(甘志国)直线与中心二次曲线相切的简明充要条件

合集下载

二次曲线数控加工的数学分析

二次曲线数控加工的数学分析二次曲线是二次方程的图像，表达式为y = ax^2 + bx + c。

在数控加工中，二次曲线常用于制作弧形或曲线的零件。

本文将对二次曲线数控加工的数学分析进行详细讨论。

让我们来学习二次方程的标准形式。

标准形式为y = ax^2 + bx + c，其中a，b和c 是常数。

a决定了二次曲线的开口方向和弯曲程度。

当a大于0时，曲线开口向上；当a 小于0时，曲线开口向下。

接下来，我们来看看如何通过数控加工生成二次曲线。

在数控机床上，我们可以通过控制刀具在x和y轴上的运动来形成曲线。

为了生成二次曲线，我们需要考虑以下几个关键点：1. 轨迹规划：确定加工曲线的起始点和结束点，以及曲线的路径和方向。

这有助于确定初始条件和运动方程。

2. 运动方程：根据起点和终点以及曲线的路径，确定刀具在x和y轴上的运动方程。

由于二次曲线是二次方程的图像，因此我们可以使用二次方程的运动方程来控制刀具的移动。

3. 参数选择：根据具体的加工要求，选择合适的参数来控制曲线的形状和大小。

可以通过调整a、b和c来控制开口方向、弯曲程度和位置。

4. 运动控制：利用数控系统的控制功能，将运动方程转化为机床坐标系下的运动指令。

通过控制刀具在x和y轴上的移动，以及刀具与工件表面之间的距离，实现对加工曲线的控制。

除了以上几点，还有一些附加的数学分析可以用于优化加工效果：1. 刀具半径补偿：由于刀具具有一定的半径，实际加工曲线会比设计曲线略大。

为了保持加工精度，可以通过在运动方程中引入刀具半径来进行补偿。

2. 运动速度控制：根据曲线的形状和大小，合理控制刀具的运动速度，以避免加工过程中的快慢不一和抖动现象。

3. 弧段插补：在多轴数控机床上，可以通过插补多个直线段来逼近二次曲线。

通过合理设置插补点和插补速度，可以实现更精细的曲线加工效果。

二次曲线数控加工的数学分析涉及到曲线轨迹规划、运动方程的确定、参数选择、运动控制以及一些附加的数学分析。

直线与二次曲线相切的方程解法

直线与二次曲线相切的方程解法
崔继海
【期刊名称】《试题与研究(教学论坛)》
【年(卷),期】2013(000)035
【摘要】根据直线与二次曲线相切、相交、相离的含义,借助求切线方程的具体例子,简要阐述直线与二次曲线相切问题的解法.
【总页数】1页(P65)
【作者】崔继海
【作者单位】河南省新乡幼儿师范学校
【正文语种】中文
【相关文献】
1.一点定直线形同意不同--对二次曲线切线和切点弦所在直线方程的推广与研究[J], 汪志强
2.直线与二次曲线相切的充要条件 [J], 周荣先;薛希林
3.直线与二次曲线相切的充要条件 [J], 石卫国
4.关于直线与二次曲线相切问题的简捷解法 [J], 李成章;
5.关于直线与二次曲线的相交与相切 [J], 李冲;郑恒鉴
因版权原因，仅展示原文概要，查看原文内容请购买。

