最新人教版高中数学选修4-4《柱坐标系和球坐标系》课前导引
人教版高中选修4-4四柱坐标系与球坐标系简介课程设计
人教版高中选修4-4四柱坐标系与球坐标系简介课程设计课程目标本课程旨在引导高中学生了解形式变量，学习如何应用数学知识来描述和解决问题。
通过本课程，学生将学习追踪点在三维空间中的运动的方程，并将使用四柱坐标系和球坐标系来描述和解决此类问题。
本课程将探讨以下重点：•四柱坐标系的基本原理和应用场景•球坐标系的基本原理和应用场景•如何将一个点的坐标从一个坐标系转换为另一个坐标系教学大纲课时一•介绍课程目标，概述课程内容。
•引导学生理解形式变量的概念，了解如何使用形式变量描述运动的方程。
•讲解四柱坐标系的概念和原理，演示应用场景。
•授课结束后，布置课后作业：熟练使用四柱坐标系描述运动。
课时二•查看和解决熟练使用四柱坐标系描述运动的问题，并对于存在的疑惑做出解答。
•讲解球坐标系的概念和原理，演示应用场景。
•授课结束后，布置课后作业：熟练使用球坐标系描述运动。
课时三•查看和解决熟练使用球坐标系描述运动的问题，并就存在的疑惑进行解答。
•演示如何在四柱坐标系和球坐标系之间进行坐标转换。
•授课结束后，布置课后作业：熟练进行坐标转换。
课程重点四柱坐标系的基本原理和应用场景四柱坐标系是三维空间中用于描述点和向量位置的坐标系统，由三个以原点为顶点的垂直平面构成，每个平面用直角坐标系来描述。
在四柱坐标系中，一个点的位置由其在三个坐标轴上的位置确定。
这个位置通常用一个三元组表示，例如(x,y,z)。
四柱坐标系通常用于描述在三维空间中的运动问题，例如运动的物体、飞行器、机器人等。
球坐标系的基本原理和应用场景球坐标系是三维空间中用于描述点和向量位置的坐标系统，由一个固定原点和一个点到原点的距离以及该点与原点之间的两个角度构成。
在球坐标系中，一个点的位置由三个分量确定：距离r，方位角 $\\theta$，天顶角 $\\phi$。
球坐标系通常用于描述绕点运动问题，例如在天体物理学中，用于描述运动星体相对于一个观测者或者一个中间点的运动修正。
高二数学选修4-4 柱坐标系与球坐标系简介
高二数学选修4-4柱坐标系与球坐标系简介本课提要：本节课的重点是了解在柱坐标系、球坐标系中刻画空间中点的位置的方法，并掌握柱坐标、球坐标与直角坐标的互化.一、 温故而知新 1．如何确定一个圆柱侧面上的点的位置？2．如何确定一个球面上的点的位置？回顾：二、 重点、难点都在这里【问题1】：（1）点A 的柱坐标是)7,6,2(π，则它的直角坐标是； （2）点B 的直角坐标是)4,3,1(，则它的柱坐标是.练一练：3．点P 的柱坐标是)2,3,4(-π，则它的直角坐标是.4．点Q 的直角坐标是)2,3,1(-，则它的柱坐标是.【问题2】：（1）点A 的球坐标是)4,4,2(ππ，则它的直角坐标是； （2）点B 的直角坐标是)222,2(，-，则它的球坐标是.课前小测典型问题【问题3】：建立适当的球坐标系，表示棱长为2的正方体的顶点.5．将下列各点的柱坐标化为直角坐标：)3,32,4(),1,6,2(-ππQ P .6．将下列各点的球坐标化为直角坐标：)23,,5(),35,2,4(ππππB A .7．将下列各点的直角坐标化为球坐标：)24,0,24(),6,1,1(--N M .8．建立适当的柱坐标系与球坐标系，表示棱长为3的正四面体的四个顶点.9．设M 的球坐标为)45,4,2(ππ，则它的柱坐标为.10．在球坐标系中，)4,6,3(ππP 与)43,6,3(ππQ 两点间的距离是.11．球坐标满足方程3=r的点所构成的图形是什么？并将此方程化为直角坐标方程.应该记住的内容：重点内容：个人心得：12．点A 的柱坐标是)4,6,2(-，则它的直角坐标是.13．点M 的球坐标是)65,3,8(ππ，则它的直角坐标是.14．点P 的直角坐标是)3,3,3(--，则它的柱坐标是.15．在球坐标系中，)6,4,4(ππM 与)32,4,4(ππN 两点间的距离是.七、 记下你的疑惑本课质疑§—第三课时答案【问题1】解：（1）∵7,6,2===z πθρ， ∴7,1sin ,3cos =====z y x θρθρ，∴点A 的直角坐标是)7,1,3(； （2）∵4,3,1===z y x， ∴4,3tan ,222====+=z x y y x θρ， ∵0,0>>y x ，∴3πθ=，∴点B 的柱坐标是)4,3,2(π.【问题2】解：（1）∵4,4,2πθπϕ===r， ∴1sin sin ,1cos sin ====θϕθϕr y r x ，2cos ==ϕr z ，∴点A 的直角坐标是)2,1,1(； （2）∵22,2,2==-=z y x， ∴4222=++=z y x r ，1tan -==x y θ， 22cos ==r z ϕ， ∵0,0,0>><z y x ，∴43πθ=，4πϕ=，∴点B 的柱坐标是)43,4,4(ππ.【问题3】解：以正方体的一个顶点为极点，相邻的两条棱所在的射线分别为O X 轴和O Z 轴，建立如图所示的球坐标系，则有),2,2,1(),4,2,2(),0,2,1(),0,0,0(πππππC B A O ),4,33arccos ,3(),0,4,2(),0,0,1(ππF E D )2,4,2(ππG . 1．建立柱坐标系，则圆柱侧面上一点的位置可用柱坐标),20,0(),,(R z z ∈<≤≥πθρθρ表示；2．建立球坐标系，则球面上一点的位置可用球坐标)20,0,0(),,(πθπϕθϕ<≤≤≤≥r r 表示； 3．)