同济大学信号与系统第九章第4讲_dft
信号与系统重点概念公式总结
信号与系统重点概念公式总结Last updated on the afternoon of January 3, 2021信号与系统重点概念及公式总结：第一章：概论1.信号：信号是消息的表现形式。
（消息是信号的具体内容）2.系统：由若干相互作用和相互依赖的事物组合而成的具有特定功能的整体。
第二章：信号的复数表示：1.复数的两种表示方法：设C 为复数，a 、b 为实数。
常数形式的复数C=a+jba 为实部，b 为虚部；或C=|C|e j φ，其中，22||b a C +=为复数的模，tan φ=b/a ，φ为复数的辐角。
（复平面）2.欧拉公式：wt j wt e jwt sin cos +=（前加-，后变减） 第三章：正交函数集及信号在其上的分解1.正交函数集的定义：设函数集合)}(),(),({21t f t f t f F n =如果满足：n i K dt t f j i dt t f t f i T T i T T j i 2,1)(0)()(21212==≠=⎰⎰则称集合F 为正交函数集如果n i K i ,2,11==，则称F 为标准正交函数集。
如果F 中的函数为复数函数条件变为：ni K dt t f t f j i dt t f t f i T T i i T T j i 2,1)()(0)()(2121**==⋅≠=⋅⎰⎰其中)(*t f i 为)(t f i 的复共轭。
2.正交函数集的物理意义：一个正交函数集可以类比成一个坐标系统；正交函数集中的每个函数均类比成该坐标系统中的一个轴；在该坐标系统中，一个函数可以类比成一个点；点向这个坐标系统的投影（体现为该函数与构成坐标系的函数间的点积）就是该函数在这个坐标系统中的坐标。
3.正交函数集完备的概念和物理意义：如果值空间中的任一元素均可以由某正交集中的元素准确的线性表出，我们就称该正交集是完备的，否则称该正交集是不完备的。
如果在正交函数集()()()()t g n ,t g ,t g ,t g 321之外，不存在函数x （t ）()∞<<⎰2120t t dt t x ，满足等式：()()⎰=210t t i dt t g t x ，则此函数集称为完备正交函数集。
信号与系统的分析方法有时域,变换域两种
§2-3 Z反变换
一.定义：
已知X(z)及其收敛域,反过来求序列x(n) 的变换称作Z反变换。
记作：x(n) Z [ X ( z )]
1
z变换公式：
正：X ( z )
n
x ( n) z n ,
R x z Rx
1 反：x(n) X ( z ) z n 1dz, c ( Rx , Rx ) 2j c
j Im[ z ]
z 收敛域： a
0
a
z
Re[ z ]
*收敛域一定在模最大的极点所在的圆外。
[例2-3]求序列 x(n) b u(n 1) 变换及收敛域。
n
x ( n)
n
b nu (n 1) z n
b 1 z (b 1 z ) 2 (b 1 z ) n
§2-1 引言
信号与系统的分析方法有时域、变换域两种。 一.时域分析法 1.连续时间信号与系统： 信号的时域运算，时域分解，经典时域 分析法，近代时域分析法，卷积积分。 2.离散时间信号与系统： 序列的变换与运算，卷积和，差分方程 的求解。
二.变换域分析法
1.连续时间信号与系统： 信号与系统的频域分析、复频域 分析。
2.离散时间信号与系统： Z变换，DFT(FFT)。 Z变换可将差分方程转化为代数方程。
§2-2 Z变换的定义及收敛域
一.Z变换定义： 序列的Z变换定义如下：
X ( z ) Z [ x(n)]
n
x ( n) z
n
*实际上，将x(n)展为z-1的幂级数。
ze ze
jT ST
[例2-5]利用部分分式法，求X ( z) 1 (1 2 z 1 ) (1 0.5z 1 ) , 的z反变换。 解：
同济大学信号与系统第九章第4讲_dft
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x1 (n)
X 1 (e j )
0
n
0
x2 (n)
X 2 (e j )
n
Ye
yn x1 (n) x2 (n)
j
信号与系统 同济大学汽车学院 魏学哲 n weixzh@
T 0.1ms
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二.DFT与连续信号傅氏变换相对数值的确定 1.连续时间非周期信号傅氏变换对
X j 1 xt 2
x(t )e
jt
dt
jt
X j e
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（二）快速相关 相关和自相关也可借助FFT完成。
x(n) h(n) X(k) x(n) FFT 序列相乘 共轭 H*(k) X(k)H*(k) IFFT y(n)
相关
y(n)
h(n)
FFT
H(k)
