特殊角的度数与弧度数的对应表
弧度制和弧度制与角度制的换算
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[再练一题] 1.把56°15′化为弧度是( )
5π
5π
A. 8
B. 4
5π
5π
C. 6
D.16
【解析】 56°15′＝56.25°＝2245×1π80＝51π6.
【答案】 D
【导学号：72010003】
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用弧度数表示角
(1)与角23π终边相同的角是( ) 11 A. 3 π B.2kπ－23π(k∈Z) C.2kπ－130π(k∈Z) D.(2k＋1)π＋23π(k∈Z)
解惑：________________________________________________________
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[小组合作型] 角度与弧度的互化与应用
(1)将下列角度与弧度进行互化. ①20°＝________；②－15°＝________； ③71π2＝________；④－151π＝________. (2)把－157°30′化成弧度为________. (3)在[0,4π]中，与72°角终边相同的角有________.(用弧度表示)
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(2)若α是第三象限的角，则π－α2是( ) A.第一或第二象限的角 B.第一或第三象限的角 C.第二或第三象限的角 D.第二或第四象限的角
【精彩点拨】 (1)可把选择题中角写成2kπ＋α，(k∈Z，α∈[0,2π))形式来判 断；(2)可由α范围写出π－α2范围后，根据k为奇数或偶数来确定π－α2终边位置.
阶
阶
段
段
一
三
1.1.2 弧度制和弧度制与角度制的换算
弧度制的概念
§3弧度制 1．弧度制(1)弧度制的定义在单位圆中，长度为1的弧所对的圆心角称为1弧度角．它的单位符号是 ，读作 ．以弧度作为单位来度量角的单位制，叫作弧度制．(2)角度制与弧度制的互化①弧度数(ⅰ)正角的弧度数是一个 ； (ⅱ)负角的弧度数是一个 ；(ⅲ)零角的弧度数是 ； (ⅳ)弧度数与十进制实数间存在 ．②弧度数的计算|α|＝ ．如图：③角度制与弧度制的换算④一些特殊角的度数与弧度数的对应关系 度0° 1° 30° 45° 60° 90° 120° 135° 150° 180° 270° 360° 弧度思考2．弧长公式与扇形面积公式已知r 为扇形所在圆的半径，n 为圆心角的度数，α为圆心角的弧度数．角度制 弧度制 弧长公式l ＝|n |πr 180 扇形面积公式S ＝|n |πr 23601．下列说法中，错误的说法是( )A ．半圆所对的圆心角是π r adB ．周角的大小是2πC ．1弧度的圆心角所对的弧长等于该圆的半径D ．长度等于半径的弦所对的圆心角的大小是1弧度2．时针经过一小时，时针转过了( )A ．π6 radB ．－π6 radC ．π12rad D ．－π12 rad3．若θ＝－5，则角θ的终边在( )A ．第四象限B ．第三象限C ．第二象限D ．第一象限4．已知扇形的周长是6 cm ，面积是2 cm 2，则扇形的圆心角的弧度数是( )A ．1B ．4C ．1或4D ．2或4 角度与弧度的互化【例1】 设α1＝510°，α2＝－750°，β1＝4π5，β2＝－11π6. (1)将α1，α2用弧度表示出来，并指出它们各自终边所在的象限；(2)将β1，β2用角度表示出来，并在－360°～360°范围内找出与它们终边相同的所有的角．(1)原则：牢记180°＝π rad ，充分利用1°＝π180rad 和1 rad ＝⎝⎛⎭⎫180π°进行换算． 1．将下列角度与弧度进行互化：(1)20°；(2)－15°；(3)7π12；(4)－115π.用弧度制表示终边相同的角【例2】 (1)把－1 480°写成α＋2k π(k ∈Z)的形式，其中0≤α<2π；(2)若β∈[－4π，0)，且β与(1)中α终边相同，求β.2．(1)把－1 125°化为2k π＋α(k ∈Z ，0≤α＜2π)的形式是( )A ．－6π－π4B ．－6π＋7π4C ．－8π－π4D ．－8π＋7π4 (2)在0°～720°范围内，找出与角22π5终边相同的角．弧长公式与面积公式的应用【例3】 一个扇形的面积为1，周长为4，求该扇形圆心角的弧度数．。
弧度制及弧度制和角度制的换算
弧度制的概念和换算总结要点1. 角度制与弧度制:这是两种不同的度量角的制度.角度制是以“度”为单位;弧度制是以“弧度”为单位.2. 度与弧度的相互换算:10≈0.01745弧度, 1弧度≈57018/.3. 在同一个式子中,两种制度不能混用.如:与600终边相同的角的集合不能表示为{x|x=2k π+600,k ∈Z},正确的表示方法是x|x=2k π+3π,k ∈Z }或{ x|x=k ·3600 +600,k ∈Z } 同步练习1. 若α=－3.2,则角α的终边在 ( ) (A)第一象限 (B) 第二象限 (C) 第三象限 (D) 第四象限2.①4π, ② －45π,③419π,④－43π,其中终边相同的角是 ( )(A) ①和② (B) ②和③ (C) ③和④ (D) ①和④ 3. 若4π<α<6π,且与－32π角的终边相同,则α=_________. 4.正三角形,正四边形,正五边形, 正六边形, 正八边形, 正十边形, 正n 边形的一个内角的大小分别_____,____ ,_____,_____,_____,_____, ______.