湖南省长郡中学2021届高三上学期第二次月考数学试卷及答案
2021年高三上学期第二次月考数学试题含答案
2021年高三上学期第二次月考数学试题含答案一、选择题：1．复数（）A．4﹣2i B．﹣4+2i C．2+4i D．2﹣4i2．若集合A={1，m2}，B={3，4}，则“m=2”是“A∩B={4}”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件 C．充要条件D．既不充分也不必要条件3．已知平面向量，满足•（+）=3，且||=2，||=1，则向量与的夹角为（）A．B．C．D．4．设等差数列{a n}的前n项和为S n，若a2=﹣11，a5+a9=﹣2，则当S n取最小值时，n等于（）A．9 B．8 C．7 D．65．已知抛物线y2=8x与双曲线﹣y2=1的一个交点为M，F为抛物线的焦点，若|MF|=5，则该双曲线的渐近线方程为（）A．5x±3y=0 B．3x±5y=0 C．4x±5y=0 D．5x±4y=06．定义=a1a4﹣a2a3，若f（x）=，则f（x）的图象向右平移个单位得到的函数解析式为（）A．y=2sin（x﹣）B．y=2sin（x+）C．y=2cosx D．y=2sinx7．关于两条不同的直线m、n与两个不同的平面α、β，下列命题正确的是（）A．m∥α，n∥β且α∥β，则m∥n B．m⊥α，n⊥β且α⊥β，则m∥nC．m⊥α，n∥β且α∥β，则m⊥n D．m∥α，n⊥β且α⊥β，则m∥n8．函数f（x）是定义在R上的偶函数，且对任意的x∈R，都有f（x+2）=f（x）．当0≤x≤1时，f（x）=x2．若直线y=x+a与函数y=f（x）的图象有两个不同的公共点，则实数a的值为（）A．n（n∈Z）B．2n（n∈Z）C．2n或（n∈Z）D．n或（n∈Z）9．已知O是坐标原点，点A（﹣2，1），若点M（x，y）为平面区域上的一个动点，则的取值范围是（）A．[0，1]B．[0，2]C．[﹣1，0] D．[﹣1，2]10．若函数f（x）满足f（x）+1=，当x∈[0，1]时，f（x）=x，若在区间（﹣1，1]上，方程f（x）﹣mx﹣2m=0有两个实数解，则实数m的取值范围是（）A．0＜m≤B．0＜m＜C．＜m≤l D．＜m＜1二、填空题：11．已知f（x）=，定义f1（x）=f′（x），f2（x）=[f1（x）]′，…，f n+1（x）=[f n（x）]′，n∈N*．经计算f1（x）=，f2（x）=，f3（x）=，…，照此规律，则f n（x）=．12．如图是一个算法的流程图．若输入x的值为2，则输出y的值是．13．某圆柱切割获得的几何体的三视图如图所示，其中俯视图是中心角为的扇形，则该几何体的体积为．14．已知P是直线3x+4y﹣10=0上的动点，PA，PB是圆x2+y2﹣2x+4y+4=0的两条切线，A，B是切点，C是圆心，那么四边形PACB面积的最小值为．15．设全集U={1，2，3，4，5，6}，用U的子集可表示由0，1组成的6位字符串，如：{2，4}表示的是第2个字符是1，第4个字符为1，其它均为0的6位字符串010100，并规定空集表示为000000．若A={1，3}，集合A∪B表示的字符串为101001，则满足条件的集合B的个数为．三、解答题：本大题共6小题，共75分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.16．汽车是碳排放量比较大的行业之一，某地规定，从xx年开始，将对二氧化碳排放量超过130g/km的轻型汽车进行惩罚性征税．检测单位对甲、乙两品牌轻型汽车各抽取5辆进行二氧化碳排放量检测，记录如表（单位：g/km）．甲80 110 120 140 150乙100 120 x 100 160经测算得乙品牌轻型汽车二氧化碳排放量的平均值为=120g/km．2016-12-27 高三数学（复读全） 1双考（1）求表中x的值，并比较甲、乙两品牌轻型汽车二氧化碳排放量的稳定性；（2）从被检测的5辆甲品牌轻型汽车中任取2辆，则至少有一辆二氧化碳排放量超过130g/km 的概率是多少？17．已知函数f（x）=2sinxcosx+2cos2x﹣，x∈R．（Ⅰ）求函数y=f（﹣3x）+1的最小正周期和单调递减区间；（Ⅱ）已知△ABC中的三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若锐角A满足f（﹣）=，且a=7，sinB+sinC=，求△ABC的面积．18．已知四棱锥A﹣BCDE，其中AB=BC=AC=BE=1，CD=2，CD⊥面ABC，BE∥CD，F 为AD的中点．（Ⅰ）求证：EF∥面ABC；（Ⅱ）求证：平面ADE⊥平面ACD；（Ⅲ）求四棱锥A﹣BCDE的体积．19．已知数列{a n}前n项和S n满足：2S n+a n=1（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）设b n=，数列{b n}的前n项和为T n，求证：T n＜．20．已知函数f（x）=2（a+1）lnx﹣ax，g（x）=﹣x（1）若函数f（x）在定义域内为单调函数，求实数a的取值范围；（2）证明：若﹣1＜a＜7，则对于任意x1，x2∈（1，+∞），x1≠x2，有＞﹣1．21．在平面直角坐标系中，椭圆：的离心率为，右焦点. （1）求椭圆的方程；（2）点在椭圆上，且在第一象限内，直线与圆：相切于点，且，求点的纵坐标的值．立人中学第二次月考试题数学试题参考答案一、选择题：1～5 B A C C A 6～10 D C C D A二、填空题：11．；12．﹣2；13．2π；14．2；15．4．15【解答】解：若A={1，3}，集合A∪B表示的字符串为101001，∴集合B可能是{6}，{1，6}，{3，6}，{1，3，6}，故答案为：4．三、解答题：16．【解答】解：（1）由==120得，x=120；==120；S2甲= [（80﹣120）2+(110-120)2+(120-120)2+(140-120)2+(150-120)2]=600；S2乙= [（100﹣120）2+(120-120)2+(120-120)2+(100-120)2+(160-120)2]=480；因为S2甲＞S2乙；故乙品牌轻型汽车二氧化碳排放量的稳定性更好；（2）从被检测的5辆甲品牌轻型汽车中任取2辆，共有=10种情况，至少有一辆二氧化碳排放量超过130g/km的情况有×+1=7种，故至少有一辆二氧化碳排放量超过130g/km的概率是．17．【解答】（本小题满分12分）解：（Ⅰ）∵=…∴，∴y=f（﹣3x）+1的最小正周期为…由得：，k∈Z，∴y=f（﹣3x）+1的单调递减区间是，k∈Z…（Ⅱ）∵，∴，∴…∵，∴．由正弦定理得：，即，∴b+c=13…由余弦定理a2=b2+c2﹣2bccosA得：a2=（b+c）2﹣2bc﹣2bccosA，即49=169﹣3bc，∴bc=40 (1)∴…18．【解答】证明：（Ⅰ）取AC中点G，连接FG、BG，∵F，G分别是AD，AC的中点∴FG∥CD，且FG=DC=1．∵BE∥CD∴FG与BE平行且相等∴EF∥BG．EF⊄面ABC，BG⊂面ABC∴EF∥面ABC…（Ⅱ）∵△ABC 为等边三角形∴BG ⊥AC又∵DC ⊥面ABC ，BG ⊂面ABC ∴DC ⊥BG∴BG 垂直于面ADC 的两条相交直线AC ，DC ，∴BG ⊥面ADC ． …∵EF ∥BG∴EF ⊥面ADC∵EF ⊂面ADE ，∴面ADE ⊥面ADC ． …解：（Ⅲ）方法一：连接EC ，该四棱锥分为两个三棱锥E ﹣ABC 和E ﹣ADC ．．…方法二：取BC 的中点为O ，连接AO ，则AO ⊥BC ，又CD ⊥平面ABC ， ∴CD ⊥AO ，BC ∩CD=C ，∴AO ⊥平面BCDE ，∴AO 为V A ﹣BCDE 的高，，∴．19．【解答】（I ）解：∵2S n +a n =1，∴当n ≥2时，2S n ﹣1+a n ﹣1=1，∴2a n +a n ﹣a n ﹣1=0，化为．当n=1时，2a 1+a 1=1，∴a 1=．∴数列{a n }是等比数列，首项与公比都为．∴．（II ）证明：b n ====，∴数列{b n }的前n 项和为T n =++…+=． ∴T n ＜．20．【解答】解：（1）函数f （x ）=2（a +1）lnx ﹣ax 的定义域是（0，+∞）， ∴=，∵函数f （x ）在定义域内为单调函数，∴f ′（x ）≥0或f ′（x ）≤0在（0，+∞）上恒成立，则﹣ax +2（a +1）≥0或﹣ax +2（a +1）≤0在（0，+∞）上恒成立， ①当a=0时，则有2≥0恒成立，函数f （x ）在（0，+∞）上为增函数； ②当a ＞0时，函数y=﹣ax +2（a +1）在（0，+∞）上为减函数，∴只要2（a +1）≤0，即a ≤﹣1时满足f ′（x ）≤0成立，此时a 无解； ③当a ＜0时，函数y=﹣ax +2（a +1）在（0，+∞）上为增函数，∴只要2（a +1）≥0，即a ≥﹣1时满足f ′（x ）≥0成立，此时﹣1≤a ＜0； 综上可得，实数a 的取值范围是[﹣1，0]；证明：（2）g （x ）=﹣x=在（1，+∞）单调递增，∵x 1，x 2∈（1，+∞），不妨设x 1＞x 2，∴g （x 1）＞g （x 2），∴等价于f （x 1）﹣f （x 2）＞﹣g （x 1）+g （x 2），则f （x 1）+g （x 1）＞f （x 2）+g （x 2），设h （x ）=f （x ）+g （x ）=2（a +1）lnx ﹣（a +1）x +，则h ′（x ）==，2016-12-27 高三数学（复读全） 2双 考∵﹣1＜a ＜7，∴a +1＞0，∴2=2，当且仅当时取等号，∴h ′（x ）≥2﹣（a +1）=，∵﹣1＜a ＜7，∴＞0，即h ′（x ）＞0，∴h （x ）在（1，+∞）上单调递增，满足f （x 1）+g （x 1）＞f （x 2）+g （x 2）， 即若﹣1＜a ＜7，则对于任意x 1，x 2∈（1，+∞），x 1≠x 2，有＞﹣1成立．21.解：（1）∴，，∴，∴椭圆方程为．（2）①当轴时，，，由，解得．②当不垂直于轴时，设，方程为，即， ∵与圆相切，∴，∴，∴，又，所以由，得，∴2202222200(33)123(1)(1)(3)334x k k x k x k +==+++---， ∴．综上：．%Sg31436 7ACC 竌40450 9E02 鸂23930 5D7A 嵺31351 7A77 穷 @ hG36878 900E 逎H22228 56D4 囔。
湖南省长沙市长郡中学高三数学第二次月考试卷 文 新人教A版
长郡中学高三数学备课组组稿（考试范围：高考全部内容）本试题卷包括选择题、填空题和解答题三部分，共8页。
时量120分钟。
满分150分。
一、选择题：本大题共9小题，每小题5分，共45分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．设1z i =+(i 是虚数单位)，则22z z+等于 A ．1i + B ．1i -+ C ．i - D ．1i --2．点M 、N 分别是正方体ABCD 1111A B C D -的棱11A B 、11A D 的中点，用过A 、M 、N 和D 、N 、1C 的两个截面截去正方体的两个角后得到的几何体如下图，则该几何体的正（主）视图、侧（左）视图、俯视图依次为A ．①、②、③B ．②、③、④C ．①、③、④D ．②、④、③ 3．在△ABC 中，60,2A AB ∠==，且△ABC 的面积为32，则BC 的长为 A 3．3 C 7 D ．7 4．给出如下四个命题：①若“p q ∧”为假命题，则,p q 均为假命题;②命题“若a>b ，则221a b >-”的否命题为“若a ≤b ，则221a b≤-”；③命题“任意2,10x R x ∈+≥”的否定是“存在200,10x R x ∈+<”；④在△ABC 中，“A>B “是“sin A>sin B ”的充要条件． 其中不正确命题的个数是A ．4B ．3C ．2D ．1 5．设第一象限内的点(,)x y 满足240,0,x y x y --≤⎧⎨-≥⎩若目标函数(0,0)z ax by a b =+>>的最大值是4，则11a b+的最小值为 A ．3 B ．4 C ．8 D ．96．设奇函数()f x 在[]1,1-上是增函数，且(1)1f -=-，若函数2()21f x t at ≤-+对所有的[]1,1x ∈-都成立，则当[]1,1a ∈-时t 的取值范围是 A ．22t -≤≤ B ．1122t -≤≤ C ．202t t t ≤-=≥或或 D ．11022t t t ≤-=≥或或7．如图，平行四边形ABCD 中，2,160AB AD A ==∠=， 点M 在AB 边上，且13AM AB =，则DM DB 等于 A ．33-B ．32C ．-1D ．1 8．已知{}n a 为等差数列，若3489a a a ++=，则9S = A ．24 B ．27 C ．15 D ．549．设函数3()4(02)f x x x a a =-+<<有三个零点1x 、2x 、3x ，且123x x x <<，则下列结论正确的是A. 11x >-B.20x <C.32x >D.201x <<选择题答题卡二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分，把答案填在答题卡中对应题号后的横线上． 10.设集合{}{}{}0,1,2,3,4,5,6,,1,3,5,2,4,6U M N ===，则_________．11.在等差数列{}n a 中，若1594a a a π++=，则46tan()a a +=___________.12．已知矩形ABCD 的顶点都在半径为5的球O 的球面上，且AB=8，23BC =，则棱锥O-ABCD 的体积为__________．13.若{}222250,(,)|30,(,)|(0)0,x y x y x x y x y m m x y ⎧-+≥⎫⎧⎪⎪⎪-≥⊆+≤>⎨⎨⎬⎪⎪⎪+≥⎩⎩⎭，则实数m 的取值范围是___________.14．已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左顶点与抛物线22(0)y px p =>的焦点的距离为4，且双曲线的一条渐近线与抛物线准线的交点坐标为（-2，-1），则双曲线的焦距为__________． 15.定义平面向量的一种运算：sin ,a b a b a b ⊗=，则下列命题： ①a b b a ⊗=⊗;②()()a b a λλ⊗=;③()()()a b c a c b c +⊗=⊗+⊗; ④若1122(,),(,)a x y b x y ==，则1221a b x y x y ⊗=-．其中真命题是_________（写出所有真命题的序号）．三、解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 16.（本小题满分12分） 向量113(,sin cos ),(1,)22a x x b y =+=，已知a ∥b ，且有函数()y f x =． (])求函数()y f x =的最小正周期;(2)已知锐角△ABCC 的三个内角分别为A,B,C ，若有()33A π-=，边217,sin BC B ==，求AC 的长及△ABC 的面积． 1 7．（本小题满分12分）已知在四棱锥P - ABCD 中，底面 ABCD 是矩形，PA ⊥平面ABCD ，AB= 2，PA=AD=1，E ，F 分别是AB 、PD 的中点．(l)求证：AF ⊥平面PDC ； (2)求三棱锥B-PEC 的体积； (3)求证：AF//平面PEC.. 18.（本小题满分12分）已知函数2()24f x x x =-+，数列{}n a 是公差为d 的等差数列，若13(1),(1)a f d a f d =-=+(1)求数列{}n a 的通项公式； (2)n S 为{}n a 的前n 项和，求证：1211113n S S S ++⋅⋅⋅+≥. 19.（本小题满分13分）请你设计一个LED 霓虹灯灯箱．现有一批LED 霓 虹灯灯箱材料如图所示，ABCD 是边长为60 cm 的 正方形LED 散片，边CD 上有一以其中点M 为圆心，半径为2 cm 的半圆形缺损，因此切去阴影部分 （含半圆形缺损）所示的四个全等的等腰直角三角 形，再沿虚线折起，使得ABCD 四个点重合于空 间一点P ，正好形成一个正四棱柱形状有盖的LED霓虹灯灯箱，E 、F 在AB 上是被切去的等腰直角三角形斜边的两个端点，设AE= FB=xcm.(1)用规格长×宽×高=145 cm ×145 cm ×75 cm 外包装盒来装你所设计的LED 霓虹灯灯箱，灯箱彼此间隔空隙至多0.5 cm ，请问包装盒至少能装多少只LED 霓虹灯灯箱（每只灯箱容积V 最大时所装灯箱只数最少）?(2)若材料成本2元／2cm ，霓虹灯灯箱销售时以霓虹灯灯箱侧面积S(2cm )为准，售价为2.4元／2cm ．试问每售出一个霓虹灯灯箱可获最大利润是多少？20.（本小题满分13分）已知向量,(ln ),(1,()),//x m e x k n f x m n =+=（k 为常数，e 是自然对数的底数），曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线与y 轴垂直，()'()x F x xe f x =．(l)求k 的值及F(x )的单调区间；(2)已知函数2()2g x x ax =-+（a 为正实数），若对于任意[]20,1x ∈，总存在1(0.)x ∈+∞，使得21()()g x F x <，求实数a 的取值范围．21.（本小题满分13分）在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆C ：2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左焦点为1(1,0)F -，且椭圆C 的离心率12e =. (1)求椭圆C 的方程;(2)设椭圆C 的上下顶点分别为12,A A ，Q 是椭圆C 上异于12,A A 的任一点，直线12,QA QA 分别交x 轴于点S ，T ，证明：OS OT 为定值，并求出该定值；(3)在椭圆C 上，是否存在点(,)M m n ，使得直线:2l mx ny +=与圆2216:7O x y +=相交于不同的两点A 、B ，且△OAB 的面积最大？若存在，求出点M 的坐标及对应的△OAB 的面积；若不存在，请说明理由．。
湖南省长沙市长郡中学2022-2023学年高三上学期月考(二)数学试题(含解析)
长郡中学2022-2023届高三月考试卷（二）数学2022.10一、选择题1.已知全集U =R ，集合{}2,3,4A =，集合{}0,2,4,5B =，则图中的阴影部分表示的集合为（）A.{}2,4 B.{}0 C.{}5 D.{}0,52.若i1ia z +=-（i 为虚数单位）是纯虚数，则=a （）A.-1B.0C.1D.23.已知函数()y f x =的图像在点()()33P f ,处的切线方程是27y x =-+，则()()33f f '-=（）A.2- B.2C.3- D.34.命题p ：“2R,240x ax ax ∃∈+-≥”为假命题，则a 的取值范围是（）A.40a -<£B.40a -≤< C.30a -≤≤ D.40a -≤≤5.当102x <≤时，4log xa x <，则a 的取值范围是（）A.0,2⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭B.,12⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭C.D.2)6.已知函数π()sin (0)3f x x ωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭在π,π3⎡⎤⎢⎥⎣⎦上恰有3个零点，则ω的取值范围是（）A.81114,4,333⎡⎫⎛⎫⋃⎪ ⎪⎢⎣⎭⎝⎭B.111417,4,333⎡⎫⎡⎫⋃⎪⎪⎢⎢⎣⎭⎣⎭C.111417,5,333⎡⎫⎛⎫⋃⎪ ⎪⎢⎣⎭⎝⎭D.141720,5,333⎡⎫⎡⎫⋃⎪⎪⎢⎢⎣⎭⎣⎭7.南宋数学家杨辉在《详解九章算法》和《算法通变本末》中，提出了一些新的垛积公式，所讨论的高阶等差数列与一般等差数列不同，前后两项之差并不相等，但是逐项差数之差或者高次差成等差数列对这类高阶等差数列的研究，在杨辉之后一般称为“垛积术”现有高阶等差数列，其前7项分别为1，4，8，14，23，36，54，则该数列的第19项为（）（注：()()22221211236n n n n ++++++=）A.1624B.1198C.1024D.15608.已知函数()3f x x ax b =++，a 、b R ∈．1x 、()2,x m n ∈且满足()()1f x f n =，()()2f x f m =，对任意的[],x m n ∈恒有()()()f m f x f n ≤≤，则当a 、b 取不同的值时，（）A.12n x +与22m x -均为定值B.12n x -与22m x +均为定值C.12n x -与22m x -均为定值D.12n x +与22m x +均为定值二、选择题9.已知奇函数())cos()(0,0π)f x x x ωϕωϕωϕ=+-+><<的最小正周期为π，将函数()f x 的图象向右平移π6个单位长度，可得到函数()y g x =的图象，则下列结论正确的是（）A.函数π()2sin(2)3g x x =- B.函数()g x 的图象关于点π,03⎛⎫- ⎪⎝⎭对称C.函数()g x 在区间ππ,63⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递增 D.当π0,2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，函数()g x10.正四棱锥P ABCD -的所有棱长为2，用垂直于侧棱PC 的平面α截该四棱锥，则（）A.PC BD⊥ B.四棱锥外接球的表面积为8πC.PA 与底面ABCD 所成的角为60︒D.当平面α经过侧棱PC 中点时，截面分四棱锥得到的上、下两部分几何体体积之比为3:111.已知数列{}n a 满足18a =，21a =，2,2,n n na n a a n +-⎧=⎨-⎩为偶数为奇数，n T 为数列{}n a 的前n 项和，则下列说法正确的有（）A.n 为偶数时，()221n n a -=- B.229n T n n =-+C.992049T =- D.n T 的最大值为2012.设定义在R 上的函数()f x 与()g x 的导函数分别为()f x '和()g x '，若()()212f x g x +--=，()()1f x g x ''=+，且()1g x +为奇函数，则下列说法中一定正确的是（）A.()10g = B.函数()g x '的图象关于2x =对称C.()20221k g k ==∑ D.()()20211k f k g k ==∑三、填空题13.若22log log 6a b +=，则a b +的最小值为________．14.已知边长为2的菱形ABCD 中，点F 为BD 上一动点，点E 满足22,3BE EC AE BD =⋅=- ，则AF EF ⋅的最小值为______.15.已知等差数列{}n a 和正项等比数列{}n b 满足117332,2a b a b a ====，则数列{}2(2)n n a b -的前n 项和为______.16.已知函数()ln xf x x =，()x xg x e=，若存在1>0x ，2x R ∈，使得()()120f x g x =<成立，则12x x 的最小值为______.四、解答题17.已知数列{}n a 中，n S 为{}n a 的前n 项和，13n n a S n +=-+，*n N ∈，12a =.（1）求{}n a 的通项公式；（2）设()*2n n n b n N S n =∈-+，数列{}n b 的前n 项和为n T ，求证：()*1433n T n N <∈.18.如图，在梯形ABCD 中，//AB CD ，2AB =，5CD =，23ABC π∠=．(1)若AC =，求梯形ABCD 的面积；(2)若AC BD ⊥，求tan ABD ∠．19.如图，在三棱柱111ABCA B C ﹣中点，E 在棱1BB 上，点F 在棱CC 1上，且点,E F 均不是棱的端点，1,AB AC BB ⊥＝平面,AEF 且四边形11AA B B 与四边形11AAC C 的面积相等.（1）求证：四边形BEFC 是矩形；（2）若2,3AE EF BE ＝＝，求平面ABC 与平面AEF 所成角的正弦值.20.统计与概率主要研究现实生活中的数据和客观世界中的随机现象，通过对数据的收集、整理、分析、描述及对事件发生的可能性刻画，来帮助人们作出合理的决策.（1）现有池塘甲，已知池塘甲里有50条鱼，其中A 种鱼7条，若从池塘甲中捉了2条鱼.用ξ表示其中A 种鱼的条数，请写出ξ的分布列，并求ξ的数学期望()E ξ;（2）另有池塘乙，为估计池塘乙中的鱼数，某同学先从中捉了50条鱼，做好记号后放回池塘，再从中捉了20条鱼，发现有记号的有5条.（ⅰ）请从分层抽样的角度估计池塘乙中的鱼数.（ⅱ）统计学中有一种重要而普遍的求估计量的方法─最大似然估计，其原理是使用概率模型寻找能够以较高概率产生观察数据的系统发生树，即在什么情况下最有可能发生已知的事件.请从条件概率的角度，采用最大似然估计法估计池塘乙中的鱼数.21.已知椭圆C ：22221(0)x y a b a b+=>>的四个顶点构成的四边形的面积为312⎛⎫ ⎪⎝⎭，在椭圆C 上.（1）求椭圆C 的方程；（2）若矩形MNPQ 满足各边均与椭圆C 相切.求证：矩形MNPQ 对角线长为定值.22.已知函数2()e ,2xmx f x m =-∈R .（1）讨论()f x 极值点的个数；（2）若()f x 有两个极值点12,x x ，且12x x <，证明:()()122e f x f x m +<-.长郡中学2023届高三月考试卷（二）数学一、选择题1.已知全集U=R ，集合{}2,3,4A =，集合{}0,2,4,5B =，则图中的阴影部分表示的集合为（）A.{}2,4 B.{}0 C.{}5 D.{}0,5【答案】D 【解析】【分析】根据给定条件，利用韦恩图表达的集合运算直接计算作答.【详解】依题意，图中的阴影部分表示的集合是()U A B ð，而全集U =R ，{}2,3,4A =，{}0,2,4,5B =，所以(){0,5}UA B ⋂=ð.故选：D2.若i1ia z +=-（i 为虚数单位）是纯虚数，则=a （）A.-1B.0C.1D.2【答案】C 【解析】【分析】根据复数的除法运算化简复数，进而根据纯虚数实部为0，虚部不为0即可求解.【详解】()()()i 1i 11i i ==1i 22a a a a z ++-+++=-，由于z 为纯虚数，因此10a -=且10a +，故1a =，故选：C3.已知函数()y f x =的图像在点()()33P f ,处的切线方程是27y x =-+，则()()33f f '-=（）A.2- B.2C.3- D.3【答案】D 【解析】【分析】利用导数的几何意义求出()3f 和()3f '，即可求得.【详解】函数()f x 的图像在点()()33P f ,处的切线的斜率就是在该点处的导数，即()3f '就是切线27y x =-+的斜率，所以()32f '=-.又()32371f =-⨯+=，所以()()()33123f f -=--='.故选：D4.命题p ：“2R,240x ax ax ∃∈+-≥”为假命题，则a 的取值范围是（）A.40a -<£ B.40a -≤< C.30a -≤≤ D.40a -≤≤【答案】A 【解析】分析】存在命题为假命题，则其否定是全称命题且为真命题，写出命题的否定，由不等式的性质可得结论．【详解】命题2:R,240p x ax ax ∃∈+-≥为假命题，即命题2:R,240p x ax ax ⌝∀∈+-<为真命题.首先，0a=时，40-<恒成立，符合题意；其次0a ≠时，则0a <且2(2)160a a ∆=+<，即40a -<<，综上可知，－4<0a ≤故选：A 5.当102x <≤时，4log xax <，则a 的取值范围是（）A.0,2⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭B.,12⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭C.D.2)【答案】B 【解析】【分析】利用指数函数以及对数函数的单调性，结合已知条件可得关于a 的不等式，即可求得答案.【详解】由题意得，当1a>时，log a y x =是增函数，102x <≤时，log 0a x <，不合题意；当01a <<时，log a y x =在102x <≤时单调递减，4xy =递增，要使得4log xa x <成立，需满足1214log 2a<，即21log 2log 2a a a >=，则212a>，解得12a <<，故选:B6.