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IFFT
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在快速卷积过程中，共需要2次FFT，1次IFFT，相当 于3次FFT运算量，在一般数字滤波中，由h(n)求H(k) 是事先计算完成放在存储器中，故只需2次FFT的运算 量，若假设N1=N2 =N ，则补零后：
用DFT计算所得的频谱分量乘以T的理由：
设
t nT , dt T ,
X ( j )
n N 1
x (t )e jt dt
信号与系统第九章
X s1
3.一般情况：
s N s X s M Ds s s s 因此， X s M X s M s s X s s s
通过本章及下一章，会看到拉氏变换和Ｚ变换
不仅具有很多与傅里叶变换相同的重要性质，不仅 能适用于用傅里叶变换的方法可以解决的信号与系 统分析问题，而且还能解决傅里叶分析方法不适用 的许多方面。
拉氏变换与Ｚ变换的分析方法是傅里叶分析法
的推广，傅里叶分析是它们的特例。
§9.1 拉普拉斯变换(LAPLACE TRANSFORM)
i i j j i
1 i
对有理函数形式的 X ( s )
i
i
1
jHale Waihona Puke j1jj
1
1
i
1
第九章 拉普拉斯变换
THE LAPLACE TRANSFORM 基本内容： 1.拉斯变换的定义； 2.收敛域的概念； 3.零极点图； 4.拉普拉斯变换的性质； 5.系统函数； 6.单边拉普拉斯变换；
1
§9.0
引言
Introduction
傅里叶分析方法在信号与LTI系统分析中非常
有用，其原因很大程度上是因为相当广泛的信号都
T 0
e
0
at
0<t<T
其它 t
X ( s ) e e dt
at st
e
0
T
( s a )t
1 dt [1 e ( s a )T ] sa
按照性质3，它的收敛域应该是整个S平面。
X s 似乎有极点
s a
(与性质2相冲突）
信号与系统课程讲义lec09_4.4-6.3
作业讲解4||3.34()t LTI h t e -=考虑一连续时间系统，其单位冲激响应为作讲解(7)系统的频率响应为e 解：系统的频率响应为作业讲解ω考虑一连续时间其频率响应是作讲解(7)ω连续时间，其频率响应是是一个基波周期个基波周期。
问对于什么样的值，才有的傅里叶级数系数，H 时，实验实验实验Th C l ti P tThe Convolution Property 4.4 卷积性质44卷积质4.4 卷积性质44卷积质4.4 卷积性质44卷积质Th M lti li ti P tThe Multiplication Property ↔s t S ω↔t P ω若()(j )()(j )p个信号称为载波，另一个是调制信号。
个，个例1. 正弦幅度调制:()r t ()s t t13()S j ω4.5 相乘性质45乘质14.5 相乘性质45乘质4.5 相乘性质45乘质4.5 相乘性质45乘质X ω()j 0-ω0j e tω1()Y j ω理想低通的频率响应ω0ωc ω-cω(j )W ωc ωωω-0ω-S Ch i d b Li C C ffi i Diff i l E iSystems Characterized by Linear Constant-Coefficient Differential Equations M)()()(2t dx t dy t y d 例：例本章小结本章结实验信号与系统的时域和频第6章域特性本章主要内容本章要容 6.0 引言引h i d h i f h i f The Magnitude-Phase Representation of the Fourier Transform 6.1 傅里叶变换的模和相位表示傅里叶变位表(a)原图像(b)图(a)的二维傅立叶变换的模30 (c)图(a)的二维傅立叶变换的相位(d)傅立叶变换的模与(b)相同,而相位为零6.1 傅里叶变换的模和相位表示傅里叶变位表(e)傅立叶变换的模为1,相位与(c)相同(f)相位与(c)同,模为图(g)的傅立叶变换的模31(g)另一幅灰度图像Th M i d Ph R i f h F R f LTI SThe Magnitude-Phase Representation of the Frequency Response of LTI Systemsωω=The Ideal Frequency Selective Filters The Ideal Frequency-Selective Filters6.3 理想频率选择性滤波器3频率择滤器Sa()==c t ω1()H j ωt ππωcωcω-40连续时间理想低通滤波器6.3 理想频率选择性滤波器3频率择滤器ω-则[]sin ()()Sa ()()c c c t h t t t ωαωαππα=-=-()h t /c ωπt41α6.3 理想频率选择性滤波器3频率择滤器πππ2s t()t43。
