第6章位移法和力矩分配法

464 Z1 23i 2656 Z2 23i
5）求出控制截面内力，并绘内力图
例6-2如图所示刚架的支座A下沉Δ，试 用位移法计算此刚架并绘制内力图。
解：基本未知量为节点C的角位移Z1。
利用表5-1写出各杆杆端内力如下：
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解得：
B
A
SAB
i
A 1
c) SAB=i，远端为滑动支 座。 d) SAB=0，远端为滚轴 支座，沿杆轴布臵。
A
SAB
i
A 1
B
当A端产生单位转角时，A端无线位移。转动 刚度SAB只取决于远端支承条件及杆件的线刚 度。
二、分配系数
用位移法求解右图示 结构，未知量为1 。 杆端弯矩表达式：
三、位移法计算原理思路小结
1. 把结构在非支座结点处拆开，将各杆视为相应 的单跨超静定梁。使这些梁承受原荷载，并在杆 端发生于实际情况相同的位移，据此写出各杆端 内力表达式。
2. 将各杆件组合成原结构。此时，除考虑结构的 变形协调，即各杆的杆端位移与连接该杆的结点 位移相等外，还应考虑刚结点的力矩平衡条件及 结构某些部分的投影条件（一般为横梁部分的剪 力平衡条件）。利用与基本未知量数量相同的方 程求解结点位移。
（1）忽略轴向变形和剪切变形。
（2）弯曲变形微小，直杆弯曲后两端点的距 离不变。 对于一般的刚架，其独立的结点线位移数目可 以直接观察确定。对于形式较复杂的刚架，可以采 用“铰化结点、增设链杆”的方法来确定其独立的 结点线位移数目。
2. 确定方法——铰化结点，增设链杆 把刚架的所用刚结点和固定支座改为铰结 点和铰支座，为使该铰结体系变为几何不变 体系所需增设的最少支承链杆，即为原结构 独立的结点线位移个数。
第6章 位移法和力矩分配法
§6-1 位移法的基本概念 §6-2 位移法基本未知量的确定
§6-3 位移法的计算步骤和示例
§6-5 力矩分配法的基本概念
§6-6 用力矩分配法计算连续梁和 无结点线位移刚架 §6-7 超静定结构的受力分析和变形特点
§6-1 位移法的基本概念
一、 引言
对于线弹性结构，其内力与位移之间存在着一一 对应的关系，确定的内力只与确定的位移相对应。 因此，在分析超静定结构时，既可以先设法求出多 余约束力，然后再计算相应的位移这便是力法；也 可以反过来，先确定某些结点位移，再据此推求内 力，这便是位移法。
总基本未知量（7）=独立角位移（5）+独立线位移（2）
总基本未知量（3）=独立角位移（2）+独立线位移（1）
三、位移法的基本未知量数目的确定
位移法基本未知量的总数 = 结点独立角位移未知量的数目 + 结点独立线位移未知量的数目
如果需要考虑二力杆轴向变形的影响，在把刚架变 成铰结体系计算结点位移数量时，不应将该杆当作刚 性链杆，而应将其撤去。
在位移法分析中，需要解决的三个问题：
1. 确定杆件的杆端内力与杆端位移及杆上荷载 之间的函数关系（即杆件分析或单元分析）。 2. 选取结构上哪些结点位移作为基本未知量。 3. 建立求解这些基本未知量的位移法方程（即 整体分析）。
§6-2 位移法基本未知量的确定
位移法以结构结点（不包括支座结点）的独 立角位移和独立线位移作为基本未知量。
(1)
(1)
M1i 1i M 近端弯矩称为分配弯矩。
对某结点，各杆分配系数之代数和为1，即：

(1)
1i
1
三、传递系数
当近端有转角时（无线位移），远端弯矩 与近端弯矩的比值称为传递系数，用C表示。
M 21 2i121 1 C12 M12 4i121 2
M 31 i131 C13 1 M 13 i131
1）AB杆
2 EI M AB Z1 l 4 EI M BA Z1 l
2）BC杆
M BC 3EI 3 Z1 FPl , M CB 0 l 16
3. 通过B结点的平衡条件求出Z1 由B结点的平衡可得
M BA M BC 0
3 4 EI 3EI Z1 FPl 0 l 16 l
一、转动刚度S
下面讨论等截面直杆的转动刚度。
转动刚度表示杆端对转动的抵抗能力，在数 值上等于使杆端产生单位转角（无线位移）时 所需施加的力矩。用符号S表示，见下面各图。
施力端为近端 ，另一端为远端。
A SAB
i
B
A 1
a) SAB=4i，远端为固端
A
SAB
A 1
i
B
b) SAB=3i，远端为滚轴 支座或铰支座。
3i Z2 4 3i 3i Z Z2 2 2 4 16
FQCD FQDC
3）列隔离体平衡方程
B结点：
M BA M BC 0
柱顶隔离体BC：
FQBA FQCD 30 0
