水文统计

（5）了解相关分析的基本概念和方法，特别要掌握两
变量直线相关、曲线相关的方法和具体步骤。
2
7.1 水文统计的意义 7.1.1 水文现象的特性 水文现象是一种自然现象，它有必然性的一面，
也有偶然性的一面。
必然性：是指事物在发展、变化中必然会出现的现象；
水文学中称水文现象的这种必然性为确定性。
偶然性：是指事物在发展、变化中可能出现也可能不
30
P
T 1 1 P
7.5频率曲线参数估计方法 用有限的样本观测资料估计总体分布线型中的 参数，如P—Ⅲ型的 x 、Cv、 Cs。
31
7.5频率曲线参数估计方法 7.5.1矩法 矩法是用样本矩估计总体矩，并通过矩和参数之间的 关系，来估计频率曲线参数的一种方法。
1 x xi n i 1
20
7.4.2 皮尔逊Ⅲ（P－Ⅲ）型曲线 这三个参数与总体的三个统计参数 x 、Cv、CS具有如下
关系： 4 2 CS
2 x CV C S
2CV a0 x 1 C S

21
2、皮尔逊Ⅲ型频率曲线及其绘制 水文计算中，一般需要求出指定频率P所相应的随机
对上式进行修正，有： 数学期望公式
m p 100 % n 1
切哥达也夫公式
p
m 0.3 100 % n 0.4
海森公式
m 0.5 p 100 % n
28
7.4.4 频率与重现期的关系 重现期是指某随机变量的取值在长时期内平均多少年 出现一次，又称多少年一遇。 1、当为了防洪研究暴雨洪水问题时，一般设计频率
第七章 水文统计
研究对象：频率计算，相关分析 研究内容：频率计算，包括随机变量及其概率分布、水 文频率曲线、水文频率计算适线法、相关分析。
1
研究目的： （1）了解概率、随机变量及其概率分布的基本概念；
（ 2 ）了解水文频率曲线常用的线型，要掌握 P-III 型
分布曲线和经验频率曲线的性质和计算方法； （3）了解频率曲线参数的估算方法； （4）掌握水文频率计算适线法的具体步骤和方法，特 别是参数对频率曲线的影响；
P＜50％，则: T=1/P
式中：T―重现期，年；P―频率，％。
2、当考虑水库兴利调节研究枯水问题时，设计频率
P＞50％，则 ：T=1/（1-P）
29
7.4.4 频率与重现期的关系
水文上常用“重现期”来代替“频率” 1. 当研究暴雨或洪水时（一般p≤50%）
T 1
例如，当某一洪水的频率为p=1%时，则T=100年， 称此洪水为百年一遇洪水，表示大于等于这样的 洪水平均100年会遇到一次。 2. 当研究枯水或年径流时（一般p≥50%） 例如，对于p=90%的枯水流量，则T=10年，称此为 十年一遇枯水流量，表示小于等于这样的流量平 均10年会遇到一次。
r E X E X r xi E X pi
i 1


n
r
对连续型随机变量，r阶中心矩为:
r E X E X r

X E X f x dx

r
16
7.4 水文频率曲线线型- 7.4.1 正态分布 正态分布具有如下形式的概率密度函数：
k1 k 2 k n 1 n k ki 1 n n i 1
12
2、均方差σ ：均方差是反映系列中各变量集中或离散的 程度。
2 x x i i 1 n

n
3、变差系数Cv ：衡量系列的相对离散程度。

x
2 k 1 i i 1 n
CV
F ( x) P( X x) f ( x)dx
x
11

7.3.3 随机变量的统计参数
1、均值：均值表示系列中变量的平均情况。设某水文变 量的观测系列（样本）为x1，x2，…… ,xn ， 则其均值为 :
x1 x2 xn 1 n x xi n n i 1
xi 令 ki 称模比系数，则 x
24
例：某站年径流系列符合pⅢ型分布，已知该系列的 R均=650mm，σ=162.5mm，Cs =2Cv，试结合下表 计算设计保证率p=90%的设计年径流量。
Cs Φ 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 -1.26 -1.24 -1.23 -1.22 -1.20
解：Cv=σ/R=162.5/650=0.25，∴Cs=2Cv=0.5 查表得Ф=-1.22，代入 X X (1 cV ) R90%=650×(1-0.25×1.22) =650×0.695=541.8mm
设事件X≥x 的概率用P（X≥x）来表示，它是随随 机变量取值x而变化的，所以P（X≥x）是x的函数，称为 随机变量x的分布函数，记为F（x），即: F(x)=P(X≥x) 。 它代表随机变量X大于等于某一取值x的概率。在数 学上称此曲线为分布曲线，水文统计中称为随机变量的 累积频率曲线，简称频率曲线。
23
在频率计算时，由已知的CS值，查φ值表得出不同的P的φ值， 然后利用已知的 、Cx V，即可求出与各种P相应的x值，从而可 绘制出皮尔逊Ⅲ型频率曲线。见附表1。 当CS等于CV的一定倍数时，P-Ⅲ型频率曲线的模比系 数 K p xp / x ,也已制成表格。频率计算时，由已知的CS和 CV查出与各种频率P相对应的KP值，然后即可算出与各种频率 对应的 xp K p x 。有了P和xp的一些对应值，即可绘制出皮尔 逊Ⅲ型频率曲线。
出现的现象，偶然现象也称随机现象；偶然现象仍然是有
规律的，一般称为统计规律。
3
7.1.2 水文统计的任务
水文统计的基本方法和内容具体有以下三点：
1、根据已有的资料（样本），进行频率计算，推 求指定频率的水文特征值； 2、研究水文现象之间的统计关系，应用这种关系延 长、插补水文特征值和作水文预报； 3、根据误差理论，估计水文计算中的随机误差范围。
P P

