圆锥曲线动点问题

合集下载

圆锥曲线中动点的轨迹方程的求法

知识导航有关圆锥曲线的题型较多，有求圆锥曲线的离心率、轨迹方程、判定两图形的位置关系、求弦长等，其中，求动点的轨迹方程比较常见.本文总结了求圆锥曲线中动点的轨迹方程的三种方法，供大家参考.一、直接法直接法主要应用于解答题目中所给的有关动点的几何条件较为明显的问题.运用直接法求动点的轨迹方程的主要步骤是：（1）建立合适的直角坐标系，设出所求动点的坐标；（2）根据题意，列出相关关系式；（3）将相关的点代入，化简并整理关系式即可得到动点的轨迹方程.例1.已知点Q (2,0)在圆C ：x 2+y 2=1，动点M 到圆C 的切线长与|MQ |的比等于常数λ(λ>0)，求动点M 的轨迹方程并说明它是什么曲线.分析：通过分析可知，动点M 到圆C 的切线长与|MQ |的比等于常数λ，所以可以考虑运用直接法求解.设出动点M 的坐标，根据题设建立关系式，化简便可得到动点的轨迹方程.解：设M (x ,y )，由直线MN 切圆于N ，MN|MQ |=λ，可得22=λ，整理得则(λ1)x 2+(λ2-1)y 2-4λ2x +(1+4λ2)=0，若λ=1，方程可化为x =54，它代表过点(54,0)，与x 轴垂直的一条直线；若λ≠1，方程可化为æèçöø÷x -2λ2λ2-12+y 2=1+3λ2(λ2-1)2，它代表以æèçöø÷2λ2λ2-1,0为半径的圆.二、代入法若动点M 依赖已知曲线上的另一动点N 而运动，就可以运用代入法来求动点的轨迹方程.首先设出两动点的坐标，建立两动点的关系式，然后将转化后的动点N 的坐标代入已知曲线的方程或条件中，从而得到动点M 的轨迹方程.例2.已知点B 是椭圆x 2a 2+y 2b2=1上的动点，A (2a ,Q )为定点，求线段AB 的中点M 的轨迹方程.分析:动点M 是线段AB 的中点，M 随着动点B 而运动，本题需采用代入法来求解.解:设动点M 的坐标为(x ,y )，B 点坐标为(x 0,y 0)，由M 为线段AB 的中点，可得ìíîïïïïx 0+2a2=x ,y 0+02=y ,则点B 的坐标为(2x -2a ,2y )，则(2x -2a )2a 2+(2y )2b2=1，故动点M 的轨迹方程为4(x -a )2a 2+4y 2b2=1.三、参数法参数法是指通过引入一些新变量(参数)为媒介来解答问题的方法.运用参数法求圆锥曲线中动点的轨迹方程的基本思路是，设出合适的参数，根据题意列出参数方程，通过消参将方程化为普通方程即可解题.但在解题的过程中需注意参数的取值范围.例3.如图，过点P (2,4)作两条互相垂直的直线l 1,l 2，若l 1交x 轴于A 点，l 2交y 轴于B 点，求线段AB的中点M 的轨迹方程.解:设M (x ,y )，直线l 1的方程为y -4=k (x -2)，(k ≠0)，由l 1⊥l 2，得直线l 2的方程为y -4=-1k(x -2)，∴l 1与x 轴焦点A 的坐标为(2-4k,0)，l 2与y 轴焦点B 的坐标为(0,4+2k)，∵M 为AB 的中点，∴ìíîïïïïx =2-4k 2=1-2k ,y =4+2k 2=2+1k ,消去k ，得到x +2y -5=0，当k =0时，AB 的中点为M (1,2)，满足上述方程，当k 不存在时，AB 的中点为M (1,2)，也满足上述方程，综上所述，M 的轨迹方程为x +2y -5=0.这里通过引入参数k ，得到两条直线的方程，然后结合题意建立关于k 的关系式，通过消参得到动点的轨迹方程.相比较而言，直接法较为简单，是最常用也是适用范围最广的方法；代入法的适用范围较窄，只适用于两个动点相关的题型；运用参数法解题的运算量较大.无论采用什么方法求动点的轨迹方程，都要关注轨迹方程中变量的取值范围.（作者单位：江苏省南通市海门四甲中学）蒋秋霞39Copyright©博看网 . All Rights Reserved.。

与圆锥曲线相关的动点轨迹问题正

与圆锥曲线相关的动点轨迹问题（第1课时）湖北省水果湖高中陈龙一、教学目标1.知识与技能：学会如何在几何模型中找到数量关系，掌握用圆锥曲线相关定义求解动点轨迹问题，体现数形结合的思想方法，培养学生观察、探索、发现能力和分析归纳解决问题的能力。

2. 过程与方法：运用多媒体技术，几何画板的动态演示，有效地引导学生发现相关几何数量关系，从而得到动点的轨迹，让学生从解决问题的过程中掌握方法，学会观察、归纳、分析、类比推理。

从定义法解决轨迹问题的步骤中体会条件收集、整理的完整过程。

在问题探究进程中，逐步递进，培养学生主动发展的能力。

3.情感态度价值观：探究由浅入深、环环相扣，使学生在探索和发现的过程中体会数学学习的乐趣。

在学生之间的研究讨论互助中，培养学生的团队合作精神以及从多方面入手解决问题的能力。

学生全程参与探索过程，培养他们多思勤练的良好学习习惯和勇于探索、锲而不舍的治学精神和科学严谨的研究态度。

二、教学重难点：如何对动点所满足的几何条件进行合理转换使之满足相关圆锥曲线的定义。

三、教学过程探究（3）：在同样情境下，探究NQ中点E的轨迹?1.如图，椭圆方程)0(12222>>=+b a b y a x ，P 为椭圆上任意一点，21,F F 为椭圆的左右焦点， 21PF F ∠的外角平分线为l ，点2F 关于直线l 的对称点Q F 2交l 于R 点，求R 点的轨迹方如图双曲线方程为)0(12222>=-b a b y a x 、，Q 为双曲线上任意一点，21,F F 为双曲线的左右焦点，从某一焦点引21QF F ∠平分线的垂线，垂足是P ，3.若动圆P 与定圆:D 9)5(22=++y x 及定圆:B 1)5(22=+-y x 都外切，三．总结与归纳。

圆锥曲线大题题型分类归纳大全

圆锥曲线大题题型归纳梳理圆锥曲线中的求轨迹方程问题解题技巧求动点的轨迹方程这类问题可难可易是高考中的高频题型，求轨迹方程的主要方法有直译法、相关点法、定义法、参数法等。