§5.3 二次曲线的切线

§5.3 二次曲线的切线一、概念1. 定义1：如果直线与二次曲线交于相互重合的两个点，那么这条直线就叫做二次曲线的切线，这个重合的交点叫做切点；如果直线全部在二次曲线上，我们也称它为二次曲线的切线，直线上的每一个点都可以看作切点.2.定义2：二次曲线F(x, y)=0上满足条件F1(x0, y0)=F2(x0, y0)=0的点(x0, y0)叫做二次曲线的奇异点，简称奇点；二次曲线的非奇异点叫做二次曲线的正常点. 奇点是中心，但中心不一定是奇点.注：(1) 二次曲线有奇点的充要条件是I3= 0，(2) 二次曲线的奇点一定是二次曲线的中心，但反之不然.二、切线求法1.已知切点求切线：设点(x0, y0)是二次曲线F(x, y)=0上的点, 则通过点(x0, y0)的直线方程总可以写成那么此直线成为二次曲线切线的条件，当Φ(X, Y)≠0时∆=[F1(x0, y0)X +F2(x0, y0)Y]2-Φ(X, Y)⋅F(x0, y0)=0.因为点 (x0, y0) 在二次曲线上，所以F(x0, y0)=0；因而上式可化为F1(x0, y0)X +F2(x0, y0)Y=0.当Φ(X, Y)= 0时除了F(x0, y0)=0外，唯一的条件仍然是F1(x0, y0)X +F2(x0, y0)Y=0.(1)如果点(x0, y0)是二次曲线F (x, y)=0的正常点：那么由以上条件得X:Y = F2(x0, y0)：(-F1(x0, y0))，因此切线方程为或写成，或 (x-x0)F1(x0, y0)+(y-y0)F2(x0, y0)=0，其中 (x0, y0) 是它的切点；(2)如果点 (x0, y0) 是二次曲线F (x, y)=0的奇异点，即F1(x0, y0)=F2(x0, y0)=0，则切线方向X:Y不能唯一地被确定，从而通过点 (x0, y0)的切线不确定,这时通过点 (x0, y0) 的任何直线都和二次曲线F (x, y)=0相交于相互重合的两点，我们把这样的直线也看成是二次曲线的切线.这样我们就得到定理1：如果点(x0, y0) 是二次曲线F (x, y)= 0的正常点，则通过点(x0, y0)的切线方程是 (x-x0)F1(x0, y0)+(y-y0)F2(x0, y0)=0，(x0, y0)是它的切点.如果点 (x0, y0) 是二次曲线F (x, y)=0的奇异点，则通过点 (x0, y0) 的每一条直线都是二次曲线F (x, y)=0的切线.推论：如果点 (x0, y0) 是二次曲线F (x, y) = 0的正常点，则通过点 (x0, y0) 的切线方程是a11x0x + a12(x0y+xy0)+a22y0y+a13(x+x0)＋a23(y+y0)+a33=0.证明：过点(x0, y0) 的切线方程可改写成xF1(x0, y0)+yF2(x0, y0)-[x0F1(x0, y0)+y0F2(x0, y0)]=0,那么xF1(x0, y0)+yF2(x0, y0)+ F3(x0, y0)-[x0F1(x0, y0)+y0F2(x0, y0)+ F3(x0, y0)]=0,则有xF1(x0, y0)+yF2(x0, y0)+ F3(x0, y0)=0,即 x(a11x + a12y+a13)+y(a12x + a22y+a23)+( a13x + a23y+a33)=0,从而得a11x0x + a12(x0y+xy0)+a22y0y+a13(x+x0)＋a23(y+y0)+a33=0.2.已知二次曲线外一点，求过此点的切线：设点(x0 , y0)不是二次曲线上的点，即F(x0 , y0)≠0, 则过点(x0 , y0)的直线方程为此直线成为二次曲线上切线唯一条件是Φ(X, Y)≠0且∆=[F1(x0, y0)X +F2(x0, y0)Y]2-Φ(X, Y)⋅F(x0, y0)=0.由此解出X:Y，从而得(两条)切线的方程.例1. 求以下二次曲线在所给点或通过所给点的切线方程.（1）曲线3x2+4xy+5y2-7x-8y-3=0, 在点 (2, 1)；（2）曲线x2+xy+y2＋x＋4y+3=0, 经过点 (-2, -1).解：（1）F (x, y)= 3x2+4xy+5y2-7x-8y-3, F1(x, y)=3x+2y-, F2(x, y)=2x+5y-4,因为 F (2, 1)=12+8+5-14-8-3+=0，且F1(2, 1)=≠0, F2(2, 1)=5≠0,所以点(2, 1)是二次曲线上的正常点.因此切线方程为(x-2)+5(y-1)=0，化简得 9x+10y-28=0.（2）F (x, y)= x2+xy+y2+x+4y+3, F1(x, y)=x+, F2(x, y)=, 因为F(-2, -1)=4≠0, 所以点 (-2, -1) 不在曲线上，而F1(-2, -1)= -2, F2(-2, -1)=0,设所求切线方程为，由 (-2X)2-4(X2+XY+Y2)=0 得X1:Y1=-1:1, X2:Y2=1:0,所以两条切线方程为与，即x+y+3=0 与y+1=0.例3. 已知曲线x2+4xy+3y2-5x-6y+3=0的切线平行于x+4y=0，求切线方程和切点坐标.解：设切点为(x0, y0)，则切线方程为x0x+2(x0y+xy0)+3y0y-(x+x0)-3(y+y0)+3=0,即 (x0+2y0-)x+(2x0+3y0-3)y-x0-3y0+3=0,由已知条件有即 4(x0+2y0-)=2x0+3y0-3,或 2x0+5y0-7=0, ①又切点在曲线上，从而+4x0y0+3-5x0-6y0+3=0, ②由①, ②解得切点为 (1, 1)，(-4, 3), 故所求切线方程为x+4y-5=0 和x+4y-8=0.例4. 试求经过原点且切直线4x+3y+2=0于点 (1,-2) 及切直线x-y-1=0于点 (0, -1) 的二次曲线方程.解：因为二次曲线过原点 (0, 0)，所以设二次曲线为a11x2+2a12xy+a22y2+2a13x+2a23y=0,切线方程为 (x-x0)F1(x0, y0)+(y-y0)F2(x0, y0)=0,还可写为F1(x0, y0)x+F2(x0, y0)y+F3(x0, y0)=0.从而过点 (1, -2) 及 (0, -1) 的切线分别为(a11-2a12+a13)x+(a12-2a22+a23)y+a13-2a23=0,(-a12+a13)x+(-a22+a23)y-a23=0,由题设它们应分别为4x+3y+2=0及x-y-1=0，故有,解得λ: μ = 1: -,从而a11=6, a12 = , a22 = -1, a13= 1, a23= -,故所求二次曲线为6x2+3xy-y2+2x-y=0.作业题：1. 求以下二次曲线在所给点或经过所给点的切线方程.(1) 曲线 5x2+7xy+y2-x+2y=0 在原点；(2) 曲线 5x2+6xy+5y2=8经过点 (0, 2).2. 已知曲线x2+xy+y2=3 的切线平行于x轴，求切线方程和切点坐标.。

二次曲线的切线

XF1 ( x0 , y0 ) YF2 ( x0 , y0 ) 0
X :Y F2 (x0, y0 ) :[F1(x0, y0 )]
因此过二次曲线上的点 M0 (x0, y0 )的切线方程为
x

y

x0 y0
F2 (x0 , F1(x0 ,
y0 y0
)t )t
x x0 y y0 F2 (x0 , y0 ) F1(x0 , y0 )
解：因为F(2,1)=4-2+1+4-4-3=0,
且
F1(2,1)=5/2≠0, F 2 (2,1)=-2 ≠0
所以(2,1)是二次曲线上的正常点，因此得在
点(2,1)的切线方程为：
5/2 (x-2)-2(y-1)=0
即： 5x-4y-6=0
例2 求二次曲线 x2 xy y2 1 0 通点(0,2) 的切线方程
定义5.3.1 如果直线与二次曲线相交于相互重合的两个点，那么这条直线就叫做二次曲线的切线，这个重合的交点叫做切点，如果直线全部在二次曲线上，我们也称它为二次曲线的切线，直线上的每个点都可以看作切点.
设M0 (x0，y0) 是二次曲线（1)上的任一点，则过M0的直线l 的方程总可以写成下面的形式：
解：设切点为 (x0, y0 ) ，则切线方程为：
x0
x

1 2
( x0
y

xy0
)

y0y1Fra bibliotek0
，
且 x0 2 y0 1 0，
x02 x0 y0 y02 1 0
解得
x0

y0

1与
0
x0

二次曲线上的四点共圆问题｜解题研究第一境界

二次曲线上的四点共圆问题｜解题研究第一境界老师们：如果您想了解二次曲线上的四点共圆问题；如果您在摸索二次曲线上的四点共圆问题上花费很多时间却仍无头绪；如果您想掌握它的完整解法、获取全面深度的研究成果。

那么甘志国老师的专题研究——《二次曲线上的四点共圆问题的完整结论》可以帮助您，学习掌握甘老师全面深度的解题研究成果，我们定义为解题研究第一境界。

第一境界：掌握已有的解题技巧；第二境界：剖析背后的思维方法；第三境界：分享自己的研究成果。

一、专题重要性高考压轴题以及数学竞赛真题中，经常出现二次曲线四点共圆的问题：2016年高考四川卷文科第20题，2014年高考全国大纲卷理科第21题即文科第22题，2011年高考全国大纲卷理科第21题即文科第22题，2005年高考湖北卷理科第21题即文科第22题，2002年高考江苏、广东卷第20题，2014年全国高中数学联赛湖北赛区预赛第13题，2009年全国高中数学联赛江苏赛区复赛试题第一试第三题。