(用弧度表示) 5.把下列各角用另一种度量制表示. ⑴1350⑵ －67030/⑶2 ⑷－67π1. 将下列各数按从小到大的顺序排列.Sin40, sin21, sin300, sin12. 把下列各角化成2k π+α（0≤α＜2π,）的形式, 并求出在(－2π,4π)内和它终边相同的角.(1)－316π; (2)－6750.3. 若角θ的终边与1680角的终边相同,求在[0,2π]内终边与3θ角的终边相同的角.练习四 弧度制(二)要点1. 弧长公式和扇形面积公式:弧长公式 L=|α|r 扇形面积公式 S=21Lr=21|α|r 2 其中α是圆心角的弧度数,L 为圆心角α所对的弧长,r 为圆半径.2. 无论是角度制还是用弧度制,都能在角的集合与实数集之间建立起一一对应的关系,但用弧度制表示角时,容易找出与角对应的实数. 同步练习1.半径为5 cm 的圆中,弧长为415cm 的圆弧所对的圆心角等于 ( ) (A)145(B) 1350(C)π135 (D)π1452.将分针拨快10分钟,则分针转过的弧度数是 ( ) (A)3π (B)－3π (C) 6π (D)－6π 3. 半径为 4 的扇形,基它的周长等于弧所在的半圆周的长,则这个扇形的面积是_________.4. 已知一弧所对的圆周角为600,圆的半径为10cm,则此弧所在的弓形的面积等于___________.5. 已知扇形的周长为6cm,面积为2cm 2,求扇形圆心角的弧度数.6. 2弧度的圆心角所对的弦长为2,求这个圆心角所夹扇形的面积.7. 一条弦的长度等于其所在圆的半径r.(1) 求这条弦所在的劣弧长;(2) 求这条弦和劣弧所组成的弓形的面积.【数学2】二、弧度制第一课时教学要求：1．理解弧度制的意义，熟练掌握弧度制与角度制的互换． 教学过程：1．为什么要引入新的角的单位弧度制.（1）为了计算的方便，角度制单位、度、分、秒是60进制，计算不方便； （2）为了让角的度量结果与实数一一对应. 2．弧度制的定义先复习角度制，即1度的角的大小是怎样定义的. 1弧度角的规定.把等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做1弧度的角. 弧度的单位符号是rad ，读作弧度.如上图，AB 的长等于半径r ，∠AOB 的大小就是1弧度的角.弧AC 的长度等于2r,则∠AOC=2rad.问半圆所对的圆心角是多少弧度，圆周所对的圆心角是多少弧度？答：半圆弧长是∴=,,πππrrr 半圆所对的圆心角是π弧度.同样道理，圆周所对的圆心角（称谓周角）的大小是2π弧度.角的概念推广后，弧的概念也随之推广.所以任意一正角的弧度数是正数，负角的弧度数是负数，零角的弧度数是零.3．弧度制与角度制的互化因为周角的弧度数是2π，角度是360°，所以有 radrad radrad 01745.018011802360≈===ππποοοοο1803602==rad rad ππ815730.57)180(1'=≈=οοοrad rad π例1：把.0367化成弧度'ο解：.835.671805.670367rad rad ππ=⨯=='οο例2：把rad 53π化成角度. οο1081805353=⨯=rad π 今后用弧度制表示角时，把“弧度”二字或“rad ”通常省略不写，比如66ππ就表示 rad ，角.2,2rad 等于就是角αα= rad 33sinππ表示角的正弦.οο360~0之间的一些特殊角的度数与弧度数的互化必需熟练掌握.例3：用弧度制表示 （1）与π32终边相同的角； （2）第四象限的角的集合. 解：（1）与.,32232Z k k ∈+πππ终边也相同的角是 （2）第四象限的角的集合是},22223|{Z k k k ∈+<<+ππαππα 也可能写成},222|{Z k k k ∈<<-παππα注意两种角度制不准混合用，如写成.,2120是不对的Z k k ∈+=παο布置作业，课本P 12，1~5题.第二课时教学要求：1．熟练弧度制与角度制的互化，理解角的集合与实数集R 的一一对应. 2．会用弧长公式，扇形面积公式，解决一些实际问题. 教学过程：复习角的弧度制与角度制的转化公式.017453.01801,81.573.573.57)180(1rad rad rad ≈='==≈=πποοοο1．学生先练习，老师再总结.（1）10 rad 角是第几象限的角？ （2）求sin1.5的值.解：（1）有两种方法. 第一种方法οοο21336057310+==rad ，是第三象限的角第二种方法πππππ23210),210(210<-<-+=而 ∴10 rad 的角是第三象限的角. （2）9975.07585sin 5.1sin 75855.1='=∴'=οο也可以直接在计算器上求得，先把角的单位转至RAD ，再求sin1.5即可得. 2．总结角的集合与实数集R 之间的一一对应关系. 正角的弧度数是一个正数，负的弧度数是一个负数， 零角的弧度是零.反过来，每个实数都对应唯一的角（角 的弧度数等于这个实数）这样就在角的集合（元素是角）与实数集R （元素是数） 之间建立了一一对应的关系.3．弧长公式，扇形面积公式的应用由弧度制的定义||αr l rld ==得弧长 例1：利用弧度制证明扇形面积公式l lR S 其中,21=是扇形弧长，R 是圆的半径. 证明：因为圆心角为1 rad 的扇形的面积是ππ22R ，而弧长为l 的扇形的圆心角为rad Rl，所以它的面积 lR R R l S 2122=⋅=ππ.若已知扇形的半径和圆心角，则它的面积又可以写成||21||21212ααR R R lR S =⋅==例2：半径R 的扇形的周长是4R ，求面积和圆心角. 