String Matching Algorithm

String Matching 15
Brute Force
Analysis
String Matching
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Knuth-Morris-Pratt
Knuth-Morris-Pratt
Knuth-Morris-Pratt算法是由Knuth、Morris和Pratt三人设计的线 性时间的字符串匹配算法。
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Knuth-Morris-Pratt
Next[j] Algorithm 综上所述可以得到Next[j]的函数解析式
-1 Next[j] = 0
, ,
j=0 j=1 , j>1
max { k | P[0, k - 1] = P[j – k, j - 1] , 0 < k < j , k∈N } 此时KMP算法的关键便转化到了求解Next[j]了。
0 i 2 3 4 5
T[i] P[j] A G T A C G
T[i]
P[j]
A G T A C G A G T G T 0 1 2 j 4
A G T A T
j 1 2 3 4
为了枚举所有情况，i的值应该为这次匹配初始时i的值加1，而j代表已 匹配的字符串，那么i-j则为本次匹配的初始i值，那么i = i –j + 1就很好 理解了。
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Knuth-Morris-Pratt
Knuth-Morris-Pratt
根据数组下标的定义，我们假定T[i]表示主串第i - 1字符，P[j]表示子 串第j -1个字符。
观察下图： 0 1 2 3 4 i 6
0 i 2 3 4 5 6
BF算法 T[i] P[j] A G T A G C T A G T A G T j 1 2 3 4 5
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Knuth-Morris-Pratt
Knuth-Morris-Pratt
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Knuth-Morris-Pratt
Knuth-Morris-Pratt
考虑更为一般的情况，假定存在整数k使得子串P满足等式 P[0, k - 1] = P[j – k, j - 1] (0 < k < j) 显然为了避免重复比较，我们可以将j回溯到k - 1,而i值不变
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Knuth-Morris-Pratt
Next[j] Algorithm 2°j = 1 P[j] A G T A G T
0 j 2 3 4 5
此时，Next[j]也无定义，因为无法满足表达式(0 < k < j) 由于此时P[j]前只有一个字符，那么只可能回溯到第一位 我们令Next[1] = 0 Next[1] = 0
P[j]
此时KMP算法的关键就是如何求Next[j]的值。 当然，Next[j]只和P有关，与T无关。
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Next[j] Algorithm
首先通过一个例子来观察一下Next[j]的特征吧，前面说过了，KMP算法 充分利用了前缀和后缀的相似性进行比较。
0 1 2 3 4 i 6
0 1 2 3 4 i 6
KMP算法 T[i] P[j] A G T A G C T A G T A G … 0 1 j 3 4 …
T[i]
P[j]
A G T A G C T A G T A G T 0 1 2 3 4 j
KMP算法充分利用了前缀和后缀的相似性进行比较。
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Brute Force
Main Idea 1°T[i] = P[j] 考虑下图 此时，T[i] = P[j]，即T[0, i] = P[0, j] 根据算法，此时应该比较下一位，所以应该i++, j++ 0 1 2 i 4 5
0 1 2 3 i 5
T[i] P[j] A G T A C G
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Brute Force
Return 0 1 2 3 i 5 T[i] P[j] A T A A G T A A G 0 1 j
我们需要返回P在T中首次出现的位置 显然是要返回本次匹配时的i值 即i–j
return i – j;
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Brute Force
Next[j] Algorithm
String Matching
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Knuth-Morris-Pratt
Next[j] Algorithm 1°j = 0 P[j] A G T A G T
j 1 2 3 4 5
此时，Next[j]无定义，因为无法满足表达式(0 < k < j) 我们令Next[0] = -1 Next[0] = -1
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Knuth-Morris-Pratt
Next[j] Algorithm 这里介绍两种算法
1、枚举法
2、递归法
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Knuth-Morris-Pratt
Next[j] Algorithm - Enum 算法的基本思想是： S1 在给定区间P[0, j]上，枚举k值 S2 判断给定的k, j能否使得等式成立 S3 成立，返回最大k值 S4 不成立，继续枚举k
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Next[j] Algorithm 3°j > 1 P[j] A G T A G T
0 1 j 3 4 5
此时，根据定义，我们需要寻找使得下面等式成立的最大k值 P[0, k - 1] = P[j – k, j - 1] (0 < k < j) Next[j] = max { k | P[0, k - 1] = P[j – k, j - 1] , 0 < k < j , k∈N }
T[i]
P[j]
A G T A G C T A G T A G T 0 1 2 3 4 j
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Knuth-Morris-Pratt
Knuth-Morris-Pratt
考虑图中子串的特殊性 可以得到P[0, 1] = P[3,4] 而T[0, 1] = T[3, 4] 等量代换得P[0, 1] = T[3, 4] 此时如果我们把j回溯到2，而i的值不变化，则P的前两位已匹配
S1可以由一个for语句完成。下面考虑S2： 为了确定P[0, k - 1] = P[j – k, j - 1]是否成立，我们定义一个函数 IsEqual判断等式是否成立。
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Knuth-Morris-Pratt
Next[j] Algorithm – Enum - IsEqual 为了确定P[0, k - 1] = P[j – k, j - 1]是否成立 我们使用枚举的方法，定义两个下标nFront, nBack，初始值分别为0和j – k 分别进行判断并自加，这样大大简化了算法。 显然，只要存在P[nFront] != P[nBack] 则返回假 如果P[nFront] == P[nBack] 则继续比较直到nFront = k – 1 或 nBack = j - 1
T[i]
P[j]
A G T A C G A G T A T 0 1 2 j 4
A G T A T
0 1 2 3 j
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Brute Force
Main Idea 2°T[i] != P[j] 考虑下图 此时，T[i] != P[j]，根据算法，此时应该进行回溯 显然j回溯到0，即j = 0 下面考虑i，如图此时已经有T[0, i - 1] = P[0, j - 1] i应该回溯到1，即i = i – j + 1 0 1 2 i 4 5
Brute Force
Loop
我们可以很容易确定这个算法需要用到循环嵌套， 下面考虑循环的界 很容易想到，从0循环到|T| 考虑下图
T[i] P[j] A T A A G T A A G
可以确定这种比较是毫无意义的，因为主串剩余的字符小于的字符 所以只要循环到|T| - |P| 0 <= i <= |T| - |P|
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Brute Force
Main Idea
1°T[i] = P[j] i++; j++;
2°T[i] != P[j] i = i – j + 1; j = 0;
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Brute Force
Example
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String Matching
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String Matching
重叠后缀引理 假设x，y和z是满足x ⊐ z和y ⊐ z的三个字符串。 1° |x| <= |y| x ⊐ y 2° |x| >= |y| y ⊐ x 3° |x| = |y| x = y
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String Matching
朴素模式匹配算法又称简单匹配算法或Brute-Force算法，它是字 符串模式匹配中比较简单的一种算法。
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Brute Force
Brute Force Algori[j]表示子 串第j -1个字符。
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