二、全面的专题研究观看本期视频，您能解决以二次曲线上的四点共圆问题为背景的所有题型。

以下部分举例：▷题型1：两条直线与二次曲线相交，有四个公共点，问四点是否共圆。

▷题型2：两条直线与二次曲线相交，有四个公共点，已知一条直线方程，且四点共圆时，求另一条直线的方程。

▷题型3：二次曲线上满足某一向量关系的四个点，问四点是否共圆。

甘老师对二次曲线上的四点共圆问题研究得出的结论包括3个定理4个推论，这些结论除了能解决二次曲线四点共圆常见题型外，还能解决各类延伸题型。

以下部分举例：▷题型4：▷题型5：三、独特的解法研究专题视频中甘老师将结合11个例题展示独特解法，跳出常规解法步骤繁多，计算量大的困境。

以下用一道高考题来对比常规解法和甘老师的独特解法：▷常规解法：▷“奇”解法：四、深度的专题研究除了列出来的定理和推论，还有其他的定理以及推论，这些定理与推论为预判二次曲线上四点是否共圆提供了极大的便利，用起来也是非常的简洁。

高考数学复习综合讲解----第18讲直线与二次曲线(含详解)

高考数学复习综合讲解----直线与二次曲线题型预测直线与圆锥曲线的位置关系，是高考考查的重中之重．主要涉及弦长、弦中点、对称、参量的取值范围、求曲线方程等问题．解题中要充分重视韦达定理和判别式的应用．解题的主要规律可以概括为“联立方程求交点，韦达定理求弦长，根的分布找范围，曲线定义不能忘”．范例选讲例1．已知双曲线G 的中心在原点，它的渐近线与圆2210200x y x +-+=相切．过点()4,0P -作斜率为14的直线l ，使得l 和G 交于,A B 两点，和y 轴交于点C ，并且点P 在线段AB 上，又满足2PA PB PC ⋅=．（Ⅰ）求双曲线G 的渐近线的方程；（Ⅱ）求双曲线G 的方程；（Ⅲ）椭圆S 的中心在原点，它的短轴是G 的实轴．如果S 中垂直于l 的平行弦的中点的轨迹恰好是G 的渐近线截在S 内的部分，求椭圆S 的方程．讲解：（Ⅰ）设双曲线G 的渐近线的方程为：y kx =，则由渐近线与圆2210200x y x +-+=相切可得：2551k k =+．所以，12k =±．双曲线G 的渐近线的方程为：12y x =±．（Ⅱ）由（Ⅰ）可设双曲线G 的方程为：224x y m -=．把直线l 的方程()144y x =+代入双曲线方程，整理得2381640x x m ---=．则8164, 33A B A B mx x x x ++==- （＊）∵ 2PA PB PC ⋅=，,,,P A B C 共线且P 在线段AB 上， ∴ ()()()2P A B P P C x x x x x x --=-，即：()()4416B A x x +--=，整理得：()4320A B A B x x x x +++= 将（＊）代入上式可解得：28m =．所以，双曲线的方程为221287x y -=．（Ⅲ）由题可设椭圆S 的方程为：()22212728x y a a+=>．下面我们来求出S中垂直于l 的平行弦中点的轨迹．设弦的两个端点分别为()()1122,,,M x y N x y ，MN 的中点为()00,P x y ，则2211222222128128x y a x y a ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩．两式作差得：()()()()121212122028x x x x y y y y a-+-++=由于12124y y x x -=--，1201202,2x x x y y y +=+= 所以，0024028x y a -=，所以，垂直于l 的平行弦中点的轨迹为直线24028x ya-=截在椭圆S 内的部分．又由题，这个轨迹恰好是G 的渐近线截在S 内的部分，所以，211122a =．所以，256a =，椭圆S 的方程为：2212856x y +=．点评：解决直线与圆锥曲线的问题时，把直线投影到坐标轴上（也即化线段的关系为横坐标（或纵坐标）之间的关系）是常用的简化问题的手段；有关弦中点的问题，常常用到“设而不求”的方法；判别式和韦达定理是解决直线与圆锥曲线问题的常用工具）．例2．设抛物线过定点()1,0A -，且以直线1x =为准线．（Ⅰ）求抛物线顶点的轨迹C 的方程；（Ⅱ）若直线l 与轨迹C 交于不同的两点,M N ，且线段MN 恰被直线12x =-平分，设弦MN 的垂直平分线的方程为y kx m =+，试求m 的取值范围．讲解：（Ⅰ）设抛物线的顶点为(),G x y ，则其焦点为()21,F x y -．由抛物线的定义可知：12AF A x ==点到直线的距离＝．所以，2242x y +=．所以，抛物线顶点G 的轨迹C 的方程为：2214y x += ()1x ≠．（Ⅱ）因为m 是弦MN 的垂直平分线与y 轴交点的纵坐标，由MN 所唯一确定．所以，要求m 的取值范围，还应该从直线l 与轨迹C 相交入手．显然，直线l 与坐标轴不可能平行，所以，设直线l 的方程为1:l y x b k =-+，代入椭圆方程得：222241240k bx x b k k ⎛⎫+-+-= ⎪⎝⎭由于l 与轨迹C 交于不同的两点,M N ，所以，()22222441440b k b k k ⎛⎫+∆=--> ⎪⎝⎭，即 ()222410 0k k b k -+>≠．（＊）又线段MN 恰被直线12x =-平分，所以，2212241M N bk x x k ⎛⎫+==⨯- ⎪+⎝⎭．所以，2412k bk +=-．代入（＊）可解得：()33 022k k -<<≠．下面，只需找到m 与k 的关系，即可求出m 的取值范围．由于y kx m =+为弦MN 的垂直平分线，故可考虑弦MN 的中点01,2P y ⎛⎫- ⎪⎝⎭．在1:l y x b k=-+中，令12x =-，可解得：2011412222k y b k k k k +=+=-=-．将点1,22P k ⎛⎫-- ⎪⎝⎭代入y kx m =+，可得：32k m =-．所以，3333044m m -<<≠且．从以上解题过程来看，求m 的取值范围，主要有两个关键步骤：一是寻求m 与其它参数之间的关系，二是构造一个有关参量的不等式．从这两点出发，我们可以得到下面的另一种解法：解法二．设弦MN 的中点为01,2P y ⎛⎫- ⎪⎝⎭，则由点,M N 为椭圆上的点，可知：22224444M M N N x y x y ⎧+=⎪⎨+=⎪⎩．两式相减得：()()()()40M N M N M N M N x x x x y y y y -++-+=又由于01121, 2, 2MN M N M N M N y y x x y y y x x k -⎛⎫+=⨯-=-+=- ⎪-⎝⎭＝，代入上式得：02y k =-．又点01,2P y ⎛⎫- ⎪⎝⎭在弦MN 的垂直平分线上，所以，012y k m =-+．所以，001324m y k y =+=．由点01,2P y ⎛⎫- ⎪⎝⎭在线段BB’上（B’、B 为直线12x =-与椭圆的交点，如图），所以，'0B B y y y <<．也即：033y -<<．所以，3333044m m -<<≠且点评：解决直线和圆锥曲线的位置关系问题时，对于消元后的一元二次方程，必须讨论二次项系数和判别式，有时借助图形的几何性质更为方便．涉及弦中点问题，利用韦达定理或运用平方差法时（设而不求），必须以直线与圆锥曲线相交为前提，否则不宜用此法．从构造不等式的角度来说，“将直线l 的方程与椭圆方程联立所得判别式大于0”与“弦MN 的中点01,2P y ⎛⎫- ⎪⎝⎭在椭圆内”是等价的．BB ＇ＭＮＰ。

