基本不等式(提高)知识梳理

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高一基本不等式知识点梳理

高一基本不等式知识点梳理不等式在数学中占有重要地位，是解决实际问题和证明数学定理的常用工具。

在高一阶段，基本不等式的学习是打好数学基础的重要一步。

本文将对高一基本不等式的知识点进行梳理，包括不等式的定义、性质以及常用的不等式类型。

1. 不等式的定义不等式是数学中用不等号连接的两个表达式构成的数学语句。

一般形式为a≤b或a≥b，其中a和b是实数。

不等式中的不等号有大于等于号（≥）和小于等于号（≤），表达了两个数之间的大小关系。

2. 基本不等式的性质基本不等式具有以下性质：（1）若a>b，则-a<-b。

（2）若a>b且c>0，则ac>bc；若a>b且c<0，则ac<bc。

（3）若a>b且c>0，则a+c>b+c；若a>b且c<0，则a+c<b+c。

3. 常用的不等式类型（1）加法不等式：若a>b，则a+c>b+c。

即在两边同时加上同一个数，不等号方向不变。

例：若x>2，则x+3>5。

将不等式两边同时加上3，不等号方向保持不变。

（2）减法不等式：若a>b，则a-c>b-c。

即在两边同时减去同一个数，不等号方向不变。

例：若2x>6，则2x-3>3。

将不等式两边同时减去3，不等号方向保持不变。

（3）乘法不等式：若a>b且c>0，则ac>bc；若a>b且c<0，则ac<bc。

即在两边同时乘以同一个正数，不等号方向不变；在两边同时乘以同一个负数，不等号方向反向。

例：若2x>6，则4x>12；若2x>6，则-2x<-6。

将不等式两边同时乘以2和-1，不等号方向保持不变和反向。

（4）除法不等式：若a>b且c>0，则a/c>b/c；若a>b且c<0，则a/c<b/c。

即在两边同时除以同一个正数，不等号方向不变；在两边同时除以同一个负数，不等号方向反向。

基本不等式笔记整理

基本不等式笔记整理基本不等式是用于解决一元二次不等式的基本方法之一。

整理基本不等式的笔记可以帮助我们更好地理解和应用这一方法。

下面是整理的基本不等式笔记：1. 两边同加（减）同一个数不等号方向不变。

即如果a > b，那么a + c > b + c，如果a < b，那么a + c < b + c。

例如：3 > 2，则3 + 1 > 2 + 1，3 - 1 > 2 - 1。

2. 两边同乘（除）同一个正数不等号方向不变。

即如果a > b，并且c是一个正数，那么ac > bc，如果a < b，并且c是一个正数，那么ac < bc。

例如：3 > 2，则3 × 2 > 2 × 2，3 ÷ 2 > 2÷ 2。

3. 两边同乘（除）同一个负数不等号方向改变。

即如果a > b，并且c是一个负数，那么ac < bc，如果a < b，并且c是一个负数，那么ac > bc。

例如：3 > 2，则3 × (-2) < 2 × (-2)，3 ÷ (-2) < 2 ÷ (-2)。

4. 平方不等式：如果a > b，那么a² > b²。

例如：3 > 2，则3² > 2²。

基本不等式可以帮助我们解决一元二次不等式，尤其是当不等式中的项是平方时。

通过应用基本不等式的规则，我们可以将复杂的不等式转化为简单的不等式，并且保持不等式的方向不变。

这样可以更方便地进行计算和推导，最终解出不等式的解集。

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28基本不等式专题辅导222、基本不等式一般形式（均值不等式）若 a,b R ,则 a b 2 ab3、基本不等式的两个重要变形（1）若 a,b R *，则2总结：当两个正数的积为定植时，它们的和有最小值；当两个正数的和为定植时，它们的积有最小值；a b6、柯西不等式（1）若 a, b,c, d R ，则（a 2 b 2）（c 2 d 2）（ac bd ）2 (2) 若 a 1, a 2, a 3, bi, b 2, b 3 R ，则有：22 2 2 2 22(a 1 a 2a 3 )(柑b ?b 3 ) (aQ a ?b 2 a s b s )(3) 设a 1,a 2, ,a n 与db, ,b 是两组实数，则有222p222佝 a 2a . )(0b 2 b n )(日山 a 2b 2a nb n )一、知识点总结 1、基本不等式原始形式二、题型分析题型一：利用基本不等式证明不等式(1)若 a,b R ，则 a 2b 22ab1、设a,b 均为正数，证明不等式：、.ab 二(2)右 a, b R ，则 aba,b,c 为两两不相等的实数，(2)若 a, b R ,则 abb 2ab bc ca4、求最值的条件：“一正，二定，三相等”5、常用结论1(1)若 x 0，则 x — 2 （当且仅当 x 1时取“=”)x1 (2)若 x 0,则 X -2 （当且仅当 x 1时取“=”)X(3)若 ab 0,则--2 （当且仅当a b 时取“=”)b a2 2(4)若 a, b R ，则 ab（旦 b)2 a b2 2(5)若 a, b R ，贝U1. a ab ba 2b 2 v ------1 122(1 已知aa,b,ca )(1 1, 求证:b)(1 c) 8abca, b, c R4 2x 46、（ 2013年新课标H 卷数学（理）选修4— 5 :不等式选讲设a,b,c 均为正数,且a b c 1,证明：(i) ab bc ca 1 3；（2 , 2 2a b c , n)1.b c a7、（ 2013年江苏卷（数学）选修4— 5 :不等式选u 讲已知 a b 0,求证：2a 3 b 3 2ab 2 a 2b 题型二：利用不等式求函数值域1、求下列函数的值域(1)y 3x22x(2) y x(4 x)1(3) y x(x 0)x(4) y1 x —(x 0)x题型三：利用不等式求最值（一）（凑项）1、已知x 2，求函数y2x 4 2x 4的最小值;变式1 :已知x 2，求函数y2x4 2x 4的最小值;变式2：已知x 2，求函数y 2x的最大值;题型四：利用不等式求最值(二)(凑系数)1、当LI ，…一时，求y x(82x)的最大值；3、求函数y 2x 15 2x(- x -)的最大值;2 2(提示：平方，利用基本不等式)变式1：当「I —.二时，求y 4x(8 2x)的最大值;变式：求函数y . 4x 3 11 4x(3 x W)的最大值;443变式2：设0 x ，求函数y 4x(32x)的最大值。