【例1.】已知平面上两定点),,(),,(2020N M -点P 满足MN MP =•求点P 的轨迹方程。

【例2.】已知点P 在椭圆1422=+y x 上运动，过P 作y 轴的垂线，垂足为Q ，点M 满足,PQ PM 31=求动点M 的轨迹方程。

【例3.】已知圆),,(,)(:0236222B y x A =++点P 是圆A 上的动点，线段PB 的中垂线交PA 于点Q ，求动点Q 的轨迹方程。

【例4.】过点),(10的直线l 与椭圆1422=+y x 相交于B A ,两点，求AB 中点M 的轨迹方程。

巩固提升1. 在平面直角坐标系xOy 中，点()(),,,,4010B A 若直线02++-m y x 上存在点P ,使得,PB PA 21=则实数m 的取值范围为_________________.2. 已知()Q P ,,24-为圆422=+y x O :上任意一点，线段PQ 的中点为,M 则OM 的取值范围为________________.3. 抛物线x y C 42:的焦点为,F 点A 在抛物线上运动，点P 满足,FA AP 2-=则动点P 的轨迹方程为_____________________.4. 已知定圆,)(:100422=++y x M 定点),,(40F 动圆P 过定点F 且与定圆M 内切，则动圆圆心P 的轨迹方程为____________________.5. 已知定直线,:2-=x l 定圆,)(:4422=+-y x A 动圆H 与直线l 相切，与定圆A 外切，则动圆圆心H 的轨迹方程为____________________6. 直线033=+-+t y tx l :与抛物线x y 42=的斜率为1的平行弦的中点轨迹有公共点，则实数t 的取值范围为_________________.7. 抛物线y x 42=的焦点为,F 过点),(10-M 作直线l 交抛物线于B A ,两点，以BF AF ,为邻边作平行四边形,FARB 求顶点R 的轨迹方程。

圆锥曲线动点问题

圆锥曲线动点Jr21、（12分）设仟、尸2分别是椭圆—+>'2 = 1的左、右焦点.（I）若P是该椭圆上的一个动点，求两•戸可的最大值和最小值；（II）设过泄点M（0,2）的直线/与椭圆交于不同的两点A、B,且ZAOB为锐角（其中O为坐标原点），求直线/的斜率斤的取值范围2、（12分）如题（21）图，倾斜角为&的宜线经过抛物线y2=8.v的焦点F,且与抛物线交于乩万两点。

（I）求抛物线的焦点尸的坐标及准线』的方程：（II）若a为锐角，作线段M的垂直平分线功交*轴于点只证明IFP - FP|cos2a为左值，并求此立值。

3.、（本小题满分】2分）•如图,直线吋与抛物线吋一交于A、B两点,线段AB的垂直平分线与直线y=-5交于Q点.（1）求点Q的坐标：⑵ 当P为抛物线上位于线段AB下方（含A、B）的动点时，求40PQ而积的最大值.4.如图如血肿血*）两点分别在射线。

S、"上移动，且赫面=弓O为坐标原点，动点P满足OP = OA + OB・（1）求加•〃的值：（2）求P点的轨迹C的方程，并说明它表示怎样的曲线？（3）若直线』过点E（2, 0）交（2）中曲线C于M、N两点,且ME = 3EN,求/的方程.5.如图，M是抛物线上尸=/上的一点，动弦ME. MF分别交x轴于A、B两点，且M4 = MB・(1) 若M为立点，证明：直线的斜率为左值；(2)若M为动点，且Z.EMF = 90 ,求ZkEWF的重心G的轨迹.6.已知片(一2,0),巧(2,0),点P满足\PF X\-\PF2 1=2,记点F的轨迹为区(1)求轨迹龙的方程;(2)若直线2过点E且与轨迹氏交于只0两点.(i)无论直线』绕点尺怎样转动，在x轴上总存在左点M(m0)，使MP丄HQ恒成立，求实数也的值.(ii)过只0作直线x = l的垂线用、QB、垂足分别为小B、记心山1 + 1的,求入的取值范輒2\AB\X 2 + 4kx + 3 = 0宀丄答案1.解：(I )解法一：易知 a = 2,b = \.c = -75所以斥(—巧,0)迅(JIo),设p(x,y),贝IJ=(-V3-x,-y),(>/3-x,-y) = x 2 + y 2-3=x 2 + l-^-3 = i (3x 2-8)因为xe[-2,2],故当x = 0,即点P 为椭圆短轴端点时，丐•戸可有最小值-2 当x = ±2，即点P 为椭圆长轴端点时，PF\・PF]有最大值1解法二：易知a = 2,b = \,c = y/3,所以济(—J5,O ),§(J5,O ),设P (x,y),则(II )显然直线兀=0不满足题设条件,可设直线/:y = ^-2M(x P y 2).B(x 2os)>y = kx - 2十 7,消去y,整理得：\k 2—+ y = 1k14・ .4k3 …召+心=一——皿4 =——p k 2+- k 2 +-4 4由厶=(4£『一4 k +丄 x3 = 4疋一3>0得：k<又 0° < ZA0B < 90° o cos ZA0B > 0 o 丙西〉00A ・ 0鸟=x {x 2 + y t y 2 > 0又 V|)S =(也[+2)(上D +2) = £・]X> +2R (X] +xJ + 4 =++ 4 = "〒' 「「「「k 2+- k 2+- 443 —k 亠] —-+ —— >0,即 k 2<4 ：. ^2 <k <2k 2+- k 2+-4 4(以下同解法一)故由①、②得_2<k v-竺或巴vk <22 22、（I ）解：设抛物线的标准方程为y2=2/zr,则2厂8,从而” =4・因此焦点F（£.O）的坐标为（2, 0）・2又准线方程的一般式为x =-匕。

圆锥曲线之动点轨迹方程

圆锥曲线之动点轨迹方程：（1）求轨迹方程的步骤：建系、设点、列式、化简、确定点的范围；（2）求轨迹方程的常用方法：①直接法：直接利用条件建立,x y 之间的关系(,)0F x y =；已知动点P 到定点F(1,0)和直线3=x 的距离之和等于4，求P 的轨迹方程。

②待定系数法：已知所求曲线的类型，求曲线方程――先根据条件设出所求曲线的方程，再由条件确定其待定系数。

线段AB 过x 轴正半轴上一点M （m ，0）)0(>m ，端点A 、B 到x 轴距离之积为2m ，以x 轴为对称轴，过A 、O 、B 三点作抛物线，则此抛物线方程为。

③定义法：先根据条件得出动点的轨迹是某种已知曲线，再由曲线的定义直接写出动点的轨迹方程；(1) 由动点P 向圆221x y +=作两条切线PA 、PB ，切点分别为A 、B ，∠APB=600，则动点P 的轨迹方程为。