解析几何：二次曲线的一般理论

2 0. 方程(4)有两个相等的实根 t1与t 2，直线 (2)与二次曲线 (1)有两个相互重合的实交点.
3 0. 方程(4)有两个共轭的虚根，直线(2)与二次曲线交于两个共轭的虚点 .
2. ( X , Y ) 0，这时又可分三种情况：
1 F1 ( x0 , y0 ) X F2 ( x0 , y0 ) Y 0. 此时(4)是关于t的一次方程 , 直线( 2)与二次曲线 (1)有唯一实交点 . 2 F1 ( x0 , y0 ) X F2 ( x0 , y0 ) Y 0. 而
二次曲线的渐近线讨论
1)椭圆型曲线：I 2 >0 没有实渐近方向从而没有实渐近线，（或称有一对共轭相交虚渐近线） 2) 双曲型曲线： I 2 <0 有一对实渐近线 3)抛物型曲线：I 2 ＝0 I 3 ≠ 0曲线没有中心，从而没有渐近线 I 2 ＝0, I 3 = 0曲线为线心，渐近线就是中心直线．
( x, y) a11 x 2a12 xy a22 y
a11 a12 a13 A a12 a22 a23 a a a 13 23 33
*
2
a11 A a 12
a12 a22
I1 a11 a12
I2 a11 a12 a12 a22
F ( x 0 , y 0 ) 0. ( 4 ) 是矛盾方程 , 直线( 2)与二次曲线 (1)无交点 .
3 F1 ( x0 , y0 ) X F2 ( x0 , y0 ) Y F ( x0 , y0 ) 0. 此时(4)是恒等式 , 直线(2)全部在二次曲线 (1)上.

