4.2相似三角形

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浙教版数学九年级上册4.2《相似三角形》教学设计

浙教版数学九年级上册4.2《相似三角形》教学设计一. 教材分析《相似三角形》是浙教版数学九年级上册4.2节的内容，主要包括相似三角形的定义、性质和判定。

本节内容是学生学习了平面几何基础知识后，对三角形进行进一步研究的开始，是整个初中几何的重要内容之一。

通过本节的学习，学生将对三角形的相似性质有更深入的了解，为后续学习相似多边形、全等三角形等知识打下基础。

二. 学情分析九年级的学生已经具备了一定的几何知识，对平面几何的基本概念和性质有一定的了解。

但是，对于相似三角形的定义和性质，学生可能还比较陌生，需要通过实例和练习来进一步理解和掌握。

此外，学生的学习习惯和思维方式各有不同，需要在教学过程中关注学生的个体差异，引导他们积极参与课堂活动。

三. 教学目标1.知识与技能：使学生掌握相似三角形的定义、性质和判定，能运用相似三角形的知识解决实际问题。

2.过程与方法：通过观察、操作、思考、交流等活动，培养学生的空间想象能力和几何思维能力。

3.情感态度与价值观：激发学生学习几何的兴趣，体会数学在生活中的应用，培养学生的团队合作意识和自主学习能力。

四. 教学重难点1.重点：相似三角形的定义、性质和判定。

2.难点：相似三角形的性质和应用。

五. 教学方法1.情境教学法：通过生活实例和几何模型，引导学生观察、操作、思考，激发学生的学习兴趣。

2.启发式教学法：引导学生主动提问、探讨，培养学生的几何思维能力。

3.小组合作学习：学生进行小组讨论和实践，培养学生的团队合作意识和自主学习能力。

六. 教学准备1.教学课件：制作课件，展示相似三角形的定义、性质和判定。

2.几何模型：准备一些几何模型，如相似三角形、全等三角形等，用于课堂演示和学生实践。

3.练习题：准备一些练习题，用于巩固学生对相似三角形的理解和应用。

七. 教学过程1.导入（5分钟）利用生活实例或几何模型，引导学生观察相似三角形的特征，激发学生的学习兴趣。

例如，展示两幅描绘同一景物的画作，让学生观察其中的相似三角形。

相似三角形的应用影子问题

由相似三角形的性质得:
AG:CG=1:0.9
G
C
∴AG=2.7÷0.9=3 m AB=AG+BG=4.2m
1.2m
答:这棵树的高为4.2米.
B
2.7m
D
C
由CD:AB=DG:BG 得 AB=4.2米.
B
2.7m
DG
(2)小明测得长为1米的竹竿影长为0.9米，同时小王在测另一棵树时，发现树影的一部分在地面上，而另一部分在墙上，他测得地面上的影长为2.7米，留在墙上部分的影长为1.2米.请计算小王测量的这棵树的高.
A
C 1.2m B 2.7m D
(2)小明测得长为1米的竹竿影长为0.9米，同时小王在测另一棵树时，发现树影的一部分在地面上，而另一部分在墙上，他测得地面上的影长为2.7米，留在墙上部分的影长为1.2米.请计算小王测量的这棵树的高.
A
解:过C点作CG⊥AB于G
则CG=BD=2.7m，
BG=CD=1.2 m，
A
解：如图，过点D作DE∥AC
交AB于E点，由平行四边形
E
ACDE得AE=CD=1.2m
由相似三角形的性质得:
BE 1
C
2.7 0.9
1.2m
∴BE=3m
AB=BE+AE=4.2m
B
2.7m
D
答:这棵树高有4.2米.
(2)小明测得长为1米的竹竿影长为0.9米，同时小王在测另一棵树时，发现树影的一部分在地面上，而另一部分在墙上，他测得地面上的影长为2.7米，留在墙上部分的影长为1.2米.请计算小王测量的这棵树的高.
(2)同时小王在测另一棵树时，发现树影的一部分在地面上，而另一部分在墙上，他测得地面上的影长为2.7米，留在墙上部分的影长为1.2 米.请计算小王测量的这棵树的高.

北师版九年级数学(上册)知识点复习

2015-2016北师版九年级数学（上册）知识点复习1.1 平行四边形1．有关定义（1）平行四边形：两组对边分别的四边形叫做平行四边形;（2）平行线之间的距离：两条直线平行，其中一条直线上任意一点到另一条直线的距离，这个距离称为平行线之间的距离．2．性质（1）平行四边形的对边且；（2）平行四边形的对角；（3）平行四边形的对角线．3．判定（1）两组对边分别的四边形是平行四边形；（2）两组对边分别的四边形是平行四边形；（3）一组对边且的四边形是平行四边形；（4）对角线的四边形是平行四边形；（5）两组对角分别的四边形是平行四边形．1.2 矩形、菱形、正方形1.性质矩形、菱形、正方形具有平行四边形的一切性质，同时还具有以下的特殊性质：（1）菱形的四条边都，两条对角线，每一条对角线平分；（2）矩形的对角线，四个角都是；（3）正方形具有平行四边形、、的一切性质．2．判定（1）一组邻边的平行四边形是菱形；（2）对角线的平行四边形是菱形；（3）四条边都的四边形是菱形；（4）有一个角是的平行四边形是矩形（5）对角线的平行四边形是矩形；（6）有一个角是的菱形是正方形；（7）有一组邻边相等的是正方形．1.3 梯形1.等腰梯形的性质：等腰梯形是轴对称图形，对称轴是；同一底上的两个角，对角线，两腰．2.等腰梯形的判定：同一底上的两个角的梯形是等腰梯形，相等的梯形是等腰梯形，相等的梯形是等腰梯形．3.多边形的内角和公式为.注：作梯形的高，平移一条对角线是解决梯形问题经常用到的辅助线．2.1一元二次方程知识梳理1.方程中只含有____•未知数，•并且未知数的最高次数是_______，•这样的______的方程叫做一元二次方程.2.一元二次方程的一般形式为：___ ____（）其中二次项系数是______，一次项系数是______，常数项是________.3.一元二次方程的解是指，也叫做一元二次方程的 .考点呈现考点1：一元二次方程的概念一元二次方程须同时满足三个条件：（1）只含有一个末知数，（2）末知数的最高次数是2，（3）整式方程，这三个条件缺一不可.考点2：一元二次方程的各项系数一元二次方程的一般形式是：ax2+bx+c=0（a，b，c是常数且a≠0）中，每项的名称是关键.考点3：一元二次方程的根在已知方程的根时，通常需要将方程的根代入原方程，根据要求的结果，进行转化，可通过分解因式，或者整体代入等方法实现要求解的问题.2.2一元二次方程的解法知识梳理1.解一元二次方程的一般解法有（1）____ _____；（2）_____ ___；（•3）•_____ __.2.配方法的一般步骤是：（1）变形: ；（2）移项: ；（3）配方: ；（4）开方: ；（5）定解: .3.公式法的一般步骤是：（1）化成一元二次方程的；（2）找出；（3）计算；（4）代入公式写出解.4.一元二次方程的求根公式是______________．5.一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根的判别式是____________，当_______时，它有两个不相等的实数根；当_________时，它有两个相等的实数根；当_ __时，•它没有实数根．6.因式分解法解一元二次方程的一般步骤:（1）移：；（2）分：；（3）化：方程化为两个一元一次方程；（4）解： .7.一元二次方程的根与系数的关系：若 ax2+bx+c=0 的两根为 x1、x2，则x1+x2=_______；x1x2=__ _.考点呈现考点1：配方法配方法是一种重要的解题方法，在应用它时主要是依据一般步骤，只要注意一次项的符号，选准和（或差）的平方，就可以得到正确答案.考点2：公式法在使用求根公式时，首先计算b2－4ac的值，然后代入求根公式即可求出方程的两个根．考点3：因式分解法利用因式分解时要注意不要漏解，直接把一个一元二次方程化为两个一元一次方程来进行解决即可.考点4：根的判别式的应用一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根与△=b2－4ac有如下关系：（1）当△＞0时，方程有两个不相等的两个实数根；（2）当△=0时，方程有两个相等的两个实数根；（3）当△＜0时，方程无实数根；反之也成立.考点5：根与系数的关系注意掌握若二次项系数为1，x 1，x 2是方程x 2+px+q=0的两根时，则x1+x2=﹣p ，x1x2=q.本题也可以利用根的定义，把x 1，x 2分别代入方程，得到b 、c 的方程组进行求解.三、一元二次方程的实际应用知识梳理1.列一元二次方程解应用题的一般步骤是：（1）审题；（2）设元；（3）找；（4）列方程；（5）解方程；（6）答.2.列一元二次方程解应用题的常见题型：（1）增长率问题（2）图形问题（3）球赛问题（4）销售问题3.1频率与概率小结与复习1. “作n 次随机试验，事件A 出现m 次，则事件A 发生的频率nm 就是事件A 的概率”，你认为是．（填“正确的”或“错误的”）2.在大量重复的试验下，可用一个事件发生的来估计这一事件发生的 .3.在涉及两步及两步以上试验的随机事件概率的计算，可利用或，可以比较方便地求出某些事件发生的概率.3.2破解概率问题的三种“策略”在实际生活中，有些事件是一定会发生的，有些事件是不可能发生的，还有些事件是有可能发生的，它们发生的概率有大有小，当遇到概率大小问题一筹莫展时，不妨将事件发生的可能性一一列举出来，朴素的想法有时使你获得意想不到的效果.策略一：枚举法所谓枚举法，就是将事件发生的所有的可能的结果一一列举出来，来计算概率的一种数学方法.策略二：画树状图法当一次试验要涉及2个或更多的因素时，为了不重不漏地列出所有可能的结果，通过画树形图的方法来计算概率.策略三：列表法当一次试验要涉及两个因素,并且可能出现的结果数目较多时,为了不重不漏的一列出所有的可能的结果,通常采用列表法.4.1 图形的相似1. 比例线段：对于四条线段a ,b ,c ,d ,如果 ,如dc b a =或d c b a ::=,我们就说这四条线段是成比例线段, 简称比例线段.2. 比例的基本性质：如果dc b a =,那么ad =bc ;反之，如果ad =bc （a ,b ,c ,d 都不等于0），那么 .3.比例尺：在地图或工程图纸上，图上长度与______长度的比通称为比例尺.需注意：（1）两条线段的比是两条线段的长度之比，因此其比值总为_____；（2）两条线段的比与所采用的单位无关，但必须是同一个长度单位.4.黄金分割: 如图1，点C 把线段AB 分成两条线段AC 和BC ，如果AB AC =AC BC ，那么称线段AB 被点C 黄金分割，点C 叫做线段AB 的_____.AB AC =215 ≈______，这个比值称为黄金比. 5. 相似图形: 相同的图形叫做相似图形. 相似多边形的对应边的比称为 .6. 相似多边形的性质:⑴相似多边形的对应边 , 对应角 ;⑵相似多边形的周长比等于 ,面积比等于 .4.2 相似三角形1. 相似三角形的判定⑴平行于三角形一边的直线与其他两边相交, 所构成的三角形与原三角形； ⑵如果两个三角形的三组对应边的比 ,那么这两个三角形相似；⑶如果两个三角形的两组对应边的比 , 并且相应的夹角 ,那么这两个三角形相似；⑷如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应 , 那么这两个三角形相似.⑸如果两个直角三角形斜边的比一组直角边的比,那么这两个直角三角形相似.2. 相似三角形的性质⑴相似三角形的对应边 ,对应角 .⑵相似三角形对应高的比、对应中线的比、对应角平分线的比和周长的比都等于 .⑶相似三角形面积的比等于 .3.相似三角形的应用相似三角形的知识在实际中应用非常广泛，主要是运用相似三角形的有关性质来测量、计算那些不易直接测量的物体的高度或宽度.5.1投影知识梳理1．太阳光线可以看成________光线（填“相交”或“平行”），像这样的光线所形成的投影称为________．2．物体在太阳光照射的不同时刻，不仅影子的长短在变化，而且影子的________也在改变．根据不同时刻影长的变换规律，以及太阳东升西落的自然规律，可以判断时间的先后顺序．3．判断平行投影的方法：分别过每个物体的顶端及其影子的顶端作一条直线，若两B 图1直线________，则为平行投影.4. 灯光的光线可以看成是从一点（即点光源）发出的，像这样的光线所形成的投影称为________．5．中心投影点光源的确定：分别过每个物体的顶端及其影子的顶端作直线，这两条直线的________即为光源的位置．6. 判断中心投影的方法：分别过每个物体的顶端及其影子的顶端作直线，若两直线________，则为中心投影．5.2常见几何体的三视图知识梳理1．几何体的三视图是指________、________、________.2．主视图反映物体的长和________；俯视图反映物体的长和_______；左视图反映物体的______．因此，在画三视图时，主、俯视图要________对正，主、左视图要________平齐，俯、左视图要_______相等．3．画三视图时，看得见部分的轮廓线通常画成________，看不见部分的轮廓线通常画成________．6.1反比例函数知识梳理1. 反比例函数的概念: 一般地, 形如 (k 是常数, 0≠k )的函数叫做反比例函数.2. 反比例函数的图象: 反比例函数xk y =的图象是 . 当k ＞0时,两个分支位于 ; 当k ＜0时, 两个分支位于 .3. 反比例函数图象的性质⑴对称性: 反比例函数xk y =的图象是轴对称图形, 当k ＞0时,其对称轴是直线 ; 当k ＜0时, 其对称轴是直线 . 反比例函数x k y =的图象也是中心对称图形, 其对称中心是 .⑵增减性：当k ＞0时, 在内, y 随x 的增大而 ; 当k ＜0时, 在内, y 随x 的增大而减小 .注：求反比例函数解析式的方法就是待定系数法，求出k 即可.。

九年级第一学期数学备课组教学计划

九年级第一学期数学备课组教学计划一、教材分析：本册部分共编成4章，依次是：第1章反比例函数；第2章二次函数；第3章圆的基本性质；第4章相似三角形；其中属于数与代数领域的有“反比例函数”、“二次函数”。