（2）点M 与点F(4,0)的距离比它到直线05=+x l ：的距离小于1，则点M 的轨迹方程是。

(3) 一动圆与两圆⊙M ：122=+y x 和⊙N ：012822=+-+x y x 都外切，则动圆圆心的轨迹为。

④代入转移法：动点(,)P x y 依赖于另一动点00(,)Q x y 的变化而变化，并且00(,)Q x y 又在某已知曲线上，则可先用,x y 的代数式表示00,x y ，再将00,x y 代入已知曲线得要求的轨迹方程；动点P 是抛物线122+=x y 上任一点，定点为)1,0(-A ,点M 分−→−PA 所成的比为2，则M 的轨迹方程为。

⑤参数法：当动点(,)P x y 坐标之间的关系不易直接找到，也没有相关动点可用时，可考虑将,x y 均用一中间变量（参数）表示，得参数方程，再消去参数得普通方程）。

（1）AB 是圆O 的直径，且|AB|=2a ，M 为圆上一动点，作MN ⊥AB ，垂足为N ，在OM 上取点P ，使||||OP MN =，求点P 的轨迹。

圆锥曲线中的典型问题与方法：圆锥曲线的定值、定点问题

圆锥曲线中的定值、定点问题一、直线恒过定点问题例1. 已知动点E 在直线:2l y =-上，过点E 分别作曲线2:4C x y =的切线,EA EB ，切点为A 、B , 求证：直线AB 恒过一定点，并求出该定点的坐标；解：设),2,(-a E )4,(),4,(222211x x B x x A ，x y x y 214'2=∴=,)(2141121点切线过，的抛物线切线方程为过点E x x x x y A -=-),(21421121x a x x -=--∴整理得：082121=--ax x同理可得：222280x ax --=8,2082,2121221-=⋅=+∴=--∴x x a x x ax x x x 的两根是方程)24,(2+a a AB 中点为可得，又2212121212124442ABx x y y x x a k x x x x --+====-- 2(2)()22a a AB y x a ∴-+=-直线的方程为，2()2ay x AB =+∴即过定点0,2.例2. 已知点是椭圆22:12x E y +=上任意一点，直线l 的方程为0012x xy y +=，直线0l 过P 点与直线l 垂直，点M （-1，0）关于直线0l 的对称点为N ，直线PN 恒过一定点G ，求点G 的坐标。

解：直线0l 的方程为0000()2()x y y y x x -=-，即000020y x x y x y --=设)0,1(-M 关于直线0l 的对称点N 的坐标为(,)N m n则0000001212022x nm y x n m y x y ⎧=-⎪+⎪⎨-⎪⋅--=⎪⎩，解得320002043200002002344424482(4)x x x m x x x x x n y x ⎧+--=⎪-⎪⎨+--⎪=⎪-⎩∴ 直线PN 的斜率为4320000032000042882(34)n y x x x x k m x y x x -++--==---+ 从而直线PN 的方程为： 432000000320004288()2(34)x x x x y y x x y x x ++---=---+ 即3200043200002(34)14288y x x x y x x x x --+=+++--从而直线PN 恒过定点(1,0)G 二、恒为定值问题例3. 已知椭圆两焦点1F 、2F 在y 轴上，短轴长为22，离心率为22，P 是椭圆在第一象限弧上一点，且121PF PF ⋅=，过P 作关于直线F 1P 对称的两条直线PA 、PB 分别交椭圆于A 、B 两点。

