含绝对值函数的综合问题一
绝对值优化题目

绝对值优化题目在数学中,绝对值是一个常见的概念,表示一个数的大小。
在某些情况下,我们需要优化绝对值的问题,即找到使得绝对值最小或最大的解。
问题描述给定一个函数 $f(x)$,我们的目标是找到一个变量 $x$ 的值,使得 $f(x)$ 的绝对值最小。
解决方法为了解决绝对值优化问题,我们可以使用以下简单的策略:1. 寻找临界点:找到函数 $f(x)$ 的使得导数等于零的点,并计算这些点处的函数值。
这些点可能是使得绝对值最小的解。
2. 假设正负情况:我们可以分别考虑 $f(x)$ 的正负两种情况。
我们寻找使得 $f(x)$ 最小的 $x$ 值和使得 $f(x)$ 最大的 $x$ 值。
然后比较两种情况下的绝对值,找到最小的绝对值解。
3. 利用最值问题的性质:如果函数 $f(x)$ 在某个点处取得最小(或最大)值,则在该点的左右两侧,函数的值会增加(或减小)。
我们可以利用这个性质对绝对值优化问题进行求解。
4. 使用数值优化算法:当函数 $f(x)$ 呈现复杂形式时,我们可以使用数值优化算法,如最小二乘法、牛顿法等,来计算绝对值优化问题的解。
示例为了更好地理解绝对值优化问题,下面给出一个简单的例子。
假设我们需要找到使得函数 $f(x) = |x-2|$ 绝对值最小的 $x$ 值。
我们可以按照如下步骤进行求解:1. 寻找临界点:根据 $f'(x) = 0$,我们得到 $x = 2$,计算得到$f(2) = 0$。
因此 $x = 2$ 是使得绝对值最小的解。
2. 假设正负情况:我们仅考虑 $x > 2$ 的情况。
在该情况下,$f(x) = x-2$。
我们可以发现,$f(x)$ 在 $x > 2$ 时,是一个递增函数。
因此,使得绝对值最小的解为 $x = 2$。
综上所述,函数 $f(x) = |x-2|$ 的绝对值最小的解为 $x = 2$。
结论绝对值优化题目是数学中常见的问题。
通过寻找临界点、假设正负情况、利用最值问题的性质以及使用数值优化算法等方法,我们可以解决绝对值优化问题,并找到使得绝对值最小或最大的解。
高中数学绝对值函数的应用实例及解题方法
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高中数学绝对值函数的应用实例及解题方法绝对值函数是高中数学中常见的一种函数形式,它在数学建模和实际问题中具有广泛的应用。
本文将通过具体的实例,来介绍绝对值函数的应用和解题方法,帮助高中学生更好地理解和掌握这一知识点。
一、求解绝对值不等式绝对值不等式是绝对值函数应用的重要形式之一。
我们以一个简单的例子开始,假设有如下的不等式:|2x - 1| < 3要求解这个不等式,我们可以将其拆分为两个不等式,即:2x - 1 < 3 和 2x - 1 > -3解得:x < 2 和 x > -1所以,原始的不等式的解集为 -1 < x < 2。
这个例子展示了如何通过拆分不等式来求解绝对值不等式,这也是解决绝对值不等式常用的方法之一。
二、求解含有绝对值的方程除了不等式,绝对值函数还常常出现在方程的解中。
我们以一个实际问题为例,来说明如何求解含有绝对值的方程。
例题:某地的温度每天都在变化,已知温度的变化规律可以用函数T(t) = |t - 5| - 3来表示,其中t表示时间(单位:小时),T(t)表示温度(单位:摄氏度)。
现在要求解在什么时间温度为0度。
解答:根据题意,我们需要求解方程|t - 5| - 3 = 0。
将绝对值函数的定义展开,得到两个方程:t - 5 - 3 = 0 或者 -(t - 5) - 3 = 0解得:t = 8 或者 t = 2所以,温度为0度的时间有两个解,分别是t = 8和t = 2。
这个例子展示了如何通过将绝对值函数的定义展开,来求解含有绝对值的方程。
这是解决这类问题常用的方法之一。
三、绝对值函数在距离和模型中的应用绝对值函数在距离和模型中的应用也是高中数学中的重要内容。
我们以一个典型的例子来说明。
例题:甲、乙两地相距200公里,甲地有一辆车以每小时50公里的速度往乙地行驶,乙地有一辆车以每小时40公里的速度往甲地行驶。
问多少小时后,两车相遇?解答:设两车相遇的时间为t小时,则甲地车行驶的距离为50t公里,乙地车行驶的距离为40t公里。
高考数学函数专题训练《含绝对值的函数》含答案解析
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高考数学函数专题训练 含绝对值的函数一、选择题 1.函数xxx x x x y tan tan cos cos sin sin ++=的值域为( ) A .{}3,1 B.{}3,1- C.{}3,1-- D.{}3,1- 【答案】B【解析】当sin 0,cos 0x x >>时3y =,sin 0,cos 0x x ><时1y =-,sin 0,cos 0x x <>时1y =-,sin 0,cos 0x x <<时3y =,∴值域为{}3,1-2.函数()ln 11x f x x-=-的图象大致为 ( )A .B .C .D .【答案】D【解析】由于()ln 3022f =>,排除C 选项,()ln 1220f =->,排除B 选项,11221ln20f ⎛⎫=< ⎪⎝⎭,不选A,故选D.3.设函数)(),(x g x f 的定义域为R ,且)(x f 是奇函数,)(x g 是偶函数,设)1()1()(-+-=x g x f x h ,则下列结论中正确的是( )A .)(x h 关于)0,1(对称B .)(x h 关于)0,1-(对称C .)(x h 关于1=x 对称D .)(x h 关于1-=x 对称 【答案】C【解析】因为函数()f x 是奇函数,所以()f x 是偶函数,即()f x 与()g x 均为偶函数,其图象均关于y 对称,所以(1)f x -与(1)g x -的图象都关于直线1x =对称,即()(1)(1)h x f x g x =-+-的图象关于直线1x =对称,故选C .4.已知()()211f x ax x a x =+--≤≤且1a ≤,则()f x 的最大值为( )A .54B .34C .3D .1【答案】A【解析】由题意得:()()222111f x a x x a x x x x =-+≤-+≤-+11x -≤≤ 22221511124x x x x x x x ⎛⎫∴-+=-+=-++=--+ ⎪⎝⎭∴当12x =,即12x =±时,()2max514x x -+=即:()54f x ≤,即()f x 的最大值为54,故选A .5.若函数()111101x x f x x x ⎧+-≠⎪=-⎨⎪=⎩,,,关于x 的方程2() ()0f x b f x c ++=有3个不同的实数根,则( ) A .b <﹣2且c >0 B .b >﹣2且c <0 C .b =﹣2且c =0 D .b >﹣2且c =0【答案】C【解析】令t =f (x ),则t 2+bt +c =0,设关于t 的方程有两根为t =t 1,t =t 2,关于x 的方程2() ()0f x b f x c ++=有3个不同的实数根等价于函数t =f (x )的图象与直线t =t 1,t =t 2的交点个数为3个,作出()f x 的简图如下:由函数t =f (x )的图象与直线t =t 1,t =t 2的位置关系可得: t 1=2,t 2=0,由韦达定理可得:1212022020b t t c t t -=+=+=⎧⎨=⋅=⨯=⎩,即b =﹣2,c =0,故选C . 6.已知函数()ln(1)f x x =-,满足()(4)f a f a >-,则实数a 的取值范围是( ) A .(1,2) B .(2,3)C .(1,3)D .(2,4)【答案】A【解析】函数()ln(1)f x x =-的定义域为()1,+∞,由()(4)f a f a >-可得:ln(1)ln(41)ln(3)a a a ->--=-,两边平方:[][][][]22ln(1)ln(3)ln(1)ln(3)ln(1)ln(3)0a a a a a a ->-⇔----+->则ln(1)ln(3)0ln(1)ln(3)01030a a a a a a --->⎧⎪-+->⎪⎨->⎪⎪->⎩(1)或ln(1)ln(3)0ln(1)ln(3)01030a a a a a a ---<⎧⎪-+-<⎪⎨->⎪⎪->⎩(2)解(1)得:a 无解 ,解(2)得:12a <<,所以实数a 的取值范围是(1,2),故选A.7.已知函数)0(|4|||)(>---=a a x a x x f ,若对R ∈∀x ,都有)(1)2(x f x f ≤-,则实数a 的最大值为( ) A .81 B .41 C .21D .1【答案】B【解析】(2)1()f x f x -≤,即为(2)()1f x f x -≤,即22441x a x a x a x a -----+-≤,设()2244g x x a x a x a x a=-----+-,则0,242,2 ()22,282,240,4axax a x ag x x a a x aa x a x ax a⎧≤⎪⎪⎪-<≤⎪⎪=-<≤⎨⎪⎪-<≤⎪⎪>⎪⎩,由题意,当2ax a<≤时,1()42212g x x a a a=-≤≤⇒≤,当2a x a<≤时,1()22212g x x a a a=-≤≤⇒≤,当24a x a<≤时,1()22414g x x a a a=-<≤⇒≤,所以14a≤,即a的最大值为14,选B.8.若函数()221f x x x ax=-+--没有零点,则实数a的取值范围是A.332a-≤<B.31a-≤<C.332a a≥<-或D.13a a≥<-或【答案】A【解析】因为函数()221f x x x ax=-+--没有零点,所以方程221x x ax-+-=无实根,即函数()221g x x x=-+-与()h x ax=的图像无交点,如图所示,则()h x的斜率a应满足332a-≤<,故选A.9.定义一种运算⎩⎨⎧>≤=⊗babbaaba,,,令()()t xxxxf-⊗-+=224(t为常数),且[]3,3-∈x,则使函数()x f最大值为4的t值是()A.2-或6B.4或6C.2-或4D.4-或4【答案】C.【解析】y=4+2x﹣x2在x∈[﹣3,3]上的最大值为4,所以由4+2x﹣x2=4,解得x=2或x=0.所以要使函数f(x)最大值为4,则根据定义可知,当t<1时,即x=2时,|2﹣t|=4,此时解得t=﹣2.当t>1时,即x=0时,|0﹣t|=4,此时解得t=4.故t=﹣2或4.10.已知函数()||––10||f x mx x m =>(), f (x )=|mx |–|x –1|(m >0),若关于x 的不等式()0f x <的解集中的整数恰有3个,则实数m 的取值范围为( ).A.0<m ≤1 B .34m ≤<23C.1<m <23D.23≤m <2【答案】B【解析】不等式()0f x <的解集中的整数恰有3个,即|||–|1mx x <的解集中的整数恰有3个. |||–|1mx x <可化为22()10,()mx x --<即([m (1)1]10][1,)m x x +-⋅-+<由于不等式解集中整数恰有三个,所以10,1,m m ->>不等式的解为11111x m m -<<<-+,从而解集中的三个整数为2,1,0--,132,1m --≤<--即1231m <≤-,2233m n m -<≤-,所以34m ≤<23.11.已知函数21,0()log ,0x x f x x x ⎧+≤⎪=⎨>⎪⎩,若方程()f x a =有四个不同的解1x ,2x ,3x ,4x ,且1234x x x x <<<,则3122341()x x x x x ++的取值范围是( ) A .(1,)-+∞ B .(]1,1- C .(,1)-∞ D .[)1,1- 【答案】B【解析】先画出函数21,0()log ,0x x f x x x ⎧+≤⎪=⎨>⎪⎩的图象,方程()f x a =有四个不同的解1x ,2x ,3x ,4x ,且1234x x x x <<<,由0x ≤时,()1f x x =+,则横坐标为1x 与2x 两点的中点横坐标为1x =-,即:122x x +=-,当0x >时,由于2log y x =在(0,1)上是减函数,在(1,)+∞上是增函数,又因为34x x <,4232log log x x =,则4310x x <<<,有1log log 434232=⇒=-x x x x ,又因为方程ax f =)(有四个不同的解,所以1log 32≤-x ,则213≥x ,则3122341()x x x x x ++=3312x x +-,)121(3<≤x ,设t t t g 12)(+-=,(121<≤t ),由于012)(2<--='tt g ,则)(t g 在)1,21[上是减函数,则1)(1≤<-t g .12.已知函数()121f x x =--,[0,1]x ∈.定义:1()()f x f x =,21()(())f x f f x =,……,1()(())n n f x f f x -=,2,3,4,n =满足()n f x x =的点[0,1]x ∈称为()f x 的n 阶不动点.则()f x 的n 阶不动点的个数是( )A.2n 个B.22n 个 C.2(21)n-个 D.2n 个【答案】D.【解析】函数12, 02()121122,12x x f x x x x ⎧≤≤⎪⎪=--=⎨⎪-<≤⎪⎩,当1[0,]2x ∈时,1()20f x x x x ==⇒=,当1(,1]2x ∈时,12()223f x x x x =-=⇒=,∴1()f x 的1阶不动点的个数为2,当1[0,]4x ∈,1()2f x x =,2()40f x x x x ==⇒=,当11(,]42x ∈,1()2f x x =,22()245f x x x x =-=⇒=,当13(,]24x ∈,1()22f x x =-,22()423f x x x x =-=⇒=,当3(,1]4x ∈,1()22f x x =-,24()445f x x x x =-=⇒=,∴2()f x 的2阶不动点的个数为22,以此类推,()f x 的n 阶不动点的个数是2n个.