最大公因数与是最小公倍数的比较
最大公因数和最小公倍数的定义
最大公因数和最小公倍数的定义在数学中，最大公因数和最小公倍数是两个常见的概念，它们在数论、代数、几何等领域都有广泛的应用。
本文将详细介绍最大公因数和最小公倍数的定义、性质和相关应用。
一、最大公因数的定义最大公因数，简称最大公约数，是指两个或多个整数公有的约数中最大的一个。
例如，12和30的公约数有1、2、3、6，其中最大的是6，所以12和30的最大公约数是6。
最大公因数的求法有多种方法，其中最常用的是辗转相除法。
该方法的基本思想是，用较大的数去除以较小的数，再用余数去除以刚才的除数，如此反复，直到余数为0为止。
最后一次除数即为最大公约数。
例如，求出120和84的最大公约数：120÷84=1 (36)84÷36=2 (12)36÷12=3 0因此，最大公约数是12。
二、最小公倍数的定义最小公倍数，简称最小公倍数，是指两个或多个整数公有的倍数中最小的一个。
例如，6和8的公倍数有6、12、18、24、30、36、42、48、54、60等，其中最小的是24，所以6和8的最小公倍数是24。
最小公倍数的求法也有多种方法，其中最常用的是分解质因数法。
该方法的基本思想是，将每个数分解成质因数的乘积，然后将这些质因数的最高次幂相乘即可。
例如，求出12和18的最小公倍数：12=2×318=2×3将它们的质因数分解乘起来，得到2×3=36，因此最小公倍数是36。
三、最大公因数和最小公倍数的性质最大公因数和最小公倍数有许多重要的性质，下面列举其中的几个：1. 最大公因数和最小公倍数的乘积等于这些数的乘积。
即，设a、b为两个整数，则有gcd(a,b)×lcm(a,b)=ab。
证明：设a=p^α×p^α×…×p^α，b=p^β×p^β×…×p^β，其中p、p、…、p是不同的质数，α、α、…、α、β、β、…、β是非负整数。
小学六年级寻找最大公约数和最小公倍数
小学六年级寻找最大公约数和最小公倍数在小学数学的学习中，最大公约数和最小公倍数是比较重要的概念。
学好这两个概念对于解决数学题目和日常生活中的实际问题都有帮助。
本文将介绍如何寻找最大公约数和最小公倍数，并通过一些实例来加深理解。
一、最大公约数最大公约数，又称为最大公因数，简称为gcd（Greatest Common Divisor）。
最大公约数是指两个或多个整数共有的约数中最大的一个。
寻找最大公约数有几种常见的方法，包括质因数分解法、短除法和辗转相除法。
1.1 质因数分解法质因数分解法是一种通过将一个数分解成质数的乘积的形式来找到最大公约数的方法。
具体步骤如下：（1）将两个或多个数都进行质因数分解，写成乘积形式；（2）找出所有数中共有的质因数；（3）将这些质因数相乘，即得到最大公约数。
举例说明，假设我们要找出48和60的最大公约数：48 = 2 * 2 * 2 * 2 * 360 = 2 * 2 * 3 * 5共有的质因数为2和3，因此最大公约数为2 * 2 * 3 = 12。
1.2 短除法短除法是一种通过反复进行除法运算，找到最大公约数的方法。
具体步骤如下：（1）将两个或多个数中较大的数除以较小的数，得到商和余数；（2）将上一步的除数除以余数，再得到商和余数；（3）重复上述步骤，直到余数为0为止。
举例说明，假设我们要找出48和60的最大公约数：60 ÷ 48 = 1 余 1248 ÷ 12 = 4 余 0余数为0时，最后一次的除数12即为最大公约数。
1.3 辗转相除法辗转相除法也称为欧几里德算法，是一种通过反复用较大数除以较小数，再将所得的余数作为除数，被除数作为除数，继续进行除法运算，直到余数为0为止，从而找到最大公约数的方法。
举例说明，假设我们要找出48和60的最大公约数：60 ÷ 48 = 1 余 1248 ÷ 12 = 4 余 0余数为0时，最后一次的除数12即为最大公约数。
最大公因数与最小公倍数;最大最小原理
最大公因数与最小公倍数例1：在一条120米长的路两边，每隔8米安装一盏路灯，后来根据需要调整为每隔12米安装一盏路灯，那么一共有多少盏路灯不需要移动？例2：双语小学学生参加踢毽子比赛，按每组3人，或每组4人，或每组5人分组，都正好分完。
参加踢毽子比赛的至少有多少人？例3：有两根彩绳，分别长45厘米和30厘米。
现在要把这两根彩绳剪成长度相等的短彩绳且没有剩余，每段短彩绳最长是多少厘米？例4：把64个苹果和78个梨，分别平均分给一个组的同学，结果苹果剩4个，梨剩下3个。
问这组最多有几位同学？例5：两个数的最大公因数是15，最小公倍数是90。
这两个数分别是多少？课堂练习：1.某班学生接近50人，王老师组织学生做三次不同游戏。
第一次每组4人，第二次每组6人，第三次每组8人，都正好分完。
该班有学生多少人？2.一个数，用12除余10，用16除余10，用20除缺10。
