全国高中数学竞赛金牌模拟试卷

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高中数学竞赛模拟试题含详解

高中数学竞赛模拟试题一、选择题：1.设a 、b 、c 为实数，0,024<++>+-c b a c b a ，则下列四个结论中正确的是（ D ）（A ）ac b ≤2（B ）ac b >2（C ）ac b >2且0>a （D ）ac b >2且0<a提示：若0=a ,则0≠b ,则02=>ac b .若0≠a ,则对于二次函数c bx ax x f +-=2)(,由0)1(,0)2(<->f f 可得结论.2.在△ABC 中，若a BC AB A ===∠,2,450，则2=a 是△ABC 只有一解的（ A ）（A ）充分不必要条件（B ）必要不充分条件（C ）充要条件（D ）既不充分又不必要条件3.已知向量)1,sin 42cos 3(),1sin 22cos ,(-+-=-+=x x b x x m a ,定义函数b a x f ⋅=)(.若对任意的]2,0[π∈x ，不等式0)(>x f 恒成立，则m 的取值范围是（ A ）（A ）),81(+∞（B ）)81,0[（C ）)2,81(（D ）),2(+∞4.设E 、F 、G 分别是正四面体ABCD 的棱AB 、BC 、CD 的中点，则二面角C —FG —E 的大小是（ D ）（A ）36arcsin （B ）33arccos 2+π（C ）2arctan2-π（D ）22cotarc -π5.把数列}12{+n 依次按一项、二项、三项、四项循环分为（3），（5，7），（9，11，13），（15，17，19，21），（23），（25，27，），（29，31，33），（35，37，39，41），…，在第100个括号内各数之和为（ A ）（A ）1992 （B ）1990 （C ）1873 （D ）18916.设n i n x i ,,2,1},,,2,1{ =∈，满足2)1(1+=∑=n n x ni i ，!21n x x x n =⋅⋅⋅ ，使1x ，2x ，…，n x 一定是n ,,2,1 的一个排列的最大数n 是（ C ）（A ）4 （B ）6 （C ）8 （D ）9二、填空题：7. 若实数x 、y 满足条件122=-y x ，则x y x 212+的取值范围是___________________. 【答案】)2,2(-.提示:令ααtan ,sec ==y x .8. 对于给定的正整数4≥n ，等式423nm C C =成立，则所有的m 一定形如_____________.（用n 的组合数表示）【答案】21-=n C m (4≥n ).提示:由423n m C C =得222)13()12(+-=-n n m ,从而21-=n C m (4≥n ).9. 一个盒中有9个正品和3个废品，每次取一个产品，取出后不在放回，在取得正品前已取出的废品数ξ的数学期望ξE =_________________.【答案】3.0 提示: ξ取值为0,1,2,3，且有43)0(11219===C C P ξ，4492)1(2121913===C C C P ξ，22092)2(3121923===C C C P ξ，22012)3(4121933===C C C P ξ. 3.022013220924491430=⨯+⨯+⨯+⨯=∴ξE . 10. 设点F 1、F 2分别为椭圆E 的左、右焦点，抛物线C 以F 1为顶点、以F 2为焦点。

高中数学联赛模拟卷(含答案)

高中数学联赛模拟卷姓名：_____________考试号：______________得分：____________一、填空题：本大题共8小题，每小题8分，共64分.把答案填在横线上.1.方程2log sin 2x x π+=在区间(0,]2π上的实根个数为_________________.解析：设2()log sin 2f x x x π=+-，则1()cos ln2f x x x π'=+，∵02x π<≤，∴0cos 1x ≤<，又0ln12π<<，∴()0f x '>，即在区间(0,]2π上单调递增，故方程2log sin 2x x π+=在区间(0,]2π上有且只有一个实根.2.设数列118()3n -⎧⎫⨯-⎨⎬⎩⎭的前n 项和为n S ，则满足不等式1|6|125n S -<的最小整数n 是_________________.解析：易知数列118()3n -⎧⎫⨯-⎨⎬⎩⎭是首项是8，公比是13-的等比数列，∴18[1()]1366()131()3nn n S --==----，于是1|6|125n S -<⇔112132503125n n --<⇔>， ∵53243250=<，63729250=>，故最小整数n 是7. 3.如果：（1）a, b, c, d 都属于{1, 2, 3, 4}；（2）a ≠b, b ≠c, c ≠d, d ≠a ；（3）a 是a, b, c, d 中的最小数。

