高考复习数学(浙江)第2章 第4节 课时分层训练6
高三数学二轮复习 高考大题分层练 6 解析几何、函数与导数(B组) 理 新人教版(2021年整理)
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高考大题分层练 6。
解析几何、函数与导数(B组）大题集训练,练就慧眼和规范,占领高考制胜点！1。
以椭圆C:+=1(a>b>0)的中心O为圆心，为半径的圆称为该椭圆的“准圆”。
设椭圆C的左顶点为P，左焦点为F，上顶点为Q，且满足=2，S△OPQ=S△OFQ。
(1)求椭圆C及其“准圆”的方程。
(2)若椭圆C的“准圆”的一条弦ED(不与坐标轴垂直）与椭圆C交于M，N两点，试证明：当·=0时，弦ED的长是否为定值，若是，求出该定值；若不是，请说明理由.【解析】（1)设椭圆C的左焦点F（-c,0），c〉0，由S△OPQ=S△OFQ得a=c，又=2，即a2+b2=4且b2+c2=a2，所以a2=3，b2=1，则椭圆C的方程为+y2=1；椭圆C的“准圆”方程为x2+y2=4。
(2)设直线ED的方程为y=kx+m（k，m∈R），且与椭圆C的交点M(x1,y1),N（x2,y2），联列方程组代入消元得：(1+3k2）x2+6kmx+3m2-3=0,由x1+x2=；x1x2=,可得y1y2=（kx1+m）（kx2+m）=，由·=0，得x1x1+y1y2=0，即+==0，所以m2=(k2+1)，此时Δ=36k2m2-4（1+3k2）（3m2—3)=27k2+3〉0成立,则原点O到弦ED的距离d====,所以原点O到弦ED的距离为，则=2=，故弦ED的长为定值,定值为.2.已知函数f（x)=lnx-kx+1(k为常数),函数g（x)=xe x-ln，（a为常数，且a〉0）.（1)若函数f(x）有且只有1个零点，求k的取值的集合.（2)当（1)中的k取最大值时，求证：ag（x)-2f(x）〉2(lna-ln2)。
(浙江专用)2021高考数学二轮复习精准提分第二篇重点专题分层练,中高档题得高分第16练立体几何课件
4
7，
则易得平面
PAC
的一个法向量为
m＝4，3，－
97，
A→B＝(0,4,0)，所以 cos〈A→B，m〉＝|AA→→BB|·|mm|＝3167，
故直线 AB 与平面 PAC 所成角的正弦值为3167.
10 分 12 分
15 分
构建答题模板 方法一 [第一步] 找垂直：利用图形中的线线垂直推证线面垂直和面面垂直. [第二步] 作角：利用定义结合垂直关系作出所求角. [第三步] 计算：将所求角放在某三角形中，计算.
证明
(2)求直线A′B与平面A′DE所成角的正切值.
解答
本课完毕
第二篇 重点专题分层练，中高档题得高分
第16练 立体几何[解答题突破练]
明晰考情 1.命题角度：高考中考察线面的位置关系和线面角，更多表达传统方法. 2.题目难度：中档难度.
栏目 索引
核心考点突破练 模板答题标准练
核心考点突破练
考点一 空间中的平行、垂直关系
方法技巧 (1)平行关系的根底是线线平行，比较常见的是利用三角形中 位线构造平行关系，利用平行四边形构造平行关系. (2)证明线线垂直的常用方法 ①利用特殊平面图形的性质，如利用直角三角形、矩形、菱形、等腰三 角形等得到线线垂直； ②利用勾股定理的逆定理； ③利用线面垂直的性质.
证明
(2)求直线DF与平面BDE所成角的正弦值.
解答
3.(2021·宁波模拟)如图，在四棱锥P－ABCD中，△PAD为正三角形，四 边形ABCD为直角梯形，CD∥AB，BC⊥AB，平面PAD⊥平面ABCD， 点E，F分别为AD，CP的中点，AD＝AB＝2CD＝2. (1)证明：直线EF∥平面PAB；
所以PA⊥平面PBC，
(全国通用版)高考数学一轮复习 第二章 函数、导数及其应用 课时分层作业四 2.1 函数及其表示 理
课时分层作业四函数及其表示一、选择题(每小题5分,共35分)1.下列所给图象是函数图象的个数为( )A.1B.2C.3D.4【解析】选B.①中当x>0时,每一个x的值对应两个不同的y值,因此不是函数图象,②中当x=x0时,y的值有两个,因此不是函数图象,③④中每一个x的值对应唯一的y值,因此是函数图象.2.(2018·滨州模拟)函数y=的定义域为( )A.(1,+∞)B.[1,+∞)C.(1,2)∪(2,+∞)D.(1,2)∪[3,+∞)【解析】选C.由ln(x-1)≠0,得x-1>0且x-1≠1.由此解得x>1且x≠2,即函数y=的定义域是(1,2)∪(2,+∞).3.给出下列命题:①函数是其定义域到值域的映射;②f(x)=+是一个函数;③函数y=2x(x∈N)的图象是一条直线;④f(x)=lgx2与g(x)=2lgx是同一函数.其中正确的有( )A.1个B.2个C.3个D.4个【解析】选A.由函数的定义知①正确.因为满足f(x)=+的x不存在,所以②不正确.又因为y=2x(x∈N)的图象是位于直线y=2x上的一群孤立的点,所以③不正确.又因为f(x)与g(x)的定义域不同,所以④也不正确.4.(2018·某某模拟)已知函数f(x)=若f(a)+f(1)=0,则实数a的值等于( )A.-3B.-1C.1D.3【解析】选A.当a>0时,由f(a)+f(1)=0得2a+2=0,可见不存在实数a满足条件,当a<0时,由f(a)+f(1)=0得a+1+2=0,解得a=-3,满足条件.【一题多解】本题还可以采用如下解法:方法一:选A.由指数函数的性质可知:2x>0,又因为f(1)=2,所以a<0,所以f(a)=a+1,即a+1+2=0,解得:a=-3. 方法二:选A.验证法,把a=-3代入f(a)=a+1=-2,又因为f(1)=2,所以f(a)+f(1)=0,满足条件,从而选A.【变式备选】已知函数f(x)=且f(0)=2,f(-1)=3,则f(f(-3))= ( )A.-2B.2C.3D.-3【解析】选B.f(0)=a0+b=1+b=2,解得b=1;f(-1)=a-1+b=a-1+1=3,解得a=.故f(-3)=+1=9,f(f(-3))=f(9)=log39=2.【方法技巧】求函数值的四种常考类型及解法(1)f(g(x))型:遵循先内后外的原则.(2)分段函数型:根据自变量值所在区间对应求值,不确定时要分类讨论.(3)已知函数性质型:对具有奇偶性、周期性、对称性的函数求值,要用好其函数性质,将待求值调节到已知区间上求解.(4)抽象函数型:对于抽象函数求函数值,要用好抽象的函数关系,适当赋值,从而求得待求函数值.5.已知函数f(x)满足f(x)+2f(3-x)=x2,则f(x)的解析式为 ( )A.f(x)=x2-12x+18B.f(x)=x2-4x+6C.f(x)=6x+9D.f(x)=2x+3【解析】选B.由f(x)+2f(3-x)=x2可得f(3-x)+2f(x)=(3-x)2,由以上两式解得f(x)=x2-4x+6.6.现向一个半径为R的球形容器内匀速注入某种液体,下面图形中能表示在注入过程中容器的液面高度h随时间t变化的函数关系的是( )【解析】选C.从球的形状可知,水的高度开始时增加的速度越来越慢,当超过半球时,增加的速度又越来越快.7.已知[x]表示不超过实数x的最大整数(x∈R),如:[-1.3]=-2,[0.8]=0,[3.4]=3.定义{x}=x-[x],则++…+= ( )A.2017B.C.1008D.2016【解析】选B.=,=,…,=,=0,所以原式=++…+=.【题目溯源】本考题源于教材人教A版必修1P25习题B组T3,“函数f(x)=[x]的函数值表示不超过x的最大整数,例如,[-3.5]=-4,[2.1]=2.当x∈(-2.5,3]时,写出函数f(x)的解析式,并作出函数的图象”的变式.【变式备选】设[x]表示不大于x的最大整数,则对任意实数x,有( )A.[-x]=-[x]B.=[x]C.[2x]=2[x]D.[x]+=[2x]【解析】选D.选项A,取x=1.5,则[-x]=[-1.5]=-2,-[x]=-[1.5]=-1,显然[-x]≠-[x].选项B,取x=1.5,则=[2]=2≠[1.5]=1.选项C,取x=1.5,则[2x]=[3]=3,2[x]=2[1.5]=2,显然[2x]≠2[x].二、填空题(每小题5分,共15分)8.(2018·某某模拟)函数y=ln+的定义域为______________.【解析】由⇒⇒0<x≤1.所以该函数的定义域为(0,1].答案:(0,1]9.已知函数f(x)=则f(f(-3))=________,f(x)的最小值是________.【解析】f(f(-3))=f(1)=0,当x≥1时,f(x)≥2-3,当且仅当x=时,等号成立;当x<1时,f(x)≥0,当且仅当x=0时,等号成立,所以f(x)的最小值为2-3.答案:0 2-310.已知函数f(x)的定义域是[-1,1],则f(log2x)的定义域为______________.【解析】因为函数f(x)的定义域是[-1,1],所以-1≤log2x≤1,所以≤x≤2.故f(log2x)的定义域为.答案:1.(5分)下列函数中,不满足f(2x)=2f(x)的是( )A.f(x)=|x|B.f(x)=x-|x|C.f(x)=x+1D.f(x)=-x【解析】选C.对于选项A,f(2x)=|2x|=2|x|=2f(x);对于选项B,f(x)=x-|x|=当x≥0时,f(2x)=0=2f(x),当x<0时,f(2x)=4x=2·2x=2f(x),恒有f(2x)=2f(x);对于选项D,f(2x)=-2x=2(-x)=2f(x);对于选项C,f(2x)=2x+1=2f(x)-1.2.(5分)(2018·某某模拟)若一系列函数的解析式相同,值域相同,但定义域不同,则称这些函数为“同族函数”,则函数解析式为y=x2+1,值域为{1,3}的同族函数有( )A.1个B.2个C.3个D.4个【解析】选C.由x2+1=1得x=0,由x2+1=3得x=±,所以函数的定义域可以是{0,},{0,-},{0,,-},故值域为{1,3}的同族函数共有3个.3.(5分)若函数f(x)=(a>0且a≠1)的值域是[4,+∞),则实数a的取值X围是__________. 导学号12560407【解析】当x≤2,故-x+6≥4,要使得函数f(x)的值域为[4,+∞),只需f1(x)=3+log a x(x>2)的值域包含于[4,+∞),故a>1,所以f1(x)>3+log a2,所以3+log a2≥4,解得1<a≤2,所以实数a的取值X围是(1,2].答案:(1,2]4.(12分)已知f(x)=x2-1,g(x)=(1)求f(g(2))与g(f(2)).(2)求f(g(x))与g(f(x))的表达式.【解析】(1)g(2)=1,f(g(2))=f(1)=0;f(2)=3,g(f(2))=g(3)=2.(2)当x>0时,f(g(x))=f(x-1)=(x-1)2-1=x2-2x;当x<0时,f(g(x))=f(2-x)=(2-x)2-1=x2-4x+3.所以f(g(x))=同理可得g(f(x))=5.(13分)某市居民自来水收费标准如下:每户每月用水不超过4吨时,每吨为1.80元,当用水超过4吨时,超过部分每吨为3.00元.某月甲、乙两户共交水费y元,已知甲、乙两用户该月用水量分别为5x、3x(吨).(1)求y关于x的函数.(2)若甲、乙两用户该月共交水费26.40元,分别求出甲、乙两户该月的用水量和水费.【解析】(1)当甲的用水量不超过4吨时,即5x≤4,乙的用水量也不超过4吨,y=(5x+3x)×1.8=14.4x;当甲的用水量超过4吨,乙的用水量不超过4吨,即3x≤4且5x>4时,y=4×1.8+3(5x-4)+3x×1.8=20.4x-4.8;当乙的用水量超过4吨时,即3x>4,y=24x-9.6,所以y=.(2)由于y=f(x)在各段区间上均为单调递增,当x∈时,y≤f<26.4;当x∈时,y≤f<26.4;当x∈时,令24x-9.6=26.4,解得x=1.5.所以甲户用水量为5x=7.5吨,付费S1=4×1.80+3.5×3.00=17.70(元); 乙户用水量为3x=4.5吨,付费S2=4×1.80+0.5×3.00=8.70(元).。
(浙江专用)2021高考数学二轮复习精准提分第二篇重点专题分层练,中高档题得高分第12练数列的基本运
第12练 数列的根本运算及性质[明晰考情] 1.命题角度：考察等差数列、等比数列根本量的计算，考察数列的通项及求和.2.题目难度：中档难度或较难难度．考点一 等差数列与等比数列要点重组 (1)在等差数列中，假设m ＋n ＝p ＋q (m ，n ，p ，q ∈N *)，那么a m ＋a n ＝a p ＋a q .(2)假设{a n }是等差数列，那么⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n n 也是等差数列．(3)在等差数列{a n }中，S n ，S 2n －S n ，S 3n －S 2n 也成等差数列．(4)在等比数列中，假设m ＋n ＝p ＋q (m ，n ，p ，q ∈N *)，那么a m ·a n ＝a p ·a q .(5)在等比数列中，S n ，S 2n －S n ，S 3n －S 2n 也成等比数列(当q ＝－1时，n 不能为偶数)． 1．(2021·全国Ⅰ)记S n 为等差数列{a n }的前n 项和，假设3S 3＝S 2＋S 4，a 1＝2，那么a 5等于( )A ．－12B ．－10C ．10D ．12 答案 B解析 设等差数列{a n }的公差为d ，由3S 3＝S 2＋S 4，得3⎣⎢⎡⎦⎥⎤3a 1＋3×(3－1)2×d ＝2a 1＋2×(2－1)2×d ＋4a 1＋4×(4－1)2×d ，将a 1＝2代入上式，解得d ＝－3，故a 5＝a 1＋(5－1)d ＝2＋4×(－3)＝－10. 应选B.2．等差数列{a n }的前n 项和为S n ，a 9＝1，S 18＝0，当S n 取最大值时n 的值为( ) A ．7B ．8C ．9D ．10 答案 C解析 方法一 设公差为d ，那么a 1＋8d ＝1且18a 1＋18×172d ＝0，解得a 1＝17，d ＝－2，所以S n ＝17n －n (n －1)＝－n 2＋18n ， 当n ＝9时，S n 取得最大值，应选C.方法二 因为S 18＝a 1＋a 182×18＝0，所以a 1＋a 18＝a 9＋a 10＝0，所以a 10＝－1，即数列{a n }中前9项为正值，从第10项开场为负值，故其前9项之和最大．应选C. 3．S n 是各项均为正数的等比数列{a n }的前n 项和，a 7＝64，a 1a 5＋a 3＝20，那么S 5等于( ) A ．31B ．63C ．16D ．127 答案 A解析 设公比为q (q >0)，因为a 1a 5＋a 3＝20， 所以a 23＋a 3－20＝0，即(a 3＋5)(a 3－4)＝0， ∵a 3>0，∴a 3＝4，∵a 7＝a 3q 4＝64，∴q ＝2，a 1＝1. 所以S 5＝1－251－2＝31，应选A.4．设{a n }是公比为q 的等比数列，|q |>1，令b n ＝a n ＋1(n ＝1,2，…)，假设数列{b n }有连续四项在集合{－53，－23,19,37,82}中，那么6q ＝________. 答案 －9解析 由题意知，数列{b n }有连续四项在集合{－53，－23，19,37,82}中，说明{a n }有连续四项在集合{－54，－24，18,36,81}中，由于{a n }中连续四项至少有一项为负，∴q <0，又∵|q |>1，∴{a n }的连续四项为－24,36，－54,81， ∴q ＝36－24＝－32，∴6q ＝－9. 考点二 数列的通项与求和方法技巧 (1)数列的递推关系，求数列的通项时，通常利用累加法、累乘法、构造法求解．(2)利用a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧S n ，n ＝1，S n －S n －1，n ≥2求通项时，要注意检验n ＝1的情况．5．数列{a n }满足a 1＝0，11－a n －11－a n －1＝1(n ≥2，n ∈N *)，那么a 2021等于( ) A.12021B.12021C.20212021D.20212021答案 C解析 ∵数列{a n }满足a 1＝0，11－a n －11－a n －1＝1(n ≥2，n ∈N *)，∴11－a 1＝1，∴数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫11－a n 是首项为1，公差为1的等差数列，∴11－a n＝1＋(n －1)＝n ， ∴11－a 2021＝2021，解得a 2021＝20212021.6．数列{a n }满足a 1a 2a 3…a n ＝22n (n ∈N *)，且对任意n ∈N *都有1a 1＋1a 2＋…＋1a n<t ，那么t 的取值范围为( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫13，＋∞B.⎣⎢⎡⎭⎪⎫13，＋∞C.⎝ ⎛⎭⎪⎫23，＋∞ D.⎣⎢⎡⎭⎪⎫23，＋∞ 答案 D解析 ∵数列{a n }满足a 1a 2a 3…a n ＝22n (n ∈N *)，∴当n ＝1时，a 1＝2； 当n ≥2时，a 1a 2a 3…a n －1＝2(1)2n －，可得a n ＝22n －1，n ≥2，当n ＝1时，a 1＝2满足上式，∴1a n ＝122n －1，数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 为等比数列，首项为12，公比为14. ∴1a 1＋1a 2＋…＋1a n ＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫1－14n 1－14＝23⎝ ⎛⎭⎪⎫1－14n <23. ∵对任意n ∈N *都有1a 1＋1a 2＋…＋1a n<t ，∴t 的取值范围是⎣⎢⎡⎭⎪⎫23，＋∞. 