这个数最小是多少？3．从运动场一端到另一端全长96米，原来每隔4米插一面红旗且两端都插，后来根据需要调整为每隔6米插一面红旗，那么一共有多少面红旗不需要移动？4.有一批砖，长45厘米，宽30厘米，至少用这样砖多少块，才能铺成一块正方形？5．一个数除200余4，除300与6，除500余10。
这个数最大是多少？6．公共汽车总站有两条线路到学校，第一条每8分钟发一辆，第二条每10分钟发一辆，早晨6:00两条线路同时发车，该站发出最后一班车是20:00，求该总站最后一次两辆车同时发出的时刻。
7．用96朵红玫瑰和72朵黄玫瑰扎成花束，如果每束花里红玫瑰朵数相等，黄玫瑰的朵数也相等，每个花束里至少有几朵花？积最大与最小教学重点：已知两个数或几个数的和，得到它们最大的积和最小的积的方法及规律。
例1：用22米长的木条围成一个长方形花圃，长和宽的长度都是整米数，围成花圃的面积最大是多少？总结：例2：李大爷用一根24米的篱笆，准备在墙边围个长方形或正方形的鸡舍，如果每边的长度都是整米数，怎样才能使鸡舍的面积最大？例3: 3个质数的和是100，这3个质数的积最大是几？例4：把22拆成若干个自然数的和，要求这些自然数的乘积尽量最大，应如何拆？总结：对于这类整数拆分的原则是：尽量分成若干个3相加，不能再分成3时就分成2，但2的个数不超过两个。
三个数的最大公因数和最小公倍数
三个数的最大公因数和最小公倍数在人教版《数学》第五册（下）的第96面，有这样两个题目：看到这两个题目我就在想：书上前面的内容根本就没涉及到三个数的最小公倍数，现在又要我们比较三个异分母分数的大小，是什么意思？是要我们将三个分数进行通分，还是只要求我们能比较三个分数的大小。
而且，紧接着在后面有出现这样的一个题目：这是一个带*号的题目，在《广州市义务教育阶段学科学业质量评价标准》里也没要求掌握求三个数的最大公因数和最小公倍数。
求三个数的最大公因数和最小公倍数，难就难在他们的算理和算法没有统一性，特别是求三个数的最小公倍数，理解起来，很困难。
1．理解算理．把8、12和30分解质因数．6＝2×2×212＝2×2×330＝2×3×5引导学生看着8、12和30分解质因数得到的横式先取这三个数公有的质因数2（教师用红粉笔把三个横式中公有的2圈起来），再取8和12公有的质因数2（教师用红粉笔再把这两个横式中公有的2圈起来），然后再取12和30公有的质因数3（教师用红粉笔再把这两个横式中公有的3圈起来），最后再分别取8和30各自独有的质因数2和5。
列出乘式（2×2×2×3×5）．“我们来观察这个乘式，它既包含8所有的质因数，又包含着12的和30所有的质因数，并且使所包含的质因数的个数最少．所以它是8、12和30的最小公倍数：2×2×2×3×5＝120．”那么，最大公因数，就是找出三个数共同拥有的质因数的乘积。
相对最小公倍数来说比较容易理解。
2．方法．“为了简便，通常我们也用短除分解质因数的方法，来求三个数的最小公倍数．方法与求两个数的最小公倍数差不多．”短除的竖式：第一步 2| 8 12 304 6 15除到这一步时，教师说明：“这等于先取出了三个数公有的质因数2．到此得到的三个商4、6、15已没有公有的质因数了，这时还要看其中的任何两个商是否还有公有的质因数．”接着板书短除的竖式：2| 8 12 302| 4 6 152 3 15“因为其中的两个商4和6还有公有的质因数2，所以还要用2去除4和6，商2和3；同时把没有第二次用2除的15移下来．这时3和15还有公有的质因数3，所以还要用3去除3和15，商1和5；同时把没有用3除的2移下来．”继续板书短除的竖式：2| 8 12 302|4 6 153|2 3 152 1 5“这时得到的三个商2、1、5，任何两个商都没有公有的质因数了．也就是说，其中的任何两个数都是互质数，除到这里为止．”引导学生看短除的竖式：“这里的除数2、2、3，就是8、12和30三个数公有的质因数和其中任何两个数公有的质因数．最后三个商中的2和5，就是8和30各自独有的质因数．所以，只要把每次的除数和最后的商都连乘起来，就是8、12和30的最小公倍数．”8、12和30的最小公倍数是2×2×2×3×5＝120．而求三个数的最大公因数，就只要第一步就行啦。
五年级奥数最大公约数和最小公倍数的比较和应用
最大公约数和最小公倍数的比较和应用最大公约数与最小公倍数的应用比较在整除的应用当中，最大公约数和最小公倍数的应用最为广泛，也是最重要的部分。
一道应用题，到底是用最大公约数解题还是用最小公倍数解题，学生最容易混乱。
不妨试用下面这种土方法判断下，问题就会迎刃而解了。
判断法则：如果题目已知总体，求部分，一般用最大公约数解题，先求出总体的最大公约数，再依题意解答；如果题目已知部分，求总体，一般用最小公倍数解题，先求出部分的最小公倍数，再依题意解答。
