谈谈高中数学解题中的“以退为进”思想

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高考数学：以退为进解综合题

高考数学：以退为进解综合题专门多考生关于解答数学综合题往往感到无从下手，而在高考数学中，综合题占了半壁江山。

因此高考数学考得是否成功，专门大程度上取决于综合题。

数学综合题分为知识型综合题和能力型综合题两大类。

市一中数学教师杨元亮分析说，知识型综合题的题目本身或解题过程，涉及数学几个分支的多个知识点，且各个知识点之间是互相补充、制约和渗透的，要紧考查考生对差不多知识点的把握、明白得及运用；能力型综合题则题设条件内涵丰富，对解题过程中的转化、变换、联想、类比、归纳等技巧要求高，题目的结论还能够是开放性的，要紧考查考生思维的发散性和独创性，这些差不多上高考的热点。

审题要慢要细，切忌漏掉某个条件，导致“会而做不对”。

明确题目考查的知识点，要解决的问题是什么，已知条件和哪些条件等价，题目中有没有隐含条件。

数学综合题题设内涵丰富，常常许多条件不直截了当告诉考生，而是隐含在题设中，让考生去挖掘去发觉。

假如考生能挖掘出题目中的隐含条件，问题会迎刃而解。

这需要考生认真审题，向深处挖掘，找出其隐含条件。

审题不要怕慢，事实上慢中有快，解题方向明确，解题手段合理，是提高解题速度和准确性的前提和保证。

解题要善于顺藤摸瓜。

有些题难度不大，用熟练的基础知识方法说明题目条件，发觉问题成立的充分必要条件，查找它们的相互联系。

高考是按步骤给分的，因此要大题化小，分步解答。

分步的题目，尽可能完成前面的小问题。

不能完全解答的题目可分成若干小问题，能完成的部分要准确解答。

也有第一问可不能，但用第一问的结论能解后一问的可直截了当用。

注重等价转化与非等价转化的利用，完成生疏与熟悉、未知与已知、复杂与简单、抽象与直观的转化，从而找到解决问题的熟知的数学模型。

以退为进，将问题具体化、简单化，以简单的、专门的情形查找解题突破口。

若不能解这道题，那么先试着去解决一个更容易着手的简单问题、一个更专门的问题、一个类似的问题。

简单专门的情形常常是解决问题的起点，也往往是解决问题的纽带。

以退为进,回头是岸——高中数学变式教学案例

２
点，Ａ以Ｂ为直径的圆过原点，直线方程．求
一
、
“ ” 历程线与椭圆的位置关系当然要细分直线和椭圆两部分，里椭圆是已知的，而未决的是直线方程，一定点这悬过的直线方程可以采用点斜式，注意斜率不存在这种特殊要情形．让学生讨论，会提取已有的知识．这节课主要是（学）学生对知识的应用，关注学生对前后知识的衔接，能放要不任学生作太多无效的自行探索，在发挥学生主体作用的要同时，师进行必要的有效指导和合作参与．逃避难点，教不关键是帮助学生化解难点，升思维．让学生试着从一般提（
是一种重要的思想方法．过对问题不同角度、同层次、通不
生一：断直线的斜率应该存在，以点斜式设直线方判可程，列方程组，而用ｏ・Ｂ＝联进ａｏ＋０求解．ＹＹ＝生二：虑到原点在这里就是圆心，以借助平面几何考可
华罗庚
学生掌握得不错，根据具体的问题有针对性的选择方法，能 “ ” 退的效果出来了．）
，１、２
这句话是华罗庚先生解决数学问题的心得，于指引对数学教学也有着启发与意义，教师理解教学有帮助．过对通执教《线与椭圆的位置关系》直一课，用了一题多变、题采一多解、题归一等变式教学方式，与学生的互动探索中，多在

数学解题中“退”的魅力

龙源期刊网数学解题中“退”的魅力作者：沈文锦来源：《福建中学数学》2014年第04期华罗庚指出：善于“退”，足够的“退”，“退”到最原始而不失重要的地方，是学好数学的一个诀窍.笔者这里所说的“退”不是固执己见停滞不前，而是通过深刻把握，寻找“进”与”退”的契合点，从而达到解决数学问题的目的.如锯条因为进退得当，因而完成了割锯的使命；算盘因为进退得当，因而使计算有了意义.在数学解题中，“退”就是先“退”到解题者能够看清楚或可以解决问题的地方，认真探究、钻研，而后“进”. “退”就是“退”到简单，“退”到特殊，“退”到局部，“退”到具体，“退”回基础，“退”得合理，方能有效地解决数学问题.1 “退”到简单，寻找解题方法在数学解题中，有时直接解题难以入手，教师可以引导学生，在归纳推理思想的指导下，研究比它简单的问题，获得解题思路、方法、途径，再进行证明，激发学生解数学题的兴趣.例1 已知a b c，，为实数，且|| 1a + +.笔者说的“退”是指进行全方位思考，深入探究，突破“进”的禁锢，从而达到“进”与“退”的契合点.唯有如此方能看到希望的曙光，使数学问题得到很好地解决，提高解题的质量和效率.在把握“进”与“退”的契合点上，学生面临的困难如同提着头发走路一样沉重无望.教师要引导学生用从容，理性的思维去把握“进”与“退”的契合点.从以上两个例题说明教师要引导学生理解“退”在解题过程中的运用.在解决问题时，一味追求“进”而不懂得“退”，就会使学生的思维变得狭隘.一味追求“退”而不懂得“进”，会导致解题不严密.因此，把握“进”与“退”的契合点就显得非常重要了.如何把握“进”与“退”的契合点呢？“进”与“退”的契合点是指使进退这个天平平衡的那个“重量”.把握“进”与“退”契合点需要学生在不断反复的解题经历中自己总结.它需要有客观事实作为依据，之后在事实的基础上进行理性判断.只有在客观经历告诉学生这样不行，这样做太过，这样做不对后，到了一定程度，学生自然就会明白何时采用直接求“进”的方法，何时采用以“退”求“进”，而此时，就是契合点.总之，在解决问题时，“进”定然重要，然而要记得“退”一步来达到平衡，采用“退”的方式解决问题.“退”中求“进”，“进”中则铭记“退”的魅力，有“退”有“进”才是数学解题最有效的方法.教师在引导学生解决数学问题时要有意识的渗透“退”的意识，体现“退”的魅力，从而提高学生的解题能力.。