二、填空题 13.方程18|cos()||log |2x x π+=的解的个数为__________.(用数值作答)【答案】12【解析】由题意得求方程18sin log x x = 的解的个数,因为sin y x = 周期为π,而5π186π<<,又(0,1)x ∈时sin y x =与18log y x =-有一个交点,(1,π)x ∈时sin y x =与18log y x =有一个交点, (π,π+π),(1,2,3,4,5)x k k k ∈=时sin y x =与18log y x =有两个交点,因此共有2612⨯=个.14. 已知,函数在区间上的最大值是2,则__________.【答案】3或 【解析】当时,= 函数,对称轴为,观察函数的图像可知函数的最大值是.令,经检验,a=3满足题意.令,经检验a=5或a=1都不满足题意. 令,经检验不满足题意.当时,, 函数,对称轴为,观察函数的图像得函数的最大值是.当时,, 函数,对称轴为,观察函数的图像可知函数的最大值是.令, 令,所以.综上所述,故填3或.15.a 为实数,函数2()||f x x ax =-在区间[01],上的最大值记为()g a . 当a = 时,()g a 的值最小. 【答案】322-【解析】()()2f x x ax x x a =-=-.①当0a <时,函数()f x 的图像如图所示.函数()f x 在区间[]0,1上单调递增,()()()max 11f x g a f a ===-.aO yx②当0a =时,2()f x x =,()f x 在区间[]0,1上的最大值为()()11f g a a ==-.③当0a >时,函数()f x 的图像如图所示.xyO a(i )若12aa <<,即12a <<,()()2max 4a f a g a ==;(ii )若12a,即2a,()max 1f a a =-;(iii )若01a <<,()()()22max,22114max ,141,0221a a a f a a a a ⎧-<⎧⎫⎪=-=⎨⎬⎨⎩⎭⎪-<<-⎩. 综上所述,()()()212212212412a a ag a a a a ⎧-<-⎪⎪=-<⎨⎪⎪-⎩,,,,因此()()min 221322g a g ⎡⎤=-=-⎣⎦.16. 已知函数有六个不同零点,且所有零点之和为3,则的取值范围为__________. 【答案】【解析】根据题意,有,于是函数关于对称,结合所有的零点的平均数为,可得,此时问题转化为函数,在上与直线有个公共点,此时,当时,函数的导函数,于是函数单调递增,且取值范围是,当时,函数的导函数,考虑到是上的单调递增函数,且,于是在上有唯一零点,记为,进而函数在上单调递减,在上单调递增,在处取得极小值,如图:接下来问题的关键是判断与的大小关系,注意到,,函数,在上与直线有个公共点,的取值范围是,故答案为.。
微专题24 绝对值函数问题(解析版)

微专题24 绝对值函数问题【题型归纳目录】题型一:含一个绝对值的函数与不等式问题 题型二:含两个绝对值的和的问题 题型三:含两个绝对值的差的问题 题型四:含多个绝对值的问题 【典型例题】题型一:含一个绝对值的函数与不等式问题 例1.不等式|23|5x -<的解集为( ) A .(1,4)- B .(-∞,1)(4-⋃,)+∞C .(,4)-∞D .(1,)-+∞【解析】解:|23|5x -<, 5235x ∴-<-<,解得:14x -<<, 故选:A .例2.不等式|1|3x -<的解集是( ) A .(-∞,2)(4-⋃,)+∞ B .(2,4)-C .(1,4)D .(-∞,1)(4⋃,)+∞【解析】解:|1|3x -<,313x ∴-<-<,24x ∴-<<, 故不等式的解集是(2,4)-, 故选:B .例3.若不等式|2|3a x x -+对任意[0x ∈,2]恒成立,则实数a 的取值范围是( )A .(1,3)-B .[1-,3]C .(1,3)D .[1,3]【解析】解:由不等式|2|3a x x -+对任意[0x ∈,2]上恒成立,可得()|2|f x a x =-的图象在[0x ∈,2]上恒位于直线3y x =+的下方或在直线3y x =+上, 如图所示:∴02(2)|4|5af a ⎧<⎪⎨⎪=-⎩①,或02(2)|4|5(0)||3a f a f a ⎧⎪⎪=-⎨⎪=⎪⎩②.由①可得10a -<,由②可得03a ,故实数a 的取值范围是{|10a a -<,或者03}[1a =-,3],故选:B .变式1.已知t 为常数,函数2|4|y x x t =--在区间[0,6]上的最大值为10,则t = 2或6 . 【解析】解:函数22|4||(2)4|y x x t x t =--=---在区间[0,6]上的最大值为10, 故有2(62)410t ---=,或410t +=,求得2t =,或6t =, 故答案为:2或6.变式2.已知不等式|3|1x a x ->-对任意(0,2)x ∈恒成立,则实数a 的取值范围是 (,3)[7-∞,)+∞【解析】解:|3|1x a x ->-等价于31x a x ->-或31x a x -<-,解得12a x ->或14a x +<, 当1124a a -+<,即3a <时,不等式解集为R ,显然符合题意. 当3a 时,(0,2)(⊆-∞,11)(42a a +-⋃,)+∞, 所以124a +或102a -,解得7a 或1a (舍去), 综上,实数a 的取值范围是7a 或3a <. 故答案为:(,3)[7-∞,)+∞.变式3.已知a R ∈,函数4()||f x x a a x =+-+在区间[1,4]上的最大值是5,则a 的取值范围是 (-∞,9]2. 【解析】解:由题可知4||5x a a x +-+,即4||5x a a x+--,所以5a , 又因为4||5x a a x+--, 所以455a x a a x -+--, 所以4255a x x-+,又因为14x ,445x x +, 所以254a -,解得92a, 故答案为:(-∞,9]2.变式4.若函数4||y a x a x=-+-在区间[1,4]上的最小值是4,实数a 的取值范围是 [4.5,)+∞ . 【解析】解:由4y x x=+在[1,2)递减,[2,4]递增, 可得4y x x=+的最小值为4,最大值为5, 函数4||y a x a x=-+-的最值在顶点或区间的端点处取得, 若f (1)取得最小值4,即|5|4a a --=,可得 4.5a =, 即有4() 4.5| 4.5|f x x x=-+-,且此时f (1)f =(2)f =(4)取得最小值,成立; 若f (2)取得最小值4,即|4|4a a --=,即有4a ;此时f (1)|5|a a =--,f (4)|5|a a =--,f (2)4=,由f (2)f (1),解得 4.5a ; 当f (4)取得最小值4,即|5|4a a --=,解得 4.5a =,成立. 综上可得a 的范围是[4.5,)+∞. 故答案为:[4.5,)+∞.题型二:含两个绝对值的和的问题例4.不等式|1||2|4x x -++的解集是( ) A .53(,)22-B .53[,]22-C .3[2,]2-D .5[,1)2-【解析】解:令()|1||2|f x x x =-++, 则21,2()3,2121,1x x f x x x x ---⎧⎪=-<<⎨⎪+⎩,∴当2x -时,|2||1|4214x x x ++-⇔--,522x ∴--; 当21x -<<时,有34恒成立,当1x 时,|2||1|4214x x x ++-⇔+,312x∴. 综上所述,不等式|2||1|4x x ++-的解集为5[2-,3]2.故选:B .例5.不等式2|1||2|2x x a a ++--恒成立,则a 的取值范围是( ) A .(,3)-∞B .(3,)+∞C .[1-,3]D .(-∞,1][3-,)+∞【解析】解:|1||2||(1)(2)|3x x x x ++-++-=,|1||2|x x ∴++-的最小值为3,2|1||2|2x x a a ++--恒成立,∴只需223a a -,13a ∴-,a ∴的取值范围为[1-,3].故选:C .例6.若关于x 的不等式|2||1|x x a -+-在R 上恒成立,则a 的最大值是( ) A .0B .1C .1-D .2【解析】解:由绝对值的性质得()|2||1||(2)(1)|1f x x x x x =-+----=,所以()f x 最小值为1,从而1a ,解得1a , 因此a 的最大值为1. 故选:B .变式5.若关于x 的不等式|2|||x x a a -+-在R 上恒成立,则a 的最大值是( )A .0B .1C .1-D .2【解析】解:化简得:|2||||(2)()||2|x x a x x a a a -+----=-,当20a -,即2a 时,上式化为2a a -,实数a 无解;当20a -,即2a 时,上式化为2a a -,解得22a ,解得1a , 综上,实数a 的范围为1a , 则实数a 的最大值为1. 故选:B .变式6.不等式|1||24|6x x ++->的解集为 (-∞,1)(3-⋃,)+∞ . 【解析】解:由于33,1|1||24|5,1233,2x x x x x x x x -<-⎧⎪++-=--<⎨⎪-⎩,故当1x <-时,不等式即336x ->,解得1x <-. 当12x -<时,不等式即56x ->,解得x 无解.当2x 时,不等式即336x ->,解得3x >. 综上可得,不等式的解集为(-∞,1)(3-⋃,)+∞, 故答案为(-∞,1)(3-⋃,)+∞.变式7.关于x 的不等式|2||8|x x a -+-在R 上恒成立,则a 的最大值为 6 . 【解析】解:由绝对值的性质得()|2||8||(2)(8)|6f x x x x x =-+----=,所以()f x 最小值为6,从而6a ,解得6a , 因此a 的最大值为6. 故答案为:6.变式8.已知函数()f x 是定义在R 上的奇函数,当0x 时,1()(|||2|3||)2f x x a x a a =-+--.若集合{|(1)()0x f x f x -->,}x R ∈=∅,则实数a 的取值范围为 1(,]6-∞ .【解析】解:若{|(1)()0x f x f x -->,}x R ∈=∅, 则等价为(1)()0f x f x --恒成立,即(1)()f x f x -恒成立, 当0x 时,1()(|||2|3||)2f x x a x a a =-+--.若0a ,则当0x 时,1()(23)2f x x a x a a x =-+-+=,()f x 是奇函数,∴若0x <,则0x ->,则()()f x x f x -=-=-,则()f x x =,0x <,综上()f x x =,此时函数为增函数,则(1)()f x f x -恒成立, 若0a >,若0x a 时,1()[(2)3]2f x x a x a a x =-+---=-;当2a x a <时,1()[(2)3]2f x x a x a a a =----=-;当2x a >时,1()(23)32f x x a x a a x a =-+--=-.即当0x 时,函数的最小值为a -, 由于函数()f x 是定义在R 上的奇函数, 当0x <时,()f x 的最大值为a , 作出函数的图象如图: 由于x R ∀∈,(1)()f x f x -,故函数(1)f x -的图象不能在函数()f x 的图象的上方,结合图可得133a a -,即61a ,求得106a <, 综上16a, 故答案为:(-∞,1]6题型三:含两个绝对值的差的问题例7.若存在实数x 使得不等式2|1||1|3x x a a +---成立,则实数a 的取值范围为( ) A .(-∞317317][2-+,)+∞ B .(-∞,2][1-,)+∞C .[1,2]D .(-∞,1][2,)+∞【解析】解:令2,1()|1||1|2,112,1x f x x x x x x --⎧⎪=+--=-<<⎨⎪⎩,则2()2f x -,即2|1||1|2x x -+--,若存在实数x 使得不等式2|1||1|3x x a a +---成立, 则232a a --, 解得2a 或1a . 故选:D .例8.若关于x 的不等式2|1||2|2x x a a +-->+有实数解,则实数a 的取值范围为( ) A .(3,1)-B .(1,3)-C .(-∞,3)(1-⋃,)+∞D .(-∞,1)(3-⋃,)+∞【解析】解:|1||2||(1)(2)|3x x x x +--+--=,3|1||2|3x x ∴-+--,由不等式2|1||2|2x x a a +-->+有实数解, 知232a a >+,解得31a -<<.故选:A .例9.若关于x 的不等式2|1||2|4x x a a +--<-有实数解,则实数a 的取值范围为( )A .(-∞,1)(3⋃,)+∞B .(1,3)C .(-∞,3)(1--⋃,)+∞D .(3,1)--【解析】解:|1||2|x x +--表示数轴上的x 对应点到1-的距离减去它到2的距离,它的最大值为3,最小值等于3-,243a a ->-,2430a a -+>,3a ∴>,或1a <,故实数a 的取值范围为(-∞,1)(3⋃,)+∞,故选:A .变式9.