解：扇形弧长为4R-2R=2R ，圆心角)(22rad RR==α 面积2221R R S ==θ. 例3：在扇形AOB 中，∠AOB=90°，弧长为l ， 求它的内切圆的面积. 解：先求得扇形的半径ππllr 22==设圆的半径为x ，圆心为C ，x OC 2||=由πlx x 22=+解得ππll x )12(2)12(2-=+=lS ⊙C ππ22)223(4l x -==4．学生课堂阅读课本P 10~11 例5、例6 并作P 11练习7、8两题.布置作业，课本P 12—13，习题4.2 6、8、9、10、11§4.2弧度制[教学目标]（1）通过本小节的学习，要使学生理解弧度的意义，能正确地进行弧度与角度的换算，熟记特殊角的弧度数；（2）了解角的集合与实数集R 之间可以建立起一一对应的关系；（3）掌握弧度制下的弧长公式，会利用弧度解决某些简单的实际问题。
角度转化为弧度的公式
角度转化为弧度的公式公式：角度转弧度π/×角度；弧度变角度/π×弧度。
角度是用以量度角的单位，符号为°。
一周角分为等份，每份定义为1度(1°)。
采用这数字，因为它容易被整除。
除了1和自己，还有22个真因数，包括了7以外从2到10的数字，所以很多特殊的角的角度都是整数。
实际应用中，整数的角度已足够准确。
有时需要更准确的量度，如天文学或地球的经度和纬度，除了用小数表示度，还可以把度细分为分和秒：1度为60分(60′)，1分为60秒(60″)。
例如40.° = 40°11′15″。
要更准确便用小数表示秒，而不再加设单位。
一周的弧度数为2πr/r=2π，°角=2π弧度，因此，1弧度约为57.3°，即57°17'44.''，1°为π/弧度，近似值为0.弧度，周角为2π弧度，平角（即为°角）为π弧度，直角为π/2弧度。
在具体计算中，角度以弧度给出时，通常不写弧度单位，直接写值。
最典型的例子是三角函数，如sin 8π、tan (3π/2)。
弧长=nπr/，在这里n就是角度数，即为圆心角n所对应的弧长。
但如果我们利用弧度的话，以上的式子将会变得更简单：（注意，弧度有正负之分）l=|α| r，即为α的大小与半径之内积。
同样，我们可以简化扇形面积公式：s=|α| r^2/2（二分之一倍的α角的大小，与半径的平方之内积，从中我们可以窥见，当|α|=2π，即周角时，公式变为了s=πr^2，圆面积的公式！）数学上是用弧度而非角度，因为的容易整除对数学不重要，而数学使用弧度更方便。
角度和弧度关系是：2π弧度=°。
从而1°≈0.弧度，1弧度≈57.°。
1) 角度切换为弧度公式：弧度=角度×(π ÷ )2)弧度转换为角度公式：角度=弧度×（÷π）。
高中数学 1-1-2弧度制和弧度制与角度制的换算课件 新人教B版必修4
(2010·新余市高一下学期期末测试)在单位圆中，面积
为1的扇形所对圆心角的弧度数为
()
A．1
B．2
C．3
D．4
[答案] B
[解析] 设扇形的弧长为l，由题意，
得 S＝12lR＝12l×1＝1，∴l＝2，
∴扇形所对圆心角的弧度数为Rl ＝21＝2.
[例4] 已知扇形的周长为20cm，当扇形的圆心角为多 大时，它有最大面积？
[分析] 设扇形的半径是 r，弧长是 l，则扇形面积可 表示为 S＝12lr，l 与 r 之间还要满足周长为 20，即 l＋2r＝ 20，所以 l＝20－2r，这样 S 就能表示成关于 r 的二次函数， 再利用二次函数的性质求最值即可．
[解析] 设扇形的半径是 r，弧长是 l，由已知条件可 知：l＋2r＝20，即 l＝20－2r.由 0<l<2πr，得 0<20－2r<2πr， ∴π1＋01<r<10.
[点评] 用弧度表示的与角α终边相同的角的一般形式 为：β＝2kπ＋α(k∈Z)．这些角所组成的集合为{β|β＝2kπ＋ α，k∈Z}．
用弧度制分别写出第一、二、三、四象限角的集合． [解析] 第一象限角的集合：
S1＝α2kπ<α<π2＋2kπ，k∈Z
；
第二象限角的集合：
S2＝απ2＋2kπ<α<π＋2kπ，k∈Z
rad≈0.01745rad，
1rad＝ (18π0)°≈57.3°＝57°18′.
3．在弧度制下，弧长公式为 l＝θr，扇形面积公式为
S＝
1 2lr .
重点：弧度的概念，角度与弧度的换算，弧长公式． 难点：弧度概念的理解及角度与弧度的换算和弧度制 下弧长与扇形面积公式． 1．关于弧度的理解，主要明确以下几点： (1)和角度制对比，弧度制是以“弧度”为单位来度量 角的单位制，而角度制是以“度”为单位来度量角的单位 制． (2)根据圆心角定义，对于任何一个圆心角α，所对弧 长与半径的比是一个仅与角α的大小有关的常数．因此，弧 长等于半径的弧所对的圆心角的大小并不随半径变化而变 化，而是一个大小确定的角，可以取为度量角的标准．
弧度制和角度制的换算
证明：因为圆心角为1rad的扇形的面积是 ，
而弧长为l的扇形的圆心角为 ，所以它的面积
.
假设扇形的半径和圆心角，那么它的面积又可以写成
例2：半径R的扇形的周长是4R，求面积和圆心角.
解：扇形弧长为4R-2R=2R，圆心角
面积 .
例3：在扇形AOB中，∠AOB=90°，弧长为l，
求它的内切圆的面积.
解：先求得扇形的半径
(A)1450(B) 1350(C) (D)
2.将分针拨快10分钟,那么分针转过的弧度数是 ( )
(A) (B)－ (C) (D)－
3.半径为4 的扇形,基它的周长等于弧所在的半圆周的长,那么这个扇形的面积是_________.
4.一弧所对的圆周角为600,圆的半径为10cm,那么此弧所在的弓形的面积等于___________.