7．(2021·全国Ⅰ)记S n 为数列{a n }的前n 项和．假设S n ＝2a n ＋1，那么S 6＝________. 答案 －63解析 ∵S n ＝2a n ＋1，当n ≥2时，S n －1＝2a n －1＋1， ∴a n ＝S n －S n －1＝2a n －2a n －1(n ≥2)， 即a n ＝2a n －1(n ≥2)．当n ＝1时，a 1＝S 1＝2a 1＋1，得a 1＝－1.∴数列{a n }是首项a 1＝－1，公比q ＝2的等比数列，∴S n ＝a 1(1－q n )1－q ＝－1(1－2n )1－2＝1－2n，∴S 6＝1－26＝－63.8．在数列{a n }中，a 1＝1，S n 为数列{a n }的前n 项和，且当n ≥2时，有2a na n S n －S 2n＝1成立，那么S 2021＝________. 答案11009解析 当n ≥2时，由2a na n S n －S 2n＝1，得2(S n －S n －1)＝a n S n －S 2n ＝－S n S n －1， 所以2S n －2S n －1＝1，又2S 1＝2，所以⎩⎨⎧⎭⎬⎫2S n 是以2为首项，1为公差的等差数列，所以2S n ＝n ＋1，故S n ＝2n ＋1，那么S 2021＝11009.考点三 数列的综合应用方法技巧 (1)以函数为背景的数列问题、可以利用函数的性质等确定数列的通项a n 、前n 项和S n 的关系．(2)和不等式有关的数列问题，可以利用不等式的性质、根本不等式、函数的单调性等求最值来解决．9．函数f (x )＝x 2＋ax 的图象在点A (0，f (0))处的切线l 与直线2x －y ＋2＝0平行，假设数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1f (n )的前n 项和为S n ，那么S 20的值为( ) A.325462 B.1920 C.119256 D.20212021答案 A解析 因为f (x )＝x 2＋ax ，所以f ′(x )＝2x ＋a ，又函数f (x )＝x 2＋ax 的图象在点A (0，f (0))处的切线l 与直线2x －y ＋2＝0平行，所以f ′(0)＝a ＝2，所以f (x )＝x 2＋2x ，所以1f (n )＝1n 2＋2n ＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1n ＋2， 所以S 20＝12⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫1－13＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12－14＋⎝ ⎛⎭⎪⎫13－15＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫120－122＝12×⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋12－121－122＝325462. 10．等差数列{a n }的前n 项和S n ＝n 2＋bn ＋c ，等比数列{b n }的前n 项和T n ＝3n＋d ，那么向量a ＝(c ，d )的模为( ) A ．1 B. 2 C. 3 D ．无法确定答案 A解析 由等差数列与等比数列的前n 项和公式知，c ＝0，d ＝－1，所以向量a ＝(c ，d )的模为1.11．设等比数列{a n }满足a 1＋a 3＝10，a 2＋a 4＝5，那么a 1a 2…a n 的最大值为________． 答案 64解析 由a 1＋a 3＝10，a 2＋a 4＝a 1q ＋a 3q ＝5， 两式相除得a 1＋a 3q (a 1＋a 3)＝105，解得q ＝12，a 1＝8，所以a 1a 2…a n ＝8n·⎝ ⎛⎭⎪⎫121＋2＋…＋(n －1)＝27222n n-+， 抛物线f (n )＝－n 22＋7n 2的对称轴为n ＝－722×⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝72，又n ∈N *，所以当n ＝3或4时，a 1a 2…a n 取最大值为26＝64.12．函数f (x )＝3|x ＋5|－2|x ＋2|，数列{a n }满足a 1<－2，a n ＋1＝f (a n )，n ∈N *.假设要使数列{a n }成等差数列，那么a 1的取值集合为______________．答案 ⎩⎨⎧⎭⎬⎫－11，－112，－194解析 因为f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋11，x ≥－2，5x ＋19，－5<x <－2，－x －11，x ≤－5，所以假设数列{a n }成等差数列，那么当a 1为直线y ＝x ＋11与直线y ＝－x －11的交点的横坐标，即a 1＝－11时，数列{a n }是以－11为首项，11为公差的等差数列；当f (a 1)＝a 1，即5a 1＋19＝a 1或－a 1－11＝a 1，即a 1＝－194或a 1＝－112时，数列{a n }是以0为公差的等差数列，因此a 1的取值集合为⎩⎨⎧⎭⎬⎫－11，－112，－194.1．在数列{a n }中，a 1＝1，a 2＝2，当整数n ＞1时，S n ＋1＋S n －1＝2(S n ＋S 1)都成立，那么S 15等于( )A ．210B ．211C ．224D ．225 答案 B解析 当n ＞1时，S n ＋1－S n ＝S n －S n －1＋2， ∴a n ＋1＝a n ＋2，n ≥2，∴a n ＋1－a n ＝2，n ≥2. ∴数列{a n }从第二项开场组成公差为2的等差数列， ∴S 15＝a 1＋(a 2＋…＋a 15)＝1＋2＋282×14＝211.2．数列{a n }满足：a n ＋1＝a n (1－2a n ＋1)，a 1＝1，数列{b n }满足：b n ＝a n ·a n ＋1，那么数列{b n }的前2021项的和S 2021＝________. 答案20214035解析 由a n ＋1＝a n (1－2a n ＋1)，可得1a n ＋1－1a n＝2，所以数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 是首项为1，公差为2的等差数列，故1a n＝1＋(n －1)×2＝2n －1，所以a n ＝12n －1.又b n ＝a n ·a n ＋1＝1(2n －1)(2n ＋1)＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1－12n ＋1，所以S 2021＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫1－13＋13－15＋…＋14033－14035 ＝12×40344035＝20214035. 3．数列{a n }满足a 1＝33，a n ＋1－a n ＝2n ，那么a n n的最小值为________． 答案212解析 由题意，得a 2－a 1＝2，a 3－a 2＝4，…，a n －a n －1＝2(n －1)，n ≥2，累加整理可得a n ＝n 2－n ＋33，n ≥2，当n ＝1时，a 1＝33也满足，∴a n n＝n ＋33n－1(n ∈N *)． 由函数f (x )＝x ＋33x－1(x ＞0)的单调性可知，a nn的最小值为f (5)，f (6)中较小的一个． 又f (6)＝212，f (5)＝535，∴⎝ ⎛⎭⎪⎫a n n min ＝212. 解题秘籍 (1)利用a n ＝S n －S n －1寻找数列的关系，一定要注意n ≥2这个条件． (2)数列的最值问题可以利用根本不等式或函数的性质求解，但要考虑最值取到的条件．1．等差数列{a n a 2，a 3，a 6成等比数列，那么{a n }的前6项和为( ) A ．－24B ．－3C ．3D ．8 答案 A解析 由条件可得a 1＝1，d ≠0，由a 23＝a 2a 6，可得(1＋2d )2＝(1＋d )(1＋5d )， 解得d ＝－2.所以S 6＝6×1＋6×5×(－2)2＝－24.2．(2021·浙江)等差数列{a n }的公差为d ，前n 项和为S n ，那么“d ＞0〞是“S 4＋S 6＞2S 5〞的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 答案 C解析 方法一 ∵数列{a n }是公差为d 的等差数列， ∴S 4＝4a 1＋6d ，S 5＝5a 1＋10d ，S 6＝6a 1＋15d ， ∴S 4＋S 6＝10a 1＋21d ，2S 5＝10a 1＋20d .假设d ＞0，那么21d ＞20d ，10a 1＋21d ＞10a 1＋20d ， 即S 4＋S 6＞2S 5.假设S 4＋S 6＞2S 5，那么10a 1＋21d ＞10a 1＋20d ，即21d ＞20d ，∴d ＞0.∴“d ＞0〞是“S 4＋S 6＞2S 5〞的充要条件． 应选C.方法二 ∵S 4＋S 6＞2S 5⇔S 4＋S 4＋a 5＋a 6＞2(S 4＋a 5)⇔a 6＞a 5⇔a 5＋d ＞a 5⇔d ＞0. ∴“d ＞0〞是“S 4＋S 6＞2S 5〞的充要条件． 应选C.3．数列{a n }满足a n ＋1－a n ＝2，a 1＝－5，那么|a 1|＋|a 2|＋…＋|a 6|等于( ) A ．9B ．15C ．18D ．30 答案 C解析 由a n ＋1－a n ＝2可得数列{a n }是等差数列，公差d ＝2，又a 1＝－5，所以a n ＝2n －7，所以|a 1|＋|a 2|＋|a 3|＋|a 4|＋|a 5|＋|a 6|＝5＋3＋1＋1＋3＋5＝18.4．两个等差数列{a n }和{b n }的前n 项和分别为A n 和B n ，且A n B n ＝7n ＋45n ＋3，那么使得a nb n为整数的正整数n 的个数是( ) A ．2B ．3C ．4D ．5 答案 D解析 a n b n ＝2a n 2b n ＝(2n －1)(a 1＋a 2n －1)2(2n －1)(b 1＋b 2n －1)2＝A 2n －1B 2n －1＝14n ＋382n ＋2＝7n ＋19n ＋1＝7＋12n ＋1，验证知，当n ＝1,2,3,5,11时a n b n为整数．5．在数列{a n }中，a 1＋a 2＋…＋a n ＝2n －1，那么a 21＋a 22＋…＋a 2n 等于( ) A ．(2n－1)2B.2n－13C ．4n －1 D.4n－13答案 D解析 设S n 为{a n }的前n 项和，S n ＝a 1＋a 2＋…＋a n ＝2n－1，当n ≥2时，S n －1＝2n －1－1，a n＝2n－1－(2n －1－1)＝2n －1，a 2n ＝4n －1，当n ＝1时，a 1＝1也符合上式，所以a 21＋a 22＋…＋a 2n ＝1－4n1－4＝4n－13. 6．设S n 是等比数列{a n }的前n 项和，假设S 4S 2＝3，那么S 6S 4等于( ) A ．2B.73C.310 D ．1或2答案 B解析 设S 2＝k ，那么S 4＝3k ，由数列{a n }为等比数列(易知数列{a n }的公比q ≠－1)，得S 2，S 4－S 2，S 6－S 4为等比数列， 又S 2＝k ，S 4－S 2＝2k ， ∴S 6－S 4＝4k ， ∴S 6＝7k ，∴S 6S 4＝7k 3k ＝73，应选B. 7．设{a n }是任意等差数列，它的前n 项和、前2n 项和与前4n 项和分别为X ，Y ，Z ，那么以下等式中恒成立的是( ) A ．2X ＋Z ＝3Y B ．4X ＋Z ＝4Y C ．2X ＋3Z ＝7Y D ．8X ＋Z ＝6Y答案 D解析 根据等差数列的性质X ，Y －X ，S 3n －Y ，Z －S 3n 成等差数列，∴S 3n ＝3Y －3X ， 又2(S 3n －Y )＝(Y －X )＋(Z －S 3n )， ∴4Y －6X ＝Y －X ＋Z －3Y ＋3X ， ∴8X ＋Z ＝6Y .8．假设数列{a n }满足a 1＝1，且对于任意的n ∈N *都有a n ＋1＝a n ＋n ＋1，那么1a 1＋1a 2＋…＋1a 2021等于( )A.40332021B.2021 2021C.40352021D.40362021 答案 D解析 由a n ＋1＝a n ＋n ＋1，得a n ＋1－a n ＝n ＋1， 那么a 2－a 1＝1＋1，a 3－a 2＝2＋1， a 4－a 3＝3＋1，…，a n －a n －1＝(n －1)＋1，n ≥2.以上等式相加，得a n －a 1＝1＋2＋3＋…＋(n －1)＋n －1，n ≥2，把a 1＝1代入上式得，a n ＝1＋2＋3＋…＋(n －1)＋n ＝n (n ＋1)2，n ≥2，1a n＝2n (n ＋1)＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1n ＋1，n ≥2，当n ＝1时，a 1＝1也满足， ∴1a n ＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1n ＋1，n ∈N *， 那么1a 1＋1a 2＋…＋1a 2021＝2⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12－13＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12021－12021 ＝2⎝⎛⎭⎪⎫1－12021＝40362021. 9．数列{a n }的前m (m ≥4)项是公差为2的等差数列，从第m －1项起，a m －1，a m ，a m ＋1，…成公比为2的等比数列．假设a 1＝－2，那么m ＝________，{a n }的前6项和S 6＝________. 答案 4 28解析 由题意，得a m －1＝a 1＋(m －2)d ＝2m －6，a m ＝2m －4，那么由a m a m －1＝2m －42m －6＝2，解得m ＝4，所以数列{a n }的前6项依次为－2,0,2,4,8,16， 所以S 6＝28.10．假设S n 为数列{a n }的前n 项和，且2S n ＝a n ＋1a n ，a 1＝4，那么数列{a n }的通项公式为a n ＝________.答案 ⎩⎪⎨⎪⎧n ＋3，n 为奇数，n ，n 为偶数解析 因为2S n ＝a n ＋1a n ，a 1＝4， 所以n ＝1时，2×4＝4a 2，解得a 2＝2.n ≥2时，2S n －1＝a n a n －1，可得2a n ＝a n ＋1a n －a n a n －1， 所以a n ＝0(舍去)或a n ＋1－a n －1＝2.n ≥2时，a n ＋1－a n －1＝2，可得数列{a n }的奇数项与偶数项分别为等差数列．所以a 2k －1＝4＋2(k －1)＝2k ＋2，k ∈N *，a 2k ＝2＋2(k －1)＝2k ，k ∈N *.所以a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧n ＋3，n 为奇数，n ，n 为偶数.11．对于正项数列{a n }，定义H n ＝na 1＋2a 2＋3a 3＋…＋na n为{a n }的“光阴〞值，现知某数列的“光阴〞值为H n ＝2n ＋2，那么数列{a n }的通项公式为________． 答案 a n ＝2n ＋12n(n ∈N *).下载后可自行编辑修改，页脚下载后可删除。
高考复习数学(浙江)第2章 第12节 课时分层训练14
