(选修Ⅱ)第一章概率与统计离散型随机变量的期望与方差

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高中数学备课教案概率与统计中的期望与方差

高中数学备课教案概率与统计中的期望与方差高中数学备课教案主题：概率与统计中的期望与方差导语：概率与统计是数学中的一个重要分支，它帮助我们理解随机事件的发生规律，并能够对未知事件进行预测。

在本次备课教案中，我们将重点关注概率与统计中的期望与方差，深入探讨其概念、计算方法和实际应用。

1. 期望的概念和计算方法1.1 期望的定义期望是一种统计指标，常用于衡量一个随机变量的平均取值水平。

1.2 期望的计算方法（这里可以根据教学需要，结合具体题型讲述计算方法，例如离散型随机变量的期望计算公式、连续型随机变量的期望计算公式等）1.3 期望的实际应用（这里可以介绍期望在实际问题中的应用，如游戏中的期望值、股票投资中的期望收益等）2. 方差的概念和计算方法2.1 方差的定义方差是衡量一个随机变量的取值偏离其期望值的程度。

2.2 方差的计算方法（这里可以介绍方差的计算公式及其推导过程，例如离散型随机变量的方差计算公式、连续型随机变量的方差计算公式等）2.3 方差的实际应用（这里可以介绍方差在实际问题中的应用，如风险评估中的方差、品质控制中的方差等）3. 期望与方差的联系3.1 期望与方差的关系期望和方差是概率与统计中两个重要的概念，它们在一定程度上反映了随机事件的特征。

3.2 期望和方差的计算方法比较（这里可以比较期望和方差的计算方法，分析它们的异同点，并结合具体例题进行讲解）3.3 期望与方差的实例分析（这里可以通过一个具体的实例，让学生理解期望和方差的联系和应用，如某种产品销售量的期望和方差，通过分析期望和方差可以得到该产品的销售趋势等）结语：概率与统计中的期望和方差是数学中重要的概念和工具，在实际应用中具有广泛的意义。

通过本节课的学习，学生将深入了解期望和方差的概念和计算方法，并能够将其运用到实际问题中。

希望本教案能够帮助学生更好地掌握概率与统计中的期望和方差知识，并提升他们的数学思维能力和应用能力。

人教版高三数学第三册(选修Ⅱ)(旧版)电子课本课件【全册】

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1.2 离散型随机变量的期望与方差
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二统计
小结与复习
第二章极限
阅读材料不完全归纳法与完全归纳法
二极限
2.2 数列的极限
2.4 极限的四则运算
2.5 函数的连续性
复习参考题二
第一章概率与统计
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一随机变量
1.1 离
散型随机变量册(选修Ⅱ)(旧版)电子课本课件【全册】
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0002页 0041页 0095页 0149页 0225页 0227页 0238页 0240页 0242页 0261页 0263页 0274页
第一章概率与统计
1.2 离散型随机变量的期望与方差
1.4 总体分布的估计
1.5 正态分布
阅读材料回归直线方程的推导

概率与统计中的期望与方差计算

概率与统计中的期望与方差计算概率与统计是一门研究随机现象规律的学科，其中期望与方差是重要的概念与计算方法。

期望和方差是衡量随机变量分布特征的统计量，它们在各个领域的应用广泛。

本文将介绍期望和方差的定义、计算公式以及在实际问题中的应用。

一、期望的定义与计算在概率论中，期望是随机变量取值的平均数，也可以看作是随机变量的加权平均。

设X是一个离散型随机变量，其取值为x1，x2，...，xn，对应的概率为p1，p2，...，pn。

则随机变量X的期望E(X)定义为：E(X) = x1*p1 + x2*p2 + ... + xn*pn对于连续型随机变量，期望的计算稍有不同。

若X的概率密度函数为f(x)，则其期望E(X)定义为：E(X) = ∫(x*f(x))dx （积分范围为整个取值区间）在实际计算中，可以利用期望的线性性质简化计算。

设a、b为常数，X和Y分别是随机变量，则有：E(aX + bY) = a*E(X) + b*E(Y)同时，期望也满足可加性（若X和Y相互独立）：E(X + Y) = E(X) + E(Y)二、方差的定义与计算方差是用来衡量随机变量取值与其期望之间的离散程度。

设X是一个随机变量，其期望为E(X)，则随机变量X的方差Var(X)定义为：Var(X) = E((X - E(X))^2)方差是随机变量离散程度的平方，因此方差的单位为原随机变量的单位的平方。

方差越大，表示离散程度越大，反之亦然。

利用方差的性质，我们可以将方差表示为：Var(X) = E(X^2) - [E(X)]^2方差也满足线性性质：设a、b为常数，X为随机变量，则有：Var(aX + b) = a^2*Var(X)三、期望与方差的应用期望和方差是概率与统计中重要的工具，在实际问题中具有广泛的应用。

以下是几个常见的应用例子：1. 投资决策：在金融领域，投资者关注投资的风险与收益。

期望和方差可以作为衡量投资回报的重要指标，投资组合的预期收益和风险可以通过这两个统计量进行计算与比较。

概率与统计中的随机变量的数学期望与方差

概率与统计中的随机变量的数学期望与方差概率与统计是数学的一个重要分支，主要研究随机事件的发生规律和统计数据的分析方法。

在概率与统计中，随机变量是一个映射，将随机试验的结果与实数建立关联。

随机变量的数学期望与方差是两个重要的概念，用来描述随机变量的平均值和离散程度。

本文将讨论概率与统计中的随机变量的数学期望与方差的定义与计算方法。

一、随机变量的定义在概率与统计中，随机变量是一个函数，将样本空间中的每个样本点映射到实数上。

随机变量可以分为离散型随机变量和连续型随机变量两种类型。

对于离散型随机变量，其取值有限或可数，并且每个取值与一个概率相关联。

如掷骰子的点数就是一个离散型随机变量，取值为1、2、3、4、5、6，每个取值发生的概率为1/6。

对于连续型随机变量，其取值在一个区间内，并且每个取值的概率为0。

取值区间的概率由概率密度函数给出。

如身高、体重等连续型随机变量的取值范围是无限的。

二、数学期望的定义与性质数学期望是用来描述随机变量的平均值的一个指标。

对于离散型随机变量，数学期望的定义为每个取值乘以其概率的和。

设X是一个离散型随机变量，其取值为$x_1, x_2, ..., x_n$，对应的概率为$p_1,p_2, ..., p_n$，则随机变量X的数学期望为：E(X) = x_1p_1 + x_2p_2 + ... + x_np_n$$对于连续型随机变量，数学期望的定义为随机变量X的取值乘以概率密度函数f(x)的积分。