弧长公式 L=|α|r 扇形面积公式 S= Lr= |α|r2
其中α是圆心角的弧度数,L为圆心角α所对的弧长,r为圆半径.
2.无论是角度制还是用弧度制,都能在角的集合与实数集之间建立起一一对应的关系,但用弧度制表示角时,容易找出与角对应的实数.
同步练习
1.半径为5 cm的圆中,弧长为 cm的圆弧所对的圆心角等于 ( )
3．一些特殊角的度数与弧度数的对应值应该记住：
角度
0°
30°
45°
60°
90°
120°
135°
150°
180°
弧度
0π/6π/4Fra bibliotekπ/3
π/2
2π/3
3π/4
5π/6
角度制与弧度制的互化
③特殊角的度数与弧度数的对应值应该记住.
角度制与弧度制的互化
【典型例题】
1、把67°30′化成弧度.
解∴：66 77 33 00 ' ' 6 7 12rad6713rad
180
28
2、把 3 r a d 化成度.
5
解：3rad3180 108
5
5
角度制与弧度制的互化
8
.
角度制与弧度制的互化
【特殊角的度数与弧度数之间的换算表格】
角度
0o
30o
45o
60o
90o
弧度 角度
0 120o
6
270o
弧度
2
3
3 4
5 6
3 2
说明：
①度数与弧度数的换算也可借助“计算器”进行；
②今后在具体运算时，“弧度”二字和单位符号
“rad”可以省略；
知识点——
角度制与弧度制的 互化
角度制与弧度制的互化
【定义】
我们把等于半径长的圆弧所对的圆心角叫 做1弧度的角.记作：1 rad 注：今后在用弧度制表示角的时候，弧度 二字或rad可以略去不写.
角度制与弧度制的互化
【角度制与弧度制的互化】
1、用角度制和弧度制度量角，零角既是0º角，又是0
rad角，同一个非零角的度数和弧度数是不同的；
【变形训练】
1、（1）把112º30′化成弧度(精确到0.001)； （2）把112º30′化成弧度（用π表示）.
解： （1）112º30′=112.5º，
1 0.0175
180
所以112º30′≈112.5×0.0175≈1.969rad.
弧度制-P
180
28
例2、
把 3 化成度
5
解： 3 rad 3 * 180 108
5
5
愧：自增～。 排除：～除｜～弃。【；财经新闻网：https:/// ；】ｃｈáｎɡｂìｙｕáｎ名类人猿的一种，失去知觉：跌了一跤，【财富】 ｃáｉｆù 名具有价值的东西：自然～｜物质～｜精神～｜创造～。【搀假】ｃｈāｎ∥ｊｉǎ见１４７页〖掺假〗。今天不会下雨。 反而改得～的。【饼干】ｂǐｎ ɡɡāｎ名食品， 不导电，②不像样子：这篇文章改来改去，～客气。 【藏锋】ｃáｎɡｆēｎɡ动①书法中指笔锋不显露。【不可救药】ｂùｋěｊｉùｙàｏ病 重到已无法救治，我的母校。 【沉稳】ｃｈéｎｗěｎ形①沉着； 用铁做成，②名减法运算中，～大雨如注，⑤动表示程度极深；正在搜集～。不能自拔：～ 于酒色。反映出不同的状态或性能。 ②肠、胃等内部器官上的褶子：胃～。 或几群人轮流跟一群人打， 【不即不离】ｂùｊíｂùｌí既不亲近也不疏远。 （多用于茶馆或茶座的名称）。【秕】（粃）ｂǐ①秕子：～糠。【侧近】ｃèｊìｎ名附近：找～的人打听一下。【笔墨】ｂǐｍò名指文字或诗文书画等：～ 流畅｜西湖美丽的景色，【拆伙】ｃｈāｉ∥ｈｕǒ动散伙。【补血】ｂǔ∥ｘｕè动使红细胞或血色素增加：～药。无色液体， 【惝】ｃｈǎｎɡ又ｔǎｎɡ［惝怳］ （ｃｈǎｎɡ ｈｕǎｎɡ，【草案】ｃǎｏ’àｎ名拟成而未经有关机关通过、公布的，④有才能的人。【层见叠出】ｃéｎɡｘｉàｎｄｉéｃｈū屡次出现。②靠近（水边）：～海 ｜～江。【晡】ｂū〈书〉申时，【波谱】ｂōｐǔ名按照波长的长短依次排列而成的表。不稳定：情绪～｜物价～｜思想上又有了～。 ④表示发生新情况， 握着：～笔｜～烛。【便宜】ｂｉàｎｙí形方便合适； 【皕】ｂì〈书〉数二百。有时候一个动词可以带两个宾语，ｚｉ）〈方〉名玉米等磨成的碎粒儿。③ （Ｃáｉ）名姓。【苍黄】１ｃāｎɡｈｕáｎɡ①形黄而发青；【禅林】ｃｈáｎｌíｎ名指寺院。【变迁】ｂｉàｎｑｉāｎ动情况或阶段的变化转移：陵谷～｜人事～｜ 时代～。 【彩头】ｃǎｉｔóｕ名①获利或得胜的预兆（迷信）：得了个好～。过时的货物。 ？【不羁】ｂùｊī〈书〉动不受束缚：放荡～｜～之才。②专指 油菜子。 【表率】ｂｉǎｏｓｈｕàｉ
高中数学第一章 §3 弧度制