同济大学信号与系统试题库及答案
同济大学信号与系统试题库及答案同济大学信号与系统试题库及答案 1.下列信号的分类方法不正确的是(A ):A、数字信号和离散信号B、确定信号和随机信号C、周期信号和非周期信号D、因果信号与反因果信号 2.下列说法正确的是( D):A、两个周期信号xt,yt的和xt+yt一定是周期信号。
B、两个周期信号xt,yt 的周期分别为2和,则其和信号xt+yt 是周期信号。
C、两个周期信号xt,yt的周期分别为2和,其和信号xt+yt是周期信号。
D、两个周期信号xt,yt的周期分别为2和3,其和信号xt+yt是周期信号。
3.下列说法不正确的是( D)。
A、一般周期信号为功率信号。
B、时限信号仅在有限时间区间不为零的非周期信号为能量信号。
C、εt是功率信号;D、et为能量信号;4.将信号ft变换为( A )称为对信号ft的平移或移位。
A、ft?t0 B、fk?k0C、fatD、f-t5.将信号ft变换为(A)称为对信号ft的尺度变换。
A、fatB、ft?k0C、ft?t0D、f-t6.下列关于冲激函数性质的表达式不正确的是( B )。
A、 B、C、 D、7.下列关于冲激函数性质的表达式不正确的是( D )。
A、 B、C、 D、8.下列关于冲激函数性质的表达式不正确的是( B )。
A、B、C、 D、9.下列基本单元属于数乘器的是( A ) 。
A、 B、C、 D、10.下列基本单元属于加法器的是(C ) 。
A、 B、C、 D、11.,属于其零点的是(B)。
A、-1B、-2C、-jD、j12.,属于其极点的是( B )。
A、1B、2C、0D、-213.下列说法不正确的是( D)。
A、Hs在左半平面的极点所对应的响应函数为衰减的。
即当t??时,响应均趋于0。
B、 Hs在虚轴上的一阶极点所对应的响应函数为稳态分量。
C、 Hs在虚轴上的高阶极点或右半平面上的极点,其所对应的响应函数都是递增的。
D、Hs的零点在左半平面所对应的响应函数为衰减的。
离散傅里叶变换(DFT)试题
第一章离散傅里叶变换（DFT ）填空题（1） 某序列的DFT 表达式为∑-==1)()(N n knM W n x k X ，由此可以看出，该序列时域的长度为 ，变换后数字频域上相邻两个频率样点之间的间隔是 。
解：N ；Mπ2 （2）某序列DFT 的表达式是∑-==10)()(N k klM W k x l X ，由此可看出，该序列的时域长度是 ，变换后数字频域上相邻两个频率样点之间隔是 。
解： N M π2（3）如果希望某信号序列的离散谱是实偶的，那么该时域序列应满足条件 。
解：纯实数、偶对称（4）线性时不变系统离散时间因果系统的系统函数为252)1(8)(22++--=z z z z z H ，则系统的极点为 ；系统的稳定性为 。
系统单位冲激响应)(n h 的初值为 ；终值)(∞h 。
解： 2,2121-=-=z z ；不稳定 ；4)0(=h ；不存在 (5) 采样频率为Hz F s 的数字系统中，系统函数表达式中1-z 代表的物理意义是 ，其中时域数字序列)(n x 的序号n 代表的样值实际位置是 ；)(n x 的N 点DFT )k X （中，序号k 代表的样值实际位置又是 。
解：延时一个采样周期F T 1=，F n nT =，k Nk πω2=（6）已知}{}{4,3,2,1,0;0,1,1,0,1][,4,3,2,1,0;1,2,3,2,1][=-===k n h k n x ，则][n x 和][n h 的5点循环卷积为 。
解：{}]3[]2[][][][][---+⊗=⊗k k k k x k h k x δδδ{}4,3,2,1,0;2,3,3,1,0])3[(])2[(][55==---+=k k x k x k x（7）已知}{}{3,2,1,0;1,1,2,4][,3,2,1,0;2,0,2,3][=--===k n h k n x 则][][n h n x 和的4点循环卷积为 。
张宇-信号与系统各章内容整理
第一章 信号与系统主要内容重点难点1.信号的描述x[n]、x （t ），两者不同之处2.【了解】 信号的功率和能量3.【掌握】自变量变换（计算题目）、理解变换前后图片的缩放或信号的变化，离散信号与连续信号的差别4.【了解】 常见信号：指数（j t j n e e w w 、）、正弦（cos cos t n w w 、）、单位冲激（()[]t n d d 、）、单位阶跃（()[]u t u n 、） ，离散与连续的差别5.【掌握】用阶跃函数表示矩形函数；冲激与阶跃信号的关系；冲激信号的提取作用；指数信号和正弦信号的周期性。
6.【了解】系统互联7.【掌握】系统的基本性质：记忆与无记忆性、可逆性、因果性、稳定性、时不变与线性。
对已知系统进行性质判断（掌握）1.3、5、71.00cos j n n e w w 、的周期性判断，是周期的条件，若是周期的，则周期： 2.00cos j tt ew w 、的周期：自变量变换的量值确定0cos j nn e w w 、的周期性和频率逆转性。