对所有的x R ∈,不等式2|20||5|2x x a a ---+恒成立,实数a 的取值范围是 (-∞,5][3-,)+∞【解析】解:|20||5|15x x ---,对所有的x R ∈,不等式2|20||5|2x x a a ---+恒成立,则2215a a +,解得5a -或3a .故答案为(-∞,5][3-,)+∞.变式10.关于x 的不等式2|3||1|5x x a a +---的解集不是∅,则实数a 的取值范围为 (-∞,1][4,)+∞ .【解析】解:|3||1||(3)(1)|4x x x x +---+--=-, (|3||1|)4min x x ∴+--=-.不等式2|3||1|5x x a a +---的解集不是∅,∴只需25(|3||1|)4min a a x x -+--=-,2540a a ∴-+,4a ∴或1a ,a ∴的取值范围为(-∞,1][4,)+∞.故答案为:(-∞,1][4,)+∞. 题型四:含多个绝对值的问题例10.设函数()|1||2||2018||1||2||2018|()f x x x x x x x x R =++++⋯+++-+-+⋯+-∈,下列四个命题中真命题的序号是( ) (1)()f x 是偶函数;(2)当且仅当0x =时,()f x 有最小值; (3)()f x 在(0,)+∞上是增函数;(4)方程2(55)(2)f a a f a -+=-有无数个实根 A .(1)(4)B .(1)(2)C .(1)(2)(3)D .(2)(3)(4)【解析】解:()|1||2||2018||1||2||2018|f x x x x x x x =++++⋯+++-+-+⋯+-,()|1||2||2018||1||2||2018|f x x x x x x x ∴-=-++-++⋯+-++--+--+⋯+-- |1||2||2018||1||2||2018|()x x x x x x f x =-+-+⋯+-+++++⋯++=, ()f x ∴为偶函数,故(1)正确.根据绝对值的几何意义可得()(|1||1|)(|2||2|)(|3||3|)(|2018||2018|)f x x x x x x x x x =++-+++-+++-+⋯+++- 2018(24036)2464036201820192++++⋯+==⨯,当且仅当11x -时,取等号.故(2)错误;由于1()2f f =(1),显然函数()f x 在(0,)+∞上不是增函数,故(3)不正确;由于2(55)(2)f a a f a -+=-,且函数()f x 为偶函数,2552a a a ∴-+=-,或255(2)a a a -+=--,或21551121a a a ⎧--+⎨--⎩. 解得1a =,或3a =,或32a =或13a ,故方程2(55)(2)f a a f a -+=-有无数个实根,故(4)正确. 故答案为:(1)(4) 故选:A .例11.若|1||2||10||11|x x x x m -+-+-+-对一切x R ∈恒成立,则实数m 的取值范围为 (-∞,18] . 【解析】解:244,(1)222,(12)|1||2||10||11|18,(210)22,(1011)424,(11)x x x x x x x x x x x x x -⎧⎪-<⎪⎪-+-+-+-=<⎨⎪-<⎪->⎪⎩,可得|1||2||10||11|18x x x x -+-+-+-,若|1||2||10||11|x x x x m -+-+-+-对一切x R ∈恒成立,则实数m 的取值范围为(-∞,18]. 故答案为:(-∞,18].例12.已知函数()|1||21||31||1001|f x x x x x =-+-+-+⋯+-,则当x = 171时,()f x 取得最小值. 【解析】解:()|1||21||31||1001|f x x x x x =-+-+-+⋯+- 111|1|2||3||100||23100x x x x =-+-+-+⋯+-111111|1|||||||||||||22333100x x x x x x x =-+-+-+-+-+-+⋯+-共有1(1100)10050502+⨯⨯=项 又||||||x a x b a b -+--(注:||x a -为x 到a 的距离⋯||||x a x b -+-即为x 到a 的距离加上x 到b 的距离,当x 在a ,b 之间时,||||x a x b -+-最小且值为a 到b 的距离) 所以()f x 的5050项 前后对应每两项相加,使用公式||||||x a x b a b -+--111()(1)()1002100f x -+-+⋯+⋯当x 在每一对a ,b 之间时,等号成立 由于170(170)24852⨯+⨯= 171(711)25562⨯+⨯= 所以()f x 最中间的两项(第2525,2526项)是1||71x - 所以11111()(1)()()10021007171f x -+-+⋯+- 当171x =时等号成立 则当171x =时()f x 取得最小值 变式11.已知函数()|1||21||31|f x x x x =-+-+-.则f (2)= 9 ,()f x 的最小值为 . 【解析】解:(1)f (2)|21||221||321|9=-+⨯-+⨯-= (2)136,3111,()32141,1263,1x x x f x x x x x ⎧-⎪⎪⎪<⎪=⎨⎪-<⎪⎪⎪->⎩, 由()f x 单调性知,最小值为1.变式12.已知函数()|1||2||3||20|f x x x x x =-+-+-+⋯+-,x N +∈且120x .(1)分别计算f (1),f (5),(20)f 的值;(2)当x 为何值时,()f x 取得最小值?最小值是多少? 【解析】解:(1)由()|1||2||3||20|f x x x x x =-+-+-+⋯+-, 得f (1)19(119)012191902⨯+=+++⋯+==;f (5)15(115)43210121510101201302⨯+=+++++++⋯+=+=+=; 19(191)(20)19181732101902f ⨯+=+++⋯++++==. (2)设x 是1~20中的某一整数,则()(1)(2)321012(20)f x x x x =-+-+⋯+++++++⋯+- (1)[1(1)](20)[1(20)]22x x x x -+--+-=+222121399(242420)21210()224x x x x x =-+=-+=-+. 因为x N +∈,所以当10x =或11时,()f x 取最小值, (10)(11)100f f ==,即最小值是100.【过关测试】 一、单选题1.(2022·安徽·芜湖一中高一阶段练习)已知集合{}21A x x =-≤,{}1,2,3,4B =,则A B =( ) A .{}4 B .{}3,4 C .{}2,3,4 D .{}1,2,3【答案】D【解析】因为{}{}{}2112113A x x x x x x =-≤=-≤-≤=≤≤,故{}1,2,3A B =. 故选:D.2.(2022·江苏·扬州市邗江区蒋王中学高一阶段练习)设a ∈R ,若不等式22112480x x ax x x x-+++-+≥恒成立,则实数a 的取值范围是( ) A .[]1,5- B .[]1,6- C .[]2,6- D .[]2,2-【答案】C【解析】由题意可得()221142+++8a x x x x x-≤-,且0x ≠. 当0x >时,可得2211842+++a x x x x x-≤-, 由绝对值三角不等式可得222211811888++++++=2+22x x x x x x x x x x x x x x-≥-≥⋅, 当且仅当=2x 时,等号成立,所以,428a -≤,可得2a ≥-;当<0x 时,可得222211811842++a x x x x x x x x x x ⎛⎫⎛⎫-≥--+---=--+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,因为()222211811888++2228x x x x x x x x x x x x x x--≥-++-=-+≥-⋅=--, 当且仅当=2x -时,等号成立,故428a -≥-,解得6a ≤.综上所述,26a -≤≤.故选:C.3.(2022·河南·新密市第一高级中学高一阶段练习)设a ,b 是实数,集合{}1,A x x a x R =-<∈,{}|||3,B x x b x R =->∈,且A B ⊆,则a b -的取值范围为( )A . []0,2B .[]0,4C .[)2,+∞D .[)4,+∞ 【答案】D【解析】集合{}{}1,|11A x x a x R x a x a =-<∈=-<<+,{}{3,|3B x x b x R x x b =-∈=<-或}3x b >+ 又A B ⊆,所以13a b +≤-或13a b -≥+即4a b -≤-或4a b -≥,即4a b -≥所以a b -的取值范围为[)4,+∞故选:D4.(2022·浙江·温州中学高一期中)已知函数()()122021122021f x x x x x x x x R =++++⋅⋅⋅+++-+-+⋅⋅⋅+-∈,且实数a 满足()()221f a a f a --=+,则实数a 的取值范围为( )A .3a =或1a =11315a --≤≤B .3a =或1a =C .3a =或1a =-D .3a =或1a =或1a =-【答案】A【解析】因为函数()f x 的定义域为R ,而()()f x f x -=,所以函数()f x 为偶函数,又112x x ++-≥,当且仅当11x -≤≤时取等号, 224x x ++-≥,当且仅当22x -≤≤时取等号,……202120214042x x ++-≥,当且仅当20212021x -≤≤时取等号,所以()()1220211220212122021f x x x x x x x =++++⋅⋅⋅+++-+-+⋅⋅⋅+-≥+++,当且仅当11x -≤≤时取等号,当12x ≤≤时,()()122021122021=2222021f x x x x x x x x =++++⋅⋅⋅+++-+-+⋅⋅⋅+-+++,当23x ≤≤时,()()122021122021=4232021f x x x x x x x x =++++⋅⋅⋅+++-+-+⋅⋅⋅+-+++,…… 当20202021x ≤≤时,()122021122021=404022021f x x x x x x x x =++++⋅⋅⋅+++-+-+⋅⋅⋅+-+⨯, 当2021x >时,()122021122021=4042f x x x x x x x x =++++⋅⋅⋅+++-+-+⋅⋅⋅+-,故函数()f x 在[)1,+∞上递增,再根据函数()f x 为偶函数,所以()f x 在(],1-∞-上递增,因此()()221f a a f a --=+可等价于221a a a --=+或()221a a a --=-+或2121111a a a ⎧-≤--≤⎨-≤+≤⎩,解得1a =-或3a =或1a =11315a --≤≤ 故选:A .5.(2022·江苏·海安高级中学高一阶段练习)若不等式21x x a +--≤对一切x R ∈恒成立.则实数a 的取值范围为( )A .3a >B .3a <C .3a ≥D .3a ≤【答案】C 【解析】设21y x x =+--,当21x -≤≤时,()2121y x x x =++-=+;当1x >时,()()213y x x =+--=;当<2x -时,()()213y x x =-++-=-, 故21y x x =+--有最大值3. 21x x a +--≤对一切x ∈R 恒成立,则a 必大于等于21y x x =+--的最大值3.故取值范围为[)3,+∞.故选:C .6.(2022·全国·高一课时练习)已知函数()()1,f x ax b a b R x =++∈,当1,22x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时,设()f x 的最大值为(),M a b ,则(),M a b 的最小值为( )A .18B .14C .12D .1【答案】B【解析】函数()()1,f x ax b a b R x =++∈,当1[2x ∈,2]时,()f x 的最大值为(,)M a b , 可得1(,)(2)|2|2M a b f a b ≥=++,11(,)()|2|22M a b f a b ≥=++,(,)(1)|1|M a b f a b ≥=++,可得1(3M a ,2)(3b M a +,)(b M a +,211124)1336333b a b a b a b ≥++++++++ 211124113363332a b a b a b ≥+++++---=, 即()12,2M a b ≥,即有()1,4M a b ≥,则(,)M a b 的最小值为14, 故选:B 7.(2022·浙江杭州·高一期末)当[1,1]x ∈-时,不等式2||||1ax b x c ++≤恒成立,则||||||a b c ++的最大值为( )A .18B .17C .16D .15【答案】B【解析】因为[1,1]x ∈-, 所以[0,1]x ∈, 当0x =时,可得1c ≤①, 当12x =时,可得142a b c ++≤②, 当1x =时,可得1a b c ++≤③, 由①②③可得114()()84222a b a c a b c c =++-++-≤, 134()()84244a b b c a b c c =++-++-≤, 所以88117a b c ++≤++=,故选:B8.(2022·江苏省太湖高级中学高一期中)设{}|22A x x =-≥,{}|1B x x a =-<,若A B ⋂=∅,则a 的取值范围为( )A .1a <B .01a <≤C .1a ≤D .03a <≤【答案】C 【解析】由22x -≥得22x -≤-或22x -≥,解得0x ≤或4x ≥,所以(][),04,A =-∞⋃+∞, 由1x a -<得1a x a -<-<,解得11a x a -<<+,所以()1,1B a a =-+.