02圆锥曲线中的动点距离问题【教师版】

圆锥曲线中的动点距离问题这节课我们学什么1.掌握椭圆中的动点距离问题的解法；2.掌握双曲线中的动点距离问题的解法；3.掌握抛物线中的动点距离问题的解法．知识框图知识点梳理1、距离类型（1）两点间距离：已知定点坐标和动点所在曲线方程的题目，将动点坐标设为(),x y ，利用曲线方程及两点距离公式将两点距离表示出来，进而转化为二次函数的问题，从而求得距离最值.（2）圆锥曲线上的点到定直线的距离：作与定直线1l 平行且与曲线C 相切的直线2l ，那么1l 与2l 的距离即为圆锥曲线上的点到定直线的距离的最大（小）值.2、椭圆中动点距离问题的解法利用椭圆的定义，122PF +PF =a ，将问题转化为平面几何中的问题，利用三角形三边所满足的基本关系，得到三点共线时距离最短，从而解决此类问题. 3、双曲线中动点距离问题的解法利用双曲线的定义，122PF -PF =a ，将距离问题进行转化，利用三角形三边所满足的基本关系，得到三点共线时距离最大，从而解决此类问题. 4、抛物线中动点距离问题的解法利用抛物线的定义，PF =d （P 点到抛物线准线的距离），将距离问题进行转化.典型例题分析1、椭圆中动点距离问题的解法；例1、已知椭圆222:1x C y m+=（常数1m >），点P 是C 上的动点，M 是右顶点，定点A 的坐标为(2,0)．（1）若M 与A 重合，求C 的焦点坐标；（2）若3m =，求||PA 的最大值与最小值；（3）若||PA 的最小值为||MA ，求m 的取值范围．【答案：（1）2m =，椭圆方程为2214x y +=，413c =−=∴左、右焦点坐标为(3,0),(3,0)−．（2）3m =，椭圆方程为2219x y +=，设(,)P x y ，则222222891||(2)(2)1()(33)9942x PA x y x x x =−+=−+−=−+−≤≤∴94x =时min 2||2PA =； 3x =−时max ||5PA =．（3）设动点(,)P x y ，则222222222222124||(2)(2)1()5()11x m m m PA x y x x m x m m m m m −=−+=−+−=−−+−≤≤−−∵当x m =时，||PA 取最小值，且2210m m −>，∴2221m m m ≥−且1m >解得112m <≤+总结：本题考查椭圆的基本性质，解题时要结合二次函数的性质进行分析，注意换元法的运用即可．】例2．椭圆13422=+y x 上的动点N 到定点)0,(m M ()02m <<的距离的最小值为1，求m 的值．【答案：设),(y x N ，则22222||()()314x MN x m y x m ⎛⎫=−+=−+−=⎪⎝⎭221234x mx m −++)1(3)4(4122m m x −+−=，22≤≤−x ．02m <<，048m ∴<<，以下分两种情况讨论：①当240≤<m ，即210≤<m 时，当m x 4=时，2||MN 取最小值1)1(32=−m ，解得322=m ，36=m ，此时2364>=x ，故舍去；②当24>m ，即221<<m 时，当2=x 时，2||MN 取最小值1442=+−m m ，解得1=m ，或3=m （舍）．综上，1=m ．】例3、已知点P 为椭圆C ：2212516x y +=上的一个动点，椭圆的左、右焦点分别为,'F F ，定点 A 为()1,3，求'PA PF +的取值范围．【答案：根据椭圆的定义'210PF PF a +==，则()'10PA PF PA PF +=+−，当点P 运动到与点M 重合时，()max5PA PF AF −==，()max '15PA PF ∴+=；当点P 运动到与点N 重合时()min5PA PF−=−，此时()min'5PA PF +=．综上，'PA PF +的取值范围是[]5,15．】例4、求椭圆2212x y +=上的点到直线23y=x+的距离的最大值和最小值，并求取得最值时椭圆上点的坐标.【答案：设椭圆与23y=x+平行的切线方程为y=x+b22(1)12y x b x y =+⎧⎪∴⎨+=⎪⎩ 222234220(4)43(22)03x bx b b b b ∴++−=∆=−⨯⨯−=∴=min max61)3,2362)3,2b d b d ====当时代入(1)得当时代入(1)得最小值时对应点坐标为233()33−，最大值对应点坐标为2353(,33】 2、双曲线中动点距离问题的解法；例5、A 和B 分别在圆1)3(22=−+y x 和双曲线224x y −=上运动，求AB 的最小值.【答案：()2222317343126131211222AB x y y y y ⎛⎫=+−−=−+−=−+≥− ⎪⎝⎭，故最小值为3412−】例6、点P 为双曲线2214x y −=的右支上一点，M ，N 分别为1)5(22=++y x 和1)5(22=+−y x 上的点，则PM PN −的最大值为【答案：显然两已知圆的圆心，分别为双曲线的左焦点1(5,0)F 和右焦点2(5,0)F ．对于双曲线右支上每一个确定的点P ，连结1PF ，并延长1PF 交1F 于点0M ，则0PM 为适合条件的最大的PM ，连结2PF ，交2F 于点0N ，则0PN 为适合条件的最小的PN ．于是00PM PN PM PN −≤−12(1)(1)PF PF =+−−12()2426PF PF =−+=+=，故PM PN −的最大值为6．】例7、已知点F 是双曲线 22-=1412x y 的左焦点，定点 A （1，4），P 是双曲线右支上动点，则PF PA +的最小值为．【答案：设双曲线的右焦点F ‘，249PF PAPF PF PA PF a PA PF AF +''=−++'=++'≥+=】练8、如图所示的“8”字形曲线是由两个关于x 轴对称的半圆和一个双曲线的一部分组成的图形，其中上半个圆所在圆方程是22440x y y +−−=，双曲线的左、右顶点A 、B 是该圆与x 轴的交点，双曲线与半圆相交于与x 轴平行的直径的两端点．（1）试求双曲线的标准方程；（2）记双曲线的左、右焦点为1F 、2F ，试在“8”字形曲线上求点P ，使得12F PF ∠是直角．（3）过点A 作直线l 分别交“8”字形曲线中上、下两个半圆与于点,M N ，求MN 的最大长度【答案：（1）设双曲线的方程为()222210,0x y a b a b−=>>，在已知圆的方程中，令0y =，得240x −=，即2x =±，则双曲线的左、右顶点为()2,0A −、()2,0B ，于是2a =令2y =，可得280x −=，解得22x =±，即双曲线过点()22,2±，则228412b −=所以2b =，所以所求双曲线方程为22144x y −=（2）由（1）得双曲线的两个焦点()122,0F −，()222,0F 当1290F PF ︒∠=时，设点(),P x y ， ①若点P 在双曲线上，得224x y −=，由120F P F P ⋅=，得(2222222080x x yx y +−+=⇒−+=由2222480x y x y ⎧−=⎨−+=⎩，解得62x y ⎧=⎪⎨=⎪⎩所以((12346,2,6,2,6,2,6,2P P P P …… 11分②若点P 在上半圆上，则()224402x y y y +−−=≥，由120F P F P ⋅=，得(222220x x y +−+=，由222244080x y y x y ⎧+−−=⎨+−=⎩无解综上，满足条件的点有4个，分别为()()()()12346,2,6,2,6,2,6,2P P P P −−−−（3）设,M N 的横坐标分别为,M Nx x ①直线斜率不存在时，8MN =；②直线斜率存在时，设方程为()2y k x =+，代入22440x y y +−−=，可得()()22221444840kx k k x k k ++−+−−=2248421M k k x k −−∴−=+，222421M k k x k −++=+同理222421N k k x k −−+=+，228181M N k MN k x k ∴=+−=<+，综上所述，MN 的最大长度为8.】3、抛物线中动点距离问题的解法；例9、①设AB 为抛物线2y x =的一条弦，若4AB =，则AB 的中点M 到直线10y +=的最短距离为．②设AB 为抛物线28y x =的一条弦，若6AB =，则AB 的中点M 到y 轴的最短距离为．【答案：①抛物线2y x =的焦点为10,4F ⎛⎫ ⎪⎝⎭，准线为14y =−，过,,A B M 作准线14y =−的垂线，垂足分别是111,,A B M ，则所求的距离()()1113131313131144242424244d MM AA BB AF BF AB =+=++=++≥+=⨯+=，当且仅当弦AB 过焦点F 时，d 取最小值114．②2AB p ≤时，AB 平行于y 轴，AB 的中点到y 轴的距离取得最小值．设()()1122,,,A x y B x y ，AB 平行于y 轴，123y y ==，且有2211228,8y x y x ==，所求的距离为12928x x d +==．】例10、已知点(2,0)P ，点Q 在曲线C :22y x =上．（1）若点Q 在第一象限内，且2PQ =，求点Q 的坐标；（2）求||PQ 的最小值．【答案：设),(y x Q ()0,0x y >>,x y 22=，（1）由已知条件得22||(2)2PQ x y =−+=，将x y 22=代入上式，并变形得，022=−x x ，解得0=x （舍去）或2=x ．当2=x 时，2±=y ．只有2,2==y x 满足条件，所以点Q 的坐标为()2,2．（2）||PQ 22)2(y x +−=其中x y 22=，422)2(||222+−=+−=x x x x PQ 3)1(2+−=x ()0x ≥，当1=x 时，3||min =PQ ．总结：已知定点坐标和动点所在曲线方程的题目，将动点坐标设为(),x y ，利用曲线方程及两点距离公式将两点距离表示出来，进而转化为二次函数的问题，从而求得距离最值．】例11、已知直线l 经过抛物线2:4C y x =的焦点F ，且与抛物线相交于A 、B 两点．（1）若4AF =，求点A 的坐标；（2）求线段AB 的最小值；（3）过A 、B 两点分别作y 轴的垂线，垂足分别为C 、D ，求AC BD +的最小值．【答案：（1）由定义得，12pAF x =+，13x ∴=，代入方程得13y =±，则A 点坐标为(3,3或(3,23−．（2）①斜率不存在时，4AB =．②斜率存在时，设直线方程为()1y k x =−，联立方程()241y xy k x ⎧=⎪⎨=−⎪⎩得()2222240k x k x k−++=，则2123242kx xk++=>，1224AB x x∴=++>，综上所述，min 4AB=．（3）如图,作四边形ACDB的中位线MN，则222AC BD MN p FH p p p p +=−≤−=−=∴最小值为2p=．】课后练习练1．点M 和F 分别是椭圆221259x y +=上的动点和右焦点，定点()2,2B ， MF MB +的最小值_________．【答案：()10'10'10'10210MF MB MF MB MF MB F B +=−+=−−≥−=− 故当,,'M B F 三点共线时，MF MB +取最小值10210−】练2． P 是双曲线221916x y −=的右支上一点，M 、N 分别是圆 (x ＋5)2＋y 2＝4和 (x －5)2＋y 2＝1上的点，则|PM|－|PN |的最大值为_________．【答案：9】练3．抛物线y=-x 2上的点到直线4x +3y -8=0距离的最小值是___________．【答案：43】练4．设P 是椭圆22x a+2y = 1 (a > 1 ) 短轴的一个端点, Q 为椭圆上的一个动点, 求| PQ | 的最大值是___________．【答案：2. 依题意可设 P (0, 1 ), Q (x , y ), 则| PQ | =22(1)x y +−又因为Q 在椭圆上, 所以 2x = 2a (12y −) .2||PQ = 2a (12y −) +2y －2y + 1 = (12a −)2y －2y + 1 +2a = (12a −) 221()1y a −−211a−−+ 1 +2a . 因为 | y | ≤ 1, a > 1, 若a 2, 则211a−≤1, 当y = 211a −时, | PQ | 取最大值2211a a a −−; 若1< a 2, 则当y = －1时, | PQ | 取最大值2】练5．已知抛物线24y x =，P 为该抛物线上的一点，记P 到抛物线的准线的距离为1d ，P 到直线2120x y +−=的距离为2d ，则12d d +的最小值为___________．【答案：1155】练6．已知抛物线28y x =，在抛物线上任取一点P ，点P 到准线的距离记为1d ，点P 到直线:2110l x y −+=的距离记为2d ，则12d d +的最小值是多少．【答案：||||||||||PA PB PF PB FI +=+≥，||355FI ==．】练7．求点3(0)2P ，到椭圆2214x y +=上点的最大距离，并求出此时椭圆上的点坐标。