让学生进一步理解函数的内涵，并感受现实世界存在各种函数，以及如何应用函数解决实际问题。

培养学生数学建模和重要的数学思想，体验数形结合的探究方法。

属于空间与图形的有“圆的基本性质”，“相似三角形”。

“圆的基本性质”这章，让学生对圆的感念及其有关性质进行系统的探索与证明，体念用运动的观点来研究图形的思想和方法。

“相似三角形”是相似变换的延续和发展，让学生能运用相似三角形的性质解决一些实际问题，进行有关的计算与证明，培养学生的推理能力。

二、学生分析本届学生两极现象严重，好的学生成绩优异，学习目标明确，学习刻苦、勤奋。

但一些成绩差的学生，可以说是“躺着不学”。

针对初三学生的特点，以中考为出发点，教学上打算在全面抓好"双基"的同时，拔出一部分尖子起领头作用，对有学习积极性而基础一般和较差的人给予大力的帮助，提高他们的学习成绩，对躺倒不学的人首先做好他们的思想工作，在采用较低难度的作业和要求逐步培养他们的学习兴趣，从而提高他们的学习成绩。

三、教学目标及要求：1.紧扣教材，细读课标，以生为本。

备课组必须深挖教材，研读课标并以学生的实际为切入点，集体探讨一种学生易接受、易掌握的教学方法，努力使绝大部分同学都理解并掌握，力争使每个学生都学有所获。

2.发挥集体智慧，资源共享，并保持集体备课的持久性、高效性，以达到提高课堂教学效率的目的。

3.抓好教学研讨工作，积极开展听评课活动。

抓教学问题汇聚，严格执行教学反思制度，杜绝不良现象重复出现。

4.抓学生的学习方法。

在教学过程中，使他们形成自主学习的习惯，并为其终身学习打下基础。

5.知识与能力并举，在教学过程中，巩固所学知识，并强化能力的培养。

通过小组合作交流，给学生提供一个展示自我的平台，开发课程资源，以达到活跃课堂的目的。

第3课时相似三角形的判定定理2

从上述例子你能得出什么结论？
AB DE
=
2，DAFC
=
2 ，有两边对应成比例.
图中∠B=∠E，而∠A≠∠D，故这两个三角形不相似.
在两个三角形中，有两边对应成比例，如不是这两边的夹角相等，则这两个三角形不相似.
AB DE
=
2在，两DAFC个=三2，角形中，有
有两图两边中边对∠对应B应成=∠成比E比例，例.而，∠A如≠不∠D是，故
曹杨二中高三(14)班学生
班级职务：学习委员
高考志愿：北京大学中文系
高考成绩：语文121分数学146分
英语146分历史134分
综合28分总分
575分
(另有附加分10
分)
上海高考文科状元--常方舟
“我对竞赛题一样发怵”
总结自己的成功经验，常方舟认为学习的高效率是最重要因素，“高中三年，我每天晚上都是10:30休息，这个生活习惯雷打不动。早晨总是6:15起床，以保证八小时左右的睡眠。平时功课再多再忙，我也不会‘开夜车’。身体健康，体力充沛才能保证有效学习。”高三阶段，有的同学每天学习到凌晨两三点，这种习惯在常方舟看来反而会影响次日的学习状态。每天课后，常方舟也不会花太多时间做功课，常常是做完老师布置的作业就算完。
“用好课堂40分钟最重要。我的经验是，哪怕是再简单的内容，仔细听和不上心，效果肯定是不一样的。对于课堂上老师讲解的内容，有的同学觉得很简单，听讲就不会很认真，但老师讲解往往是由浅入深的，开始不认真，后来就很难听懂了；即使能听懂，中间也可能出现一些知识盲区。高考试题考的大多是基础知识，正就是很多同学眼里很简单的内容。”常方舟告诉记者，其实自己对竞赛试题类偏难的题目并不擅长，高考出色的原因正在于试题多为基础题，对上了自己的“口味”。

4.2 相似三角形改

3、相似三角形的性质：对应角相等，对应边对应成比例。
性质
ABC∽ △DEF
∠A = ∠D,∠B = ∠E, ∠C = ∠F
AB AC BC DE DF EF
定义
1.如图，D是AB上的一点。 △ABC∽ △ACD ，且AD： AC＝2：3,∠ADC= 65°, ∠B＝43 °. （1）求∠ABC， ∠ACD的度数；（2）写出△ABC与 △ACD的对应边成比例的比例式，求出相似比。 A C O D C B B 第2题
黄山松
我们刚才所见到的图形有什么相同和不同的地方?
相同点：
形状相同．
不同点：
大小不同．
生活中我们会碰到许多这样形状相同的．大小不一定相同的图形，在数学上，我们把具有相同形状的图形称为：相似图形
相似变换的性质:
图形的相似变换不改变图形中每一个角的大小;图形中的每条线段都扩大(或缩小) 相同的倍数.
A
D
第1题
2、如图，AB，CD相交于点0, △AOC∽ △BOD 。（1）如果OC：OD＝1：2,AC＝5,求BD的长；
（2）如果∠A＝35°, ∠AOC＝100°,求∠D的度数。
知识源于悟

益智的“模型”
若△ADE∽ △ABC,则 ∠DAE=∠BAC, ∠ADE=∠ A BC, ∠AED=∠ACB,
这是两个极具代表性的相似三角形基本模型： “A”型和“X” 型 C E
AD AE DE . AB AC BC
若△ABC∽ △DEC,则 ∠A=∠D, ∠B=∠E, ∠ACB=∠DCE,
A B A
D
B D
C E
AB AC BC . DE DC CE
A

相似三角形的性质和判定一

3.3相似三角形的性质和判定（1）学习目标：1、了解相似三角形及相似比的概念；2、理解相似三角形的判定定理1，能正确运用判定定理1判定两三角形相似.学习重点：相似三角形的概念及相似三角形的判定定理1学习难点：相似三角形的判定定理1的应用学习过程：一、问题导入：1、同学们，还记得什么是相似图形吗？相似的图形具有怎样的特征呢？2、在实际生活中你见过的哪些三角形是相似的？怎样判定两个三角形相似呢？二、问题探究：探究一：如图所示，△A′B′C′是由△ABC放大得到的，量一量它们的三个角和三条边，它们的三个角对应相等吗？三条对应边的比值相等吗？交流展示：探究点拨：∠A=∠A′，∠B=∠B′，∠C=∠C′，A B B C C A AB BC CA ''''''==相似三角形的定义：三个角对应相等，三条边对应成比例的两个三角形叫做相似三角形，记作△ABC～△A′B′C′，读作：△ABC 相似于△A′B′C′，相似三角形对应边的比叫作相似比.注意：1、相似三角形的性质：三个角对应相等，三边对应成比例；2、表示三角形相似时，对应顶点要写在对应位置上；3、相似比有顺序性，当△ABC与△A′B′C′的相似比为k时，则△A′B′C′与△ABC的相似比为1 k .探究二：从定义上去判断三角形相似太麻烦，能否有更为简单的判定方法呢？如图：△ABC 的边AB ，BC ，CA 的长度分别为4.2cm,3.6cm,3cm; △A ′B ′C ′的边A B ''，B C ''，C A ''的长度分别为 2.1cm,1.8cm,1.5cm,那么这两个三角形相似吗？交流展示：探究点拨：① 计算：111,,222A B B C A C AB BC AC ''''''===，即A B B C C A AB BC CA''''''== ② 量得：∠A=∠A ′，∠B=∠B ′，∠C=∠C ′所以△ABC ～△A ′B ′C ′相似三角形的判定1：如果一个三角形的三条边和另一个三角形的三条边对应成比例，那么这两个三角形相似，简称：三边对应成比例的两个三角形相似.三、实践应用1、如图：已知△ABC ～△A B C '''，并且A B ''=3cm,AB=2.4cm,BC=1.6cm, ∠B=65°, ∠C=75°.求B C ''的长，以及∠B ′，∠A ′的度数.学生解答交流展示教师点拨规范解答：思路点拨：由相似三角形的对应边成比例可得：A B B C AB BC''''=，从而求出B C ''=2cm.由相似三角形的对应角相等，可得∠B ′=∠B=65°，∠C ′=∠C=75°，从而得∠A ′=40°2、图中的两个三角形是否相似，为什么？学生解答：交流展示：教师点拨规范解答：思路点拨：①先将两个三角形的三边按大小排列：△ABC 中，AB ＞BC ＞CA ，△ DEF 中，DE ＞EF ＞FD ；②计算对应边的比值： 2.40.64DE AB ==， 2.10.63.5EF BC ==，1.80.63FD CA ==③由相似三角形的判定定理1可得△ABC ～△DEF. 四、课堂小结：本节课你有什么收获？1、相似三角形的定义：三个角对应相等，三条边对应成比例的两个三角形叫做相似三角形.2、性质：三角对应相等，三边对应成比例。

初中数学中考[图形的认识]第4讲相似三角形(教师版)

【知识梳理】【方法技巧】1、判定三角形相似的基本思路：一是条件中若有一组等角，可再找一组等角（找相等的角时注意挖掘公共角、对顶角、同角的余角或者同角的补角）或找夹这组等角的两组对应边成比例；二是条件中若有两组对应边成比例，可找夹角相等或计算第三组对应边的比，考虑三组对应边成比例（具体方法如下：首先把三角形的边分别按照从小到大的顺序排列，找出两个三角形的对应边；再分别计算小、中、大边的比，最后看三个比是否相等）。

2、解决圆中的相似问题时，要充分运用圆周角定理，圆心角、弧、弦的关系定理，切线的性质等找出角之间的关系，进而利用相似三角形的判定定理及性质求解。

3、相似三角形的基本模型：（1）“A ”字型（2）“X ”字型（3）“K ”字型（4）旋转型：符合旋转型的两个三角形，常用“两边成比例及夹角相等”来证明相似BBB CB C CQ DBA（5）母子型：在“母子三角形”中，应用公共边可得到关于三条线段的乘方式，由此可证明相似问题中的等积式。

4、位似图形必须同时满足两个条件：（1）两个图形是相似图形（2）两个图形的每组对应顶点的连线都经过同一点5、关于位似的警示点：（1）位似图形一定是相似图形，但是相似图形不一定是位似图形（2）位似图形可能在位似中心的同侧，也可能在位似中心的两侧，因此作一个图形关于某点的位似图形往往有两个。