当0a ≤时,B =∅,A B ⋂=∅,符合题意. 当0a >时,由于A B ⋂=∅,所以1014a a -≥⎧⎨+≤⎩,解得01a <≤. 综上所述,a 的取值范围是1a ≤.故选:C9.(2022·辽宁·沈阳二中高一阶段练习)已知函数()1f x mx x =--(0m >),若关于x 的不等式()0f x <的解集中的整数恰有3个,则实数m 的取值范围为( )A .01m <≤B .4332m ≤<C .312m <<D .322m ≤< 【答案】B【解析】()0f x <可化为1mx x <-,作函数y mx =与函数1y x =-的图象如下,结合图象可知,关于x 的不等式()0f x <的解集中的3个整数解为0,1-,2-; 故只需使221331m m ⎧-<--⎪⎨-≥--⎪⎩,解得4332m ≤<; 故选:B .二、多选题10.(2022·黑龙江·哈尔滨三中高一期中)定义{},min ,,a a b a b b a b≤⎧=⎨>⎩,若函数{}2()min 33,|3|3f x x x x =-+--+,且()f x 在区间[,]m n 上的值域为37,44⎡⎤⎢⎥⎣⎦,则区间[,]m n 长度可以是( ) A .74B .72C .114D .1【答案】AD 【解析】令23333x x x -+≤--+①,当3x ≥时,不等式可整理为2230x x --≤,解得13x -≤≤,故3x =符合要求,当3x <时,不等式可整理为2430x x -+≤,解得13x ≤≤,故13x ≤<,所以不等式①的解为13x ≤≤; 由上可得,不等式23333x x x -+>--+的解为1x <或3x >,所以()233,1333,13x x x f x x x x ⎧-+≤≤⎪=⎨--+⎪⎩或, 令23334x x -+=,解得32x =,令27334x x -+=,解得52x =或12,令3334x --+=,解得34x =或214,令7334x --+=,解得74x =或174,所以区间[],m n 的最小长度为1,最大长度为74. 故选:AD.11.(2022·江苏·靖江高级中学高一阶段练习)若R x ∃∈,使得|21||32|x x m +--<成立是假命题,则实数m 可能取值是( )A .5B .4C .4-D .5-【答案】CD【解析】因为R x ∃∈,使得|21||32|x x m +--<成立是假命题,所以R x ∀∈,都有|21||32|x x m +--≥.记()|21||32|f x x x =+--,只需()min m f x ≤. ()34,213=|2+1||32|=42,<2214,<2x f x x x x x x ≥----≤--⎧⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎩, 所以()min 4f x =-,所以4m ≤-.对照四个选项,C 、D 符合题意.故选:CD12.(2022·辽宁·沈阳市第五中学高一阶段练习)下面命题中正确的为( )A .不等式|1||2|3x x ++->的解集为RB .不等式|1||2|3x x ++-≥的解集为RC .不等式|1||2|5++->x x 的解集为(2,3)x ∈-D .不等式|1||2|5++->x x 的解集为(,2)(3,)x ∈-∞-⋃+∞【答案】BD【解析】对于A ,当0x =时,|1||2|3x x ++-=,故选项A 错误;对于B ,因为|1||2||(1)(2)|3x x x x ++-≥---=,即不等式|1||2|3x x ++-≥恒成立,所以不等式|1||2|3x x ++-≥的解集为R ,故选项B 正确;对于C ,不等式|1||2|5++->x x ,当1x <-时,则125x x --+->,解得<2x -;当12x -≤≤时,则125x x ++->,解得x ∈∅;当2x >时,则125x x ++->,解得3x >.综上所述,不等式|1||2|5++->x x 的解集为(,2)(3,)x ∈-∞-⋃+∞,故选项C 错误,D 正确.. 故选:BD.三、填空题13.(2022·天津市汇文中学高一阶段练习)关于x 的不等式|x -2|+|x +1|≤10的解集为___________.【答案】911,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦【解析】当x >2时,原不等式可化为:(x -2)+x +1≤10,解得2<x ≤112;当-1≤x ≤2时,原不等式可化为:-(x -2)+x +1≤10,即3≤10,所以-1≤x ≤2;当x <-1时,原不等式可化为:-(x -2)-(x +1)≤10,即-2x ≤9,解得92-≤x <-1. 综上所述,原不等式的解集是911,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦. 故答案为:911,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦.14.(2022·全国·高一专题练习)不等式122x x x -+-<+的解集为_________. 【答案】153x x ⎧⎫<<⎨⎬⎩⎭ 【解析】23,2121,1223,1x x x x x x x ->⎧⎪-+-=≤≤⎨⎪-+<⎩,|1||2|2x x x ∴-+-<+化为:2232x x x >⎧⎨-<+⎩或1212x x ≤≤⎧⎨<+⎩或1232x x x <⎧⎨-+<+⎩解得:25x <<或12x ≤≤或113x <<.∴不等式|1||2|2x x x -+-<+的解集为:153x x ⎧⎫<<⎨⎬⎩⎭故答案为:153x x ⎧⎫<<⎨⎬⎩⎭15.(2022·全国·高一专题练习)设1234T x x x x =-+-+-+-,如果x 可取任意实数值,那么T 的最小值是_____.【答案】4【解析】根据绝对值的几何意义可知,可转化为在数轴上有A B C D ,,,四点,其对应的值分别为1234,,,,求一点M ,使得MA MB MC MD +++最小,当M 在线段AD 上时,MA MD +的最小值为3,当M 在线段BC 上时,MB MC +的最小值为1, 故当M 在线段BC 上时,MA MB MC MD +++的最小值是4.故答案为:4.16.(2022·全国·高一专题练习)不等式12x x m -++≥恒成立,则m 的取值范围是_________.【答案】3m ≤ 【解析】12123y x x x x =-++≥---=,即函数的最小值是3,若不等式12x x m -++≥恒成立,则3m ≤.故答案为:3m ≤四、解答题17.(2022·广东实验中学附属天河学校高一阶段练习)已知集合{}|123A x x x =-+-<,{}2|4B x x ax =+≤,A B ⋂=∅,求a 的取值范围. 【解析】123x x -+-<表示数轴上的点x 到1与2的距离之和小于3,∴03x <<,∴()0,3A =,{}2|4B x x ax =+≤,A B ⋂=∅,∴24x ax +≤在()0,3上无解,即4≥+a x x 在()0,3上无解, ∴ ()0,3x ∀∈,4a x x <+恒成立, 444x x x x+≥⋅,当且仅当2x =时,等号成立,4a <, ∴a 的取值范围为(),4-∞18.(2022·湖北武汉·高一期中)已知函数()21f x x x =-++.(1)求不等式()4f x ≥的解集;(2)当R x ∈时,若()2f x m m ≥-恒成立,求实数m 的取值范围.【解析】(1)由于()21,1213,1221,2x x f x x x x x x -+≤-⎧⎪=-++=-<<⎨⎪-≥⎩,当1x <-时,214x -+≥,解得32x ≤-,此时32x ≤-; 当12x -≤<时,34≥不成立,此时无解;当2x ≥时,214x -≥,解得52x ≥,此时52x ≥. 综上:()4f x ≥的解集为35,,22⎛⎤⎡⎫-∞-+∞ ⎪⎥⎢⎝⎦⎣⎭. (2)∵()()()21213f x x x x x =-++≥--+=,当且仅当[]1,2x ∈-时等号成立∴23m m -≤,即230m m --≤113113m -+≤≤ ∴m 的取值范围是113113⎡-+⎢⎣⎦. 19.(2022·四川·成都铁路中学高一阶段练习)已知函数()|1|||f x x x a =-+-(1)若函数()f x 的值域为[2,)+∞,求实数a 的值(2)若(2)(2)f a f -≥,求实数a 的取值范围.【解析】(1)函数()|1||||1()||1|f x x x a x x a a =-+----=-,当()()10x x a --≤时,等号成立,|1|2a ∴-=,解得=3a 或1a =-.(2)由(2)(2)f a f -≥,可得3121a a ---≥,则13(1)(2)1a a a ≤---≥⎧⎨⎩或1<23(1)(2)1a a a ≤---≥⎧⎨⎩或>23(1)(2)1a a a ⎧⎨---≥⎩, 解得:0a ≤或322a ≤≤或2a >.综上,a 的范围是:3(,0],2⎡⎫-∞+∞⎪⎢⎣⎭. 20.(2022·浙江·高一阶段练习)已知a ,b ,c ∈R ,函数2y ax bx c =++.(1)若1a =,关于x 的不等式222430ax bx c x x ++≤--对任意x ∈R 恒成立,求b ,c 的值; (2)若a ,*b ∈N ,1c =,关于x 的方程20ax bx c ++=有两个不相等的实根,且均大于1-小于0,求a b +的最小值.【解析】(1)由224300x x --=,解得5x =或3x =-,则当5x =或3x =-时,2550930a b c a b c ⎧++≤⎪⎨-+≤⎪⎩,即2550930a b c a b c ⎧++=⎪⎨-+=⎪⎩,由1a =,解得215b c =-⎧⎨=-⎩,∴2b =-,15c =-;(2)由题意得2Δ4010200b ac b a a b c c ⎧=->⎪⎪-<-<⎪⎨⎪-+>⎪>⎪⎩,∴2241ba b a a b⎧>⎪⎪⎪<⎨⎪+>⎪⎪⎩,由244b a >≥得3b ≥,若3b =,∴329413a a a ⎧>⎪⎪⎪<⎨⎪+>⎪⎪⎩,则924<<a ,无解,若4b =,∴2414aa a >⎧⎪<⎨⎪+>⎩,则34a <<,无解,若5b =,∴5225415a a a ⎧>⎪⎪⎪<⎨⎪+>⎪⎪⎩,则2544a <<,∴5a =或6a =,显然5a =时,a b +更小,为10,若6b ≥,由1a b +>,得2111a b b +>-≥,∴a b +的最小值为10,当5a =,5b =时取得.21.(2022·江苏省阜宁中学高一阶段练习)(1)求不等式2421x x x -++≥-的解集;(2)若不等式2321x x x mx ++--≥的解集包含(]0,1,求实数m 的取值范围;(3)已知2214x a x a -+-+≥在R x ∈时恒成立,求a 的取值范围.【解析】(1)①当1x ≥时不等式为2422x x x -++≥-解得:12x ≤≤②当1x <时,不等式为2422x x x -++≥-3171x -≤≤ 综上得:不等式的解集为:3172x x ⎧⎫-⎪⎪≤≤⎨⎬⎪⎪⎩⎭∣(2)2321x x x mx ++--≥的解集包含(]0,1,故原不等式转化为:231x x mx ++≥在(]0,1恒成立,即13x m x ++≥在(]0,1恒成立,而对勾函数13y x x =++在区间(]0,1上单调递减,∴当1x =时,13y x x =++有最小值5,5m ∴≤.(3)()()222212121x a x a x a x a a a -+-+≥---+=-+, 2214x a x a ∴-+-+≥恒成立化为:2214a a -+≥,解得3a ≥或1a ≤-.。
江苏省高三数学一轮复习之 含绝对值的函数的解答题)

