概率论第三讲
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概率论与数理统计第3讲
6
6
定义 1.2 设P(A)>0，则B对A的条件概率为
P( AB ) P( B | A) P( A) (1.10)
7
7
P( AB ) P( B | A) P( A)
(1.10)
但是不要以为通常的概率论问题都是根据式 (1.10)计算条件概率的，其实不然。在解 决许多问题时，条件概率是通过对试验 进行控制而更改了样本空间而得到的， 就是说，修改随机试验使得那个条件事 件A上升为必然事件或者新的样本空间， 然后再通过试验、思考或者计算得到 P(B|A)。
18
18
P( AB ) P( B | A) P( A)
(1.10)
因为如此，所以经常倒是利用式(1.10)来计算 P(AB)，即有如下的乘法法则： 定理 1.7 (乘法法则) 对两个事件A,B, 设 P(A)>0，则下式成立： P(AB)=P(A)P(B|A) (1.11)
19
19
P(AB)=P(A)P(B|A) (1.11) 这样的乘法法则可以推广到三个甚至更 多个事件上去。例如对于事件A，B，C， 就有 P(ABC)=P(A)P(B|A)P(C|AB) 这是因为上式右边头两项的乘积就是 P(AB)，再利用一次公式(1.11)就可得结 果。
22
22
而这道题当然也可以完全用古典概型的办法 来算，考虑上面的P(A)和P(B|A)乘到一起 5 4 就是 8 7 分母上正好是8个元素取两个的排列数， 是有次序地抽两个球的基本事件总数， 而分子上则是5个白球取两个的排列数， 这是在一个56个基本事件的试验中进行 计算，当然思考就复杂一些。
A C B
图1-3
28
28
从图中不难看出，事件A和B都是压住了内接 圆的一半，所以 1 P( A | C ) P( B | C ) 2
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定义 1.2 设P(A)>0，则B对A的条件概率为
P( AB ) P( B | A) P( A) (1.10)
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7
P( AB ) P( B | A) P( A)
(1.10)
但是不要以为通常的概率论问题都是根据式 (1.10)计算条件概率的，其实不然。在解 决许多问题时，条件概率是通过对试验 进行控制而更改了样本空间而得到的， 就是说，修改随机试验使得那个条件事 件A上升为必然事件或者新的样本空间， 然后再通过试验、思考或者计算得到 P(B|A)。
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P( AB ) P( B | A) P( A)
(1.10)
因为如此，所以经常倒是利用式(1.10)来计算 P(AB)，即有如下的乘法法则： 定理 1.7 (乘法法则) 对两个事件A,B, 设 P(A)>0，则下式成立： P(AB)=P(A)P(B|A) (1.11)
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P(AB)=P(A)P(B|A) (1.11) 这样的乘法法则可以推广到三个甚至更 多个事件上去。例如对于事件A，B，C， 就有 P(ABC)=P(A)P(B|A)P(C|AB) 这是因为上式右边头两项的乘积就是 P(AB)，再利用一次公式(1.11)就可得结 果。
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而这道题当然也可以完全用古典概型的办法 来算，考虑上面的P(A)和P(B|A)乘到一起 5 4 就是 8 7 分母上正好是8个元素取两个的排列数， 是有次序地抽两个球的基本事件总数， 而分子上则是5个白球取两个的排列数， 这是在一个56个基本事件的试验中进行 计算，当然思考就复杂一些。
A C B
图1-3
28
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从图中不难看出，事件A和B都是压住了内接 圆的一半，所以 1 P( A | C ) P( B | C ) 2
概率论第03讲
0.75
A
0.95
B
0.95
D
0.70
H
0.95
G
0.75
E
0.70
15
C
0.70
F
0.75
A
0.95
B
0.95
D
0.70
H
0.95
G
0.75
E
0.70
解：将电路正常工作记为W，由于各元件独立 将电路正常工作记为 ， 工作， 工作，有 P(W ) = P( A)P(B)P(C ∪ D ∪ E)P(F ∪ G)P( H ) 其中 P(C ∪ D ∪ E) = 1 − P(C)P( D)P( E) = 0.973
B3 B1 A B4 B2 B7 B5 B6 B8
17
P(A) = ∑ P(AB i )
i =1
n
= ∑ P ( Bi ) P ( A | Bi )
i =1
n
定义
为试验S的样本空间 的样本空间， 设 Ω 为试验 的样本空间，B1,…Bn为S 的一组事件。 的一组事件。若
（1） ） （2） ）
B1,…Bn互不相容，i=1,…,n 互不相容，
B3 B1 A B4 B2 B7 B5 B6 B8
22
诸Bi是原因 A是结果 是结果
发报机发出“ 的概率为 的概率为0.6，发出“ 的 例7 发报机发出“.”的概率为 ，发出“—”的 概率为0.40；收报机将“.”收为“.”的概率为 ；收报机将“ 收为 收为“ 的概率为 的概率为0.99， 概率为 ， 收为“ 的概率为 的概率为0.02。求收报机将任一 将“—”收为“.”的概率为 收为 。 信号收为“ 的概率 信号收为“.”的概率 .
9
A
0.95
B
0.95
D
0.70
H
0.95
G
0.75
E
0.70
15
C
0.70
F
0.75
A
0.95
B
0.95
D
0.70
H
0.95
G
0.75
E
0.70
解：将电路正常工作记为W，由于各元件独立 将电路正常工作记为 ， 工作， 工作，有 P(W ) = P( A)P(B)P(C ∪ D ∪ E)P(F ∪ G)P( H ) 其中 P(C ∪ D ∪ E) = 1 − P(C)P( D)P( E) = 0.973
B3 B1 A B4 B2 B7 B5 B6 B8
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P(A) = ∑ P(AB i )
i =1
n
= ∑ P ( Bi ) P ( A | Bi )
i =1
n
定义
为试验S的样本空间 的样本空间， 设 Ω 为试验 的样本空间，B1,…Bn为S 的一组事件。 的一组事件。若
（1） ） （2） ）
B1,…Bn互不相容，i=1,…,n 互不相容，
B3 B1 A B4 B2 B7 B5 B6 B8
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诸Bi是原因 A是结果 是结果
发报机发出“ 的概率为 的概率为0.6，发出“ 的 例7 发报机发出“.”的概率为 ，发出“—”的 概率为0.40；收报机将“.”收为“.”的概率为 ；收报机将“ 收为 收为“ 的概率为 的概率为0.99， 概率为 ， 收为“ 的概率为 的概率为0.02。求收报机将任一 将“—”收为“.”的概率为 收为 。 信号收为“ 的概率 信号收为“.”的概率 .