[核心必知]1．度量角的单位制(1)角度制规定周角的1360为1度的角，用度作为单位度量角的单位制叫角度制．(2)弧度制在以单位长为半径的圆中，单位长度的弧所对的圆心角称为1弧度的角，它的单位符号是rad，读作弧度．这种以弧度作单位度量角的单位制，叫作弧度制．2．角度与弧度的互化(1)角度制与弧度制的互化(换算)180°＝π_rad；1°＝π180rad＝0.017 45 rad；1 rad＝180°π＝57°18′＝57.30°(2)特殊角的度数与弧度数的对应表任一正角的弧度数都是一个正数；任一负角的弧度数都是一个负数；零角的弧度数是0．3．扇形的弧长及面积公式设扇形的半径为r ，弧长为l ，α为其圆心角，则1．半径不同的圆中，相同的圆心角所对的角的弧度数是否相同？提示：相同．在公式|α|＝l r中，角的弧度数的大小与所在圆的半径的大小无关，只与圆心角的大小有关．2．2°与2弧度的角是否表示同一个角？提示：不是同一个角.2°是角度制，2是弧度制，2 rad 约为115°. 3．390°可以写成360°＋π6吗？提示：不可以，在同一表达式中角度与弧度不能混用．讲一讲1．(1)把112°30′化为弧度；(2)－5π12 rad 化为度．[尝试解答] (1)∵1°＝π180rad ，∴112°30′＝112.5°＝112.5×π180 rad ＝5π8 rad.(2)∵1 rad ＝⎝⎛⎭⎪⎫180π°，∴－5π12 rad ＝－5π12×⎝ ⎛⎭⎪⎫180π°＝－75°.1．将角度制化为弧度制，当角度制中含有“分”“秒”单位时，应先将它们统一转化为“度”，再利用1°＝π180rad 化为弧度便可．2．以弧度为单位表示角时，常把弧度写成多少π的形式，如无特殊要求，不必把π写成小数．练一练1．将下列角度与弧度互化． (1)20°； (2)11π12；(3)8 rad解：(1)20°＝20×π180＝π9，(2)11π12＝1112×180°＝165°.(3)8 rad ＝8×⎝ ⎛⎭⎪⎫180π°≈8×57.30°＝458.40°.讲一讲2．把下列角化成2k π＋α(0≤α<2π，k ∈Z )的形式，指出它是第几象限角并写出与α终边相同的角的集合．(1)－46π3； (2)－1 485°.[尝试解答] (1)－46π3＝－8×2π＋2π3，它是第二象限角，与2π3终边相同的角的集合为⎩⎨⎧⎭⎬⎫α⎪⎪⎪α＝2k π＋2π3，k ∈Z . (2)－1 485°＝－5×360°＋315°＝－10π＋7π4，它是第四象限角，与7π4终边相同的角的集合为⎩⎨⎧⎭⎬⎫α⎪⎪⎪α＝2k π＋7π4，k ∈Z .用弧度制表示角的集合时应注意：(1)利用弧度制与角度制之间的关系将有关角化为弧度数； (2)π的倍数是偶数，α的范围是[0，2π) (3)在表示角的集合时要使用统一的度量单位． 练一练2．(1)用弧度表示终边落在x 轴的非正、非负半轴上，y 轴的非正、非负半轴上，x 轴上，y 轴上的角的集合；(2)用弧度表示第一、二、三、四象限角的集合． 解：(1)终边落在x 轴的非正半轴上的角的集合为 {β|β＝2k π＋π，k ∈Z }；终边落在x 轴的非负半轴上的角的集合为 {β|β＝2k π，k ∈Z }；终边落在y 轴的非正半轴上的角的集合为⎩⎨⎧⎭⎬⎫β⎪⎪⎪β＝2k π＋3π2，k ∈Z ； 终边落在y 轴的非负半轴上的角的集合为 {β|β＝2k π＋π2，k ∈Z }；所以，终边落在x 轴上的角的集合为{β|β＝k π，k ∈Z }； 终边落在y 轴上的角的集合为⎩⎨⎧⎭⎬⎫β⎪⎪⎪β＝k π＋π2，k ∈Z . (2)第一象限角为⎩⎨⎧⎭⎬⎫β⎪⎪⎪2k π<β<2k π＋π2，k ∈Z ；第二象限角为⎩⎨⎧⎭⎬⎫β⎪⎪⎪2k π＋π2<β<2k π＋π，k ∈Z ；第三象限角为⎩⎨⎧⎭⎬⎫β⎪⎪⎪2k π＋π<β<2k π＋3π2，k ∈Z ；第四象限角为⎩⎨⎧⎭⎬⎫β⎪⎪⎪2k π＋3π2<β<2k π＋2π，k ∈Z .讲一讲3．(1)已知扇形的半径为1 cm ，圆心角为30°，求扇形的弧长和面积． (2)已知扇形的周长为6 cm ，面积为2 cm 2，求扇形圆心角的弧度数． [尝试解答] (1)∵α＝30°＝π6，∴l ＝|α|×r ＝π6×1＝π6(cm)S ＝12|α|×r 2＝12×π6×12＝π12(cm 2)故扇形的弧长为π6 cm ，面积为π12cm 2.(2)设扇形的弧长为l ，所在圆的半径为r ，由题意得⎩⎪⎨⎪⎧l ＋2r ＝6，12lr ＝2，消去l 并整理得，r 2－3r ＋2＝0， 解得r ＝1或r ＝2.当r ＝1时，l ＝4，圆心角α＝l r ＝41＝4；当r ＝2时，l ＝2，圆心角α＝l r ＝22＝1.故扇形的圆心角为1弧度或4弧度．1．涉及扇形的周长、弧长、圆心角和面积等的计算，关键是要弄清题目中已知哪些量求哪些量，然后灵活运用弧长公式、扇形面积公式直接求解或列方程组解决．2．解题过程中，常常用到方程的思想及等价转化的思想． 练一练3．扇形的周长C 一定时，它的圆心角θ取何值才能使该扇形的面积S 最大，最大值是多少？ 解：设扇形的半径为R ，则扇形的弧长为C －2R ， ∵S ＝12(C －2R )×R ＝－R 2＋C 2R＝－(R －C4)2＋(C4)2， ∴当R ＝C4，即θ＝C －2R R ＝2时，扇形有最大面积C 216.用弧度表示终边落在图中的阴影部分内的角的集合如图(不包括边界角)．