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基本不等式完整版(非常全面) 基本不等式专题辅导一、知识点总结1、基本不等式原始形式1) 若 $a,b\in R$，则 $a^2+b^2\geq 2ab$2) 若 $a,b\in R$，则 $ab\leq \frac{a^2+b^2}{2}$2、基本不等式一般形式（均值不等式）若 $a,b\in R^*$，则 $a+b\geq 2\sqrt{ab}$3、基本不等式的两个重要变形1) 若 $a,b\in R^*$，则 $\frac{a+b}{2}\geq \sqrt{ab}$2) 若 $a,b\in R^*$，则 $ab\leq \left(\frac{a+b}{2}\right)^2$总结：当两个正数的积为定值时，它们的和有最小值；当两个正数的和为定值时，它们的积有最大值。

特别说明：以上不等式中，当且仅当 $a=b$ 时取“=”。

4、求最值的条件：“一正，二定，三相等”5、常用结论1) 若 $x>0$，则 $x+\frac{1}{x}\geq 2$（当且仅当$x=1$ 时取“=”）2) 若 $x<0$，则 $x+\frac{1}{x}\leq -2$（当且仅当 $x=-1$ 时取“=”）3) 若 $a,b>0$，则 $\frac{a}{b}+\frac{b}{a}\geq 2$（当且仅当 $a=b$ 时取“=”）4) 若 $a,b\in R$，则 $ab\leq \frac{a+b}{2}\leq\sqrt{\frac{a^2+b^2}{2}}$5) 若 $a,b\in R^*$，则 $\frac{1}{a^2+b^2}\leq\frac{1}{2ab}\leq \frac{1}{a+b}$特别说明：以上不等式中，当且仅当 $a=b$ 时取“=”。

6、柯西不等式1) 若 $a,b,c,d\in R$，则 $(a^2+b^2)(c^2+d^2)\geq(ac+bd)^2$2) 若 $a_1,a_2,a_3,b_1,b_2,b_3\in R$，则$(a_1^2+a_2^2+a_3^2)(b_1^2+b_2^2+b_3^2)\geq(a_1b_1+a_2b_2+a_3b_3)^2$3) 设 $a_1,a_2,\dots,a_n$ 与 $b_1,b_2,\dots,b_n$ 是两组实数，则有$(a_1^2+a_2^2+\dots+a_n^2)(b_1^2+b_2^2+\dots+b_n^2)\geq (a_1b_1+a_2b_2+\dots+a_nb_n)^2$二、题型分析题型一：利用基本不等式证明不等式1、设 $a,b$ 均为正数，证明不等式：$ab\geq\frac{1}{2}(a+b)^2$2、已知 $a,b,c$ 为两两不相等的实数，求证：$a^2+b^2+c^2>ab+bc+ca$3、已知 $a+b+c=1$，求证：$a^2+b^2+c^2\geq\frac{1}{3}$4、已知 $a,b,c\in R^+$，且 $a+b+c=1$，求证：$(1-a)(1-b)(1-c)\geq 8abc$5、已知 $a,b,c\in R^+$，且 $a+b+c=1$，求证：$\frac{1}{a+b}+\frac{1}{b+c}+\frac{1}{c+a}\geq\frac{9}{2(a+b+c)}$题型二：利用柯西不等式证明不等式1、已知 $a,b,c\in R^+$，求证：$\frac{a^2}{b+c}+\frac{b^2}{c+a}+\frac{c^2}{a+b}\geq\frac{(a+b+c)^2}{2(a+b+c)}$2、已知 $a,b,c\in R^+$，求证：$\frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a}\geq 3$3、已知 $a,b,c\in R^+$，且 $abc=1$，求证：$\frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a}\geq a+b+c$4、已知 $a,b,c\in R^+$，求证：$\frac{a^2}{b}+\frac{b^2}{c}+\frac{c^2}{a}\geq a+b+c$5、已知 $a,b,c\in R^+$，求证：$\frac{a^3}{b^2-bc+c^2}+\frac{b^3}{c^2-ca+a^2}+\frac{c^3}{a^2-ab+b^2}\geq a+b+c$题型三：求最值1、已知 $a,b$ 均为正数，且 $a+b=1$，求 $ab$ 的最大值和最小值。

完整版)基本不等式知识点和基本题型

完整版)基本不等式知识点和基本题型基本不等式专题辅导一、知识点总结1.基本不等式原始形式若a,b∈R，则a+b≥2ab若a,b∈R，则ab≤(a^2+b^2)/22.均值不等式若a,b∈R，则a+b/2≥√(ab)3.基本不等式的两个重要变形若a,b∈R，则(a+b)/2≥√(ab)若a,b∈R，则ab≤(a+b)^2/4特别说明：以上不等式中，当且仅当a=b时取“=”4.求最值的条件：“一正，二定，三相等”5.常用结论1.x+1/x≥2 (当且仅当x=1时取“=”)2.x+1/x≤-2 (当且仅当x=-1时取“=”)3.若ab>0，则(a/b+b/a)/2≥2 (当且仅当a=b时取“=”)4.若a,b∈R，则ab≤(a^2+b^2)/2≤(a+b)^2/2特别说明：以上不等式中，当且仅当a=b时取“=”6.柯西不等式若a,b∈R，则(a^2+b^2)(1+1)≥(a+b)^2二、题型分析题型一：利用基本不等式证明不等式1.设a,b均为正数，证明不等式:ab≥(a+b)^2/42.已知a,b,c为两两不相等的实数，求证：a^2/(b-c)^2+b^2/(c-a)^2+c^2/(a-b)^2≥23.已知a+b+c=1，求证：a^2+b^2+c^2+3(ab+bc+ca)≥4/34.已知a,b,c∈R，且a+b+c=1，求证：(1-a)(1-b)(1-c)≥8abc5.已知a,b,c∈R，且a+b+c=1，求证：|a-b|+|b-c|+|c-a|≥4√2/3题型二：利用不等式求最值1.已知a+b=1，求证：a^3+b^3≥1/42.已知a,b,c>0，且abc=1，求证：a/b+b/c+c/a≥a+b+c3.已知a,b,c>0，且a+b+c=1，求证：a/b+b/c+c/a≥34.已知a,b,c>0，求证：(a^2+b^2)/(a+b)+(b^2+c^2)/(b+c)+(c^2+a^2)/(c+a)≥(3/2)(a+b+c)5.已知a,b,c>0，求证：(a+b+c)(1/a+1/b+1/c)≥9基本不等式专题辅导一、知识点总结1.基本不等式原始形式若a,b∈R，则a+b≥2ab若a,b∈R，则ab≤(a²+b²)/22.均值不等式若a,b∈R，则a+b/2≥√(ab)3.基本不等式的两个重要变形若a,b∈R，则(a+b)/2≥√(ab)若a,b∈R，则ab≤(a+b)²/4特别说明：以上不等式中，当且仅当a=b时取“=”4.求最值的条件：“一正，二定，三相等”5.常用结论1.x+1/x≥2 (当且仅当x=1时取“=”)2.x+1/x≤-2 (当且仅当x=-1时取“=”)3.若ab>0，则(a/b+b/a)/2≥2 (当且仅当a=b时取“=”)4.若a,b∈R，则ab≤(a²+b²)/2≤(a+b)²/2特别说明：以上不等式中，当且仅当a=b时取“=”6.柯西不等式若a,b∈R，则(a²+b²)(1+1)≥(a+b)²二、题型分析题型一：利用基本不等式证明不等式1.设a,b均为正数，证明不等式:ab≥(a+b)²/42.已知a,b,c为两两不相等的实数，求证：a²/(b-c)²+b²/(c-a)²+c²/(a-b)²≥23.已知a+b+c=1，求证：a²+b²+c²+3(ab+bc+ca)≥4/34.已知a,b,c∈R，且a+b+c=1，求证：(1-a)(1-b)(1-c)≥8abc5.已知a,b,c∈R，且a+b+c=1，求证：|a-b|+|b-c|+|c-a|≥4√2/3题型二：利用不等式求最值1.已知a+b=1，求证：a³+b³≥1/42.已知a,b,c>0，且abc=1，求证：a/b+b/c+c/a≥a+b+c3.已知a,b,c>0，且a+b+c=1，求证：a/b+b/c+c/a≥34.已知a,b,c>0，求证：(a²+b²)/(a+b)+(b²+c²)/(b+c)+(c²+a²)/(c+a)≥(3/2)(a+b+c)5.已知a,b,c>0，求证：(a+b+c)(1/a+1/b+1/c)≥9选修4-5：不等式选讲1.设a,b,c均为正数，且a+b+c=1，证明：Ⅰ) ab+bc+ca≤1/3；Ⅱ) a^2b+b^2c+c^2a≥1/9.2.已知a≥b>0，求证：2a-b≥2ab-b^2.3.求下列函数的值域：1) y=3x+2；2) y=x(4-x)；3) y=x+(x>2)；4) y=x+(x<2)。