(甘志国)二次曲线上的四点共圆问题的完整结论

二次曲线上的四点共圆问题的完整结论甘志国(该文已发表数学通讯，2013(7下)：40-41)百年前，著名教材《坐标几何》(Loney 著)中曾提到椭圆上四点共圆的一个必要条件是这四点的离心角之和为周角的整数倍(椭圆)0,0(12222>>=+b a by a x 上任一点A 的坐标可以表示为∈θθ)(sin cos,(b a R )，角θ就叫做点A 的离心角)，证明方法十分巧妙，还要运用高次方程的韦达定理.这一条件是否充分，一直是悬案.在20世纪80年代编写《数学题解辞典(平面解析几何)》时，仍未解决.到20世纪年代初编写《中学数学范例点评》时，才证明了此条件的充分性.[1,2]2011年高考全国大纲卷理科第21题，2005年高考湖北卷理科第21题(也即文科第22题)及2002年高考江苏、广东卷第20题都是关于二次曲线上四点共圆的问题(见文献[3,4]).笔者曾由2005年的这道高考题得出了二次曲线上四点共圆的一个简洁充要条件(其证明也很简洁但有技巧)：若两条直线)2,1)((:00=-=-i x x k y y l i i 与二次曲线22:0()ax by cx dy e a b Γ++++=≠有四个交点，则这四个交点共圆的充要条件是021=+k k .文献[2]还用此结论证得了“椭圆上的四点共圆的充要条件是这四点的离心角之和为周角的整数倍”.文献[5]用较长的篇幅得出了下面的两个结论(即原文末的命题7、8)：结论1 抛物线22y px =的内接四边形同时内接于圆的充要条件是该四边形的两组对边、两条对角线所在的三对直线中有一对直线的倾斜角互补.结论 2 圆锥曲线221(0,)mx ny mn m n +=≠≠的内接四边形同时内接于圆的充要条件是该四边形的两组对边、两条对角线所在的三对直线中有一对直线的倾斜角互补.请注意，文献[5]中所涉及的直线的斜率均存在，所以这两个结论均正确.但不够完整，本文将给出二次曲线上的四点共圆问题的完整结论，即文末的推论4.定理1 若两条二次曲线22220()0ax by cx dy e a b a x b y c x d y e '''''++++=≠++++=，有四个交点，则这四个交点共圆.证明过这四个交点的二次曲线一定能表示成以下形式μλ,(不同时为0)： 2222()()0ax by cx dy e a x b y c x d y e λμ'''''+++++++++= ① 式①左边的展开式中不含xy 的项，选1=μ时，再令式①左边的展开式中含22,y x 项的系数相等，得a b b aλ''-=-,此时曲线①即 220x y c x d y e '''++++= ②的形式，这种形式表示的曲线有且仅有三种情形：一个圆、一个点、无轨迹.而题中的四个交点都在曲线②上，所以曲线②表示圆.这就证得了四个交点共圆.定理 2 若两条直线:0(1,2)i i i i l a x b y c i ++==与二次曲线22:0()ax by cx dy e a b Γ++++=≠有四个交点，则这四个交点共圆的充要条件是12210a b a b +=.证明由21,l l 组成的曲线即111222()()0a x b y c a x b y c ++++=所以经过它与Γ的四个交点的二次曲线一定能表示成以下形式μλ,(不同时为0)：22111222()()()0ax by cx dy e a x b y c a x b y c λμ+++++++++= ③必要性.若四个交点共圆，则存在μλ,使方程③表示圆，所以式③左边的展开式中含xy 项的系数1221()0a b a b μ+=.而0≠μ(否则③表示曲线Γ，不表示圆)，所以12210a b a b +=.充分性.当12210a b a b +=时，式③左边的展开式中不含xy 的项，选1=μ时，再令式③左边的展开式中含22,y x 项的系数相等，即1212a a a b b b λλ+=+，得1212a a b b b aλ-=-. 此时曲线③即 220x y c x d y e '''++++= ④的形式，这种形式表示的曲线有且仅有三种情形：一个圆、一个点、无轨迹.而题中的四个交点都在曲线④上，所以曲线④表示圆.这就证得了四个交点共圆.推论 1 若两条直线与二次曲线22:0()ax by cx dy e a b Γ++++=≠有四个交点，则这四个交点共圆的充要条件是这两条直线的斜率均不存在或这两条直线的斜率均存在且互为相反数.证明设两条直线为:0(1,2)i i i i l a x b y c i ++==，由定理2得，四个交点共圆的充要条件是12210a b a b +=.(1)当12//l l 即1221a b a b =时，得四个交点共圆的充要条件即12210a b a b ==也即120a a ==或120b b ==.(2)当1l 与2l 不平行即1221a b a b ≠时，由12210a b a b +=得12210,0a b a b ≠≠，所以四个交点共圆的充要条件即12120a a b b ⎛⎫⎛⎫-+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭也即直线12,l l 的斜率均存在且均不为0且互为相反数.由此可得欲证成立.推论 2 设二次曲线22:0()ax by cx dy e a b Γ++++=≠上的四个点连成的四边形是圆内接四边形，在该四边形的的两组对边、两条对角线所在的三对直线中：若有一对直线的斜率均不存在，则另两对直线的斜率均存在且均互为相反数；若有一对直线的斜率均存在且均互为相反数，则另两对直线的斜率也均存在且均互为相反数，或另两对直线的斜率中有一对均不存在另一对均存在且互为相反数.证明设圆内接四边形是四边形ABCD ，其两组对边AB 与CD 、AD 与BC 及对角线AC 与BD 所中的直线分别是 1111:0(1,2)i i i i l a x b y c i ++==2222:0(1,2)i i i i l a x b y c i ++==3333:0(1,2)i i i i l a x b y c i ++==由定理中的充分性知，若四个交点共圆，则以下等式之一成立：1112121121222221313232310,0,0a b a b a b a b a b a b +=+=+=再运用定理2中的必要性知，若四个交点共圆，则以上等式均成立.再由推论1的证明，可得欲证成立.推论2的极限情形是推论3 设点A 是定圆锥曲线(包括圆、椭圆、双曲线和抛物线)C 上的定点但不是顶点，F E 、是C 上的两个动点，直线AF AE 、的斜率互为相反数，则直线EF 的斜率为曲线C 过点A 的切线斜率的相反数(定值).由推论3可立得以下三道高考题中关于定值的答案：高考题1 (2009·辽宁·理·20(2)) 已知⎪⎭⎫ ⎝⎛23,1A 是椭圆134:22=+y x C 上的定点，F E 、是C 上的两个动点，直线AF AE 、的斜率互为相反数，证明EF 直线的斜率为定值，并求出这个定值.(答案：21.) 高考题 2 (2004·北京·理·17(2))如图1，过抛物线)0(22>=p px y 上一定点)0)(,(000>y y x P 作两条直线分别交抛物线于),(),,(2211y x B y x A .当PA 与PB 的斜率存在且倾斜角互补时，求021y y y +的值，并证明直线AB 的斜率是非零常数.(答案：0212y p k y y y AB -=-=+；.)图1高考题3 (2004·北京·文·17(2))如图1，抛物线关于x 轴对称，它的顶点在坐标原点，点),(),,(),2,1(2211y x B y x A P 均在抛物线上.当PA 与PB 的斜率存在且倾斜角互补时，求21y y +的值及直线AB 的斜率.(答案：1421-=-=+AB k y y ；.)推论 4 设二次曲线22:0()ax by cx dy e a b Γ++++=≠上的四个点连成的四边形是圆内接四边形，则该四边形只能是以下三种情形之一：(1)两组对边分别与坐标轴平行的矩形；(2)底边与坐标轴平行的等腰梯形；(3)两组对边均不平行的四边形，但在其两组对边、两条对角线所在的三对直线中，每对直线的斜率均存在且均不为0且均互为相反数.证明推论2中的圆内接四边形，只能是以下三种情形之一：(1)是平行四边形.由推论2知，该平行四边形只能是两组对边分别与坐标轴平行的矩形.(2)是梯形.由推论2知，该梯形的底边与坐标轴平行，两腰所在直线的斜率及两条对角线所在直线的斜率均存在且均不为0且均互为相反数，可得该梯形是底边与坐标轴平行的等腰梯形.(3)两组对边均不平行的四边形.由推论2知，该四边形的两组对边、两条对角线所在的三对直线中，每对直线的斜率均存在且均不为0且均互为相反数.参考文献1 陈振宣.圆锥曲线上四点共圆的充要条件[J].数学教学，2007(2)：332 甘志国著.初等数学研究(II)下[M ] .哈尔滨：哈尔滨工业大学出版社，2009.62-63 3 甘志国.对一道高考题的研究[J].数学通讯，2005(22):214 甘志国.2011年数学大纲全国卷压轴题研究[J].考试(高考·理科)，2011(8)：36-385 张乃贵.圆锥曲线上四点共圆充要条件的探究[J].数学教学，2012(7)：8-10。