对比例子（一）1．把一张长60厘米，宽40厘米的长方形纸板剪成边长是整数厘米数的小正方形，且无剩余，最少可以剪成多少块？分析：正方形是在长方形里面剪，所以长方形是总体，正方形是部分。
题目告诉你了长方形的长与宽，告诉了总体，求的是小正方形，求部分，所以用最大公约数解题。
具体分析：由于题中求剪后无剩余，所以小正方形的边长必须是60和40的公约数。
又因为求最少剪多少块，就要求小正方形的边长最大，所以小正方形的边长一定是60和40的最大公约数。
（60，40）=20 -------这就是小正方形的边长。
（60÷20）×（40÷20）=6（块）或用面积计算：（60×40）÷（20×20）=6（块）2．用长5CM，宽3CM的长方形硬纸片摆成一个正方形（中间无空隙），至少要用几个长方形硬纸片？分析：多个长方形摆成正方形，所以正方形是总体，长方形是部分。
题目告诉你了长方形的长与宽，即告诉了部分，求正方形，即求总体，所以用最小公倍数解题。
具体分析：由于拼摆后正好一个正方形，所以正方形的边长必须是长方形的长与宽的公倍数，又因为要用最少的长方形来摆，所以正方形的边长一定是最小的公倍数。
〔5，3〕=15 CM------这就是正方形的边长（15÷5）×（15÷3）=15（个）长方形或用面积计算：（15×15）÷（5×3）=15（个）对比例子（二）1．一长方体木块，长56CM，宽40CM，高24CM，把它锯成尽可能大，且大小相同的正方体，且无剩余，能锯成多少块？分析：小正方体是从长方体中锯出来的，长方体就是总体，小正方体为部分。
最大公因数与最小公倍数的比较
A、可以用列举法解答 B、24＋31=55（天） 55÷6=9（次）……1（天） 9＋1=10（次）
在一块长方形的地里，长160米，宽120米， 要在它的四周和四角种树，每两棵树之间 的距离相等。最小要种树苗都是棵？每相 邻两棵树之间的距离是多少米？
[3、5、6]=30
30－1=29（人）
观察3、5、6有何关系？再想想还可以怎样算 最小公倍数？
6、暑假期间，贝贝和明明去敬老院照顾老人。7月7日她们都去了敬老院，
并约定以后贝贝每隔2天去一次，明明每隔3天去一次。 （1）两人下一次在敬老院相遇是几一次在敬老院相遇是7月13日。
练习
很快说出下面每组数的最大公约数 和最小公倍数．
9和15 最大公约数是3，最小公倍数105
9和27 最大公约数是9，最小公倍数27
7和21 最大公约数是7，最小公倍数21 7和12 最大公约数是1，最小公倍数84
美美客运有A、B两种车，A车每45分发车一次，B车 每1小时发车一次，两车同时由上午6点发车，下一次 同时发车是什么时候？
把12名男生和8名女生分成同样多的组数， 要求每组里的男生人数相同，每组里的女 生人数也相同。最多能分成多少组？每组 里有男生、女生各多少人？ 最多能分的组数。 (12,8)＝4（组）
把12名男生和8名女生分成每组人数相同 的组数，要求每组的男生和女生人数一样 多。每组最多有多少人？共有多少组？ 每组的人数。 (12,8)＝4（人）
因为这个数减1后就是6，5，4的倍数，所以加1
60+1=61
• 一个自然数被2除余1，被3除余2，被4除余3，被 5除余4，被6除余5，此数最小是几？
2
最大公因数和最小公倍数总结
最大公因数和最小公倍数总结一、最大公因数（GCD）1.定义：最大公因数，也被称为最大公约数，是指一组数中能够同时整除所有这些数的最大的正整数。
2.求解方法：-因数分解法：将各个数进行因数分解后，最大公因数是所有数的因数中的最小公因数。
-辗转相除法：将两个数进行相除，余数为0时，被除数即为最大公因数；余数不为0时，将除数作为被除数，余数作为除数进行下一次相除，直到余数为0为止。
二、最小公倍数（LCM）1.定义：最小公倍数是指能够同时整除一组数的最小的正整数。
2.求解方法：-因数分解法：将各个数进行因数分解后，最小公倍数是所有数的因数的最大公倍数。
-辗转相乘法：将两个数进行相乘，再除以它们的最大公因数，得到的商即为最小公倍数。
三、最大公因数和最小公倍数的性质1.互质关系：如果两个数的最大公因数是1，则它们被称为互质数或互质的。
互质数的最小公倍数等于它们的乘积。
2.二者关系：两个数的乘积等于它们的最大公因数与最小公倍数的乘积。
3.分数化简：当分数的分子和分母有相同的因数时，可以将分子和分母都除以最大公因数，使分数化简为最简形式。
4.方程求解：在求解含有多个未知数的方程时，可以通过求解各个未知数的最大公因数来减少未知数的个数，进而简化方程。
四、应用举例1.分数化简：将分数4/8化简为最简形式。
首先可以找到4和8的最大公因数为4，然后将分子和分母都除以4，得到1/2，即为最简形式。
2.方程求解：解方程2x+3y=10。
首先可以观察到2和3的最大公因数为1，因此可以将方程同时除以最大公因数1，得到2x+3y=10。
