为3π8，半径是1，则扇形的圆心角是( )A.3π16B.3π8C.3π4D.3π2解析 S 扇＝12αr 2＝12³α³12＝3π8，∴α＝3π4.答案 C10.(2016²杭州高一检测)集合⎩⎨⎧⎭⎬⎫α⎪⎪⎪k π＋π4≤α≤k π＋π2，k ∈Z 中的角所表示的范围(阴影部分)是( )解析 不妨令k ＝0，则π4≤α≤π2，令k ＝1，则54π≤α≤32π，故选C.答案 C11.已知集合A ＝{x |2k π≤x ≤2k π＋π，k ∈Z }，集合B ＝ {x |－4≤x ≤4}，则A ∩B ＝_____. 解析 如图所示，∴A ∩B ＝[－4，－π]∪[0，π]. 答案 [－4，－π]∪[0，π]12.如果一扇形的弧长变为原来的32倍，半径变为原来的一半，则该扇形的面积为原扇形面积的.解析 由于S ＝12lR ，若l ′＝32l ，R ′＝12R ，则S ′＝12l ′R ′＝12³32l ³12R ＝34S .答案 3413.在如图所示的圆中，已知圆心角∠AOB ＝2π3，半径OC 与弦AB 垂直，垂足为点D ，若CD ＝a ，求ACB ︵的长及其与弦AB 所围成的弓形ACB 的面积.解 设圆的半径为r ，ACB ︵的长为l ，则l ＝2π3r .连接AC ，因为OA ＝OB ，OC 与弦AB 垂直，所以∠AOC ＝π3，所以△AOC 为等边三角形. 因为AD ⊥OC ，所以OD ＝CD ， 所以r ＝2CD ＝2a ， 所以l ＝2π3²2a ＝4a π3，S 扇形OACB ＝12lr ＝4a 2π3，S △AOB ＝12AB ²OD ＝12²23a ²a ＝3a 2，所以S 弓形ACB ＝S 扇形OACB －S △AOB ＝⎝⎛⎭⎪⎫4π3－3a 2.探 究 创 新14.如图所示，动点P ，Q 从点A (4，0)出发，沿圆周运动，点P 按逆时针方向每秒钟转π3，点Q 按顺时针方向每秒钟转π6，求P ，Q 第一次相遇时所用的时间及P ，Q 两点各自走过的弧长.解 设P ，Q 第一次相遇时所用的时间是t 秒，则t ²π3＋t ²⎪⎪⎪⎪⎪⎪－π6＝2π，解得t ＝4，所以第一次相遇所用的时间为4秒，所以P 点走过的弧长为π3³4³4＝163π，Q 点走过的弧长为⎪⎪⎪⎪⎪⎪－π6³4³4＝83π.1.2 任意角的三角函数 1.2.1 任意角的三角函数(一)目标定位 1.理解任意角三角函数(正弦、余弦、正切)的定义；2.能判断各象限角的正弦、余弦、正切函数值的符号；3.理解终边相同的角的同一三角函数的值相等.自 主 预 习1.单位圆在直角坐标系中，我们称以原点O 为圆心，以单位长度为半径的圆为单位圆. 2.任意角三角函数的定义(1)在平面直角坐标系中，设α是一个任意角， 它的终边与单位圆交于点P (x ，y )，那么： ①y 叫做α的正弦，记作sin α，即sin α＝y ； ②x 叫做α的余弦，记作cos α，即cos α＝x ； ③y x 叫做α的正切，记作tan α，即tan α＝y x(x ≠0).对于确定的角α，上述三个值都是唯一确定的.故正弦、余弦、正切都是以角为自变量，以单位圆上点的坐标或坐标的比值为函数值的函数，统称为三角函数.(2)设角α终边上任意一点的坐标为(x ，y )，它与原点的距离为r ，则sin α＝y r，cos α＝x r ，tan α＝y x. 3.正弦、余弦、正切函数值在各象限的符号4.诱导公式一终边相同的角的同一三角函数的值相等，即： sin(α＋k ²2π)＝sin α，cos(α＋k ²2π)＝cos α， tan(α＋k ²2π)＝tan α，其中k ∈Z .即 时 自 测1.思考判断(正确的打“√”，错误的打“³”) (1)三角函数值是一个比值，只与角的终边位置有关.(√) (2)只有第一、二象限角的正弦是正的.(³) (3)若sin α²cos α>0，则α是第一象限角.(³) (4)已知P (3a ，4a )是角α终边上一点，故sin α＝45.(³)提示 (1)由三角函数定义可知，一个角的三角函数值，仅与终边位置有关. (2)sin π2＝1>0，故错.(3)α是第三象限角时，sin α²cos α>0，故错. (4)当α<0时，sin α＝－45.2.若角α的终边上有一点是A (2，0)，则tan α的值是( ) A.－2B.2C.1D.0解析 因为角α的终边上有一点是A (2，0)，所以α的终边落在x 轴的非负半轴上，从而tan α＝0. 