基本不等式知识点归纳总结

基本不等式知识点归纳1．基本不等式2b a ab +≤ (1)基本不等式成立的条件：.0,0>>b a(2)等号成立的条件：当且仅当b a =时取等号．[探究] 1.如何理解基本不等式中“当且仅当”的含义？提示：①当b a =时，ab b a ≥+2取等号，即.2ab b a b a =+⇒= ②仅当b a =时，ab b a ≥+2取等号，即.2b a ab b a =⇒=+ 2．几个重要的不等式).0(2);,(222>≥+∈≥+ab ba ab R b a ab b a ),(2)2();,()2(2222R b a b a b a R b a b a ab ∈+≤+∈+≤ 3．算术平均数与几何平均数设,0,0>>b a 则b a ,的算术平均数为2b a +，几何平均数为ab ，基本不等式可叙述为：两个正实数的算术平均数不小于它的几何平均数．4．利用基本不等式求最值问题已知,0,0>>y x 则(1)如果积xy 是定值,p 那么当且仅当y x =时，y x +有最小值是.2p (简记：积定和最小)．(2)如果和y x +是定值,p ，那么当且仅当y x =时，xy 有最大值是.42p (简记：和定积最大)．[探究] 2.当利用基本不等式求最大(小)值时，等号取不到时，如何处理？提示：当等号取不到时，可利用函数的单调性等知识来求解．例如，x x y 1+=在2≥x 时的最小值，利用单调性，易知2=x 时.25min =y[自测]1．已知,0,0>>n m 且,81=mn 则n m +的最小值为( )A ．18B ．36C ．81D ．243解析：选A 因为m >0，n >0，所以m ＋n ≥2mn ＝281＝18.2．若函数)2(21)(>-+=x x x x f 在a x =处取最小值，则=a ( ) A ．1＋ 2 B ．1＋ 3 C ．3 D ．43．已知,02,0,0,0=+->>>z y x z y x 则2yxz 的( ) A ．最小值为8 B ．最大值为8 C ．最小值为18 D ．最大值为184．函数xx y 1+=的值域为 ____________________． 5．在平面直角坐标系xOy 中，过坐标原点的一条直线与函数x x f 2)(=的图象交于P 、Q 两点，则线段PQ 长的最小值是________．。