含绝对值的函数的解答题类型一简单的前面系数确定的绝对值函数1.(1)用分段函数的形式表示该函数;(2)在所给的坐标系中画出该函数的图象;(3)写出该函数的定义域、值域、单调增区间、单调减区间(不要求证明).2.(1)用分段函数的形式表示该函数;(2)在右边所给的坐标第中画出该函数的图象;(3)写出该函数的定义域、值域、单调区间(不要求证明).3.(1(2.(回答上述3个小题都只需直接写出结果,不需给出演算步骤)4.(1(2.5.(1)指出函数的单调区间并求出函数最小值;(2)若0)(>+x f a 恒成立,求a 的取值范围.6. 设函数|4||12|)(--+=x x x f .(1)解不等式2)(>x f ;(2)求函数)(x f y =的值域.7. 设函数a x x x f -+++=|2||1|)(.(1)当5=a 时,求函数)(x f 的定义域;(2)若函数)(x f 的定义域为R ,试求a 的取值范围.8. 已知函数ax x x f ++=|1|)((R a ∈).(1)画出当2=a 时的函数)(x f 的图象;(2)若函数)(x f 在R 上具有单调性,求a 的取值范围. 9. 对a 、R b ∈,记⎪⎩⎪⎨⎧<≥=ba b b a a b a , ,},max{,函数)( |}2| |,1max{|)(R x x x x f ∈-+=. (1)作出)(x f 的图像,并写出)(x f 的解析式;(2)若函数)()(2x f x x h λ-=在(]1,-∞-上是单调函数,求λ的的取值范围.10. 已知函数)4(||)(-=x x x f .(1)画出的图象;(2)利用图象写出函数的单调区间;(3)若关于x 的方程k x f =)(有三个不同的根,求k 的取值集合.11. 已知函数)1(||)(+=x x x f ,试画出函数)(x f 的图象,并根据图象解决下列两个问题.(1)写出函数)(x f 的单调区间;(2)求函数)(x f 在区间]21 ,1[-的最大值. 12. 已知函数)33( 1||2)(2<<-++-=x x x x f .(1)画出函数)(x f 的图象,并根据图象写出)(x f 的单调区间;(2.13.(1(2.14.(1(2(3.15. ).(1(2.(316. ”:(1R上的”?(2R上的”?若存在,求(31)中的”.17.(1(2(3围.18.(1.(219.(1(2围;(3.20.(1(2.21.(1)求满足2)(=x f 的x 值;(2)是否存在实数a 、b ,且10<<<b a ,使得函数)(x f y =在区间],[b a 上的值域为]2 ,[b a ,若存在,求出a 、b 的值;若不存在,请说明理由.22. 设函数)0( 11)(>-=x xx f . (1)求)(x f 的单调区间;(2)是否存在正实数a 、b (b a <),使函数)(x f 的定义域为],[b a 时值域为]6,6[b a ?若存在,求a 、b 的值,若不存在,请说明理由.23. 已知函数)0( 11)(>-=x xx f . (1)判断函数的单调性;(2)当b a <<0,且)()(b f a f =时,求ba 11+的值; (3)是否存在实数a 、b (b a <),使得函数)(x f y =的定义域、值域都是] ,[b a ?若存在,请求出a 、b的值,若不存在,请说明理由.24. 已知函数31)(-=xx f ,),0(+∞∈x . (1)画出)(x f y =的大致图象,并根据图像写出函数)(x f y =的单调区间;(2)设910<<a ,31>b ,试比较)(a f 、)(b f 的大小. (3)是否存在实数a 、b ,使得函数)(x f y =在],[b a 上的值域也是],[b a ?若存在,求出a 、b 的值,若不存在,说明理由.25. 已知函数|12|)(-=x x f .(1)求函数零点;(2;(3.26.(1(2.27. 如果满足:(1明理由;(2.28. 如果满足:(1)请说明理由;(2(33为上界的有界函数,29. 如果满足:(1理由;(2(3.类型二绝对值前有常系数1.(1(2(3......,不需给出演算步骤........).2.(1(2(3.类型三绝对值内有参数、绝对值外系数确定1. .(1(2.2.(1(2(3.3.(1(2(3.4.(1(2(3.5.(1(2.6.相等.(1(2(37..(1(28. ).(1(2.9..(1类型四其他1.(1(2(3(4.2.(1(23.(1(2(3.4.(1(2(35.(1(2.6.(1(2(3明理由.7.(1(2(3.8.(1(2.9.(1m的取值范围;(2m的取值范围.10.(1(2(3.11.(1(2(3.12.(1(2(3.13.(1(2)(ⅰ)(ⅱ)14.(1(2.15.(1(2(3....(不需给出演算步骤).16.(1(2.(317.(1(2(3.18.(1的值域;(2的最大值;(3.19.(1(2(3)对于(2取值范围.20.(13接近0(2(3.明).。
微专题34含有绝对值函数的取值范围问题答案

微专题341.答案:偶.解析:设f (x )=|x -1|+|x +1|,则f (-x )=|-x -1|+|-x +1|=|x -1|+|x +1|=f (x ),所以,原函数是偶函数.2.答案:12. 解析:因为|ln a |=|ln4a |,所以,ln a =ln4a 或ln a =-ln4a ,解得a =12. 3.答案:(4,+∞).解析:由于函数f (x )=|lg(x -1)|的图象如图所示.由f (a )=f (b )可得-lg(a -1)=lg(b -1),解得ab =a +b > 2ab (由于a <b ),所以ab 的取值范围是(4,+∞).4.答案:7.解析:由题意作出y =f (x )在区间[-2,4]上的图象,与直线y =1的交点共有7个,故函数y =f (x )-1在区间[-2,4]上的零点个数为7.5.答案:(-∞,2-1].解析:设f (x )=t ,则f (t )≤3,由函数f (x )=x |x +2|图象可得t ≤1,即f (x )≤1,所以,x ≤2-1,不等式f [f (x )]≤3的解集为(-∞,2-1].6.答案:(2,3].解析:由题意,当y =f (x )-g (x )=2[f (x )-1]=0时,即方程f (x )=1有4个解.又由函数y =a -|x +1|与函数y =(x -a )2的大致形状可知,直线y =1与函数f (x )= ⎩⎨⎧a -|x +1|,x ≤1,(x -a )2,x >1的左右两支曲线都有两个交点,如图所示.那么,有⎩⎨⎧(1-a )2>1,f (-1)>1,f (1)≤1,即⎩⎨⎧a >2或a <0,a >1,a -2≤1,所以,实数a 的取值范围是(2,3]. 7.答案:(1)函数f (x )在(-∞,1)上递减,在(1,2)上递增,在(2,3)上递减,在(-3,+∞)上递增;(2)M ={m |0<m <1};(3)[-23,23];(4)( -∞,0].解析:(1)当a =4时,f (x )=|x 2-4x +3|,函数f (x )在(-∞,1)上递减,在(1,2)上递增,在(2,3)上递减,在(-3,+∞)上递增.(2)当a =4时,f (x )=|x 2-4x +3|,画出函数f (x )=|x 2-4x +3|的图象,可得集合M ={m |0<m <1}.(3)若函数f (x )只有两个单调区间,则Δ≤0,所以,a 的取值范围是[-23,23].(4)若函数g (x )=x 2-a |x |+3只有两个单调区间,则a 2≤0,所以,a 的取值范围是 (-∞,0].8.答案:⎝⎛⎭⎫1,98. 解析:f (x )=x |x -a |+2x =⎩⎨⎧x 2-(a -2)x ,x ≥a ,-x 2+(a +2)x ,x <a , f (x )=⎩⎨⎧⎝⎛⎭⎫x -a -222-(a -2)24,x ≥a ,-⎝⎛⎭⎫x -a +222+(a +2)24,x <a , 因为0≤a ≤4,所以,a -22<a , (1)当a +22≥a 即0≤a ≤2时, f (x )在R 上递增,不合题意; (2)当a +22<a 即2<a ≤4时, f (x )在⎝⎛⎭⎫-∞,a +22上递增,在⎝⎛⎭⎫a +22,a 上递减,在(a ,+∞)上递增,若关于x 的方程f (x )=tf (a )有三个不相等的实根,则f (a )<tf (a )<f ⎝⎛⎭⎫a +22,2a <2at <⎝⎛⎭⎫a +222,所以,1<t <18⎝⎛⎭⎫a +4a +4,所以,实数t 的取值范围是⎝⎛⎭⎫1,98.。
由一道题目谈求含绝对值的函数最值问题的解法
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解题宝典等,可能收到意想不到的效果.例6.已知a ,b ∈()0,+∞且a +b =1,求证:æèöø1+1a ⋅æèöø1+1b ≥9.证明:æèöø1+1a æèöø1+1b =æèöø1+a +b a æèöø1+a +b b =æèöø2+b a æèöø2+a b =4+2a b +2b a +1=5+2æèöøa b +b a ≥5+9,当且仅当a =b 时等号成立.这里将不等式中“1a ”“1b ”的分子“1”用“a +b ”来代替,通过化简得到a b +ba,然后利用基本不等式求得æèöø1+1a æèöø1+1b 的最值,证明不等式成立.例7.已知正数x ,y 满足x +3y =5xy ,求证:3x +4y ≥5.证明:因为x ,y 为正数,可将x +3y =5xy 等式两边同时除以5xy 得:x +3y5xy=1,即15y +35x=1,则3x +4y =1∙()3x +4y =æèçöø÷15y +35x ()3x +4y =135+3x 5y +12y 5x ≥135+125=5,当且仅当3x 5y =12y 5x ,即x =1,y =12时等号成立,故3x +4y ≥5,命题得证.我们首先将已知关系式变形,构造出常数“1”,再将“1”进行代换,化简3x +4y ,利用基本不等式求得3x +4y 的最小值,进而证明不等式成立.总之,“1”在解高中数学题中发挥着重要的作用.同学们在日常学习中,要注意多积累解题经验,总结与“1”有关的代数式,在解题时将其进行代换,合理进行恒等变换,便能有效地提高解题的正确率和速度.(作者单位:江苏省东海县石榴高级中学)函数最值问题一直是高考数学试题中的热点题目,近几年浙江省数学高考试题中多次出现含绝对值的函数最值问题.此类问题不仅考查了函数的图象和性质、处理绝对值的方法,还考查了求最值的方法,属于综合性较强的一类问题.解答此类问题的关键去掉绝对值符号,将问题转化为常规函数最值问题来求解.下面,笔者结合一道例题来谈一谈求解含绝对值的函数最值问题的方法.例题:已知a ∈R ,函数f (x )=||||||x +4x-a +a 在区间[1,4]上的最大值是5,则a 的取值范围是______.本题中的函数含有绝对值,为了将其转化为常规函数问题,我们可以从绝对值和函数两个角度来寻找解题的思路,有以下5种方法.方法一:分段讨论法此方法是解答含绝对值问题的常用方法,首先,将定义域划分为几个区间段,然后分别求出各个区间段上函数的表达式,根据函数的图象和性质讨论函数的最值.对于本题,可先求出对勾函数y =x +4x 在[1,4]上的值域,然后对a 进行分类讨论,去掉绝对值后再求每个区间段上函数的最大值,建立关系式,便可求得a 的取值范围.解:∵x ∈[1,4],∴x +4x∈[4,5],①当a ≥5时,f (x )=a -x -4x +a =2a -x -4x,函数f (x )的最大值2a -4=5,解得a =92,不符合题意,舍去;②当a ≤4时,f (x )=x +4x -a +a =x +4x≤5,符合题意;③当4≤a ≤5时,f (x )max =max{|4-a |+a ,|5-a |+a },则{|4-a |+a ≥|5-a |+a ,|4-a |+a =5,或{|4-a |+a <|5-a |+a ,|5-a |+a =5,解得a =92或a <92.综上可得,a 的范围是(-∞,92].绝对值函数本质上是一个分段函数,可根据绝对值的定义去掉绝对值符号,将问题转化为分段函数的42解题宝典最值问题.但运用该方法解题,过程比较繁琐,容易出现重复和遗漏分类的情况.方法二:利用数轴利用数轴也是解答含绝对值问题的基本方法.在解题时,需利用绝对值的几何意义,将绝对值里面的式子看作是数轴上任意点到定点的距离,从而确定取.图1解:令x +4x=t ∈[4,5],则f (t )=||t -a +a ,t ∈[4,5],如图1所示,当a ≤0时,f (t )=||t -a +a =t ≤5成立;当0<a ≤t 时,f (t )=||t -a +a =||a -t +||a -0=t ≤5成立;当a >t 时,f (t )=||t -a +a =a -t +a ≤5恒成立,即a ≤4.5,则a 的范围是(-∞,92].这里首先确定t 的范围,将t 看作数轴上的任意一点,结合数轴找出f (t )的最值,使其小于或等于5,便可求得a 的取值范围.方法三:利用V 型函数V 型函数是一类常见的含绝对值的函数模型.在解题时,可将含绝对值函数转化为分段函数,借助函数的图象来分析函数的最值,将代数问题几何化,运用数形结合思想来解题.axyO 图2解:当f (x )取最大值时|t -a |取最大值,为5-a ,如图2,结合V 型函数图象可得:①当a ≤92时,f (x )max =|5-a |+a =5-a +a =5,符合题意;②当a >92时,f (x )max =|4-a |+a =a -4+a =5,∴a =92(矛盾),舍去;故a 的取值范围是(-∞,92].我们将含绝对值函数转换为分段函数,结合函数的图象便能快速求得a 的取值范围,这样可以获得事半功倍的效果.方法四:分离参数法运用分离参数法解题的基本思路是通过将参数进行分离,将问题转化为不等式恒成立问题来求解,在分离参数后求出函数的值域,验证取等号的条件,便可求出参数的取值范围.解:令x +4x=t ∈[4,5],则问题可转化为g (t )=|t -a |+a 在t ∈[4,5]上的最大值是5,则问题等价于ìíî∀t ∈[4,5],|t -a |+a ≤5, ①∃t 0∈[4,5],|t 0-a |+a =5. ② 由①得∀t ∈[4,5], a -5≤t -a ≤5-a ,即a ≤t +52恒成立,所以a ≤æèöøt +52 min =92;由②知,当t 0=5时,|t 0-a |+a =5;综上所述a ≤92.我们先分析对勾函数y =x +4x在x ∈[1,4]上的值域,然后将其看成一个整体,解一次绝对值不等式即可使问题快速获解,这样避免了繁琐的分类讨论,能有效地提高解题的速度和准确性.方法五:以值代参本方法是通过用函数值来代替参数,使问题获解的方法.以值代参既起到了消参作用,又构建了变量与函数值之间的关系.解:令x +4x=t ∈[4,5],则f (t )=|t -a |+a ,t ∈[4,5],则f (t )的最大值为f (t )max =max{f (4),f (5)},即ìíîf (4)=|4-a |+a =5,f ()5=|5-a |+a ≤5,或ìíîf (4)=|4-a |+a ≤5,f ()5=|5-a |+a =5,解得{a =4.5,a ≤5,或{a ≤4.5,a ≤5,则a 的取值范围是(-∞,92].我们借助函数值的范围,建立不等式,便求得参数的范围.运用以值代参方法解题,能获得出奇制胜的效果.含绝对值的函数最值问题是一类常考的题目,也是很多同学感觉困难的题目.因此,掌握一些解题的技巧是很有必要的.在解答含绝对值的最值问题时,同学们要注意从绝对值和函数两个角度,通过处理绝对值、分析函数的图象和性质来破解难题.(作者单位:浙江省诸暨市学勉中学)43。