技巧丨高中数学中的“以退为进”解题思想

技巧丨高中数学中的“以退为进”解题思想华罗庚指出：“善于'退’，足够的'退’，'退’到最原始而不失重要的地方，是学好数学的一个诀窍。

”又云：“先足够的退到我们最容易看清楚的地方，认透了，钻深了，然后再上去。

”这就是以退为进的思想。

一、从抽象退到具体“抽象”是透过事物现象，深入内部，抽取事物本质的过程的一种认识方法。

“具体”是把抽象出的概念、原理同相应的感性材料联系起来，从而更具体的理解概念的一种认识方法，抽象与具体是对立的统一。

高度的抽象是数学的一个基本特点，要解决数学问题或解数学题，有时问题较抽象，不易发现其内在的联系和规律，因而往往要从“抽象”后退到“具体”的几何图形上来考虑，使问题更易理解，更好解决。

例1 已知x，y是实数，求证：分析：要证的不等式左边有根号，它们的数量关系较抽象，直接证明难以入手。

因此不妨退到所表示的几何图形上考察。

（如图1）。

图1由，当且仅当A点落在线段OB上时取等号。

而因而例2 对于，确定的所有可能值。

分析：仔细观察上述代数式的结构，容易联想起两点的距离之差。

事实上，这表示x轴上的点P（a，0）到两定点A（）和B（）的距离之差（如图2）。

图2由于线段AB平行于y轴，不论P（a，0）在x轴什么位置，始终可构成△PAB，由“三角形任意两边之差小于第三边”，得即的值在（－1，1）内。

二、从一般退到特殊所谓“一般”是指人们追求普遍性认识的一种方式。

而“特殊”是指人们深入个别认识的一种方式。

当解决一般问题，直接找出结论规律或方法受阻时，往往考虑由某种特殊的或有限的情形，归纳推导到一般情形，即以一般向“特殊”后退的思想方法去探求规律和寻找解题方法。

例3 已知，其中是满足的常数，试问α，β为何值时，与θ无关。

分析：根据题设条件可知，对于所有不同的θ，恒为定值。

为了探求α，β的值，所以我们考虑θ的几个特殊值，θ=0，－α，－β，，使的表达式变得较为简单。

由不难求得，又由知，。

“以退为进”,点亮数学课堂

“以退为进”，点亮数学课堂摘要：以推进素质教育为宗旨的教育改革，要求课堂教学以发展学生的主体性为目标。

而新课程倡导的“以人为本”理念已经深入人心，但反观平时的教学，教师依然是为了完成课前的教学设计而教。

这样的课堂，成了教师展示自我的舞台，却把学生作为精彩演出的配角。

如何让“每一个学生都得到发展”这一理念落在实处？我想，教学中教师可以主动地“退”，适时地“退”，有效地“退”，点亮数学课堂。

那么怎样才是有效地“退”，可以从以下三方面实现。

一、把握学生的学习起点，从复杂退到简单。

二、根据学生的思维特点，从抽象退到具体。

三、激发学生的学习兴趣，从静态退到动态。

关键词：以退为进数学课堂正文：“以退为进”的本质是“以生为本”。

“以生为本”是新一轮课改的核心理念，它是推进课改的起点。

叶澜教授指出：我们的课堂存在着一个突出问题，就是缺乏对学生生命价值的尊重。

长期以来，课堂上教师讲解多，学生思考少；一问一答多，交流合作少；记忆结论多，探索过程少；强求一致多，发展个性少；完成任务多，体验过程少。

这样的课堂学生难以体验到学习的快乐，更谈不上品味生命的价值。

要改变这样的状况，就应该把《数学课程标准》中“以学生的发展为本”作为基本理念，尊重学生的主体存在，在教学中教师可以采取“以退为进”的教学方法，点亮数学课堂。

华罗庚教授指出，善于“退”，足够地“退”，退到最原始而不失去重要的地方，是学好数学的一个诀窍。

那么怎样才是有效地“退”，可以从以下三方面实现。

一、把握学生的学习起点，从复杂退到简单。

《数学课程标准》中指出：数学教学活动必须建立在学生的认知发展水平和已有的知识经验基础之上。

尊重学生的生活经验和知识基础，意味着数学教学活动必须把握好学生的学习起点，在学生原有的认知水平上组织及展开学习活动。

学习起点，是指学生学习新内容所必须具备的知识及能力储备。

学习起点可分为逻辑起点与现实起点，即学生已有的知识基础与生活经验。

合理把握学生的学习起点，实现教学从复杂退到简单，使学生的学习更有效。

回归原点以退为进

回归原点以退为进
作者：陆逢波
来源：《都市家教·上半月》2017年第09期
在学习数学的过程中，我们会遇到很多新的问题，在高考中每个考生遇到的也是新题，在解决新题时我们可以以退为进，先寻找此类问题的原点和知识背景、思想方法，把高考题回归到知识或方法的原点，再来解决这些新问题，这样解题既轻松又快捷。