圆锥曲线问题的三个易错点

圆锥曲线问题的三个易错点解决圆锥曲线的有关问题是高考的重要内容之一，在平时的学习中只有加深对概念、公式和方法的理解，才能自觉地辨析正误，增强了防错的能力，提高解题的效率.现举例供大家参考.易错点一：忽视定义中的隐含条件致误例1.已知动点(,)P x y满足|3411|x y =+-，则点P 的轨迹是（）.A.直线B.抛物线C.双曲线D.椭圆错解辨析：由已知条件|3411|x y =+-可得15=表示(,)P x y 到定点为（1,2）的距离等于到直线3411x y +-＝0的距离，故表示抛物线，选B.策略：以上解法利用圆锥曲线的定义解题，忽视了（1，2）点就在直线3x+4y-11=0上，故正确选项应为A.我们在利用圆锥曲线的统一定义解题时，一定要避免忽视定义中的隐含条件致误.易错点二：忽视直线存在性的检验致误例2.已知双曲线2212y x -=,过(1,1)P 能否作一条直线l 与双曲线交于A ，B 两点，且P 为线段AB 的中点？错解辨析：设能作直线l 满足条件，设A （11y x ，），B （22y x ，），则有221112y x -=，222212y x -=，化简得()212121212y y x x x x y y ++=--，P AB 的中点为（1，1）222121=+=+∴y y x x ，，，得12122AB y y k x x -==-，直线l 的方程为12(1)y x -=-，即存在直线l ，其方程为12-=x y .以上解法忽视了对直线l 的存在性的检验，把直线12-=x y 代入双曲线方程中得03422=+-x x ，其判别式()032442<⨯⨯--=∆，即直线与双曲线无公共点，不存在直线满足条件.策略:在解决有关直线与圆锥曲线的问题时，一定要注意验证判别式∆，初学者往往会因为先入为主，求出直线的方程不去检验而导致解题错误，真可谓功亏一篑！易错点三：忽视曲线的范围致误例3已知1F 、2F 是双曲线201622y x -=1的左、右焦点，点P 在双曲线上.若点P 到焦点1F 的距离等于9，求点P 到焦点2F 的距离.错解辨析：双曲线的实轴长为8，由12||||||8PF PF =－，即2|9||8PF =－，得2||1,PF =或17.上述解法忽视了圆锥曲线(双曲线)的范围，由4,6a c ==,故2||2PF c a ≥-=,因此2||1PF =不合题意,故2||17PF =.策略:把以上问题一般化，设双曲线)0,0( 12222>>=-b a by a x ，21,F F 是其左右焦点，由10||PF a ex =+，20||PF a ex =-，又注意到0x a ≥或0x a ≤-,故00,a ex a c a ex a c -≥+-≤-,得2||PF c a ≥-.我们在解决有关圆锥曲线（或二元二次方程）有关的问题时，一定要注意x ,y 的取值范围，往往会因为忽视曲线的范围不自觉地导致解题错误.。

圆锥曲线上的动点与不动点一道习题的挖掘、延伸和类比发散

圆锥曲线上的动点与不动点一道习题的挖掘、延伸与类比发散一、引例. 如图，点⎪⎭⎫ ⎝⎛23,1P 为椭圆13422=+y x 上一点，点C ，D 为x 轴上的两个点，PCD ∆是以P 为顶点的等腰三角形，直线PC ，PD 交椭圆于点A ，B ，则直线AB 的斜率是（）A. 23B. 32C. 2D. 21 【解析】：思路一（设过⎪⎭⎫⎝⎛23,1P 的直线）：设直线PA ：()231+-=x k y ，由PCD ∆是以P 为顶点的等腰三角形知：PDC PCD ∠=∠，从而0=+PB PA k k ，所以直线PB :()231+--=x k y 由()⎪⎩⎪⎨⎧=++-=124323122y x x k y 消去y 得：()()03124234342222=--+-++k k x k k x k ，则：34312422+--=⋅k k k x x P A ，由1=P x 得：34312422+--=k k k x A ，同理可得：34312422+-+=k k k x B 。

所以：()2124123424234682222==+-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+-=--+=--=k k k k k x x x x k x x y y k B A B A B A B A AB 思路二（设直线AB ）：设直线AB ：m kx y +=，由⎩⎨⎧=++=124322y x mkx y 消去y 得：()0124834222=-+++m kmx x k ，则3482+-=+k km x x B A ，3412422+-=+k m x x B A 。