那么，可以组成的不同的四位数abcd 的个数是________. 解析：46个。

abcd 中恰有2个不同数字时，能组成C 24=6个不同的数。

abcd 中恰有3个不同数字时，能组成1212121213C C C C C +=16个不同数。

abcd 中恰有4个不同数字时，能组成A 44=24个不同数，所以符合要求的数共有6+16+24=46个。

高中数学竞赛模拟试题(第一试)及参考答案

高中数学竞赛模拟试题一、填空题：本大题共8小题，每小题8分，共64分.1．若对任意[],2x a a ∈+均有2x a x +≥，则实数a 的取值范围是解：22323204602x a x x ax a a a +≥⇔--≤⇒+≤⇒≤-． 2．已知()220x y ≥>，则x y +的最小值为解：(221212x x x y y y ⎫+≥⇒≥⇒≥⎪⎪⎭（利用函数单调性）12x y y y+≥+≥，等号当且仅当1x y ==时等号成立，所以x y +的最小值为2． 3．用[]x 表示不超过x 的最大整数.则211sin ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎢⎣等于解：22110sin20142014sin <<⇒>，222111tan 120152014sin tan >⇒=+<，所以2120141sin ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎢⎣．4．已知()()()()()21,,()21n n fx f x f x f x f x f f x x ===+个则12n f ⎛⎫= ⎪⎝⎭ 解：1222211111111111121n nn n n n n ff f f f f x ----⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⇒+=+==+=+ ⎪ ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭⎝⎭，所以2132n n f ⎛⎫= ⎪⎝⎭． 5．在正方体1111ABCD A B C D -中，已知棱长为1，点E 在11A D 上，点F 在CD 上，112,2A E ED DF FC ==.则三棱锥1B FEC -的体积为解：如图，作111FF C D ⊥,连接11B F 交1EC 于点K 三棱锥1B FEC -的体积为115327BFK EC S =△．6．已知等腰直角△PQR 的三个顶点分别在等腰直角△ABC 的三条边上，记△PQR ，△ABC 的面积分别为S △PQR ，S △ABC ，则PQR ABCS S ∆∆的最小值为解：（1）当PQR ∆的直角顶点在ABC ∆的斜边上，则,,,P C Q R 四点共圆，180,APR CQR BQR ∠=∠=-∠所以sin sin .APR BQR ∠=∠在,APR BQR ∆∆中分别应用正弦定理得,sin sin sin sin PR AR QR BRA APRB BQR==. 又45,A B ∠=∠=故PR QR =,故AR BR =即R 为AB 的中点.过R 作RH AC ⊥于H ，则12PR RH BC ≥=,所以22221()124PQR ABC BC S PR S BC BC ∆∆=≥=,此时PQR ABCS S ∆∆的最小值为14.（2）当PQR ∆的直角顶点在ABC ∆的直角边上，如图所示，设1,(01),(0)2BC CR x x BRQ παα==≤≤∠=<<,则90.CPR PRC BRQ α∠=-∠=∠= 在Rt CPR ∆中，,sin sin CR xPR αα== 在BRQ ∆中，31,,sin 4x BR x RQ PR RQB QRB B ππαα=-==∠=-∠-∠=+, 由正弦定理, 1sin 3sin sin sin sin()44xPQ RB xB PQB αππα-=⇔=⇔∠+1sin cos 2sin x ααα=+，因此2221111()()22sin 2cos 2sin PQR x S PR ααα∆===+. 这样，PQR ABCS S ∆∆2222111()cos 2sin (12)(cos sin )5αααα=≥=+++，当且仅当arctan 2α=取等号，此时PQR ABCS S ∆∆的最小值为15.7．设P 为抛物线22y x =上的一个动点，过P 作抛物线的切线与22:1O x y +=交于点,,M N O 在,M N 两点处的切线交于点Q ，则点Q 的轨迹方程是8．选择集合{}()*1,2,,S n n N =∈的两个不同的非空子集A 和B ．则使B 中最小数大于A 中最大数的概率是设A 中的最大数为k ，其中11k n -≤≤,整数n ≥3，则A 中必含元素k ，另元素1，2，…，k 1-可在A 中，故A 的个数为：0111111C C C 2k k k k k -----++⋅⋅⋅+=， B 中必不含元素1，2，…，k ，另元素k +1，k +2，…，n 可在B 中，但不能都不在B 中，故B 的个数为：12C C C 21n k n kn k n k n k -----++⋅⋅⋅+=-，从而集合对(A ，B )的个数为()1221k n k --⋅-=1122n k ---，所以所有满足A 中最大数小于B 中最小数的集合对(A ，B )的个数为()11111111222(1)2(2)2112n n n k n n k n n ------=--=-⋅-=-⋅+-∑．而所有的集合对(A ，B )的个数为()()2122nn --所以使B 中最小数大于A 中最大数的概率是()()1(2)212122n n nn --⋅+-- 二、解答题：本大题共3小题，共56分.9.（本小题满分16分）. 已知椭圆2222:1x y E a b+=的左、右焦点分别为1F ，2F ，直线l 与椭圆E 有且只有一个公共点M ，且交y 轴于点P ，过点M 作垂直于l 的直线交y 轴于点Q .求证：12,,,,F Q F M P 五点共圆.（略）10.（本小题满分20分）已知函数22()1n nx xf x x -=+，12,n x x x ,,为正实数，且12...1n x x x +++=，证明：12()()...()0n n n n f x f x f x +++≥ （略）11.（本小题满分20分）.已知数列{}{},n n a b 满足1*1111,0,0,,1n n nn n n a a b a b n N b b a ++⎧=+⎪⎪>>∈⎨=+⎪⎪⎩．证明:505020a b +>．证明：因为22221122112()n n n n n n n n n na b a b a b a b b a +++=+++++，所以49492222505011221111()2()i i i i i i ii a b a b a b a b b a ==+=+++++∑∑221122111122494449200.a b a b >++++⨯⨯≥+⨯=又1112n n n n n n a b a b a b ++=++，所以49505011111111124998100i i i a b a b a b a b a b ==++⨯>++≥∑. 所以222505050505050()2200200400a b a b a b +=++>+=.因此505020a b +>2016年浙江省高中数学竞赛模拟试题(2)及参考答案加试一、（本小题满分40分）已知数列{}n a 满足11a =，13n n a a +=+*n N ∈．(I) 证明：{}n a 是正整数数列；(II) 是否存在*m N∈，使得2015m a ，并说明理由．（Ⅰ）由13n n a a +=+得2211640n n n n a a a a +++++=，（1）同理可得222212640n n n n a a a a +++++++=，（2），由（1）（2）可知，2,n n a a +为方程2211640n n x a x a ++-++=的两根，又2n n a a +<，即有216n n n a a a +++=，即216.n n n a a a ++=- 因为121,5,a a ==所以n a 为正整数.（Ⅱ）不存在*m N ∈，使得2015m a .假设存在*m N ∈，使得2015m a ，则31m a .一方面，2214m m m a a a ++=+，所以21314m a ++,即214(mod31)m a +≡-，所以301530142(mod31)m a +≡-≡-. 由费马小定理知3021(mod31)≡，所以3011(mod31)m a +≡-，另一方面，1(,31)1m a +=.事实上，假设1(,31)1m a d +=>，则31d ，即31d =，所以131m a +，而21314m a ++，这样得到314.矛盾.所以，由费马小定理得3011(mod31)m a +≡.这样得到11(mod31)≡-.矛盾. 所以不存在*m N ∈，使得2015m a二、（本小题满分40分）如图，在等腰ABC ∆中，A B A C B C =>，D 为ABC ∆内一点，满足.DA DB DC =+ 边AB 的中垂线与ADB ∠的外角平分线交于点P ，边AC 的中垂线与ADC ∠的外角平分线交于点Q .证明： B C P Q 、、、四点共圆.三、（本小题满分50分）设p 为大于3的素数，证明：（1）()11pp -+至少含有一个不同于p 的素因子；（2）设()111inpi i p p α=-+=∏，其中12,,,n p p p 是互不相同的素数，12,,,n ααα为正整数，则212ni i i p p α=≥∑.四、（本小题满分50分）设X 是非空有限集合，12,,,k A A A … 是X 的k 个子集，满足下列条件：(1) 3,1,2,,i A i k ≤=…; (2) X 中任意一个元素属于12,,,k A A A …中的至少4个集合.证明：可从12,,,k A A A …中选出37k ⎡⎤⎢⎥⎣⎦个集合，使得它们的并集为X .解：令{}12,,,k S A A A =.现依次选定集合i A ，使得这些集合的并集i A 的元素个数每次递增3个，选出所有这样的集合后，不妨设{}3312,,,a S A A A =，30a ≥，又设33S X =，其中333X a =.因为3S 已是满足以上性质的最大集合，则对于剩下的任意集合3,i A i a >，有()32iA X X -≤.类似地，在集合3X X -中依次选定集合i A ，使得这些集合的并集i A 的元素个数每次递增2个，不妨设这些集合{}3332212,,,a a a a S A A A +++=全部被选出，则有()232S X X X ⋂-=，且222X a =；同理，对于剩下的任意集合23,i A i a a >+，有()321iA X X X --≤.类似地，{}3232321112,,,a a a a a a a S A A A ++++++=，以及321X X X X --=，注意到32112323X X X X a a a =++=++，323S S S X ⋃⋃= 且321123S S S a a a m ++=++=即为上述选定集合所满足的关系，现说明37km ≤. 注意到1X 中的每一个元素至少出现4次，但11iA X ≤，32i a a ≥+，因此有：3214k a a a ≥++ (1)在12X X +中，每个元素也至少出现4次，但()122iA X X +≤，3i a ≥，因此有：()21332124422a a k a aa a +≥+=++ (2)在X 中，每个元素也至少出现4次，因此有：()3213243a a a k ++≥ (3)现考虑20*(1)12*(2)27*(3)++，()12359140k a a a ≥++，所以5931407k m k ≤<，即为所求.。

15套高中数学联赛模拟卷及答案

（1）a1 + · · · + an = b1 + · · · + bn
（2）a31 + · · · + a3n = b31 + · · · + b3n.
的数
An = {a1, · · · , an}
2 厦门数学教师交流群：259652195，厦门培训机构教师招聘群：186883776，大学数学资料群：702457289，物理竞赛群：271751860，化学竞赛群：271751511，生物竞赛群：254139830，信息竞赛群：281798334，英语口语群：168570356，心算交
4.
数
{an} ，a1 = 1，
n≥2
，an, Sn, Sn
−
1 2
（Sn
数
{an} 的
n
lim
n→∞
n2an
=
.
5.
1的
ABCD ，M 、N 分 AD、BC 的， M N 的
的
.
6.
x
∈
( 0,
π
) ，
数 f (x) = 2 cos3 x + 3 cos2 x − 6 cos x − 2 cos 3x 的
数学赛试题（二）
第一试
一、填空题（每题 8 分，共 64 分）
1.
a ≥ −2， A = {x| − 2 ≤ x ≤ a}, B = {y|y = 2x + 3, x ∈ A}, C = {t|t = x2, x ∈ A}， C ⊆ B，
a的
.
2.
△ABC
，
−−→ |AB|
=
2,
−→ |AC |
流群：131033273

高中数学竞赛模拟试题(含详细答案)

高中数学竞赛模拟试题(含详细答案)高中数学竞赛试题（模拟）一、选择题：共10个小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求。