答案 D3.sin 13π6的值是( )A.－12B.12C.－32D.32解析 sin 13π6＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π＋π6＝sin π6＝12. 答案 B4.已知①sin 1，②cos 2，③tan 3，其中函数值为负的是_____(填序号). 解析 ∵1是第一象限角，∴sin 1>0；∵2是第二象限角， ∴cos 2<0；∵3是第二象限角，∴tan 3<0.答案②③类型一三角函数定义的应用(互动探究)【例1】已知θ终边上一点P(x，3)(x≠0)，且cos θ＝1010x，求sin θ，tan θ.[思路探究]探究点一利用三角函数定义结合已知条件能求出x吗？提示由余弦定义可知cos θ＝xx2＋3，故可建立关于x的方程.探究点二角的终边所在象限唯一确定吗？如何求其余两个函数值. 提示不确定，求其余两个函数值应分类讨论.解由题意知r＝|OP|＝x2＋9，由三角函数定义得cos θ＝xr＝xx2＋9.又∵cos θ＝1010x，∴xx2＋9＝1010x.∵x≠0，∴x＝±1.当x＝1时，P(1，3)，此时sin θ＝312＋32＝31010，tan θ＝31＝3.当x＝－1时，P(－1，3)，此时sin θ＝3（－1）2＋32＝31010，tan θ＝3－1＝－3.规律方法在解决有关角的终边在直线上的问题时，应注意到角的终边为射线，所以应分两种情况处理，取射线上异于原点的任意一点坐标(a，b)，则对应角的正弦值为sin αcos αtan α＝ba.【训练1】已知角θ的终边上有一点P(－3，m)，且sin θ＝24m，求cos θ与tan θ的值.解由已知有24m＝m3＋m2，得m＝0，或m＝±5，(1)当m＝0时，cos θ＝－1，tan θ＝0；(2)当m ＝5时，cos θ＝－64，tan θ＝－153； (3)当m ＝－5时，cos θ＝－64，tna θ＝153. 类型二 三角函数值符号的判断 【例2】 判断下列三角函数值的符号： (1)sin 3，cos 4，tan 5； (2)sin(cos θ)(θ为第二象限角). 解 (1)∵π2<3<π<4<3π2<5<2π，∴3，4，5分别为第二、三、四象限角， ∴sin 3>0，cos 4<0，tan 5<0.(2)∵θ是第二象限角，∴－1<cos θ<0， ∴sin(cos θ)<0.规律方法 三角函数值的符号仅仅由角的终边所在位置确定，口诀：“一全正、二正弦、三正切、四余弦”，应透彻理解，熟练应用.【训练2】 若sin αtan α<0，且cos αtan α<0，则角α是( )A.第一象限角B.第二象限角C.第三象限角D.第四象限角解析 由sin αtan α<0可知α应在二、三象限，由cos αtan α<0可知α应在三、四象限，故α应在第三象限. 答案 C类型三 诱导公式一的应用 【例3】 计算下列各式的值： (1)cos 25π3＋tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫－15π4； (2)sin 810°＋tan 765°－cos 360°. 解 (1)原式＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫8π＋π3＋tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫－4π＋π4＝cos π3＋tan π4＝12＋1＝32.(2)原式＝sin(90°＋2³360°)＋tan(45°＋2³360°)－cos 360°＝sin 90°＋ tan 45°－1＝1＋1－1＝1.规律方法 利用诱导公式一可把负角的三角函数化为0到2π间的三角函数，也可把大于2π的角的三角函数化为0到2π间的三角函数，即实现了“负化正，大化小”.同时要熟记特殊角的三角函数值.【训练3】 (1)sin(－1 380°)的值为( ) A.－12B.12C.－32D.32(2)cos ⎝⎛⎭⎪⎫－23π3＋tan 17π4＝_____. 解析 (1)原式＝sin(－360°³4＋60°)＝sin 60°＝32. (2)原式＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－24π3＋π3＋tan ⎝⎛⎭⎪⎫4π＋π4＝cos π3＋tan π4＝32.