由0=+PB PA k k 得：0123123=--+--B B A A x y x y ()032232=+-+⎪⎭⎫ ⎝⎛--+⇒m x x k m x kx B A B A所以：0324842=+-+-m km k k ()()032212=-+-⇒m k k ，故21=k 。

高三数学解答题难题突破—圆锥曲线中动点轨迹方程问题

高三数学解答题难题突破—圆锥曲线中动点轨迹方程问题本文介绍了解动点轨迹问题的四种方法：直译法、定义法、代入法和参数法。

其中，直译法包括建系、设点、列式、代换和证明五个步骤；定义法则是根据条件得出动点的轨迹是某种已知曲线，再由曲线的定义直接写出动点的轨迹方程；代入法和参数法则是在特定条件下使用的方法。

此外，文章还提到了解轨迹问题时需要注意的两点：求点的轨迹与求轨迹方程是不同的要求，要验证曲线上的点是否都满足方程。

接下来，文章以一个例题为例，介绍了利用代点法求轨迹方程的具体步骤。

该例题要求求出点P的轨迹方程，通过设点、列式、代换和证明四个步骤，最终得出了轨迹方程x2+y2=2.此外，文章还介绍了如何利用轨迹方程验证曲线上的点是否都满足方程，以及如何去掉满足方程的解而不再曲线上的点。

最后，文章介绍了另一种解轨迹问题的方法：定义法。

该方法是先根据条件得出动点的轨迹是某种已知曲线，再由曲线的定义直接写出动点的轨迹方程。

I）设圆心C的坐标为(x,y)，则圆方程为(x-1)^2+y^2=1，又因为在y轴上截得的弦长为2，所以C到y轴的距离为1，即x^2+y^2=1.联立两式可得圆心C的轨迹方程为x^2+y^2-x-1=0.II）由题意可知，直线l的斜率为k，且过点Q(1,0)，则直线方程为y=k(x-1)。

将直线方程代入圆的方程中，得到方程x^2+(k(x-1))^2-x-1=0，化简可得x^2(1+k^2)-2xk^2+k^2-1=0.由于直线l与轨迹C有交点A、B，所以方程有两个不同的实根，即Δ=4k^4-4(k^2+1)(k^2-1)≥0.解得-1≤k≤1.再将k带入直线方程可求出交点A、B的坐标，进而证明AR//FQ。

求AB中点的坐标为((k^2-1)/(1+k^2),k(k^2-2)/(1+k^2))，将其代入x^2+y^2-x-1=0中得到轨迹方程为x^4-2x^3+6x^2-2x+1-4y^2=0.1.定点、定值问题的解法定点、定值问题通常可以通过设定参数或取特殊值来确定“定点”是什么、“定值”是多少。

圆锥曲线两动点相关问题解决办法

看：圆锥曲线一题的反思并系统总结相关题经验后会带给我们多么大的收获已知直线3:13l y x =+过椭圆)0(1:2222>>=+b a by a x C 的一个焦点和一个顶点。

（1）求椭圆C 的标准方程；（2）过原点的直线与椭圆C 交于A ，B 两点（A ，B 不是椭圆C 的顶点）. 点D 在椭圆C 上，且AD AB ⊥，直线BD 与x 轴交于点M ，求常数λ使得BD AM k k λ=；在解答上题的过程中，未能顺利解答。

现在反思，获得了深刻的教训：虽然做题多后获得了很多方法，但如果不系统总结，包括不同方法使用的不同场景，可能会在解答某一个题的过程偏向纠结于使用其中咋看起来感觉是不错的方法（比如刚做过一个题，成功地使用了该方法，后来偏执于把此方法用于其它题），忽略了其它方法的应用。

而当系统总结方法之后，或者做题时先少冷静想下此类题有哪些方法，那么就不会纠结于某一种方法，并且使用某种方法行不通时，会换用其它方法。

现在我们要围绕"2015广东天利高考模拟试卷天利38套"，把圆锥曲线上出现多个动点（两个或两个以上）时，我们所遇到的解题方法和经验总结下，然后再去做上述题，就会发现不少方法可用于该题的解答。

首先问题先归结为直线和曲线相交的两个动点（),(),(2211y x y x 和）问题。

假定问题中曲线C 的方程是：f(x,y)=0。

方法一：直线方程和曲线方程联立，使用韦达定理，获得）。

、（再代入直线方程获得、21212121y y y y x x x x ++当然，更灵活的可以是，获得“一元二次方程”，先不急于求两根之和或之积，而是根据后面问题的具体需求再计算这些式子（比如只需要两根之和后就计算两根之和）。

方法二：不使用直线方程，而是通过等式：去解决问题。

0)()(2211=-y x f y x f 往往在题的其它条件中若涉及该直线的斜率，常用这个方法。

因为这个等式整理后会出现斜率。

圆锥曲线问题常见错误归类剖析

圆锥曲线问题常见错误归类剖析■湖南省道县第一中学陈珠在圆锥曲线的学习中,同学们由于未从根本上理解曲线与方程之间的一一对应关系,故而在数形结合与转化时常出现偏差和遗漏,在繁杂的运算中,忽视等价性,导致“失根”或“增根“的现象。

本文针对圆锥曲线中常见的易错、易混、易忘的典型题进行错解剖析和警示展示,希望引起同学们的高度重视。

一、忽略圆锥曲线定义中的隐含条件致错例1已知动点P(x,y)满足则P点的轨迹是()。

A.直线B.抛物线C.双曲线D.椭圆错解:将4y-11|变形为即动点P(x,y)到定点(1,2)的距离等于到定直线3x+4y-11=0的距离,利用抛物线的定义,得点P(x,y)的轨迹是抛物线。

故选B。

剖析:错解中忽略了定点(1,2)就在直线3x+4y-11=0上这个隐含条件,应选A。

警示:平面内与一个定点F和一条定直线l(F∉l)的距离相等的点的轨迹叫作抛物线。

当定点在定直线上时,轨迹为过定点F与定直线l垂直的一条直线,而非抛物线。

双曲线的定义中易忽视2a＜|F1F2|这一条件。

若2a=|F1F2|,则轨迹是以F1,F2为端点的两条射线;若2a＞|F1F2|,则轨迹不存在。

若去掉定义中的绝对值,则轨迹仅表示双曲线的一支。

二、忽略椭圆标准方程中的隐含条件a2≠b2致错例2 直线y-kx-1=0与椭圆恒有公共点,则m 的取值范围是____。

错解:因为直线y-kx-1=0 过定点(0,1),根据椭圆方程可知m＞0,所以椭圆与y 轴正半轴的交点为若直线与椭圆恒有公共点,只要点(0,1)在椭圆内部或椭圆上即可,所以解得m≥1。

