中国科学院2007年高等数学考研试题及解答

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2007数学二真题及答案解析

硕士研究生入学考试数学二试题及答案解析一、选择题：（本题共10小题，每小题4分，共40分. 每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内）(1) 当0x +→时，与x 等价的无穷小量是 (A) 1xe-. (B) 1ln1xx+-. (C) 11x +-. (D) 1cos x -. [ B ]【分析】利用已知无穷小量的等价代换公式，尽量将四个选项先转化为其等价无穷小量，再进行比较分析找出正确答案. 【详解】当0x +→时，有1(1)~xx ee x -=---；111~2x x +-； 2111cos ~().22x x x -= 利用排除法知应选(B). (2) 函数11()tan ()()xxe e xf x x e e +=-在[,]ππ-上的第一类间断点是x =(A) 0. (B) 1. (C) 2π-. (D)2π. [ A ] 【分析】本题f (x )为初等函数，找出其无定义点即为间断点，再根据左右极限判断其类型。

【详解】 f (x )在[,]ππ-上的无定义点，即间断点为x =0,1,.2π±又 11110()tan tan lim lim 1(1)1()xxx x xx e e x x e exx e e e e --→→++=⋅=⋅-=---， 11110()tan tan lim lim 111()xxx x xx e e x x e exx e e e e++→→++=⋅=⋅=--，可见x =0为第一类间断点，因此应选(A).(3) 如图，连续函数y =f (x )在区间[−3，−2]，[2，3]上的图形分别是直径为1的上、下半圆周，在区间[−2，0]，[0，2]的图形分别是直径为2的上、下半圆周，设0()().xF x f t dt =⎰则下列结论正确的是(A) 3(3)(2)4F F =--. (B) 5(3)(2)4F F =. (C) )2(43)3(F F =-. (D) )2(45)3(--=-F F . [ C ]【分析】本题考查定积分的几何意义，应注意f (x )在不同区间段上的符号，从而搞清楚相应积分与面积的关系。

数学一2007年考研真题及答案解析

上海恩波考研辅导班 2007年硕士研究生入学考试数学一试题及答案解析一、选择题：(本题共10小题，每小题4分，共40分.每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内)(1) 当时等价的无穷小量是0x +→(A). (D) . [ B]1-1-1-【分析】利用已知无穷小量的等价代换公式，尽量将四个选项先转化为其等价无穷小量，再进行比较分析找出正确答案.【详解】当时，有；0x +→1(1)~-=--1~- 利用排除法知应选(B).2111~.22x -= (2) 曲线，渐近线的条数为1ln(1)x y e x=++(A) 0. (B) 1. (C) 2. (D) 3. [ D ]【分析】先找出无定义点，确定其是否为对应垂直渐近线；再考虑水平或斜渐近线。

【详解】因为，所以为垂直渐近线；01lim[ln(1)]x x e x→++=∞0x =又，所以y=0为水平渐近线；1lim [ln(1)]0x x e x→-∞++=进一步，=，21ln(1)ln(1)lim lim [lim x x x x x y e e x x x x →+∞→+∞→+∞++=+=lim 11xx x e e→+∞=+ =1lim [1]lim [ln(1)]x x x y x e x x→+∞→+∞-⋅=++-lim [ln(1)]x x e x →+∞+- =，lim [ln (1)]lim ln(1)0x x x x x e e x e --→+∞→+∞+-=+=于是有斜渐近线：y = x . 故应选(D).(3)如图，连续函数y =f (x )在区间[−3，−2]，[2，3]上的图形分别是直径为1的上、下半。

2007年考研数学一试题答案与解析

x→0
x
事实上，
在(A),(B)两项中，因为分母的极限为 0，所以分子的极限也必须为 0，
则可推得 f (0) = 0 .
在（C）中， lim f (x) 存在，则 x→0 x
f (0) = 0, f ′(0) = lim f (x) − f (0) = lim f (x) = 0 ，所以(C)项正确，故选
故选（D）. 【评注】对于含有抽象函数的问题，通过举符合题设条件的函数的反例可简化计算.
类似例题见文登强化班笔记《高等数学》第 1 讲【例 24】，《数学复习指南》（理工类）第一篇【例 1.22】.
（6）设曲线 L : f (x, y) = 1（ f (x, y) 具有一阶连续偏导数）过第二象限内的点 M
（7）设向量组α1,α2,α3 线性无关，则下列向量组线．性．相．关．的是
(A) α1 − α2 ,α2 − α3,α3 −α1
(B) α1 + α2 ,α2 + α3,α3 + α1
(C) α1 − 2α2 ,α2 − 2α3,α3 − 2α1 . (D) α1 + 2α2 ,α2 + 2α3,α3 + 2α1 . []
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习指南》（理工类）《线性代数》【例 3.3】.

⎛ 2 −1 −1⎞ ⎛ 1 0 0⎞
（8）设矩阵
A
=
⎜ ⎜⎜⎝
−1 −1
2 −1
−21⎟⎟⎟⎠
,
B
=
⎜ ⎜⎜⎝
∫ ∫ T f (x, y)dy = T dy = y2 − y1 < 0 ；

2007考研数学二真题及答案

2007考研数学二真题及答案一．选择题（本题共10小题，每小题4分，满分40分，在每小题给的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后括号内）（1）当0x +→等价的无穷小量是（B ）A. 1-1D.1-（2）函数11()tan ()()xxe e xf x x e e +=-在区间[],ππ-上的第一类间断点是x =(A)A. 0B. 1C. 2π-D. 2π （3）如图.连续函数()y f x =在区间[][]3,2,2,3--上的图形分别是直径为1的上、下半圆周，在区间[][]2,0,0,2-上图形分别是直径为2的上、下半圆周，设0()(),xF x f t dt =⎰则下列结论正确的是：（C ）.A .(3)F 3(2)4F =-- .B (3)F 5(2)4F = .C (3)F - 3(2)4F =- .D (3)F -5(2)4F =--(4)设函数f （x ）在x=0处连续，下列命题错误的是 (C)A. 若0()limx f x x →存在，则(0)0f = B. 若0()()lim x f x f x x→+-存在, (0)0f =C. 若0()lim x f x x →存在, 则(0)0f '=D. 0()()lim x f x f x x→--存在, (0)0f =（5）曲线1ln(1),xy e x=++渐近线的条数为（D ）.A 0 .B 1 .C 2 .D 3(6)设函数()f x 在(0,)+∞上具有二阶导数，且"()0f x >, 令n u = ()1,2.......,,f n n = 则下列结论正确的是 (D)A.若12u u >，则{}n u 必收敛B. 若12u u >，则{}n u 必发散C. 若12u u <，则{}n u 必收敛D. 若12u u <，则{}n u 必发散（7）二元函数(,)f x y 在点（0，0）处可微的一个充分条件是（B ） A.()()()(),0,0lim,0,00x y f x y f →-=⎡⎤⎣⎦B. ()()0,00,0lim0x f x f x→-=，且()()00,0,0lim 0y f y f y →-= C.()(,0,0,00,0lim0x y f x f →-=D. ()0lim ',0'(0,0)0,x x x f x f →-=⎡⎤⎣⎦且()0lim ',0'(0,0)0,y y y f x f →⎡⎤-=⎣⎦（8）设函数(,)f x y 连续，则二次积分1sin 2(,)x dx f x y dy ππ⎰⎰等于（B ）.A10arcsin (,)y dy f x y dx ππ+⎰⎰ .B 10arcsin (,)y dy f x y dy ππ-⎰⎰.C 1arcsin 02(,)y dy f x y dx ππ+⎰⎰ .D 1arcsin 02(,)y dy f x y dx ππ-⎰⎰（9）设向量组123,,ααα线形无关，则下列向量组线形相关的是： (A) （A ） ,,122331αααααα--- （B ） ,,122331αααααα+++ （C ） 1223312,2,2αααααα--- （D ）1223312,2,2αααααα+++（10）设矩阵A=211121112--⎛⎫ ⎪-- ⎪ ⎪--⎝⎭，B=100010000⎛⎫ ⎪⎪ ⎪⎝⎭,则A 于B ，（B ）(A) 合同，且相似 (B) 合同，但不相似(C) 不合同，但相似 (D)既不合同，也不相似二．填空题：11－16小题，每小题4分，共24分，请将答案写在答题纸指定位置上(11)30arctan sin limx x x x →-=16. (12)曲线2cos cos 1sin x t t y t⎧=+⎨=+⎩上对应于4t π=1）. (13)设函数123y x =+，则()0ny ＝23n -⋅.(14)二阶常系数非齐次线性微分方程2''4'32x y y y e -+=的通解y ＝_32122x x x C e C e e +-. (15)设(,)f u v 是二元可微函数，(,)y x z f x y=,则1222(,)(,)z z y y x x y x xy f f x y x x y y x y∂∂''-=-+∂∂.(16)设矩阵01000010********A ⎛⎫⎪⎪= ⎪⎪⎝⎭，则3A 的秩为_1______.三、解答题：17－24小题，共86分.请将解答写在答题纸指定的位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. （17）设()f x 是区间0,4π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调、可导函数，且满足()100cos sin ()sin cos f x x t t f t dt t dt t t --=+⎰⎰，其中1f-是f 的反函数，求()f x .【详解】：设(),y f t =则1()t fy -=.则原式可化为：1(0)0cos sin '()sin cos xxf t tyf y dy tdt t t--=+⎰⎰ 等式两边同时求导得：cos sin '()sin cos x xxf x x x x-=+cos sin '()sin cos x xf x x x-=+（18）（本题满分11分）设D是位于曲线y =- ()1,0a x >≤<+∞下方、x 轴上方的无界区域.（Ⅰ）求区域D 绕x 轴旋转一周所成旋转体的体积()V a ；（Ⅱ）当a 为何值时，()V a 最小？并求此最小值. 【详解】：22222()())(ln )xa a I V a y dx dx a πππ-+∞+∞===⎰⎰ 22412(ln )(2ln )2()()0(ln )a a a a II V a a π-'=⋅= 得ln (ln 1)0a a -=故ln 1a =即a e =是唯一驻点，也是最小值点，最小值2()V e e π= （19）求微分方程()2''''y x y y +=满足初始条件(1)'(1)1y y ==的特解.【详解】：设dy p y dx '==，则dpy dx''=代入得：22()dp dx x p x x p p p dx dp p p++=⇒==+ 设x u p= 则()d pu u p dp =+du u p u p dp ⇒+=+1dudp ⇒=1u p c ⇒=+ 即21x p c p =+ 由于(1)1y '=故11110c c =+⇒=即2x p =32223dy p y x c dx ⇒==⇒=±+ 由21(1)13y c =⇒=或253c = 特解为322133y x =+或322533y x =-+（20）已知函数()f a 具有二阶导数，且'(0)f ＝1，函数()y y x =由方程11y y xe--=所确定.设(ln sin ),z f y x =-求x dzdx=，202x d zdx=.【详解】： 11y y xe--=两边对x 求导得11()0y y y e xe y --''-+⋅=得 111y y e y xe --'=- （当01)x y ==，故有11121x e y -='==-1(ln sin )(cos )(0)(111)0x x dz f y x y x f dxy=='''=--=⨯-=222221()(ln sin )(cos )(ln sin )(sin )x x d z y f y x y x f y x x dxy y=='''''=--+--+221(0)(111)(0)(10)1(1)11f f -'''=⨯-+⨯+=⨯-=- (21)（本题11分）设函数(),()f x g x 在[,]a b 上连续，在(,)a b 内具有二阶导数且存在相等的最大值，()(),()()f a g a f b g b ==证明：存在(,)a b ξ∈，使得''''()()f g ξξ=.【详解】：证明：设(),()f x g x 在(,)a b 内某点(,)c a b ∈同时取得最大值，则()()f c g c =，此时的c 就是所求点()()f g ηηη=使得.若两个函数取得最大值的点不同则有设()max (),()max ()f c f x g d g x ==故有()()0,()()0f c g c g d f d ->-<，由介值定理，在(,)c d 内肯定存在()()f g ηηη=使得由罗尔定理在区间(,),(,)a b ηη内分别存在一点''1212,,()()f f ξξξξ使得＝＝0在区间12(,)ξξ内再用罗尔定理，即''''(,)()()a b f g ξξξ∈=存在，使得.（22）（本题满分11分）设二元函数2.1.(,)12.x x y f x y x y ⎧+≤⎪=≤+≤计算二重积分(,).Df x y d σ⎰⎰其中{}(,)2D x y x y =+≤【详解】：D 如图（1）所示，它关于x,y 轴对称，(,)f x y 对x,y 均为偶函数，得1(,)4(,)DD f x y d f x y d σσ=⎰⎰⎰⎰，其中1D 是D 的第一象限部分.由于被积函数分块表示，将1D 分成（如图（2））：11112D D D =U ,且(1)(2)1112:1,0,0 :12,0,0D x y x y D x y x y +≤≥≥≤+≤≥≥于是11212(,)(,)(,)D D D f x y d f x y d f x y d σσσ=+⎰⎰⎰⎰⎰⎰.而111112200111(,)(1)3412xD f x y d dx x dy x x dx σ-==-=-=⎰⎰⎰⎰⎰121222cos sin 10cos sin 1(,)()D D f x y d d rdr rπθθθθσσθ++==⋅⎰⎰⎰⎰极坐标变换2200221122200021112001cos sin cos sin 2sin cos222(tan )222122(1)1tan 2tan22221)u td d d du du u u u dt dt t πππθθθθθθθθθθθ-===+-+===-+---+==-===⎰⎰⎰⎰⎰⎰ 所以11(,)1)12D f x y d σ=⎰⎰得1(,)4(1))12Df x y d σ=+⎰⎰(23)（本题满分11分）设线性方程组1231232123020(1)40x x x x x ax x x a x ⎧++=⎪++=⎨⎪++=⎩与方程12321(2)x x x a ++=-有公共解，求a 的值及所有公共解. 【详解】：因为方程组(1)、(2)有公共解，即由方程组(1)、(2)组成的方程组1231232123123020(3)4021x x x x x ax x x a x x x x a ++=⎧⎪++=⎪⎨++=⎪⎪++=-⎩的解.即矩阵211100201401211aa a ⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭211100110001000340a a a ⎛⎫ ⎪- ⎪→⎪- ⎪ ⎪++⎝⎭方程组(3)有解的充要条件为 1,2a a ==.当1a =时，方程组(3)等价于方程组(1)即此时的公共解为方程组(1)的解.解方程组(1)的基础解系为(1,0,1)Tξ=-此时的公共解为：,1,2,x k k ξ==L当2a =时，方程组(3)的系数矩阵为111011101220011014400001111100⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎪ ⎪→ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭此时方程组(3)的解为1230,1,1x x x ===-，即公共解为：(0,1,1)Tk -(24)设3阶对称矩阵A 的特征向量值1231,2,2,λλλ===-1(1,1,1)Tα=-是A 的属于1λ的一个特征向量,记534B A A E =-+其中E 为3阶单位矩阵()I 验证1α是矩阵B 的特征向量,并求B 的全部特征值的特征向量； ()II 求矩阵B .【详解】：（Ⅰ）可以很容易验证111(1,2,3...)n nA n αλα==，于是 5353111111(4)(41)2B A A E ααλλαα=-+=-+=-于是1α是矩阵B 的特征向量.B 的特征值可以由A 的特征值以及B 与A 的关系得到，即 53()()4()1B A A λλλ=-+，所以B 的全部特征值为－2，1，1.前面已经求得1α为B 的属于－2的特征值，而A 为实对称矩阵，于是根据B 与A 的关系可以知道B 也是实对称矩阵，于是属于不同的特征值的特征向量正交，设B 的属于1的特征向量为123(,,)Tx x x ，所以有方程如下：1230x x x -+=于是求得B 的属于1的特征向量为23(1,0,1),(1,1,0)T Tαα=-=（Ⅱ）令矩阵[]123111,,101110P ααα-⎡⎤⎢⎥==-⎢⎥⎢⎥⎣⎦，则1(2,1,1)P BP diag -=-，所以1111333111112(2,1,1)101(2,1,1)333110121333B P diag P diag -⎡⎤-⎢⎥-⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⋅-⋅=---⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎢⎥⎢⎥⎣⎦011101110-⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥-⎣⎦。