答案 (1)D (2)32[课堂小结]1.三角函数值是比值，是一个实数，这个实数的大小和点P (x ，y )在终边上的位置无关，只由角α的终边位置确定.即三角函数值的大小只与角有关.2.要善于利用三角函数的定义及三角函数值的符号规律解题，并且注意掌握解题时必要的分类讨论及三角函数值符号的正确选取.3.诱导公式一可以把大角或负角的三角函数求值化为(0，2π)之间的角的求值，另外要牢记一些特殊角的正弦、余弦、正切值.1.已知角α的终边经过点(－4，3)，则cos α等于( ) A.45B.35C.－35D.－45解析 因为角α的终边经过点(－4，3)，所以x ＝－4，y ＝3，r ＝5，所以cos α＝x r ＝－45.答案 D2.如果角α的终边过点P (2sin 30°，－2cos 30°)，则cos α的值等于( ) A.12B.－12C.－32D.32解析 2sin 30°＝1，－2cos 30°＝－3， ∴r ＝2，∴cos α＝12.答案 A3.tan 405°－sin 450°＋cos 750°＝______.解析 tan 405°－sin 450°＋cos 750°＝tan(360°＋45°)－sin(360°＋90°)＋cos(720°＋30°)＝tan 45°－sin 90°＋cos 30°＝1－1＋32＝32. 答案324. 已知角α的终边过点P (m ，－3m )(m ≠0)，求α的正弦、余弦、正切值.解 由题意知x ＝m ，y ＝－3m ，r ＝m 2＋（－3m ）2＝10|m |，当m >0时，r ＝10m ，由三角函数的定义得cos α＝m10m＝1010，sin α＝－3m 10m＝－31010，tan α＝－3mm ＝－3.当m <0时，r ＝－10m ，由三角函数的定义得cos α＝m －10m ＝－1010，sin α＝－3m －10m＝31010，tan α＝－3mm＝－3.基 础 过 关1.sin 1 860°等于( ) A.12B.－12C.32D.－32解析 sin 1 860°＝sin(60°＋5³360°)＝sin 60°＝32. 答案 C2.当α为第二象限角时，|sin α|sin α－cos α|cos α|的值是( )A.1B.0C.2D.－2解析 ∵α为第二象限角，∴sin α>0，cos α<0. ∴|sin α|sin α－cos α|cos α|＝sin αsin α－cos α－cos α＝2.答案 C3.角α的终边经过点P (－b ，4)且cos α＝－35，则b 的值为( )A.3B.－3C.±3D.5解析 r ＝b 2＋16，cos α＝－b r＝－bb 2＋16＝－35.∴b ＝3.答案 A4.已知⎝ ⎛⎭⎪⎫12sin 2θ<1，则角θ的终边在第象限_____.解析 ∵⎝ ⎛⎭⎪⎫12sin 2θ<1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫120，∴sin 2θ>0，∴2k π<2θ<2k π＋π，k ∈Z ， ∴k π<θ<k π＋π2，k ∈Z ，∴角θ的终边在第一或三象限.答案 一或第三 5.给出下列命题：①第二象限角大于第一象限角；②三角形的内角是第一象限角或第二象限角； ③不论是用角度制还是用弧度制度量一个角，它们与扇形的半径的大小无关；④若sin α＝sin β，则α与β的终边相同；⑤若cos θ<0，则θ是第二或第三象限的角，其中正确命题的序号是.解析 由于第一象限角370°不小于第二象限角100°，故①错；当三角形的内角为90°时，其既不是第一象限角，也不是第二象限角，故②错；③正确；由于sin π6＝sin 5π6，但π6与5π6的终边不相同，故④错；当cos θ＝－1，θ＝π时既不是第二象限角，又不是第三象限角，故⑤错.综上可知只有③正确. 答案 ③ 6.化简下列各式：(1)sin 72π＋cos 52π＋cos(－5π)＋tan π4；(2)a 2sin 810°－b 2cos 900°＋2ab tan 1 125°.解 (1)原式＝sin 32π＋cos π2＋cos π＋1＝－1＋0－1＋1＝－1.(2)原式＝a 2sin 90°－b 2cos 180°＋2ab tan (3³360°＋45°) ＝a 2＋b 2＋2ab tan 45°＝a 2＋b 2＋2ab ＝(a ＋b )2.7.