高考数学函数能力型客观题220例:含绝对值的函数 含解析
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四、含绝对值的函数高考解密:含绝对值的函数本质上是分段函数,往往需要先去绝对值再结合函数图像进行研究,由于去绝对值函数大多要涉及到分类讨论,对能力要求较高,故备受高考命题者青睐,高考常考的主要有以下3类:1.形如()f x 的函数,研究此类函数往往结合()f x 图像,可以看成由()f x 的图像在x 轴上方部分不变,下方部分关于x 轴对称得到;2。
形如()f x 的函数,此类函数是偶函数,因此可以先研究0x ≥的情况,0x <的情况可以根据对称性得到;3。
函数解析式中部分含有绝对值,如1y x x a =-+,2y xx a =+- 等,这种函数是普通的分段函数,一般先去绝对值,再结合图像进行研究。
一、选择题 1.设12,x x 是方程ln 2x m -=(m 为实常数)的两根,则12x x +的值为( )A .4B .C .4-D .与m 有关2.函数x x x x x x y tan tan cos cos sin sin ++=的值域为( )A .{}3,1B 。
{}3,1-C 。
{}3,1--D 。
{}3,1-3.设函数)(),(x g x f 的定义域为R ,且)(x f 是奇函数,)(x g 是偶函数,设)1()1()(-+-=x g x f x h ,则下列结论中正确的是( )A .)(x h 关于)0,1(对称B .)(x h 关于)0,1-(对称C .)(x h 关于1=x 对称D .)(x h 关于1-=x 对称4.已知方程sin xk x =在(0,)+∞有两个不同的解,αβ(αβ<),则下面结论正确的是( )A .1tan()41πααα++=-B .1tan()41πααα-+=+ C .1tan()41πβββ++=- D .1tan()41πβββ-+=+ 5.已知函数()2sin f x x x =,则函数()f x 在区间[]2π,2π-上的零点个数为( )A .3B .4C .5D .66.已知定义在R 上的函数()21x m f x -=- (m 为实数)为偶函数,记()()0.52(log3),log 5,2a f b f c f m === ,则,,a b c 的大小关系为( )A.a b c <<B.a c b << C 。
绝对值函数基础练习题(含答案解析)
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绝对值函数基础练习题(含答案解析)
绝对值函数是数学中的一种基本函数,它表示一个数与零的距离。
下面是一些绝对值函数的基础练题,每个题目都包含了答案和解析。
1. 求解以下绝对值方程:
a) |2x - 3| = 5
b) |4 - 3x| = 7
答案解析:
a) 2x - 3 = 5 或者 2x - 3 = -5
解得 x = 4 或者 x = -1
b) 4 - 3x = 7 或者 4 - 3x = -7
解得 x = -1 或者 x = 11/3
2. 求解以下绝对值不等式:
a) |3x + 2| > 10
b) |5 - 2x| ≤ 8
答案解析:
a) 3x + 2 > 10 或者 3x + 2 < -10
解得 x > 8/3 或者 x < -4
b) 5 - 2x ≤ 8 或者 5 - 2x ≥ -8
解得x ≤ -1/2 或者x ≥ 13/2
3. 求以下函数的定义域:
a) f(x) = |x - 1|
b) g(x) = |2x + 3|
答案解析:
a) f(x) = |x - 1| 为一个绝对值函数,对于任意实数 x,f(x) 都有定义。
因此,f(x) 的定义域为所有实数。
b) g(x) = |2x + 3| 为一个绝对值函数,对于任意实数 x,g(x) 都有定义。
因此,g(x) 的定义域为所有实数。
以上就是绝对值函数基础练题的答案解析部分。
希望这些练题能够帮助你更好地理解和应用绝对值函数。
含绝对值符号的方程问题
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含绝对值符号的方程问题绝对值是初中数学中的一个基本概念,在初中数学竞赛中时常出现它的身影,本文仅对含绝对值符号的方程问题进行方法解析,供参考.1.用绝对值的非负性求解例1 (2013年全国初中数学联合竞赛)z+=xy+2y-9,则x+2y+3z=_______.已知实数x、y,z满足x+y=4,1解由x+y=4,得x=4-y.z+=xy+2y-9,代入1z++(y-3)2=0.变形得1故z=-1,y=3,进而x=1,所以x+2y+3z=4.2.用绝对值的意义求解由x=a(a≥0),得x=±a.根据这一关系,往往可以解决只含有一个绝对值符号的问题.-=1恰有3个不同的实数例2(2013年WMTC少年组个人赛)关于x的方程2x mx根,求m的值.-=1,得x2-mx=±1.解由2x mx对于方程x2-mx=1.整理得x2-mx-1=0,由于其△=m2+4>0,故方程x2-mx=1-定有两个不同的实数根.又方程x2-mx=1与方程x2-mx=-1不会有相同的根,-=1恰有3个不同的实数根,可知方程x2-mx=-1有两个相等的所以根据2x mx实数根,从而,△=m2-4=0,解得m=±2.x--a=0恰有两个正数解,则a的取例3 (2009年太原市初中数学竞赛)方程21值范围是( )(A)-1<a<0(B)-1 <a <1(C)0<a<1(D)12<a<1. 分析 原方程变形,得21x -=a .为使它有两个正数解,首先需a>0,然后再解方程得x =12a +,保证这两个解均为正数即可. 解 因方程21x --a =0恰有两个正数解,所以0102102a a x a x ⎧⎪>⎪+⎪=>⎨⎪-⎪=>⎪⎩解得0<a<1,选C .3.用绝对值的性质2x =x 2求解例4(第25届希望杯初三第2试)若关于x 的方程x 2-(m +5)x +4=m 恰有3个实数解,则实数m =______.解 原方程变形: 2x -(m +5)x +4-m =0.由于它恰有3个实数解,所以x 关于的一元二次方程2x -(m +5)+4-m =0必然有一个根是0,一个根是正实数.将x =0代入,得m =4.经验证m =4符合题意.4.用分类讨论法求解分类讨论是去绝对值的一种有效方法,特别是对于含有多个绝对值符号的问题,常常需要使用分类讨论法求解.例5 (2008年太原市初中数学竞赛)方程32x x +-=4的解的个数是( )(A)0 (B)1 (C)2 (D)3解 由3x =0,x -2=0,得零点x =0,x =2.于是分三种情况讨论:(1)当x ≥2时,方程为3x +x -2=4,解得x =32(舍去); (2)当0≤x<2时,方程为3x -x +2=4,解得x =1; (3)当x<0时,方程为-3x -x +2=4,解得x =-12. 所以方程32x x +-=4共有两解,选C .5.用绝对值的几何意义求解例6(2006年全国初中数学联赛武汉CASIO 杯选拔赛)如果关于x 的方程11x x ++-=a 有实根,那么实数a 的取值范围为( )(A)a ≥0 (B)a>0(C)a ≥1 (D)a ≥2解 如图1,在数轴上画出实数-1、1分别对应的点A 、B ,设实数x 对应动点P ,根据绝对值的几何意义,则显然有11x x ++-=PA +PB≥AB =()11--=2,当动点P 在线段AB 上时等号成立.又因已知11x x ++-=a 有实根,所以a ≥2,故选D .6.用图象法求解例7(2007年太原市初中数学竞赛)方程()1x x --k =0有三个不相等的实根,则k的取值范围是( )(A)-14<k<0 (B)0<k<14(C)k>-14(D)k<14解原方程变形为x(x-1)=k.建立函数y1=x(x-1)=22,0,0 x x xx x x⎧-≥⎪⎨-<⎪⎩y2=k.如图2,这两个函数的图象分别为C1、C2.函数y=x2-x(x≥0)的顶点坐标为(12,-14).由图象知,当-14<k<0时,直线C2与曲线C1相交,有三个不同的交点,所以k的取值范围是-14<k<0,选A.。
绝对值的十一种常见问题

绝对值的十一种常见问题绝对值是数学中常见且重要的概念,而在使用绝对值时,有一些常见问题需要注意。
以下是绝对值的十一种常见问题及其解答:1. 什么是绝对值?绝对值是一个数与零之间的距离。
绝对值表示一个数的大小,但忽略了它的正负。
2. 如何计算一个数的绝对值?一个数的绝对值可以通过取该数的绝对值函数来计算。
绝对值函数表示为|a|,其中a是一个数。
3. 绝对值函数的图像是什么样子的?绝对值函数的图像呈现V形,开口向上或向下。
图像关于y轴对称,过原点。
4. 绝对值可以为负数吗?不可以,绝对值总是非负的。
无论输入是正数、负数,或零,绝对值的结果都不会是负数。
5. 绝对值可以为零吗?是的,绝对值可以是零。
当输入为零时,绝对值的结果也是零。
6. 如何解决含有绝对值的方程或不等式?含有绝对值的方程或不等式可以分情况讨论来解决。
根据绝对值的定义,将绝对值分开,并根据绝对值的正负情况得出不同的解。
7. 绝对值有哪些常见的性质?- |a| ≥ 0,即绝对值总是非负的。
- |a| = 0 当且仅当a = 0。
- |ab| = |a| |b|,即绝对值的乘积等于各个数的绝对值的乘积。
- |a/b| = |a| / |b|,即绝对值的除法等于被除数和除数的绝对值的除法。
8. 如何求解包含多个绝对值的复杂方程?对于包含多个绝对值的复杂方程,可以将绝对值分情况讨论,并使用不等式或方程来解决每种情况。
9. 绝对值可以用于求解哪些实际问题?绝对值可以用于求解诸如距离、温度变化、利润等实际问题。
它提供了一种对数值的无偏估计。
10. 绝对值存在什么常见误区?一个常见的误区是错误地认为|a + b| = |a| + |b|。
实际上,只有当a和b同时具有相同的符号时,该等式才成立。
11. 绝对值可以应用于复数吗?绝对值可以应用于复数。
对于复数a + bi,其绝对值定义为√(a^2 + b^2)。
希望这份文档能帮助你对绝对值的理解更加深入。
高考数学函数专题训练《含绝对值的函数》含答案解析
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高考数学函数专题训练《含绝对值的函数》含答案解析1.函数y=sinxcosxtanx的值域为()+()A.{1,3} B.{-1,3} C.{-1,-3} D.{1,-3}答案】B解析】当sinx>0,cosx>0时y=3,sinx>0,cosx0时y=-1,sinx<0,cosx<0时y=3,所以值域为{-1,3}。
2.函数f(x)=lnx-1/(1-x)的图像大致为()A. B. C. D.答案】D解析】由于f(3)>ln2/2,排除C选项,f(-1)>0,排除B选项,f(1/2)<0,不选A选项,所以选D。
3.设函数f(x),g(x)的定义域为R,且f(x)是奇函数,g(x)是偶函数,设h(x)=f(x-1)+g(x-1),则下列结论中正确的是() A.h(x)关于(1,)对称 B.h(x)关于(-1,)对称 C.h(x)关于x=1对称 D.h(x)关于x=-1对称答案】C解析】因为函数f(x)是奇函数,所以f(x-1)是偶函数,即f(x-1)与g(x-1)均为偶函数,其图像均关于y轴对称,所以f(x-1)与g(x-1)的图像都关于直线x=1对称,即h(x)=f(x-1)+g(x-1)的图像关于直线x=1对称,故选C。
4.已知f(x)=ax+x-a(-1≤x≤1)且a≤1,则f(x)的最大值为()A.5/4 B.3/4 C.3 D.1答案】A解析】由题意得:f(x)=ax-1+x≤ax-1+x≤x-1+x/2,-1≤x≤1.所以当x=±1时,x-1+x=±2,f(x)max=5/4,即f(x)≤5/4,所以选A。
5.若函数f(x)=1(x≠1),f(x+)=2x-1,则关于x的方程f(x)+bf(x)+c=0有3个不同的实数根,则()A.b0 B.b-2且c>0 D.b>-2且c<0答案】C解析】因为f(x+)=2x-1,所以当x>1时,f(x)=2x-1;当x1时,f(x)max=2x-1;当x1时,f(x)≤2x-1;当x1时,f(x)≤2x-1,即b≥2;当x-2且c>0,所以选C。
2022高考数学基础知识综合复习专题1含绝对值的函数

