第四篇三角函数解三角形第6讲正弦定理和余弦定理
第4章第6讲 正弦定理和余弦定理
第6讲 正弦定理和余弦定理基础知识整合1．正弦定理a sin A ＝01b sin B ＝02csin C ＝2R ， 其中2R 为△ABC 外接圆的直径．变式：a ＝032R sin A ，b ＝042R sin B ，c ＝052R sin C . a ∶b ∶c ＝06sin A ∶07sin B ∶08sin C . 2．余弦定理a 2＝09b 2＋c 2－2bc cos A ；b 2＝10a 2＋c 2－2ac cos B ； c 2＝11a 2＋b 2－2ab cos C .变式：cos A ＝12b 2＋c 2－a 22bc ；cos B ＝13a 2＋c 2－b 22ac ；cos C ＝14a 2＋b 2－c 22ab . sin 2A ＝sin 2B ＋sin 2C －2sin B sin C cos A .3．在△ABC 中，已知a ，b 和A 时，三角形解的情况图形关系式 解的个数 A 为锐角a <b sin A15无解a ＝b sin A16一解b sin A <a <b 17两解a ≥b18一解 A 为钝角a >b19一解或直角a ≤b 20无解4．三角形中常用的面积公式 (1)S ＝12ah (h 表示边a 上的高)．(2)S ＝12bc sin A ＝2112ac sin B ＝2212ab sin C .(3)S ＝12r (a ＋b ＋c )(r 为三角形的内切圆半径)．1．三角形内角和定理 在△ABC 中，A ＋B ＋C ＝π； 变形：A ＋B 2＝π2－C2. 2．三角形中的三角函数关系(1)sin(A ＋B )＝sin C ；(2)cos(A ＋B )＝－cos C ； (3)sin A ＋B 2＝cos C 2；(4)cos A ＋B 2＝sin C 2. 3．三角形中的射影定理在△ABC 中，a ＝b cos C ＋c cos B ； b ＝a cos C ＋c cos A ； c ＝b cos A ＋a cos B .1．(2019·北京西城模拟)已知△ABC 中，a ＝1，b ＝2，B ＝45°，则A 等于( ) A ．150° B ．90° C ．60° D ．30°答案 D解析 由正弦定理，得1sin A ＝2sin45°，得sin A ＝12.又a <b ，∴A <B ＝45°.∴A ＝30°.故选D.2．(2019·安徽马鞍山一模)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知a＝3，b＝2，A＝60°，则c＝()A.12B．1C. 3 D．2答案 B解析∵a＝3，b＝2，A＝60°，∴由余弦定理a2＝b2＋c2－2bc cos A，得3＝4＋c2－2×2×c×12，整理得c2－2c＋1＝0，解得c＝1.故选B.3．(2019·安徽合肥模拟)在△ABC中，A＝60°，AB＝2，且△ABC的面积为3 2，则BC的长为()A.32B． 3C．2 3 D．2 答案 B解析因为S＝12AB·AC sin A＝12×2×32AC＝32，所以AC＝1，所以BC2＝AB2＋AC2－2AB·AC cos60°＝3.所以BC＝ 3.4．(2019·全国卷Ⅰ)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知a sin A－b sin B＝4c sin C，cos A＝－14，则bc＝()A．6 B．5C．4 D．3答案 A解析∵a sin A－b sin B＝4c sin C，∴由正弦定理，得a2－b2＝4c2，即a2＝4c2＋b2.由余弦定理，得cos A＝b 2＋c2－a22bc＝b2＋c2－(4c2＋b2)2bc＝－3c22bc＝－14，∴bc＝6.故选A.5．设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且a＝2，cos C＝－1 4，3sin A ＝2sin B ，则c ＝________.答案 4解析 由3sin A ＝2sin B 及正弦定理，得3a ＝2b ，所以b ＝32a ＝3.由cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ，得－14＝22＋32－c22×2×3，解得c ＝4.6．在△ABC 中，AB ＝6，∠A ＝75°，∠B ＝45°，则AC ＝________. 答案 2解析 因为∠A ＝75°，∠B ＝45°，所以∠C ＝60°，由正弦定理可得AC sin45°＝6sin60°，解得AC ＝2.核心考向突破考向一 利用正、余弦定理解三角形 例1 (1)(2018·全国卷Ⅱ)在△ABC 中，cos C 2＝55，BC ＝1，AC ＝5，则AB ＝( )A ．4 2B ．30 C.29 D ．2 5答案 A解析 因为cos C ＝2cos 2C 2－1＝2×⎝ ⎛⎭⎪⎫552－1＝－35，所以AB 2＝BC 2＋AC 2－2BC ·AC ·cos C ＝1＋25－2×1×5×⎝ ⎛⎭⎪⎫－35＝32，所以AB ＝4 2.选A.(2)(2019·沧州七校联考)已知在△ABC 中，a ＝5，b ＝15，∠A ＝30°，则c ＝( )A ．2 5B ． 5C ．25或 5D ．均不正确 答案 C解析 ∵a sin A ＝bsin B ，∴sin B ＝b sin A a ＝155·sin30°＝32.∵b >a ，∴B ＝60°或120°.若B ＝60°，则C ＝90°，∴c ＝a 2＋b 2＝2 5. 若B ＝120°，则C ＝30°，∴a ＝c ＝ 5.解三角形问题的技巧(1)解三角形时，如果式子中含有角的余弦或边的二次式，要考虑用余弦定理；如果式子中含有角的正弦或边的一次式时，则考虑用正弦定理；以上特征都不明显时，则要考虑两个定理都有可能用到．①应用正弦定理求角时容易出现增解或漏解的错误，要根据条件和三角形的限制条件合理取舍．②求角时易忽略角的范围而导致错误，因此需要根据大边对大角，大角对大边的规则，画图进行判断．(2)三角形解的个数的判断：已知两角和一边，该三角形是确定的，其解是唯一的；已知两边和一边的对角，该三角形具有不唯一性，通常根据三角函数值的有界性和大边对大角规则进行判断．[即时训练] 1.在△ABC 中，已知b ＝40，c ＝20，C ＝60°，则此三角形的解的情况是( )A ．有一解B ．有两解C ．无解D ．有解但解的个数不确定 答案 C解析 由正弦定理，得b sin B ＝csin C ， ∴sin B ＝b sin Cc ＝40×3220＝3>1.∴角B 不存在，即满足条件的三角形不存在．2．(2019·浙江高考)在△ABC 中，∠ABC ＝90°，AB ＝4，BC ＝3，点D 在线段AC 上．若∠BDC ＝45°，则BD ＝________，cos ∠ABD ＝________.答案1225 7210解析 如图， 易知sin ∠C ＝45， cos ∠C ＝35.在△BDC 中，由正弦定理可得 BD sin ∠C ＝BCsin ∠BDC， ∴BD ＝BC ·sin ∠C sin ∠BDC ＝3×4522＝1225.由∠ABC ＝∠ABD ＋∠CBD ＝90°，可得cos ∠ABD ＝cos(90°－∠CBD )＝sin ∠CBD ＝sin[π－(∠C ＋∠BDC )] ＝sin(∠C ＋∠BDC )＝sin ∠C ·cos ∠BDC ＋cos ∠C ·sin ∠BDC ＝45×22＋35×22＝7210.考向二 利用正、余弦定理判断三角形形状例2(1)设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若a2＋b2－c2＝ab，且2cos A sin B＝sin C，则△ABC的形状为()A．等边三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．不确定答案 A解析∵a2＋b2－c2＝ab，∴cos C＝a 2＋b2－c22ab＝12，又0<C<π，∴C＝π3，又由2cos A sin B＝sin C，得sin(B－A)＝0，∴A＝B，故△ABC为等边三角形．(2)在△ABC中，a，b，c分别表示三个内角A，B，C的对边，如果(a2＋b2)sin(A －B)＝(a2－b2)sin(A＋B)，则该三角形的形状为()A．直角三角形B．等边三角形C．等腰三角形或直角三角形D．等腰直角三角形答案 C解析∵(a2＋b2)sin(A－B)＝(a2－b2)sin(A＋B)，∴(a2＋b2)(sin A cos B－cos A sin B)＝(a2－b2)(sin A cos B＋cos A sin B)，∴a2cos A sin B＝b2sin A cos B，∴sin2A cos A sin B＝sin2B sin A cos B，∴sin A cos A＝sin B cos B，∴sin2A＝sin2B，∴A＝B或A＋B＝π2，即△ABC是等腰三角形或直角三角形．三角形形状的判定方法(1)通过正弦定理和余弦定理，化边为角(如a＝2R sin A，a2＋b2－c2＝2ab cos C等)，利用三角变换得出三角形内角之间的关系进行判断．此时注意一些常见的三角等式所体现的内角关系，如sin A＝sin B⇔A＝B；sin(A－B)＝0⇔A＝B；sin2A＝sin2B⇔A＝B或A＋B＝π2等．(2)利用正弦定理、余弦定理化角为边，如sin A＝a2R，cos A＝b2＋c2－a22bc等，通过代数恒等变换，求出三条边之间的关系进行判断．提醒：(1)注意无论是化边还是化角，在化简过程中出现公因式不要约掉，否则会有漏掉一种形状的可能．(2)在判断三角形形状时一定要注意解是否唯一，并注重挖掘隐含条件．另外，在变形过程中要注意角A，B，C的范围对三角函数值的影响．[即时训练] 3.(2019·陕西安康模拟)设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若b cos C＋c cos B＝a sin A，则△ABC的形状为()A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．不确定答案 B解析∵b cos C＋c cos B＝a sin A，∴由正弦定理，得sin B cos C＋sin C cos B＝sin2A，∴sin(B＋C)＝sin2A，即sin A＝sin2A.又sin A>0，∴sin A＝1，又A∈(0，π)，∴A＝π2，故△ABC为直角三角形．4．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若cb<cos A，则△ABC 为()A．钝角三角形B．直角三角形C．锐角三角形D．等边三角形答案 A解析根据正弦定理得cb ＝sin Csin B<cos A，即sin C<sin B cos A，∵A＋B＋C＝π，∴sin C＝sin(A＋B)<sin B cos A，整理得sin A cos B<0，又三角形中sin A>0，∴cos B<0，∴π2<B<π.∴△ABC为钝角三角形．精准设计考向，多角度探究突破考向三正、余弦定理的综合应用角度1三角形面积问题例3(1)在锐角△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若sin A＝223，a＝3，S△ABC＝22，则b的值为()A．6 B．4C．2 D．2或3答案 D解析因为S△ABC＝22＝12bc sin A，sin A＝223，且A∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2，所以bc＝6，cos A＝13，又因为a＝3，由余弦定理，得9＝b2＋c2－2bc cos A＝b2＋c2－4，所以b2＋c2＝13，可得b＝2或b＝3.(2)(2019·全国卷Ⅱ)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.若b＝6，a ＝2c，B＝π3，则△ABC的面积为________．答案6 3解析由余弦定理，得b2＝a2＋c2－2ac cos B.又b＝6，a＝2c，B＝π3，∴36＝4c2＋c2－2×2c2×12，∴c＝23，∴a＝43，∴S△ABC＝12ac sin B＝12×43×23×32＝6 3.(3)(2020·合肥八中模拟)在古希腊数学家海伦的著作《测地术》中记载了著名的海伦公式，利用三角形的三条边长求三角形面积，若三角形的三边长分别为a，b ，c ，则其面积S ＝p (p －a )(p －b )(p －c )，这里p ＝12(a ＋b ＋c )．已知在△ABC 中，BC ＝6，AB ＝2AC ，则其面积取最大值时，sin A ＝________.答案 35解析 已知在△ABC 中，BC ＝6，AB ＝2AC ， 所以a ＝6，c ＝2b ，所以p ＝12(6＋b ＋2b )＝3＋3b2， △ABC 的面积S ＝p (p －a )(p －b )(p －c ) ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫3＋3b 2⎝ ⎛⎭⎪⎫3b 2－3⎝ ⎛⎭⎪⎫3b 2＋3－b ⎝ ⎛⎭⎪⎫3＋3b 2－2b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫3＋3b 2⎝ ⎛⎭⎪⎫3b 2－3⎝ ⎛⎭⎪⎫b 2＋3⎝ ⎛⎭⎪⎫3－b 2 ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫9b 24－9⎝ ⎛⎭⎪⎫9－b 24 ＝3－116(b 2－20)2＋16.故当b 2＝20时，S 有最大值， 所以b ＝25，c ＝45， cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝45， 所以sin A ＝35.三角形面积公式的应用原则(1)对于面积公式S ＝12ab sin C ＝12ac sin B ＝12bc sin A ，一般是已知哪一个角就使用哪一个公式．(2)与面积有关的问题，一般要用到正弦定理或余弦定理进行边和角的转化．[即时训练] 5.(2018·全国卷Ⅰ)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知b sin C＋c sin B＝4a sin B sin C，b2＋c2－a2＝8，则△ABC的面积为________．答案233解析根据题意，结合正弦定理可得sin B sin C＋sin C sin B＝4sin A sin B sin C，所以sin A＝12，结合余弦定理可得2bc cos A＝8，所以A为锐角，所以cos A＝32，所以bc＝833，所以△ABC的面积为S＝12bc sin A＝12×833×12＝233.6．(2020·福建三明质量检查)△ABC的内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，且b＝3(a cos B＋b cos A)，b＋c＝8.(1)求b，c；(2)若BC边上的中线AD＝72，求△ABC的面积．解(1)由正弦定理，得sin B＝3(sin A cos B＋sin B cos A)，所以sin B＝3sin(A＋B)，因为A＋B＋C＝π，所以sin(A＋B)＝sin(π－C)＝sin C，所以sin B＝3sin C，所以b＝3c，又b＋c＝8，所以b＝6，c＝2.(2)在△ABD和△ACD中，由余弦定理，得c2＝AD2＋BD2－2AD·BD·cos∠ADB，b2＝AD2＋CD2－2AD·CD·cos∠ADC.因为∠ADB＋∠ADC＝π，所以cos∠ADB＝－cos∠ADC，又因为b＝6，c＝2，BD＝DC＝a2，AD＝72，所以a2＝31，所以cos ∠BAC ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝38，又因为∠BAC ∈(0，π)，所以sin ∠BAC ＝558. 所以△ABC 的面积S △ABC ＝12bc sin ∠BAC ＝3554. 角度2 三角形中的范围问题例4 (1)(2019·江西赣州模拟)在锐角△ABC 中，若B ＝2A ，则ba 的取值范围是( )A ．(2，6)B ．(1，2)C ．(2，3)D ．(3，6)答案 C解析 ∵B ＝2A ，∴b a ＝sin Bsin A ＝2cos A . 又△ABC 为锐角三角形，∴A ＋B ＝3A >π2，B ＝2A <π2，∴π6<A <π4，∴22<cos A <32，∴2<ba < 3.故选C.(2)(2018·北京高考)若△ABC 的面积为34(a 2＋c 2－b 2)，且∠C 为钝角，则∠B ＝________；ca 的取值范围是________．答案 π3 (2，＋∞)解析 依题意有12ac sin B ＝34(a 2＋c 2－b 2)＝34×2ac cos B ，则tan B ＝3， ∵0<∠B <π，∴∠B ＝π3.c a ＝sin C sin A ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3－A sin A ＝12＋3cos A 2sin A ＝12＋32·1tan A ， ∵∠C 为钝角，∴2π3－∠A >π2，又∠A >0，∴0<∠A <π6，则0<tan A <33， ∴1tan A >3，故c a >12＋32×3＝2. ∴ca 的取值范围为(2，＋∞)．解三角形问题中，求解某个量(式子)的取值范围是命题的热点，其主要解决思路是：要建立所求量(式子)与已知角或边的关系，然后把角或边作为自变量，所求量(式子)的值作为函数值，转化为函数关系，将原问题转化为求函数的值域问题．这里要利用条件中的范围限制，以及三角形自身范围限制，尽量把角或边的范围(也就是函数的定义域)找完善，避免结果的范围过大．[即时训练] 7.(2019·山东实验中学等四校联考)如图所示，边长为1的正三角形ABC 中，点M ，N 分别在线段AB ，AC 上，将△AMN 沿线段MN 进行翻折，得到右图所示的图形，翻折后的点A 在线段BC 上，则线段AM 的最小值为________．答案 23－3解析 设AM ＝x ，∠AMN ＝α，则BM ＝1－x ， ∠AMB ＝180°－2α，∴∠BAM ＝2α－60°， 在△ABM 中，由正弦定理可得AM sin ∠ABM ＝BM sin ∠BAM ，即x32＝1－x sin (2α－60°)，∴x ＝3232＋sin (2α－60°)，∴当2α－60°＝90°，即α＝75°时，x 取得最小值为3232＋1＝23－3，即线段AM 的最小值为23－3.8．(2019·陕西第三次教学质量检测)在△ABC 中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 的对边，且(a ＋b ＋c )(a ＋b －c )＝3ab .(1)求角C 的值；(2)若c ＝2，且△ABC 为锐角三角形，求a ＋b 的取值范围． 解 (1)由题意知(a ＋b ＋c )(a ＋b －c )＝3ab ， ∴a 2＋b 2－c 2＝ab ，由余弦定理可知， cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝12， 又C ∈(0，π)，∴C ＝π3. (2)由正弦定理可知， a sin A ＝b sin B ＝2sin π3＝433，即a ＝433sin A ，b ＝433sin B ， ∴a ＋b ＝433(sin A ＋sin B ) ＝433⎣⎢⎡⎦⎥⎤sin A ＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3－A＝23sin A ＋2cos A ＝4sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫A ＋π6，又△ABC 为锐角三角形，∴⎩⎪⎨⎪⎧0<A <π2，0<B ＝2π3－A <π2，即π6<A <π2，则π3<A ＋π6<2π3，∴23<4sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫A ＋π6≤4，综上a ＋b 的取值范围为(23，4]． 角度3 正、余弦定理解决平面几何问题例5 (2019·南宁模拟)如图，在△ABC 中，∠B ＝π3，AB ＝8，点D 在BC 边上，且CD ＝2，cos ∠ADC ＝17.(1)求sin ∠BAD ； (2)求BD ，AC 的长．解 (1)由cos ∠ADC ＝17知sin ∠ADC ＝437， 于是sin ∠BAD ＝sin(∠ADC －∠B ) ＝sin ∠ADC ·cos π3－cos ∠ADC ·sin π3 ＝437×12－17×32＝3314. (2)在△ABD 中，由正弦定理，得BD ＝AB ·sin ∠BAD sin ∠ADB ＝AB ·sin ∠BAD sin (π－∠ADC )＝8×3314437＝3.在△ABC 中，由余弦定理，得 AC 2＝AB 2＋BC 2－2AB ·BC ·cos B ＝82＋52－2×8×5×12＝49.所以AC ＝7.平面几何图形中研究或求与角有关的长度、角度、面积的最值、优化设计等问题，通常是转化到三角形中，利用正、余弦定理通过运算的方法加以解决．在解决某些具体问题时，常先引入变量，如边长、角度等，然后把要解三角形的边或角用所设变量表示出来，再利用正、余弦定理列出方程，解之，若研究最值，常使用函数思想．[即时训练]9.(2020·河北唐山期末)如图，在梯形ABCD中，∠A＝∠D＝90°，M为AD上一点，AM＝2MD＝2，∠BMC＝60°.(1)若∠AMB＝60°，求BC的长；(2)设∠DCM＝θ，若MB＝4MC，求tanθ.解(1)由∠BMC＝60°，∠AMB＝60°，得∠CMD＝60°.在Rt△ABM中，MB＝2AM＝4；在Rt△CDM中，MC＝2MD＝2.在△MBC中，由余弦定理，得BC2＝MB2＋MC2－2MB·MC·cos∠BMC＝12，所以BC＝2 3.(2)因为∠DCM＝θ，所以∠ABM＝60°－θ，0°<θ<60°.在Rt△MCD中，MC＝1，sinθ，在Rt△MAB中，MB＝2sin(60°－θ)由MB ＝4MC ，得2sin(60°－θ)＝sin θ， 所以3cos θ－sin θ＝sin θ，即2sin θ＝3cos θ， 整理可得tan θ＝32.学科素养培优（八） 利用基本不等式破解三角形中的最值问题(2018·江苏高考)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，∠ABC ＝120°，∠ABC 的平分线交AC 于点D ，且BD ＝1，则4a ＋c 的最小值为________．答案 9解析 依题意画出图形，如图所示． 易知S △ABD ＋S △BCD ＝S △ABC ， 即12c sin60°＋12a sin60°＝12ac sin120°， ∴c ＋a ＝ac ，∴1a ＋1c ＝1，∴4a ＋c ＝(4a ＋c )⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋1c ＝5＋c a ＋4a c ≥9，当且仅当c a ＝4a c ，即a ＝32，c ＝3时取“＝”．答题启示利用基本不等式破解三角形中的最值问题时，当所求最值的代数式中的变量比较多时，通常是考虑利用已知条件消去部分变量后，凑出“和为常数”或“积为常数”，最后利用基本不等式求最值．对点训练(2019·山东烟台模拟)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .已知2(tan A ＋tan B )＝tan A cos B ＋tan Bcos A .(1)证明：a ＋b ＝2c ； (2)求cos C 的最小值．解 (1)证明：由题意知2⎝ ⎛⎭⎪⎫sin A cos A ＋sin B cos B ＝sin A cos A cos B ＋sin B cos A cos B ，化简得2(sin A cos B ＋sin B cos A )＝sin A ＋sin B ，即2sin(A ＋B )＝sin A ＋sin B .因为A ＋B ＋C ＝π，所以sin(A ＋B )＝sin(π－C )＝sin C ，从而sin A ＋sin B ＝2sin C .由正弦定理，得a ＋b ＝2c .(2)由(1)知c ＝a ＋b2，所以cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝a 2＋b 2－⎝⎛⎭⎪⎫a ＋b 222ab＝38⎝ ⎛⎭⎪⎫a b ＋b a －14≥34－14＝12，当且仅当a ＝b 时，等号成立． 故cos C 的最小值为12.课时作业1．(2020·广东广雅中学模拟)已知a ，b ，c 为△ABC 的三个内角A ，B ，C 所对的边，若3b cos C ＝c (1－3cos B )，则sin C ∶sin A ＝( )A ．2∶3B ．4∶3C ．3∶1D ．3∶2答案 C解析 由正弦定理得3sin B cos C ＝sin C －3sin C cos B,3sin(B ＋C )＝sin C ，因为A ＋B ＋C ＝π，所以B ＋C ＝π－A ，所以3sin A ＝sin C ，所以sin C ∶sin A ＝3∶1，故选C.2．(2019·南昌模拟)在△ABC 中，已知C ＝π3，b ＝4，△ABC 的面积为23，则c ＝( )A ．27B ．7C ．2 2D ．2 3答案 D解析 由S ＝12ab sin C ＝2a ×32＝23，解得a ＝2，由余弦定理得c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ＝12，故c ＝2 3.3．(2019·兰州市实战考试)△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若b 2＝ac ，c ＝2a ，则cos C ＝( )A.24 B ．－24 C.34 D ．－34答案 B解析 由题意得，b 2＝ac ＝2a 2，所以b ＝2a ，所以cos C ＝a 2＋b 2－c22ab＝a 2＋2a 2－4a 22a ×2a＝－24，故选B.4．(2019·广西南宁模拟)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，ac ＝3，且a ＝3b sin A ，则△ABC 的面积等于( )A.12 B ．32C ．1D ．34答案 A解析 ∵a ＝3b sin A ，∴由正弦定理得sin A ＝3sin B sin A ，∴sin B ＝13.∵ac ＝3，∴△ABC 的面积S ＝12ac sin B ＝12×3×13＝12.故选A.5．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边的长分别为a ，b ，c ，若a sin A ＋b sin B ＜c sin C ，则△ABC 的形状是( )A ．锐角三角形B ．直角三角形C ．钝角三角形D ．不确定答案 C解析 根据正弦定理可得a 2＋b 2＜c 2.由余弦定理，得cos C ＝a 2＋b 2－c22ab ＜0，故C 是钝角．6．已知△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且c －b c －a ＝sin Asin C ＋sin B，则B ＝( )A.π6 B ．π4 C.π3 D ．3π4答案 C解析 因为c －b c －a ＝sin A sin C ＋sin B ，所以c －b c －a ＝ac ＋b ，即(c －b )(c ＋b )＝a (c －a )，所以a 2＋c 2－b 2＝ac ，所以cos B ＝12，又B ∈(0，π)，所以B ＝π3.7．(2019·大连双基测试)△ABC 中，AB ＝2，AC ＝3，B ＝60°，则cos C ＝( ) A.33 B ．±63 C ．－63 D ．63 答案 D解析 由正弦定理得AC sin B ＝AB sin C ，∴sin C ＝AB ·sin B AC ＝2×sin60°3＝33，又AB <AC ，∴0<C <B ＝60°，∴cos C ＝1－sin 2C ＝63.故选D.8．(2018·全国卷Ⅲ)△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .若△ABC 的面积为a 2＋b 2－c 24，则C ＝( )A.π2 B ．π3 C.π4 D ．π6 答案 C解析 由题可知S △ABC ＝12ab sin C ＝a 2＋b 2－c 24，所以a 2＋b 2－c 2＝2ab sin C .由余弦定理得a 2＋b 2－c 2＝2ab cos C ，∴sin C ＝cos C .∵C ∈(0，π)，∴C ＝π4.故选C.9．(2019·江西新八校第二次联考)我国南宋著名数学家秦九韶提出了由三角形三边求三角形面积的“三斜求积”，设△ABC 的三个内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，面积为S ，则“三斜求积”公式为S ＝14⎣⎢⎡⎦⎥⎤a 2c 2－⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2＋c 2－b 222，若a 2sin C ＝2sin A ，(a ＋c )2＝6＋b 2，则用“三斜求积”公式求得△ABC 的面积为( )A.32 B ．