4）联立求解上两方程 将由转角位移方程写出的相关杆端内力代 入上两方程，得 3 7iZ1 iZ 2 32 0 2 3 15 iZ1 iZ 2 78 0 2 16 解得
二、示例1
1. 确定基本位移未知量
图a所示两跨常刚度连续梁，抗弯刚度为EI。
忽略二杆的轴向变形，B结点不会发生线位移， 而仅会产生角位移，设此角位移为Z1。因B结点刚 结两梁段于B端，从而保证两梁段在B端有相同的 角位移，均为Z1。
2. 分列各组成杆的转角位移方程
AB和BC二杆在B端具有相同的角位移和零线位 移后，因此可将二杆在B端处分开，单独分析。
3FPl 2 Z1 112EI
4. 将Z1代回转角位移方程，求出各杆端弯矩
M AB 2 EI 3FPl 2 3 FPl l 112EI 56 M BC M BA 4 EI 3FPl 2 3 FPl l 112EI 28
3EI 3FPl 2 3 3 FPl FPl l 112EI 16 28
三、其他示例
小结： 1）位移法的基本未知量是结构内部结点（ 不 包括支座结点）的转角或线位移。 2）选取内部结点的位移作为未知量就满足了 变形协调条件；位移法方程是平衡方程，满足 平衡条件。 3）若有n个转角位移量，相应以刚结点建立n 个力矩平衡方程；若有m个独立的结点线位移 未知量，则需考虑某些横梁（包括柱端）部分 的平衡建立m个投影平衡方程。 4）位移法的基本结构可看作为单跨超静定梁 的组合体系。
一、角位移
结构有几个刚结点(包括组合结点)就有几个结 点转角未知量。（若有静定部分先去掉）
B
A C
B
C
D
A
独立的结点角位移数目为1
独立的结点角位移数目为2
A
B C D
A
B
C
D
独立的结点角位移数目为2
E
E
F
G
独立的结点角位移数目为3
独立的结点角位移数目为2
独立的结点角位移数目为2
二、线位移
1. 假设 对于由受弯直杆组成的结构，在确定独立 线位移个数时通常假设：
4kN/m A EI 8kN 2l 2EI D 3l B 4EI C
l
l
形常数
FP =1 A l B 4i 2i A l/2 l B
载常数
FP l /8 FP l /8
A
B
6 i /l A 6 i /l
q B l
q l 2/12
ql 2/12
l
1
=1 A l B 3i A
q B l
ql 2/8
例6-1 试用位移法计算图示刚架(P115)。
30kN Z1 B C Z2
24N/mຫໍສະໝຸດ EI =常数 A D解：1）确定基本未知量数目。 该体系有两个位移法基本未知量，如图所示。 分别为B结点的转角Z1和C结点的水平线位移Z2。
2）根据转角位移方程写出个杆 端内力。 AB杆 M AB 2iZ1 6 iZ 2 1 24 4 2
6i 3i 1 3i 3i Z1 Z 2 24 4 Z1 Z 2 48 4 4 2 2 4
BC杆
M BC 3iZ1
M CB M CD 0
3i Z1 4
Z2 30kN B Z1 Z1 C
Z2
24N/m
A
FQBC FQCB
D
CD杆
M DC
M 12 4i121 S121 M 13 i131 S131 M 14 3i141 S141 M 15 3i151 S151 S12 4i12 S13 i13 S14 3i14 S15 3i15
平衡方程为：
M
A
0
M12 M13 M14 M15 M (S12 S13 S14 S15 )1 M
4 12 3 2iZ1 iZ 2 32 2
Z2 30kN B Z1 Z1 C
Z2
24N/m
A
D
6 1 3 M BA 4iZ1 iZ 2 24 4 2 4iZ1 iZ 2 32 4 12 2
FQAB FQBA 6i 3i 1 3i 3i Z1 Z 2 24 4 Z1 Z 2 48 4 4 2 2 4
M M 1 S12 S13 S14 S15 S
(1)
回代求杆端弯矩：
S12 M12 S121 = M =12 M S
(1)
S12 12 S
(1)
S13 M13 S131 = M =13 M S
(1)
S13 13 S
(1)
S14 M14 S141 = M =14 M S
两种方法的基本区别之一，在于基本未知量的 选取不同：力法是以多余未知力（支反力或内力） 为基本未知量，而位移法则是以结点的独立位移 （角位移或线位移）为基本未知量。 用位移法分析结构时，先将结构拆分成单个 的杆件，进行杆件受力分析（建立杆件的转角 位移方程）；再将杆件组装成原结构，利用结 点和截面平衡条件建立位移法方程，解出结点 位移，再由转角位移方程求出内力。