如图： O A B C D OA B CD D CB AC D B A6、在平面直角坐标系中，如果以原点为位似中心，新图形与原图形的相似比为k，那么与原图形上的点（x,y）对应的位似图形上的点的坐标为（kx,ky）或（-kx,-ky）.【考点突破】考点1、基本概念与定理例1、如果2x=3y（x、y均不为0），那么下列各式中正确的是（）A．=B．=3 C．=D．=变式1、已知=，那么的值为（）A．B．C．D．变式2、下列各组中的四条线段成比例的是（）A．1cm、2cm、20cm、30cm B．1cm、2cm、3cm、4cmC．5cm、10cm、10cm、20cm D．4cm、2cm、1cm、3cm例2、△ABC与△DEF的相似比为1：4，则△ABC与△DEF的周长比为（）A．1：2 B．1：3 C．1：4 D．1：16变式1、已知△ABC∽△DEF，若△ABC与△DEF的相似比为，则△ABC与△DEF对应中线的比为（）A．B．C．D．变式2、如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，对角线AC与BD相交于点O，如果S△ACD：S△ABC=1：2，那么S△AOD：S△BOC是（）A．1：3 B．1：4 C．1：5 D．1：6例3、如图，直线l1∥l2∥l3，直线AC分别交l1、l2、l3与点A、B、C，直线DF分别交l1、l2、l3与点D、E、F，AC与DF相交于点H，如果AH=2，BH=1，BC=5，那么的值等于（）A．B．C．D．变式1、如图，已知直线a∥b∥c，直线m交直线a，b，c于点A，B，C，直线n交直线a，b，c 于点D，E，F，若=，则=（）A．B．C．D．1例4、如图，△ABC中，∠A=78°，AB=4，AC=6．将△ABC沿图示中的虚线剪开，剪下的阴影三角形与原三角形不相似的是（）A．B．C．D．解：A、阴影部分的三角形与原三角形有两个角相等，故两三角形相似，故本选项错误；B、阴影部分的三角形与原三角形有两个角相等，故两三角形相似，故本选项错误；C、两三角形的对应边不成比例，故两三角形不相似，故本选项正确；D、两三角形对应边成比例且夹角相等，故两三角形相似，故本选项错误．故选C．变式1、如图，已知∠1=∠2，那么添加下列一个条件后，仍无法判定△ABC∽△ADE的是（）A．∠C=∠E B．∠B=∠ADE C．D．例5、在三角形纸片ABC中，AB=8，BC=4，AC=6，按下列方法沿虚线剪下，能使阴影部分的三角形与△ABC相似的是（）A．B．C．D．变式2、如图，小正方形的边长均为1，则图中三角形（阴影部分）与△ABC相似的是（）A．B．C．D．考点2：位似例1、在平面直角坐标系中，△ABC顶点A（2，3）．若以原点O为位似中心，画三角形ABC 的位似图形△A′B′C′，使△ABC与△A′B′C′的相似比为，则A′的坐标为（）A．B．C．D．变式1、如图，在边长为1的小正方形组成的网格中，建立平面直角坐标系，△ABC的三个顶点均在格点（网格线的交点）上．以原点O为位似中心，画△A1B1C1，使它与△ABC的相似比为2，则点B的对应点B1的坐标是．变式2、如图所示是△ABC位似图形的几种画法，其中正确的是个数是（）A．1B．2C．3D．4例2、已知△ABC和△A′B′C′是位似图形．△A′B′C′的面积为6cm2，△A′B′C′的周长是△ABC的周长一半．则△ABC的面积等于（）A．24cm2B．12cm2C．6cm2D．3cm2变式1、如图，△ABC和△A1B1C1是以点O为位似中心的位似三角形，若C1为OC的中点，AB=4，则A1B1的长为（）A．1B．2C．4D．8考点3：相似的应用例1、小明身高1.5米，在操场的影长为2米，同时测得教学大楼在操场的影长为60米，则教学大楼的高度应为（）A．45米B．40米C．90米D．80米变式1、如图，身高为1.5米的某学生想测量一棵大树的高度，她沿着树影BA由B向A走去，当走到C点时，她的影子顶端正好与树的影子顶端重合，测得BC=4米，CA=2米，则树的高度为（）A．6米B．4.5米C．4米D．3米例2、如图，为了估计河的宽度，在河的对岸选定一个目标点A，在近岸取点B，C，D，E，使点A，B，D 在一条直线上，且AD⊥DE，点A，C，E也在一条直线上且DE∥BC．如果BC=24m，BD=12m，DE=40m，则河的宽度AB约为（）A．20m B．18m C．28m D．30m变式1、如图，利用标杆BE测量建筑物的高度，标杆BE高1.5m，测得AB=2cm，BC=14m，则楼高CD为（）m．A．10.5 B．12 C．13 D．15变式2、如图，在河两岸分别有A、B两村，现测得A、B、D在一条直线上，A、C、E在一条直线上，BC∥DE，DE=90米，BC=70米，BD=20米，则A、B两村间的距离为（）A．50米B．60米C．70米D．80米变式3、为了估算河的宽度，我们可以在河对岸的岸边选定一个目标记为点A，再在河的这一边选点B和点C，使得AB⊥BC，然后再在河岸上选点E，使得EC⊥BC，设BC与AE交于点D，如图所示，测得BD=120米，DC=60米，EC=50米，那么这条河的大致宽度是（）A．75米B．25米C．100米D．120米考点3、常见相似模型例1、如图，点D，E分别在△ABC的AB，AC边上，增加下列条件中的一个：①∠AED=∠B，②∠ADE=∠C，③，④，⑤AC2=AD•AE，使△ADE与△ACB一定相似的有（）A．①②④B．②④⑤C．①②③④ D．①②③⑤变式1、如图，在△ABC中，点D、E分别在边AB、AC上，下列条件中不能判断△ABC∽△AED的是（）A．∠AED=∠B B．∠ADE=∠C C．=D．=例2、如图，点P是⊙O直径AB的延长线上一点，PC切⊙O于点C，已知OB=3，PB=2．则PC等于（）A．2 B．3 C．4 D．5变式1、如图，PA切⊙O于A，PBC是⊙O的割线，如果PB=2，PC=4，则PA的长为．例3、如图，在△ABC中，∠C=60°，以分别交AC，BC于点D，E，已知圆O的半径为．则DE的长为．变式1、如图，A、B、C、D为⊙O上的点，直线BA与DC相交于点P，PA=2，PC=CD=3，则PB=（）A．6 B．7 C．8 D．9例4、如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=90°，E是AB上一点，且DE⊥CE．若AD=1，BC=2，CD=3，则CE与DE的数量关系正确的是（）A．CE=DE B．CE=DE C．CE=3DE D．CE=2DE变式1、如图，边长为4的正方形ABCD中有一个小正方形EFGH，其中E、F、G分别在AB、BC、FD上，若BF=1，则小正方形的边长为（）A．B．C．D．变式2、如图（1）矩形ABCD中，AB=2，BC=5，BP=1，∠MPN=90°将∠MPN绕点P从PB处开始按顺时针方向旋转，PM交AB（或AD）于点E，PN交边AD（或CD）于点F，当PN旋转至PC处时，∠MPN的旋转随即停止（1）特殊情形：如图（2），发现当PM过点A时，PN也恰好过点D，此时，△ABP △PCD（填：“≌”或“～”）（2）类比探究：如图（3）在旋转过程中，的值是否为定值？若是，请求出该定值；若不是，请说明理由；（3）拓展延伸：设AE=t，△EPF面积为S，试确定S关于t的函数关系式；当S=4.2时，求所对应的t的值．例5、如图，在△ABC中，AB=AC，点D是边BC上（不与B，C重合）一动点，∠ADE=∠B=α，DE 交AC于点E．写出相似三角形________________.变式1、等边△ABC边长为6，P为BC边上一点，∠MPN=60°，且PM、PN分别交边AB、AC于点E、F．（1）如图1，若点P在BC边上运动，且保持PE⊥AB，设BP=x，四边形AEPF面积的y，求y与x 的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；（2）如图2，若点P在BC边上运动，且∠MPN绕点P旋转，当CF=AE=2时，求PE的长．例6、如图，在Rt△ABC中，CD是边AB上的高，若AC=4，AB=10，则AD的长为（）A．B．2 C．D．3变式1、如图，△ABC中，∠C=90°，若CD⊥AB于D，且BD=4，AD=9，则CD= ．变式2、如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于点D，CD=2，BD=1，则AD的长是，AC 的长是．例7、如图，矩形EFHG的边GH在△ABC边BC上，其他两个顶点分别在边AB、AC上，已知△ABC 的边BC=120cm，BC边上的高AD为80cm；求：（1）当矩形EFHG是正方形时，求这个正方形的边长；（2）设EG的长为x cm，x为何值时，矩形EFHG的面积最大？并求面积的最大值．变式1、如图，锐角△ABC中，BC=6，S△ABC=12，两动点M、N分别在边AB、AC上滑动，且MN∥BC，以MN为边向作正方形MPQN，设其边长为x，正方形MPQN与△ABC公共部分的面积为y，则y与x 的函数图象大致是（）A．B．C．D．【分层训练】<A组>1．△ABC∽△DEF，且相似比为2：1，△ABC的面积为8，则△DEF的面积为（）A．2 B．4 C．8 D．162．两个相似三角形的对应边分别是15cm和23cm，它们的周长相差40cm，则这两个三角形的周长分别是（）A．75cm，115cm B．60cm，100cm C．85cm，125cm D．45cm，85cm3．如果一个直角三角形的两条边长分别是6和8，另一个与它相似的直角三角形边长分别是3、4及x，那么x的值为（）A．B．5 C．或5 D．无数个4．如图，点A、B、C、D的坐标分别是（1，7），（1，1），（4，1），（6，1），以C、D、E 为顶点的三角形与△ABC相似，则点E的坐标不可能是（）A．（4，2） B．（6，0） C．（6，3） D．（6，5）5．小明身高1.5米，在操场的影长为2米，同时测得教学大楼在操场的影长为60米，则教学大楼的高度应为（）A．45米B．40米C．90米D．80米6．我们在制作视力表时发现，每个“E”形图的长和宽相等（即每个“E”形图近似于正方形），如图，小明在制作视力表时，测得l1=14cm，l2=7cm，他选择了一张面积为4cm2的正方形卡纸，刚好可以剪得第②个小“E”形图．那么下面四张正方形卡纸中，能够刚好剪得第①个大“E”形图的是（）A．面积为8cm2的卡纸B．面积为16cm2的卡纸C．面积为32cm2的卡纸D．面积为64cm2的卡纸7．如图，四边形ABCD各顶点的坐标分别为A（2，6），B（4，2），C（6，2），D（6，4），在第一象限内，画出以原点为位似中心，相似比为的位似图形A1B1C1D1，并写出各点坐标．8．一天晚上，李明和张龙利用灯光下的影子长来测量一路灯D的高度．如图，当李明走到点A 处时，张龙测得李明直立时身高AM与影子长AE正好相等；接着李明沿AC方向继续向前走，走到点B处时，李明直立时身高BN的影子恰好是线段AB，并测得AB=1.25m，已知李明直立时的身高为1.75m，求路灯的高CD的长．（结果精确到0.1m）．<B组>1．如图，以点O为支点的杠杆，在A端用竖直向上的拉力将重为G的物体匀速拉起，当杠杆OA 水平时，拉力为F；当杠杆被拉至OA1时，拉力为F1，过点B1作B1C⊥OA，过点A1作A1D⊥OA，垂足分别为点C、D．①△OB1C∽△OA1D；②OA•OC=OB•OD；③OC•G=OD•F1；④F=F1．其中正确的说法有（）A．1个B．2个C．3个D．4个2．九年级某班开展数学活动，活动内容为测量如图所示的电杆AB的高度．在太阳光的照射下，电杆影子的一部分（BE）落在地面上，另一部分（EF）落在斜坡上，站在水平面上的小明的影子为DG，已知斜坡的倾角∠FEH=30°，CD=1.6m，DG=0.8m，BE=2.1m，EF=1.7m，则电杆的高约为m．（精确到0.1，参考数据：，）3．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=4cm，BC=3cm．动点M，N从点C同时出发，均以每秒1cm 的速度分别沿CA、CB向终点A，B移动，同时动点P从点B出发，以每秒2cm的速度沿BA向终点A移动，连接PM，PN，设移动时间为t（单位：秒，0＜t＜2.5）．（1）当t为何值时，以A，P，M为顶点的三角形与△ABC相似？（2）是否存在某一时刻t，使四边形APNC的面积S有最小值？若存在，求S的最小值；若不存在，请说明理由．4．如图，点B在线段AC上，点D、E在AC同侧，∠A=∠C=90°，BD⊥BE，AD=BC．（1）求证：AC=AD+CE；（2）若AD=3，CE=5，点P为线段AB上的动点，连接DP，作PQ⊥DP，交直线BE于点Q；（i）当点P与A、B两点不重合时，求的值；（ii）当点P从A点运动到AC的中点时，求线段DQ的中点所经过的路径（线段）长．（直接写出结果，不必写出解答过程）5．【提出问题】（1）如图1，在等边△ABC中，点M是BC上的任意一点（不含端点B、C），连结AM，以AM为边作等边△AMN，连结CN．求证：∠ABC=∠ACN．【类比探究】（2）如图2，在等边△ABC中，点M是BC延长线上的任意一点（不含端点C），其它条件不变，（1）中结论∠ABC=∠ACN还成立吗？请说明理由．【拓展延伸】（3）如图3，在等腰△ABC中，BA=BC，点M是BC上的任意一点（不含端点B、C），连结AM，以AM为边作等腰△AMN，使顶角∠AMN=∠ABC．连结CN．试探究∠ABC与∠ACN的数量关系，并说明理由．参考答案【考点突破】考点1、基本概念与定理例1、解：∵2x=3y，∴=，∴选项A不正确；∵2x=3y，∴=，∴==3，∴选项B正确；∵2x=3y，∴=，∴==，∴选项C不正确；∵2x=3y，∴=，∴==，∴∴选项D不正确．故选：B．变式1、解：∵=，∴设a=2k，则b=3k，则原式==．故选B．变式2、解：A.1×30≠2×20，故本选项错误；B.3×2≠1×4，故本选项错误；C.5×20=10×10，故本选项正确；D.4×1≠3×2，故本选项错误；故选C．例2、解：∵△ABC与△DEF的相似比为1：4，∴△ABC与△DEF的周长比为1：4；故选：C．变式1、解：∵△ABC∽△DEF，△ABC与△DEF的相似比为，∴△ABC与△DEF对应中线的比为，故选：A．变式2、解：∵在梯形ABCD中，AD∥BC，而且S△ACD：S△ABC=1：2，∴AD：BC=1：2；∵AD∥BC，∴△AOD～△BOC，∵AD：BC=1：2，∴S△AOD：S△BOC=1：4．故选：B．例3、解：∵直线l1∥l2∥l3，∴，∵AH=2，BH=1，BC=5，∴AB=AH+BH=3，∴，∴，故选D．变式1、解：∵a∥b∥c，∴==．故选B．例4、解：A、阴影部分的三角形与原三角形有两个角相等，故两三角形相似，故本选项错误；B、阴影部分的三角形与原三角形有两个角相等，故两三角形相似，故本选项错误；C、两三角形的对应边不成比例，故两三角形不相似，故本选项正确；D、两三角形对应边成比例且夹角相等，故两三角形相似，故本选项错误．故选C．变式1、解：∵∠1=∠2，∴∠DAE=∠BAC，A、添加∠C=∠E，可用两角法判定△ABC∽△ADE，故本选项错误；B、添加∠B=∠ADE，可用两角法判定△ABC∽△ADE，故本选项错误；C、添加=，可用两边及其夹角法判定△ABC∽△ADE，故本选项错误；D、添加=，不能判定△ABC∽△ADE，故本选项正确；故选D．例5、解：三角形纸片ABC中，AB=8，BC=4，AC=6．A、==，对应边==≠，则沿虚线剪下的涂色部分的三角形与△ABC不相似，故此选项错误；B、=，对应边==≠，则沿虚线剪下的涂色部分的三角形与△ABC不相似，故此选项错误；C、==，对应边==≠，则沿虚线剪下的涂色部分的三角形与△ABC不相似，故此选项错误；D、==，对应边===，则沿虚线剪下的涂色部分的三角形与△ABC相似，故此选项正确；故选：D．变式2、解：∵小正方形的边长均为1∴△ABC三边分别为2，，同理：A中各边的长分别为：，3，；B中各边长分别为：，1，；C中各边长分别为：1、2，；D中各边长分别为：2，，；∵只有B项中的三边与已知三角形的三边对应成比例，且相似比为。