已知函数π()sin (0)3f x x ωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭在π,π3⎡⎤⎢⎥⎣⎦上恰有3个零点，则ω的取值范围是（）A.81114,4,333⎡⎫⎛⎫⋃⎪ ⎪⎢⎣⎭⎝⎭ B.111417,4,333⎡⎫⎡⎫⋃⎪⎪⎢⎢⎣⎭⎣⎭C.111417,5,333⎡⎫⎛⎫⋃⎪ ⎪⎢⎣⎭⎝⎭ D.141720,5,333⎡⎫⎡⎫⋃⎪⎪⎢⎢⎣⎭⎣⎭【答案】C 【解析】【分析】先由零点个数求出36ω≤<，再用整体法得到不等式组，求出ω的取值范围.【详解】π,π3x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，ππππ,π3333x ωωω⎡⎤+∈++⎢⎥⎣⎦，其中2ππ4ππ3ωω≤-<，解得：36ω≤<，则ππ4π333ω+≥，要想保证函数在π,π3⎡⎤⎢⎥⎣⎦恰有三个零点，满足①1111πππ+2π2π+2π33π4π+2π<π5π+2π3k k k k ωω⎧≤+<⎪⎪⎨⎪+≤⎪⎩，1k Z ∈，令10k =，解得：1114,33ω⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭；或要满足②2222ππ2ππ+2π33π2π+3π<π2π+4π3k k k k ωω⎧≤+<⎪⎪⎨⎪+≤⎪⎩，2k Z ∈，令21k =，解得：175,3ω⎛⎫∈ ⎪⎝⎭；经检验，满足题意，其他情况均不满足36ω≤<条件，综上：ω的取值范围是111417,5,333⎡⎫⎛⎫⋃⎪ ⎪⎢⎣⎭⎝⎭.故选：C 【点睛】三角函数相关的零点问题，需要利用整体思想，数形结合等进行解决，通常要考虑最小正周期，确定ω的范围，本题中就要根据零点个数，先得到ππ23TT ≤-<，从而求出36ω≤<，再进行求解.7.南宋数学家杨辉在《详解九章算法》和《算法通变本末》中，提出了一些新的垛积公式，所讨论的高阶等差数列与一般等差数列不同，前后两项之差并不相等，但是逐项差数之差或者高次差成等差数列对这类高阶等差数列的研究，在杨辉之后一般称为“垛积术”现有高阶等差数列，其前7项分别为1，4，8，14，23，36，54，则该数列的第19项为（）（注：()()22221211236n n n n ++++++=）A.1624B.1198C.1024D.1560【答案】C 【解析】【分析】设该数列为{}n a ，令1n n n b a a +=-，设{}n b 的前n 项和为n B ，又令1+=-n n n c b b ，则n c n =，依次用累加法，可求解.【详解】设该数列为{}n a ，令1n n n b a a +=-，设{}n b 的前n 项和为n B ，又令1+=-n n n c b b ，设{}n c 的前n 项和为n C ，易得n c n =，()()()111121n n n n n n n C c c c b b b b b b +----=+++=++++- 所以11nn b b C +=-，1213b a a -==22n n n C +=，进而得21332n n n n b C ++=+=+，所以()21133222nn n n bn -=+=-+，()()()()2221111121233226n n n n B n n n n+-=+++-++++= 同理：()()()111112n n n n n n n B b b b a a a a a a +---=+++=+++-- 11n n a a B +-=所以11n n a B +=+，所以191024a =.故选：C【点睛】本题考查构造数列，用累加法求数列的通项公式，属于中档题.8.已知函数()3f x x ax b =++，a 、b R ∈．1x 、()2,x m n ∈且满足()()1f x f n =，()()2f x f m =，对任意的[],x m n ∈恒有()()()f m f x f n ≤≤，则当a 、b 取不同的值时，（）A.12n x +与22m x -均为定值 B.12n x -与22m x +均为定值C.12n x -与22m x -均为定值D.12n x +与22m x +均为定值【答案】D 【解析】【分析】分析得出0a<，利用导数分析函数()f x 的单调性，可得知1x 为函数()f x 的极大值点，2x 为函数()f x 的极小值点，再由()()1f x f n =、()()2f x f m =结合因式分解可得出结论.【详解】当0a≥时，()230f x x a '=+≥，此时，函数()f x 在R 上为增函数，当1x 、()2,x m n ∈时，()()1f x f n <，()()2f x f m >，不合乎题意，所以，0a <.由()0f x '=可得x =，当x <x >()0f x '>；当x <<()0f x '<.所以，函数()f x 的单调递增区间为,⎛-∞ ⎝，⎫+∞⎪⎪⎭，单调递减区间为⎛ ⎝.对任意的[],x m n ∈恒有()()()f m f x f n ≤≤，()()min f x f m =，()()max f x f n =，又当1x 、()2,x m n ∈且满足()()1f x f n =，()()2f x f m =，所以，1x 为函数()f x 的极大值点，2x 为函数()f x 的极小值点，则1x =，2x =，由()()1f x f n =可得3311x ax b n an b ++=++，可得()()33110x n a x n -+-=，即()()221110x n x nx n a -+++=，因为1x n ≠，则22110x nx n a +++=，1x = ，可得213ax =-，所以，221120n nx x +-=，即()()1120n x n x -+=，所以，120n x +=，同理可得220m x +=，故选：D.【点睛】关键点点睛：解本题的关键在于以下两点：（1）利用已知条件分析出1x 、2x 为函数()f x 的极值点；（2）利用等式()()1f x f n =，()()2f x f m =结合因式化简得出结果.二、选择题9.已知奇函数())cos()(0,0π)f x x x ωϕωϕωϕ=+-+><<的最小正周期为π，将函数()f x 的图象向右平移π6个单位长度，可得到函数()y g x =的图象，则下列结论正确的是（）A.函数π()2sin(2)3g x x =- B.函数()g x 的图象关于点π,03⎛⎫-⎪⎝⎭对称C.函数()g x 在区间ππ,63⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递增 D.当π0,2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，函数()g x 【答案】AB 【解析】【分析】利用两角差的正弦公式将()f x 化为π()2sin()6f x x ωϕ=+-，根据函数的最小正周期确定ω，根据奇偶性确定π6ϕ=，可得其解析式，根据三角函数的平移变换可得函数()g x 的解析式，判断A;代入验证可判断B ；根据x 的范围，确定π23x -的范围，结合正弦函数性质，可判断C,D.【详解】由题意可得π())cos()2sin(6f x x x x ωϕωϕωϕ=+-+=+-，因为()f x 的最小正周期为π，所以2π2πω==，又因为()f x 为奇函数，所以πππ,π,Z 66k k k ϕϕ-=∴=+∈，而0πϕ<<，故π6ϕ=，所以()2sin 2f x x =，则将函数()f x 的图象向右平移π6个单位长度，可得到函数()y g x =的图象，故ππ()2sin[2()]2sin(2)63g x x x =-=-，A 正确；将π3x =-代入π()2sin(2)3g x x =-中，有ππ2sin[2()]033---=，即函数()g x 的图象关于点π,03⎛⎫-⎪⎝⎭对称，B 正确；当ππ,63x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时，π2π2[,]333x -∈-，由于正弦函数sin y x =在2ππ[,]33-上不单调，故()g x 在区间ππ,63⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上不是单调递增函数，故C 错误；当π0,2x ⎡⎤∈⎢⎣⎦时，ππ2π2[,333x -∈-，π()2sin(2)[2]3g x x =-∈，函数最大值为2，D 错误，故选：AB 10.正四棱锥P ABCD -的所有棱长为2，用垂直于侧棱PC 的平面α截该四棱锥，则（）A.PC BD⊥ B.四棱锥外接球的表面积为8πC.PA 与底面ABCD 所成的角为60︒D.当平面α经过侧棱PC 中点时，截面分四棱锥得到的上、下两部分几何体体积之比为3:1【答案】ABD 【解析】【分析】根据BD ⊥平面PAC 即可判断A,由PO ⊥底面ABCD ，即可判断外接球的球心在PO 上，利用勾股定理即可求半径，进而可判断B,PAO ∠即为PA 与底面ABCD 所成角，根据几何法即可判断C,取PC 的中点E ，连接BE ，DE ，BD ，能证明PC ⊥面BDE ，分别求出截面分四棱锥得到的上下两部分几何体体积，能判断D ．【详解】过P 作PO ⊥底面ABCD 于O ，则O 为AC 中点，由于BD ⊂底面ABCD ,所以PO BD ⊥,又,,,AC BD AC PO O AC PO ⊥⋂=⊂平面PAC ,故BD ⊥平面PAC ，PC ⊂平面PAC ，故BD PC ⊥,故A 正确，由正四棱锥的特征可知，其外接球的球心在PO 上，设半径为R ,则()222OCOP R R +-=,又PO ==,解得R =,故外接球的表面积为24π8πR =,故B 正确，过P 作PO ⊥底面ABCD 于O ，则O 为AC 中点，则PAO ∠即为PA 与底面ABCD 所成角，正四棱锥P ABCD -所有棱长为2，2AP ∴=，12AO AC ==cos AO PAO AP ∴∠==，45PAO ∴∠=︒，故C 错误，取PC 的中点E ，连接BE ，DE ，BD ，正四棱锥P ABCD -的所有棱长为2，PBC ∴ 为正三角形，PC DE ∴⊥，PC BE ⊥，又DE BE E ⋂=，,DE BE ⊂平面BDE所以PC ⊥面BDE ，故当平面α经过侧棱PC 中点时，平面α即为平面BDE ，此时111112232322E BCDBCD VS OP -=⋅=⨯⨯⨯⨯⨯，1122333P ABCD ABCD V S OP -=⋅=⨯⨯⨯，P ABCD E BCD V V V --∴=-=上，∴3E BCDV V -=上，故D 正确．故选：ABD11.已知数列{}n a 满足18a =，21a =，2,2,n n na n a a n +-⎧=⎨-⎩为偶数为奇数，n T 为数列{}n a 的前n 项和，则下列说法正确的有（）A.n 为偶数时，()221n n a -=- B.229n T n n =-+ C.992049T =- D.n T 的最大值为20【答案】AC 【解析】【分析】对选项A ，偶数项构成等比数列，即可求得通项；对选项B ，检验当1n =时，所给表达式不满足；对选项C ，按照n为奇数和偶数分别讨论，根据10099100T T a -=，可直接求得；对选项D ，n T 的最大值为71021T T ==【详解】根据递推关系可知，n 为奇数时，()18292nn a n-⎛⎫=+⨯-=- ⎪⎝⎭n 为偶数时，()221n n a -=-，故A 对；()()212342121321242n n n n n T a a a a a a a a a a a a --=++++⋅⋅⋅++=++⋅⋅⋅++++⋅⋅+根据奇数项构成等差数列可得：()21321862109n a a a n n n -++⋅⋅⋅+=++⋅⋅⋅+-+=-+而又：2421,0,n n a a a n ⎧++⋅⋅+=⎨⎩当为奇数当为偶数则有：2229,91,n n n n T n n n ⎧-+=⎨-++⎩为偶数为奇数，故B 错误；()100222991010005095012049a T T -=-=-+⨯--=-，故C 对；根据n T 中的奇数项构成等差数列，而偶数项之和不是1就是0，因此根据n T 特点可知：n T 的最大值在奇数项之和取得最大值的附近，26393119T =-+⨯+=，76719221T T a =+=+=，2849420T =-+⨯=，98920020T T a =+=+=，210595121T =-+⨯+=，11101119T T a =+=，n T 的最大值为71021T T ==，故D 错故选：AC12.设定义在R 上的函数()f x 与()g x 的导函数分别为()f x '和()g x '，若()()212f x g x +--=，()()1f x g x ''=+，且()1g x +为奇函数，则下列说法中一定正确的是（）A.()10g = B.函数()g x '的图象关于2x =对称C.()20221k g k ==∑ D.()()20211k f k g k ==∑【答案】AD 【解析】【分析】由()1g x +为奇函数可得()10g =，由()()212f x g x +--=取导数可得()()30f x g x ''+-=，结合条件()()1f x g x ''=+，判断B ，再由条件判断函数()f x ，()g x 的周期，由此计算()20221k g k =∑，()()20211k f k g k =∑，判断C ，D.【详解】因为()1g x +为奇函数，所以()()11g x g x +=--+，取0x =可得()10g =，A 对，因为()()212f x g x +--=，所以()()210f x g x ''++-=所以()()30f x g x ''+-=，又()()1f x g x ''=+()()130g x g x ''++-=，故()()220g x g x ''++-=，所以函数()g x '的图象关于点(2,0)对称，B 错，因为()()1f x g x ''=+，所以()()10f xg x '-+=⎡⎤⎣⎦所以()()1f x g x c -+=，c 为常数，因为()()212f x g x +--=，所以()()32f x g x --=，所以()()132g x g x c +--=-，取1x =可得2c =，所以()()13g x g x +=-，又()()11g x g x +=--+，所以()()31g x g x -=--+，所以()()2g x g x =--，所以()()42()g x g x g x +=-+=，故函数()g x 为周期为4的函数，因为()()2g x g x +=-，所以()()310g g =-=，()()42g g =-，所以(1)(2)(3)(4)0g g g g +++=，所以()[][]20221(1)(2)(3)(4)(5)(6)(7)(8)k g k g g g g g g g g ==++++++++⋅⋅⋅∑[](2017)(2018)(2019)(2020)(2021)(2022)g g g g g g ++++++，所以()202215050(2021)(2022)(1)(2)(2)k g k g g g g g ==⨯++=+=∑，由已知无法确定(2)g 的值，故()20221k g k =∑的值不一定为0，C 错；因为()()212f x g x +--=，所以()()221f x g x +=-+，()()625f x g x +=-+，所以()2(6)f x f x +=+，故函数()f x 为周期为4的函数，(4)(4)()()f xg x f x g x ++=所以函数()()f x g x 为周期为4的函数，又(1)2(0)f g =-，(2)2(1)2f g =-=，(3)2(2)2(0)f g g =-=+，(4)2(3)2f g =-=，所以(1)(1)(2)(2)(3)(3)(4)(4)02(2)2(4)0f g f g f g f g g g +++=++=，所以()()[]20211505(1)(1)(2)(2)(3)(3)(4)(4)(2021)(2021)k f k g k f g f g f g f g f g ==++++∑()()20211(1)(1)0k f k g k f g ===∑，D 对，故选：AD.【点睛】本题解决的关键在于根据条件判断函数的周期性，对称性，并结合函数性质求函数值得和.三、填空题13.若22log log 6a b +=，则a b +的最小值为________．【答案】16【解析】【分析】由题得62ab =，再利用基本不等式求解.【详解】因为22log log 6a b +=，所以2log 6ab =.所以62ab=所以622216a b ab +≥≥=.当且仅当8ab ==时取等.故答案为：1614.已知边长为2的菱形ABCD 中，点F 为BD 上一动点，点E 满足22,3BE EC AE BD =⋅=- ，则AF EF ⋅ 的最小值为______.【答案】7336-【解析】【分析】由22,3BE EC AE BD =⋅=- ，根据向量的线性运算以及数量积的运算律，可求得∠DAB ＝π3；以菱形对角线交点为原点，对角线所在直线为坐标轴建立平面直角坐标系，利用坐标表示出AF EF ⋅，得到关于t 的二次函数，求得二次函数最小值即为所求．【详解】由题意知：2=3BE BC，设=DAB θ∠，所以()()22222333AE BD AB BE AD AB AB AD AB BC BC AB ⋅=+⋅-=⋅-+-⋅=-故()22214cos 444cos cos 3332θθθ-+⨯-⨯=-⇒=由于()0，πθ∈，所以π=3θ，以AC 与BD 交点为原点，AC 为x 轴，BD 为y 轴建立如图所示的直角坐标系，所以A （﹣3，0），C （3，0），D （0，1），B （0，﹣1），E （231,33-），设F （0，t ），则AF ＝（3，t ），EF ＝23133，t ⎛⎫-+ ⎪ ⎪⎝⎭，所以2117323636AF EF t t t ⎛⎫⎛⎫⋅=-++=+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 当t ＝16-时，AF EF ⋅ 取最小值7336-，故答案为：7336-15.已知等差数列{}n a 和正项等比数列{}n b 满足117332,2a b a b a ====，则数列{}2(2)n n a b -的前n 项和为______.【答案】212n n +⋅【解析】【分析】根据等差等比数列基本量的计算可得公比和公差，进而得1,2nn na nb =+=，因此可得()22(2)=212n n n a b n n -+-，根据裂项求和即可求解.【详解】设公差和公比分别为(),0d q q >,由117332,2a b a b a ====得()2262222d q d +==+，解得1,2d q ==，因此1,2n nn an b =+=，所以()22(2)=212nnn a b n n -+-()()()()22222221212=2122212212n n n n n nnn n n n n n n +⎡⎤+---=⋅--⋅=⋅--⋅⎣⎦，设{}2(2)nn a b -的前n 项和为n S ，因此()2222123222112022212212n n nS n n +⎡⎤⎡⎤⎡⎤⋅-⋅+⋅-⋅++⋅--⋅⎣⎦⎦=⎣⎦⎣ 212=n n +⋅故答案为：212n n +⋅16.已知函数()ln xf x x =，()xx g x e =，若存在1>0x ，2x R ∈，使得()()120f x g x =<成立，则12x x 的最小值为______.【答案】1e-【解析】【分析】利用导数研究函数()f x 可得函数()f x 的单调性情况，且(0,1)x ∈时，()0f x <，(1,)x ∈+∞时，()0f x >，同时注意()()x x xx x lne g x f e e e===，则21xx e =，所以2122x x x x e =，构造函数()x h x xe =，0x <，利用导数求其最小值即可．【详解】函数()f x 的定义域为(0,)+∞，21()lnxf x x -'=，∴当(0,)x e ∈时，()0f x '>，()f x 单调递增，当(,)x e ∈+∞时，()0f x '<，()f x 单调递减，又(1)f 0=，所以(0,1)x ∈时，()0f x <；(1,)x e ∈时，()0f x >；(,)x e ∈+∞时，()0f x >，同时注意到()()xx xx x lne g x f e e e===，所以若存在1(0,)x ∈+∞，2x R ∈，使得12()()0f x g x =<成立，则101x <<且212()()()x f x g x f e ==，所以21x x e =2(0)x <，所以2122xx x x e =，所以构造函数()x h x xe =(0)x <，而()(1)x h x e x '=+，当(1,0)x ∈-时，()0h x '>，()h x 单调递增；当(,1)x ∈-∞-时，()0h x '<，()h x 单调递减，所以1()(1)h x h e=-=-最小值，即12)1(x x e =-最小值.故答案为：1e-.【点睛】关键点睛：利用同构的方式将12x x ，联系起来，这样就构造了新函数，然后利用导数研究函数的单调性及最值.四、解答题17.已知数列{}n a 中，n S 为{}n a 的前n 项和，13n n a S n +=-+，*n N ∈，12a =.（1）求{}n a 的通项公式；（2）设()*2nn nb n N S n =∈-+，数列{}n b 的前n 项和为n T ，求证：()*1433n T n N <∈.【答案】（1）22,13·21,1nn n a n -=⎧=⎨+>⎩.（2）证明见解析.【解析】【分析】（1）由已知得13n n a S n +=-+，即有14n n a S n -=-+，两式相减得()1121n n a a +-=-，根据等比数列的定义得数列{}1n a -为第二项起为等比数列，由等比数列的通项公式可得答案；（2）由（1）得123·2nn n n nb S n -==-+，运用错位相减法和数列的单调性可得证.【小问1详解】解：当1n =时，2111324a S a =-+=+=，13n n a S n +=-+，得()142n n a S n n -=-+≥，两式相减得，11n n n a a a +-=-，即有()1121n n a a +-=-，即为数列{}1n a -为第二项起为等比数列，则213·2n na--=，1n >，n N ∈，即有22,13·21,1n n n a n -=⎧=⎨+>⎩；【小问2详解】解：13n n a S n +=-+，得13·22n n S n -=-+，则123·2n n n n nb S n -==-+，即有前n 项和为2112333·23·23·2n n nT -=+++⋯+，23112323·23·23·23·2n n n T =+++⋯+，两式相减可得，2111111233·23·23·23·2nn nnT -=+++⋯+-1112·133·212nn n ⎛⎫- ⎪⎝⎭=--，化简得4412·3323·2nn nn T ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，由于{}n b 各项大于0，得113nT T =，由不等式的性质可得43nT <.故()*1433n T n N <∈.18.如图，在梯形ABCD 中，//AB CD ，2AB =，5CD =，23ABC π∠=．(1)若AC =ABCD 的面积；(2)若AC BD ⊥，求tan ABD ∠．【答案】(1)(2)tan 3ABD ∠=．【解析】【分析】(1)ABC 中，利用含ABC ∠的余弦定理表达式建立BC 的方程，求出BC 而得ABC 面积，再利用面积关系求ADC 的面积得解；(2)由题设中角的信息用ABD ∠表示出ABC 与BDC 中的相关角，再在这两个三角形中利用正弦定理建立两个方程，联立整理得tan ABD ∠的方程，解之即得.【详解】(1)设BC x =，在ABC 中，由余弦定理2222cos AC AB BC AB BC ABC =+-⋅∠得：22228222cos3x x π=+-⋅⋅⋅，即22240x x +-=，而x>0，解得4x =，所以4BC =，则ABC的面积11sin 24222ABC S AB BC ABC =⋅⋅∠=⋅⋅⋅=△，梯形ABCD 中，//AB CD ，ABC 与ADC 等高，且52ABCD =，所以ADC的面积52ABCADCS S ==△△，则梯形ABCD的面积ABC ADC S S S =+=△△；(2)在梯形ABCD 中，设ABD α∠=，而AC BD ⊥，则BDC α∠=，2BAC πα∠=-，23DBC a π∠=-，6BCA πα∠=-，在ABC 中，由正弦定理sin sin AB BC BCA BAC=∠∠得：2sin()sin()62BCππαα=--，在BDC 中，由正弦定理sin sin CD BC DBC BDC=∠∠得：52sin sin()3BCπαα=-，两式相除得：212sin()2cos sin )sin sin 3cos 5sin()sin()6222παααααππααα-⋅+=⇒--，整理得227sin cos 0αααα--=，即27tan 0αα--=解得tan 3α=或tan 5α=-，因为(,62ππα∈，则tan 3α=，即tan 3ABD ∠=．【点睛】(1)三角形中已知两边及一边对角求第三边，利用余弦定理建立关于第三边的一元二次方程求解；(2)涉及平面多边形问题，把图形拆分成若干个三角形，再在各个三角形内利用正弦、余弦定理求解.19.如图，在三棱柱111ABC A B C ﹣中点，E 在棱1BB 上，点F 在棱CC 1上，且点,E F 均不是棱的端点，1,AB AC BB ⊥＝平面,AEF 且四边形11AA B B 与四边形11AAC C 的面积相等.（1）求证：四边形BEFC 是矩形；（2）若2,3AE EF BE ＝＝，求平面ABC 与平面AEF 所成角的正弦值.【答案】(1)证明见解析；（2）10【解析】【分析】（1）由1BB ⊥平面AEF ，知1CC ⊥平面AEF ，求得2AEB AFC π∠=∠=，由四边形11AA B B 与四边形11AAC C 面积相等知，AE AF =，则AEB AFC ≅△△，故BE CF =，结合1BB EF⊥，从而有四边形BEFC 为矩形.（2）证得AG ⊥平面11BB C C ，取BC 的中点H ，以G 点为坐标原点，,,GF GA GH→→→的方向分别为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系，求得平面AEF 和平面ABC 的一个法向量，利用向量夹角求得二面角的正弦值.【详解】（1）在三棱柱中，11//BB CC ，则由1BB ⊥平面AEF ，知1CC ⊥平面AEF ，故1BB AE ^，1BB EF ⊥，1CC AF ⊥，从而2AEB AFC π∠=∠=，由四边形11AA B B 与四边形11AAC C 面积相等知，AE AF=又AB AC =，则AEB AFC ≅△△，故BE CF =结合//BE CF ，知四边形BEFC 为平行四边形，又1BB EF ⊥，故四边形BEFC 为矩形.（2）取EF 的中点G ，联结AG ，由（1）知AE AF =，且1BB ⊂平面11BB C C ，则平面AEF ⊥平面11BB C C ，又平面AEF 平面11BB C C EF=，则AG ⊥平面11BB C C ，取BC 的中点H ，以G 点为坐标原点，,,GF GA GH→→→的方向分别为x ，y ，z 轴建立如图所示空间直角坐标系，由2AE AF EF ===知，AEF 为正三角形，故AG =故A，(1,0,)3B -，(1,0,3C，(1,3AB →=-，(1,3AC →=-，设平面ABC 的一个法向量为(,,)a x y z →=则00a AB a AC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，故0303x z x z ⎧--+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，取1y =，则0,3x z ==，(0,1,3)a →=因为平面AEF 的一个法向量为(0,0,1)b →=则cos ,10a ba b a b→→→→→→⋅<>===则二面角的余弦值为10，故二面角的正弦值为1020.