这样一来，只剩下两个未知数x和y，方程的求解就更加简化了。
通过对最大公因数和最小公倍数的学习和理解，我们可以更加灵活地运用它们解决实际问题。
在数学中，最大公因数和最小公倍数是数论的基础，更是数学计算的重要工具。
掌握了最大公因数和最小公倍数的求解方法和应用技巧，对数学学科的理解和运用都将得到很大的提升。
最小公倍数和最大公因数的定义
最小公倍数和最大公因数的定义在我们的数学世界里，有两个小家伙总是活跃在一起，那就是最小公倍数和最大公因数。
听起来有点复杂，其实没那么难，今天就让我们轻松地聊聊这俩小家伙，让你在下次聚会上可以轻松抖出数学知识，给朋友们来个“惊艳一击”。
1. 最大公因数（GCD）1.1 定义与例子首先说说最大公因数，也就是常说的GCD（Greatest Common Divisor）。
简单来说，最大公因数就是能同时整除两个或多个数字的最大的那个数。
举个例子吧，假设你有两个数字，12和18。
想要找它们的最大公因数，我们得找出能同时整除这两个数字的所有因数。
12的因数有1、2、3、4、6、12，而18的因数有1、2、3、6、9、18。
看看，能同时整除12和18的最大数是6。
所以，12和18的最大公因数就是6。
1.2 应用场景这最大公因数可不是白叫的，咱们日常生活中可大有用处！比如，想要把12块蛋糕和18块蛋糕分给小朋友们，想让每个小朋友都能分到相同数量的蛋糕，不多不少，正好分完。
通过最大公因数，我们就知道，最多只能分6个小朋友，每人得到2块和3块的组合，完美解决了分蛋糕的问题。
是不是有点像生活中的智慧？遇到麻烦事，找最大公因数，一切迎刃而解！2. 最小公倍数（LCM）2.1 定义与例子接下来，我们得聊聊最小公倍数，简称LCM（Least Common Multiple）。
最小公倍数是能被两个或多个数字整除的最小的那个数。
比如，继续拿12和18来说。
我们得找出能够被这俩数字同时整除的数。
简单点，咱们可以先列出它们的倍数。
12的倍数有12、24、36、48、60……而18的倍数有18、36、54、72……等等。
这里最小的那个共同的倍数就是36，所以，12和18的最小公倍数是36。
简单吧？2.2 应用场景最小公倍数同样是生活中的好帮手。
想象一下，两个朋友相约去看电影，一个朋友每5天看一次，而另一个朋友每3天看一次。
那么，他们下次一起去看电影的日子，当然得等到他们的观看周期重合。
最大公因数与最小公倍数 知识点总结
最大公因数与最小公倍数（一）【教案】一、教学目标1、认识最小公倍数与最大公因数，掌握其表示方法2、会用短除法和分解质因数求解最大公因数和最小公倍数3、理解辗转相除法求最大公因数4、能够利用最大公因数与最小公倍数的求法，解决生活中的一些应用二、概念（一）概念1、最大公因数：几个数共同的因数中最大的记做：（a，b）2、最小公倍数：几个数共同的倍数中最大的记做：[a，b]3、互质：（a，b）=1组内互质vs两两互质（二）求法1、短除法（1）最大公因数：除数相乘（乘半边）多个数时，除到组内互质（2）最小公倍数：除数乘商（乘一圈）多个数时，除到两两互质2、分解质因数（1）最大公因数：大家都有（2）最小公倍数：谁有都算3、辗转相除法用于求较大的两数的最大公因数（三）应用平均分时，（1）求总数：找公倍数（2）求每份数/份数：找公因数三、流程设计1、认识因数倍数举例：15÷3=5，15÷4=15/4我们称第一种情况叫做15能被3整除，第二种情况叫做15不能被4整除。
在第一种情况下，15叫做3的倍数，3叫做15的因数。
2、认识最大公因数和最小公倍数通过例1认识，并总结最大公因数一定是所有公因数的倍数，所有公倍数一定是最小公倍数的倍数3、分解质因数法求最大公因数由于枚举法较麻烦，故想个稍微简单的方法。
实际上，一个数任何一个因数都是由这个数的质因数或质因数相乘所得到的，故只要能找到相同的质因数即可，故可以将两数的质因数都找到，即将两数全部都分解质因数。
举例：（36，24），（78，52），（45，18，27），“大家有才是真的有”4、短除法求最大公因数将每个数都分解质因数有时候较麻烦，实际上只需要除以共同的质因数即可，故可以三个数一起除，画长短除号。
举例：（160，96），介绍互质，总结（1）除到两数互质为止；（2）两数除以最大公因数后一定互质*技巧：1、相邻两数互质2、有倍数关系的，最大公因数就是小的那个3、有质数且没有倍数关系的，最大公因数为15、辗转相除法求最大公因数通过例2最后一题，由于分解质因数与短除都比较麻烦，介绍辗转相除法，通过整除的可加、可减性简单解释辗转相除法。
最大公因数与最小公倍数
最大公因数与最小公倍数在数学中，最大公因数与最小公倍数是两个非常常见且重要的概念。
它们在数论、代数以及其他许多数学领域都有广泛的应用。
本文将详细解释最大公因数与最小公倍数的概念及其性质，以及它们在实际问题中的应用。