2,32,2(-； 4．)2,35,2(π； 5．)3,32,2(),1,1,3(--Q P ；6．)5,0,0(),0,32,2(--B A ；7．),43,8(),4,6,22(ππππN M ； 8．答案不唯一.如图，设底面正⊿ABC 的中心为O ，以O 为极点建立柱坐标系与球坐标系.在柱坐标系中，)6,0,0(),0,34,3(),0,32,3(),0,0,3(D C B A ππ. 在球坐标系中，),32,2,3(),0,2,3(πππB A )0,0,6(),34,2,3(D C ππ；9．)2,45,2(π； 10．223； 11．由球坐标系中坐标r 的意义得，球坐标满足方程3=r 的点所构成的图形是以原点O 为球心，3为半径的球面，化成直角坐标方程是9222=++z y x； 12．)4,1,3(-；13．)4,32,6(； 14．)3,43,23(-π； 15．4．。
人教版高中数学选修4-4：第一讲四柱坐标系与球坐标系简介含解析
第一讲 坐标系四、柱坐标系与球坐标系简介A 级 基础巩固一、选择题1．点M 的直角坐标为(3，1，－2)，则它的柱坐标为( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π6，2 B.⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π3，2 C.⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π6，－2 D.⎝ ⎛⎭⎪⎫2，－π6，－2 解析：ρ＝（3）2＋12＝2，tan θ＝13＝33，θ＝π6，所以点M 的柱坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π6，－2. 答案：C2．已知点M 的球坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫1，π3，π6，则它的直角坐标为( ) A.⎝ ⎛⎭⎪⎫1，π3，π6 B.⎝ ⎛⎭⎪⎫34，34，12 C.⎝ ⎛⎭⎪⎫34，34，12 D.⎝ ⎛⎭⎪⎫34，34，32 解析：设点M 的直角坐标为(x ，y ，z)，因为点M 的球坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫1，π3，π6， 所以x ＝1·sin π3cos π6＝34， y ＝1·sin π3sin π6＝34， z ＝1·cos π3＝12. 所以M 的直角坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫34，34，12. 答案：B3．已知点P 的柱坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π4，5，点Q 的球坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫6，π3，π6，则这两个点在空间直角坐标系中的点的坐标为( )A ．点P(5，1，1)，点Q ⎝ ⎛⎭⎪⎫364，324，62 B ．点P(1，1，5)，点Q ⎝⎛⎭⎪⎫364，324，62 C ．点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫364，324，62，点Q(1，1，5) D ．点P(1，1，5)，点Q ⎝ ⎛⎭⎪⎫62，364，324 答案：B4．在空间直角坐标系中的点M(x ，y ，z)，若它的柱坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫3，π3，3，则它的球坐标为( )A.⎝⎛⎭⎪⎫3，π3，π4 B.⎝ ⎛⎭⎪⎫32，π3，π4 C.⎝ ⎛⎭⎪⎫3，π4，π3 D.⎝ ⎛⎭⎪⎫32，π4，π3 解析：因为M 点的柱坐标为M ⎝ ⎛⎭⎪⎫3，π3，3，设点M 的直角坐标为(x ，y ，z)． 所以x ＝3cos π3＝32，y ＝3sin π3＝332，z ＝3， 所以M 点的直角坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫32，332，3. 设点M 的球坐标为(γ，φ，θ)．γ是球面的半径，φ为向量OM 在xOy 面上投影到x 正方向夹角，θ为向量OM 与z 轴正方向夹角．所以r ＝ 94＋274＋9＝32，容易知道φ＝π3，同时结合点M 的直角坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫32，332，3，可知cos θ＝z γ＝332＝22， 所以θ＝π4， 所以M 点的球坐标为⎝⎛⎭⎪⎫32，π3，π4. 答案：B5．在直角坐标系中，点(2，2，2)关于z 轴的对称点的柱坐标为( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫22，3π4，2 B.⎝ ⎛⎭⎪⎫22，π4，2[来源:] C.⎝ ⎛⎭⎪⎫22，5π4，2 D.⎝ ⎛⎭⎪⎫22，7π4，2 解析：(2，2，2)关于z 轴的对称点为(－2，－2，2)，[来源:学科网]则ρ＝（－2）2＋（－2）2＝22，tan θ＝y x ＝－2－2＝1， 因为点(－2，－2)在平面Oxy 的第三象限内， 所以θ＝5π4， 所以所求柱坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫22，5π4，2. 答案：C二、填空题6．已知点M 的球坐标为⎝⎛⎭⎪⎫4，π4，3π4，则它的直角坐标为_______，它的柱坐标是________．答案：(－2，2，22) ⎝ ⎛⎭⎪⎫22，3π4，22 7．已知在柱坐标系中，点M 的柱坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫2，2π3，5，且点M 在数轴Oy 上的射影为N ，则|OM|＝________，|MN|＝________．解析：设点M 在平面xOy 上的射影为P ，连接PN ，则PN 为线段MN 在平面xOy 上的射影．因为MN ⊥直线Oy ，MP ⊥平面xOy ，。