一、高考原题
回归原点式的解题方法，其本质是化归思想的运用，就是在研究和解决有关数学问题时采用某种手段将问题通过变换使之转化，进而达到问题的解决。

一般总是将复杂问题通过变换转化为简单问题；将难解的问题通过变换转化为容易求解的问题；将未解决的问题通过变换转化为已解决的問题。

回归原点就是要回歸到基本概念、基本公式、基本方法上，然后再从基本概念、基本公式、基本方法入手使问题得到解决。

参考文献：
[1]方志平.椭圆、双曲线过焦点的弦长公式的应用.《中学数学》，2011年第7期.
[2]张鹏举.圆锥曲线的焦点弦长新解.。

高考数学兵法10招(10)以退为进,走也风流

（10）以退为进走也风流数学解题中遇到难题怎么办？答曰：以退为进，“36着，走为上着”.这种“走”，当然不是消极的逃. 考场上遇到难题，如同战场上遇到强敌.应该“打得赢就打，打不赢就走.”（毛泽东语）打是为了消灭敌人，而走的目的，既是为了保全自己，又是为了更有效的消灭敌人.这种思想完全应该而且能够移植到考场上.在具体操作上，有如下几种 “走”法.（1）一般不易，向特殊走一个问题在普遍意义上难以认识辨别与掌握，在特殊情况下往往清楚明白.既如此，我们解题时，何不以退为进，由一般退到特殊呢？用这种“特殊化思想”去解那些“不小的小题” 是特别优质而且高效的，这种退法是一切退法中的首选.【例1】如方程122=+-qy p x 表示双曲线，则下列椭圆中，与该双曲线共焦点的是（） A.1222=++q y q p x B.1222=++q y q p x C.1222-=++p y q p x D. 1222=++py q p x 【解析】取1-==q p ，则双曲线为122=-x y ，其焦点()2,0F .而此时A 、B 、D 轨迹都不存在，故选C.评注：注意到选择题都有“4选1”的特点。

这里一次特值即可否定其三，从而肯定其一，这不正是“向特殊走”的功劳吗？（2）代数不易，向几何走；【例2】直线y=2k 与曲线x k y x k 2222189=+（k ∈R 且k ≠0）的公共点的个数为（）A.1B.2C.3D.4【解析】不妨取k=1，有：x y x 18922=+，即()19122=+-y x .此方程的图象是如图的双椭圆，它与直线y=2与有4个不同的交点.故选D.评注：题设两个方程都含有参变量，是抽象型的题型。

我们先取特值k=1，使其简单化，再画图象使其具体化。

于是所要答案就自动浮出水面.（3）解几不易，平几铺路【例3】已知圆()4322=+-y x 和直线y=mx 交于P 、Q 两点则OQ OP ⋅的值为（）10.5.15.1.22D C m B m A ++ 【解析】如图，圆()4322=+-y x 的圆心为C （3，0），半径r=2,圆交x 轴于A(1,0),B(5,0).由平面几何知识;OP OQ OA OB ⋅=⋅=1×5=5.故选C.【例4】已知圆的方程2225x y +=，过(4,3)M -作直线,MA MB 与圆交于点,A B ，且,MA MB 关于直线3y =对称，则直线AB 的斜率等于（）（A ）43- （B ）34- （C ）54- （D ）45- 【解析】（几何法：利用垂径定理及圆的对称性）如图, 显然点(4,3)M -在圆2225x y +=上.点M 关于y 轴的对称点N （4,3）也在圆2225x y +=上.连ON.∵MN 平分∠AMB,∴N 为AB 的中点. 例4图x y O A B M(-4,3)y=3N(4,3)必ON ⊥AB.34,43ON AB k k =∴=- 评注;各位试想：这两题如果局限于用高中解析法去做，难度会增加多少倍？这说明;有时候，最原始的方法。

“以退为进”的思想方法

整得等理＋
存在符合题意的两点，
一．１
在ＣＤＡ移，甓一，为Ｂ、、上动且一ＰＣＤ
ＧＥ与０Ｆ的交点．是否存在两个定点，Ｐ问使到这两点的距离的和为定值？若存在，出这求两点的坐标，不存在，说明理由．若请解：据题设条件首根ｌＹ先求出点Ｐ的坐标满足的方程，此可判断是否存据在两点，得点Ｐ到两定＾使０Ｂ点距离的和为定值．题按意，立如图１所示的直建图１角坐标系，则
的值在
从“ 象 ” 抽后退到 “ 体 ” 几何图形上来考具的
虑，问题更易理解，好解决．使更【１对于ａ∈ 例】
Ｒ，确定Ｃ— ￣ａ１一ａ — ２＋
Ａ
一
所谓 “ 般 ” 指人们追求普遍性认识的一是种方式． “ 殊 ” 指人们深入个别认识而特是的一种方式．当直接找出一般问题的结论规律或方法受阻时。往考虑由某种特殊的或往有限的情形，纳推导一般情况，以一般向归即
一
表示
轴上的点Ｐ（ａ，０）到两定点
Ａ一，）Ｂ．）距之（图）（告和（的离差如１丢．
由于线段ＡＢ平行于轴．论Ｐ（，）不ｎＯ在轴什么位置，终可构成 △ ＰＡＢ， “ 始由三角形任意两边之差小于第三边 ”得，ｌＡ— ＰＩｌＰＢ＜ＡＢｌ１一，