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概率论与数理统计第3讲
3
一般地, 对于A,B两个事件, P(A)>0, 在事件A发 生的条件下事件B发生的概率称为条件概率 条件概率, 条件概率 记为P(B|A).
4
例1 一个家庭中有两个小孩, 已知其中一个是 女孩, 问另一个也是女孩的概率是多少(假定 男生女生是等可能的)? 解 由题意, 样本空间为 Ω={(男,男),(男,女),(女,男),(女,女)} A表示事件"其中一个是女孩", B表示事件"两 个都是女孩", 则有 A={(男,女),(女,男),(女,女)} B={(女,女)} 由于事件A已经发生, 所以这时试验的所有可 能结果只有三种, 而事件B包含的基本事件只 占其中的一种, 所以有P(B|A)=1/3.
20
例5 已知某厂家的一批产品共100件, 其中有5 件废品. 为慎重起见, 某采购员对产品进行不 放回的抽样检查, 如果在被他抽查的5件产品 中至少有一件是废品, 则他拒绝购买这一产品. 求采购员拒绝购买这批产品的概率. 解设 Ai={被抽查的第i件产品是废品}, i=1,2,3,4,5, A={采购员拒绝购买}, 5 则 A= A
17
例3 活到50岁的概率为0.90718, 活到51岁的概 率为0.90135. 问现在已经50岁的人, 能够活到 51岁的概率是多少? 解 记A={活到50岁}, B={活到51岁}. 则B⊂A. 因此, AB=B. 要求P(B|A). 因为P(A)=0.90718, P(B)=0.90135, P(AB)=P(B)=0.90135, 从而 P ( AB ) 0.90135 P ( B | A) = = ≈ 0.99357 P ( A) 0.90718 由此可知, 该城市的人在50岁到51岁之间死亡 的概率约为0.00643. 在平均意义下, 该年龄段 中每千个人中约有6.43人死亡. 18
概率论第三讲
P( A∪ B) = P( A) + P(B) P( AB) = 0.8
P ( A B ) = P( A ∪ B) = 0.2
陕西科技大学
3 September 2007
第一章 随机事件与概率
第11页
课后同学问： 上例 中小王他能答出第一类问题的概 率为0.7, 答出第二类问题的概率为0.2, 两 类问题都能答出的概率为0.1. 为什么不是 0.7×0.2 ？ 若是的话, 则应有 P ( A1 A2 ) = P ( A1 ) P ( A2 ) 而现在题中并未给出这一条件. 在§1.5中将告诉我们上述等式成立的 条件是 ：事件A1，A2 相互独立.
3 September 2007
陕西科技大学
第一章 随机事件与概率
第16页
思考题
口袋中有2个白球，每次从口袋中随 机地摸出一球，并换入一只黑球. 求第k 次取到黑球的概率.
3 September 2007
陕西科技大学
第一章 随机事件与概率
第17页
例1.3.4
一颗骰子掷4次，求至少出现一次6点的概率. 解：用对立事件进行计算, 记 A=“至少出现一次6点”， 则所求概率为
3 September 2007
陕西科技大学
第一章 随机事件与概率
第20页
利用对称性
甲掷硬币n+1次，乙掷n次. (习题1.3第10题) 求甲掷出的正面数比乙掷出的正面数多的概率. 解：记甲正=甲掷出的正面数，乙正=乙掷出的正面数. 甲反=甲掷出的反面数，乙反=乙掷出的反面数. 因为 P(甲正>乙正)= P(n+1-甲反> n-乙反) = P(甲反-1<乙反)= P(甲反≤乙反) (对称性) = 1P(甲正>乙正) 所以 2P(甲正>乙正)=1, 由此得 P(甲正>乙正)=1/2
北邮研究生概率论第三讲解析
9/19/2019
北京邮电大学电子工程学院
（1.2.6）
15
引理1.2.3 A *满足：
（2）若An A*，n 1,2,，Ai Aj ，i j
A An，故对D ，有 *AD *AnD
n1
n1
证明：由 A *是 代数，则 A An A *
北京邮电大学电子工程学院
6
（3）若An ，n 1,2,
若 * An ， 则结论显然成立。
n1
若 * An :
n1
由定义： *
An
inf
k1
Ank
：An
k 1
Ank
,
Ank
A
0和每个An，Ank A，k 1,2,，使得：
v* D v* A1D v* A1D
v* A1D v* A1A2D v* A1 A2D
v* A1D v* A1A2D v* A1 A2 An1AnD v* A1 A2 An1 AnD
n1
D ，有：
*
D
*
An
D
*
An D
n1
n1
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16
由前面的结论，有:
*
D
*
An D
概率论第三讲