一、最大公因数最大公因数（Greatest Common Divisor，简称GCD）是指能够同时整除两个或多个整数的最大正整数。
例如，对于整数12和18来说，它们的最大公因数是6，因为6既能整除12也能整除18，而且没有其他大于6的数同时能整除这两个数。
最大公因数有一些重要的性质：1. 任何整数都能被1整除，所以任何两个整数的最大公因数都至少是1。
2. 如果两个数中有一个为0，那么它们的最大公因数就是另一个数的绝对值。
3. 如果两个整数的最大公因数是1，我们称这两个数为互质（或互素）。
计算最大公因数有多种方法，其中最常用的方法是欧几里得算法，也称辗转相除法。
该方法基于一个简单的原理：如果a能整除b，那么a也一定能整除a和b的余数。
利用这个原理，我们可以迭代地求解出最大公因数。
二、最小公倍数最小公倍数（Least Common Multiple，简称LCM）是指能够被两个或多个整数整除的最小正整数。
例如，整数4和6的最小公倍数是12，因为12既能被4整除，也能被6整除，并且没有比12更小的数能同时能被4和6整除。
最小公倍数也有一些性质：1. 任何整数的最小公倍数与其最大公因数的乘积等于这两个整数的乘积。
即，对于任意整数a和b，有LCM(a, b) = (a * b) / GCD(a, b)。
2. 最小公倍数也可以通过计算数的因子来求解，但它需要考虑到数的所有因子。
最小公倍数与最大公因数之间有一个重要的关系，即LCM(a, b) =(a * b) / GCD(a, b)。
这个公式在求解最小公倍数时非常有用。
三、最大公因数和最小公倍数的应用最大公因数和最小公倍数在实际问题中有着广泛的应用。
五年级数学最大公因数与最小公倍数
练习
有一堆桔子，按每4个一堆分少1
个，按每5个一堆分也少1个，按 每6个一堆分还是少1个。这堆桔 子至少有多少个？
练习
一块砖底面长22厘米,宽是10
厘米,要铺成一个正方形地面 (不要折断,只能铺整砖)至少要 多少块砖?
例5 甲、乙、丙三人绕操场竞走，他们走 一圈分别需要1分、1分15秒和1分30秒。 三人同时从起点出发，最少需多长时间才 能再次在起点相会？
方法
用短除法求两个数的最小公倍数和最 大公因数的方法相近，不要混淆。求 两个数的最大公因数，是把短除式中 的除数相乘；而求两个数的最小公倍 数是把短除式中的除数和最后得的商 连乘。它们的区别可概括为：求公因， 乘半边；求公倍，乘半圈。
基础热身
1、求下面各组数的最大公因数和最小 公倍数 35和83 34和58 15和72 13和36 2、求下面各组数的最小公倍数 8,9和72 15,25和35 4,5和9
分析与解：因为144克一级茶叶、180克二级 茶叶、240克三级茶叶都是60元，分装后每袋 的价格相等，所以144克一级茶叶、180克二 级茶叶、240克三级茶叶，分装的袋数应相同， 即分装的袋数应是144，180，240的公因数。 题目要求每袋的价格尽量低，所以分装的袋数 应尽量多，应是144，180，240的最大公约数。
用短除法求最大公因数
2
2 3
所以（144，180，240）
=2×2×3=12，即每60元的茶叶 分装成12袋，每袋的价格最低是 60÷12=5（元）。
练习
1.幼儿园的大班有36个小朋友，
中班有48个小朋友，小班有54个 小朋友。按班分组，三个班的各 组人数一样多，问每组最多有 （ ）个小朋友。
最大公因数和最小公倍数
最大公因数和最小公倍数一.教学重点和难点：教学重点：1.掌握计算三个数的最大公因数和最小公倍数的方法。
2.介绍辗转相除的方法计算最大公因数和最小公倍数。
3.最大公因数和最小公倍数的性质。
4.利用最大公因数和最小公倍数解决生活中的实际问题。
5.利用最大公因数和最小公倍数解决一些有特点的数字的问题。
教学难点：1.掌握计算三个数的最大公因数和最小公倍数的区别。
2.能够通过分解质因数方法的分析，理解最大公因数和最小公倍数之间存在的性质。
3.利用最大公因数和最小公倍数解决问题时，对数字特点的观察。
二简要知识介绍：最大公因数和最小公倍数在计算的时候我们一般采用的方法是短除的方法，它们在计算时的最大区别在于所需要的质因数是不同的，最大公因数是取公有的质因数，最小公倍数是公有的质因数（代表）和独有的质因数都要。
但是在两个数不容易看出公因数的时候，我们也可以采取辗转相除的方法进行计算。
具体的方法是：先用小的一个数除大的一个数，得第一个余数，再用第一个余数除小的一个数，得到第二个余数；又用第二个余数除第一个余数，得第三个余数，这样逐次用后一个余数去除前一个余数，直到余数是0为止。
那么最后一个除数就是所求的最大公约数。
最大公因数和最小公倍数之间还存在着性质：两个自然数的乘积等于这两个自然数的最大公约数和最小公倍数的乘积。