以退为进,另辟蹊径——高中数学解题思路与方法例析

２０２３年９月上半月㊀解题研究㊀㊀㊀㊀以退为进,另辟蹊径高中数学解题思路与方法例析◉甘肃省武威第七中学㊀姬成虎㊀㊀平时解数学题时,我们经常会碰到一些疑惑费解或从未见过的题型,一时难以下手．这时我们不妨冷静思考一下,把这些未知的㊁较繁杂的题型退回到我们熟悉的㊁较为简易的题型,以便从中找到解题方法或产生解题灵感,最终使原问题化难为易而获解．下面我们通过对典型例题的解析,来了解和掌握如何运用以退为进的策略解题的思路与方法．１从抽象退回到具体在解题时,我们会遇到一些比较抽象的问题,往往不容易找到解题思路,甚至让人有种摸不着边际的惶惑之感,这时可以尝试把它具体化,或许就能找到解题途径．例１㊀函数f (x )的定义域关于原点对称,且满足以下条件:①x １,x ２是f (x )定义域中的数,且f (x １－x ２)＝f (x １)f (x ２)＋１f (x ２)－f (x １);②f (a )＝１(a ＞０);③当０＜x ＜２a时,f (x )＞０．(１)判定f (x )的奇偶性;(２)判定f (x )是否是周期函数,如果是周期函数,求出周期．解:(１)令x ＝x １－x ２,因为f (x )的定义域关于原点对称,所以－x ＝x ２－x １也在f (x )的定义域内．由f (x ２－x １)＝f (x １)f (x ２)＋１f (x １)－f (x ２),可知f (x )＝－f (x １－x ２)＝－f (x ),所以f (x )为奇函数．(２)因为f (x ＋a )＝f (x )f (－a )＋１f (－a )－f (x )＝－f (x )f (a )＋１－f (a )－f (x )＝１－f (x )－１－f (x )＝f (x )－１f (x )＋１,所以f (x ＋２a )＝f [(x ＋a )＋a ]＝f (x ＋a )－１f (x ＋a )＋１＝f (x )－１f (x )＋１－１f (x )－１f (x )＋１＋１＝－２２f (x )＝－１f (x )．由上式,可得f (x ＋４a )＝f [(x ＋２a )＋２a ]＝－１f (x ＋２a )＝f (x )．所以f (x )为周期函数,且其周期为４a ．思路与方法:由条件①可以联想到两角差的余切公式c o t (α－β)＝c o t αc o t β＋１c o t β－co t α;由c o t π４＝１,猜想a ＝π４．通过仔细观察,又可发现题设条件与余切函数的运算法则和性质相类似,所以不妨运用以退为进的策略,将题中的函数由抽象转化为具体, 退回到f (x )＝c o t x ,又y ＝c o t x 的周期为π＝４ˑπ４,由此猜想此题中的结论 (１)f (x )为奇函数;(２)f (x )为周期函数,其周期为４a ．从本题的解题过程可以看出抽象退为具体的思路,有利于启迪思维,能帮助我们找到抽象问题的突破口．当然,在具体求解过程中要对其抽象性进行严格论证．２从一般退回到特殊对于有些较复杂的问题,从一般角度难以解决时,不妨退后一步,通过观察和研究它的特殊情况,去寻求其规律和解题方法．例２㊀设数列{a n }与{b n }的通项公式分别是a n ＝２n,b n ＝３n ＋２,它们的公共项从小到大排列成数列{c n }．求{c n }的前n 项和．解:由{c n }的定义,可知c １＝８．设{c n }中的第n 项为{a n }中的第m 项,{b n }中的第k 项,即c n ＝２m＝３k ＋２,那么{a n }中的第m ＋１项为a m ＋１＝２m ＋１＝２２m ＝２(３k ＋２)＝３(２k ＋１)＋１,这说明a 不是{b n }中的项,也不是{c n }中的项．而{a n }中的第m ＋２项为a m ＋２＝２m ＋２＝４２m ＝４(３k ＋２)＝３(４k ＋２)＋２,这说明a m ＋２是{b n }的项,从而是{c n }的第n ＋１项,且c n ＋１c n＝２m ＋２２m ＝４．所以{c n }是首项为８,公比为４的等比数列,它的３６Copyright ©博看网. All Rights Reserved.解题研究２０２３年９月上半月㊀㊀㊀前n 项和S n ＝８(２２n－１)３．思路与方法:由于{a n }的前若干项为２,４,８,１６,３２,６４,１２８,２５６,５１２, ,又{b n }的项为被３除余２,因此{c n }的前四项为８,３２,１２８,５１２．当退回到{a n }中,我们欣喜地发现{c n }的项可能是{a n }中除去第一项的所有奇数项,构成以８为首项,公比为４的等比数列．