2016-2017学年广东省湛江市高一(上)期末数学试卷

2016-2017学年广东省湛江市高一（上）期末数学试卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．请把正确答案的代号填入下面的表格内．1．（5.00分）设集合U={﹣1，﹣2，﹣3，﹣4，0}，集合A={﹣1，﹣2，0}，集合B={﹣3，﹣4，0}则（∁U A）∩B=（）A．{﹣3，﹣4}B．{﹣1，﹣2}C．{0}D．∅2．（5.00分）直线x+3y+3=0的斜率是（）A．﹣3 B．C．D．33．（5.00分）用一个平面去截一个几何体，得到的截面是四边形，这个几何体可能是（）A．圆锥B．圆柱C．球体D．以上都有可能4．（5.00分）设函数f（x）=，则f（f（2））=（）A．1 B．2 C．3 D．45．（5.00分）在同一直角坐标系中，表示直线y=ax与y=x+a正确的是（）A．B．C．D．6．（5.00分）经过点A（﹣1，4）且在x轴上的截距为3的直线方程是（）A．x+y+3=0 B．x﹣y+5=0 C．x+y﹣3=0 D．x+y﹣5=07．（5.00分）有一个几何体的三视图如图所示，这个几何体应是一个（）A．棱台B．棱锥C．棱柱D．正四面体8．（5.00分）已知a=0.993，b=log20.6，c=log3π，则（）A．c＜a＜b B．b＜c＜a C．a＜b＜c D．b＜a＜c9．（5.00分）若x，y∈R，且f（x+y）=f（x）+f（y），则函数f（x）（）A．f（0）=0且f（x）为偶函数B．f（0）=0且f（x）为奇函数C．f（x）为增函数且为奇函数D．f（x）为增函数且为偶函数10．（5.00分）设m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，下列命题正确的是（）A．m⊥α，n⊥β，且α⊥β，则m⊥n B．m∥α，n∥β，且α∥β，则m∥n C．m⊥α，n⊂β，m⊥n，则α⊥βD．m⊂α，n⊂α，m∥β，n∥β，则α∥β11．（5.00分）（理）已知函数的图象与函数y=log a x（a＞0且a≠1）的图象交于点P（x0，y0），如果x0≥2，那么a的取值范围是（）A．[2，+∞）B．[4，+∞）C．[8，+∞）D．[16，+∞）12．（5.00分）如图，周长为1的圆的圆心C在y轴上，一动点M从圆上的点A （0，1）开始按逆时针方向绕圆运动一周，记走过的弧长为x，直线AM与x轴交于点N（t，0），则函数t=f（x）的图象大致为（）A．B．C．D．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，满分20分．13．（5.00分）空间两点A（2，5，4）、B（﹣2，3，5）之间的距离等于．14．（5.00分）已知f（x﹣1）=2x2﹣8x+11，则函数f（x）的解析式为．15．（5.00分）已知函数f（x）=x2﹣|x|+a﹣1有四个零点，则a的取值范围是．16．（5.00分）已知点p（x，y）是直线kx+y+4=0（k＞0）上一动点，PA、PB是圆C：x2+y2﹣2y=0的两条切线，A、B是切点，若四边形PACB的最小面积是2，则k的值为．三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（10.00分）计算：．18．（12.00分）已知直线l的方程为2x﹣y+1=0（Ⅰ）求过点A（3，2），且与直线l垂直的直线l1方程；（Ⅱ）求与直线l平行，且到点P（3，0）的距离为的直线l2的方程．19．（12.00分）光线通过一块玻璃，其强度要损失10%，把几块这样的玻璃重叠起来，设光线原来的强度为a，通过x块玻璃后强度为y．（1）写出y关于x的函数关系式；（2）通过多少块玻璃后，光线强度减弱到原来的以下？