1.已知函数f(x)是R上的奇函数，g(x)是R上的偶函数，若f(x)-g(x)=x+9x+12，则f(x)+g(x)=（。

）。

A。

-x+9x-12B。

x+9x-12C。

-x-9x+12D。

x-9x+122.有四个函数：①y=sinx+cosx②y=sinx-cosx③y=sinxcosx④y=（空缺）其中在(x,y)上为单调增函数的是（。

）。

A。

①B。

②C。

①和③D。

②和④3.方程x+x-1=xπ2的解集为A（其中π为无理数，π=3.141…，x为实数），则A中所有元素的平方和等于（。

）。

A。

B。

C。

1D。

44.已知点P(x,y)满足(x-4cosθ)+(y-4sinθ)=4（θ∈R），则点P(x,y)所在区域的面积为（。

）。

A。

36πB。

32πC。

20πD。

16π5.将10个相同的小球装入3个编号为1、2、3的盒子（每次要把10个球装完），要求每个盒子里球的个数不少于盒子的编号数，这样的装法种数为（。

）。

A。

9B。

12C。

15D。

186.已知数列{an}为等差数列，且S5=28，S10=36，则S15等于（。

）。

A。

807.已知曲线C：y=-x2-2x与直线l:x+y-m=0有两个交点，则m的取值范围是（。

）。

A。

(-2-1,2)B。

(-2,2-1)C。

[,2-1)D。

(,2-1)8.过正方体ABCD-A1B1C1D1的对角线BD1的截面面积为S，Smax和Smin分别为S的最大值和最小值，则Smax/Smin的值为（。

）。

A。

B。

C。

D。

9.设x=.82,y=sin1,z=log2237，则x、y、z的大小关系为（。

）。

A。

x<y<zB。

y<z<xC。

z<x<yD。

z<y<x10.如果一元二次方程x-2(a-3)x-b+9=0中，a、b分别是投掷骰子所得的数字，则该二次方程有两个正根的概率P=（。

全国高中数学联赛模拟试题1及答案

全国高中数学联赛模拟试题1及答案全国高中数学联赛模拟试题（一）第一试一、选择题：（每题6分，共36分）1、方程6×(5a2＋b2)＝5c2满足c≤20的正整数解(a,b,c)的个数是（A）1 （B）3 （C）4 （D）5x22、函数y （x∈R，x≠1）的递增区间是x 1（A）x≥2 （C）x≤0（B）x≤0或x≥2 （D）x≤1 2或x≥23、过定点P(2,1)作直线l分别交x轴正向和y轴正向于A、B，使△AOB（O为原点）的面积最小，那么l的方程为（A）x＋y－3＝0 （B）x＋3y－5＝0 （C）2x＋y－5＝0 （D）x＋2y－4＝04、假设方程cos2x＋3sin2x＝a＋1在 0, 上有两个不同的实数解x，那么参2数a的取值范围是（A）0≤a＜1 （B）－3≤a＜1 （C）a＜1 （D）0＜a＜1 5、数列1,2,2,3,3,3,4,4,4,4,5,5,5,5,5,6,…的第1000项是（A）42 （B）45 （C）48 （D）516、在1,2,3,4,5的排列a1,a2,a3,a4,a5中，满足条件a1＜a2，a2＞a3，a3＜a4，a4＞a5的排列的个数是（A）8 （B）10 （C）14 （D）16二、填空题：（每题9分，共54分）1、[x]表示不大于x的最大整数，那么方程1×[x2＋x]＝19x＋99的实数解x2是．2、设a1＝1，an+1＝2an＋n2，那么通项公式an＝．3、数799被2550除所得的余数是．54、在△ABC中，∠A＝，sinB＝，那么cosC＝．3135、设k、是实数，使得关于x的方程x2－(2k＋1)x＋k2－1＝0的两个根为sin 和cos ，那么的取值范围是． 6、数5 242n（n∈N）的个位数字是三、（20分）x、y、z都是非负实数，且x＋y＋z＝1．求证：x(1－2x)(1－3x)＋y(1－2y)(1－3y)＋z(1－2z)(1－3z)≥0，并确定等号成立的条件．四、（20分）（1）求出所有的实数a，使得关于x的方程x2＋(a＋xx)x＋a ＝0的两根皆为整数．（2）试求出所有的实数a，使得关于x的方程x3＋(－a2＋2a ＋2)x－2a2－2a＝0有三个整数根．五、（20分）试求正数r的最大值，使得点集T＝{(x,y)|x、y∈R，且x2＋(y－7)2≤r2}一定被包含于另一个点集S＝{(x,y)|x、y∈R，且对任何∈R，都有cos2 ＋xcos ＋y≥0}之中．第二试一、（50分）设a、b、c∈R，b≠ac，a≠－c，z是复数，且z2－(a－c)z－b＝0．a2 b a c z求证： 1的充分必要条件是(a－c)2＋4b≤0．ac b二、（50分）如图，在△ABC中，∠ABC和∠ACB均是锐角，D是BC边上的内点，且AD平分∠BAC，过点D分别向两条直线AB、AC作垂线DP、DQ，其垂足是P、Q，两条直线CP与BQ相交与点K．求证：（1）AK⊥BC；（2） AK AP AQ2S△ABC，其中S△ABC表BC示△ABC的面积．三、（50分）给定一个正整数n，设n个实数a1,a2,…,an满足以下n个方程：ai4(j 1,2,3, ,n)． i j2j 1i 1n确定和式Si 1nai的值（写成关于n的最简式子）． 2i 1参考答案第一试二、填空题：18115871、或；38383、343；2、7×2n-1－n2－2n－3； 4、53 12； 265、{ | ＝2n ＋或2n －，n∈Z} ；6、1（n为偶数）；7（n为奇数）． 21 1 1x z y z 1 x y三、证略，等号成立的条件是x y z 或 2或 2或 2．3 z 0 y 0 z 0四、（1）a的可能取值有0，－1336，－1936，－1960，－2664，－4000，－2040；（2）a的可能取值有－3，11，－1，9．五、rmax＝42．第二试a c a c 4b i一、证略（提示：直接解出z ，通过变形即得充分性成22立，然后利用反证法证明必要性）．二、证略（提示：用同一法，作出BC边上的高AR，利用塞瓦定理证明AR、BQ、CP三线共点，从而AK⊥BC；记AR与交于点T，那么AQ＝AP，对于AK＜AP，可证∠APK＜∠AKP）．三、S12S△ABC＝AR＞AT＞BC2n 121．。

高中数学竞赛模拟题(十六套)

高中数学竞赛模拟题(十六套)高中数学竞赛模拟题(十六套)第一套：代数高中数学竞赛中，代数是一个重要的考察内容。

在这个模拟题的第一套中，我们将考察代数的基本概念和运算技巧。

请同学们认真阅读并解答以下题目。

1. 已知函数 $f(x) = ax^2 + 3x + b$，且函数 $f(x)$ 的图像经过点 $(-2, -1)$ 和 $(1, 4)$。

求常数 $a$ 和 $b$ 的值。

2. 某数列的前3项依次为 $a_1 = 2$，$a_2 = 5$，$a_3 = 9$。

已知数列满足递推式 $a_{n+1} = 2a_n - a_{n-1} + 1$，其中 $n \geq 2$。

求数列的第 $n$ 项 $a_n$ 的表达式。

3. 解方程组：$\begin{cases}2x - 3y = 5 \\4x + 2y = 10\end{cases}$第二套：几何几何在高中数学竞赛中也占据重要的位置。

在这个模拟题的第二套中，我们将考察几何的基本概念和解题技巧。

请认真阅读并解答以下题目。

1. 在平面直角坐标系中，直线 $l$ 过点 $A(3, 2)$，且与直线 $x - 3y - 1 = 0$ 平行。

求直线 $l$ 方程。

2. 在三角形 $ABC$ 中，已知 $\angle BAC = 30^\circ$，点 $D$ 在边$AC$ 上，且 $\angle BDC = 90^\circ$。

