北京大学远程教育离散数学语音答疑提纲下(全书考试内容) 2

2013秋季学期《离散数学》语音答疑提纲(下)一．2013秋期末考题在参考书中内容的分配:集合论(第三章，3选择题;共 6 分).关系及函数(第四章，4选择-2关系，2函数;1综合.共20分).群论(第五，六章，2题单选;1综合.共16分).图,图-树关系(第七，九章，9是非题-图2，图-树关系7;1综合.共30分).逻辑学(第一，二章，8填空题（7题命题逻辑）;1综合.共 28分).二.各章节考试范围内的知识点及例题第一章集合的基本概念和运算1.集合的基本概念要求掌握：集合与元素的关系—属于或不属于；（***）集合与集合间的关系—子集与集合叫包含，相互包含叫相等；子集为集合的元素时也叫属于关系。

例题1: 设集合 A ={1，{2}，a，4，3}，则有 2 ∈A [ 非 ];例题2: A,B，C 为任意集合，则他们的共同子集是 [ D ]A．A；B．B；C．C；D．Ø。

例题3：单项选择题设集合 A ={1，{2}，a，4，3}，下面命题为真是 [ B ]A．2 ∈A； B．1 ∈ A； C．5 ∈A； D．{2} A。

2.集合的基本运算重点掌握：五大基本运算定义的表达式。

例如,并运算的”或”,交运算的”且”字的意义.例题：N, Z+分别是自然数集合,正整数集合,则[ C ]A．N=Z+ +{0} B．N=Z+ + 0 C．N=Z+∪{0} D．N=Z+.∪0 .第二章关系及函数1.关系的基本概念重点掌握：关系的定义，关系来自有序对，有序对来自集合的笛卡儿积；A 到B 的二元关系以及 A 上的二元关系的条件；2.关系的五大性质及其判断—难点在于传递性的判断。

重点掌握：五大性质的判别方式；当然，难点在于传递性的判断。

量变引起质变的示例：等价关系—同时具备自反、对称、传递性质；等价类，商集与划分的对应性。

例题 1、设 A = {1，2，3}，A 上的关系 R = {〈1，3〉，〈3，1〉}∪I A，试求：1)给出 R 的关系图。

2 说明：每个顶点都有圈；1 到 3及 3 到 1 各有一条有向线。

2)由关系图说明 R 的性质。

自反，对称，传递。

3)给出商集 A/R 的表达式及所有元素。

A/R = {{1，3}，{2}}4)给出商集 A/R 所对应的划分∏。

∏={{1，3}，{2}}试问：你能悟出等价关系或商集与划分的关系吗？！例题2、设 A = {a，b}，B = {1，2}，A 到 B 的双射函数的数目是 4 个[ 非]。

例题3、设函数ｆ：Ｎ→Ｎ，ｆ（ｎ）＝２ｎ＋１，Ｎ为自然数集合，则函数性质为［Ａ］A．只为单射B．只为满射C．双射D．Ａ,Ｂ,Ｃ都不是．.3.关系及函数的运算重点掌握：求域；求逆；合成运算是难点-请看专题讨论。

例题1: 设ｆ(x)＝ｘ+１，ｇ(x)＝ｘ-１都是从实数集合Ｒ到Ｒ的函数，则ｆ。

ｇ＝[ D ] A．x+1；B．x-1；C．x2 ；D．x。

第三章群论初步1.代数系统的基本概念重点掌握：二元运算必须是函数；定义了二元运算的集合既是代数系统，代数系统的封闭性；代数系统中二元运算满足结合律算律的重要意义；2.代数系统中的特殊元素与半群、独异点及群的联系重点掌握：代数系统中结合律算律与半群的关系—半群的判别；半群中的幺元—独异点，每个元素都有其逆元的独异点为群。

例题1: 自然数N 与其上的普通加法+ 构成的代数系统〈N，+〉是[ C ] A．只是代数系统；B．半群；C．含幺半群；D．群.例题 2、设 Z 为整数集合，在 Z 上定义二元运算 *，对于所有 x，y ∈Z 都有 x * y = x + y ；验证〈Z，*〉能否构成代数系统？何种代数系统？为什麽？要求有根据地回答：1、满足封闭性，构成代数系统。

2、经验证满足结合律，所以为半群。

3、幺元为 0，所以为幺半群。

(经解联立方程组).4、设 y 是 x 的逆，所以有 y = – x 。

(解联立方程组得到)5、结论：构成群。

例题 3、设 Z 为整数集合，在 Z 上定义二元运算 *，对于所有 x，y ∈Z 都有 x * y = x + y - 2；验证〈Z，*〉能否构成代数系统？何种代数系统？为什麽？要求有根据地回答：1、满足封闭性，构成代数系统。

2、经验证满足结合律，所以为半群。

3、幺元为 2，所以为幺半群。

(经解联立方程组).4、设 y 是 x 的逆，所以有 y =4 – x 。

(解联立方程组得到)5、结论：构成群。

例题2、设 Z 为整数集合，在 Z 上定义二元运算 *，对于所有 x，y ∈Z 都有 x * y = x + y + 2；验证〈Z，*〉能否构成代数系统？何种代数系统？为什麽？要求有根据地回答：1、满足封闭性，构成代数系统。