系统的时不变性与线性等性质的证明2T ωπ=2N mωπ=第二章 线性时不变系统第三章 周期信号的傅里叶级数表示FS本章内容安排基本思路:主要内容难点 ✧ 系统的单位冲激响应容易求出：令()()x t t d =，对应的输出即为单位冲激响应() h t ；单位阶跃响应的求解和物理意义； ✧ 将任意信号分解为冲激信号()[]t n d d 、的线性组合[][][]; ()()()k x n x k n k x t x t d d t d t t ¥¥-?=-?=-=-åò✧ 利用LTI 系统的线性和时不变性，在单位冲激响应[]() h t h n 、已知的情况下，推导连续时间和离散时间系统对任意输入x 的响应：[][][]y n =x n * h n ; y(t)=x(t)* h(t)✧ 利用输入输出的卷积关系，根据单位冲激响应[]() h t h n 、，判断ITI 系统的性质✧ 了解线性常系数微分方程和差分方程的时域求解。
第四章 DFT与其快速算法(数字信号处理)
s
s 2 0
－ 0 .5 0
s 2
0 .5
1
s
2π
－ 1
π
－ 0 .5
0 0
π
0 .5
2π
1
图 4.2.1 模拟频率与数字频率之间的定标关系
第四章 DFT与其快速算法
例 4.2.1设xa(t)=cos(2πf0t)， f0=50 Hz以采样频率
fs=200 Hz对xa(t)进行采样， 得到采相信号 x a ( t ) 域离散信号x(n)， 求xa(t)和 x a ( t ) x(n)的FT。 解：
是一个以N为周期的周期序列， 称为
的离散
傅里叶级数， 用DFS(Discrete Fourier Series)表示。
第四章 DFT与其快速算法
(4.1.6)
(4.1.7)
(4.1.6)式和(4.1.7)式称为一对DFS。 周期序列分解成N次谐波， 第k个谐波频率为 ωk=(2π/N)k, k=0, 1, 2 … N-1， 幅度为 分量的频率是2π/N， 幅度是
第四章 DFT与其快速算法
4.1 周期序列的离散傅里叶级数 及傅里叶变换
4.1.1周期序列的离散傅里叶级数
~
设 x(n )
~
是以N为周期的周期序列， 由于是周期
2 N
性的， 可以展成傅里叶级数
x(n )
k
j
kn
ake
(4.1.1)
式中ak是傅里叶级数的系数。 为求系数ak ， 将上 式两边乘以 e
c os( 2 f 0 n T ) ( t n T )
x a ( t ) 的傅里叶变换用(1.5.5)式确定， 即以Ωs=2πfs
信号与系统L09CH4-文档资料
解: 该周期信号f (t)显然满足狄里赫勒的三个条件，
T A s i n ( n / 2 ) 1 1 j n t j n t 0 0 0 2 2 C f ( t ) ed t A ed t T n T T T n / 2 0 2 2 A n 0 Sa ( ) T 2
( n = 1,2 )
T / 2 2 b f ( t ) sin( n t ) d t n 0 T / 2 T
( n = 1,2 )
一、周期信号的傅里叶级数展开
3. 三角形式傅里叶级数
纯余弦形式傅里叶级数
a 0 f( t ) A cos （ n t ） n 0 n 2 n 1
A
-T
0
n 1
T
t
解:
由
j n t 0 f( t ) C 2 Re( C e ) 0 n
可得， f(t)的三角形式傅里叶级数展开式为
f ( t ) ( A / T ) ( 2 A / T ) Sa ( n / 2 ) cos n t 0 0
n 1
n
n
j n t j n t 0 0 C e C e n n
C 2 C e ) Re(
0 n 1 n j n0 t
n 1
an jbn C 令 n 2 由于C0是实的，所以 b0= 0，故
C0
a0 2
一、周期信号的傅里叶级数展开
3. 三角形式傅里叶级数
a 0 f ( t ) ( a cos n t b sin n t ) n 0 n 0 2n 1
信号与系统名词解释打印版
1. 信号：是信息的载体。
通过信号传递信息。
2. 系统：是指若干相互关联的事物组合而成具有特定功能的整体3. 数字信号：仅在一些离散的瞬间才有定义的信号。
4. 模拟信号：在连续的时间范围内(-∞<t<∞）有定义的信号。
5. 连续系统：若系统的输入信号是连续信号，系统的输出信号也是连续信号。
6. 离散系统：若系统的输入信号和输出信号均是离散信号。
7. 动态系统：若系统在任一时刻的响应不仅与该时刻的激励有关，而且与它过去的历史状况有关。
8. 即时系统：不含有记忆元件(电容、电感等)的系统。
9.线性系统：满足线性性质的系统。
10. 因果系统：零状态响应不会出现在激励之前的系统。