若 $BD = 2$，$DC = 4$，求三角形 $ABC$ 的面积。

3. 已知四边形 $ABCD$ 中，$AB = AD$，$BC = CD$，$AC$ 为对角线，且 $\angle ACB = 70^\circ$。

求 $\angle BAC$ 的度数。

第三套：数列与数表数列与数表也是高中数学竞赛的考察内容之一。

在这个模拟题的第三套中，我们将考察数列与数表的基本性质和求解能力。

请认真阅读并解答以下题目。

1. 求限制条件为 $a_n < 100$ 的等差数列 $\{a_n\}$ 的第 $n$ 项的表达式，已知数列的公差为 5。

高中数学竞赛模拟试题及详细解析答案

高中数学竞赛模拟试题及详细解析答案一. 选择题(本题满分30分,每题5分)1. 设()f x 是奇函数,()h x 是偶函数,满足:()()223f x h x x x -=++.则()()f x h x +的表示式（）.A.223x x -+-B.223x x ++C. 223x x -+ D.()223x x -++2. ()()44040sin sin 60sin 60ααα+-++的值为（）.A.23B. 1C. 89D.983. 设,,A B C 分别在正四面体P KMN -的棱,,PK PM PN 上,已知1PA =,2PB =,3PC =.则截面ABC ∆的面积为（）.A.4. 已知I 是ABC ∆的内心,3,2,4BC AC AB ===,若AI mAB nAC =+uu r uu u r uu u r.则m n +的值为（）.A.13B. 23C. 49D.595. 对于三位数abc ,满足()37abc a b c =++的三位数的个数共有（）.A.12个B. 15个C. 13个D.14 个6. 若两椭圆2222221,1169x y y x m n +=+=的四个焦点构成一正方形, 则22m n +的值（）. A.25 B. 7 C. 252D.72二. 填空题(本题满分30分,每题5分) 7. 己知b c d c d a d a b a b ck a b c d++++++++====.则k =_____________.8. 设数列{}n a 的通项公式n a =.则99S =____________.9. 设P 是锐角ABC ∆内部任意一点, P 至边,,BC CA AB 的距离分别为,,PD PE PF . 则BC PA CA PB AB PCT PD BC PE CA PF AB⋅+⋅+⋅=⋅+⋅+⋅的最小值是______________.10. 已知实系数方程320x ax bx c +++=的三个根可以作为一椭圆,一双曲线,一抛物线的离心率.则ba的取值范围是______________.11. 计算 __________.12. 函数()3261321f x x x x =+++,已知()()1,21f a f b ==.则a b +=__________.三. 解答题(本题满分80分,每题20分)13. 设n N ∈，对于满足条件:22111000n a a ++=的所有等差数列:123,,,a a a L L .试求1221n n n S a a a +++=+++L 的最大值.14. 设,,0,2A B C π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，令tan ,tan ,tan A p B q C r ===. 求证(1).1qr rp pq ++< 的充分必要条件是:2A B C π++<; (2).1qr rp pq ++= 的充分必要条件是:2A B C π++=; (3).1qr rp pq ++> 的充分必要条件是:2A B C π++>.15. 己知双曲线22221x y a b -=的离心率e =2x =, 直线l 与双曲线右支及双曲线的渐近线交于,;,B C A D . (1).求双曲线的方程; (2). 求证AB CD =;(3). 如果AB BC CD ==,求证OBC ∆的面积为定值.16. 设D 是等腰ABC ∆的底边BC 的中点,P 是ABC ∆内部一点,满足PCA PBC ∠=∠.求证 0180BPD APC ∠+∠=.参考答案一. 选择题(本题满分30分,每题5分)1. 设()f x 是奇函数,()h x 是偶函数,满足:()()223f x h x x x -=++.则()()f x h x +的表示式 (A)A.223x x -+-B.223x x ++C. 223x x -+ D.()223x x -++解因为()f x 是奇函数,()h x 是偶函数,()()223f x h x x x -=++,则()()()()222323f x h x x x f x h x x x ---=-+⇔+=-+-故选A .2. ()()44040sin sin 60sin 60ααα+-++的值为 (D)A.23 B. 1 C. 89 D.98解记()()44040sin sin 60sin 60T ααα=+-++,()()()()()()()2220002202041cos 21cos 12021cos 120232cos 2cos 1202cos 1202cos 2cos 1202cos 1202T ααααααααα⎡⎤⎡⎤=-+--+-+⎣⎦⎣⎦⎡⎤=-+-++⎣⎦++-++而()()000cos 2cos 1202cos 1202cos 22cos120cos 2cos 2cos 20ααααααα+-++=+=-=()()()()()220202000cos 2cos 1202cos 12021cos 21cos 24041cos 24042131cos 41cos 240cos 422αααααααα+-++⎡⎤=++-+++⎣⎦=+++= 所以 339488T =+=.故填D.3. 设,,A B C 分别在正四面体P KMN -的棱,,PK PM PN 上,已知1PA =,2PB =,3PC =.则截面ABC ∆的面积为 (C)A.解记,,PA a PB b PC c ===,根据余弦定理得:BC CA AB ==再由海仑公式得:S =将1,2,3PA a PB b PC c ======代入,计算得S ==故选C.4. 已知I 是ABC ∆的内心,3,2,4BC AC AB ===,若AI mAB nAC =+uu r uu u r uu u r.则m n +的值为 (B)A.13 B. 23 C. 49 D.59解在ABC ∆中,延长AI 交BC 于D .则422AB AC λ===.故1233AD AB AC =+uuu r uu u r uuu r .因为3,2,1BC BD CD =⇒==,在ABD ∆中,I 分AD 的比'422AB BD λ===. 224399AI AD AB AC ==+uu r uuu r uu u r uuu r , 所以242993m n +=+=.故选B .5. 对于三位数abc ,满足()37abc a b c =++的三位数的个数共有个. (B)A.12个B. 15个C. 13个D.14 个解因为三位数abc ,满足()37abc a b c =++,所以()1001037a b c a b c ++=++,即()()63273673443a a c a b c a c b a =+⇔=+⇔-=-所以当a b c ==时,共有9种,即111;222;333;444;555;666;777;888;999当 3,7,0374,8,145,9,2a b c a c b c a b c b a a b c ===⎧-=⎧⎪⇒-=⇒===⎨⎨-=⎩⎪===⎩; 即370,481,592. 当 4,0,7375,1,846,2,9a b c a c b c a b c b a a b c ===⎧-=-⎧⎪⇒-=-⇒===⎨⎨-=-⎩⎪===⎩; 即407,518,629. 所以满足()37abc a b c =++条件的三位数共有15个.故选B.6. 若两椭圆2222221,1169x y y x m n +=+=的四个焦点构成一正方形, 则22m n +的值 (A) A.25 B. 7 C.252D.72解根据两椭圆2222221,1169x y y x m n +=+=的四个焦点能构成一正方形,则 222216925m n m n -=-⇔+=或 222216925m n m n -=-⇔+=故选A.二. 填空题(本题满分30分,每题5分) 7. 己知b c d c d a d a b a b ck a b c d++++++++====.则1k =-或3k =.解因为b c d c d a d a b a b ck a b c d++++++++====,所以有 (){();;3;.b c d ak c d a bk a b c d k a b c d c a b ck a b c dk ++=⎧⎪++=⎪⇒+++=+++⎨++=⎪⎪++=⎩ 当0a b c d +++=时,1k =-;当0a b c d +++≠时,3k =.8. 设数列{}n a 的通项公式n a =.则99910S =.解对n a 裂项分解n a ====所以1n S =,999110S ==9. 设P 是锐角ABC ∆内部任意一点, P 至边,,BC CA AB 的距离分别为,,PD PE PF .则BC PA CA PB AB PCT PD BC PE CA PF AB⋅+⋅+⋅=⋅+⋅+⋅的最小值是2.解因为 2S PD BC PE CA PF AB =⨯+⨯+⨯;BPC PA BC S S ∆⨯≥-, CPA PB CA S S ∆⨯≥-, APB PC AB S S ∆⨯≥-所以 32BPC CPA APB BC PA CA PB AB PC S S S S S ∆∆∆⨯+⨯+⨯≥---=.故2BC PA CA PB AB PCT PD BC PE CA PF AB⋅+⋅+⋅=≥⋅+⋅+⋅.当P 点是ABC ∆的垂心时,取得最小值是2.10. 已知实系数方程320x ax bx c +++=的三个根可以作为一椭圆,一双曲线,一抛物线的离心率.则b a 的取值范围是12,2b a ⎛⎫∈-- ⎪⎝⎭. 解记()32f x x ax bx c =+++,因为抛物线的离心率为1,所以()10f =,即101a b c c a b +++=⇔-=++()()()()323221111f x x ax bx c x ax bx a b x x a x a b =+++=++-++⎡⎤=-+++++⎣⎦因为()()211h x x a x a b =+++++在()0,1与()1,∞内各有一根,于是()()0010230010h a b a b h >⎧++>⎧⎪⇒⎨⎨++<<<⎩⎪⎩.由线性规划知,易得: 12,2b a ⎛⎫∈-- ⎪⎝⎭.11. 计算3=.解3=.12. 函数()3261321f x x x x =+++,已知()()1,21f a f b ==.则4a b +=-.解 ()()()332613212211f x x x x x x =+++=++++,记()3h x x x =+,则()()h x h x -=-,()h x 是奇函数.因为()()()()()()()()3322111210221121210f a a a h a f b b b h b =++++=⇒+=-=++++=⇒+=所以()()220h a h b +++=,故得2204a b a b +++=⇔+=-.三. 解答题(本题满分80分,每题20分)13. 设n N ∈，对于满足条件:22111000n a a ++=的所有等差数列:123,,,a a a L L .试求1221n n n S a a a +++=+++L 的最大值.解由柯西不等式得:()()()12111122131122501n n n n n n a a a a S a a a n n n +++++++-⎛⎫⎛⎫=+++=+=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭≤=+L当113n a a +=-,22111000na a ++=,即1110,30n a a +=-=时,S 的最大值为()501n +.14. 设,,0,2A B C π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，令tan ,tan ,tan A p B q C r ===. 求证 (1).1qr rp pq ++< 的充分必要条件是:2A B C π++<; (2).1qr rp pq ++= 的充分必要条件是:2A B C π++=; (3).1qr rp pq ++> 的充分必要条件是:2A B C π++>.证明记1T qr rp pq =++-,cos cos cos S A B C =，则tan tan tan tan tan tan 1sin sin sin sin sin sin 1cos cos cos cos cos cos sin sin cos sin sin cos sin sin cos cos cos cos cos cos cos T B C C A A B B C C A A BB C C A A BB C A C A B A B C A B C A B C=++-=++-++-=()()()sin sin cos cos cos cos cos cos cos cos cos C A B C A B A B C A B C A B C+-+-++==因为,,A B C ∠∠∠均为锐角，所以cos cos cos 0S A B C =>.而302A B C π<++<. 故 ()0cos 02T A B C A B C π<⇔++>⇔++<.同理可证:02T A B C π=⇔++=; 02T A B C π>⇔++>.15. 己知双曲线22221x y a b -=的离心率e =2x =, 直线l 与双曲线右支及双曲线的渐近线交于,;,B C A D . (1).求双曲线的方程; (2). 求证AB CD =; (3). 如果AB BC CD ==,求证OBC ∆的面积为定值.解由题设条件2c a a c ==,得1,a c ==所以双曲线的方程221x y -=. (2). 设直线l : y mx b =+,1m ≠±.11;.11A D A D b b x x y mx b y mx b m my x b y x by y m m -⎧⎧==⎪⎪=+=+⎧⎧⎪⎪-+⇒⇒⎨⎨⎨⎨==-⎩⎩⎪⎪==⎪⎪-+⎩⎩则AD 的中点坐标为22,11bmb m m ⎛⎫⎪--⎝⎭. 将y mx b =+代入221x y -=,得()()2221210m x bmx b ---+=.由韦达定理得BC 中点坐标也为22,11bmb m m ⎛⎫⎪--⎝⎭.从而AB CD =. (3). 设点()(),,,A a a D d d -,0,0a d >>.由AB BC CD ==得:22,33a d a d C +-⎛⎫⎪⎝⎭. 由点C 在双曲线上得222291338a d a d ad +-⎛⎫⎛⎫-=⇔= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭11133638BOC AOD S S OA OD ad ∆∆==⨯===16. 设D 是等腰ABC ∆的底边BC 的中点,P 是ABC ∆内部一点,满足PCA PBC ∠=∠.求证 0180BPD APC ∠+∠=.证明因为AC AB =,将APC ∆旋转至AEB ∆,连,PE BE ,过B 点作BF ∥PC ,与PD 的延长线交于F .因为D 是BC 的中点,BF ∥PC ,所以BDF CDP ∆≅∆,即得 BF CP =.又,EBP FBP BE PC BF ∠=∠==,所以PBE PBF ∆≅∆,得,EPB FPB PBF ABC AEP ∠=∠∠=∠=∠,因此在PBE ∆中,BPD APC EPB AEB ∠+∠=∠+∠EPB PEB AEP EPB AEP PBE π=∠+∠+∠=∠+∠+∠=。