2、经验证满足结合律，所以为半群。

3、幺元为 -2，所以为幺半群。

(经解联立方程组).4、设 y 是 x 的逆，所以有 y = -4 – x 。

(解联立方程组得到)5、结论：构成群。

试问：－4的逆为何？你能说明白吗？！另，x * y = x + y 改成 x * y = x – y 你会解码？！第四章图论1.图的基本概念重点掌握：阶的概念；度的概念：握手定理—度数之和 = 2 倍边；握手定理应用—图这一章的所有计算题的理论依据。

2.图的分割重点掌握：割集概念—注意割点或桥的特点。

请留心割集与基本割集的联系。

母图与子图—引出生成图与导出图概念的差别；***** 请留心把图切割成树概念：那种图才有生成树；无向图如何切割成无向树，即下面提到的图树关系 *****第五章树1.树的基本概念重点掌握：定义—连通而无回路，m = n - 1；生成树—引出树枝、弦、基本回路、基本割集概念。

2.根树重点掌握：根树的来源及特点定义；最优二元树及最佳前缀码。

特别要求:必须掌握图----树关系.例题1: 每条边都是桥的无向连通图必是树。

[ 是]例题2、n 阶无向连通图G有m 条边，T为G 的一棵生成树，则G对应T的基本回路数目为[ D ]A．n ；B．n-1 ；C．m-n；D．m-n+1。

例题3、非平凡无向树T 是连通图[ 是]。

例题4、根树中的树叶都在树的最高层。

[ 非 ]例题5、填空题：（1）n 阶非平凡无向树至少两片树叶。

（2）、图G（m，n）的阶数n 为10，则其生成树的边数为9 。

例题6、在网上传输 GOODBYE 的最佳前缀码。

每个字母出现频率分别为：G、D、B、E、Y：14%，O：28%；(可以对符号出现频率归一,如下图右;也可以不归一,某符号出现次数即为权,下图左).。

100（近似） 7.42。

56 3. .428。

28。

28 2. .1 .2 .2。

14 。

. . . .14 14 14 14 1 1 1 1所以，得到编码如下：G（000），D（001），B（100），E（101），Y（01），O（11）。

试问：你能算出传递ＧＯＯＤＢＹＥ共用多少位二进制码字？第六章命题逻辑1.基本概念重点掌握：命题—命题定义及简单命题；5 个基本联结词 + 简单命题 = 复合命题；简单命题的符号化；2.命题公式及其规范形式重点掌握：公式的赋值—成真、成假赋值，真值表—公式的类型；范式及主范式—析取范式与合取范式；主范式中极小项与极大项关系。

例题1、命题公式﹃ｐ→ｑ的类型是（可满足)式.例题2、命题公式﹃q 的主合取范式为(∏( 1 ) )3.推理理论重点掌握：定义推理正确—蕴涵式的永真式；构造证明法—八大推理定律中的第 3 条；推理技巧—附加前提法。

例题（证明题）：请在合适的逻辑中构造下面论题的证明。

例1）如果今天下雨，则明天不上体育课。

今天下雨了。

所以，明天没有上体育课。

首先将原子命题符号化，然后，按题意将原子命题组织成前提及结论。

前提：（p→﹃q），p；结论：﹃q；证明：（1）（p→﹃q）前提引入（2） p 前提引入（3）（p→﹃q）∧p （1）（2）假言推理（4）﹃q扣题：要证明的结论与证明结果一致，所以推理正确。

例2）若他学计算机专业，他必定学好离散数学。

若他不是学英语的，他必是学计算机的。

他没有学好离散数学。

所以他是学英语的。

(1)设：p：他学计算机；q：他学好离散数学；r：他学英语。

(2)前提：p→q，﹃r→p，﹃q。

(3)结论：r。

(4)证明：引入前提 p→q，﹃q 后，利用公式”拒取式”得到﹃p，再引入前提﹃r→p，利用”拒取式”公式，得到结果：r。

(5)扣题：证明结果与要证明的结论一致，推理正确。

第七章谓词逻辑1.基本概念重点掌握：命题逻辑的致命缺点；谓词逻辑的改进—句子成分的展示：主语（个体词、域）；定语（量词）；表达主语的性质—谓词；谓词逻辑中符号化问题：特性谓词的引入；个体域—谓词—量词—联结词的搭配。

2.合式公式及其真值重点掌握：项中函数形式；合式公式的原子单元—谓词公式；谓词公式的解释及其真值：解释—永真式，矛盾式，可满足式；代换实例。

3.谓词逻辑中推理理论及其局限性重点掌握：谓词逻辑中的构造证明法与命题逻辑中的构造证明法的联系与区别；例题、填空题将一阶命题“每个人都有一死” 符号化，使用特性谓词F（x）：x 是人。

G（x）：x 会死；最后符号化为： x（F（x）→G（x））。

2013年11月。