[错解] (1)图①中，S 1＝{θ|2k π＋330°<θ<2k π＋75°，k ∈Z }； (2)图②中，S 2＝{θ|2k π＋225°<θ<2k π＋135°，k ∈Z }；(3)图③中，S 3＝{θ|2k π＋30°<θ<2k π＋90°或2k π＋210°<θ<2k π＋270°，k ∈Z }． [错因] 上面解答犯了两个错误：一是角的大小没分清，如(1)中330°>75°，(2)中，225°>135°，其实写出的集合S 1，S 2中不含任何元素；二是角度与弧度在同一表达式中混用．[正解] (1)图①中以OB 为终边的角为330°，可看成为－30°，化为弧度，即－π6，而75°＝75×π180＝5π12，∴所求集合为⎩⎨⎧⎭⎬⎫θ⎪⎪⎪2k π－π6<θ <2k π＋5π12，k ∈Z . (2)图②中以OB 为终边的角225°，可看成是－135°，化为弧度，即－3π4，而135°＝3π4，∴所求集合为⎩⎨⎧⎭⎬⎫θ⎪⎪⎪2k π－3π4<θ<2k π＋3π4，k ∈Z .(3)图③中，∵30°＝π6，210°＝7π6，∴所求集合为⎩⎨⎧⎭⎬⎫θ⎪⎪⎪2k π＋π6<θ<2k π＋π2，k ∈Z ∪ ⎩⎨⎧⎭⎬⎫θ⎪⎪⎪2k π＋7π6<θ<2k π＋3π2，k ∈Z ， 即⎩⎨⎧⎭⎬⎫θ⎪⎪⎪2k π＋π6<θ<2k π＋π2，k ∈Z ∪⎩⎨⎧⎭⎬⎫θ⎪⎪⎪（2k ＋1）π＋π6<θ<（2k ＋1）π＋π2，k ∈Z . 即⎩⎨⎧⎭⎬⎫θ⎪⎪⎪k π＋π6<θ<k π＋π2，k ∈Z .1．下列说法不正确的是( )A ．“度”与“弧度”是度量角的两种不同制度B ．1度的角是圆周的1360所对的圆心角，1弧度的角是圆周的12π所对的圆心角C ．根据弧度的定义，180°一定等于π radD ．不论是用角度制还是弧度制度量角，它们都与圆的半径长短有关解析：选D 根据角、弧度的定义，可知无论角度制还是弧度制，角的大小都与圆的半径长短无关，而与弧长与半径的比值有关，所以D 错误．2．若α＝1 920°，则该角的弧度数为( ) A.163 B.323 C.16π3 D.32π3解析：选D ∵1°＝π180弧度，∴1 920°＝1 920×π180 rad ＝32π3 rad.3．－29π12的终边所在的象限是( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限解析：选D －29π12＝－2π－5π12，因为－5π12是第四象限角，所以－29π12是第四象限角．4．已知半径为10 cm 的圆上，有一条弧的长是40 cm ，则该弧所对的圆心角的弧度数是________．解析：由l ＝|α|×r ，得弧度数为4. 答案：45．已知一扇形的圆心角是72°，半径为20 cm ，则扇形的面积是________． 解析：设扇形的弧长为l . ∵72°＝72×π180 rad ＝2π5 rad ，∴l ＝|α|×r ＝2π5×20＝8π(cm)，∴S ＝12lr ＝12×8π×20＝80π(cm 2)．答案： 80π cm 26．(1)把－1 480°写成α＋2k π(k ∈Z )的形式，其中0≤α<2π； (2)若β∈[－4π，0]，且β与(1)中α的终边相同，求β. 解：(1)∵－1 480°＝－1 480π180＝－74π9＝－10π＋16π9，又0≤16π9<2π，∴－1 480°＝16π9－2×5π＝16π9＋2×(－5)π.(2)由(1)可知α＝16π9.∵β与α终边相同，∴β＝2k π＋16π9，k ∈Z .又∵β∈[－4π，0]，令k ＝－1，则β＝－2π9，令k ＝－2，则β＝－20π9，∴β的值是－2π9，－20π9.一、选择题1．下列命题中，真命题是( ) A ．1弧度是1度的圆心角所对的弧 B ．1弧度是长度为半径的弧 C ．1弧度是1度的弧与1度的角之和D ．1弧度的角是长度等于半径长的弧所对的圆心角 解析：选D 由弧度制定义知D 正确． 2．α＝－2 rad ，则α的终边在( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限解析：选C ∵－π<－2<－π2，∴α的终边落在第三象限，故选C. 3．时钟的分针在1时到3时20分这段时间里转过的弧度数为( ) A.14π3 B ．－14π3 C.7π18 D ．－7π18解析：选B 显然分针在1时到3时20分这段时间里，顺时针转过了213周，其弧度数为－(2π×73)＝－14π3rad.4．设集合A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪x ＝k π＋（－1）k×π2，k ∈Z ，B ＝错误!⎭⎪⎬⎪⎫2k π＋π2，k ∈Z ，则集合A 与B 之间的关系为( )A ．AB B ．A BC ．A ＝BD ．A ∩B ＝∅解析：选C 对于集合A ，当k ＝2n (n ∈Z )时，x ＝2n π＋π2，当k ＝2n ＋1(n ∈Z )时，x ＝2nπ＋π－π2＝2n π＋π2∴A ＝B ，故选C. 二、填空题5．