曲边梯形面积及定积分

a
b
y
yf (x)
b
上述曲边梯形面积的负值。
S [ f ( x)]dx
a b
S [ f ( x)]dx
a

b
a
b
f ( x)dx ． ，
c b
O a
b c
b x
S f (x)dx a f (x)dx a c
b
f (x
S f (x)dx a f (x)dx a c
v
2
v(t ) = - t 2 + 2
O
1
t
探究思考
思考 4：结合求曲边梯形面积的过程，你认 为汽车行驶的路程 S 由直线 t=0，t=1，v=0 2 和曲线 v=－t +2 所围成的曲边梯形的面积有 什么关系？
图中矩形面积和就是曲边 梯形的面积，从而汽车行 驶的路程 S lim S n 在数 值上就等于相应曲边梯形 面积.
a c
c
b
y
yf ( x)
O
a
c1 c2 a c1
Ｃ
b x
b c2

b
a
f ( x )dx f ( x )dx f ( x )dx f ( x )dx
性质 3 不论a，b，c的相对位置如何都有
a f (x)dx a f (x)dx c
y
b
c
b
f (x)dx。
y=f ( x)
1.5.1 曲边梯形的面积
一. 求曲边梯形的面积
1. 曲 边 梯 形 ： 在 直 角 坐 标 系 中 ， 由 连 续 曲 线 y=f(x)，直线x=a、x=b及 x轴所围成的图形叫做曲边 梯形。
y
y=f (x)
x=a
O
a
x=b
b
x
y = f ( x) y
A1 O a
Ai
An b x
将曲边梯形分成 n个小曲边梯形，并用小矩 阵形的面积代替小曲边梯形的面积， 于是曲边 梯形的面积A近似为 A A1+ A2 + + An —— 以直代曲,无限逼近
从求曲边梯形面积S的过程中可以看出,通过“四步
曲”:
n求和------取极限得到解决 n 分割---近似代替---b .a i 1 i 1
小矩形面积和S= f (xi )x f (xi )
n
如果当n∞时，S 的无限接近某个常数，
这个常数为函数f(x)在区间[a, b]上的定积分，记作
y yf ( x)
b
a f (x)dx a f (x)dx c
O a
b a
b
c
b
f (x)dx。
b x
特别地，当 ab 时，有 f (x)dx0。
定积分的几何意义：
当f(x)0时，由yf (x)、xa、xb 与 x 轴所围成的 曲边梯形位于 x 轴的下方，
积分 f (x)dx 在几何上表示
y x2

o
1x o
1x o
1x
o
1x
图1.5 5
4取极限 分别将区间0,1等分成4,8,,20, 等份 图1.5 5,可以看到,当n趋向于无穷大 , 即Δx趋向
1 1 1 于0时, Sn 1 1 趋向于S, 从而有S 3 n 2n n 1 i 1 1 1 1 1 lim Sn lim f lim 1 1 . n n n 3 n 2n 3 i1 n n
i
f(xi)x近似之。
y=f ( x)
n
取n个小矩形面积的和作为曲边梯
形面积S的近似值： S
n
f (x )x
i 1 i
(3)取极限:，所求曲边梯形的 面积S为
S lim f (xi )x
n i 1
O
a
xi xi xi+1 x
b
x
1.5.3 定积分的概念
一、定积分的定义
f (x)dx。
yf ( x)
探究:
根据定积分的几何意义,如何用定积分表示图中阴影部分 yf ( x) 的面积? y
S S1 S2 f ( x)dx g ( x)dx
a a
b
b
S1 y )dx fg ( x)
b
S2 g ( x)dx
a
a
b
O
a a
b x
a
b
ba 即 dx lim xfi。 (xi ) lim f (x)dx，即 )) dx f (x i) aa ff((xx n 0 n i 1 i 1
bb
n
n
定积分的定义： 即