当然,猜想是否正确,需要严格论证．本题的解题思路是:将数列的一般通项退到特殊项,通过分析特殊情况,掌握{c n }的结构,进而找到解题方法．所以说,当涉及到以自然数n 为序号的问题时可以采用这种投石问路的方法．３从多退回到少对于某些未知数较多㊁情况较复杂的问题,可以尝试先从未知数较少的简单情况入手,以此为突破口,再去解答未知数较多的原问题,这也是一种以退为进的策略．例３㊀平面上有２n ＋３个点,其中任何三点不共线,任何四点不共圆．问能否过其中三点作一个圆,使其余２n 个点,一半在圆内,一半在圆外?分析:直接考虑这个问题似乎无从下手,为了认清庐山真面目 ,我们先把问题退到n ＝１,即５个点图１的情况．如图１,A ,B ,C ,D ,E 为无三点共线㊁无四点共圆的五个点,总存在这样的两点(如A ,B )使其余各点在其连线的同侧．连A B ,记C ,D ,E 对A B 的张角分别为øC ,øD ,øE ,由于无四点共圆,故这三个角互不相等,不妨设øC ＞øD ＞øE ,则点A ,B ,D 的外接圆为所求．这样就不难得到本题的解题思路．解:对已知平面上的２n ＋３个点,总可以找到这样的两点,使其余的２n ＋１个点在其连线的两侧,记这两点为A ,B ,其余的２n ＋１个点为C １,C ２,,C ２n ,C ２n ＋１．连结A B ,并记点C i 对A B 的张角为C i (i ＝１,２, ,２n ＋１),由于无四点共圆,所以其余２n ＋１个角彼此不相等．不妨设øC １＜øC ２＜＜øC n ＋１＜＜øC ２n ＜øC ２n ＋１,则以点A ,B ,C n ＋１所确定的圆O ,使其余的２n 个点有一半在☉O 内,一半在☉O 外．思路与方法:本题乍一看有点老虎吃天,无从下口的感觉,为了找到突破口,不妨先退一步,把问题中的２n ＋３个点退到n ＝１,即５个点的情况来考虑,这就为进作好了铺垫,便于找到解题思路．４从整体退回到局部对于某些综合性较强的数学题型,如果从整体上不易解决,那我们就先攻其局部;如果攻克了局部的一两个问题,就能逐步扩大战果,从而达到解决整体问题的目的．例４㊀在锐角三角形A B C 中,求证:s i n A ＋s i n B ＋s i n C ＞c o s A ＋c o s B ＋c o s C ．证法１:因为әA B C 为锐角三角形,所以A ＋B ＝π－C ＞π２,则A ＞π２－B ,于是０＜π２－B ＜A ＜π２．根据正弦函数在０,π２éëêêùûúú的增减性,可知s i n A ＞s i n(π２－B )＝c o s B ．同理,s i n B ＞c o s C ,s i n C ＞c o s A ,从而可得s i n A ＋s i n B ＋s i n C ＞c o s A ＋c o s B ＋c o s C ．证法２:因为s i n A ＋s i n B ＝２s i n A ＋B ２c o s A －B ２＝２c o sC ２c o s A －B ２,c o s A ＋c o s B ＝２c o sA ＋B２c o s A －B ２＝２s i n C ２c o sA －B２,所以(s i n A ＋s i n B )－(c o s A ＋c o s B )＝２(c o s C ２－s i n C ２)c o s A －B ２．由０＜C ２＜π４,得c o s C ２－s i n C２＞０．又－π４＜A －B ２＜π４,所以c o s A －B２＞０．于是s i n A ＋s i n B ＞c o s A ＋c o s B ．同理,s i n B ＋s i n C ＞c o s B ＋c o s C ,s i n C ＋s i n A ＞c o s C ＋c o s A ．将上述三式左右分别相加,即可得证．思路与方法:本题看似简单,但如果想从整体上解答却难以下手．联想到三角形三个内角的和为π,以及三角函数间的转换关系,我们可以退后一步,尝试从局部(从一个角的三角函数式或两个角的三角函数式)着手寻求解法．这就是从整体退回到局部方法运用的典型实例．从上述典例的思路与方法的解析中我们可以看到: 以退为进其实就是一种间接的解题思路;运用以退为进的解题策略具有极大的便捷性㊁灵活性与实用性．学生如果学会运用这种策略,一定能够帮助他们开阔思路,少走弯路,提高解决较复杂问题的能力．Z ４６Copyright ©博看网. All Rights Reserved.。