3 C.12 D ．1答案 A解析 因为a 2sin C ＝2sin A ，所以a 2c ＝2a ，所以ac ＝2， 因为(a ＋c )2＝6＋b 2，所以a 2＋c 2＋2ac ＝6＋b 2， 所以a 2＋c 2－b 2＝6－2ac ＝6－4＝2， 从而△ABC 的面积为S △ABC ＝14×⎣⎢⎡⎦⎥⎤22－⎝ ⎛⎭⎪⎫222＝32，故选A. 10．(2019·南阳模拟)设△ABC 的内角A ，B ，C 所对边的长分别为a ，b ，c ，若b ＋c ＝2a,3sin A ＝5sin B ，则C ＝( )A.π3 B ．3π4 C.5π6 D ．2π3答案 D解析 因为3sin A ＝5sin B ，所以由正弦定理可得：3a ＝5b ，所以a ＝5b3. 又b ＋c ＝2a ，所以c ＝2a －b ＝7b3， 不妨取b ＝3，则a ＝5，c ＝7，所以cos C＝a 2＋b2－c22ab＝52＋32－722×5×3＝－12.因为C∈(0，π)，所以C＝2π3.11．已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若2b cos B＝a cos C ＋c cos A，b＝2，则△ABC的面积的最大值是()A．1 B． 3C．2 D．4答案 B解析∵2b cos B＝a cos C＋c cos A，∴2sin B cos B＝sin A cos C＋sin C cos A＝sin(A＋C)＝sin B.∵0<B<π，∴cos B＝12，∴B＝π3.∵cos B＝a 2＋c2－b22ac＝12，b＝2，∴a2＋c2－4＝ac.∵a2＋c2≥2ac，∴2ac－4≤ac，即ac≤4，当且仅当a＝c时等号成立，∴S△ABC ＝12ac sin B≤12×4×32＝3，故△ABC的面积的最大值为 3.12．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若2(b cos A＋a cos B)＝c2，b＝3,3cos A＝1，则a＝()A. 5 B．3C.10 D．4答案 B解析由正弦定理可得2(sin B cos A＋sin A cos B)＝c sin C，∵2(sin B cos A＋sin A cos B)＝2sin(A＋B)＝2sin C，∴2sin C＝c sin C，∵sin C>0，∴c＝2，由余弦定理得a2＝b2＋c2－2bc cos A＝32＋22－2×3×2×13＝9，∴a＝3.故选B.13．(2020·北京海淀模拟)在△ABC中，A＝2π3，a＝3c，则bc＝________.答案 1解析由题意知sin2π3＝3sin C，∴sin C＝12，又0<C<π3，∴C＝π6，从而B＝π6，∴b＝c，故bc＝1.14．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若2b cos B＝a cos C＋c cos A，则B＝________.答案π3解析解法一：由2b cos B＝a cos C＋c cos A及正弦定理，得2sin B cos B＝sin A cos C＋sin C cos A.∴2sin B cos B＝sin(A＋C)．又A＋B＋C＝π，∴A＋C＝π－B.∴2sin B cos B＝sin(π－B)＝sin B.又sin B≠0，∴cos B＝12.∴B＝π3.解法二：∵在△ABC中，a cos C＋c cos A＝b，∴条件等式变为2b cos B＝b，∴cos B＝12.又0<B<π，∴B＝π3.15．(2019·杭州模拟)已知a，b，c分别为△ABC三个内角A，B，C的对边，a＝2，且(2＋b)(sin A－sin B)＝(c－b)·sin C，则△ABC的面积的最大值为________．答案 3解析因为a＝2，(2＋b)(sin A－sin B)＝(c－b)sin C，所以根据正弦定理，得(a ＋b)(a－b)＝(c－b)c，所以a2－b2＝c2－bc，所以b2＋c2－a2＝bc，根据余弦定理，得cos A＝b 2＋c2－a22bc＝12，因为A∈(0，π)，故A＝π3.因为b2＋c2－bc＝4，所以4＝b2＋c2－bc≥2bc－bc＝bc(当且仅当b＝c＝2时取等号)，所以△ABC的面积S△ABC ＝12bc sin A＝34bc≤34×4＝3，所以△ABC的面积的最大值为 3.16．已知在△ABC 中，AB ＝AC ＝4，BC ＝2.点D 为AB 延长线上一点，BD ＝2，连接CD ，则△BDC 的面积是________，cos ∠BDC ＝________.答案152104解析 依题意作出图形，如图所示， 则sin ∠DBC ＝sin ∠ABC .由题意知AB ＝AC ＝4，BC ＝BD ＝2， 则sin ∠ABC ＝154，cos ∠ABC ＝14. 所以S △BDC ＝12BC ·BD ·sin ∠DBC ＝12×2×2×154＝152.因为cos ∠DBC ＝－cos ∠ABC ＝－14＝BD 2＋BC 2－CD 22BD ·BC ＝8－CD 28，所以CD ＝10.由余弦定理，得cos ∠BDC ＝4＋10－42×2×10＝104.17．(2019·全国卷Ⅰ)△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .设(sin B －sin C )2＝sin 2A －sin B sin C .(1)求A ；(2)若2a ＋b ＝2c ，求sin C .解 (1)由已知得sin 2B ＋sin 2C －sin 2A ＝sin B sin C ， 故由正弦定理得b 2＋c 2－a 2＝bc . 由余弦定理得cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝12. 因为0°<A <180°，所以A ＝60°. (2)由(1)知B ＝120°－C ，由题设及正弦定理，得2sin A ＋sin(120°－C )＝2sin C ，即62＋32cos C ＋12sin C ＝2sin C ， 可得cos(C ＋60°)＝－22.因为0°<C <120°，所以sin(C ＋60°)＝22， 故sin C ＝sin(C ＋60°－60°)＝sin(C ＋60°)cos60°－cos(C ＋60°)sin60°＝6＋24.18．(2019·天津高考)在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .已知b ＋c ＝2a,3c sin B ＝4a sin C .(1)求cos B 的值； (2)求sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2B ＋π6的值．解 (1)在△ABC 中，由正弦定理b sin B ＝csin C ， 得b sin C ＝c sin B .由3c sin B ＝4a sin C ， 得3b sin C ＝4a sin C ，即3b ＝4a ，所以b ＝43a . 因为b ＋c ＝2a ，所以c ＝23a .由余弦定理可得 cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝a 2＋49a 2－169a 22·a ·23a＝－14. (2)由(1)可得sin B ＝1－cos 2B ＝154， 从而sin2B ＝2sin B cos B ＝－158， cos2B ＝cos 2B －sin 2B ＝－78，故sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2B ＋π6＝sin2B cos π6＋cos2B sin π6＝－158×32－78×12＝－35＋716.19．(2019·河南安阳一模)如图，在圆内接四边形ABCD 中，AB ＝2，AD ＝1，3BC ＝3BD cos α＋CD sin β.(1)求角β的大小；(2)求四边形ABCD 周长的取值范围． 解 (1)∵3BC ＝3BD cos α＋CD sin β， ∴3sin ∠BDC ＝3sin βcos α＋sin αsin β， ∴3sin(α＋β)＝3sin βcos α＋sin αsin β， ∴3(sin αcos β＋sin βcos α) ＝3sin βcos α＋sin αsin β，∴3sin αcos β＝sin αsin β，∴tan β＝3， 又β∈(0，π)，∴β＝π3.(2)根据题意，得∠BAD ＝2π3，由余弦定理，得 BD 2＝AB 2＋AD 2－2AB ·AD cos ∠BAD ＝4＋1－2×2×1×cos 2π3＝7， 又BD 2＝CB 2＋CD 2－2CB ·CD cos β ＝(CB ＋CD )2－3CB ·CD≥(CB ＋CD )2－3(CB ＋CD )24＝(CB ＋CD )24，∴CB ＋CD ≤27，又CB ＋CD >7，∴四边形ABCD 的周长AB ＋BC ＋CD ＋DA 的取值范围为(3＋7，3＋27]． 20．(2019·河南联考)如图，在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c，已知c＝4，b＝2，2c cos C＝b，D，E分别为线段BC上的点，且BD＝CD，∠BAE＝∠CAE.(1)求线段AD的长；(2)求△ADE的面积．解(1)因为c＝4，b＝2,2c cos C＝b，所以cos C＝b2c＝14.由余弦定理得cos C＝a2＋b2－c22ab＝a2＋4－164a＝14，所以a＝4，即BC＝4.在△ACD中，CD＝2，AC＝2，所以AD2＝AC2＋CD2－2AC·CD·cos∠ACD＝6，所以AD＝ 6.(2)因为AE是∠BAC的平分线，所以S△ABES△ACE＝12AB·AE·sin∠BAE12AC·AE·sin∠CAE＝ABAC＝2，又S△ABES△ACE＝BEEC，所以BEEC＝2，所以EC＝13BC＝43，DE＝2－43＝23.又cos C＝14，所以sin C＝1－cos2C＝154.所以S△ADE＝12DE·AC·sin C＝156.。
第6讲正弦定理和余弦定理
第6讲正弦定理和余弦定理[最新考纲]掌握正弦定理、余弦定理，并能解决一些简单的三角形度量问题．知识梳理1．正弦定理和余弦定理在△ABC中，若角A，B，C所对的边分别是a，b，c，则正弦定理余弦定理内容常见变形(1)(2)(3)cos A＝cos B＝cos C＝解决的问题(1)已知两角和任一边，求其他两边和一角；(2)已知两边和其中一边的对角，求另一边和其他两角(1)已知三边，求三个角；(2)已知两边和它们的夹角，求第三边和其他两角2.在△ABC中，已知a，b和A时，解的情况A为锐角A为钝角或直角图形关系式a＝b sin A b sin A＜a＜b a≥b a＞b解的个数一解两解一解一解3.三角形中常用的面积公式(1)S＝12ah(h表示边a上的高)．(2)S＝12bc sin A＝12ab sin C＝12ac sin B.(3)S＝12r(a＋b＋c)(r为△ABC内切圆半径)．考点一利用正弦、余弦定理解三角形【例1】(1)(2013·湖南卷)在锐角△ABC中，角A，B所对的边长分别为a，b.若2a sin B＝3 b，则角A等于()．A.π3 B.π4 C.π6 D.π12(2)(2014·杭州模拟)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若a＝1，c＝42，B ＝45°，则sin C＝______.【训练1】(1)在△ABC中，a＝23，c＝22，A＝60°，则C＝()．A．30°B．45°C．45°或135°D．60°(2)在△ABC中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，若a2－b2＝3bc，sin C＝23sin B，则A＝()．A．30°B．60°C．120°D．150°考点二判断三角形的形状【例2】(2014·临沂一模)在△ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C的对边，且2a sin A＝(2b －c)sin B＋(2c－b)sin C.(1)求角A的大小；(2)若sin B＋sin C＝3，试判断△ABC的形状．【训练2】(1)(2013·山东省实验中学诊断)在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且2c2＝2a2＋2b2＋ab，则△ABC是()．A．钝角三角形B．直角三角形C．锐角三角形D．等边三角形(2)在△ABC中，若(a2＋b2)sin(A－B)＝(a2－b2)sin C，则△ABC的形状是 ()．A．锐角三角形B．直角三角形C．等腰三角形D．等腰或直角三角形考点三与三角形面积有关的问题【例3】(2013·新课标全国Ⅱ卷)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知a＝b cos C＋c sin B.(1)求B；(2)若b＝2，求△ABC面积的最大值．【训练3】(2013·湖北卷)在△ABC中，角A，B，C对应的边分别是a，b，c.已知cos 2A－3cos(B ＋C)＝1.(1)求角A的大小；(2)若△ABC的面积S＝53，b＝5，求sin B sin C的值．答题模板6——解三角形问题【典例】(12分)(2013·山东卷)设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且a＋c＝6，b＝2，cos B＝7 9.(1)求a，c的值；(2)求sin(A－B)的值．【自主体验】已知a，b，c分别为△ABC三个内角A，B，C的对边，c＝3a sin C－c cos A.(1)求A；(2)若a＝2，△ABC的面积为3，求b，c.参考答案考点一【例1】解析 (1)在△ABC 中，由正弦定理及已知得2sin A ·sin B ＝3sin B ， ∵B 为△ABC 的内角，∴sin B ≠0.∴sin A ＝32.又∵△ABC 为锐角三角形，∴A ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，∴A ＝π3. (2)由余弦定理，得b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ＝1＋32－82×22＝25，即b ＝5. 所以sin C ＝c ·sin B b ＝42×225＝45.【训练1】解析 (1)由正弦定理，得23sin 60°＝22sin C ， 解得：sin C ＝22，又c ＜a ，所以C ＜60°，所以C ＝45°. (2)∵sin C ＝23sin B ，由正弦定理，得c ＝23b ，∴cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝－3bc ＋c 22bc ＝－3bc ＋23bc 2bc ＝32，又A 为三角形的内角，∴A ＝30°.考点二【例2】解 (1)由2a sin A ＝(2b －c )sin B ＋(2c －b )sin C ， 得2a 2＝(2b －c )b ＋(2c －b )c ，即bc ＝b 2＋c 2－a 2， ∴cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝12，∴A ＝60°.(2)∵A ＋B ＋C ＝180°，∴B ＋C ＝180°－60°＝120°. 由sin B ＋sin C ＝3，得sin B ＋sin(120°－B )＝3， ∴sin B ＋sin 120°cos B －cos 120°sin B ＝ 3. ∴32sin B ＋32cos B ＝3，即sin(B ＋30°)＝1. ∵0°<B <120°，∴30°<B ＋30°<150°. ∴B ＋30°＝90°，B ＝60°.∴A ＝B ＝C ＝60°，△ABC 为等边三角形．【训练2】解析 (1)由2c 2＝2a 2＋2b 2＋ab ，得a 2＋b 2－c 2＝－12ab ，所以cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝－12ab2ab ＝－14＜0，所以90°＜C ＜180°，即△ABC 为钝角三角形． (2)由已知(a 2＋b 2)sin(A －B )＝(a 2－b 2)sin C ，得b2[sin(A－B)＋sin C]＝a2[sin C－sin(A－B)]，即b2sin A cos B＝a2cos A sin B，即sin2B sin A cos B＝sin2A cos A sin B，所以sin 2B＝sin 2A，由于A，B是三角形的内角，故0＜2A＜2π，0＜2B＜2π.故只可能2A＝2B或2A＝π－2B，即A＝B或A＋B＝π2.故△ABC为等腰三角形或直角三角形．答案(1)A(2)D 考点三【例3】解(1)由已知及正弦定理，得sin A＝sin B cos C＋sin C sin B．①又A＝π－(B＋C)，故sin A＝sin(B＋C)＝sin B cos C＋cos B sin C．②由①，②和C∈(0，π)得sin B＝cos B.又B∈(0，π)，所以B＝π4.(2)△ABC的面积S＝12ac sin B＝24ac.由已知及余弦定理，得4＝a2＋c2－2ac cos π4.又a2＋c2≥2ac，故ac≤42－2，当且仅当a＝c时，等号成立．因此△ABC面积的最大值为2＋1.【训练3】解(1)由cos 2A－3cos(B＋C)＝1，得2cos2A＋3cos A－2＝0，即(2cos A－1)(cos A＋2)＝0，解得cos A＝12或cos A＝－2(舍去)．因为0＜A＜π，所以A＝π3.(2)由S＝12bc sin A＝12bc·32＝34bc＝53，得bc＝20.又b＝5，所以c＝4.由余弦定理，得a2＝b2＋c2－2bc cos A＝25＋16－20＝21，故a＝21.又由正弦定理，得sin B sin C＝ba sin A·ca sin A＝bca2sin2A＝2021×34＝57.【典例】[规范解答](1)由余弦定理b2＝a2＋c2－2ac cos B，得b2＝(a＋c)2－2ac(1＋cos B)，又b ＝2，a ＋c ＝6，cos B ＝79，所以ac ＝9，解得a ＝3，c ＝3， (6分) (2)在△ABC 中，sin B ＝1－cos 2B ＝429，(7分)由正弦定理得sin A ＝a sin B b ＝223.(9分)因为a ＝c ，所以A 为锐角， 所以cos A ＝1－sin 2A ＝13. (10分)因此sin(A －B )＝sin A cos B －cos A sin B ＝10227. (12分) 【自主体验】解 (1)由c ＝3a sin C －c cos A 及正弦定理，得 3sin A sin C －cos A ·sin C －sin C ＝0，由于sin C ≠0，所以sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫A －π6＝12，又0<A <π，所以－π6<A －π6<5π6，故A ＝π3.(2)△ABC 的面积S ＝12bc sin A ＝3，故bc ＝4.而a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，故b 2＋c 2＝8，解得b ＝c ＝2.基础巩固题组 (建议用时：40分钟)一、选择题1．(2013·绍兴模拟)在△ABC 中，若a 2－c 2＋b 2＝3ab ，则C ＝( )． A ．30° B ．45° C ．60° D ．120°解析 由a 2－c 2＋b 2＝3ab ，得cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝3ab 2ab ＝32，所以C ＝30°.答案 A2．(2014·合肥模拟)在△ABC 中，A ＝60°，AB ＝2，且△ABC 的面积为32，则BC 的长为( )．A.32 B.3 C ．2 3 D ．2解析 S ＝12×AB ·AC sin 60°＝12×2×32AC ＝32，所以AC ＝1，所以BC 2＝AB 2＋AC 2－2AB ·AC cos 60°＝3，所以BC ＝ 3. 答案 B3．△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知b ＝2，B ＝π6，C ＝π4，则△ABC 的面积为( )．A ．23＋2 B.3＋1 C ．23－2 D.3－1 解析 由正弦定理b sinB ＝csin C 及已知条件得c ＝22， 又sin A ＝sin(B ＋C )＝12×22＋32×22＝2＋64. 从而S △ABC ＝12bc sin A ＝12×2×22×2＋64＝3＋1. 答案 B4．△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .若B ＝2A ，a ＝1，b ＝3，则c ＝( )． A ．2 3 B ．2 C. 2 D ．1解析 由a sin A ＝b sin B ，得a sin A ＝b sin 2A ，所以1sin A ＝32sin A cos A ，故cos A ＝32，又A ∈(0，π)，所以A ＝π6，B ＝π3，C ＝π2，c ＝a 2＋b 2＝12＋(3)2＝2. 答案 B5．(2013·陕西卷)设△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若b cos C ＋c cos B ＝a sin A ，则△ABC 的形状为( )． A ．直角三角形 B ．锐角三角形 C ．钝角三角形 D ．不确定解析 由正弦定理及已知条件可知sin B cos C ＋cos B sin C ＝sin 2 A ，即sin(B ＋C )＝sin 2 A ，而B ＋C ＝π－A ，所以sin(B ＋C )＝sin A ，所以sin 2 A ＝sin A ，又0＜A ＜π，sin A ＞0，∴sin A ＝1，即A ＝π2. 答案 A 二、填空题6．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若a ＝2，b ＝2，sin B ＋cos B ＝2，则角A 的大小为________．解析 由题意知，sin B ＋cos B ＝2，所以2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫B ＋π4＝2，所以B ＝π4，根据正弦定理可知a sin A ＝b sin B ，可得2sin A ＝2sin π4，所以sin A ＝12，又a ＜b ，故A ＝π6.答案 π67．(2014·惠州模拟)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .若(a 2＋c 2－b 2)tan B ＝3ac ，则角B 的值为________．解析 由余弦定理，得a 2＋c 2－b 22ac ＝cos B ，结合已知等式得cos B ·tan B ＝32，∴sin B ＝32，∴B ＝π3或2π3. 答案 π3或2π38．(2013·烟台一模)设△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且a ＝1，b ＝2，cos C ＝14，则sin B 等于________．解析 由余弦定理，得c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ＝4，即c ＝2.由cos C ＝14得sin C ＝154.由正弦定理b sin B ＝c sin C ，得sin B ＝b sin C c ＝22×154＝154(或者因为c ＝2，所以b ＝c ＝2，即三角形为等腰三角形，所以sin B ＝sin C ＝154)． 答案154三、解答题9．(2014·宜山质检)在△ABC 中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 所对的边，且a ＝12c ＋b cos C . (1)求角B 的大小；(2)若S △ABC ＝3，b ＝13，求a ＋c 的值． 解 (1)由正弦定理，得sin A ＝12sin C ＋sin B cos C ， 又因为A ＝π－(B ＋C )，所以sin A ＝sin(B ＋C )，可得sin B cos C ＋cos B sin C ＝12sin C ＋sin B cos C ， 即cos B ＝12，又B ∈(0，π)，所以B ＝π3.(2)因为S △ABC ＝3，所以12ac sin π3＝3，所以ac ＝4， 由余弦定理可知b 2＝a 2＋c 2－ac ，所以(a ＋c )2＝b 2＋3ac ＝13＋12＝25，即a ＋c ＝5.10．(2013·北京卷)在△ABC 中，a ＝3，b ＝26，∠B ＝2∠A . (1)求cos A 的值； (2)求c 的值．解 (1)因为a ＝3，b ＝26，∠B ＝2∠A ，所以在△ABC 中，由正弦定理，得3sin A ＝26sin 2A ， 所以2sin A cos A sin A ＝263，故cos A ＝63.(2)由(1)知cos A ＝63，所以sin A ＝1－cos 2A ＝33. 又因为∠B ＝2∠A ，所以cos B ＝2cos 2A －1＝13，所以sin B ＝1－cos 2B ＝223.在△ABC 中，sin C ＝sin(A ＋B ) ＝sin A cos B ＋cos A sin B ＝539. 所以c ＝a sin Csin A ＝5.能力提升题组 (建议用时：25分钟)一、选择题1．(2014·温岭中学模拟)在锐角△ABC 中，若BC ＝2，sin A ＝223，则AB →·AC →的最大值为( )． A.13 B.45 C ．1 D ．3解析 由余弦定理，得a 2＝b 2＋c 2－2bc ×13＝4，由基本不等式可得4≥43bc ，即bc ≤3，所以AB →·AC →＝bc cos A ＝13bc ≤1.答案 C2．(2013·青岛一中调研)在△ABC 中，三边长a ，b ，c 满足a 3＋b 3＝c 3，那么△ABC 的形状为( )．A ．锐角三角形B ．钝角三角形C ．直角三角形D ．以上均有可能解析 由题意可知c ＞a ，c ＞b ，即角C 最大，所以a 3＋b 3＝a ·a 2＋b ·b 2＜ca 2＋cb 2，即c 3＜ca 2＋cb 2，所以c 2＜a 2＋b 2.根据余弦定理，得cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＞0，所以0＜C ＜π2，即三角形为锐角三角形．答案 A二、填空题3．(2013·浙江卷)在△ABC 中，∠C ＝90°，M 是BC 的中点．若sin ∠BAM ＝13，则sin ∠BAC＝________.解析 如图，令∠BAM ＝β，∠BAC ＝α，故|CM |＝|AM |sin(α－β)，∵M 为BC 的中点，∴|BM |＝|AM |sin(α－β)．在△AMB 中，由正弦定理知，|AM |sin B ＝|BM |sin β，即|AM |sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－α＝|AM |·sin (α－β)sin β， ∵sin β＝13，∴cos β＝223，∴13＝cos α·⎝ ⎛⎭⎪⎫223sin α－13cos α ＝223sin αcos α－13cos 2α，整理得1＝22sin αcos α－cos 2α，所以22tan α－1tan 2 α＋1＝1， 解得tan α＝2，故sin α＝63.答案 63三、解答题4．(2013·长沙模拟)在△ABC 中，边a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 的对边，且满足b cos C ＝(3a －c )cos B .(1)求cos B ； (2)若BC →·BA →＝4，b ＝42，求边a ，c 的值．解 (1)由正弦定理和b cos C ＝(3a －c )cos B ，得sin B cos C ＝(3sin A －sin C )cos B ，化简，得sin B cos C ＋sin C cos B ＝3sin A cos B ，即sin(B ＋C )＝3sin A cos B ， 故sin A ＝3sin A cos B ，所以cos B ＝13.(2)因为BC →·BA →＝4，所以BC →·BA →＝|BC →|·|BA →|·cos B ＝4，所以|BC →|·|BA →|＝12，即ac ＝12.① 又因为cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝13，整理得，a 2＋c 2＝40.②联立①②⎩⎨⎧ a 2＋c 2＝40，ac ＝12，解得⎩⎨⎧ a ＝2，c ＝6或⎩⎨⎧ a ＝6，c ＝2. 学生用书第65页。
4-6正弦定理、余弦定理
2．三角形中的三角函数关系
(1)sin(A＋B)＝sin C；(2)cos(A＋B)＝－cos C；
(3)sin
A＋2 B＝cos
C2 ；(4)cos
A＋2 B＝sin
C 2.