初中数学总复习提纲几何

第一章线段、直线和相交线、平行线1．1线段、直线和角知识要点线段的中点：将一条线段分成两条相等的线段的点。

二、角①定义：有公共端点的两条射线组成的图形叫做角，这个公共端点叫做角的顶点，这两条射线叫做角的边。

角也可以看成是由一条射线绕着它的端点旋转而成的几何图形。

②角的度量：1周角＝360°，1平角＝180°，1直角＝90°，1°＝60′，1′＝60″。

③角的平分线：从一个角的顶点引出一条射线，把这个角分成两个相等的角，这条射线就叫做这个角的平分线。

④角的分类及有关概念：周角：一条射线绕着它的端点旋转，当转到与起始位置重合时所成的角。

平角：一条射线绕着它的端点旋转，当转到与起始位置在同一条直线上时所成的角。

直角：平角的一半叫直角。

钝角：大于直角而小于平角的角。

锐角：小于直角的角。

⑤相关的角及性质：互为余角：两个角的和等于直角时叫做互为余角。

互为补角：两个角的和等于平角时叫做互为补角。

互为邻补角：两条相交直线所得到的角中有一条公共边的两个角，叫做互为邻补角。

同角（或等角）的余角相等；同角（或等角）的补角相等。

命题热点：本节知识的考查主要集中在填空、选择题中，难度不大。

在相关求值问题中，主要用到代数中的方程等知识，对概念的考查也是中考试卷中出现较多的题型。

1．2相交线与平行线知识要点一、相交线①对顶角：一个角的两边分别是另一个角的两边的反向延长线，这两个角叫做对顶角。

对顶角的性质：对顶角相等。

②垂线：两直线相交所构成的四个角中有一个角是直角时，我们就说这两条直线互相垂直，其中一条直线叫做另一条直线的垂线，它们的交点叫做垂足。

垂线的性质：（Ⅰ）经过一点有一条而且只有一条直线垂直于已知直线。

（Ⅱ）直线外一点与直线上各点连结的所有线段中，垂线段最短。

点到直线的距离：从直线外一点向已知直线作垂线，这一点和垂足之间线段的长度叫做点到这条直线的距离。

等腰三角形和等边三角形的性质

等腰三角形和等边三角形的性质一、等腰三角形的性质1.1 定义：等腰三角形是指有两边相等的三角形。

1.2 两边相等：在等腰三角形中，两个底角相等，两条底边相等。

1.3 底角平分线：在等腰三角形中，底边的垂直平分线同时也是底角平分线。

1.4 顶角平分线：在等腰三角形中，顶角的平分线、底边的中线和底角的平分线三线合一。

1.5 面积公式：等腰三角形的面积公式为：S=12absinC，其中 a 和 b 分别为等腰三角形的底边，C 为顶角。

二、等边三角形的性质2.1 定义：等边三角形是指三边相等的三角形。

2.2 内角相等：在等边三角形中，三个内角都相等，每个内角为60∘。

2.3 外角相等：在等边三角形中，每个外角都相等，每个外角为120∘。

2.4 中线相等：在等边三角形中，三条中线相等，且都垂直于对边。

2.5 高线相等：在等边三角形中，三条高线相等，且都垂直于对边。

2.6 面积公式：等边三角形的面积公式为：S=√34a2，其中 a 为等边三角形的边长。

2.7 圆周角定理：在等边三角形中，每个圆周角都等于60∘。

2.8 圆心对称：等边三角形具有圆心对称性，即三角形的三条高线、三条中线、三条角平分线都相交于同一点，称为三角形的垂心。

2.9 稳定性：等边三角形是稳定的，不会因为外力的作用而变形。

总结：等腰三角形和等边三角形是特殊的三角形，它们具有独特的性质。

通过掌握这些性质，我们可以更好地理解和解决与等腰三角形和等边三角形相关的问题。

习题及方法：1.习题：判断以下三角形是否为等腰三角形。

解答：根据等腰三角形的性质，只需要判断两边是否相等即可。

如果两边相等，则为等腰三角形。

2.习题：已知等腰三角形的底边长为8cm，腰长为5cm，求该三角形的面积。

解答：根据等腰三角形的性质，底边上的高也是腰长的垂直平分线。

因此，可以将三角形分成两个直角三角形，每个直角三角形的底边为4cm，高为5cm。

面积公式为S=12×底边×高，所以面积为12×4cm×5cm=10cm2。

北师大版九年级数学上册第四章图形的相似4.2平行线分线段成比例(教案)

举例：在四边形ABCD中，AB//CD，E、F分别是AD、BC上的点，且AE/BE = CF/DF，求证：AB/CD = AE/CF。
（2）逆向思维的培养：在解决逆向问题，即已知线段比例求平行线问题时，学生往往感到困难。
举例：已知在三角形ABC中，AB/AC = 2/3，点D在BC上，使得AD//BC，求BD/DC的比例。
其次，在新课讲授环节，我采用了理论介绍、案例分析、重点难点解析的方式，逐步引导学生掌握平行线分线段成比例定理。在这个过程中，我发现图示和实际案例的分析对于学生理解这一概念非常有帮助。但在讲解过程中，我应该更加注意语言的简洁明了，避免让学生产生混淆。
在实践活动环节，我安排了分组讨论、实验操作和成果展示。通过这个环节，学生们的动手能力和团队合作能力得到了锻炼。但我也注意到，部分学生在操作过程中还存在一些问题，如对尺度的把握不准确等。因此，在以后的教学中，我可以增加一些关于几何作图的技巧讲解，提高学生们的实践能力。
北师大版九年级数学上册第四章图形的相似4.2平行线分线段成比例（教案）
一、教学内容
本节课选自北师大版九年级数学上册第四章“图形的相似”中的4.2节“平行线分线段成比例”。教学内容主要包括以下两点：
1.探索并掌握平行线分线段成比例定理，即：如果两条直线平行，那么它们所分得的对应线段成比例。
2.学会运用平行线分线段成比例定理解决相关问题，如：求线段比例、相似三角形等。通过对该定理的理解和应用，培养学生空间想象能力和解决问题的能力。
在学生小组讨论环节，我鼓励学生们提出自己的观点和想法，并进行交流。这个环节的效果还不错，学生们积极参与讨论，课堂氛围活跃。但我也注意到，部分学生过于依赖教材，缺乏独立思考的能力。为了培养学生的创新思维，我可以在今后的教学中多设置一些开放性的问题，引导学生进行深度思考。

相似图形的比较与判断

相似图形的比较与判断一、相似图形的定义与性质1.1 相似图形的定义：在平面几何中，如果两个图形的形状相同，但大小不一定相同，那么这两个图形叫做相似图形。

1.2 相似图形的性质：（1）对应角相等：相似图形的对应角分别相等。

（2）对应边成比例：相似图形的对应边长成比例。

（3）面积比等于边长比的平方：相似图形的面积比等于它们对应边长比的平方。

二、相似图形的判定2.1 利用AA相似定理：如果两个三角形的两个对应角分别相等，那么这两个三角形相似。

2.2 利用AAA相似定理：如果两个三角形的所有对应角都相等，那么这两个三角形相似。

2.3 利用两角法：如果两个角分别相等，那么这两个三角形相似。

2.4 利用比例关系：如果两个三角形的对应边长成比例，那么这两个三角形相似。

三、相似图形的应用3.1 求解几何图形的面积：通过已知图形的面积和相似比，可以求解未知图形的面积。

3.2 求解几何图形的周长：通过已知图形的周长和相似比，可以求解未知图形的周长。

3.3 求解角度：利用相似三角形的对应角相等，可以求解未知角度。

3.4 求解边长：利用相似三角形的对应边成比例，可以求解未知边长。

四、特殊相似图形4.1 等边三角形的相似性：所有等边三角形都相似。

4.2 等腰三角形的相似性：等腰三角形的底角相等，所以等腰三角形相似。

4.3 矩形的相似性：矩形的对角线相等，所以矩形相似。

4.4 圆的相似性：所有圆都相似。

五、实际问题与案例分析5.1 物体放大与缩小：在实际生活中，物体的放大与缩小可以利用相似图形来解释。

5.2 地图绘制：地图绘制中，地理要素的表示可以通过相似图形来简化。

5.3 建筑设计：建筑设计中，可以通过相似图形来推算建筑物的尺寸和比例。

通过本章的学习，我们了解了相似图形的定义、性质和判定方法，以及相似图形在实际问题中的应用。

掌握相似图形的相关知识，可以帮助我们更好地解决生活中的几何问题，提高我们的空间想象能力和逻辑思维能力。

三角形相似性质

例题
【例1】．如图已知△ABC∽△A’B’C’中， AD，A’D’是对应中线，求证：△ACD∽△A’C’D’
D
D’
练习
【练1】．如图已知△ABC∽△A’B’C’中， AF，A’F’是对应角平分线，求证：△ABF∽△A’B’F’。
C
C’ F
F’
A’
B’
A
B
1．如果两个相似三角形的对应高的比为2:3，那么对应角平分线的比是_2_:3，对应边上的中位线的比是___2:_3__ 。
2．如果两相似三角形的对应边上的中线的比为1:2，那么对应边上高的比是 _1_:_2_ 。 3．△ABC与△A'B'C'的相似比为1:3，若BC＝5cm，则B'C'＝_1_5c_m__ 。
4．△ABC与△A'B'C'的相似比为2:5，若A'C'＝10cm，则AC＝_4_c_m__
5．△ABC与△A'B'C'的相似比为3:4，若BC边上的高AD＝12cm，则B'C'边上的高A'D'＝_1_6_c_m_ 。
3．△ABC与△A’B’C’的相似比为 4:7，若BC 边上的中线AD＝8cm，则B’C‘边上的中线1A4’D’ ＝___ 。
4．△ABC与△A’B’C’的相似比为2:3，若BC 边＝上1的2 中线.AD＝8cm，则B’C’边上的中线A’D’ 线5A．'D△'A＝B4Cc与m△，则A'角B'平C'分的线相A似D＝比_为_6_3_:_2，。若角平分
相似三角形的性质 (特别注意“对应”二字)
对应角相等
对应边成比例对应高的比、对应中线的比、对应角平分线的比都等于相似比.

4.2相似三角形的判定和性质(2017年)