第三讲§4 乘法公式，全概率公式，贝叶斯公式及其应用 1. 条件概率和事件的独立性在配对问题中，如何解决第二个问题？如果记事件k A 表示k 个人拿到自己的帽子，k B 表示其余n k -个人没有一个拿到自己的帽子，则所求事件即为k k A B ，问题即要计算Pr()k k A B 。
如果从古典概率角度来理解：#()##()Pr()###k k k k k k k kA B A A B A B S S A ==，前一项是事件k A 的概率，而后一项可以认为是把k A 作为样本空间，事件k k A B 的概率，这个概率也称为k A 发生的条件下，事件k B 发生的条件概率，记为Pr(|)k k B A 。
这个想法希望能在一般的概率问题中应用，所以引入条件概率这个概念。
定义 （条件概率）如果Pr()0A >，则称Pr()Pr()AB A 为事件B 关于事件A 的条件概率，记为Pr(|)B A 。
从概率空间出发来理解条件概率。
给定概率空间(,,)S P F ，对给定的事件A ，可定义样本空间和事件域：(,)A A F ，相应的条件概率空间(,,(|))A A P A ⋅F 可按如下方式定义：B A ∈F ，则Pr()Pr(|)Pr()AB B A A =。
容易证明，这是一个概率空间。
1）非负性：0)|(≥A B P ； 2）规范性：1)|(=A S P ；3）可列可加性：∑∞=∞==11)|()|(k k k k A B P A B P ，这里φ=j i B B ，j i ≠。
下面考虑一个简单的问题，来帮助理解条件概率。
例 1 抛掷硬币两次，已知事件A “正面至少出现一次”发生。
求两次得到同一面的事件B 概率。
解 从定义容易计算：3()4P A =，1()4P AB =，则31)|(=A B P 。
从另一角度看，所谓已知事件A ，即样本空间已缩小为)}1,0(),1,1(),0,1{(。
现代概率论03：测度空间（1）
现代概率论03：测度空间（1）⽬录第三讲 测度空间(1)2.1 测度的定义及性质2.1.1 测度的公理化定义本节主要讨论测度的定义及性质，在此之前需要引⼊⼏个概念：⾮负集函数：给定空间 X 上的集合系 E ，将定义在 E 上，取值于 [0,∞] 上的函数称为⾮负集函数，常⽤希腊字母 µ,ν,τ,⋯ 来表⽰。
可列可加性：如果对任意可列个两两不交的集合 {A n ∈E,n ≥1} 满⾜ ∞⋃n =1A n ∈E ，均有µ∞⋃n =1An=∞∑n =1µ(An ),则称⾮负集函数 µ 具有可列可加性。
有限可加性：如果对任意有限个两两不交的集合 {A k ∈E,1≤k ≤n } 满⾜ n⋃k =1Ak∈E ，均有µn⋃k =1Ak=n∑k =1µ(Ak ),则称⾮负集函数 µ 具有有限可加性。
可减性：如果对 ∀A ,B ∈E ，满⾜ A ⊂B ，且有 B −A ∈E ，只要 µ(A )<∞ ，就有µ(B −A )=µ(B )−µ(A ),则称⾮负集函数 µ 具有可减性。
本节的核⼼是测度的公理化定义，具体如下：测度的公理化定义：指的是在抽象空间的集合上建⽴的测度。
设 E 是 X 上的集合系，且 ∅∈E 。
若 E 上的⾮负集函数 µ 满⾜：(1) µ(∅)=0 ；(2) 可列可加性，则称 µ 为 E 上的测度。
若 µ(A )<∞, ∀A ∈E ，则称测度 µ 为有限测度。
()()若 ∀A ∈E ，存在 {A n ∈E,n ≥1} ，使得 ∞⋃n =1An⊃A ，则称测度 µ 为 σ 有限测度。
命题 2.1.1：测度具有有限可加性和可减性。
命题 2.1.2：设 X ⊂R, E =Q R ，F 是 R 上⾮降右连续的实值函数。
概率论与数理统计3讲
基本事件数m C52,则
P( A)
m n
C52 C82
5 4 1 2 1 2 8 7
5 0.357 14
例2 一批产品共200个, 废品有6个, 求(1)这批 产品的废品率; (2)任取3个恰有一个是废品 的概率;(3)任取3个全非废品的概率
解求的设概P(率A),,则P(A1), P(A0)分别表示(1),(2),(3)中所
2
p
阴影部分面积 正方形面积
T2
(T t)2 T2
1 1 t T
2
介绍蒙特卡洛试验技术
我们知道象掷硬币这样的试验作一次是很费 时间的. 但是计算机出现以后, 通常都有一 个随机函数, 此随机函数每次调用的返回值 都不一样, 会产生一个随机的数字, 因此我 们就可以利用这样一个随机的数字进行反 复的试验来求出我们所希望的事件的概率. 特别是有一些事件的概率求起来非常困难, 但用计算机进行仿真试验, 就可以通过统计 的办法求出概率的近似值, 这叫做蒙特卡洛 试验.
A S
则必然有 P( A) m( A)
(3.2)
m(S)
如样本空间S为一线段或一空间立体, 则 向S投点的相应概率仍可用上式确定, 但
m(·)应理解为长度或体积.
例 某人一觉醒来, 发觉表停了, 他打开收音 机, 想听电台报时, 设电台每正点报时一次, 求他(她)等待时间短于10分钟的概率.