(甘志国)简解二次曲线上的四点共圆问题

简解二次曲线上的四点共圆问题甘志国(已发表于数学教学研究，2015(8))竞赛题1 (2014年全国高中数学联赛湖北赛区预赛第13题)设A 、B 为双曲线λ=-222y x 上的两点，点N(1,2)为线段AB 的中点，线段AB 的垂直平分线与双曲线交于C 、D 两点.(1)确定λ的取值范围；(2)试判断A 、B 、C 、D 四点是否共圆？并说明理由.简解 (1)用点差法可求得直线AB 的方程是1+=x y ，由直线AB 与双曲线λ=-222y x 交于不同的两点，可得1->λ且0≠λ. 得直线CD 的方程是3+-=x y ，由直线CD 与双曲线λ=-222y x 交于不同的两点，可得9->λ且0≠λ.所以λ的取值范围是),0()0,1(+∞⋃-.(2)在(1)的解答中已求出03:,01:=-+=+-y x CD y x AB ，所以由直线AB 、CD 组成的曲线方程为0)3)(1(=-++-y x y x ，即086222=-+--y x y x 它与椭圆λ=-222y x 的交点A 、B 、C 、D 的坐标即方程组 ⎪⎩⎪⎨⎧=-=-+--λ42409126332222y x y x y x 的解，把这两方程相减并整理得364)6()3(22+=-++λy x ② 即A 、B 、C 、D 四点必在圆②上.再结合(1)的答案知，当12>λ时，点A 、B 、C 、D 共圆(且在圆②上).竞赛题1的一般情形是二次曲线上的四点共圆问题，该问题的一般结论是：定理 (1)若两条二次曲线22220()0ax by cx dy e a b a x b y c x d y e '''''++++=≠++++=，有四个交点，则这四个交点共圆；(2)若两条直线:0(i i i i l a x b y c i ++==与二次曲线22:0()ax by cx dy e a b Γ++++=≠有四个交点，则这四个交点共圆的充要条件是12210a b a b +=；(3)设两条直线)2,1)((:00=-=-i x x k y y l i i 与二次曲线)(0:22B A E Dy Cx By Ax ≠=++++Γ有四个交点，则这四个交点共圆的充要条件是021=+k k .证明 (1)过这四个交点的二次曲线一定能表示成以下形式μλ,(不同时为0)：2222()()0ax by cx dy e a x b y c x d y e λμ'''''+++++++++= ①式①左边的展开式中不含xy 的项，选1=μ时，再令式①左边的展开式中含22,y x 项的系数相等，得a b b aλ''-=-,此时曲线①即 220x y c x d y e '''++++= ②的形式，这种形式表示的曲线有且仅有三种情形：一个圆、一个点、无轨迹.而题中的四个交点都在曲线②上，所以曲线②表示圆.这就证得了四个交点共圆.(2)由21,l l 组成的曲线即111222()()0a x b y c a x b y c ++++=所以经过它与Γ的四个交点的二次曲线一定能表示成以下形式μλ,(不同时为0)：22111222()()()0ax by cx dy e a x b y c a x b y c λμ+++++++++= ③必要性.若四个交点共圆，则存在μλ,使方程③表示圆，所以式③左边的展开式中含xy 项的系数1221()0a b a b μ+=.而0≠μ(否则③表示曲线Γ，不表示圆)，所以12210a b a b +=.充分性.当12210a b a b +=时，式③左边的展开式中不含xy 的项，选1=μ时，再令式③左边的展开式中含22,y x 项的系数相等，即1212a a a b b b λλ+=+，得1212a a b b b aλ-=-. 此时曲线③即220x y c x d y e '''++++= ④的形式，这种形式表示的曲线有且仅有三种情形：一个圆、一个点、无轨迹.而题中的四个交点都在曲线④上，所以曲线④表示圆.这就证得了四个交点共圆.(3)由(2)立得.笔者还发现还有一道竞赛题和四道高考题及均是二次曲线上的四点共圆问题，所以用以上定理的证法均可给出它们的简解.这四道高考题分别是：竞赛题2 (2009年全国高中数学联赛江苏赛区复赛试题第一试第三题)如图1所示，抛物线22y x =及点(1,1)P ，过点P 的不重合的直线12l l 、与此抛物线分别交于点,,,A B C D .证明：,,,A B C D 四点共圆的充要条件是直线1l 与2l 的倾斜角互补.图1高考题1 (2014年高考全国大纲卷理科第21题(即文科第22题))已知抛物线C ：22(0)y px p =>的焦点为F ，直线4y =与y 轴的交点为P ，与C 的交点为Q ，且PQ QF 45=. (1)求C 的方程；(2)过F 的直线l 与C 相交于B A ,两点，若AB 的垂直平分线l '与C 相交于N M ,两点，且N B M A ,,,四点在同一圆上，求l 的方程.(答案：(1)x y 42=；(2)01=--y x 或01=-+y x .)高考题2 (2011年高考全国大纲卷理科第21题(即文科的22题))如图2所示，已知O为坐标原点，F 为椭圆12:22=+y x C 在y 轴正半轴上的焦点，过F 且斜率为2-的直线l 与C 交于B A ,两点，点P 满足=++OP OB OA 0.图2(1)证明：点P 在C 上；(2)设点P 关于点O 的对称点为Q ，证明：Q B P A ,,,四点在同一圆上.高考题3 (2005年高考湖北卷文科第22题(即理科第21题))设B A ,是椭圆λ=+223y x 上的两点，点)3,1(N 是线段AB 的中点，线段AB 的垂直平分线与该椭圆交于D C ,两点.(1)确定λ的取值范围，并求直线AB 的方程；(2)试判断是否存在这样的λ，使得D C B A ,,,四点在同一圆上？并说明理由.(答案：(1)λ的取值范围是),12(+∞，直线AB 的方程是04=-+y x ；(2)当12>λ时时，均有D C B A ,,,四点在同一圆上.)高考题4 (2002年高考江苏卷第20题)设B A ,是双曲线1222=-y x 上的两点，点N )2,1(N 是线段AB 的中点.(1)求直线AB 的方程；(2)如果线段AB 的垂直平分线与双曲线相交于D C ,两点，那么D C B A ,,,四点是否共圆？为什么？(答案：(1)1+=x y ；(2)是.)。

二次函数直线过定点问题的求法

二次函数直线过定点问题的求法在学习数学的过程中，二次函数和直线这两位“大咖”总是让人又爱又恨。

想想吧，二次函数就像个调皮捣蛋的小孩，总是喜欢抛出一些奇奇怪怪的问题。

而今天我们要聊的就是，怎么让一条直线经过一个固定的点，这个点就像一个聚光灯，照亮了我们的思路，嘿嘿，有意思吧？咱们得明白二次函数的形状。

它就像一个大大的碗，开口向上，或者说是一个弯弯的笑脸。

它的标准形式是 (y = ax^2 + bx + c)。

这时候，如果你让一条直线，比如 (y = mx + n)，穿过这个碗，哎呀，这可是有讲究的。

想象一下，一条直线要穿越一个碗，那绝对不是随便的事儿。

得看看这条直线是怎样在碗里游走的，有时候它会碰到碗的边缘，有时候又可能深深地扎进去。

这个过程可是非常精彩的。

而我们关注的那一个定点，假设叫它 ((x_0, y_0))，就是个特别的存在。

这个点就像是个小明星，无论直线怎么动，它都得在旁边默默注视。

要想让这条直线通过这个点，我们需要确保直线的方程在这个点成立。

换句话说，就是把这个点的坐标带入直线的方程里，如果结果成立，那就完美了，直线成功过关！不过，得注意，二次函数的曲线和直线的交点可不是只有一个，可能有两个、一个，甚至没有，这就得看具体的参数了。