11. 连续因果系统的充分必要条件是：冲激响应 h(t)=0,t<0 或者，系统函数H(s)的收敛域为：Re[s]>σ0 12. 离散因果系统的充分必要条件是：单位响应 h(k)=0, k<0 或者，系统函数H(z)的收敛域为：|z|>ρ013. 稳定系统：一个系统，若对有界的激励f(.)所产生的零状态响应y f (.)也是有界时，则称该系统为有界输入有界输出稳定。
14. 时不变系统：满足时不变性质的系统称。
15. 时不变性质：若系统满足输入延迟多少时间，其零状态响应也延迟多少时间。
16. 零状态响应：当系统的初始状态为零时，仅有输入信号f(t)/f(k)的响应。
17. 零输入响应：是激励为零时仅有系统的初始状态{x(0)}所引起的响应。
18. 自由响应：齐次解的函数形式仅与系统本身的特性有关，而与激励f(t)的函数形式无关 19. 强迫响应：特解的函数形式由激励确定，称为强迫响应。
20. 冲激响应：当初是状态为零是，输入为单位冲激函数δ(t)所引起的零状态响应。
21. 阶跃响应：当初是状态为零是，输入为单位阶跃函数所引起的零状态响应。
22. 正交：定义在(t 1，t 2)区间的两个函数ϕ 1(t)和ϕ 2(t),若满足23.完备正交函数集：如果在正交函数集{ϕ1(t)， ϕ 2(t)，…， ϕ n(t)}之外，不存在函数φ(t)(≠0）满足⎰=21d )()(t t i t t t ϕϕ ( i =1，2，…，n)。
信号与系统-DFT
2019/1/30
离散傅立叶变换
17
先验知识－序列的圆周移位
原序列,0<=n<=11
5 5 4.5 4.5 4 4
线性移位
3.5
3.5
3
3
2.5
2.5
2
2
1.5
1.5
1
1
0.5
0.5
0
0
2
4
6
8
10
12
14
16
18
20
0
0
2
4
6
8
10Βιβλιοθήκη 121416
18
20
只考虑区间 [0,11]，产生信息损失
2019/1/30 离散傅立叶变换 18
圆周卷积及其与线性卷积的关系
圆周卷积定理（时域） N 1 x2 m x1 n mN RN n X1 k X 2 k
m0
注意是圆周移位
N 1 l 0
圆周卷积（频域） 1 x n x n X l X k l N
DFS
, 注意这个表示方法
线性特性 mk x n m W X k 序列移位－－时域移位 N nl 序列移位－－频域移位WN x n X k l 周期卷积－－时域卷积 N 1 x1 m x2 n m X 1 k X 2 k m0 周期卷积－－频域卷积
线性卷积
x1 (n) x2 (n) 的周期卷积是它们的线性卷积 x3 (n)
k
x n kL x n
3 3
郑君里《信号与系统》(第3版)【教材精讲+考研真题解析】讲义 第9章 离散傅里叶变换以及其他离散正交
第9章离散傅里叶变换以及其他离散正交变换[视频讲解]9.1本章要点详解本章要点■傅里叶变换的离散性与周期性■从离散傅里叶级数到离散傅里叶变换■离散傅里叶变换的性质■离散傅里叶变换与z变换重难点导学一、引言1．DFT是重要的变换（1）分析有限长序列的有用工具；（2）在信号处理的理论上有重要意义；（3）在运算方法上起核心作用，谱分析、卷积、相关都可以通DFT在计算机上实现。
2．DFT是现代信号处理桥梁DFT要解决两个问题：（1）离散与量化；（2）快速运算。
二、傅氏变换的离散性与周期性1．连续时间、连续频率—傅里叶变换可见，时域连续函数造成频域是非周期的谱，而时域的非周期造成频域是连续的谱密度函数。
2．连续时间、离散频率—傅里叶级数可见时域连续函数造成频域是非周期的谱，而频域的离散对应时域是周期函数。
3．离散时间、连续频率—序列的傅里叶变换可见时域的离散化造成频域的周期延拓，而时域的非周期对应于频域的连续。
4．离散时间、离散频率—离散傅里叶变换可见一个域的离散造成另一个域的周期延拓，因此离散傅里叶变换的时域和频域都是离散的和周期的。
5．四种傅里叶变换形式的归纳表9-1三、从离散傅里叶级数到离散傅里叶变换（DFT）为N 的有限长序列，为周期为N 的周期序列，则称为的主值序列；称为的周期延拓。
同样，X (k )也是一个N 点的有限长序列，则有限长序列的DFT 正变换和反变换为10()[()]()01-===≤≤-∑N N nk n X k DFT x n x n W k N101()[()]()01--===≤≤-∑N N nk k x n IDFT X k X k W n N N或10()()()()()01-===≤≤-∑ N N nk N N n X k x n W R k X k R k k N 101()()()()()01--===≤≤-∑ N N nk N N k x n X k W R n x n R n n N N其中：2π-=j N NW e 。
信号与系统期末试卷及答案
读书破万卷下笔如有神实验二利用DFT分析离散信号频谱一、实验目的应用离散傅里叶变换（DFT），分析离散信号的频谱。
深刻理解DFT分析离散信号频谱的原理，掌握改善分析过程中产生的误差的方法。