已知角θ的顶点与原点重合，始边与x 轴的非负半轴重合，终边在直线y ＝2x 上，求cos 2θ－sin 2θ的值.解 在角θ终边上任选一点，依据三角函数的定义求出cos θ，sin θ即可求解. 由已知可在角θ的终边上取点P (x 0，y 0)，则y 0＝2x 0，∴r ＝x 20＋y 20＝5|x 0|，从而cos 2θ－sin 2θ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x 0r 2－⎝ ⎛⎭⎪⎫y 0r 2＝－35.8.已知角α的终边上有一点P (－3，a ＋1)，a ∈R . (1)若α＝120°，求实数a 的值.(2)若cos α<0且tan α>0，求实数a 的取值范围. 解 (1)依题意得，tan α＝a ＋1－3＝tan 120°＝－3，所以a ＝2.(2)由cos α<0且tan α>0得，α为第三象限角，故a ＋1<0，所以a <－1，故实数a 的取值范围是(－∞，－1).能 力 提 升9.已知tan x >0，且sin x ＋cos x >0，那么角x 是____第象限角( ) A.一B.二C.三D.四解析 ∵tan x >0，∴x 是第一或第三象限角. 又∵sin x ＋cos x >0，∴x 是第一象限角. 答案 A10.已知角α的终边上一点的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫sin 2π3，cos 2π3，则角α的最小正值为( ) A.5π6B.2π3C.13π6D.11π6解析 ∵sin 23π＝32，cos 23π＝－12.∴角α的终边在第四象限，且tan α＝－33. ∴角α的最小正角为2π－π6＝11π6. 答案 D11.已知α终边经过点(3a －9，a ＋2)，且sin α>0，cos α≤0，则a 的取值范围为. 解析 ∵sin α>0，cos α≤0，∴α的终边位于第二象限或y 轴正半轴上， ∴3a －9≤0，a ＋2>0，∴－2<a ≤3. 答案 (－2，3]12.若点(α，9)在函数y ＝3x的图象上，则tan απ6的值为.解析 将点(α，9)代入y ＝3x 中，得9＝3α，解得α＝2，所以tan 2π6＝tan π3＝ 3.答案313.求函数f (x )＝sin x |sin x |＋cos x |cos x |＋tan x|tan x |的值域.解 f (x )有意义且x 终边不在坐标轴上. ∴当x 是第一象限角时，f (x )＝1＋1＋1＝3. 当x 是第二象限角时，f (x )＝1－1－1＝－1. 当x 是第三象限角时，f (x )＝－1－1＋1＝－1. 当x 是第四象限角时，f (x )＝－1＋1－1＝－1. ∴f (x )的值域为{－1，3}.探 究 创 新14.已知1|sin α|＝－1sin α，且lg cos α有意义.(1)试判断角α所在的象限；(2)若角α的终边上一点是M ⎝ ⎛⎭⎪⎫35，m ，且|OM |＝1(O 为坐标原点)，求m 的值及sin α的值.解 (1)由1|sin α|＝－1sin α可知sin α<0，∴α是第三或四象限或终边在y 轴的负半轴上的角. 由lg cos α有意义可知cos α>0，∴α是第一或四象限或终边在x 轴的正半轴上的角. 综上可知角α是第四象限的角.(2)∵|OM |＝1，∴⎝ ⎛⎭⎪⎫352＋m 2＝1，解得m ＝±45.又α是第四象限角，故m <0，从而m ＝－45.由正弦函数的定义可知sin α＝y r ＝m |OM |＝－451＝－45.1.2.1 任意角的三角函数(二)目标定位 1.认识单位圆中任意角的正弦线、余弦线和正切线；2.利用单位圆中的三角函数线解决简单的三角函数问题.自 主 预 习1.三角函数的定义域正弦函数y ＝sin x 的定义域是R ；余弦函数y ＝cos x 的定义域是R ；正切函数y ＝tan x 的定义域是{x |x ∈R ，且x ≠k π＋π2，k ∈Z }.2.三角函数线如图，设单位圆与x 轴的正半轴交于点A ，与角α的终边交于P 点.过点P 作x 轴的垂线PM ，垂足为M ，过A 作单位圆的切线交OP 的延长线(或反向延长线)于T 点.单位圆中的有向线段MP 、OM 、AT 分别叫做角α的正弦线、余弦线、正切线.