2007考研数二真题及解析

2007年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题一、选择题：110小题，每小题4分，共40分，下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求，请将所选项前的字母填在答题纸指定位置上.(1) 当0x +→等价的无穷小量是( )A.1-B1C.1D -(2) 函数11()tan ()()xxe e xf x x e e +=-在[],ππ-上的第一类间断点是x =( ).A 0 .B 1 .C 2π-.D 2π(3) 如图，连续函数()y f x =在区间[][]3,2,2,3--上的图形分别是直径为1的上、下半圆周,在区间[][]2,0,0,2-上的图形分别是直径为2的上、下半圆周.设0()(),xF x f t dt =⎰则下列结论正确的是( ).A (3)F 3(2)4F =-- .B (3)F 5(2)4F =.C (3)F - 3(2)4F = .D (3)F -5(2)4F =--(4) 设函数()f x 在0x =连续，则下列命题错误的是( ).A 若0()limx f x x →存在，则(0)0f = .B 若0()()lim x f x f x x →+-存在，则(0)0f =.C 若0()limx f x x →存在，则(0)f '存在 .D 若0()()lim x f x f x x→--存在，则(0)f '存在(5) 曲线1ln(1)x y e x=++渐近线的条数为( ) .A 0 .B 1 .C 2 .D 3(6) 设函数()f x 在(0,)+∞上具有二阶导数，且()0f x ''>，令()(1,2,)n u f n n ==，则下列结论正确的是( ).A 若12u u >，则{}n u 必收敛 .B 若12u u >，则{}n u 必发散.C 若12u u <，则{}n u 必收敛 .D 若12u u <，则{}n u 必发散(7) 二元函数(,)f x y 在点(0,0)处可微的一个充分条件是( ).A[](,)(0,0)lim(,)(0,0)0x y f x y f →-=.B []0(,0)(0,0)lim0x f x f x→-=且[]0(0,)(0,0)lim 0y f y f y→-=.C(,)(,)(0,0)lim0x y f x y f →-=.D []0lim (,0)(0,0)0x x x f x f →''-=且 0lim (0,)(0,0)0y y y f y f →''⎡⎤-=⎣⎦(8) 设函数(,)f x y 连续，则二次积分1sin 2(,)xdx f x y dy ππ⎰⎰等于( ).A10arcsin (,)ydy f x y dx ππ+⎰⎰ .B 10arcsin (,)ydy f x y dx ππ-⎰⎰.C 1arcsin 02(,)ydy f x y dx ππ+⎰⎰ .D 1arcsin 02(,)ydy f x y dx ππ-⎰⎰(9) 设向量组123,,ααα线性无关，则下列向量组线性相关的是 ( ).A 12αα-2331,,αααα-- .B 21αα+2331,,αααα++ .C 1223312,2,2αααααα--- .D 1223312,2,2αααααα+++(10) 设矩阵211121112A --⎡⎤⎢⎥=--⎢⎥⎢⎥--⎣⎦，100010000B ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦，则A 与B ( ) .A 合同，且相似 .B 合同，但不相似.C 不合同，但相似 .D 既不合同，也不相似二、填空题：11-16小题，每小题4分，共24分，请将答案写在答题纸指定位置上. (11) 30arctan sin lim_________x x xx→-= (12) 曲线2cos cos 1sin x t t y t⎧=+⎨=+⎩上对应于4t π=的点处的法线斜率为_____(13) 设函数123y x =+，则()(0)___________n y = (14) 二阶常系数非齐次线性微分方程2432xy y y e '''-+=的通解为_____y =(15) 设(,)f u v 是二元可微函数，(,),y x z f x y =则z z xy x y∂∂-=∂∂＿＿＿＿＿ (16) 设矩阵01000010,00010000A ⎛⎫⎪⎪= ⎪⎪⎝⎭则3A 的秩为＿＿＿＿＿.三、解答题：17－24小题，共86分.请将解答写在答题纸指定的位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.(17)(本题满分10分)设()f x 是区间[0,]4π上的单调、可导函数，且满足()1cos sin ()sin cos f x xt tf t dt tdt t t--=+⎰⎰其中1f-是f 的反函数，求()f x .(18)(本题满分11分)设D是位于曲线2(1,0)x ay a x -=>≤<+∞下方、x 轴上方的无界区域.(I) 求区域D 绕x 轴旋转一周所成旋转体的体积()V a ; (II) 当a 为何值时，()V a 最小？并求出最小值.(19)(本题满分11分)求微分方程2()y x y y ''''+=满足初始条件(1)(1)1y y '==的特解.(20)(本题满分10分)已知函数()f u 具有二阶导数，且(0)1f '=，函数()y y x =由方程11y y xe--=所确定.设(ln sin )z f y x =-，求2002,x x dz d z dxdx ==.(21)(本题满分11分)设函数()f x ，()g x 在[],a b 上连续，在(,)a b 内二阶可导且存在相等的最大值，又()f a ＝()g a ，()f b ＝()g b ，证明：存在(,),a b ξ∈使得''()''().f g ξξ=(22)(本题满分11分)设二元函数2,1(,)12x x y f x y x y ⎧+≤⎪=<+≤计算二重积分(,)Df x y d σ⎰⎰，其中{}(,)2D x y x y =+≤(23)(本题满分11分)设线性方程组1231232123020(1)40x x x x x ax x x a x ⎧++=⎪++=⎨⎪++=⎩与方程 12321(2)x x x a ++=-有公共解，求a 得值及所有公共解.(24)(本题满分11分)设3阶实对称矩阵A 的特征值12311,2,2,(1,1,1)Tλλλα===-=-是A 的属于1λ的一个特征向量.记534B A A E =-+，其中E 为3阶单位矩阵.(I)验证1α是矩阵B 的特征向量，并求B 的全部特征值与特征向量； (II) 求矩阵B .2007年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题解析一、选择题 (1)【答案】B 【详解】方法1：排除法：由几个常见的等价无穷小，当0x →时，11;11;2xe x x x -+-2221cos 2sin 2(),222x xx x -==当0x+→时，此时0→，所以11();11;2x x x --+-211(),2x x-可以排除A 、C 、D ，所以选(B).方法2：==ln[1+当0x +→时，11→0→，又因为0x →时，()ln 1x x+，所以)ln[1~~1~x +=(B).方法3：000lim limlim x x x +++''→→→=11lim lim 1x x x++→→-==11xA x -=++(()1142A B x x ++=+对应系数相等得：1A B = =，所以原式01lim lim 1x x xx ++→→-⎡⎤==⎢+⎣0lim lim 01x x ++→→==+1=，选(B).(2)【答案】( A)【详解】首先找出()f x 的所有不连续点，然后考虑()f x 在间断点处的极限.()f x 的不连续点为0、1、2π±，第一类间断点包括可去间断点及跳跃间断点.逐个考虑各个选项即可.对A : 111111101()tan (1)lim ()lim lim lim 1,()(1)xxx x x x x xxxe e x e e e ef x x e e e ee e++++-→→→→-+++====---11101110000lim ()tan lim ()lim lim 1.()lim x x x x x x x x x x x e e e e x e e e f x e x e e e e e e -----→→→→→⎛⎫+⎪++⎝⎭=====--⎛⎫--- ⎪⎝⎭()f x 在0x =存在左右极限，但()()0lim lim x x f x f x +-→→≠，所以0x =是()f x 的第一类间断点，选(A)；同样，可验证其余选项是第二类间断点，()1lim x f x →=∞，()2lim x f x π→=∞，()2lim x f x π→-=∞.(3)【答案】C【详解】由题给条件知，()f x 为x 的奇函数，则()()f x f x -=-，由0()(),xF x f t dt =⎰知()()()()()()()()xx xF x f t dt t u f u d u f u f u f u du F x --==- -- -=- =⎰⎰⎰令因为，故()F x 为x 的偶函数，所以(3)(3)F F -=.而2(2)()F f t dt =⎰表示半径1R =的半圆的面积，所以22(2)()22R F f t dt ππ===⎰，3232(3)()()()F f t dt f t dt f t dt ==+⎰⎰⎰，其中32()f t dt ⎰表示半径12r =的半圆的面积的负值，所以22321()2228r f t dt πππ⎛⎫=-=-⋅=- ⎪⎝⎭⎰所以 232333(3)()()(2)288424F f t dt f t dt F ππππ=+=-==⋅=⎰⎰ 所以 3(3)(3)(2)4F F F -==，选择C(4)【答案】( D) 【详解】方法1：论证法，证明..A B C 都正确，从而只有.D 不正确.由0()limx f x x→存在及()f x 在0x =处连续，所以0(0)lim ()x f f x →=0000()()()lim()lim lim 0lim x x x x f x f x f x x x x x x→→→→==⋅=⋅0=，所以(A)正确；由选项(A)知，(0)0f =，所以00()(0)()lim lim0x x f x f f x x x→→-=-存在，根据导数定义，0()(0)'(0)limx f x f f x →-=-存在，所以(C)也正确；由()f x 在0x =处连续，所以()f x -在0x =处连续，从而[]0lim ()()lim ()lim ()(0)(0)2(0)x x x f x f x f x f x f f f →→→+-=+-=+=所以0000()()()()()()2(0)lim lim lim 0lim 0x x x x f x f x f x f x f x f x f x x x x x →→→→+-+-+-⎡⎤=⋅=⋅=⋅=⎢⎥⎣⎦即有(0)0f =.所以(B)正确，故此题选择(D).方法2：举例法，举例说明(D)不正确. 例如取()f x x =，有00()()lim lim 00x x x x f x f x x x→→----==-存在而 ()()0000lim lim 100x x f x f x x x --→→---==---，()()0000lim lim 100x x f x f x x x +-→→--==--，左右极限存在但不相等，所以()f x x =在0x =的导数'(0)f 不存在. (D)不正确，选(D).(5)【答案】D【详解】因为001lim lim ln(1)x x x y e x →→⎛⎫=++⎪⎝⎭001lim limln(1)x x x e x →→=++=∞，所以0x =是一条铅直渐近线；因为1lim lim ln(1)x x x y e x →-∞→-∞⎛⎫=++⎪⎝⎭--1lim lim ln(1)000x x x e x →∞→∞=++=+=，所以0y =是沿x →-∞方向的一条水平渐近线；令 21ln(1)1ln(1)lim lim lim x x x x x e y e x a x x x x →+∞→+∞→+∞++⎛⎫+===+ ⎪⎝⎭21ln(1)lim lim x x x e x x →+∞→+∞+=+10lim 11xx x e e →+∞+ +=洛必达法则令 ()1lim lim ln(1)x x x b y a x e x x →+∞→+∞⎛⎫=-⋅=++- ⎪⎝⎭()1limlim ln(1)x x x e x x →+∞→+∞=++-()ln 0lim ln(1)ln x x x x x e e e →+∞ = ++-1lim ln()xx x e e→+∞+=lim ln(1)ln10x x e -→+∞=+== 所以y x =是曲线的斜渐近线，所以共有3条，选择(D)(6)【答案】( D)【详解】()n u f n =，由拉格朗日中值定理，有1n n (1)()'()(1)'(),(1,2,)n n u u f n f n f n n f n ξξ+-=+-=+-==，其中n 1n n ξ<<+，12n .ξξξ<<<<由''()0,f x >知'()f x 严格单调增，故 12n '()'()'().f f f ξξξ<<<<若12u u <，则121'()0,f u u ξ=-> 所以12n 0'()'()'().f f f ξξξ<<<<<1111k 1111()'()'().nnn k k k k u u u u u f u nf ξξ++===+-=+>+∑∑而1'()f ξ是一个确定的正数. 