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四 柱坐标系与球坐标系简介
最新人教版高三数学选修4－4电子 课本课件【全册】
第二讲 参数方程
最新人教版高三数学选修4－4电子 课本课件【全册】目录
0002页 0066页 0118页 0187页 0243页 0338页
引言 一 平面直角坐标系 三 简单曲线的极坐标方程 第二讲 参数方程 二 圆锥曲线的参数方程 四 渐开线与摆线
引言
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第一讲 坐标系
一 曲线的参数方程
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一 平面直角坐标系
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二 极坐标系
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三 简单曲线的极坐标方程
人教版高中数学选修4-4--第一讲-坐标系-1.4--柱坐标系与球坐标系简介ppt课件
经离开教室，也可以向同学请教，及时消除疑难问题。做到当堂知识，当堂解决。 • 二、补笔记 • 上课时，如果有些东西没有记下来，不要因为惦记着漏了的笔记而影响记下面的内容，可以在笔记本上留下一定的空间。下课后，再从头到尾阅读一
空间点 P 的直角坐标(x，y，z)与球坐标(r，φ 之间的变换关系为：____x_2_＋__y2_＋__z_2＝__r_2，___.
x＝rsin φcos θ ， y＝rsin φsin θ ， z＝rcos φ
预习 思考
(1,1,1)
1．设
P
点
柱
坐
标
为
2，π4，1 . 则 它 的 直 角 坐 标 为
____________．
2．设点 M 的球坐标为2，34π，34π，它的直角坐标为 ____ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ_______．
(－1,1，－ 2)
题型1 柱坐标、球坐标的确定
例1 如图所示，已知长方体 ABCD-A1B1C1D1 的边长 AB 6 3，AD＝6，AA1＝12，以这个长方体的顶点 A 为坐标原点 以射线 AB、AD、AA1 分别为 x 轴、y 轴、z 轴的正半轴， 立空间直角坐标系，求长方体顶点 C1 的空间直角坐标、柱 标、球坐标．
变式 训练
1．建立如下图所示的柱坐标系，写出棱长为 1 的正方
各顶点的柱坐标．
变式 训练
变式 训练
题型2 柱、球坐标与直角坐标的互化
例2
已知点
M
的
柱
坐
标
为
最新人教版高中数学选修4-4柱坐标系与球坐标系简介1
【做一做 1-2】 柱坐标满足方程 ρ=2 的点所构成的图形是 答案:以 z 轴所在直线为轴,以 2 为底面半径的圆柱侧面
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学习目标导航 1.1 DNA重组技术的基本工具
基础知识梳理 首 页
随堂练习 重点难点突破 典型例题剖析 S 随堂练习巩固 J 基础知识 Z 重点难点
ICHU ZHISHI
������ 2 + ������ 2 ,θ=∠POA,其中
������ 2 + ������ 2 + ������ 2 ,φ=∠ROB,θ=∠POA,其中 θ 与
柱坐标中的 θ 相同,x,y,z 的值与直角坐标中的相同. 几种三维坐标互不相同,互相有联系,互相能够转化,都是刻画空间一点 的位置,只是描述的角度不同.
3π ,2 4
π 3π 4 4
,则它的直角坐标
. 2
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学习目标导航 1.1 DNA重组技术的基本工具
基础知识梳理
重点难点突破
典型例题剖析
随堂练习巩固
1.空间直角坐标系、柱坐标系、球坐标系的联系和区别 剖析:它们都是三维的坐标,球坐标与柱坐标都是在空间直角坐标系的 基础上建立的. 在直角坐标中,我们需要三个长度 x,y,z,而在柱坐标与球坐标中,我们需 要长度,还需要角度.它们是从长度、方向来描述一个 点的位置,需要 ρ,θ,z 或者 r,φ,θ. 空间直角坐标:设点 M 为空间一已知点.我们过点 M 作三个平面分别垂直于 x 轴、y 轴、z 轴,它们与 x 轴、y 轴、z 轴的交点依次为 P,Q,R,这三点在 x 轴、y 轴、z 轴的坐标依次为 x,y,z.于是空间的一点 M 就唯 一地确定了一个有序数组 x,y,z.这组数 x,y,z 就叫做点 M 的坐标,并依次称 x,y 和 z 为点 M 的横坐标、纵坐标和竖坐标(如图所示).