记作：sin α＝MP ，cos α＝OM ，tanα＝AT .即 时 自 测1.思考判断(正确的打“√”，错误的打“³”)(1)由于正弦线平行于y 轴，余弦线在x 轴上、它们没法比较大小.(³) (2)π2角的余弦线不存在.(³)(3)根据单位圆中正弦线，余弦线的变化规律可知|sin α|≤1，|cos α|≤1.(√) (4)π2角的正切线不存在.(√)提示 (1)可以比较大小.(2)π2角的余弦线变成了一个点而已.(3)对.(4)π2角的终边与x ＝1平行，故其正切线不存在.2.角α(0<α<2π)的正、余弦线的长度相等，且正、余弦符号相异，那么α的值为( ) A.π4B.3π4C.7π4D.3π4或7π4解析 ∵正、余弦符号相异，故α在第二、四象限，又正、余弦线的长度相等，故α＝34π或α＝74π.答案 D3.如图，在单位圆中角α的正弦线、正切线完全正确的是( )。
高中数学必修四知识点总结归纳
高中数学必修四第一章：三角函数1.1任意角和弧度制考点1：任意角的概念考点2：终边相同的角考点3：象限角与轴线角1.1.2弧度制考点1：弧度制考点2：弧度制与角度制考点3：用弧度表示有关角考点4：扇形的弧长与面积1.2任意角的三角函数1.2.1任意角的三角函数考点1：任意角的三角函数的定义考点2：三角函数值的符号考点3：诱导公式（一）考点4：三角函数式的化简与证明考点5：三角函数线考点6：三角函数的定义域与值域1.2.2同角三角函数的基本关系考点1：同角三角函数的基本关系考点2：三角函数式的化简考点3：利用sinα，cosα，sinαcos α之间的关系求值考点4：三角函数恒等式的证明1.3三角函数的诱导公式考点1：诱导公式考点2：运用诱导公式化简、求值考点3：诱导公式的综合运用1.4三角函数的图像与性质1.4.1正弦函数、余弦函数的图像1.4.2正弦函数。
余弦函数的性质考点1：函数的周期性考点2:正弦函数与余弦函数的图像考点3：正弦函数与余弦函数的定义域和值域考点4：正弦函数与余弦函数的奇偶性考点5：正弦函数与余弦函数的单调性考点6：正弦函数与余弦函数的对称性1.4.3正切函数的性质与图像考点1：正切函数的图像考点2：正切函数的性质考点3：正切函数的综合问题1.5函数y=Asin（ωx+φ）的综合应用考点1：用“五点法”作函数y=Asin（ωx+φ）的图像考点2：用变换作图法作函数y=Asin（ωx+φ）的图像考点3：由函数y=Asin（ωx+φ）的部分图像确定其解析式考点4：简谐运动的有关概念考点5：函数y=Asin（ωx+φ）的综合应用1.6三角函数模型的简单应用考点1：利用三角函数定义建立三角函数模型考点2：用拟合法建立三角函数模型考点3：三角函数模型应用的综合问题考法整合：考法1：任意角三角函数定义的灵活运用考法2：山脚函数图像的对称性考法3：三角函数的值域与最值问题考法4：利用图像解题第二章：平面向量2.1平面向量的事件背景及基本概念考点1：平面向量的概念考点2：平行向量（共线向量）、相等向量与相反向量考点3：平面向量的应用2.2平面向量的线性运算2.2.1向量加法运算及其几何意义2.2.2向量减法运算及其集合意义考点1：向量的加法考点2：向量的减法考点3：向量的化简考点4：响亮的加减法应用2.2.3向量数乘运算及其集合意义考点1：向量的数乘运算考点2：向量的线性运算考点3：向量的共线问题考点4：利用向量解决平面几个问题2.3平面向量的基本定理及坐标表示2.3.1平面向量的基本定理考点1：平面向量的基本定理考点2：平面向量基本定理的应用考点3：两个平面向量的夹角2.3.2平面向量的正交分解及坐标表示2.3.3平面向量的坐标运算2.3.4平面向量共线的坐标表示考点1：平面向量的坐标表示考点2：平面向量的坐标运算考点3：平面向量贡献的坐标表示考点4：线段的定比分点考点5：平面向量坐标表示的应用2.4平面向量的数量积2.4.1平面向量数量积的物理背景及其含义考点1：平面向量的数量积考点2：数量积的性质及其运算律考点3：两向量的夹角考点4：数量积的应用2.4.2平面向量数量积的坐标表示。
必修4第一章三角函数知识点详解
(2)公式变形使用（ 。
(3)三角函数次数的降升(降幂公式： ， 与升幂公式： ， )。
(4)常值变换主要指“1”的变换
(5)正余弦“三兄妹— ”的存联系――“知一求二”，如
注意：正角的弧度数为正数，负角的弧度数为负数，零角的弧度数为零.