于是推知1lim ,n n u +→∞=+∞故{}n u 发散. 选(D)(7)【答案】( C)【详解】一般提到的全微分存在的一个充分条件是：设函数(,)f x y 在点()00,x y 处存在全微分，但题设的....A B C D 中没有一个能推出上述充分条件，所以改用全微分的定义检查之. 全微分的定义是：设(,)f x y 在点()00,x y 的某领域内有定义，且(,)f x y 在点()00,x y 处的全增量可以写成()()()0000,,f x x y y f x y A x B y o ρ+∆ +∆- =∆+∆+，其中,A B 为与,x y ∆ ∆无关的常数，ρ=()lim0o ρρρ→=，则称(,)f x y 在点()00,x y 处可微，A x B y ∆+∆称为(,)f x y 在点()00,x y 处的全微分，对照此定义，就可解决本题.选项.A 相当于已知(,)f x y 在点(0,0)处连续；选项.B 相当于已知两个一阶偏导数()0,0x f '，()0,0y f '存在，因此.A .B 均不能保证(,)f x y 在点(0,0)处可微. 选项.D 相当于已知两个一阶偏导数()0,0x f '，()0,0y f '存在，但不能推导出两个一阶偏导函数(),x f x y '，(),y f x y '在点(0,0)处连续，因此也不能保证(,)f x y 在点(0,0)处可微.由.C(,)(,)(0,0)lim0x y f x y f →-=，推知(,)(0,0)00(),f x y f x y o ρ-==⋅+⋅+其中ρ=()limlim 0o ρρραρ→→==.对照全微分定义，相当于000,0,,,0,0.x y x x y y A B ==∆=∆===可见(,)f x y 在(0,0)点可微，故选择(C).(8)【答案】( B)【详解】画出该二次积分所对应的积分区域:,sin 12D x x y ππ≤≤≤≤交换为先x 后y ，则积分区域可化为：01,arcsin y y x ππ≤≤-≤≤ 所以11sin 0sin 2(,)(,)xarc ydx f x y dy dy f x y dx ππππ-=⎰⎰⎰⎰，所以选择(B).(9) 【答案】A 【详解】方法1：根据线性相关的定义，若存在不全为零的数123,,k k k ，使得1122330k k k ααα++=成立，则称123,,ααα线性相关.因122331()()()0αααααα-+-+-=，故122331αααααα---，，线性相关，所以选择(A).方法2：排除法因为()122331,,αααααα+++()()1231232101,,110,,,011C αααααα⎛⎫ ⎪== ⎪ ⎪⎝⎭其中2101110011C ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，且 2101110011C =11101111(1)2011111011+-⨯-+-=-行行（）1111=⨯-⨯-（）20=≠.故2C 是可逆矩阵，由可逆矩阵可以表示为若干个初等矩阵的乘积，2C 右乘()123,,ααα时，等于作若干次初等变换，初等变换不改变矩阵的秩，故有122331123(,,)(,,)3r r ααααααααα+++==所以，122331,,αααααα+++线性无关，排除(B). 因为()1223312,2,2αααααα---()()1231233102,,210,,,021C αααααα-⎛⎫ ⎪=-= ⎪ ⎪-⎝⎭ 其中3102210021C -⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪-⎝⎭，3102210021C -=--11102141014121021+--⨯-=---行2+2行（）1124=⨯--⨯-（）（）≠=-70.故3C 是可逆矩阵，由可逆矩阵可以表示为若干个初等矩阵的乘积, 3C 右乘()123,,ααα时，等于作若干次初等变换，初等变换不改变矩阵的秩，故有122331123(2,2,2)(,,)3r r ααααααααα---==所以，1223312,2,2αααααα---线性无关，排除(C). 因为()1223312,2,2αααααα+++()()1231234102,,210,,,021C αααααα⎛⎫ ⎪== ⎪ ⎪⎝⎭ 其中4102210021C ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，4102210021C =11102141(2)2014121021+-⨯-+-=-行行（）1124=⨯-⨯-（）90.=≠故4C 是可逆矩阵，由可逆矩阵可以表示为若干个初等矩阵的乘积, 4C 右乘()123,,ααα时，等于作若干次初等变换，初等变换不改变矩阵的秩，故有122331123(2,2,2)(,,)3r r ααααααααα+++==所以，1223312,2,2αααααα+++线性无关，排除(D).综上知应选(A).(10)【答案】B 【详解】方法1：211121112E A λλλλ--=--112312112λλλλλ--、列分别加到列 111121112λλλλ--提出1111103112λλλ⨯---行（）+2行111110303λλλ⨯---行（）+3行113103λλλ+-=--（）()230λλ=-=则A 的特征值为3，3，0;B 是对角阵，对应元素即是的特征值，则B 的特征值为1，1，0. ,A B 的特征值不相同，由相似矩阵的特征值相同知，A B 与不相似. 由,A B 的特征值可知，,A B 的正惯性指数都是2，又秩都等于2可知负惯性指数也相同，则由实对称矩阵合同的充要条件是有相同的正惯性指数和相同的负惯性指数，知A 与B 合同，应选(B).方法2: 因为迹(A )=2+2+2=6，迹(B )=1+1=2≠6，所以A 与B 不相似(不满足相似的必要条件).又2(3)E A λλλ-=-，2(1)E B λλλ-=-，A 与B 是同阶实对称矩阵，其秩相等，且有相同的正惯性指数，故A 与B 合同.二、填空题(11)【答案】16-【详解】由洛必达法则，()()2232220001cos 11cos arctan sin 01lim lim lim 0331x x x x x x x x x x x x x →→→--+-+ =+ ()222200011cos 12lim lim cos lim 1331x x x x x x x x x →→→⎛⎫-⎛⎫=⋅-=- ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭16=-(12)【答案】1【详解】 dy dx =()()21sin cos cos t dy dt dx dt t t '+='+cos sin 2sin cos tt t t =-- 把4t π=代入，4dy dx t π==所以法线斜率为1(13)【答案】1(1)2!3n n n n +-【详解】()112323y x x -==++，()()()111111'(1)232(1)1!223y x x x ----'=-⋅+⋅=-⋅⋅⋅+，()()321222''(1)(2)223(1)2!223,,y x x ---=-⋅-⋅⋅+=-⋅⋅+由数学归纳法可知 ()1()(1)2!23,n n n n yn x --=-+把0x =代入得 ()1(1)2!(0)3n n n n n y +-=(14)【答案】32122x x xC e C e e +-【详解】这是二阶常系数非齐次线性微分方程，且函数()f x 是()xm P x eλ型(其中()2,2m P x λ= =).所给方程对应的齐次方程为430y y y '''-+=，它的特征方程为2430,r r -+= 得特征根121,3,r r == 对应齐次方程的通解1231212r x r xx xy C e C e C e C e =+=+由于这里2λ=不是特征方程的根，所以应设该非齐次方程的一个特解为*2,xy Ae =所以()*22xyAe'=，()*24xyAe''=，代入原方程：222244232xx x x AeAe Ae e -⋅+=，则2A =-，所以*22.xy e =- 故得原方程的通解为32122x x x y C e C e e =+-.(15)【答案】''122()y x f f x y-+ 【详解】121221''''x y y z y x f f f f x x x x y ⎛⎫⎛⎫∂∂ ⎪ ⎪∂⎛⎫⎝⎭⎝⎭=⋅+⋅=⋅-+⋅ ⎪∂∂∂⎝⎭，12'x y y z xf f y y y ⎛⎫⎛⎫∂∂ ⎪ ⎪∂⎝⎭⎝⎭'=⋅+⋅=∂∂∂1221''x f f x y ⎛⎫⋅+⋅- ⎪⎝⎭所以 12122211''''z z y x x y x f f y f f x y x y x y ⎡⎤⎡⎤⎛⎫∂∂⎛⎫-=⋅⋅-+⋅-⋅+⋅-⎢⎥ ⎪ ⎪⎢⎥∂∂⎝⎭⎣⎦⎝⎭⎣⎦1212''''y x y x f f f f x y x y ⎛⎫=-⋅+⋅-⋅+⋅ ⎪⎝⎭''122()y x f f x y =-+(16) 【答案】1 【详解】2010001000010*********001000100010000000000000000A ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪⎪ ⎪⎪⎪ ⎪==⎪⎪ ⎪⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭32001001000001000100100000000000010000000000000000A A A ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪⎪ ⎪⎪⎪ ⎪=⋅== ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭由阶梯矩阵的行秩等于列秩，其值等于阶梯形矩阵的非零行的行数，知()3 1.r A =三、解答题.(17)【分析】本题要求函数详解式，已知条件当中关于函数有关的式子只有()10cos sin ()sin cos f x xt tf t dt tdt t t--=+⎰⎰，这是一个带有积分符号的式子，如果想求出函数的详解式，首先要去掉积分符号，即求导.【详解】方程()100cos sin ()sin cos f x xt tf t dt tdt t t--=+⎰⎰两边对x 求导，得 1cos sin [()]()sin cos x x f f x f x xx x --'=+，即cos sin ()sin cos x xxf x x x x-'=+ 当0x ≠时，对上式两边同时除以x ，得cos sin ()sin cos x xf x x x-'=+，所以cos sin (sin cos )()sin cos sin cos x x d x x f x dx x x x x-+==++⎰⎰ln sin cos x x C =++在已知等式中令0x =，得(0)10()0f f t dt -=⎰. 因()f x 是[0,]4π上的单调可导函数，1()f t -的值域为[0,]4π，它是单调非负的，故必有(0)0f =，从而两边对上式取0x +→极限0lim ()(0)0x f x f C +→===于是()ln sin cos f x x x =+，因为[0,]4x π∈，故()ln(sin cos ),[0,]4f x x x x π=+∈.(18)【详解】(I) ()0xaV a xa dx π-∞=⎰0ln xa axd a a π-∞⎛⎫=-⎪⎝⎭⎰ 00[]ln ln x x a a a a xa a dx a a ππ+∞--∞=-+⎰2ln a a π⎛⎫= ⎪⎝⎭ (Ⅱ) ()2[]ln a V a a π⎛⎫''=⎪⎝⎭22412ln 2ln ln a a a aa aπ-=32ln 2ln a a a a π-=()3ln 12ln a a a π-⎛⎫= ⎪⎝⎭令()0V a '=，得ln 1a =，从而a e =. 当1a e <<时，()0V a '<，()V a 单调减少；当a e >时，()0V a '>，()V a 单调增加. 所以a e =时V 最小，最小体积为()2min V a e π=(19)【详解】令y p '=，则y p '''=，原方程化为2()p x p p '+=.两边同时除以p p '，得1x p p p +='将dpp dx'=带入上式，得dx x p dp p -= 按一阶线性方程求导公式，得111ln ()()dpdpdpp Cp p p x epedp C epedp --+⎰⎰⎰=+=⎰⎰[]()p dp C p p C =+=+⎰带入初始条件得0C =，于是 2p x =. 由(1)1y '=知p =，即dydx=解得32123y x C =+，带入初始条件得113C =，所以特解为322133y x =+.(20)【详解】在11y y xe--=中，令0x =，得1y =，即(0)1y =11y y xe --=两边对x 求导，得1()10y y xe -'''-==11()0y y y x e x e --'''⇒--= 110y y y e xe y --''⇒--=(()y y x =是x 的函数，故1y e -是关于x 的复合函数，在求导时要用复合函数求导的法则)()120(*)y y y e -'⇒--= (由11y y xe --=知，11y xe y -=-，把它代入)在(*)中令0x =，由0,1x y ==，得01x y ='=在(*)两边求导，得()2120y y y y ey -''''---=. 