二、实验原理根据信号傅里叶变换建立的时域与频域之间的对应关系，可以得到有限长序列的离散傅里叶变换（DFT）与四种确定信号傅里叶变换之间的关系（见教材），实现由DFT分析其频谱。
三、实验内容?3的频谱；1.利用FFT分析信号x(310),nn?,1,...,n)?cos(8（1）、确定DFT计算的参数；N=32;n=0:N-1;x=cos(3*pi/8*n);X=fft(x,N);subplot(2,1,1);stem(n,abs(fftshift(X)));ylabel('Magnitude');xlabel('Frequency (rad)');title('朱艺星杨婕婕'); subplot(2,1,2);stem(n,angle(fftshift(X)));ylabel('Phase');xlabel('Frequency(rad)');读书破万卷下笔如有神进行理论值与计算值比较，讨论信号频谱分析过程中误差原因及改善2）（方法。
在频谱分析过程中由于取样频率过低或者由于信号的截取长度不当将会答：产生误差。
可以适当提高取样率，增加样点数，可能会产生混频现象,取样频率过低,来减少混叠对频谱分析所造成的误差。
对于连续周期信号，其时域取样必须kfo，即（其中K≥2*N+1N为最高谐波分量）其取样点数满足时域取样定理：2fm+fo。
≥≥2Nfo+fo;fs截取信号长度不当，会产生功率泄露，对周期序列进行频谱分析时，为避免泄露应做到：截取的长度应取一个基本周期或基本周期的整数倍，若待分析的周期信号事先不知道其确切的周期，则可截取较长时间长度的样点进行分析，以减少功率泄露误差。
信号与系统重点公式
第一章绪论所有的信号与系统包含两个基本的共同点：即作为一个或几个独立变量函数的信号都包含了有关某些现象性质的饿信息；而系统总是对所给的信号做出响应，从而产生另外的信号，或产生某些所需的特性。
三种重要的信号1.信号具有有限的总能量，信号的平均功率必须为0.连续时间情况下：离散时间情况下：2.平均功率有限，总能量=∞连续时间情况下：离散时间情况下：3.和都不是有限的，一个例子就是信号离散时间单位脉冲(单位样本)和单位阶跃序列u[n]离散时间单位脉冲是离散时间单位阶跃的一次差分，离散时间阶跃是单位样本的求和函数连续时间单位阶跃和单位冲激函数连续时间单位冲激可看成连续时间单位阶跃u(t)的一次微分，连续时间单位阶跃是单位冲激的积分函数第二章线性时不变系统线性时不变系统之所以能够被深入分析的主要原因之一就是具有叠加性质。
这样，能够将线性时不变系统的输入用一组基本信号的线性组合来表示，就可以根据该系统对这些基本信号的响应，然后利用叠加性质求得整个系统的输出。
无论在离散时间或连续时间情况下，单位冲激函数的重要特性之一就是一般信号都可以表示为延迟冲激的线性组合。
这个事实，再与叠加性和时不变性结合起来，就能够用线性时不变的单位冲激响应来完全表征任何一个线性时不变系统的特性。
这样一种表示，在离散时间情况下称为卷积和，在连续时间情况下称为卷积积分，这种表示方式在分析线性时不变系统时提供了极大的便利。
在建立了卷积和与卷积积分之后，再用这些特性来分析线性时不变系统的某些其他性质。
然后讨论由线性常系数微分方程所描述的连续时间系统，由线性常系数差分方程所描述的离散时间系统。
线性空间里，讲了怎么把信号(离散和连续)表示成一组基（移位单位脉冲和移位单位冲激）的线性组合。
用脉冲表示离散时间信号：把任意一个序列表示成一串移位的单位脉冲序列的线性组合，而这个线性组合式中的权因子就是x[k]。
离散时间线性时不变系统的单位脉冲响应及卷积和表示y[n] = ，这个结果称为卷积和，或叠加和。
信号与系统第9章
第9章随机信号通过线性系统9.0 引言9.1 随机信号的概念9.2 连续随机信号的统计特征9.3 离散随机信号的统计特征9.4 线性连续系统分析9.5 线性离散系统分析9.6 白噪声通过线性系统分析9.0 引言由于系统输入是随机信号，所以输出也是随机信号，一般不能用显式表示。
随机信号一般用统计特性描述，因此，随机信号通过线性系统的分析问题通常是分析输入与输出的一、二阶统计特征(或数字特征)之间的关系。
对于连续时间系统，分析任务是给定输入x(t)的一、二阶统计特性（均值、均方值、方差、相关函数和功率密度谱函数）和系统的特性(冲激响应h(t)、传递函数H(s)和频率特性H(jω)), 求输出的一、二阶统计特征和输入与输出之间的统计特征（互相关函数和互谱密度）。
对于离散时间系统，情况也类似，只是h(t)、H(s)、H(jω)分别用h(k)、H(z)、H(e jω )代替。
由于输入随机信号又可区分为平稳随机信号和非平稳随机信号，因此，相应有两种情况的分析。
本章只讨论平稳随机信号分析，此时输入是平稳的，系统特性是确定的和稳定的，经过一段过渡时期后，输出最终也是平稳的。
分析任务是求输出进入平稳状态后的均值my ，方差Dy，自相关函数Ryy(τ), 功率密度谱Sy （jω），以及输入和输出间的互相关函数Rxy(τ)，互谱密度Sxy（jω）等。