2023年全国高中数学联合竞赛模拟题

2023年全国高中数学联合竞赛模拟题一、概述在当今社会，数学作为一门重要的学科，对于培养学生的逻辑思维能力和解决问题的能力起着至关重要的作用。

为了提高学生的数学素养，促进学生对数学知识的掌握和运用，全国高中数学联合竞赛应运而生。

作为高中生的数学盛会，全国高中数学联合竞赛一直备受关注，并在各个学校开展。

今天，我们将一起来看看2023年全国高中数学联合竞赛的模拟题目，让我们共同来加深对于数学的理解和探索。

二、单选题1. 若函数$f(x)=\frac{2x}{x-1}$，则$f(f(x))$的定义域是？A. (-∞, -1)∪(1,+∞)B. (-∞, -1)∪(1,+∞)C. (-1, 0)∪(1,+∞)D. (-1, 1)∪(1,+∞)2. 已知集合A={1,2,3,4,5}，集合B={3,4,5,6,7}，则集合A∪B的基数为？A. 5B. 6C. 7D. 83. 若一个球从100米高的地方自由下落，每次弹跳后弹起的高度是下落前的0.8倍，则它第6次落地时共经过的距离是多少米？A. 460B. 500C. 548D. 6004. 已知等差数列$\{a_n\}$满足$a_1=3$，$a_6=18$，则$a_{15}$的值为多少？A. 48B. 51C. 54D. 575. 若$\sin{2x}=\frac{1}{2}$，则$\cos{2x}$的值等于？A. -$\frac{1}{2}$B. $\frac{\sqrt{3}}{2}$C. -$\frac{\sqrt{3}}{2}$D. $\frac{1}{2}$三、填空题1. 若$a+b=5$，$ab=6$，则$a^2+b^2$的值为______。

2. 若$|x-1|<3$且$|x+2|<4$，则$x$的取值范围为______。

3. 若函数$f(x)=x^2+3x-4$，则$f(-2)$的值为______。

4. 若$\log_{10}a-2\log_{10}b=3$，$a-2b=80$，则$a$和$b$的值分别为______。

全国高中数学竞赛试题及答案

全国高中数学竞赛试题及答案试题一：函数与方程1. 已知函数$ f(x) = 2x^3 - 3x^2 + x - 5 $，求$ f(x) $的极值点。

2. 求解方程$ x^2 - 4x + 3 = 0 $的所有实根。

3. 判断函数$ g(x) = \frac{1}{x} $在区间$ (0, +\infty) $上的单调性。

试题二：解析几何1. 已知椭圆$ \frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1 $，其中$ a > b > 0 $，求椭圆的焦点坐标。

2. 求圆$ (x - h)^2 + (y - k)^2 = r^2 $的切线方程，已知切点坐标为$ (m, n) $。

3. 证明点$ P(x_1, y_1) $和点$ Q(x_2, y_2) $的连线$ PQ $的中点坐标为$ \left(\frac{x_1 + x_2}{2}, \frac{y_1 +y_2}{2}\right) $。

试题三：数列与级数1. 已知等差数列的首项$ a_1 = 3 $，公差$ d = 2 $，求第10项$ a_{10} $。

2. 求等比数列$ b_1, b_2, b_3, \ldots $的前$ n $项和，其中$ b_1 = 1 $，公比$ r = 3 $。

3. 判断数列$ c_n = \frac{1}{n(n + 1)} $的收敛性。

试题四：概率与统计1. 从5个红球和3个蓝球中随机抽取3个球，求至少有2个红球的概率。

2. 抛掷一枚均匀硬币4次，求正面朝上的次数为2的概率。

3. 某工厂生产的产品中有2%是次品，求从一批产品中随机抽取10个产品，至少有1个是次品的概率。

试题五：组合与逻辑1. 有5个不同的球和3个不同的盒子，将球分配到盒子中，每个盒子至少有一个球，求不同的分配方法总数。

2. 证明：对于任意的正整数$ n $，$ 1^2 + 2^2 + 3^2 + \ldots + n^2 = \frac{n(n + 1)(2n + 1)}{6} $。

(完整word版)No.40全国高中数学联合竞赛模拟试题

No.40 高中数学联赛模拟试卷1、抛物线2x y =上到直线02=++y x 的距离最小的点的坐标是________。

2、991715131+⋯+++=s 的整数部分是。

3、在棱长为2的正四面体内任取一点P ，P 到四面体四个面的距离分别记为1PP ，2PP ，3PP ，4PP ，则=+++4321PP PP PP PP 。

4、在三棱锥ABC S -中，侧棱SA ，SB ，SC 两两垂直，4==SB SA ，6=SC , 在三棱锥的内部有一个与三棱锥的四面体都相切的球，则此球的半径=R .5、若⎩⎨⎧<≥+=0,1,0,1)(x x x x f 则)2(cos f = 。

当)2,0[π∈x 且满足1)(sin cos >+x f x 的x 的集合为。

6、已知231(1)nx x x x ⎛⎫+++ ⎪⎝⎭的展开式中没有．．常数项，n ∈*N ，且2≤n ≤8，则n =______。

7、双曲线k y x =-22关于直线x-y=1对称的曲线与直线x+2y=1相切，则k 的值等于。

8、求函数4803224+++-=x x x y 的最小值和取最小值时x 的值9、证明圆222)()(r b y a x =-+-的两条互相垂直的切线n m ,的交点P 的轨迹方程是2222)()(r b y a x =-+-。

10、密码员王超设计了一种给自然数编码的方法：（1）先将自然数表示成五进制数（逢五进一）（2）再将五进制中的5个数码与集合}{Z Y X W V ,,,,中的元素建立一个一一对应，后来，他发现三个递增的相邻的十进制自然数被编成VVW VYX VYZ ,,求被编成VWXYZ 的数所对应的十进制数。

11、数列｛a n ｝的定义是：12331211,1,2,(7)n n n na a a a a a a +++====+，证明，该数列中的项都是正整数。

（德国）12、已知b a ,是正数，并且2009200920072007ab a b +=+，求证222≤+b a 。

(完整word版)No.31全国高中数学联合竞赛模拟试题

No.31高中数学联赛模拟试卷1、已知0 a b,x .a b . b, y b , b a,则x,y 的大小关系是11 nc ,n N ，且—— —— ---- 恒成立，则 n 的最大值为a b b c a c11、圆周上写着红蓝两色的数。

已知，每个红色数等于两侧相邻数之和，每个蓝色数等于两侧相邻数之和的一半。

证明，所有红色数之和等于0。

（俄罗斯）2、3、对于已知 5、6、 7、9、2 1的一切实数m ，使不等式2x 1 m （x 1）都成立的实数 f x log sin x,sin2，那么 a 、sin cos不等式、:4x 2 2 3 x 函数f xx 2 2x 2 2xa,b,nR ，且3xxy 3y 2 N ，求 | n 10、求 s 1 x 的取值范围是f •、sin cos ,b 、c 的大小关系是 2000的解集是1999集是1的最小值为11 n ,贝y 11的最小值是a b20 ,则 8x 2 1949| |n 23y 2的最大值是 1950 ||n2001 |丿可，则s 的整数部分102b 212、设 a,b,c R ，求证：ac 2 a b c2（第二届友谊杯”国际数学竞赛题）乌鲁木齐市高级中学数学竞赛培训题2参考答案x V a__b V b . ----- - ， y T b v b al a b <b0 a b, 、.a b . b 、. b . b a, x y.图1 解法6令f （t）4a~T JT，f（t）——产单V a t v t调递减，而b b a，f (b) f (b a)，即•. a b , b b . b a，x y.2解法1原式a c a cna b b ca b b c b c a b2 b ca b b c + a b时取等口号a c a c 4 na b b c minna c a c而a c a ca b b c min a b b ca b 4,且当b c a b ，即a c 2bb c a b b c4 •故选C .也型,得2 ..a b . b a, 、a b . b a 2 b, x y.1、解法1解法2yabb a, - 1, x y.y解法3 -x y a b b . b b a4 ,解法2 a b c , a b 0,b c 0,a c 0，已知不等式化为2a c 2a b b cmin故由已知得 n 4, 选C . 3由11 a b b c1b b c11法 a c 1 aa b ca b.由一amin解法4解法50,b 0, a c 03、解法1 题设等价于由题意,0, b cx 2 4 .故选0, a c 0.已知不等式可变形为0.于是4.比较得a c1 02x 1或x 2由题意,4 .故选C .4 .故选0 2x 1或 x 212xx 2x 2 1 02x 1或 x 21x 22x 0,所以1 x2或-3解法2已知不等式即 x 2 1 m 2x 10 ，令 f (m)当x 21 0，即x1时,f (m)是m 的一次函数，因为，即1，即 C 、32x 12x x 211,2).1时不等式恒成立，所以f(m)在 1,1上的图象恒在m 轴的下方，故有2x 2 (x 1).故x 的取值范围是.31 x 2.f sincos f ■■- sincos£sin 2 -,即 a b c ..2fsin cos解法 3、o,—， sin0,1 ，f x 是单调减函数，sin，2,sicosfcoa blog sinlog sincos2sincoslog sin --------------- 2log sin 1 0， a b .又 b c log sin sin cosy'sin cos , sin 2, Vsin cos ,sin cos ,,小血log sinlog sinlog sin -------------------------------- log sin 1 °，即sin cos 2si n cos2Jsi ncos cosf( 1) x 1 2x 2f (1) x 1 2x 12x 2x2x 2，解得.3 12x 0又当x 1时，f (m)1，适合题意，当x 1时，f (m) 3不合题意.4、解法1 设sin p ， cosq ....pq ，而f X 是减函数,f ... pq ，即 a b . 、.pqpq2pq p qf pq ，即 c b •故 a b c .解法2由题意，令1\ 3 sincos1 . 3，则 sin，cos62 2 24■. sin cosV3 si n22 ' sin cos2 sin cos sin cossin0,1，是减函数，又1 .3 4sin2x 2 (x 1).b c，a b c.------- ----- 4x 2 0 /15、解设尸E 2厂，由 3 x 0，得定乂域为[2，3].2 -------------------------------- 2 — 2000 y 2 4x 2 4(3 x)4 (4x 2)(3 x) 10 4 4x 2 14x 6 10, y 10 19991即原不等式在定义域内恒成立，故所求解集为 [一，3]. 2—9.71623 x 的解集是 5.276 - 题目改为“ 4x 2 集疋，结果一样。