（lg3≈0.4771）20．（12.00分）如图，在四棱锥A﹣CDFE中，底面CDFE是直角梯形，CE∥DF，EF⊥EC，，AF⊥平面CDFE，P为AD中点．（Ⅰ）证明：CP∥平面AEF；（Ⅱ）设EF=2，AF=3，FD=4，求点F到平面ACD的距离．21．（12.00分）已知f（x）=，（a＞0，且a≠1）．（1）求f（x）的定义域．（2）证明f（x）为奇函数．（3）求使f（x）＞0成立的x的取值范围．22．（12.00分）已知圆C的方程为x2+y2﹣2x+4y﹣m=0．（I）若点P（m，﹣2）在圆C的外部，求m的取值范围；（II）当m=4时，是否存在斜率为1的直线l，使以l被圆C截得的弦AB为直径所作的圆过原点？若存在，求出l的方程；若不存在，说明理由．2016-2017学年广东省湛江市高一（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．请把正确答案的代号填入下面的表格内．1．（5.00分）设集合U={﹣1，﹣2，﹣3，﹣4，0}，集合A={﹣1，﹣2，0}，集合B={﹣3，﹣4，0}则（∁U A）∩B=（）A．{﹣3，﹣4}B．{﹣1，﹣2}C．{0}D．∅【解答】解：集合U={﹣1，﹣2，﹣3，﹣4，0}，集合A={﹣1，﹣2，0}，集合B={﹣3，﹣4，0}，∴∁U A={﹣3，﹣4}，∴（∁U A）∩B={﹣3，﹣4}．故选：A．2．（5.00分）直线x+3y+3=0的斜率是（）A．﹣3 B．C．D．3【解答】解：直线x+3y+3=0的斜率k=﹣，故选：C．3．（5.00分）用一个平面去截一个几何体，得到的截面是四边形，这个几何体可能是（）A．圆锥B．圆柱C．球体D．以上都有可能【解答】解：用一个平面去截一个圆锥，得到的图形可能是圆、椭圆、抛物线、双曲线的一支、三角形，不可能是四边形，故A不满足要求；用一个平面去截一个圆柱，得到的图形可能是圆、椭圆、四边形，故B满足要求；用一个平面去截一个球体，得到的图形只能是圆，故C不满足要求；故选：B．4．（5.00分）设函数f（x）=，则f（f（2））=（）A．1 B．2 C．3 D．4【解答】解：∵f（x）=，∴f（2）==1，∴f（f（2））=f（1）=12+1=2，故选：B．5．（5.00分）在同一直角坐标系中，表示直线y=ax与y=x+a正确的是（）A．B．C．D．【解答】解：由y=x+a得斜率为1排除B、D，由y=ax与y=x+a中a同号知若y=ax递增，则y=x+a与y轴的交点在y轴的正半轴上；若y=ax递减，则y=x+a与y轴的交点在y轴的负半轴上；故选：C．6．（5.00分）经过点A（﹣1，4）且在x轴上的截距为3的直线方程是（）A．x+y+3=0 B．x﹣y+5=0 C．x+y﹣3=0 D．x+y﹣5=0【解答】解：过点A（﹣1，4）且在x轴上的截距为3的直线的斜率为：=﹣1．所求的直线方程为：y﹣4=﹣1（x+1），即：x+y﹣3=0．故选：C．7．（5.00分）有一个几何体的三视图如图所示，这个几何体应是一个（）A．棱台B．棱锥C．棱柱D．正四面体【解答】解：由已知中的三视图，可得该几何体是一个棱台，故选：A．8．（5.00分）已知a=0.993，b=log 20.6，c=log3π，则（）A．c＜a＜b B．b＜c＜a C．a＜b＜c D．b＜a＜c【解答】解：a=0.993∈（0，1），b=log20.6＜0，c=log3π＞1，∴b＜a＜c，故选：D．9．（5.00分）若x，y∈R，且f（x+y）=f（x）+f（y），则函数f（x）（）A．f（0）=0且f（x）为偶函数B．f（0）=0且f（x）为奇函数C．f（x）为增函数且为奇函数D．f（x）为增函数且为偶函数【解答】解：由题意，f（0+0）=f（0）+f（0），∴f（0）=0，f（﹣x+x）=f（﹣x）+f（x）=0，∴f（x）为奇函数，故选：B．