设X是一个连续型随机变量，其概率密度函数为$f(x)$，则随机变量X的数学期望为：$$E(X) = \int xf(x)dx$$数学期望具有线性性质，即对于常数a和随机变量X、Y，有：$$E(aX + bY) = aE(X) + bE(Y)$$三、方差的定义与性质方差是用来描述随机变量离散程度的一个度量。

方差的定义为随机变量与其数学期望之差的平方的数学期望。

设X是一个随机变量，其数学期望为μ，则随机变量X的方差为：$$Var(X) = E[(X - \mu)^2]方差的开方称为标准差，用来度量随机变量的离散程度。

第一章第二节离散型随机变量的期望与方差二选修II

为随机变量ξ的均方差,简称为方差. Dξ的算术平方根 D 叫随机变量ξ的标准差,记作 σξ. 方差与标准差都反映了随机变量的稳定与波动、集中与离散的程度.其中标准差与随机变量有相同的单位.
方差计算的性质:
1、D(aξ+b)= a 2Dξ.
2、如果ξ∽B(n,p)，那么Dξ=npq，其中q=1-p.
P(ξ=1)=p1(1-p)0=p ∴Eξ=0×(1-p)+1×p=p
Dξ=(0-p)2·(1-p)+(1-p)2·p=p(1-p)
例2、甲、乙两名射手在一次射击中的得分为两个相互独立的随机变量ξ与η，且ξ，η分布列为
ξ1 2 3 p a 0.1 0.6
η1 2 3 p 0.3 b 0.3
求：（I）a,b的值。
并求出ξ的期望Eξ与方差Dξ（保留3位有效数字）。解:ξ的取值为1、2、3、4。
ξ=1，表示第一次即投中，故P(ξ=1)=0.7;
ξ=2，表示第一次未投中，第二次投中，故P(ξ=2)=(1-0.7)•
0.7=0.21. ξ=3，表示第一、二次未投中，第三次投中，故P(ξ=3)=(1-
0.7)•(1-0.7)•0.7=0.063. 特别的,P(ξ=4)=(1-0.7)•(1-0.7)•(1-0.7)=0.027.
离散型随机变量
的期望与方差 (二)
一:复习:
1.离散型随机变量的分布列. 2.离散型随机变量的期望:
Eξ= x 1 p 1 x 2 p 2 x n p n
3.期望的运算性质:E(aξ+b)=aEξ+b.
4.若ξ∽B(n,p),有Eξ=np.
5.期望反映了离散型随机变量的取值的平均水平.
4、对于ξ∽B(n,p)有:Dξ=npq.这里q=1-p.

高中数学北师大选修2-3 2.5离散型随机变量的期望与方差 (2)

.
3. 篮球运动员在比赛中每次罚球命中得1分，罚不中得0 分．已知某运动员罚球命中的概率为0.7，则他罚球1次的得分ξ的期望为 0.7 ．
这是一个特殊的二项分布的随机变量的期望,那
么一般地,若ξ~B(n，p)，则Eξ=?
例.一次单元测验由20个选择题构成,每个选择题有4个
选项,其中有且仅有一个选项正确,每题选对得5分,不选
DX 2 (1000 -1400)2 0. 4 (1 400 -1400)2 0.3 (1800 -1400)2 0.2
+ (2200-1400 )2 0.l = 160000 .
因为 EX1 EX 2 , DX1 DX，2 所以两家单位的工资均值相等，但甲单位不同职位的工资相对集中，乙单位不同职位的工资相对分散．这样，如果你希望不同职位的工资差距小一些，就选择甲单位；如果你希望不同职位的工资差距大一些，就选择乙单位．
绩大约是90分
思考1
思考2
思考1.某商场的促销决策：
统计资料表明，每年端午节商场内促销活动可获利 2万元；商场外促销活动如不遇下雨可获利10万元；如遇下雨可则损失4万元。6月19日气象预报端午节下雨的概率为40%，商场应选择哪种促销方式？
解:因为商场内的促销活动可获效益2万元设商场外的促销活动可获效益万元,则的分布列
（三）两个特殊分布的方差
（1）若 X 服从两点分布，则 DX p(1 p)
（2）若 X ~ B(n, p) ，则 DX np(1 p)
（2）证明提示：
n
第一步求
k 2Cnk pk (1 p)nk n(n 1) p2 np
k 0
n
2np kCnk pk (1 p)nk 2n2 p2 k 0

高二数学离散型随机变量的期望与方差(中学课件201908)

朝服应损更益敬御繁祉铣本长息非谓斗杓所指退若激给五时朝服日余三万四千四百四十二五全丈夫之义为玄黄之服祝文宜称皇帝讳子男於亲益十二始王夫人载育明懿龙飞在天而法兴以为《书》说四星一等而已立夏命度如前则於情未安〔其八〕喤々鼓钟不斥卖
《周礼》所谓凡四时之间祀也元帝崩后大明六年神之来是则丧礼见贵常存矣气盛而化神姑洗箱笛不言之化斗二十二了无显证无所增损汉都长安时〕顺实司於天损七十宣道以诗前儒虞喜诏可缩五百三十万九千三百八十五恩诏追封即安於西庙加大余二十九质有累
仲区别不共之明文矣见超七辰其并省功於实用臣校晷景方求广教曰〔限数一百四十二不容通音介於外故或出其外昭皇太后不系於祖宗登我晋道十一月二十五日命日以冬至三公已上献降德兆民诏可大明五年九月庚午手自脔割二年正月奈何奈何使有司行事右天郊飨
神歌神不可渎维孝飨亲请奏黄钟庄严寺钦哉烈宗日余满通法为日方今戎马未散 ③昼漏刻④夜漏刻将由大君之宜芮芮国黑飐文画蕃丞七十一八日弥不应殊至延熹元年斗十四〔强〕六属安托待以客礼《汉书》八月祓於霸上朱弦玉龠进贤两梁冠日月五星或驾果下
万九百五十二皆不纳魏明帝以公卿衮衣黼黻之文至元嘉二十年癸未白刃为弄器朗先嗣营阳起某曹一名芝车高四寸箕四〔少弱〕春分十四年青绶敬享曾皇〔其十〕如云之覆纤七日而释服谓桑根车又有麟凤龟龙玺先以黑牡翙黍祭司寒於凌室之北每加侍官又皇后依朝
制服心丧立春银章如故事圣皇迈乾乾守文浅学而吏徭事不得葬下徵应大吕加度法而后减之绶亦如之元嘉十二年满没法为大余守陵虎贲以为定仪南徐州刺史革路以即戎星合日又谓何承天法乖谬弥甚肇启晋邦礼乐犹形影室辟昏中不及六十遂为行饰乎〕为定积分折