高考总复习·数学理科（RJ）
第四章 三角函数、解三角形
【思考辨析】 判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“பைடு நூலகம்”)
(1)三角形中三边之比等于相应的三个内角之比．( ) (2)在△ABC中，若sin A＞sin B，则A＞B. ( ) (3)在△ABC的六个元素中，已知任意三个元素可求其他 元素. ( ) (4)当b2＋c2－a2>0时，三角形ABC为锐角三角形. ( ) (5)在三角形中，已知两边和一角就能求三角形的面积. () 【答案】 (1)× (2)√ (3)× (4)× (5)√
D．等腰直角三角形
高考总复习·数学理科（RJ）
第四章 三角函数、解三角形
【解析】 sin B·sin C＝1＋c2os A， ∴2sin B·sin C＝1＋cos A＝1－cos(B＋C)， ∴cos(B－C)＝1， ∵B、C 为三角形的内角，∴B＝C， 又 sin2B＋sin2C＝sin2A，∴b2＋c2＝a2， 综上，△ABC 为等腰直角三角形． 【答案】 D
π ∵C＝ 3 ，
∴c2＝a2＋b2－2abcos π3 ＝a2＋b2－ab.②
由①②得－ab＋6＝0，即 ab＝6.
∴S△ABC＝12absin
C＝12×6×
23＝3
2
3 .
【答案】 C
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第四章 三角函数、解三角形
题型三 正弦定理、余弦定理的简单应用
第四章 三角函数与三角形4-6正弦定理和余弦定理
1 ③S＝ r(a＋b＋c)(r 为内切圆半径)． 2 1 ④S＝ PP－aP－bP－c，其中 P＝ (a＋b＋c)． 2 (6)在△ABC 中，A>B⇔a>b⇔sinA>sinB.
4．解斜三角形的类型 解斜三角形有下表所示的四种情况：
已知条件 一边和两角( 如a，B， C) 两边和夹角( 如a，b， C)
解析：(1)已知两角和一边只有一解，由B＝30° ，C ＝105° 得，A＝45° ， asinB 4sin30° 由正弦定理得，b＝ ＝ ＝2 2. sinA sin45° (2)已知两边和一边的对角，先判断解的情况： 3 2 ∵c<bsinC＝ ，∴无解． 2
BC AB 5 3 (3)由正弦定理 ＝ 知， ＝ ，∴sinA＝ sinA sinC sinA 1 2 2 ， 2 ∵BC>AB，∴A>C，∴A＝45° 或135° .
3 答案：60° ； 2
总结评述：解三角形时，找三边一角之间的 关系，常用余弦定理，两边两角之间的关系 常用正弦定理．
在锐角△ABC中，a、b、c分别为角A、B、C所对 的边，又c＝ 21，b＝4，且BC边上的高h＝2 3.则 (1)角C＝________； (2)a＝________.
解析：△ABC为锐角三角形，过A作AD⊥BC于D点， 2 3 3 sinC＝ ＝ ，则C＝60° . 4 2 1 又由余弦定理可知( 21) ＝4 ＋a －2· a·， 4· 2
A＋B C tan(A＋B)＝－tanC; sin ＝cos ； 2 2
A＋B A＋B C C cos ＝sin ； tan ＝cot ； 2 2 2 2 tanA＋tanB＋tanC＝tanA· tanB· tanC. (5)△ABC 的面积公式有： 1 ①S＝ a· 表示 a 边上的高)； h(h 2 1 1 1 abc ②S＝ absinC＝ acsinB＝ bcsinA＝ ； 2 2 2 4R
高考数学一轮复习 第四章 三角函数、解三角形 第6讲 正弦定理和余弦定理 第2课时 正、余弦定理的综
第2课时 正、余弦定理的综合问题与三角形面积有关的问题(多维探究) 角度一 计算三角形的面积(1)(2019·高考全国卷Ⅱ)△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若b＝6，a ＝2c ，B ＝π3，则△ABC 的面积为．(2)(2020·某某五校第二次联考)在△ABC 中，A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知a 2＋b 2－c 2＝3ab ，且ac sin B ＝23sin C ，则△ABC 的面积为．【解析】 (1)法一：因为a ＝2c ，b ＝6，B ＝π3，所以由余弦定理b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ，得62＝(2c )2＋c 2－2×2c ×c cos π3，得c ＝23，所以a ＝43，所以△ABC 的面积S ＝12ac sinB ＝12×43×23×sin π3＝6 3.法二：因为a ＝2c ，b ＝6，B ＝π3，所以由余弦定理b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ，得62＝(2c )2＋c 2－2×2c ×c cos π3，得c ＝23，所以a ＝43，所以a 2＝b 2＋c 2，所以A ＝π2，所以△ABC的面积S ＝12×23×6＝6 3.(2)因为a 2＋b 2－c 2＝3ab ，所以由余弦定理得cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝3ab 2ab ＝32，又0＜C ＜π，所以C ＝π6.因为ac sin B ＝23sin C ，所以结合正弦定理可得abc ＝23c ，所以ab ＝2 3.故S △ABC ＝12ab sin C ＝12×23sin π6＝32. 【答案】 (1)6 3 (2)32求三角形面积的方法(1)若三角形中已知一个角(角的大小或该角的正、余弦值)，结合题意求解这个角的两边或该角的两边之积，代入公式求面积；(2)若已知三角形的三边，可先求其中一个角的余弦值，再求其正弦值，代入公式求面积，总之，结合图形恰当选择面积公式是解题的关键．角度二 已知三角形的面积解三角形(2020·某某五市十校共同体联考改编)已知a ，b ，c 分别为△ABC 的内角A ，B ，C 的对边，(3b －a )cos C ＝c cos A ，c 是a ，b 的等比中项，且△ABC 的面积为32，则ab＝，a ＋b ＝．【解析】 因为(3b －a )cos C ＝c cos A ，所以利用正弦定理可得3sin B cos C ＝sin A cosC ＋sin C cos A ＝sin(A ＋C )＝sinB ．又因为sin B ≠0，所以cosC ＝13，则C为锐角，所以sin C ＝223.由△ABC 的面积为32，可得12ab sin C ＝32，所以abc 是a ，b的等比中项可得c 2＝ab ，由余弦定理可得c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ，所以(a ＋b )2＝113ab ＝33，所以a ＋b ＝33.【答案】 933已知三角形面积求边、角的方法(1)若求角，就寻求这个角的两边的关系，利用面积公式列方程求解； (2)若求边，就寻求与该边(或两边)有关联的角，利用面积公式列方程求解． [注意] 正弦定理、余弦定理与三角函数性质的综合应用中，要注意三角函数公式的工具性作用．1．(2020·某某市模拟考试)在△ABC 中，AC ＝5，BC ＝10，cos A ＝255，则△ABC的面积为( )A.52 B ．5C ．10D ．102解析：选A.由AC ＝5，BC ＝10，BC 2＝AB 2＋AC 2－2AC ·AB cos A ，得AB 2－4AB －5＝0，解得AB ＝5，而sin A ＝1－cos 2A ＝55，故S △ABC ＝12×5×5×55＝52.选A. 2．(2020·某某市统一模拟考试)已知△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且a sin(A ＋B )＝c sin B ＋C2.(1)求A ；(2)若△ABC 的面积为3，周长为8，求a . 解：(1)由题设得a sin C ＝c cos A2，由正弦定理得sin A sin C ＝sin C cos A2，所以sin A ＝cos A2，所以2sin A 2cos A 2＝cos A 2，所以sin A 2＝12，所以A ＝60°.(2)由题设得12bc sin A ＝3，从而bc ＝4.由余弦定理a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，得a 2＝(b ＋c )2－12. 又a ＋b ＋c ＝8，所以a 2＝(8－a )2－12，解得a ＝134.三角形面积或周长的最值(X 围)问题(师生共研)(2019·高考全国卷Ⅲ)△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .已知a sinA ＋C2＝b sin A .(1)求B ；(2)若△ABC 为锐角三角形，且c ＝1，求△ABC 面积的取值X 围． 【解】 (1)由题设及正弦定理得sin A sin A ＋C2＝sin B sin A .因为sin A ≠0，所以sinA ＋C2＝sin B .由A ＋B ＋C ＝180°，可得sinA ＋C2＝cos B 2，故cos B 2＝2sin B 2cos B2.因为cos B 2≠0，故sin B 2＝12，因此B ＝60°.(2)由题设及(1)知△ABC 的面积S △ABC ＝34a .由正弦定理得a ＝c sin A sin C ＝sin （120°－C ）sin C ＝32tan C ＋12. 由于△ABC 为锐角三角形，故0°<A <90°，0°<C <90°. 由(1)知A ＋C ＝120°，所以30°<C <90°，故12<a <2，从而38<S △ABC <32.因此，△ABC 面积的取值X 围是⎝⎛⎭⎪⎫38，32.求有关三角形面积或周长的最值(X 围)问题在解决求有关三角形面积或周长的最值(X 围)问题时，一般将其转化为一个角的一个三角函数，利用三角函数的有界性求解，或利用余弦定理转化为边的关系，再应用基本不等式求解．(一题多解)(2020·某某市质量检测)△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .若角A ，B ，C 成等差数列，且b ＝32. (1)求△ABC 外接圆的直径； (2)求a ＋c 的取值X 围．解：(1)因为角A ，B ，C 成等差数列，所以2B ＝A ＋C ， 又因为A ＋B ＋C ＝π，所以B ＝π3.根据正弦定理得，△ABC 的外接圆直径2R ＝bsin B ＝32sinπ3＝1.(2)法一：由B ＝π3，知A ＋C ＝2π3，可得0＜A ＜2π3.由(1)知△ABC 的外接圆直径为1，根据正弦定理得， asin A ＝bsin B ＝csin C ＝1，所以a ＋c ＝sin A ＋sin C ＝sin A ＋sin ⎝⎛⎭⎪⎫2π3－A＝3⎝⎛⎭⎪⎫32sin A ＋12cos A＝3sin ⎝⎛⎭⎪⎫A ＋π6. 因为0＜A ＜2π3，所以π6＜A ＋π6＜5π6.所以12＜sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫A ＋π6≤1， 从而32＜3sin ⎝⎛⎭⎪⎫A ＋π6≤3，所以a ＋c 的取值X 围是⎝⎛⎦⎥⎤32，3. 法二：由(1)知，B ＝π3，b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ＝(a ＋c )2－3ac≥(a ＋c )2－3⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋c 22＝14(a ＋c )2(当且仅当a ＝c 时，取等号)，因为b ＝32，所以(a ＋c )2≤3，即a ＋c ≤3，又三角形两边之和大于第三边，所以32＜a ＋c ≤3， 所以a ＋c 的取值X 围是⎝⎛⎦⎥⎤32，3.解三角形与三角函数的综合应用(师生共研)(2020·某某省五市十校联考)已知向量m ＝(cos x ，sin x )，n ＝(cos x ，3cos x )，x ∈R ，设函数f (x )＝m ·n ＋12.(1)求函数f (x )的解析式及单调递增区间；(2)设a ，b ，c 分别为△ABC 的内角A ，B ，C 的对边，若f (A )＝2，b ＋c ＝22，△ABC 的面积为12，求a 的值．【解】 (1)由题意知，f (x )＝cos 2x ＋3sin x cos x ＋12＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π6＋1.令2x ＋π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2＋2k π，π2＋2k π，k ∈Z ，解得x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3＋k π，π6＋k π，k ∈Z ，所以函数f (x )的单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3＋k π，π6＋k π，k ∈Z . (2)因为f (A )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2A ＋π6＋1＝2，所以sin ⎝⎛⎭⎪⎫2A ＋π6＝1.因为0＜A ＜π，所以π6＜2A ＋π6＜13π6，所以2A ＋π6＝π2，即A ＝π6.由△ABC 的面积S ＝12bc sin A ＝12，得bc ＝2，又b ＋c ＝22，所以a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ＝(b ＋c )2－2bc (1＋cos A )， 解得a ＝3－1.标注条件，合理建模解决三角函数的应用问题，无论是实际应用问题还是三角函数与解三角形相结合的问题，关键是准确找出题中的条件并在三角形中进行准确标注，然后根据条件和所求建立相应的数学模型，转化为可利用正弦定理或余弦定理解决的问题．△ABC 中的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知b ＝2a －2c cos B .(1)求角C 的大小；(2)求3cos A ＋sin ⎝⎛⎭⎪⎫B ＋π3的最大值，并求出取得最大值时角A ，B 的值．解：(1)法一：在△ABC 中，由正弦定理可知sin B ＝2sin A －2sin C cos B ， 又A ＋B ＋C ＝π，则sin A ＝sin (π－(B ＋C ))＝sin(B ＋C )，于是有sin B ＝2sin(B ＋C )－2sin C cos B ＝2sin B cos C ＋2cos B sin C －2sin C cos B ，整理得sin B ＝2sin B cos C ，又sin B ≠0， 则cos C ＝12，因为0<C <π，则C ＝π3.法二：由题可得b ＝2a －2c ·a 2＋c 2－b 22ac，整理得a 2＋b 2－c 2＝ab ，即cos C ＝12，因为0<C <π，则C ＝π3.(2)由(1)知C ＝π3，则B ＋π3＝π－A ，于是3cos A ＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫B ＋π3＝3cos A ＋sin (π－A )＝3cos A ＋sin A ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫A ＋π3，因为A ＝2π3－B ，所以0<A <2π3，所以π3<A ＋π3<π，故当A ＝π6时，2sin ⎝⎛⎭⎪⎫A ＋π3的最大值为2，此时B ＝π2.[基础题组练]1．△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知b ＝7，c ＝4，cos A ＝74，则△ABC 的面积等于( )A ．37B.372C ．9D ．92解析：选B.因为cos A ＝74，则sin A ＝34，所以S △ABC ＝12×bc sin A ＝372，故选B. 2．在△ABC 中，已知C ＝π3，b ＝4，△ABC 的面积为23，则c ＝( )A ．27 B.7 C ．2 2D ．2 3解析：选D.由S ＝12ab sin C ＝2a ×32＝23，解得a ＝2，由余弦定理得c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ＝12，故c ＝2 3.3．(2020·某某三市联考)已知a ，b ，c 分别为△ABC 三个内角A ，B ，C 的对边，sin A ∶sin B ＝1∶3，c ＝2cos C ＝3，则△ABC 的周长为( )A ．3＋3 3B ．2 3C ．3＋2 3D ．3＋ 3解析：选C.因为sin A ∶sin B ＝1∶3，所以b ＝3a ，由余弦定理得cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝a 2＋（3a ）2－c 22a ×3a＝32，又c ＝3，所以a ＝3，b ＝3，所以△ABC 的周长为3＋23，故选C.4．(2020·某某师大附中4月模拟)若△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且b ＝2，c ＝5，△ABC 的面积S ＝52cos A ，则a ＝( ) A ．1 B. 5 C.13D ．17解析：选A.因为b ＝2，c ＝5，S ＝52cos A ＝12bc sin A ＝5sin A ，所以sin A ＝12cos A .所以sin 2A ＋cos 2A ＝14cos 2A ＋cos 2A ＝54cos 2A cos A ＝255.所以a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ＝4＋5－2×2×5×255＝9－8＝1，所以a A.5．(2020·某某市定位考试)已知△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，△ABC 的面积为43，且2b cos A ＋a ＝2c ，a ＋c ＝8，则其周长为( )A ．10B ．12C ．8＋ 3D ．8＋2 3解析：选B.因为△ABC 的面积为43，所以12ac sin B ＝4 3.因为2b cos A ＋a ＝2c ，所以由正弦定理得2sin B cos A ＋sin A ＝2sin C ，又A ＋B ＋C ＝π，所以2sin B cos A ＋sin A ＝2sin A cos B ＋2cos A sin B ，所以sin A ＝2cos B ·sin A ，因为sin A ≠0，所以cos B ＝12，因为0＜B ＜π，所以B ＝π3，所以ac ＝16，又a ＋c ＝8，所以a ＝c ＝4，所以△ABC 为正三角形，所以△ABC B.6．在△ABC 中，A ＝π4，b 2sin C ＝42sin B ，则△ABC 的面积为．解析：因为b 2sin C ＝42sin B ，所以b 2c ＝42b ，所以bc ＝42，S △ABC ＝12bc sin A ＝12×42×22＝2. 答案：27．(2020·某某某某五校协作体期中改编)在△ABC 中，A ＝π3，b ＝4，a ＝23，则B ＝，△ABC 的面积等于．解析：△ABC 中，由正弦定理得sin B ＝b sin Aa ＝4×sinπ323B 为三角形的内角，所以B＝π2，所以c ＝b 2－a 2＝42－（23）2＝2， 所以S △ABC ＝12×2×23＝2 3.答案：π22 38．在△ABC 中，a ，b ，c 分别是内角A ，B ，C 的对边，且B 为锐角，若sin A sin B ＝5c2b，sinB ＝74，S △ABC ＝574，则b 的值为． 解析：由sin A sin B ＝5c 2b ⇒a b ＝5c 2b ⇒a ＝52c ，①由S △ABC ＝12ac sin B ＝574且sin B ＝74得12ac ＝5，②联立①，②得a ＝5，且c ＝2. 由sin B ＝74且B 为锐角知cos B ＝34， 由余弦定理知b 2＝25＋4－2×5×2×34＝14，b ＝14.答案：149．在△ABC 中，∠A ＝60°，c ＝37a .(1)求sin C 的值；(2)若a ＝7，求△ABC 的面积．解：(1)在△ABC 中，因为∠A ＝60°，c ＝37a ，所以由正弦定理得sin C ＝c sin A a ＝37×32＝3314. (2)因为a ＝7，所以c ＝37×7＝3.由余弦定理a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A 得72＝b 2＋32－2b ×3×12，解得b ＝8或b ＝－5(舍)．所以△ABC 的面积S ＝12bc sin A ＝12×8×3×32＝6 3.10．(2020·某某五校第二次联考)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，且3a cos C ＝(2b －3c )cos A .(1)求角A 的大小；(2)若a ＝2，求△ABC 面积的最大值．解：(1)由正弦定理可得，3sin A cos C ＝2sin B cos A －3sin C cos A ， 从而3sin(A ＋C )＝2sin B cos A ， 即3sin B ＝2sin B cos A .又B 为三角形的内角，所以sin B ≠0，于是cos A ＝32， 又A 为三角形的内角，所以A ＝π6.(2)由余弦定理a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，得4＝b 2＋c 2－2bc ×32≥2bc －3bc ， 所以bc ≤4(2＋3)，所以S △ABC ＝12bc sin A ≤2＋3，故△ABC 面积的最大值为2＋ 3.[综合题组练]1．(2020·某某市诊断测试)在平面四边形ABCD 中，∠D ＝90°，∠BAD ＝120°，AD ＝1，AC ＝2，AB ＝3，则BC ＝( )A. 5B. 6C.7D ．2 2解析：选C.如图，在△ACD 中，∠D ＝90°，AD ＝1，AC ＝2，所以∠CAD ＝60°.又∠BAD ＝120°，所以∠BAC ＝∠BAD －∠CAD ＝60°.在△ABC 中，由余弦定理得BC 2＝AB 2＋AC 2－2AB ·AC cos ∠BAC ＝7，所以BC ＝7.故选C.2．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，a sin A ＋b sin B －c sin C sin B sin C ＝233a ，a ＝2 3.若b ∈[1，3]，则c 的最小值为．解析：由a sin A ＋b sin B －c sin C sin B sin C ＝233a ，得a 2＋b 2－c 22ab ＝33sin C ．由余弦定理可知cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ，即3cos C ＝3sin C ，所以tan C ＝3，故cos C ＝12，所以c 2＝b 2－23b ＋12＝(b －3)2＋9，因为b ∈[1，3]，所以当b ＝3时，c 取最小值3.答案：33．(2020·某某市学业质量调研)△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知△ABC 的面积为32ac cos B ，且sin A ＝3sin C . (1)求角B 的大小；(2)若c ＝2，AC 的中点为D ，求BD 的长． 解：(1)因为S △ABC ＝12ac sin B ＝32ac cos B ， 所以tan B ＝ 3.又0＜B ＜π，所以B ＝π3. (2)sin A ＝3sin C ，由正弦定理得，a ＝3c ，所以a ＝6. 由余弦定理得，b 2＝62＋22－2×2×6×cos 60°＝28，所以b ＝27. 所以cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝（27）2＋22－622×2×27＝－714. 因为D 是AC 的中点，所以AD ＝7. 所以BD 2＝AB 2＋AD 2－2AB ·AD cos A ＝22＋(7)2－2×2×7×⎝ ⎛⎭⎪⎫－714＝13. 所以BD ＝13.4．(2020·原创题)在△ABC 中，sin A ∶cos B ∶tan A ＝12∶16∶15.(1)求sin C ；(2)若AB ＝8，点D 为△ABC 外接圆上的动点，求DA →·DC →的最大值．解：(1)由sin A ∶tan A ＝12∶15，得cos A ＝45，故sin A ＝35，所以由sin A ∶cos B ＝12∶16，得cos B ＝45，故sin B ＝35，于是sin C ＝sin(A ＋B )＝sin A cos B ＋cos A sin B ＝2425. (2)在△ABC 中，由AC sin B ＝ABsin C，解得AC ＝5，由A ，B ，C ，D 四点共圆及题干条件，可知∠ADC ＝∠ABC 时DA →·DC →取得最大值， 设DA ＝m ，DC ＝n ，在△DAC 中，由余弦定理的推论得cos ∠ADC ＝m 2＋n 2－522mn ＝45， 故85mn ＝m 2＋n 2－25≥2mn －25， 解得mn ≤1252， 故DA →·DC →＝45mn ≤45×1252＝50， 当且仅当m ＝n ＝5102时，等号成立， 故DA →·DC →的最大值为50.。