课时分层训练(十四)导数与函数的极值、最值A组基础达标(建议用时：30分钟)一、选择题1．下列函数中，既是奇函数又存在极值的是() 【导学号：51062086】A．y＝x3B．y＝ln(－x)C．y＝x e－x D．y＝x＋2 xD[由题可知，B，C选项中的函数不是奇函数，A选项中，函数y＝x3单调递增(无极值)，而D选项中的函数既为奇函数又存在极值．]2．当函数y＝x·2x取极小值时，x等于()A.1ln 2B．－1ln 2C．－ln 2 D．ln 2 B[令y′＝2x＋x·2x ln 2＝0，∴x＝－1 ln 2.经验证，－1ln 2为函数y＝x·2x的极小值点．]3．函数y＝ln x－x在x∈(0，e]上的最大值为() A．e B．1C．－1D．－eC[函数y＝ln x－x的定义域为(0，＋∞)．又y′＝1x－1＝1－xx，令y′＝0得x＝1，当x∈(0,1)时，y′＞0，函数单调递增；当x∈(1，e]时，y′＜0，函数单调递减．当x＝1时，函数取得最大值－1.]4．已知函数f(x)＝x3＋ax2＋(a＋6)x＋1有极大值和极小值，则实数a的取值范围是()A．(－1,2) B．(－∞，－3)∪(6，＋∞)C．(－3,6) D．(－∞，－1)∪(2，＋∞)B[∵f′(x)＝3x2＋2ax＋(a＋6)，由已知可得f′(x)＝0有两个不相等的实根，∴Δ＝4a2－4×3(a＋6)＞0，即a2－3a－18＞0，∴a＞6或a＜－3.]5．设函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a，b，c∈R)，若x＝－1为函数f(x)e x的一个极值点，则下列图象不可能为y＝f(x)图象的是()A B C DD[因为[f(x)e x]′＝f′(x)e x＋f(x)(e x)′＝[f(x)＋f′(x)]e x，且x＝－1为函数f(x)e x的一个极值点，所以f(－1)＋f′(－1)＝0.选项D中，f(－1)＞0，f′(－1)＞0，不满足f′(－1)＋f(－1)＝0.]二、填空题6．函数f(x)＝13x3＋x2－3x－4在[0,2]上的最小值是________．－173[f′(x)＝x2＋2x－3，令f′(x)＝0得x＝1(x＝－3舍去)，又f(0)＝－4，f(1)＝－173，f(2)＝－103，故f(x)在[0,2]上的最小值是f(1)＝－173.]7．设a∈R，若函数y＝e x＋ax有大于零的极值点，则实数a的取值范围是________. 【导学号：51062087】(－∞，－1) [∵y ＝e x ＋ax ，∴y ′＝e x ＋a .∵函数y ＝e x ＋ax 有大于零的极值点，则方程y ′＝e x ＋a ＝0有大于零的解，∵x ＞0时，－e x ＜－1，∴a ＝－e x ＜－1.]8．某商场从生产厂家以每件20元购进一批商品，若该商品零售价为p 元，销量Q (单位：件)与零售价p (单位：元)有如下关系：Q ＝8 300－170p －p 2，则该商品零售价定为________元时利润最大，利润的最大值为________元．30 23 000 [设该商品的利润为y 元，由题意知，y ＝Q (p －20)＝－p 3－150p 2＋11 700p －166 000，则y ′＝－3p 2－300p ＋11 700，令y ′＝0得p ＝30或p ＝－130(舍)，当p ∈(0,30)时，y ′＞0，当p ∈(30，＋∞)时，y ′＜0，因此当p ＝30时，y 有最大值，y max ＝23 000.]三、解答题9．已知函数f (x )＝－x 3＋ax 2＋b (a ，b ∈R )．(1)要使f (x )在(0,2)上单调递增，试求a 的取值范围；(2)当a <0时，若函数满足y 极大＝1，y 极小＝－3，试求y ＝f (x )的解析式．[解] (1)f ′(x )＝－3x 2＋2ax .依题意f ′(x )≥0在(0,2)上恒成立，即2ax ≥3x 2.∵x ＞0，∴2a ≥3x ，∴2a ≥6，∴a ≥3，即a 的取值范围是[3，＋∞).6分(2)∵f ′(x )＝－3x 2＋2ax ＝x (－3x ＋2a )．∵a ＜0，当x ∈⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，23a 时，f ′(x )≤0，f (x )递减．当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫23a ，0时，f ′(x )＞0，f (x )递增． 当x ∈[0，＋∞)时，f ′(x )≤0，f (x )递减.12分∴⎩⎨⎧ f 极大(0)＝1，f 极小⎝ ⎛⎭⎪⎫23a ＝－3⇒⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－3，b ＝1. ∴f (x )＝－x 3－3x 2＋1.15分10．据环保部门测定，某处的污染指数与附近污染源的强度成正比，与到污染源距离的平方成反比，比例常数为k (k >0)．现已知相距18 km 的A ，B 两家化工厂(污染源)的污染强度分别为a ，b ，它们连线上任意一点C 处的污染指数y 等于两化工厂对该处的污染指数之和．设AC ＝x (km)．(1)试将y 表示为x 的函数；(2)若a ＝1，且x ＝6时，y 取得最小值，试求b 的值. 【导学号：51062088】[解] (1)设点C 受A 污染源污染程度为ka x 2，点C 受B 污染源污染程度为kb(18－x )2，其中k 为比例系数，且k >0，从而点C 处受污染程度y ＝ka x 2＋kb (18－x )2.6分(2)因为a ＝1，所以y ＝k x 2＋kb (18－x )2， y ′＝k ⎣⎢⎡⎦⎥⎤－2x 3＋2b (18－x )3，10分 令y ′＝0，得x ＝181＋3b ， 又此时x ＝6，解得b ＝8，经验证符合题意，所以，污染源B 的污染强度b 的值为8.15分B 组 能力提升(建议用时：15分钟)1．若函数f (x )＝x 3＋ax 2＋bx (a ，b ∈R )的图象与x 轴相切于一点A (m,0)(m ≠0)，且f (x )的极大值为12，则m 的值为( )A ．－23B ．－32 C.23 D.32D [由题意可得f (m )＝m 3＋am 2＋bm ＝0，m ≠0，则m 2＋am ＋b ＝0 ①，且f ′(m )＝3m 2＋2am ＋b ＝0 ②，①－②化简得m ＝－a 2，f ′(x )＝3x 2＋2ax ＋b 的两根为－a 2和－a 6，则b ＝a 24，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－a 6＝12，解得a ＝－3，m ＝32，故选D.] 2．设函数f (x )＝⎩⎨⎧x 3－3x ，x ≤0，－2x ，x ＞0，则f (x )的最大值为________． 2 [当x ＞0时，f (x )＝－2x ＜0；当x ≤0时，f ′(x )＝3x 2－3＝3(x －1)(x ＋1)，当x ＜－1时，f ′(x )＞0，f (x )是增函数，当－1＜x ＜0时，f ′(x )＜0，f (x )是减函数，∴f (x )≤f (－1)＝2，∴f (x )的最大值为2.]3．已知函数f (x )＝ax 3＋bx ＋c 在点x ＝2处取得极值c －16.(1)求a ，b 的值；(2)若f (x )有极大值28，求f (x )在[－3,3]上的最小值. 【导学号：51062089】[解] (1)因为f (x )＝ax 3＋bx ＋c ，故f ′(x )＝3ax 2＋b .2分由于f (x )在点x ＝2处取得极值c －16，故有⎩⎪⎨⎪⎧ f ′(2)＝0，f (2)＝c －16，即⎩⎪⎨⎪⎧ 12a ＋b ＝0，8a ＋2b ＋c ＝c －16，化简得⎩⎪⎨⎪⎧ 12a ＋b ＝0，4a ＋b ＝－8，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝－12.6分(2)由(1)知f(x)＝x3－12x＋c，f′(x)＝3x2－12＝3(x－2)(x＋2)，令f′(x)＝0，得x1＝－2，x2＝2.当x∈(－∞，－2)时，f′(x)＞0，故f(x)在(－∞，－2)上为增函数；9分当x∈(－2,2)时，f′(x)＜0，故f(x)在(－2,2)上为减函数；12分当x∈(2，＋∞)时，f′(x)＞0，故f(x)在(2，＋∞)上为增函数．由此可知f(x)在x＝－2处取得极大值，f(－2)＝16＋c，f(x)在x＝2处取得极小值f(2)＝c－16.由题设条件知16＋c＝28，解得c＝12.14分此时f(－3)＝9＋c＝21，f(3)＝－9＋c＝3，f(2)＝－16＋c＝－4，因此f(x)在[－3,3]上的最小值为f(2)＝－4.15分。
(浙江专版)高考数学一轮复习 第2章 函数、导数及其应用 第2节 函数的单调性与最值课时分层训练-人
课时分层训练(四) 函数的单调性与最值A 组 基础达标 (建议用时：30分钟)一、选择题1．下列函数中，定义域是R 且为增函数的是( ) 【导学号：51062021】 A ．y ＝2－xB ．y ＝xC ．y ＝log 2xD ．y ＝－1xB [由题知，只有y ＝2－x与y ＝x 的定义域为R ，且只有y ＝x 在R 上是增函数．] 2．若函数y ＝ax 与y ＝－b x在(0，＋∞)上都是减函数，则y ＝ax 2＋bx 在(0，＋∞)上是( )A ．增函数B ．减函数C ．先增后减D ．先减后增B [由题意知，a ＜0，b ＜0，则－b2a ＜0，从而函数y ＝ax 2＋bx 在(0，＋∞)上为减函数．]3．函数f (x )＝ln(4＋3x －x 2)的单调递减区间是( ) A.⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，32 B.⎣⎢⎡⎭⎪⎫32，＋∞C.⎝⎛⎦⎥⎤－1，32 D.⎣⎢⎡⎭⎪⎫32，4 D [要使函数有意义需4＋3x －x 2＞0， 解得－1＜x ＜4，∴定义域为(－1,4)．令t ＝4＋3x －x 2＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫x －322＋254.则t 在⎝ ⎛⎦⎥⎤－1，32上递增，在⎣⎢⎡⎭⎪⎫32，4上递减， 又y ＝ln t 在⎝⎛⎦⎥⎤0，254上递增，∴f (x )＝ln(4＋3x －x 2)的单调递减区间为⎣⎢⎡⎭⎪⎫32，4.]4．(2017·某某质检)已知函数f (x )＝|x ＋a |在(－∞，－1)上是单调函数，则a 的取值X 围是( )A ．(－∞，1]B ．(－∞，－1]C ．[－1，＋∞)D ．[1，＋∞)A [因为函数f (x )在(－∞，－1)上是单调函数，所以－a ≥－1，解得a ≤1.]5．(2017·某某调研)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋2x ，x ≥0，x 2－2x ，x ＜0.若f (－a )＋f (a )≤2f (1)，则a 的取值X 围是( )A ．[－1,0)B ．[0,1]C ．[－1,1]D ．[－2,2]C [因为函数f (x )是偶函数，故f (－a )＝f (a )，原不等式等价于f (a )≤f (1)，即f (|a |)≤f (1)，而函数在[0，＋∞)上单调递增，故|a |≤1，解得－1≤a ≤1.]二、填空题6．(2017·某某一模)函数f (x )＝log 2(－x 2＋22)的值域为________.【导学号：51062022】⎝⎛⎦⎥⎤－∞，32 [∵0＜－x 2＋22≤22，∴当x ＝0时，f (x )取得最大值，f (x )max ＝f (0)＝log 222＝32，∴f (x )的值域为⎝⎛⎦⎥⎤－∞，32.] 7．已知函数f (x )为R 上的减函数，若m ＜n ，则f (m )________f (n )；若f ⎝ ⎛⎭⎪⎫⎪⎪⎪⎪⎪⎪1x ＜f (1)，则实数x 的取值X 围是________．＞ (－1,0)∪(0,1) [由题意知f (m )＞f (n )；⎪⎪⎪⎪⎪⎪1x ＞1，即|x |＜1，且x ≠0.故－1＜x ＜1且x ≠0.]8．(2017·某某模拟)设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x ＋a ，x ＜1，2x，x ≥1的最小值为2，则实数a 的取值X 围是________．[3，＋∞) [当x ≥1时，f (x )≥2，当x ＜1时，f (x )＞a －1.由题意知a －1≥2，∴a ≥3.]三、解答题9．已知函数f (x )＝－2x ＋1，x ∈[0,2]，用定义证明函数的单调性，并求函数的最大值和最小值. 【导学号：51062023】[解] 设0≤x 1＜x 2≤2，则f (x 1)－f (x 2)＝－2x 1＋1－⎝ ⎛⎭⎪⎫－2x 2＋1＝－2x 2＋1－x 1－1x 1＋1x 2＋1＝－2x 2－x 1x 1＋1x 2＋1.3分由0≤x 1＜x 2≤2，得x 2－x 1＞0，(x 1＋1)(x 2＋1)＞0，6分 所以f (x 1)－f (x 2)＜0， 即f (x 1)＜f (x 2)，故f (x )在区间[0,2]上是增函数.10分 因此，函数f (x )＝－2x ＋1在区间[0,2]的左端点取得最小值，右端点取得最大值，即最小值是f (0)＝－2，最大值是f (2)＝－23.15分10．已知f (x )＝xx －a(x ≠a )．(1)若a ＝－2，试证f (x )在(－∞，－2)上单调递增；(2)若a ＞0且f (x )在(1，＋∞)上单调递减，求a 的取值X 围． [解] (1)证明：设x 1＜x 2＜－2， 则f (x 1)－f (x 2)＝x 1x 1＋2－x 2x 2＋2＝2x 1－x 2x 1＋2x 2＋2.4分∵(x 1＋2)(x 2＋2)＞0，x 1－x 2＜0， ∴f (x 1)＜f (x 2)，∴f (x )在(－∞，－2)内单调递增.7分 (2)f (x )＝xx －a ＝x －a ＋a x －a ＝1＋ax －a，当a ＞0时，f (x )在(－∞，a )，(a ，＋∞)上是减函数，10分 又f (x )在(1，＋∞)内单调递减，∴0＜a ≤1，故实数a 的取值X 围是(0,1].15分B 组 能力提升 (建议用时：15分钟)1．(2017·某某市一中模拟)已知函数f (x )＝e x－1，g (x )＝－x 2＋4x －3，若存在f (a )＝g (b )，则实数b 的取值X 围为( )A ．[0,3]B ．(1,3)C ．[2－2，2＋2]D ．(2－2，2＋2)D [由题可知f (x )＝e x－1＞－1，g (x )＝－x 2＋4x －3＝－(x －2)2＋1≤1， 若f (a )＝g (b )，则g (b )∈(－1,1]，即－b 2＋4b －3＞－1，即b 2－4b ＋2＜0， 解得2－2＜b ＜2＋ 2.所以实数b 的取值X 围为(2－2，2＋2)，故选D.]2．规定符号“*”表示一种两个正实数之间的运算，即a *b ＝ab ＋a ＋b ，a ，b 是正实数，已知1] .(1，＋∞) [由题意知1]k )＋1＋k ＝3，解得k ＝1或k ＝－2(舍去)，所以f (x )＝k *x ＝1]x )＋x ＋1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋122＋34，因为x ＞0，所以f (x )＞1，即f (x )的值域是(1，＋∞)．]3．已知定义在区间(0，＋∞)上的函数f (x )满足f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1x 2＝f (x 1)－f (x 2)，且当x >1时，f (x )<0.(1)求f (1)的值；(2)证明：f (x )为单调递减函数；(3)若f (3)＝－1，求f (x )在[2,9]上的最小值. 【导学号：51062024】 [解] (1)令x 1＝x 2>0，代入得f (1)＝f (x 1)－f (x 1)＝0，故f (1)＝0.3分 (2)证明：任取x 1，x 2∈(0，＋∞)，且x 1>x 2，则x 1x 2>1， 当x >1时，f (x )<0，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1x 2<0，5分即f (x 1)－f (x 2)<0，因此f (x 1)<f (x 2)，∴函数f (x )在区间(0，＋∞)上是单调递减函数.9分 (3)∵f (x )在(0，＋∞)上是单调递减函数， ∴f (x )在[2,9]上的最小值为f (9)．由f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1x 2＝f (x 1)－f (x 2)，得f ⎝ ⎛⎭⎪⎫93＝f (9)－f (3)，12分 而f (3)＝－1，∴f (9)＝－2. ∴f (x )在[2,9]上的最小值为－2.15分。
(浙江专用)2021高考数学二轮复习精准提分第二篇重点专题分层练,中高档题得高分第20练函数的概念、
所以不等式 f(x)>0 等价于xlo>g02，x＋1>0， 即 x>21，或xx≤＋01，>0， 即－1<x≤0，
所以 f(x)>0 的解集为x－1<x≤0或x>21
.
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
解析 答案
8.已知函数 f(x＋2)(x∈R)为奇函数，且函数 f(x)的图象关于直线 x＝1 对称，
2.设 f(x)＝2xx，－01<，x<x1≥，1， 若 f(a)＝f(a＋1)，则 f 1a等于
A.2
B.4
√C.6
D.8
解析 假设0＜a＜1，由f(a)＝f(a＋1)，
得 a＝2(a＋1－1)， ∴a＝14，∴f 1a＝f(4)＝2×(4－1)＝6. 假设a≥1，由f(a)＝f(a＋1)，得2(a－1)＝2(a＋1－1)，无解.
是偶函数；q：函数g(x)是奇函数，那么p是q的
√
AC解..充充析要分条令不件必h(要x)＝条1件－1 2x－12(x≠0)，BD..必既要不不充充分分也条不件必要条件 易得h(x)＋h(－x)＝0，那么h(x)为奇函数， 又g(x)是奇函数，所以f(x)为偶函数； 反过来也成立.因此p是q的充要条件.
当 a≠0 时，二次函数 f(x)的对称轴为 x＝－1a. 因为f(x)在(－∞，4)上单调递增，所以 a＜0，且－a1≥4，解得－41≤a＜0.
综上所述 a 的取值范围是－14，0.
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
解析 答案
5.函数g(x)的定义域为{x|x≠0}，且g(x)≠0，设p：函数f(x)＝g(x) 1－1 2x－12
故所有交点的横坐标之和为8.