10．（5.00分）设m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，下列命题正确的是（）A．m⊥α，n⊥β，且α⊥β，则m⊥n B．m∥α，n∥β，且α∥β，则m∥n C．m⊥α，n⊂β，m⊥n，则α⊥βD．m⊂α，n⊂α，m∥β，n∥β，则α∥β【解答】解：对于A，m⊥α，n⊥β，且α⊥β，利用面面垂直的性质定理得到作垂直于交线的直线n'与β垂直，又n⊥β，得到n∥n'，又m⊥α，得到m⊥n'，所以m⊥n；故A正确；对于B，m∥α，n∥β，且α∥β，则m与n位置关系不确定，可能相交、平行或者异面；故B错误；对于C，m⊥α，n⊂β，m⊥n，则α与β可能平行；故C错误；对于D，m⊂α，n⊂α，m∥β，n∥β，则α与β可能相交；故D错误；故选：A．11．（5.00分）（理）已知函数的图象与函数y=log a x（a＞0且a≠1）的图象交于点P（x0，y0），如果x0≥2，那么a的取值范围是（）A．[2，+∞）B．[4，+∞）C．[8，+∞）D．[16，+∞）【解答】解：由已知中函数的图象与函数y=log a x（a＞0且a≠1）的图象交于点P（x0，y0），由指数函数的性质，若x0≥2则0＜y0≤即0＜log a x0≤由于x0≥2故a＞1且≥x0≥2故a≥16即a的取值范围为[16，+∞）故选：D．12．（5.00分）如图，周长为1的圆的圆心C在y轴上，一动点M从圆上的点A （0，1）开始按逆时针方向绕圆运动一周，记走过的弧长为x，直线AM与x轴交于点N（t，0），则函数t=f（x）的图象大致为（）A．B．C．D．【解答】解：当x由0→时，t从﹣∞→0，且单调递增，由→1时，t从0→+∞，且单调递增，∴排除A，B，C，故选：D．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，满分20分．13．（5.00分）空间两点A（2，5，4）、B（﹣2，3，5）之间的距离等于．【解答】解：空间两点A（2，5，4）、B（﹣2，3，5）之间的距离：|AB|==．故答案为：．14．（5.00分）已知f（x﹣1）=2x2﹣8x+11，则函数f（x）的解析式为f（x）=2x2﹣4x+5．【解答】解：f（x﹣1）=2x2﹣8x+11，设x﹣1=t，则x=t+1，∴f（t）=2（t+1）2﹣8（t+1）+11=2t2﹣4t+5，∴f（x）=2x2﹣4x+5．故答案为：f（x）=2x2﹣4x+5．15．（5.00分）已知函数f（x）=x2﹣|x|+a﹣1有四个零点，则a的取值范围是．【解答】解：由f（x）=x2﹣|x|+a﹣1=0，得a﹣1=﹣x2+|x|，作出y=﹣x2+|x|与y=a﹣1的图象，要使函数f（x）=x2﹣|x|+a﹣1有四个零点，则y=﹣x2+|x|与y=a﹣1的图象有四个不同的交点，所以0＜a﹣1＜，解得：a∈故答案为：16．（5.00分）已知点p（x，y）是直线kx+y+4=0（k＞0）上一动点，PA、PB是圆C：x2+y2﹣2y=0的两条切线，A、B是切点，若四边形PACB的最小面积是2，则k的值为2．【解答】解：圆C：x2+y2﹣2y=0的圆心（0，1），半径是r=1，=2S△PBC，四边形PACB的最小面积是2，由圆的性质知：S四边形PACB∴S的最小值S=1=rd（d是切线长）△PBC=2∴d最小值圆心到直线的距离就是PC的最小值，∵k＞0，∴k=2故答案为：2三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（10.00分）计算：．【解答】解：==．18．（12.00分）已知直线l的方程为2x﹣y+1=0（Ⅰ）求过点A（3，2），且与直线l垂直的直线l1方程；（Ⅱ）求与直线l平行，且到点P（3，0）的距离为的直线l2的方程．