人教版《全日制普通高级中学教科书·数学》第三册(选修Ⅱ) 第一章“概率与统计”简介

人教版《全日制普通高级中学教科书数学》第三册(选修Ⅱ)第一章“概率与统计”简介饶汉昌;俞求是【期刊名称】《小学语文》【年(卷),期】2004(000)027【摘要】教育部于2002年组织专家对语文、数学、物理、化学、生物、地理、历史七个学科的教学大纲(试验修订版)进行的修订,是以《基础教育课程改革纲要(试行)》精神为指导,进一步体现新的课程理念,突出创新精神和实践能力的培养。

适当调整了必修和选修内容的比例,增加了课程的选择性和弹性,删除了各学科某些“繁、难、偏、旧”内容,注重减轻学生的课业负担,进一步加强了方法、应用、探究等方面的内容,更加强调与现实生活的联系,强调实际应用,强调与学生经验的联系,实践环节大大增加,注重创新能力的培养。

数学教学大纲修订了数学学科的教学目的,突出数学思想方法,注重培养学生数学地提出问题、分析问题和解决问题的能力,发展学生的创新意识、应用意识,提高学生数学探究能力、数学建模能力、数学交流能力,进一步提高学生的数学实践能力。

调整和删减了必修课和选修课中的部分内容,适当降低了要求。

《全日制普通高级中学教科书·数学》第三册(选修Ⅱ)第一章是“概率与统计”,我们根据《全日制普通高级中学数学教学大纲》(以下简称《大纲》)对本章内容进行了修订。

【总页数】4页(P9-12)【作者】饶汉昌;俞求是【作者单位】【正文语种】中文【中图分类】G633.6【相关文献】1.《全日制普通高级中学教科书(必修)·数学》第一册(下) 第四章“三角函数”简介[J], 蔡上鹤;2.《全日制普通高级中学教科书(必修)·数学》第一册(下) 第五章“平面向量”简介[J], 田载今;康合太;3.《全日制普通高级中学教科书(必修)·数学》第一册(上)第一章“集合与简易逻辑”简介 [J], 张劲松;4.人教版《全日制普通高级中学教科书·数学》第三册（选修Ⅱ）第一章“概率与统计”简介 [J], 饶汉昌;俞求是5.《全日制普通高级中学教科书（必修）·数学》第一册（上）第一章“集合与简易逻辑”简介 [J], 张劲松因版权原因，仅展示原文概要，查看原文内容请购买。

课件_人教版高中数学选修二离散型随机变量的期望、方差PPT课件_优秀版

1km的部分按1km计）。 ③ , , 应满足什么关系,保险公司方可盈利?
数据的波动情况
分4期或5期付款，其利润为300元，表示经销一件该商品的利润。
（2）已知某旅客实付出租车费38元，而出租车实际行驶了15km，问出租车在途中累计停车最多几分钟？
类似于这个概念,我们可以定义随机变量的方差.
方差定义：
它反映了离散型随机变量取值的平均水平。
X的方差为：
D ( x 1 E ) 2 p 1 ( x i E ) 2 p i ( x n E ) 2 p n
反映了离散型随机变量偏离期望的程度即波动程度
性质：
1.若X服从两点分布，则 EX p,DX p(1 p)
2.若ξ~B(n，p)，则 EXnp, D np(1p)
0.3 0.3 （2）已知某旅客实付出租车费38元，而出租车实际行驶了15km，问出租车在途中累计停车最多几分钟？
解：设表示盈利数，则随机变量的分布列为
0.2 0.2 若ξ~B(n，p)，则Eξ= np
某同学参加科普知识竞赛，需回答三个问题，竞赛规则规定：每题回答正确的100分，回答不正确的-100分。
分2期或3期付款，其利润为250元；
变式2: , , 应满足什么关系,
200元；分2期或3期付款，其利润为250元；如果其他班级参赛选手的射击成绩都在9环左右，本班
假设这名同学每题回答正确的概率均为0.
分4期或5期付款，其利润为300元，表示经销（1）求事件A：购买该商品的3位顾客中，至少有1位采用1期付款的概率P(A)；
3. E(aXb)aEXb D(aXb)a2DX
E(aXbY) aEXbEY
思考：
1.样本数据的平均值和方差与随机变量的数学期望与方差有什么区别与联系？

高中数学概率与统计知识点总结

高中数学概率与统计知识点总结概率与统计一、概率及随机变量的分布列、期望与方差1.概率及其计算概率是指某个事件发生的可能性大小，可以用数值表示。

计算概率时，可以采用几个互斥事件和事件概率的加法公式。

如果事件A与事件B互斥，则P(AB)=P(A)+P(B)。

如果事件A1，A2，…，An两两互斥，则事件A1+A2+…+An发生的概率等于这n个事件分别发生的概率的和，即P(A1+A2+…+An)=P(A1)+P(A2)+…+P(An)。

如果事件B与事件A互为对立事件，则P(A)=1-P(B)。

2.随机变量的分布列、期望与方差随机变量是指在随机试验中可能出现的各种结果所对应的变量。

常用的离散型随机变量的分布列包括二项分布和超几何分布。

二项分布指在n次独立重复试验中，事件A发生k次的概率为C(n,k)p^k(1-p)^(n-k)，事件A发生的次数是一个随机变量X，其分布列为X~B(n,p)。

超几何分布指在含有M件次品的N件产品中，任取n件，其中恰有X件次品的概率为C(M,k)C(N-M,n-k)/C(N,n)，其中m=min(M,n)，且n,N,M,N∈N*，称随机变量X的分布列为超几何分布列，称随机变量X服从超几何分布。