基本不等式知识点归纳

基本不等式知识点归纳不等式是数学中重要的概念之一，其在代数中应用广泛。

基本的不等式知识点包括一元一次不等式、二元一次不等式、绝对值不等式以及高次不等式等内容。

本文将对这些基本不等式知识点进行归纳总结。

一、一元一次不等式一元一次不等式即只含有一个变量的一次方程，形如ax+b>0或ax+b<0，其中a、b均为已知常数，x为未知变量。

解一元一次不等式的关键是将其转化为等价的简单形式。

具体解法如下：1.当a>0时，将不等式转化为x>-b/a或x<-b/a，即可得到不等式的解集。

令x=-b/a，即x=b/a为关键点，将实数轴分成两个半区间，选取其中一个半区间，即可确定不等式的解集。

2.当a<0时，将不等式转化为x<-b/a或x>-b/a，即可得到不等式的解集。

同样令x=-b/a，即x=b/a为关键点，将实数轴分成两个半区间，选取其中一个半区间，即可确定不等式的解集。

二、二元一次不等式二元一次不等式即含有两个变量的一次方程，形如ax+by>c或ax+by<c，其中a、b、c均为已知常数，x、y为未知变量。

解二元一次不等式的关键是确定不等式的解集。

具体解法如下：1. 将不等式转化为等价的简单形式，即将不等式化为一个以上的不等式。

例如，对于ax+by>c，可以根据a、b的正负情况，分别得到x>c/a、x<c/a、y>c/b和y<c/b四个不等式。

2.根据得到的不等式，确定不等式的解集。

根据不等式的关系，将x、y的解集分别标在坐标平面上，其中各个解集的交集即为该二元一次不等式的解集。

三、绝对值不等式绝对值不等式是含有绝对值的不等式，形如，ax+b，>c或，ax+b，<c，其中a、b、c均为已知常数，x为未知变量。

解绝对值不等式的关键是确定绝对值不等式的情况，然后将其转化为简单的不等式。

具体解法如下：1. 当a>0时，原绝对值不等式可以转化为ax+b>c或ax+b<c的形式。

《基本不等式》知识点及题型总结

基本不等式一、考点、热点回顾 1．基本不等式：ab ≤a ＋b 2 (1)基本不等式成立的条件：a >0，b >0.(2)等号成立的条件：当且仅当a ＝b 时取等号．2．几个重要的不等式 (1)a 2＋b 2≥2ab (a ，b ∈R )．(2)b a ＋a b≥2(a ，b 同号)． (3)ab ≤⎝⎛⎭⎫a ＋b 22 (a ，b ∈R )．(4)a 2＋b 22≥⎝⎛⎭⎫a ＋b 22 (a ，b ∈R )．以上不等式等号成立的条件均为a ＝b .3．算术平均数与几何平均数设a >0，b >0，则a ，b 的算术平均数为a ＋b 2，几何平均数为ab ，基本不等式可叙述为两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数．4．利用基本不等式求最值问题已知x >0，y >0，则(1)如果积xy 是定值p ，那么当且仅当x ＝y 时，x ＋y 有最小值2p .(简记：积定和最小)(2)如果和x ＋y 是定值p ，那么当且仅当x ＝y 时，xy 有最大值p 24.(简记：和定积最大) 知识拓展不等式的恒成立、能成立、恰成立问题(1)恒成立问题：若f (x )在区间D 上存在最小值，则不等式f (x )>A 在区间D 上恒成立⇔f (x )min >A (x ∈D )；若f (x )在区间D 上存在最大值，则不等式f (x )<B 在区间D 上恒成立⇔f (x )max <B (x ∈D )．(2)能成立问题：若f (x )在区间D 上存在最大值，则在区间D 上存在实数x 使不等式f (x )>A 成立⇔f (x )max >A (x ∈D )；若f (x )在区间D 上存在最小值，则在区间D 上存在实数x 使不等式f (x )<B 成立⇔f (x )min <B (x ∈D )．(3)恰成立问题：不等式f (x )>A 恰在区间D 上成立⇔f (x )>A 的解集为D ；不等式f (x )<B 恰在区间D 上成立⇔f (x )<B 的解集为D .二、典型例题例1、设0a b ，则下列不等式中正确的是（）A ．a ＜b ＜＜ B. a ＜＜＜bC ．a ＜＜b ＜ D ．＜a ＜＜b变式训练1、已知等比数列的各项均为正数，公比0＜q ＜1，设392a a P +=，Q =，则a 3，a 9，P 与Q 的大小关系是（）A ．a 3＞P ＞Q ＞a 9 B. a 3＞Q ＞P ＞a 9C ．a 9＞P ＞a 3＞QD ．P ＞Q ＞a 3＞a 9考点二、利用基本不等式求最值例2、(1)已知0<x <1，则x (4－3x )取得最大值时x 的值为________．(2)函数y ＝x 2＋2x －1(x >1)的最小值为________．（3）设a ＞0，b ＞0，且21a b +=，则11a b+的最小值为。

《基本不等式》知识清单

《基本不等式》知识清单一、基本不等式的定义如果 a，b 是正数，那么\（＼sqrt{ab} ＼leq ＼frac{a ＋ b}｛2}＼），当且仅当 a ＝ b 时，等号成立。

其中，＼（＼frac{a ＋ b}｛2}＼）叫做正数 a，b 的算术平均数，＼（＼sqrt{ab}＼）叫做正数 a，b 的几何平均数。

基本不等式表明：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数。

二、基本不等式的推导对于正数 a，b，有：＼（（＼sqrt{a} ＼sqrt{b}）＾2 ＼geq 0\）＼（a 2\sqrt{ab} ＋ b ＼geq 0\）＼（a ＋ b ＼geq 2\sqrt{ab}＼）＼（＼frac{a ＋ b}｛2} ＼geq ＼sqrt{ab}＼）当且仅当\（＼sqrt{a} ＝＼sqrt{b}＼），即 a ＝ b 时，等号成立。

三、基本不等式的几何解释以长为 a ＋ b 的线段为直径作圆，在直径 AB 上取点 C，使 AC ＝ a，CB ＝ b。

过点 C 作垂直于直径 AB 的弦 DE，连接 AD，DB。

根据圆的性质，可得\（CD ＝＼sqrt{ab}＼），而半径\（＼frac{a＋ b}｛2}＼）。

因为半径不小于弦长的一半，所以\（＼frac{a ＋ b}｛2} ＼geq ＼sqrt{ab}＼），当且仅当 C 为圆心时，等号成立，即 a ＝ b 。

四、基本不等式的变形1、＼（a^2 ＋ b^2 ＼geq 2ab\）（当且仅当 a ＝ b 时，等号成立）推导：＼（a^2 ＋ b^2 2ab ＝（a b)＾2 ＼geq 0\），所以\（a^2 ＋b^2 ＼geq 2ab\）2、＼（ab ＼leq （＼frac{a ＋ b}｛2}）＾2\）（当且仅当 a ＝ b 时，等号成立）推导：由基本不等式\（＼frac{a ＋ b}｛2} ＼geq ＼sqrt{ab}＼），两边平方可得\（ab ＼leq （＼frac{a ＋ b}｛2}）＾2\）3、＼（＼frac{b}｛a} ＋＼frac{a}｛b} ＼geq 2\）（a，b 同号且不为 0，当且仅当 a ＝ b 时，等号成立）推导：＼（＼frac{b}｛a} ＋＼frac{a}｛b} ＼geq 2\sqrt{＼frac{b}｛a} ＼times ＼frac{a}｛b}｝＝ 2\）五、用基本不等式求最值1、若两个正数的和为定值，则当这两个数相等时，它们的积取得最大值。

必修五数学基本不等式知识点总结

必修五数学基本不等式知识点总结必修五数学基本不等式知识点总结如下：1. 一次性解决n个一元一次方程组将所有的方程相加得到等式，将所有的不等式相加得到不等式。

2. 均值不等式设有n个正实数a1、a2、…、an，则有：（1）算术平均值和几何平均值：(a1+a2+…+an)/n >= (a1×a2×…×an)^(1/n)（2）加权平均值和几何平均值：(a1*w1+a2*w2+…+an*wn)/(w1+w2+…+wn) >= (a1^w1×a2^w2×…×an^wn)^(1/(w1+w2+…+wn))其中，w1、w2、…、wn是正实数，满足w1+w2+…+wn=1。

3. 广义均值不等式设有n个正实数a1、a2、…、an，m和p同为实数且m < p，则有：(a1^m+a2^m+…+an^m)/n >= (a1^p+a2^p+…+an^p)/n当且仅当a1=a2=…=an时等号成立。

4. 柯西不等式设有n个实数a1、a2、…、an和b1、b2、…、bn，则有：(a1*b1+a2*b2+…+an*bn)^2 <= (a1^2+a2^2+…+an^2)*(b1^2+b2^2+…+bn^2)当且仅当ai/k1=bi/k2时，等号成立。