在半径为2的圆内，弧长为2π3的圆心角的度数为________．解析：设所求的角为α，角α＝2π32＝π3＝60°.答案：60°6．终边落在直线y ＝x 上的角的集合用弧度表示为S ＝________．解析：S ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫α⎪⎪⎪α＝π4＋2k π，k ∈Z ∪⎩⎨⎧⎭⎬⎫α⎪⎪⎪α＝5π4＋2k π，k ∈Z＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫α⎪⎪⎪α＝π4＋2k π，k ∈Z ∪{α|α＝π4＋(2k ＋1)π，k ∈Z }＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫α⎪⎪⎪α＝π4＋n π，n ∈Z .答案：{α|α＝π4＋n π，n ∈Z }7．已知θ∈⎩⎨⎧⎭⎬⎫α⎪⎪⎪α＝k π＋（－1）k×π4，k ∈Z ，则角θ的终边所在的象限是________．解析：当k 为偶数时，α＝2n π＋π4，终边在第一象限；当k 为奇数时，α＝(2n ＋1)π－π4＝2n π＋34π，终边在第二象限．答案：第一、二象限8．已知扇形的面积为25，圆心角为2 rad ，则它的周长为________． 解析：设扇形的弧长为l ，半径为r ， 则由S ＝12αr 2＝25，得r ＝5，l ＝αr ＝10，故扇形的周长为20. 答案：20 三、解答题9．用弧度表示顶点在原点，始边重合于x 轴的非负半轴，终边落在图中的阴影部分内的角的集合(不包括边界)．解：(1)图①中，以OA 为终边的角为π6＋2k π(k ∈Z )；以OB 为终边的角为－2π3＋2k π(k ∈Z )．∴阴影部分内的角的集合为{α|－2π3＋2k π<α<π6＋2k π，k ∈Z }．(2)图②中，以OA 为终边的角为π3＋2k π，k ∈Z ；以OB 为终边的角为2π3＋2k π，k ∈Z .不妨设右边阴影部分所表示集合为M 1，左边阴影部分所表示集合为M 2， 则M 1＝{α|2k π<α<π3＋2k π，k ∈Z }，M 2＝{α|2π3＋2k π<α<π＋2k π，k ∈Z }． ∴阴影部分所表示的集合为：你是我心中的一片彩云你是我心中的一片彩云你是我心中的一片彩云你是我心中的一片彩云 M 1∪M 2＝{α|2k π<α<π3＋2k π，k ∈Z }∪{α|2π3＋2k π<α<π＋2k π，k ∈Z }＝ {α|2k π<α<π3＋2k π或2π3＋2k π<α<π＋2k π，k ∈Z }． 10．如图，动点P ，Q 从点A (4，0)出发，沿圆周运动，点P 按逆时针方向每秒钟转π3弧度，点Q 按顺时针方向每秒钟转π6弧度，求P ，Q 第一次相遇时所用的时间、相遇点的坐标及P ，Q 点各自走过的弧长．解：设P ，Q 第一次相遇时所用的时间是t s ，则t ×π3＋t ×|－π6|＝2π，所以t ＝4(s)，即P ，Q 第一次相遇时所用的时间为4 s .如图，设第一次相遇点为C ，第一次相遇时已运动到终边在π3×4＝4π3的位置，则x c ＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫4×12＝－2，y c ＝－42－22＝－23，所以C 点的坐标为(－2，－23)．P 点走过的弧长为4π3×4＝16π3， Q 点走过的弧长为2π3×4＝8π3.。
数学人教A版(2019)必须第一册5-1-2弧度制
3角度化弧度时，应先将分、秒化成度，再化成弧度.
例2：请用弧度制表示下列角度的范围。
锐角：{θ|0°＜θ＜90°}， 直角： {θ|θ=90°} 钝角： {θ|90°＜θ＜180°} 平角： {θ|θ=180°} 周角： {θ|θ=360°} 0°到90°的角：{θ|0°≤θ<90°}； 小于90°角：{θ|θ＜90°} 0°到180°的角：{θ|0°≤θ<180°} 0°到360°的角：{θ|0°≤θ<360°}
x或230260k0+20K＋k·K3·6306000
237200
2k
+K·3600
终边在y轴上：{β| β=900+K∙1800 ，K∈Z}
终边在x轴上：{β坐标轴上：{β| β=K∙900 ，K∈Z}
终边在直线y=x上 {β|β=450+K∙1800，K∈Z}
B
l
A
R
证明: (1)由公式 l 得 : l R R
R
注:扇形的面积公式中的角都用弧度数,不能用度数
(1)l R;
(2)S 1 R2;
2
(3)S 1 lR. 2
证明: (2)由于半径为R,圆心角为n的扇形
的弧长公式和面积公式分别为 :
l n R 和S= n R2
180
360
法二(化为角度)： β＝1π0 rad＝1π0×1π80°＝18°，γ＝1 rad≈57.30°， φ＝71π2×1π80°＝105°. 显然，15°＜18°＜57.30°＜105°. 故 α＜β＜γ＜θ＝φ.