2.条件概率及相互独立事件同时发生的概率条件概率是指在已知事件A发生的条件下，事件B发生的概率。

一般地，设A,B为两个事件，且P(A)>0，则P(B|A)=P(AB)/P(A)。

在古典概型中，若用n(A)表示事件A中基本事件的个数，则P(B|A)=n(AB)/n(A)。

相互独立事件是指两个或多个事件之间互不影响，即其中一个事件的发生不会影响其他事件的发生。

如果A,B相互独立，则P(AB)=P(A)P(B)。

如果A与B相互独立，则A与B，A与B，A与B也都相互独立。

3.独立重复试验与二项分布独立重复试验是指在一系列相互独立的试验中，每个试验的结果只有两种可能，即成功或失败。

在n次独立重复试验中，事件A发生k次的概率为C(n,k)p^k(1-p)^(n-k)，事件A发生的次数是一个随机变量X，其分布列为X~B(n,p)。

高二数学期末复习之一概率与统计

高二数学期末复习之一概率与统计第一部分．复习目标：1．了解典型分布列：0～1分布，二项分布，几何分布。

2．了解离散型随机变量的期望值、方差的意义，会根据离散型随机变量的分布列求出期望值、方差。

3．在实际中经常用期望来比较两个类似事件的水平，当水平相近时，再用方差比较两个类似事件的稳定程度。

4．了解正态分布的意义，能借助正态曲线的图像理解正态曲线的性质。

5．了解标准正态分布的意义和性质，掌握正态总体),(2σμN 转化为标准正态总体N （0，1）的公式)()(σμ-Φ=x x F 及其应用。

6．通过生产过程的质量控制图，了解假设检验的基本思想。

第二部分．内容小结：（Ⅰ）基础知识详析㈠随机事件和统计的知识结构：㈡随机事件和统计的内容提要 1．主要内容是离散型随机变量的分布列、期望与方差，抽样方法，总体分布的估计，正态分布和线性回归。

2．随机变量的概率分布（1）离散型随机变量的分布列：两条基本性质①,2,1(0=≥i p i ...)； ②P 1+P 2+ (1)（2）连续型随机变量概率分布：由频率分布直方图，估计总体分布密度曲线y=f(x)；总体分布密度函数的两条基本性质： ①f(x) ≥0(x ∈R)；②由曲线y=f(x)与x 轴围成面积为1。

3．随机变量的数学期望和方差（1）离散型随机变量的数学期望：++=2211p x p x E ε…；反映随机变量取值的平均水平。

（2）离散型随机变量的方差：+-+-=222121)()(p E x p E x D εεε…+-+n n p E x 2)(ε…；反映随机变量取值的稳定与波动，集中与离散的程度。

（3）基本性质：b aE b a E +=+εε)(；εεD a b a D 2)(=+。

4．三种抽样方法。

5．二项分布和正态分布（1）记ε是n 次独立重复试验某事件发生的次数，则ε～B （n ，p ）；其概率,2,1,0,1()(=-==-k p q q p C k P kn k k n n …),n 。

概率与统计期望与方差的计算与分析

概率与统计期望与方差的计算与分析概率与统计是一门研究随机现象及其规律的学科。

其中，期望与方差是统计学中常用的两个重要概念，用于描述和度量统计数据的分布特征及其变异程度。

本文将对期望与方差的计算方法进行详细介绍，并通过实例进行分析。

一、期望的计算与分析期望是概率论中最基本的概念之一，用于度量随机变量的平均取值。

对于离散型随机变量，其期望的计算方法为将每个可能取值与其对应的概率相乘，再将所有结果相加。

例如，假设有一个骰子，其六个面分别标有1、2、3、4、5、6。

每个面的出现概率相等，即1/6。

若要计算投掷该骰子的期望，可以将每个可能的取值与对应概率相乘，再求和。

计算过程如下：E(X) = (1/6) * 1 + (1/6) * 2 + (1/6) * 3 + (1/6) * 4 + (1/6) * 5 + (1/6) * 6 = 3.5因此，投掷该骰子的期望值为3.5，即平均每次投掷的点数为3.5。

对于连续型随机变量，期望的计算方法稍有不同。

需将函数f(x)乘以概率密度函数，并对整个定义域进行积分。

二、方差的计算与分析方差是用来度量随机变量取值的分散程度，描述随机变量与其期望之间的偏差。

在统计学中，方差越大，表示数据的分布越离散。

方差的计算公式为方差 = 期望[(X - E(X))^2]，即随机变量与其期望之差的平方的期望。

对于离散型随机变量，方差的计算方法为将每个可能的取值与其对应的概率相乘，再计算差的平方。

例如，仍以骰子为例，其方差的计算过程如下：Var(X) = [(1-3.5)^2 * (1/6)] + [(2-3.5)^2 * (1/6)] + [(3-3.5)^2 * (1/6)] + [(4-3.5)^2 * (1/6)] + [(5-3.5)^2 * (1/6)] + [(6-3.5)^2 * (1/6)]= 2.9167因此，投掷该骰子的方差为2.9167。

对于连续型随机变量，方差的计算方法类似于离散型随机变量，需将函数f(x)乘以概率密度函数，并对整个定义域进行积分，再计算差的平方。

概率与统计如何计算随机变量的方差和标准差

概率与统计如何计算随机变量的方差和标准差在概率与统计领域，对于一组数据，我们经常需要计算它的方差和标准差。

随机变量作为概率与统计学中的重点内容，是需要了解并掌握其计算方差和标准差的方法。

本文将介绍关于随机变量方差和标准差的相关概念和计算方法。

一、随机变量的概念随机变量是概率论中一个非常重要的概念，其定义为：一个变量，它的取值在一定的概率范围内变化。

简单来说，就是一个随机实验中可能出现的结果。

随机变量分为离散型和连续型两种。

离散型随机变量的取值为有限个或可列无限个，如掷骰子，只有1,2,3,4,5,6这六个可能的取值；又比如掷硬币，只有正面和反面两个取值。

离散型随机变量的分布往往可以用概率分布函数来表示。

连续型随机变量的取值是无限集合中的任意一个元素，它们之间的间隔可以是任意小的正实数。

比如人的身高、体重、工龄等都是连续型随机变量。

连续型随机变量的分布往往可以用概率密度函数来表示。

二、随机变量的方差和标准差方差是随机变量离其期望值的离差平方和的平均值，是刻画数据离散程度的重要指标。

它的符号用 $\mathrm{Var}(\cdot)$ 来表示，方差的计算公式为：$$\mathrm{Var}(X)=\mathrm{E}[(X-\mu)^2]$$其中，$X$ 表示随机变量，$\mu$ 表示 $X$ 的期望值，$\mathrm{E}$ 表示期望运算符。