1. (2017 山东省潍坊市) 2017山东潍坊，15，3分）如图，在△ABC 中，AB ≠AC ，D 、E 分别为边AB 、AC 上的点，AC ＝3AD ，AB ＝3AE ，点F 为BC 边上一点，添加一个条件：，可以使得△FDB 与△ADE 相似．（只需写出一个）答案：答案：∠A ＝∠BDF (∠A ＝∠BFD ，∠ADE ＝∠BFD ，∠ADE ＝∠BDF ，DF ∥AC ，ED BF AE BD =，AEBF DE BD =) 解析：∵AC ＝3AD ，AB ＝3AE ，∴31==AB AE AC AD ，又∵∠A ＝∠A ， ∴△ADE ∽△ACB ，∴∠AED ＝∠B ．故要使△FDB 与△ADE 相似，只需再添加一组对应角相等，或夹角的两边成比例即可．点拨：先抓住△FDB 和△ADE ，再判断这两个三角形已有的相似条件，最后从边或角的方面探求缺少的条件．20171012114444218980 4.2 相似三角形的判定和性质填空题基础知识 2017-10-122. (2017 四川省自贡市) 在△ABC 中，MN ∥BC 分别交AB ，AC 于点M ，N ；若AM=1，MB=2，BC=3，则MN 的长为 1 ．答案：ABC FD E考点相似三角形的判定与性质．分析根据相似三角形的判定和性质即可得到结论．解答解：∵MN ∥BC ，∴△AMN ∽△ABC ，∴，即，∴MN=1，故答案为：1．20171012105804453835 4.2 相似三角形的判定和性质填空题基础知识 2017-10-123. (2017 山东省滨州市) 2017山东滨州）如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，D 为BC 上一点，且DA ＝DC ，BD ＝BA ，则∠B 的大小为A ．40°B ．36°C ．80°D ．25°答案：答案：B ；解析：设∠C ＝x °，由于DA ＝DC ，可得∠DAC ＝∠C ＝x °，由AB ＝AC 可得∠B ＝∠C ＝x °．∴∠ADB ＝∠C ＋∠DAC ＝2x °，由于BD ＝BA ，所以∠BAD ＝∠ADB ＝2x °，根据三角形内角和定理，得x °＋x °＋3x °＝180°，解得x ＝36°．所以∠B ＝36°．20171012102115703108 4.2 相似三角形的判定和性质选择题基础知识 2017-10-124. (2017 湖北省武汉市) 已知四边形ABCD 的一组对边,AD BC 的延长线相交于点E ．（1）如图1，若90ABC ADC ∠=∠=，求证ED EA EC EB =；A B CD（2）如图2，若120ABC ∠=，3cos 5ADC ∠=，5CD =，12AB =，CDE ∆的面积为6，求四边形ABCD 的面积；（3）如图3，另一组对边,AB DC 的延长线相交于点F ，若3cos cos 5ABC ADC ∠=∠=，5CD =，CF ED n ==，直接写出AD 的长（用含n 的式子表示）．答案：答案(1)证明见解析；（2）；（3）5256n n ++（3）由（1）（2）提供的思路即可求解.试题解析：（1）∵∠ADC=90°∴∠EDC=90°∴∠ABE=∠CDE又∵∠AEB=∠CED∴ΔEAB ∽ΔECD ∴EB EA ED EC =∴ED EA EC EB =由（1）有：ΔECG ∽ΔEAH ∴EG CG EH AH=∴ ∴S 四边形ABCD ＝S ΔAEH －S ΔECG -S ΔABH=116622⨯⨯--⨯⨯(3)5256n n ++ 考点：相似三角形的判定与性质.20171012075307640048 4.2 相似三角形的判定和性质复合题基础知识 2017-10-125. (2017 福建省龙岩市) 如图，ABC ∆中，90,BAC AD BC ∠=⊥o，垂足为D ．求作ABC ∠的平分线，分别交,AD AD 于P ，Q 两点；并证明AP AQ ．(要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法)答案：答案作图见解析；证明见解析.解析试题分析：按作图方法作出角平分线BQ ，然后通过利用互为余角以及等角的余角相等得到∠APQ=∠ AQP,从而证得AP=AQ.试题解析：作图如下，BQ 就是所求作的∠ABC 的平分线，P 、Q 就是所求作的点.证明如下：∵AD ⊥BC ，∴∠ADB=90°，∴∠BPD+∠PBD=90°，∵∠BAC=90°，∴∠AQP+∠ABQ=90°，∵∠ABQ=∠PBD ，∴∠BPD=∠AQP ，∵∠BPD=∠APQ ，∴∠APQ=∠ AQP,∴AP=AQ.20171011145919359319 4.2 相似三角形的判定和性质证明题基础知识 2017-10-116. (2017 重庆市綦江县) 已知△ABC ∽△DEF ，且相似比为1：2，则△ABC 与△DEF 的面积比为（）A ．1：4B ．4：1C ．1：2D ．2：1答案：考点S7：相似三角形的性质．分析利用相似三角形面积之比等于相似比的平方计算即可．解答解：∵△ABC ∽△DEF ，且相似比为1：2，∴△ABC 与△DEF 的面积比为1：4，故选A20170919160007046124 4.2 相似三角形的判定和性质选择题基础知识 2017-9-197. (2017 重庆市綦江县) 在ABC ∆中，,，450BM AM ABM ⊥=∠垂足为M ，点C 是BM 延长线上一点，连接AC.（1）如图1，若,5，23==BC AB 求AC 的长；（2）如图2，点D 是线段AM 上一点，MD=MC ，点E 是ABC ∆外一点，EC=AC ，连接ED 并延长交BC 于点F ，且点F 是线段BC 的中点，求证：CEF BDF ∠=∠.答案：⑴AC =⑵延长EF 到点G ，使得FG EF =，连接BG ．由DM MC =，BMD AMC =∠∠，BM AM =，可证BMD AMC △≌△故AC BD =又CE AC =，因此BD CE =由BF FC =，BFG EFC =∠∠，FG FE =，可证BFG CFE △≌△故BG CE =，G E =∠∠所以BD BG CE ==因此BDG G E ==∠∠∠M G F EDCB A20170919155621031189 4.2 相似三角形的判定和性质复合题基础知识 2017-9-198. (2017 重庆市綦江县) ABC∆DEF ∆，相似比为3:2，则对应高的比为（）A 、3:2B 、3:5C 、9:4D 、4:9答案：A20170919154547390790 4.2 相似三角形的判定和性质选择题基础知识 2017-9-199. (2017 浙江省丽水市) 2017·丽水）如图，在平面直角坐标系xOy 中，直线y=-x+m 分别交于x 轴、y 轴于A ，B 两点，已知点C （2，0）.(1)当直线AB经过点C时，点O到直线AB的距离是________；(2)设点P为线段OB的中点，连结PA，PC,若∠CPA=∠ABO，则m的值是________.答案：答案（1）（2）12考点相似三角形的应用，一次函数的性质解析解答解：（1）当直线AB经过点C时，点A与点C重合，当x=2时，y=-2+m=0，即m=2.∴直线AB为y=-x+2，则B（0,2）∴OB=OA=2，AB=2 ，设点O到直线AB的距离是d，由S△OAB= ，则4=2 d，∴d= .2）作OD=OC=2，则∠PDC=45°，如图，由y=-x+m可得A（m,0）,B(0,m),则可得OA=OB，则∠OBA=∠OAB=45°，当m<0时，∠APO>∠OBA=45°，∴此时∠CPA>45°，故不符合，∴m>0.∵∠CPA=∠ABO=45°，∴∠BPA+∠OPC=∠BAP+∠BPA=135°，即∠OPC=∠BAP，则△PCD~△APB ，∴ ，即，解得m=12.故答案为；12.分析（1）点C 与点A 都在x 轴上，当直线AB 经过点C ，则点C 与点A 重合，将C 点坐标代入y=-x+m 代入求出m 的值，则可写出B 的坐标和OB ，求出AB ，再由等积法可解出；（2）典型的“一线三等角”，构造相似三角形△PCD~△APB ，对m 的分析进行讨论，在m<0时，点A 在x 轴负半轴，而此时∠CPA>∠ABO ，故m>0,∴由相似比求出边的相应关系.20170919150524921519 4.2 相似三角形的判定和性质填空题基础知识 2017-9-1910. (2017 浙江省湖州市) 如图，已知在Rt C ∆AB 中，C 90∠=，C C A =B ，6AB =，点P 是Rt C ∆AB 的重心，则点P 到AB 所在直线的距离等于（）A ．1B 32D ．2答案：答案A考点：1、三角形的重心，2、等腰直角三角形，3、相似三角形的判定与性质20170919145712609916 4.2 相似三角形的判定和性质选择题基础知识2017-9-1911. (2017 浙江省杭州市) 如图，在锐角三角形ABC中，点D，E分别在边AC，AB上，AG⊥BC 于点G，AF⊥DE于点F，∠EAF=∠GAC．（1）求证：△ADE∽△ABC；（2）若AD=3，AB=5，求AFAG的值．答案：答案（1）证明见解析（2）35解析试题分析：（1）由于AG⊥BC，AF⊥DE，所以∠AFE=∠AGC=90°，从而可证明∠AED=∠ACB，进而可证明△ADE∽△ABC；（2）△ADE∽△ABC，AD AEAB AC=，又易证△EAF∽△CAG，所以AF AEAG AC=，从而可求解．试题解析：（1）∵AG⊥BC，AF⊥DE，∴∠AFE=∠AGC=90°，∵∠EAF=∠GAC，∴∠AED=∠ACB，∵∠EAD=∠BAC，∴△ADE∽△ABC，（2）由（1）可知：△ADE∽△ABC，∴AD AE AB AC==35由（1）可知：∠AFE=∠AGC=90°，∴∠EAF=∠GAC，∴△EAF∽△CAG，∴AF AE AG AC=，∴=3 5考点：相似三角形的判定20170919144913562685 4.2 相似三角形的判定和性质证明题基础知识2017-9-19 12. (2017 浙江省杭州市) 如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=15，AC=20，点D在边AC上，AD=5，DE⊥BC于点E，连结AE，则△ABE的面积等于．答案：答案78解析试题分析：分析由勾股定理求出，求出△ABC的面积=150，证明△CDE∽△CBA，得出CD CDAC CB=，求出CE=12，得出BE=BC﹣CE=13，再由三角形的面积关系即可得△ABE的面积=1325×150=78.故答案为：78．考点：1、相似三角形的判定与性质，2、勾股定理，3、三角形的面积20170919144913125530 4.2 相似三角形的判定和性质填空题基础知识 2017-9-1913. (2017 浙江省杭州市) 如图，在△ABC 中，点D ，E 分别在边AB ，AC 上，DE ∥BC ，若BD=2AD ，则（）A ．12AD AB = B ．12AE EC = C ．12AD EC = D ．12DE BC =答案：答案B解析试题分析：根据平行线的性质，得出△ADE ∽△ABC ，进而利用已知得出对应边的比值13AD DE AE AB BC AC ===，则12AE EC =，可知A ，C ，D 选项错误，B 选项正确，故选：B ．考点：相似三角形的判定与性质20170919144911890471 4.2 相似三角形的判定和性质选择题基础知识 2017-9-1914. (2017 云南省红河州市) 如图，在ABC ∆中，D 、E 分别为AB 、AC 上的点，若DE//BC ，31=AB AD ，则=++++ACBC AB AE DE AD .答案：答案13 解析试题解析：∵DE ∥BC ，∴△ADE ∽△ABC ， ∴1 3AD DE AE AB B A B C AD A C ++==++．考点：相似三角形的判定与性质．20170919144030171809 4.2 相似三角形的判定和性质填空题基础知识 2017-9-1915. (2017 山东省淄博市) 如图，在Rt △ABC 中，∠ABC=90°，AB=6，BC=8，∠BAC ，∠ACB 的平分线相交于点E ，过点E 作EF ∥BC 交AC 于点F ，则EF 的长为（）A ．B ．C ．D ．答案：考点S9：相似三角形的判定与性质；KF ：角平分线的性质；KJ ：等腰三角形的判定与性质．分析延长FE 交AB 于点D ，作EG ⊥BC 、作EH ⊥AC ，由EF ∥BC 可证四边形BDEG 是矩形，由角平分线可得ED=EH=EG 、∠DAE=∠HAE ，从而知四边形BDEG 是正方形，再证△DAE ≌△HAE 、△CGE ≌△CHE 得AD=AH 、CG=CH ，设BD=BG=x ，则AD=AH=6﹣x 、CG=CH=8﹣x ，由AC=10可得x=2，即BD=DE=2、AD=4，再证△ADF ∽△ABC 可得DF=，据此得出EF=DF ﹣DE=．解答解：如图，延长FE 交AB 于点D ，作EG ⊥BC 于点G ，作EH ⊥AC 于点H ，∵EF∥BC、∠ABC=90°，∴FD⊥AB，∵EG⊥BC，∴四边形BDEG是矩形，∵AE平分∠BAC、CE平分∠ACB，∴ED=EH=EG，∠DAE=∠HAE，∴四边形BDEG是正方形，在△DAE和△HAE中，∵，∴△DAE≌△HAE（SAS），∴AD=AH，同理△CGE≌△CHE，∴CG=CH，设BD=BG=x，则AD=AH=6﹣x、CG=CH=8﹣x，∵AC===10，∴6﹣x+8﹣x=10，解得：x=2，∴BD=DE=2，AD=4，∵DF∥BC，∴△ADF∽△ABC，∴=，即=，解得：DF=，则EF=DF﹣DE=﹣2=，故选：C．20170919115758593114 4.2 相似三角形的判定和性质选择题基础知识2017-9-19 16. (2017 山东省枣庄市) 如图，在△ABC中，∠A=78°，AB=4，AC=6，将△ABC沿图示中的虚线剪开，剪下的阴影三角形与原三角形不相似的是（）A． B．C．D．答案：考点S8：相似三角形的判定．分析根据相似三角形的判定定理对各选项进行逐一判定即可．解答解：A、阴影部分的三角形与原三角形有两个角相等，故两三角形相似，故本选项错误；B、阴影部分的三角形与原三角形有两个角相等，故两三角形相似，故本选项错误；C、两三角形的对应边不成比例，故两三角形不相似，故本选项正确．D、两三角形对应边成比例且夹角相等，故两三角形相似，故本选项错误；故选C．20170919111619062707 4.2 相似三角形的判定和性质选择题基础知识2017-9-1917. (2017 山东省泰安市) 如图，四边形ABCD中，AB=AC=AD，AC平分∠BAD，点P是AC延长线上一点，且PD⊥AD．（1）证明：∠BDC=∠PDC；（2）若AC与BD相交于点E，AB=1，CE：CP=2：3，求AE的长．答案：如图，四边形ABCD中，AB=AC=AD，AC平分∠BAD，点P是AC延长线上一点，且PD⊥AD．（1）证明：∠BDC=∠PDC；（2）若AC与BD相交于点E，AB=1，CE：CP=2：3，求AE的长．考点S9：相似三角形的判定与性质．分析（1）直接利用等腰三角形的性质结合互余的定义得出∠BDC=∠PDC；（2）首先过点C作CM⊥PD于点M，进而得出△CPM∽△APD，求出EC的长即可得出答案．解答（1）证明：∵AB=AD，AC平分∠BAD，∴AC⊥BD，∴∠ACD+∠BDC=90°，∵AC=AD，∴∠ACD=∠ADC，∴∠ADC+∠BDC=90°，∴∠BDC=∠PDC；（2）解：过点C作CM⊥PD于点M，∵∠BDC=∠PDC，∴CE=CM，∵∠CMP=∠ADP=90°，∠P=∠P，∴△CPM∽△APD，∴=，设CM=CE=x，∵CE：CP=2：3，∴PC=x，∵AB=AD=AC=1，∴=，解得：x=，故AE=1﹣=．20170919105539843943 4.2 相似三角形的判定和性质复合题基础知识2017-9-1918. (2017 山东省东营市) 如图，在等腰三角形ABC 中，∠BAC=120°，AB=AC=2，点D 是BC 边上的一个动点（不与B 、C 重合），在AC 上取一点E ，使∠ADE=30°．（1）求证：△ABD ∽△DCE ；（2）设BD=x ，AE=y ，求y 关于x 的函数关系式并写出自变量x 的取值范围；（3）当△ADE 是等腰三角形时，求AE 的长．答案：答案（1）证明见解析（2）y=212x （0＜x ＜3）当△ADE 是等腰三角形时，AE=4﹣23．解析∴∠EDC=∠DAB ，∴△ABD ∽△DCE ；（2）如图1，∵AB=AC=2，∠BAC=120°，过A 作AF ⊥BC 于F ，∴∠AFB=90°，∵AB=2，∠ABF=30°，∴AF=12AB=1，∴∴则x ，EC=2﹣y ，∵△ABD ∽△DCE ， ∴ABDCBD CE =，∴2x =化简得：y=212x （0＜x ＜（3）当AD=DE 时，如图2，∠EAD=∠EDA=30°，∠AED=120°，∴∠DEC=60°，∠EDC=90°，则ED=12EC，即y=12（2﹣y），解得：y=23，即AE=23，考点：1、三角形相似的性质和判定，2、等腰三角形的性质，3、直角三角形30°角的性质20170919101158390582 4.2 相似三角形的判定和性质复合题基础知识2017-9-19 19. (2017 山东省东营市) 如图，把△ABC沿着BC的方向平移到△DEF的位置，它们重叠部分的面积是△ABC面积的一半，若BC=，则△ABC移动的距离是（）A B C D答案：答案D解析试题分析：移动的距离可以视为BE 或CF 的长度，根据题意可知△ABC 与阴影部分为相似三角形，且面积比为2：1，所以EC ：BC=1推出EC=2利用线段的差求BE=BC ﹣2 故选：D ．考点：1、相似三角形的判定和性质，2、平移的性质20170919101155718501 4.2 相似三角形的判定和性质选择题基础知识 2017-9-1920. (2017 内蒙古包头市) 如图，在△ABC 与△ADE 中，AB =AC ，AD =AE ，∠BAC =∠DAE ，且点D 在AB 上，点E 与点C 在AB 的两侧，连接BE ，CD ，点M 、N 分别是BE 、CD 的中点，连接MN ，AM ，AN ．下列结论：①△ACD ≌△ABE ；②△ABC ∽△AMN ；③△AMN 是等边三角形；④若点D 是AB 的中点，则S △ABC =2S △ABE ．其中正确的结论是．（填写所有正确结论的序号）答案：答案①②④．解析③∵AN=AM，∴△AMN为等腰三角形，所以③不正确；④∵△ACN≌△ABM，∴S△ACN=S△ABM，∵点M、N分别是BE、CD的中点，∴S△ACD=2S△ACN，S△ABE=2S△ABM，∴S△ACD=S△ABE，∵D是AB的中点，∴S△ABC=2S△ACD=2S△ABE，所以④正确；本题正确的结论有：①②④；故答案为：①②④．考点：相似三角形的判定与性质；全等三角形的判定与性质；等边三角形的判定与性质．20170919085245062465 4.2 相似三角形的判定和性质填空题基础知识2017-9-1921. (2017 内蒙古包头市) 如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB，垂足为D，AF平分∠CAB，交CD于点E，交CB于点F．若AC=3，AB=5，则CE的长为（）A．32B．43C．53D．85答案：答案A．解析试题分析：过点F作FG⊥AB于点G，∵∠ACB=90°，CD⊥AB，∴∠CDA=90°，∴∠CAF+∠CFA=90°，∠FAD+∠AED=90°，∵AF平分∠CAB，∴∠CAF=∠FAD，∴∠CFA=∠AED=∠CEF，∴CE=CF，∵AF 平分∠CAB，∠ACF=∠AGF=90°，∴FC=FG，∵∠B=∠B，∠FGB=∠ACB=90°，∴△BFG∽△BAC，∴BF FG AB AC =，∵AC =3，AB =5，∠ACB =90°，∴BC =4，∴453FC FG -=，∵FC =FG ，∴453FC FC -=，解得：FC =32，即CE 的长为32．故选A ．考点：相似三角形的判定与性质；勾股定理；角平分线的性质；综合题．20170919085244343841 4.2 相似三角形的判定和性质选择题基础知识 2017-9-1922. (2017 辽宁省铁岭市) 3分）如图，点A （0，8），点B （4，0），连接AB ，点M ，N 分别是OA ，AB 的中点，在射线MN 上有一动点P ．若△ABP 是直角三角形，则点P 的坐标是．答案：答案（2+2，4）或（2+2，4）．∵点M ，N 分别是OA ，AB 的中点，∴AM=OM=4，MN=2，AN=BN=2，①当∠APB=90°时，∵AN=BN ，∴PN=AN=2，∴PM=MN+PN=2+2，∴P（2+2，4），②当∠ABP=90°时，如图，过P作PC⊥x轴于C，则△ABO∽△BPC，∴==1，∴BP=AB=4，∴PN=2，∴PM=2+2，∴P（2+2，4），故答案为：（2+2，4）或（2+2，4）．考点：勾股定理，相似三角形的判定和性质，坐标与图形性质，直角三角形的性质，20170919082932515142 4.2 相似三角形的判定和性质填空题基础知识2017-9-1923. (2017 江苏省泰州市) 8分）如图，△ABC中，∠ACB＞∠ABC．（1）用直尺和圆规在∠ACB的内部作射线CM，使∠ACM=∠ABC（不要求写作法，保留作图痕迹）；（2）若（1）中的射线CM交AB于点D，AB=9，AC=6，求AD的长．答案：答案（1）详见解析；（2）4.试题分析：（1）根据尺规作图的方法，以AC为一边，在∠ACB的内部作∠ACM=∠ABC即可；（2）根据△ACD与△ABC相似，运用相似三角形的对应边成比例进行计算即可．试题解析：（1）如图所示，射线CM即为所求；（2）∵∠ACD=∠ABC，∠CAD=∠BAC，∴△ACD∽△ABC，∴AD ACAC AB=，即669AD=，∴AD=4．学@科网考点：基本作图；相似三角形的判定与性质.20170918154203140716 4.2 相似三角形的判定和性质画(作)图题基础知识2017-9-1824. (2017 吉林省长春市) 如图，数学活动小组为了测量学校旗杆AB的高度，使用长为2m的竹竿CD作为测量工具．移动竹竿，使竹竿顶端的影子与旗杆顶端的影子在地面O处重合，测得OD=4m，BD=14m，则旗杆AB的高为m．答案：答案9.解析即旗杆AB 的高为9m ．考点：相似三角形的应用．20170918152030906042 4.2 相似三角形的判定和性质填空题基础知识 2017-9-1825. (2017 湖南省永州市) 如图，在△ABC 中，点D 是AB 边上的一点，若∠ACD =∠B ，AD =1，AC =2，△ADC 的面积为1，则△BCD 的面积为( )A ．1B ．2C ．3D ．4答案：答案C解析试题解析：∵∠ACD =∠B ，∠A =∠A ，∴△ACD ∽△ABC ，∴ACAD AB AC =，∴212=AB ，∴AB =4，∴2)(ABAC S S ABC ACD =∆∆，∴2)42(1=∆ABC S ，∴S △ABC =4，∴S △BCD = S △ABC - S △ACD =4-1=3．故选C考点：相似三角形的判定与性质.20170918135143890063 4.2 相似三角形的判定和性质选择题双基简单应用 2017-9-1826. (2017 湖南省湘潭市) 如图，在ABC ∆中，D E 、分别是边AB AC 、的中点，则ADE ∆与ABC ∆的面积比:ADE ABC S S ∆∆= .答案：答案41 解析试题分析：∵D E 、分别是边AB AC 、的中点，∴DE 是三角形的中位线，∴ADE ∆∽ABC ∆ ∴:ADE ABC S S ∆∆=412122=⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛AB AD 考点：相似三角形及中位线性质定理20170915100237609491 4.2 相似三角形的判定和性质填空题双基简单应用 2017-9-1527. (2017 湖北省随州市) 3分）在△ABC 在，AB=6，AC=5，点D 在边AB 上，且AD=2，点E 在边AC 上，当AE= 时，以A 、D 、E 为顶点的三角形与△ABC 相似．答案：答案125或53. 解析考点：相似三角形的判定与性质；分类讨论.20170915075303546546 4.2 相似三角形的判定和性质填空题双基简单应用 2017-9-1528. (2017 湖北省恩施自治州) 如图3，在ABC △中，DE BC ∥，ADE EFC =∠∠，:5:3AD BD =，6CF =，则DE 的长为( )A.6B.8C.10D.12答案：答案C ．试题分析：∵DE ∥BC ，∴∠ADE=∠B ．∵∠ADE=∠EFC，∴∠B=∠EFC，∴BD∥EF，∵DE∥BF，故选C．学#科.网考点：相似三角形的判定与性质．20170914142620562369 4.2 相似三角形的判定和性质选择题双基简单应用2017-9-1429. (2017 广东省深圳市) 如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，AB=3，BC=4，Rt△MPN，∠MPN=90°，点P在AC上，PM交AB于点E，PN交BC于点F，当PE=2PF时，AP= ．答案： 3 ．考点S9：相似三角形的判定与性质．分析如图作PQ⊥AB于Q，PR⊥BC于R．由△QPE∽△RPF，推出==2，可得PQ=2PR=2BQ，由PQ∥BC，可得AQ：QP：AP=AB：BC：AC=3：4：5，设PQ=4x，则AQ=3x，AP=5x，BQ=2x，可得2x+3x=3，求出x即可解决问题．解答解：如图作PQ⊥AB于Q，PR⊥BC于R．∵∠PQB=∠QBR=∠BRP=90°，∴四边形PQBR是矩形，∴∠QPR=90°=∠MPN，∴∠QPE=∠RPF，∴△QPE∽△RPF，∴==2，∴PQ=2PR=2BQ，∵PQ∥BC，∴AQ：QP：AP=AB：BC：AC=3：4：5，设PQ=4x，则AQ=3x，AP=5x，BQ=2x，∴2x+3x=3，∴x=，∴AP=5x=3．故答案为3．20170912140638062145 4.2 相似三角形的判定和性质填空题双基简单应用2017-9-1230. (2017 四川省绵阳市) 将形状、大小完全相同的两个等腰三角形如图所示放置，点D在AB 边上，△DEF绕点D旋转，腰DF和底边DE分别交△CAB的两腰CA，CB于M，N两点，若CA=5，AB=6，AD：AB=1：3，则MD+的最小值为．答案： 2 ．考点S9：相似三角形的判定与性质；KH：等腰三角形的性质；R2：旋转的性质．分析先求出AD=2，BD=4，根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和可得∠AMD+∠A=∠EDF+∠BDN，然后求出∠AMD=∠BDN，从而得到△AMD和△BDN相似，根据相似三角形对应边成比例可得=，求出MA•DN=4MD，再将所求代数式整理出完全平方的形式，然后根据非负数的性质求出最小值即可．解答解：∵AB=6，AD：AB=1：3，∴AD=6×=2，BD=6﹣2=4，∵△ABC和△FDE是形状、大小完全相同的两个等腰三角形，∴∠A=∠B=∠FDE，由三角形的外角性质得，∠AMD+∠A=∠EDF+∠BDN，∴∠AMD=∠BDN，∴△AMD∽△BDN，∴=，∴MA•DN=BD•MD=4MD，∴MD+=MD+=（）2+（）2﹣2+2=（﹣）2+2，∴当=，即MD=时MD+有最小值为2．故答案为：2．20170907165557679726 4.2 相似三角形的判定和性质填空题数学思考2017-9-7 31. (2017 四川省绵阳市) 为测量操场上旗杆的高度，小丽同学想到了物理学中平面镜成像的原理，她拿出随身携带的镜子和卷尺，先将镜子放在脚下的地面上，然后后退，直到她站直身子刚好能从镜子里看到旗杆的顶端E，标记好脚掌中心位置为B，测得脚掌中心位置B到镜面中心C 的距离是50cm，镜面中心C距离旗杆底部D的距离为4m，如图所示．已知小丽同学的身高是1.54m，眼睛位置A距离小丽头顶的距离是4cm，则旗杆DE的高度等于（）A．10m B．12m C．12.4m D．12.32m答案：考点SA：相似三角形的应用．分析根据题意得出△ABC∽△EDC，进而利用相似三角形的性质得出答案．解答解：由题意可得：AB=1.5m，BC=0.4m，DC=4m，△ABC∽△EDC，则=，即=，解得：DE=12，故选：B．20170907165556257264 4.2 相似三角形的判定和性质选择题双基简单应用2017-9-7 32. (2017 江苏省连云港市) 如图，已知ABC DEF△∽△，:1:2AB DE=，则下列等式一定成立的是( )A.12BCDF= B.12AD=∠的度数∠的度数C.12ABCDEF=△的面积△的面积D.12ABCDEF=△的周长△的周长答案：答案D考点：相似三角形的性质20170907160149694054 4.2 相似三角形的判定和性质选择题双基简单应用2017-9-7 33. (2017 甘肃省天水市) 如图，路灯距离地面8米，身高1.6米的小明站在距离灯的底部（点O）20米的A处，则小明的影子AM长为米．答案： 5 ．考点SA：相似三角形的应用．分析易得：△ABM∽△OCM，利用相似三角形的相似比可得出小明的影长．解答解：根据题意，易得△MBA∽△MCO，根据相似三角形的性质可知=，即=，解得AM=5m．则小明的影长为5米．20170821161948796161 4.2 相似三角形的判定和性质填空题双基简单应用2017-8-21。