人教版高中数学选修4-4教材用书第一讲 坐标系 四 柱坐标系与球坐标系简介 2.球坐标系 Word版含答案
．球坐标系球坐标系()定义：建立空间直角坐标系，设是空间任意一点，连接，记＝，与轴正向所夹的角为φ.设在平面上的射影为，轴按逆时针方向旋转到时所转过的最小正角为θ.这样点的位置，)φ就可以用有序数组表示．这样，空间的点与有序数组(，θ之间建立了一种(θ)φ，，对应关系．把建立上述对应关系的坐标系叫做球坐标系(或空间极坐标系)，有序数组(，φ，，θ)φθ)叫做点的球坐标，记作(，，其中θ≥π.≤＜≤φ≤π，()空间点的直角坐标(，，)与球坐标(，φ，θ)之间的变换关系为(\\(＝φθ，＝φθ，＝φ.))直接套用变换公式求解．由变换公式，得＝φθ＝＝.＝φθ＝＝.＝φ＝＝－.∴它的直角坐标为(，－)．已知球坐标求直角坐标，可根据变换公式直接求得，但要分清哪个角是φ，哪个角是θ.．求下列各点的直角坐标：()；().解：()由变换公式，得＝φθ＝＝，＝φθ＝＝，＝φ＝＝.∴它的直角坐标是.()由变换公式，得＝φθ＝＝－.＝φθ＝＝－.＝φ＝＝－.∴它的直角坐标为.．将点的球坐标(π，π，π)化成直角坐标．解：∵(，φ，θ)＝(π，π，π)，∴＝φθ＝，＝φθ＝，＝φ＝－π.∴点的直角坐标为(，－π).直接套用坐标变换公式求解．由坐标变换公式，可得＝＝＝.由φ＝＝，得φ＝＝，φ＝.又θ＝＝，θ＝(在第一象限)，从而知点的球坐标为.由直角坐标化为球坐标时，我们可以先设点的球坐标为(，φ，θ)，再利用变换公式(\\(＝φθ，＝φθ，＝φ，))求出，θ，φ代入点的球坐标即可；也可以利用＝＋＋，θ＝，φ＝.特别注意由直角坐标求球坐标时，θ和φ的取值应首先看清点所在的象限，准确取值，才能无误．．求下列各点的球坐标：()(，，)；()(－，－)．解：()＝＝＝，由＝φ，得φ＝＝＝.∴φ＝，又θ＝＝＝，>，>，。
人教版数学高中选修4-4《柱坐标系和球坐标系的认识》
人教版数学高中选修4-4《柱坐标系和球坐标系的认识》
人教版数学高中选修4-4《柱坐标系和球坐标系的认识》
1、柱坐标系和球坐标系的认识。
2、柱坐标系和球坐标系的应用。
详细请看本课视频。
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今天，我们要学习的课程是人教版数学高中选修4-4《柱坐标系和球坐标系的认识》。
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人教版数学高中选修4-4《柱坐标系和球坐标系的认识》。
数学选修4-4教案：（第7课）球坐标系与柱坐标系
课 题: (第7课)球坐标系与柱坐标系教学目标：1、了解在柱坐标系、球坐标系中刻画空间中点的位置的方法、了解在柱坐标系、球坐标系中刻画空间中点的位置的方法2、了解柱坐标、球坐标与直角坐标之间的变换公式。
、了解柱坐标、球坐标与直角坐标之间的变换公式。
教学重点：体会与空间直角坐标系中刻画空间点的位置的方法的区别和联系体会与空间直角坐标系中刻画空间点的位置的方法的区别和联系教学难点：利用它们进行简单的数学应用利用它们进行简单的数学应用教学方法：启发诱导，讲练结合。
启发诱导，讲练结合。
教 具：多媒体、实物投影仪：多媒体、实物投影仪教学过程：一、复习引入： 情境：我们用三个数据来确定卫星的位置，即卫星到地球中心的距离、经度、纬度。
情境：我们用三个数据来确定卫星的位置，即卫星到地球中心的距离、经度、纬度。
问题：如何在空间里确定点的位置？有哪些方法？问题：如何在空间里确定点的位置？有哪些方法？学生回顾学生回顾在空间直角坐标系中刻画点的位置的方法在空间直角坐标系中刻画点的位置的方法极坐标的意义以及极坐标与直角坐标的互化原理极坐标的意义以及极坐标与直角坐标的互化原理二、讲解新课：1、球坐标系设P 是空间任意一点，在oxy 平面的射影为Q ，连接OP ，记| OP |=r ，OP 与OZ 轴正向所夹的角为q ，P 在oxy 平面的射影为Q ，Ox 轴按逆时针方向旋转到OQ 时所转过的最小正角为j ，点P 的位置可以用有序数组),,(j q r 表示，我们把建立上述对应关系的坐标系叫球坐标系(或空间极坐标系) 有序数组),,(j q r 叫做点P 的球坐标，其中r ≥0，0≤q ≤p ，0≤j ＜2p 。