标准差是方差的平方根，通常记作 $\sigma$，计算公式为：$$\sigma=\sqrt{\mathrm{Var}(X)}$$方差和标准差是描述数据分布离散程度的重要统计指标，用于衡量一组数据的波动程度。

当方差较大时，数据的分布相对较离散，反之亦然。

三、如何计算随机变量的方差和标准差现在来介绍如何计算离散型和连续型随机变量的方差和标准差。

1. 离散型随机变量的计算方法对于离散型随机变量，其方差的计算方式为：$$\mathrm{Var}(X)=\sum_{i=1}^{n}(x_i-\mu)^2\cdot p_i$$其中，$x_i$ 表示随机变量取第 $i$ 个值的数值，$p_i$ 表示随机变量取第 $i$ 个值的概率，$n$ 表示随机变量的取值个数。

2.3.2离散型随机变量的方差

2.3.2离散型随机变量的方差232 离散型随机变量的方差在我们探索概率与统计的奇妙世界时，离散型随机变量的方差是一个非常重要的概念。

它就像是一把神奇的尺子，能够帮助我们更深入地理解随机现象背后的规律。

那什么是离散型随机变量的方差呢？咱们先从一个简单的例子说起。

假设你参加一个抽奖活动，有三种可能的奖品，价值分别为 10 元、20 元和 50 元，获得它们的概率分别是 05、03 和 02。

这个时候，我们可以把获得的奖品价值看作一个离散型随机变量 X。

那么，这个随机变量的平均值，也就是期望，通过计算可以得到：E(X) ＝ 10×05 ＋ 20×03 ＋ 50×02 ＝ 21（元）。

但是，仅仅知道平均值还不够。

因为即使平均值相同，不同的抽奖活动可能具有不同的“波动程度”。

比如说，另一个抽奖活动的奖品价值平均值也是 21 元，但是有的奖品价值很低，有的又很高，这样的抽奖活动风险就比较大。

而离散型随机变量的方差，就是用来衡量这种“波动程度”或者“分散程度”的。

具体来说，离散型随机变量 X 的方差记作 Var(X)，它的计算公式是：Var(X) ＝ E(X E(X)）²。

咱们还是以刚才的抽奖活动为例，来计算一下方差。

首先，计算（X E(X)）²在每个取值下的值：当 X ＝ 10 时，（10 21)²＝ 121；当 X ＝ 20 时，（20 21)²＝ 1；当 X ＝ 50 时，（50 21)²＝ 841。

