一堂解析几何轨迹题的探究课
对解析几何轨迹问题的研究
各 项 之 间 的 规 律 ，使 归 纳 猜 想 法 陷 入 困 境 。 相 反 ，解 法 ３正 是 注 意 到 了 这 一 危 险 境 地 ，巧 妙 地 避 险 排 难 ，采 取 将 前 ３项 中 的 各 个 加 法 项 搁 置 起 来 ，使 各 项 之 间 的 规 律 性 得 以 充 分 彰 显 ，从 而 让 ② 式 顺 利 浮 出 水 面 。
３一 ，整 理 得 ｎ 一
。
故 ａ ３＂－ １
ｎ ＝＝＝¨＿＿
。
（证 明 用 数 学 归 纳 法 ，过 程 略 ）
评 析 ：将 上 述 证 法 ３ 和 解 法 ３这 两 种 归 纳 猜 想 法 比 较 可 以 发 现 ，前 者 通 过 归 纳 猜 想
，
１ 、
法 得 到 ① 式 很 容 易 ，但 是 后 者 如 果 将 前 ３项
直 线 ＭＡ 上 ，且 ２ ＮＰ ·ＮＡ— ＮＡ ，求 点 Ｐ
此 法 是 选 用 恰 当 的 参 数 （如 ｋ，０ 等 ），分 别 将 ｚ ， 表 示 出 来 Ｎ－求 解
。
侧 过 抛物 线 ｚ一２ 的顶 点 ０ 作
的 轨 迹 ：Ｄ－程 。
解 ：设 ＮＡ 巾 点 为 Ｑ 。
—
—
—
＋ —
解 法 １：同证 法 １或 者 证 法 ３，得 ａ ＋ ÷
一 ＿兰Ｉ×３ ·，整 理得 ａ 一 。
受 证 法 １ 的 启 发 ，可 得 ：
猜 想 ：ａ 一 ３ 一 ４－３” ４ － … ４ － ３ ４ － ３４ － １。
将 ② 式 右 边 求 解 ，得 ：
②
解法２：由ｎ 一３ａ ４－１得２ａ…一６ａ
＋ ２＝３６内的一点，／ Ｄ
解析几何求圆的轨迹方程专题一师用
专题一求圆的轨迹方程教学目标：1、掌握直线与圆的标准方程与一般方程，能根据问题的条件选择适当的形式求圆的方程；2、掌握直线与圆的位置关系，可以应用直线与圆的位置关系求圆的方程3、理解圆的标准方程与一般方程之间的关系，会进行互化。
教学重难点：1、掌握圆的标准方程与一般方程，能根据问题的条件选择适当的形式求圆的方程；2、会求曲线的轨迹方程（圆）教学过程：第一部分知识点回顾一、圆的方程 :1 .圆的标准方程：x a? y b2 r2o2 •圆的一般方程：x2 y2 Dx Ey F 0（D2+ E2—4F 0）特别提醒：只有当D2+ E2—4F 0时，方程x2 y2 Dx Ey F 0才表示圆心为（D, E）,半径为1~E2~4F的圆2 2 2思考：二元二次方程Ax2 Bxy Cy2 Dx Ey F 0表示圆的充要条件是什么？答案：（A C 0,且 B 0 且D2 E2 4AF 0 ））；3 .圆的参数方程：y a r s°s(为参数)，其中圆心为(a,b)，半径为r 。
圆的参数方程的主要应用是三角换元:(3) 已知P( 1, -3)是圆y ；；煮(为参数，02 )上的点，则圆的普通方程为，P 点对应的 值为，过P 点的圆的切线方程是(答：x 2 y 2=4 ； — ； x ,3y 4 0)；3(4) 如果直线l 将圆：x 22-240平分，且不过第四象限，那么I 的斜率 的取值范围是_(答: [0 , 2]);(5) 方程x 22- 0表示一个圆，则实数k 的取值范围为(答：k 丄)； (6) 若 M {(x, y) | y 3sos (为参数，0)}， N (x, y) | y x b ,若MN ，则b 的取值范围是(答：-33& )二、点与圆的位置关系：已知点M x 0,y 0及圆C: x-a $ y b ? r 2 r 0 ,(1) 点 M 在圆 C 外 |CM | r x 0 a 2 y 。