统计与概率主要研究现实生活中的数据和客观世界中的随机现象，通过对数据的收集、整理、分析、描述及对事件发生的可能性刻画，来帮助人们作出合理的决策.（1）现有池塘甲，已知池塘甲里有50条鱼，其中A 种鱼7条，若从池塘甲中捉了2条鱼.用ξ表示其中A 种鱼的条数，请写出ξ的分布列，并求ξ的数学期望()E ξ;（2）另有池塘乙，为估计池塘乙中的鱼数，某同学先从中捉了50条鱼，做好记号后放回池塘，再从中捉了20条鱼，发现有记号的有5条.（ⅰ）请从分层抽样的角度估计池塘乙中的鱼数.（ⅱ）统计学中有一种重要而普遍的求估计量的方法─最大似然估计，其原理是使用概率模型寻找能够以较高概率产生观察数据的系统发生树，即在什么情况下最有可能发生已知的事件.请从条件概率的角度，采用最大似然估计法估计池塘乙中的鱼数.【答案】（1）分布列见解析，()725E =ξ（2）（i ）200；（ii ）199或200【解析】【分析】（1）根据超几何概率公式即可求解概率，进而得分布列和期望，（2）根据抽样比即可求解总数，根据最大似然思想结合概率的单调性即可求解最大值.【小问1详解】0,1,2ξ=,2112434377222505050C C C C 129433(0),(1),(2),C 175C 175C 175P P P ξξξ⋅=========故分布列为：ξ012P129175431753175()129433701217517517525E =⨯+⨯+⨯=ξ.【小问2详解】（i ）设池塘乙中鱼数为m ,则50520m =,解得200m =,故池塘乙中的鱼数为200.（ii ）设池塘乙中鱼数为n ,令事件B =“再捉20条鱼,5条有记号”,事件C =“池塘乙中鱼数为n ”则515505020C C ()C n n np P B C -⋅==∣,由最大似然估计法,即求n p 最大时n 的值,其中65n ,1(49)(19)(64)(1)n n p n n p n n +--∴=-+当65,......198n =时11n n p p +>，当199n =时11n n pp +=，当200,201,...n =时11n np p +<所以池塘乙中的鱼数为199或200.21.已知椭圆C ：22221(0)x y a b a b+=>>的四个顶点构成的四边形的面积为，点312⎛⎫ ⎪⎝⎭，在椭圆C 上.（1）求椭圆C 的方程；（2）若矩形MNPQ 满足各边均与椭圆C 相切.求证：矩形MNPQ 对角线长为定值.【答案】（1）22143x y +=（2）证明见解析【解析】【分析】（1）利用待定系数法求解；（2）对当MN 的斜率的情况进行分类讨论，当MN 的斜率存在且不为0时，设直线MN ：ykx t =+，与椭圆方程联立，根据0∆=，求得,k t的关系，利用两平行线之间的距离公式分别求得矩形边长，从而可求得对角线，即可得证.【小问1详解】解：由已知2212221914a b a b ⎧⋅⋅=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，解得2a b =⎧⎪⎨=⎪⎩所以椭圆方程C ：22143x y +=；【小问2详解】证明：当MN 的斜率为0或不存在时，对角线MP NQ ===，当MN 的斜率存在且不为0时，设直线MN ：y kx t =+，联立223412y kx t x y =+⎧⎨+=⎩消去y 得()2223484120k x ktx t +++-=，()()222264163430k t t k ∆=--+=，化简得2243k t +=，所以两平行线MN 和PQ的距离1dNP ===，以1k -代替k ，两平行线MQ 和NP的距离2d MN ===，所以矩形MNPQ的对角线MP NQ ==综上所述，矩形MNPQ对角线长为定值22.已知函数2()e ,2xmx f x m =-∈R .（1）讨论()f x 极值点的个数；（2）若()f x 有两个极值点12,x x ，且12x x <，证明:()()122e f x f x m +<-.【答案】（1）见解析（2）见解析【解析】【分析】（1）分类讨论导函数e ()xf x x m x ⎛⎫'=- ⎪⎝⎭的实数根即可求解极值点，（2）构造函数()()(2),(0,1)F x g x g x x =--∈和2e ()(3)e e,(0,1)xxxG x x x x-=-+-∈，通过判断函数的单调性，求解最值，当导数正负不好确定的时候，需要构造新的函数，不断的通过求导判断单调性.【小问1详解】2()e 2xmx f x =-,则()e x f x mx '=-,0x = 显然不是()'f x 的零点,e (),x f x x m x '⎛⎫∴=- ⎪⎝⎭令e ()=xg x x,则2e (1)()-'=x x g x x ,()g x ∴在(,0)-∞单调递减,在（0,1）单调递减,在(1,)+∞单调递增.当0x <时，()0g x <，当0x >时，()0>g x ，且()(1)eg x g ==极小值(,0)m ∴∈-∞时,e=x m x只有一个实数根，所以此时()f x 有1个极值点,[)0,e m ∈时,e=x m x没有实数根，故()f x 有0个极值点,当e m =时，e =x m x ，有一个实数根1x =，但1x =不是极值点，故此时()f x 没有极值点，(e,)m ∈+∞时,e =x m x有两个不相等的实数根，故()f x 有2个极值点.【小问2详解】由（1）知,(e,)m ∈+∞,且()()121201,,()x x g x g x m g x <<<==在（0,1）单调递减,在(1,)+∞单调递增,先证:122x x +>,即证:212x x >-，1201x x <<< 121x ∴->即证:()()212g x g x >-.即证:()()112g x g x >-.令()()(2),(0,1)F x g x g x x =--∈,即证:(0,1),()0x F x ∀∈>,2'22e e ()(1)()(2)x xF x x x x -=---令2(1,2)t x =-∈则x t<令2e ()h =λλλ,则4)(e (2)h'⋅⋅-=λλλλλ,则()h λ在(0,2)λ∈单调递减()()(2)h x h t h x ∴>=-,()0F x '∴<,即()F x 在(0,1)x ∈单调递减,()(1)0F x F ∴>=,证毕.再证:()()122e f x f x m +<-,1201x x <<< ,且122x x +>1122x x x ∴<-<.()f x 在()10,x 单调递增,在()12,x x 单调递减,在()2,x +∞单调递增,()()122f x f x ∴->.即证:()()1122e f x f x m +-<-,又11e x m x =,即证:()()()11121111e 23e e2e x x x f x f x m x x -+-+=-+-<.令2e ()(3)e e,(0,1)xx xG x x x x-=-+-∈,()23222222e 21e e (1)()(2)e e exx x xxxx x x x G x x x x '--+-+--∴=---=.令()23222()e 21e x p x x x x x =-+-+-,()2322()e 2212e x p x x x x x '∴=-+++-,令()()q x p x '=()2322()2e 22322e x x q x x x ∴=-+--'-,令()()r x q x '=()232()2e 41027x x x x r x ∴=-'+--令32()41027,(0,1)m x x x x x =+--∈,2()12202m x x x '∴=+-,11(0,1),()x m x ∴∃∈在()110,x 单调递减,在()11,1x 单调递增.(0)7,(1)5m m =-= ,12(0,1)x ∴∃∈,当()120,x x ∈时,()()0,r x q x >''单调递增;当()12,1x x ∈时,()()0,r x q x <''单调递减.()()2042e 0,10q q '<'=-= ,13(0,1),()x p x '∴∃∈在()130,x 单调递减,在()13,1x 单调递增.(0)10,(1)0p p ''=>= ,14(0,1),()x p x ∴∃∈在()140,x 单调递增,在()14,1x 单调递减.(0)1,(1)0p p == ,()0p x ∴>,()0G x '∴>,()G x ∴在(0,)x x ∈单调递增,()(1)2e G x G ∴<=,所以原命题得证.【点睛】本题考查了导数的综合运用，利用导数求单调性时，如果求导后的正负不容易辨别，往往可以将导函数的一部分抽离出来，构造新的函数，利用导数研究其单调性，进而可判断原函数的单调性.在证明不等式时，常采用两种思路：求直接求最值和等价转化.无论是那种方式，都要敢于构造函数，构造有效的函数往往是解题的关键.。
湖南省长沙市长郡中学高三数学第二次月考试卷 理 新人教A版
长郡中学高三数学备课组组稿（考试范围：高考全部内容）本试题卷包括选择题、填空题和解答题三部分，共8页．时量120分钟．满分150分．一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．设12,z z 是复数，则下列命题中的假命题是 A ．11220,z z z z -==若则 B ．221212,z z z z ==若则 C ．121122,z z z z z z ==若则 D ．1212,z z z z ==若则2．已知m ，n 为异面直线，m ⊥平面α，n ⊥平面β，直线l 满足,l n,,l m l l αβ⊥⊥⊄⊄，则 A ．//,//l αβα且 B ．,l αββ⊥⊥且C ．αβ与相交，且交线垂直于lD ．αβ与相交，且交线平行于l3．已知q 是等比数列{}n a 的公比，则“q<l ”是“数列{}n a 是递减数列”的 A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件4．已知平面直角坐标系xOy 上的区域D由不等式组02,,x y x ⎧≤≤⎪≤⎨⎪≤⎩给定，若M (,)x y 为D 上的动点，点A的坐标为，则z OM OA =的最大值为A. 3B. 4 C ．．5．在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c，若22,sin a b C B -==则A=A.30 B ．60 C．120 D ．1506．函数()f x 的定义域为R ，(1)2f x -=,对任意x ∈R,'()2f x >，则()24f x x >+的解集为A ．(1,1)-B ．(1,)-+∞C ．(,1)-∞-D ．(,)-∞+∞7．设12,F F 是双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的两个焦点，P 是C 上一点，若126PF PF a +=，且12PF F ∆的最小内角为30，则C 的离心率为 A ．2 B ．32C ．3D ．628．已知函数()2f x x x a x =-+,若存在[]3,3a ∈-，使得关于x 的方程()()f x tf a =有三个不相等的实数根，则实数t 的取值范围是 A ．95(,)84 B ．25(1,)24 C ．9(1,)8 D ．5(1,)4选择题答题卡二、填空题：本大题共8个小题，考生做答7小题，每小题5分，共35分．把答案填在答题卡中对应题号后的横线上．（一）选做题（请考生在第9、10、11三题中任选两题作答，如果全做，则按前2题给分） 9．（极坐标与参数方程）在极坐标系中，直线l 的方程为sin 3ρθ=，则点(2,)6π到直线l 的距离为___________.10.（几何证明选讲）已知PA 是圆O 的切线，切 点为A ，PA=2，AC 是圆O 的直径，PC 与 圆O 交于B 点，PB=1，则圆O 的半径R= _________.11．（不等式选做题）不等式22x x x x-->的解集是___________.（二）必做题（12至16题） 12.已知函数()3sin()(0)6f x x πωω=->和()2cos(2)1g x x ϕ=++的图象的对称轴完全相同．若0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦,则()f x 的取值范围是________．13．直线3y kx =+与圆22(3)(2)4x y -+-=相交于M ，N 两点，若23MN ≥，则k 的取值范围是_______．14．设x ，y 为实数，若2241x y xy ++=，则2x y +的最大值是_________．15.已知O 是△ABC 的外心，若,30AB AC CAB =∠=，且12CO CA CB λλ=+，则12λλ=________． 16.若集合A 具有以下性质：①0,1A A ∈∈；②若,x y A ∈，则x y A -∈，且0x ≠时，1A x∈.则称集合A 是“好集”．(l)集合{}1,0,1B =-是好集； (2)有理数集Q 是“好集”；(3)设集合A 是“好集”，若,x y A ∈，则x y A +∈: (4)设集合A 是“好集”，若,x y A ∈，则必有xy A ∈； (5)对任意的一个“好集A ，若,x y A ∈，且0x ≠，则必有yA x∈.则上述命 题正确的有___________．（填序号，多项选择）三、解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17.（本小题满分12分） 已知函数2()sin(2)2cos 6f x x x π=+-．(l)求函数()f x 在[]0,π上的单调递增区间；(2)设△ABC 的内角A ，B ，C 的对应边分别为a ，b ，c ，且()0f A =，若向量(1,sin )m B =与向量(2,sin )n C =共线，求ab的值． 18.（本小题满分12分）如图，已知正三棱柱111ABC A B C -的底面边 长为2，侧棱长为32，点E 在侧棱1AA 上， 点F 在侧棱1BB 上，且22,2AE BF ==.(l)求证：1CF C E ⊥；(2)求二面角1E CF C --的大小，19.（本小题满分12分）某城市计划在如图所示的空地 ABCD 上竖一块长方形液晶广 告屏幕MNEF ，宣传该城市未来 十年计划、目标等相关政策．已知 四边形ABCD 是边长为30米的正方形，电源在点P 处，点P 到边AD 、AB 的距离分别为9米，3米，且MN ：NE=16：9，线段MN 必过点P ，端点M 、N 分别在边AD 、AB 上，设AN=_x 米，液晶广告屏幕MNEF 的面积为S 平方米．(l)求S 关于x 的函数关系式及其定义域；(2)若液晶屏每平米造价为1 500元，当x 为何值时，液晶广告屏幕MNEF 的造价最低？ 20.（本小题满分13分）已知数列{}an 满足1211(2)n n a a a a n n N *-++⋅⋅⋅+-=-≥∈．(l)求数列{}an 的通项公式n a ；(2)令22121log (0,1)5n n n aa a d a a +++=+>≠，记数列{}n d 的前n 项和为n S ,若2n n S S 恒为一个与n 无关的常数λ，试求常数a 和λ．21.（本小题满分13分）如图，椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>经过点P （1，32），离心率12e =，直线l 的方程 为x=4．(l)求椭圆C 的方程；(2)AB 是经过右焦点F 的任一弦（不经过点P ），设直线AB 与直线l 相交于点M ，记PA ，PB ，PM 的斜率分别为123,,k k k 问：是否存在常数λ,使得123k k k λ+=．若存在求λ的值；若不存在，说明理由． 22．（本小题满分13分） 已知函数(),()()ln xg x f x g x ax x==-． (l)若函数()f x 在(1,)+∞上是减函数，求实数a 的最小值；(2)若存在21,2,x x e e ⎡⎤∈⎣⎦，使12()'()f x f x a ≤+，求实数a 的取值范围．。
湖南省长郡中学2021届高三月考试卷(二)数学(Word版)
长郡中学2021届高三月考试卷(二)数 学本试卷共8页。
时量120分钟。
满分150分。
一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.已知集合A={}{}2340=28x x x x B x --≤>， ,那么集合AB=A. (3,)+∞B. [1,)-+∞C. [3,4]D. (3,4] 2.设i 是虚数单位,若cos sin z i θθ=+,且其对应的点位于复平面的第二 象限,则θ位于A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限 3.曲线3()3f x x x =-+在点P 处的切线平行于直线21y x =-,则点P 的坐标为 A. (1,3) B. (-1,3) C. (1,3)和(-1,3) D. (1,-3)4.如图,网格纸上的小正方形边长为1,粗线是一个棱锥的三视图,则此棱锥的体积为A.83 B. 43C. 3D. 35.下列函数中,最小正周期为π且图象关于原点对称的函数是A. cos(2)2y x π=+B. sin(2)2y x π=+ C. sin 2cos 2y x x =+ D. sin cos y x x =+6.已知直三棱柱ABC- A 1B 1C 1的6个顶点都在球O 的球面上,若AB=3,AC=4,AB ⊥AC,AA 1=12,则球O 的半径为 A.3172 B. 10 C. 132D. 3107.中华文化博大精深,我国古代算书《周髀算经》中介绍了用统计概率得到圆周率π的近似值的方法.古代数学家用体现“外圆内方”文化的钱币(如图1)做统计,现将其抽象成如图2所示的图形,其中圆的半径为2cm,正方形的边长为1 cm,在圆内随机取点,若统计得到此点取自阴影部分的概率是p,则圆周率π的近似值为A.41p - B. 11p - C. 114p - D. 14(1)p - 8.设n S 是数列{}n a 的前n 项和,满足212n n n a a S +=.且0n a >,则10S =A.10B. 11C. 10311-D.11二、多项选择题:本题共4小题，每小题5分,共20分在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得5分,有选错的得0分,部分选对的得3分. 9.已知函数2()lg(1)f x x ax a =+--,给出下述论述,其中正确的是 A.当a =0时, ()f x 的定义域为(,1)(1,)-∞-+∞B. ()f x 一定有最小值;C.当a =0时, ()f x 的值域为R;D.若()f x 在区间[2,)+∞上单调递增，则实数a 的取值范围是{}4a a ≥ 10.已知02παβ<<<，且tan ,tan αβ是方程220x kx -+=的两不等实根， 则下列结论正确的是A. tan tan k αβ+=-B. tan()k αβ+=-C. 22k >D. tan 4k α+≥ 11.正方体ABCD- A 1B 1C 1D 1的棱长为1,E 、F 、G 分别 为BC ,，CC 1，BB 1的中点.则 A.直线D 1D 与直线AF 垂直 B.直线A 1G 与平面AEF 平行C.平面AEF 截正方体所得的截面面积为98D.点C 与点G 到平面AEF 的距离相等12.已知函数3()sin f x x x ax =+-,则下列结论正确的是A. ()f x 是奇函数B.若()f x 是增函数,则a ≤1C.当3a =-时,函数()f x 恰有两个零点D.当3a =时,函数()f x 恰有两个极值点 三、填空题:本题共4小题.每小题5分,共20分. 13.在71(3)x x-的展开式中，41x 的系数是_______ 14.已知△ABC 是边长为1的等边三角形，点D ，E 分别是边AB ，BC 的中点,连接DE 并延长到点F ,使得DE=2EF,则AF BC ⋅的值为_______15.已知函数()sin(33)cos(22)f x x x ϕϕ=++，其中ϕπ<,若()f x 在区间2(,)63ππ上单调递减,则ϕ的最大值为___________。
2021年高三数学上学期第二次月考试题 理(含解析)湘教版
2021年高三数学上学期第二次月考试题 理（含解析）湘教版【试卷综析】试题考查的知识涉及到函数、三角函数、数列、导数等几章知识，重视学科基础知识和基本技能的考察，同时侧重考察了学生的学习方法和思维能力的考察，知识点综合与迁移。
试卷的整体水准应该说比较高，综合知识、创新题目的题考的有点少,试题适合阶段性质考试.注意事项：请本卷共21道小题，满分150分，时间120分钟。
选择题（每小题5分，共10小题，满分50分） 1．设集合，, 则（ ） A. B. C. D. 【知识点】交集.A1【答案解析】D 解析：解：因为N 集合表示大于等于-1的整数，所以D 选项正确.【思路点拨】根据题意求出集合N ，再利用交集求出结果.2.“”是“”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 【知识点】充要条件.A2 【答案解析】B 解析：解：，但a,b 属于实数，而，所以“”是“”的必要不充分条件，所以B 选项正确.【思路点拨】根据题意可得两个条件的关系，利用充要关系可推得B 正确. 3. 已知, 则( )A ．B ．C ．D ． 【知识点】指数与对数.B6,B7 【答案解析】B 解析：解：由题意可得()33222522log 10,log 102lg 2lg 5a b a b ⎛⎫==∴+=+==⎡⎤ ⎪⎣⎦⎝⎭，所以只有B 正确.【思路点拨】根据指数与对数的关系直接代入求出结果.4. 已知函数, 则下列结论正确的是 ( )A．是偶函数 B. 是增函数C．的值域为[－1，＋∞) D. 是周期函数【知识点】函数的单调性与奇偶性.B4【答案解析】D 解析：解：由分段函数的图像可知函数是不是偶函数，不是单调增函数，在整个定义域上不是周期函数，计算可知的值域为[－1，＋∞)，所以C正确.【思路点拨】由函数的性质可知函数的值域为[－1，＋∞)5. 已知命题，命题:.下面结论正确的是（）A．命题“”是真命题 B. 命题“”是假命题C．命题“”是真命题 D．命题“”是假命题【知识点】命题.A2【答案解析】D 解析：解：由题意可知p为真命题，q为假命题，所以根据命题的真假可知D为正确选项.【思路点拨】根据已知命题的真假可以找出正确选项.6.曲线与直线及所围成的封闭图形的面积为（ )A． B. C． D．【知识点】定积分与面积.B13【答案解析】D 解析：解：由曲线与直线y=x-1联立，解得，x=-1，x=2，故所求图形的面积为424222112ln|42ln22S x dx x x xx⎛⎫⎛⎫=--=--=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎰故答案为：4-2ln2．【思路点拨】利用函数的定积分求出所围成图形的面积.7.已知函数的定义域为 ,值域为，则的值不可能是( )A. B. C. D.【知识点】函数的性质.B1【答案解析】A 解析：解：函数y=2sinx的定义域为[a，b]，值域为[-2，1]，∴x∈[a，b]时，∴定义域的区间长度b-a最小为，最大为故选 D．【思路点拨】由定义域的区间长度可直接求出结果. 8.若函数的图象如图所示，则等于（ ） A ． B. C ． D ．【知识点】函数的图像.B1,B5【答案解析】B 解析： 解：由题可知的两根为，所以在的最大值时，最得最小值2，所以可得=【思路点拨】根据已知条件与图像可知函数的取值，再列出关系式求出比值. 9．已知定义在R 上的奇函数和偶函数满足，若，则（ ） A ． B. C ． D ． 【知识点】函数的奇偶性.B4 【答案解析】 B 解析：解：由题可知()()()()()22x x f x g x f x g x a a g x --+-=-+=-+∴=，()()2015201522201522x x f x f --∴=-∴-=-所以B 正确.【思路点拨】根据函数的奇偶性可知函数，代入可得结果.10. 已知方程有两个不相等的实根，则实数k 的取值范围是( ) A. B. C. D. 【知识点】数形结合；直线斜率.H1【答案解析】B 解析：解：令f （x ）=|x-2|+1，g （x ）=kx ， 将方程|x-2|-kx+1=0有两个不相等的实根， 转化为函数f （x ），g （x ）有2个交点， 由题意可得函数f （x ）的图象（蓝线） 和函数g （x ）的图象（红线）有两个交点， 如图所示：数形结合可得，故选：B ．【思路点拨】由函数的图像可以满足条件的k 的取值范围. 二、选择题（每小题5分，共7小题，满分35分） 11. .【知识点】三角函数的诱导公式.C2【答案解析】解析：解：由诱导公式可得()3 sin600sin120sin1202︒=-︒=-︒=-【思路点拨】由三角函数的诱导公式可直接求出结果.12. 已知幂函数在处有定义，则实数 .【知识点】幂函数的定义，函数的性质.B8【答案解析】 2 解析：解：因为函数为幂函数，所以223021,302m m m m m m m+-=∴==-+->∴=或又因为 .【思路点拨】根据函数的定义可列出条件，结合题目中的条件可求出结果.13．曲线在点处的切线的斜率为 .【知识点】导数.B11【答案解析】解析：解：()()()2211121 111x xxy y x x x x+---'=∴==∴= +++时【思路点拨】由复合函数的导数可求出M点处的导数值即切线的斜率.14．若函数在内有极小值，则实数的取值范围是 .【知识点】导数与极值.B11【答案解析】解析：解：由题意得，函数f（x）=x3-6bx+3b 的导数为 =3x2-6b 在（0，1）内有零点，且f（0）＜0，＞0．即-6b＜0，且（3-6b）＞0．故答案为：【思路点拨】利用导数和已知条件可直接求出b的取值范围.15. 已知函数是定义在上的奇函数，当时，给出以下命题：①当时，；②函数有五个零点；③若关于的方程有解，则实数的取值范围是；④恒成立.其中，正确命题的序号是 .【知识点】函数的性质.B10【答案解析】①④解析：解：令z<0,所以-x>0,所以，所以，所以①正确；观察在x<0时的图像，令，x=-2, 上单调递减，在上单调递增，而在上，，在，，所以在上仅有一个零点，由对称性可知，在上也有一个零点，又因为，所以该函数有三个零点，做出它的图像可知源:]由图可知，若关于的方程有解，则，且对恒成立.【思路点拨】利用数形结合方法，我们可以逐一进行分析判断即可.三、解答题（本大题共6小题, 满分75分）16、(本题满分12分)设是单位圆和轴正半轴的交点，，是单位圆上两点，是坐标原点，且，, .（1）若点的坐标是 其中，求的值. （2）设, 函数，求的值域．【知识点】单位圆与三角函数的定义.C1 【答案解析】(1)=.(2) 的值域是 解析： 解：（1）由， . …..3分 所以=. …..6分（2）由已知有, …..8分 因为，则，所以.故的值域是. …..12分【思路点拨】根据单位圆的性质可求出三角函数值，再根据三角函数的性质求出值域. 17、(本题满分12分)已知函数满足，对任意都有，且． （1）求函数的解析式.（2）是否存在实数，使函数在上为减函数？若存在，求出实数的取值范围；若不存在，说明理由．【知识点】函数解析式.B1,B7 【答案解析】(1)(2) 解析：解：（1）由满足，对任意都有，且，所以函数的图像对称轴为直线，任意都有即对任意成立，()()2201110a a b f x x x b >⎧⎪∴∴==∴=+-⎨∆=-≤⎪⎩(2)由（1）知，其定义域为R 令要使函数在上为减函数，只需要函数在上为增函数，由指数函数的单调性，有，解得，故存在实数a,当时，函数在上为减函数【思路点拨】由已知条件可求出函数，再由复合函数的关系可证明函数的单调性. 18、(本题满分12分)如图，已知在直四棱柱（侧棱垂直底面的棱柱）中，，，． （1）求证：平面.（2）求与平面所成的角的的正弦值．【知识点】直线与平面垂直；直线与平面所成角.G4,G5 【答案解析】D 解析： 解法一： （1）设是的中点，连结，则四边形 为正方形， ．故，，，，即．……….. 2分 又， ……..3分平面， …….5分（2）由（1）知平面， 又平面，，取的中点, 连结，又， 则．取的中点，连结，则, .平面，则过向平面引垂线,垂足必落在上ECDFMH为直线与平面所成的角……8分 连结，在中，，， 取的中点，连结，， 在中，，，． ………..10分2221111933322cos 233262A F FM A M A FM A F FM +-+-∴∠===⋅⋅⋅．与平面所成的角的的正弦值为． ………..12分解法二：（1）以为原点，所在直线分别为轴，轴，轴建立如图所示的空间直角坐标系，则，，，， ,. ….. 2分 , …..3分110BD BC BD BC BD BC ⋅=-+=⇒⊥⇒⊥1110BD BB BD BB BD BB ⋅=⇒⊥⇒⊥又因为所以，平面. ………..5分 （2）设为平面的一个法向量． 由，，得 取，则． ……….8分 又 …….9分设与平面所成的角为，则111||6sin |,|69BC cos BC BC θ⋅=<>===⨯n n n ||||, 即与平面所成的角的的正弦值． ………..12分【思路点拨】建立空间直角坐标系，利用向量的关系可直接求出结果. 19、(本题满分13分)如图所示,一座小岛距离海岸线上最近的点的距离是，从点沿海岸正东处有一个城镇。