其中，k1和k2是实数。

5. 阿贝尔不等式设有n个实数a1、a2、…、an和b1、b2、…、bn，满足a1 >= a2 >= … >= an和b1 <= b2 <= … <= bn，则有：a1*b1+a2*b2+…+an*bn >= a1*bk1+a2*bk2+…+an*bkn，其中，k1、k2、…、kn是排列1、2、…、n的一个排序方式。

6. 连续不等式设有n个正实数a1、a2、…、an，如果a1 <= a2 <= … <= an，则有：（1）(a1+a2+…+an)^2 <= n*(a1^2+a2^2+…+an^2)（2）(a1+a2+…+an)^2 >= n*a1*a2*…*an其中，等号成立当且仅当a1=a2=…=an。

(完整版)基本不等式知识点

基本不等式知识点1、不等式的基本性质①（对称性）a b b a >⇔>②（传递性）,a b b c a c >>⇒>③（可加性）a b a c b c >⇔+>+（同向可加性）d b c a d c b a +>+⇒>>,（异向可减性）d b c a d c b a ->-⇒<>,④（可积性）bc ac c b a >⇒>>0,bc ac c b a <⇒<>0,⑤（同向正数可乘性）0,0a b c d ac bd >>>>⇒> （异向正数可除性）0,0a b a b c d c d >><<⇒>⑥（平方法则）0(,1)n n a b a b n N n >>⇒>∈>且⑦（开方法则）0,1)a b n N n >>∈>且 ⑧（倒数法则）b a b a b a b a 110;110>⇒<<<⇒>>2、几个重要不等式 ①()222a b ab a b R +≥∈，,（当且仅当a b =时取""=号）. 变形公式：22.2a b ab +≤②（基本不等式）2a b +≥()a b R +∈，,（当且仅当a b =时取到等号）.变形公式：a b +≥2.2a b ab +⎛⎫≤ ⎪⎝⎭ 用基本不等式求最值时（积定和最小，和定积最大），要注意满足三个条件“一正、二定、三相等”.③（三个正数的算术—几何平均不等式）3a b c ++≥()a b c R +∈、、（当且仅当a b c ==时取到等号）.④()222a b c ab bc ca a b R ++≥++∈，（当且仅当a b c ==时取到等号）.⑤3333(0,0,0)a b c abc a b c ++≥>>> （当且仅当a b c ==时取到等号）. ⑥0,2b a ab a b >+≥若则（当仅当a=b 时取等号）0,2b a ab a b <+≤-若则（当仅当a=b 时取等号） ⑦b a n b n a m a m b a b <++<<++<1，（其中000)a b m n >>>>，，规律：小于1同加则变大，大于1同加则变小. ⑧220;a x a x a x a x a >>⇔>⇔<->当时，或22.x a x a a x a <⇔<⇔-<< ⑨绝对值三角不等式.a b a b a b -≤±≤+3、几个著名不等式①平均不等式：1122a b a b --+≤≤≤+，,a b R +∈（，当且仅当a b =时取""=号）.（即调和平均≤几何平均≤算术平均≤平方平均）.变形公式：222;22a b a b ab ++⎛⎫≤≤ ⎪⎝⎭ 222().2a b a b ++≥ ②幂平均不等式：222212121...(...).n n a a a a a a n +++≥+++③二维形式的三角不等式：≥1122(,,,).x y x y R ∈④二维形式的柯西不等式：22222()()()(,,,).a b c d ac bd a b c d R ++≥+∈当且仅当ad bc =时，等号成立.⑤三维形式的柯西不等式：2222222123123112233()()().a a ab b b a b a b a b ++++≥++⑥一般形式的柯西不等式： 2222221212(...)(...)n n a a a b b b ++++++21122(...).n n a b a b a b ≥+++ ⑦向量形式的柯西不等式：设,αβ是两个向量，则,αβαβ⋅≤当且仅当β是零向量，或存在实数k ，使k αβ=时，等号成立.⑧排序不等式（排序原理）：设1212...,...n n a a a b b b ≤≤≤≤≤≤为两组实数.12,,...,n c c c 是12,,...,n b b b 的任一排列，则12111122......n n n n n a b a b a b a c a c a c -+++≤+++1122....n n a b a b a b ≤+++（反序和≤乱序和≤顺序和），当且仅当12...n a a a ===或12...n b b b ===时，反序和等于顺序和.⑨琴生不等式:（特例:凸函数、凹函数）若定义在某区间上的函数()f x ,对于定义域中任意两点1212,(),x x x x ≠有12121212()()()()()().2222x x f x f x x x f x f x f f ++++≤≥或则称f(x)为凸（或凹）函数.4、不等式证明的几种常用方法常用方法有：比较法（作差，作商法）、综合法、分析法；其它方法有：换元法、反证法、放缩法、构造法，函数单调性法，数学归纳法等. 常见不等式的放缩方法：①舍去或加上一些项，如22131()();242a a ++>+ ②将分子或分母放大（缩小），如211,(1)kk k <- 211,(1)k k k>+=⇒<*,1)k N k >∈>等.5、一元二次不等式的解法求一元二次不等式20(0)ax bx c ++><或 2(0,40)a b ac ≠∆=->解集的步骤：一化：化二次项前的系数为正数.二判：判断对应方程的根.三求：求对应方程的根.四画：画出对应函数的图象.五解集：根据图象写出不等式的解集.规律：当二次项系数为正时，小于取中间，大于取两边.6、高次不等式的解法：穿根法.分解因式，把根标在数轴上，从右上方依次往下穿（奇穿偶切），结合原式不等号的方向，写出不等式的解集.7、分式不等式的解法：先移项通分标准化，则()0()()0()()()0()0()0()f x f x g x g x f x g x f x g x g x >⇔⋅>⋅≥⎧≥⇔⎨≠⎩ （<≤“或”时同理）规律：把分式不等式等价转化为整式不等式求解.8、无理不等式的解法：转化为有理不等式求解⑴2()0(0)()f x a a f x a ≥⎧>>⇔⎨>⎩⑵2()0(0)()f x a a f x a ≥⎧<>⇔⎨<⎩⑶2()0()0()()0()0()[()]f x f x g x g x g x f x g x >⎧≥⎧⎪>⇔≥⎨⎨<⎩⎪>⎩或⑷2()0()()0()[()]f x g x g x f x g x ≥⎧⎪<⇔>⎨⎪<⎩⑸()0()0()()f x g x f x g x ≥⎧⎪>⇔≥⎨⎪>⎩ 规律：把无理不等式等价转化为有理不等式，诀窍在于从“小”的一边分析求解.9、指数不等式的解法：⑴当1a >时,()()()()f x g x a a f x g x >⇔>⑵当01a <<时,()()()()f x g x a a f x g x >⇔< 规律：根据指数函数的性质转化.10、对数不等式的解法⑴当1a >时, ()0log ()log ()()0()()a a f x f x g x g x f x g x >⎧⎪>⇔>⎨⎪>⎩⑵当01a <<时, ()0log ()log ()()0.()()a a f x f x g x g x f x g x >⎧⎪>⇔>⎨⎪<⎩规律：根据对数函数的性质转化.11、含绝对值不等式的解法： ⑴定义法：(0).(0)a a a a a ≥⎧=⎨-<⎩ ⑵平方法：22()()()().f x g x f x g x ≤⇔≤⑶同解变形法，其同解定理有： ①(0);x a a x a a ≤⇔-≤≤≥ ②(0);x a x a x a a ≥⇔≥≤-≥或 ③()()()()()(()0)f xg x g x f x g x g x ≤⇔-≤≤≥ ④()()()()()()(()0)f x g x f x g x f x g x g x ≥⇔≥≤-≥或规律：关键是去掉绝对值的符号.12、含有两个（或两个以上）绝对值的不等式的解法：规律：找零点、划区间、分段讨论去绝对值、每段中取交集，最后取各段的并集.13、含参数的不等式的解法解形如20ax bx c ++>且含参数的不等式时，要对参数进行分类讨论，分类讨论的标准有： ⑴讨论a 与0的大小；⑵讨论∆与0的大小；⑶讨论两根的大小.14、恒成立问题⑴不等式20ax bx c ++>的解集是全体实数（或恒成立）的条件是： ①当0a =时 0,0;b c ⇒=>②当0a ≠时00.a >⎧⇒⎨∆<⎩ ⑵不等式20ax bx c ++<的解集是全体实数（或恒成立）的条件是：①当0a =时0,0;b c ⇒=<②当0a ≠时00.a <⎧⇒⎨∆<⎩ ⑶()f x a <恒成立max ();f x a ⇔<()f x a ≤恒成立max ();f x a ⇔≤⑷()f x a >恒成立min ();f x a ⇔>()f x a ≥恒成立min ().f x a ⇔≥15、线性规划问题常见的目标函数的类型：①“截距”型：;z Ax By =+ ②“斜率”型：y z x =或;y b z x a -=-③“距离”型：22z x y =+或z = 22()()z x a y b =-+-或z =在求该“三型”的目标函数的最值时，可结合线性规划与代数式的几何意义求解，从而使问题简单化.。