想象一下，如果直线和二次函数相交的地方，就像是两个人在街头偶然碰面，兴奋得不得了。

两者会在一个地方重合，哦，那可是很有戏的。

比如说，直线和二次函数的交点要么在上面，要么在下面，甚至可能紧紧相拥在一起。

这种情况我们就得认真分析了，看看那条直线的斜率、截距等因素，如何影响它与二次函数的关系。

真是神奇。

还有个小技巧，如果我们用到求根公式，问题就迎刃而解了。

对于二次方程，咱们用判别式来判断它的交点个数，公式简单得不能再简单了。

哎呀，真是好用。

这样一来，复杂的数学问题就变得清晰明了，像阳光洒在大海上一样，金光闪闪。

你会发现，虽然公式听起来有点吓人，但其实背后有趣的故事才是最重要的。

2.4有关直线和二次曲线的位置关系的技巧与方法

2.4直线与圆锥曲线的位置关系圆锥曲线与直线的位置关系一、椭圆与直线的位置关系（若直线与x 轴垂直则利用图像判断或消取x ）方程12222=+by a x ，直线b kx y +=（a ≠b ）将直线b kx y +=代入12222=+by a x 得：1)(2222=++b b kx a x ，整理成关于x 的一元二次方程， a ）当且仅当△=0时，此时直线和曲线只有一个交点，直线和曲线相切。

b ）当且仅当△>0时，此时直线和曲线只有两个交点，直线和曲线相交。

二、双曲线与直线的位置关系直线方程：b kx y += 双曲线、122=+ny mx （当0,0<>n m 或0,0><n m 时）综上，得：联立⎩⎨⎧=++=122ny mx bkx y ，得关于x 的方程02=++c bx ax 1、当0=a （二次项系数为零），直线的斜率正好等于该双曲线的渐近线的斜率，此时，直线和双曲线的位置关系是——相交； 2、当 ⎩⎨⎧=∆≠00a 时，直线与该双曲线只有一个交点，且相切3、当⎩⎨⎧>∆≠00a 时，直线和曲线有两个交点。

4、当⎩⎨⎧<∆≠00a 时，直线和曲线无公共点（相离）三、抛物线和直线的位置关系当直线为0y y =，即0=k ，直线平行于对称轴时，与抛物线只有唯一的交点当0≠k ，设b kx y l +=:将b kx y l +=:代入0:22=++++F Ey Dx Cy Ax C ，消去y ，得到关于x 的二次方程2=++c bx ax （*）若0>∆，相交；0=∆，相切；0<∆，相离综上，得：联立⎩⎨⎧=+=pxy bkx y 22，得关于x 的方程02=++c bx ax 1、当0=a （二次项系数为零），直线和该抛物线只有一个交点，且直线与抛物线的对称轴平行，此时，直线和抛物线的位置关系是——相交。

2、当 ⎩⎨⎧=∆≠00a 时，直线与该双曲线只有一个交点，且相切3、当⎩⎨⎧>∆≠00a 时，直线和曲线有两个交点。

直线与中心二次曲线相切的充要条件

= 2.
是一元二次方程且它有两个相等的实数根
-
C p
2
=
A 2+
B2
0
-
C p
2
=
A 2+
B2
p(
A2 + C2
B2) +
1=
0
A2+
B2+
C2 p
=
0.
当 B=
0 时, 有 l: x=
-
C A
,
得
l与
相切
关于 y 的方程-
y2= p +
C2 A2
是一元二次方程且它有两个相等的实数根 p +
C2 A2
=
0
p A2+
0.
证明把直线 l: A x + B y + C= 0( A a+ Bb+ C 0) 与中心二次曲线 : ( x - a) 2 + ( y - b) 2 + p = 0( p 0) 均按向量( - a, - b) 平移后分别变为直线 l : A ( x + a) + B ( y + b) + C= 0( A a+ Bb + C 0) 即直线 l : A x + B y + ( A a+ Bb+ C) = 0 ( A a+ Bb+ C 0) 与中心二次曲线 : x 2 + y 2
+ p = 0( p 0) . 所以直线 l 与曲线相切的充要条件是直线
l 与曲线相切, 由定理得推论成立. 例 1 ( 教科书上习题 ) 从圆 ( x - 1) 2 +