、弧度与角度互换公式：1rad＝ °≈57.30°=57°18ˊ． 1°＝ ≈0.01745（rad）
五: 弧长公式：
，扇形面积公式： ，1弧度(1rad) .
1.2任意角的三角函数
一: 任意角的三角函数的定义：
设 是任意一个角，P 是 的终边上的任意一点（异于原点），它与原点的距离是 ，那么 ， ， ， ， 。三角函数值只与角的大小有关，而与终边上点P的位置无关。
正角:按逆时针方向旋转所形成的角.
负角:按顺时针方向旋转所形成的角.
零角:如果一条射线没有做任何旋转,我们称它形成了一个零角.
角的概念是通过角的终边的运动来推广的，既有旋转方向，又有旋转大小，同时没有旋转也是一个角，从而得到正角、负角和零角的定义.
二: 象限角的概念：
在直角坐标系中，使角的顶点与原点重合，角的始边与 轴的非负半轴重合，角的终边在第几象限，就说这个角是第几象限的角。如果角的终边在坐标轴上，就认为这个角不属于任何象限。
0°
90°
180°
270°
15°
75°
0
1
0
－1
1
0
－1
0
1
0
0
2-
2+
1
0
0
最新人教版高中数学必修四任意角的三角函数(一)1优质课件
sin y , cos x , tan y , (r x2 y2 )
r
r
x
返回
x | OM | | OM0 | 3 3
实际上
练习.已知角α的终边经过点P(2,-3)，求角 α的正弦、余弦和正切值。
sin 3 13, cos 2 13, tan 3
13
13
2
变式1.设角 的终边过点 P(4a,3a) ,其中 a 0 ,
则 sin 3 .
5
变式2若. 角 的终边过点 Pa，8，且 cos 3 ，
r
r
x
3.三角函数都是以角为自变量,以单位圆上的点 的坐标(比值)为函数值的函数.
作业 p202,3,6 谢谢大家!
y
M0
M
α
O x(1,0) x
P(x,y)
P0(-3,-4)
sin 4 ,
5
cos 3 ,
5
tan 4
3
一般地,若α的终边上任意一点的坐标为 P(x,y) ,其三角函数可转化为
（2）x叫做α的余弦，记作 P(x,y) α
cosα，即cosα=x
O
y
（3） 叫做α的正切，记作txnα，即
x
y
txnα= (x≠0)。
x
见教材P13
x(1,0x)
三角函数 sin y, cos x, tan y
x
都是以角为自变量,以单位圆上的点的坐标(比值) 为函数值的函数.
函数
定义域
yy
sin
R
x
cos
R
tan
{ | k , k Z}
y
2
x
一一对应
角(弧度数)
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1.2 任意角的三角函数
1.2.1 任意角的三角函数
温故知新
新知预习
1.如图1-2-1,设α是一个任意角,它的终边与单位圆交于点P(x,y),那么
图1-2-1
(1)____________叫做α的正弦,记作sinα,即sinα=____________.
(2) ____________叫做α的余弦,记作cosα,即cosα=____________.
(3) ____________叫做α的正切,记作tanα,即tanα=____________.
2.三角函数在各象限的符号.
sin α=____________,当α是____________角限时,sinα＞0;当α是____________象限时,sinα＜0.
cosα=____________,当α是____________象限时,cosα＞0;当α是____________象限时,cosα＜0.
tanα=____________,当α是____________象限时,tanα＞0;当α是____________象限时,tanα＜0.
知识回顾
1.在初中,我们学习过锐角三角函数的定义,即射线OP 在第一象限,P(x,y)是该射线上任意一
点,MP ⊥Ox 于M,记∠MOP=α,则OM=x,MP=y,r=OP=22y x .根据锐角三角函数的定义知sinα=r y ,cosα=r x ,tanα=x
y . 2.函数的三要素为定义域、对应法则、值域.。