基本不等式知识点梳理

基本不等式1、教学重点：应用数形结合的思想理解不等式ab b a 222≥+，并从不同角度探索不等式2a b ab +≤的证明过程；通过简单的变形发现基本不等式在最值问题上的作用，并能够进行使用条件辨析及其简单运用。

2、教学难点：基本不等式2a b ab +≤使用限制条件基本不等式2a b ab +≤等号成立条件基本不等式在最值问题中的运用3、学生必须掌握的内容：1．重要不等式定理1：如果a ，b ∈R ，那么a 2＋b 2≥2ab ，当且仅当a ＝b 时，等号成立．2．基本不等式(1)定理2：如果a ，b >0，那么2a b ab +≥ ( a ＋b 2≥ab)，当且仅当a ＝b 时，等号成立．(2)定理2的应用：对两个正实数x ，y ，①如果它们的和S 是定值，则当且仅当x ＝y 时，它们的积P 取得最大值，最大值为S 24. ②如果它们的积P 是定值，则当且仅当x ＝y 时，它们的和S 取得最小值，最小值为2P .3．基本不等式ab ≤a ＋b 2的几何解释如图，AB 是⊙O 的直径，C 是AB 上任意一点，DE 是过C 点垂直AB 的弦．若AC ＝a ，BC ＝b ，则AB ＝a ＋b ，⊙O 的半径R ＝a ＋b 2，Rt △ACD ∽Rt △DCB ，CD 2＝AC ·BC ＝ab ，CD ＝ab ，CD ≤R ⇒ab ≤a ＋b 2，当且仅当C 点与O 点重合时，CD ＝R ＝AB 2，即ab ＝a ＋b 2.4．几个常用的重要不等式(1)如果a ∈R ，那么a 2≥0，当且仅当a ＝0时取等号；(2)如果a ，b >0，那么ab ≤（a ＋b ）24，当且仅当a ＝b 时等号成立． (3)如果a >0，那么a ＋1a ≥2，当且仅当a ＝1时等号成立．(4)如果ab >0，那么a b ＋b a ≥2，当且仅当a ＝b 时等号成立．3．三个正数的算术-几何平均不等式1．如果a 、b 、c ∈R ＋，那么a 3＋b 3＋c 3≥3abc ，当且仅当a ＝b ＝c 时，等号成立．2．(定理3)如果a 、b 、c ∈R ＋，那么3++≥a b c (a ＋b ＋c 3≥3abc)，当且仅当a ＝b ＝c 时，等号成立．即三个正数的算术平均不小于它们的几何平均．3．如果a 1，a 2，…，a n ∈R ＋，那么a 1＋a 2＋…＋a n n ≥n a 1a 2…a n ，当且仅当a 1＝a 2＝…＝a n 时，等号成立．即对于n 个正数a 1，a 2，…，a n ，它们的算术平均不小于它们的几何平均．4、容易出现的问题：学生容易忽略和混淆不等式取到等号的条件，容易遗忘不等式使用的限制条件.5、解决方法：找到具体实例，和学生一起分析存在的问题并及时纠正学生的易错之处.。

《基本不等式》知识清单

《基本不等式》知识清单一、基本不等式的定义如果 a，b 是正数，那么＄＼sqrt{ab} ＼leq ＼frac{a ＋ b}｛2}＄，当且仅当 a ＝ b 时，等号成立。

其中，我们把＄＼frac{a ＋ b}｛2}＄称为正数 a，b 的算术平均数，＄＼sqrt{ab}＄称为正数 a，b 的几何平均数。

这个基本不等式揭示了两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数。

二、基本不等式的推导我们可以通过完全平方公式来推导基本不等式。

因为对于任意实数 a，b，有＄（a b)＾2 ＼geq 0$ ，展开得到＄a^2 2ab ＋ b^2 ＼geq 0$ ，即＄a^2 ＋ b^2 ＼geq 2ab$ 。