浙江专版高考数学一轮复习第2章函数导数及其应用第6节对数函数课时分层训练04120222
课时分层训练(八) 对数函数A 组 基础达标 (建议用时：30分钟)一、选择题 1．函数y ＝的定义域是( )A ．[1,2]B ．[1,2)C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，1 D.⎝ ⎛⎦⎥⎤12，1 D [由(2x －1)≥0⇒0＜2x －1≤1⇒12＜x ≤1.]2．(2017·石家庄模拟)已知a ＝log 23＋log 23，b ＝log 29－log 23，c ＝log 32，则a ，b ，c 的大小关系是( )A ．a ＝b ＜cB ．a ＝b ＞cC ．a ＜b ＜cD ．a ＞b ＞cB [因为a ＝log 23＋log 23＝log 233＝32log 23＞1，b ＝log 29－log 23＝log 233＝a ，c ＝log 32＜log 33＝1，所以a ＝b ＞c .]3．若函数y ＝log a x (a ＞0，且a ≠1)的图象如图263所示，则下列函数图象正确的是( )图263A B C DB [由题图可知y ＝log a x 的图象过点(3,1)， ∴log a 3＝1，即a ＝3.A 项，y ＝3－x＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13x 在R 上为减函数，错误；B 项，y ＝x 3符合；C 项，y ＝(－x )3＝－x 3在R 上为减函数，错误； D 项，y ＝log 3(－x )在(－∞，0)上为减函数，错误．]4．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 2x ，x ＞0，3－x＋1，x ≤0，则f (f (1))＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫log 312的值是( )A ．5B ．3C ．－1D.72A [由题意可知f (1)＝log 21＝0，f (f (1))＝f (0)＝30＋1＝2，f ⎝⎛⎭⎪⎫log 312＝3＋1＝3log 32＋1＝2＋1＝3，所以f (f (1))＋f ⎝⎛⎭⎪⎫log 312＝5.] 5．已知y ＝log a (2－ax )在区间[0,1]上是减函数，则a 的取值范围是( )【导学号：51062045】A ．(0,1)B ．(0,2)C ．(1,2)D ．[2，＋∞)C [因为y ＝log a (2－ax )在[0,1]上单调递减，u ＝2－ax (a ＞0)在[0,1]上是减函数，所以y ＝log a u 是增函数，所以a ＞1.又2－a ＞0，所以1＜a ＜2.]二、填空题6．lg 52＋2lg 2－⎝ ⎛⎭⎪⎫12－1＝________. 【导学号：51062046】－1 [lg 52＋2lg 2－⎝ ⎛⎭⎪⎫12－1＝lg 5－lg 2＋2lg 2－2＝(lg 5＋lg 2)－2＝1－2＝－1.]7．(2017·“江南十校”信息优化卷)设函数f (x )＝lg(x 2－4)，则f (x )的定义域为________，单调递增区间为________．(－∞，－2)∪(2，＋∞) (2，＋∞) [由x 2－4>0，得f (x )的定义域为(－∞，－2)∪(2，＋∞)．其单调递增区间为(2，＋∞)．]8．(2016·浙江高考)已知a >b >1，若log a b ＋log b a ＝52，a b ＝b a，则a ＝________，b ＝________.4 2 [∵log a b ＋log b a ＝log a b ＋1log a b ＝52，∴log a b ＝2或12.∵a >b >1，∴log a b <log a a ＝1，∴log a b ＝12，∴a ＝b 2.∵a b ＝b a ，∴(b 2)b ＝bb 2，∴b 2b ＝bb 2， ∴2b ＝b 2，∴b ＝2，∴a ＝4.] 三、解答题9．设f (x )＝log a (1＋x )＋log a (3－x )(a ＞0，a ≠1)，且f (1)＝2. (1)求a 的值及f (x )的定义域；(2)求f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，32上的最大值. 【导学号：51062047】 [解] (1)∵f (1)＝2， ∴log a 4＝2(a ＞0，a ≠1)， ∴a ＝2.4分由⎩⎪⎨⎪⎧1＋x ＞0，3－x ＞0，得x ∈(－1,3)，∴函数f (x )的定义域为(－1,3).8分 (2)f (x )＝log 2(1＋x )＋log 2(3－x )＝log 2(1＋x )(3－x )＝log 2[－(x －1)2＋4]，12分 ∴当x ∈(－1,1]时，f (x )是增函数； 当x ∈(1,3)时，f (x )是减函数，故函数f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，32上的最大值是f (1)＝log 24＝2.15分10．已知函数f (x )＝log a (3－ax )．(1)当x ∈[0,2]时，函数f (x )恒有意义，求实数a 的取值范围；(2)是否存在这样的实数a ，使得函数f (x )在区间[1,2]上为减函数，并且最大值为1？如果存在，试求出a 的值；如果不存在，请说明理由．[解] (1)∵a >0且a ≠1，设t (x )＝3－ax ，则t (x )＝3－ax 为减函数，x ∈[0,2]时，t (x )最小值为3－2a ，当x ∈[0,2]，f (x )恒有意义，即x ∈[0,2]时，3－ax >0恒成立．∴3－2a >0.∴a <32.5分又a >0且a ≠1，∴a ∈(0,1)∪⎝ ⎛⎭⎪⎫1，32.7分 (2)t (x )＝3－ax ，∵a >0，∴函数t (x )为减函数，8分 ∵f (x )在区间[1,2]上为减函数， ∴y ＝log a t 为增函数，10分∴a >1，x ∈[1,2]时，t (x )最小值为3－2a ，f (x )最大值为f (1)＝log a (3－a )，∴⎩⎪⎨⎪⎧3－2a >0，log a－a ＝1，即⎩⎪⎨⎪⎧a <32，a ＝32，13分故不存在这样的实数a ，使得函数f (x )在区间[1,2]上为减函数，并且最大值为 1.15分B 组 能力提升 (建议用时：15分钟)1．(2016·浙江名校(河桥中学)交流卷三)已知函数f (x )＝|log 2x |，正实数m ，n 满足m <n ，且f (m )＝f (n )，若f (x )在区间[m 2，n ]上的最大值为2，则m ＋n ＝( )A.12 B.32 C ．2D.52D [∵f (x )＝|log 2x |，且f (m )＝f (n )，∴mn ＝1.又0<m <n ，则有0<m <1<n ，从而有0<m 2<m <1<n ，则|log 2m 2|＝2|log 2m |＝2|log 2n |>|log 2n |.∵f (x )＝|log 2x |在区间[m 2，n ]上的最大值为2，∴|log 2m 2|＝2，即|log 2m |＝1， ∴m ＝12(m ＝2舍去)，∴n ＝2.∴m ＋n ＝52.]2．若函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x ＋6，x ≤2，3＋log a x ，x >2(a >0，且a ≠1)的值域是[4，＋∞)，则实数a 的取值范围是________. 【导学号：51062048】(1,2] [当x ≤2时，y ＝－x ＋6≥4.∵f (x )的值域为[4，＋∞)， ∴当a >1时，3＋log a x >3＋log a 2≥4，∴log a 2≥1， ∴1<a ≤2；当0<a <1时，3＋log a x <3＋log a 2，不合题意． 故a ∈(1,2]．]3．已知函数f (x )＝log a (x ＋1)－log a (1－x )(a ＞0且a ≠1)． (1)求f (x )的定义域；(2)判断f (x )的奇偶性并予以证明； (3)当a ＞1时，求使f (x )＞0的x 的解集． [解] (1)要使函数f (x )有意义，则⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1＞0，1－x ＞0，解得－1＜x ＜1.3分故所求函数f (x )的定义域为(－1,1).6分 (2)证明：由(1)知f (x )的定义域为(－1,1)， 且f (－x )＝log a (－x ＋1)－log a (1＋x ) ＝－[log a (x ＋1)－log a (1－x )]＝－f (x )， 故f (x )为奇函数.10分(3)因为当a ＞1时，f (x )在定义域(－1,1)内是增函数，所以f (x )＞0⇔x ＋11－x＞1，解得0＜x ＜1，所以使f (x )＞0的x 的解集是(0,1).15分。
高考复习数学(浙江)第2章 第7节 课时分层训练9
课时分层训练(九)函数的图象A组基础达标(建议用时：30分钟)一、选择题1．为了得到函数y＝2x－2的图象，可以把函数y＝2x的图象上所有的点() 【导学号：51062051】A．向右平行移动2个单位长度B．向右平行移动1个单位长度C．向左平行移动2个单位长度D．向左平行移动1个单位长度B[因为y＝2x－2＝2(x－1)，所以只需将函数y＝2x的图象上所有的点向右平移1个单位长度，即可得到y＝2(x－1)＝2x－2的图象，故B正确．] 2．小明骑车上学，开始时匀速行驶，途中因交通堵塞停留了一段时间，后为了赶时间加快速度行驶．与以上事件吻合得最好的图象是()A B C DC[出发时距学校最远，先排除A，中途堵塞停留，距离没变，再排除D，堵塞停留后比原来骑得快，因此排除B.]3．(2017·浙江嘉兴第一中学能力测试)若函数y＝a x－b的图象如图2-7-6所示，则()图2-7-6A．a>1，b>1 B．a>1,0<b<1C ．0<a <1，b >1D ．0<a <1,0<b <1D [由题图易知0<a <1，b >0，而函数y ＝a x －b 的图象是由函数y ＝a x 的图象向下平移b 个单位得到的，且函数y ＝a x 的图象恒过点(0,1)，所以由题图可知0<b <1，故选D.]4．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 12x ，x >0，x ，x ≤0，若关于x 的方程f (x )＝k 有两个不等的实数根，则实数k 的取值范围是( )A ．(0，＋∞) ．(－∞，1) C ．(1，＋∞)D ．(0,1]D [作出函数y ＝f (x )与y ＝k 的图象，如图所示：由图可知k ∈(0,1]，故选D.]5．(2017·宁波市镇海中学模拟)若f (x )是偶函数，且当x ∈[0，＋∞)时，f (x )＝x －1，则f (x －1)<0的解集是( )A ．(－1,0)B ．(－∞，0)∪(1,2)C ．(1,2)D ．(0,2)D [由{x ≥0，f (x )<0，得0≤x <1.由f (x )为偶函数．结合图象(略)知f (x )<0的解集为－1<x <1.所以f (x －1)<0⇔－1<x －1<1，即0<x <2.] 二、填空题6．已知函数f (x )的图象如图2-7-7所示，则函数g (x )＝log 2f (x )的定义域是________. 【导学号：51062052】图2-7-7(2,8] [当f (x )＞0时，函数g (x )＝log2f (x )有意义，由函数f (x )的图象知满足f (x )＞0时，x ∈(2,8]．]7．如图2-7-8，定义在[－1，＋∞)上的函数f (x )的图象由一条线段及抛物线的一部分组成，则f (x )的解析式为________．图2-7-8f (x )＝⎩⎨⎧x ＋1，－1≤x ≤0，f(1,4)(x －2)2－1，x ＞0 [当－1≤x ≤0时， 设解析式为y ＝kx ＋b ，则⎩⎪⎨⎪⎧ －k ＋b ＝0，＝1，得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝1，＝1，∴y ＝x ＋1. 当x ＞0时，设解析式为y ＝a (x －2)2－1. ∵图象过点(4,0)，∴0＝a (4－2)2－1， 得a ＝14，即y ＝14(x －2)2－1.综上，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1，－1≤x ≤0，f(1,4)(x －2)2－1，x ＞0.]8．已知定义在R 上的函数y ＝f (x )对任意的x 都满足f (x ＋1)＝－f (x )，当－1≤x <1时，f (x )＝x 3，若函数g (x )＝f (x )－log a |x |至少有6个零点，则a 的取值范围是________．⎝ ⎛⎦⎥⎤0，15∪(5，＋∞) [由f (x ＋1)＝－f (x )得f (x ＋1)＝－f (x ＋2)，因此f (x )＝f (x＋2)，函数f (x )是周期为2的周期函数．函数g (x )＝f (x )－log a |x |至少有6个零点可转化成y ＝f (x )与h (x )＝log a |x |两函数图象交点至少有6个，需对底数a 进行分类讨论．若a >1，则h (5)＝log a 5<1，即a >5.若0<a <1，则h (－5)＝log a 5≥－1，即0<a ≤15.所以a 的取值范围是⎝ ⎛⎦⎥⎤0，15∪(5，＋∞)．] 三、解答题9．已知函数f (x )＝⎩⎨⎧3－x 2，x ∈[－1，2]，－3，x ∈(2，5].(1)在如图2-7-9所示给定的直角坐标系内画出f (x )的图象；图2-7-9(2)写出f (x )的单调递增区间；(3)由图象指出当x 取什么值时f (x )有最值． [解] (1)函数f (x )的图象如图所示．6分(2)由图象可知，函数f (x )的单调递增区间为[－1,0]，[2,5].10分 (3)由图象知当x ＝2时，f (x )min ＝f (2)＝－1， 当x ＝0时，f (x )max ＝f (0)＝3.15分 10．已知f (x )＝|x 2－4x ＋3|. (1)作出函数f (x )的图象；(2)求函数f (x )的单调区间，并指出其单调性；(3)求集合M ＝{m |使方程f (x )＝m 有四个不相等的实根}.【导学号：51062053】[解] (1)当x 2－4x ＋3≥0时，x ≤1或x ≥3，∴f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－4x ＋3，x ≤1或x ≥3，x 2＋4x －3，1＜x ＜3，∴f (x )的图象为：(2)由函数的图象可知f (x )的单调区间是(－∞，1]，(2,3]，(1,2]，(3，＋∞)，其中(－∞，1]，(2,3]是减区间；[1,2]，[3，＋∞)是增区间.10分(3)由f (x )的图象知，当0＜m ＜1时，f (x )＝m 有四个不相等的实根，所以M ＝{m |0＜m ＜1}.15分B 组 能力提升 (建议用时：15分钟)1．已知函数f (x )(x ∈R )满足f (x )＝f (2－x )，若函数y ＝|x 2－2x －3|与y ＝f (x )图象的交点为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，…，(x m ，y m )，则∑i ＝1mx i ＝( )A ．0B ．mC ．2mD ．4mB [∵f (x )＝f (2－x )，∴函数f (x )的图象关于直线x ＝1对称．又y ＝|x 2－2x －3|＝|(x －1)2－4|的图象关于直线x ＝1对称，∴两函数图象的交点关于直线x ＝1对称．当m 为偶数时，∑i ＝1m x i ＝2×m2＝m ；当m 为奇数时，∑i ＝1m x i ＝2×m －12＋1＝m .故选B.]2．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x 2＋x ，x ≤1，og 13x ，x ＞1，若对任意的x ∈R ，都有f (x )≤|k －1|成立，则实数k 的取值范围为________．⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，34∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫54，＋∞ [对任意的x ∈R ，都有f (x )≤|k －1|成立， 即f (x )max ≤|k －1|.因为f (x )的草图如图所示，观察f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x 2＋x ，x ≤1，og 13x ，x ＞1的图象可知，当x ＝12时，函数f (x )max ＝14，所以|k－1|≥14，解得k≤34或k≥54.]3．已知函数f(x)的图象与函数h(x)＝x＋1x＋2的图象关于点A(0,1)对称．(1)求函数f(x)的解析式；(2)若g(x)＝f(x)＋ax，g(x)在区间(0,2]上的值不小于6，求实数a的取值范围.【导学号：51062054】[解](1)设f(x)图象上任一点坐标为(x，y)，∵点(x，y)关于点A(0,1)的对称点(－x,2－y)在h(x)的图象上，∴2－y＝－x＋1－x＋2，4分∴y＝x＋1x，即f(x)＝x＋1x.7分(2)由题意g(x)＝x＋a＋1 x，且g(x)＝x＋a＋1x≥6，x∈(0,2].10分∵x∈(0,2]，∴a＋1≥x(6－x)，即a≥－x2＋6x－1.12分令q(x)＝－x2＋6x－1，x∈(0,2]，q(x)＝－x2＋6x－1＝－(x－3)2＋8，∴x∈(0,2]时，q(x)max＝q(2)＝7，故a的取值范围为[7，＋∞).15分。
(浙江专用)2021高考数学二轮复习精准提分第二篇重点专题分层练,中高档题得高分第24练导数的综合应
Δ＝a2－4>0， 设两根为 x1，x2，则x1＋x2＝a>0，
x1x2＝1>0，
∴a>2.
即a的取值范围为(2，＋∞).
解答
(2)假设关于x的方程f(x)＝m(x＋1)(m∈Z)有实数解，求整数m的最大值.
解答
9.已知函数 f(x)＝x－(a＋1)ln x－ax(a∈R)，g(x)＝21x2＋ex－xex. (1)当x∈[1，e]时，求f(x)的最小值；
解答
(2)若 f(x)存在两个极值点 x1，x2， 证明：fxx11－ －fx2x2＜a－2.
证明
6.设函数f(x)＝e2x－aln x. (1)讨论f(x)的导函数f′(x)零点的个数；
解答
(2)证明：当
a>0
时，f(x)≥2a＋aln
2 a.
证明
考点三 不等式恒成立或有解问题
方法技巧 不等式恒成立、能成立问题常用解法 (1)别离参数后转化为求最值，不等式恒成立问题在变量与参数易于别离 的情况下，采用别离参数转化为函数的最值问题，形如a>f(x)max或 a<f(x)min. (2)直接转化为函数的最值问题，在参数难于别离的情况下，直接转化为 含参函数的最值问题，注意对参数的分类讨论. (3)数形结合，构造函数，借助函数图象的几何直观性求解，一定要重视 函数性质的灵活应用.