9.1 随机信号的概念9.1.1 随机过程和随机信号的概念在概率论中介绍过随机变量的概念，设X是一个随机变量，则X的取值是随机的，通常用概率密度函数f(x)描述。
如果使上述随机变量X随时间t改变，即表示为X(t)，这时称X(t)是一个随机过程。
这就是随机过程概念的简单描述。
随机信号也是随机过程。
设X(t)是一个随机信号，当t=t0 )为一个随机变量。
时，X(t设有一个随机信号产生器，若有甲、乙两个同学分别去做(t)，乙观实验并观察实验结果，甲观察到的实验输出波形为x1(t)，x1(t)≠x2(t)，如图9.1所示。
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fs 2 fh
其中fs为抽样频率; fh为信号的最高频率分量 或者
1 1 T fs 2 fh
其中,T为抽样间隔。
对于时间有限信号，其傅立叶变换不可能是有限带 宽，抽样后必然带来混叠(aliasing)，减小抽样间 隔可减弱混叠，但总不可避免。
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• 以xi n表示x（n）序列的第i小段（i为正 N 0 i P 1, P 整数， ），为完成 M • 各 xi n与h（n）之圆卷积，应将 xi n 长 度补足至N+M-1，在图c中已用虚线示意 补零。
1
N+M-1
图c
xi n
N+M-1
N+M-1 N+M-1
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相关运算常见于雷达和声纳系统中，应用该运算确 定信号的时间延迟。 当x(n)与h(n)是同一信号， y(n) 是自相关函数， 而Y(k)是x(n)的功率谱。
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（三）利用DFT对连续时间信号的逼近 一.用DFT计算连续时间信号的傅氏变换可能造成的误 差 1.混叠现象 为避免混叠,由抽样定理可知，须满足
用DFT计算所得的频谱分量乘以T的理由：
设
t nT , dt T ,
X ( j )
n N 1
x (t )e jt dt
n
x ( nT )e jnT x ( nT )e jnT
T
n 0
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N+M-1 图d
y i n
重叠N+M-1 重叠 重叠N+M-1
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• 按照上述原理，此方法的运算过程可分 为两部分： • 首先求每个 xi n 与h(n)的圆卷积，样点 数为N+M-1，共需P次，求各 yi n ，其原 理仍按图b； • 然后将 yi n 取和（实际上是重叠部分的 相加），即得 y n
• 输入序列可表示为 xn xi n i 0 • 其中
xn iM n (i 1)M 1 xi n 0 n为其他值
P 1
• 相应地，输出序列也可分解为
P 1 yn xn hn xi n hn i 0
3.栅栏效应
1 用DFT计算频谱时，只是知道为频率 F Tp
的整数倍处的频谱。在两个谱线之间的情况就不 知道,这相当通过一个栅栏观察景象一样，故称作 栅栏效应。补零点加大周期，可使F变小来提高 分辨力，以减少栅栏效应。
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以上分析是针对两序列长度相近或相等的情况，如 果一个序列很短，而另一序列很长，则需要补很多 零，圆卷方案甚至增加运算量，可采用分段卷积的 方法，其基本原理是将x(n)分成若干小段，每小段 长度与h(n)接近，将x(n)的各小段与h(n)卷积，最 后取和，仍可发挥快速卷积的优越性。
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重叠相加法
• 假定h(n), x(n)均为因果序列。h(n)的长度 为N，如图a
图a
h(n) N
• x(n)长度是 N1 , N1 N 现将 N1等分为若 干小段，每段长M,如图b
图b X(n) M M N1 M
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3.DFT变换时:
nk X (k ) x(n)WN ,0 k N 1 n 0 N 1 1 nk x ( n) X (k )WN ,0 n N 1 N k 0
N 1
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x1 (n)
X 1 (e j )
0
n
0
x2 (n)
X 2 (e j )
n
Ye
yn x1 (n) x2 (n)
j
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直接卷积与快速卷积 如果把求线卷积改为求圆卷积，两序列分别补零加长 为为N1+ N2 –1，则有可能减少运算次数。