空间点P 的直角坐标),,(z y x 与球坐标),,(j q r 之间的变换关系为：之间的变换关系为：ïïîïïíì====++q j q j q cos sin sin cos sin 2222r z r y r x r z y x 2、柱坐标系设P 是空间任意一点，在oxy 平面的射影为Q ，用，用((ρ,θ)(ρ≥0,00,0≤≤θ<2π)表示点在表示点在 平面oxy 上的极坐标，点P 的位置可用有序数组的位置可用有序数组((ρ,θ,Z),Z)表示把建立上述对应关系的坐标系叫表示把建立上述对应关系的坐标系叫做柱坐标系做柱坐标系有序数组有序数组((ρ,θ,Z),Z)叫点叫点P 的柱坐标，其中ρ≥0, 00, 0≤≤θ<2π, z , z∈∈R 空间点P 的直角坐标的直角坐标(x, y, z)(x, y, z)(x, y, z)与柱坐标与柱坐标与柱坐标((ρ,θ,Z),Z)之间的变换关系为：之间的变换关系为：之间的变换关系为： 3、例题分析： 例1．建立适当的球坐标系．建立适当的球坐标系,,表示棱长为1的正方体的顶点的正方体的顶点. .变式训练：建立适当的柱坐标系建立适当的柱坐标系, , , 表示棱长为表示棱长为1的正方体的顶点的正方体的顶点. .ïîïíì===z z y x q r q r sin cos例2.2.将点将点M 的球坐标)65,3,8(p p 化为直角坐标化为直角坐标. . 变式训练变式训练1.1.将点将点M 的直角坐标)2,1,1(--化为球坐标化为球坐标. .2.2.将点将点M M 的柱坐标的柱坐标)8,3,4(p 化为直角坐标化为直角坐标. . 3. 3.在直角坐标系中点在直角坐标系中点),,(a a a a (＞0)0)的球坐标是什么的球坐标是什么的球坐标是什么? ?例3.3.球坐标满足方程球坐标满足方程r=3的点所构成的图形是什么的点所构成的图形是什么??并将此方程化为直角坐标方程并将此方程化为直角坐标方程. .变式训练变式训练标满足方程r =2的点所构成的图形是什么的点所构成的图形是什么? ?例4.4.已知点已知点M 的柱坐标为),3,4,2(p 点N 的球坐标为),2,4,2(p p 求线段MN 的长度的长度. . 三、课堂练习：在球坐标系中在球坐标系中,,集合ïîïíìþýü££££££=p j p q j q 20,20,62),,(r r M 表示的图形的体积表示的图形的体积 为多少为多少? ?四、课堂小结： 1．球坐标系的概念．．球坐标系的概念．2．空间点P 的直角坐标),,(z y x 与球坐标),,(j q r 之间的变换关系为：之间的变换关系为：ïïîïïíì====++q j q j q cos sin sin cos sin 2222r z r y r x r z y x五、课外作业：教材P15页1212，，1313，，1414，，1515，，16。
高中数学选修4-4第一讲四柱坐标系与球坐标系简介.docx
人教版高中数学选修 4-4 同步辅导第一讲 坐标系四、柱坐标系与球坐标系简介A 级基础巩固一、选择题1．空间直角坐标系 Oxyz 中，下列柱坐标对应的点在平面Oyz内的是 ( )A. 1， π，2B. 2， π，02 3C. ， π ， πD. 3 ， π ， π3 4 66 2π解析：由 P(ρ，θ，z)，当 θ＝ 2 时，点 P 在平面 Oyz 内． 答案： AM1， π π，则它的直角坐标为 () ．已知点 的球坐标为， 2 3 6A. 1， π πB. 3 3 1 3， 6 4，4 ，23 3 1 33 3 C. 4， 4，2 D.4 ，4，2 解析：设点 M 的直角坐标为 (x ，y ，z)，π π因为点 M 的球坐标为 1，3，6 ，ππ 3 所以 x ＝1·sin 3cos 6＝4，ππ3y ＝1·sin 3sin 6＝ 4 ，π 1z ＝1·cos 3＝ 2.33 1所以 M 的直角坐标为 4， 4 ，2 .答案： B3．设点 M 的直角坐标为 (2，0，2)，则点 M 的柱坐标为 ()A ．(2， 0，2)B ．(2，π，2)C ．( 2，0，2)D ．( 2，π，2)解析：设点 M 的柱坐标为 (ρ， θ，z)，所以 ρ＝ x 2＋y 2＝2，tan θ＝y＝0，x所以 θ＝0，z ＝2，所以点 M 的柱坐标为 (2，0，2)．答案： A4．在空间直角坐标系中的点M(x ， y ，z)，若它的柱坐标为π)3，，3 ，则它的球坐标为 (3π πB. 3π πA. 3， ，4 2， ， 43 3π π D. 3 2， π πC. 3， ，3 4 ， 34解析：因为 M 点的柱坐标为 π，设点 M 的直角坐标 M 3， ， 33为(x ，y ， z)．π 3π 3 3所以 x ＝3cos 3＝2，y ＝3sin 3＝2 ，z ＝3，3 3 3所以 M 点的直角坐标为 2， 2 ，3 .设点 M 的球坐标为 (γ， φ，θ)．