谈数学解题中的“进” 与“退”

谈数学解题中的“进”与“退”孙伟奇(浙江省奉化中学,315500)“进”与“退”是哲学中的一对矛盾，也是数学的一种思维策略，恰到好处的“进”在解题中可以起到居高临下，高瞻远瞩，深刻认识事物本质，透彻解决问题的目的；相反，善于“退”足够地“退”也会起到峰回路转，四两拨千斤的功效．本文就“退”与“进”在解题中的作用谈谈自己的管见．一、从“一般”向“特殊”退有些数学题的条件与结论之间的结构联系不甚明显，直接找出结论的规律或解题方法有困难，我们可以采用从“一般”向“特殊”后退的方法去寻求解题途径．先考虑某些特殊情形，从特殊情形的解答中进一步探求出一般规律性的结论，亦可从中得到启示找到一般情形的解题方法．例1、已知抛物线)0(22>=p px y ，问：在x 轴的正半轴上是否存在一点M ，使得对过M 的抛物线的任意一条弦21P P 都有221π=∠OP P（Ｏ为坐标原点）？请说明理由．分析：假设满足题设条件的点M 存在，设),(),,(),,(22211100y x P y x P y x M ，则当OM P P ⊥21时，应有,4,2121ππ=∠∴=∠OM P OP P 此时)2,2(),2,2(21p p P p p P -，从而),0,2(p M 这表明若满足题设条件的点M 存在，则其坐标只能是).0,2(p设21P P 是过)0,2(p 的任意一条弦)(k 斜率为，21P P 的方程为)2(p x k y -=，代入0,4,04)2(2,221221222222<=∴=++-=y y p x x p k x p p k x k px y 又得且0,422,2,2212122121222121=+-=⋅-=∴==y y x x p px px y y px y px y ∴221π=∠OP P ．综上所述，在x 轴的正半轴上存在唯一一点)0,2(p M ，使得对过M 的抛物线的任意一条弦.22121π=∠OP P P P 都有二、从“抽象”向“具体”退我们知道有些关于代数和三角方面的数学题是比较抽象的，在不容易发现其内在的联系和解题方法时，如果能从“抽象”后退到“具体”来研究他们的数量关系，则较容易发现问题的内在联系，同时通过直观性也能启发我们解题思路．例2、p 为何值时，不等式1502≤++≤px x 恰有一个解．分析：本题比较抽象，如单从代数不等式方面去考虑，则显得较繁．我们采取从抽象的代数式后退到具体的几何图形来考虑，可知52++=px x y 是一条开口向上的抛物线，而1=y 是一条平行于x 轴的直线，综合考察这抛物线的顶点和这条直线的位置关系，本题的解法就明朗化了．解：如图所示，52++=px x y 是一条开口向上的抛物线，当其顶点在直线1=y 下方时，原不等式有无穷多个解；当其顶点在直线1=y 上方时，原不等式无解；只有当且仅当项点落到直线1=y 上时，原不等式恰有一个解．此时抛物线的顶点为4,145),45,2(22±==---p p p p 故当时，不等式恰有一个解．三、从“整体”向“局部”退有些数学问题从整体上不易解决，我们可以考虑从局部下手，常常也能促使问题得到解决．例3、已知．:,,,证明+∈R c b a ≤++++++++abc a c abc b c abc b a 333333111abc1解：我们从局部入手，)111(111ca bc ab c b a abc c b a c b a abc ++++=++⋅++= ＝)(1)(1)(1c b a ca c b a bc c b a ab ++++++++，所以只需深入分析左边三项abca c abcbc abc b a ++++++3333331,1,1与右边各对应部分的大小关系即可． ab b a abc ab b a b a abc b a 2,))((222233≥++-++=++ 又0,,,22>+∈≥-+∴+b a R b a ab ab b a 其中，0)()(33>++=++≥++∴c b a ab abc ab b a abc b a ．同理，0)(33>++≥++∴c b a bc abc c b ，0)(33>++≥++∴c b a ac abc c a ， ∴≤++++++++abca c abcbc abc b a 333333111.1)111(1)(1)(1)(1abcca bc ab c b a c b a ca c b a bc c b a ab =++++=++++++++ 四、由“高维”向“低维”退从“高维”向“低维”后退的思想方法常用于解立体几何题，即把三维空间图形问题转化到二维的平面图形问题，即所谓的降维法．类似地在解高次、多元方程（组）的降次，消元，等都是从“高维”向“低维”后退的思想方法的体现．例4、如图（1），四面体ABC P -中，六条棱长的和等于l ，试求这个四面体的最大体积。

退一步海阔天空——漫谈高中数学中“退”的艺术

导积极主动勇于探索的学习方式，让学生体验数学发现和创造的历程，发展他们的创新思维；注重提高学生的数学思维能力；强调数学的本质，注重适当的形式化。同时认知理论也表明：学习过程是一个主动建构的过程，是根据先前的认知结构主动地和有选择地知觉外在信息。数学知识尽管表现为形式化的符号，但它可视为具体生活经验和常识的系统化。它可以在学生的生活背景中找到实体模型。因此，我认为，在教学中能 “ 退” 到学生原有的认知结构，是学好新知识、解决新问题的重要保证，也是让学生实现新课程标准中提出的
啪
囊辫
漫谈高中数学中 ¨ 退” 的艺术
福州第七中学林俊能
古谚有云： “ 忍一时风平浪静，退道，实际上，数学的学习与研究的图象和性质 …。我们在教学中只要珍惜这些教学资源，对教材体现的理念予以认同，给足学生时间，让学
想能力及创新意识，这也是普遍联系的哲学观点的具体体现。
过程都遵循着从简单到复杂，从具体到抽象的过程，所
以思维过程的起点应该由简单、具体开始，我们的教学
也应该以此为起点。
落实到数学教学中，要多给学生类比的机会。原因
还是在于应尽可能地退到学生思维和知识的最近发展
教学中，首先利用教材，让学生动手列表作出￣ｙ＝ｘ２的图象，并作出初步的描述；其次考虑到学生抽象能力不高，为了能顺利地得出ｉ￥ｉ￣ｙ＝ｘ及一般函数单调性的定义，补充了在两个区间（一Ｏ０，０）和［０，＋ ∞）中任意写出几组具体的自变量和对应的函数值；然后让学生观察数据，发现特征，从而顺利地完成一般定义的探究。

以退为进　探寻入口——高中数学解题策略研究

数学·解题研究以退为进　探寻入口——高中数学解题策略研究广西柳州铁一中学（545007）　邵延会［摘　要］“以退为进”是数学解题的一种策略。

通过“退”，往往可以发现问题的本质，快速找到解决问题的入口，进而达到“进”的目的。

［关键词］以退为进；高中数学；解题策略［中图分类号］G633.6［文献标识码］A［文章编号］ 1674-6058（2024）08-0012-03华罗庚曾言：“善于‘退’，足够的‘退’，退到我们最容易看清楚的地方，认透了，钻深了，然后再上去。

”这就是“以退为进”思想。

以退为进，是数学解题的一种策略。

通过“退”，可以发现问题的本质，快速找到解题突破口。

一、从一般退到特殊，从特殊处探寻解题入口特殊寓于一般之中。

对于一般性问题，我们可以尝试给它赋予特殊的情形。

在“特殊”处探寻解题入口，会使问题的解决变得直接与简单，从而取得事半功倍的解题效果。

［例1］已知n∈N∗，集合A n={|（x，y）||x-1n+|2y-2|n<1，x，y∈R}，记A=∩n=1∞A n，则集合A中的点组成图形的面积为。

解析：若（x，y）∈A1，则||x-1+||2y-2<1，从而||x-1∈[)0，1，||2y-2∈[)0，1，所以||x-1n+|2y-2|n≤||x-1+||2y-2<1（n∈N*），即得（x，y）∈A n，故有A=∩n=1∞A n=A1。