相似三角形评课稿

《相似三角形》评课稿数学组戴芝娟听了章中东老师的4.2《相似三角形》一节课，被他精湛的教学艺术所深深吸引。

首先章老师各知识点分析到位，重点突出，突破难点：通过合作学习形象地引入相似三角形的概念和性质，并及时通过练习加以巩固。

本节课证明两三角形相似，必须运用定义“对应角相等，对应边成比例的两个三角形相似”，章老师对具体的书写格式进行了示范，对学生的正确书写很有帮助。

本节课的难点是具体图形中对应边的寻找和比例式的书写。

章老师结合各种基本图形让学生辨认，为以后的学习奠定了扎实的基础。

其次，在教学过程中，章老师比较重视问题的变形，如在讲到书本例2：如图1，D、E分别是△ABC的AB,AC边上的点，△ABC∽△ADE.已知AD:DB=1:2,BC=9cm,求DE的长。

例题讲完后，章老师又对例题进行了两次变式。

变式1如图2，D、E分别是△ABC的AB,AC边上的点，△ABC∽△AED，∠ADE= ∠C，AD=2cm,DB=4cm,AC=10cm,求AE的长。

这时，AE的对应边变成了AD，而AB则对应AC。

接下去的变式2更上以层楼。

已知D、E分别是△ABC的边AB、AC上的点，△ABC与△AED相似，且AD=2cm,DB=4cm,AC=10cm.求AE的长。

这样一来，大大激发了学生的发散性思维，提高了学生的创新能力，非常值得借鉴。

再者，章老师十分重视学生对疑难问题的尝试和探究。

在最后，他安排了这样一道实际问题：小明打算制作两个相似三角形框架，其中一个三角形框架的三边为4、6、9.已知另一个三角形的一条边长为3，则余下两边的长为多少？对于本例，学生大概能了解要考虑几种情况，但具体怎么考虑更全面，还是有一定难度。

章老师是这样展开分析的：先假设另两边为a,b.并启发学生能否不妨假设a ＞b,这样一来，b ＜a 的情况可以不必考虑，节省了一半时间，然后按3这条边是三角形中的最大，较大，最小这三种情况分别考虑。

即b a 4639==，b a 4369==，b b a469==，学生看得一目了然，也掌握了分析此类问题的方法。

【人教版】九年级下册数学《相似》全章教案

27.1 图形的相似（第 1 课时）【学习目标】1.经历探究图形的形状、大小，图形的边、角之间的关系，掌握相似多边形的定义以及相似比，并能根据定义判断两个多边形是否是相似多边形．2.掌握相似多边形的定义、表示法，并能根据定义判断两个多边形是否相似．3．能根据相似比进行有关计算．【自学指导】第一节1．相似三角形的定义及记法三角对应相等，三边对应成比例的两个三角形叫做相似三角形．如△ ABC与△ DEF相似，记作△ ABC∽△ DEF。

A与 D，D注意：其中对应顶点要写在对应位置，如AB 与 E，C与 F 相对应． AB∶DE等于相似比．2．想一想B C E F如果△ ABC∽△ DEF，那么哪些角是对应角？哪些边是对应边？对应角有什么关系？对应边呢？3．议一议（1）两个全等三角形一定相似吗？为什么？（2）两个直角三角形一定相似吗？两个等腰直角三角形呢？为什么？（3）两个等腰三角形一定相似吗？两个等边三角形呢？为什么？归纳：【典例分析】例 1：有一块呈三角形形状的草坪，其中一边的长是 20m，在这个草坪的图纸上，这条边长 5cm，其他两边的长都是 3.5cm，求该草坪其他两边的实际长度．（14m）例 2：如图，已知△ ABC∽△ ADE，AE＝50cm，EC＝30cm，BC＝70cm，∠ BAC＝45°，∠ACB＝40°，求（1）∠AED和∠ ADE的度数；（2）DE的长．5．想一想：在例 2 的条件下，图中有哪些线段成比例？练习：等腰直角三角形 ABC与等腰直角三角形 A′B′C′相似，相似比为 3∶1，已知斜边 AB＝5cm，求△ A′B′C′斜边A′B′上的高．（第 2 课时）【自学指导】第二节1、相似多边形的定义：两个多边形大小不等，但各角，各边这样的两个相似多边形叫做相似多边形。