令0x =，由0,1,1x y y '===得，02x y =''=因为(ln sin )z f y x =-，令ln sin u y x =-，根据复合函数的求导法则，dz dz u dz u dydx du x du y dx∂∂=⋅+⋅⋅∂∂ (**) 在ln sin u y x =-中把,x y 看成独立的变量，两边关于x 求导，得cos x u x '=- 在ln sin u y x =-中把,x y 看成独立的变量，两边关于y 求导，得1y u y'=把以上两式代入(**)中，1()(cos )()dz f u x f u y dx y'''=⋅-+⋅⋅ 即(ln sin )(cos )dz y f y x x dx y''=-- (***) 把0,1,1x y y '===代入(***)，得01(ln1sin 0)(cos 0)01x dzf dx='=--=在(***)左右两端关于x 求导，22[(ln sin )](cos )(ln sin )(cos )d z y y f y x x f y x x dx y y''''''=--+--根据复合函数的求导法则dz dz u dz u dy dx du x du y dx∂∂=⋅+⋅⋅∂∂，有 [(ln sin )](ln sin )(cos )(ln sin )y f y x f y x x f y x y '''''''-=--+-⋅(ln sin )(cos )y f y x x y'''=-- 22(cos )()(cos )sin y y y y x x x y y y y''''''''-=-=-++ 故 22222(ln sin )(cos )(ln sin )sin d z y y y f y x x f y x x dx y y y ''''⎡⎤'''=--+--++⎢⎥⎣⎦把0,1,1,2x y y y '''====代入上式，得22222112(ln1sin 0)(cos0)(ln1sin 0)sin 0(0)(21)1111d z f f f dx ⎡⎤''''=--+--++=-=⎢⎥⎣⎦(21)【详解】欲证明存在(,)a b ξ∈使得()()f g ξξ''''=，可构造函数((),())0f x g x ϕ=，从而使用介值定理、微分中值定理等证明之.令()()()x f x g x ϕ=-，由题设(),()f x g x 存在相等的最大值，设1(,)x a b ∈，2(,)x a b ∈使得12[.][.]()max ()()max ()a b a b f x f x g x g x ===. 于是111()()()0x f x g x ϕ=-≥，222()()()0x f x g x ϕ=-≤ 若1()0x ϕ=，则取1(,)x a b η=∈有()0ϕη=. 若2()0x ϕ=，则取2(,)x a b η=∈有()0ϕη=.若12()0,()0x x ϕϕ><，则由连续函数介值定理知，存在12(,)x x η∈使()0ϕη=. 不论以上哪种情况，总存在(,),a b η∈使()0ϕη=.再()()()0,()()()0a f a g a b f b g b ϕϕ=-==-=，将()x ϕ在区间[,],[,]a b ηη分别应用罗尔定理，得存在12(,),(,),a b ξηξη∈∈使得12()()0ϕξϕξ''=＝0,；再由罗尔定理知，存在12(,)ξξξ∈，使()0ϕξ''=.即有()()f g ξξ''''=.(22)【详解】记{}1(,)1D x y x y =+≤，{}2(,)12D x y x y =<+≤则12(,)(,)(,)DD D f x y d f x y d f x y d σσσ=+⎰⎰⎰⎰⎰⎰122D D x d σσ=+⎰⎰再记{}1(,)01,0,0x y x y x y σ=≤+≤≥≥，{}2(,)12,0,0x y x y x y σ=≤+≤≥≥由于1D 与2D 都与x 轴对称，也都与y 轴对称，函数2x都是x 的偶函数，也都是y 的偶函数，所以由区域对称性和被积函数的奇偶性有11112220044xD x d x d dx x dy σσσ-==⎰⎰⎰⎰⎰⎰1204(1)x x dx =-⎰12304()x x dx =-⎰13=224.D σσσ=对第二个积分采用极坐标，令cos ,sin x r y r θθ==,02πθ<<.则1x y +=化为1cos sin r θθ=+，2x y +=化为2cos sin r θθ=+，于是，2D σ22cos sin 10cos sin 4d πθθθθθ++=⎰⎰22cos sin 2100cos sin 144cos sin d dr d ππθθθθθθθθ++==+⎰⎰⎰2014)4d πθπθ=-⎰20sec()4d ππθθ=-20sec()tan()44πππθθ⎡⎤=-+-⎢⎥⎣⎦1ln 1⎛⎫=+-- ⎪⎝⎭==+ 所以(,)Df x y d σ⎰⎰12(,)(,)D D f x y d f x y d σσ=+⎰⎰⎰⎰13=++(23)【详解】方法1：因为方程组(1)、(2)有公共解，将方程组联立得1231232123123020(3)4021x x x x x ax x x a x x x x a ++=⎧⎪++=⎪⎨++=⎪⎪++=-⎩对联立方程组的增广矩阵作初等行变换21110120()140121a A b a a ⎛⎫ ⎪⎪= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭211100110112140121a a a ⎛⎫ ⎪- ⎪⨯-+ ⎪ ⎪⎝⎭行（）行 2111001101130310121a a a ⎛⎫ ⎪- ⎪⨯-+ ⎪- ⎪⎝⎭行（）行21110011011403100101a a a ⎛⎫⎪- ⎪⨯-+ ⎪-⎪-⎝⎭行（）行2111000111203100101a a a a ⎛⎫ ⎪--⎪⨯-+ ⎪- ⎪-⎝⎭4行（）行2111001133001330101a a a a a ⎛⎫⎪-- ⎪⨯-+ ⎪--⎪-⎝⎭4行（）行21110101001100133a a a a a ⎛⎫ ⎪-⎪ ⎪-- ⎪--⎝⎭换行111001013--140011000(1)(2)a a a aa a ⎛⎫⎪-⎪⨯+ ⎪--⎪--⎝⎭行（）行由此知，要使此线性方程组有解，a 必须满足(1)(2)0a a --=，即1a =或2a =.当1a =时，()2r A =，联立方程组(3)的同解方程组为12320x x x x ++=⎧⎨=⎩，由()2r A =，方程组有321n r -=-=个自由未知量. 选1x 为自由未知量，取11x =，解得两方程组的公共解为()1,0,1Tk -，其中k 是任意常数.当2a =时, 联立方程组(3)的同解方程组为12323001x x x x x ++=⎧⎪=⎨⎪=-⎩，解得两方程的公共解为()0,1,1T-.方法2：将方程组(1)的系数矩阵A 作初等行变换21111214A a a ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦211111201114a a ⎡⎤⎢⎥⨯-+-⎢⎥⎢⎥⎣⎦行（）行 2111113011031a a ⎡⎤⎢⎥⨯-+-⎢⎥⎢⎥-⎣⎦行（）行1113301100(1)(2)a a a ⎡⎤⎢⎥⨯-+-⎢⎥⎢⎥--⎣⎦2行（）行当1a =时，()2r A =，方程组(1)的同解方程组为12320x x x x ++=⎧⎨=⎩，由()2r A =，方程组有321n r -=-=个自由未知量.选1x 为自由未知量，取11x =，解得(1)的通解为()1,0,1T k -，其中k 是任意常数. 将通解()1,0,1Tk -代入方程(2)得0()0k k ++-=，对任意的k 成立，故当1a =时，()1,0,1Tk -是(1)、(2)的公共解.当2a =时，()2r A =，方程组(1)的同解方程组为123230x x x x x ++=⎧⎨+=⎩，由()2r A =，方程组有321n r -=-=个自由未知量.选2x 为自由未知量，取21x =，解得(1)的通解为()0,1,1Tμ-,其中μ是任意常数. 将通解()0,1,1Tμ-代入方程(2)得21μμ-=，即1μ=，故当2a =时，(1)和(2)的公共解为()0,1,1T-.(24)【详解】(I)由11A αα=，可得 111111()k k k A A A A αααα--====，k 是正整数,故5311(4)B A A E αα=-+531114A A E ααα=-+111142αααα=-+=-于是1α是矩阵B 的特征向量(对应的特征值为12λ'=-).若Ax x λ=，则()(),mmkA x k x A x x λλ==因此对任意多项式()f x ，()()f A x f x λ=，即()f λ是()f A 的特征值.故B 的特征值可以由A 的特征值以及B 与A 的关系得到，A 的特征值11,λ=22,λ=32,λ=- 则B 有特征值112233()2,()1,()1,f f f λλλλλλ'''==-====所以B 的全部特征值为－2，1，1.由A 是实对称矩阵及B 与A 的关系可以知道，B 也是实对称矩阵，属于不同的特征值的特征向量正交. 由前面证明知1α是矩阵B 的属于特征值12λ'=-的特征向量，设B 的属于1的特征向量为123(,,)T x x x ，1α与123(,,)Tx x x 正交，所以有方程如下：1230x x x -+=选23,x x 为自由未知量，取23230,11,0x x x x ====和，于是求得B 的属于1的特征向量为 223(1,0,1),(1,1,0)T Tk αα=-=故B 的所有的特征向量为：对应于12λ'=-的全体特征向量为11k α，其中1k 是非零任意常数，对应于231λλ''==的全体特征向量为2233k k αα+，其中23,k k 是不同时为零的任意常数. ()II 方法1：令矩阵[]123111,,101110P ααα-⎡⎤⎢⎥==-⎢⎥⎢⎥⎣⎦，求逆矩阵1P -.111100101010110001-⎡⎤⎢⎥-⎢⎥⎢⎥⎣⎦11110012012110110001-⎡⎤⎢⎥+-⎢⎥⎢⎥⎣⎦行行 11110013012110021101-⎡⎤⎢⎥+-⎢⎥⎢⎥--⎣⎦行行1111003012110003121-⎡⎤⎢⎥⨯+-⎢⎥⎢⎥⎣⎦行2行 1111011110330121100101/31/32/30011/32/31/30011/32/31/3--⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥÷-⨯---⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦行3行(-2)+2行 1102/32/31/30101/31/32/30011/32/31/3---⎡⎤⎢⎥⨯---⎢⎥⎢⎥⎣⎦3行(-1)+1行1001/31/31/30101/31/32/30011/32/31/3-⎡⎤⎢⎥⨯---⎢⎥⎢⎥⎣⎦2行(-1)+1行1001/31/31/30101/31/32/30011/32/31/3-⎡⎤⎢⎥⨯-⎢⎥⎢⎥⎣⎦2行(-1) 则 1P -1/31/31/311111/31/32/311231/32/31/3121--⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥=-=-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦由1(2,1,1)P BP diag -=-，所以11112001111(2,1,1)1010101123110001121B P diag P ----⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⋅-⋅=--⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦1112220331110111230333110121330----⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥=--=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦⎣⎦011101110-⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥-⎣⎦方法2：由()I 知1α与23,αα分别正交，但是23αα和不正交，现将23,αα正交化：取22331221111,(1,1,0)(,0,)(,1,)2222k βαβαβ==+=+-=.其中，3212222(,)1(1)11(1,0,1)(,0,)(,)(1)(1)1122T k αββββ⨯-=-=--=--⨯-+⨯再对1,α23,ββ单位化：312123123111,1),1,0,1),(,1,)22βαβξξξαββ==-==-===其中，123αββ=====合并成正交矩阵，记0Q ⎡⎢⎥⎥=⎥⎥ 由1(2,1,1)Q BQ diag -=-，有1(2,1,1)B Q diag Q -=⋅-⋅. 又由正交矩阵的性质：1T Q Q -=，得200(2,1,1)00100001TB Q diag Q⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥-⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎥=⋅-⋅=⎢⎥⎢⎥⎥⎢⎥⎣⎦⎥00⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎥=⎢⎥⎥⎢⎥⎥⎢⎥011101110-⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥-⎣⎦.。