全国高中数学联赛模拟卷(6)(一试+二试附详细答案)

全国高中数学联赛模拟试题(6)一试一、填空题（每小题8分，共64分）1. 设函数32()3614f x x x x =+++，且()1f a =，()19f b =，则a b += ．2. 圆内接四边形,1,2,3, 4.ABCD AB BC CD DA ====则此圆的半径为．3. 函数xx xx y cos sin 1cos sin ++=的值域是．4. 函数 y =的最大值是．5. 设22()53196|53196|f x x x x x =-++-+，则(1)(2)+(50)f f f ++⋅⋅⋅的值为．6. 已知椭圆2221(1)x y a a +=>，Rt ABC ∆以()0,1为直角顶点，边,AB BC 与椭圆交于两点,.B C 若ABC ∆面积的最大值为278，则a 的值为． 7. 如果正整数a 的各位数字之和等于5，那么称a 为“吉祥数”.将所有“吉祥数”从小到大排成一列123,,,,a a a 若2012,n a =则3n a = ．8. 将2个a 和2个b 共4个字母填在如图所示的25个小方格内，每个小方格内至多填1个字母，若使相同字母既不同行也不同列，则不同的填法共有种（用数字作答）.二、解答题（共56分）9. (16分)已知椭圆的两个焦点为12(1,0),(1,0)F F -，且椭圆与直线y x =. （1）求椭圆的方程；（2）过1F 作两条互相垂直的直线12,l l ，与椭圆分别交于,P Q 及,M N ，求四边形PMQN 面积的最大值与最小值.P n10．(20分) 在xoy 平面上有一系列点111222(,),(,),(,),n n n P x y P x y P x y ⋅⋅⋅⋅⋅⋅,对每个正整数n ,点n P 位于函数2(0)y x x =≥的图象上．以点n P 为圆心的⊙n P 与x 轴都相切，且⊙n P 与⊙1n P +彼此外切．若11x =,且1n n x x +<（*n N ∈）．（1）求证：数列1{}nx 是等差数列；（2）设⊙n P 的面积为n S，n T =求证：对任意*n N ∈，均有n T <．11. (20分) 设0,0,0,x y z >>>求证：333.2x y z xy yz zxx y y z z x ++++≥+++二试一．（40分）设a 、b 、c 为正实数，证明：()()()()3525252333aa b b c c a b c -+-+-+≥++.二．（40分）设O 和I 分别为ABC ∆的外心和内心，ABC ∆的内切圆与边,,BC CA AB 分别相切于点,,D E F ，直线FD 与CA 相交于点P ，直线DE 与AB 相交于点Q ，点,M N 分别为线段,PE QF 的中点，求证：OI MN ⊥.三．（50分）若三元正整数组(,,)a b c 满足a b c ≤≤，(,,)1a b c =且()|n n n a b c a b c ++++，则称(,,)a b c 为“n -幂次”的.例如：（1，2，2）是“5-幂次”的.（1）求所有的三元组，使得对所有1n ≥，该数组是“n -幂次”的.（2）求所有的三元组，使之是“2009-幂次”的和“2010-幂次”的但不是“2012-幂次”的.四．（50分）如图，在7×8的长方形棋盘的每个小方格的中心点各放一个棋子.如果两个棋子所在的小方格共边或共顶点，那么称这两个棋子相连.现从这56个棋子中取出一些，使得棋盘上剩下的棋子，没有五个在一条直线（横、竖、斜方向）上依次相连.问最少取出多少个棋子才可能满足要求？并说明理由.全国高中数学联赛模拟试题参考答案一试一、填空题（每小题8分，共64分） 1．-2.解：由()()332()361413110f x x x x x x =+++=++++，令3()3g y y y =+，则()g y 为奇函数且单调递增.而()()3()131101f a a a =++++=, ()()3()1311019f b b b =++++=,所以(1)9g a +=-,(1)9g b +=,(1)9g b --=-,从而(1)(1)g a g b +=--,即11a b +=--, 故2a b +=-.2.24. 解：连BD ，设BAD θ∠=，那么BCD πθ∠=-，设四边形外接圆半径为R.ABD ∆中，由余弦定理知22214214cos 178cos BD θθ=+-⨯⨯=-BCD ∆中，由余弦定理知22223223cos()1312cos BD πθθ=+-⨯⨯-=+这样由178cos 1312cos θθ-=+解出1cos ,sin 5θθ==所以5BD ==. 在ABD ∆中，由正弦定理，2sin BD R θ==，从而得到R =.3. 11,11,22⎡⎫⎛⎤---⎪ ⎢⎥⎪ ⎣⎭⎝⎦.解：设=sin +cos ++.224t x x x x x π⎫⎛⎫⎪ ⎪⎪⎝⎭⎭因为-1s i n +1,4x π⎛⎫≤≤ ⎪⎝⎭所以.22≤≤-t 又因为2=1+2sin cos ,t x x 所以2-1sin cos =2t x x ,所以2-11-1==212t t y t ⨯+，所以.212212-≤≤--y 因为-1t ≠，所以121-≠-t ，所以-1y ≠.所以函数值域为.212,11,212⎥⎦⎤⎝⎛--⎪⎪⎭⎫⎢⎣⎡-+-∈ y4. 解：函数的定义域为[15]，，且0y ≥.根据柯西不等式有：5y =22≤=5时，等号成立，即12727x =时函数取最大值5. 660.解：由于253196(4)(49)x x x x -+=--，因此449x ≤≤时，2531960x x -+≤，均有()f x =0.因此：(1)(2)...(50)(1)(2)(3)(50)f f f f f f f +++=+++，代入数据得：原式22222(153196)2(2532196)2(3533196)2(505350196)660=-++-⨯++-⨯++-⨯+= 6. 3.解：不妨设AB 的方程()10y kx k =+>，则AC 的方程为11y x k=-+. 由22211y kx x y a=+⎧⎪⎨+=⎪⎩得：2222(1)20a k x a kx ++=2222,1B a k x a k -⇒=+ 由222111y x k x y a ⎧=-+⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩得：2222()20a k x a kx +-=2222,C a k x a k ⇒=+由弦长公式可得：AB AC ==于是 2442222224211(1)2212(1)()()1ABC k k k kSAB AC a a a k a k a k a k∆++===+++++. 令12t k k=+≥，有44222222222,(1)(1)ABC a ta Sa a t a a t t∆==-+-+因为2222(1)2(1),a a t a a t -+≥- 21a t a-=时等号成立. 因此当21a t a -=时，3max 2(),1ABC a S a ∆=-令32227(3)(839)018a a a a a =⇒---=-.解得：)3,a a a ===舍.又21=21a t a a -≥⇒≥+a ∴=舍去. 3.a ∴= 7. 100013.解：∵方程12k x x x m +++= 的非负整数解的个数为1m m k C +-.而使11,0(2)i x x i ≥≥≥的整数解个数为12m m k C -+-.现取5m =，可知，k 位“吉祥数”的个数为43().k P k C +=∵4445(1)1,(2)5,P C P C ====46(3)15,P C ==并且对于四位“吉祥数”1abc ，其个数为满足4a b c ++=的非负整数解个数，即443115C +-=个，而2012是形如2abc 的数中的第2个“吉祥数”，因此2012是第1+5+15+15+2=38个“吉祥数”，即382012a =，从而38,3114.n n ==又4378(4)35,(5)56,P C P C ====而51()151********.k P k ==++++=∑∴从小到大的前2个六位“吉祥数”是：100004,100013.∴第114个“吉祥数”是100013，即3100013.n a = 8.33800.解：使2个a 既不同行也不同列的填法有2255200C A =种，同样，使2个b 既不同行也不同列的填法也有2255200C A =种，故由乘法原理，这样的填法共有20020040000⨯=种.其中不符合要求的有两种情况：2个a 所在的方格内都填有b 的情况有200种；2个a 所在的方格内仅有1个方格内填有b 的情况有122516252406000C A =⨯=种.所以，符合题设条件的填法共有40000200600033800--=种.二．解答题（共56分）9.解：（1）设椭圆方程为22221(0)x y a b a b +=>>.它与直线y x =1个交点，所以方程组22221x y ab y x ⎧+=⎪⎨⎪=⎩只有一解，即2222222()30b a x x a a b +-+-=只有一根（重根）2222222()4()(3)0a b a a b ∴∆=--+-=，化简得223a b +=又焦点为（-1,0），（1,0），∴221a b -=，∴2221a b ⎧=⎪⎨=⎪⎩∴椭圆方程为：2212x y +=.（2）若PQ 斜率不存在（或为0），则||||22PMQNPQ MN S ⋅===四边形 ①若PQ 斜率存在，设为(0)k k ≠，则MN 的斜率为1k-， ∴直线PQ 的方程为=+y kx k .设PQ 与椭圆交点坐标()1122(,),,P x y Q x y ，P n联立方程2212y kx k x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，12,x x 为方程2222(21)4220k x k x k +++-=的根，12||||=PQ x x a ∴=-=22121k k +=+同理221||2k MN k +=+.