【解答】解：（Ⅰ）设与直线l：2x﹣y+1=0垂直的直线l1的方程为：x+2y+m=0，把点A（3，2）代入可得，3+2×2+m=0，解得m=﹣7．∴过点A（3，2），且与直线l垂直的直线l1方程为：x+2y﹣7=0；（Ⅱ）设与直线l：2x﹣y+1=0平行的直线l2的方程为：2x﹣y+c=0，∵点P（3，0）到直线l2的距离为．∴=，解得c=﹣1或﹣11．∴直线l2方程为：2x﹣y﹣1=0或2x﹣y﹣11=0．19．（12.00分）光线通过一块玻璃，其强度要损失10%，把几块这样的玻璃重叠起来，设光线原来的强度为a，通过x块玻璃后强度为y．（1）写出y关于x的函数关系式；（2）通过多少块玻璃后，光线强度减弱到原来的以下？（lg3≈0.4771）（6分）【解答】解：（1）依题意：y=a（0.9）x，x∈N+（2）依题意：，即：，得：（9分）答：通过至少11块玻璃后，光线强度减弱到原来的以下．20．（12.00分）如图，在四棱锥A﹣CDFE中，底面CDFE是直角梯形，CE∥DF，EF⊥EC，，AF⊥平面CDFE，P为AD中点．（Ⅰ）证明：CP∥平面AEF；（Ⅱ）设EF=2，AF=3，FD=4，求点F到平面ACD的距离．【解答】（本小题满分12分）证明：（I）作AF中点G，连结PG、EG，∴PG∥DF且．∵CE∥DF且，∴PG∥EC，PG=EC．∴四边形PCEG是平行四边形．…（2分）∴CP∥EG．∵CP⊄平面AEF，EG⊂平面AEF，∴CP∥平面AEF．…（4分）（II）作FD的中点Q，连结CQ、FC．∵FD=4，∴EC=FQ=2．又∵EC∥FQ，∴四边形ECQF是正方形．∴．∴Rt△CQD中，．∵DF=4，CF2+CD2=16．∴CD⊥CF．∵AF⊥平面CDEF，CD⊂平面CDEF，∴AF⊥CD，AF∩FC=F．∴CD⊥平面ACF．∴CD⊥AC．…（8分）设点F到平面ACD的距离为h，=V D﹣ACF．∴V F﹣ACD∴．∴．…（12分）21．（12.00分）已知f（x）=，（a＞0，且a≠1）．（1）求f（x）的定义域．（2）证明f（x）为奇函数．（3）求使f（x）＞0成立的x的取值范围．【解答】解：（1）f（x）=，（a＞0，且a≠1）的定义域为：{x|}，解得f（x）=，（a＞0，且a≠1）的定义域为{x|﹣1＜x＜1}．（2）∵f（x）=，（a＞0，且a≠1），∴f（﹣x）==﹣=﹣f（x），∴f（x）为奇函数．（3）∵f（x）=，（a＞0，且a≠1），∴由f（x）＞0，得，当0＜a＜1时，有0＜＜1，解得﹣1＜x＜0；当a＞1时，有＞1，解得0＜x＜1；∴当a＞1时，使f（x）＞0成立的x的取值范围是（0，1），当0＜a＜1时，使f（x）＞0成立的x的取值范围是（﹣1，0）．22．（12.00分）已知圆C的方程为x2+y2﹣2x+4y﹣m=0．（I）若点P（m，﹣2）在圆C的外部，求m的取值范围；（II）当m=4时，是否存在斜率为1的直线l，使以l被圆C截得的弦AB为直径所作的圆过原点？若存在，求出l的方程；若不存在，说明理由．【解答】解：（I）∵x2+y2﹣2x+4y﹣m=0，∴整理得：（x﹣1）2+（y+2）2=m+5．由m+5＞0得：m＞﹣5．…（2分）∵点P（m，﹣2）在该圆的外部，∴（m﹣1）2+（﹣2+2）2＞m+5．∴m2﹣3m﹣4＞0．∴m＞4或m＜﹣1．又∵m＞﹣5，∴m的取值范围是（﹣5，﹣1）∪（4，+∞）．…（4分）（II）当m=4时，圆C的方程为（x﹣1）2+（y+2）2=9．…（5分）如图：依题意假设直线l存在，其方程为x﹣y+p=0，N是弦AB的中点．…（6分）∴CN的方程为y+2=﹣（x﹣1）．联立l的方程可解得N的坐标为．…（7分）∵原点O在以AB为直径的圆上，∴|ON|=|AN|．∴．化简得：p2+3p﹣4=0，解得：p=﹣4或1．…（11分）∴l的方程为x﹣y﹣4=0或x﹣y+1=0．…（12分）。