数学二2007年考研真题及答案解析

x
F (x) f (t)dt ，则下列结论正确的是： 0
（A） F (3) 3 F (2) 4
(B) F (3) 5 F (2) 4
（C） F (3) 3 F (2)
（D） F (3) 5 F (2)
[]
4
4
（4）设函数 f (x) 在 x 0 处连续，下列命题错误的是：
x0 x
x0
x
[]
（5）曲线 y 1 ln 1 ex 的渐近线的条数为 x
（A）0.
（B）1. （C）2.
（D）3.
[]
（6）设函数 f (x) 在 (0, ) 上具有二阶导数，且 f (x) 0 ，令 un f (n) ，则下列结
论正确的是：
(A) 若 u1 u2 ，则un必收敛. (B) 若 u1 u2 ，则un必发散
（19）（本题满分10分）求微分方程 y(x y2 ) y 满足初始条件 y(1) y(1) 1的特解
—3—
（20）（本题满分11分）已知函数 f (u) 具有二阶导数，且 f (0) 1，函数 y y(x) 由
方程 y xey1 1 所确定，设 z
0 0
0 0
1 0
0 1

，则
A3
的秩为
.

0 0 0 0
三、解答题：17～24小题，共86分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
（17） (本题满分10分)
设
f
(
x)
是区间
0,
4

上单调、可导的函数，且满足
f (x) f 1(t)dt
x
t

2007年中国科学院高等代数考研试题

中国科学院研究生院2007年招收攻读硕士学位研究生入学统一考试试题科目名称：高等代数考生须知：1．本试卷满分为150分，全部考试时间总计180分钟。

2．所有答案必须写在答题纸上，写在试题纸上或草稿纸上一律无效。

1． (10分) 设多项式(),(),()f x g x h x 只有非零常数公因子，证明：存在多项式，使得 (),(),()u x v x w x ()()()()()()1u x f x v x g x w x h x ++=。

2． (10分) 设,,m n p 都是非负整数，证明： 1)++整除。

2(x x 33132()m n p x x x ++++3． (10分) 设A 是n 阶实数矩阵，0A ≠，而且A 的每个元素都和它的代数余子式相等。

证明A 是可逆矩阵。

4． (25分) 计算n 阶行列式2cos 112cos 112cos 112cos 112cos n D ααααα=O OO 5. (20分) 设是齐次线性方程组12,,,n k ααα∈L R 0AX =的基础解系，，,s t ∈R 11211,,,k k k k k s t s t s t 1βααβααβαα−−=+=+=+L 。

试问：应该满足什么关系，使得,s t 11,,,k k βββ−L 是方程组0AX =的基础解系，反之，当11,,,k k βββ−L 是方程组的基础解系时，这个关系必须成立。

0AX =科目名称：高等代数第1页共2页5． (15分) 设A 是实对称矩阵，如果A 是半正定的，则存在实的半正定矩阵B ，使得2A B =。

6． (20分) 已知⎟⎟，试证明对于3n ≥有I 100101010A ⎛⎞⎜=⎜⎜⎟⎝⎠−22n n A A A =+−，并计算100A ，其中I 表示单位矩阵。

7． (20分) 设二次型2342221231213f 22x x x ax x x x =++++bx x +通过正交变换化为标准形22232f y y ，求参数,a b 及所用的正交变换。