注意：与相似三角形的定义的不同点。

2、叫做相似比。

3、判断：（ 1）各角都对应相等的两个多边形是相似多边形。

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人教版初中数学目录：七年级上册第一章有理数1.1 正数和负数1.2 有理数1.3 有理数的加减法1.4 有理数的乘除法1.5 有理数的乘方第二章整式的加减2.1 整式2.2 整式的加减第三章一元一次方程3.1 从算式到方程3.2 解一元一次方程(一)3.3 解一元一次方程(二)3.4 实际问题与一元一次方程第四章图形认识初步4.1 多姿多彩的图形4.2 直线、射线、线段4.3 角4.4 课题学习设计制作长方体形状. 七年级下册第五章相交线与平行线5.1 相交线5.2 平行及其判定5.3 平行线的性质5.4 平移第六章平面直角坐标系6.1 平面直角坐标系6.2 坐标方法的简单应用第七章三角形7.1 与三角形有关的线段7.2 与三角形有关的角7.3 多边形及其内角和7.4 课题学习镶嵌第八章二元一次方程组8.1 二元一次方程组8.2 消元——二元一次方程组的解.8.3 实际问题与二元一次方程组8.4 三元一次方程组的解法举例第九章实际问题与一元一次不等式9.1 不等式9.2 实际问题与一元一次不等式9.3 一元一次不等式组第十章数据的收集、整理与描述10.1 统计调查10.2 直方图10.3 课题学习从数据谈节水八年级上册第11章全等三角形11.1 全等三角形11.2 三角形全等的判定11.3 角的平分线的性质第12章轴对称12.1 轴对称12.2 作轴对称图形12.3 等腰三角形第13章实数13.1 平方根13.2 立六根13.3 实数第14章一次函数14.1 变量与函数14.2 一次函数14.3 用函数观点看方程(组)与不等.14.4 课题学习选择方案第15章整式的乘除与因式分解15.1 整式的乘法15.2 乘法公式15.3 整式的除法15.4 因式分解八年级下册第16章分式16.1 分式16.2 分式的运算16.3 分式方程第17章反比例函数17.1 反比例函数17.2 实际问题与反比例函数第18章勾股定理18.1 勾股定理18.2 勾股定理的逆定理第19章四边形19.1 平行四边形19.2 特殊的平行四边形19.3 梯形19.4 课题学习重心第20章数据的分析20.1 数据的代表20.2 数据的波动20.3 课题学习体质健康测试中的数据分析九年级上册第21章二次根式21.1 二次根式21.2 二次根式的乘除21.3 二次根式的加减第22章一元二次方程22.1 一元二次方程22.2 降次——一元二次方程的解.22.3 再探实际问题与一元二次方程第23章旋转23.1 图形的旋转23.2 中心对称23.3 课题学习图案设计第24章圆24.1 圆24.2 点、直线、圆和圆的位置关系24.3 正多边形和圆24.4 弧长和扇形面积第25章概率初步25.1 随机事件与概率25.2 用列举法求概率25.3 用频率估计概率25.4 课题学习键盘上字母的排列规律九年级下册第26章二次函数26.1 二次函数及其图像26.2 用函数观点看一元二次方程26.3实际问题与二次函数第27章相似27.1 图形的相似27.2 相似三角形27.3 位似第28章锐角三角函数28.1 锐角三角函数28.2 解直角三角形第29章投影与视图29.1 投影29.2 三视图29.3 课题学习制作立体模型北师大版初中数学目录：七年级上册第一章丰富的图形世界1．生活中的立体图形2．展开与折叠3．截一个几何体4．从不同方向看5．生活中的平面图形第二章有理数及其运算1．数怎么不够用了2．数轴3．绝对值4．有理数的加法5．有理数的减法6．有理数的加减混合运算7．水位的变化8．有理数的乘法9．有理数的除法10．有理数的乘方11．有理数的混合运算12．计算器的使用第三章字母表示数1．字母能表示什么2．代数式3．代数式求值4．合并同类项5．去括号6．探索规律第四章平面图形及其位置关系1．线段、射线、直线2．比较线段的长短3．角的度量与表示4．角的比较5．平行6．垂直7．有趣的七巧板8．图案设计第五章一元一次方程1．你今年几岁了2．解方程3．日历中的方程4．我变胖了5．打折销售6．“希望工程”义演7．能追上小明吗8．教育储蓄第六章生活中的数据1．认识100万2．科学记数法3．扇形统计图4．月球上有水吗5．统计图的选择第七章可能性1．一定摸到红球吗2．转盘游戏3．谁转出的四位数大七年级下册第一章整式的运算1．整式2．整式的加减3．同底数幂的乘法4．幂的乘方与积的乘方5．同底数幂的除法6．整式的乘法7．平方差公式8．完全平方公式9．整式的除法第二章平行线与相交线1．台球桌面上的角2．探索直线平行的条件3．平行线的特征4．用尺规作线段和角第三章生活中的数据1．认识百万分之一2．近似数和有效数字3．世界新生儿图第四章概率1．游戏公平吗2．摸到红球的概率3．停留在黑砖上的概率第五章三角形1．认识三角形2．图形的全等3．图案设计4．全等三角形5．探索三角形全等的条件6．作三角形7．利用三角形全等测距离8．探索直角三角形全等的条件第六章变量之间的关系1．小车下滑的时间2．变化中的三角形3．温度的变化4．速度的变化第七章生活中的轴对称1．轴对称现象2．简单的轴对称图形3．探索轴对称的性质4．利用轴对称设计图案5．镜子改变了什么6．镶边与剪纸八年级上册第一章勾股定理1．探索勾股定理2．能得到直角三角形吗3．蚂蚁怎样走最近第二章实数1．数怎么又不够用了2．平方根3．立方根4．公园有多宽5．用计算器开方6．实数第三章图形的平移与旋转1．生活中的平移2．简单的平移作图3．生活中的旋转4．简单的旋转作图5．它们是怎样变过来的6．简单的图案设计第四章四边形性质探索1．平行四边形的性质2．平行四边形的判别3．菱形4．矩形、正方形5．梯形6．探索多边形的内角和与外角和7．平面图形的密铺8．中心对称图形第五章位置的确定1．确定位置2．平面直角坐标系3．变化的鱼第六章一次函数1．函数2．一次函数3．一次函数的图象4．确定一次函数表达式5．一次函数图象的应用第七章二元一次方程组1．谁的包裹多2．解二元一次方程组3．鸡兔同笼4．增收节支5．里程碑上的数6．二元一次方程与一次函数第八章数据的代表1．平均数2．中位数与众数3．利用计算器求平均数八年级上册第一章一元一次不等式和一元一次不等式组1．不等关系2．不等式的基本性质3．不等式的解集4．一元一次不等式5．一元一次不等式与一次函数6．一元一次不等式组第二章分解因式1．分解因式2．提公因式法3．运用公式法第三章分式1．分式2．分式的乘除法3．分式的加减法4．分式方程第四章相似图形1．线段的比2．黄金分割3．形状相同的图形4．相似多边形5．相似三角形6．探索三角形相似的条件7．测量旗杆的高度8．相似多边形的性质9．图形的放大与缩小第五章数据的收集与处理1．每周干家务活的时间2．数据的收集3．频数与频率4．数据的波动第六章证明(一)1．你能肯定吗2．定义与命题3．为什么它们平行4．如果两条直线平行5．三角形内角和定理的证明6．关注三角形的外角九年级上册第一章证明(二)1．你能证明它们吗2．直角三角形3．线段的垂直平分线4．角平分线第二章一元二次方程1．花边有多宽2．配方法3．公式法4．分解因式法5．为什么是0.618第三章证明(三)1．平行四边形2．特殊平行四边形第四章视图与投影1．视图2．太阳光与影子3．灯光与影子第五章反比例函数1．反比例函数2．反比例函数的图象与性质3．反比例函数的应用第六章频率与概率1．频率与概率2．投针实验3．生日相同的概率4．池塘里有多少条鱼九年级下册第一章直角三角形的边角关系1．从梯子的倾斜程度谈起2．30º，45º，60º角的三角函数值3．三角函数的有关计算4．船有触礁的危险吗第二章二次函数1．二次函数所描述的关系2．结识抛物线3．刹车距离与二次函数4．二次函数y=ax2+bx+c 的图象5．用三种方式表示二次函数6．何时获得最大利润7．最大面积是多少8．二次函数与一元二次方程第三章圆1.车轮为什么做成圆形2.圆的对称性3.圆周角和圆心角的关系4.确定圆的条件5.直线和圆的位置关系6.圆和圆的位置关系7.弧长及扇形的面积8.圆锥的侧面积第四章统计与概率1.50年的变化2.哪种方式更合算3.游戏公平吗浙教版初中数学目录：七年级上册第1章从自然数到有理数1.1 从自然数到分数1.2 有理数1.3 数轴1.4 绝对值1.5 有理数大小比较第2章有理数的运算2.1 有理数的加法2.2 有理数的减法2.3 有理数的乘法2.4 有理数的除法2.5 有理数的乘方2.6 有理数的混合运算2.7 准确数和近似数2.8 计算器的使用第3章实数3.1 平方根3.2 实数3.3 立方根3.4 用计算器进行数的开方3.5 实数的运算第4章代数式4.1 用字母表示数4.2 代数式4.3 代数式的值4.4 整式4.5 合并同类项4.6 整式的加减第5章一元一次方程5.1 一元一次方程5.2 解一元一次方程的方法和步骤5.3 一元一次方程的应用5.4 问题解决的基本步骤第6章数据和图表6.1 数据的收集和整理6.2 统计表6.3 条形统计图和折线形统计图6.4 扇形统计图第7章图形的初步知识7.1 几何图形7.2 线段射线和直线7.3 线段的长短比较7.4 角和角的度量7.5 角的大小比较7.6 余角和补角7.7 相交线7.8 平行线七年级下册第1章三角形的初步认识1.1 认识三角形1.2 三角形的角平分线和中线1.3 三角形的高线1.4 全等三角形1.5 三角全等的条件1.6 作三角形第2章图形和变换2.1 轴对称图形2.2 轴对称变换2.3 平移变换2.4 旋转变换2.5 相似变换2.6 图形变换的简单应用第3章事件的可能性3.1 认识事件的可能性3.2 可能性的大小3.3 可能性和概率第4章二元一次方程4.1 二元一次方程4.2 二元一次方程组4.3 解二元一次方程组4.4 二元一次方程组的应用第5章整式的乘除5.1 同底数幂的乘法5.2 单项式的乘法5.3 多项式的乘法5.4 乘法公式5.5 整式的化简5.6 同底数幂的除法5.7 整式的除法第6章因式分解6.1 因式分解6.2 提取公因式6.3 用乘法公式分解因式6.4 因式分解的简单应用第7章分式7.1 分式7.2 分式的乘除7.3 分式的加减7.4 分式方程八年级上册第1章平行线1.1 同位角内错角同旁内角1.2 平行线的判定1.3 平行线的性质1.4 平行线之间的距离第2章特殊三角形2.1 等腰三角形2.2 等腰三角形的性质2.3 等腰三角形的判定2.4 等边三角形2.5 直角三角形2.6 探索勾股定理2.7直角三角形的全等判定第3章直棱柱3.1 认识直棱柱3.2 直棱柱的表面展开图3.3 三视图3.4 由三视图描述几何体第4章样本与数据的分析初步4.1 抽样4.2 平均数4.3中位数和众数4.4 方差和标准差4.5 统计量的选择和应用第5章一元一次不等式5.1 认识一元一次不等式5.2 不等式的基本性质5.3 一元一次不等式5.4 一元一次不等式组第6章图形与坐标6.1 探索确定位置的方法6.2 平面直角坐标系6.3 坐标平面内的图形变换第7章一次函数7.1 常量和变量7.2 认识函数7.3 一次函数7.4 一次函数的图象7.5 一次函数的简单应用八年级下册第1章二次根式1.1 二次根式1.2 二次根式的性质1.3 二次根式的运算第2章一元二次方程2.1 一元二次方程2.2 一元二次方程的解法2.3 一元二次方程的应用第3章频数及其分布3.1 频数与频率3.2 频数分布直方图3.3 频数分布折线图第4章命题与证明4.1 定义与命题4.2 证明4.3 反例与证明4.4 反证法第5章平行四边形5.1 多边形5.2 平行四边形5.3 平行四边形的性质5.4 中心对称5.5 平行四边形的判定5.6 三角形的中位线5.7 逆命题和逆定理第6章特殊平行四边形与梯形6.1 矩形6.2 菱形6.3 正方形6.4 梯形九年级上册第一章反比例函数1.1反比例函数1.2反比例函数的图象和性质1.3反比例函数的应用第二章二次函数2.1 二次函数2.2 二次函数的图象2.3 二次函数的性质2.4 二次函数的应用第三章圆的基本性质3.1 圆3.2 圆的轴对称3.3 圆心角3.4 圆周角3.5 弧长及扇形的面积3.6 圆锥的侧面积和全面积第四章相似三角形4.1 比例线段4.2 相似三角形4.3 两个三角形相似的判定4.4 相似三角形的性质及应用4.5 相似多边形4.6 图形的位似九年级下册第一章解直角三角形1.1 锐角三角函数1.2 有关三角函数的计算1.3 解直角三角形第二章简单事件的概率2.1 简单事件的概率2.2 估计概率2.3 概率的简单应用第三章直线与圆、圆与圆的基本性质3.1 直线与圆的位置关系3.2 三角形的内切圆3.3 圆与圆的位置关系第四章投影与三视图4.1 视角与盲区4.2 投影4.3 简单物体的三视图湘教版初中数学目录：七年级上册第一章有理数1．1具有相反意义的量1．2 数轴，相反数与绝对值1．3有理数大小的比较1．4有理数的加法1．5 有理数的减法1．6有理数的乘法1．7有理数的除法1．8有理数的乘方1．9有理数的混合运算1．10用计算器计算第二章代数式2．1用字母表示数2．2列代数式2．3代数式的值2．4一类代数式的加法第三章图形欣赏人与操作3．1图形欣赏3．2平面图形与空间图形3．3观察物体3．4图形操作3．5视图第四章一元一次方程模型与算法4．1 一元一次方程模型4．2 解一元一次方程的算法4．3 一元一次方程的应用第五章一元一次不等式5．1 不等式的基本性质5．2 一元一次不等式的解法5．3 一元一次不等式的应用第六章数据的收集与描述6．1 数据的收集6．2 统计图6．3 平均数、中位数和众数七年级下册第一章一元一次不等式组1.1 一元一次不等式组1.2 一元一次不等式组的解法1.3 一元一次不等式组的应用第二章二元一次方程组2.1 二元一次方程组2.2 二元一次方程组的解法2.3 二元一次方程组的应用第三章平面上直线的位置关系和度量3.1 线段、直线、射线3.2 角3.3 平面直线的位置关系3.4 图形的平移3.5 平行线的性质与判定3.6 垂线的性质与判定第四章多项式4.1 多项式4.2 多项式的加减4.3 多项式的乘法4.4 乘法公式第五章轴对称图形5.1 轴反射与轴对称图形5.2 线段的垂直平分线5.3 三角形5.4 三角形的内角和5.5 角平分线的性质5.6 等腰三角形5.7 等边三角形第六章数据的分析与比较6.1 加权平均数6.2 极差、方差6.3 两组数据的比较八年级上册第一章实数1．1 平方根1．2 立方根1．3 实数1．4 平面直角坐标系第二章一次函数2．1 函数和它的表示法2．2 一次函数和它的图象3．3 建立一次函数模型第三章全等三角形3．1 旋转3．2 图案设计3．3 全等三角形及其性质3．4 全等三角形的判定定理3．5 直角三角形3．6 勾股定理3．7 作三角形第四章频数与频率4．1 频数与频率4．2 数据的分布八年级下册第一章因式分解1.1 多项式的因式分解1.2 提公因式法1.3 公式法第二章分式2.1 分式和它的基本性质2.2 分式的乘除法2.3 整数指数幂2.4 分式的加减法2.5 分式方程第三章四边形3.1 平行四边形与中心对称图形3.2 菱形3.3 矩形3.4 正方形3.5 梯形3.6 多边形的内角和与外角和第四章二次根式4.1 二次根式和它的化简4.2 二次根式的乘除法4.3 二次根式的加、减法第五章概率的概念5.1 概率的概念5.2 概率的含义九年级上册第一章一元二次方程1.1 建立一元二次方程模型1.2 一元二次方程的算法1.3 一元二次方程的应用第二章定义命题公理与证明2.1 定义2.2 命题2.3 公理与定理2.4 证明第三章相似形3.1 相似的图形3.2 比与比例3.3 相似三角形的性质和判定3.4 相似多边形及性质3.5 图形的放大与缩小、位似变换第四章解直角三角形4.1 正弦和余弦4.2 正切4.3 直角三角形及其应用第五章概率的计算5.1 用频率估计概率5.2 用列举法计算概率九年级下册第一章反比例函数1.1 建立反比例函数模型1.2 反比例函数的图像与性质1.3 实际生活中的反比例函数第二章二次函数2.1 建立二次函数模型2.2 二次函数的图像与性质2.3 二次函数的应用第三章圆3.1 圆3.2 点、直线与圆的位置关系，圆3.3 圆与圆的位置关系3.4 弧长和扇形的面积，圆锥的侧面积3.5 平行投影和中心投影第四章统计估计4.1 总体与样本4.2 用样本估计总体华师大版初中数学目录：七年级上册第一章走进数学世界1.1 与数学交朋友1.2 让我们来做数学第二章有理数2.1 正数和负数2.2 数轴2.3 相反数2.4 绝对值2.5 有理数的大小比较2.6 有理数的加法2.7 有理数的减法2.8 有理数加减混合运算2.9 有理数的乘法2.10 有理数的除法2.11 有理数的乘方2.12 科学记数法2.13 有理数的混合运算2.14 近似数和有效数字2.15 用计算器进行数的简单运算第三章整式的加减3.1 列代数式3.2 代数式的值3.3 整式3.4 整式的加减第四章图形的初步认识4.1 生活中的立体图形4.2 画立体图形4.3 立体图形的展开图4.4 平面图形4.5 最基本的图形——点和线4.6 角4.7 相交线4.8 平行线第五章数据的收集与表示5.1 数据的收集5.2 数据的表示七年级下册第六章一元一次方程6.1 从实际问题到方程6.2 解一元一次方程6.3 实践与探索第七章二元一次方程组7.1 二元一次方程组和它的解7.2 二元一次方程组的解法7.3 实践与探索第八章一元一次不等式8.1 认识不等式8.2 解一元一次不等式8.3 一元一次不等式组第九章多边形9.1 三角形9.2 多边形的内角和与外角和9.3 用正多边形拼地板第十章轴对称10.1 生活中的轴对称10.2 轴对称的认识10.3 等腰三角形第十一章体验不确定现象11.1 可能还是确定11.2 机会的均等与不等11.3 在反复实验中观察不确定现象八年级上册第12章数的开方12.1 平方根与立方根12.2 实数与数轴第13章整式的乘除13.1 幂的运算13.2 整式的乘法13.3 乘法公式13.4 整式的除法13.5 因式分解第14章勾股定理14.1 勾股定理14.2 勾股定理的应用第15章平移与旋转15.1 平移15.2 旋转15.3 中心对称15.4 图形的全等第16章平行四边形的认识16.1 平行四边形的性质16.2 矩形、菱形与正方形的性质16.3 梯形的性质八年级下册第17章分式17.1 分式及其基本性质17.2 分式的运算17.3 可化为一元一次方程的分式方程17.4 零指数幂与负整指数幂第18章函数及其图像18.1 变量与函数18.2 函数的图象18.3 一次函数18.4 反比例函数18.5 实践与探索第19章全等三角形19.1 命题与定理19.2 三角形全等的判定19.3 尺规作图19.4 逆命题与逆定理课题学习图形中的趣题第20章平行四边形的判定20.1 平行四边形的判定20.2 矩形的判定20.3 菱形的判定20.4 正方形的判定20.5 等腰梯形的判定第21章数据的整理与初步处理21.1 算术平均数与加权平均数21.2 平均数、中位数和众数的选用21.3 极差、方差和标准差课题学习心率与年龄九年级上册第22章二次根式22.1 二次根式22.2 二次根式的乘除法22.3 二次根式的加减法第23章一元二次方程23.1 一元二次方程23.2 一元二次方程的解法23.3 实践与探索第24章图形的相似24.1 相似的图形24.2 相似图形的性质24.3 相似三角形24.4 中位线24.5 画相似图形24.6 图形与坐标第25章解直角三角形25.1 测量25.2 锐角三角函数25.3 解直角三角形课题学习高度的测量第26章随机事件的概率26.1 概率的预测26.2 模拟实验课题学习通讯录的设计九年级下册第27章二次函数27.1 二次函数27.2 二次函数的图象与性质27.3 实践与探索第28章圆28.1 圆的认识28.2 与圆有关的位置关系28.3 圆中的计算问题第29章几何的回顾29.1 几何问题的处理方法29.2 反证法阅读材料《几何原本》第30章样本与总体30.1 抽样调查的意义30.2 用样本估计总体30.3 借助调查作决策苏科版初中数学目录：七年级上册第一章我们与数学同行1.1 生活数学1.2 活动思考第二章有理数2.1 比0小的数2.2 数轴2.3 绝对值与相反数2.4 有理数的加法与减法2.5 有理数的乘法与除法2.6 有理数的乘方2.7 有理数的混合运算第三章用字母表示数3.1 字母表示数3.2 代数式3.3 代数式的值3.4 合并同类项3.5 去括号第四章一元一次方程4.1 从问题到方程4.2 解一元一次方程4.3 用方程解决问题第五章走进图形世界5.1 丰富的图形世界5.2 图形的变化5.3 展开与折叠5.4 从三个方向看第六章平面图形的认识(一)6.1 线段射线直线6.2 角6.3 余角补角对顶角6.4 平行6.5 垂直七年级下册第七章平面图形的认识(二)7.1 探索直线平行的条件7.2 探索平行线的性质7.3 图形的平移7.4 认识三角形7.5 三角形的内角和第八章幂的运算8.1 同底数幂的乘法8.2 幂的乘方与积的乘方8.3 同底数幂的除法第九章从面积到乘法公式9.1 单项式乘单项式9.2 单项式乘多项式9.3 多项式乘多项式9.4 乘法公式9.5 单项式乘多项式法则的再认识——因式分解（一）9.6 乘法公式的再认识——因式分解（二）第十章二元一次方程10.1 二元一次方程10.2 二元一次方程组10.3 解二元一次方程组10.4 用方程组解决问题第十一章图形的全等11.1 全等图形11.2 全等三角形11.3 探索三角形全等的条件第十二章数据在我们周围12.1 普查与抽样调查12.2 统计图的选用12.3 频数分布表和频数分布直方图第十三章感受概率13.1 确定与不确定13.2 可能性八年级上册第一章轴对称图形1.1 轴对称与轴对称图形1.2 轴对称的性质1.3 设计轴对称图案1.4 线段、角的轴对称性1.5 等腰三角形的轴对称性1.6 等腰梯形的轴对称性数学活动剪纸第二章勾股定理与平方根2.1 勾股定理2.2 神秘的数组2.3 平方根2.4 立方根2.5 实数2.6 近似数与有效数字2.7 勾股定理的应用数学活动关于勾股定理的研究第三章中心对称图形(一)3．1 图形的旋转3．2 中心对称与中心对称图形3．3 设计中心对称图案3．4 平行四边形3．5 矩形、菱形、正方形3．6 三角形、梯形的中位线数学活动镶嵌小结与思考第四章数量、位置的变化4.1 数量的变化4.2 位置的变化4.3 平面直角坐标系数学活动：确定藏宝地第五章一次函数5．1 函数5．2 一次函数5．3 一次函数的图象5．4 一次函数的应用5．5 二元一次方程组的图象解法数学活动温度计上的一次函数第六章数据的集中程度6.1 平均数6.2 中位数与众数6.3 用计算器求平均数全章复习与测试数学活动你是“普通”学生吗八年级下册第七章一元一次不等式7.1 生活中的不等式7.2 不等式的解集7.3 不等式的性质7.4 解一元一次不等式7.5 用一元一次不等式解决问题7.6 一元一次不等式组7.7 一元一次不等式与一元一次方方程、一次函数第八章分式8.1 分式8.2 分式的基本性质8.3 分式的加减8.4 分式的乘除8.5 分式方程第九章反比例函数9.1 反比例函数9.2 反比例函数的图象与性质9.3 反比例函数的应用第十章图形的相似10.1 图上距离与实际距离10.2 黄金分割10.3 相似图形10.4 探索三角形相似的条件10.5 相似三角形的性质10.6 图形的位似10.7 相似三角形的应用第十一章图形的证明(一)11.1 你的判断对吗11.2 说理11.3 证明11.4 互逆命题第十二章认识概率12.1 等可能性12.2 等可能条件下的概率(一)12.3 等可能条件下的概率(二)课题学习：游戏公平吗？九年级上册第一章图形与证明(二)1．1 等腰三角形的性质与判定1．2 直角三角形全等的判定1．3 平行四边形、矩形、菱形、正方形的性质和判定1．4 等腰梯形的性质和判定1．5 中位线第二章数据的离散程度2．1 极差2．2 方差与标准差2．3 用计算器求标准差的方差第三章二次根式3．1 二次根式3．2 二次根式的乘除3．3 二次根式的加减。