解 以分钟为单位, 记上一次报时时刻为0, 则 下一次报时时刻为60, 于是这个人打开收音 机的时间必在(0,60), 记”等待时间短于10分 钟”为事件A, 则有
解 设事件A={第二个邮筒恰有一封信}
事件B={前两个邮筒中各有一封信}
两封信投入4个邮筒共有44种投法, 而组成事 件A的投法有23种, 组成事件B的投法则只有 2种, 因此
大学概率第3讲
考虑前边例子： 考虑前边例子： 记 Ai = {球取自 i 号箱 ， 球取自 号箱}， i =1, 2, 3; B = {取得红球 。 取得红球}。 取得红球 所求为 所求为 P(A1|B)。 。
P( A B) 1 = P( A | B) = 1 P(B)
运用全概率公式 计算P(B) 计算
P( A )P(B | A ) 1 1
全概率公式
为实验E的样本空间 的样本空间， 为一事件 为一事件， 设 Ω 为实验 的样本空间 ， B为一事件， A1, A2,…, An为 Ω 的一个划分，且P(Ai)>0, i =1, 2, 的一个划分， … …, n，则 有 ，
P(B) = ∑P( Ai )P(B｜Ai )
i =1 n
例 6： 一批同型号的螺钉由编号为 ： 一批同型号的螺钉由编号为I,II,III的 的 三台机器共同生产。各台机器生产的螺钉占 三台机器共同生产。 这批螺钉的比例分别为35%,40%, 25%。各 这批螺钉的比例分别为 。 台机器生产的螺钉的次品率分别为3%, 2% 台机器生产的螺钉的次品率分别为 和1%。现从该批螺钉中抽到一颗次品。 。现从该批螺钉中抽到一颗次品。 求该批螺钉的次品率。 求该批螺钉的次品率。
。
件产品中有5件不合格品 例1：100件产品中有 件不合格品，而5件不合 ： 件产品中有 件不合格品， 件不合 格品中又有3件是次品 件是次品， 件是废品 现从100 件是废品。 格品中又有 件是次品 ， 2件是废品 。 现从 件产品中任意抽取一件， 件产品中任意抽取一件，假定每件产品被抽到 的可能性都相同， 的可能性都相同，求 (1).抽到的产品是次品的概率； (1).抽到的产品是次品的概率； 抽到的产品是次品的概率 (2).在抽到的产品是不合格品条件下 在抽到的产品是不合格品条件下, (2).在抽到的产品是不合格品条件下, 产品是 次品的概率。 次品的概率。 解： 设 A={抽到的产品是次品 ， 抽到的产品是次品}， 抽到的产品是次品 B={抽到的产品是不合格品 。 抽到的产品是不合格品}。 抽到的产品是不合格品 按古典概型计算公式， (1). 按古典概型计算公式，有 3 P( A) = ; 100
概率论-第三讲 范式
回顾： 重言式 恒等式和永真蕴含式 代入规则和替换规则 对偶原理
1
1.3
一、析取范式与合取范式
范式
1.定义： (1)文字：命题变元或命题变元否定，P, ¬ Q； (2)基本积：若干个文字的合取,P, P∧ ¬ Q ∧ R； (3)基本和：若干个文字的析取,Q, P ∨ Q ∨ ¬ R； (4)析取范式: 若干基本积的析取,若与公式A等价， 则称它为A 的析取范式。
E 14 : P → Q ⇔ ¬ P ∨ Q
任给一个命题公式A,经 过这三步演算,即得到一 个与A等价的析取范式 或合取范式。
析取范式
E 15 : P ↔ Q ⇔ ( P → Q ) ∧ ( Q → P ) ⇔ ( P ∧ Q ) ∨ (¬ P ∧ ¬ Q ) ⇔ (¬ P ∨ Q ) ∧ ( P ∨ ¬ Q )
极大项的性质： 1)极大项之间彼此不等价； 2)极大项与使其为假的指派之间建立了一一对应关系； 3)指派与极大项的编码一致，极大项为假；反之亦然。
13
二、主析取范式与主合取范式
4.主合取范式: 若干个极大项的合取,若与公式A等价，则 称它为A的主合取范式。 求一命题公式A的主合取范式的步骤： 1）先求出合取范式A′； 2）若A′的某简单析取式B中不含命题变项Pi 或其否定 ¬Pi,则将B展成如下形式： B ⇔ B∨F ⇔ B∨(Pi∧ ¬Pi) ⇔ (B∨Pi)∧(B∨ ¬ Pi)； 3)消去：将重复出现的命题变元、重言式及重复出现的极 大项都“消去”,如P∨P用P代,P∨¬P用T代, Mi ∧ Mi用Mi代。
合取范式 析取范式
不唯一
析取范式
⇔ ( P ∧ ¬ P ) ∨ (Q ∧ ¬ P ) ∨ ( P ∧ ¬ Q ) ∨ (Q ∧ ¬ Q )
1
1.3
一、析取范式与合取范式
范式
1.定义： (1)文字：命题变元或命题变元否定，P, ¬ Q； (2)基本积：若干个文字的合取,P, P∧ ¬ Q ∧ R； (3)基本和：若干个文字的析取,Q, P ∨ Q ∨ ¬ R； (4)析取范式: 若干基本积的析取,若与公式A等价， 则称它为A 的析取范式。
E 14 : P → Q ⇔ ¬ P ∨ Q
任给一个命题公式A,经 过这三步演算,即得到一 个与A等价的析取范式 或合取范式。
析取范式
E 15 : P ↔ Q ⇔ ( P → Q ) ∧ ( Q → P ) ⇔ ( P ∧ Q ) ∨ (¬ P ∧ ¬ Q ) ⇔ (¬ P ∨ Q ) ∧ ( P ∨ ¬ Q )
极大项的性质： 1)极大项之间彼此不等价； 2)极大项与使其为假的指派之间建立了一一对应关系； 3)指派与极大项的编码一致，极大项为假；反之亦然。
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二、主析取范式与主合取范式
4.主合取范式: 若干个极大项的合取,若与公式A等价，则 称它为A的主合取范式。 求一命题公式A的主合取范式的步骤： 1）先求出合取范式A′； 2）若A′的某简单析取式B中不含命题变项Pi 或其否定 ¬Pi,则将B展成如下形式： B ⇔ B∨F ⇔ B∨(Pi∧ ¬Pi) ⇔ (B∨Pi)∧(B∨ ¬ Pi)； 3)消去：将重复出现的命题变元、重言式及重复出现的极 大项都“消去”,如P∨P用P代,P∨¬P用T代, Mi ∧ Mi用Mi代。
合取范式 析取范式
不唯一
析取范式
⇔ ( P ∧ ¬ P ) ∨ (Q ∧ ¬ P ) ∨ ( P ∧ ¬ Q ) ∨ (Q ∧ ¬ Q )
大学数学概率论的基本概念第三章PPT课件
（1≤ k≤ n)的不同排列总数为：
nn nnk
例如：从装有4张卡片的盒中 有放回地摸取3张
第1张 第2张 第3张
1 2 34
n=4,k =3
1
1
1
2
2
2 共有4.4.4=43种可能取法
3
3
3
4
4
4
18
2、组合: 从n个不同元素取 k个
（1kn)的不同组合总数为：
Cnk
Pnk k!
n! (nk)!k!