当 a，b 都是正数时，两边同时加上 2ab，得到：＄（a ＋ b)＾2 ＼geq 4ab$ ，即＄a ＋ b ＼geq 2\sqrt{ab}＄，变形可得＄＼sqrt{ab} ＼leq ＼frac{a ＋ b}｛2}＄。

当且仅当 a ＝ b 时，等号成立。

三、基本不等式的几何解释以直角三角形为例，如果直角三角形的两条直角边长度分别为a，b，那么它的面积为＄＼frac{1}｛2}ab$ 。

而以斜边 c 为直径作半圆，在半圆上取一点与直角三角形的斜边两端点相连，构成一个直角梯形。

这个直角梯形的面积为＄＼frac{1}｛2}（a ＋ b)＾2$ 。

同时，直角三角形的面积也可以表示为以斜边 c 为半径的半圆面积的一半，即＄＼frac{1}｛2}＼pi(＼frac{c}｛2}）＾2 ＝＼frac{＼pi c^2}｛8}＄。

由于直角梯形的面积不小于直角三角形的面积，所以有＄＼frac{1}｛2}（a ＋ b)＾2 ＼geq ＼frac{＼pi c^2}｛8}＄，进一步变形可得＄＼sqrt{ab} ＼leq ＼frac{a ＋ b}｛2}＄。

四、基本不等式的变形1、＄a^2 ＋ b^2 ＼geq 2ab$ （当且仅当 a ＝ b 时，等号成立）2、＄ab ＼leq （＼frac{a ＋ b}｛2}）＾2$ （当且仅当 a ＝ b 时，等号成立）3、＄＼frac{a ＋ b}｛2} ＼geq ＼sqrt{ab}＄（当且仅当 a ＝ b 时，等号成立）4、若 a，b 同号，则＄＼frac{2ab}｛a ＋ b} ＼leq ＼sqrt{ab}＄（当且仅当 a ＝ b 时，等号成立）五、基本不等式的应用1、求最值（1）若 x，y 都是正数，且 x ＋ y ＝ S（定值），则当 x ＝ y 时，xy 有最大值＄＼frac{S^2}｛4}＄。

数学基本不等式知识点提纲

数学基本不等式知识点提纲一、平均不等式1. 算术平均数不等式：对于任意正实数 a1、a2、...、an，有 (a1+a2+...+an)/n >= √(a1·a2·...·an)2. 几何平均数不等式：对于任意正实数 a1、a2、...、an，有 (a1·a2·...·an)^(1/n) >= (a1+a2+...+an)/n二、平方不等式1. 平方差不等式：对于任意实数 a 和 b，有 (a-b)^2 >= 0，即 a^2 + b^2 >= 2ab2. 平方均值不等式：对于任意非负实数 a1、a2、...、an，有(a1^2+a2^2+...+an^2)/n >= (a1+a2+...+an)^2/n^2三、柯西-施瓦茨不等式对于任意实数 a1、a2、...、an 和 b1、b2、...、bn，有(a1*b1+a2*b2+...+an*bn)^2 <= (a1^2+a2^2+...+an^2)·(b1^2+b2^2+...+bn^2)四、三角不等式1. 绝对值不等式：对于任意实数 a 和 b，有 |a+b| <= |a| + |b|2. 三角形不等式：对于任意实数 a、b 和 c，有 |a+b| <= |a| + |b|； |a-b| <= |a| + |b|； |a-b| <= |a| - |b|五、其他不等式1. 极值不等式：若函数 f(x) 在 [a,b] 上连续，且在 (a,b) 内可导，且在 a 和 b 处均有极值，那么在 [a,b] 上 f(x) 的最大值不超过其极值，最小值不低于其极值。

2. 线性不等式：对于任意实数 a、b、c，若 a > b，那么 ac > bc，若 c > 0，那么 ac > bc。

3. 加权不等式：对于任意正实数 a 和 b，若 p 和 q 是实数且 p+q=1，那么a^p·b^q >= pa + qb这些是数学基本不等式的一些知识点提纲，可以根据具体需要深入研究各个不等式的性质和应用。

高考数学-基本不等式(知识点归纳)

高考数学-基本不等式(知识点归纳) 高中数学基本不等式的巧用一、基本不等式1.若$a,b\in\mathbb{R}$，则$a+b\geq 2ab$，$ab\leq\frac{(a+b)^2}{4}$（当且仅当$a=b$时取“=”）2.若$a,b\in\mathbb{R}$，则$\frac{a+b}{2}\geq\sqrt{ab}$（当且仅当$a=b$时取“=”）3.若$x>1$，则$x+\frac{1}{x}\geq 2$（当且仅当$x=1$时取“=”）；若$x<1$，则$x+\frac{1}{x}\leq -2$（当且仅当$x=-1$时取“=”）；若$x\neq 0$，则$x+\frac{1}{x}\geq 2$或$x+\frac{1}{x}\leq -2$（当且仅当$x=1$或$x=-1$时取“=”）4.若$a,b>0$，则$\frac{a}{b}+\frac{b}{a}\geq 2$（当且仅当$a=b$时取“=”）；若$ab\neq 0$，则$\frac{a}{b}+\frac{b}{a}\geq 2$或$\frac{a}{b}+\frac{b}{a}\leq -2$（当且仅当$a=b$时取“=”）注：（1）当两个正数的积为定值时，可以求它们的和的最小值，当两个正数的和为定值时，可以求它们的积的最大值，正所谓“积定和最小，和定积最大”。

2）求最值的条件“一正，二定，三取等”。

3）均值定理在求最值、比较大小、求变量的取值范围、证明不等式、解决实际问题方面有广泛的应用。

应用一：求最值例1：求下列函数的值域1.$y=3x+\frac{11}{2}$2.$y=x+\frac{1}{2x}$解：（1）$y=3x+\frac{11}{2}\geq 6$，所以值域为$[6,+\infty)$。

2）当$x>0$时，$y=x+\frac{1}{2x}\geq 2$；当$x<0$时，$y=x+\frac{1}{2x}\leq -2$；当$x=0$时，$y$无定义。

数学基本不等式知识点(高中数学知识点复习资料归纳整理)

数学基本不等式知识点（高中数学知识点复习资料归纳整理）基本不等式【考纲要求】1. 了解基本不等式的证明过程，理解基本不等式的几何意义，并掌握定理中的不等号“≥”取等号的条件是：当且仅当这两个数相等；2. 会用基本不等式解决最大（小）值问题.3. 会应用基本不等式求某些函数的最值；能够解决一些简单的实际问题【知识网络】【考点梳理】考点一：重要不等式及几何意义1．重要不等式：如果，那么（当且仅当时取等号“=”）.2．基本不等式：如果是正数，那么（当且仅当时取等号“=”）.要点诠释：和两者的异同：（1）成立的条件是不同的：前者只要求都是实数，而后者要求都是正数；（2）取等号“=”的条件在形式上是相同的，都是“当且仅当时取等号”。