b
a
ba f ( x)dx lim f (xi ) n n i 1
a f(x)dx a f (t)dt a
(3)
b
b
b
f(u)du。
（2）定义中区间的分法和 xi 的取法是任意的.
a f(x)dx - b f (x)dx
b
a
(2)定积分的几何意义：
当 f(x)0 时，积分 f ( x)dx 在几何上表示由 y=f (x)、 a xa、xb与 x轴所围成的曲边梯形的面积。
探究思考
思考 1：已知物体运动路程与时间的关系怎 样求物体的运动速度？
例如 S(t)=3t +2. 则 v(t)= S´ (t)=6t+0.
思考 2：已知物体运动速度为 v(常量)及时间 t，怎么求路程？
2
S=vt 直接求出
探究思考
思考 3：如果汽车做 变速直线运动， 在时 刻 t 的速度为 v(t)= 2 － t +2 。 那 么 它 在 0≤t≤1 这段时间内行 驶的路程 S 是多少 呢？
例1.求抛物线y=x2、直线x=1和x轴所围成的
y 曲边梯形的面积。 （1）分割 把区间[0，1]等分成n个小区间：
1 1 2 i 1 i n 1 n [0, ], [ , ], , [ , ], , [ , ], n n n n n n n
每个区间的长度为 i i 1 1 x n n n
三:
定积分的基本性质
性质1.

b
a
kf ( x )dx k f ( x )dx
a
b b
b
性质2.

b
a
[ f ( x ) g( x )]dx f ( x )dx g( x )dx
a a
三:
定积分的基本性质
性质3.
定积分关于积分区间具有可加性
b

a
f ( x )dx f ( x )dx f ( x )dx
可以证明 1 1 1 n 1 1 2 2 2 0 1 2 n 1 n n n n n n 1n2n 1 1 2 2 . 3 1 22 n 1 6 n
f )( dx x)dx f (x f )( dx x) dx f (x )f dx (x f )( dx x dx f (。 x)dx a fa(x a)。 a a a c c c
b
b
c
c
b
b
b
c
b
f (x)dx。
O
a
c
b
x
积分下限
b
n
被 积 函 数
被 积 表 达 式
积 分 变 量
定积分的定义： 即

b
a
ba f ( x)dx lim f (xi ) n n i 1
n
按定积分的定义，有 (1) 由连续曲线y=f(x) (f(x)0) ，直线x=a、x=b及 x轴所围成的曲边梯形的面积为
S f (x)dx；
o
y
i 1 i n n1图1.5 3y x2
n
o
i 1 i n n
1
图1.5 4
i 1 x 值f 从图形上看,就是 .
n 用平行于x轴的直线段近似
y
yx
2
o
y
i 1 i n n
1 x
地代替小曲边梯形的曲 边图1.5 4 .这样, 在区 i 1 i 间 , 上, 用小矩形 n n 的面积 ΔS 近似地代替 ΔSi , 即在局部小范围内 " 以直代曲" , 则有ΔSi i 1 ' ΔS i f Δx n
n
求由连续曲线yf(x)对应的曲边梯形面积的方法
n个小区间: a, x1 , x1, x2 , 每个小区间宽度△x
ba n
(1)分割:在区间[0,1]上等间隔地插入n-1个点,将它等分成
xi1, xi , , xn1, b,
(2)取近似求和 :任取xi[xi1, xi]，第i个小曲边梯形的面积用 y 高为f(x )而宽为x的小矩形面积
D S1 DS2 D S3 DS4
g
v(t ) = - t 2 + 2
D Sj
O
n
x
gD S
g
根据定积分的定义左边图形的面积为 1 1 5 2 S v(t )dt (t 2)dt 0 0 3
t
O
1 1 2 3 j n - 1
n n n n
n
说明：
(1) 定积分是一个数值, 它只与被积函数及积分区间有关， 而与积分变量的记法无关，即
y x2
O
1 n
2 n
k n
n n
x
过各区间端点作x轴的垂线，从而得到n个小 曲边梯形，他们的面积分别记作