2007数学二真题及答案解析

2007—数二真题、标准答案及解析

在区间上图形分别是直径为2的上、下半圆周，设则下列结论正确的
是：（C）
.
(4)设函数f（x）在x=0处连续，下列命题错误的是 (C)
A. 若存在，则 B. 若存在,
C. 若存在, 则 D. 存在,
（5）曲线渐近线的条数为
（D）
0
12
3
(6)设函数在上具有二阶导数，且,
令=
则下列结论正确的是
(D)
A.若，则必收敛 B. 若，则必发散
则原式可化为：等式两边同时求导得：
（18）（本题满分11分）设D是位于曲线下方、轴上方的无界区域. （Ⅰ）求区域D绕轴旋转一周所成旋转体的体积；（Ⅱ）当为何值时，最小？并求此最小值. 【详解】：
得故即是唯一驻点，也是最小值点，最小值（19）求微分方程满足初始条件的特解. 【详解】：设，则代入得：
C. 若，则必收敛 D. 若，则必发散
（7）二元函数在点（0，0）处可微的一个充分条件是（）
A.
B. ，且
C.
D. 且
（8）设函数连续，则二次积分等于（）
（9）设向量组线形无关，则下列向量组线形相关的是： ( )
（A）（B）
（C）（D）
（10）设矩阵A=，B=,则A于B，
（）
(A) 合同，且相似
C. 若，则必收敛 D. 若，则必发散
（7）二元函数在点（0，0）处可微的一个充分条件是（c）
A.
B. ，且
C.
D. 且
（8）设函数连续，则二次积分等于（B）
（9）设向量组线形无关，则下列向量组线形相关的是： (A)
（A）（B）
（C）（D）
（10）设矩阵A=，B=,则A于B，

2007年全国硕士研究生入学统一考试数学一真题及答案

2007年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题一、选择题：110:小题，每小题4分，共40分，下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸指定位置上.（1）当0x +→）A.1-B1C.1D -【答案】(B)【考点】等价无穷小【难易度】★★【详解】解析：方法1：排斥法：由几个常见的等价无穷小，当0x +→0→，所以1(1-::211,2-:可以排除A 、C 、D ，所以选（B ）. 方法2：==ln 1⎛⎫+ ⎝ 当0x +→时，11→0→，又因为0x →时，()ln 1x x +:，所以)ln 1~~1~x ⎛= ⎝B ）.方法3：0lim x +→00lim x x →→'洛1lim lim 1x x ++→→==1A x=+(()111A B x x ++=- 对应系数相等得：1A B = =，所以原式00lim lim 1x x x ++→→⎡⎤==+⎢+⎣0lim lim 011x x x ++→→=+=++1=，选（B ）.（2）曲线1ln(1)x y e x=++渐近线的条数为（） .A 0 .B 1 .C 2 .D 3【答案】( D)【考点】函数图形的渐近线【难易度】★★★【详解】解析：001lim lim ln(1)x x x y e x →→⎛⎫=++⎪⎝⎭=∞，所以0x =是一条铅直渐近线；1lim lim ln(1)x x x y e x →-∞→-∞⎛⎫=++ ⎪⎝⎭1lim lim ln(1)000x x x e x →-∞→-∞=++=+=，所以0y =是沿x →-∞方向的一条水平渐近线；令21ln(1)1ln(1)lim lim lim x x x x x e y e x a x x x x →+∞→+∞→+∞++⎛⎫+===+ ⎪⎝⎭21ln(1)lim lim x x x e x x →+∞→+∞+=+ln(1)0lim x x e x →+∞+=+1lim 11xx x e e →+∞+ =洛必达法则令()1lim lim ln(1)x x x b y a x e x x →+∞→+∞⎛⎫=-⋅=++- ⎪⎝⎭()()1limlim ln(1)0lim ln(1)x x x x x e x e x x →+∞→+∞→+∞=++-=++- ()1ln lim ln(1)ln lim ln()xxxxx x x e x e e e e→+∞→+∞+ = +-=lim ln(1)ln10x x e -→+∞=+==所以y ax b x =+=是曲线的斜渐近线，所以共有3条，选择（D ）（3）如下图，连续函数()y f x =在区间[][]3,2,2,3--上的图形分别是直径为1的上、下半圆周，在区间[][]2,0,0,2-上图形分别是直径为2的上、下半圆周，设0()(),xF x f t dt =⎰则下列结论正确的是（）.A (3)F 3(2)4F =-- .B (3)F 5(2)4F = .C (3)F - 3(2)4F = .D (3)F -5(2)4F =--【答案】( C)【考点】定积分的概念、定积分的基本性质，积分上限的函数及其导数【难易度】★★★【详解】解析：由题给条件知，()f x 为x 的奇函数，则()()f x f x -=-，由0()(),xF x f t dt =⎰知()()()()()()()()xx xF x f t dt t u f u d u f u f u f u du F x --= =- -- -=- =⎰⎰⎰，故()F x 为x 的偶函数，所以(3)(3).F F -=而2(2)()F f t dt =⎰表示半径1R =的半圆的面积，所以22(2)()22R F f t dt ππ===⎰，32302(3)()()()F f t dt f t dt f t dt ==+⎰⎰⎰，其中32()f t dt ⎰表示半径12r =的半圆的面积的负值，所以22321()2228r f t dt πππ⎛⎫=-=-⋅=- ⎪⎝⎭⎰所以3232333(3)()()()(2)288424F f t dt f t dt f t dt F ππππ==+=-==⋅=⎰⎰⎰ 所以3(3)(3)(2)4F F F -==，选择( C)（4）设函数()f x 在0x =处连续，则下列命题错误的是（）.A 若0()limx f x x →存在，则(0)0f = .B 若0()()lim x f x f x x →+-存在，则(0)0f =.C 若0()lim x f x x →存在，则(0)f '存在 .D 若0()()lim x f x f x x→--存在，则(0)f '存在【答案】( D)【考点】极限的四则运算，函数连续的概念，导数的概念【难易度】★★【详解】解析：方法1:论证法，证明..A B C 都正确，从而只有.D 不正确。

2007考研数学一真题解析

2007年全国硕士研究生入学统一考试数学(一)试卷一、选择题(本题共10小题,每小题4 分,满分40分,在每小题给的四个选项中,只有一项符合题目要求,把所选项前的字母填在题后括号内)(1)当0x +→时,(A)1−(B)ln1(D)1−【考点分析】：等价无穷小的定义和常用的等价无穷小【求解过程】：◼ 方法一：利用等价无穷小0x +→时，()11~−=−−()12111~=+−2111~22x −=，(ln 1~=+◼ 方法二：可用洛必达法则和等价无穷小的定义来求解验证极限,,lim x A B C D +→是否等于1，其中(),,A B C D 表示A ，B ，C ，D 四个选项中的式子。

故选B【基础回顾】：下面，我们就无穷小之比的极限存在或为无穷大时。

来说明两个无穷小之间的比较。

应当注意，下面的α及β都是在同一个自变量的变化过程中的无穷小，且0α≠，lim βα也是在这个变化过程中的极限。

定义：如果lim0βα=就说β是比α高阶的无穷小，记作()o βα=；如果lim βα=∞，就说β是比α低阶的无穷小。

如果lim 0c βα=≠，就说β与α是同阶无穷小；如果lim 0,0k c k βα=≠>，就说β是关于α的k 阶无穷小。

如果lim1βα=，就说β与α是等价无穷小，记作αβ。

显然，等价无穷小是同阶无穷小的特殊情形，即1c =的情形。

常用等价无穷小，当0x →时，1~ln(1)~sin ~tan ~xe x x x x −+()11~x x αα+−， 211cos ~2x x −(2)曲线()1ln 1x y e x=++,渐近线的条数为 (A)0 (B)1 (C)2 (D)3 【考点分析】：曲线的渐近线（水平、垂直、斜渐近线）的条数【求解过程】：计算垂直渐近线：求函数在其不连续点0x x =处的极限，若为∞则存在垂直渐近线0x x =函数只有间断点0x =，()001lim lim ln 1x x x y e x →→=++=∞⎪⎝⎭，故存在垂直渐近线0x =计算水平渐近线：求函数在,x x →+∞→−∞时的极限a ，若a 存在，则有水平渐近线y a =()1lim lim ln 10x x x y e x →−∞→−∞⎛⎫=++= ⎪⎝⎭，故存在水平渐近线0y = 计算斜渐近线：求yx在,x x →+∞→−∞时的极限a ，若a 存在，且0a ≠，求出y ax −在相应处的极限b ，则有斜渐近线y ax b =+()2ln 11lim lim 0lim 11x xx x x x e y e x x x e→+∞→+∞→+∞⎛⎫+ ⎪=+=+= ⎪+⎝⎭()()111lim lim ln 1lim ln 0x xx x x x e y x e x x x e →+∞→+∞→+∞⎛⎫⎛⎫+⎛⎫−=++−=+= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭故存在斜渐近线y x = 选D 。

中科院高等数学(甲)历年考研真题及答案

方程的通解。
八、(本题满分 10 分) 在曲线 x2 + y2 = 1上找一个位于第一象限的点，使得该曲线在该点 4
处的切线与该曲线、以及 x 轴和 y 轴所围成的图形面积最小，并求此最小面积。
∫∫ 九、(本题满分 10 分) 证明： π (R2 − r2 ) ≤
dσ
≤ π (R2 − r2) ，其中
科目名称：高等数学（甲）
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则
。
A. x0 不是 f ( x) ⋅ g( x) 的驻点
B. x0 是 f ( x) ⋅ g( x) 的驻点，但不是 f ( x) ⋅ g( x) 的极值点
科目名称：高等数学（甲）
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C. x0 是 f ( x) ⋅ g( x) 的驻点，且是它的极小值点 D. x0 是 f ( x) ⋅ g( x) 的驻点，且是它的极大值点 3. 已知连续函数 f (x) 满足 f (x) = f (2a − x) (a ≠ 0) ， c 为任意常数，则
0
0
五、(本题满分 10 分) 若 u = f (xyz), f (0) = 0, f ′(1) = 1，且 ∂3u = x2 y2 z2 f ′′′(xyz) ， ∂x∂y∂z
求函数 u。
六、(本题满分 10 分) 设 L 是分段光滑的简单闭曲线，且点 (2, 0), (−2, 0) 均在闭曲线 L 所
则ϕ′(0) = （
）。
∫ 3.
dx =（
1+ 3 x + 2
）。
4. 微分方程 x2 y′ + xy = y2 的满足 y(1) = 2 的解为（
）。
5. 设 Σ 是曲面 x2 + y2 + z2 = a2 的外侧，cosα , cos β , cos γ 是其外法线向量的方向余弦，