γ是球面的半径，φ为向量 OM 在 xOy 面上投影到 x 正方向夹角，θ为向量 OM 与 z 轴正方向夹角．所以 r＝9＋27＋9＝3π2，容易知道φ＝，同时结合点 M 的4433 3 3直角坐标为2，2，3 ，z32可知 cosθ＝＝＝，π所以θ＝4，π π所以 M 点的球坐标为 3 2，3，4 .答案： B5．在直角坐标系中，点 (2，2，2)关于 z 轴的对称点的柱坐标为()，3π，πA. 2，2B. 2，22424，5π，7πC. 2，2D. 22，2244解析： (2， 2，2)关于 z 轴的对称点为 (－2，－ 2，2)，（－2）2＋（－2）2＝2 2，tanθ＝y＝－2＝1，x －2因为点 (－2，－ 2)在平面 Oxy 的第三象限内，5π所以θ＝4，5π所以所求柱坐标为 2 2，4，2 .答案： C二、填空题π 3π6．已知点 M 的球坐标为 4，4，4，则它的直角坐标为 _______，它的柱坐标是 ________．答案：－，，，3π22)2，2 2(2224．已知在柱坐标系中，点M 的柱坐标为2，2π，5，且点 M73在数轴 Oy 上的射影为 N，则 |OM|＝________，|MN |＝________．解析：设点 M 在平面 Oxy 上的射影为 P，连接 PN，则 PN 为线段MN 在平面 Oxy 上的射影．因为 MN ⊥直线 Oy，MP⊥平面 Oxy，所以 PN⊥直线 Oy.2π所以 |OP|＝ρ＝2，|PN|＝ρcos 3＝1，所以 |OM|＝ρ2＋z2＝22＋（5）2＝3.在Rt△MNP 中，∠ MPN ＝90°，所以 |MN|＝ |PM|2＋|PN|2＝（5）2＋12＝ 6.答案： 36．已知点M 的球坐标为，π，3π，则点 M 到 Oz 轴的距离8444为________．解析：设点 M 的直角坐标为 (x，y，z)，π3π则由 ( r，φ，θ)＝4，4，4，π3π知x＝4sin4 cos 4＝－ 2，π3πy＝4sin4 sin 4＝2，πz＝4cos4＝2 2，所以点 M 的直角坐标为 (－2， 2，2 2)．故点 M 到 Oz 轴的距离为（－ 2） 2＋22＝2 2.答案： 2 2三、解答题9．设点 M 的直角坐标为 (1，1，2)，求点 M 的柱坐标与球坐标．解：由坐标变换公式，可得ρ＝ x 2＋y 2＝ 2，ytan θ＝x ＝1，πθ＝ 4(点 1，1)在平面 xOy 的第一象限．r ＝ x 2＋y 2＋z 2＝ 12＋12＋（ 2）2＝2.2 2 π由 rcos φ＝z ＝ 2(0≤φ≤π)，得 cos φ＝ r ＝2 ，φ＝4.π 2 ，球坐标为 π π所以点 M 的柱坐标为2， 4， 2，4， 4 . ．在柱坐标系中，点 M 的柱坐标为 2，2π， 5 ，求点 M 到 10 3原点 O 的距离．解：设点 M 的直角坐标为 (x ， y ，z)． 由 ρ，θ， ＝ ，2π，5 知(z)2 32 2 3，x ＝ ρcos θ＝2cosπ＝－ 1，y ＝2sin π＝33因此 |OM|＝x 2＋y 2＋z 2＝ （－ 1）2＋（ 3）2＋（ 5）2＝3.B 级能力提升1．空间点 P 的柱坐标为 (ρ，θ，z)，点 P 关于点 O(0， 0，0)的对称点的坐标为 (0<θ≤π)()人教版高中数学选修4-4 同步辅导A．(－ρ，－θ，－ z) C．(ρ，π＋θ，－ z)B．(ρ，θ，－ z) D．(ρ，π－θ，－ z)解析：点 P(ρ，θ，z)关于点 O(0，0， 0)的对称点为 P′(ρ，π＋θ，－ z)．答案： C2．以地球中心为坐标原点，地球赤道平面为 Oxy 坐标面，由原点指向北极点的连线方向为z 轴正向，本初子午线所在平面为Ozx 坐标面，如图所示，若某地在西经 60°，南纬 45°，地球的半径为R，则该地的球坐标可表示为 ________．解析：由球坐标的定义可知，该地的球坐标为3π5π，，.R433π5π答案： R，4，3ρ＝1，3．在柱坐标系中，求满足0≤θ<2π，的动点 M （ρ，θ，z）围0≤z≤ 2成的几何体的体积．解：根据柱坐标系与点的柱坐标的意义可知，满足ρ＝1，0≤θ<2π， 0≤z≤2 的动点 M (ρ，θ，z)的轨迹如图所示，是以直线 Oz 为轴、轴截面为正方形的圆柱，圆柱的底面半径 r＝1，h＝2，人教版高中数学选修4-4 同步辅导所以 V＝Sh＝π r2h＝ 2π.。
高中数学第一讲四柱坐标系与球坐标系简介1柱坐标系课件新人教A版选修4-4
将直角坐标化为柱坐标
[例 1] 设点 A 的直角坐标为(1， 3，5)，求它的柱坐标． [思路点拨] 由公式求出 ρ，再由 tan θ＝xy求 θ.