§5.1 二次曲线与直线的相关位置

§5.1 二次曲线与直线的相关位置一、位置关系平面上二次曲线与直线的位置关系有三种：相交（实交点或虚交点），相切，相重（直线在二次曲线上）.二、判别方法设二次曲线为：F(x, y)≡a11x2 + 2a12xy+a22y2+2a13x+2a23y+a33=0, ①过点(x0, y0)且具有方向X:Y的直线为②将②代入①得Φ(X, Y)t2+2[F1(x0, y0)X +F2(x0, y0)Y]t+ F(x0, y0)=0则①与②的相关位置如下：1. Φ(X, Y)≠0, 设∆=[F1(x0, y0)X +F2(x0, y0)Y]2-Φ(X, Y)⋅F(x0, y0).(1) ∆>0时，直线②与二次曲线①有两个不同的实交点；(2) ∆=0时，直线②与二次曲线①有两个相互重合的实交点；(3) ∆<0时，直线②与二次曲线①交于两个共轭的虚点.2. Φ(X, Y)=0,(1) F1(x0, y0)X +F2(x0, y0)Y≠0时，直线②与二次曲线①有唯一的实交点；(2) F1(x0, y0)X +F2(x0, y0)Y=0, 而F(x0, y0)≠0时，直线②与二次曲线①没有交点；(3) F1(x0, y0)X +F2(x0, y0)Y = F(x0, y0)=0时，直线②全部在二次曲线①上.例1. 求直线x-y-1=0与二次曲线2x2-xy-y2-x-2y-1=0的交点.解: F1(x, y) =2x-y-, F2(x, y)= -x-y-1,F(x, y) =2x2-xy-y2-x-2y-1,将直线x-y-1=0化为参数形式得X : Y = 1 : 1, (x0, y0) 为 (1, 0),因为Φ(1, 1)=0, F1(x0, y0)=F1(1, 0)=, F2(x0, y0)=F2(1, 0)= -,F (1, 0)=0, ∆=0,所以直线在二次曲线上，即直线上所有点均为交点.例2. 试决定k的值，使得(1) 直线x-y+5=0与二次曲线x2-3x+y+k=0交于两个不同的实点；(2) 直线与二次曲线x2+3y2-4xy-y=0交于一点；(3) 直线x-ky-1=0与二次曲线y2-2xy-(k-1)y-1=0交于两个相互重合的实点；(4) 直线与二次曲线2x2+4xy+ky2-x-2y=0有两个共轭虚交点.解：(1) 化直线方程为代入曲线方程整理得t 2 - 2t + k + 5 = 0,因为直线与二次曲线交于两个不同的实点，从而应有∆=(-2)2 - 4(k+5) = 4 -4 (k + 5) > 0,解得k < -4.(2) 将直线方程的表达式代入二次曲线方程并化简得(k2-4k+3)t2 + (-4k2+8k-5)t + (3k2-5k+1)=0,因为直线与二次曲线交于一点，所以k2-4k+3=0 且-4k2+8k-5≠0,解得k=1或3.(3) 化直线方程为代入二次曲线方程并化简得(1-2k)t2-(1+k)t-1=0,因为直线与二次曲线交于两个相互重合的实点，所以∆=(1+k)2+4(1-2k)=0且1-2k≠0,解得k=1或5.(4) 将直线方程表达式代入二次曲线方程并化简得(k-2)t2+(5-2k)t+(k+3)=0,因为直线与二次曲线交于两个共轭虚点，所以∆=(5-2k)2-4(k-2)(k+3)<0 且k-2≠0解得k >.作业题：求直线与下列二次曲线的交点.1. 2x2-2xy +y2-2x=0.2. x2-y2-x-y+1=0.。

直线与圆锥曲线相切的充要条件及其应用

由(
Z
) + ( 3) 得
0
,
·
,
j (
+ f(君+
)二
,
Z劣一
( < 晶)
·
’
气
.
一
a <
”
·
<
(群
’
一’
、一
·
(刹
。
” 一
’
3
,
3
了. 落
“ 一’
即Acs o 肠+ s n Z x ( 1 从而夕矛干忑豆 B i 2 s n i ( 夕 + Z) x ` . 1 ( 6 ) ( 其中口角所在的象限由滩 B
由` , , + ` , , 得
s b
in 名+
2
,
,
`( 二 , 一 `
。
,
(晋 )
x
+
,
一
卜
·
_
5 1 0 b o戏 ) 衅一 c
s 即 ( b一 a ) i n
+
o ( a + 6) e s
一
,
,
参
,
=
二
2
.
x
一
/
二趣 2 卜
i
i
招
一
2
2招一
下华户巴
2
,
·
’
易见当 > n
2时
,
《
n : 云从而斌移二可耳了千砰污i ( 口 + 二 ) 《 2 … ( 4 ) ( 其 . a , a 中口角所在的象限由 ( b 一 ) ( + b ) 的符号确定 0

二次曲线的两条互垂切线的若干性质

二次曲线的两条互垂切线的若干性质
李迪淼
【期刊名称】《福建中学数学》
【年(卷),期】2016(000)002
【总页数】3页(P8-10)
【作者】李迪淼
【作者单位】湖南省长沙市师范大学附属中学 410006
【正文语种】中文
【相关文献】
1.二次曲线切线的几何性质 [J], 彭震春
2.二次曲线的垂轴弦的一组新性质 [J], 郭社会
3.二次曲线与其任意两条切线所围面积为定常值的问题研究 [J], 尹水仿;舒阳春
4.二次曲线焦半径与切线间的一个性质及应用 [J], 刘瑞美
5.中心二次曲线的两条关于定值的性质及其应用 [J], 甘志国
因版权原因，仅展示原文概要，查看原文内容请购买。

8.8 直线与二次曲线课件-2023届广东省高职高考数学第一轮复习第八章平面解析几何

【解】 (1)由题意得：b＝1，所以 c＝ a2－b2＝ a2－1，
由 e＝ac＝ a2a－1＝ 78⇒a2a－2 1＝78⇒a2＝8，故椭圆 C 的方程为x82＋y2＝1； (2)设与直线 y＝x＋4 平行的椭圆切线方程为 y＝x＋m，
y＝x＋m 则x82＋y2＝1⇒9x2＋16mx＋8m2－8＝0，
【融会贯通】直线 l：y＝x＋1 与抛物线 x2＝4y 交于 A、B 两点，O 为坐标原点．求△AOB 的面积．解：方法一：设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，由题意得xy＝2＝x4＋y 1，化简得 x2 －4x－4＝0，则 x1＋x2＝－ba＝4，x1x2＝ac＝－4. 弦长 |AB| ＝ 1＋k2 |x1 － x2| ＝（1＋k2）[（x1＋x2）2－4x1x2] ＝
学一学
例1 已知斜率为 1 的直线 l 过椭圆x32＋y22＝1 的右焦点 F2，交椭圆于 A 与 B 两点，如图所示．求弦长|AB|. 【分析】直线与曲线相交，解方程组求出两根之和与积，用弦长公
式|AB|＝（1＋k2）[（x1＋x2）2－4x1x2]来求．
【解】由题意得：a2＝3，b2＝2，则 c2＝a2－b2＝3－2＝1，即 c＝1，椭圆的右焦点是 F2(1，0)，所求直线 AB 的方程是由点斜式 y－y0＝k(x－x0)得： y＝1×(x－1)，即 x－y－1＝0，
因为直线与椭圆相切，所以 Δ＝b2－4ac＝0⇒256m2－4×9×(8m2－8) ＝0，即 m＝±3，当 m＝3 时，直线 y＝x＋4 与 y＝x＋3 的距离 d＝ |CA1－2＋CB2|2＝|4－23|＝ 22为最小值；
当 m＝－3 时，直线 y＝x＋4 与 y＝x－3 的距离 d＝ |CA1－2＋CB2|2＝|4＋23|＝