第6讲 正弦定理和余弦定理
第6讲 正弦定理和余弦定理【复习指导】1．掌握正弦定理和余弦定理的推导方法．2．通过正、余定理变形技巧实现三角形中的边角转换，解题过程中做到正余弦定理的优化选择．基础梳理1．正弦定理：asin A ＝bsin B ＝csin C ＝a ＋b sin A ＋sin B ＝b ＋c sin B ＋sin C ＝sin sin c aC A++＝a ＋b ＋csin A ＋sin B ＋sin C＝2R ，其中R 是三角形外接圆的半径．由正弦定理可以变形为：⑴．a ：b ：c ＝sin A ：sin B ：sin C ； ⑵．a ＝2R sin A ，b ＝2R sin B ，c ＝2R sin C ；⑶．sin A ＝a 2R ，sin B ＝b 2R ，sin C ＝c2R等形式，以解决不同的三角形问题．2．余弦定理：a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，b 2＝c 2＋a 2－2ca cos B ，c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ．余弦定理可以变形为：cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ，cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ，cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab．3．S △ABC ＝12ah a ＝12bh b ＝12ch c ＝12ab sin C ＝12bc sin A ＝12ca sin B ＝abc 4R ＝12r (a ＋b ＋c )(R 是三角形外接圆半径，r 是三角形内切圆的半径)，并可由此计算R ，r ．221(||||)()2OAB S OA OB OA OB ∆=⋅−⋅一条规律在三角形中，大角对大边，大边对大角；大角的正弦值也较大，正弦值较大的角也较大，即在△ABC 中，A ＞B ⇔a ＞b ⇔sin A ＞sin B ．判断一解、两解的依据为“大边对大角”．两类问题在解三角形时，正弦定理可解决两类问题：⑴．已知两角及任一边，求其它边或角；⑵．已知两边及一边的对角，求其它边或角．情况⑵中结果可能有一解、两解、无解，应注意区分．余弦定理可解决两类问题：⑴．已知两边及夹角求第三边和其他两角；⑵．已知三边，求各角．两种途径根据所给条件确定三角形的形状，主要有两种途径：⑴．化边为角；⑵．化角为边，并常用正弦(余弦)定理实施边、角转换．双基自测1．在△ABC 中，A ＝π3，B ＝5π12，a ＝10，则c ＝__________．【解】由A ＋B ＋C ＝π知，C ＝π4，由正弦定理a sin A ＝c sin C 得，c ＝1036．2．在△ABC 中，若sin A a ＝cos Bb，则B ＝__________．【解】由正弦定理知：sin A sin A ＝cos B sin B B ，故sin B ＝cos B ，即tan B ＝1，又0＜B ＜π，则B ＝π4．3．在△ABC 中，a ＝3，b ＝1，c ＝2，则A ＝__________．【解】由余弦定理得：cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝12，又0＜A ＜π，故A ＝π3．4．在△ABC 中，a ＝32，b ＝23，cos C ＝13，则△ABC 的面积为__________．【解】因cos C ＝13，又0＜C ＜π，故sin C ＝223，故S △ABC ＝12ab sin C ＝43．5．已知△ABC 三边满足a 2＋b 2＝c 2－3ab ，则此三角形的最大内角为________．【解】因a 2＋b 2＝c 2－3ab ，故cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝－32，故C ＝5π6为三角形的最大内角．知识及思想方法小结1．正弦定理和余弦定理的应用条件？如：⑴．[11北京理]在△ABC 中，若b ＝5，B ＝π4，tan A ＝2，则sin A ＝______；a ＝_____．【解】因△ABC 中，tan A ＝2，故A 是锐角，故sin A cos A ＝2，又sin 2A ＋cos 2A ＝1，联立得，sin A ＝255，再由正弦定理得a sin A ＝bsin B，代入得，a ＝210．⑵．在ABC ∆中，已知a ＝2，cos B ＝817，tan C ＝2，求b ，c ，A ．⑶．在ABC ∆中，已知a ＝10，b ＝17，sin C ＝817，求B ，c ，A ．2．与其它知识的结合点⑴．边：代数公式；如：[12北京理]在△ABC 中，已知a ＝2，b ＋c ＝7，cos B ＝－14，求b ．⑵．角：如同角三角函数的基本关系、诱导公式、两角和与差的三角函数、二倍角的三角函数、半角的三角函数；如：[13福建理]①．如图△ABC 中，已知点D 在BC 边上，AD ⊥AC ，sin ∠BAC ＝223，AB ＝32，AD ＝3，则BD ＝___________．【解】因sin ∠BAC ＝sin(π2＋∠BAD )＝cos ∠BAD ＝223，故由余弦定理得，BD 2＝AB 2＋AD 2－2AB ·AD cos ∠BAD ＝18＋9－2×2×32×223＝3，故BD ＝3． ②．如图，在Rt △ABC 中，AC ⊥BC ，D 在边AC 上，已知BC ＝2，CD ＝1，∠ABD ＝π4，则AD ＝ ．【解】易知，cos ∠CBD ＝255，sin ∠CBD ＝55，则cos ∠ABC ＝cos(π4＋∠CBD )＝ cos π4cos ∠CBD －sin π4sin ∠CBD ＝1010＝2/AB ，故AB ＝210，故AC ＝6，故AD ＝5．③．在△ABC 中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 的对边，且a ＝2，C ＝π4，cos B 2＝255，求△ABC 的面积．【解】由cos B 2＝255得，cos B ＝35，sin B ＝45，则sin A ＝sin(B ＋C )＝7210，由正弦定理a sin A ＝c sin C 得，c ＝107，故S △ABC ＝12ac sin B ＝87． ⑶．边与角：向量．如：若|AB →|2＋AB →·BC →＝0，则△ABC 是___________．【解一】[角化边]由已知得，c ＝a cos B ，由余弦定理得，c ＝a •a 2＋c 2－b 22ac，化简得，a 2＝b 2＋c 2，即A 为直角，故△ABC 是直角三角形．【解二】[边化角]由已知得，c ＝a cos B ，由正弦定理得，sin C ＝sin A cos B ，又A ＋B ＋C ＝π，sin C ＝＝sin(A ＋B ) ＝sin A cos B ，即sin A cos B ＋cos A sin B ＝sin A cos B ，化简得，cos A sin B ＝0，因0＜B ＜π，则sin B ＞0，故cos A ＝0，则A ＝π2，故△ABC 是直角三角形．【解三】由已知可知，c ＝a cos B ，又由射影定理得，c ＝a cos B ＋b cos A ，故b cos A ＝0，即cos A ＝0，又0＜A ＜π，故A ＝π2，故△ABC 是直角三角形．【解四】由|AB →|2＋AB →·BC →＝0得，AB →·(AB →＋BC →)＝0，即AB →·AC →＝0，即AB ⊥AC ，故△ABC 是直角三角形．考点一 利用正余弦定理解三角形【例1】在△ABC 中，a ＝3，b ＝2，B ＝π4．求角A ，C 和边c ．[审题视点]已知两边及一边对角或已知两角及一边，可利用正弦定理解这个三角形，但要注意解的判断．【解】由正弦定理a sin A ＝b sin B ，即3/sin A ＝2/sin π4，故sin A ＝32．因a ＞b ，故A ＝π3或A ＝2π3．当A ＝π3时，C ＝5π12，c ＝b sin C sinB ＝12(6＋2)；当A ＝2π3时，C ＝π12，c ＝b sin Csin B ＝6－22．一．正弦定理的应用条件：⑴．已知两角和任意一边可求第三角，解这样的三角形只需直接用正弦定理代入求解即可． ⑵．已知两边和一边对角，解三角形时，利用正弦定理求另一边的对角时要注意讨论该角，这是解题的难点，应引起注意．二．情况⑴只有一解，而情况⑵是有可能出现两解的情况，判断一解、两解的依据为“大边对大角”．D CBA【练习1】在△ABC 中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 的对边，且cos B cos C ＝－b2a ＋c．⑴．求角B 的大小；⑵．若b ＝13，a ＋c ＝4，求△ABC 的面积．[审题视点]由cos B cos C ＝－b2a ＋c，利用余弦定理转化为边的关系求解．【解一】⑴．由余弦定理知：cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ，cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ．将上式代入cos B cos C ＝－b2a ＋c 得：a 2＋c 2－b 22ac ·2ab a 2＋b 2－c 2＝－b 2a ＋c ，整理得：a 2＋c 2－b 2＝－ac ．故cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝－ac 2ac ＝－12．因B 为三角形的内角，故B ＝2π3． 【解二】由cos B cos C ＝－b 2a ＋c及正弦定理知，cos Bcos C ＝－sin B /(2sin A ＋sin C )，2sin A cos B ＋sin C cos B ＝－sin B cos C ，故2sin A cos B ＝－sin B cos C －cos B sin C ，即2sin A cos B ＝－sin(B ＋C )，即2sin A cos B ＝－sin A ，由0＜A ＜π知，0＜sin A ＜1，故cos B ＝－12，由0＜B ＜π，故B ＝2π3．⑵．将b ＝13，a ＋c ＝4，B ＝2π3代入b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ，得b 2＝(a ＋c )2－2ac －2ac cos B ，故13＝16－2ac ×12，故ac ＝3．故S △ABC ＝12ac sin B ＝334．⑴．根据所给等式的结构特点利用余弦定理将角化边进行变形是迅速解答本题的关键． ⑵．熟练运用余弦定理及其推论，同时还要注意整体思想、方程思想在解题过程中的运用． 【例2】在△ABC 中，a ＝4，b ＋c ＝5，tan A ＋tan B ＝－3(1－tan A tan B )，求sin A ．【解】由tan A ＋tan B ＝－3(1－tan A tan B )知，tan C ＝3，又0＜C ＜π，故C ＝π3，又c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C＝16＋b 2－4b ，又由b ＋c ＝5得，c ＝5－b ，代入上式得，b ＝32，故c ＝72，由a sin A ＝csin C 得，sin A＝437． 【练习2】[11南通四星八校联考10．11]如图，△ACD 是等边三角形，△ABC 是等腰直角三角形，∠ACB ＝π2，BD 交AC 于E ，AB ＝2．⑴．求cos ∠CBE 的值；⑵．求AE ．【解】⑴．因∠BCD ＝π2＋π3＝5π6，CB ＝AC ＝CD ，故∠CBE ＝π12．故cos ∠CBE ＝cos(π4－π6)＝6＋24． BACDE⑵．在ΔABE 中，AB ＝2，由正弦定理AE /sin π6＝2/sin 7π12．故AE ＝6－2．考点二 利用正、余弦定理判断三角形形状【例3】在△ABC 中，若(a 2＋b 2)sin(A －B )＝(a 2－b 2)sin C ，试判断△ABC 的形状． [审题视点]首先边化角或角化边，再整理化简即可判断．【解】由(a 2＋b 2)sin(A －B )＝(a 2－b 2)sin C 得，b 2[sin(A －B )＋sin C ]＝a 2[sin C －sin(A －B )]，即b 2sin A cos B ＝a 2cos A sin B ，即sin 2B sin A cos B ＝sin 2A cos A sin B ，即sin2B ＝sin2A ，由于A ，B 是三角形的内角．故0＜2A ＜2π，0＜2B ＜2π．故只可能2A ＝2B 或2A ＝π－2B ，即A ＝B 或A ＋B ＝π2．故△ABC 为等腰三角形或直角三角形．判断三角形的形状的基本思想是；利用正、余弦定理进行边角的统一．即将条件化为只含角的三角函数关系式，然后利用三角恒等变换得出内角之间的关系式；或将条件化为只含有边的关系式，然后利用常见的化简变形得出三边的关系．【练习3】在△ABC 中，AB →＝c ，BC →＝a ，CA →＝b ，且a ·b ＝b ·c ＝c ·a ，则△ABC 的形状为 ．【解一】由数量积的定义可知，BC →•CA →＝CA →•AB →，即ab cos(π－C )＝bc cos(π－A )，即a cos C ＝c cos A ，过点B 作BE ⊥AC 与点E ，则AE ＝EC ，故BC ＝AB ，同理，BC ＝AC ，AB ＝AC ，故△ABC 为正三角形．【解二】由数量积的定义可知，BC →•CA →＝CA →•AB →，即ab cos(π－C )＝bc cos(π－A )，即a cos C ＝c cos A ，由余弦定理得，a a 2＋b 2－c 22ab ＝c b 2＋c 2－a 22bc ，化简得，a 2－c 2＝0，故a ＝c ，同理，a ＝b ，c ＝b ，故△ABC为正三角形．【解三】由数量积的定义可知，BC →•CA →＝CA →•AB →，即ab cos(π－C )＝bc cos(π－A )，即a cos C ＝c cos A ，由正弦定理得，sin A cos C ＝sin C cos A ，化简得，sin(A －C )＝0，又－π＜A －C ＜π，故A －C ＝0，即A ＝C ，同理，A ＝B ，B ＝C ，故△ABC 为正三角形．【解四】由a •b ＝b •c 知，(a －c )•b ＝0，延长AB 至点D ，使得BD ＝AB ，连接DC ，则DC →＝a －c ，故DC ⊥AC ，即ΔACD 为直角三角形，BC 为直角ΔACD 斜边上的中线，故BC ＝AB ，即a ＝c ，同理，a ＝b ，b ＝c ，故△ABC 为正三角形．考点三 三角形中的恒等变换【例4】在△ABC 中，若tan A ＝2tan B ，a 2－b 2＝c ，则c ＝ ． 【解】由tan A ＝2tan B 知，sin A cos A ＝2sin Bcos B，即sin A cos B ＝2cos A sin B ，由正弦定理及余弦定理得，a a 2＋c 2－b 22ac ＝2b a 2＋b 2－c 22ab ，化简得，a 2－b 2＝13c 2，又a 2－b 2＝c ，故13c 2＝c ，因c 为△ABC 的边长，故c ＞0，故c ＝3．【练习4】[海安13-14上学期高三期中]12．在△ABC 中，若tan A ＝2tan B ＝3tan C ，则cos A ＝ ．【解】tan A ＋tan B ＋tan C ＝116tan A ＝tan A tan B tan C ＝16tan 3A ，故tan A ＝11，故cos A ＝36． 【例5】在ΔABC 中，已知sin A ＝13sin B sin C ，cos A ＝13cos B cos C ，则tan A ＋tan B ＋tan C 的值为_________．【解】由cos A ＝13cos B cos C 得，tan B tan C ＝14，又tan A ＝tan B tan C ＝14，故tan A ＋tan B ＋tan C ＝tan A tan B tan C ＝196．【练习5】[天一、海门、盐城中学11届调研11．02]在斜△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若tan C tan A ＋tan Ctan B＝1，则(a 2＋b 2)/c 2＝ ．【解】由tan C tan A ＋tan Ctan B ＝1知，c 2＝ab cos C ，又c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ＝a 2＋b 2－2c 2得，a 2＋b 2＝3c 2，(a 2＋b 2)/c 2＝3．【例6】[盐城中学10高三第三次模拟10．06]16．在ΔABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知a ，b ，c 成等比数列，且cos B ＝34．⑴．若BA →·BC →＝32，求a ＋c 的值；⑵．求1tan A ＋1tan C的值．【解】⑴．由BA →·BC →＝32得，ac cos B ＝32．因cos B ＝34，故b 2＝ac ＝2．由余弦定理b 2＝a 2＋c 2－2ac ·cos B得，a 2＋c 2＝b 2＋2ac ·cos B ＝5，则(a ＋c )2＝a 2＋c 2＋2ac ＝9，故a ＋c ＝3．⑵．由cos B ＝34得，sin B ＝74．由b 2＝ac 及正弦定理得，sin 2B ＝sin A sin C ，于是1tan A ＋1tan C ＝cos Asin A ＋cos C sin C ＝sin C cos A ＋cos C sin A sin A sin C ＝sin (A ＋C )sin 2B ＝sin B sin 2B ＝1sin B ＝477． 【练习6】[常州教育学会学业水平监测11．1]在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且cos2C ＝1－8b 2a2．⑴．求1tan A ＋1tan C的值；⑵．若tan B ＝815，求tan A 及tan C 的值．【解】⑴．因cos2C ＝1－8b 2a 2，故sin 2C ＝4b 2a 2．因C 为三角形内角，故sin C ＞0，故sin C ＝2b a ．因a sin A ＝b sin B ，故sin B sin A ＝ba．故2sin B ＝sin A sin C ，因A ＋B ＋C ＝π，故sin B ＝sin(A ＋C )＝sin A cos C ＋cos A sin C ．故2sin A cos C ＋2cos A sin C ＝sin A sin C ．因sin A sin C ≠0，故1tan A ＋1tan C ＝12；⑵．因1tan A ＋1tan C ＝12，故tan A ＝2tan C /(tan C －2)．因A ＋B ＋C ＝π，故tan B ＝－tan(A ＋C )＝－(tan A＋tan C )/(1－tan A tan C )＝tan 2C /(2tan 2C －tan C ＋2)．故815＝tan 2C /(2tan 2C －tan C ＋2)，整理得tan 2C －8tan C ＋16＝0，解得，tan C ＝4，tan A ＝4．练习1．[11江苏高考预测⑴]已知a ，b ，c 为ΔABC 的三个内角A ，B ，C 的对边，向量m ＝(3，－1)，n ＝(cos A ，sin A )．若m ⊥n ，且a cos B ＋b cos A ＝c sin C ，则B ＝ ．【解】由m ⊥n 得，3cos A －sin A ＝0，故A ＝π3，由a cos B ＋b cos A ＝c sin C 得，sin A cos B ＋sin B cos A＝sin C •sin C ，即sin(A ＋B )＝sin C ＝sin 2C ，故C ＝π2，故B ＝π6．另：a cos B ＋b cos A ＝c sin C ，即c ＝c sin C ，即sin C ＝1，下略．2．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知向量m ＝(cos 32A ，sin 32A )，n ＝(cos 12A ，sin 12A )，且满足|m ＋n |＝3． ⑴．求角A 的大小；⑵．若b ＋c ＝3a ，试判断△ABC 的形状．【解】⑴．由|m ＋n |＝3得，2＋2(cos 32A cos 12A ＋sin 32A sin 12A )＝3，故cos A ＝12，又0＜A ＜π，故A＝π3； ⑵．因b ＋c ＝3a ，故sin B ＋sin C ＝3sin A ，即sin B ＋sin(2π3－B )＝3×32，即sin(B ＋π6)＝32，又0＜B ＜2π3，故B ＋π6＝π3或2π3，则B ＝π6或π2，当B ＝π6时，C ＝π2；B ＝π2时，C ＝π6，故△ABC 为直角三角形．3．[10－11上学期南通六所省重点高中联考11．1]已知向量m ＝(sin A ，sin B )，n ＝(cos B ，cos A )，m ·n ＝sin2C ，其中A ，B ，C 为△ABC 的内角．⑴．求角C 的大小；⑵．若sin A ，sin C ，sin B 成等差数列，且CA →·(AB →－AC →)＝18，求AB 的长．【解】⑴．m ·n ＝sin(A ＋B ) ，又在△ABC 中， A ＋B ＝π－C ，0＜C ＜π，故sin(A ＋B )＝sin C ，故m ·n ＝sin C ，又m ·n ＝sin2C ，故sin2C ＝sin C ，故cos C ＝12，故C ＝π3；⑵．由sin A ，sin C ，sin B 成等差数列得，2sin C ＝sin A ＋sin B ，由正弦定理得，2c ＝a ＋b ，由CA →·(AB →－AC →)＝18得，CA →·CB →＝18，即ab cos C ＝18，即ab ＝36，由余弦定理c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ＝(a ＋b )2－3ab ，故c 2＝4c 2－3×36，即c 2＝36，故c ＝6．4．设O 是△ABC 的外心，已知△BOC ，△AOC ，△AOB 的面积依次成等差数列，试判断tan A tan C 是否为定值？说明理由．【解】由△BOC ，△AOC ，△AOB 的面积依次成等差数列知，2sin2B ＝sin2A ＋sin2C ，故cos(A －C )＝2cos B ，即cos(A －C )＝－2cos(A ＋C )，故sin A sin C ＝3cos A cos C ，故tan A tan C ＝3，故tan A tan C为定值．5．已知钝角△ABC 的最长边的长为2，其余两边长为a ，b ，则集合P ＝{(x ，y )|x ＝a ，y ＝b }所表示的平面图形的面积是_______．π－26．在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，已知a ，b ，c 成等比数列，且cos B ＝35．⑴．求cos A cos C 的值； ⑵．求tan A ＋tan C 值．【解】⑴．因a ，b ，c 成等差数列，故b 2＝ac ，故由正弦定理得，sin 2B ＝sin A sin C ，因cos B ＝35，故sin B ＝45，故sin A sin C ＝1625，又cos(A ＋C )＝－cos B ，故cos(A ＋C )＝－35，cos A cos C －sin A sin C ＝－35，故cos A cos C ＝125； ⑵．tan A ＋tan C ＝sin B /(cos A cos C )＝20．7．[苏大16考前指导卷⑵]12．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，A ＝2C ，c ＝2，a 2＝4b －4，则a ＝ ．【解一】在△ABC 中，由余弦定理得，a 2＝4b －4＝b 2＋4－4b cos2C ，即b 2－4b (1＋cos2C )＋8＝0，故b 2－8b cos 2C ＋8＝0，由正弦定理得，2(b －1)12(1sin C )＝2(1sin C )，即cos C ＝12(b －1)12，故b 2－12b (b－1)＋8＝0，解得，b ＝4，故a 2＝4b －4，故a ＝23．【解二】由A ＝2C 得，sin A ＝sin2C ，由正弦定理得，a ＝2ca cos C ＝4cos C ＝4a 2＋b 2－c 22ab ，即a 2＋b 2－c 2＝12a 2b ，即12a 2b ＝12(4b －4)b ＝4b －4＋b 2－4，即b 2－6b ＋8＝0，故b ＝2或b ＝4，若b ＝2，则a 2＝4b －4＝4，故a ＝2与A ＝2C 矛盾，故b ＝4，则a 2＝4b －4＝12，故a ＝23．8．[11苏锡常镇高三调研⑵]15．