若a、b表示两个自然数，则a×b=（a，b）×[a，b]在利用最大公因数和最小公倍数解决实际生活中的问题的时候，首先要分清计算的是哪个？然后再进行计算。
三.知识教学：（一）求三个数的最大公因数和最小公倍数的方法。
例1.求20、30和36的最大公因数和最小公倍数（1）我们先来计算这三个数的最大公因数列举法20的因数有：1、2、4、5、10、2030的因数有：1、2、3、5、6、10、15、3036的因数有：1、2、3、4、6、9、12、18、36三个数的最大公因数是2分解质因数的方法20=2×2×530=2×5×336=2×2×3×3（20，30，36）=2短除的方法（20，30，36）=2（2）我们再来计算它们的最小公倍数列举法20的倍数有：20、40、60、80……30的倍数有：30、60、90、……36的倍数有：36、72、……分解质因数的方法20=2×2×530=2×5×336=2×2×3×3[20，30，36]=2×2×3×5×3=180短除的方法（20，30，36）=2[20，30，36]=2×2×3×5×3=180（3）对比比较分解质因数的方法20=2×2×530=2 ×5×336=2×2 ×3×3（20，30，36）=2[20，30，36]=2×2×3×5×3=180比较短除的方法（20，30，36）=2 [20，30，36]=2×2×3×5×3=180（4）小结：在计算三个数的最大公因数和最小公倍数的时候，最大公因数要找三个数的公有的质因数，如果其中的两个商还有质因数的话，也不要往下除。
认识最大公因数与最小公倍数
认识最大公因数与最小公倍数最大公因数和最小公倍数是初中数学中常见的概念，它们在数论以及其他数学领域中有着广泛的应用。
了解最大公因数和最小公倍数的概念和计算方法，不仅可以帮助我们解决实际问题，还有助于培养我们的逻辑思维和数学运算能力。
1. 最大公因数最大公因数，简称最大公约数，是指能同时整除两个或多个数的最大的正整数。
最大公因数的概念在算术中有着重要的地位，它可以帮助我们简化分数、约分、分解因式等。
计算最大公因数的方法有很多种，常用的有质因数分解法、辗转相除法和欧几里得算法。
质因数分解法是将一个数分解成若干个质数的乘积，然后找出这些质数中的最小指数。
辗转相除法通过连续对两个数取余数的操作，直到余数为0，最后的除数即为最大公因数。
欧几里得算法是通过连续取余数和求商的步骤，直到余数为0，最后的除数即为最大公因数。
在利用计算机进行计算时，欧几里得算法的效率更高。
2. 最小公倍数最小公倍数是指能同时整除两个或多个数的最小的正整数。
最小公倍数的概念在实际问题中经常出现，比如计算两个物体同时运动到达同一位置的时间。
计算最小公倍数的方法也有几种，常用的有质因数分解法和倍数法。
质因数分解法是将多个数分解成质数的乘积，然后将每个质数的最大指数相乘得到最小公倍数。
倍数法是先找到两个数的公倍数，然后再选择其中的最小值作为最小公倍数。
3. 最大公因数和最小公倍数的关系最大公因数和最小公倍数有着密切的关系。
根据数论的基本原理，任意两个自然数的乘积等于它们的最大公因数与最小公倍数的积。
这一关系在解决实际问题中起到了很大的作用。
例如，有两个数a和b，它们的最大公因数是d，最小公倍数是m。
那么可以得到以下的关系:a *b = d * m通过这个关系，我们可以利用最大公因数和最小公倍数之间的对应关系，来简化计算和解决实际问题。
总结：最大公因数和最小公倍数是数论中重要的概念，它们在解决实际问题中起到了关键的作用。
了解最大公因数和最小公倍数的概念和计算方法，对于提高我们的数学能力和解决问题具有重要意义。
最小公倍数和最大公因数的关系例1,例2、例3、例4
解：设一个数是A，得短除式如下： 4
28 7 A a
那么252=4×7×a
a=9
A=4×9=36 定理：两个数的最大公因数和最小公倍数之积，等于这两个数之积。 [a,b] ×(a,c)=a×b 所以上题可以这样做：
4×252=28×A
A=4×252÷28=9
例二.两个自然数的和是50，它们的最大公因数是5，求这
两个数的差。
解： 5
A a
B b
则 A=5a B=5b 5a+5b=50 5(a+b)=50 a+b=10
a=3 b=7
A=5×3=15 B=5×7=35 A=5×1=5 B=5×9=45
差：35-15=20
或：
a=1 b=9
差：45-5=40
例三.两个数的最大公因数为21，最小公倍数为126，求这 两个数的和。
解： 21
A a
B b
21×a×b=126 a×b=126÷21=6 6=1×6 6=2×3 A +B=21+126=147
a=1 b=6
A=1×21=21 B =6×21=126 A=2×21=42 B =3×21=63
（114,54）=6 因为6的因数有1,2,3,6，所以，m可能是1,2,3,6.