p
f 、C d
S
22
xx x CV
φ是标准化变量，称为离均系数。φ的均值为0，标准差
为1。只需要假定一个CS值，便可通过积分求出P与φ之间
的关系。 CS 、P及φ的对应数值关系见附表1。
由φ 就可以求出相应频率P的x值：
x x 1 CV
25
7.4.3 经验频率曲线 经验频率曲线由实测资料绘制而成，它是 水文频率计算的基础，具有一定的实用性。
26
7.4.3 经验频率曲线
设某水文要素（如年径流量）的实测系列共n项， 按由大到小的次序排列为x1、x2、...、xm、...、xn。经验 频率就是在系列中大于及等于样本xi的出现次数与样本 容量之比值，即

n
13
4、偏态系数CS ：衡量系列不对称程度。
x x
n i 1 i
3
3 nCV 当系列对于均值对称时，CS＝0；当系列对于均 值不对称时，CS≠0，若CS＞0，称为正偏；若CS＜0， 称为负偏。
CS
3
n

k
i 1
n
i
1
3
14
5、矩
⑴原点矩
随机变量X对原点离差的r次幂的数学期望E（Xr）， 称为随机变量X的r阶原点矩，以符号mr表示，即: mr= E（Xr） （r = 1，2，3，……，n） 对离散型随机变量，r阶原点矩为:
一事件在已知前一事件发生的条件下的条件概率， 即
P（AB）=P（A）×P（B︱A）， P（A）≠0
P（AB）=P（B）×P（A︱B）， P（B）≠0 若两个事件是相互独立的，它们共同出现的概率 等于事件A的概率乘以事件B的概率
Pபைடு நூலகம்AB）=P（A）×P（B）
7
7.3 随机变量及其概率分布 7.3.1 随机变量
f x 1 e
x x 2
2 2
2
x
式中：x - 平均数；
σ - 标准差；
e - 自然对数的底。
17
7.4 水文频率曲线线型- 7.4.1 正态分布
正态分布的密度曲线有以下特点： ① 单峰； ② 对于均值 x 对称，即 Cs 0 ； ③ 曲线两端趋于无限， 并以x轴为渐进线。
变量取值xp，即求出等于及大于xp的累积频率P值。
1 x a P Px x p x a e dx 0 x
0 p
直接计算P值非常麻烦，实际做法是通过变量转换，变 换成下面的积分形式 ,并将成果制成专用表格，从而使计
算简化:
mr E X
x
r n i 1
r
r i
pi
对连续型随机变量，r阶原点矩为:
mr E X r
x f xdx

15
⑵中心矩
随机变量X对分布中心E（X）离差的r次幂的数学期望 E{[X-E（X）]r}，称为随机变量X的r阶中心矩，以符号μr 表示，即:μr = E{[X-E（X）]r} 对离散型随机变量，r阶中心矩为:
18
7.4 水文频率曲线线型- 7.4.1 正态分布
19
7.4.2 皮尔逊Ⅲ（P－Ⅲ）型曲线 1、皮尔逊Ⅲ型曲线的概率密度函数
皮尔逊Ⅲ型曲线是一条一端有限一端无限的不对称单
峰、正偏曲线，数学上常称伽玛分布:
x a0 1 e xa f x
0

式中：Γ（α）―α的伽玛函数；α、β、a0―分别为皮尔逊 Ⅲ型分布的形状、尺度和位置参数，α﹥0， β﹥0 。
9
水文上通常称概率分布曲线为频率曲线 概率分布函数导数的负值，称为概率密度函数
f ( x) F ' ( x) dF ( x) dx