在△ABC 中，AC ＝5，AD 为∠BAC 的平分线，点D 在BC 上，且DC ＝42，cos ∠DAC ＝35．⑴．求AD 的长； ⑵．求cos B 的值．【解】⑴．设AD ＝x ，则32＝x 2＋25－10x ·35，解得x ＝7或x ＝－1，则AD ＝7；⑵．在ΔADC 中，由cos ∠DAC ＝35得，sin ∠DAC ＝sin ∠DAB ＝45，故5/sin ∠ADC ＝42/45，则sin∠ADC ＝ 2 2，因AD ＞AC ，故∠ADC 为锐角，故∠ADC ＝π4，∠ADB ＝3π4，故cos B ＝cos(π4－∠BAD )＝7210． 9．[南京淮安13高三二模]在△ABC 中，已知角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，cos C cos B ＝2a －cb．⑴．求B ；⑵．若tan(A ＋π4)＝7，求cos C 的值．【解】⑴．因cos C cos B ＝2a －c b ，由正弦定理得，cos C cos B ＝1sin B (2sin A －sin C )，故sin B cos C ＋cos B sin C ＝2sin A cos B ．即sin(B ＋C )＝2sin A cos B ，因B ＋C ＝π－A ，故sin A ＝2sin A cos B ，因A ∈(0，π)，故sin A ≠0，故cos B ＝12，又B ∈(0，π)，故B ＝π3；⑵．因tan(A ＋π4)＝7，故(tan A ＋1)/(1－tan A )＝7，解得，tan A ＝34，因A ∈(0，π)，故A 为锐角，故cos A ＝45，sin A ＝35，故cos C ＝－cos(A ＋B )＝－cos(A ＋π3)＝－cos A cos π3＋sin A sin π3＝110(－4＋33)．10．在△ABC 中，a ，b ，c 分别为内角A ，B ，C 的对边，且1a ＋b ＋1c ＋a ＝3a ＋b ＋c．⑴．求角A 的大小；⑵．若c b ＝12＋3，a ＝15，求b 的值．【解】⑴．由题意，(a ＋b ＋c )(1a ＋b ＋1c ＋a )＝3，即c a ＋b ＋bc ＋a ＝1，整理得：b 2＋c 2﹣a 2＝bc ，由余弦定理知cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝12，因在△ABC 中，0＜A ＜π，故A ＝π3；⑵．由正弦定理得：c b ＝sin C sin B ＝1sin B (sin A cos B ＋cos A sin B )，故sin A •1tan B ＋cos A ＝32•1tan B ＋12＝12＋3，解得tan B ＝12，则cos 2B ＝45，又B ∈(0，π)，故sin B ＝55，又a ＝15，sin A ＝32，由正弦定理得b＝a sin Bsin A＝2． 11．[江苏13高三高考压轴]在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知a ＝5，b ＝4，cos(A －B )＝3132．⑴．求sin B 的值； ⑵．求cos C 的值．【解】⑴．在△ABC 中，因a ＞b ，故A ＞B ，又cos(A －B )＝3132＞0，故A －B 为锐角，且sin(A －B )＝3327，由正弦定理得，sin A sin B ＝a b ＝54，于是54sin B ＝sin A ＝sin[(A －B )＋B ]＝sin(A －B )cos B ＋cos(A －B )sin B ，故tan B ＝73，故sin B ＝74； ⑵．由B ＜A 及sin B ＝74知，cos B ＝34，故cos A ＝cos[(A －B )＋B ]＝cos(A －B )cos B －sin(A －B )sin B ＝916，故sin A ＝5716，故cos(A ＋B )＝cos A cos B －sin A sin B ＝－18，故cos C ＝cos[π－(A ＋B )]＝－cos(A ＋B )＝18．12．[盐城11-12高三摸底]如图，在△ABC 中，BC 边上的中线AD 长为3，且cos B ＝10/8，cos ∠ADC ＝－14．⑴．求sin ∠BAD 的值； ⑵．求AC 边的长．【解】⑴．因cos B ＝10/8，故sin B ＝386，又cos ∠ADC ＝－14，故sin∠ADC ＝154，故sin ∠BAD ＝sin(∠ADC －∠B )＝sin ∠ADC cos B －cos ∠ADC sin B ＝64； ⑵．在ΔABD 中，由正弦定理得，AD /sin B ＝BD /sin ∠BAD ，即3/386＝BD /64，解得BD ＝2，故CD ＝2，从而在ΔACD 中，由余弦定理得，AC 2＝AD 2＋CD 2－2AD •CD cos ∠ADC ＝9＋4－2•2•3(－14)＝16，故AC ＝4． 13．[南京14高三综合题]三角形ABC 中，角A 、B 、C 所对边分别为a ，b ，c ，且2sin B ＝3cos B ． ⑴．若cos A ＝13，求sin C 的值；⑵．若b ＝7，sin A ＝3sin C ，求三角形ABC 的面积．【解】⑴．由2sin B ＝3cos B ，两边平方得2sin 2B ＝3cos B ，即2(1－cos 2B )＝3cos B ，解得cos B ＝12或cos B ＝－2(舍)．又B 为三角形内角，则B ＝π3．因cos A ＝13，且A 为三角形内角，则sin A ＝223，故sin C ＝sin(B ＋A )＝sin(π3＋A )＝32cos A ＋12sin A ＝3＋226．⑵．[解一]因sin A ＝3sin C ，由正弦定理得，a ＝3c ．由余弦定理知：b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ，则7＝9c 2＋c 2－3c 2，解得c ＝1，则a ＝3．面积S ＝12ac sin B ＝334．[解二]由sin A ＝3sin C 得sin(C ＋B )＝3sin C ，即sin(C ＋π3)＝3sin C ，则12sin C ＋32cos C ＝3sin C ，即32cos C ＝52sin C ，故可得tan C ＝35．又C 为三角形的内角，则sin C ＝2114．由正弦定理知b sin B ＝csin C ，则c ＝1．又sin A ＝3sin C ＝32114，故面积S ＝12bc sin A ＝334．14．[南师13高三综合题]在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边长分别为a ，b ，c ．⑴．设向量x ＝(sin B ，sin C )，y ＝(cos B ，cos C )，z ＝(cos B ，－cos C )，若z //(x ＋y )，求tan B ＋tan C 的值；⑵．已知a 2－c 2＝8b ，且sin A cos C ＋3cos A sin C ＝0，求b ．【解】⑴．由z //(x ＋y )得，(cos B sin C ＋cos B cos C )－(－cos C sin B －cos B cos C )＝cos B sin C ＋cos C sin B ＋2cos B cos C ＝0，两边同除以cos B cos C 得，tan B ＋tan C ＋2＝0，故tan B ＋tan C ＝－2； ⑵．由sin A cos C ＋3cos A sin C ＝0得，a 2－c 2＝2b 2，又a 2－c 2＝8b ，故2b 2＝8b ，故b ＝4． 15．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边为a ，b ，c ，且△ABC 为锐角三角形，且b 2－a 2＝ac ，则1tan AA D BC第16题第11页 共11页 －1tan B的取值范围为 ． 【解一】1tan A －1tan B ＝cos A sin A －cos B sin B ＝1sin A (b 2＋c 2－a 22bc )－1sin B (a 2＋c 2－b 22ac)＝(b 2＋c 2－a 2)/(2bc sin A )－(c 2＋a 2－b 2)/(2ca sin B )＝2(b 2－a 2)/(2ca sin B )＝ac /(ca sin B )＝1sin B，由b 2－a 2＝ac 知，b 2＝a 2＋ac ，又由余弦定理知，b 2＝c 2＋a 2－2ca cos B ＝a 2＋ac ，故c －2a cos B ＝a ，由正弦定理得，sin C －2sin A cos B ＝sin A ，即sin(A ＋B )－2sin A cos B ＝sin A ，即sin(B －A )＝sin A ，由已知得，0＜B －A ，A ＜π，故B －A ＝A ，即B ＝2A ，由三角形为锐角三角形得，π3＜B ＜π2，故1sin B ∈(1，233)，即1tan A －1tan B的取值范围为(1，233)． 【解二】自点C 作CD ⊥AB 于点D ，设CD ＝h ，AD ＝x ，则BD ＝y ，由b 2－a 2＝ac 得，x 2－y 2＝ac ，又x ＋y ＝c ，故x －y ＝a ，在AD 上取点E ，使得DE ＝y ，则AE ＝a ，已知CE ＝a ，故∠AEC ＝B ＝2A ，则1tan A －1tan B ＝x /h －y /h ＝(x －y )/h ＝1sin B ，由三角形为锐角三角形得，π3＜B ＜π2，故1sin B ∈(1，233)，即1tan A －1tan B 的取值范围为(1，233)． 阅卷报告6——忽视三角形中的边角条件致错【问题诊断】考查解三角形的题在高考中一般难度不大，但稍不注意，会出现“会而不对，对而不全”的情况，其主要原因就是忽视三角形中的边角条件，【防范措施】解三角函数的求值问题时，估算是一个重要步骤，估算时应考虑三角形中的边角条件．【示例】[11安徽]在△ABC 中，a ，b ，c 分别为内角A ，B ，C 所对的边长，a ＝ 3，b ＝2，1＋2cos(B ＋C )＝0，求边BC 上的高．错因：忽视三角形中“大边对大角”的定理，产生了增根．实录：由1＋2cos(B ＋C )＝0知，cos A ＝12，故A ＝π3，根据正弦定理a sin A ＝b sin B 得：sin B ＝b sin A a＝22，故B ＝π4或B ＝3π4．以下解答过程略． 正解：由1＋2cos(B ＋C )＝0知，cos A ＝12，故A ＝π3．在△ABC 中，由a sin A ＝b sin B ，故sin B ＝b sin A a＝22．因a ＞b ，故B ＝π4，则C ＝π－(A ＋B )＝5π12．故sin C ＝sin(A ＋B )＝6＋24．故BC 边上的高为b sin C ＝3＋12．。
(完整版)第六节正弦定理和余弦定理(经典讲义)
第六节正弦定理和余弦定理【考纲下载】掌握正弦定理、余弦定理，并能解决一些简单的三角形度量问题冋肿哇下知识扣教材扫除认知宵点练聲点巩固必备妁识^■HUIKOU ZHUGANZH1GHI审识整铝"一力%- < - %•"川< — - &3•三角形中常用的面积公式1 一(1) S= ?ah(h表示边a上的咼);111(2) S= ?bcs in A = ?acs in B= ?abs in C;1(3) S= 2「(a + b+ c)(r ABC 内切圆半径).1. 在三角形 ABC 中，“ A > B ”是“ sin A >sin B ”的什么条件？“ A >B ”是“ cos A v cos B ”的什么条件？提示：“ A > B ”是“sin A > sin B ”的充要条件，“ A > B ”是“ cos A v cos B ”的充要条 件.2. 在三角形中，“a 2+ b 2v c 2”是“△ ABC 为钝角三角形”的什么条件? 是“△ ABC 为锐角三角形”的什么条件？ 提示：“a 2+ b 2v c 2”是“SBC 为钝角三角形”的充分不必要条件； “△ABC 为锐角三角形”的必要不充分条件.（3）（2013浙江高考）在厶ABC 中，/ / BAC =.1. （2013北京高考）在厶ABC 中, 1 … •a = 3,b = 5, sin A = 3，贝卩 sin B =( “ a 2+ b 2>c 2”“a 2+ b 2> c 2” 是1 A”B .52.在△ ABC 中，若 a = 2, c = 4, A . 2 .3 B . 12 C . 2 7 B = 60 ° D . 则b 等于（）3. （2013湖南高考）在锐角△ ABC 中，角A, B 所对的边长分别为 a , b.若2asin B = . 3b , 则角A 等于（ ）八 nn A3B.4n C.64.在△ ABC 中，a =13 .2, b = 2.3, cos C =孑则厶ABC 的面积为1 …5.在△ ABC 中，若 a = 2, b + c = 7, cos B = -4，贝V b =突破•热点题型r研考向认知层层递进 祈典题能力涉步提高考点一[例1] =( )10 A -1--- 10(1)(2013 天津高考)在厶 ABC 中，/ ABC =才，AB =羽,BC = 3,贝V sin / BACC 3伍.10(2)(2013 A = 5sin B ，则角 C =安徽咼考）设厶ABC 的内角A, B, C 所对边的长分别为 a, b, c.若b + c = 2a,3sin1 r rC = 90° M 是 BC 的中点，若 sin / BAM = 3，贝V sin变式训练且 a >b ，则/ B =( )n n 2 nA© B3 C.y 2.已知锐角厶ABC 的内角 A , B , C 的对边分别为 a , b , C ,23CO £A + cos 2A = 0, a = 7, c =6，贝U b =()A . 10B . 9C . 8D . 5考点二 利用正、余弦定理判断三角形的形状[例2] 在厶ABC 中，a , b , c 分别为内角 A , B , C 的对边，且 2asin A = (2b + c)sin B + (2 c +b)sin C.⑴求A 的大小；(2)若sin B + sin C = 1,试判断△ ABC 的形状.【互动探究】若将本例 ⑵中的条件改为“ (a 2+ b 2)sin(A — B)= (a 2-b 2)sin(A + B)”，试判断厶ABC 的 形状.么通关指南1•正、余弦定理与三角形面积的综合问题是每年高考的重点内容， 既有选择、填空题，也有解答题，难度适中，属中档题.2. 高考对此类问题的考查主要有以下两个命题角度： (1) 求三角形的面积；(2) 已知三角形的面积解三角形.[例3] (1)(2013新课标全国卷n )△ ABC 的内角A , B , C 的对边分别为a , b , c ,已知 b = 2, B = 6，，C = n ，则厶ABC 的面积为()A . 2,3+ 2 B. .3+ 1C . 2 . 3— 2D. . 3 — 1(2)(2013湖•北高考)在厶ABC 中，角A, B , C 对应的边分别是 a, b, c.已知cos 2A — 3cos(B + C)= 1.1. 在厶ABC 中，内角A , B , C 的对边分别为 卄 ia ,b , c.若 asin Bcos C + csin Bcos A = ^b ,5 n D.5T变式训练(2013陕西高考)设厶ABC 的内角A , B , C 所对的边分别为 =asin 人，则厶ABC 的形状为( )A •直角三角形B •锐角三角形C .钝角三角形a ,b ,c , 若 bcos C + ccos BD .不确定咼频考点 考点三与三角形面积有关的问题①求角A的大小；②若△ ABC的面积S= 5 3, b = 5,求sin Bsin C的值.岛通关锦囊与三角形面积有关问题的常见类型及解题策略1 1 1(1) 求三角形的面积.对于面积公式S= qabsin C = qacsin B = ^bcsin A，一般是已知哪一个角就使用含哪个角的公式.(2) 已知三角形的面积解三角形•与面积有关的问题，一般要利用正弦定理或余弦定理进行边和角的互化.Ji通关集训1. 已知a, b, c分别为△ ABC三个内角A, B, C的对边，acos C+ , 3asin C —b —c= 0.(1)求A; (2)若a= 2,^ ABC 的面积为-3，求b, c.2. (2013新课标全国卷n )△ ABC的内角A, B, C的对边分别为a, b, c,已知a= bcos C+ csi n B.(1)求B; (2)若b= 2,求厶ABC面积的最大值.提升•学科盍养爹角度打造学科特色全方拉巩固数学孩心^WTISHENG XUEKESUVAMG答题模板(三) 利用正、余弦定理解三角形［典例］(2013江西高考)(12分)在厶ABC中，角A, B, C所对的边分别为a, b, c,已知cos C+ (cos A—3sin A)cos B = 0.(1)求角B的大小；⑵若a + c= 1,求b的取值范围.演练*知能检测题型全面巩固鬱记知识题蚤充福确保训练到位^■VANLIAN ZHFNENGJIANCE［全盘巩固］1. 已知△ ABC , sin A : sin B : sin C = 1 ：1 ：•-2,则此三角形的最大内角的度数是()A. 60 °B. 90 °C. 120 °D. 135 °2. (2013山东高考)△ ABC的内角A, B, C所对的边分别为a, b, c若B = 2A, a= 1, b= 3,贝U c=( )A. 2 3B. 2C. 2D. 13. （2014沈阳模拟）在厶ABC中，AC = ^7, BC= 2, B= 60 °贝U BC边上的高等于（C V5+V6A.4 .在△ ABC 中，若Ig sin A—Ig cos B —Ig sin C = Ig 2，则△ ABC 的形状是（）A .直角三角形B .等腰直角三角形C.等边三角形 D .等腰三角形5. 设厶ABC的内角A, B, C所对的边分别为a, b, c.若三边的长为连续的三个正整数, 且A> B> C,3b = 20acos A,贝U sin A : sin B : sin C 为()A. 4 : 3 : 2 B . 5 : 6 : 7 C. 5 : 4 : 3 D . 6 : 5 : 46. 在△ ABC 中，AB = ^3, AC = 1, B = 30° 则厶ABC 的面积等于()A.fB.屮C.于或,3 D#或屮7. △ ABC的三个内角A, B, C所对的边分别为a, b, c,且asin As in B +bcos2A= ,2a, 则-= .a --------------38. （2014深圳模拟）设厶ABC的内角A, B, C的对边分别为a, b, c,且cos A= 5, cosB= 13, b = 3，贝V c= _______ .9. ______________________________________________________________ 在△ ABC中，B = 60 ° AC = 质，则△ ABC的周长的最大值为_________________________________ .10. 在△ ABC中，内角A, B, C的对边分别为a, b, c,且a2= b2+ c2+ 3bc.（1）求A;⑵设a = .3, SABC的面积，求S+ 3cos Bcos C的最大值，并指出此时B的值.11. 设△ ABC的内角A, B, C所对的边分别为a, b, c,且a+ c= 6, b= 2, cos B=7(1) 求a, c的值；(2) 求sin(A—B)的值.12. (2013重庆高考)在厶ABC中，内角A, B, C的对边分别是a, b, c,且a2+ b2 + 頁ab= c2.(1) 求C ；一、r 一- 3寸2 cos a+ A cos a+ B 土，心古(2) 设cos Acos B= , 2 = ，求tan a 的值.5 cos2a 5［冲击名校］b atan C1 •在锐角厶ABC 中，角A , B , C 的对边分别为a , b , c ,若才+ 6cos C ,则衆 + tan C _ tan B.2. (2013福建高考)如图，在等腰直角△ OPQ 中，/ POQ = 90° OP = 2迄，点M 在线 段 PQ 上.n 4 n2.设a 为锐角，若cos a+ 6 = 5,则sin 2 a+祗的值为(1)若OM = .5,求PM 的长; (2)若点N 在线段MQ 上，且/ 小？并求出面积的最小值.MON = 30°问：当/ POM 取何值时，△ OMN 的面积最 ［高频滚动］1 .已知 sin x — sin y =—A 乎B . 2 - 3, cos x — cos y =- 2晶 3，且x , y 为锐角，则 3C 还C . ± 5 tan (x — y)=( ± 28。
高考数学一轮复习 第四章 三角函数、解三角形 第6讲 正弦定理和余弦定理 理(2021年最新整理)
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第6讲正弦定理和余弦定理一、选择题1．在△ABC中，C＝60°，AB＝错误!，BC＝错误!，那么A等于( ）．A．135° B．105° C．45° D．75°解析由正弦定理知错误!＝错误!，即错误!＝错误!，所以sin A＝错误!，又由题知，BC＜AB，∴A＝45°.答案 C2．已知a，b，c是△ABC三边之长，若满足等式（a＋b－c)（a＋b＋c）＝ab，则角C的大小为( )．A．60° B．90° C．120° D．150°解析由(a＋b－c）(a＋b＋c）＝ab，得(a＋b）2－c2＝ab,∴c2＝a2＋b2＋ab＝a2＋b2－2ab cos C，∴cos C＝－12，∴C＝120°。
答案C3．在△ABC中，角A，B，C所对应的边分别为a，b，c，若角A，B，C依次成等差数列，且a ＝1，b＝错误!，则S△ABC＝ ( )．A.错误!B。
错误! C.错误!D．2解析∵A,B，C成等差数列,∴A＋C＝2B，∴B＝60°.又a＝1，b＝3，∴错误!＝错误!,∴sin A＝错误!＝错误!×错误!＝错误!,∴A＝30°，∴C＝90°。
第六节 正弦定理和余弦定理
1－cos 2B
＝4
5 9
，所以
tan
B＝csoins
B B
＝
4 5 .故选 C．
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(2)由 2b sin 2A＝3a sin B，及正弦定理可得 4sin B sin A cos A＝3sin A sin B，由于 sin A≠0，sin B≠0，所以 cos A＝34 ， 又 c＝2b，所以 a2＝b2＋c2－2bc cos A＝b2＋4b2－2b×2b×34 ＝2b2，所以ab ＝ 2 ，故选 B．]
C＝ssiinn
B A
，由
c＝acos
B
可知
c＝
a2＋c2－b2 a· 2ac
，整理得
b2＋c2＝a2，即三角形一定是直角三角形，A＝90°，
∴sin C＝sin B，∴B＝C，即 b＝c，故△ABC 为等腰直角三角形．
答案： 等腰直角三角形
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2．(变条件)若本例条件变为：ssiinn
A B
＝ac
，(b＋c＋a)(b＋c－a)＝3bc，则
△ABC 的形状为____________．
解析：
∵ssiinn
A B
＝ac
，∴ab
＝ac
，∴b＝C．
又(b＋c＋a)(b＋c－a)＝3bc，∴b2＋c2－a2＝bc，
∴cos A＝b2＋2cb2c－a2 ＝2bbcc ＝12 .
π ∵A∈(0，π)，∴A＝ 3 .∴△ABC 是等边三角形．
也有解答题．
学科素养： 数学运算、数学建模
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知识·分步落实
1．正弦定理与余弦定理
定理
正弦定理
内容
a sin A
b ＝__s_i_n_B____＝
高考数学一轮复习第四章三角函数与解三角形第六节正弦定理和余弦定理课件理
在△ABC 中，角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，已知 sin2B＋sin2C＝sin2A＋sin Bsin C.
(1)求角 A 的大小； (2)若 cos B＝13，a＝3，求 c 的值．
解：(1)由正弦定理可得 b2＋c2＝a2＋bc，由余弦定理得 cos A
＝b2＋2cb2c－a2＝12，因为 A∈(0，π)，所以 A＝π3.
答案：(1)√ (2)× (3)√ (4)√ (5)√ (6)√ (7)√
2．在△ABC 中，若 A＝60°，B＝45°，c＝20，则 a＝________.
答案：10(3 2－ 6)
3．在△ABC 中，若 a＝15，b＝10，A＝60°，则 cos B＝
________.
答案：
6 3
4．已知△ABC 中，a＝2，b＝3，cos C＝35，则此三角形的
面积 S 的值为________．
答案：152
[典题 1] (1)(2015·北京高考)在△ABC 中，a＝3，b＝ 6， ∠A＝23π，则∠B＝________.
(2)(2015·重庆高考)设△ABC 的内角 A，B，C 的对边分别 为 a，b，c，且 a＝2，cos C＝－14，3sin A＝2sin B，则 c＝________.
3× 3
3＋2 6
2＝1＋2
3
6 .