பைடு நூலகம்
只有m=6满足条件，a+b=9 a×b=20
20=4×5,且4+5+9 所以，m=6. 那么A=6×4=24
B =6×5=30
a=2 b=3
A +B=42+63=105
例4.两个数的和是54，它们的最小公倍数与最大公因数的差 是114，求这两个自然数。
用短除法求最小公倍数和最大公因数课件
举例说明
对于整数24和36，它们的最大公因数 是12，因为12是24和36都能被整除的 最大的正整数。
使用短除法求最大公因数的步骤
在此添加您的文本17字
写出两个数的商和余数，不断重复这个过程，直到余数变 为0。
在此添加您的文本16字
24 ÷ 36 = 2……12
在此添加您的文本16字
最后一个非零余数就是这两个数的最大公因数。
在此添加您的文本16字
36 ÷ 12 = 3……0
在此添加您的文本16字
例如，求24和36的最大公因数
在此添加您的文本16字
因此，24和36的最大公因数是12。
最大公因数的性质和特点
互质关系
两个数如果只有1是它们的公因数， 那么这两个数互质，它们的最大公因 数是1。
性质
短除法具有唯一性，即对于任意两个整数，其最大公因数和最小公倍数是唯一 的。
短除法的应用场景
数学教育
在中小学的数学教育中，短除法 是求最大公因数和最小公倍数的 基本方法之一，有助于培养学生 的逻辑思维和运算能力。
编程计算
在编程中，短除法可以用于实现 整数的最大公因数和最小公倍数 的计算，提高算法的效率和准确 性。
短除法的实际应用
在日常生活中的应用
日常生活中的时间计算
短除法可以用于计算两个或多个数字的最小公倍数和最大公因数，帮助我们更好地理解和安排时间。 例如，计算两个日期之间的天数差，或者安排多人共同参与的活动时间。
日常生活中的分数计算
短除法可以用于计算两个分数的最小公倍数和最大公因数，帮助我们更好地理解和处理分数。例如， 在烹饪中计算食材的比例，或者在财务中计算利息和本金。
最大公因数和最小公倍数知识点归纳
【记忆背诵要点】家长签字：姓名：注意：每一个分数无论题目要求没，要约分后才能作为最后的结果。
一：约分的方法：1、先找到分子，分母的最大公因数；2、利用分数的性质约去最大公因数；3、化成最简分数。
（即不能再约分为止）二:比较分数大小的方法:1、分别对每个分数进行约分(或者通分),变成同分母分数, 或者变成同分子分数；2、比较化简后的两个分数的大小；3、比较原数的大小。
三：弄清互质的几种情况互质：两个数的最大公因数为1就叫做这两个数互质。
1.两个连续自然数是互质的。
例如：8与9；15与162.两个质数必然是互质的。
例如：5和7；11和133.一个质数和不是它倍数的合数。
例如：5和14；3和84.尽管两个数都是合数，但一个是2或3的倍数，另一个数是7或5的倍数。
例如：15和8，21和10四：求最大公因数或最小公倍数的方法：1.若两个数是互质的，则最大公因数为1，最小公倍数为这两个数的乘积。
2.若两个数是倍数关系，则较小的数为它们的最大公因数，较大的数为它们的最小公倍数。
当两个数相差较大时，要判断大数是否为小数的倍数。
例如：13与26，39，52，65，78；14与28，42，56，70，84；17与34，51等等。
以上两种情况不需要用分解质因数的方法。
3.两个数不是倍数关系的，也不是互质的才适合用分解质因数去求最大公因数和最小公倍数。
五：应用题中如何识别是求公因数还是公倍数的方法1.分析题意，判断结果应该比所给数量大，则是求公倍数；2.分析题意，判断结果应该比所给数量小，则是求公因数；3.题目中含“最多”或“最长”等字眼，则是求最大公因数；4.题目中含“至少”，“下一次”字眼，则是求最小公倍数；【认真练习】1.填空2.比较大小：（1）和（2）和（注：文档可能无法思考全面，请浏览后下载，供参考。
可复制、编制，期待你的好评与关注）75和15 16和30 77和44 6和10 13和91 21和35 12和18 3和14 最大公因数最小公倍数。
最大的公约数、最小公倍数比较课件
06
总结与回顾
最大公约数
最大公约数的定义
最大公约数是两个或多个整数共 有的最大的一个约数。
最大公约数的性质
最大公约数具有传递性，即如果 a和b的最大公约数是G，b和c的 最大公约数也是G，那么a和c的
最大公约数也是G。
最大公约数的求法
辗转相除法（欧几里得算法）是 求最大公约数的常用方法，其基 本思想是不断用较大数除以较小 数，直到余数为0，此时的除数
最大的公约数、最小公倍数 比较ppt课件
目录
• 最大公约数（GCD）介绍 • 最小公倍数（LCM）介绍 • GCD与LCM的比较 • GCD与LCM的实际应用 • 练习与问题解答 • 总结与回顾
01
最大公约数（GCD）介绍
最大公约数概念
最大公约数定义
两个或多个整数共有的最大的正 整数约数。
举例说明
题目3答案及解析
这两个数分别是15和18，因为已知最大公约数是6，最小 公倍数是90，根据公式aXb=两数乘积=最大公约数X最 小公倍数，所以这两个数分别是6X答案及解析
这两个数分别是49和70，因为已知两数乘积是1260，最 大公约数是14，根据公式aXb=两数乘积=最大公约数X 最小公倍数，所以这两个数分别是14X90/7=49和 14X90/9=70。
求18和24的最小公倍数 。