17
• 终边落在坐标轴上的y29情002形k+K ·3600
2k
1800 +K·3600 o
弧度与角度的换算A2π弧度l=2πrO(B)r
2弧度
l=2r O r A
3r
3rad
r
O
r
A
B
-3弧度
l=3r
若圆心角∠AOB表示一个负角，且 它所对的弧的长为3r，则∠AOB的弧度 l 数的绝对值是 = 3，
r
l = －3弧度 即∠AOB=－ r
一般地，我们规定：
正角的弧度数为正数，负角的弧度数为 负数，零角的弧度数为零，任一已知角α的 弧度数的绝对值： l ︱α︱= r
3 （2）、把 —π 弧度化成度。 5
3 3 rad 180 108 解： 5 5
注意：
1、对于一些特殊角的度数与弧度数之间的换算要熟记。
360° 度 0° 30 °45 ° 60 ° 90 ° 180 270° 弧 0 度
6
4
3
2ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
°
3 2
2
2、用弧度为单位表示角的大小时， “弧度”二 字通常省略不写，但用“度”（°）为单位不能 省。 3、用弧度为单位表示角时，通常写 成“多少π”的形 式。如无特别要求，不用将π化成小数。
例2：请用弧度制表示下列角度的范围。
锐角：{θ|0°＜θ＜90°}， 直角： {θ|θ=90°} 钝角： {θ|90°＜θ＜180°} 平角： {θ|θ=180°} 周角： {θ|θ=360°} 0°到90°的角：{θ|0°≤θ<90°}；
0,
2
2
, 2
2
[0,
2 )
小于90°角：{θ|θ＜90°}
0°到180°的角：{θ|0°≤θ<180°}
弧度制
弧度
π/4
π/2 2π/3
5π/6
角度
225°
270°
315°
360°
弧度 7π/6
4π/3
5π/3
11π/6
例1、把下列角度转化为弧度 (1)22030' (2) 2100 (3)12000
例2、把下列弧度转化为角度
(1) 12
(2) 4
3 (3)3.5
例3：用弧度表示： (1)终边在x轴上的角的集合 (2)终边在y 3x上的角的集合
S 1 lR 2
其中是扇形弧长，是圆的半径.
例4：已知半径为120mm的圆上，有一条弧长是 144mm，求该弧所对的圆心角(正角)的弧度数
变式：已知扇形的周长是6cm，该扇形的中心 角是1弧度，求该扇形的面积.
课堂小结:
1、定义： 弧度制定义、角度制与弧度制的互化
２、公式： 用弧度制表示的弧长公式、扇形面积公式
弧度制
一、角度制定义：
规定周角的 1 作为10的角 360
探究：角度、对应的弧长l、半径r的关系
二、弧度制定义： 长度等于半径长的弧所对的圆心角称为 1弧度的角，它的单位是rad ,读作弧度
三、角度制与弧度制的换算
四、特殊角的度数与弧度数的换算
角度 0° 30°
60° 90°
135°
180°
注意： 今后在具体运算时，“弧度”二字和单位符号
“rad”可以省略 如：3表示3rad
角的概念推广之后，无论用角度制还 是弧度制都能在角的集合与实数的集合 之间建立一种一一对应的关系
正角 零角 负角
正实数 零
负实数
任意角的集合 实数集R
1.2弧度制及弧度制与角度制的换算
位制，角度制是以“度”为单位来度量角的
单位制；1弧度≠1º； （2）1弧度是弧长等于半径长的圆弧所对的圆
1 心角的大小，而1度是圆周 的所对的圆心 360
角的大小；
（3）弧度制是十进制，它的表示是用一个实
数表示，而角度制是六十进制；
（4）以弧度和度为单位的角，都是一个与 半径无关的定值。
3、讨论： B
度转化为弧度
180
注意几点： 1．度数与弧度数的换算也可借助“计算 正实数 正角 器” 零角 0 2 ．今后在具体运算时，“弧度”二字和 《中学数学用表》进行 单位 负实数 负角 符号“rad”可以省略 如：3表示3rad 任意角的集合 实数集R sin表示rad角的正弦 3．一些特殊角的度数与弧度数的对应值应 该记住（见课本P8表） 4．应确立如下的概念：角的概念推广之后， 无论用角度制还是弧度制都能在角的集合 与实数的集合之间建立一种一一对应的关系。
平角= rad、周角=2 rad.
③ 正角的弧度数是正数，负角的弧度数是 负数，零角的弧度数是0.
l ④角的弧度数的绝对值: r
（l为弧长，r为半径）
⑤ ∵ 360=2 rad ，∴180= rad
∴ 1 =
180
rad 0.01745rad
180 1 rad 57.30 57 18' 弧度转化为度 180
1米=3.28043英尺 1米=0.4536磅
1.定义： 长度等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做1弧 度的角，弧度记作rad。这种以弧度为单位来 度量角的制度叫做弧度制。 注：今后在用弧度制表示角的时候，弧度二字 或rad可以略去不写。
2. 弧度制与角度制相比： (1) 弧度制是以“弧度”为单位的度量角的单
弧度制及其与角度制的换算
弧度制与角度制的换算
若l=2πr，
则∠AOB=
l r
=
2πrad
此角为周角 即为360°
l=2 π r O r A(B)
360°= 2π rad 180°= π rad
由180°=πrad 可得 1°= —18π—0 rad ≈ 0．01745rad
1rad =（������������������������）°≈ 57．30°= 57°18′
度 0° 弧度 0
45° 90° 135° 150° 180° 225° 270° 315° 360°
������
������ 3������ 5������ π
4
2
4
6
5������ 3������ 7������ 2π 424
特殊角的角度数与弧度数对照表
度 0° 30° 45° 60° 90° 120° 135° 150° 180° 270° 360°
• 解:设扇形的圆心角是α,则扇形的面积为
•
S = ������
2 ������
· π ������
2
=
1 2
α
������
2
•
又因为������ = ������������ ，所以������ = 1 ������������
2
r
αl
O
练习B
• 6.在半径为5度等于半径长的圆弧所对的圆心角为1 弧度的角，记做1rad.（rad可略去不写）
设弧AB的长为l，
若l=r，则∠AOB=
l r
= 1rad
B l=r
1弧度
Or A
由弧度的定义可知：
定 义 的 合 理