2
[典题 2] 设△ABC 的内角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，
若 bcos C＋ccos B＝asin A，则△ABC 的形状为( )
A．锐角三角形
B．直角三角形
C．钝角三角形
D．不确定
[听前试做] 依据题设条件的特点，由正弦定理， 得 sin Bcos C＋cos Bsin C＝sin2A，有 sin(B＋C)＝sin2A， 从而 sin(B＋C)＝sin A＝sin2A，解得 sin A＝1，
高三一轮总复习高效讲义第4章第6节正弦定理、余弦定理及应用举例课件
[对点练]
1．在△ ABC中，c－2ca
＝sin
2B 2
(a，b，c分别为角A，B，C的对边)，则
△ ABC的形状为( )
A．直角三角形
B．等边三角形
C．等腰三角形或直角三角形 D．等腰直角三角形
解析：由cos
B＝1－2sin
2B 2
得sin
2B 2
＝1－co2s
B ，所以c－2ca ＝1－co2s
AE sin sin
45° 30°
＝
2AB cos 15°
，因此CD＝AD
sin
60°＝ cos
2×10 （45°－30°）
×sin 60°＝10(3－ 3 )．
答案：10(3－ 3 )
备考第 2 步——突破核心考点，提升关键能力
考点1 利用正弦定理、余弦定理解三角形[自主演练]
1．△ ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知a sin A－b sin B＝4c sin
答案：BC
4．在△ ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a＝4，b＝5，b>c， △ ABC的面积为5 3 ，则c＝________．
解析：由三角形面积公式，得12 ×4×5sin C＝5 3 ，
即sin
C＝
3 2
．又b>a，b>c，所以C为锐角，于是C＝60°．
由余弦定理，得c2＝42＋52－2×4×5cos 60°，解得c＝ 21 ．
3．(多选)在△ ABC中，角A，B，C所对的各边分别为a，b，c，若a＝1，b＝ 2 ，
A＝30°，则B等于( )
A．30°
B．45°
C．135°
D．150°
解析：根据正弦定理sina A ＝sinb B 得，
高考数学一轮复习 第四章 三角函数、解三角形4.6正、余弦定理及其应用举例教学案 理 新人教A
4.6 正、余弦定理及其应用举例考纲要求1．掌握正弦定理、余弦定理，并能解决一些简单的三角形度量问题．.2．能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些与测量和几何计算有关的实际问题．1．正弦定理和余弦定理定理正弦定理余弦定理内容__________＝2R.(R为△ABC外接圆半径)a2＝__________；b2＝__________；c2＝__________变形形式①a＝____，b＝______，c＝____；②sin A＝____，sin B＝__________，sin C＝__________；③a∶b∶c＝__________；④a＋b＋csin A＋sin B＋sin C＝asin A.cos A＝__________；cos B＝__________；cos C＝__________.解决的问题①已知两角和任一边，求另一角和其他两条边．②已知两边和其中一边的对角，求另一边和其他两个角.①已知三边，求各角；②已知两边和它们的夹角，求第三边和其他两个角.2.仰角和俯角在视线和水平线所成的角中，视线在水平线__________的角叫仰角，在水平线______的角叫俯角(如图①)．3．方位角从指北方向顺时针转到目标方向线的水平角，如B点的方位角为α(如图②)．4．方向角相对于某一方向的水平角(如图③)．图③(1)北偏东α°：指北方向向东旋转α°到达目标方向．(2)东北方向：指北偏东45°或东偏北45°.(3)其他方向角类似．5．坡角和坡比坡角：坡面与水平面的夹角(如图④，角θ为坡角)．图④坡比：坡面的铅直高度与水平长度之比(如图④，i为坡比)．1．(广东高考)在△ABC中，若∠A＝60°，∠B＝45°，BC＝32，则AC＝( )．A．4 3 B．2 3 C. 3 D.322．在△ABC中，cos2B2＝a＋c2c(a，b，c分别为角A，B，C的对边)，则△ABC的形状为( )．A．等边三角形B．直角三角形C．等腰三角形或直角三角形D．等腰直角三角形3．一船向正北航行，看见正西方向有相距10海里的两个灯塔恰好与它在一条直线上，继续航行半小时后，看见一灯塔在船的南偏西60°，另一灯塔在船的南偏西75°，则这艘船的速度是( )．A．5海里/时B．5 3 海里/时C．10海里/时D．10 3 海里/时4．如图，为了测量隧道AB的长度，给定下列四组数据，无法求出AB长度的是( )．A．α，a，b B．α，β，aC．a，b，γD．α，β，γ5．△ABC中，若a＝32，cos C＝13，S△ABC＝43，则b＝__________.一、利用正弦、余弦定理解三角形【例1－1】 (辽宁高考)在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c.角A，B，C成等差数列．(1)求cos B的值；(2)边a，b，c成等比数列，求sin A sin C的值．【例1－2】△ABC中，A，B，C所对的边分别为a，b，c，tan C＝sin A＋sin Bcos A＋cos B，sin(B－A)＝cos C.(1)求A，C；(2)若S△ABC＝3＋3，求a，c.方法提炼应熟练掌握正、余弦定理及其变形．解三角形时，有时可用正弦定理，也可用余弦定理，应注意用哪一个定理更方便、简捷就用哪一个定理．A为锐角A为钝角或直角图形关系式a＜b sin A a＝b sin A b sin A＜a＜b a≥b a＞b a≤b解的个数 无解 一解 两解 一解 一解 无解请做演练巩固提升1 二、三角形形状的判定【例2－1】 △ABC 满足sin B ＝cos A sin C ，则△ABC 的形状是( )． A ．直角三角形 B ．等腰三角形C ．等腰直角三角形D ．等腰三角形或直角三角形【例2－2】 在△ABC 中，a ，b ，c 分别为内角A ，B ，C 的对边，且2a sin A ＝(2b ＋c )sin B ＋(2c ＋b )sin C .(1)求A 的大小；(2)若sin B ＋sin C ＝1，试判断△ABC 的形状． 方法提炼判断三角形的形状的基本思想是：利用正、余弦定理进行边角的统一．即将条件化为只含角的三角函数关系式，然后利用三角恒等变换得出内角之间的关系式；或将条件化为只含有边的关系式，然后利用常见的化简变形得出三边的关系．结论一般为特殊的三角形．如等边三角形、等腰三角形、直角三角形、等腰直角三角形等．另外，在变形过程中要注意A ，B ，C 的范围对三角函数值的影响．提醒：1.在△ABC 中有如下结论sin A ＞sin B a ＞b .2．当b 2＋c 2－a 2＞0时，角A 为锐角，若可判定其他两角也为锐角，则三角形为锐角三角形；当b 2＋c 2－a 2＝0时，角A 为直角，三角形为直角三角形；3．当b 2＋c 2－a 2＜0时，角A 为钝角，三角形为钝角三角形． 请做演练巩固提升2三、与三角形面积有关的问题【例3】 在△ABC 中，内角A ，B ，C 对边的边长分别是a ，b ，c ，已知c ＝2，C ＝π3.(1)若△ABC 的面积等于3，求a ，b ；(2)若sin C ＋sin(B －A )＝2sin 2A ，求△ABC 的面积． 方法提炼1．正弦定理和余弦定理并不是孤立的，解题时要根据具体题目合理选用，有时还需要交替使用；在解决三角形问题中，面积公式S ＝12ab sin C ＝12bc sin A ＝12ac sin B 最常用，因为公式中既有边也有角，容易和正弦定理、余弦定理联系起来．2．解三角形过程中，要注意三角恒等变换公式的应用． 请做演练巩固提升5四、应用举例、生活中的解三角形问题【例4－1】 某人在塔的正东沿着南偏西60° 的方向前进40米后，望见塔在东北方向，若沿途测得塔的最大仰角为30°，求塔高．【例4－2】 如图，为了解某海域海底构造，在海平面内一条直线上的A ，B ，C 三点进行测量．已知AB ＝50 m ，BC ＝120 m ，于A 处测得水深AD ＝80 m ，于B 处测得水深BE ＝200 m ，于C 处测得水深CF ＝110 m ，求∠DEF 的余弦值．方法提炼1．测量距离问题，需注意以下几点：(1)利用示意图把已知量和待求量尽量集中在有关的三角形中，建立一个解三角形的模型； (2)利用正、余弦定理解出所需要的边和角，求得该数学模型的解； (3)应用题要注意作答．2．测量高度时，需注意：(1) 要准确理解仰、俯角的概念；(2)分清已知和待求，分析(画出)示意图，明确在哪个三角形内应用正、余弦定理； (3)注意铅垂线垂直于地面构成的直角三角形．3．测量角度时，要准确理解方位角、方向角的概念，准确画出示意图是关键． 请做演练巩固提升6忽视三角形中的边角条件而致误【典例】 在△ABC 中，a ，b ，c 分别为内角A ，B ，C 所对的边长，a ＝3，b ＝2，1＋2cos(B ＋C )＝0，求边BC 上的高．错解：由1＋2cos(B ＋C )＝0，知cos A ＝12，∴A ＝π3.根据正弦定理a sin A ＝b sin B 得：sin B ＝b sin A a ＝22，∴B ＝π4或3π4.以下解答过程略．错因：忽视三角形中“大边对大角”的定理，产生了增根． 正解：∵在△ABC 中，cos(B ＋C )＝－cos A ，又∵1＋2cos(B ＋C )＝0，∴1－2cos A ＝0，∴A ＝π3.在△ABC 中，根据正弦定理a sin A ＝bsin B，得sin B ＝b sin A a ＝22. ∴B ＝π4或3π4.∵a ＞b ，∴B ＝π4.∴C ＝π－(A ＋B )＝512π.∴sin C ＝sin(B ＋A )＝sin B cos A ＋cos B sin A ＝22×12＋22×32＝6＋24. ∴BC 边上的高为b sin C ＝2×6＋24＝3＋12. 答题指导：1．考查解三角形的题在高考中一般难度不大，但稍不注意，会出现“会而不对，对而不全”的情况，其主要原因就是忽视三角形中的边角条件．2．解三角函数的求值问题时，估算是一个重要步骤，估算时应考虑三角形中的边角条件． 1．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .若a cos A ＝b sin B ，则sin A cos A ＋cos 2B ＝( )．A ．－12B ．12C ．－1D ．12．在△ABC 中，(a ＋b ＋c )(a ＋b －c )＝3ab ，且a cos B ＝b cos A ，则△ABC 的形状为__________． 3．(福建高考)在△ABC 中，已知∠BAC ＝60°，∠ABC ＝45°，BC ＝3，则AC ＝__________.4．(陕西高考)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对边的长分别为a ，b ，c .若a ＝2，B ＝π6，c ＝23，则b ＝______.5．(山东高考)在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.已知sin B(tan A＋tan C)＝tan A tanC.(1)求证：a，b，c成等比数列；(2)若a＝1，c＝2，求△ABC的面积S.6．某港口O要将一件重要物品用小艇送到一艘正在航行的轮船上，在小艇出发时，轮船位于港口O北偏西30°且与该港口相距20海里的A处，并正以30海里/时的航行速度沿正东方向匀速行驶．假设该小艇沿直线方向以v海里/时的航行速度匀速行驶，经过t小时与轮船相遇．(1)若希望相遇时小艇的航行距离最小，则小艇航行速度的大小应为多少？(2)为保证小艇在30分钟内(含30分钟)能与轮船相遇，试确定小艇航行速度的最小值．参考答案基础梳理自测知识梳理1.asin A＝bsin B＝csin Cb2＋c2－2bc·cos A c2＋a2－2ca·cos B a2＋b2－2ab·cos C①2R sin A2R sin B2R sin C②a2R b2Rc2R③sin A∶sin B∶sin Cb2＋c2－a22bcc2＋a2－b22caa2＋b2－c22ab2．上方下方基础自测1．B 解析：由正弦定理得BCsin A＝ACsin B，即32sin 60°＝ACsin 45°，解得AC＝2 3.2．B 解析：∵cos2B2＝a＋c2c，∴2cos2B2－1＝a＋cc－1，∴cos B＝ac，∴a2＋c2－b22ac＝ac，∴c2＝a2＋b2.3．C 解析：如图，A，B为灯塔，船从O航行到O′，OO′BO＝tan 30°，OO′AO＝tan 15°，∴BO＝3OO′，AO＝(2＋3)OO′.∵AO－BO＝AB＝10，∴OO′·[(2＋3)－3]＝10，∴OO′＝5，∴船的速度为512＝10海里/时．4．D 解析：利用余弦定理，可由a，b，γ或α，a，b求出AB；利用正弦定理，可由a，α，β求出AB，当只知α，β，γ时，无法计算AB.5．2 3 解析：由cos C＝13，得sin C＝223，∴S△ABC＝12ab sin C＝12×32×b×223＝43.∴b＝2 3.考点探究突破【例1－1】解：(1)由已知2B＝A＋C，A＋B＋C＝180°，解得B＝60°，所以cos B＝12.(2)方法一：由已知b2＝ac，及cos B＝12，根据正弦定理得sin2B＝sin A sin C，所以sin A sin C＝1－cos2B＝34.方法二：由已知b2＝ac，及cos B＝12，根据余弦定理得cos B＝a2＋c2－ac2ac，解得a＝c，所以B＝A＝C＝60°，故sin A sin C＝34.【例1－2】解：(1)因为tan C＝sin A＋sin Bcos A＋cos B，即sin Ccos C＝sin A＋sin Bcos A＋cos B，所以sin C cos A＋sin C cos B＝cos C sin A＋cos C sin B，即sin C cos A－cos C sin A＝cos C sin B－sin C cos B，得sin(C－A)＝sin(B－C)．所以C－A＝B－C，或C－A＝π－(B－C)(不成立)，即2C＝A＋B，得C＝π3，所以B＋A＝2π3.又因为sin(B－A)＝cos C＝12，则B－A＝π6或B－A＝5π6(舍去)，得A＝π4，B＝5π12.(2)S△ABC＝12ac sin B＝6＋28ac＝3＋3，又asin A＝csin C，即a22＝c32，得a＝22，c＝2 3.【例2－1】 A 解析：∵sin B＝cos A·sin C，∴b＝b2＋c2－a22bc·c.∴b2＋a2＝c2.∴△ABC为直角三角形，选A.【例2－2】解：(1)由已知，根据正弦定理得2a2＝(2b＋c)b＋(2c＋b)c，即a2＝b2＋c2＋bc.①由余弦定理得a2＝b2＋c2－2bc cos A，故cos A＝－12，A＝120°.(2)由①得，sin2A＝sin2B＋sin2C＋sin B sin C.又sin B＋sin C＝1，故sin B＝sin C＝12.因为0°＜B＜90°，0°＜C＜90°，故B＝C.所以△ABC是等腰钝角三角形．【例3】解：(1)由余弦定理及已知条件，得a2＋b2－ab＝4，又因为△ABC的面积等于3，所以12ab sin C＝3，得ab＝4.联立方程组⎩⎪⎨⎪⎧a 2＋b 2－ab ＝4，ab ＝4，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝2.(2)由题意得sin(B ＋A )＋sin(B －A)＝4sin A co s A ，即sin B cos A ＝2sin A cos A .当cos A ＝0时，A ＝π2，B ＝π6，a ＝433，b ＝233.所以△ABC 的面积 S ＝12ab sin C ＝12×433×233×32＝233； 当cos A ≠0时，得sin B ＝2sin A ， 由正弦定理得b ＝2a ，联立方程组⎩⎪⎨⎪⎧a 2＋b 2－ab ＝4，b ＝2a .解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝233，b ＝433.所以△ABC 的面积S ＝12ab sin C ＝12×233×433×32＝233.综上知，△ABC 的面积为233.【例4－1】 解：依题意画出图，某人在C 处，AB 为塔高，他沿CD 前进，CD ＝40米，此时∠DBF ＝45°，从C 到D 沿途测塔的仰角，只有B 到测试点的距离最短，即BE ⊥CD 时，仰角才最大，这是因为tan∠AEB ＝ABBE，AB 为定值，BE 最小时，仰角最大．在△BCD 中，CD ＝40，∠BCD ＝30°，∠DBC ＝135°. 由正弦定理，得CDsin∠DBC ＝BDsin∠BCD，∴BD ＝40sin 30°sin 135°＝20 2.在Rt△BED 中，∠BDE ＝180°－135°－30°＝15°，BE ＝BD sin 15°＝202×6－24＝10(3－1)．在Rt△ABE 中，∠AEB ＝30°，∴AB ＝BE tan 30°＝103(3－3)(米)．∴所求的塔高为103(3－3)米．【例4－2】 解：作DM ∥AC 交BE 于N ，交CF 于M .DF ＝MF 2＋DM 2＝302＋1702＝10298， DE ＝DN 2＋EN 2＝502＋1202＝130，EF ＝(BE －FC )2＋BC 2＝902＋1202＝150. 在△DEF 中，由余弦定理，cos∠DEF ＝DE 2＋EF 2－DF 22DE ×EF＝1302＋1502－102×2982×130×150＝1665.演练巩固提升1．D 解析：根据正弦定理a sin A ＝bsin B＝2R 得，a ＝2R sin A ，b ＝2R sin B ，∴a cos A ＝b sin B 可化为sin A cos A ＝sin 2B .∴sin A cos A ＋cos 2B ＝sin 2B ＋cos 2B ＝1.2．等边三角形 解析：∵(a ＋b ＋c )(a ＋b －c )＝3ab ，∴(a ＋b )2－c 2＝3ab . ∴a 2＋b 2－c 2＝ab .∴cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝12.∴C ＝π3.∵a cos B ＝b cos A ，∴sin A cos B ＝sin B cos A . ∴sin(A －B )＝0. ∴A ＝B .故△ABC 为等边三角形． 3. 2 解析：如图：由正弦定理得ACsin B ＝BCsin A ，即ACsin 45°＝3sin 60°，即AC 22＝332，故AC ＝ 2.4．2 解析：∵b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ＝4＋12－2×2×23×32＝4， ∴b ＝2.5．(1)证明：在△ABC 中，由于sin B (tan A ＋tan C )＝tan A tan C ，所以sinB ⎝⎛⎭⎪⎫sin A cos A ＋sin C cos C ＝sin A cos A ·sin C cos C，因此sin B (sin A cos C ＋cos A sin C )＝sin A sin C ， 所以sin B sin(A ＋C )＝sin A sin C ， 又A ＋B ＋C ＝π，所以sin(A ＋C )＝sin B ，因此sin 2B ＝sin A sinC .由正弦定理得b 2＝ac ， 即a ，b ，c 成等比数列． (2)解：因为a ＝1，c ＝2，所以b ＝2，由余弦定理得cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝12＋22－(2)22×1×2＝34，因为0＜B ＜π，所以sin B ＝1－cos 2B ＝74，故△ABC 的面积S ＝12ac sin B ＝12×1×2×74＝74.6．解：(1)解法一：设相遇时小艇的航行距离为s 海里，则s ＝900t 2＋400－2·30t ·20·cos (90°－30°)＝900t 2－600t ＋400＝900⎝ ⎛⎭⎪⎫t －132＋300.故当t ＝13时，s min ＝103，v ＝10313＝30 3.即小艇以303海里/时的速度航行，相遇时小艇的航行距离最小．解法二：若相遇时小艇的航行距离最小，又轮船沿正东方向匀速行驶，则小艇航行方向为正北方向，如图，设小艇与轮船在C 处相遇．在Rt△OAC 中，OC ＝20cos 30°＝103，AC ＝20sin 30°＝10. 又AC ＝30t ，OC ＝vt ，此时，轮船航行时间t ＝1030＝13，v ＝10313＝30 3.即小艇以303海里/时的速度航行，相遇时小艇的航行距离最小．(2)如图，设小艇与轮船在B 处相遇，由题意，可得(vt )2＝202＋(30t )2－2·20·30t ·cos(90°－30°)．化简，得v 2＝400t 2－600t ＋900＝400⎝ ⎛⎭⎪⎫1t －342＋675. 由于0＜t ≤12，即1t ≥2，所以当1t＝2时，v 取得最小值1013，即小艇航行速度的最小值为1013海里/时．。
第四篇 三角函数、解三角形第6讲 正弦定理和余弦定理
第6讲 正弦定理和余弦定理1．考查正、余弦定理的推导过程．2．考查利用正、余弦定理判断三角形的形状． 3．考查利用正、余弦定理解任意三角形的方法． 【复习指导】1．掌握正弦定理和余弦定理的推导方法．2．通过正、余定理变形技巧实现三角形中的边角转换，解题过程中做到正余弦定理的优化选择．基础梳理1．正弦定理：a sin A ＝b sin B ＝csin C ＝2R ，其中R 是三角形外接圆的半径．由正弦定理可以变形为：(1)a ∶b ∶c ＝sin A ∶sin B ∶sin C ；(2)a ＝2R sin_A ，b ＝2R sin_B ，c ＝2R sin_C ；(3)sin A ＝a 2R ，sin B ＝b 2R ，sin C ＝c2R 等形式，以解决不同的三角形问题． 2．余弦定理：a 2＝b 2＋c 2－2bc cos_A ，b 2＝a 2＋c 2－2ac cos_B ，c 2＝a 2＋b 2－2ab cos_C ．余弦定理可以变形为：cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ，cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ，cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab .3．S △ABC ＝12ab sin C ＝12bc sin A ＝12ac sin B ＝abc 4R ＝12(a ＋b ＋c )·r (R 是三角形外接圆半径，r 是三角形内切圆的半径)，并可由此计算R ，r .4．已知两边和其中一边的对角，解三角形时，注意解的情况．如已知a ，b ，A ，则A 为锐角A 为钝角或直角图形关系 式 a ＜b sin Aa ＝b sin Ab sin A ＜a ＜ba ≥ba ＞ba ≤b解的 个数无解 一解 两解 一解 一解 无解一条规律在三角形中，大角对大边，大边对大角；大角的正弦值也较大，正弦值较大的角也较大，即在△ABC 中，A ＞B ⇔a ＞b ⇔sin A ＞sin B . 两类问题在解三角形时，正弦定理可解决两类问题：(1)已知两角及任一边，求其它边或角；(2)已知两边及一边的对角，求其它边或角．情况(2)中结果可能有一解、两解、无解，应注意区分．余弦定理可解决两类问题：(1)已知两边及夹角求第三边和其他两角；(2)已知三边，求各角． 两种途径根据所给条件确定三角形的形状，主要有两种途径：(1)化边为角；(2)化角为边，并常用正弦(余弦)定理实施边、角转换．双基自测1．(人教A 版教材习题改编)在△ABC 中，A ＝60°，B ＝75°，a ＝10，则c 等于( )． A ．5 2 B ．10 2 C.1063D ．5 6解析 由A ＋B ＋C ＝180°，知C ＝45°， 由正弦定理得：a sin A ＝csin C ， 即1032＝c 22.∴c ＝1063. 答案 C2．在△ABC 中，若sin A a ＝cos Bb ，则B 的值为( )． A ．30° B ．45° C ．60° D ．90° 解析 由正弦定理知：sin A sin A ＝cos Bsin B ，∴sin B ＝cos B ，∴B ＝45°.答案 B3．(2011·郑州联考)在△ABC 中，a ＝3，b ＝1，c ＝2，则A 等于( )． A ．30° B ．45° C ．60° D ．75° 解析 由余弦定理得：cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝1＋4－32×1×2＝12，∵0＜A ＜π，∴A ＝60°. 答案 C4．在△ABC 中，a ＝32，b ＝23，cos C ＝13，则△ABC 的面积为( )． A ．3 3 B ．2 3 C ．4 3 D. 3 解析 ∵cos C ＝13，0＜C ＜π， ∴sin C ＝223， ∴S △ABC ＝12ab sin C＝12×32×23×223＝4 3. 答案 C5．已知△ABC 三边满足a 2＋b 2＝c 2－3ab ，则此三角形的最大内角为________． 解析 ∵a 2＋b 2－c 2＝－3ab ， ∴cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝－32， 故C ＝150°为三角形的最大内角． 答案 150°考向一 利用正弦定理解三角形【例1】►在△ABC 中，a ＝3，b ＝2，B ＝45°.求角A ，C 和边c .[审题视点] 已知两边及一边对角或已知两角及一边，可利用正弦定理解这个三角形，但要注意解的判断．解 由正弦定理得a sin A ＝b sin B ，3sin A ＝2sin 45°， ∴sin A ＝32. ∵a ＞b ，∴A ＝60°或A ＝120°.当A ＝60°时，C ＝180°－45°－60°＝75°， c ＝b sin Csin B ＝6＋22；当A ＝120°时，C ＝180°－45°－120°＝15°， c ＝b sin Csin B ＝6－22.(1)已知两角一边可求第三角，解这样的三角形只需直接用正弦定理代入求解即可．(2)已知两边和一边对角，解三角形时，利用正弦定理求另一边的对角时要注意讨论该角，这是解题的难点，应引起注意．【训练1】 (2011·北京)在△ABC 中，若b ＝5，∠B ＝π4，tan A ＝2，则sin A ＝________；a ＝________.解析 因为△ABC 中，tan A ＝2，所以A 是锐角， 且sin Acos A ＝2，sin 2A ＋cos 2A ＝1， 联立解得sin A ＝255， 再由正弦定理得a sin A ＝bsin B ， 代入数据解得a ＝210.答案255 210考向二 利用余弦定理解三角形【例2】►在△ABC 中，a 、b 、c 分别是角A 、B 、C 的对边，且cos B cos C ＝－b2a ＋c .(1)求角B 的大小；(2)若b ＝13，a ＋c ＝4，求△ABC 的面积．[审题视点] 由cos B cos C ＝－b2a ＋c ，利用余弦定理转化为边的关系求解．解 (1)由余弦定理知：cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ， cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab .将上式代入cos B cos C ＝－b2a ＋c 得：a 2＋c 2－b 22ac ·2ab a 2＋b 2－c 2＝－b2a ＋c ， 整理得：a 2＋c 2－b 2＝－ac . ∴cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝－ac 2ac ＝－12. ∵B 为三角形的内角，∴B ＝23π. (2)将b ＝13，a ＋c ＝4，B ＝23π代入b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ， 得b 2＝(a ＋c )2－2ac －2ac cos B ， ∴13＝16－2ac ⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12，∴ac ＝3.∴S △ABC ＝12ac sin B ＝334.(1)根据所给等式的结构特点利用余弦定理将角化边进行变形是迅速解答本题的关键．(2)熟练运用余弦定理及其推论，同时还要注意整体思想、方程思想在解题过程中的运用．【训练2】(2011·桂林模拟)已知A，B，C为△ABC的三个内角，其所对的边分别为a，b，c，且2cos2A2＋cos A＝0.(1)求角A的值；(2)若a＝23，b＋c＝4，求△ABC的面积．解(1)由2cos2A2＋cos A＝0，得1＋cos A＋cos A＝0，即cos A＝－1 2，∵0＜A＜π，∴A＝2π3.(2)由余弦定理得，a2＝b2＋c2－2bc cos A，A＝2π3，则a2＝(b＋c)2－bc，又a＝23，b＋c＝4，有12＝42－bc，则bc＝4，故S△ABC ＝12bc sin A＝ 3.考向三利用正、余弦定理判断三角形形状【例3】►在△ABC中，若(a2＋b2)sin(A－B)＝(a2－b2)sin C，试判断△ABC的形状．[审题视点] 首先边化角或角化边，再整理化简即可判断．解由已知(a2＋b2)sin(A－B)＝(a2－b2)sin C，得b2[sin(A－B)＋sin C]＝a2[sin C－sin(A－B)]，即b2sin A cos B＝a2cos A sin B，即sin2B sin A cos B＝sin2A cos B sin B，所以sin 2B＝sin 2A，由于A，B是三角形的内角．故0＜2A＜2π，0＜2B＜2π.故只可能2A＝2B或2A＝π－2B，即A＝B或A＋B＝π2.故△ABC 为等腰三角形或直角三角形．判断三角形的形状的基本思想是；利用正、余弦定理进行边角的统一．即将条件化为只含角的三角函数关系式，然后利用三角恒等变换得出内角之间的关系式；或将条件化为只含有边的关系式，然后利用常见的化简变形得出三边的关系．【训练3】 在△ABC 中，若a cos A ＝b cos B ＝ccos C ；则△ABC 是( )． A ．