||||42MN PQ S ⋅∴==四边形PMQN2424242121124()2522252k k k k k k k ++=-++++ 24214()24104k k k =-=++22114()124410k k -+⨯+22448k k +≥= ，当且仅当21k =时等号成立， 2211(0,]1184410k k∴∈+⨯+，221116=4(),21294410S k k ⎡⎫∴-∈⎪⎢⎣⎭+⨯+四边形PMQN ② 综合①②可得：PMQN S 四边形的面积的最小值为169，最大值为2. 10．(20分) 解：（1）依题意，⊙n P 的半径2n n n r y x ==， ⊙n P 与⊙1n P +彼此外切， 11n n n n P P r r ++∴=+，1n n y y +=+．两边平方，化简得 211()4n n n n x x y y ++-=,即 22211()4n n n n x x x x ++-=,10n n x x +>> ， ∴112n n n n x x x x ++-=，即1112()n n n N x x +-=∈，∴ 数列1{}nx 是等差数列． (2) 由题设，11x =，∴111(1)2n n x x =+-⋅，即121n x n =-， 2244(21)n n n n S r y x n ππππ====-，n T =222111]35(21)n =++++-≤111]1335(23)(21)n n ++++⋅⋅-⋅-1111111[(1)()()]23352321n n ⎫+-+-++-⎬--⎭11(1)]221n +--=< 11. (20分) 证明：223()044()x x y x y x y x y ---=≥++ ，∴234x x y x y -≥+.进而可得323.4x x xyx y -≥+类似的3234y y yzy z -≥+，3234z z zx z x -≥+. ∴3332223334x y z x xy y yz z zx x y y z z x -+-+-++≥+++2223()4x y z xy yz zx++---=3()42xy yz zx xy yz zx xy yz zx ++---++≥=二试一．（40分）设a 、b 、c 为正实数，证明：()()()()3525252333aa b b c c a b c -+-+-+≥++.证明：注意到，当0a >时，有()5235323223(2)1(1)(1)a a a a a a a a a -+-+=--+=---3222(1)(1)(1)(1)(1)0a a a a a a =--=-+++≥.所以()5233(2)a a a -+≥+.因此，我们只需证明：3333(2)(2)(2)()a b c a b c +++≥++.为此，我们证明更一般的结论：对任意正实数,,(1,2,3)i i i x y z i =，均有：3111222333()()()x y z x y z x y z ++++++≥. （1）事实上，由于3121112223331()3x x x x y z x y z x y z =≤++++++++同理，3121112223331()3y y y x y z x y z x y z ≤++++++++，3121112223331()3z z z x y z x y z x y z ≤++++++++，上述3个不等式相加可知（1）式成立.所以3333333(2)(2)(2)(11)(11)(11)()a b c a b c a b c +++=++++++≥++，原命题得证. 二．（40分）设O 和I 分别为ABC ∆的外心和内心，ABC ∆的内切圆与边,,BC CA AB 分别相切于点,,D E F ，直线FD 与CA 相交于点P ，直线DE 与AB 相交于点Q ，点,M N 分别为线段,PE QF 的中点，求证：OI MN ⊥.证明：考虑ABC ∆与截线PFD ，由梅涅劳斯定理，有1CP AF BDPA FB DC⋅⋅=, 所以PA AF BD AF s aCP FB DC DC s c-=⋅==-（s 为ABC ∆的半周长）于是PA s aCA a c -=-，因此()b s a PA a c-=-，这样()()()2b s a s c s a PE PA AE s a a c a c---=+=+-=-- ()()()()()()21,2s c s a s c s a s a ME PE MA ME AE s a a c a c a c-----===-=--=--- ()()()()2s c s a s c MC ME EC s c a c a c ---=+=+-=--，于是2MA MC ME ⋅=.因为ME 是点M 到ABC ∆的内切圆的切线长，所以2ME 是点M 到内切圆的幂，而MA MC ⋅是点M 到ABC ∆外接圆的幂，等式2MA MC ME ⋅=表明点M 到到ABC ∆外接圆与内切圆的幂相等，因此点M 在ABC ∆外接圆与内切圆的根轴上，同理，点N 也在在ABC ∆外接圆与内切圆的根轴上，故OI MN ⊥.三．（50分）若三元正整数组(,,)a b c 满足a b c ≤≤，(,,)1a b c =且()|n n n a b c a b c ++++，则称(,,)a b c 为“n -幂次”的.例如：()1,2,2是“5-幂次”的.（1）求所有的三元组，使得对所有1n ≥，该数组是“n -幂次”的.（2）求所有的三元组，使之是“2009-幂次”和“2010-幂次”的,但不是“2012-幂次”的.解（1）设(,,)a b c 满足条件，则由222()|a b c a b c ++++得2222()|()()a b c a b c a b c ++++-++，于是()|2()a b c ab bc ca ++++. （1）由333()|a b c a b c ++++，得333222()|()()()a b c a b c a b c a b c ab bc ca ++++-++++--- 于是()|3a b c abc ++ （2）对于任意素因子5p ≥，若|()p a b c ++，则|p abc .不妨设|p a ，则0(mod )b c p +≡.又由（1）式可得0(mod )bc p ≡，于是0(mod )b c p ≡≡，这与(,,)1a b c =矛盾，故a b c ++无大于3的素因子.对于因子3，若3|()a b c ++，与上面相同的推理可得3不整除abc ，故由（2）式知，()a b c ++至多含3的一次因子.对于因子2，若2|()a b c ++，则由(,,)1a b c =，可知,,a b c 的奇偶性为两奇一偶，此时2()2(mod 4)ab bc ca ++≡，所以由（1）式知，()a b c ++至多含2的一次因子；综上所述，我们有()|6a b c ++，由,,a b c 为正整数，容易求得符合条件的数组为（1，1，1），（1，1，4）.（2）记n n n n T a b c =++，注意到多项式:()()()()f x x a x b x c =---=32()()x a b c x ab bc ca x abc -+++++-，则32()()()0f a a a b c a ab bc ca a abc =-+++++-=，故32()()a a b c a ab bc ca a abc =++-+++，两边同乘以3n a -，得123()()()n n n n a a b c a ab bc ca a abc a ---=++-+++，对,b c 有类似的结论，将三者相加，得123()()n n n n T a b c T ab bc ca T abcT ---=++-+++.故若有3()|n a b c T -++，且2()|n a b c T -++，则必有()|n a b c T ++.由此，取2012n =，知不存在符合条件的正整数组.四.（50分）如图，在7×8的长方形棋盘的每个小方格的中心点各放一个棋子.如果两个棋子所在的小方格共边或共顶点，那么称这两个棋子相连.现从这56个棋子中取出一些，使得棋盘上剩下的棋子，没有五个在一条直线（横、竖、斜方向）上依次相连.问最少取出多少个棋子才可能满足要求？并说明理由.解：最少要取出11个棋子，才可能满足要求.其原因如下：如果一个方格在第i 行第j 列，则记这个方格为(i ，j ).第一步证明若任取10个棋子，则余下的棋子必有一个五子连珠，即五个棋子在一条直线（横、竖、斜方向）上依次相连.用反证法.假设可取出10个棋子，使余下的棋子没有一个五子连珠.如图1，在每一行的前五格中必须各取出一个棋子，后三列的前五格中也必须各取出一个棋子.这样，10个被取出的棋子不会分布在右下角的阴影部分.同理，由对称性，也不会分布在其他角上的阴影部分.第1、2行必在每行取出一个，且只能分布在(1，4)、(1，5)、(2，4)、(2，5)这些方格.同理(6，4)、(6，5)、(7，4)、(7，5)这些方格上至少要取出2个棋子.在第1、2、3列，每列至少要取出一个棋子，分布在(3，1)、(3，2)、(3，3)、(4，1)、(4，2)、(4，3)、(5，1)、(5，2)、(5，3)所在区域，同理(3，6)、(3，7)、(3，8)、(4，6)、(4，7)、(4，8)、(5，6)、(5，7)、(5，8)所在区域内至少取出3个棋子.这样，在这些区域内至少已取出了10个棋子.因此，在中心阴影区域内不能取出棋子.由于①、②、③、④这4个棋子至多被取出2个，从而，从斜的方向看必有五子连珠了.矛盾.图1 图2第二步构造一种取法，共取走11个棋子，余下的棋子没有五子连珠.如图2，只要取出有标号位置的棋子，则余下的棋子不可能五子连珠.综上所述，最少要取走11个棋子，才可能使得余下的棋子没有五子连珠.。