已知点的直角坐标，确定它的柱坐标关键是确定ρ和 θ，尤其是θ，要注意求出tan θ后，还要根据点所在象限 确定θ的值(θ的范围是[0,2π))．
1．点A的直角坐标为(1,1,1)，求它的柱坐标．
四
柱坐标系与球坐标系简介
1．柱坐标系
柱坐标系 (1)定义：建立空间直角坐标系 Oxyz，设 P 是空间任意一点，它在 Oxy 平面上的射影为 Q，用(ρ，θ)(ρ≥0,0≤θ＜2π)表示点 Q 在平面 Oxy 上的极坐标，这时点 P 的位置可用有序数组 (ρ，θ，z) (z∈R)表示．这 样，我们建立了空间的点与有序数组(ρ，θ，z)之间的一种对应关系．把 建立上述对应关系的坐标系叫做柱坐标系，有序数组(ρ，θ，z)叫做点 P 的柱坐标，记作 P(ρ，θ，z) ，其中_ρ_≥__0_,_0_≤__θ_＜__2_π_，__z_∈__R_.
解：ρ2＝x2＋y2＝12＋12＝2，∴ρ＝ 2， 又tan θ＝1，x>0，y>0，点在第一象限．
∴θ＝π4，
∴点A的柱坐标为
பைடு நூலகம்
2，π4，1.
将点的柱坐标化为直角坐标
[例 2] 已知点 P 的柱坐标为4，π3，8，求它的直角坐标． [思路点拨] 直接利用公式求解．
已知柱坐标，求直角坐标，利用变换公式
x＝ρcos θ， y＝ρsin θ， z＝z
即可．
3．点N的柱坐标为2，π2，3，求它的直角坐标．
x＝ρcos θ， 解：由变换公式y＝ρsin θ， 得
z＝z， x＝ρcos θ＝2cosπ2＝0，y＝ρsin θ＝2·sinπ2＝2， 故点 N 的直角坐标为(0,2,3)．
人教A版高中数学选修4-4 1-4 柱坐标系与球坐标系简介
4．点A的柱坐标是 ，则它的直角坐标是.
﹡5．点M的球坐标是 ，则它的直角坐标是.
6.点P的直角坐标是 ，则它的柱坐标是.
﹡7．在球坐标系中， 与 两点间的距离是.
反思总结
1.知识建构
2.能力提高
3.课堂体验
课后练习
同步练习金考卷
在地球仪上，如何确定一个城市的准确位置？
学做思二
问题2.什么叫柱坐标系?空间点P的直角坐标 与柱球坐标P(ρ,θ,Z)之间有什么变换关系？
问题3.什么叫球坐标系?空间点P的直角坐标(x, y, z)与球柱坐标 之间有什么变换关系？
学做思三
技能提炼
1．将下列各点的柱坐标化为直角坐标： .
2．将下列各点的球坐标化为直角坐标： .
﹡3．将下列各点的直角坐标化为球坐标： .
4．建立适当的柱坐标系与球坐标系，表示棱长为3的正四面体的四个顶点.
反思：柱坐标系与球坐标系有什么好处？
它们针对于哪种类型的问题更实用？
达标检测
变式反馈
1.设M的球坐标为 ，则它的柱坐标为.
2.在球Байду номын сангаас标系中， 与 两点间的距离是.