直角三角形 B ．等边三角形 C ．钝角三角形D ．等腰直角三角形解析 由正弦定理得a ＝2R sin A ，b ＝2R sin B ，c ＝2R sin C (R 为△ABC 外接圆半径)．∴sin A cos A ＝sin B cos B ＝sin C cos C .即tan A ＝tan B ＝tan C ，∴A ＝B ＝C . 答案 B考向三 正、余弦定理的综合应用【例3】►在△ABC 中，内角A ，B ，C 对边的边长分别是a ，b ，c ，已知c ＝2，C ＝π3.(1)若△ABC 的面积等于3，求a ，b ；(2)若sin C ＋sin(B －A )＝2sin 2A ，求△ABC 的面积．[审题视点] 第(1)问根据三角形的面积公式和余弦定理列出关于a ，b 的方程，通过方程组求解；第(2)问根据sin C ＋sin(B －A )＝2sin 2A 进行三角恒等变换，将角的关系转换为边的关系，求出边a ，b 的值即可解决问题． 解 (1)由余弦定理及已知条件，得a 2＋b 2－ab ＝4.又因为△ABC 的面积等于3，所以12ab sin C ＝3，得ab ＝4，联立方程组⎩⎨⎧ a 2＋b 2－ab ＝4，ab ＝4，解得⎩⎨⎧a ＝2，b ＝2. (2)由题意，得sin(B ＋A )＋sin(B －A )＝4sin A cos A ， 即sin B cos A ＝2sin A cos A .当cos A ＝0，即A ＝π2时，B ＝π6， a ＝433，b ＝233；当cos A ≠0时，得sin B ＝2sin A ， 由正弦定理，得b ＝2a .联立方程组⎩⎨⎧a 2＋b 2－ab ＝4，b ＝2a ，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝233，b ＝433.所以△ABC 的面积S ＝12a b sin C ＝233.正弦定理、余弦定理、三角形面积公式对任意三角形都成立，通过这些等式就可以把有限的条件纳入到方程中，通过解方程组获得更多的元素，再通过这些新的条件解决问题．【训练3】 (2011·北京西城一模)设△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边长分别为a ，b ，c ，且cos B ＝45，b ＝2. (1)当A ＝30°时，求a 的值；(2)当△ABC 的面积为3时，求a ＋c 的值． 解 (1)因为cos B ＝45，所以sin B ＝35. 由正弦定理a sin A ＝b sin B ，可得a sin 30°＝103， 所以a ＝53.(2)因为△ABC 的面积S ＝12ac ·sin B ，sin B ＝35， 所以310ac ＝3，ac ＝10.由余弦定理得b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ，得4＝a 2＋c 2－85ac ＝a 2＋c 2－16，即a 2＋c 2＝20.所以(a＋c)2－2ac＝20，(a＋c)2＝40.所以a＋c＝210.阅卷报告4——忽视三角形中的边角条件致错【问题诊断】考查解三角形的题在高考中一般难度不大，但稍不注意，会出现“会而不对，对而不全”的情况，其主要原因就是忽视三角形中的边角条件., 【防范措施】解三角函数的求值问题时，估算是一个重要步骤，估算时应考虑三角形中的边角条件.【示例】►(2011·安徽)在△ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C所对的边长，a ＝3，b＝2，1＋2cos(B＋C)＝0，求边BC上的高．错因忽视三角形中“大边对大角”的定理，产生了增根．实录由1＋2cos(B＋C)＝0，知cos A＝12，∴A＝π3，根据正弦定理asin A＝bsin B得：sin B＝b sin Aa＝22，∴B＝π4或3π4.以下解答过程略．正解∵在△ABC中，cos(B＋C)＝－cos A，∴1＋2cos(B＋C)＝1－2cos A＝0，∴A＝π3.在△ABC中，根据正弦定理asin A＝bsin B，∴sin B＝b sin Aa＝22.∵a＞b，∴B＝π4，∴C＝π－(A＋B)＝5 12π.∴sin C＝sin(B＋A)＝sin B cos A＋cos B sin A＝22×12＋22×32＝6＋24.∴BC边上的高为b sin C＝2×6＋24＝3＋12.【试一试】(2011·辽宁)△ABC的三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，a sin A sin B＋b cos2A＝2a.(1)求b a；(2)若c2＝b2＋3a2，求B.[尝试解答](1)由正弦定理得，sin2A sin B＋sin B cos2A＝2sin A，即sin B(sin2A＋cos2A)＝2sin A.故sin B＝2sin A，所以ba＝ 2.(2)由余弦定理和c2＝b2＋3a2，得cos B＝(1＋3)a2c.由(1)知b2＝2a2，故c2＝(2＋3)a2.可得cos2B＝12，又cos B＞0，故cos B＝22，所以B＝45°.。
2021高考数学一轮复习统考第4章三角函数解三角形第6讲正弦定理和余弦定理课时作业含解析北师大版
6讲 正弦定理和余弦定理课时作业1．(2020·广东广雅中学模拟)已知a ，b ，c 为△ABC 的三个内角A ，B ，C 所对的边，若3b cos C ＝c (1－3cos B )，则sin C ∶sin A ＝( )A ．2∶3B ．4∶3C ．3∶1D ．3∶2答案 C解析 由正弦定理得3sin B cos C ＝sin C －3sin C cos B,3sin(B ＋C )＝sin C ，因为A ＋B ＋C ＝π，所以B ＋C ＝π－A ，所以3sin A ＝sin C ，所以sin C ∶sin A ＝3∶1，故选C.2．(2019·南昌模拟)在△ABC 中，已知C ＝π3，b ＝4，△ABC 的面积为23，则c ＝( )A ．27B ．7C ．2 2D ．2 3答案 D解析 由S ＝12ab sin C ＝2a ×32＝23，解得a ＝2，由余弦定理得c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C＝12，故c ＝2 3.3．(2019·兰州市实战考试)△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若b 2＝ac ，c ＝2a ，则cos C ＝( )A.24B ．－24C.34 D ．－34答案 B解析 由题意得，b 2＝ac ＝2a 2，所以b ＝2a ，所以cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝a 2＋2a 2－4a 22a ×2a＝－24，故选B. 4．(2019·广西南宁模拟)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，ac ＝3，且a ＝3b sin A ，则△ABC 的面积等于( )A.12 B ．32 C ．1 D ．34答案 A解析 ∵a ＝3b sin A ，∴由正弦定理得sin A ＝3sin B sin A ，∴sin B ＝13.∵ac ＝3，∴△ABC的面积S ＝12ac sin B ＝12×3×13＝12.故选A.5．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边的长分别为a ，b ，c ，若a sin A ＋b sin B ＜c sin C ，则△ABC 的形状是( )A ．锐角三角形B ．直角三角形C ．钝角三角形D ．不确定答案 C解析 根据正弦定理可得a 2＋b 2＜c 2.由余弦定理，得cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab＜0，故C 是钝角．6．已知△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且c －b c －a ＝sin Asin C ＋sin B，则B ＝( ) A.π6 B ．π4C.π3D ．3π4答案 C 解析 因为c －b c －a ＝sin A sin C ＋sin B ，所以c －b c －a ＝a c ＋b，即(c －b )(c ＋b )＝a (c －a )，所以a 2＋c 2－b 2＝ac ，所以cos B ＝12，又B ∈(0，π)，所以B ＝π3.7．(2019·大连双基测试)△ABC 中，AB ＝2，AC ＝3，B ＝60°，则cos C ＝( ) A.33 B ．±63C ．－63D ．63答案 D解析 由正弦定理得AC sin B ＝ABsin C，∴sin C ＝AB ·sin B AC ＝2×sin60°3＝33，又AB <AC ，∴0<C <B ＝60°，∴cos C ＝1－sin 2C ＝63.故选D. 8．(2018·全国卷Ⅲ)△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .若△ABC 的面积为a 2＋b 2－c 24，则C ＝( )A.π2B ．π3C.π4 D ．π6答案 C解析 由题可知S △ABC ＝12ab sin C ＝a 2＋b 2－c 24，所以a 2＋b 2－c 2＝2ab sin C .由余弦定理得a2＋b 2－c 2＝2ab cos C ，∴sin C ＝cos C .∵C ∈(0，π)，∴C ＝π4.故选C.9．(2019·江西新八校第二次联考)我国南宋著名数学家秦九韶提出了由三角形三边求三角形面积的“三斜求积”，设△ABC 的三个内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，面积为S ，则“三斜求积”公式为S ＝14⎣⎢⎡⎦⎥⎤a 2c 2－⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2＋c 2－b 222，若a 2sin C ＝2sin A ，(a ＋c )2＝6＋b 2，则用“三斜求积”公式求得△ABC 的面积为( )A.32B ． 3 C.12 D ．1答案 A解析 因为a 2sin C ＝2sin A ，所以a 2c ＝2a ，所以ac ＝2， 因为(a ＋c )2＝6＋b 2，所以a 2＋c 2＋2ac ＝6＋b 2， 所以a 2＋c 2－b 2＝6－2ac ＝6－4＝2， 从而△ABC 的面积为S △ABC ＝14×⎣⎢⎡⎦⎥⎤22－⎝ ⎛⎭⎪⎫222＝32，故选A. 10．(2019·南阳模拟)设△ABC 的内角A ，B ，C 所对边的长分别为a ，b ，c ，若b ＋c ＝2a,3sin A ＝5sin B ，则C ＝( )A.π3 B ．3π4C.5π6D ．2π3答案 D解析 因为3sin A ＝5sin B ，所以由正弦定理可得：3a ＝5b ，所以a ＝5b3.又b ＋c ＝2a ，所以c ＝2a －b ＝7b3，不妨取b ＝3，则a ＝5，c ＝7，所以cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝52＋32－722×5×3＝－12.因为C ∈(0，π)，所以C ＝2π3. 11．已知△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若2b cos B ＝a cos C ＋c cos A ，b ＝2，则△ABC 的面积的最大值是( )A ．1B ． 3C ．2D ．4答案 B解析 ∵2b cos B ＝a cos C ＋c cos A ，∴2sin B cos B ＝sin A cos C ＋sin C cos A ＝sin(A ＋C )＝sin B .∵0<B <π，∴cos B ＝12，∴B ＝π3.∵cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝12，b ＝2，∴a 2＋c 2－4＝ac .∵a 2＋c 2≥2ac ，∴2ac －4≤ac ，即ac ≤4，当且仅当a ＝c 时等号成立，∴S △ABC ＝12ac sin B≤12×4×32＝3，故△ABC 的面积的最大值为 3. 12．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若2(b cos A ＋a cos B )＝c 2，b ＝3,3cos A ＝1，则a ＝( )A. 5 B ．3 C.10 D ．4答案 B解析 由正弦定理可得2(sin B cos A ＋sin A cos B )＝c sin C ，∵2(sin B cos A ＋sin A cos B )＝2sin(A ＋B )＝2sin C ，∴2sin C ＝c sin C ，∵sin C >0，∴c ＝2，由余弦定理得a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ＝32＋22－2×3×2×13＝9，∴a ＝3.故选B.13．(2020·北京海淀模拟)在△ABC 中，A ＝2π3，a ＝3c ，则bc ＝________.答案 1解析 由题意知sin 2π3＝3sin C ，∴sin C ＝12，又0<C <π3，∴C ＝π6，从而B ＝π6，∴b ＝c ，故b c＝1.14．△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若2b cos B ＝a cos C ＋c cos A ，则B ＝________. 答案π3解析 解法一：由2b cos B ＝a cos C ＋c cos A 及正弦定理， 得2sin B cos B ＝sin A cos C ＋sin C cos A . ∴2sin B cos B ＝sin(A ＋C )． 又A ＋B ＋C ＝π，∴A ＋C ＝π－B . ∴2sin B cos B ＝sin(π－B )＝sin B . 又sin B ≠0，∴cos B ＝12.∴B ＝π3.解法二：∵在△ABC 中，a cos C ＋c cos A ＝b ， ∴条件等式变为2b cos B ＝b ，∴cos B ＝12.又0<B <π，∴B ＝π3.15．(2019·杭州模拟)已知a ，b ，c 分别为△ABC 三个内角A ，B ，C 的对边，a ＝2，且(2＋b )(sin A －sin B )＝(c －b )·sin C ，则△ABC 的面积的最大值为________．答案3解析 因为a ＝2，(2＋b )(sin A －sin B )＝(c －b )sin C ，所以根据正弦定理，得(a ＋b )(a－b )＝(c －b )c ，所以a 2－b 2＝c 2－bc ，所以b 2＋c 2－a 2＝bc ，根据余弦定理，得cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc＝12，因为A ∈(0，π)，故A ＝π3.因为b 2＋c 2－bc ＝4，所以4＝b 2＋c 2－bc ≥2bc －bc ＝bc (当且仅当b ＝c ＝2时取等号)，所以△ABC 的面积S △ABC ＝12bc sin A ＝34bc ≤34×4＝3，所以△ABC 的面积的最大值为 3.16．已知在△ABC 中，AB ＝AC ＝4，BC ＝2.点D 为AB 延长线上一点，BD ＝2，连接CD ，则△BDC 的面积是________，cos ∠BDC ＝________.答案152104解析 依题意作出图形，如图所示， 则sin ∠DBC ＝sin ∠ABC .由题意知AB ＝AC ＝4，BC ＝BD ＝2， 则sin ∠ABC ＝154，cos ∠ABC ＝14. 所以S △BDC ＝12BC ·BD ·sin∠DBC＝12×2×2×154＝152.因为cos ∠DBC ＝－cos ∠ABC ＝－14＝BD 2＋BC 2－CD 22BD ·BC ＝8－CD 28，所以CD ＝10.由余弦定理，得cos ∠BDC ＝4＋10－42×2×10＝104. 17．(2019·全国卷Ⅰ)△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .设(sin B －sin C )2＝sin 2A －sinB sinC .(1)求A ；(2)若2a ＋b ＝2c ，求sin C .解 (1)由已知得sin 2B ＋sin 2C －sin 2A ＝sinB sinC ， 故由正弦定理得b 2＋c 2－a 2＝bc .由余弦定理得cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝12.因为0°<A <180°，所以A ＝60°. (2)由(1)知B ＝120°－C ，由题设及正弦定理，得2sin A ＋s in(120°－C )＝2sin C ， 即62＋32cos C ＋12sin C ＝2sin C ， 可得cos(C ＋60°)＝－22. 因为0°<C <120°，所以sin(C ＋60°)＝22， 故sin C ＝sin(C ＋60°－60°)＝sin(C ＋60°)cos60°－cos(C ＋60°)sin60°＝6＋24. 18．(2019·天津高考)在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .已知b ＋c ＝2a,3c sin B ＝4a sin C .(1)求cos B 的值； (2)求sin ⎝⎛⎭⎪⎫2B ＋π6的值． 解 (1)在△ABC 中，由正弦定理b sin B ＝csin C ，得b sin C ＝c sin B .由3c sin B ＝4a sin C ， 得3b sin C ＝4a sin C ，即3b ＝4a ，所以b ＝43a .因为b ＋c ＝2a ，所以c ＝23a .由余弦定理可得cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝a 2＋49a 2－169a 22·a ·23a＝－14.(2)由(1)可得sin B ＝1－cos 2B ＝154， 从而sin2B ＝2sin B cos B ＝－158， cos2B ＝cos 2B －sin 2B ＝－78，故sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2B ＋π6＝sin2B cos π6＋cos2B sin π6＝－158×32－78×12＝－35＋716. 19．(2019·河南安阳一模)如图，在圆内接四边形ABCD 中，AB ＝2，AD ＝1，3BC ＝3BD cos α＋CD sin β.(1)求角β的大小；(2)求四边形ABCD 周长的取值范围． 解 (1)∵3BC ＝3BD cos α＋CD sin β， ∴3sin ∠BDC ＝3sin βcos α＋sin αsin β， ∴3sin(α＋β)＝3sin βcos α＋sin αsin β， ∴3(sin αcos β＋sin βcos α) ＝3sin βcos α＋sin αsin β，∴3sin αcos β＝sin αsin β，∴tan β＝3， 又β∈(0，π)，∴β＝π3.(2)根据题意，得∠BAD ＝2π3，由余弦定理，得BD 2＝AB 2＋AD 2－2AB ·AD cos ∠BAD＝4＋1－2×2×1×cos 2π3＝7，又BD 2＝CB 2＋CD 2－2CB ·CD cos β ＝(CB ＋CD )2－3CB ·CD ≥(CB ＋CD )2－3(CB ＋CD )24＝(CB ＋CD )24，∴CB ＋CD ≤27，又CB ＋CD >7，∴四边形ABCD 的周长AB ＋BC ＋CD ＋DA 的取值范围为(3＋7，3＋27]．20．(2019·河南联考)如图，在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知c ＝4，b ＝2，2c cos C ＝b ，D ，E 分别为线段BC 上的点，且BD ＝CD ，∠BAE ＝∠CAE .(1)求线段AD 的长； (2)求△ADE 的面积．解 (1)因为c ＝4，b ＝2,2c cos C ＝b ，所以cos C ＝b 2c ＝14.由余弦定理得cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝a 2＋4－164a ＝14，所以a ＝4，即BC ＝4. 在△ACD 中，CD ＝2，AC ＝2，所以AD 2＝AC 2＋CD 2－2AC ·CD ·cos∠ACD ＝6，所以AD ＝ 6. (2)因为AE 是∠BAC 的平分线，所以S △ABE S △ACE ＝12AB ·AE ·sin∠BAE12AC ·AE ·sin∠CAE ＝AB AC＝2，又S △ABE S △ACE ＝BE EC ，所以BEEC＝2， 所以EC ＝13BC ＝43，DE ＝2－43＝23.又cos C ＝14，所以sin C ＝1－cos 2C ＝154.所以S △ADE ＝12DE ·AC ·sin C ＝156.附：什么样的考试心态最好大部分学生都不敢掉以轻心，因此会出现很多过度焦虑。
数学配套：第4篇第6讲 正弦定理和余弦定理
第6讲正弦定理和余弦定理知识梳理1．正弦定理和余弦定理在△ABC中，若角A,B，C所对的边分别是a，b,c,则正弦定理余弦定理内容错误!＝错误!＝错误!＝2R(R为△ABC外接圆半径)a2＝b2＋c2－2bc cos Ab2＝a2＋c2－2ac cos Bc2＝a2＋b2－2ab cos C常见变形（1）a＝2R sinA，b＝2R sin B,c＝2R sin C；（2)sin A＝错误!，sin B＝错误!，sinC＝错误!；(3)a∶b∶c＝sinA∶sin B∶sin Ccos A＝错误!；cos B＝错误!；cos C＝a2＋b2－c22ab解决（1)已知两角和(1)已知三边，求三个角;的问题任一边，求其他两边和一角；(2）已知两边和其中一边的对角,求另一边和其他两角（2)已知两边和它们的夹角，求第三边和其他两角2.在△ABC中，已知a，b和A时，解的情况A为锐角A为钝角或直角图形关系式a＝b sin Ab sin A＜a＜ba≥b a＞b解的个数一解两解一解一解3（1）S＝错误!ah（h表示边a上的高）．(2）S＝错误!bc sin A＝错误!ab sin C＝错误!ac sin B.（3）S＝错误!r（a＋b＋c）（r为△ABC内切圆半径)．辨析感悟1．三角形中关系的判断(1）在△ABC中,sin A＞sin B的充分不必要条件是A＞B。
(×) (2）(教材练习改编)在△ABC中,a＝错误!，b＝错误!,B＝45°，则A＝60°或120°。
(√）2．解三角形（3)(2013·北京卷改编)在△ABC中，a＝3，b＝5,sin A＝错误!，则sin B＝错误!.(√)(4）（教材习题改编)在△ABC中,a＝5，c＝4，cos A＝916,则b＝6.（√) 3．三角形形状的判断（5）在△ABC中,若sin A sin B＜cos A cos B,则此三角形是钝角三角形．(√）（6)在△ABC中，若b2＋c2＞a2，则此三角形是锐角三角形．（×)［感悟·提升]一条规律在三角形中，大角对大边,大边对大角；大角的正弦值也较大,正弦值较大的角也较大，即在△ABC中，A＞B⇔a＞b⇔sin A ＞sin B，如(1)．判断三角形形状的两种途径一是化边为角；二是化角为边，并常用正弦（余弦)定理实施边、角转换.考点一利用正弦、余弦定理解三角形【例1】（1)(2013·湖南卷改编)在锐角△ABC中，角A，B所对的边长分别为a，b.若2a sin B＝错误!b，则角A等于______．(2）(2014·杭州模拟）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a,b，c，若a＝1,c＝42,B＝45°，则sin C＝________.解析(1）在△ABC中，由正弦定理及已知得2sin A·sin B＝错误!sin B，∵B为△ABC的内角,∴sin B≠0.∴sin A＝错误!。
三角函数解三角形第6讲正弦定理和余弦定理讲义理-高考数学一轮复习资料
第6讲正弦定理和余弦定理1.正弦定理、余弦定理在△ABC中，若角A，B，C所对的边分别是a，b，c，R为△ABC外接圆的半径，则2.在△ABC中，已知a，b和A时，三角形解的情况3.三角形中常用的面积公式(1)S ＝12ah (h 表示边a 上的高)．(2)S ＝12bc sin A ＝□0112ac sin B ＝□0212ab sin C . (3)S ＝12r (a ＋b ＋c )(r 为三角形的内切圆半径)．1.概念辨析(1)正弦定理和余弦定理对任意三角形都成立．( ) (2)在△ABC 中，若sin A >sin B ，则A >B .( )(3)在△ABC 的六个元素中，已知任意三个元素可求其他元素．( ) (4)当b 2＋c 2－a 2>0时，三角形ABC 为锐角三角形．( ) 答案 (1)√ (2)√ (3)× (4)× 2.小题热身(1)△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知a ＝5，c ＝2，cos A ＝23，则b＝( )A. 2B. 3 C ．2 D ．3 答案 D解析 由余弦定理得5＝b 2＋4－2×b ×2×23，解得b ＝3或b ＝－13(舍去)，故选D.(2)已知△ABC 的三个内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若cos A cos B ＝ba＝2，则该三角形的形状是( )A.直角三角形 B ．等腰三角形 C.等边三角形 D ．钝角三角形答案 A解析 因为cos A cos B ＝b a ，由正弦定理得cos A cos B ＝sin B sin A ，所以sin2A ＝sin2B .由ba＝2，可知a ≠b ，所以A ≠B .又A ，B ∈(0，π)，所以2A ＝180°－2B ，即A ＋B ＝90°，所以C ＝90°，于是△ABC 是直角三角形．(3)在△ABC 中，a ＝32，b ＝23，cos C ＝13，则△ABC 的面积为________．答案 4 3解析 ∵cos C ＝13，0<C <π，∴sin C ＝223，∴S △ABC ＝12ab sin C ＝12×32×23×223＝4 3.(4)在△ABC 中，a ＝4，b ＝5，c ＝6，则sin2Asin C ＝________.答案 1解析 因为a ＝4，b ＝5，c ＝6，所以cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝52＋62－422×5×6＝34，所以sin2Asin C＝2sin A cos A sin C ＝2a cos Ac ＝2×4×346＝1.题型 一 利用正、余弦定理解三角形角度1 用正弦定理解三角形1.(1)设△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .若a ＝3，sin B ＝12，C ＝π6，则b ＝________；(2)(2017·全国卷Ⅲ)△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .已知C ＝60°，b ＝6，c ＝3，则A ＝________.答案 (1)1 (2)75°解析 (1)因为sin B ＝12且B ∈(0，π)，所以B ＝π6或B ＝5π6，又C ＝π6，所以B ＝π6，A ＝π－B －C ＝2π3，又a ＝3，由正弦定理得a sin A ＝bsin B ，即3sin 2π3＝b sinπ6，解得b ＝1. (2) 如图，由正弦定理，得3sin60°＝6sin B ，∴sin B ＝22. 又c ＞b ，∴B ＝45°，∴A ＝180°－60°－45°＝75°. 角度2 用余弦定理解三角形2.(1)在△ABC 中，若b ＝1，c ＝3，A ＝π6，则cos5B ＝( )A.－32B.12C.12或－1 D ．－32或0 (2)在△ABC 中，AB ＝3，BC ＝13，AC ＝4，则边AC 上的高为( ) A.322 B.332 C.32D ．3 3 答案 (1)A (2)B解析 (1)因为b ＝1，c ＝3，A ＝π6，所以由余弦定理得a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ＝1＋3－2×1×3×32＝1， 所以a ＝1.由a ＝b ＝1，得B ＝A ＝π6，所以cos5B ＝cos 5π6＝－cos π6＝－32.(2)由题意得cos A ＝AB 2＋AC 2－BC 22AB ·AC＝32＋42－1322×3×4＝12， ∴sin A ＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫122＝32， ∴边AC 上的高h ＝AB sin A ＝332. 角度3 综合利用正、余弦定理解三角形3.在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且2a cos C －c ＝2b . (1)求角A 的大小；(2)若c ＝2，角B 的平分线BD ＝3，求a .解 (1)∵2a cos C －c ＝2b ，由正弦定理得2sin A cos C －sin C ＝2sin B,2sin A cos C －sin C ＝2sin(A ＋C )＝2sin A cos C ＋2cos A sin C ，∴－sin C ＝2cos A sin C ，∵sin C ≠0，∴cos A ＝－12，又A ∈(0，π)，∴A ＝2π3.(2)在△ABD 中，由正弦定理得，AB sin ∠ADB ＝BDsin A，∴sin ∠ADB ＝AB sin A BD ＝22. 又∠ADB ∈(0，π)，A ＝2π3，∴∠ADB ＝π4，∴∠ABC ＝π6，∠ACB ＝π6，AC ＝AB ＝2，由余弦定理，得BC 2＝AB 2＋AC2－2AB ·AC ·cos A ＝(2)2＋(2)2－2×2×2cos 2π3＝6，∴a ＝ 6.用正弦、余弦定理解三角形的基本题型及解题方法(1)已知两角和一边①用三角形内角和定理求第三个角． ②用正弦定理求另外两条边． (2)已知两边及其中一边所对的角 ①用正弦定理(适用于优先求角的题) 以知a ，b ，A 解三角形为例： a ．根据正弦定理，经讨论求B ；b ．求出B 后，由A ＋B ＋C ＝180°，求出C ；c ．再根据正弦定理a sin A ＝csin C ，求出边c .