湖南省长沙市长郡中学2020-2021学年高三上学期月考数学试题
炎德·英才大联考长郡中学2021届高三月考试卷数学一、选择题(本题共8小题，每题5分，共40分)1. 设集合{}1,2,3,4A =，{},4B a =且{}1,2,3,4A B =，则实数a 的可能取值组成的集合是（ ）A. {}1,2,3B. {}2,3,4C. {}1,3,4D. {}1,2,42. 已知()312++=+a i i bi (,a b ∈R ，i 为虚数单位)，则实数+a b 的值为（ ） A. 3B. 5C. 6D. 83. 在平面直角坐标系xOy 中，角α的顶点在坐标原点O ，以x 轴的正半轴为始边，其终边与单位圆交点为P ，P 的坐标是(),P x y ，若35x =-，则cos2=α（ ）A.1625B. 1625-C.725D. 725-4. 在5221⎛⎫- ⎪⎝⎭ax x 的展开式中，若含2x -项的系数为40-，则正实数a =（ ） A.12B. 2C. 3D. 45. 5G 技术的数学原理之一便是著名的香农公式：2log 1S C W N ⎛⎫=+⎪⎝⎭.它表示：在受噪声干挠的信道中，最大信息传递速率C 取决于信道带宽W 、信道内信号的平均功率S 、信道内部的高斯噪声功率N 的大小，其中S N 叫做信噪比.按照香农公式，若不改变带宽W ，而将信噪比SN从1000提升至2000，则C 大约增加了（ ） A. 10%B. 30%C. 50%D. 100%6. 若平面向量a ，b 满足2a b a b ==⋅=，则对于任意实数λ，()1a b λλ+-的最小值是（ ）A.B.C. 2D. 17. 为了测量西藏被誉称为“阿里之巅”冈仁波齐山峰的高度，通常采用人工攀登的方式进行，测量人员从山脚开始，直到到达山顶分段测量，最后将所有的高度差累加，得到珠峰的高度，在测量过程中，已知竖立在B 点处的测量觇标高10米，攀登者们在A 处测得到觇标底点B 和顶点C 的仰角分别为70︒，80︒，则A 、B 的高度差约为（ ）(参考数据：sin100.1736︒≈，sin700.9397︒≈，sin800.9848︒≈)A. 10米B. 9.66米C. 9.40米D. 8.66米8. 如图，过抛物线24y x =的焦点F 作直线l 交抛物线于A 、B 两点，点M 是线段AB 的中点，过M 作y 轴的垂线交抛物线于P 点，记=AB FP λ，则λ的值为（ ）A. 2B. 4C. 6D. 8二、多项选择题(本题共4小题，每小题5分，共20分)9. 针对当下的“抖音热”，某校团委对“学生性别和喜欢抖音是否有关”作了一次调查，其中被调查的男女生人数相同，男生喜欢抖音的人数占男生人数的45，女生喜欢抖音的人数占女生人数的35，若有95%的把握认为是否喜欢抖音和性别有关，则调查人数中男生可能有（ ） 附表：()20P K k ≥ 0.050 0.0100k3.841 6.635附：()()()()()22n ad bc K a b c d a c b d -=++++A. 25B. 45C. 60D. 4010. 已知1a >，01c b <<<，下列不等式成立的是（ ） A. b c a a >B.c c ab b a+>+ C. log log b c a a <D.b cb ac a>++ 11. 已知函数()()sin f x A x ωϕ=+，()0,0,0A ωϕπ>><<的部分图象如图所示，其中图象最高点和最低点的横坐标分别为12π和712π，图象在y 轴上的截距为3，给出下列四个结论，其中正确的结论是（ ）A. ()f x 的最小正周期为πB. ()f x 的最大值为2C. 14f π⎛⎫=⎪⎝⎭D. 3f x π⎛⎫+⎪⎝⎭偶函数12. 已知球O 是正三棱锥(底面为正三角形，点在底面的射影为底面中心)A BCD -的外接球，3BC =，23AB =点E 在线段BD 上，且6BD BE =，过点E 作球O 的截面，则所得截面圆的面积可能是（ ） A. πB. 2πC. 3πD. 4π三、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）13. 已知直线3y x =与双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>有两个交点，则双曲线C 的离心率的取值范围是________.14. 已知数列{}n a 的前n 项和()12+=n n n a S ，且11a=，则数列{}n a 的通项公式为________.15. 如图，大摆锤是一种大型游乐设备，常见于各大游乐园，游客坐在圆形的座舱中，面向外，通常大摆锤以压肩作为安全束缚，配以安全带作为二次保险.座舱旋转的同时，悬挂座舱的主轴在电机的驱动下做单摆运动.2020年10月1日国庆节，小明去某游乐园玩“大摆锤”，他坐在点A 处，“大摆锤”启动后，主轴OB 在平面α内绕点O 左右摆动，平面α与水平地面垂直，OB 摆动的过程中，点A 在平面β内绕点B 作圆周运动，并且始终保持OB β⊥，B β∈.已知6OB AB =，在“大摆锤”启动后，直线OA 与平面α所成角的正弦值的最大值为________.16. 设直线1l ，2l 分别是函数()ln f x x =，()1x ≠图象上点1P ，2P 处的线，1l 与2l 垂直相交于点P ，且1l ，2l 分别与y 轴相交于点A ，B ，PAB △的面积的取值范围是________.四、解答题(本题共6小题，共70分)17. 在①1c =，ABC的面积为34，②2b c =，③4A π=这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，若问题中的三角形存在，求sin C 的值；若问题中的三角形不存在，说明理由.问题：是否存在锐角ABC ，它的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，且()3cos cos 2sin a C c A b B +=， ________.注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.18. 已知正项数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足：11a =，211n n n a S S ++=+.(1)求数列{}n a 的通项公式； (2)设()()121213n n n a n n a b a a +=-+，求数列{}n b的前n 项和nT . 19. 在如图所示的圆柱12O O 中，AB 为圆1O 的直径，,C D 是AB 的两个三等分点，EA ，FC ，GB 都是圆柱12O O 的母线．（1）求证：1//FO 平面ADE ；（2）设BC =1，已知直线AF 与平面ACB 所成的角为30°，求二面角A —FB —C 的余弦值．20. 已知椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的离心率12e =，31,2D ⎛⎫ ⎪⎝⎭为椭圆上一点.(1)求椭圆C 的方程； (2)已知F 为椭圆C的右焦点，过点F 的直线l 交椭圆(异于椭圆顶点)于A 、B 两点，试判断11AF BF+是否为定值？若是，求出该定值；若不是，说明理由. 21. 设函数()()22ln f x x a x a x =---.(1)若)∈+∞x ，()()2≥-f x a x ，求实数a 的取值范围；(2)已知函数()y f x =存在两个不同零点1x ，2x ，求满足条件的最小正整数a 的值.22. 新冠抗疫期间，某大学应用数学专业的学生希望通过将所学的知识应用新冠抗疫，决定应用数学实验的方式探索新冠的传染和防控.实验设计如下：在不透明的小盒中放有大小质地相同的8个黑球和2个红球，从中随机取一球，若取出黑球，则放回小盒中，不作任何改变；若取出红球，则黑球替换该红球重新放回小盒中，此模型可以解释为“安全模型”，即若发现一个新冠患者，则移出将其隔离进行诊治.(注：考虑样本容量足够大和治愈率的可能性，用黑球代替红球)(1)记在第()2n n ≥次时，刚好抽到第二个红球，试用n 表示恰好第n 次抽到第二个红球的概率； (2)数学实验的方式约定：若抽到第2个红球则停止抽球，且无论第10次是否能够抽到红球或第二个红球，当进行到第10次时，即停止抽球；记停止抽球时已抽球总次数为X ，求X 的数学期望.(精确到小数点后1位)参考数据：119294 1.80105--=⎛⎫⎛⎫⎛⎫-≈ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭∑k k k ，1110294 2.05105--=⎛⎫⎛⎫⎛⎫-≈ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭∑k k k ，11929410.79105--=⎛⎫⎛⎫⎛⎫-≈ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭∑k k k k ，111029413.32105--=⎛⎫⎛⎫⎛⎫-≈ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭∑k k k k .炎德·英才大联考长郡中学2021届高三月考试卷数学参考答案三、填空题13. ()2,+∞ 14. ()*n a n n =∈N15.3716.()0,1四、解答题17. 【解】因为sin sin sin a b cA B C==，)cos cos 2sin a C c A b B +=，)2sin cos sin cos 2sin A C C A B +=，()22sin A C B +=22sin B B =，又sin 0B ≠所以sin 2B =，因为ABC 是锐角三角形， 所以0,2B π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，得3B π=.选择条件①：因为11sin 22ABCS ac B a ===所以1a =又因为1a c ==，3B π=，所以ABC 存在且等边三角形，所以3C π=，所以sin C =选择条件②：由正弦定理sin sin b cB C=及b =得sinsin sin c c BC bπ===.选择条件③：由4A π=得512C A B ππ=--=，所以得：51sin sin sin sin cos cos sin 1264646422224C πππππππ⎛⎫==+=+=⨯+= ⎪⎝⎭. 18.【解】(1)由211n n n a S S ++=+又有21n n n a S S -=+，()2n ≥，两式相减得()22112n n n n a a a a n ++-=+≥因为0n a >，所以()112n n a a n +-=≥又11a =，22121a a a a =++，解得22a =，满足11n n a a +-=因此数列{}n a 是等差数列，首项1a 为1，公差d 为1 所以()11n a a n d n =+-= (2)()()1121213n n n b n n +=⋅-+()()113111114212134213213n n n n n n n -⎡⎤⎛⎫=-⋅=-⎢⎥ ⎪-+-⋅+⋅⎝⎭⎢⎥⎣⎦所以()()1201121111111111...41333433534213213n n n n T b b b n n -⎡⎤⎛⎫⎛⎫=+++=-+-++-⎢⎥ ⎪ ⎪⋅⋅⋅⋅-⋅+⋅⎝⎭⎝⎭⎣⎦()1114213n n ⎡⎤=-⎢⎥+⋅⎣⎦. 19.【解】（1）连接11,O C O D ，因为C ，D 是半圆AB 的两个三等分点，所以11160AO D DO C CO B ∠=∠=∠=， 又1111O A O B O C O D ===，所以111,,AO D CO D BO C ∆∆∆均为等边三角形. 所以11O A AD DC CO ===，所以四边形1ADCO 是平行四边形，所以1//CO AD ，又因为1CO ⊄平面ADE ，AD ⊂平面ADE ，所以1//CO 平面ADE . 因为EA ，FC 都是圆柱12O O 的母线，所以EA //FC .又因为⊄FC 平面ADE ，EA ⊂平面ADE ，所以//FC 平面ADE . 又1,CO FC ⊂平面11FCO CO FC C ⋂=，且，所以平面1//FCO 平面ADE ，又1FO ⊂平面1FCO ，所以1//FO 平面ADE .（2）连接AC ，因为FC 是圆柱12O O 的母线，所以FC ⊥圆柱12O O 的底面， 所以FAC ∠即为直线AF 与平面ACB 所成的角，即30FAC ∠= 因为AB 为圆1O 的直径，所以90ACB ∠=， 在601Rt ABC ABC BC ∆∠==中，，，所以tan 603AC BC =⋅=tan301Rt FAC FC AC ∆==中， 因为AC BC ⊥，又因为AC FC ⊥，所以AC ⊥平面FBC ， 又FB ⊂平面FBC ，所以AC FB ⊥.在FBC ∆内，作CH FB ⊥于点H ，连接AH .因为,,AC CH C AC CH ⋂=⊂平面ACH ，所以FB ⊥平面ACH ， 又AH ⊂平面ACH ，所以FB AH ⊥， 所以AHC ∠就是二面角A FB C --的平面角. 在2FC BC Rt FBC CH FB ⋅∆=中，90Rt ACH ACH ∆∠=中，，所以22142AH AC CH =+=，所以7cos CH AHC AH ∠= 所以二面角A FB C --7. 20. 【解】(1)由已知22222191412a b c e a c a b⎧+=⎪⎪⎪==⎨⎪=-⎪⎪⎩,解得231a b c =⎧⎪=⎨⎪=⎩所以椭圆C 的方程为22143x y +=(2)由(1)可知()1,0F依题意可知直线l 的斜率不为0，故可设直线l 的方程为1x my =+由221431x y x my ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩，消去x 整理得()2234690m y my ++-= 设()11,A x y ，()22,B x y则122634m y y m -+=+，122934y y m -=+ 不妨设10y >，20y <，11AF y y ====，同理22BF y y ==所以121111AF BF y y ⎫+=+=-⎪⎭211212y y y y -==24334m ==+ 即1143AF BF +=. 21.【解】(1)由()()2≥-f x a x 得2ln 0x a x-≥ 又)x ∈+∞ 所以1ln 02x ≥> 所以2ln x a x ≤令()2ln x g x x=所以()()()22ln 10ln x x g x x -'=≥所以函数()g x 在)+∞上单调递增所以()min 2g x ge ==所以2a e ≤，即实数a 的取值范围为(],2e -∞ (2)因为()()22ln f x x a x a x =---所以()()()()()()22221220x a x a x a x a f x x a x x x x----+'=---==> 若0a ≤，则()0f x '>，函数()f x 在()0,∞+上单调递增，函数()f x 之多一个零点 所以若函数()f x 有两个两点，则0a >当0a >时，函数()f x 在0,2a ⎛⎫ ⎪⎝⎭单调递减，在,2a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭单调递增 得()f x 的最小值02a f ⎛⎫<⎪⎝⎭，因此函数()f x 有两个零点 则244ln02a a a a -+-< 又0a > 所以4ln 402a a +-> 令()4ln 42a h a a =+-，显然()h a 在()0,∞+上为增函数 且()220h =-<，()38134ln1ln 10216h =-=-> 所以存在()02,3a ∈，()00h a =当0a a >时，()0h a >当00a a <<时，()0h a <所以满足条件的最小正整数3a =又当3a =时，()()332ln30f =->，()10f =所以3a =时，()f x 有两个零点综上所述，满足条件的最小正整数a 的值为322.【解】(1)若第k （k n <）次是第一次取到红球，第n 次是第二次取到红球 则对应地有：114191551010k n k P ---⎛⎫⎛⎫=⋅⋅⋅ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 则第n 次取球时2个红球都被取出的所有可能情况的概率和为：02311419141914191551010551010551010n n k n k -----⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⋅⋅⋅+⋅⋅⋅++⋅⋅⋅+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 204191551010n -⎛⎫⎛⎫+⋅⋅⋅ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 利用等比数列求和公式即可得：102111141014191191419459410551010510555105159n n n n n n ------⎛⎫-⋅ ⎪⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎝⎭⋅⋅⋅⋅=⋅-⋅=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭-⋅ (2)由题意可知，X 的可能取值依次是2，3，…，9，10特别地，当10X =时，对应的()()()()()101239P X P X P X P X ==-=+=++= 由参考数据可得：()11 1.80.64510P X ≈-⨯≈= X 对应的数学期望为： ()2912911999444239239100.645101010555E X --⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫= ⋅+⋅++⋅-⋅+⋅++⋅⎪+⨯ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭由参考数据可得：()110.79100.648.65E X ≈⨯+⨯≈。
2024-2025学年湖南省长沙市长郡中学大联考高三(上)月考数学试卷(二)(含答案)
2024-2025学年湖南省长沙市长郡中学大联考高三（上）月考数学试卷（二）一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合A ={x||x|⩽2}，B ={t|1⩽2t ⩽8(t ∈Z)}，则A ∩B =( )A. [−1,3]B. {0,1}C. [0,2]D. {0,1,2}2.已知复数z 满足|z−i|=1，则|z|的取值范围是( )A. [0,1]B. [0,1)C. [0,2)D. [0,2]3.已知p ：f(x)=ln(21−x +a)(−1<x <1)是奇函数，q ：a =−1，则p 是q 成立的( )A. 充要条件 B. 充分不必要条件C. 必要不充分条件D. 既不充分也不必要条件4.若锐角α满足sinα−cosα=55，则sin (2α+π2)=( )A. 45B. −35 C. −35或35D. −45或455.某大学在校学生中，理科生多于文科生，女生多于男生，则下述关于该大学在校学生的结论中，一定成立的是( )A. 理科男生多于文科女生B. 文科女生多于文科男生C. 理科女生多于文科男生D. 理科女生多于理科男生6.如图，某车间生产一种圆台形零件，其下底面的直径为4cm ，上底面的直径为8cm ，高为4cm ，已知点P 是上底面圆周上不与直径AB 端点重合的一点，且AP =BP ，O 为上底面圆的圆心，则OP 与平面ABC 所成的角的正切值为( )A. 2B. 12C.5D.557.在平面直角坐标系xOy 中，已知直线l ：y =kx +12与圆C ：x 2+y 2=1交于A ，B 两点，则△AOB 的面积的最大值为( )A. 1B. 12C.32D.348.设函数f(x)=(x 2+ax +b)lnx ，若f(x)≥0，则a 的最小值为( )A. −2B. −1C. 2D. 1二、多选题：本题共3小题，共18分。
湖南省长沙市长郡中学2023届高三月考试卷(二)数学试题及答案
长郡中学2023届高三月考试卷（二）数学本试卷共8页。
时量120分钟。
满分150分。
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
已知全集U =R ,集合{}2,3,4A =,结合{}02,45B =，，，则图中阴影部分表示的集合为A. {}2,4B. {}0C. {}5D. {}0,52.若1a iz i+=-（i 为虚数单位）是纯虚数，则a =A. -1B. 0C. 1D. 23.已知函数()y f x =的图象在点(3,(3))P f 处的切线方程式27y x =-+，则'(3)(3)f f -=A. -2B. 2C. -3D. 34.命题p ：“2,240x ax ax ∃∈+≥R ”为假命题的一个充分不必要条件是A.40a -<≤ B. 40a -≤< C. 30a -≤≤ D. 40a -≤≤5. 当102x ……时,4log x a x <, 则a 的取值范围是A. ⎛ ⎝B. ⎫⎪⎪⎭C. D. 2)6. 已知函数()sin (0)3f x x πωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭在,3ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上恰有 3 个零点, 则ω的取值范围是A. 81114,4,333⎡⎫⎛⎫⎪ ⎪⎢⎣⎭⎝⎭ B. 111417,4,333⎡⎫⎡⎫⎪⎪⎢⎢⎣⎭⎣⎭ C. 111417,5,333⎡⎫⎛⎫⎪ ⎪⎢⎣⎭⎝⎭D. 141720,5,333⎡⎫⎡⎫⎪⎪⎢⎢⎣⎭⎣⎭7.南宋数学家杨辉在《详解九章算术法》和《算法通变本末》中，提出了一些新的垛积公式，所讨论的高阶等差数列与一般的等差数列不同，前后两项之差并不相等,但是逐项差数之差或者高次差成等差数列.如数列1,3,6,10,前后两项之差组成新数列2,3,4,新数列2,3,4为等差数列，这样的数列称为二阶等差数列.现有高阶等差数列,其前7项分别为1，4, 8，14, 23，36，54，则该数列的第19项为（注：222(1)(21)126n n n n ++++=……）A. 1624 B. 1024 C. 1198 D. 15608. 已知函数312(),,.,(,)f x x ax b a b x x m n =++∈∈R 且满足()()12(),()f x f n f x f m ==, 对任意的[,]x m n ∈恒有()()()f m f x f n ……, 则当,a b 取不同的值时A. 12n x +与22m x -均为定值B. 12n x -与22m x +均为定值C. 12n x -与22m x -均为定值D. 12n x +与22m x +均为定值二、选择题: 本题共 4 小题, 每小题 5 分, 共 20 分. 在每小题给出的选项中, 有多项符合题目要求. 全部选对的得 5 分, 部分选对的得 2 分, 有选错的得 0 分.9.已知奇函数())cos()(0,0)f x x x ωϕωϕωϕπ=+-+><<的最小正周期为π，将函数()f x 的图象向右平移6π个单位长度，可的导函数()y g x =的图象，则下列结论正确的是A. 函数()2sin(23g x x π=-B. 函数()g x的图象关于点⎛⎫⎪⎝⎭对称C. 函数()g x 在区间,63ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递增D. 当0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，函数()g x10.正四棱锥P ABCD -的所有棱长为2，用垂直于侧棱PC 的平面α截该四棱锥，则A. PC BD⊥B. 四棱锥外接球的表面积为8πC. PA 与底面ABCD 所成的角为60︒D. 当平面α经过侧棱PC 中点时,截面分四棱锥得到的上、下两部分几何体体积之比为3: 111.已知数列{}n a 满足1222,8,1,,n n n n a n a a a T a n +--⎧===⎨⎩为偶数，为奇数为数列{}n a 的前n 项和,则下列说法正确的有A. n 为偶数时, 22(1)n n a -=- B. 229n T n n =-+C. 992049T =- D. n T 的最大值为 2012.设定义在R 上的函数()f x 与()g x 的导函数分别为'()f x 和'()g x ，若(2)(1)2f x g x +--=，''()(1)f x g x =+，且(1)g x +为奇函数，则下列说法中一定正确的是A.(1)0g =B.函数'()g x 的图象关于2x =对称C.20221()0k g k ==∑ D. 20211()()0k f k g k ==∑三、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分.13. 若22log log 6a b +=, 则a b +的最小值为_____.14. 已知边长为 2 的菱形ABCD 中, 点F 为BD 上一动点, 点E 满足22,3BE EC AE BD =⋅=- , 则AF EF ⋅的最小值为_____.15. 已知等差数列{}n a 和正项等比数列{}n b 满足117332,2a b a b a ====,则数列{}2(2)nn a b -的前n 项和为_____.16. 已知函数ln (),()e x x xf xg x x==, 若存在120,x x >∈R , 使得()()120f x g x =<成立,则12x x 的最小值为_____.四、解答题:本题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
长郡中学高三数学第二次月考试卷
长郡中学高三第二次月考试卷数学（理科）得分：本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共8页。
时量120分钟。
满分150分。