SC I ENCE
问：在多大程度上认为这样的结果 是奇怪的，甚至怀疑是一种魔术？
21
解：七个字母的排列总数为7！
拼成英文单词SCIENCE 的情况数为
224
故该结果出现的概率为：
p4 1 0.00079 7! 1260
这个概率很小，这里算出的概率有如 下的实际意义：如果多次重复这一抽卡试 验，则我们所关心的事件在1260次试验中 大约出现1次 .
设完成一件事有m个步骤，
第一个步骤有n1种方法，
第二个步骤有n2种方法, …；
第m个步骤有nm种方法,
则完成这件事共有
n1n2 nm
必须通过每一步骤, 才算完成这件事，
种不同的方法 .
14
例如，若一个男人有三顶帽子和两件 背心，问他可以有多少种打扮？
可以有 32 种打扮
15
加法原理和乘法原理是两个很重要 计数原理，它们不但可以直接解决不少 具体问题，同时也是推导下面常用排列 组合公式的基础 .
称这种试验模型为等可能概型 或古典概型.
8
二、古典概型中事件概率的计算
记 S e 1 ,e 2 , ,e n ;A i e i i 1 , ,n ,
概率论3ppt课件
••
•
•中心• • •
•
••中•••心•• •••
••
甲炮射击结果
乙炮射击结果
较好
因为乙炮的弹着点较集中在中心附近 .
(1）方差的定义
设X是一个随机变量，若E{[X-E(X)]2}<∞，
则称 D(X)=E{[X-E(X)]2 } 为X的方差. 称 D( X )为X标准差.
• • • • •a•• • • •
2)若C是常数,则D(CX)= C2 D(X);
3) 若X1与X2 独立，则
D(X1+X2)=D(X1)+D(X2);
可推广为：若X1,X2,…,Xn相互独立,则
n
n
D[ X i ] D( X i )
i 1
i 1
3 常见分布的数学期望和方差
离散型
两点分布 P( X 0) 1 p, P( X 1) p E( X ) p D( X ) p(1 p)
D(Y ) (6 8)2 0.2 (7 8)2 0.1 (8 8)2 0.4 (9 8)2 0.1 (10 8)2 0.2 1.8 送甲去参加奥运会更合理。
Y 6 7 8 9 10
Pk 0.2 0.1 0.4 0.1 0.2
(2）方差的性质
1)设C是常数,则D(C)= 0;
=E{X2-2XE(X)+[E(X)]2} =E(X2)-2[E(X)]2 +[E(X)]2 =E(X2)-[E(X)]2
展开
利用期望 性质
例3.要在甲乙两射手之间选送一个人去参加奥运会， 已知两人的射击成绩的分布律分别为：
X 6 7 8 9 10
Pk 0.1 0.2 0.4 0.2 0.1
Y 6 7 8 9 10
概率论与数理统计(茆诗松)第三章讲义
0 x y 0
1 xy ； dy = 2 2
1
1 x 0 2 dy = y ； 2 x 2 11 11 x 当 0 ≤ x < 2 , y ≥ 1 时， F ( x, y ) = ∫ dx ∫ dy = ；当 x ≥ 2 , y ≥ 1 时， F ( x, y ) = ∫ dx ∫ dy = 1 ． 0 0 0 0 2 2 2
∫ ∫
+∞ +∞
−∞ −∞
p( x, y )dxdy = 1 ．
二维连续随机变量的性质： （1） (X, Y ) 在区域 G 上取值的概率等于密度函数在 G 上的二重积分，P{( X , Y ) ∈ G} = ∫∫ p( x, y )dxdy ；
G
′′ ( x, y ) ． （2）在密度函数 p (x, y) 的连续点处， p ( x, y ) = Fxy
§3.1
3.1.1 多维随机变量
多维随机变量及其联合分布
则称 (X1, X2, …, Xn) 是 n 维随机变量 定义 设 X1, X2, …, Xn 是定义在同一个样本空间Ω上的 n 个随机变量， 或随机向量（Random Vector） ． 特别是当 X 与 Y 是定义在同一个样本空间Ω上的两个随机变量，则 (X, Y ) 是二维随机变量．在本章中 主要讨论二维随机变量，所得结论通常可以自然推广到一般的 n 维随机变量． 3.1.2 定义 联合分布函数
若二维随机变量 (X, Y ) 的全部可能取值是有限个或可列个，则称之为二维离散随机变量． 定义 设 X 的全部可能取值是 x1, x2, …，Y 的全部可能取值是 y1, y2, …，且 P{X = xi , Y = yj} = p(xi, yj) = pij , i, j = 1, 2, …， 称之为 (X, Y ) 的联合概率分布函数（Joint Probability Distribution Function） ． 通常将联合概率分布写成表格形式，又称为联合分布列．
1 xy ； dy = 2 2
1
1 x 0 2 dy = y ； 2 x 2 11 11 x 当 0 ≤ x < 2 , y ≥ 1 时， F ( x, y ) = ∫ dx ∫ dy = ；当 x ≥ 2 , y ≥ 1 时， F ( x, y ) = ∫ dx ∫ dy = 1 ． 0 0 0 0 2 2 2
∫ ∫
+∞ +∞
−∞ −∞
p( x, y )dxdy = 1 ．
二维连续随机变量的性质： （1） (X, Y ) 在区域 G 上取值的概率等于密度函数在 G 上的二重积分，P{( X , Y ) ∈ G} = ∫∫ p( x, y )dxdy ；
G
′′ ( x, y ) ． （2）在密度函数 p (x, y) 的连续点处， p ( x, y ) = Fxy
§3.1
3.1.1 多维随机变量
多维随机变量及其联合分布
则称 (X1, X2, …, Xn) 是 n 维随机变量 定义 设 X1, X2, …, Xn 是定义在同一个样本空间Ω上的 n 个随机变量， 或随机向量（Random Vector） ． 特别是当 X 与 Y 是定义在同一个样本空间Ω上的两个随机变量，则 (X, Y ) 是二维随机变量．在本章中 主要讨论二维随机变量，所得结论通常可以自然推广到一般的 n 维随机变量． 3.1.2 定义 联合分布函数
若二维随机变量 (X, Y ) 的全部可能取值是有限个或可列个，则称之为二维离散随机变量． 定义 设 X 的全部可能取值是 x1, x2, …，Y 的全部可能取值是 y1, y2, …，且 P{X = xi , Y = yj} = p(xi, yj) = pij , i, j = 1, 2, …， 称之为 (X, Y ) 的联合概率分布函数（Joint Probability Distribution Function） ． 通常将联合概率分布写成表格形式，又称为联合分布列．
概率统计第三讲
P(AC)=P(A)P(C), P(BC)=P(B)P(C),且
P(ABC)=P(A)P(B)P(C),则称这三个事件A、
B与C相互独立.