x(n)
卷积
X(k)
y(n)
x(n)
FFT
X(k)H(k)
y(n)
序列相乘
h(n) FFT H(k)
N1 N 2 1 2 N 故需要
N 次复数乘法运算 2N log2 2
此外X(k)与H(k)两序列相乘，还需要2N次复乘， 全部复数乘法次数为：
N 2N 2 N log2 2 N 2 N ( 1 log 2 2 )
随着N的增大，该运算量比N2显著减少。
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4.用DFT计算非周期信号的傅氏变换
用DFT计算所得的频谱分量乘以T， 就等于频谱的正 常幅度电平；用IDFT计算非周期信号的傅氏反变换， 再乘以fs就得到所需信号的正常幅度电平。所以,从 时间到频率, 再从频率到时间，整个过程总共乘了
T fs 1
幅度电平未受到影响。
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• 利用卷积分配律可得
y n
i 0
P 1
xi n hn
yi n
i 0
P 1
这里yi n xi n hn
• 由于 yi n 的长度为N+M-1，而 xi n 的有效长度 只有M，故相邻两段的 yi n 必有N-1长度的重叠。 见图d
IFFT
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在快速卷积过程中，共需要2次FFT，1次IFFT，相当 于3次FFT运算量，在一般数字滤波中，由h(n)求H(k) 是事先计算完成放在存储器中，故只需2次FFT的运算 量，若假设N1=N2 =N ，则补零后：
T DFT [ x(n)]
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用IDFT计算非周期信号的傅氏反变换乘以fs的理由 0 2F 0 , f s NF N , d 0 , k 0 2
1 jt xt X j e d 2
T 0.1ms
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二.DFT与连续信号傅氏变换相对数值的确定 1.连续时间非周期信号傅氏变换对
X j 1 xt 2
x(t )e
jt
dt
jt
Байду номын сангаас
X j e
5.用DFT计算周期信号的傅氏级数
用DFT计算出的频谱分量乘以 1/N等于周期信号的频 谱的正常幅度电平。而用IDFT的计算结果乘以N才等 于周期信号。
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2.频谱泄漏
若信号频谱有限，则时间函数必然是无限的。在实 际应用中，为利用FFT对信号进行分析，必须把时 间截取一定范围，也就是说，在时域对信号进行截 断操作，或称作加时间窗，亦即用时间窗函数乘以 信号，由卷积定理可知，时域相乘，频域为卷积， 时间加窗使频谱产生失真，它从原有的频率受限图 中扩散出来，这就造成拖尾现象，称之为频谱泄漏 （leakage）。
[例] 有一频谱分析用的FFT处理器，其抽样点数必须是2的整数幂。 假定没有采用任何特殊的数据处理措施，已知条件为 （1）频 率分辨率为 10 H Z ， （2） 信号的最高频率 4kH， Z 试确定以下参量：（1）最小记录长度 TP ;(2) 抽样点间的最大时间 间隔T; (3) 在一个记录中的最小点数N。 解： （a） 最小记录长度
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（二）快速相关 相关和自相关也可借助FFT完成。
x(n) h(n) X(k) x(n) FFT 序列相乘 共轭 H*(k) X(k)H*(k) IFFT y(n)
相关
y(n)
h(n)
FFT
H(k)
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又0 2f s / N , k0 , k 0,1,...N 1
X (k 0 ) T x(nT )e
n 0 N 1 n 0 N 1 jkn 2T f s / N
, k 0,1,...N 1
T x ( n )e
j 2kn / N
1 x( nT ) 2
N 1 k 0 k
X ( jk
0
0
)e
jk 0 nT
0
0 2
X ( j
N 1 k 0
k )e
j
2f sT kn N
1 fs N
X ( j
0
k )e
j
2 kn N
f s DFT 1[ X (k )]
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Tp / 2
d
2.连续时间周期信号傅氏级数变换对
1 X jk 0 T xt
k
T p / 2
xt e jk 0t dt
jk 0 t X jk e 0