第Ⅰ卷一、选择题：本题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1.已知集合A={|x y =，{0,1,2,3,4},B =A B ⋂=则A.∅B.{0,1,2}C.{0,1,2,3}D.（-∞，3]2. 已知函数221,0()log ,0x x f x x x -⎧=⎨⎩＜，＞那么f(8)的值为 A.3 B.4 C.15 D.163. 当n 是正整数时，用数学归纳法证明121427310...(31)(1)n n n n ⨯+⨯+⨯++-=+时，从n=k 到n=k+1，等号左边需要增加的代数式为A.k(3k+4)B.(k+1)(3k+1)C.(k+1)3kD.(k+1)(3k+4)4. 直角△ABC （∠A=90°）的外接圆圆心O ，半径为1，且||||OA AB =u u u r u u u r 则向量AB u u u r在向量BC uuu r 方向的投影为A.2 B.12- C.12D.2-5.已知()f x 是定义在实数集R 上的偶函数，且在（0.+∞）上递增，则A.0.72(2)(log 5)(3)f f f --＜＜ B.0.72(3)(2)(log 5)f f f --＜＜C.0.72(3)(log 5)(2)f f f --＜＜D.0.72(3)log f f f -（2）＜＜（-5）6.某地区空气质量检测表明，一天的空气质量为优的概率是0.75，连续两天为优的概率是0.6，已知某天的空气质量为优，则随后一天空气质量为优的概率是 A.0.8 B.0.75 C.0.6 D.0.457.要得到函数()2sin f x xconx x R =∈，，只需将函数2()2cos 1.g x x R =-∈的图像A.向左平移2π个单位B.向右平移4π个单位 C.向左平移4π个单位 C.向右平移2π个单位8.等差数列{a }n 的首项为1，公差不为0，若236,,a a a 成等比数列，则{a }n 的前6项的和为 A.8 B.-3 C.3 D.-249.△ABC 中，角A,B,C 的对边长分别为a,b,c 若3cos cos ,5a Bb Ac -=则tan(A-B)的最大值为 A.43 B.34C.1D.310. 函数321()213f x x ax x =+-+在12x ∈（，）内存在极值点，则 A.1122a -≤≤ B.1122a a -＜或＞ 11.22C a -＜＜ D.1122a a ≤-≥或11.下表中的数表示为“森德拉姆筛”（森德拉姆，东印度学者），其特点是每行每列都成等差数列，在表中“361”出现的次数为A.12B.6C.24D.4812.若函数()f x 满足111()(()ln ),(),()()1x f x x f x x f ef e f e e e''=-=+且则＜的解集为 A.(-1,+∞) B.1e +∞（，） C.1e（0，） D.()1-∞-，第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分．第（13）~（21）题为必考题，每个试题考试必须作答．第（22）~（23）题为选考题，考生根据要求作答．二、填空题：本题共4小题，每小题5分共20分． 13.已知向量a =(3,-1),b =(1,m),a ∥（a-2b ），则m= .14.我国成功申办2022年第24届冬季奥林匹克运动会，届时冬奥会的高山速降运动将给我们以速度与激情完美展现，某选手的速度ξ服从正态分布（100，2σ）（0σ＞），若ξ在（80,120）内的概率为0.7，则他速度超过120的概率为 .15.设6sin ,a xdx a x x=⎰π则（-的展开式中常数项是 .16.已知A,B 是函数2,()()(2),()x a e x a f x f a x x a -⎧-≥=⎨-⎩＜(其中常熟0a ＞)图像上的两个动点，点P a 0（，），若PA PB u u u r u u u r g 的最小值为0，则函数f(x)的最大值为 .三.解答题：本大题共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.第17~21题为必考题.每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答. （一）必考题：共60分. 17.（本小题满分12分）在△ABC 中，角A,B,C 所对的边长分别为a,b,c ，且满足32222a c b -=.（1）求C 的大小.（2）若△ABC 的面积为213 b 的值.18. （本小题满分12分）已知函数{}n a 满足：1,n n a S ≥是其前n 项的和，且2n 2n S a n =+.数列{}n b 满足121,2.n an n n b a b b a +=-=+g（1）求数列{}n a的通项公式；b的通项公式.（2）求数列{}n19.（本小题满分12分）为增强学生体质，长郡中学组织体育社团，某班级有4人积极报名参加篮球和足球社团，每人只能从两个社区中选择其中一个社团，大家约定：每个人通过掷一枚质地均匀的骰子决定自己参加哪个社团，掷出点数为5或6的人参加篮球社团，掷出点数小于5的人参加足球社团.（1）求这4个人中恰有1人参加篮球社团的概率；和之差的绝对值，求随（2）用,ξη分别表示这4个人中参加篮球社团和足球社团的人数，记随机变量X为ξη机变量X的分布列与数学期望E（X）.20.（本小题满分12分）某公司为确定下一年投入某种产品的宣传费，需了解年宣传费x(单位：万元)对年销售量y（单位：吨）和年利润z （单位：万元）的影响.对近六年的年宣传费i x 和年销售量(1,2,3,4,5,6)i y i =的数据作了初步统计，得到如下数据:经电脑模拟，发现年宣传经费x （万元）与年销售量y （吨）之间的关系满足关系式by a x =g (,0a b ＞).对上述数据作了初步处理，得到相关的值如下表：（1）根据所给数据，求y 关于x 的回归方程； （2）已知这种产品的年利润z 与x ，y 的关系为z 2.14ex =-若想在2019年达到年利润最大，请预测2019年的宣传费用是多少万元？附：对于一组数据1122(,),(,),...,(,),n n u v u v u v 其回归直线v u a β=+g 中的斜率和截距的最小二乘估计分别为n1221()()=,()i i i nii u v n uv un u β==--∑∑.a v u β=-g21（本小题满分12分）已知函数()()(),(0)(1)xf x x b e a b f =+--＞，在（-1,）处的切线方程为(1)10.e x ey e -++-= （1）求,;a b（2）若方程()f x m =有两个实数根12,x x ，且12x x ＜，求证：21(12)1.1m e x x e--≤+-(二) 选考题：共10分.请考生在22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题积分. 22.（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系xoy 中，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线C 的极坐标方程为=4cos()3ρθ-π，直线l 过点P （0，）且倾斜角为3π. （1）求曲线C 的直角坐标方程和直线l 的参数方程； （2）设直线l 与曲线C 交于A,B 两点求|PA|+|PB|的值.23. （本小题满分10分）选修4-5；不等式选讲已知函数()||2,()|1||24|.f x x a a g x x x =--++=-++ （1）解不等式|()|6g x ＜；（2）若存在1212,()()x x R f x g x ∈=、使得成立，求实数a 的取值范围.。
湖南省长郡中学、雅礼中学等四校2021届高三数学2月联考(线上)试题 文(含解析).doc
湖南省长郡中学、雅礼中学等四校2021届高三数学2月联考（线上）试题 文（含解析）一､选择题1.已知集合{}220A x x x =∈-++≥N ，则满足条件A B A ⋃=的集合B 的个数为( ) A. 3 B. 4 C. 7 D. 8【答案】D 【解析】 【分析】可以求出集合{}0,1,2A =，由A B A ⋃=可得B A ⊆，从而求集合A 的子集个数即可. 【详解】解：{}{}2200,1,2A x x x =∈-++≥=N ，∵A B A ⋃=， ∴B A ⊆，∴集合A 的子集个数为328=个. 故选：D.【点睛】本题考查并集的运算及理解，是基础题. 2.已知i 为虚数单位，,a b ∈R ，复数12ii a bi i+-=+-，则a bi -=（ ） A.1255i - B. 1255i + C. 2155i -D.21i 55+ 【答案】B 【解析】 【分析】由复数的除法运算，可得(1)(2)12(2)(2)55i i i i i i a b i=+++-=--+，即可求解a b i -，得到答案．详解】由题意，复数12ii a bi i+-=+-，得(1)(2)1312(2)(2)555i i a b i=i i i i i i ++++-=-=--+， 所以1255a b i=i -+，故选B ． 【点睛】本题主要考查了复数的运算，其中解答中熟记复数的基本运算法则，准确化简是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．3.已知()1,2A ，()2,3B ，()1,C m -，若BA BC BA BC +=-，则2AC =( )A. 6B.C. 16D. 20【答案】D 【解析】 【分析】代入坐标可求出(4,4),(2,2)BA BC m BA BC m +=---=-，利用模的坐标运算列方程可得6m =，进而可求出AC 的坐标，则2AC 可求.【详解】解：(1,1),(3,3)BA BC m =--=--，(2,2)CA m =-，(4,4),(2,2)BA BC m BA BC CA m ∴+=---==-，又BA BC BA BC +=-，2216(4)4(2)m m ∴+-=+-，解得6m =，(2,4)AC ∴=-，241620AC ∴=+=.故选：D.【点睛】考查根据点的坐标求向量的坐标的方法，向量坐标的加法运算，向量减法的几何意义，以及根据向量坐标求向量长度的方法，是基础题. 4.已知命题p :“0x R ∃∈，0101x >+”的否定是“x R ∀∈，101x ≤+”；命题q :“2020x <”的一个充分不必要条件是“2019x <”，则下列命题为真命题的是（ ）A. p q ∧B. q ⌝C. ()p q ∨⌝D. ()p q ⌝∧【答案】D 【解析】 【分析】根据条件分别判断命题,p q 的真假，结合复合命题真假关系进行判断即可．【详解】命题p ：“0x R ∃∈，0101x >+”的否定是“x R ∀∈，101x <+或10x +=”. 则命题p 是假命题.命题q ：“2020x <”的一个充分不必要条件是“2019x <”，为真命题. 则()p q ⌝∧为真命题，其余为假命题. 故选：D ．【点睛】本题主要考查复合命题真假关系的应用，根据条件判断命题,p q 的真假是解决本题的关键．属于基础题.5.分形几何是美籍法国数学家芒德勃罗在20世纪70年代创立的一门数学新分支，其中的“谢尔宾斯基”图形的作法是:先作一个正三角形，挖去一个“中心三角形”(即以原三角形各边的中点为顶点的三角形)，然后在剩下的每个小正三角形中又挖去一个“中心三角形”.按上述方法无限连续地作下去直到无穷，最终所得的极限图形称为“谢尔宾斯基”图形(如图所示)，按上述操作7次后，“谢尔宾斯基”图形中的小正三角形的个数为（ ）A. 53B. 63C. 73D. 83【答案】C 【解析】 【分析】根据题意分别求出第1,2,3次操作后，图形中的小正三角形的个数，然后可归纳出一般结论，得到答案.【详解】如图，根据题意第1次操作后，图形中有3个小正三角. 第2次操作后，图形中有3×3=23个小正三角. 第3次操作后，图形中有9×3=33个小正三角. …………………………所以第7次操作后，图形中有73 个小正三角.故选：C【点睛】本题考查归纳推理，属于中档题.6.将函数()2sin 1f x x π=-的图象向左平移ϕ（102ϕ<<）个单位长度后得到函数()g x 的图象，若使()()4f a g b -=成立的a 、b 有min 34a b -=，则下列直线中可以是函数()y g x =图象的对称轴的是( )A. 14x =-B. 12x =C. 34x =D. 54x =【答案】D 【解析】 【分析】根据三角函数平移关系求出()g x 的解析式，结合()()4f a g b -=成立的,a b 有min 34a b -=，求出,a b 的关系，结合最小值建立方程求出ϕ的值即可. 【详解】解：将函数()2sin 1f x x π=-的图象向左平移ϕ（102ϕ<<）个单位长度后得到函数()g x 的图象，即()2sin ()1g x x πϕ=+-， 若()()4f a g b -=成立， 即|2sin 2sin (+)|=4a b ππϕ-， 即|sin sin ()|2a b ππϕ-+=，则sin a π与sin ()b πϕ+一个取最大值1，一个取最小值−1，不妨设sin 1,sin ()1a b ππϕ=+=-， 则2,,()2,22a k k Zb n n Z πππππϕπ=+∈+=-∈，得112,222a kb n ϕ=+=--， 则2()1a b k n ϕ-=-++，∵min 34a b -=， ∴当0k n -=时，3||11,2a b ϕ⎛⎫-=+∈ ⎪⎝⎭， 当1k n -=-时，1|||1|,12a b ϕ⎛⎫-=-∈⎪⎝⎭， 3|1|4ϕ∴-=， 则314ϕ-=或314ϕ-=-， 即14ϕ=或74ϕ=（舍）， 即1()2sin 12sin 144g x x x πππ⎛⎫⎛⎫=+-=+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，由,42x k k Z ππππ+=+∈，得1,4x k k Z =+∈， 当1k =时，对称轴方程为54x =. 故选：D.【点睛】本题考查三角函数的图象平移，以及三角函数的图象和性质，结合三角函数的最值性建立方程关系求出,a b 的大小，结合最小值求出ϕ的值是解决本题的关键.考查分析问题解决问题的能力，有一定难度.7.《海岛算经》中有这样一个问题，大意为：某粮行用芦席围成一个粮仓装满米，该粮仓的三视图如图所示（单位：尺，1尺0.33≈米），已知1斛米的体积约为1.62立方尺，圆周率约为3，则估算出该粮仓存放的米约为( )A. 43斛B. 45斛C. 47斛D. 49斛【答案】D 【解析】 【分析】首先判断该几何体的形状，然后根据其体积计算公式计算即可. 【详解】解：观察发现该几何体为圆台和圆柱的结合体，其体积为：2221179262211333ππππ⨯⨯+⨯⨯⨯-⨯⨯⨯=（尺）， 则该粮仓存放的米约为793 1.62493⨯÷≈（斛）. 故选：D.【点睛】考查了由三视图判断几何体的知识，解题的关键是首先判断几何体的形状，难度不大.8.已知点G 在ABC ∆内，且满足2340GA GB GC ++=，现在ABC ∆内随机取一点，此点取自,,GAB GAC GBC ∆∆∆的概率分别记为123,,P P P ，则（ ） A. 123P P P ==B. 321P P P >>C. 123P P P >>D.213P P P >>【答案】C 【解析】 【分析】分别延长GA 到GA '，GB 到GB '，GC 到GC '，使得2GA GA '=，3GB GB '=，4GC GC '=，则有0GA GB GC '''++=，得到点G 为A B C '''∆的重心，所以GA B GA C GB C S S S ''''''∆∆∆==，进而求得16GAB GA B S S ''∆∆=，18GAC GAC S S '∆∆=，112GBC GB C S S '∆∆=，得出面积之间的关系，即可求解．【详解】由题意，分别延长GA 到GA '，GB 到GB '，GC 到GC '， 使得2GA GA '=，3GB GB '=，4GC GC '=，则有0GA GB GC '''++=， 所以点G 为A B C '''∆的重心，所以GA B GA C GB C S S S ''''''∆∆∆==，又16GAB GA B S S ''∆∆=，18GAC GAC S S '∆∆=，112GBC GB C S S '∆∆=， 从而得到::GAB GAC GBC S S S ∆∆∆=111::4:3:26812=， 则123:P :4:3:2P P =，即123P P>>P .故选C.【点睛】本题主要考查了平面向量的应用，以及几何概型思想的应用，其中解答中根据响亮的运算求得点G 的位置，得出面积之间的关系是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于中档试题．9.已知双曲线C ：22221x y a b-=（0a >，0b >）的右焦点为(),0F c ，点A 、B 分别在直线2a x c=-和双曲线C 的右支上，若四边形OABF （其中O 为坐标原点）为菱形且其面积为，则a =( )C. 2【答案】A 【解析】 【分析】设点2,a A t c ⎛⎫-⎪⎝⎭，0t >，因为OF AB c ==，则2,a B c t c ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭，根据点B 在双曲线上可得一个关于,,a b c 方程，根据面积又可得一个关于,,a b c 的方程，在加上222c a b -=，列方程求解即可.【详解】解：如图：设点2,a A t c ⎛⎫- ⎪⎝⎭，0t >，因为OF AB c ==，则2,a B c t c ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭， 又OB AF ⊥，则221tta ac c c c⋅=--+--，化简得2222(1)a t b c=+，222,1a a B c b c c ⎛∴-++ ⎝2222222(1)1a a c b c c a b∴-⎛⎫-+ +⎝⎭=⎪① ， 又22131512a c b c ⨯⨯+=②， 222c a b -=③，∴由①②③得3,3,3a b c ===故选：A.【点睛】本题考查双曲线的性质的应用，考查学生计算能力，根据条件列方程是本题的关键，是中档题.10.当x 为实数时，()trunc x 表示不超过x 的最大整数，如()trunc 3.13=.已知函数()()trunc f x x =（其中x ∈R ），函数()g x 满足()()6g x g x =-、()()11g x g x +=-，且[]0,3x ∈时，()22g x x x =-，则方程()()f x g x =的所有根的个数为( )A. 3B. 4C. 5D. 6【答案】D 【解析】 【分析】由()()6g x g x =-，()()11g x g x +=-，得函数()g x 的图象关于直线1x =及直线3x =对称，又由()()()(2)624g x g x g x g x ⎡⎤=-=--=+⎣⎦可得()g x 的周期，通过作图观察的方法可得结果.【详解】解：由()()6g x g x =-，()()11g x g x +=-，得函数()g x 的图象关于直线1x =及直线3x =对称，()()()(2)624g x g x g x g x ⎡⎤∴=-=--=+⎣⎦，则()g x 为周期函数，且最小正周期为4. 对于()f x ，当[0,1)x ∈时，()0f x =当[1,2)x ∈时，()1f x =； 当[2,3)x ∈时，()2f x =； 当[3,4)x ∈时，()3f x =； 当[4,5)x ∈时，()4f x =； …；当[1,0)x ∈-时，()1f x =； 当[2,1)x ∈--时，()2f x =； 当[3,2)x ∈--时，()3f x =； 当[4,3)x ∈--时，()4f x =； 当[5,4)x ∈--时，()5f x =； …综合已知条件可在同一直角坐标系内画出函数()f x 及()g x 的图象，由图可知，函数()y f x =与函数()y g x =共有6个交点， 即方程()()f x g x =的根的个数为6. 故选：D.【点睛】此题考查了函数的图象和性质，由数形结合求解，画出函数的图像很关键，是中档题.11.对四位数abcd （19a ≤≤，0b ≤、c ，9d ≤），若a b >、b c <、c d >，称abcd 为“吉祥数”，则“吉祥数”的个数为( ) A. 1695 B. 1696 C. 1697 D. 1698【答案】A 【解析】 【分析】由数的特点，先确定,b d 位置上的数，再安排,a c 位置上的数，列举出来算出个数即可. 【详解】解：由数的特点，先确定,b d 位置上的数，再安排,a c 位置上的数，列表如下： 其中第一列是d 取的数，第一行是b 取的数，中间是满足吉祥数的,a c 组合的数量， 如：0,0b d ==，,a c 组合有99⨯种可能，则吉祥数的个数为：⨯+++++++++⨯++++++++9(987654321)8(887654321)+⨯+++++++++⋯+⨯++++++++7(777654321)1(111111111)=⨯+⨯+⨯+⨯+⋯+⨯+⨯=，945844742639217191695故选：A.【点睛】本题考查列表分类求数量，关键是要在列举中发现规律，进而方便计算出结果，是中档题.⨯方格纸中每个小方格染三种颜色之一，使得每种颜色的小方格的个数12.如图所示，将3333相等.若相邻两个小方格的颜色不同，称他们的公共边为“分割边”，则分割边条数的最小值为( )A. 33B. 56C. 64D. 78【答案】B【解析】 【分析】记分隔边的条数为L ，首先将方格按照按图分三个区域，分别染成三种颜色，粗线上均为分隔边，将方格的行从上至下依次记为1233,,,A A A ，列从左至右依次记为1233,,B B B ，行jc 中方格出现的颜色数记为()i n A ，列i B 中方格出现的颜色个数记为()i n B ，三种颜色分别记为123,,c c c ，对于一种颜色j c ，设()j n c 为含有j c 色方格的行数与列数之和，定义当i A 行含有j c 色方格时，(),1i j A c δ=，否则(),0i j A c δ=，类似的定义(),i j B c δ，计算得到()()()3311()iiji j n A n B n c ==+=∑∑３，再证明()39(1,2,3)jn c j ≥=，再证明对任意133i ≤≤均有()()2,2i i n A n B ≥≥，最后求出分隔边条数的最小值.【详解】记分隔边的条数为L ，首先将方格按照按图分三个区域，分别染成三种颜色，粗线上均为分隔边，此时共有56条分隔边，即56L =， 其次证明：56L ≥，将将方格的行从上至下依次记为1233,,,A A A ，列从左至右依次记为1233,,B B B ，行i A 中方格出现的颜色数记为()i n A ，列i B 中方格出现的颜色个数记为()i n B ，三种颜色分别记为123,,c c c ，对于一种颜色j c ，设()j n c 为含有j c 色方格的行数与列数之和，定义当i A 行含有jc 色方格时，(),1i j A c δ=，否则(),0i j A c δ=，类似的定义(),i j B c δ， 所以()()()()()()()3333331111,,iiiji j j i i i j n A n B A c B c n c δδ====⎫+=+=⎪⎭∑∑∑∑，由于染j c 色的格有21333633⨯=个，设含有j c 色方格的行有a 个，列有b 个，则j c 色的方格一定再这个a 行和b 列的交叉方格中， 从而363ab ≥，所以()()3839(1,2,3)j j n c a b n c j =+≥>⇒≥=①， 由于在行i A 中有()i n A 种颜色的方格，于是至少有()1i n A -条分隔边， 类似的，在列i B 中有()i n B 种颜色的方格，于是至少有()1i n B -条分隔边， 则()()()()()()()3333113311166iiiii i i L n A n B n A n B ===≥-+-=+-∑∑∑②()3166j j n c ==-∑③下面分两种情形讨论，(1)有一行或一列所有方格同色，不妨设有一行均为1c 色，则方格的33列均含有1c 的方格，又1c 色的方格有363个,故至少有11行有1c 色方格，于是()1113344n c ≥+=④ 由①③④得()()()123664439396656L n c n c n c ≥++-≥++-=，(2)没有一行也没有一列的所有方格同色, 则对任意133i ≤≤均有()()2,2i i n A n B ≥≥， 从而，由式②知：()()()33166334666656i i i L n A n B =≥+-≥⨯-=>∑，综上，分隔边条数的最小值为56. 故选：B.【点睛】本题主要考查染色问题，考查计数原理，考查分析推理能力，是一道难度极大的题目. 二､填空题 13.过抛物线C :2yx 上的一点M (非顶点)作C 的切线与x 轴､y 轴分别交于A ､B 两点，则MAMB=______. 【答案】12【解析】 【分析】利用导数求出切线方程，分别得到两点的坐标，即可得到结果. 【详解】由2y x ，则2y x '=.设点()()200,0M x x x≠,则曲线C 在M 处的切线的斜率为02k x =.所以曲线C 在M 处的切线方程为：20002()y x x x x -=-. 即2002y x x x =-.所以()2000,0,2x A B x ⎛⎫-⎪⎝⎭， 由,,M A B 三点的坐标可得，A 点为BM 的中点.所以12MA MB =. 故答案为：12【点睛】本题考查利用导数求切线方程和根据点的坐标求线段的长度之比，属于中档题. 14.我国古代数学家祖暅提出原理：“幂势既同，则积不容异”.其中“幂”是截面积，“势”是几何体的高.原理的意思是：夹在两个平行平面间的两个几何体，被任一平行于这两个平行平面的平面所截，若所截的两个截面的面积恒相等，则这两个几何体的体积相等.如图(1)，函数()[)(]sin ,2,020,2xx f x x π⎧∈-⎪=∈的图象与x 轴围成一个封闭区域A （阴影部分），将区域A （阴影部分）沿z 轴的正方向上移6个单位，得到一几何体.现有一个与之等高的底面为椭圆的柱体如图(2)所示，其底面积与区域A （阴影部分）的面积相等，则此柱体的体积为______.【答案】243ππ+【解析】 【分析】阴影区域在(0,2]上为半个圆，所以柱体的底面积为半圆的面积减去函数()f x 在[2,0)-上的积分，有了底面积，又知道高为6，即可得到柱体的体积. 【详解】解：由题意得，阴影区域在(0,2]上为半个圆，底面积12S S =圆0022124sin cos |2222x x dx ππππππ---=+=+⎰，所以该柱体的 体积为424632ππππ⎛⎫+⨯=+ ⎪⎝⎭. 故答案为：243ππ+.【点睛】本题考查定积分在求曲边梯形面积上的应用，考查计算能力.15.已知变量x 、y 满足约束条件0280260y x y x y ≥⎧⎪+-≤⎨⎪+-≥⎩，在实数x 、y 中插入7个实数，使这9个数构成等差数列{}n a 的前9项，则1a x =、9a y =，则数列{}n a 的前13项和的最大值为______.【答案】2216【解析】 【分析】画出约束条件表示的平面区域，结合图形计算该等差数列{}n a 的公差d ，写出数列{}n a 的前13项和13S ，求出它的最大值.【详解】解：画出约束条件0280260y x y x y ≥⎧⎪+-≤⎨⎪+-≥⎩表示的平面区域，如图所示；解方程组280260x y x y +-=⎧⎨+-=⎩，得410,33A ⎛⎫⎪⎝⎭；记这个等差数列为{}n a ，其公差为d ， 则1()918y x d y x -==--， 所以数列{}n a 的前13项和为()()1131371136()131313613(3)284a a y x S a a d x x y +-⎡⎤===+=+=+⎢⎥⎣⎦， 作出直线:30l x y +=，由图形可知，当直线l 过点A 时，3z x y =+取得最大值， 所以13S 的最大值为13422110436⎛⎫⨯+= ⎪⎝⎭. 故答案为：2216. 【点睛】本题考查了二元一次不等式组表示平面区域应用问题，也考查了等差数列应用问题，是中档题.16.已知四面体有五条棱长为3，且外接球半径为2.动点P 在四面体的内部或表面，P 到四个面的距离之和记为s .已知动点P 在1P ，2P 两处时，s 分别取得最小值和最大值，则线段12PP 长度的最小值为______.【答案】97【解析】【分析】设四面体为ABCD,其中3AD BD BC AB AC=====，取,CD AB的中点分别为,E F，求出EF的长，将点P到四个面的距离之和记为s，转化为到其中两个面的距离，利用等体积的方法分析出距离之和的最值，从而得到线段12PP长度的最小值为CD，AB上两点间的距离的最小值，得到答案.【详解】四面体为ABCD,其中3AD BD BC AB AC=====,设2CD x=.取,CD AB的中点分别为,E F，连接,DF CF ,如图.在等腰三角形,ABD ABC中，有,FD AB FC AB⊥⊥.所以AB⊥平面CDF，又F为AB的中点.则四面体ABCD外接球的球心O一定在平面CDF上.同理可得四面体ABCD的外接球的球心O一定在平面ABE上.所以四面体ABCD的外接球的球心O一定在EF上.连接,OC OB，设EFCθ∠=.在直角三角形OBF中，229744OF OB BF=-=-=.在三角形OCF中，222727444cos2733212OF CF OCOF CFθ+-+-===⋅⋅⨯⨯.在直角三角形EFC 中,cos EF CF θ=⋅=所以CE 长为定值，CD 的长为定值. 根据条件有=ACDBCDSS,设为1S , ABDCABSS=,设为2S设点P 到四个面ACD ,BCD ,DAB ,CAB 的距离分别为1234,,,d d d d . 设四面体ABCD 的体积为V (为定值)由等体积法有：()()1213421[]3V d d S d d S =+++所以()1213423V d d S d d S -++=所以()11234122231S V s d d d d d d S S ⎛⎫=+++=+-+ ⎪⎝⎭当点P 在CD 上时，120d d +=最小. 