审题路线图 (1) 求导f′x ―→ 讨论参数m确定f′x符号 ―→ fx的单调区间
(2) 结合1确定的符号 ―→ 问题转化为fxmax≤0 ―→ m－ln m－1≤0 ―→ gx＝x－ln x－1最小值为0 ―→ 求出m＝1 (3) 要证结论转化 ―→ 利用2中gx性质 ――函 不――数 等―单 式――调 放――性 缩―→ 结论得证
(浙江专用)高考数学二轮复习小题分层练(六)
（浙江专用）高考数学二轮复习小题分层练（六）1．已知集合A ＝{x |x 2＋a ≤(a ＋1)x ，a ∈R }，若存在a ∈R ，使得集合A 中所有整数元素之和为28，则实数a 的取值范围是( )A ．[9，10)B ．[7，8)C ．(9，10)D ．[7，8]2．已知偶函数f (x )，当x ∈[0，2)时，f (x )＝2sin x ，当x ∈[2，＋∞)时，f (x )＝log 2x ，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π3＋f (4)＝( ) A ．－3＋2 B ．1 C ．3D.3＋23．已知函数y ＝sin ωx (ω＞0)在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上为增函数，且图象关于点(3π，0)对称，则ω的取值集合为( )A.⎩⎨⎧⎭⎬⎫13，23，1 B.⎩⎨⎧⎭⎬⎫16，13 C.⎩⎨⎧⎭⎬⎫13，23 D.⎩⎨⎧⎭⎬⎫16，23 4．若实数x 、y 满足⎩⎪⎨⎪⎧2x －y ≥0，y ≥x ，y ≥－x ＋b 且z ＝2x ＋y 的最小值为4，则实数b 的值为( )A ．1B ．2 C.52D ．35．在⎝⎛⎭⎪⎫x ＋3x n 的展开式中，各项系数和与二项式系数和之比为64，则x 3的系数为( )A ．15B ．45C ．135D ．4056．在△ABC 中，|AB →＋AC →|＝|AB →－AC →|，AB ＝2，AC ＝1，E ，F 为BC 的三等分点，则AE →·AF →＝( )A.89B.109C.259D.2697．已知实数a ，b 满足2a＝3，3b＝2，则函数f (x )＝a x＋x －b 的零点所在的区间是( ) A ．(－2，－1)B ．(－1，0)C ．(0，1)D ．(1，2)8．已知函数y ＝f (x )的定义域为R ，当x ＜0时，f (x )＞1，且对任意的实数x 、y ∈R ，等式f (x )f (y )＝f (x ＋y )恒成立．若数列{a n }满足a 1＝f (0)，且f (a n ＋1)＝1f （－2－a n ）(n ∈N *)，则a 2 018的值为( )A ．4 034B ．4 035C ．4 304D ．3 0439．设a <0，(3x 2＋a )(2x ＋b )≥0在(a ，b )上恒成立，则b －a 的最大值为( ) A.13 B.12 C.33D.2210．如图，矩形ABCD 中，AB ＝2AD ，E 为边AB 的中点，将△ADE 沿直线DE 翻折成△A 1DE .若M 为线段A 1C 的中点，则在△ADE 翻折过程中，下面四个命题中不正确的是( )A ．BM 是定值B ．点M 在某个球面上运动C ．存在某个位置，使DE ⊥A 1CD ．存在某个位置，使MB ∥平面A 1DE11．函数y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3－1，x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π3的值域为________，并且取最大值时x 的值为________．12．已知F 为抛物线C ：y 2＝4x 的焦点，点E 在C 的准线上，且在x 轴上方，线段EF 的垂直平分线与C 的准线交于点Q ⎝⎛⎭⎪⎫－1，32，与C 交于点P ，则点P 的坐标为________．13．已知数列{a n }，{b n }是公差分别为d 1，d 2的等差数列，且A n ＝a n ＋b n ，B n ＝a n b n .若A 1＝1，A 2＝3，则A n ＝________；若{B n }为等差数列，则d 1d 2＝________．14．若对任意x ，y ∈[0，＋∞)，不等式4ax ≤e x ＋y －2＋ex －y －2＋2恒成立，则实数a 的最大值是________．15．已知定义在(－∞，0)∪(0，＋∞)上的偶函数f (x )的导函数为f ′(x )，且f (1)＝0，当x ＜0时，f ′(x )＋f （x ）x＞0，则f (－1)＝________，使得f (x )＞0成立的x 的取值范围是________．16．正方形ABCD 的边长为4，点E ，F 分别是边BC ，CD 的中点，沿AE ，EF ，FA 折成一个三棱锥B AEF (使点B ，C ，D 重合于点B )，则三棱锥B AEF 的外接球的表面积为________．17．已知△ABC 的三边a ，b ，c 所对的角分别为A ，B ，C.若a 2＋2b 2＝c 2，则tan C tan A ＝________，tan B 的最大值为________．小题分层练(六)1．解析：选B.注意到不等式x 2＋a ≤(a ＋1)x ，即(x －a )·(x －1)≤0，因此该不等式的解集中必有1与a .要使集合A 中所有整数元素之和为28，必有a ＞1.注意到以1为首项、1为公差的等差数列的前7项和为7×（7＋1）2＝28，因此由集合A 中所有整数元素之和为28得7≤a <8，即实数a 的取值范围是[7，8)．2．解析：选D.因为f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π3＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＝2sin π3＝3，f (4)＝log 24＝2，所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π3＋f (4)＝3＋2，故选D.3．解析：选A.由题意知⎩⎪⎨⎪⎧π2ω≥π2，3ωπ＝k π，即⎩⎪⎨⎪⎧0＜ω≤1，ω＝k3，其中k ∈Z ， 则ω＝13、ω＝23或ω＝1.4.解析：选D.由可行域可知目标函数z ＝2x ＋y 在直线2x －y ＝0与直线y ＝－x ＋b 的交点⎝ ⎛⎭⎪⎫b 3，2b 3处取得最小值4，所以4＝2×b 3＋2b 3，解得b ＝3，所以选D.5．解析：选C.由题意4n2n ＝64，n ＝6，T r ＋1＝C r 6x 6－r·⎝ ⎛⎭⎪⎫3x r ＝3r C r 6x 6－3r 2，令6－3r 2＝3，r＝2，32C 26＝135.6.解析：选B.由|AB →＋AC →|＝|AB →－AC →|，化简得AB →·AC →＝0，又因为AB 和AC 为三角形的两条边，不可能为0，所以AB →与AC →垂直，所以△ABC 为直角三角形．以AC 为x 轴，以AB 为y 轴建立平面直角坐标系，如图所示，则A (0，0)，B (0，2)，C (1，0)，由E ，F 为BC 的三等分点知E ⎝ ⎛⎭⎪⎫23，23，F (13，43)，所以AE →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫23，23，AF →＝(13，43)，所以AE →·AF →＝23×13＋23×43＝109.7．解析：选B. 因为2a ＝3，3b＝2，所以a ＞1，0＜b ＜1，又f (x )＝a x ＋x －b ，所以f (－1)＝1a－1－b ＜0，f (0)＝1－b ＞0，从而由零点存在性定理可知f (x )在区间(－1，0)上存在零点．8．解析：选B.根据题意，不妨设f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x，则a 1＝f (0)＝1，因为f (a n ＋1)＝1f （－2－a n ），所以a n ＋1＝a n ＋2，所以数列{a n }是以1为首项，2为公差的等差数列，所以a n ＝2n －1，所以a 2 018＝4 035.9．解析：选A.因为(3x 2＋a )(2x ＋b )≥0在(a ，b )上恒成立，所以3x 2＋a ≥0，2x ＋b ≥0或3x 2＋a ≤0，2x ＋b ≤0，①若2x ＋b ≥0在(a ，b )上恒成立，则2a ＋b ≥0，即b ≥－2a >0，此时当x ＝0时，3x 2＋a ＝a ≥0不成立，②若2x ＋b ≤0在(a ，b )上恒成立，则2b ＋b ≤0，即b ≤0，若3x 2＋a ≤0在(a ，b )上恒成立，则3a 2＋a ≤0，即－13≤a ≤0，故b －a 的最大值为13.10．解析：选C.延长CB 至F ，使CB ＝BF ，连接A 1F ，可知MB 为△A 1FC 的中位线，即MB ＝12A 1F ，因为在翻折过程中A 1F 为定值，所以BM 为定值．点A 1绕DE 的中点、以定长为半径做圆周运动，点M 运动的轨迹与点A 1相似，也是圆周运动，所以点M 在某个球面上运动．由题知DE ⊥EC ，若DE ⊥A 1C ，则直线DE ⊥平面ECA 1，于是∠DEA 1＝90°，又因为∠DAE ＝90°，即∠DA 1E ＝90°，此时在一个三角形中有两个直角，所以DE 不可能垂直于A 1C .因为MB 綊12A 1F ，由图可知A 1F 在平面A 1DE 内，所以存在某个位置使得MB ∥平面A 1DE .11．解析：因为0≤x ≤π3，所以π3≤2x ＋π3≤π，所以0≤sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π3≤1，所以－1≤2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π3－1≤1，即值域为[－1，1]， 且当sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3＝1，即x ＝π12时，y 取最大值．答案：[－1，1]π1212．解析：由题意，得抛物线的准线方程为x ＝－1，F (1，0)．设E (－1，y )，因为PQ 为EF 的垂直平分线，所以|EQ |＝|FQ |，即y －32＝（－1－1）2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫322，解得y ＝4，所以k EF ＝4－0－1－1＝－2，k PQ ＝12， 所以直线PQ 的方程为y －32＝12(x ＋1)，即x －2y ＋4＝0.由⎩⎪⎨⎪⎧x －2y ＋4＝0，y 2＝4x ，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4，y ＝4，即点P 的坐标为(4，4)． 答案：(4，4)13．解析：因为数列{a n }，{b n }是公差分别为d 1，d 2的等差数列，且A n ＝a n ＋b n ， 所以数列{A n }是等差数列，又A 1＝1，A 2＝3， 所以数列{A n }的公差d ＝A 2－A 1＝2. 则A n ＝1＋2(n －1)＝2n －1； 因为B n ＝a n b n ，且{B n }为等差数列，所以B n ＋1－B n ＝a n ＋1b n ＋1－a n b n ＝(a n ＋d 1)(b n ＋d 2)－a n b n ＝a n d 2＋b n d 1＋d 1d 2＝[a 1＋(n －1)d 1]d 2＋[b 1＋(n －1)d 2]d 1＋d 1d 2＝a 1d 2＋b 1d 1－d 1d 2＋2d 1d 2n 为常数．所以d 1d 2＝0. 答案：2n －1 0 14．解析：因为e x ＋y －2＋ex －y －2＋2＝ex －2(e y ＋e －y )＋2≥2(ex －2＋1)，再由2(ex －2＋1)≥4ax ，可得2a ≤1＋e x －2x，令g (x )＝1＋ex －2x，则g ′(x )＝ex －2（x －1）－1x2，可得g ′(2)＝0，且在(2，＋∞)上g ′(x )＞0，在(0，2)上g ′(x )＜0，故g (x )的最小值为g (2)＝1，于是2a ≤1，即a ≤12.答案：1215．解析：因为f (x )为(－∞，0)∪(0，＋∞)上的偶函数，所以f (－1)＝f (1)＝0.当x ＜0时，f ′(x )＋f （x ）x ＝xf ′（x ）＋f （x ）x＞0，所以xf ′(x )＋f (x )＜0，即(xf (x ))′＜0.令g (x )＝xf (x )，可知g (x )在(－∞，0)上单调递减，且g (－1)＝－f (－1)＝0.当x ＜－1时，xf (x )＞0，所以f (x )＜0；当－1＜x ＜0时，xf (x )＜0，所以f (x )＞0.由对称性知，f (x )＞0的解集为(－1，0)∪(0，1)． 答案：0 (－1，0)∪(0，1)16．解析：沿AE ，EF ，FA 折成一个三棱锥B AEF ，则三棱锥的三条侧棱两两垂直，故四面体B AEF 的外接球的直径为以BA ，BE ，BF 为棱的长方体的体对角线，则长方体的体对角线2R ＝BA 2＋BE 2＋BF 2＝42＋22＋22＝26，所以R ＝6，故四面体B AEF 的外接球的表面积S ＝4π×(6)2＝24π.答案：24π17．解析：因为a 2＋2b 2＝c 2＞a 2＋b 2， 所以C 为钝角．所以tan C tan A ＝sin C cos A cos C sin A ＝c ·b 2＋c 2－a 22bc a ·a 2＋b 2－c 22ab＝b 2＋c 2－a 2a 2＋b 2－c 2＝3b 2－b 2＝－3.所以tan C ＝－3tan A ， 则tan B ＝－tan(A ＋C ) ＝tan A ＋tan C tan A tan C －1＝2tan A1＋3tan 2A＝21tan A＋3tan A ≤223＝33， 当且仅当tan A ＝33时取等号， 故tan B 的最大值为33. 答案：－333。
2020学年高中数学课时分层作业6正弦函数的性质(含解析)北师大版必修4(2021-2022学年)
课时分层作业（六）正弦函数的性质（建议用时：60分钟)［合格基础练］一、选择题1.已知a∈R,函数f（ｘ)＝ｓiｎx+|a|－1，x∈R为奇函数,则a等于(）A.0B．１C．－1 Ｄ.±1Ｄ [由题意，得f(０)=0，即|a|-1=0，所以ａ＝±１，即当a=±1时,f(x)=sin x为R上的奇函数．]2．函数ｙ=4siｎx+3在[-π,π］上的递增区间为（ )Ａ。
错误!未定义书签。
B。
错误!C.错误!Ｄ。
错误!B [y=ｓiｎｘ的递增区间就是y＝4ｓin x+3的递增区间.]３.已知函数y=sｉn x，ｘ∈错误!,则y的取值范围是()A。
[-1，1]ﻩB。
错误!C.错误!未定义书签。
D。
错误!C［y＝sｉｎx在错误!上递增,在错误!未定义书签。
上递减,∴当x＝错误!未定义书签。
时,y max=１,当ｘ＝错误!时,y mｉn＝错误!，∴y∈错误!。
］4.函数y=２－ｓin ｘ的最大值及取最大值时x的值分别为（ )Ａ．y mａｘ＝3，ｘ=错误!Ｂ.y mａｘ=1，x=错误!未定义书签。
＋2ｋπ(k∈Z)Ｃ.y mａx＝３，x＝－错误!未定义书签。
+２ｋπ(k∈Ｚ)D．y max=3，x＝＼f(π,２）＋2kπ(k∈Z）ﻬＣ[当sｉn ｘ=－1即x＝-错误!未定义书签。
＋2kπ,ｋ∈Ｚ时,y mａx＝2-（-1)＝3.］5.函数y=｜ｓin x｜＋sinｘ的值域为（ )A.[-1，１]B.［-２，２]C．［－２，０］ﻩ D.［０,2］D[y=|sin x|+sin ｘ=错误!∴其值域为［0，２］．］二、填空题6．y=a＋b sin x的最大值是错误!未定义书签。
,最小值是-错误!未定义书签。
,则ａ＝_＿_＿＿_＿_，b=____＿＿_＿。
错误!未定义书签。
±1 ［若b〉０，由-１≤sin ｘ≤1知错误!解得错误!若ｂ〈0,则错误!未定义书签。
解得错误!]7．函数f(x)＝x3＋siｎｘ＋1，x∈R，若ｆ（a)=2，则f（-a)的值为__＿_＿___．0 [f(a）＝a3+sinａ＋1=2,所以a3+sinａ=1，f(-a)=（-a)3+sin(-a）+1＝-(ａ3＋sin a)＋1=－１+1＝０.]8．cｏｓ10°，sin 1１°,sｉn １68°从小到大的排列顺序是＿_＿＿＿___．siｎ11°＜sin 1６8°＜ｃos 1０° ［因为sin 168°=sｉｎ（18０°－12°)=ｓiｎ１2°，cos 10°=cｏs(９０°－80°）=ｓｉn80°，当0°≤x≤90°时，正弦函数y＝ｓｉn x是增函数,因此sｉn 1１°<sin 12°＜ｓin 80°,即siｎ 1１°<sｉn １6８°＜ｃos １０°。
高考复习数学(浙江)第4章 第4节 课时分层训练25