类似可定义四个、五个事件独立。注意: 两两独立的三个事件未必相互独立。 A与B独立与否，常依据问题来判断.
全概率与逆概率公式
定义:n个事件A1,A2,…,An,若它们 两两不相容，且它们之并为样本空 间Ω,则称它们是Ω的一种剖分，或 是一个完备事件组。 定理1.5(全概率公式): A1,A2,…,An, 是样本空间Ω的一个剖分，则对任 意事件B有：
x
弦长超过半径的概率⑵
弦的中点离圆 心距离x可以是 [0,R]中任一数， 弦长超过R
3 R, 则x要小于 2 3 P(A ) 2
3 R 2
60°
设一端在圆的六 点钟处，弦的倾 角α在[0,π]中，弦 长要超过半径， 则倾角α要在 [π/6, 5π/6]中,
5 6 6 P( A ) 2/ 3
j
伯努利(Bernoulli)概型
定义:伯努利试验序列(P.27)。
伯努利定理(P.27):一次试验中事件A 发生的概率为p(0<p<1),独立重复试
验n次当中A发生k次的概率(q=1-p)：
b(k; n, p) C p q
k n k
n k
1、预习第二章；
作业
2、继续复习排列、组合， 基本微积分和Excel；
=P(B),或即 P(AB)=P(A)P(B),称事件
A与B相互独立. 显然有:⑴ A 与 B 独立则 B 与 A 独立; ⑵ A 与 B 独立则 A 与 B 独立; ⑶ A 与 B 独立则 A 与 B 独立;
⑷ A 与 B 独立则 A 与 B 独立.
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显然，C = A U B
则：P(C ) = P ( A U B ) = P ( A) + P( B ) P( AB ) = P( A) + P ( B) P ( A) P( B )
= 0.8 + 0.7 0.8 × 0.7 = 0.94
概率论与数理统计
概率论与数理统计
例：甲、乙两人进行乒乓球比赛，每局甲胜的概率为p ≥ 1 , 2 对甲而言，采用三局二胜制有利，还是采用五局三胜制 有利？ 设各局胜负相互独立。
5、 一口袋中有10个球, 其中有1个白球及9个红球。从中任意取一球 设A = {取到白球} , 则A = {取到红球} , 且设样本空间为S , S = { A, A} , S中有两个样本点, 而A是其中一个样本点,问P ( A ) = 1 对吗？ 2
概率论与数理统计
概率论与数理统计
6、如何理解样本点(基本事件)两两互不相容。
( A U B) UC = A U( B UC ) , ( A I B) I C = B I ( A I C ) A U ( B I C ) = ( A U B ) I ( A U C )，A I ( B U C ) = ( A I B ) U ( A I C )
A I B = A U BA ) 1 P ( B )
P ( BA ) = P ( B BA ) = P( B ) P ( BA ) = P ( B ) (1 P ( A ) ) = P ( B ) P ( A)
概率论与数理统计
概率论与数理统计
定义：设A1, A2 ,L L , An为n个随机事件，若对2 ≤ k ≤ n, 均有： P Ai1 Ai2 L L Aik = ∏P Ai j ,
解：设Ai = {第i局甲胜} , A = {甲胜}
(1)若采用三局两胜，则： A = A1 A2 U A1 A3 U A2 A3
所以：3 ( A) = P( A1 A2 U A1 A3 U A2 A3 ) P
= P( A1 A2 ) + P( A1 A3 ) + P( A2 A3 ) 3P( A1 A2 A3 ) + P( A1 A2 A3 ) = 3 p 2 2 p3
(全概率公式) (Bayes公式)
P( Bi | A) =
P( Bi ) P( A | Bi )
∑ P( B ) P( A | B )
j =1 j j
n
5. 事件独立性 P( A | B ) = P( A) P( B | A) = P( B) P( AB ) = P ( A) P( B)
概率论与数理统计
概率论与数理统计
概率论与数理统计
推论： 推论：若A、B为独立事件，则A与B逆,A逆与B, A逆与B逆 相互独立。 证明： 若P ( AB ) = P ( A ) P ( B )
则： ( BA ) = P ( AB ) = P ( A AB ) P
= P ( A ) P ( AB ) = P ( A) P ( B )
j =1
(
)
k
( )
则称A1, A2 ,L L , An相互独立
说明： 说明： 事件的独立性不是由定义来决定的，而是根据随即事件 的实际情形决定的。
概率论与数理统计
概率论与数理统计
例：设各继电器相互独立，且 每一继电器导通的概率为 p，求L1,L2为通路的概率。
k2 L1 k1 k3 L1
解：定义事件A为L1 L2是通路，Bi为第i个继电器闭合， 显然A可以表示为：A = B1 I ( B2 U B3 ) 则：P ( A) = P ( B1 I ( B2 U B3 ))
概率论与数理统计
概率论与数理统计
(2)五局三胜制：
则：5 ( A) = p + C (1 p ) p + C (1 p ) p 3 P
3 1 3 3 2 4 2
A = A1 A2 A3 U ( 前三次有一次输 ) A4 U ( 前四次有两次输 ) A5
= p 3 + 3 (1 p ) p 3 + 6 (1 p ) p 3
概率论与数理统计
思考题
1、“事件A不发生，则A = ”对么？
2、“两事件A和B为不相容两事件，及AB=，则A, B互逆”对么？
3、甲、乙两个人同时猜谜语，A为甲猜中，B为乙猜中，则 A U B为甲乙两个人最少有一人猜中，则P(A U B)=P(A)+P(B)
4、满足什么条件的问题称为古典概型问题。
概率论与数理统计
10、A和B为两个以一定概率出现的事件，问A和B相互独立、 A和B互不相容能否同时成立？