当点P 远离CD 时，12d d +的值增大，由等体积法可得当点P 在AB 上时，12d d +的值相等，且此时12d d +的值最大. 所以当点P 在CD 或AB 上时，s 取得最值.故线段12PP 长度的最小值为CD ，AB 上两点间的距离的最小值. 由上可知，,EF CD EF AB ⊥⊥.所以CD ，AB上两点间的距离的最小值为14EF =.故答案为：14. 【点睛】本题考查球的内接问题和空间点到面的距离之和的问题，以及等体积的方法的应用，属于难题. 三､解答题17.如图，多面体11ABC DB C -是正三棱柱111ABC A B C -沿平面11DB C 切除一部分所得，11BC CC ==，点D 为1AA 的中点.（1）求证:1BC ⊥平面1B CD ； （2）求点1B 到平面BCD 的距离. 【答案】（1）证明见解析（23【解析】 【分析】（1）设1BC 1与1B C C 交于点E ，连接DE ，可得1BD C D =，1BC DE ⊥，即可证明1BC ⊥平面1B CD .（2）利用等体积法求点1B 到平面BCD 的距离． 【详解】（1）设1BC 与1B C 交于点E ，连接DE .∵多面体11ABCDB C 是正三棱柱111ABC A B C -沿平面11DB C 切除部分所得， 1BC CC =，∴四边形11BB C C 是正方形，四边形1CC DA ､1ABB D 均为直角梯形，其中AB AD ⊥，AC AD ⊥.∵点D 为1AA 的中点，1AA 平行且等于1BB ，∴2252BD BA AD =+=. 又()221152DC CC AD AC =-+=，∴1BD C D = .∵E 为1BC 的中点，∴1BC DE ⊥. 又∵11B C BC ⊥，1B C DE E =，∴1BC ⊥平面1B CD ；（2）设点1B 到平面BCD 的距离为d ， ∵11B BCD D BCB V V --=，点D 到平面11BCC B 的距离即为ABC ∆边BC 213122⎛⎫-= ⎪⎝⎭， ∴1113332BCD B BC S d S ∆∆⋅=⨯.又∵52DC BD ==，1BC =， ∴121122B BC S BC ∆=⨯=，22111242BCD S BC BD BD ∆=⨯-=. ∴13133222122B BC BCDS d S ∆∆===，即点1B 到平面BCD 的距离为32. 【点睛】本题考查了线面垂直的证明、点到面的距离，属于中档题．18.已知椭圆22221x y a b +=(0a b >>)的右焦点为F ，左顶点为A ，离心率22e =，且经过圆O :2220x y y +-=的圆心.过点F 作不与坐标轴重合的直线l 和该椭圆交于M ､N 两点，且直线AM ､AN 分别与直线2x =交于P ､Q 两点.（1）求椭圆的方程；（2）证明:PFQ ∆为直角三角形.【答案】（1）2212x y +=（2）证明见解析【解析】 【分析】根据条件椭圆过点()0,1，即1b =，由22e =以及222a b c =+，可求椭圆方程.（2）设()11,M x y ，()22,N x y ，根据点共线求出点,P Q 坐标，设直线的方程1x my =+，代入椭圆方程，利用韦达定理及直线的斜率公式即可得到1FP FQ k k =-，即证明结论成立. 【详解】(1)由题意知，圆O :2220x y y +-=的圆心为()0,1.∵椭圆22221x y a b+=(0a b >>)过圆O :2220x y y +-=的圆心()0,1，∴1b =.又2c e a ==，222a b c =+，∴22a = .∴所求椭圆的方程为2212x y +=.（2）设()11,M x y ，()22,N x y ，可设直线l 的方程为1x my =+.联立22112x my x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，可得()222210m y my ++-=. ∴1221222212m y y m y y m ⎧+=-⎪⎪+⎨-⎪=⎪+⎩.根据A ､M ､P=.∴12P y y =.同理可得22Qy y+=.∴P ､Q的坐标分别为12y ⎛⎫+⎝，22y ⎛⎫⎝. 设直线FP 的斜率为1k ，直线FQ 的斜率为2k ，则121222002121Q P P Q y y y y k k y y +--=⋅==--2122y y +=21221y y +==-∴PF QF ⊥. ∴PFQ ∆为直角三角形.【点睛】本题考查椭圆的标准方程及简单几何性质，直线与椭圆的位置关系，考查转化思想，在做题时，选择合适的直线方程，能够起到事半功倍的效果，考查计算能力，属于难题． 19.定义:如果一个数列从第2项起，每一项与它前一项的差都大于或等于2，则称这个数列为“D 数列”.（1）若首项为1的等差数列{}n a 的每一项均为正整数，且数列{}n a 为“D 数列”，其前n 项和n S 满足22n S n n <+(n *∈N )，求数列{}n a 的通项公式；（2）已知等比数列{}n a 的每一项均为正整数，且数列{}n a 为“D 数列”，213a a -<，设()261nn nb n a ⨯=+⋅(n *∈N )，试判断数列{}n b 是否为“D 数列”，并说明理由.【答案】（1）()11221n a n n =+-⨯=+（2）是，理由见解析 【解析】 【分析】(1) 设{}n a 的公差为d ,则()2122n n n S n d n n -=+<+，由{}n a 每一项均为正整数，即*d N ∈ ，可求出n a .(2).根据条件有()1120n n n n n a a a q a a q +-=-=-≥>，1q >，，所以()111n n n n n n a a q a a a a +---=->-，在数列{}1n n a a --中，21a a -为最小项，由数列{}n a 为“D 数列”可知，只需212a a -≥，可求出11a =，3q =或12a =，2q ，然后再分别判断()12*n n b b n N +-≥∈是否恒成立.【详解】（1）设等差数列{}n a 的公差为d ，则2d ≥，由11a =，得()12n n n S n d -=+.由题意得，()2122n n n d n n -+<+对n *∈N 均成立， 当1n =时，上式成立.当2n ≥时，224211n d n n +<=+--， 又d N *∈，∴2≤d ，∴2d =∴等差数列{}n a 的通项公式为()11221n a n n =+-⨯=+.（2）设等比数列{}n a 的公比为q ，则11n n a a q -=，∵数列{}n a 的每一项均为正整数，且()1120n n n n n a a a q a a q +-=-=-≥>， ∴1q >，且q 为整数∵()111n n n n n n a a q a a a a +---=->-.∴在数列{}1n n a a --中，21a a -为最小项，由数列{}n a 为“D 数列”可知，只需212a a -≥. 即()112a q -≥，又213a a -<，即()113a q -<.由数列{}n a 的每一项均为正整数，可得()112a q -=，∴11a =，3q =或12a =，2q.①当11a =，3q =时，13-=n n a ，则()112632131n n n n b n n +-⨯==⨯+⋅+. 令1+=-n n n c b b (n *∈N )， 21332221n n n c n n ++=⨯-⨯++ 则1213221n n n +⎛⎫=⨯⨯- ⎪++⎝⎭()()13221n n n n +=⨯⨯++ ∴()()()()211132323221n n n n n nc c n n n n ++++-=⨯⨯-⨯⨯++++.()()()212320321n n n n n n +++=⨯⨯>+++ ∴数列{}n c 为递增数列，即121n n n c c c c -->>>>.又1212c b b =-=.∴对任意的n *∈N 都有12n n b b +-≥. ∴数列{}n b 是“D 数列”. ②当12a =，2q时，2n n a =，则()2623121nnn n b n n ⨯==⨯+⋅+.令1n n n d b b +=-(n *∈N ).1223321n n n d n n +=⨯-⨯++312321n n n ⎛⎫=⨯⨯- ⎪++⎝⎭=()()212321n n n n +⨯⨯++ ∴()()()()11232123233221n n n n n n d d n n n n ++++-=⨯⨯-⨯⨯++++()()()2486230321nn n n n n ++=⨯⨯>+++∴数列{}n d 为递增数列，即0121n n n d d d d ->>>>.又1213d b b =-=.∴对任意的n *∈N 都有12n n b b +-≥，∴数列{}n b 是“D 数列”.综上，数列{}n b 是“D 数列” 【点睛】本题考查了数列递推关系、新定义“D 型数列”、不等式的性质，考查了分类讨论方法、推理能力与计算能力，属于难题．20.高尔顿板是英国生物统计学家高尔顿设计用来研究随机现象的模型，在一块木板上钉着若干排相互平行但相互错开的圆柱形小木块，小木块之间留有适当的空隙作为通道，前面挡有一块玻璃，让一个小球从高尔顿板上方的通道口落下，小球在下落的过程中与层层小木块碰撞，且等可能向左或向右滚下，最后掉入高尔顿板下方的某一球槽内.如图所示的小木块中，上面7层为高尔顿板，最下面一层为改造的高尔顿板，小球从通道口落下，第一次与第2层中间的小木块碰撞，以12的概率向左或向右滚下，依次经过6次与小木块碰撞，最后掉入编号为1，2…，7的球槽内.例如小球要掉入3号球槽，则在前5次碰撞中有2次向右3次向左滚到第6层的第3个空隙处，再以12的概率向左滚下，或在前5次碰撞中有1次向右4次向左滚到第6层的第2个空隙处，再以12的概率向右滚下.(1)若进行一次高尔顿板试验，求小球落入第7层第6个空隙处的概率；(2)小明同学在研究了高尔顿板后，利用该图中的高尔顿板来到社团文化节上进行盈利性“抽奖”活动，8元可以玩一次高尔顿板游戏，小球掉入X 号球槽得到的奖金为ξ元，其中205X ξ=-.（i ）求X 的分布列：（ii ）高尔顿板游戏火爆进行，很多同学参加了游戏，你觉得小明同学能盈利吗？ 【答案】(1)332；(2)（i ）分布列见解析；（ii ）能盈利. 【解析】 【分析】（1）记小球落入第7层第6个空隙处的事件为M ，小球落入第7层第6个空隙处，需要在6次碰撞中有1次向左5次向右，由此能求出这个小球掉入第7层第6个空隙处的概率； （2）X 的取值为1，2，3，4，5，6，7，由此能求出X 的分布列，进而可求出ξ的分布列和E ξ，从而能求出小明同学能盈利.【详解】(1)记小球落入第7层第6个空隙处的事件为M ，小球落入第7层第6个空隙处，需要在6次碰撞中有1次向左5次向右，则()5161132232P M C ⎛⎫⎛⎫== ⎪⎪⎝⎭⎝⎭； (2)（i ）由已知X 的取值可为1，2，3，4，5，6，7.()()0606111722641P X P X C ⎛⎫⎛⎫==== ⎪⎝⎭=⎪⎝⎭； ()()1516116326226432P X P X C ⎛⎫⎛⎫====== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；()()24261115352264P X P X C ⎛⎫⎛⎫===== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭； ()3336112054226416P X C ⎛⎫⎛⎫==== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， ∴X 的分布列为（ii ）205Xξ=-ξ∴的可能取值为0，5，10，15，()()50416P P X ξ====， ()()()1553532P P X P X ξ===+==， ()()()3102616P P X P X ξ===+==， ()()()1151732P P X P X ξ===+==， ∴()515317505101581632163216E ξ=⨯+⨯+⨯+⨯=<. ∴小明同学能盈利.【点睛】本题考查概率的求法，考查离散型随机变量的分布列和数学期望的求法，解题时要认真审题，注意排列组合知识的合理运用. 21.已知函数2()()af x x ax a R x=+-∈. （1）当1a =且1x >-时，求函数()f x 的单调区间；（2）当21e a e ≥+时，若函数2()()ln g x f x x x =--的两个极值点分别为1x 、2x ，证明12240()()1g x g x e <-<+.【答案】（1）()f x 的单调递增区间为()(1,0),0,-+∞，；无单调递减区间；（2）证明见解析. 【解析】 【分析】(1)求得3222121()21x x f x x x x++'=++=，分类讨论，即可求解()f x 的单调区间，得到答案；(2)根据12,x x 是函数()g x '的两个零点，设12,x x 是方程20ax x a -+=的两个实数解，再根据二次函数的性质函数()g x 在1x 处取得极大值,在2x 处取得极小值，进而得到1211x a x =+，代入得()()22112121112ln 12x g x g x x x ⎛⎫--=- ⎪+⎝⎭，令21x t =，则211t e <<，得到11()2ln 12t g t t t -⎛⎫=-⎪+⎝⎭，设11()2ln 12x h x x x -⎛⎫=-⎪+⎝⎭，利用导数求得函数的单调性与最值，即可求解． 【详解】(1)由题意，当1a =时，21()f x x x x =+-，3222121()21x x f x x x x'++∴=++=， ①当0x>时，()0f x '>恒成立，所以函数()f x 在区间(0,)+∞上单调递增；②当10x -<<时，记32()21x x x ϕ=++，则21()6263x x x x x ϕ'⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭，所以当1,03x ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭时，()0x ϕ'<，∴()x ϕ单调递减，且()(0)1x ϕϕ>=；当11,3x ⎛⎫∈-- ⎪⎝⎭时，()0x ϕ'>，()x ϕ单调递增，且(1)0ϕ-=，所以当(1,0)x ∈-时，()0x ϕ>，函数()f x 单调递增.综上所述，函数()f x 的单调递增区间为(1,0)-，(0,)+∞；无单调递减区间. (2)由2()()ln ln (R,0)ag x f x x x ax x a x x=--=--∈>，2221()a ax x ag x a x x x '-+∴=+-=， 12,x x 是函数()g x '的两个零点，12,x x ∴是方程20ax x a -+=的两个实数解，由0>∆，且21e a e >+，得2112e a e <<+，则有121x x =， 不妨设12x x <，1201x x ∴<<<又121x x a+=，即得1111x x a +=， 2112e a e <<+，21112e e a e e+∴<<=+， 即得1211112x x x e x e <+=+<+，从而得到11ex <<，12x x <，且201ea e >>+， ∴由二次函数的图象及性质知函数()g x 在1x 处取得极大值,在2x 处取得极小值.()()()()1212g x g x g x g x ∴-=-112212ln ln a aax x ax x x x ⎛⎫⎛⎫=----- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭111111ln ln a a ax x ax x x x ⎛⎫⎛⎫=----+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭1112ln aax x x ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭， （*）又1x 为方程20ax x a -+=的根，1211x a x ∴=+， 代人(*)式得()()2221112112221111112ln 2ln 1112x x g x g x x x x x x ⎛⎫⎛⎫--=--=- ⎪ ⎪+++⎝⎭⎝⎭， 令21x t =，则211t e <<，11()2ln 12t g t t t -⎛⎫=- ⎪+⎝⎭， 设11()2ln 12x h x x x -⎛⎫=- ⎪+⎝⎭，211x e <<，22(1)()0(1)x h x x x '--∴=<+，()h x ∴单调递减， 从而有22140(1)()1h h x h e e ⎛⎫=<<=⎪+⎝⎭，240()1g t e ∴<<+.()()122401g x g x e ∴<-<+，即()()122401g x g x e <-<+得证. 【点睛】本题主要考查导数在函数中的综合应用，以及不等式的证明，着重考查了转化与化归思想、分类讨论、及逻辑推理能力与计算能力，对于恒成立问题，通常要构造新函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，进而得出相应的含参不等式，从而求出参数的取值范围；也可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题． 选修4-4:坐标系与参数方程22.在直角坐标系xOy 中，曲线1C的参数方程为6x y αα⎧=⎪⎨=+⎪⎩（α为参数），以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线2C的极坐标方程为ρ=.(1)求曲线1C 的普通方程和2C 的直角坐标方程；(2)若M ，N 分别为曲线1C 和曲线2C 上的动点，求MN 的最大值. 【答案】(1)()2262x y +-=，22110x y +=；(2)【解析】 【分析】（1）根据同角三角函数关系式，消去参数，可得1C 直角坐标方程.利用222x y ρ=+，sin y ρθ=化简可得2C 的直角坐标方程；（2）设),sin N θθ，利用点到直线的距离公式和三角函数的有界限，求解MN 的最大值.【详解】(1)曲线1C 的直角坐标方程为()2262x y +-=. 由221019sin ρθ=+，222x y ρ=+，sin y ρθ=， 得222910x y y ++=，即2C 的直角坐标方程为：22110x y +=.(2)由(1)得1C 的圆心为()0,6A，半径r =设),sin Nθθ，)()2220sin 6NA θθ=-+-则2210cos sin 12sin 36θθθ=+-+，229sin 503θ⎛⎫=-++ ⎪⎝⎭∴当2sin 3θ=-时，max NA =∴MN 的最大值为=【点睛】本题考察了参数方程和极坐标方程与直角坐标方程的互换.利用参数设坐标，求解点到直线的距离的问题. 选修4-5:不等式选讲23.已知函数()2725f x x x =-+-. (1)解不等式()6f x ≥；(2)设函数()f x 的最小值为m ，已知正实数a ，b ，且221max ,a b k a b a b ⎧⎫+=⎨⎬++⎩⎭，证明：21k m ≥.【答案】(1)39,,22⎛⎤⎡⎫-∞⋃+∞ ⎪⎥⎢⎝⎦⎣⎭；(2)证明见解析.【解析】 【分析】(1)分类讨论去绝对值，解不等式即可；(2)由绝对值三角不等式可得()2f x ≥，得2m =，由()22222112a b a b a b a b a b ++⋅=≥+++得221k ≥，进而可证明.【详解】(1)不等式()6f x ≥， 即为不等式27256x x -+-≥， 当52x <时，不等式可化为()()27256x x ----≥，解得32x ≤；优质资料\word 可编辑- 31 - / 31- 31 - 当5722x ≤≤时，不等式可化为()()27256x x --+-≥，即26≥，无解； 当72x >时，不等式可化为()()27256x x -+-≥，解得92x ≥. 综上，不等式()6f x ≥的解集是39,,22⎛⎤⎡⎫-∞⋃+∞ ⎪⎥⎢⎝⎦⎣⎭； (2)()()272527252f x x x x x =-+-≥---=，当且仅当()()27250x x --≤时取等号，2m ∴=. ()22212a b a b +≥+， 22112a b a b a b +∴⋅≥++. 221max ,0a b k a b a b ⎧⎫+=>⎨⎬++⎩⎭， 222112a b k a b a b +∴≥⋅≥++， 221k ∴≥，即21k m ≥.【点睛】本题考查绝对值不等式的解法，考查不等式的证明，考查计算能力与分析能力，是中档题.。
2021届湖南省长沙市长郡中学高三上学期月考(二)数学试题
绝密★启用前2021届湖南省长沙市长郡中学高三上学期月考（二）数学试题注意事项：1、答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2、请将答案正确填写在答题卡上一、单选题1．已知集合{}2340A x x x =--≤，{}28xB x =>，那么集合A B =（）A ．()3,+∞B ．[)1,-+∞C ．[3，4]D ．(]3,4答案：D解题思路：解不等式确定集合,A B 后再由交集定义计算． 解：{}2340{|14}A x x x x x =--≤=-≤≤，{}{}283x B x x x =>=，∴{|34}AB x x =<≤．故选：D ． 点评：本题考查集合的交集运算，考查解一元二次不等式和指数不等式，掌握指数函数性质是解题关键． 2．设i 是虚数单位，若cos sin z i θθ=+，且其对应的点位于复平面的第二象限，则θ位于（） A ．第一象限 B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限答案：B解题思路：根据复数的几何意义列出不等式，求出θ的范围，可得结论． 解：∵cos sin z i θθ=+对应的点位于复平面的第二象限，∴cos 0sin 0θθ<⎧⎨>⎩，∴θ在第二象限．故选：B ． 点评：本题考查复数的几何意义，考查三角函数的定义，属于基础题．3．曲线()33f x x x =-+在点P 处的切线平行于直线21y x =-，则P 点的坐标为（）A ．()1,3B ．()1,3-C ．()1,3和()1,3-D ．()1,3-答案：C解题思路：求导，令()'2f x =，故23121x x -=⇒=或1-，经检验可得P 点的坐标. 解：因()2'31f x x =-，令()'2f x =，故23121x x -=⇒=或1-，所以()1,3P 或()1,3-，经检验，点()1,3，()1,3-均不在直线21y x =-上，故选C ． 点评：本题考查导数的运用：求切线的斜率，考查导数的几何意义：函数在某点处的导数即为曲线在该点处的切线的斜率，考查两直线平行的条件：斜率相等，属于基础题．4．如图，网格上纸上小正方形边长为1，粗线是一个棱锥的三视图，则此棱锥的体积为（）A ．43B ．43C ．83D ．23答案：C 解题思路：解：【分析】试题分析：该棱锥如图，E ABCD -，它可以看作是从正方体中截出的一部分，其体积为3111822222323V =⨯-⨯⨯⨯⨯=．故选C ．【考点】三视图，体积．【名师点睛】象这种画在方格纸中的三视图，常常可以看作是由基本几何体（如正方体、长方体）切割出的几何体的三视图，因此由这样的三视图作直观图时，可以画出正方体（或长方体），在此基础上切割并想象三视图得到所需几何体的直观图．5．下列函数中，最小正周期为π且图象关于原点对称的函数是（） A ．cos 22y x π⎛⎫=+⎪⎝⎭B ．sin 22y x π⎛⎫=+⎪⎝⎭C ．sin2cos2y x x =+D ．sin cos y x x =+答案：A解题思路：求出函数的周期，函数的奇偶性，判断求解即可． 解：解：y ＝cos （2x 2π+）＝﹣sin2x ，是奇函数，函数的周期为：π，满足题意，所以A 正确 y ＝sin （2x 2π+）＝cos2x ，函数是偶函数，周期为：π，不满足题意，所以B 不正确；y ＝sin2x+cos2x =（2x 4π+），函数是非奇非偶函数，周期为π，所以C 不正确；y ＝sinx+cosx =（x 4π+），函数是非奇非偶函数，周期为2π，所以D 不正确；故选A ．【考点】三角函数的性质. 6．已知直三棱柱1116.34ABC A B C O AB AC -==的个顶点都在球的球面上若，，,AB AC ⊥112AA O =，则球的半径为()A B ．C ．132D ．答案：C解题思路：因为直三棱柱中，AB ＝3，AC ＝4，AA 1＝12，AB ⊥AC ，所以BC ＝5，且BC 为过底面ABC 的截面圆的直径．取BC 中点D ，则OD ⊥底面ABC ，则O 在侧面BCC 1B 1内，矩形BCC 1B 1的对角线长即为球直径，所以2R ＝13，即R ＝1327．中华文化博大精深，我国古代算书《周髀算经》中介绍了用统计概率得到圆周率π的近似值的方法．古代数学家用体现“外圆内方”文化的钱币（如图1）做统计，现将其抽象成如图2所示的图形，其中圆的半径为2cm ，正方形的边长为1cm ，在圆内随机取点，若统计得到此点取自阴影部分的概率是P ，则圆周率π的近似值为（ ）A ．14(1)p -B ．11p- C ．114p-D ．41p- 答案：A解题思路：根据几何概型的方法分析阴影部分占总面积的比值,列式求解π的表达式即可. 解：圆形钱币的半径为2cm,面积为S 圆＝π•22＝4π；正方形边长为1cm,面积为S ＝12＝1．在圆形内随机取一点,此点取自黑色部分的概率是P ＝114π-,则14(1)p π=-．故选：A ． 点评：本题主要考查了几何概型的方法,需要求解阴影部分面积占总面积的比值,属于基础题型.8．设n S 是数列{}n a 的前n 项和，满足212n n n a a S +=，且0n a >，则100S =（）A ．10B ．311C ．10311-D ．11答案：A解题思路：根据和项与通项关系将条件转化为2211n n S S --=,再根据等差数列定义以及通项公式解得2n S ，即可得到结果.解：222111111212101n n n n a a S a a S a a a +=∴+=∴=>∴= 221112()12(),(2)n n n n n n n n a a S S S S S S n --+=∴-+=-≥2211,(2)n n S S n -∴-=≥因此数列2{}n S 为等差数列，首项为1，公差为1，即21(1)100n n n n S n na S S n =+-⋅=>∴>∴=10010S ∴=故选：A点评：本题考查和项与通项关系、等差数列定义以及通项公式，考查综合分析判断与求解能力，属中档题. 二、多选题9．已知函数()2()lg 1f x x ax a =+--，给出下述论述，其中正确的是（） A ．当0a =时，()f x 的定义域为(,1)(1,)-∞-+∞B ．()f x 一定有最小值；C ．当0a =时，()f x 的值域为R ；D ．若()f x 在区间[2,)+∞上单调递增，则实数a 的取值范围是{4}∣aa ≥- 答案：AC解题思路：对A ，当0a =时，求出函数()f x 的定义域，可判选项A ；当0a =时，函数()f x 的值域为R ，可判选项B ，C ；根据复合函数单调性可知，内函数21y x ax a =+--递增且0y >可求出a 的取值范围，可判断选项D. 解：对A ，当0a =时，解210x ->有(,1)(1,)x ∈-∞-⋃+∞，故A 正确；对B ，当0a =时，2()lg(1)f x x =-，此时(,1)(1,)x ∈-∞-⋃+∞，21(0,)x -∈+∞，此时2()lg(1)f x x =-值域为R ，故B 错误； 对C ，同B ，故C 正确；对D ，若()f x 在区间[2,)+∞上单调递增，此时21y x ax a =+--在[2,)+∞上单调递增，所以对称轴22ax =-≤，解得4a ≥-，但当4a =-时，2()lg(43)f x x x =-+在2x =处无定义，故D 错误. 故选：AC 点评：本题主要考查了对数型复合函数的定义域、值域、最值、单调性，对于复合函数的单调性问题，可先将函数(())y f g x =分解成()y f t =和()t g x =，再讨论这两个函数的单调性，最后根据复合函数“同增异减”的规则进行判断或求解. 10．已知02παβ<<<，且tan α，tan β是方程220x kx -+=的两不等实根，则下列结论正确的是（）A ．