3.球坐标满足方程 的点所构成的图形是什么？
课题名称
1.4球坐标系与柱坐标系
三维目标
学习目标
1.了解在柱坐标系、球坐标系中刻画空间中点的位置的方法；
2.了解柱坐标、球坐标与直角坐标之间的变换公式。
重点目标
了解在柱坐标系、球坐标系中刻画空间中点的位置的方法
导入示标
难点目标
了解柱坐标、球坐标与直角坐标之间的变换公式
目标三导
学做思一：
自学探究
问题1.在圆形体育场内，如何确定看台上某个座位的位置？
最新人教版高中数学选修4-4《柱坐标系与球坐标系简介》预习导航
预习导航请沿着以下脉络预习：1．柱坐标系(1)定义：建立空间直角坐标系Oxyz ，设P 是空间任意一点，它在Oxy 平面上的射影为Q ，用(ρ，θ)(ρ≥0,0≤θ＜2π)表示点Q 在平面Oxy 上的极坐标．这时点P 的位置可用有序数组(ρ，θ，z )(z ∈R )表示．这样，我们建立了空间的点与有序数组(ρ，θ，z )之间的一种对应关系，把建立上述对应关系的坐标系叫做柱坐标系，有序数组(ρ，θ，z )叫做点P 的柱坐标，记作P (ρ，θ，z )，其中ρ≥0,0≤θ＜2π，－∞＜z ＜＋∞.(2)空间点P 的直角坐标(x ，y ，z )与柱坐标(ρ，θ，z )之间的变换公式为⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ，z ＝z .2．球坐标系(1)定义：建立空间直角坐标系Oxyz ，设P 是空间任意一点，连接OP ，记|OP |＝r ，OP 与Oz 轴正向所夹的角为φ，设P 在Oxy 平面上的射影为Q ，Ox 轴按逆时针方向旋转到OQ 时所转过的最小正角为θ.这样点P 的位置就可以用有序数组(r ，φ，θ)表示．这样，空间的点与有序数组(r ，φ，θ)之间建立了一种对应关系．把建立上述对应关系的坐标系叫做球坐标系(或空间极坐标系)，有序数组(r ，φ，θ)叫做点P 的球坐标，记作P (r ，φ，θ)，其中r ≥0，0≤φ≤π，0≤θ＜2π.(2)空间点P 的直角坐标(x ，y ，z )与球坐标(r ，φ，θ)之间的变换关系为⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝r sin φcos θ，y ＝r sin φsin θ，z ＝r cos φ.1．点M 的直角坐标为(3，1，－2)，则它的柱坐标为( )．A ．⎝⎛⎭⎫2，π6，2B ．⎝⎛⎭⎫2，π3，2 C ．⎝⎛⎭⎫2，π6，－2 D ．⎝⎛⎭⎫2，－π6，－2 答案：C解析：ρ＝(3)2＋12＝2，tan θ＝13＝33， ∴点M 的柱坐标为⎝⎛⎭⎫2，π6，－2. 2．点M 的直角坐标为(3，1，－2)，则它的球坐标为( )．A ．⎝⎛⎭⎫22，3π4，π6B ．⎝⎛⎭⎫22，π4，π6C ．⎝⎛⎭⎫22，π4，π3D ．⎝⎛⎭⎫22，π6，3π4 答案：A解析：r ＝x 2＋y 2＋z 2＝2 2.由r cos φ＝z ＝－2，得cos φ＝－22，φ＝34π. 又tan θ＝y x ＝33，θ＝π6， 从而得M 点的球坐标为⎝⎛⎭⎫22，34π，π6. 3．空间点P 的柱坐标为⎝⎛⎭⎫6，π3，4，则点P 关于z 轴的对称点为________． 答案：⎝⎛⎭⎫6，4π3，4 4．如图所示，一个底面半径为r ，高为h 的圆柱OO ′，四边形ABCD 是其轴截面，EF 是圆柱的一条母线，且∠BOE ＝π4，试建立适当的柱坐标系，求A ，C 的坐标．解：如图所示，建立柱坐标系．则A 点的柱坐标为⎝⎛⎭⎫r ，3π2，0，C 点的柱坐标为⎝⎛⎭⎫r ，π2，h .。
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1.5 柱坐标系和球坐标系
课前导引
问题导入
一个圆形体育馆，自正东方向起，按逆时针方向等分为十六个扇形区域，顺次记为一区，二区,…,十六区，我们设圆形体育场第一排与体育中心的距离为500 m ，每相邻两排的间距为1 m ，每层看台的高度为0.7 m ，现在需要确定第九区第四排正中的位置A ，请建立适当的坐标系，把点A 的坐标求出来.
解:以圆形体育场中心O 为极点，选取以O 为端点且过正东入口的射线Ox 为极轴，在地面上建立极坐标系.则点A 与体育场中轴线Oz 的距离为504 m ，极轴Ox 按逆时针方向旋转1617π,就是OA 在地平面上的射影.A 距地面的高度为2.8 m ，因此我们可以用柱坐标来表示点A 的准确位置.
∴点A 的柱坐标为(504,16
17π,2.8) 点评:找空间中一点的柱坐标，与找平面极坐标是类似的，需要确定极径、极角，只是比平面极坐标多了一个量，即点的空间中的高度.
本节就讨论空间坐标系及其在解题中的应用.
知识预览
1.点P 的柱坐标(ρ,θ,z)中,ρ∈__________,θ∈__________,z ∈__________.
2.柱坐标系又称__________,它是由__________及空间直角坐标系中的一部分建立起来的.
3.球坐标系又称_________,点P 的球坐标(r,φ,θ)中,r ∈________,θ∈_________,φ∈_________. 4空间点P 的直角坐标(x,y,z)与柱坐标(ρ,θ,z)之间的变换公式为__________.
5空间点P 的直角坐标(x,y,z)与球坐标(r,φ,θ)之间的变换公式为__________.
答案：1.［0+∞) ［0,2π) R
2.平面上的极坐标 与平面垂直的直角坐标
3.球面上的极坐标 ［0，+∞) ［0,2π) ［0,π］
4.⎪⎩
⎪⎨⎧===.,sin ,cos z z y x θρθρ
5.⎪⎩
⎪⎨⎧===.cos ,sin sin ,cos sin ϕθϕθϕr z r y r x。