（3）可以变形为：，可以变形为：.3. 如图，是圆的直径，点C是AB上的一点，AC=a,BC=b，过点C作交圆于点D，连接AD、BD易证，那么，即.这个圆的半径为，它大于或等于CD，即，其中当且仅当点C与圆心重合，即a=b时，等号成立.要点诠释：1. 在数学中，我们称为a,b的算术平均数，称为a,b 的几何平均数. 因此基本不等式可叙述为：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数.2. 如果把看作是正数的等差中项，看作是正数的等比中项，那么基本不等式可以叙述为：两个正数的等差中项不小于它们的等比中项.考点二：基本不等式的证明1. 几何面积法如图，在正方形ABCD中有四个全等的直角三角形。

设直角三角形的两条直角边长为a、b，那么正方形的边长为。

这样，4个直角三角形的面积的和是2ab，正方形ABCD的面积为。

由于4个直角三角形的面积小于正方形的面积，所以：。

当直角三角形变为等腰直角三角形，即a=b时，正方形EFGH缩为一个点，这时有。

得到结论：如果，那么（当且仅当时取等号“=”）特别的，如果a>0，b>0，我们用、分别代替a、b，可得：如果a>0，b>0，则，（当且仅当a=b时取等号“=”）.通常我们把上式写作：如果a>0，b>0，，（当且仅当a=b时取等号“=”）2. 代数法∵，当时，；当时，.所以，（当且仅当时取等号“=”）.特别的，如果，,我们用、分别代替、，可得：如果，,则，（当且仅当时取等号“=”）.通常我们把上式写作：如果，,，（当且仅当时取等号“=”）.要点三、用基本不等式求最大（小）值在用基本不等式求函数的最值时，应具备三个条件：一正二定三取等。

必修五数学基本不等式知识点总结

必修五数学基本不等式知识点总结
必修五数学基本不等式的知识点总结如下：
1. 基本不等式的定义：对于任意的实数a和b，有a≤b，即两个数的大小关系。

2. 数轴上的不等式：通过将不等式转化为数轴上的线段表示，可以直观地表示出不等式的解集。

3. 加法性质：对于任意的实数a、b和c，如果a≤b，则a+c≤b+c。

4. 减法性质：对于任意的实数a、b和c，如果a≤b，则a-c≤b-c。

5. 乘法性质：对于任意的实数a、b和c，如果a≤b且c≥0，则ac≤bc。

如果a≤b且c ≤0，则ac≥bc。

6. 除法性质：对于任意的实数a、b和c，如果a≤b且c>0，则a/c≤b/c。

如果a≤b且c<0，则a/c≥b/c。

7. 对称性：对于任意的实数a和b，如果a≤b，则b≥a，反之亦然。

8. 传递性：对于任意的实数a、b和c，如果a≤b且b≤c，则a≤c。

9. 绝对值不等式：对于任意的实数a，有|a|≥a或|a|≥-a。

10. 三角形不等式：对于任意的三角形的边a、b和c，有a+b>c、a+c>b和b+c>a。

以上就是必修五数学基本不等式的知识点总结。

(完整版)基本不等式知识点和基本题型

基本不等式专题辅导一、知识点总结1、基本不等式原始形式（1）若R b a ∈,，则ab b a 222≥+ （2）若R b a ∈,，则222b a ab +≤2、基本不等式一般形式（均值不等式）若*,R b a ∈，则ab b a 2≥+ 3、基本不等式的两个重要变形（1）若*,R b a ∈，则ab b a ≥+2 （2）若*,R b a ∈，则22⎪⎭⎫ ⎝⎛+≤b a ab 总结：当两个正数的积为定植时，它们的和有最小值；当两个正数的和为定植时，它们的积有最小值；特别说明：以上不等式中，当且仅当b a =时取“=” 4、求最值的条件：“一正，二定，三相等” 5、常用结论（1）若0x >，则12x x +≥ (当且仅当1x =时取“=”）（2）若0x <，则12x x+≤- (当且仅当1x =-时取“=”）（3）若0>ab ，则2≥+ab b a (当且仅当b a =时取“=”）（4）若R b a ∈,，则2)2(222b a b a ab +≤+≤ （5）若*,R b a ∈，则2211122b a b a ab ba +≤+≤≤+ 特别说明：以上不等式中，当且仅当b a =时取“=” 6、柯西不等式（1）若,,,a b c d R ∈，则22222()()()a b c d ac bd ++≥+（2）若123123,,,,,a a a b b b R ∈，则有：22222221231123112233()()()a a a b b b a b a b a b ++++≥++（3）设1212,,,,,,n n a a a b b ⋅⋅⋅⋅⋅⋅与b 是两组实数，则有22212(n a a a ++⋅⋅⋅+)22212)n b b b ++⋅⋅⋅+(21122()n n a b a b a b ≥++⋅⋅⋅+ 二、题型分析题型一：利用基本不等式证明不等式 1、设b a ,均为正数，证明不等式:ab ≥ba 112+2、已知c b a ,,为两两不相等的实数，求证：ca bc ab c b a ++>++2223、已知1a b c ++=，求证：22213a b c ++≥4、已知,,a b c R +∈，且1a b c ++=，求证：abc c b a 8)1)(1)(1(≥---已知,,a b c R +∈，且1a b c ++=，求证：1111118a b c ⎛⎫⎛⎫⎛⎫---≥ ⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭6、选修4—5：不等式选讲设,,a b c 均为正数,且1a b c ++=,证明:(Ⅰ)13ab bc ca ++≤; (Ⅱ)2221a b c b c a++≥.7、选修4—5：不等式选讲：已知0>≥b a ，求证:b a ab b a 223322-≥-题型二：利用不等式求函数值域1、求下列函数的值域（1）22213x x y += （2）)4(x x y -= （3）)0(1>+=x x x y （4）)0(1<+=x xx y题型三：利用不等式求最值（一）（凑项） 1、已知2>x ，求函数42442-+-=x x y 的最小值；变式1：已知2>x ，求函数4242-+=x x y 的最小值；变式2：已知2<x ，求函数4242-+=x x y 的最大值；练习：1、已知54x >，求函数14245y x x =-+-的最小值；2、已知54x <，求函数14245y x x =-+-的最大值；题型四：利用不等式求最值（二）（凑系数） 1、当时，求(82)y x x =-的最大值；变式1：当时，求4(82)y x x =-的最大值；变式2：设230<<x ，求函数)23(4x x y -=的最大值。

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