tan tan k αβ+=-B ．tan()k αβ+=-C ．22k >D ．tan 4k α+≥答案：BCD解题思路：根据题意可得tan tan k αβ+=，tan tan 2αβ⋅=，再利用两角和的正切公式可判断B ，利用基本不等式可判断C 、D 解：由tan α，tan β是方程220x kx -+=的两不等实根， 所以tan tan k αβ+=，tan tan 2αβ⋅=，tan tan tan()1tan tan 1kk αβαβαβ++===--⋅-，由02παβ<<<，tan α，tan β均为正数，则tan tan 2tan tan 22k αβαβ+=≥⋅=，当且仅当tan α=tan β取等号，等号不成立tan 2tan tan 22tan tan 4k ααβαβ+=+≥⋅=，当且仅当2tan α=tan β取等号，故选：BCD 点评：本题考查了韦达定理、两角和的正切公式、基本不等式的应用，注意验证等号成立的条件，属于基础题.11．如图，正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1，E ，F ，G 分别为BC ，1CC ，1BB 的中点，则（）A ．直线1DD 与直线AF 垂直B ．直线1A G 与平面AEF 平行C ．点C 与点G 到平面AEF 的距离相等D ．平面AEF 截正方体所得的截面面积为98答案：BD解题思路：取1DD 中点M ，通过AM 与1DD 不垂直可判断选项A ；取11B C 中点N ，连接1A N ，GN ，通过平面1//A GN 平面AEF 可判断选项B ；利用反证法可判断选项C ；根据平面性质得出截面图形，计算出面积可判断选项D. 解：对于A ，取1DD 中点M ，则AM 为AF 在平面11AA D D 上的射影，AM 与1DD 不垂直，AF ∴与1DD 不垂直，故A 错；对于B ，取11B C 中点N ，连接1A N ，GN ，在正方体1111ABCD A B C D -中，1//,//A N AE NG EF ，1A N ⊄平面AEF ，AE ⊂平面AEF ，所以1//A N 平面AEF ，同理可证//NG 平面AEF ，1A N NG N =，所以平面1//A GN 平面AEF ，1AG ⊂平面1A GN ，所以1//AG 平面AEF ，故B 正确； 对于C ，假设C 与G 到平面AEF 的距离相等，即平面AEF 将CG 平分， 则平面AEF 必过CG 的中点，连接CG 交EF 于H ，而H 不是CG 中点， 则假设不成立，故C 错；对于D ，在正方体1111ABCD A B C D -中，1//AD EF ， 把截面AEF 补形为四边形1AEFD ， 由等腰梯形计算其面积98S =，故D 正确.故选：BD. 点评：本题考查空间中的位置关系的判断，考查平面的性质，属于中档题. 12．已知函数()3sin f x x x ax =+-，则下列结论正确的是()A ．()f x 是奇函数B ．若()f x 是增函数，则1a ≤C ．当3a =-时，函数()f x 恰有两个零点D ．当3a =时，函数()f x 恰有两个极值点 答案：ABD解题思路：对A,根据奇函数的定义判定即可. 对B,求导后利用恒成立问题分析即可. 对C,根据单调性分析即可.对D,求导后令导函数等于0画图分析交点个数即可. 解：对A,()3sin f x x x ax =+-的定义域为R ,且()()()3sin f x x x ax -=-+-+3sin ()x x ax f x =--+=-.故A 正确.对B,()2'cos 3f x x x a =+-,因为()f x 是增函数故2cos 30x x a +-≥恒成立.即2cos 3a x x ≤+恒成立.令2()cos 3g x x x =+,则'()6sin g x x x =-, 因为''()6cos 0g x x =->,故'()6sin g x x x =-单调递增,又'(0)0g =,故当0x <时)'(0g x <,当0x >时'()0g x >.故2()cos 3g x x x =+最小值为(0)1g =.故1a ≤.故B 正确.对C,当3a =-时由B 选项知,()f x 是增函数,故不可能有2个零点.故C 错误.对D,当3a =时()3sin 3f x x x x =+-,()2'cos 33f x x x =+-,令2cos 330x x +-=则有2cos 33x x =-.作出2cos ,33y x y x ==-的图像易得有两个交点,且交点左右的函数值大小不同.故函数()f x 恰有两个极值点.故D 正确.故选：ABD 点评：本题主要考查了利用导数分析函数的单调性与极值点等问题,属于中档题. 三、填空题13．在713⎛⎫- ⎪⎝⎭x x 的展开式中，41x 的系数是______． 答案：189-解题思路：由二项式定理得出二项展开式的通项公式，令x 的指数为4-求得项数后可得所求系数． 解：展开式通项公式为737721771(3)(1)3rrrrr r r r T C x C x x ---+⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭， 令7342r-=-，得=5r ． ∴41x的系数为5257(1)3189C -⨯=-． 故答案为：189- 点评：本题考查二项式定理，掌握二项展开式通项公式是解题关键．14．如图，已知ABC ∆是边长为1的等边三角形，点D 、E 分别是边AB 、BC 的中点，连结DE 并延长到点F ，使得2DE EF =，则AF BC ⋅的值为________答案：18解题思路：先由题意，得到3324DF DE AC ==，推出1324=+=+AF AD DF AB AC ，再由BC AC AB =-，根据向量的数量积运算，结合题中条件，直接计算，即可得出结果.解：因为2DE EF =，点D 、E 分别是边AB 、BC 的中点，所以3324DF DE AC ==， 因此1324=+=+AF AD DF AB AC ，又BC AC AB =-，ABC ∆是边长为1的等边三角形，所以()221313124244⎛⎫⋅=+⋅-=-+-⋅ ⎪⎝⎭AF BC AB AC AC AB AB AC AC AB 1311311cos602442488︒=-+-⋅=-+-=AC AB .故答案为：18点评：本题主要考查向量的数量积运算，熟记向量数量积的运算法则，以及平面向量基本定理即可，属于常考题型.15．已知函数()()()()sin 332sin cos 22f x x x x ϕϕϕ=+-++，其中ϕπ<，若()f x 在区间2,63ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，则ϕ的最大值为__________． 答案：56π 解题思路：()()()()()()sin 222sin cos 22sin f x x x x x x ϕϕϕϕϕ⎡⎤=+++-++=+⎣⎦，由π3π2π2π22k x k ϕ+≤+≤+，解得π3π2π2π22k x k ϕϕ+-≤≤+-，π2π63x <<是其子集，故ππ2π26{3π2π2π23k k ϕϕ+-≤+-≥，解得π2π3{5π2π6k k ϕϕ+≤+≥，由于πϕ<，故令0k =可求得ϕ的最大值为5π6.16．已知数列{}n a 的通项公式为22n a n =+，将这个数列中的项摆放成如图所示的数阵，记n b 为数阵从左至右的n 列，从上到下的n 行共2n 个数的和，则数列n n b ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前2020项和为______．123234134521221nn n n n n n a a a a a a a a a a a a a a a a ++++-⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅ 答案：10102021解题思路：每行都是等差数列，分别求和（注意用第一行的n S 表示），然后求出n b ，对nnb 裂项后可求得和2020S ． 解：由题意，设数列{}n a 的前n 项和为n S ． ∵数列{}n a 的通项公式为22n a n =+，∴数列{}n a 是以4为首项，2为公差的等差数列． ∴第1行的所有项的和即为：()21214232n n n n a a a S n n n -++⋅⋅⋅+==+⋅=+． 则第2行的所有项的和为：()()()23112n n n a a a a d a d a d S nd +++⋅⋅⋅+=++++⋅⋅⋅++=+；第3行的所有项的和为：()()()342122222n n n a a a a d a d a d S nd +++⋅⋅⋅+=++++⋅⋅⋅++=+；…第n 行的所有项的和为：()()1211211n n n a a a a n d a n d +-++⋅⋅⋅+=+-++-⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦()()11n n a n d S n nd +⋅⋅⋅++-=+-⎡⎤⎣⎦；∴()()12231n n n b a a a a a a +=++⋅⋅⋅++++⋅⋅⋅+()()342121n n n n a a a a a a ++-+++⋅⋅⋅++⋅⋅⋅+++⋅⋅⋅+()()()21n n n n S S nd S nd S n nd =+++++⋅⋅⋅++-⎡⎤⎣⎦ ()121n nS n nd =+++⋅⋅⋅+-⋅⎡⎤⎣⎦()()21322n n n n n n -=++⋅⋅()221n n =+．()()21111212121n n n b n n n n n n ⎛⎫===- ⎪+++⎝⎭． ∴数列n n b ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前2020项和为12202012202011111111122223220202021b b b ⎛⎫⎛⎫⎛⎫++⋅⋅⋅+=-+-+⋅⋅⋅+- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭111111111=122232020202122021⎛⎫⎛⎫=-+-+⋅⋅⋅+-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭1010=2021． 故答案为：10102021． 点评：本题考查等差数列的前n 项和，考查裂项相消法求和．解题关键是正确认识n b ，计算出n b ． 四、解答题17．在递增的等比数列{}n a 中，1632a a ⋅=，2518a a +=，其中*N n ∈. （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）记21log n n n b a a +=+，求数列{}n b 的前n 项和n T . 答案：（1）12n na ；（2）2212nn n+-+.解题思路：试题分析：（1）由251632a a a a ⋅=⋅=及2518a a +=得22a =，516a =，进而的q ，可得通项公式；（2）12n n b n -=+利用分组求和即可，一个等差数列和一个等比数列.试题解析：（1）设数列{}n a 的公比为q ， 则251632a a a a ⋅=⋅=，又2518a a +=，∴22a =，516a =或216a =，52a =（舍）. ∴3528a q a ==，即2q =. 故2122n n n a a q--==（*N n ∈）. （2）由（1）得，12n n b n -=+.∴12n n T b b b =+++()()211222123n n -=+++++++++()112122n n n+-=+- 2212nn n+=-+.18．现在给出三个条件：①a ＝2；②B 4π=；③c =试从中选出两个条件，补充在下面的问题中，使其能够确定△ABC ，并以此为依据，求△ABC 的面积.在△ABC 中，a 、b 、c 分别是角A 、B 、C 的对边，且满足2b cosA =（），求△ABC 的面积（选出一种可行的方案解答，若选出多个方案分别解答，则按第一个解答记分）答案：选①③；S △ABC =解题思路：由题目条件，化边为角即可求出3A π=，再根据解三角形“知三求三”（至少知一边），所以搭配①③或①②，都可确定三角形△ABC ，求得其面积． 解： 如选①③因为(2)b cosA =，由正弦定理可得，2sinBcosA ==，因为sinB ≠0，所以cosA =又因为a ＝2，c =，由余弦定理可得，22323b=， 解得，b ＝2，c ＝23， 故S △ABC 1112233222bcsinA ==⨯⨯⨯=. 点评：本题主要考查补全题目条件解三角形，涉及正弦定理，余弦定理在解三角形中的应用，属于基础题． 19．某地随着经济的发展，居民收入逐年增长，下表是该地一建设银行连续五年的储蓄存款（年底余额），如下表1： 年份x20112012 2013 20142015储蓄存款y （千亿元）567810为了研究计算的方便，工作人员将上表的数据进行了处理，2010,5t x z y =-=-得到下表2： 时间代号t 1 2 3 4 5 z1235（Ⅰ）求z 关于t 的线性回归方程；（Ⅱ）用所求回归方程预测到2020年年底，该地储蓄存款额可达多少？（附：对于线性回归方程ˆˆˆybx a =+，其中1221ˆˆˆ,ni ii nii x y nx yb ay bx xnx ==-⋅==--∑∑） 答案：（Ⅰ） 1.2 1.4=-z t （Ⅱ）预测到2020年年底，该地储蓄存款额可达15．6千亿元 解题思路：试题分析：（Ⅰ）由表中的数据分别计算x ，y 的平均数，利用回归直线必过样本中心点即可写出线性回归方程；（Ⅱ）t=x ﹣2010，z=y ﹣5，代入z=1.2t ﹣1.4得到：y ﹣5=1.2（x ﹣2010）﹣1.4，即y=1.2x ﹣2408.4，计算x=2020时，的值即可． 试题解析： （Ⅰ）4553 2.2 1.255ˆ59b -⨯⨯==-⨯， 2.23 1.21ˆ.4a z bt =-=-⨯=-（Ⅱ）2010,5t x z y =-=-，代入得到：()5 1.22010 1.4y x -=--，即 1.22408.4y x =-1.220202408.415.6y ∴=⨯-=，∴预测到2020年年底，该地储蓄存款额可达15．6千亿元点睛：求解回归方程问题的三个易误点：（1）易混淆相关关系与函数关系，两者的区别是函数关系是一种确定的关系，而相关关系是一种非确定的关系，函数关系是一种因果关系，而相关关系不一定是因果关系，也可能是伴随关系．（2）回归分析中易误认为样本数据必在回归直线上，实质上回归直线必过(x ，y )点，可能所有的样本数据点都不在直线上．（3）利用回归方程分析问题时，所得的数据易误认为准确值，而实质上是预测值(期望值)．20．已知四棱柱ABCD A B C D '='''中，底面ABCD 为菱形，2460AB AA BAD '==∠=,,，E 为BC 中点，C '在平面ABCD 上的投影H 为直线AE 与DC 的交点.（1）求证：BD A H '⊥；（2）求二面角D BB C '-'-的正弦值. 答案：（1）证明见详解 （2）45解题思路：（1）连接',',A C AC A B BH '，，先证明''A C BH 为平行四边形，因此'A B ⊥平面ABCD ，继而证明BD ⊥平面',A BH 即得证.（2）如图建立空间直角坐标系，计算平面''D BB ，平面'CBB 的法向量，利用二面角的向量计算公式，即得解. 解： （1）连接',',A C AC A B BH '，，由于E 为BC 中点，且//HC AB ，故E 为AH 中点，CHE ABE CH AB ∴∆≅∆∴= 故四边形CBHA 为平行四边形,//AC BH由于四棱柱'//'ABCD A B C D AA CC =∴''''且''AA CC = 故四边形''A C AC 为平行四边形,//''//AC A C AC BH ∴由于底面ABCD 为菱形，故BD AC ⊥，且//AC BH ，BD BH ∴⊥由于''//,''A C BH A C BH =，故四边形''A C BH 为平行四边形，所以'//'BA HC 故：'A B ∴⊥平面ABCD 'A B BD ∴⊥ 又'A B ⊂平面',A BH BH ⊂平面',A BH 故BD ⊥平面',A BH 'A H ⊂平面',A BHBD A H ∴⊥'（2）由（1）BH ，BD ，'BA 两两垂直，以B 为原点如图建立空间直角坐标系.(0,0,0),3,1,0),'(3,1,3),3,1,3)B C D B ∴-''(0,2,0),'(3,1,23),'(0,2,23),(3,1,0)D B D B CB CB ∴==---=-=--设平面''D BB 的法向量为(,,)n x y z =，故''20'30n D B y n D B y ⎧⋅==⎪⎨⋅=---=⎪⎩，令21x z =∴=-，故(2,0,1)n =- 设平面'CBB 的法向量为(,,)m x y z =，故'2030n CBy n CB y ⎧⋅=-=⎪⎨⋅=--=⎪⎩，令1,1y x z ==-=，故(m =- 由图像得二面角D BB C '-'-为锐角，故3cos |cos ,|||5||||D C m n m n n BB m -⋅''<>=<>=-=故4sin 5D BB C ''-<>=- 点评：本题考查了立体几何和空间向量综合，考查了学生空间想象，逻辑推理，数学运算能力，属于中档题.21．已知函数()ln (1)1x af x ex x a x -=----，R a ∈，e 2.718=为自然对数的底数.（1）若1a =，证明：(1)()0x f x -≥； （2）讨论()f x 的极值点个数.答案：（1）证明见解析；（2）答案见解析.解题思路：（1）由1a =，则1()ln 1x f x e x x -=--，1()ln 1x f x e x -'=--(0)x >，令1()x g x e x -=-，用导数法得到1x e x -≥，从而得到()f x 在(0)+∞，上单调递增，结合(1)0f =，得到(0,1)x ∈时，()0f x <；(1,)x ∈+∞时，()0f x >证明； （2）求导()ln x af x e x a -'=--(0)x >，令()()h x f x '=，分1a ≤和1a >结合零点存在定理求解. 解：（1）若1a =，则1()ln 1x f x e x x -=--，1()ln 1x f x e x -'=--(0)x >令1()x g x ex -=-，则1()1x g x e -'=-当(0,1)x ∈时，()0g x '<，()g x 在(0,1)上单调递减； 当(1,)x ∈+∞时，()0g x '>，()g x 在(1,)+∞上单调递增； 因此()(1)0g x g ≥=，即1x e x -≥；也有1ln (0)x x x -≥>，所以当1a =时，1()ln 1(1)10x f x e x x x -'=--≥---=，所以()f x 在(0)+∞，上单调递增； 又因为(1)0f =，所以，当(0,1)x ∈时，()0f x <；当(1,)x ∈+∞时，()0f x >； 所以(1)()0x f x -≥.（2）由题意知()ln x af x e x a -'=--(0)x >，令()()h x f x '=，则1()x ah x e x-'=-， 当1a ≤时，11()()ln ln ln 10x ax x h x f x ex a e x a e x ---'==--≥--≥--≥，所以()f x 在(0)+∞，上单调递增，()f x 无极值点； 当1a >时，11(1)10,()10ah eh a a-''=-<=->，且()h x '在(0)+∞，上单调递增， 故存在0(1,)x a ∈满足0001()0x ah x ex -'=-=， 因此00001ln x aea x x x -==+；， 当0(0,)x x ∈时，()0h x '<，所以()h x 在0(0,)x 上单调递减； 当0(,)x x ∈+∞时，()0h x '>，所以()h x 在0(,)x +∞上单调递增；所以0000001()()ln 2ln x ah x h x ex a x x x -≥=--=--， 再令000001()2ln ,(1,)x x x x a x ϕ=--∈，020012()10x x x ϕ'=---<， 所以0()x ϕ在(1,)a 上单调递减，且()(1)0a ϕϕ<=，即0()0h x <， 因为()0aa e ah e e ---=>，又知1x e x -≥，1ln (0)x x x -≥>，所以2(3)ln 321ln 31ln ln 32ln 30ah a ea a a a a a a =-->+--=+-->->，所以存在10(,)ax e x -∈，20(,3)x x a ∈满足12()()0h x h x ==，所以当1(0,)x x ∈时，()()0f x h x '=>，()f x 在1(0,)x 上单调递增； 当12(,)x x x ∈时，()()0f x h x '=<，()f x 在12(,)x x 上单调递减；当2(,)x x ∈+∞时，()()0f x h x '=>，()f x 在2(,)x +∞上单调递增； 所以，当1a >时，()f x 存在两个极值点12,x x 综上可知：当1a ≤时，()f x 不存在极值点； 当1a >时，()f x 存在两个极值点， 点评：本题主要考查导数与不等式的证明，导数与函数极值点，还考查了分类讨论的思想、转化化归思想和运算求解的能力，属于难题.22．随着5G 商用进程的不断加快，手机厂商之间围绕5G 用户的争夺越来越激烈，5G 手机也频频降价飞入寻常百姓家．某科技公司为了打开市场，计划先在公司进行“抽奖免费送5G 手机”优惠活动方案的内部测试，测试成功后将在全市进行推广．（1）公司内部测试的活动方案设置了第()i i N +∈次抽奖中奖的名额为32i +，抽中的用户退出活动，同时补充新的用户，补充新用户的名额比上一次中奖用户的名额少2个．若某次抽奖，剩余全部用户均中奖，则活动结束．参加本次内部测试第一次抽奖的有15人，甲、乙均在其中． ①请求甲在第一次中奖和乙在第二次中奖的概率分别是多少? ②请求甲参加抽奖活动次数的分布列和期望?（2）由于该活动方案在公司内部的测试非常顺利，现将在全市进行推广．报名参加第一次抽奖活动的有20万用户，该公司设置了第()i i N +∈次抽奖中奖的概率为()9140iip +-=，每次中奖的用户退出活动，同时补充相同人数的新用户，抽奖活动共进行()2n n N +∈次．已知用户丙参加了第一次抽奖，并在这2n 次抽奖活动中中奖了，在此条件下，求证：用户丙参加抽奖活动次数的均值小于92． 答案：（1）①甲在第一次中奖的概率为13，乙在第二次中奖的概率为1639；②分布列见解析，()25=13E X ；（2）证明见解析． 解题思路：（1）①确定参与抽奖人数和中奖人数，可得概率，其中乙第二次中奖，是在第一次不中奖的基础上才能第二次抽中奖，由条件概率公式计算；②设甲参加抽奖活动的次数为X ，则1,2,3X =，注意第2次中奖是在第一次未中奖的条件下才发生，同样第3次中奖是在前2次都未中奖的条件下才可能发生．由条件概率公式计算出概率得分布列，由期望公式可计算期望；（2）丙在第奇数次中奖的概率为15，在第偶数次中奖的概率为14．“丙中奖”为事件A ，则()43311545nnP A ⎛⎫⎛⎫=-⨯=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，设丙参加抽奖活动的次数为Y ，求出丙在第2m 和21m -次中奖的概率(2)P Y m =和(21)P Y m =-，这两个概率相等，这样在丙中奖这个条件下可得第21m -次和第2m 次中奖的概率(21)()P Y m P A =-和(2)()P Y m P A =，由期望公式计算出期望()E Y ，用错位相减法求得分子的和，得()E Y 化简后可证结论． 解：（1）①甲在第一次中奖的概率为151153p ==， 乙在第二次中奖的概率为210816151339p =⨯=． ②设甲参加抽奖活动的次数为X ，则1,2,3X =，()511P X ===；()108162P X ==⨯=；()1051031P X ==⨯⨯=， ∴()1233393913E X =⨯+⨯+⨯=． （2）证明：丙在第奇数次中奖的概率为15，在第偶数次中奖的概率为14．设丙参加抽奖活动的次数为Y ，“丙中奖”为事件A ，则()43311545n nP A ⎛⎫⎛⎫=-⨯=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 令*,m n m N ≤∈，则丙在第21m -次中奖的概率()1312155m P Y m -⎛⎫=-=⨯ ⎪⎝⎭ 在第2m 次中奖的概率()1134131255455m m P Y m --⎛⎫⎛⎫==⨯⨯=⨯ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 即()()13121255m P Y m P Y m -⎛⎫=-===⨯ ⎪⎝⎭， 在丙中奖的条件下，在第21m -，2m 次中奖的概率为()11355m P A -⎛⎫⎪⎝⎭，则丙参加活动次数的均值为()()()()()()2113331234562125555n E Y n n P A -⎡⎤⎛⎫⎛⎫=++++++⋅⋅⋅+-+⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦， 设()21333371141555n S n -⎛⎫⎛⎫=+⨯+⨯+⋅⋅⋅+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 则()()213333337454155555n n S n n -⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⨯+⨯+⋅⋅⋅+-+- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭， ∴()2123333344155555n n S n -⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+++⋅⋅⋅+--⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦， 14512273225n n S -+⎛⎫=-⋅ ⎪⎝⎭，所以()145122732253515n n n E Y -+⎛⎫-⋅ ⎪⎝⎭=⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭453331102255995223315155nn n n n n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭==-<⎛⎫⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭． 点评： 本题考查条件概率，考查随机事件的概率分布列和数学期望，难点是理解中奖规则，得出(21)P Y m =-和(2)P Y m =，考查了数据处理能力，运算求解能力，属于难题．。
2021年湖南省长郡十五校高考数学第二次联考试卷