又A1中的点组成图形为如图1所示的菱形，其中C（2，1），D()1，32，E（0，1）B()1，12，该菱形的对角线的交点M（1，1），故菱形的面积为12×2×1=1，所以集合A中的点组成图形的面积为1。

点评：本题先由特殊情形可得||x-1∈[)0，1，||2y-2∈[)0，1，结合不等式的性质可得结论“若（x，y）∈A1，（x，y）∈A n”，从而可求得图形的面积。

可见，特殊化能凸显问题的本质。

二、从抽象退到具体，从具体处探寻解题入口抽象问题具体化，往往能让我们从具体问题中窥见解题途径，从而实现抽象问题具体化。

高考数学解题策略“以退为进”

高考数学解题策略“以退为进”“以退为进”整个主题框架——退到特殊环境、退到摸清纪律、退到看懂标题、退到性质定理、退到猜出终于、退到“同族”子题等。

退中有法，以退为进。

数学上的特殊环境包括：变量值的特殊化、函数剖析式的特殊化、图形形状的特殊化、位置干系的特殊化、极度化也是一种特殊化、甚至还包括定量标题特殊成定性标题……退到特殊环境，由此产生了“特殊值法、特殊函数法、特殊图形法、极度剖析法、估算法”等等。

都是大众熟悉的，用来办理选择、填空题是很有趣的。

以退为进，退出了一些选择题、填空题的解题技能，看似歪路左道，却减少时间，进步效率。

很多时候，只有在基础知识熟悉到一定程度上，解题阅历积累到一定程度上，胆识抵达一定程度，才有了这些“歪路左道”，要求本来挺高的。

这些要领正是表现了——退中有术（奇妙的办理要领）。

解数学题真的能培育学生的韧性和毅力。

很多时候，解题便是熬，谁能熬到最后，谁就熬出了成功，从这个层面上讲，解题还可以让我们修身养性。

我们不妨试想一下，当学生把我们教的知识点全都除掉的话，我们教给学生的工具还剩下什么？一定是思考和办理标题的计谋、要领还有意志，我觉得这便是能力，这应该是我们老师在传授历程中应该多多思虑的工具。

学生从“完全不明白”——“担心害怕”——“壮着胆量试试”——“慢慢明白”——“找到纪律”——“大胆猜测终于”——“用点数学语言描述”。

我们让学生这样来体验一下完整的历程，可以锻炼他们动手办理标题的能力。

以退为进，先足够地退到我们最简略看明白的地方，认透了，钻深了，然后再上去。

知道怎么退，本来也就知道怎么进。

西席的高度影响了学生的高度，西席的态度决定了学生的态度。

标题1、11个女孩与n 个男孩去摘苹果，一共摘了2n +9n-2个苹果，假设每个小孩摘的苹果数相同，则____________多(填“男孩”或“女孩”)提示：可用多项式除法（2n +9n-2能被11+n 整除）或直接从1开始查验标题2设()()473102222n f n n N +=++++∈……则()f n = （）A 、()2817n -B 、()+12817n -C 、()+32817n -D 、()+42817n - 提示：n 取0、1即可标题3、()()22020cos cos 120cos 240______ααα++++=提示：特殊值即可（不放心就多试几个）标题4：定义在R 上的偶函数()f x 的导函数为()f x '，且对()(),22x R f x xf x '∀∈+<恒成立，则不等式()()2211x f x f x -<-的解集为（）A 、{},1x x R x ∈≠±B 、 ()-11，C 、 ()()--1+∞⋃∞，1，D 、()()-1001⋃，，提示：特殊偶函数：()0f x =标题5、()0203-sin 702cos 10=- A 、12 B 、2 C 、22 D 、3 提示：分子大于2，分母小于2，答案比1大标题6、如图G 为三角形OAB 的中线OM 上的一点，PQ 过G ，分别交OA 、OB 于点P 、Q ，OP m OA=，OQ n OB =。

“以退为进”的解题策略

“以退为进”的解题策略主题简介主持人：今天，我们有幸请到了解题大神古积霞老师。

古老师，请您谈谈“以退为进”的解题策略创作的“触发点” ——是什么事情让你有了这次创作的灵感？古老师：作为数学老师，尤其是高三的数学老师，解题能力不用怀疑的。

但是“解题经验”——这个范围太大了，我得缩小范围。

如果我以知识点或者若干个题型的解题方法和技巧来讲的话，反而怕班门弄斧。

想了很长时间，突然想起以前在北京听过王春辉教授的讲座，他鼓励我们年轻老师学会研究数学，也讲了一些自主招生的问题。

其中点到了“以退为进”，于是我打算从“以退为进”这种思考问题的策略上去切入。

我选的题目比较简单，主要是粗浅地诠释一下我对这种策略的理解，希望能起到抛砖引玉的效果，不足之处还请大家多多批评指正。

主持人：从古老师发给我的分享稿中，我看到了一份动人的认真。

为了让群友们更加“友好”地学习，我从中提炼出整个主题框架——退到特殊情况、退到摸清规律、退到看懂题目、退到性质定理、退到猜出结果、退到“同族”子题，6个退到。

主题分享主持人：我们先来欣赏著名数学家华罗庚的语录：“善于退，足够地退，退到最原始而不失重要的地方，是学好数学的一个诀窍”（摘自古老师做的PPT扉页）。

我想这段话一定给古老师很多启发，请古老师谈谈，或用一个例子来说明。

古老师：好的，这段话是给我挺多启发的。

我先发个大家可能比较熟悉的小学数学竞赛题看下。

主持人：大家自行解冻，发表下简单的看法群友：数列问题；整除问题；因式分解；多项式除法。

古老师：这可能就是大家提到的除法解决此问题了我以前给小学生辅导数学竞赛的时候，让他们思考过这个题目，小朋友的思维还不错，很快就开始对n=1,2,3…9…一个一个认认真真的检验，他们很有耐心和毅力的，一直算到9满足条件，然后填“女孩”多。