11、A和B为两事件，P( A) = a, P( B ) = b: (1)若A,B独立，P( A U B) (2)若A,B互不相容，P( A U B)
概率论与数理统计
概率论与数理统计
13、当满足什么条件时，一个事件组{ A1 , L L , Ak } 称为 划分。 14、设A, B, C为三随机事件，P( A) ≠ 0, P( B ) ≠ 0,问： P( A | C ) + P( B | C )有意义么？ 15、设A, B, C为三随机事件，且P (C ) ≠ 0,问： P( A U B | C ) = P( A | C ) + P( B | C ) P( AB | C )是否成 立？
概率论与数理统计
P ( AB ) 4. 条件概率：P ( B | A ) = P ( AB ) = P ( A ) P ( B | A ) P ( A) 当B1 , B2 ,L L , Bn为S的一个划分时： P( A) = ∑ P( B j ) P( A | B j ),
j =1 n
概率论与数理统计
2
= 10 p 3 15 p 4 + 6 p 5
所以：5 ( A) P3 ( A) = 10 p 3 15 p 4 + 6 p 5 3 p 2 + 2 p 3 P = 6 p 5 15 p 4 + 12 p 3 3 p 2 = 3P 2 ( P 1) ( 2 P 1) > 0
2
显然，5局3胜更好。
= P ( B1 B2 U B1 B3 ) = P( B1 B2 ) + P( B1 B3 ) P ( B1 B2 B3 )
= 2 p 2 p3
概率论与数理统计
概率论与数理统计
例：甲、乙两人同时向一目标射击，甲击中率为0.8，乙击中率 为0.7，求目标被击中的概率。
解：设A = {甲击中目标}，B = {乙击中目标} C ={ 目标被击中}
7、A和B为两随机事件，理解P( AB)与P( A | B )的不同含义。
8、设A和B为随机事件, P ( A ) ≠ 0,问P ( B | A ) = P ( B ) P ( B | A ) 是否成立？ P ( B | A ) = 1 P ( B | A ) 是否成立？
9、什么条件下两事件相互独立？
概率论与数理统计
概率论与数理统计
作业： P35: 26, 31，33
概率论与数理统计
概率论与数理统计
第一章 总结
1. 样本空间 S = {e} 随机事件 A S 2. 事件的关系： A B; A = B 事件的运算：A U B; A I B; A 基本运算关系： A U B = A AB = A B A U B = B U A, A I B = B I A
概率论与数理统计
概率论与数理统计
nA 3. 频率：f n ( A ) = n 概率的定义：当n趋于无限大时，频率就趋于稳定值， 称为概率。 概率的性质：(1) P ( A ) = 1 P ( A ) (2)当B A时, P ( A ) ≥ P ( B )
(3) P ( A U B ) =P ( A ) + P ( B ) P ( AB )
概率论与数理统计
§6
独立性
例：有10件产品，其中8件为正品，2件为次品。从中取2次,每 次取1件，设Ai={第i次取到正品}，i=1,2 ①不放回抽样时: ②放回抽样时:
7 8 P( A2 | A1 ) = ≠ P( A2 ) = 9 10 8 P( A2 | A1) = = P( A2 ) 10
即放回抽样时，A1的发生对A2的发生概率不影响 同样，A2的发生对A1的发生概率不影响 定义： 定义：设A，B为两随机事件，P(A) ≠0, P(B) ≠0, 若 P(B|A)=P(B)，P(A|B)=P(A)时，即P(AB)=P(A)*P(B), 称A,B相互独立 相互独立。 相互独立
则：P(C ) = P ( A U B ) = P ( A) + P( B ) P( AB ) = P( A) + P ( B) P ( A) P( B )
= 0.8 + 0.7 0.8 × 0.7 = 0.94
概率论与数理统计
概率论与数理统计
例：甲、乙两人进行乒乓球比赛，每局甲胜的概率为p ≥ 1 , 2 对甲而言，采用三局二胜制有利，还是采用五局三胜制 有利？ 设各局胜负相互独立。
5、 一口袋中有10个球, 其中有1个白球及9个红球。从中任意取一球 设A = {取到白球} , 则A = {取到红球} , 且设样本空间为S , S = { A, A} , S中有两个样本点, 而A是其中一个样本点,问P ( A ) = 1 对吗？ 2
概率论与数理统计
概率论与数理统计
6、如何理解样本点(基本事件)两两互不相容。
( A U B) UC = A U( B UC ) , ( A I B) I C = B I ( A I C ) A U ( B I C ) = ( A U B ) I ( A U C )，A I ( B U C ) = ( A I B ) U ( A I C )
A I B = A U BA ) 1 P ( B )
P ( BA ) = P ( B BA ) = P( B ) P ( BA ) = P ( B ) (1 P ( A ) ) = P ( B ) P ( A)
概率论与数理统计
概率论与数理统计
定义：设A1, A2 ,L L , An为n个随机事件，若对2 ≤ k ≤ n, 均有： P Ai1 Ai2 L L Aik = ∏P Ai j ,
解：设Ai = {第i局甲胜} , A = {甲胜}
(1)若采用三局两胜，则： A = A1 A2 U A1 A3 U A2 A3
所以：3 ( A) = P( A1 A2 U A1 A3 U A2 A3 ) P
= P( A1 A2 ) + P( A1 A3 ) + P( A2 A3 ) 3P( A1 A2 A3 ) + P( A1 A2 A3 ) = 3 p 2 2 p3
(全概率公式) (Bayes公式)