相似三角形知识点总结(两篇)2024

引言概述：相似三角形是初中数学中的重要知识点，它与三角形的性质和比例有着密切的关联。

在上一篇文章中，我们已经探讨了相似三角形的基本定义和判定方法。

本文将进一步总结相似三角形的性质，包括比例关系、角度关系、长度关系等，以及相似三角形在几何应用中的具体问题。

正文内容：一、比例关系1.直角三角形相似定理：在两个直角三角形中，如果一个角相等，那么它们是相似的。

并且，相似直角三角形的斜边与斜边之比等于其他两边与对应两边之比。

2.对称比例定理：如果一条直线把两个三角形分成两个部分，而且这两个部分的比例相等，则这两个三角形是相似的。

对称比例定理为我们解决相似三角形问题提供了一个常用的判定方法。

二、角度关系1.对应角相等定理：如果两个三角形的对应角相等，则这两个三角形是相似的。

2.外角定理：三角形的一个外角等于它所对的两个内角之和。

应用外角定理可以求解相似三角形中的角度问题。

三、长度关系1.边长比例定理：在两个相似三角形中，相应边的比例相等。

即两个相似三角形对应边的比等于它们的任意两边比的乘积。

2.高度定理：在两个相似三角形中，对应边所对的高的比例等于对应边的比例。

四、几何应用1.利用相似三角形求解高度问题：当无法直接测量一个高度时，可以利用相似三角形的高度定理来计算。

2.利用相似三角形求解距离问题：当无法直接测量两点之间的距离时，可以利用相似三角形的边长比例定理来求解。

3.利用相似三角形求解面积问题：当无法直接测量一个三角形的面积时，可以利用相似三角形的边长比例定理和高度定理来计算。

总结：相似三角形作为三角形知识的重要组成部分，具有较强的通用性和实用性。

本文通过比例关系、角度关系、长度关系等多个方面的阐述，总结了相似三角形的重要性质和应用方法。

相似三角形的掌握对于解决几何问题具有重要的指导意义，能够为我们的数学学习和实际应用带来更大的便利和效果。

通过深入学习和掌握相似三角形的知识，我们将能够更加准确和高效地解决与三角形相似性相关的问题。