剖析:错解中忽略椭圆标准方程=1中的隐含条件“a2≠b2”,应补充m≠5,所以实数m的取值范围是[1,5)∪(5,+∞)。

警示:椭圆标准方程中的隐含条件为“a,b∈R+,a2≠b2”,在求解参数范围时更要注意,原因在于圆不是特殊的椭圆。

三、忽略椭圆或双曲线的焦点所在位置的讨论致错例3已知椭圆的离心率为则k=____。

圆锥曲线单动点问题笔记

圆锥曲线单动点问题笔记圆锥曲线单动点问题是一个经典的几何问题，涉及到圆锥曲线上的一个动点，通过对动点的运动轨迹和性质进行研究，可以得到一些有趣的结论。

下面我将从多个角度来回答这个问题。

首先，我们需要明确什么是圆锥曲线。

圆锥曲线是平面上的一类曲线，由一个固定点（焦点）和一个固定直线（准线）确定。

根据焦点和准线的位置关系，圆锥曲线可以分为椭圆、双曲线和抛物线三种类型。

在圆锥曲线单动点问题中，我们考虑一个动点P在平面上运动，其轨迹是一个圆锥曲线。

我们的目标是研究这个动点的运动轨迹和性质。

首先，我们可以通过参数方程来描述动点P的运动轨迹。

对于椭圆和双曲线，我们可以使用参数t来表示动点P的位置，参数方程可以写为x = f(t)，y = g(t)，其中f(t)和g(t)是关于t的函数。

对于抛物线，我们可以使用参数p来表示动点P的位置，参数方程可以写为x = f(p)，y = g(p)，其中f(p)和g(p)是关于p的函数。

其次，我们可以研究动点P在轨迹上的运动性质。

例如，我们可以计算动点P在不同位置处的切线斜率，从而得到曲线的斜率函数。

通过分析斜率函数的性质，我们可以得到曲线的凸凹性、渐近线等信息。

此外，我们还可以研究动点P与焦点之间的距离和动点P到准线的距离等几何性质。

另外，我们可以考虑动点P在特定条件下的运动特征。

例如，我们可以讨论动点P在离焦点和准线等距离的情况下的轨迹形状，这样的轨迹被称为圆锥曲线的特殊情况。

我们还可以研究动点P在不同条件下的极限情况，例如当动点P趋近于焦点或准线时，曲线的形态会发生怎样的变化。

此外，我们还可以应用解析几何的知识来研究圆锥曲线单动点问题。

通过对曲线方程的分析和运算，我们可以得到曲线的方程、焦点坐标、准线方程等信息。

这些信息可以帮助我们更深入地理解动点P的运动轨迹和性质。

综上所述，圆锥曲线单动点问题是一个非常有趣和复杂的几何问题。

通过从多个角度全面研究动点的运动轨迹和性质，我们可以深入理解圆锥曲线的特点和规律。

圆锥曲线动点问题

圆锥曲线动点题1、（12分）设1F 、2F 分别是椭圆1422=+y x 的左、右焦点.（Ⅰ）若P 是该椭圆上的一个动点，求12PF PF ⋅的最大值和最小值;（Ⅱ）设过定点)2,0(M 的直线l 与椭圆交于不同的两点A 、B ，且∠AOB 为锐角（其中O 为坐标原点），求直线l 的斜率k 的取值范围2、（12分）如题（21）图，倾斜角为a 的直线经过抛物线x y 82=的焦点F ，且与抛物线交于A 、B 两点。

题（20）图（Ⅰ）求抛物线的焦点F 的坐标及准线l 的方程；（Ⅱ）若a 为锐角，作线段AB 的垂直平分线m 交x 轴于点P ，证明|FP|-|FP|cos2a 为定值，并求此定值。

3.、（本小题满分12分）.如图, 直线y=21x 与抛物线y=81x 2－4交于A 、B 两点, 线段AB 的垂直平分线与直线y=－5交于Q 点. (1) 求点Q 的坐标；(2) 当P 为抛物线上位于线段AB 下方(含A 、B) 的动点时, 求ΔOPQ 面积的最大值.4．如图()A m 和(,)B n 两点分别在射线OS 、OT 上移动，且12OA OB ⋅=-， O 为坐标原点，动点P 满足OP OA OB =+．（1）求m n ⋅的值；（2）求P 点的轨迹C 的方程，并说明它表示怎样的曲线？（3）若直线l 过点(2, 0)E 交（2）中曲线C 于M 、N 两点，且3ME EN =，求l 的方程．5．如图，M 是抛物线上2y x =上的一点，动弦ME 、MF 分别交x 轴于A 、B 两点，且MA MB =．（1）若M 为定点，证明：直线EF 的斜率为定值；（2）若M 为动点，且90EMF ∠=，求△EMF 的重心G 的轨迹．6．已知1212(2,0),(2,0),||||2F F P PF PF --=点满足，记点P 的轨迹为E . （1）求轨迹E 的方程；（2）若直线l 过点F 2且与轨迹E 交于P 、Q 两点.（i ）无论直线l 绕点F 2怎样转动，在x 轴上总存在定点)0,(m M ，使MP ⊥MQ 恒成立，求实数m 的值.（ii ）过P 、Q 作直线21=x 的垂线PA 、QB ，垂足分别为A 、B ，记||||||AB QB PA +=λ，求λ的取值范围.答案1、解：（Ⅰ）解法一：易知2,1,a b c ===所以())12,F F ，设(),P x y ，则())2212,,,3PF PF x y x y x y ⋅=----=+-()2221133844x x x =+--=-因为[]2,2x ∈-，故当0x =，即点P 为椭圆短轴端点时，12PF PF ⋅有最小值2- 当2x =±，即点P 为椭圆长轴端点时，12PF PF ⋅有最大值1解法二：易知2,1,a b c ===，所以())12,F F ，设(),P x y ，则22212121212121212cos 2PF PF F F PF PF PF PF F PF PF PF PF PF +-⋅=⋅⋅∠=⋅⋅⋅((22222211232x y x y x y ⎡⎤=+++-+-=+-⎢⎥⎣⎦（以下同解法一）（Ⅱ）显然直线0x =不满足题设条件，可设直线()()1222:2,,,,l y kx A x y B x y =-，联立22214y kx x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩，消去y ，整理得：2214304k x kx ⎛⎫+++= ⎪⎝⎭ ∴12122243,1144k x x x x k k +=-⋅=++由()2214434304k k k ⎛⎫∆=-+⨯=-> ⎪⎝⎭得：k <k > 又00090cos 000A B A B OA OB <∠<⇔∠>⇔⋅> ∴12120OA OB x x y y ⋅=+>又()()()2121212122224y y kx kx k x x k x x =++=+++22223841144k k k k -=++++22114k k -+=+∵2223101144k k k -++>++，即24k < ∴22k -<<故由①、②得2k -<<2k << 2、（Ⅰ）解：设抛物线的标准方程为px y 22=，则82=p ，从而.4=p 因此焦点)0,2(pF 的坐标为（2，0）.又准线方程的一般式为2p x -=。