全国高中数学联合竞赛模拟试题

选择题：1. 对于一个函数f(x) = 2x + 3，下列哪个选项是该函数的图像斜率的表示？A. 2xB. 2C. 3D. 3x2. 已知等差数列的前两项为a1 = 3，a2 = 6，公差为2，求该数列的第n 项公式。

A. an = 2n - 1B. an = 2n + 1C. an = 3n + 1D. an = 3n - 13. sin30° 的值等于：A. 0B. 1C. 0.5D. 0.8664. 在平面直角坐标系中，点P(4, 6) 是关于x 轴的对称点的坐标是：A. (4, -6)B. (-4, 6)C. (-4, -6)D. (6, 4)5. 已知二次函数f(x) = ax^2 + bx + c 的图像与x 轴有两个交点，那么下列哪个选项是该二次函数的判别式？A. b^2 - 4acB. 4ac - b^2C. 4ac + b^2D. b - 4ac填空题：1. 三角形的内角和定理：三角形的三个内角的和等于_________度。

2. 两点之间的距离公式的一般形式为：d = __________。

3. 二次函数y = ax^2 + bx + c 的对称轴方程为：x = __________。

4. 根据二项定理，(a + b)^3 的展开式中，二次项的系数为_________。

5. 集合A = {1, 2, 3}，集合B = {2, 3, 4}，则A ∪B 的元素个数为_________。

应用题：1. 已知一根直径为20 cm 的圆柱体的高为30 cm，求其体积和表面积。

2. 甲、乙两个摄氏度计的温度分别为30°C 和40°C，求转化为华氏度的温度差。

3. 从一台井中用打绳法测得水深60 米，若绳子有48 米落入井中，则绳子的长为多少？4. 餐厅有三种套餐供客人选择，分别为A 套餐100 元，B 套餐为150 元，C 套餐为200元。

一天共有120 位客人就餐，总计收入为18400 元。

全国高中数学竞赛金牌模拟试卷(一)

DCBAxyOxyOOOxy xy全国高中数学竞赛金牌模拟试卷（一）一、选择题1、二次函数b ax y +=2与一次函数)(b a b ax y >+=在同一个直角坐标系的图像为（）2、已知数列{}n a 满足)(,,*1221N n a a a b a a a n n n ∈-===++。

{}n n a S 是的前n 项的和，则20042004S a +等于（）A 、a b +B 、a b -C 、a b -+D 、a b -- 3、在12)2(++n x 的展开式中，x 的幂指数是整数的各项系数之和为（）A 、1312++n ； B 、123+n ； C 、12321+⨯n ； D 、)13(2112++n4、在1，2，3，4，5的排列54321,,,,a a a a a 中，满足条件,,2321a a a a <<4543,a a a a <<的排列个数是（）A 、10；B 、12；C 、14；D 、16.5、直线3-=mx y 与抛物线x m x y C m mx x y C )12(:,45:2221-+=-+=323:,3232--+=-+m mx x y C m 中至少有一条相交，则m 的取值范围是（） A 、283-≤≥m m 或 B 、211-≤-≥m m 或 C 、R m ∈ D 、以上均不正确6、若关于x 的不等式062<--a ax x 有解，且解集的区间长不超过5个单位，满足上述要求的a 的最大值为a M 、最小值为a m ，则a M －a m 等于（）A 、1B 、24C 、25D 、26 7、R k ∈，则方程组⎩⎨⎧=---++-=0111618491222y x y x k kx y （）A 、有且仅有一组实数解B 、有且仅有两组不同的实数解C 、有两组解，但不一定都是实数解D 、由于k 为参数，以上情况均有可能出现8、锐角△ABC 中，c b a c AB b CA a BC >>===且,,,，分别以BC ，CA ，AB 边上的高AD ，BE ，CF 为折线，将三角形折成平面角均为)0(πθθ<<的二面角，记折叠后的四面体ABCD ，ABCE ，ABCF 体积方便为321,,V V V ，则下面结论正确的是（） A 、321V V V >> B 、321V V V <<C 、231V V V >>或213V V V >>D 、321,,V V V 大小不能确定9、有九条直线，其中每一条都将一平行四边形分割成面积比为2：3的两个四边形，那么这九条直线（）A 、存在这样的九条直线；没有两条过同一个点；B 、至少有两条过同一个点；C 、至少有三条过同一个点；D 、至少有四条过同一个点； 10、设1)5,4,3,2,1(0,51==≥∈∑=i ii i xi x R x ，则{433221,,x x x x x x x ma +++ }54,x x +的最小值等于（） A 、41 B 、31 C 、61 D 、41二、填空题11、设a 为实数，集合{}{}φ≠+---=+-=B A a a B a a a a A ,1,1,1,,,222，则=B A____________________．12、)(x f 是定义在),(+∞-∞上的偶函数，且)(),1()1(x f x f x f -=+在)1,0(∈x 上是增函数，则)1.8(f 与)8.3(-f 的大小关系是____________________．13、已知向量375a b a b +-与垂直，472a b a b --与垂直，则向量a b b -与的夹角是____________________． 14、已知sin(2)3sin a a β+=，且1,,(,)22k a n n k Z πβπβπ≠+≠+∈，则tan()tan a ββ+的值是____________________．15、设,,,a b c d 为已知常数，且0b c d ≥≥≥，要使x a x a b -+-++x a b c x a b c x a b c d x a b c d -+-+-+++-+-++-++-为常数，则x 的取值范围是____________________．16、如图，长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1，,,AB a BC b ==1A A c =，E 为D 1C 1中点，若平面A 1BC 1与平面ACE 所成二面角的平面角为θ，则Sin θ=____________________．17、若[]x 表示不超过x 的最大整数（如[]11.31,234⎡⎤=-=-⎢⎥⎣⎦等等）则2004++++⎢⎣ ＝____________________．18、斜率为1的直线与椭圆2214y x +=交于A 、B 两点，P 为线段AB 上的点，且2AP PB=. 则P 点的轨迹方程是____________________．19、函数)cos (sin 32sin x x x y +-=的最大值为____________________．20、一个凸36面体中有24个面是三角形，12个面是四边形，则该多面体的对角线的条数是____________________．（连结不在凸多面体的同一个面内的两个凸面体的顶点的线段叫做凸多面体的对角线。

2023全国高中数学联赛模拟试题6及参考答案

2023全国高中数学联赛模拟试题6及参考答案题目1某校3个年级的学生数量比例为5：4：3，其中一年级学生的平均身高为160cm，二年级学生的平均身高为165cm，三年级学生的平均身高为170cm。

求该校学生总体平均身高。

解答1我们可以先计算出每个年级学生的数量占总体的比例：一年级学生数量比例 = 5 /（5 + 4 + 3）= 5 / 12二年级学生数量比例 = 4 /（5 + 4 + 3）= 4 / 12三年级学生数量比例 = 3 /（5 + 4 + 3）= 3 / 12然后，根据每个年级学生的数量比例和平均身高，计算出每个年级学生身高的总和：一年级学生身高总和 = 5 / 12 × 160cm二年级学生身高总和 = 4 / 12 × 165cm三年级学生身高总和 = 3 / 12 × 170cm最后，将三个年级学生身高的总和相加，除以总体学生数量，即可得到该校学生总体平均身高。

计算过程如下：总体平均身高 = （一年级学生身高总和 + 二年级学生身高总和 + 三年级学生身高总和） / （5 + 4 + 3）总体平均身高 = (5 / 12 × 160 + 4 / 12 × 165 + 3 / 12 × 170) / (5 + 4 + 3)计算结果为：166.25cm所以，该校学生总体平均身高为166.25cm。

题目2已知函数f(f)=2f2+3f+1，求f(2)的值。

解答2将 x 的值代入函数f(f)=2f2+3f+1中，计算出f(2)的值。

f(2) = 2 × 2^2 + 3 × 2 + 1计算过程如下：f(2) = 2 × 4 + 6 + 1= 8 + 6 + 1= 15所以，f(2)的值为15。

题目3某圆的周长为10π，求该圆的面积。

解答3已知圆的周长为10π，可以根据周长计算出圆的半径。

圆的周长公式为f=2ff，其中 C 为周长，r 为半径。

2024年全国高中数学联赛模拟练习试题(一试)

2024年全国高中数学联赛模拟练习试题（一试）一、填空题1．设非空集合{}1,2,,9A ⊆L 满足a A ∀∈，10a A -∈，则这样的A 的个数为． 2．在锐角三角形 ABC 中，边 2BC =，2B A =，则边 AC 的取值范围是．3．设 ,R a b ∈，函数() f x ax b =+满足() 1f x ≤对任意[] 0,1?x ∈都成立，则 ab 的最大值为．4．P 是双曲线221916x y -=的右支上一点，,M N 分别是圆2210210x y x +++=和2210240x y x +-+=上的点，则||||PM PN -的最大值为．5．已知向量1,2a b r r ==，且a r 和b r 的夹角为2π3，若a tb +r r 与ta b +r r 的夹角为钝角，则 t 的取值范围为．6．甲、乙两人玩游戏，规则如下：第奇数局，甲赢的概率为 34；第偶数局，乙赢的概率为 34．每一局没有平局．规定：当其中一人赢的局数比另一人赢的局数多两次时游戏结束．则游戏结束时，甲、乙两人玩的局数的数学期望为．7．若 X 是棱长为 ABCD 内一点，以 X 在四面体 ABCD 的四个面上的射影为顶点的新四面体的体积的最大值为．8．一个平台的俯视图为一个3×3的方格表，初始时在中心的方格 O 处有一只电子瓢虫，每过一秒钟，该瓢虫都会随机选择平行于平台边界的四个方向之一移动一个单位．如果瓢虫跌落平台就会“死亡”，那么在2023秒后，该瓢虫仍然“存活”的概率是．二、解答题9．已知复数列{}n z 满足：()()111i 1n n n z z z z n +==+≥，求2024z ．10．设非负实数 ,,?x y z 满足22210x y z ++=.值.11．已知点()() 3,00M m m ->， N 、 P 两点分别在 y 轴、 x 轴上运动，且满足·0MN NQ =u u u u r u u u r ，1 2NP PQ =u u u r u u u r ． (1)求Q 的轨迹方程；(2)若一正方形的三个顶点在点Q的轨迹上，求其面积的最小值．。