课时分层训练(二十五)数系的扩充与复数的引入A组基础达标(建议用时：30分钟)一、选择题1．(2017·宁波一模)在复平面内，复数(1＋3i)·i对应的点位于()A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限B[复数(1＋3i)i＝－3＋i在复平面内对应的点为(－3，1)，位于第二象限，故选B.]2．设(1＋2i)(a＋i)的实部与虚部相等，其中a为实数，则a＝()A．－3 B．－2C．2 D．3A[(1＋2i)(a＋i)＝a－2＋(1＋2a)i，由题意知a－2＝1＋2a，解得a＝－3，故选A.]3．若复数z＝21－i，其中i为虚数单位，则z－＝()A．1＋i B．1－i C．－1＋i D．－1－iB[∵z＝21－i ＝2(1＋i)(1－i)(1＋i)＝2(1＋i)2＝1＋i，∴z－＝1－i.]4．设(1＋i)x＝1＋y i，其中x，y是实数，则|x＋y i|＝() A．1 B.2C.3D．2B[∵(1＋i)x＝1＋y i，∴x＋x i＝1＋y i.又∵x，y∈R，∴x＝1，y＝x＝1.∴|x ＋y i|＝|1＋i|＝2，故选B.]5．设z 是复数，则下列命题中的假命题是( ) A ．若z 2≥0，则z 是实数 B ．若z 2<0，则z 是虚数 C ．若z 是虚数，则z 2≥0 D ．若z 是纯虚数，则z 2<0C [实数可以比较大小，而虚数不能比较大小，设z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )，则z 2＝a 2－b 2＋2ab i ，由z 2≥0，得⎩⎪⎨⎪⎧ab ＝0，a 2－b 2≥0，，则b ＝0，或a ，b 都为0，即z为实数，故选项A 为真，同理选项B 为真；选项C 为假，选项D 为真．]6．若i 为虚数单位，图4-4-3中复平面内点Z 表示复数z ，则表示复数z1＋i的点是( )图4-4-3A ．EB ．FC ．GD ．HD [由题图知复数z ＝3＋i ，∴z 1＋i ＝3＋i1＋i ＝(3＋i )(1－i )(1＋i )(1－i )＝4－2i2＝2－i. ∴表示复数z1＋i的点为H .] 7．已知复数z ＝1＋2i1－i，则1＋z ＋z 2＋…＋z 2 019＝( ) A ．1＋iB ．1－iC ．iD ．0D [z ＝1＋2i 1－i ＝1＋2i (1＋i )2＝i ，∴1＋z ＋z 2＋…＋z 2 019＝1×(1－z 2 020)1－z ＝1－i 2 0201－i ＝1－i 4×5051－i＝0.]二、填空题8．复数z ＝(1＋2i)(3－i)，其中i 为虚数单位，则z 的实部是________． 5 [因为z ＝(1＋2i)(3－i)＝3－i ＋6i －2i 2＝5＋5i ，所以z 的实部是5.] 9．已知a ∈R ，若1＋a i2－i为实数，则a ＝________. 【导学号：51062151】 －12 [1＋a i 2－i ＝(1＋a i )(2＋i )(2－i )(2＋i )＝2＋i ＋2a i －a 5＝2－a 5＋1＋2a 5i.∵1＋a i 2－i为实数，∴1＋2a 5＝0，∴a ＝－12.] 10．已知复数z ＝x ＋y i ，且|z －2|＝3，则yx 的最大值为________． 3 [∵|z －2|＝(x －2)2＋y 2＝3，∴(x －2)2＋y 2＝3.由图可知⎝ ⎛⎭⎪⎫y x max ＝31＝ 3.]B 组 能力提升 (建议用时：15分钟)1．已知复数z 1＝－12＋32i ，z 2＝－12－32i ，则下列命题中错误的是 ( ) A ．z 21＝z 2 B ．|z 1|＝|z 2|C ．z 31－z 32＝1D ．z 1，z 2互为共轭复数C [依题意，注意到z 21＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＋32i 2＝1－34－32i ＝－12－32i ＝z 2，因此选项A 正确；注意到|z 1|＝1＝|z 2|，因此选项B 正确；注意到z 1＝－12－32i ＝z 2，因此选项D 正确；注意到z 31＝z 21·z 1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＋32i 2·⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＋32i ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－12－32i ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＋32i ＝1，同理z 32＝1，因此z 31－z 32＝0，选项C 错误．综上所述，选C.] 2．设f (n )＝⎝⎛⎭⎪⎫1＋i 1－i n ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1－i 1＋i n(n ∈N *)，则集合{f (n )}中元素的个数为( ) A ．1 B ．2 C ．3D ．无数个C [f (n )＝⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫1＋i 1－i n ＋⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫1－i 1＋i n ＝i n ＋(－i)n ， f (1)＝0，f (2)＝－2，f (3)＝0，f (4)＝2，f (5)＝0，…， ∴集合中共有3个元素．]3．已知集合M ＝{1，m,3＋(m 2－5m －6)i}，N ＝{－1,3}，若M ∩N ＝{3}，则实数m 的值为________. 【导学号：51062152】3或6 [∵M ∩N ＝{3}，∴3∈M 且－1∉M ， ∴m ≠－1,3＋(m 2－5m －6)i ＝3或m ＝3， ∴m 2－5m －6＝0且m ≠－1或m ＝3， 解得m ＝6或m ＝3.]4．已知复数z 1＝cos 15°＋sin 15°i 和复数z 2＝cos 45°＋sin 45°i ，则z 1·z 2＝________.12＋32i [z 1·z 2＝(cos 15°＋sin 15°i)(cos 45°＋sin 45°i)＝(cos 15°cos 45°－sin 15°sin 45°)＋(sin 15°cos 45°＋cos 15°sin 45°)i ＝cos 60°＋sin 60°i ＝12＋32i.]。
浙江专版高考数学第6章不等式的性质与一元二次不等式课时分层训练
课时分层训练(三十) 不等式的性质与一元二次不等式A 组 基础达标 (建议用时：30分钟)一、选择题1．已知a >b ，c >d ，且c ，d 不为0，那么下列不等式成立的是( ) A ．ad >bc B ．ac >bd C ．a －c >b －dD ．a ＋c >b ＋dD [由不等式的同向可加性得a ＋c >b ＋d .]2．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2， x ≤0，－x ＋2， x >0，则不等式f (x )≥x 2的解集为( ) A ．[－1,1] B ．[－2,2] C ．[－2,1]D ．[－1,2]A [法一：当x ≤0时，x ＋2≥x 2， ∴－1≤x ≤0；①当x >0时，－x ＋2≥x 2，∴0<x ≤1.② 由①②得原不等式的解集为{x |－1≤x ≤1}． 法二：作出函数y ＝f (x )和函数y ＝x 2的图象，如图，由图知f (x )≥x 2的解集为[－1,1]．]3．设a ，b 是实数，则“a >b >1”是“a ＋1a >b ＋1b”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分又不必要条件A [因为a ＋1a－⎝ ⎛⎭⎪⎫b ＋1b＝a －bab －ab，若a >b >1，显然a ＋1a－⎝ ⎛⎭⎪⎫b ＋1b＝a －bab －ab>0，则充分性成立，当a ＝12，b ＝23时，显然不等式a ＋1a >b ＋1b成立，但a >b >1不成立，所以必要性不成立．]4．(2016·绍兴一模)已知一元二次不等式f (x )<0的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x | x <－1或x >13，则f (e x )>0的解集为( )A ．{x |x <－1或x >－ln 3}B ．{x |－1<x <－ln 3}C ．{x |x >－ln 3}D ．{x |x <－ln 3}D [设－1和13是方程x 2＋ax ＋b ＝0的两个实数根，∴a ＝－⎝⎛⎭⎪⎫－1＋13＝23， b ＝－1×13＝－13，∵一元二次不等式f (x )<0的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x | x <－1或x >13，∴f (x )＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋23x －13＝－x 2－23x ＋13，∴f (x )>0的解集为x ∈⎝⎛⎭⎪⎫－1，13.不等式f (e x )>0可化为－1<e x <13.解得x <ln 13，∴x <－ln 3，即f (e x)>0的解集为{x |x <－ln 3}．]5．若集合A ＝{}x |ax 2－ax ＋1<0＝∅，则实数a 的值的集合是( )A ．{a |0<a <4}B ．{a |0≤a <4}C ．{a |0<a ≤4}D ．{a |0≤a ≤4}D [由题意知a ＝0时，满足条件，a ≠0时，由⎩⎪⎨⎪⎧a >0，Δ＝a 2－4a ≤0，得0<a ≤4，所以0≤a ≤4.] 二、填空题6．(2017·温州一模)不等式－2x 2＋x ＋1>0的解集为__________.【导学号：51062182】⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，1 [－2x 2＋x ＋1>0，即2x 2－x －1<0，(2x ＋1)(x －1)<0，解得－12<x <1，∴不等式－2x 2＋x ＋1>0的解集为⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，1.]7．(2017·嘉兴二模)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧12x ＋1， x ≤0，－x －2，x >0，则不等式f (x )≥－1的解集是__________．[－4,2] [不等式f (x )≥－1⇔⎩⎪⎨⎪⎧x ≤0，12x ＋1≥－1或⎩⎪⎨⎪⎧x >0，－x －2≥－1，解得－4≤x ≤0或0<x ≤2，故不等式f (x )≥－1的解集是[－4,2]．]8．若关于x 的不等式4x－2x ＋1－a ≥0在[1,2]上恒成立，则实数a 的取值范围为________．(－∞，0] [∵不等式4x－2x ＋1－a ≥0在[1,2]上恒成立，∴4x－2x ＋1≥a 在[1,2]上恒成立．令y ＝4x－2x ＋1＝(2x )2－2×2x ＋1－1＝(2x －1)2－1.∵1≤x ≤2，∴2≤2x≤4.由二次函数的性质可知：当2x＝2，即x ＝1时，y 取得最小值0， ∴实数a 的取值范围为(－∞，0]．] 三、解答题9．设x <y <0，试比较(x 2＋y 2)(x －y )与(x 2－y 2)(x ＋y )的大小.【导学号：51062183】[解] (x 2＋y 2)(x －y )－(x 2－y 2)(x ＋y ) ＝(x －y )[(x 2＋y 2)－(x ＋y )2] ＝－2xy (x －y ).7分∵x <y <0，∴xy >0，x －y <0，∴－2xy (x －y )>0，12分 ∴(x 2＋y 2)(x －y )>(x 2－y 2)(x ＋y ).14分 10．已知f (x )＝－3x 2＋a (6－a )x ＋6. (1)解关于a 的不等式f (1)>0；(2)若不等式f (x )>b 的解集为(－1,3)，求实数a ，b 的值． [解] (1)∵f (x )＝－3x 2＋a (6－a )x ＋6， ∴f (1)＝－3＋a (6－a )＋6＝－a 2＋6a ＋3，2分 ∴原不等式可化为a 2－6a －3<0， 解得3－23<a <3＋23，∴原不等式的解集为{a |3－23<a <3＋23}.6分(2)f (x )>b 的解集为(－1,3)等价于方程－3x 2＋a (6－a )x ＋6－b ＝0的两根为－1,3，10分等价于⎩⎪⎨⎪⎧－1＋3＝a －a3，－1×3＝－6－b3，解得⎩⎨⎧a ＝3±3，b ＝－3.14分B 组 能力提升 (建议用时：15分钟)1．(2017·诸暨一模)若关于x 的不等式x 2－4x －2－a >0在区间(1,4)内有解，则实数a 的取值范围是( )A ．(－∞，－2)B ．(－2，＋∞)C ．(－6，＋∞)D ．(－∞，－6)A [不等式x 2－4x －2－a >0在区间(1,4)内有解等价于a <(x 2－4x －2)max ，令g (x )＝x 2－4x －2，x ∈(1,4)，∴g (x )<g (4)＝－2，∴a <－2.]2．在R 上定义运算：x *y ＝x (1－y )，若不等式(x －y )*(x ＋y )<1对一切实数x 恒成立，则实数y 的取值范围是__________. 【导学号：51062184】⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，32 [由题意知(x －y )*(x ＋y )＝(x －y )·[1－(x ＋y )]<1对一切实数x 恒成立，所以－x 2＋x ＋y 2－y －1<0对于x ∈R 恒成立．故Δ＝12－4×(－1)×(y 2－y －1)<0， 所以4y 2－4y －3<0，解得－12<y <32.]3．(2017·杭州二中模拟)已知函数f (x )＝x 2－2ax －1＋a ，a ∈R . (1)若a ＝2，试求函数y ＝f xx(x >0)的最小值； (2)对于任意的x ∈[0,2]，不等式f (x )≤a 成立，试求a 的取值范围．[解] (1)依题意得y ＝f x x ＝x 2－4x ＋1x ＝x ＋1x－4.因为x >0，所以x ＋1x≥2，2分当且仅当x ＝1x时，即x ＝1时，等号成立，所以y ≥－2. 所以当x ＝1时，y ＝f xx的最小值为－2.6分 (2)因为f (x )－a ＝x 2－2ax －1，所以要使得“∀x ∈[0,2]，不等式f (x )≤a 成立”只要“x 2－2ax －1≤0在[0,2]上恒成立”.9分不妨设g (x )＝x 2－2ax －1，则只要g (x )≤0在[0,2]上恒成立即可，所以⎩⎪⎨⎪⎧g ，g，即⎩⎪⎨⎪⎧0－0－1≤0，4－4a －1≤0，解得a ≥34，13分则a 的取值范围为⎣⎢⎡⎭⎪⎫34，＋∞.14分。
高考复习数学(浙江)第2章 第3节 课时分层训练5
课时分层训练(五) 函数的奇偶性与周期性A 组 基础达标(建议用时：30分钟)一、选择题1．(2017·嘉兴三模)在函数y ＝x cos x ，y ＝e x ＋x 2，y ＝lg x 2－2，y ＝x sin x 中，偶函数的个数是( )A ．3B ．2C ．1D ．0 B [y ＝x cos x 是奇函数，y ＝lgx 2－2和y ＝x sin x 是偶函数，y ＝e x ＋x 2是非奇非偶函数，故选B.]2．函数y ＝log 21＋x 1－x的图象( ) A ．关于原点对称B ．关于直线y ＝－x 对称C ．关于y 轴对称D ．关于直线y ＝x 对称 A [由1＋x 1－x＞0得－1＜x ＜1， 即函数定义域为(－1,1)，又f (－x )＝log 21－x 1＋x ＝－log 21＋x 1－x＝－f (x )， ∴函数y ＝log 21＋x 1－x为奇函数，故选A.] 3．已知函数f (x )的定义域为R .当x <0时，f (x )＝x 3－1；当－1≤x ≤1时，f (－x )＝－f (x )；当x >12时，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋12＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －12，则f (6)＝( ) A ．－2B ．－1C ．0D ．2 D [由题意知当x >12时，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋12＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －12，则f(x＋1)＝f(x)．又当－1≤x≤1时，f(－x)＝－f(x)，∴f(6)＝f(1)＝－f(－1)．又当x<0时，f(x)＝x3－1，∴f(－1)＝－2，∴f(6)＝2.故选D.]4．已知f(x)在R上是奇函数，且满足f(x＋4)＝f(x)，当x∈(0,2)时，f(x)＝2x2，则f(2 019)＝() 【导学号：51062027】A．－2 B．2C．－98 D．98A[∵f(x＋4)＝f(x)，∴f(x)是以4为周期的周期函数，∴f(2 019)＝f(504×4＋3)＝f(3)＝f(－1)．又f(x)为奇函数，∴f(－1)＝－f(1)＝－2×12＝－2，即f(2 019)＝－2.]5．对于函数f(x)，若存在常数a≠0，使得x取定义域内的每一个值，都有f(x)＝f(2a－x)，则称f(x)为准偶函数．下列函数中是准偶函数的是() A．f(x)＝x B．f(x)＝x2C．f(x)＝tan x D．f(x)＝cos(x＋1)D[由f(x)为准偶函数的定义可知，若f(x)的图象关于x＝a(a≠0)对称，则f(x)为准偶函数，A，C中两函数的图象无对称轴，B中函数图象的对称轴只有x＝0，而D中f(x)＝cos(x＋1)的图象关于x＝kπ－1(k∈Z)对称．]二、填空题6．函数f(x)在R上为奇函数，且x＞0时，f(x)＝x＋1，则当x＜0时，f(x)＝________. 【导学号：51062028】－－x－1[∵f(x)为奇函数，x＞0时，f(x)＝x＋1，∴当x＜0时，－x＞0，f(x)＝－f(－x)＝－(－x＋1)，即x＜0时，f(x)＝－(－x＋1)＝－－x－1.]7．(2017·浙江五校二模)函数f(x)＝(x＋2)(x＋a)x是奇函数，则实数a＝________.－2[由题意知，g(x)＝(x＋2)(x＋a)为偶函数，∴a＝－2.]8．(2017·杭州模拟)已知函数f(x)是(－∞，＋∞)上的奇函数，当x∈[0,2)时，f(x)＝x2，若对于任意x∈R，都有f(x＋4)＝f(x)，则f(2)－f(3)的值为________．1[由题意得f(2)＝f(－2＋4)＝f(－2)＝－f(2)，∴f(2)＝0.∵f(3)＝f(－1＋4)＝f(－1)＝－f(1)＝－1，∴f(2)－f(3)＝1.]三、解答题9．若f(x)，g(x)是定义在R上的函数，f(x)是奇函数，g(x)是偶函数，且f(x)＋g(x)＝1x2－x＋1，求f(x)的表达式. 【导学号：51062029】[解]在f(x)＋g(x)＝1x2－x＋1中用－x代替x，得f(－x)＋g(－x)＝1(－x)2－(－x)＋1，4分又f(x)是奇函数，g(x)是偶函数，所以－f(x)＋g(x)＝1x2＋x＋1，8分联立方程⎩⎨⎧ f (x )＋g (x )＝1x 2－x ＋1，－f (x )＋g (x )＝1x 2＋x ＋1，12分两式相减得f (x )＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 2－x ＋1－1x 2＋x ＋1＝x x 4＋x 2＋1.15分 10．已知定义在R 上的奇函数f (x )有最小正周期2，且当x ∈(0,1)时，f (x )＝2x4x ＋1. (1)求f (1)和f (－1)的值；(2)求f (x )在[－1,1]上的解析式．