已知两个数的最大公约 数是6，最小公倍数是
90，求这两个数。
已知两个数的乘积是 1260，最大公约数是14
，求这两个数。
答案及解析
题目1答案及解析
最大公约数是6，因为18=2x3x3，24=2x2x2x3，所以最 大公约数是2x3=6。
题目2答案及解析
最小公倍数是72，因为18=2x3x3，24=2x2x2x3，所以 最小公倍数是2x2x2x3x3=72。
最大公因数和最小公倍数
上回下
五年级同学参加植树劳动，按15人一组或 18人一组都正好分完。五年级同学参加植
树的至少有多少人？
五年级同学按15人一组分，正好分完，说明 五年级同学是15人的倍数
五年级同学按18人一组分，也正好分完，说明 五年级同学也是18人的倍数 所以，五年级同学是15和18的公倍数。
两个数的最小公倍数可以用[ ]表示。
12和18的最小公倍数是36， 可以表示为[12，18]=36。
求18和30的最小公倍数。
2 18 30 3 9 15
用公有的因数2除 用公有的因数3除
3 5 除到两个商是互质数为止
2×3 ＝6
18和30的最大公因数是 2×3＝ 2×3 ×3×56＝90
18和30的最小公倍数是90
二、判断题。
两个数的最小公倍数分别是这两个 数的倍数（ ）
两个数的积一定是这两个数的公倍 数（ ）
二、判断题。
两个数的最大公因数一定比这两个数都 小（ ）
两个数的最小公倍数一定比这两个数都 大（ ）
二、判断题。
如果A÷ ÷ B=3（ ），那么A 、 B的 最大公因数是B，最小公倍数是A
（
）
男、女生分别排队，要使每排的人数相同，每 排最多有多少人? 这时男、女生分别有几排?
试一试
用短除法求出12和20的最大公因数和最小公倍数。
2 12 20 2 6 10
35
12和20的最大公因数是2×2=4。 可以表示为（12，20）=4。
用短除法求出12和20的最大公因数和最小公倍数。
2 12 20 2 6 10
35 12和20的最小公倍数是2×2×3×5=60。 可以表示为[12，20]=60。
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最大公因数是1，最小公倍数15
最大公因数是2，最小公倍数12 最大公因数是2，最小公倍数80
最大公因数是1，最小公倍数56
最大公因数是2，最小公倍数30
练习 很快说出下面每组数的最大公因数和最小公倍数．
9和15 9和27 7和21 7和12
最大公因数是3，最小公倍数105
求24、12、8的最大公因数与最小公倍数
2
2
24
12
8 12
4 6
6
2
3
一直除到商没有公有的质因数为止。
（24，8，12）=2×2=4
Hale Waihona Puke 22 224
12
8
4
12
6
6
3 3 1
2
1 1
3
3 1
用6和2公有的质因数除 把3落下来 两两互质为止
[12，24，8]=2×2×2×3=24
练习
根据下面的短除，选择正确答案． 2 3 1 8 9 3 0 1 5
练习
下面的数，哪些能被2整除？哪些能被3整除？ 哪些能被5整除？ 12 21 36 45 60 105 144 255
能被2整除： 12 36
60
144 45 60 255 105 144 255
能被3整除： 12 21 36
能被5整除： 45 60
105
练习 很快说出下面每组数的最大公因数和最小公倍数．
3
60和90的最大公因数是2×3＝6
2×3 × 5＝30
60和90的最小公倍数是2×3 ×10 ×15 ＝900 2×3 ×5 × 2×3 ＝180
练习
改错：找出下列各题错在哪里，并说明如何改正 ． 7 7 1 2 1 2
1
7和12的最大公约数是7 7和12的最小公倍数是7×1×12＝84 因为 7和12是互质数 所以 7和12的最大公约数是1 7和12的最小公倍数是7×12＝84
3
5
18和30的最大公因数是（ A ）
A：2×3＝6 B：3×5＝15 C：2×3×3×5＝90
18和30的最小公倍数是（ B ）
A：2×3＝6 B：2×3×3×5＝90 C：18×30＝540
练习
改错：找出下列各题错在哪里，并说明如何改正 ． 2 3 6 0 9 0
3 0
5 1 0
4 5
1 5
2
最大公因数是9，最小公倍数27 最大公因数是7，最小公倍数21
最大公因数是1，最小公倍数84
为什么求两个数的最大公约数是把所有的除数乘起来， 而求两个数的最小公倍数是把所有的除数和商乘起来？
两个数的最大公约数是它们的公约数中最大的，它 必须包含两个数全部公有的质因数．所有除数正好 是两个数全部公有的质因数，所以，求最大公约数 就要把所有除数乘起来．
最小公倍数既要包含两个数全部公有的质因数，又 要包含各自独有的质因数．两个数的商分别是它们 独有的质因数．所以求两个数的最小公倍数要把所 有的除数和商乘起来．
比
较
例题
求28和42的最大公因数和最小公倍数 2 28 7 14 2 42 21 3
28和42的最大公因数 2×7＝14
28和42的最小公倍数 2×7×2×3＝84
例题
求两个数的最大公约 求两个数的最小 数 公倍数 相同点 不同点
用短除的形式分解质因 数，直到两个商是互质 数为止．
同左
把所有的除数乘起来． 把所有的除数和商 乘起来．