2021年湖南省长郡十五校高考数学第二次联考试卷一、单选题（本大题共8小题，共40.0分）1. 已知全集U =A ∪B ={x ∈N|−1≤x ≤8}，A ∩∁U B ={1,3，5，7}，则B =( )A. {2,4，6}B. {2,4，6，8}C. {0,2，4，6，8}D. {−1,0，2，4，6，8}2. 已知复数z 满足：z 2=74+6i(i 为虚数单位)，且z 在复平面内对应的点位于第三象限，则复数z −的虚部为( )A. 2iB. 3C. 32iD. 323. 设a ∈R ，则“a ≤2”是“a 2−3a +2≤0”的( )A. 充要条件B. 充分不必要条件C. 必要不充分条件D. 既不充分也不必要条件4. 十二生肖作为中国民俗文化的代表，是中国传统文化的精髓，很多人把生肖作为春节的吉祥物，以此来表达对新年的祝福.某课外兴趣小组制作了一个正十二面体模型(如图)，并在十二个面分别雕刻了十二生肖的图案，作为春节的吉祥物.2021年春节前，其中2个兴趣小组成员将模型随机抛出，希望能抛出牛的图案朝上(即牛的图案在最上面)，2人各抛一次，则恰好出现一次牛的图案朝上的概率为( )A. 112B. 1172C. 143144D. 231445. 已知√3sinx −cosx =85，则sin(2x +π6)=( )A. 35B. −725C. −45D. −24256. 函数f(x)=ln(x+√x 2+1)x 2−cosx的图象大致为( ) A.B.C.D.7. 消除贫困、改善民生、逐步实现共同富裕，是社会主义的本质要求，是中国共产党的重要使命，中共中央、国务院于2015年11月29日颁布了《中共中央国务院关于打赢脱贫攻坚战的决定》.某中学积极参与脱贫攻坚战，决定派6名教师到A ，B ，C ，D ，E 五个贫困山区支教，每位教师去一个地方，每个地方至少安排一名教师前去支教.学校考虑到教师甲的家乡在山区A ，决定派教师甲到山区A ，同时考虑到教师乙与丙为同一学科，决定将教师乙与丙安排到不同山区，则不同安排方法共有( ) A. 360种 B. 336种 C. 216种 D. 120种 8. 当x ∈R 时，不等式x−1e x ≤ax −1恒成立，则实数a 的取值范围为( )A. a =2B. a =√3C. a ≥2D. e √2−1≤a ≤e √2二、多选题（本大题共4小题，共20.0分）9.为促进儿童全面发展和健康成长，我国于2011年颁布实施《中国儿童发展纲要(2011−2020年)》.儿童文化产品和活动场所更加丰富.近年来，儿童接触文化艺术和娱乐体验的途径更加多元，可获得的文化产品和服务也更加丰富.如图为2011−2019年少儿广播节目、少儿电视节目、电视动画节目播出时间.则下列结论中正确的是()A. 2018年全国少儿电视节目播出时间比上一年增长6.4%B. 2011−2019年少儿广播节目播出时间的平均数约为21万小时C. 2011−2019年少儿广播节目、少儿电视节目、电视动画节目播出时间均逐年增长D. 2011−2019年少儿广播节目、少儿电视节目、电视动画节目播出时间中电视动画节目播出时间的方差最小10.过抛物线C：y2=2px(p>0)的焦点F作斜率为1的直线交抛物线C于A，B两点，则|AF||BF|=()A. 5−2√6B. 3−2√2C. 3+2√2D. 5+2√611.已知函数f(x)=−sin(2x+2π3)，g(x)=cos(2x−π6)，则()A. f(x)与g(x)的图象关于原点对称B. g(x)在[0,π2]上的最大值为√32C. f(x)的对称轴为x=7π12+kπ，k∈ZD. 将f(x)的图象向左平移π3个单位长度，得到g(x)的图象12.截角四面体是一种半正八面体，可由四面体经过适当的截角，即截去四面体的四个顶点所产生的多面体.如图所示，将棱长为3a的正四面体沿棱的三等分点作平行于底面的截面得到所有棱长均为a的截角四面体，则下列说法正确的是()A. 该截角四面体的表面积为7√3a2B. 该截角四面体的体积为23√212a3C. 该截角四面体的外接球表面积为112πa2D. 该截角四面体中，二面角A−BC−D的余弦值为13三、单空题（本大题共4小题，共20.0分）13.已知|a⃗|=2，b⃗ =(1,√3)，(a⃗+2b⃗ )⋅b⃗ =10，则a⃗与b⃗ 的夹角为______ ．14.若曲线f(x)=x3−2x在点P处的切线与直线x−y−2=0平行，则点P的坐标为______ ．15. 过双曲线C ：x 2a 2−y 2b 2=1(a >0,b >0)的焦点F 1作以焦点F 2为圆心的圆的切线，其中一个切点为M ，△F 1F 2M 的面积为c 2，其中c 为半焦距，线段MF 1恰好被双曲线C 的一条渐近线平分，则双曲线C 的离心率为______ ．16. 已知在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且c =5，点O 为其外接圆的圆心，已知BO ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AC⃗⃗⃗⃗⃗ =12，则当角C 取到最大值时△ABC 的内切圆半径为______ ． 四、解答题（本大题共6小题，共70.0分）17. 已知函数f(x)=Msin(ωx +φ)(M >0,ω>0,−π2<φ<π2)的部分图象如图所示．(1)求f(x)的解析式；(2)在△ABC 中角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若b 2=ac ，求f(B)的取值范围．18. 已知{a n }是等差数列，其前n 项和为S n ，若a 3−2，a 5−2，a 7+2成等比数列且d ≠1，2S n =(n +1)a n ． (1)求数列{a n }的通项公式；(2)设b n =1an ⋅a n+1+2−a n ，数列{b n }的前n 项和为T n ，∀n ∈N ∗，T n <m 恒成立，求实数m 的取值范围．19. 如图，在四棱锥P −ABCD 中，底面ABCD 是平行四边形，侧面△PBC 是等边三角形，AD =√2AB ，∠BCD =45°，面PBC ⊥面ABCD ，E 、F 分别为BC 、CD 的中点．(1)证明：面PEF ⊥面PAB ；(2)求面PEF 与面PAD 所成锐二面角的余弦值．20.根据党的十九大规划的“扶贫同扶志、扶智相结合”精准扶贫、精准脱贫路径，中国儿童少年基金会为了丰富留守儿童的课余文化生活，培养良好的阅读习惯，在农村留守儿童聚居地区捐建“小候鸟爱心图书角”.2021年寒假某村组织开展“小候鸟爱心图书角读书活动”，号召全村少年儿童积极读书，养成良好的阅读习惯.根据统计全村少年儿童中，平均每天阅读1小时以下约占19.7%、1～2小时约占30.3%、3～4小时约占27.5%、5小时以上约占22.5%．(1)将平均每天阅读5小时以上认为是“特别喜欢”阅读，在活动现场随机抽取30名少年儿童进行阅读情况调查，调查发现：父或母喜欢阅读父或母不喜欢阅读少年儿童“特别喜欢”阅读71少年儿童“非特别喜欢”阅读517总计1218请根据所给数据判断，能否在犯错误的概率不超过的条件下认为“特别喜欢”阅读与父或母喜欢阅读有关？(2)活动规定，每天平均阅读时长达3个小时的少年儿童，给予两次抽奖机会，否则只有一次抽奖机会，各次抽奖相互独立.中奖情况如表抽中奖品价值100元的图书购书券价值50元的图书购书券中奖概率1323和期望．K2=n(ad−bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)．P(K2≥k0)0.500.400.250.150.100.050.0250.0100.0050.001k00.4550.708 1.323 2.072 2.706 3.841 5.024 6.6357.87910.82821.已知椭圆C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，离心率为12，过F2的直线与椭圆C交于A，B两点，若△F1AB的周长为8．(1)求椭圆C的标准方程；(2)设P为椭圆C上的动点，过原点作直线与椭圆C分别交于点M、N(点P 不在直线MN上)，求△PMN面积的最大值．22.已知函数f(x)=e x−1+lnx，g(x)=(a+1)e x−1．x(1)证明：e x−f(x)≤1；(2)若x>0时，g(x)≤f(x)恒成立，求实数a的取值范围；(3)求f(x)的最小值．答案和解析1.【答案】C【解析】解：∵U=A∪B={0,1，2，3，4，5，6，7，8}，A∩∁U B={1,3，5，7}，∴B={0,2，4，6，8}．故选：C．可求出集合U，然后根据交集和补集的定义及运算即可求出集合B．本题考查了集合的列举法和描述法的定义，交集、并集和补集的定义及运算，全集的定义，考查了计算能力，属于基础题．2.【答案】D【解析】解：设z=a+bi，(a,b∈R)，因为z在复平面内对应的点位于第三象限，所以a<0，b<0，因为z2=a2−b2+2abi=74+6i，所以74=a2−b2，2ab=6，故a=−2，b=−32，z−的虚部为32．故选：D．直接利用复数代数形式的乘除运算化简，然后利用共轭复数的概念得答案．本题考查了复数代数形式的乘除运算，考查了共轭复数的概念，是基础题．3.【答案】C【解析】解：∵a2−3a+2≤0，∴1≤a≤2，∴当1≤a≤2时，a≤2成立，当a≤2时，1≤a≤2不一定成立，∴a≤2是a2−3a+2≤0的必要不充分条件．故选：C．先求出a2−3a+2≤0的解集，再根据充分条件和必要条件的定义进行判断即可．本题主要考查充分条件和必要条件的判断，根据充分条件和必要条件的定义是解决本题的关键．4.【答案】B【解析】解：2个兴趣小组成员将正十二面体模型随机抛出，2人各抛一次，基本事件总数n=12×12=144，恰好出现一次牛的图案朝上包含的基本事件个数m=1×11+11×1=22，则恰好出现一次牛的图案朝上的概率为P=22144=1172．故选：B．基本事件总数n=12×12=144，恰好出现一次牛的图案朝上包含的基本事件个数m=1×11+11×1=22，由此能求出恰好出现一次牛的图案朝上的概率．本题考查概率的运算，涉及到古典概型、排列组合等基础知识，考查运算求解能力等核心数学素养，是基础题．5.【答案】B【解析】解：∵√3sinx−cosx=2sin(x−π6)=85，∴sin(x−π6)=45，∴sin(2x+π6)=sin[(2x−π3)+π2]=cos(2x−π3)=1−2sin2(x−π6)=1−2×(45)2=−725．故选：B．利用辅助角公式化简原等式，可得sin(x−π6)=45，再结合诱导公式和二倍角公式，得解．本题考查二倍角公式、辅助角公式和诱导公式的应用，考查运算求解能力，属于基础题．6.【答案】B【解析】解：根据题意，f(x)=ln(x+√x2+1)x2−cosx，设g(x)=x2−cosx，则g(x)为偶函数，且g(x)=0有两个零点，两个零点互为相反数，在(0,m)上，g(x)<0，在(m,+∞)上，g(x)>0，设g(x)的两个零点为(−m,m)，则f(x)的定义域为{x|x≠±m}，排除C、D，在区间(0,m)上，ln(x+√x2+1)>0，x2−cosx<0，则f(x)<0，排除A，故选：B．根据题意，设g(x)=x2−cosx，结合二次函数与y=cosx的图像分析可得g(x)的零点性质，由此可得f(x)的定义域和奇偶性，排除C、D，再分析f(x)的符号，排除A，即可得答案．本题考查函数的图像变换，涉及函数的奇偶性和对称性分析，属于基础题．7.【答案】B【解析】解：根据题意，分2步进行分析：①将6名教师分为5组，要求乙与丙不在同一组，有C62−1=14种分组方法，②将甲所在的组分到A山区，剩下的4组安排到其他4个山区，有A44=24种情况，则有14×24=336种安排方法，故选：B．根据题意，分2步进行分析：①将6名教师分为5组，要求乙与丙不在同一组，②将甲所在的组分到A山区，剩下的4组安排到其他4个山区，由分步计数原理计算可得答案．本题考查排列组合的应用，涉及分步、分类计数原理的应用，注意优先分析受到限制的元素，属于基础题．8.【答案】A【解析】解：令f(x)=x−1e x，∵x>1时，f(x)>0，∴a≤0时不合条件；令ℎ(x)=x−1e x −ax+1，得ℎ′(x)=2−x−ae xe x，令g(x)=2−x −ae x ，知g(x)在R 上单调递减，∵ℎ(0)=0，∴ℎ(x)要在x =0处取得最大值，∴g(0)=2−a =0，即a =2． 故选：A ．分析可知，a ≤0不合题意，令ℎ(x)=x−1e x−ax +1，可得ℎ(0)=0，要使原不等式恒成立，需ℎ(0)=0为ℎ(x)的最大值，求导后由0是函数的极值点求解a 值．本题考查恒成立问题的求解方法，考查利用导数求最值，考查化归与转化思想，考查运算求解能力，是中档题．9.【答案】BD【解析】解：2018年全国少年电视节目播出时间比上一年增长0.35%，故A 错误， 少儿广播节目播出时间的平均数约为21万小时，故B 正确， 2014年到2015年少儿电视节目播出时间降低，故C 错误， 由图可知电视动画节目播出时间的方差最小，故D 正确， 故选：BD ．根据频率分布折线图对应各个选项逐个判断即可求解．本题考查了频率分布折线图的应用，考查了学生的分析问题的能力，属于基础题． 10.【答案】BC【解析】解：设A(x 1,y 1)B(x 2,y 2)由{y =x −p2y 2=2px可得x 2−3px +p 24=0， 如果x 1>x 2， ∴x 1=3+2√22P ，x 2=3−2√22p ， ∴由抛物线的定义知则|AF||BF|=x 1+p 2x 2+p 2=3+2√2，如果x 2>x 1， ∴x 2=3+2√22P ，x 1=3−2√22p ， ∴由抛物线的定义知则|AF||BF|=x 1+p 2x 2+p 2=3−2√2，故选：BC ．先设点A ，B 的坐标，求出直线方程后与抛物线方程联立消去y 得到关于x 的一元二次方程，求出两根，再由抛物线的定义得到答案．本题主要考查直线与抛物线的位置关系，抛物线定义的应用，知识综合性强． 11.【答案】AD【解析】解：∵函数f(x)=−sin(2x +2π3)=sin(2x −π3)，g(x)=cos(2x −π6)=sin(2x +π3)， ∴g(−x)=sin(π3−2x)=−sin(2x −π3)，即f(x)=−g(−x)，故f(x)与g(x)的图象关于原点对，故A 正确； 当x ∈[0,π2]，2x +π3∈[π3,4π3]，故当2x +π3=π2时，g(x)取得最大值为1，故B 错误；当x=7π12+kπ，k∈Z时，f(x)=sin(2kπ+5π6)=12，不是最值，故C错误；将f(x)的图象向左平移π3个单位长度，得到g(x)=sin(2x+π3)的图象，故D正确，故选：AD．由题意利用函数y=Asin(ωx+φ)的图象变换规律，正弦函数的图象和性质，得出结论．本题主要考查函数y=Asin(ωx+φ)的图象变换规律，正弦函数的图象和性质，属于中档题．12.【答案】ABC【解析】解：题中截角四面体由4个边长为a的正三角形，4个边长为a的正六边形构成，故S=4×√34a2+4×6×√34a2=7√3a2，故选项A正确；因为棱长为a的正四面体的高ℎ=√63a，所以V=13⋅√34⋅(3a)2⋅√63⋅(3a)−4⋅13⋅√34a2⋅√63a=23√212a3，故选项B正确‘因为截角四面体上下底面距离为√6a−√63a=2√63a，所以√R2−O′C2+√R2−O′H2=2√63a，所以√R2−a23=2√63a−√R2−a2，即R2−a23=83a2+R2−a2−4√63a⋅√R2−a2，所以R2=118a2，故S=4πR2=112πa2，故选项C正确；二面角A−BC−D的余弦值应该为负值，故选项D错误．故选：ABC．确定截角四面体是由4个边长为a的正三角形，4个边长为a的正六边形构成，然后分别求解四面体的表面积、体积、外接球的表面积，即可判断选项A，B，C，然后由二面角的余弦值的正负判断选项D．本题以命题真假的判断为载体考查了空间几何体的表面积和体积的求解，解题的关键是分析出截角四面体的结构特征，考查了逻辑推理能力、空间想象能力、化简运算能力，属于中档题．13.【答案】π3【解析】解：由已知，|b⃗ |=2，又(a⃗+2b⃗ )⋅b⃗ =10，所以a⃗⋅b⃗ +2b⃗ 2=10，即a⃗⋅b⃗ =2．所以cos<a⃗,b⃗ >=a⃗ ⋅b⃗|a⃗ ||b⃗|=22×2=12，又<a⃗,b⃗ >∈[0,π]，所以<a⃗,b⃗ >=π．3故答案为：π．3先由已知求出|b⃗ |及a⃗⋅b⃗ ，再利用夹角公式计算即可．本题主要考查向量数量积的运算律，涉及到数量积的模及夹角的计算，考查学生的数学计算能力．14.【答案】(−1,1)【解析】解：f(x)=x3−2x的导数为f′(x)=3x2−2，设P(m,n)，可得切线的斜率为3m2−2，由切线与直线x−y−2=0平行，可得3m2−2=1，解得m=±1，则P的坐标为(1,−1)，(−1,1)．由m=1，n=−1，满足x−y−2=0，可得P的坐标为(−1,1)．故答案为：(−1,1)．求得f(x)的导数，设出切点，可得切线的斜率，由两直线垂直的条件，解方程可得所求切点坐标．本题考查导数的运用：求切线的斜率，以及两直线平行的条件，考查方程思想和运算能力，属于基础题．15.【答案】√2【解析】解：由题意可得MF1⊥MF2，设|MF2|=r，则|MF1|=√4c2−r2，r√4c2−r2=c2，由△F1F2M的面积为c2，可得12解得r=√2c，线段MF1恰好被双曲线C的一条渐近线平分，由三角形的中位线定理可得MF1垂直于渐近线bx+ay=0，=b，可得F1到渐近线的距离为d=√a2+b2进而得到O到渐近线的距离为√c2−b2=a，=√2，所以2a=√2c，则e=ca故答案为：√2．由题意可得MF1⊥MF2，由三角形的面积公式推得圆的半径，再由三角形的中位线定理，可得O到渐近线的距离为半径的一半，结合离心率公式，可得所求值．本题考查双曲线的方程和性质，以及三角形的中位线定理的运用，考查方程思想和运算能力，属于中档题．16.【答案】√6−1【解析】解：如图，设AC 的中点为D ，则BO ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +DO ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )⋅AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =12(BA ⃗⃗⃗⃗⃗ +BC ⃗⃗⃗⃗⃗ )⋅AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =12(BA ⃗⃗⃗⃗⃗ +BC ⃗⃗⃗⃗⃗ )⋅(BC ⃗⃗⃗⃗⃗ −BA ⃗⃗⃗⃗⃗ ) =12(BC ⃗⃗⃗⃗⃗ 2−BA ⃗⃗⃗⃗⃗ 2)=12a 2−12c 2=12，又c =5，所以a =7，由a >c 知，C 为锐角， 故cosC =a 2+b 2−c 22ab =49+b 2−2514b=114(b +24b)≥114×2√24=2√67，当且仅当b =24b，即b =2√6时，等号成立，由y =cosx 在(0,π2)上的单调递减，此时C 最大， 且有a 2=49=b 2+c 2，即△ABC 为直角三角形，所以内切圆半径r =12(b +c −a)=12(5+2√6−7)=√6−1．故答案为：√6−1．取AC 的中点D ，先BO⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =12及c =5得到a ，再由余弦定理及基本不等式得到C 最大时b 的值从而得到内切圆半径．本题主要考查向量数量积运算性质，涉及到余弦定理、三角形内切圆的半径等知识，是一道中档题．17.【答案】解：(1)由图象知M =2，T =2(11π12−5π12)=π，∴ω=2，∴f(x)=2sin(2x +φ)∵图象过(5π12,2)，将点(5π12,2)代入，得sin(5π6+φ)=1， ∴5π6+φ=π2+2kπ，k ∈Z ，∴φ=−π3+2kπ，k ∈Z ，∵|φ|<π2，∴φ=−π3，∴f(x)=2sin(2x −π3).(2)f(B)=2sin(2B −π3).由b 2=ac ，a 2+c 2≥2ac ， 根据余弦定理，得cosB =a 2+c 2−b 22ac=a 2+c 2−ac2ac≥ac2ac =12，当且仅当a=c时取等号，∴cosB≥12，∵B∈(0,π)，∴B∈(0,π3]，∴2B−π3∈(−π3,π3]，∴sin(2B−π3)∈(−√32,√32]，∴f(B)∈(−√3,√3]，【解析】(1)根据图象求出M，ω和φ，即可求函数f(x)的解析式．(2)用余弦定理和基本不等式求出cos B的范围，进而求出B的范围，再结合正弦函数的图象和性质即可．本题主要考查三角函数的图象和性质，根据图象求出函数的解析式是解决本题的关键．18.【答案】解：(1)∵2S n=(n+1)a n，∴取n=2，可得：2(a1+a2)=3a2，化为：2a1=a2，即a1=d．∵a3−2，a5−2，a7+2成等比数列且d≠1，∴(a5−2)2=(a3−2)(a7+2)，即(5d−2)2=(3d−2)(7d+2)，化为：d2−3d+2=0，d≠1，解得d=2，∴a1=2．∴a n=2+2(n−1)=2n．(2)b n=1a n⋅a n+1+2−a n=12n×2(n+1)+2−2n=14(1n−1n+1)+(14)n，∴数列{b n}的前n项和T n=14(1−12+12−13+⋯…+1n−1n+1)+14(1−14n)1−14=14(1−1n+1)+13(1−14n)<14+13=712．∀n∈N∗，T n<m恒成立，∴m≥712．∴实数m的取值范围为[712,+∞)．【解析】(1)由2S n=(n+1)a n，取n=2，可得：2(a1+a2)=3a2，a1=d.根据a3−2，a5−2，a7+2成等比数列且d≠1，可得(a5−2)2=(a3−2)(a7+2)，化简解得d，利用通项公式即可得出a n．(2)b n=1a n⋅a n+1+2−a n=12n×2(n+1)+2−2n=14(1n−1n+1)+(14)n，利用等比数列的通项公式、裂项求和方法可得数列{b n}的前n项和T n，由∀n∈N∗，T n<m恒成立，利用数列的单调性即可得出实数m的取值范围．本题考查了等差数列与等比数列的通项公式及其求和公式、裂项求和方法、数列的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．19.【答案】(1)证明：不妨设AB=CD=2，因为AD=√2AB=2√2，∠BCD=45°，由余弦定理得BD=2，所以AD2=BD2+AB2，于是AB⊥BD，取AD中点M，连接EM，因为ABCD是平行四边形，所以EM⊥AB，又因为EF//BD，所以EM⊥EF，△PBC是等边三角形，E为BC中点，所以PE⊥BC，又因为平面PBC⊥面ABCD，平面PBC∩面ABCD=BC，所以PE ⊥平面ABCD ，又因为EM 、EF ⊂平面ABCD ， 所以PE ⊥EM 、PE ⊥EF ， 于是EM 、EF 、EP 两两垂直， 建立如图所示的空间直角坐标系， BP ⃗⃗⃗⃗⃗ =(−1,1，√6)，BA ⃗⃗⃗⃗⃗ =(2,0，0)，设平面PAB 的法向量为m⃗⃗⃗ =(x,y ，z)． {BP ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅m ⃗⃗⃗ =−x +y +√6z =0BA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅m ⃗⃗⃗ =2x =0，令z =−1，m ⃗⃗⃗ =(0,√6,−1)， 平面PEF 的法向量为n⃗ =(1,0，0)， 因为m⃗⃗⃗ ⋅n ⃗ =0，所以面PEF ⊥面PAB ． (2)解：由(1)知MP ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(−2,0，√6)，MD⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(−1,1，0)， 设平面PAD 法向量为k⃗ =(u,v ，w)， {MP ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅k ⃗ =−2u +√6w =0MD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅k ⃗ =−u +v =0，令u =√3，k ⃗ =(√3,√3,√2)， 所以平面PEF 与平面PAD 所成锐二面角的余弦值为|k ⃗ ⋅n ⃗⃗ ||k ⃗|⋅|n ⃗⃗ |=√32√2⋅1=√64．【解析】(1)证明两平面的法向量数量积为零即可；(2)用向量数量积计算二面角的余弦值．本题考查了直线与平面的位置关系，考查了两平面垂直的判定问题，考查了二面角的计算问题，属于中档题．20.【答案】解：(1)因为K 2=n(ad−bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)=30×(7×17−5×1)212×18×22×8≈10.26>7.879，故能在错误的概率不超过0.005的条件下认为“特别喜欢”阅读与父或母喜欢阅读有关； (2)ξ的可能取值为50，100，150，200， 所以P(ξ=50)=12×23=13， P(ξ=100)=12×13+12×23×23=718， P(ξ=150)=12×2×13×23=29， P(ξ=200)=12×13×13=118，则ξ的分布列为：故ξ的数学期望为E(ξ)=50×13+100×718+150×29+200×118=100元．【解析】(1)利用公式和题中的数据求出K 2的值，与临界值表比较即可得到答案；(2)确定ξ的可能取值，分别求出对应的概率，然后列出分布列，由数学期望的计算公式求解即可．本题考查了相关性检验与离散型随机变量及其分布列和离散型随机变量期望的求解与应用，考查了逻辑推理能力与化简运算能力，属于中档题．21.【答案】解：(1)由椭圆的定义可知三角形F 1AB 的周长为4a =8，所以a =2，又离心率e=ca =12，所以c=1，则b2=a2−c2=3，所以椭圆的方程为x24+y23=1；(2)①当直线MN不与x轴垂直时，设直线的方程为y=kx，M(x,y)，N(−x,−y)，代入椭圆方程可得：x2=123+4k2,y2=12k23+4k3，则|MN|=√(−x−x)2+(−y−y)2=2√x2+y2=4√3√1+k23+4k2，设与MN平行且与椭圆相切的直线方程为y=kx+m，代入椭圆方程可得：(3+4k2)x2+8mkx+4m2−12=0，则△=64m2k2−4(3+4k2)(4m2−12)=0，解得m2=3+4k2，则点P到MN的最大距离为两平行线间的距离，d max=√1+k2=√m21+k2=√3+4k21+k2，所以三角形PMN的面积的最大值为S max=12|MN|⋅d max=12×4√3√1+k23+4k2⋅√3+4k21+k2=2√3，②若直线MN与x轴垂直时，则P在长轴顶点时三角形PMN的面积取得最大值，且此时的面积为S=12×2b×a=2√3，综上，三角形PMN的面积的最大值为2√3．【解析】(1)由椭圆的定义即可得出4a=8，再由离心率即可求解；(2)当直线MN不与x轴垂直时，设出直线MN的方程，并与椭圆方程联立，求出|MN|，再设与MN平行且与椭圆相切的直线方程为y=kx+m，代入椭圆方程，令判别式为0，则点P到MN的最大距离为两平行线间的距离，由此即可求解，当②若直线MN与x轴垂直时，则P在长轴顶点时三角形PMN的面积取得最大值，由此即可求解．本题考查了椭圆的方程以及直线与椭圆的位置关系的应用，涉及到弦长公式以及点到直线的距离公式的应用，考查了学生的运算推理能力，属于中档题．22.【答案】(1)证明：∵x>0，∴证明e x−f(x)≤1，即证明1+lnxx≤1，即证lnx+1−x≤0，设φ(x)=lnx+1−x，则φ′(x)=1−xx(x>0)，当x∈(0,1)时，φ′(x)>0，当x∈(1,+∞)时，φ′(x)<0，∴φ(x)的最大值为φ(1)=0，故lnx+1−x≤0，∴e x−f(x)≤1；(2)解：x>0时，g(x)≤f(x)恒成立，即ae x+1+lnxx≤1，由(1)知，当a≤0时，ae x+1+lnxx ≤1+lnxx≤1成立，当a>0时，显然x=1时不成立，综上，a≤0；(3)解：f′(x)=e x−1−1−lnxx2=x2e x+lnxx2，设ℎ(x)=x2e x+lnx，ℎ′(x)=e x(x2+2x)+1x>0，∴ℎ(x)在(0,+∞)上单调递增，∵ℎ(12)<0，ℎ(1)>0，∴存在x 0∈(12,1)，使得ℎ(x 0)=0，且0<x <x 0时，ℎ(x)<0，即f′(x)<0，f(x)单调递减， x >x 0时，ℎ(x)>0，即f′(x)>0，f(x)单调递增， ∴f(x)min =f(x 0)=e x 0−1+lnx 0x 0，∵ℎ(x 0)=0，∴x 02e x 0+lnx 0=0，则x 0e x 0+1x 0lnx 0=0，∴x 0e x 0=−lnx 0⋅e −lnx 0，∵t(x)=xe x 在(0,+∞)上单调递增，∴x 0=−lnx 0， 则e x 0=1x 0，∴f(x)min =e x 0−1+lnx 0x 0=1x 0−1x 0+−lnx 0x 0=1．【解析】(1)把问题转化为证lnx +1−x ≤0，设φ(x)=lnx +1−x ，利用导数求其最大值为φ(1)=0，即可证明e x −f(x)≤1；(2)x >0时，g(x)≤f(x)恒成立，即ae x +1+lnx x≤1，由(1)知，当a ≤0时，ae x +1+lnx x≤1+lnx x≤1成立，举例说明a >0时不成立，即可得到a 的范围；(3)求原函数的导函数，两次求导可得存在x 0∈(12,1)，使得ℎ(x 0)=0，且0<x <x 0时，f(x)单调递减，x >x 0时，f(x)单调递增，结合ℎ(x 0)=0，即可求得f(x)的最小值．本题考查利用导数研究函数的单调性，考查利用导数求最值，考查化归与转化思想，考查运算求解能力，属难题．。