[解] (1)∵f (x )是周期为2的奇函数，∴f (1)＝f (2－1)＝f (－1)＝－f (1)，4分∴f (1)＝0，f (－1)＝0.7分(2)由题意知，f (0)＝0.当x ∈(－1,0)时，－x ∈(0,1)．由f (x )是奇函数，∴f (x )＝－f (－x )＝－2－x4－x ＋1＝－2x 4x ＋1，10分 综上，在[－1,1]上，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ 2x 4x ＋1，x ∈(0，1)，－2x 4x ＋1，x ∈(－1，0)，0，x ∈{－1，0，1}.15分B 组 能力提升(建议用时：15分钟)1．已知函数f (x )是R 上的偶函数，g (x )是R 上的奇函数，且g (x )＝f (x －1)，若f (2)＝2，则f (2 018)的值为( )A ．2B ．0C ．－2D ．±2A [∵g (－x )＝f (－x －1)， ∴－g (x )＝f (x ＋1)．又g (x )＝f (x －1)，∴f (x ＋1)＝－f (x －1)，∴f (x ＋2)＝－f (x )，f (x ＋4)＝－f (x ＋2)＝f (x )，则f (x )是以4为周期的周期函数，∴f (2 018)＝f (4×504＋2)＝f (2)＝2.]2．(2017·浙江镇海中学测试卷二)设函数f (x )＝⎩⎨⎧3x －2，x <2，x 2，x ≥2，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32＝________，若f (a ＋1)≥f (2a －1)，则实数a 的取值范围是________.【导学号：51062030】254 (－∞，2] [因为f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32＝52， 所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫52＝254. 因为函数f (x )在实数集上单调递增，故有a ＋1≥2a －1，解得a ≤2.] 3．已知函数f (x )＝⎩⎨⎧ －x 2＋2x ，x ＞0，0，x ＝0，x 2＋mx ，x ＜0是奇函数，(1)求实数m 的值； (2)若函数f (x )在区间[－1，a －2]上单调递增，求实数a 的取值范围．[解] (1)设x ＜0，则－x ＞0，所以f (－x )＝－(－x )2＋2(－x )＝－x 2－2x .2分又f (x )为奇函数，所以f (－x )＝－f (x )，于是x ＜0时，f (x )＝x 2＋2x ＝x 2＋mx ，所以m ＝2.7分(2)由(1)知f (x )在[－1,1]上是增函数， 要使f (x )在[－1，a －2]上单调递增．结合f (x )的图象知⎩⎪⎨⎪⎧a －2＞－1，a －2≤1，12分 所以1＜a ≤3，故实数a 的取值范围是(1,3].15分。
高考复习数学(浙江)第2章 第8节 课时分层训练10
课时分层训练(十)函数与方程A组基础达标(建议用时：30分钟)一、选择题1．若函数f(x)＝ax＋b有一个零点是2，那么函数g(x)＝bx2－ax的零点是() 【导学号：51062057】A．0,2B．0，1 2C．0，－12D．2，－12C[由题意知2a＋b＝0，即b＝－2a.令g(x)＝bx2－ax＝0，得x＝0或x＝ab＝－12.]2．(2017·台州模拟)已知实数a＞1,0＜b＜1，则函数f(x)＝a x＋x－b的零点所在的区间是()A．(－2，－1) B．(－1,0)C．(0,1) D．(1,2)B[∵a＞1,0＜b＜1，f(x)＝a x＋x－b，∴f(－1)＝1a－1－b＜0，f(0)＝1－b＞0，由零点存在性定理可知f(x)在区间(－1,0)上存在零点．]3．函数f(x)＝2x＋x3－2在区间(0,2)内的零点个数是()A．0B．1C．2D．3B[由指数函数、幂函数的性质可知，f(x)＝2x＋x3－2在区间(0,2)内单调递增，且f(0)＝－1＜0，f(2)＝10＞0，所以f(0)·f(2)＜0，即函数f(x)＝2x＋x3－2在区间(0,2)内有唯一一个零点，故选B.]4．若函数f(x)＝x3＋x2－2x－2的一个正数零点附近的函数值用二分法计算，参考数据如下：A．1.25 B．1.375C．1.406 25 D．1.5C[根据题意知函数的零点在1.406 25至1.437 5之间，又|1.437 5－1.406 25|＝0.031 25＜0.1，故方程的一个近似根可以是1.406 25.]5．(2017·浙江五校2月联考)已知f(x)是奇函数且是R上的单调函数，若函数y＝f(2x2＋1)＋f(λ－x)只有一个零点，则实数λ的值是()A.14 B.18C．－78D．－38C[令y＝f(2x2＋1)＋f(λ－x)＝0，则f(2x2＋1)＝－f(λ－x)＝f(x－λ)，因为f(x)是R上的单调函数，所以2x2＋1＝x－λ只有一个实根，即2x2－x＋1＋λ＝0只有一个实根，则Δ＝1－8(1＋λ)＝0，解得λ＝－78.故选C.]二、填空题6．已知关于x的方程x2＋mx－6＝0的一个根比2大，另一个根比2小，则实数m的取值范围是________．(－∞，1)[设函数f(x)＝x2＋mx－6，则根据条件有f(2)＜0，即4＋2m－6＜0，解得m＜1.]7．(2016·浙江高考)设函数f(x)＝x3＋3x2＋1，已知a≠0，且f(x)－f(a)＝(x－b)(x－a)2，x∈R，则实数a＝________，b＝________.－21[∵f(x)＝x3＋3x2＋1，则f(a)＝a3＋3a2＋1，∴f (x )－f (a )＝(x －b )(x －a )2＝(x －b )(x 2－2ax ＋a 2)＝x 3－(2a ＋b )x 2＋(a 2＋2ab )x －a 2b ＝x 3＋3x 2－a 3－3a 2.由此可得⎩⎪⎨⎪⎧2a ＋b ＝－3，①a 2＋2ab ＝0，②a 3＋3a 2＝a 2b .③∵a ≠0，∴由②得a ＝－2b ，代入①式得b ＝1，a ＝－2.]8．若函数f (x )＝|2x －2|－b 有两个零点，则实数b 的取值范围是__________.【导学号：51062058】(0,2) [由f (x )＝|2x －2|－b ＝0得|2x －2|＝b .在同一平面直角坐标系中画出y ＝|2x －2|与y ＝b 的图象，如图所示，则当0<b <2时，两函数图象有两个交点，从而函数f (x )＝|2x －2|－b 有两个零点．]三、解答题9．已知函数f (x )＝x 3－x 2＋x 2＋14.证明：存在x 0∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12，使f (x 0)＝x 0.[证明] 令g (x )＝f (x )－x .4分 ∵g (0)＝14，g ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12－12＝－18，∴g (0)·g ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＜0.10分又函数g (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，12上连续，∴存在x 0∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12，使g (x 0)＝0，即f (x 0)＝x 0.15分10．已知二次函数f (x )＝x 2＋(2a －1)x ＋1－2a ，(1)判断命题：“对于任意的a ∈R ，方程f (x )＝1必有实数根”的真假，并写出判断过程；(2)若y ＝f (x )在区间(－1,0)及⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12内各有一个零点，求实数a 的取值范围．[解] (1)“对于任意的a ∈R ，方程f (x )＝1必有实数根”是真命题． 依题意，f (x )＝1有实根，即x 2＋(2a －1)x －2a ＝0有实根.4分因为Δ＝(2a －1)2＋8a ＝(2a ＋1)2≥0对于任意的a ∈R 恒成立，即x 2＋(2a －1)x －2a ＝0必有实根，从而f (x )＝1必有实根.7分(2)依题意，要使y ＝f (x )在区间(－1,0)及⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12内各有一个零点，只需⎩⎨⎧f (－1)>0，f (0)<0，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12>0，10分 即⎩⎪⎨⎪⎧3－4a >0，1－2a <0，34－a >0，解得12<a <34.12分故实数a的取值范围为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫a ⎪⎪⎪12<a <34.15分B 组 能力提升 (建议用时：15分钟)1．(2017·杭州二中模拟)已知函数f (x )＝⎩⎨⎧2x－a ，x ≤0，2x －1，x ＞0(a ∈R )，若函数f (x )在R 上有两个零点，则a 的取值范围是( )A ．(－∞，－1)B ．(－∞，－1]C ．[－1,0)D ．(0,1]D [因为当x ＞0时，f (x )＝2x －1， 由f (x )＝0得x ＝12.所以要使f (x )在R 上有两个零点，则必须2x －a ＝0在(－∞，0]上有唯一实数解．又当x ∈(－∞，0]时，2x ∈(0,1]，且y ＝2x 在(－∞，0]上单调递增， 故所求a 的取值范围是(0,1]．]2．(2017·浙江镇海中学测试卷一)已知函数f (x )＝a x －x ＋b 的零点x 0∈(k ，k ＋1)(k ∈Z )，其中常数a ，b 满足3a ＝2,3b ＝94，则k ＝________. 【导学号：51062059】1 [依题意有a ＝log 32∈(0,1)，b ＝log 394＝2－2log 32＝2－2a ，因为0<a <1，所以y ＝f (x )是R 上的减函数，而f (1)＝a －1＋b ＝1－a >0，f (2)＝a 2－2＋b ＝a 2－2a ＝a (a －2)<0，故x 0∈(1,2)，故k ＝1.]3．若关于x 的方程22x ＋2x a ＋a ＋1＝0有实根，求实数a 的取值范围.【导学号：51062060】[解] 法一(换元法)：设t ＝2x (t ＞0)，则原方程可变为t 2＋at ＋a ＋1＝0，(*) 原方程有实根，即方程(*)有正根． 令f (t )＝t 2＋at ＋a ＋1.4分 ①若方程(*)有两个正实根t 1，t 2， 则⎩⎪⎨⎪⎧Δ＝a 2－4(a ＋1)≥0，t 1＋t 2＝－a ＞0，t 1·t 2＝a ＋1＞0，解得－1＜a ≤2－22；8分②若方程(*)有一个正实根和一个负实根(负实根不合题意，舍去)，则f (0)＝a ＋1＜0，解得a ＜－1；10分③若方程(*)有一个正实根和一个零根，则f (0)＝0且－a2＞0，解得a ＝－1. 综上，a 的取值范围是(－∞，2－22].15分法二(分离变量法)：由方程，解得a ＝－22x ＋12x ＋1，4分设t ＝2x (t ＞0)，则a ＝－t 2＋1t ＋1＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫t ＋2t ＋1－1 ＝2－⎣⎢⎡⎦⎥⎤(t ＋1)＋2t ＋1，其中t ＋1＞1，10分 由基本不等式，得(t ＋1)＋2t ＋1≥22，当且仅当t ＝2－1时取等号，故a ≤2－2 2.15分。
高考复习数学(浙江)第4章 第1节 课时分层训练22
课时分层训练(二十二) 平面向量的概念及线性运算A 组 基础达标 (建议用时：30分钟)一、选择题1．在△ABC 中，已知M 是BC 中点，设CB →＝a ，CA →＝b ，则AM →＝( ) A.12a －b B.12a ＋b C ．a －12bD ．a ＋12bA [AM →＝AC →＋CM →＝－CA →＋12CB →＝－b ＋12a ，故选A.]2．已知AB →＝a ＋2b ，BC →＝－5a ＋6b ，CD →＝7a －2b ，则下列一定共线的三点是( )A ．A ，B ，C B ．A ，B ，D C ．B ，C ，DD ．A ，C ，DB [因为AD →＝AB →＋BC →＋CD →＝3a ＋6b ＝3(a ＋2b )＝3AB →，又AB →，AD →有公共点A ，所以A ，B ，D 三点共线．]3．在△ABC 中，已知D 是AB 边上的一点，若AD →＝2DB →，CD →＝13CA →＋λCB →，则λ等于( )A.23B.13 C ．－13D ．－23A [∵AD →＝2DB →，即CD →－CA →＝2(CB →－CD →)，∴CD →＝13CA →＋23CB →，∴λ＝23.]4．设a ，b 都是非零向量，下列四个条件中，使a |a |＝b|b |成立的充分条件是( )【导学号：51062136】A ．a ＝－bB ．a ∥bC ．a ＝2bD ．a ∥b 且|a |＝|b |C [a |a |＝b|b |⇔a ＝|a |b |b |⇔a 与b 共线且同向⇔a ＝λb 且λ>0.B ，D 选项中a 和b 可能反向．A 选项中λ<0，不符合λ>0.]5．设D ，E ，F 分别是△ABC 的三边BC ，CA ，AB 上的点，且DC →＝2BD →，CE →＝2EA →，AF →＝2FB →，则AD →＋BE →＋CF →与BC →( )A ．反向平行B ．同向平行C ．互相垂直D ．既不平行也不垂直A [由题意得AD →＝AB →＋BD →＝AB →＋13BC →， BE →＝BA →＋AE →＝BA →＋13AC →， CF →＝CB →＋BF →＝CB →＋13BA →，因此AD →＋BE →＋CF →＝CB →＋13(BC →＋AC →－AB →) ＝CB →＋23BC →＝－13BC →，故AD →＋BE →＋CF →与BC →反向平行．] 二、填空题6．已知O 为四边形ABCD 所在平面内一点，且向量OA →，OB →，OC →，OD →满足等式OA →＋OC →＝OB →＋OD →，则四边形ABCD 的形状为________.【导学号：51062137】平行四边形 [由OA →＋OC →＝OB →＋OD →得OA →－OB →＝OD →－OC →， 所以BA →＝CD →，所以四边形ABCD 为平行四边形．]7．在矩形ABCD 中，O 是对角线的交点，若BC →＝5e 1，DC →＝3e 2，则OC →＝________.(用e 1，e 2表示)52e 1＋32e 2[在矩形ABCD 中，因为O 是对角线的交点，所以OC →＝12AC →＝12(AB →＋AD →)＝12(DC →＋BC →)＝12(5e 1＋3e 2)．]8．在△ABC 中，点M ，N 满足AM →＝2MC →，BN →＝NC →.若MN →＝xAB →＋yAC →，则x ＝________；y ＝________.12 －16 [∵AM →＝2MC →，∴AM →＝23AC →. ∵BN →＝NC →，∴AN →＝12(AB →＋AC →)， ∴MN ＝AN →－AM →＝12(AB →＋AC →)－23AC →＝12AB →－16AC →.又MN →＝xAB →＋yAC →，∴x ＝12，y ＝－16.] 三、解答题9．在△ABC 中，D ，E 分别为BC ，AC 边上的中点，G 为BE 上一点，且GB ＝2GE ，设AB →＝a ，AC →＝b ，试用a ，b 表示AD →，AG →. 【导学号：51062138】图4-1-1[解] AD →＝12(AB →＋AC →)＝12a ＋12b .4分AG →＝AB →＋BG →＝AB →＋23BE →＝AB →＋13(BA →＋BC →) ＝23AB →＋13(AC →－AB →) ＝13AB →＋13AC → ＝13a ＋13b .14分10．设两个非零向量e 1和e 2不共线．(1)如果AB →＝e 1－e 2，BC →＝3e 1＋2e 2，CD →＝－8e 1－2e 2， 求证：A ，C ，D 三点共线；(2)如果AB →＝e 1＋e 2，BC →＝2e 1－3e 2，CD →＝2e 1－k e 2，且A ，C ，D 三点共线，求k 的值．[解] (1)证明：∵AB →＝e 1－e 2，BC →＝3e 1＋2e 2， CD →＝－8e 1－2e 2， ∴AC →＝AB →＋BC →＝4e 1＋e 2 ＝－12(－8e 1－2e 2)＝－12CD →， ∴AC →与CD →共线.4分又∵AC →与CD →有公共点C ，∴A ，C ，D 三点共线.7分 (2)AC →＝AB →＋BC →＝(e 1＋e 2)＋(2e 1－3e 2)＝3e 1－2e 2.9分 ∵A ，C ，D 三点共线，∴AC →与CD →共线，从而存在实数λ使得AC →＝λCD →，12分 即3e 1－2e 2＝λ(2e 1－k e 2)，得⎩⎪⎨⎪⎧3＝2λ，－2＝－λk ，解得⎩⎪⎨⎪⎧λ＝32，k ＝43.15分B 组 能力提升 (建议用时：15分钟)1．设M 是△ABC 所在平面上的一点，且MB →＋32MA →＋32MC →＝0，D 是AC 的中点，则|MD →||BM →|的值为 ( )A.13B.12 C ．1D ．2A [∵D 是AC 的中点，延长MD 至E ，使得DE ＝MD (图略)，∴四边形MAEC 为平行四边形，∴MD →＝12ME →＝12(MA →＋MC →)．∵MB →＋32MA →＋32MC →＝0，∴MB →＝－32(MA →＋MC →)＝－3MD →，∴|MD →||BM →|＝|MD →||－3MD →|＝13，故选A.]2．(2017·浙江嘉兴高三双基测试)如图4-1-2，在△ABC 中，AB ＝2，BC ＝3，∠ABC ＝60°，AH ⊥BC 于点H ，M 为AH 的中点．若AM →＝λAB →＋μBC →，则λ＋μ＝________. 【导学号：51062139】图4-1-223 [因为AB ＝2，∠ABC ＝60°，AH ⊥BC ，所以BH ＝1.因为点M 为AH 的中点，所以AM →＝12AH →＝12(AB →＋BH →)＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫AB →＋13BC →＝12AB →＋16BC →，又AM →＝λAB →＋μBC →，所以λ＝12，μ＝16，所以λ＋μ＝23.]3．已知a ，b 不共线，OA →＝a ，OB →＝b ，OC →＝c ，OD →＝d ，OE →＝e ，设t ∈R ，如果3a ＝c,2b ＝d ，e ＝t (a ＋b )，是否存在实数t 使C ，D ，E 三点在一条直线上？若存在，求出实数t 的值，若不存在，请说明理由．[解] 由题设知，CD →＝d －c ＝2b －3a ，CE →＝e －c ＝(t －3)a ＋t b ，C ，D ，E 三点在一条直线上的充要条件是存在实数k ，使得CE →＝kCD →，即(t －3)a ＋t b ＝－3k a ＋2k b ，3分整理得(t －3＋3k )a ＝(2k －t )b .7分因为a ，b 不共线，所以有⎩⎪⎨⎪⎧t －3＋3k ＝0，t －2k ＝0，13分解之得t ＝65.故存在实数t ＝65使C ，D ，E 三点在一条直线上.15分。