其实这就是“以退为进”的策略。

这就体现了思维水平。

当然，刚刚许多老师也提到多项式的除法。

确实我们这个题目也可以根据题意采用除法来解决这个问题，这体现的则是技巧。

7以退为进数学思想探幽

这表示Ｘ轴上的点Ｐ（口，Ｏ）到两定
＾
口
点Ａ（一虿１，雩）和Ｂ（专，譬）的距离
Ｐ
｜／
／
一、从抽象退到具体
“抽象”是透过事物现象，深入内部，抽取事物本质的过程的一种认识方法．“具体”是把抽象出的概念、原理同相应的感性材料联系起来，从而更具体的理解概念、原理的一种认识方法，抽象与具体是对立的统一．高度的抽象是数学的一个基本特点，要解决数学问题，有时问题较抽象，不易发现其内在万方数据的联系和规律，因而往往要从“抽象”后退到“具体”的几何图形上来考虑，使问题更易理解，更好解决．
参考文献：
Ｅ（号，兀），Ｂ＞詈一Ｃ，且Ｂ，号一
ＣＥ（ｏ，号）．又‘．．了＝ｓｉｎｘ毛Ｅ（Ｏ，号）为增函数，
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版社，２００２．７［３］郑荣忻、毛鄂婉编著．数学思维与数学方法论概
．．．ｓｉｎＢ＞ｓｉｎ（詈一ｃ），即ｓｉｎＢ＞ｃ‰Ｃ
同理ｓｉｎＡ＞ｃｏｓＢ，ｓｉｎＣ＞ＣＯｓＡ．
．‘．ｓｉｎＡ＋ｓｉｎＢ＋ｓｉｎＣ＞ＣＯｓＡ＋ｃｏｓＢ＋
ＣＯＳＣ．
论［栅．华中理工大学出版社，１９９７．６
［４］周学祁、周祥昌编著．高中数学精讲［加．江苏教
育出版社，１９９５．４
设０＜ａｌ＜ｏｒ２＜÷，有ｔａｎａｌ＜
—ｃｏｓａｌ２ｆ—－ｃｏｓａ２＜ｔａｎａ２．只要证得塑＜里竺Ｌ罂＜些就
ｓｌｎａｌ十ｓｌｎａ２，
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五、从高维、高次退到低维、低次
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高中数学答题主要依据六种思想

高中数学答题主要依据六种思想高考数学解题思想一：转化与化归思想数学问题的解答离不开转化与化归，它既是一种数学思想，又是一种数学能力，是高考重点考查的最重要的思想方法．在高中数学的学习中，它无个不在，比如：处理立体几何问题时，将空间问题转化到一个平面上解决；在解析几何中，通过建立坐标系将几何问题化归为代数问题；复数问题化归为实数问题等．1．转化与化归的原则（1）目标简单化原则：将复杂的问题向简单的问题转化．（2）和谐统一性原则：即化归应朝着使待解决问题在表现形式上趋于和谐，在量、形关系上趋于统一的方向进行，使问题的条件和结论更均匀和恰当．（3）具体化原则：即化归言论自由应由抽象到具体．（4）低层次原则：即将高维空间问题化归成低维空间问题．（5）正难则反原则：即当问题正面讨论遇到困难时，可考虑问题的反面，设法从问题的反面去探求，使问题获解．2．转化与化归常用到的方法（1）直接转化法：把问题直接转化为基本定理、基本公式或基本图形问题．（2）换元法：运用“换元”把超越式转化为有理式或使整式降幂等，把较复杂的函数、方程、不等式问题转化为易于解决的基本问题．（3）数形结合法：研究原问题中数量关系（解析式）与空间形式（图形）关系，通过互相变换获得转化途径．（4）构造法：“构造”一个合适的数学模型，把问题变为易于解决的问题．（5）坐标法：以坐标系为工具，用计算方法解决几何问题，是转化方法的一个重要途径．（6）类比法：运用类比推理，猜测问题的结论，易于确定转化途径．（7）特殊化方法：把原问题的形式向特殊化形式转化，并证明特殊化后的结论适合原问题．（8）等价问题法：把原问题转化为一个易于解决的等价命题，达到转化目的．（9）加强命题法：在证明不等式时，原命题难以得证，往往把命题的结论加强，即命题的结论加强为原命题的充分条件，反而能将原命题转化为一个较易证明的命题，比如在证明不等式时：原命题往往难以得证，这时常把结论加强，使之成为原命题的充分条件，从而易证．（10）补集法：如果下面解决原问题有困难，可把原问题结果看作集合A，而包含该问题的整体问题的结果类比为全集U，通过解决全集U及补集使原问题得以解决．高考数学解题思想二：函数与方程思想函数思想是指运用运动变化的观点，分析和研究数学中的数量关系，通过建立函数关系(或构造函数)运用函数的图像和性质去分析问题、转化问题和解决问题;方程思想，是从问题的数量关系入手，运用数学语言将问题转化为方程(方程组)或不等式模型(方程、不等式等)去解决问题。