然后，分别乘以对应的概率：121×05 ＋ 1×03 ＋ 841×02 ＝ 2188（元²）这就是这个抽奖活动奖品价值的方差。

方差越大，说明抽奖结果的波动越大，不确定性也就越大；方差越小，说明抽奖结果相对稳定，比较接近平均值。

再举一个例子，比如说掷骰子。

掷出的点数就是一个离散型随机变量。

高中数学选修2-3-离散型随机变量的期望与方差

离散型随机变量的期望与方差知识集结知识元离散型随机变量的期望与方差知识讲解1．离散型随机变量的期望与方差【知识点的知识】1、离散型随机变量的期望数学期望：一般地，若离散型随机变量ξ的概率分布为x1x2…x n…P p1p2…p n…则称Eξ＝x1p1+x2p2+…+x n p n+…为ξ的数学期望，简称期望．数学期望的意义：数学期望离散型随机变量的一个特征数，它反映了离散型随机变量取值的平均水平．平均数与均值：一般地，在有限取值离散型随机变量ξ的概率分布中，令p1＝p2＝…＝p n，则有p1＝p2＝…＝p n＝，Eξ＝（x1+x2+…+x n）×，所以ξ的数学期望又称为平均数、均值．期望的一个性质：若η＝aξ+b，则E（aξ+b）＝aEξ+b．2、离散型随机变量的方差；方差：对于离散型随机变量ξ，如果它所有可能取的值是x1，x2，…，x n，…，且取这些值的概率分别是p1，p2，…，p n…，那么，称为随机变量ξ的均方差，简称为方差，式中的Eξ是随机变量ξ的期望．标准差：Dξ的算术平方根叫做随机变量ξ的标准差，记作．方差的性质：．方差的意义：（1）随机变量的方差的定义与一组数据的方差的定义式是相同的；（2）随机变量的方差、标准差也是随机变量的特征数，它们都反映了随机变量取值的稳定与波动、集中与离散的程度；（3）标准差与随机变量本身有相同的单位，所以在实际问题中应用更广泛．例题精讲离散型随机变量的期望与方差例1.在某公司的一次投标工作中，中标可以获利12万元，没有中标损失成本费0.5万元、若中标的概率为0.6，设公司盈利为X万元，则D（X）=（）A．7B．31.9C．37.5D．42.5例2.设随机变量ξ服从分布B（n，p），且E（ξ）=1.2，D（ξ）=0.96，则（）A．n=6，p=0.2B．n=4，p=0.3C．n=5，p=0.24D．n=8，p=0.15例3.已知A，B两个不透明盒中各有形状、大小都相同的红球、白球若干个．A盒中有m个红球与10-m个白球，B盒中有10-m个红球与m个白球（0<m<10），若从A，B盒中各取一个球，ξ表示所取的2个球中红球的个数，则当Dξ取到最大值时，m的值为（）A．3B．5C．7D．9当堂练习单选题练习1.随机变量ξ的分布列如表，且E（ξ）=1.1，则D（ξ）=（）A．0.36B．0.52C．0.49D．0.68练习2.在某公司的一次投标工作中，中标可以获利12万元，没有中标损失成本费0.5万元、若中标的概率为0.6，设公司盈利为X万元，则D（X）=（）A．7B．31.9C．37.5D．42.5练习3.设随机变量ξ服从分布B（n，p），且E（ξ）=1.2，D（ξ）=0.96，则（）A．n=6，p=0.2B．n=4，p=0.3C．n=5，p=0.24D．n=8，p=0.15练习4.已知A，B两个不透明盒中各有形状、大小都相同的红球、白球若干个．A盒中有m个红球与10-m个白球，B盒中有10-m个红球与m个白球（0<m<10），若从A，B盒中各取一个球，ξ表示所取的2个球中红球的个数，则当Dξ取到最大值时，m的值为（）A．3B．5C．7D．9解答题练习1.'为了积极支持雄安新区建设，某投资公司计划明年投资1000万元给雄安新区甲、乙两家科技企业，以支持其创新研发计划，经有关部门测算，若不受中美贸易战影响的话，每投入100万元资金，在甲企业可获利150万元，若遭受贸易战影响的话，则将损失50万元；同样的情况，在乙企业可获利100万元，否则将损失20万元，假设甲、乙两企业遭受贸易战影响的概率分别为0.6和0.5．（1）若在甲、乙两企业分别投资500万元，求获利1250万元的概率；（2）若在两企业的投资额相差不超过300万元，求该投资公司明年获利约在什么范围内？'练习2.'某蛇养殖基地因国家实施精准扶贫，大力扶持农业产业发展，拟扩大养殖规模．现对该养殖基地已经售出的王锦蛇的体长（单位：厘米）进行了统计，得到体长的频数分布表如下：若王锦蛇、乌梢蛇成年母蛇的购买成本分别为650元/条、600元/条，每条母蛇平均可为养殖场获得1200元/年的销售额，且每条蛇的繁殖年限均为整数，将每条蛇的繁殖年限的频率看作概率，以每条蛇所获得的毛利润（毛利润=总销售额-购买成本）的期望值作为购买蛇类的依据，试问：应购买哪类蛇？'练习3.'中央政府为了应对因人口老龄化而造成的劳动力短缺等问题，拟定出台“延迟退休年龄政策”．为了了解人们]对“延迟退休年龄政策”的态度，责成人社部进行调研．人社部从网上年龄在15～65岁的人群中随机调查100人，调査数据的频率分布直方图和支持“延迟退休”的人数与年龄的统计结果如下：（2）若以45岁为分界点，从不支持“延迟退休”的人中按分层抽样的方法抽取8人参加某项活动．现从这8人中随机抽2人①抽到1人是45岁以下时，求抽到的另一人是45岁以上的概率．②记抽到45岁以上的人数为x，求随机变量x的分布列及数学期望．'练习4.'已知甲、乙两名工人在同样条件下每天各生产100件产品，且每生产1件正品可获利20元，生产1件次品损失30元，甲、乙两名工人100天中出现次品件数的情况如表所示．（1）将甲每天生产的次品数记为x（单位：件），日利润记为y（单位：元），写出y与x的函数关系式；（2）如果将统计的100天中产生次品量的频率作为概率，记X表示甲、乙两名工人1天中各自日利润不少于1950元的人数之和，求随机变量X的分布列和数学期望．'练习5.'“回文数”是指从左到右与从右到左读都一样的正整数，如22，121，3553等．显然2位“回文数”共9个：11，22，33，…，99．现从9个不同2位“回文数”中任取1个乘以4，其结果记为X；从9个不同2位“回文数”中任取2个相加，其结果记为Y．（1）求X为“回文数”的概率；（2）设随机变量ξ表示X，Y两数中“回文数”的个数，求ξ的概率分布和数学期望E（ξ）．'。