【2020届】高考数学圆锥曲线专题复习：圆锥曲线定点定值和最值问题

圆锥曲线的定点、定值问题1、已知平面内的动点P 到定直线l ：x =的距离与点P 到定点)F 之比为．2（1）求动点P 的轨迹C 的方程；（2）若点N 为轨迹C 上任意一点（不在x 轴上），过原点O 作直线AB 交（1）中轨迹C 于点A 、B ，且直线AN 、BN 的斜率都存在，分别为、，问是否为定值？1k 2k 21k k ∙（3）若点M 为圆O ：上任意一点（不在x 轴上），过M 作圆O 的切线，交直线l 于点Q ，422=+y x 问MF 与OQ 是否始终保持垂直关系？2、已知椭圆的离心率为，一条准线为，若椭圆与轴交于2222:1x y C a b +=(0)a b >>12:4l x =C x 两点，是椭圆上异于的任意一点，直线交直线于点，直线交直线于点，,A B P C ,A B PA l M PB l N 记直线的斜率分别为.,PA PB 12,k k （1）求椭圆的方程；（2）求的值；C 12,k k （3）求证：以为直径的圆过轴上的定点，并求出定点的坐标.MN x3、已知圆，点，直线.22:9C x y +=(5,0)A -:20l x y -=⑴求与圆相切，且与直线垂直的直线方程；C l ⑵在直线上（为坐标原点），存在定点（不同于点），满足：对于圆上任一点，都有OA O B A C P 为一常数，试求所有满足条件的点的坐标.PAPBB 4、已知椭圆E ：的左焦点为F ，左准线与x 轴的交点是圆C 的圆心，圆C 恰好经过坐标原22184x y +=l 点O ，设G 是圆C 上任意一点.（1）求圆C 的方程；（2）若直线FG 与直线交于点T ，且G 为线段FT 的中点，求直线FG 被圆C 所截得的弦长；l （3）在平面上是否存在定点P ，使得？若存在，求出点P 坐标；若不存在，请说明理由.12GF GP =5、已知．221(5)5(13)C x y A ++=-A :，点，（Ⅰ）求过点A 与相切的直线l 的方程；1C A （Ⅱ）设关于直线l 对称的圆，则在x 轴上是否存在点P ，使得P 到两圆的切　21C C A A 为？荐存在，求出点P 的坐标；若不存在，试说明理由．6、已知椭圆的左、右焦点分别为，其半焦距为，圆的方程为)0(12222>>=+b a by a x 21F F 、c M .91635(222c y c x =+-（Ⅰ）若是圆上的任意一点，求证：为定值；P M 21PF PF （Ⅱ）若椭圆经过圆上一点，且，求椭圆的离心率；Q 1611cos 21=∠QF F （Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，若为坐标原点），求圆的方程。

知识总结圆锥曲线之动弦过定点的问题

题型三：动弦过定点的问题圆锥曲线自身有一些规律性的东西，其中一些性质是和直线与圆锥曲线相交的弦有关系，对这样的一些性质，我们必须了如指掌，并且必须会证明。

随着几何画板的开发，实现了机器证明几何问题，好多以前我们不知道的、了解不深入的几何或代数性质，都如雨后春笋般的出来了，其中大部分都有可以遵循的规律，高考出题人，也得设计好思维，让我们在他们设好的路上“走”出来。

下面我们就通过几个考题领略一下其风采。

例题4、已知椭圆C ：22221(0)x y a b a b+=>>的离心率为2，且在x 轴上的顶点分别为A 1(-2,0),A 2(2,0)。

（I ）求椭圆的方程；（II ）若直线:(2)l x t t =>与x 轴交于点T,点P 为直线l 上异于点T 的任一点，直线PA 1,PA 2分别与椭圆交于M 、N 点，试问直线MN 是否通过椭圆的焦点？并证明你的结论。

分析：第一问是待定系数法求轨迹方程；第二问中，点A 1、A 2的坐标都知道，可以设直线PA 1、PA 2的方程，直线PA 1和椭圆交点是A 1(-2,0)和M ，通过韦达定理，可以求出点M 的坐标，同理可以求出点N 的坐标。

动点P 在直线:(2)l x t t =>上，相当于知道了点P 的横坐标了，由直线PA 1、PA 2的方程可以求出P 点的纵坐标，得到两条直线的斜率的关系，通过所求的M 、N 点的坐标，求出直线MN 的方程，将交点的坐标代入，如果解出的t>2，就可以了，否则就不存在。

解：（I ）由已知椭圆C 的离心率2c e a ==，2a =,则得1c b ==。

从而椭圆的方程为2214x y += （II ）设11(,)M x y ，22(,)N x y ，直线1A M 的斜率为1k ,则直线1A M 的方程为1(2)y k x =+，由122(2)44y k x x y =+⎧⎨+=⎩消y 整理得222121(14)161640k x k x k +++-= 12x -和是方程的两个根，21121164214k x k -∴-=+ 则211212814k x k -=+，1121414k y k =+，即点M 的坐标为2112211284(,)1414k k k k -++，同理，设直线A 2N 的斜率为k 2，则得点N 的坐标为2222222824(,)1414k k k k --++ 12(2),(2)p p y k t y k t =+=-12122k k k k t-∴=-+，直线MN 的方程为：121121y y y y x x x x --=--， ∴令y=0，得211212x y x y x y y -=-，将点M 、N 的坐标代入，化简后得：4x t=又2t >，∴402t<< 椭圆的焦点为(3,0)43t∴=，即433t = 故当433t =时，MN 过椭圆的焦点。

圆锥曲线动点问题

圆锥曲线中动点的轨迹方程的求法

与圆锥曲线相关的动点轨迹问题正

圆锥曲线大题题型分类归纳大全

最新版圆锥曲线专题17之14不联立体系第一讲—单动点问题

圆锥曲线动点问题

圆锥曲线之动点轨迹方程

圆锥曲线中的典型问题与方法：圆锥曲线的定值、定点问题

02圆锥曲线中的动点距离问题【教师版】

圆锥曲线问题的三个易错点

圆锥曲线上的动点与不动点一道习题的挖掘、延伸和类比发散

高三数学解答题难题突破—圆锥曲线中动点轨迹方程问题

圆锥曲线两动点相关问题解决办法

圆锥曲线问题常见错误归类剖析

圆锥曲线单动点问题笔记

圆锥曲线动点问题

【2020届】高考数学圆锥曲线专题复习：圆锥曲线定点定值和最值问题

知识总结圆锥曲线之动弦过定点的问题