2007年中科院研究生院数分试题及解答

2007年中国科学院研究生院入学考试数学分析试题及解答1. 求幂级数2012!nn n n x n ∞=+∑的收敛域，并求和解：取收敛半径为R ，设212!nn nn a R n +=，取临界状态，则有 ()()()2112121!lim 1lim 112!n n n n n nn n a R a n n ++→∞→∞++=⇒==+∞⎡⎤++⎣⎦从而知收敛域为(),-∞+∞，取2xy =，可知2211000000111112!!!!!!n n n n n y n ynn n n n n n n n n n y x y y y e y y e y n n n n n n +∞∞∞∞∞∞+======'⎛⎫++++==+=+=+ ⎪⎝⎭∑∑∑∑∑∑()()422011!24x n yy y y n y x x e y y e y ye e y y e n ∞='⎛⎫⎛⎫⎛⎫'=+=+=++=++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭∑2．讨论积分sin 0sin 2x pe xdx x+∞⎰的绝对收敛和条件收敛解：取sin 0sin 2x p e x dx x +∞⎰=sin sin 11201sin 2sin 2x x p pe x e x dx dx I I x x +∞+=+⎰⎰ 当0p ≤时，由于sin 222222sin 2sin 210xn n p n n e x dx xdx xππππππ++≥=>⎰⎰，从而由Cauchy 收敛准则知，此时sin 0sin 2x pe xdx x +∞⎰发散当0p >时，由于()sin 1sin 2200x p p e xx x x-→+，当且仅当2p <，积分1I 收敛，又因为()sin sin sin sin1211112sin cos sin 2sin122x x x p pp x e x e x I d e e dx p dx x x x +∞+∞+∞+==--+⎰⎰⎰，其中1p x在[)1,+∞单调减，当x →+∞时趋于零；1A ∀>，有sin 1cos 2Ax e xdx e ≤⎰根据Dirichlet 收敛准则，是sin 1cos x p e x dx x +∞⎰收敛，而sin 1111sin xp p e x dx edx e x x p+∞+∞++≤=⎰⎰，故sin 1sin x p e x dx x +∞⎰收敛，从而当且仅当02p <<时，积分sin 0sin 2xpe xdx x +∞⎰收敛，又有(]0,1p ∈时，有()()()sin sin 11011sin 2sin 2sin 2111lim lim sin 21x x n nk k ppk kn n k k e xe xx dx dx dx x dxxxe x e k ππππππ+∞+∞++→+∞→+∞==≥≥≥+∑∑⎰⎰⎰⎰111lim 1n n k e k π→+∞===+∞+∑，因此，此时sin 0sin 2x pe x dx x +∞⎰条件收敛，当()1,2p ∈时，显然积分sin 0sin 2x pe xdx x +∞⎰绝对收敛3．计算曲面积分()22yzdydz xz ydzdx xydxdy ∑+++⎰⎰，其中∑为曲面224y x z -=+在xoz 平面的的右侧部分的外侧。

2007年数学考研真题及解析

2007年考研数学一真题一、选择题（本题共10小题，每小题4分，满分40分，在每小题给的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后括号内）（1）当0x +→时，与x 等价的无穷小量是 ( ) A. 1xe- B.1ln1xx+- C. 11x +- D.1cos x -(2) 曲线y=1ln(1x e x++), 渐近线的条数为 ( ) A.0 B.1 C.2 D.3(3)如图，连续函数y=f(x)在区间[-3，-2]，[2，3]上的图形分别是直径为1的上、下半圆周，在区间[-2，0]，[0，2]的图形分别是直径为2的上、下半圆周，设F(x)=0()xf t dt ⎰.则下列结论正确的是 ( ) A. F(3)=3(2)4F -- B. F(3)=5(2)4F C. F(3)=3(2)4F + D. F(3)= 5(2)4F --(4)设函数f （x ）在x=0处连续，下列命题错误的是 ( )A. 若0()limx f x x →存在，则f （0）=0 B. 若0()()lim x f x f x x→+- 存在，则f （0）=0C. 若0()lim x f x x → 存在，则'(0)f =0D. 若0()()lim x f x f x x→-- 存在，则'(0)f =0(5)设函数f （x ）在（0, +∞）上具有二阶导数，且"()f x o >, 令n u =f(n)=1,2,…..n, 则下列结论正确的是 ( )A.若12u u >，则{n u }必收敛B. 若12u u >，则{n u }必发散C. 若12u u <，则{n u }必收敛D. 若12u u <，则{n u }必发散(6)设曲线L ：f(x, y) = 1 (f(x, y)具有一阶连续偏导数），过第Ⅱ象限内的点M 和第Ⅳ象限内的点N,T 为L 上从点M 到N 的一段弧，则下列小于零的是 ( ) A.(,)rx y dx ⎰ B. (,)rf x y dy ⎰C.(,)rf x y ds ⎰D.'(,)'(,)x y rf x y dx f x y dy +⎰（7）设向量组1α，2α，3α线形无关，则下列向量组线形相关的是： ( ) （A ）,,122331αααααα--- （B ） ,,122331αααααα+++（C ） 1223312,2,2αααααα--- （D ）1223312,2,2αααααα+++（8）设矩阵A=211121112--⎛⎫ ⎪-- ⎪ ⎪--⎝⎭，B=100010000⎛⎫ ⎪⎪ ⎪⎝⎭，则A 于B ( )(A) 合同，且相似(B) 合同，但不相似 (C) 不合同，但相似(D)既不合同，也不相似（9）某人向同一目标独立重复射击，每次射击命中目标的概率为p ()01p <<，则此人第4次射击恰好第2次命中目标的概率为： ( ) （A ）23(1)p p - (B)26(1)p p - (C) 223(1)p p -(D) 226(1)p p -(10) 设随即变量（X ，Y ）服从二维正态分布，且X 与Y 不相关，()X f x ，()Y f y 分别表示X ，Y 的概率密度，则在Y ＝y 的条件下，X 的条件概率密度|(|)X Yf x y 为 ( )（A ）()X f x(B) ()Y f y(C) ()X f x ()Y f y(D)()()X Y f x f y 二．填空题：11－16小题，每小题4分，共24分，请将答案写在答题纸指定位置上（11）31211x e dx x⎰＝_______. （12）设(,)f u v 为二元可微函数，(,)y xz f x y =，则zx∂∂＝______. (13)二阶常系数非齐次线性方程2''4'32x y y y e -+=的通解为y ＝____________. (14)设曲面∑：||||||1x y z ++=，则(||)x y ds ∑+⎰⎰＝_____________.(15)设矩阵A ＝0100001000010000⎛⎫ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎝⎭，则3A 的秩为________. （16）在区间（0，1）中随机地取两个数，则这两个数之差的绝对值小于12的概率为________. 三．解答题：17~24小题，共86分.请将解答写在答题纸指定的位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.222222(,)2{(,)4,0}f x y x y x y D x y x y y =+-=+≤≥(17)（本题满分11分）求函数在区域上的最大值和最小值。