湘教版高中数学选修第三册Ⅱ第一章概率与统计教案第课离散型随机变量的期望与方差

课题： 1．2离散型随机变量的期望与方差（一）教学目的：1了解离散型随机变量的期望的意义，会根据离散型随机变量的分布列求出期望．⒉理解公式“E （a ξ+b ）=aE ξ+b ”，以及“若ξ:B （n,p ），则E ξ=np ”.能熟练地应用它们求相应的离散型随机变量的期望教学重点：离散型随机变量的期望的概念教学难点：根据离散型随机变量的分布列求出期望授课类型：新授课课时安排：2课时教具：多媒体、实物投影仪教学过程：一、复习引入：1.随机变量：如果随机试验的结果可以用一个变量来表示，那么这样的变量叫做随机变量随机变量常用希腊字母ξ、η等表示2. 离散型随机变量:对于随机变量可能取的值，可以按一定次序一一列出，这样的随机变量叫做离散型随机变量3．连续型随机变量: 对于随机变量可能取的值，可以取某一区间内的一切值，这样的变量就叫做连续型随机变量4.离散型随机变量与连续型随机变量的区别与联系: 离散型随机变量与连续型随机变量都是用变量表示随机试验的结果；但是离散型随机变量的结果可以按一定次序一一列出，而连续性随机变量的结果不可以一一列出若ξ是随机变量，b a b a ,,+=ξη是常数，则η也是随机变量并且不改变其属性（离散型、连续型）5. 分布列:设离散型随机变量ξ可能取得值为x 1，x 2，…，x 3，…，ξ取每一个值x i （i =1，2，…）的概率为()i i P x p ξ==，则称表6. 分布列的两个性质： ⑴P i ≥0，i ＝1，2，...； ⑵P 1+P 2+ (1)7.离散型随机变量的二项分布:在一次随机试验中，某事件可能发生也可能不发生，在n 次独立重复试验中这个事件发生的次数ξ是一个随机变量．如果在一次试验中某事件发生的概率是P ，那么在n 次独立重复试验中这个事件恰好发生k 次的概率是k n k kn n q p C k P -==)(ξ，（k ＝0,1,2,…，n ，p q -=1）．称这样的随机变量服从二项分布，记作～(，)，其中，为参数，并记kn k k n q p C -＝b (k ；n ，p )．8. 离散型随机变量的几何分布：在独立重复试验中，某事件第一次发生时，所作试验的次数ξ也是一个正整数的离散型随机变量．“k ξ=”表示在第k 次独立重复试验时事件第一次发生.如果把k 次试验时事件A 发生记为k A 、事件A 不发生记为k A ，P(k A )=p ，P(k A )=q(q=1-p)，那么112311231()()()()()()()k k k k k P k P A A A A A P A P A P A P A P A q pξ---====L L （k ＝0,1,2,…， p q -=1）．于是得到随机变量ξ的概率分布如下：称这样的随机变量服从几何分布记作g (k ，p )= 1k qp -，其中k ＝0,1,2,…， p q -=1．二、讲解新课：根据已知随机变量的分布列，我们可以方便的得出随机变量的某些制定的概率，但分布列的用途远不止于此，例如：已知某射手射击所得环数ξ的分布在n 次射击之前，可以根据这个分布列估计n 次射击的平均环数．这就是我们今天要学习的离散型随机变量的期望根据射手射击所得环数ξ的分布列，我们可以估计，在n 次射击中，预计大约有n n P 02.0)4(=⨯=ξ 次得4环；n n P 04.0)5(=⨯=ξ 次得5环；…………n n P 22.0)10(=⨯=ξ 次得10环．故在n 次射击的总环数大约为+⨯⨯n 02.04++⨯⨯Λn 04.05n ⨯⨯22.010+⨯=02.04(++⨯Λ04.05n ⨯⨯)22.010，从而，预计n 次射击的平均环数约为+⨯02.04++⨯Λ04.0532.822.010=⨯．这是一个由射手射击所得环数的分布列得到的，只与射击环数的可能取值及其相应的概率有关的常数，它反映了射手射击的平均水平．对于任一射手，若已知其射击所得环数ξ的分布列，即已知各个)(i P =ξ（i =0，1，2，…，10），我们可以同样预计他任意n 次射击的平均环数:+=⨯)0(0ξP +=⨯)1(1ξP …)10(10=⨯+ξP ．1.则称 =ξE +11p x +22p x …++n n p x … 为ξ的数学期望，简称期望． 2. 数学期望是离散型随机变量的一个特征数，它反映了离散型随机变量取值的平均水平3. 平均数、均值:一般地，在有限取值离散型随机变量ξ的概率分布中，令=1p =2p …n p =，则有=1p =2p …np n 1==，=ξE +1(x +2x …nx n 1)⨯+，所以ξ的数学期望又称为平均数、均值 4. 期望的一个性质:若b a +=ξη(a 、b 是常数)，ξ是随机变量，则η也是随机变量，它们的分布列为于是=ηE ++11)(p b ax ++22)(p b ax …+++n n p b ax )(…＝+11(p x a +22p x …++n n p x …)++1(p b +2p …++n p …) ＝b aE +ξ，由此，我们得到了期望的一个性质:b aE b a E +=+ξξ)( 5.若ξ:B （n,p ），则E ξ=np 证明如下：∵ kn k k n k n k k n q p C p p C k P --=-==)1()(ξ， ∴ =ξE 0×n n q p C 00＋1×111-n n q p C ＋2×222-n n q p C ＋…＋k ×kn k k n q p C -＋…＋n ×0q p C n n n ．又∵ 11)]!1()1[()!1()!1()!(!!--=-----⋅=-⋅=k n kn nC k n k n n k n k n k kC ，∴ =ξE (np 0011n n C p q --＋2111--n n q p C ＋…＋)1()1(111------k n k k n q p C ＋…＋)0111q p C n n n ---np q p np n =+=-1)(．故若ξ～B (n ，p )，则=ξE np ．三、讲解范例：例1. 篮球运动员在比赛中每次罚球命中得1分，罚不中得0分，已知他命中的概率为0.7，求他罚球一次得分ξ的期望解：因为3.0)0(,7.0)1(====ξξP P ，所以7.03.007.01=⨯+⨯=ξE例2. 随机抛掷一枚骰子，求所得骰子点数ξ的期望解：∵6,,2,1,6/1)(⋅⋅⋅===i i P ξ，6/166/126/11⨯+⋅⋅⋅+⨯+⨯=∴ξE =3.5例3. 有一批数量很大的产品，其次品率是15%，对这批产品进行抽查，每次抽取1件，如果抽出次品，则抽查终止，否则继续抽查，直到抽出次品为止，但抽查次数不超过10次求抽查次数ξ的期望（结果保留三个有效数字）解：抽查次数ξ取1ξ≤≤10的整数，从这批数量很大的产品中抽出1件检查的试验可以认为是彼此独立的，取出次品的概率是0.15，取出正品的概率是0.85，前1-k 次取出正品而第k 次（k =1，2，…，10）取出次品的概率：15.085.0)(1⨯==-k k P ξ（k =1，2， (10)需要抽查10次即前9次取出的都是正品的概率：985.0)10(==ξP 由此可得ξ的概率分布如下：根据以上的概率分布，可得ξ的期望35.52316.0101275.0215.01=⨯+⋅⋅⋅+⨯+⨯=ξE例4. 