专题(1) 含绝对值的函数1.(2018浙江高考)函数y=2|x|sin 2x 的图象可能是( )2.若关于x 的不等式|x-2|+|2x+3|>a 对任意x ∈R 恒成立,则实数a 的取值范围为( )A.(-∞,7)B.-∞,72C.[0,7)D.0,723.函数f (x )=x 2-2|x|+2的定义域是[a ,b ](a<b ),值域是[2a ,2b ],则符合条件的a ,b 的组数为( )A.0B.1C.2D.34.设函数f (x )=|x 2-2x-1|,若m>n>1,且f (m )=f (n ),则mn 的取值范围为( )A.(3,3+2√2)B.(3,3+2√2]C.(1,3)D.(1,3]5.已知二次函数f (x )=ax 2+bx (a ,b ∈R ),满足f (x+1)=f (1-x ),且在区间[-1,0]上的最大值为3,若函数g (x )=|f (x )|-mx 有唯一零点,则实数m 的取值范围是( )A.[-2,0]B.[-2,0)∪[2,+∞)C.[-2,0)D.(-∞,0)∪[2,+∞)6.若函数f (x )=ax 2+bx+5(a<0)对任意实数t ,在闭区间[t-2,t+2]上总存在两个实数x 1,x 2,使得|f (x 1)-f (x 2)|≥8成立,则负数a 的最大值为 .7.直线y=a 与曲线y=x 2-|x|有四个交点,则a 的取值范围是 .8.设函数f(x)=1x+ax+b,若对任意的实数a,b,总存在x0∈12,2使得f(x0)≥m成立,则实数m的取值范围是 .9.(2019浙江高考)已知a∈R,函数f(x)=ax3-x.若存在t∈R,使得|f(t+2)-f(t)|≤23,则实数a的最大值是 .10.(2021新课标全国Ⅰ卷)已知函数f(x)=|x-a|+|x+3|.(1)当a=1时,求不等式f(x)≥6的解集;(2)若f(x)>-a,求a的取值范围.11.(2021新课标全国Ⅱ卷)已知函数f(x)=|x-2|,g(x)=|2x+3|-|2x-1|.(1)画出y=f(x)和y=g(x)的图象;(2)若f(x+a)≥g(x),求a的取值范围.12.(2020新课标全国Ⅱ卷)已知函数f(x)=|x-a2|+|x-2a+1|.(1)当a=2时,求不等式f(x)≥4的解集;(2)若f(x)≥4,求a的取值范围.13.已知f(x)=x2+2|x-1|. (1)解关于x的不等式:f(x)>|2x|x;(2)若f(x)的最小值为M,且a+b=M(a,b∈R+),求证:a2b +b2a≥1.14.(2019年6月浙江学考)设a∈R,已知函数f(x)={a x2+(2a-4)x+2,x≤0,1+a+|x-1|,x>0.x(1)当a=1时,写出f(x)的单调递增区间;(2)对任意x≤2,不等式f(x)≥(a-1)x+2恒成立,求实数a的取值范围.15.设函数f(x)=ax2+|x-a|+b(a,b∈R).(1)若函数f (x )在[0,1]上单调递增,在[1,+∞)上单调递减,求实数a 的值;(2)若对任意的实数b ∈[0,1]及任意的x ∈[-3,3],不等式|f (x )|≤2恒成立,求实数a 的取值范围.专题(1) 含绝对值的函数1.D 解析因为在函数y=2|x|sin2x 中,y 1=2|x|为偶函数,y 2=sin2x 为奇函数,所以y=2|x|sin2x 为奇函数.所以排除选项A,B .当x=0,x=π2,x=π时,sin2x=0,故函数y=2|x|sin2x 在[0,π]上有三个零点,排除选项C,故选D .2.B 解析由不等式恒成立转化为a<(|x-2|+|2x+3|)min ,即转化为求|x-2|+|2x+3|的最小值.|x-2|+|2x+3|=|x-2|+x+32+x+32≥(x-2)-x+32+x+32=72+x+32≥72,当x=-32时,等号成立,即|x-2|+|2x+3|的最小值是72,因为不等式|x-2|+|2x+3|>a对任意x∈R恒成立,所以a<(|x-2|+|2x+3|)min,即a<72.故选B.3.B 解析∵f(x)=x2-2|x|+2=(|x|-1)2+1≥1,∴a≥12.若函数f(x)=x2-2|x|+2的定义域为[a,b](a<b),值域是[2a,2b],则①当12≤a<b<1时,∵f(a)=2b,f(b)=2a,则{a2-2a+2=2b,b2-2b+2=2a,两式相减得(a-b)(a+b)-2(a-b)=2(b-a),即(a-b)(a+b)=0,∴a<b,a-b≠0,而b>a≥12,a+b>0,∴不存在满足条件的a,b.②当12≤a<1<b时,函数最小值即为顶点纵坐标,2a=1,a=12,若b-1<1-a,则f(a)=2b,2b=54⇒b=58(舍去);若b-1>1-a,则f(b)=2b,b2-4b+2=0,b=2+√2或b=2-√2(舍去);③当1<a<b时,∵f(b)=2b,f(a)=2a,则{a2-2a+2=2a,b2-2b+2=2b,a,b必然有一根小于1,矛盾,∴不存在满足条件的a ,b ,综上所述,a=12,b=2+√2,即符合条件的a ,b 的组数为1,故选B.4.A 解析解方程x 2-2x-1=0得x=1±√2,作出f (x )的函数图象如图所示:∵m>n>1,f (m )=f (n ),∴1<n<1+√2,1+√2<m<3.∴f (m )=f (n ).∴m 2-2m-1+n 2-2n-1=0,即(m-1)2+(n-1)2=4,m -122+n -122=1,令m=2cos α+1,n=2sin α+1,α∈0,π4.mn=4sin αcos α+2sin α+2cos α+1,令t=sin α+cos α=√2sin α+π4,t ∈(1,√2),sin αcos α=t 2-12,得mn=2t 2+2t-1.∴mn ∈(3,3+2√2).5.C 解析由题知x=1为函数f (x )的对称轴,=1,①即有-b2a由f(x)在区间[-1,0]上的最大值为3,若a>0时,则f(x)在[-1,0]递减,f(-1)取得最大值,且为a-b=3,②若a<0时,f(x)在[-1,0]递增,f(0)取得最大值,且为0,不成立.由①②解得a=1,b=-2,则f(x)=x2-2x.作出y=|f(x)|的图象和直线y=mx的图象,当m=0时,有y=0与y=|f(x)|有两个交点,不合题意;当m>0时,由mx=2x-x2,由判别式Δ=(m-2)2-4×0=0,解得m=2.由图象可得m≥2时,y=|f(x)|的图象和直线y=mx的图象有两个交点;当0<m<2时,y=|f(x)|的图象和直线y=mx的图象有三个交点;当m<0,且y=mx为曲线y=|f(x)|的切线时,只有一个交点,即原点为切点,y=|f(x)|=x2-2x(x<0),可得m=-2.由图象可得当m<-2时,有两个交点,当-2≤m<0时,y=|f(x)|的图象和直线y=mx的图象只有一个交点,即为原点.综上可得,所求m的取值范围为[-2,0).6.-2 解析因为a<0,所以二次函数f(x)=ax2+bx+5(a<0)的图象开口向下.在闭区间[t-2,t+2]上总存在两实数x1,x2,使得|f(x1)-f(x2)|≥8成立,只需t=-b2a 时,f (t+2)-f (t )≤-8,即4at+4a+2b ≤-8,得a ≤-2.7.-14,0 解析∵曲线y=x 2-|x|,f -12=f 12=-14,∴根据图象(图略)可得出:直线y=a 与曲线y=x 2-|x|有四个交点,则-14<a<0.8.-∞,14 解析∵f (x )=1x +ax+b ,∴f (x )在12,2上的最大值为M (a ,b ),可得M (a ,b )≥f (2)=12+2a+b ,M (a ,b )≥f 12=2+12a+b ,M (a ,b )≥f (1)=|1+a+b|,可得M (a ,b )+2M (a ,b )+3M (a ,b )≥12+2a+b +|4+a+2b|+|3+3a+3b|≥12+2a+b+(4+a+2b )-(3+3a+3b )=32,即6M (a ,b )≥32,∴M (a ,b )≥14.∵存在实数x 0∈12,2使不等式f (x 0)≥m ,∴m ≤f (x 0)max =M (a ,b ),又由对任意实数a ,b ,m ≤M (a ,b )恒成立,∴m ≤M (a ,b )min =14.9.4 3 解析由题意知,|f(t+2)-f(t)|=|a(6t2+12t+8)-2|≤23有解,即-23≤a(6t2+12t+8)-2≤23有解,所以43(6t2+12t+8)≤a≤83(6t2+12t+8)有解,因为6t2+12t+8∈[2,+∞),所以43(6t2+12t+8)∈0,23,83(6t2+12t+8)∈0,43,所以只需要0<a≤43,即a max=43.10.解(1)当a=1时,由f(x)≥6可得|x-1|+|x+3|≥6.当x≤-3时,不等式可化为1-x-x-3≥6,解得x≤-4;当-3<x<1时,不等式可化为1-x+x+3≥6,解得x∈⌀;当x≥1时,不等式可化为x-1+x+3≥6,解得x≥2.综上,原不等式的解集为(-∞,-4]∪[2,+∞).(2)若f(x)>-a,则f(x)min>-a.因为f(x)=|x-a|+|x+3|≥|(x-a)-(x+3)|=|a+3|(当且仅当(x-a)(x+3)≤0时,等号成立),所以f(x)min=|a+3|,所以|a+3|>-a,即a+3<a或a+3>-a,解得a ∈-32,+∞.故a 的取值范围为-32,+∞.11.解(1)f(x)={x-2,x≥2,2-x,x<2;g(x)={-4,x≤-32,4x+2,-32<x<12,4,x≥12.(2)取临界状态,设Q (x ,0),P(12,4),由12-x=4,解得x=-72.由函数f (x )=|x-2|知f (x+a )=|x+a-2|=|x-(2-a )|,函数f (x+a )=|x-(2-a )|的图象的对称轴是直线x=2-a.当2-a ≤-72,即a ≥112时,f (x+a )≥g (x )成立.所以a ∈[112,+∞).12.解(1)当a=2时,f (x )={7-2x ,x ≤3,1,3<x ≤4,2x -7,x >4.因此,不等式f (x )≥4的解集为{x |x ≤32或x≥112}.(2)因为f (x )=|x-a 2|+|x-2a+1|≥|a 2-2a+1|=(a-1)2,当且仅当(x-a 2)(x-2a+1)≤0时,等号成立.故当(a-1)2≥4,即|a-1|≥2时,f (x )≥4.所以当a ≥3或a ≤-1时,f (x )≥4.当-1<a<3时,f (a 2)=|a 2-2a+1|=(a-1)2<4.所以a 的取值范围是(-∞,-1]∪[3,+∞).13.解(1)不等式为x 2+2|x-1|>2|x |x ,x ≥1时,不等式为x 2+2(x-1)>2,x<-1-√5或x>-1+√5,所以x>-1+√5;0<x<1时,不等式为x 2-2(x-1)>2,x<0或x>2,无解;x<0时,不等式为x 2-2(x-1)>-2,(x-1)2+3>0恒成立,所以x<0.综上,原不等式的解集为(-∞,0)∪(-1+√5,+∞).(2)x ≥1时,f (x )=x 2+2(x-1)=(x+1)2-3,在[1,+∞)上单调递增,f (x )min =f (1)=1,x<1时,f (x )=x 2-2(x-1)=(x-1)2+1,在(-∞,1)上单调递减,所以f (x )>f (1)=1.综上,M=f (x )min =1.a 2b +b 2a +1=a 2b +b 2a +a+b=b 2a +a +a 2b +b ≥2√b 2a ·a +2√a 2b ·b =2(b+a )=2,当且仅当b 2a =a ,a 2b =b ,即a=b=12时等号成立.所以a 2b +b 2a ≥1.14.解(1)当a=1时,f (x )={x 2-2x +2,x ≤0,1x -x +2,0<x <1,1x +x ,x ≥1,所以,f (x )的单调递增区间是(1,+∞).(2)若x ≤0,ax 2+(2a-4)x+2≥(a-1)x+2,于是ax 2+(a-3)x ≥0在x ∈(-∞,0]上恒成立,则a=0或{a >0,3-a 2a≥0,得0≤a ≤3.若x>0,f (x )=1x +a+|x-1|={1x-x +a +1,0<x <1,1x +x +a -1,1≤x ≤2,当0<x<1时,f (x )≥(a-1)x+2,即1x -x+a+1≥(a-1)x+2,a (x-1)≤1-xx ,得a ≥-1x ,所以a ≥-1.当x=1时,a ∈R .当1<x ≤2时,f (x )≥(a-1)x+2,即1x +x+a-1≥(a-1)x+2,(x -1)(2x -1)x ≥a (x-1),得a ≤2x -1x =2-1x ,所以a ≤1.综上所述,0≤a ≤1,即a 的取值范围为[0,1].15.解(1)由题易知a<0,则f (x )={a x 2+x -a +b =a (x +12a )2-a +b -14a ,x ≥a ,a x 2-x +a +b =a (x -12a )2+a +b -14a ,x <a ,作出示意图,故可知-12a =1,所以a=-12.(2)因为|f(x)|≤2,所以-2≤ax2+|x-a|+b≤2,又因为对任意的实数b∈[0,1]及任意的x∈[-3,3],上式恒成立,所以-2≤ax2+|x-a|≤1,记g(x)=ax2+|x-a|,所以{-2≤g(0)≤1,-2≤g(3)≤1,-2≤g(-3)≤1,可得-12≤a≤-15,可化为-ax2-2≤|x-a|≤-ax2+1,记h1(x)=-ax2+1,h2(x)=-ax2-2,k(x)=-|x-a|,由-12≤a≤-15,可知,h2(x)<0,所以命题转化为:只需满足以下条件①-x+a=-ax2-2的较小根小于或等于-3,②x-a=-ax2+1的较小根大于或等于3(或是无实根),由①得1-√1-4a(a+1)2a≤-3,解得-12≤a≤0;由②得{1+4a(a+1)≥0,-1+√1+4a(a+1)2a≥3或1+4a (a+1)≤0,解得a=-12,综上可知实数a 的取值范围是-12.。
较为简单的绝对值函数问题
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1 1 .由已知得 方程 有且 只有一解. 令t =2 ( £ >O ) , 则方程 + - t +3 +m=O有且 只有一个正 根. 即
② 当m > ~1 或 :~2时 , 函数 =m 与函数 ,( z ) 有两个交点 ; ③ 当 =~l 时, 函数 3 , 一 与函数 , ) 有三个交点 ;
④ 当一2 <m<- - 1时, 函数 3 , 一m与 函数 厂 ( ) 有 , 所 以 m=O , 即厂 ( z ) :2 [ 一1 ,
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专 项突破
零点 与图 象
1 .1 . 2 .2 . 3 .0 . 4 .2 . 5 .{ 一2 一√ 7 , 1 , 3 ) . 6 .②③. 7 .负 , 正.