高考复习数学(浙江)第1章 第2节 课时分层训练2
课时分层训练(二)命题及其关系、充分条件与必要条件A组基础达标(建议用时：30分钟)一、选择题1．设m∈R，命题“若m>0，则方程x2＋x－m＝0有实根”的逆否命题是() A．若方程x2＋x－m＝0有实根，则m>0B．若方程x2＋x－m＝0有实根，则m≤0C．若方程x2＋x－m＝0没有实根，则m>0D．若方程x2＋x－m＝0没有实根，则m≤0D[根据逆否命题的定义，命题“若m>0，则方程x2＋x－m＝0有实根”的逆否命题是“若方程x2＋x－m＝0没有实根，则m≤0”．]2．(2017·杭州调研)设α，β是两个不同的平面，m是直线且m⊂α.则“m∥β”是“α∥β”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件B [m⊂α，m∥βDα∥β，但m⊂α，α∥β⇒m∥β，∴“m∥β”是“α∥β”的必要不充分条件．]3．“x>1”是“log1(x＋2)<0”的()2A．充要条件B．充分不必要条件C．必要不充分条件D．既不充分也不必要条件B [∵x >1⇒log 12(x ＋2)<0，log 12(x ＋2)<0⇒x ＋2>1⇒x >－1，∴“x >1”是“log 12(x ＋2)<0”的充分不必要条件．]4．给出下列命题：①“若a 2<b 2，则a <b ”的否命题；②“全等三角形面积相等”的逆命题；③“若a >1，则ax 2－2ax ＋a ＋3>0的解集为R ”的逆否命题； ④“若3x (x ≠0)为有理数，则x 为无理数”的逆否命题．其中正确的命题是( ) 【导学号：51062009】A ．③④B ．①③C ．①②D ．②④A [对于①，否命题为“若a 2≥b 2，则a ≥b ”，为假命题；对于②，逆命题为“面积相等的三角形是全等三角形”，是假命题；对于③，当a >1时，Δ＝－12a <0，原命题正确，从而其逆否命题正确，故③正确；对于④，原命题正确，从而其逆否命题正确，故④正确，故命题③④为真命题．]5．(2017·嘉兴期末测试)设α，β是两个不同的平面，m 是直线，且m ⊂α，则“m ⊥β”是“α⊥β”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件A [若m ⊂α，m ⊥β，则α⊥β；反之，若α⊥β，m ⊂α，则m 与β的位置关系不确定，所以“m ⊥β”是“α⊥β”的充分不必要条件，故选A.]6．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对应的边分别为a ，b ，c ，则“a ≤b ”是“sin A ≤sin B ”的( )A ．充要条件B ．充分不必要条件C ．必要不充分条件D ．既不充分也不必要条件A[由正弦定理asin A＝bsin B＝2R(R为三角形外接圆半径)得，a＝2R sin A，b＝2R sin B，故a≤b⇔2R sin A≤2R sin B⇔sin A≤sin B．]7．已知条件p：x2－2ax＋a2－1>0，条件q：x>2，且q是p的充分不必要条件，则a的取值范围是() 【导学号：51062010】A．a≥1 B．a≤1C．a≥－3 D．a≤－3B[条件p：x>a＋1或x<a－1，条件q：x>2，又q是p的充分不必要条件，故q⇒p，pD⇒/q，所以a＋1≤2，即a≤1.]二、填空题8．已知a，b，c都是实数，则在命题“若a＞b，则ac2＞bc2”与它的逆命题、否命题、逆否命题这四个命题中，真命题的个数是________.【导学号：51062011】2[由a＞b D ac2＞bc2，但ac2＞bc2⇒a＞b.所以原命题是假命题，它的逆命题是真命题．从而否命题是真命题，逆否命题是假命题．]9．“m＜14”是“一元二次方程x2＋x＋m＝0有实数解”的________条件．充分不必要[x2＋x＋m＝0有实数解等价于Δ＝1－4m≥0，即m≤14，因为m＜14⇒m≤14，反之不成立．故“m＜14”是“一元二次方程x2＋x＋m＝0有实数解”的充分不必要条件．]10．已知集合A＝{x|y＝lg(4－x)}，集合B＝{x|x＜a}，若“x∈A”是“x∈B”的充分不必要条件，则实数a的取值范围是________. 【导学号：51062012】(4，＋∞) [A ＝{x |x ＜4}，由题意知A B ，所以a ＞4.]B 组 能力提升(建议用时：15分钟)1．(2017·宁波调研)“sin α＝cos α”是“cos 2α＝0”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件A [cos 2α＝0等价于cos 2α－sin 2α＝0，即cos α＝±sin α.由cos α＝sin α可得到cos 2α＝0，反之不成立．]2．设p ：实数x ，y 满足(x －1)2＋(y －1)2≤2，q ：实数x ，y 满足⎩⎨⎧y ≥x －1，y ≥1－x ，y ≤1，则p 是q 的( )A ．必要不充分条件B ．充分不必要条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件A [p 表示以点(1,1)为圆心，2为半径的圆面(含边界)，如图所示．q 表示的平面区域为图中阴影部分(含边界)．由图可知，p 是q 的必要不充分条件．]3．有下列几个命题：①“若a ＞b ，则a 2＞b 2”的否命题；②“若x ＋y ＝0，则x ，y 互为相反数”的逆命题；③“若x 2＜4，则－2＜x ＜2”的逆否命题．其中真命题的序号是________．②③ [①原命题的否命题为“若a ≤b ，则a 2≤b 2”错误．②原命题的逆命题为：“若x ，y 互为相反数，则x ＋y ＝0”正确． ③原命题的逆否命题为“若x ≥2或x ≤－2，则x 2≥4”正确．]4．已知不等式|x －m |＜1成立的充分不必要条件是13＜x ＜12，则实数m 的取值范围是________．⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，43 [由|x －m |＜1得－1＋m ＜x ＜1＋m ， 由题意知⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪ 13＜x ＜12{x |－1＋m ＜x ＜1＋m }，所以⎩⎪⎨⎪⎧ －1＋m ≤13，1＋m ≥12，解得－12≤m ≤43，所以实数m 的取值范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，43.]。
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课时分层训练(六) 二次函数与幂函数A 组 基础达标(建议用时：30分钟)一、选择题1．已知幂函数f (x )＝k ·x α的图象过点⎝ ⎛⎭⎪⎫12，22，则k ＋α＝( ) A.12 B ．1 C.32 D ．2C [由幂函数的定义知k ＝1.又f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝22，所以⎝ ⎛⎭⎪⎫12α＝22，解得α＝12，从而k ＋α＝32.]2．函数f (x )＝2x 2－mx ＋3，当x ∈[－2，＋∞)时，f (x )是增函数，当x ∈(－∞，－2]时，f (x )是减函数，则f (1)的值为( )A ．－3B ．13C ．7D ．5B [函数f (x )＝2x 2－mx ＋3图象的对称轴为直线x ＝m 4，由函数f (x )的增减区间可知m 4＝－2，∴m ＝－8，即f (x )＝2x 2＋8x ＋3，∴f (1)＝2＋8＋3＝13.]3．若幂函数y ＝(m 2－3m ＋3)·xm 2－m －2的图象不过原点，则m 的取值是( )A ．－1≤m ≤2B ．m ＝1或m ＝2C ．m ＝2D ．m ＝1B [由幂函数性质可知m 2－3m ＋3＝1，∴m ＝2或m ＝1.又幂函数图象不过原点，∴m 2－m －2≤0，即－1≤m ≤2，∴m ＝2或m ＝1.]4．已知函数y ＝ax 2＋bx ＋c ，如果a >b >c 且a ＋b ＋c ＝0，则它的图象可能是( )A B C DD [由a ＋b ＋c ＝0，a ＞b ＞c 知a ＞0，c ＜0，则c a ＜0，排除B ，C.又f (0)＝c ＜0，所以也排除A.]5．若函数f (x )＝x 2－ax －a 在区间[0,2]上的最大值为1，则实数a 等于( )【导学号：51062033】A ．－1B ．1C ．2D ．－2B [∵函数f (x )＝x 2－ax －a 的图象为开口向上的抛物线，∴函数的最大值在区间的端点取得．∵f (0)＝－a ，f (2)＝4－3a ，∴⎩⎪⎨⎪⎧ －a ≥4－3a ，－a ＝1，或⎩⎪⎨⎪⎧ －a ≤4－3a ，4－3a ＝1，解得a ＝1.] 二、填空题6．(2017·金华十校联合测试改编)已知函数f (x )＝ax 2－2ax ＋1＋b (a ＞0)．若f (x )在[2,3]上的最大值为4，最小值为1，则a ＝________，b ＝________.【导学号：51062034】1 0 [因为函数f (x )的对称轴为x ＝1，又a ＞0，所以f (x )在[2,3]上单调递增，所以⎩⎪⎨⎪⎧ f (2)＝1，f (3)＝4，即⎩⎪⎨⎪⎧ a ·22－2a ·2＋1＋b ＝1，a ·32－2a ·3＋1＋b ＝4，解方程得a ＝1，b ＝0.] 7．已知P ＝2，Q ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫253，R ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫123，则P ，Q ，R 的大小关系是________．P ＞R ＞Q [P ＝2－32＝⎝ ⎛⎭⎪⎫223，根据函数y ＝x 3是R 上的增函数且22＞12＞25， 得⎝ ⎛⎭⎪⎫223＞⎝ ⎛⎭⎪⎫123＞⎝ ⎛⎭⎪⎫253，即P ＞R ＞Q .] 8．已知函数f (x )＝x 2－2ax ＋5在(－∞，2]上是减函数，且对任意的x 1，x 2∈[1，a ＋1]，总有|f (x 1)－f (x 2)|≤4，则实数a 的取值范围是________．[2,3] [f (x )＝(x －a )2＋5－a 2，根据f (x )在区间(－∞，2]上是减函数知，a ≥2，则f (1)≥f (a ＋1)，从而|f (x 1)－f (x 2)|max ＝f (1)－f (a )＝a 2－2a ＋1，由a 2－2a ＋1≤4，解得－1≤a ≤3，又a ≥2，所以2≤a ≤3.]三、解答题9．已知幂函数f (x )＝x (m 2＋m )－1(m ∈N *)经过点(2，2)，试确定m 的值，并求满足条件f (2－a )＞f (a －1)的实数a 的取值范围. 【导学号：51062035】[解] 幂函数f (x )经过点(2，2)，∴2＝2(m 2＋m )－1，即2＝2(m 2＋m )－1，∴m 2＋m ＝2，解得m ＝1或m ＝－2.4分又∵m ∈N *，∴m ＝1.∴f (x )＝x ，则函数的定义域为[0，＋∞)，并且在定义域上为增函数．由f (2－a )＞f (a －1)，得⎩⎪⎨⎪⎧ 2－a ≥0，a －1≥0，2－a ＞a －1，10分解得1≤a ＜32.∴a 的取值范围为⎣⎢⎡⎭⎪⎫1，32.15分 10．已知函数f (x )＝x 2＋(2a －1)x －3，(1)当a ＝2，x ∈[－2,3]时，求函数f (x )的值域；(2)若函数f (x )在[－1,3]上的最大值为1，求实数a 的值．[解] (1)当a ＝2时，f (x )＝x 2＋3x －3，x ∈[－2,3]，对称轴x ＝－32∈[－2,3]，2分∴f (x )min ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－32＝94－92－3＝－214， f (x )max ＝f (3)＝15，∴值域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－214，15.7分 (2)对称轴为x ＝－2a －12.①当－2a －12≤1，即a ≥－12时，f (x )max ＝f (3)＝6a ＋3，∴6a ＋3＝1，即a ＝－13满足题意；10分②当－2a －12＞1，即a ＜－12时，f (x )max ＝f (－1)＝－2a －1，∴－2a －1＝1，即a ＝－1满足题意．综上可知a ＝－13或－1.15分B 组 能力提升(建议用时：15分钟)1．(2017·浙江学军中学期中)函数f (x )＝(m 2－m －1)x 4m 9－m 5－1是幂函数，对任意的x 1，x 2∈(0，＋∞)，且x 1≠x 2，满足f (x 1)－f (x 2)x 1－x 2＞0，若a ，b ∈R ，且a ＋b ＞0，ab ＜0，则f (a )＋f (b )的值( )A ．恒大于0B ．恒小于0C ．等于0D ．无法判断 A [∵f (x )＝(m 2－m －1)x 4m 9－m 5－1是幂函数，∴m 2－m －1＝1，解得m ＝2或m ＝－1.当m ＝2时，指数4×29－25－1＝2 015＞0，满足题意．当m ＝－1时，指数4×(－1)9－(－1)5－1＝－4＜0，不满足题意，∴f (x )＝x 2 015.∴幂函数f (x )＝x 2 015是定义域R 上的奇函数，且是增函数．又∵a ，b ∈R ，且a ＋b ＞0，∴a ＞－b ，又ab ＜0，不妨设b ＜0，则a ＞－b ＞0，∴f (a )＞f (－b )＞0，又f (－b )＝－f (b )，∴f (a )＞－f (b )，∴f (a )＋f (b )＞0.故选A.]2．设f (x )与g (x )是定义在同一区间[a ，b ]上的两个函数，若函数y ＝f (x )－g (x )在x ∈[a ，b ]上有两个不同的零点，则称f (x )和g (x )在[a ，b ]上是“关联函数”，区间[a ，b ]称为“关联区间”．若f (x )＝x 2－3x ＋4与g (x )＝2x ＋m 在[0,3]上是“关联函数”，则m 的取值范围为________.【导学号：51062036】⎝ ⎛⎦⎥⎤－94，－2 [由题意知，y ＝f (x )－g (x )＝x 2－5x ＋4－m 在[0,3]上有两个不同的零点．在同一直角坐标系下作出函数y ＝m与y ＝x 2－5x ＋4(x ∈[0,3])的图象如图所示，结合图象可知，当x ∈[2,3]时，y ＝x 2－5x ＋4∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－94，－2， 故当m ∈⎝ ⎛⎦⎥⎤－94，－2时，函数y ＝m 与y ＝x 2－5x ＋4(x ∈[0,3])的图象有两个交点．]3．(2017·湖州市调测)已知函数f (x )＝e x (其中e 是自然对数的底数)，g (x )＝x 2＋ax ＋1，a ∈R .(1)记函数F (x )＝f (x )·g (x )，且a >0，求F (x )的单调递增区间；(2)若对任意x 1，x 2∈[0,2]，x 1≠x 2，均有|f (x 1)－f (x 2)|>|g (x 1)－g (x 2)|成立，求实数a 的取值范围．[解] (1)因为F (x )＝f (x )·g (x )＝e x (x 2＋ax ＋1)，所以F ′(x )＝e x [x ＋(a ＋1)](x ＋1).2分令F ′(x )>0，因为a >0，得x >－1或x <－(a ＋1)，5分所以F (x )的单调增区间为(－∞，－a －1)和(－1，＋∞).6分(2)因为对任意x 1，x 2∈[0,2]且x 1≠x 2，均有|f (x 1)－f (x 2)|>|g (x 1)－g (x 2)|成立，不妨设x 1>x 2，根据f (x )＝e x 在[0,2]上单调递增，所以有f (x 1)－f (x 2)>|g (x 1)－g (x 2)|对x 1>x 2恒成立，8分所以f (x 2)－f (x 1)<g (x 1)－g (x 2)<f (x 1)－f (x 2)对x 1，x 2∈[0,2]，x 1>x 2恒成立， 即⎩⎪⎨⎪⎧f (x 1)＋g (x 1)>f (x 2)＋g (x 2)，f (x 1)－g (x 1)>f (x 2)－g (x 2)对x 1，x 2∈[0,2]，x 1>x 2恒成立， 所以f (x )＋g (x )和f (x )－g (x )在[0,2]上都是单调递增函数.11分当f ′(x )＋g ′(x )≥0在[0,2]上恒成立时，得e x ＋(2x ＋a )≥0在[0,2]上恒成立，得a≥－(e x＋2x)在[0,2]上恒成立．因为－(e x＋2x)在[0,2]上为单调减函数，所以－(e x＋2x)在[0,2]上取得最大值－1，解得a≥－1.13分当f′(x)－g′(x)≥0在[0,2]上恒成立时，得e x－(2x＋a)≥0在[0,2]上恒成立，即a≤e x－2x在[0,2]上恒成立，因为e x－2x在[0，ln 2]上单调递减，在[ln 2,2]上单调递增，所以e x－2x在[0,2]上取得最小值2－2ln 2，所以a≤2－2ln 2，14分所以实数a的取值范围为[－1,2－2ln 2].15分。