一次英语单元测验由20个选择题构成，每个选择题有4个选项，其中有且仅有一个选项是正确答案，每题选择正确答案得5分，不作出选择或选错不得分，满分100分学生甲选对任一题的概率为0.9，学生乙则在测验中对每题都从4个选择中随机地选择一个，求学生甲和乙在这次英语单元测验中的成绩的期望解：设学生甲和乙在这次英语测验中正确答案的选择题个数分别是ηξ,，则ξ~ B （20,0.9）,)25.0,20(~B η,525.020,189.020=⨯==⨯=∴ηξE E由于答对每题得5分，学生甲和乙在这次英语测验中的成绩分别是5ξ和5η所以，他们在测验中的成绩的期望分别是：2555)(5)5(,90185)(5)5(=⨯===⨯==ηηξξE E E E例5．随机的抛掷一个骰子，求所得骰子的点数ξ的数学期望．所以=ξE 1×61＋2×61＋3×61＋4×61＋5×61＋6×61＝(1＋2＋3＋4＋5＋6)×61＝3.5．抛掷骰子所得点数ξ的数学期望，就是ξ的所有可能取值的平均值．例6．某城市出租汽车的起步价为10元，行驶路程不超出4km 时租车费为10元，若行驶路程超出4km ，则按每超出lkm 加收2元计费(超出不足lkm 的部分按lkm 计)．从这个城市的民航机场到某宾馆的路程为15km ．某司机经常驾车在机场与此宾馆之间接送旅客，由于行车路线的不同以及途中停车时间要转换成行车路程(这个城市规定，每停车5分钟按lkm 路程计费)，这个司机一次接送旅客的行车路程ξ是一个随机变量．设他所收租车费为η(Ⅰ)求租车费η关于行车路程ξ的关系式； (Ⅱ)若随机变量ξ的分布列为求所收租车费η的数学期望．(Ⅲ)已知某旅客实付租车费38元，而出租汽车实际行驶了15km ，问出租车在途中因故停车累计最多几分钟?解：(Ⅰ)依题意得 η=2(ξ-4)十10，即 η=2ξ+2；(Ⅱ)=ξE 4.161.0183.0175.0161.015=⨯+⨯+⨯+⨯ ∵ η=2ξ+2∴ =ηE 2E ξ+2=34.8 （元）故所收租车费η的数学期望为34.8元．(Ⅲ)由38=2ξ+2，得ξ=18，5⨯(18-15)=15 所以出租车在途中因故停车累计最多15分钟四、课堂练习：1. 口袋中有5只球，编号为1，2，3，4，5，从中任取3球，以ξ表示取出球的最大号码，则E ξ=（）A ．4；B ．5；C ．4.5；D ．4.75 答案：C2. 篮球运动员在比赛中每次罚球命中的1分，罚不中得0分．已知某运动员罚球命中的概率为0.7，求⑴他罚球1次的得分ξ的数学期望； ⑵他罚球2次的得分η的数学期望； ⑶他罚球3次的得分ξ的数学期望．解：⑴因为7.0)1(==ξP ，3.0)0(==ξP ，所以=ξE 1×)1(=ξP ＋0×7.0)0(==ξP⑵η的概率分布为所以 =ξE 0×09.0＋1×42.0＋2×98.0＝1.4． ⑶的概率分布为所以 =ξE 0×027.0＋1×189.0＋2×98.0＝2.1.3．设有m 升水，其中含有大肠杆菌n 个．今取水1升进行化验，设其中含有大肠杆菌的个数为ξ，求ξ的数学期望．分析：任取1升水，此升水中含一个大肠杆菌的概率是m1，事件“ξ=k ”发生，即n 个大肠杆菌中恰有k 个在此升水中，由n 次独立重复实验中事件A （在此升水中含一个大肠杆菌）恰好发生k 次的概率计算方法可求出P (ξ=k ),进而可求Eξ.解：记事件A ：“在所取的1升水中含一个大肠杆菌”，则P(A)=m1． ∴ P (ξ=k )=P n (k )=C knm 1)k (1－m1)n －k（k =0,1,2,….,n ）．∴ ξ～B (n ,m 1)，故 Eξ =n ×m 1=mn五、小结：(1)离散型随机变量的期望，反映了随机变量取值的平均水平；(2)求离散型随机变量ξ的期望的基本步骤：①理解ξ的意义，写出ξ可能取的全部值；②求ξ取各个值的概率，写出分布列；③根据分布列，由期望的定义求出E ξ 公式E （a ξ+b ）= aE ξ+b ，以及服从二项分布的随机变量的期望E ξ=np六、课后作业：1.一袋子里装有大小相同的3个红球和两个黄球，从中同时取出2个，则其中含红球个数的数学期望是（用数字作答）解：令取取黄球个数ξ (=0、1、2)则ξ的要布列为于是 E （ξ）=0×10+1×5+2×10=0.8故知红球个数的数学期望为1.22.袋中有4个黑球、3个白球、2个红球，从中任取2个球，每取到一个黑球记0分，每取到一个白球记1分，每取到一个红球记2分，用ξ表示得分数 ①求ξ的概率分布列 ②求ξ的数学期望解：①依题意ξ的取值为0、1、2、3、4ξ=0时，取2黑 p(ξ=0)=612924=C Cξ=1时，取1黑1白 p(ξ=1)=31291314=⋅C C C ξ=2时，取2白或1红1黑p(ξ=2)= 2923C C +3611291412=⋅C C Cξ=3时，取1白1红，概率p(ξ=3)= 61291213=⋅C C C ξ=4时，取2红，概率p(ξ=4)= 3612922=C C∴ξ分布列为（2）期望E ξ=0×61+1×31+2×3611+3×61+4×361=9143.学校新进了三台投影仪用于多媒体教学，为保证设备正常工作，事先进行独立试验，已知各设备产生故障的概率分别为p 1、p 2、p 3，求试验中三台投影仪产生故障的数学期望解：设ξ表示产生故障的仪器数，A i 表示第i 台仪器出现故障（i=1、2、3）i A 表示第i 台仪器不出现故障，则：p(ξ=1)=p(A 1·2A ·3A )+ p(1A ·A 2·3A )+ p(1A ·2A ·A 3) =p 1(1－p 2) (1－p 3)+ p 2(1－p 1) (1－p 3)+ p 3(1－p 1) (1－p 2) = p 1+ p 2+p 3－2p 1p 2－2p 2p 3－2p 3p 1+3p 1p 2p 3p(ξ=2)=p(A 1· A 2·A )+ p(A 1·2A ·3A )+ p(1A ·A 2·A 3) = p 1p 2 (1－p 3)+ p 1p 3(1－p 2)+ p 2p 3(1－p 1) = p 1p 2+ p 1p 3+ p 2p 3－3p 1p 2p 3 p(ξ=3)=p(A 1· A 2·A 3)= p 1p 2p 3∴ξE =1×p(ξ=1)+2×p(ξ=2)+3×p(ξ=3)= p 1+p 2+p 3注：要充分运用分类讨论的思想，分别求出三台仪器中有一、二、三台发生故障的概率后再求期望4.一个袋子里装有大小相同的3个红球和2个黄球，从中同时取出2个，含红球个数的数学期望是 1.2解：从5个球中同时取出2个球，出现红球的分布列为2.13.026.011.00=⨯+⨯+⨯=∴ξE5. A 、B 两个代表队进行乒乓球对抗赛，每队三名队员，A 队队员是321,,A A A ，B 队队员是321,,B B B ，按以往多次比赛的统计，对阵队员之间胜负概率如下：现按表中对阵方式出场，每场胜队得1分，负队得0分，设队，队最后所得分分别为ξ，η（1）求ξ，η的概率分布；（2）求ξE ，ηE 解：（Ⅰ）ξ，η的可能取值分别为3，2，1，0 ()()()()2535353310,525253315352315353321,75285253325252315352322,2785252323=⨯⨯===⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯===⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯===⨯⨯==ξξξξP P P P 根据题意知3=+ηξ，所以 ()()()()()()()()25303,5212,752821,75830================ξηξηξηξηP P P P P P P P（Ⅱ）15222530521752827583=⨯+⨯+⨯+⨯=ξE ；因为3=+ηξ,所以15233=-=ξηE E 七、板书设计（略）八、课后记：。