8 .当 x <O时 , f ( 2 -x ) =x z , 此时 , ( ) -g ( x ) =一1 + 十 , 小 于 0的零 点仅有 1个 ; 当O ≤ ≤2
函数绝对值(DOC)
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辅导讲义154年高三第二次模拟文科)函数D )( 2.+∞对任意两个不相等的正数a、b22+|a b ab22+a b ab[3,)+∞……………………………………………………时,在区间[12],上,1当2当∴综上,解:8 、(2012届高三一模徐汇区理23)对定义在区间D 上的函数()f x ,若存在闭区间[],a b D ⊆和常数C ,使得对任意的[],x a b ∈都有()f x C =,且对任意的[],x a b ∉都有()f x C >恒成立,则称函数()f x 为区间D 上的“U 型”函数。
(1)求证:函数()13f x x x =-+-是R 上的“U 型”函数;(2)设()f x 是(1)中的“U 型”函数,若不等式12()t t f x -+-≤对一切的x R ∈恒成立,求实数t 的取值范围;(3)若函数2()2g x mx x x n =+++是区间[)2,-+∞上的“U 型”函数,求实数m 和n 的值.解:(1)当[]1,3x ∈时,1()132f x x x =-+-= 当[]1,3x ∉时,1()|1||3||13|2f x x x x x =-+->-+-=故存在闭区间[][],1,3a b R =⊆和常数C=2符合条件,…………………………4分 所以函数1()13f x x x =-+-是R 上的“U 型”函数…………………………5分 (2)因为不等式12()t t f x -+-≤对一切的x R ∈恒成立, 所以min 12()t t f x -+-≤…………………………7分 由(1)可知min min ()(13)2f x x x =-+-=…………………8分所以122,t t -+-≤…………………………9分 解得:1522t ≤≤…………………………11分 (3)由“U 型”函数定义知,存在闭区间[][),2,a b ⊆-+∞和常数C ,使得对任意的[],x a b ∈,(23)a -23a =-;,)+∞上递增;21,2aa =当且仅当时,函数y =时,函数(y f x =时,函数y =因为2>a ,所以a a <+22,所以)(x f 在⎥⎦⎤ ⎝⎛+∞-22,a 上单调递增,在⎥⎦⎤⎢⎣⎡+a a ,22上单调递减.…………(5分)综上,函数)(x f 的单调递增区间是⎥⎦⎤⎝⎛+∞-22,a 和),[∞+a , 单调递减区间是⎥⎦⎤⎢⎣⎡+a a ,22.………………(6分) (3)①当22≤≤-a 时,022≤-a ,022≥+a ,所以)(x f 在),(∞+-∞上是增函数,关于x 的方程)()(a f t x f ⋅=不可能有三个不相等的实数解.…………(2分)②当42≤<a 时,由(1)知)(x f 在⎥⎦⎤ ⎝⎛+∞-22,a 和),[∞+a 上分别是增函数,在⎥⎦⎤⎢⎣⎡+a a ,22上是减函数,当且仅当4)2()(22+<⋅<a a f t a 时,方程)()(a f t x f ⋅=有三个不相等的实数解.即⎪⎭⎫⎝⎛+4+=+<<4818)2(12a a a a t .…………(5分) 令aa a g 4)(+=,)(a g 在]4,2(∈a 时是增函数,故5)(max =a g .…………(7分)所以,实数t 的取值范围是⎪⎭⎫⎝⎛89,1.…………(8分)13 已知函数()(),f x x a x a R =⋅-∈。
含绝对值函数的一类问题研究
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关于函数10log ≠>=a a x y a 且,的解题研究禄劝县第一中学 孙显才[摘要]本文利用基本初等函数的图像平移变换、对称变换以及翻转变换对一类含绝对值函数的一般解题方法。
[关键词] 高考 函数 绝对值[问题提出](2010全国新课标11)已知函数()⎪⎩⎪⎨⎧>+-≤<=10,621100,lg x x x x x f 若c b a ,,互不相等,且()()()c f b f a f ==,则abc 的取值范围是分析:解题需寻求切入点,即解题突破口。
突破口一:解决该题的关键在于理解()()()c f b f a f == 式子,突破口二:利用数形结合思想是解决函数综合问题的重要方法,此方法解题的关键一步要把函数的图像画出来,而一个复杂函数的图像是要借助基本初等函数的图像通过平移变换、对称变换以及翻转变换得到。
解:如图,因为若c b a ,,互不相等,不妨设c b a <<,又()()()c f b f a f ==,则1=ab ,()12,10∈c所以()12,10∈abc .例:(2018届泸州高中周考)()⎪⎩⎪⎨⎧<<⎪⎭⎫ ⎝⎛<<=153,6sin 30,log 3x x x x x f π若存在实数4321x x x x <<<,满足()()()()4321x f x f x f x f ===,则()()214333x x x x --的取值 范围解:画出函数图像如下图, ()1,0,∈=k k y ()x f 有四个交点要求()()214333x x x x --的取值范围,自然要研究实数4321,,,x x x x 之间的关系,4321x x x x <<<且()()()()4321x f x f x f x f ===,由图可知,21,x x 在函数x 3log上,43,x x 在函数⎪⎭⎫ ⎝⎛x 6sin π上,所以()()21x f x f =得到121=x x ,在由函数⎪⎭⎫ ⎝⎛x 6sin π的对称性知:1843=+x x ,所以()()()()3333432143--=--x x x x x x ,考虑均值不等式()()()()3623333024343=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+-≤--<x x x x ,则取值范围(]36,0。
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含绝对值函数综合问题
一、含绝对值函数的最值
1、含一个绝对值的一次绝对值函数的最值、单调性、对称性
(1)()||f x x =的图像是以原点为顶点的“V ”字形图像;函数在顶点处取得最小值
“(0)0f =”,无最大值;在函数(,0],[0,)x ∈-∞↓+∞↑;对称轴为:0x =
(2)()||(0)f x kx b k =+≠图像是以(,0)b
k
-为顶点的“V ”字形图像;在顶点取得最小值:
“()0b f k -=”,无最大值;函数在(,],[,)b b x k k ∈-∞-↓-+∞↑;对称轴为:b x k
=-
(3)函数()||(0)f x k x b k =+≠:
0k >时,函数是以(,0)b -为顶点的“V ”字形图像;函数在顶点取得最小值:
“()0f b -=”,无最大值;函数在(,],[,)x b b ∈-∞-↓-+∞↑;对称轴为:x b =-
0k <时,是以(,0)b -为顶点的倒“V ”字形图像,函数在顶点取得最大值:
“()0f b -=”,无最小值;函数在(,],[,)x b b ∈-∞-↑-+∞↓;对称轴为:x b =- 2、含两个绝对值的一次绝对值函数的最值、单调性、对称性
(1)函数()||||()f x x m x n m n =-+-<的图像是以点(,),(,)A m n m B n n m --为折点的
“平底形”图像;在[,]x m n ∈上的每点,函数都取得最小值n m -,无最大值;函数
在(,],[,)x m x n ∈-∞↓∈+∞↑ ,在[,]x m n ∈无单调性;对称轴为2
m n
x +=。
(2)函数()||||f x x m x n =---:
当m n >时,()f x 是以点(,),(,)A m n m B n m n --为折点的“Z 字形”函数图像;在
(,]x n ∈-∞上的每点,函数都取得最大值m n -,在[,)x m ∈+∞上的每点,函数都取
得最小值n m -;函数在[,]x n m ∈↓,在(,]x n ∈-∞及[,)x m ∈+∞上无单调性;对称
中心为(,0)2
m n
+; 当n m >时,()f x 是以点(,),(,)A m m n B n n m --为折点的“反Z 字形”函数图像; 在(,]x m ∈-∞上的每点,函数都取得最小值m n -,在[,)x n ∈+∞上的每点,函数都
取得最大值n m -;函数在[,]x m n ∈↑,在(,]x n ∈-∞及[,)x m ∈+∞上无单调性;对 称中心为(
,0)2
m n
+; (3)()||||()f x a x m b x n m n =-+-<图像是以(,()),(,())A m f m B n f n 为折点的折线。
当0a b +>时,两端向上无限延伸,故最小值,最小值为min{(),()}f m f n ; 当0a b +<时,两端向下无限延伸,故最大值,最大值为{(),()}Max f m f n ; 当0a b +=时,两端无限延伸且平行x 轴,故既有最大值又有最小值,最大值为
{(),()}Max f m f n ;最小值为min{(),()}f m f n 。
3、含多个绝对值的一次函数的最值、单调性 函数1212()||||||(,,,)n i n f x x a x a x a a R i n N a a a *=-+-+
+-∈∈<<
<设
(1)若21()n k k N *
=-∈,则()f x 的图像是以(,())k k a f a 为顶点的“V ”字形图像
(a )当且仅当k x a =时,min 1211221[()]|()()|k k k k f x a a a a a a -++-=+++-+++
(b ) 函数()f x 在(,],[,)k k a a -∞↓+∞↑,若{}i a 为等差数列,则图像关于k x a =对称
(2)若2()n k k N *
=∈,则()f x 的图像是以点11(,()),(,())k k k k A a f a B a f a ++为折点的“平
底形”图像
(a )当且仅当1[,]k k x a a +∈,min 12122[()]|()()|k k k k f x a a a a a a ++=++
+-+++
(b ) 函数()f x 在1(,],[,)k k a a +-∞↓+∞↑,在1[,]k k x a a +∈无单调性。
若{}i a 为等差数列,
则图像关于1
2
k k a a x ++=
对称 这一结论从一次绝对值函数图像上了不难看出,当1x a < 及 n x a >时,图像是分别向左、右两边向上无限伸展的两条射线,中间各段在区间1[,](1,2,
1)i i a a i n +=- 上
均为线段.它们首尾相连形成折线形,在中间点或中间段处最低,此时函数有最小值. 证明:当21()n k k N *
=-∈时,1221()||||||k f x x a x a x a -=-+-+
+-,
1221k a a a -<<<设由绝对值不等式性质得:
121121211|||||()()|k k k x a x a x a x a a a ----+-≥---=-,当且仅当121[,]k x a a -∈时取“=” 222222222|||||()()|k k k x a x a x a x a a a ----+-≥---=-,当且仅当222[,]k x a a -∈时取“=”
1111||||k k k k x a x a a a -++--+-≥-,当且仅当11[,]k k x a a -+∈时取“=”; ||0k x a -≥,当且仅当k x a =时取“=”;
注意到:1122121[,][,][,]k k k k k k a a a a a a a -+-+-∈⊆⊆
⊆,从而当且仅当k x a =时,上述个式
同时取等号,于是21122211()()()()()k k k k k f x f a a a a a a a --+-≥=-+-+
+-
1211221|()()|k k k k a a a a a a -++-=+++-+++;
当2()n k k N *
=∈时,122()||||||k f x x a x a x a =-+-+
+-,122k a a a <<
<设
由绝对值不等式性质得:
121221|||||()()|k k k x a x a x a x a a a -+-≥---=-,当且仅当12[,]k x a a ∈,时取“=” 221221212|||||()()|k k k x a x a x a x a a a ----+-≥---=-,当且仅当221[,]k x a a -∈,时取“=”
11||||k k k k x a x a a a ++-+-≥-,当且仅当1[,]k k x a a +∈,时取“=”;
注意到:11212[,][,][,]k k k k k a a a a a a +-+⊆⊆⊆,从而当且仅当1[,]k k x a a +∈时,上述各式同时取等号,于是12122()|()()|k k k k f x a a a a a a ++≥+++-++
+
例题:
1、已知函数()||f x a x b =-在(,1)x ∈-∞↑,求实数,a b 的范围。
2、已知函数()|||1|f x x a x =++-;(1)若()f x 在(2,)x ∈∞上为增函数,求实数a 的范围。
(2)若函数()f x 图像关于2x =对称,求实数a 。
3、已知函数()|(21)||1|f x x a x a =---+-;(1)若()f x 在(1,3]x ∈-上存在反函数,求实数a 的范围。
(2)若()f x 在(1,3]x ∈-上为增函数,求实数a 的范围。
(3)若()f x 的图像关于3
(,0)2
对称,求实数a
4、已知函数()|1||1|f x x x =-++,若2
2
(23)(23)f a a f a a -+>++,求实数a 的范围
5、已知函数a x x x x f -+-++=11)(;
(1)若()f x 的图像关于垂直于x 轴的直线对称,求a 的取值集合。
(2)若()f x 在(2,)x ∈∞上为增函数,求实数a 的范围。
6、设函数()|1||2||2011||1||2|+|2011|f x x x x x x x =++++
+++-+-+-
()x R ∈,且2(32)(1)f a a f a -+=-,求所有互异整数a 的值的和。