2007考研数学二真题及答案

2007考研数学二真题及答案一．选择题〔此题共10小题，每题4分，总分值40分，在每题给的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后括号内〕（1）当0x +→〔B 〕A. 1-ln1D.1-〔2〕函数11()tan ()()xxe e xf x x e e +=-在区间[],ππ-上的第一类连续点是x =(A)A. 0B. 1C. 2π-D.2π 〔3〕如图.连续函数()y f x =在区间[][]3,2,2,3--上的图形分别是直径为1的上、下半圆周，在区间[][]2,0,0,2-上图形分别是直径为2的上、下半圆周，设0()(),xF x f t dt =⎰那么以下结论正确的选项是：〔C 〕.A .(3)F 3(2)4F =-- .B (3)F 5(2)4F = .C (3)F - 3(2)4F =- .D (3)F -5(2)4F =--(4)设函数f 〔x 〕在x=0处连续，以下命题错误的选项是 (C)A. 假设0()limx f x x →存在，那么(0)0f = B. 假设0()()lim x f x f x x→+-存在, (0)0f =C. 假设0()lim x f x x →存在, 那么(0)0f '=D. 0()()lim x f x f x x→--存在, (0)0f =〔5〕曲线1ln(1),xy e x=++渐近线的条数为〔D 〕.A 0 .B 1 .C 2 .D 3(6)设函数()f x 在(0,)+∞上具有二阶导数，且"()0f x >, 令n u = ()1,2.......,,f n n = 那么以下结论正确的选项是 (D)A.假设12u u >，那么{}n u 必收敛B. 假设12u u >，那么{}n u 必发散C. 假设12u u <，那么{}n u 必收敛D. 假设12u u <，那么{}n u 必发散〔7〕二元函数(,)f x y 在点〔0，0〕处可微的一个充分条件是〔B 〕 A.()()()(),0,0lim,0,00x y f x y f →-=⎡⎤⎣⎦B. ()()0,00,0lim 0x f x f x →-=，且()()00,0,0lim 0y f y f y→-=C.()(,0,0,00,0lim0x y f x f →-=D. ()0lim ',0'(0,0)0,x x x f x f →-=⎡⎤⎣⎦且()0lim ',0'(0,0)0,y y y f x f →⎡⎤-=⎣⎦〔8〕设函数(,)f x y 连续，那么二次积分1sin 2(,)x dx f x y dy ππ⎰⎰等于〔B 〕.A10arcsin (,)y dy f x y dx ππ+⎰⎰ .B 10arcsin (,)y dy f x y dy ππ-⎰⎰.C 1arcsin 02(,)y dy f x y dx ππ+⎰⎰ .D 1arcsin 02(,)y dy f x y dx ππ-⎰⎰〔9〕设向量组123,,ααα线形无关，那么以下向量组线形相关的是： (A) 〔A 〕 ,,122331αααααα--- 〔B 〕 ,,122331αααααα+++ 〔C 〕 1223312,2,2αααααα--- 〔D 〕1223312,2,2αααααα+++〔10〕设矩阵A=211121112--⎛⎫ ⎪-- ⎪ ⎪--⎝⎭，B=100010000⎛⎫ ⎪⎪ ⎪⎝⎭,那么A 于B ，〔B 〕(A) 合同，且相似 (B) 合同，但不相似(C) 不合同，但相似 (D)既不合同，也不相似二．填空题：11－16小题，每题4分，共24分，请将答案写在答题纸指定位置上(11)30arctan sin limx x x x →-=16. (12)曲线2cos cos 1sin x t t y t⎧=+⎨=+⎩上对应于4t π=1〕.(13)设函数123y x =+，那么()0ny ＝23n -⋅.(14)二阶常系数非齐次线性微分方程2''4'32x y y y e -+=的通解y ＝_32122x x x C e C e e +-. (15)设(,)f u v 是二元可微函数，(,)y x z f x y=,那么1222(,)(,)z z y y x x y x xy f f x y x x y y x y∂∂''-=-+∂∂.(16)设矩阵0100001000010000A ⎛⎫ ⎪⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，那么3A 的秩为_1______. 三、解答题：17－24小题，共86分.请将解答写在答题纸指定的位置上.解容许写出文字说明、证明过程或演算步骤. 〔17〕设()f x 是区间0,4π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调、可导函数，且满足()100cos sin ()sin cos f x x t t f t dt t dt t t --=+⎰⎰，其中1f-是f 的反函数，求()f x .【详解】：设(),y f t =那么1()t f y -=.那么原式可化为：1(0)0cos sin '()sin cos xxf t t yf y dy tdt t t--=+⎰⎰ 等式两边同时求导得：cos sin '()sin cos x xxf x x x x-=+cos sin '()sin cos x xf x x x-=+〔18〕〔此题总分值11分〕设D是位于曲线y =- ()1,0a x >≤<+∞下方、x 轴上方的无界区域.〔Ⅰ〕求区域D 绕x 轴旋转一周所成旋转体的体积()V a ；〔Ⅱ〕当a 为何值时，()V a 最小？并求此最小值. 【详解】：22222()())(ln )xa a I V a y dx dx a πππ-+∞+∞===⎰⎰ 22412(ln )(2ln )2()()0(ln )a a a a II V a a π-'=⋅= 得ln (ln 1)0a a -=故ln 1a =即a e =是唯一驻点，也是最小值点，最小值2()V e eπ=〔19〕求微分方程()2''''y x y y +=满足初始条件(1)'(1)1y y ==的特解.【详解】：设dy p y dx '==，那么dpy dx''=代入得：22()dp dx x p x x p p p dx dp p p++=⇒==+设x u p = 那么()d pu u p dp =+du u p u p dp ⇒+=+1dudp⇒=1u p c ⇒=+ 即21x p c p =+ 由于(1)1y '= 故11110c c =+⇒=即2x p =32223dy p y x c dx ⇒==⇒=±+ 由21(1)13y c =⇒=或253c = 特解为322133y x =+或322533y x =-+〔20〕函数()f a 具有二阶导数，且'(0)f ＝1，函数()y y x =由方程11y y xe --=所确定.设(ln sin ),z f y x =-求0x dzdx=，202x d zdx =.【详解】： 11y y xe--=两边对x 求导得11()0y y y e xe y --''-+⋅=得 111y y e y xe --'=- 〔当01)x y ==，故有11121x e y -='==-1(ln sin )(cos )(0)(111)0x x dz f y x y x f dxy=='''=--=⨯-=222221()(ln sin )(cos )(ln sin )(sin )x x d z y f y x y x f y x x dxy y=='''''=--+--+221(0)(111)(0)(10)1(1)11f f -'''=⨯-+⨯+=⨯-=- (21)〔此题11分〕设函数(),()f x g x 在[,]a b 上连续，在(,)a b 内具有二阶导数且存在相等的最大值，()(),()()f a g a f b g b ==证明：存在(,)a b ξ∈，使得''''()()f g ξξ=. 【详解】：证明：设(),()f x g x 在(,)a b 内某点(,)c a b ∈同时取得最大值，那么()()f c g c =，此时的c 就是所求点()()f g ηηη=使得.假设两个函数取得最大值的点不同那么有设()max (),()max ()f c f x g d g x ==故有()()0,()()0f c g c g d f d ->-<，由介值定理，在(,)c d 内肯定存在()()f g ηηη=使得由罗尔定理在区间(,),(,)a b ηη内分别存在一点''1212,,()()f f ξξξξ使得＝＝0在区间12(,)ξξ内再用罗尔定理，即''''(,)()()a b f g ξξξ∈=存在，使得.〔22〕〔此题总分值11分〕设二元函数2.1.(,)12.x x y f x y x y ⎧+≤⎪=≤+≤计算二重积分(,).Df x y d σ⎰⎰其中{}(,)2D x y x y =+≤【详解】：D 如图〔1〕所示，它关于x,y 轴对称，(,)f x y 对x,y 均为偶函数，得1(,)4(,)DD f x y d f x y d σσ=⎰⎰⎰⎰，其中1D 是D 的第一象限局部.由于被积函数分块表示，将1D 分成〔如图〔2〕〕：11112D D D =,且(1)(2)1112:1,0,0 :12,0,0D x y x y D x y x y +≤≥≥≤+≤≥≥于是11212(,)(,)(,)D D D f x y d f x y d f x y d σσσ=+⎰⎰⎰⎰⎰⎰.而111112200111(,)(1)3412xD f x y d dx x dy x x dx σ-==-=-=⎰⎰⎰⎰⎰121222cos sin 10cos sin 1(,)()D D f x y d d rdr rπθθθθσσθ++==⋅⎰⎰⎰⎰极坐标变换2200221122200021112001cos sin cos sin 2sin cos222(tan )222122(1)1tan 2tan22221)u td d d du du u u u dt dt t πππθθθθθθθθθθθ-===+-+===-+---+==+-===⎰⎰⎰⎰⎰⎰ 所以11(,)1)12D f x y d σ=+⎰⎰得1(,)4(1))12Df x y d σ=+⎰⎰(23)〔此题总分值11分〕设线性方程组1231232123020(1)40x x x x x ax x x a x ⎧++=⎪++=⎨⎪++=⎩与方程12321(2)x x x a ++=-有公共解，求a 的值及所有公共解. 【详解】：因为方程组(1)、(2)有公共解，即由方程组(1)、(2)组成的方程组1231232123123020(3)4021x x x x x ax x x a x x x x a ++=⎧⎪++=⎪⎨++=⎪⎪++=-⎩的解.即矩阵211100201401211aa a ⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭211100110001000340a a a ⎛⎫ ⎪- ⎪→ ⎪- ⎪ ⎪++⎝⎭方程组(3)有解的充要条件为 1,2a a ==.当1a =时，方程组(3)等价于方程组(1)即此时的公共解为方程组(1)的解.解方程组(1)的根底解系为(1,0,1)T ξ=-此时的公共解为：,1,2,x k k ξ==当2a =时，方程组(3)的系数矩阵为11101110122001101440000111110000⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎪ ⎪→ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭此时方程组(3)的解为1230,1,1x x x ===-，即公共解为：(0,1,1)Tk -(24)设3阶对称矩阵A 的特征向量值1231,2,2,λλλ===-1(1,1,1)T α=-是A 的属于1λ的一个特征向量,记534B A A E =-+其中E 为3阶单位矩阵()I 验证1α是矩阵B 的特征向量,并求B 的全部特征值的特征向量； ()II 求矩阵B .【详解】：〔Ⅰ〕可以很容易验证111(1,2,3...)n n A n αλα==，于是 5353111111(4)(41)2B A A E ααλλαα=-+=-+=- 于是1α是矩阵B 的特征向量.B 的特征值可以由A 的特征值以及B 与A 的关系得到，即 53()()4()1B A A λλλ=-+，所以B 的全部特征值为－2，1，1.前面已经求得1α为B 的属于－2的特征值，而A 为实对称矩阵，于是根据B 与A 的关系可以知道B 也是实对称矩阵，于是属于不同的特征值的特征向量正交，设B 的属于1的特征向量为123(,,)T x x x ，所以有方程如下：1230x x x -+=于是求得B 的属于1的特征向量为23(1,0,1),(1,1,0)T T αα=-=〔Ⅱ〕令矩阵[]123111,,101110P ααα-⎡⎤⎢⎥==-⎢⎥⎢⎥⎣⎦，那么1(2,1,1)P BP diag -=-，所以 1111333111112(2,1,1)101(2,1,1)333110121333B P diag P diag -⎡⎤-⎢⎥-⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⋅-⋅=---⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎢⎥⎢⎥⎣⎦011101110-⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥-⎣⎦。

2007考研数学一真题及答案

2007考研数学一真题及答案一、选择题（110小题，每小题4分，共40分。

下列每题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的。

）(1)当时，与等价的无穷小量是(A) (B)(C) (D)【答案】B。

【解析】时几个不同阶的无穷小量的代数和，其阶数由其中阶数最低的项来决定。

综上所述，本题正确答案是B。

【考点】高等数学—函数、极限、连续—无穷小量的性质及无穷小量的比较(2)曲线渐近线的条数为(A)0 (B)1(C)2 (D)3【答案】D。

【解析】由于，则是曲线的垂直渐近线；又所以是曲线的水平渐近线；斜渐近线：由于一侧有水平渐近线，则斜渐近线只可能出现在一侧。

则曲线有斜渐近线，故该曲线有三条渐近线。

综上所述，本题正确答案是D。

【考点】高等数学—一元函数微分学—函数图形的凹凸性、拐点及渐近线(3)如图，连续函数在区间上的图形分别是直径为1的上、下半圆周，在区间上的图形分别是直径为2的下、上半圆周，设,则下列结论正确的是(A)(B)(C)(D)【答案】C。

【解析】【方法一】四个选项中出现的在四个点上的函数值可根据定积分的几何意义确定则【方法二】由定积分几何意义知,排除(B)又由的图形可知的奇函数，则为偶函数，从而-3 -2 -1 0 1 2 3显然排除(A)和(D),故选(C)。

综上所述，本题正确答案是C。

【考点】高等数学—一元函数积分学—定积分的概念和基本性质，定积分的应用(4)设函数在处连续，下列命题错误．．的是(A)若存在，则(B)若存在，则(C) 若存在，则存在(D) 若存在，则存在【答案】D。

【解析】(A)：若存在，因为,则,又已知函数在处连续，所以,故,(A)正确；(B)：若存在，则,则，故(B)正确。

(C)存在，知，则则存在，故(C)正确(D)存在，不能说明存在例如在处连续，存在，但是不存在，故命题(D)不正确。

综上所述，本题正确答案是D。

【考点】高等数学—一元函数微分学—导数和微分的概念(5)设函数在内具有二阶导数，且,令,则下列结论正确的是(A)若,则必收敛 (B)若,则必发散(C)若,则必收敛 (D)若,则必发散【答案】D。

2007年中科院成都山地灾害与环境研究所高等数学(乙)考研真题

中国科学院研究生院2007年招收攻读硕士学位研究生入学统一考试试题科目名称：高等数学（乙）考生须知：1．本试卷满分为150分，全部考试时间总计180分钟。

2．所有答案必须写在答题纸上，写在试题纸上或草稿纸上一律无效。

一、填空题 (本题满分30分，每个空格6分。

请将你的答案标清题号写在考场发的答题纸上，直接填在试题空格内无效。

)1. 220arctan limsin 2(3)x x x x x →⋅+=（）。

2. 设是由所确定的函数，()y y x =210y x t x e dt +−−∫=(0)1y =，则x dydx==（）。

3. 设(,,)u v w ϕ有一阶连续偏导数，(,)z z x y =是由(,,)bz cy cx az ay bx 0ϕ−−−=确定的函数，则z zab x y∂∂+∂∂=（）。

4. 已知()f x 在点的某个邻域内可展成泰勒级数，且0x =211f n n⎛⎞=⎜⎟⎝⎠，，则（）。

1,2,n =L (0)f ′′=5. 微分方程的通解是（）。

23tan (1)sec 0x x e ydx e ydy +−=二、选择题 (本题满分30分，每小题6分。

请从题目所列的选项中选择一个正确项填充空格。

每题的四个备选项中只有一个是正确的，不选、错选或多选均不得分。

请将你的选择标清题号写在考场发的答题纸上，直接填写在试题上无效。

) 1. 设，2,1(),1x x f x a x <⎧=⎨≥⎩,0()3,0b x g x x x <⎧=⎨+≥⎩，()()f x g x +在(,)−∞+∞内连续，则a , b 的值为。

A ． B. C ．1,2a b ==1,2a b =−=2,3a b == D.2,3a b =−=2. 设()f x 和都在()g x 0x 处二阶可导，且0000()()0,()()0f x g x f x g x ′′==⋅>，则。