②用余弦定理(适用于优先求边的题) 以知a ，b ，A 解三角形为例：列出以边c 为元的一元二次方程c 2－(2b cos A )c ＋(b 2－a 2)＝0，根据一元二次方程的解法，求边c ，然后应用正弦定理或余弦定理，求出B ，C .(3)已知两边和它们的夹角 ①用余弦定理求第三边．②用余弦定理的变形或正弦定理求另外两角． (4)已知三边可以连续用余弦定理求出两角，常常是分别求较小两边所对的角，再由A ＋B ＋C ＝180°，求出第三个角.1.在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若a ＝62b ，A ＝2B ，则cos B 等于( ) A.66 B.65 C.64 D.63答案 C解析 因为a ＝62b ，A ＝2B ，所以由正弦定理可得62b sin2B ＝b sin B ，所以622sin B cos B ＝1sin B ，所以cos B ＝64. 2.(2018·和平区模拟)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若a 2－b 2＝3bc ，且sin C ＝23sin B ，则角A 的大小为________．答案π6解析 由sin C ＝23·sin B 得c ＝23b . ∴a 2－b 2＝3bc ＝3·23b 2，即a 2＝7b 2.则cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝b 2＋12b 2－7b 243b2＝32. 又A ∈(0，π)．∴A ＝π6.3．如图，在△ABC 中，B ＝45°，D 是BC 边上一点，AD ＝5，AC ＝7，DC ＝3，则AB ＝________.答案562解析 在△ACD 中，由余弦定理可得 cos C ＝49＋9－252×7×3＝1114，则sin C ＝5314.在△ABC 中，由正弦定理可得AB sin C ＝ACsin B， 则AB ＝AC sin Csin B ＝7×531422＝562.题型 二 利用正、余弦定理判定三角形的形状1.(2018·武汉调研)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若c b<cos A ，则△ABC 为( )A.钝角三角形 B ．直角三角形 C.锐角三角形 D ．等边三角形答案 A解析 因为c b<cos A ，所以c <b cos A ， 由正弦定理得sin C <sin B cos A ，又A ＋B ＋C ＝π，所以sin C ＝sin(A ＋B )． 所以sin A cos B ＋cos A sin B <sin B cos A ， 所以sin A cos B <0，又sin A >0，所以cos B <0，B 为钝角，所以△ABC 是钝角三角形. 2.在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若sin A sin B ＝ac，(b ＋c ＋a )(b ＋c －a )＝3bc ，则△ABC 的形状为( )A.直角三角形 B ．等腰非等边三角形 C.等边三角形 D ．钝角三角形答案 C解析 ∵sin A sin B ＝a c ，∴a b ＝ac ，∴b ＝c .又(b ＋c ＋a )(b ＋c －a )＝3bc ， ∴b 2＋c 2－a 2＝bc ，∴cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝bc 2bc ＝12.∵A ∈(0，π)，∴A ＝π3，∴△ABC 是等边三角形．条件探究1 把举例说明2中△ABC 满足的条件改为“a cos A ＝b cos B ”，判断△ABC 的形状．解 因为a cos A ＝b cos B ， 所以sin A cos A ＝sin B cos B ， 所以sin2A ＝sin2B ，又因为0<2A <2π，0<2B <2π，0<A ＋B <π， 所以2A ＝2B 或2A ＋2B ＝π， 即A ＝B 或A ＋B ＝π2，所以△ABC 是等腰三角形或直角三角形．条件探究2 把举例说明2中△ABC 满足的条件改为“cos 2B 2＝a ＋c 2c”，判断△ABC 的形状．解 因为cos 2B 2＝a ＋c 2c， 所以12(1＋cos B )＝a ＋c 2c ，在△ABC 中，由余弦定理得 12＋12·a 2＋c 2－b 22ac ＝a ＋c 2c. 化简得2ac ＋a 2＋c 2－b 2＝2a (a ＋c )， 则c 2＝a 2＋b 2，所以△ABC 为直角三角形.1.应用余弦定理判断三角形形状的方法 在△ABC 中，c 是最大的边．若c 2<a 2＋b 2，则△ABC 是锐角三角形； 若c 2＝a 2＋b 2，则△ABC 是直角三角形； 若c 2＞a 2＋b 2，则△ABC 是钝角三角形． 2．判断三角形形状的常用技巧 若已知条件中既有边又有角，则(1)化边：通过因式分解、配方等得出边的相应关系，从而判断三角形的形状． (2)化角：通过三角恒等变换，得出内角的关系，从而判断三角形的形状．此时要注意应用A ＋B ＋C ＝π这个结论.1.若△ABC 的三个内角满足sin A ∶sin B ∶sin C ＝5∶11∶13，则△ABC ( ) A.一定是锐角三角形 B.一定是直角三角形 C.一定是钝角三角形D.可能是锐角三角形，也可能是钝角三角形 答案 C解析 由正弦定理得，a ∶b ∶c ＝sin A ∶sin B ∶sin C ＝5∶11∶13，设a ＝5t ，b ＝11t ，c ＝13t (t >0)，则cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab＝t2＋t 2－t22×5t ×11t<0，所以C 是钝角，△ABC 是钝角三角形.2.设△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若b cos C ＋c cos B ＝a sin A ，则△ABC 的形状为( )A.锐角三角形 B ．直角三角形 C.钝角三角形 D ．不确定答案 B解析 根据正弦定理，由b cos C ＋c cos B ＝a sin A 得sin B ·cos C ＋sin C cos B ＝sin 2A ，即sin(B ＋C )＝sin 2A ，又因为A ＋B ＋C ＝π，所以sin(B ＋C )＝sin A ，所以sin A ＝1，由0<A <π，得A ＝π2.所以△ABC 是直角三角形.题型 三 与三角形面积有关的问题(2017·全国卷Ⅰ)△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .已知△ABC 的面积为a 23sin A. (1)求sin B sin C ；(2)若6cos B cos C ＝1，a ＝3，求△ABC 的周长． 解 (1)由题设得12ac sin B ＝a 23sin A ，即12c sin B ＝a 3sin A .由正弦定理得12sin C sin B ＝sin A3sin A .故sin B sin C ＝23.(2)由题设及(1)得cos B cos C －sin B sin C ＝－12，即cos(B ＋C )＝－12.所以B ＋C ＝2π3，故A ＝π3.由题意得12bc sin A ＝a23sin A ，a ＝3，所以bc ＝8.由余弦定理得b 2＋c 2－bc ＝9，即(b ＋c )2－3bc ＝9.由bc ＝8，得b ＋c ＝33. 故△ABC 的周长为3＋33.1.求三角形面积的方法(1)若三角形中已知一个角(角的大小或该角的正、余弦值)，结合题意求解这个角的两边或该角的两边之积，代入公式求面积．(2)若已知三角形的三边，可先求其一个角的余弦值，再求其正弦值，代入公式求面积，总之，结合图形恰当选择面积公式是解题的关键．2．已知三角形的面积求边、角的方法(1)若求角，就寻求夹这个角的两边的关系，利用面积公式列方程求解． (2)若求边，就寻求与该边(或两边)有关联的角，利用面积公式列方程求解.(2018·洛阳三模)在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且b sin B ＋(c －b )sin C ＝a sin A .(1)求角A 的大小；(2)若sin B sin C ＝38，且△ABC 的面积为23，求a .解 (1)由b sin B ＋(c －b )sin C ＝a sin A 及正弦定理得b 2＋(c －b )c ＝a 2，即b 2＋c 2－bc ＝a 2， 所以b 2＋c 2－a 22bc ＝cos A ＝12，所以A ＝π3.(2)由正弦定理a sin A ＝b sin B ＝c sin C ，可得b ＝a sin B sin A ，c ＝a sin Csin A，所以S △ABC ＝12bc sin A ＝12·a sin B sin A ·a sin Csin A·sin A＝a 2sin B sin C2sin A＝2 3.又sin B sin C ＝38，sin A ＝32，∴38a 2＝23，解得a ＝4.高频考点 用正弦、余弦定理进行边、角之间的转化考点分析 在综合运用正、余弦定理解决较为复杂的与解三角形有关的问题时，常利用边、角之间的转化与化归的方法解决．[典例1] (2018·枣庄二模)已知△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，且(a 2＋b 2－c 2)·(a cos B ＋b cos A )＝abc ，若a ＋b ＝2，则c 的取值范围为( )A ．(0,2)B ．[1,2)C.⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，2 D ．(1,2] 答案 B解析 由正、余弦定理，得2cos C (sin A cos B ＋sin B cos A )＝sin C .即2cos C sin(A ＋B )＝sin C .所以2cos C sin C ＝sin C ，因为sin C ≠0，所以cos C ＝12. 又C ∈(0，π)，所以C ＝π3. 因为c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ＝(a ＋b )2－3ab ，且(a ＋b )2≥4ab ，所以ab ≤1.所以c 2≥1，即c ≥1，又c <a ＋b ＝2.所以1≤c <2.[典例2] (2017·全国卷Ⅱ)△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若2b cos B ＝a cos C ＋c cos A ，则B ＝________.答案 π3 解析 解法一：由2b cos B ＝a cos C ＋c cos A 及正弦定理，得2sin B cos B ＝sin A cos C ＋sin C cos A .∴2sin B cos B ＝sin(A ＋C )．又A ＋B ＋C ＝π，∴A ＋C ＝π－B .∴2sin B cos B ＝sin(π－B )＝sin B .又sin B ≠0，∴cos B ＝12.∴B ＝π3. 解法二：∵在△ABC 中，a cos C ＋c cos A ＝b ，∴条件等式变为2b cos B ＝b ，∴cos B ＝12. 又0<B <π，∴B ＝π3. [典例3] (2018·东北三省四市教研联合体模拟)已知△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若b ＝2，且2b cos B ＝a cos C ＋c cos A .(1)求B 的大小；(2)求△ABC 面积的最大值．解 (1)由正弦定理a sin A ＝b sin B ＝Csin C可得 2sin B cos B ＝sin A cos C ＋sin C cos A ＝sin B ，∵sin B >0，故cos B ＝12，∵0<B <π，∴B ＝π3. (2)由b ＝2，B ＝π3及余弦定理可得ac ＝a 2＋c 2－4， 由基本不等式可得ac ＝a 2＋c 2－4≥2ac －4，ac ≤4，而且仅当a ＝c ＝2时，S △ABC ＝12ac sin B 取得最大值12×4×32＝3，故△ABC 的面积的最大值为 3. 方法指导 1.两种主要方法全部化为角的关系，用三角恒等变换及三角函数的性质解答.全部化为边的关系，用因式分解、配方等方法变形.2.基本原则若出现边的一次式一般采用正弦定理；若出现边的二次式一般采用余弦定理.。
第4章 第6节 正弦定理、余弦定理 课件(共47张PPT)
a2＋b2－c2
(3)sin
a＋b＋c A＋sin B＋sin
C＝sina
A＝2R
cos C＝____2_a_b_____
提醒：在△ABC中，已知两边和其中一边的对角，求第三边时， 使用余弦定理比使用正弦定理简洁．
第六节 正弦定理、余弦定理
1
2
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走进教材·夯实基础 细研考点·突破题型 课后限时集训
(2)若 2a＋b＝2c，求sin C. [解] (1)由已知得sin2B＋sin2C－sin2A＝sin Bsin C，故由正弦定理
得b2＋c2－a2＝bc. 由余弦定理得cos A＝b2＋2cb2c－a2＝12.
因为0°＜A＜180°，所以A＝60°.
第六节 正弦定理、余弦定理
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已知B＝150°.
①若a＝ 3c，b＝2 7，求△ABC的面积；
②若sin A＋ 3sin C＝ 22，求C.
因此，选条件②时问题中的三角形存在，此时c＝2 3.
第六节 正弦定理、余弦定理
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方案三：选条件③.
由C＝π6和余弦定理得a2＋2ba2b－c2＝
3 2.
由sin A＝ 3sin B及正弦定理得a＝ 3b.
于是3b22＋b32b－2 c2＝ 23，由此可得b＝c.
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(3)已知三边a，b，c，由余弦定理可求出角A，B，C.
(4)已知两边a，b及其中一边的对角A，由正弦定理sina A＝sinb B可
超实用高考数学专题复习：第四章三角函数解三角形 第6节第一课时正弦定理和余弦定理
A.直角三角形
B.等腰非等边三角形
C.等边三角形
D.钝角三角形
解析
(1)由cb<cos
A，得ssiinn
C B<cos
答案
(1)B
12 (2) 5
考点二 判断三角形的形状
【例2】 (1)(一题多解)在△ABC中，a，b，c分别为角A，B，C所对的边，若a＝2bcos
C，则此三角形一定是( ) A.等腰直角三角形
B.直角三角形
C.等腰三角形
D.等腰三角形或直角三角形
(2)设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若bcos C＋ccos B＝asin A，
【训练 2】 (1)在△ABC 中，角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，若cb<cos A，则△ABC
为( )
A.钝角三角形
B.直角三角形
C.锐角三角形
D.等边三角形
(2)在△ABC 中，角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，若ssiinn BA＝ac，(b＋c＋a)(b＋c
－a)＝3bc，则△ABC 的形状为( )
a＝bsin A __一__解___
bsin A<a<b __两__解___
a≥b __一__解___
a>b __一__解___
a≤b __无__解___
3.三角形常用面积公式 (1)S＝12a·ha(ha 表示 a 边上的高). (2)S＝12absin C＝12acsin B＝12bcsin A＝a4bRc. (3)S＝12r(a＋b＋c)(r 为内切圆半径).
)
A. 13
B. 7
C. 37
D.6
(2)(2020·衡水模拟)在△ABC 中，内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，且有 a＝1，
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第6讲 正弦定理和余弦定理【2013年高考会这样考】1．考查正、余弦定理的推导过程．2．考查利用正、余弦定理判断三角形的形状． 3．考查利用正、余弦定理解任意三角形的方法． 【复习指导】1．掌握正弦定理和余弦定理的推导方法．2．通过正、余定理变形技巧实现三角形中的边角转换，解题过程中做到正余弦定理的优化选择．基础梳理1．正弦定理：a sin A ＝b sin B ＝csin C ＝2R ，其中R 是三角形外接圆的半径．由正弦定理可以变形为：(1)a ∶b ∶c ＝sin A ∶sin B ∶sin C ；(2)a ＝2R sin_A ，b ＝2R sin_B ，c ＝2R sin_C ；(3)sin A ＝a 2R ，sin B ＝b 2R ，sin C ＝c2R 等形式，以解决不同的三角形问题．2．余弦定理：a 2＝b 2＋c 2－2bc cos_A ，b 2＝a 2＋c 2－2ac cos_B ，c 2＝a 2＋b 2－2ab cos_C ．余弦定理可以变形为：cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ，cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ，cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab .3．S △ABC ＝12ab sin C ＝12bc sin A ＝12ac sin B ＝abc 4R ＝12(a ＋b ＋c )·r (R 是三角形外接圆半径，r 是三角形内切圆的半径)，并可由此计算R ，r .4．已知两边和其中一边的对角，解三角形时，注意解的情况．如已知a ，b ，A ，则一条规律在三角形中，大角对大边，大边对大角；大角的正弦值也较大，正弦值较大的角也较大，即在△ABC 中，A ＞B ⇔a ＞b ⇔sin A ＞sin B . 两类问题在解三角形时，正弦定理可解决两类问题：(1)已知两角及任一边，求其它边或角；(2)已知两边及一边的对角，求其它边或角．情况(2)中结果可能有一解、两解、无解，应注意区分．余弦定理可解决两类问题：(1)已知两边及夹角求第三边和其他两角；(2)已知三边，求各角． 两种途径根据所给条件确定三角形的形状，主要有两种途径：(1)化边为角；(2)化角为边，并常用正弦(余弦)定理实施边、角转换．双基自测1．(人教A 版教材习题改编)在△ABC 中，A ＝60°，B ＝75°，a ＝10，则c 等于( )． A ．5 2 B ．10 2 C.1063D ．5 6解析 由A ＋B ＋C ＝180°，知C ＝45°， 由正弦定理得：a sin A ＝csin C ， 即1032＝c 22.∴c ＝1063.答案 C2．在△ABC 中，若sin A a ＝cos Bb ，则B 的值为( )． A ．30° B ．45° C ．60° D ．90° 解析 由正弦定理知：sin A sin A ＝cos Bsin B ，∴sin B ＝cos B ，∴B ＝45°.答案 B3．(2011·郑州联考)在△ABC 中，a ＝3，b ＝1，c ＝2，则A 等于( )． A ．30° B ．45° C ．60° D ．75° 解析 由余弦定理得：cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝1＋4－32×1×2＝12，∵0＜A ＜π，∴A ＝60°. 答案 C4．在△ABC 中，a ＝32，b ＝23，cos C ＝13，则△ABC 的面积为( )． A ．3 3 B ．2 3 C ．4 3 D. 3 解析 ∵cos C ＝13，0＜C ＜π， ∴sin C ＝223， ∴S △ABC ＝12ab sin C＝12×32×23×223＝4 3. 答案 C5．已知△ABC 三边满足a 2＋b 2＝c 2－3ab ，则此三角形的最大内角为________． 解析 ∵a 2＋b 2－c 2＝－3ab ， ∴cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝－32， 故C ＝150°为三角形的最大内角． 答案 150°考向一 利用正弦定理解三角形【例1】►在△ABC 中，a ＝3，b ＝2，B ＝45°.求角A ，C 和边c .[审题视点] 已知两边及一边对角或已知两角及一边，可利用正弦定理解这个三角形，但要注意解的判断．解 由正弦定理得a sin A ＝b sin B ，3sin A ＝2sin 45°， ∴sin A ＝32.∵a ＞b ，∴A ＝60°或A ＝120°.当A ＝60°时，C ＝180°－45°－60°＝75°， c ＝b sin Csin B ＝6＋22；当A ＝120°时，C ＝180°－45°－120°＝15°， c ＝b sin Csin B ＝6－22.(1)已知两角一边可求第三角，解这样的三角形只需直接用正弦定理代入求解即可．(2)已知两边和一边对角，解三角形时，利用正弦定理求另一边的对角时要注意讨论该角，这是解题的难点，应引起注意．【训练1】 (2011·北京)在△ABC 中，若b ＝5，∠B ＝π4，tan A ＝2，则sin A ＝________；a ＝________.解析 因为△ABC 中，tan A ＝2，所以A 是锐角， 且sin Acos A ＝2，sin 2A ＋cos 2A ＝1， 联立解得sin A ＝255， 再由正弦定理得a sin A ＝bsin B ， 代入数据解得a ＝210. 答案255 210考向二 利用余弦定理解三角形【例2】►在△ABC 中，a 、b 、c 分别是角A 、B 、C 的对边，且cos B cos C ＝－b2a ＋c .(1)求角B 的大小；(2)若b ＝13，a ＋c ＝4，求△ABC 的面积．[审题视点] 由cos B cos C ＝－b2a ＋c ，利用余弦定理转化为边的关系求解．解 (1)由余弦定理知：cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ， cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab .将上式代入cos B cos C ＝－b2a ＋c 得：a 2＋c 2－b 22ac ·2ab a 2＋b 2－c 2＝－b2a ＋c， 整理得：a 2＋c 2－b 2＝－ac . ∴cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝－ac 2ac ＝－12. ∵B 为三角形的内角，∴B ＝23π. (2)将b ＝13，a ＋c ＝4，B ＝23π代入b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ， 得b 2＝(a ＋c )2－2ac －2ac cos B ， ∴13＝16－2ac ⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12，∴ac ＝3.∴S △ABC ＝12ac sin B ＝334.(1)根据所给等式的结构特点利用余弦定理将角化边进行变形是迅速解答本题的关键．(2)熟练运用余弦定理及其推论，同时还要注意整体思想、方程思想在解题过程中的运用． 【训练2】 (2011·桂林模拟)已知A ，B ，C 为△ABC 的三个内角，其所对的边分别为a ，b ，c ，且2cos 2 A2＋cos A ＝0. (1)求角A 的值；(2)若a ＝23，b ＋c ＝4，求△ABC 的面积． 解 (1)由2cos 2 A2＋cos A ＝0，得1＋cos A ＋cos A ＝0， 即cos A ＝－12， ∵0＜A ＜π，∴A ＝2π3. (2)由余弦定理得，a2＝b2＋c2－2bc cos A，A＝2π3，则a2＝(b＋c)2－bc，又a＝23，b＋c＝4，有12＝42－bc，则bc＝4，故S△ABC ＝12bc sin A＝ 3.考向三利用正、余弦定理判断三角形形状【例3】►在△ABC中，若(a2＋b2)sin(A－B)＝(a2－b2)sin C，试判断△ABC的形状．[审题视点] 首先边化角或角化边，再整理化简即可判断．解由已知(a2＋b2)sin(A－B)＝(a2－b2)sin C，得b2[sin(A－B)＋sin C]＝a2[sin C－sin(A－B)]，即b2sin A cos B＝a2cos A sin B，即sin2B sin A cos B＝sin2A cos B sin B，所以sin 2B＝sin 2A，由于A，B是三角形的内角．故0＜2A＜2π，0＜2B＜2π.故只可能2A＝2B或2A＝π－2B，即A＝B或A＋B＝π2.故△ABC为等腰三角形或直角三角形．判断三角形的形状的基本思想是；利用正、余弦定理进行边角的统一．即将条件化为只含角的三角函数关系式，然后利用三角恒等变换得出内角之间的关系式；或将条件化为只含有边的关系式，然后利用常见的化简变形得出三边的关系．【训练3】在△ABC中，若acos A＝bcos B＝ccos C；则△ABC是()．A．直角三角形B．等边三角形C．钝角三角形D．等腰直角三角形解析由正弦定理得a＝2R sin A，b＝2R sin B，c＝2R sin C(R为△ABC外接圆半径)．∴sin Acos A＝sin Bcos B＝sin Ccos C.即tan A＝tan B＝tan C，∴A＝B＝C.答案 B考向三正、余弦定理的综合应用【例3】►在△ABC中，内角A，B，C对边的边长分别是a，b，c，已知c＝2，C＝π3.(1)若△ABC的面积等于3，求a，b；(2)若sin C＋sin(B－A)＝2sin 2A，求△ABC的面积．[审题视点] 第(1)问根据三角形的面积公式和余弦定理列出关于a，b的方程，通过方程组求解；第(2)问根据sin C＋sin(B－A)＝2sin 2A进行三角恒等变换，将角的关系转换为边的关系，求出边a，b的值即可解决问题．解(1)由余弦定理及已知条件，得a2＋b2－ab＝4.又因为△ABC的面积等于3，所以12ab sin C＝3，得ab＝4，联立方程组⎩⎨⎧a2＋b2－ab＝4，ab＝4，解得⎩⎨⎧a＝2，b＝2.(2)由题意，得sin(B＋A)＋sin(B－A)＝4sin A cos A，即sin B cos A＝2sin A cos A.当cos A＝0，即A＝π2时，B＝π6，a＝433，b＝233；当cos A≠0时，得sin B＝2sin A，由正弦定理，得b＝2a.联立方程组⎩⎨⎧a2＋b2－ab＝4，b＝2a，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝233，b ＝433.所以△ABC 的面积S ＝12a b sin C ＝233.正弦定理、余弦定理、三角形面积公式对任意三角形都成立，通过这些等式就可以把有限的条件纳入到方程中，通过解方程组获得更多的元素，再通过这些新的条件解决问题．【训练3】 (2011·北京西城一模)设△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边长分别为a ，b ，c ，且cos B ＝45，b ＝2.(1)当A ＝30°时，求a 的值；(2)当△ABC 的面积为3时，求a ＋c 的值． 解 (1)因为cos B ＝45，所以sin B ＝35.由正弦定理a sin A ＝b sin B ，可得a sin 30°＝103， 所以a ＝53.(2)因为△ABC 的面积S ＝12ac ·sin B ，sin B ＝35， 所以310ac ＝3，ac ＝10.由余弦定理得b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ，得4＝a 2＋c 2－85ac ＝a 2＋c 2－16，即a 2＋c 2＝20. 所以(a ＋c )2－2ac ＝20，(a ＋c )2＝40. 所以a ＋c ＝210.阅卷报告4——忽视三角形中的边角条件致错【问题诊断】 考查解三角形的题在高考中一般难度不大，但稍不注意，会出现“会而不对，对而不全”的情况，其主要原因就是忽视三角形中的边角条件.,【防范措施】 解三角函数的求值问题时，估算是一个重要步骤，估算时应考虑三角形中的边角条件.【示例】►(2011·安徽)在△ABC 中，a ，b ，c 分别为内角A ，B ，C 所对的边长，a ＝3，b ＝2，1＋2cos(B ＋C )＝0，求边BC 上的高．错因 忽视三角形中“大边对大角”的定理，产生了增根． 实录 由1＋2cos(B ＋C )＝0， 知cos A ＝12，∴A ＝π3， 根据正弦定理a sin A ＝bsin B 得： sin B ＝b sin A a ＝22，∴B ＝π4或3π4.以下解答过程略．正解 ∵在△ABC 中，cos(B ＋C )＝－cos A ， ∴1＋2cos(B ＋C )＝1－2cos A ＝0，∴A ＝π3. 在△ABC 中，根据正弦定理a sin A ＝bsin B ， ∴sin B ＝b sin A a ＝22.∵a ＞b ，∴B ＝π4，∴C ＝π－(A ＋B )＝512π. ∴sin C ＝sin(B ＋A )＝sin B cos A ＋cos B sin A＝22×12＋22×32＝6＋24. ∴BC 边上的高为b sin C ＝2×6＋24＝3＋12.【试一试】 (2011·辽宁)△ABC 的三个内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，a sin A sin B ＋b cos 2 A ＝2a . (1)求ba ；(2)若c 2＝b 2＋3a 2，求B . [尝试解答] (1)由正弦定理得， sin 2A sin B ＋sin B cos 2A ＝2sin A ，即 sin B (sin 2A ＋cos 2A )＝2sin A . 故sin B ＝2sin A ，所以ba ＝ 2.(2)由余弦定理和c 2＝b 2＋3a 2，得cos B ＝(1＋3)a2c . 由(1)知b 2＝2a 2，故c 2＝(2＋3)a 2.可得cos 2B ＝12，又cos B ＞0，故cos B ＝22，所以B ＝45°.。