P( Bi | A) =
P( Bi ) P( A | Bi )
∑ P( B ) P( A | B )
j =1 j j
n
5. 事件独立性 P( A | B ) = P( A) P( B | A) = P( B) P( AB ) = P ( A) P( B)
概率论与数理统计
概率论与数理统计
概率论与数理统计
推论： 推论：若A、B为独立事件，则A与B逆,A逆与B, A逆与B逆 相互独立。 证明： 若P ( AB ) = P ( A ) P ( B )
则： ( BA ) = P ( AB ) = P ( A AB ) P
= P ( A ) P ( AB ) = P ( A) P ( B )
j =1
(
)
k
( )
则称A1, A2 ,L L , An相互独立
说明： 说明： 事件的独立性不是由定义来决定的，而是根据随即事件 的实际情形决定的。
概率论与数理统计
概率论与数理统计
例：设各继电器相互独立，且 每一继电器导通的概率为 p，求L1,L2为通路的概率。
k2 L1 k1 k3 L1
解：定义事件A为L1 L2是通路，Bi为第i个继电器闭合， 显然A可以表示为：A = B1 I ( B2 U B3 ) 则：P ( A) = P ( B1 I ( B2 U B3 ))
概率论与数理统计
概率论与数理统计
(2)五局三胜制：
则：5 ( A) = p + C (1 p ) p + C (1 p ) p 3 P
3 1 3 3 2 4 2
A = A1 A2 A3 U ( 前三次有一次输 ) A4 U ( 前四次有两次输 ) A5
= p 3 + 3 (1 p ) p 3 + 6 (1 p ) p 3
概率论与数理统计
思考题
1、“事件A不发生，则A = ”对么？
2、“两事件A和B为不相容两事件，及AB=，则A, B互逆”对么？
3、甲、乙两个人同时猜谜语，A为甲猜中，B为乙猜中，则 A U B为甲乙两个人最少有一人猜中，则P(A U B)=P(A)+P(B)
4、满足什么条件的问题称为古典概型问题。
概率论与数理统计
10、A和B为两个以一定概率出现的事件，问A和B相互独立、 A和B互不相容能否同时成立？
11、A和B为两事件，P( A) = a, P( B ) = b: (1)若A,B独立，P( A U B) (2)若A,B互不相容，P( A U B)
概率论与数理统计
概率论与数理统计
13、当满足什么条件时，一个事件组{ A1 , L L , Ak } 称为 划分。 14、设A, B, C为三随机事件，P( A) ≠ 0, P( B ) ≠ 0,问： P( A | C ) + P( B | C )有意义么？ 15、设A, B, C为三随机事件，且P (C ) ≠ 0,问： P( A U B | C ) = P( A | C ) + P( B | C ) P( AB | C )是否成 立？
概率论与数理统计
P ( AB ) 4. 条件概率：P ( B | A ) = P ( AB ) = P ( A ) P ( B | A ) P ( A) 当B1 , B2 ,L L , Bn为S的一个划分时： P( A) = ∑ P( B j ) P( A | B j ),
j =1 n
概率论与数理统计
2
= 10 p 3 15 p 4 + 6 p 5
所以：5 ( A) P3 ( A) = 10 p 3 15 p 4 + 6 p 5 3 p 2 + 2 p 3 P = 6 p 5 15 p 4 + 12 p 3 3 p 2 = 3P 2 ( P 1) ( 2 P 1) > 0
2
显然，5局3胜更好。
= P ( B1 B2 U B1 B3 ) = P( B1 B2 ) + P( B1 B3 ) P ( B1 B2 B3 )
= 2 p 2 p3
概率论与数理统计
概率论与数理统计
例：甲、乙两人同时向一目标射击，甲击中率为0.8，乙击中率 为0.7，求目标被击中的概率。
解：设A = {甲击中目标}，B = {乙击中目标} C ={ 目标被击中}
7、A和B为两随机事件，理解P( AB)与P( A | B )的不同含义。
8、设A和B为随机事件, P ( A ) ≠ 0,问P ( B | A ) = P ( B ) P ( B | A ) 是否成立？ P ( B | A ) = 1 P ( B | A ) 是否成立？
9、什么条件下两事件相互独立？
概率论与数理统计
概率论与数理统计
作业： P35: 26, 31，33
概率论与数理统计
概率论与数理统计
第一章 总结
1. 样本空间 S = {e} 随机事件 A S 2. 事件的关系： A B; A = B 事件的运算：A U B; A I B; A 基本运算关系： A U B = A AB = A B A U B = B U A, A I B = B I A
概率论与数理统计
概率论与数理统计
nA 3. 频率：f n ( A ) = n 概率的定义：当n趋于无限大时，频率就趋于稳定值， 称为概率。 概率的性质：(1) P ( A ) = 1 P ( A ) (2)当B A时, P ( A ) ≥ P ( B )
(3) P ( A U B ) =P ( A ) + P ( B ) P ( AB )
概率论与数理统计
§6
独立性
例：有10件产品，其中8件为正品，2件为次品。从中取2次,每 次取1件，设Ai={第i次取到正品}，i=1,2 ①不放回抽样时: ②放回抽样时:
7 8 P( A2 | A1 ) = ≠ P( A2 ) = 9 10 8 P( A2 | A1) = = P( A2 ) 10
即放回抽样时，A1的发生对A2的发生概率不影响 同样，A2的发生对A1的发生概率不影响 定义： 定义：设A，B为两随机事件，P(A) ≠0, P(B) ≠0, 若 P(B|A)=P(B)，P(A|B)=P(A)时，即P(AB)=P(A)*P(B), 称A,B相互独立 相互独立。 相互独立