解新几何中轨迹问题求解的探究
设
，Ｙ） Ｐ（ ｙ） 则 ，， 、 ｘ， ，
嚣 一 ，入 ｆ ～ 代 一 一
ｖ：
且～
２
【 ” 巧
Ｉ
（ ＋ ） Ｉ １ ０中． Ｉ３ ２ ０ － ＝ 化简 得 ｘ ￣２ ， ％）－ ５ 所 求 Ｐ点 的 轨 迹 方 程 为 ： ＋
・ ． ．
， ： ５。 ２
３ ３ 已 知 直 线 Ｚ ＝ ｘ ｌ 曲 线 Ｃ： 一 ｘ＝ （ ∈ 交 于 — ： ： ｍ ＋ 与 ２ ２２ ｍ Ｒ）
Ａ、 曰两 点 ， 设 ： ＋ ． 点 Ｐ的 轨迹 方 程 求
转移代人法 ： 当所 求 轨 迹 上 的 点 Ｑ（ ｖ 随某 个 动 点 Ｐ变 ） 化 ， 点 Ｐ轨 迹 已 知 时 ， 且 可用 （ ， ） 示 点 Ｐ坐 标 ， 将 其 代 入 ｖ表 并 点 Ｐ轨迹 方 程 。适 用 于 ： 求动 点 依 赖 于某 一 已知 曲线 时 。 所 参数 法 ： 所 求 轨 迹 上 点 Ｐ ｙ 随 某 个 变 量 变 化 而 变 化 当 （ ） 时 ， ｔ 为 参数 ， 立 ， 将 作 建 Ｙ与 ｔ 函数 关 系 再将 ｔ 去 即可 。适 的 消 用 于 ： 求 动 点 随题设 中某 一 变量 或 几 个变 量 的 变化 而 变化 时 。 所 二 、 型 透 析 。 会 贯 通 典 融
提示 ： － ＋ ￣得 到点 Ｐ坐标 （．） Ａ、 由ｏ Ｆ： － ｏ ｙ与 曰坐标之
间 关 系 ， 用 ｍ 表 示 出 ＝ 并
一
，
， — ｎ
丁 ， 去 ． 即可 。要 注 消 ｒ ／ Ｚ
一， ｎ一
意 用 参 数 法解 题 时 必 须 考 虑 轨迹 的完 备 ） ＿ ， ） ３ Ｏ ，在 ＡＦＱ 中 ， ＿ Ｐ ２Ｍ ＺＭＱ ＝
立体几何中的轨迹问题(总结+讲义+练习)
立体几何中的轨迹问题在立体几何中，某些点、线、面依一定的规则运动，构成各式各样的轨迹，探求空间轨迹与求平面轨迹类似，应注意几何条件，善于基本轨迹转化．对于较为复杂的轨迹，常常要分段考虑，注意特定情况下的动点的位置，然后对任意情形加以分析判定，也可转化为平面问题．对每一道轨迹命题必须特别注意轨迹的纯粹性与完备性．立体几何中的最值问题一般是指有关距离的最值、角的最值或面积的最值的问题．其一般方法有： 1、 几何法：通过证明或几何作图，确定图形中取得最值的特殊位置，再计算它的值；2、 代数方法：分析给定图形中的数量关系，选取适当的自变量及目标函数，确定函数解析式，利用函数的单调性、有界性，以及不等式的均值定理等，求出最值．轨迹问题【例1】 如图，在正四棱锥S －ABCD 中，E 是BC 的中点，P 点在侧面△SCD 内及其边界上运动，并且总是保持PE ⊥AC ．则动点P 的轨迹与△SCD 组成的相关图形最有可能的是 ( )解析：如图，分别取CD 、SC 的中点F 、G ，连结EF 、EG 、FG 、BD ．设AC 与BD 的交点为O ，连结SO ，则动点P 的轨迹是△SCD 的中位线FG ．由正四棱锥可得SB ⊥AC ，EF ⊥AC ．又∵EG ∥SB∴EG ⊥AC∴AC ⊥平面EFG ，∵P ∈FG ，E ∈平面EFG ， ∴AC ⊥PE ．另解：本题可用排除法快速求解．B 中P 在D 点这个特殊位置，显然不满足PE ⊥AC ；C 中P 点所在的轨迹与CD 平行，它与CF 成π4角，显然不满足PE ⊥AC ；D 于中P 点所在的轨迹与CD 平行，它与CF 所成的角为锐角，显然也不满足PE ⊥AC ．评析：动点轨迹问题是较为新颖的一种创新命题形式，它重点体现了在解析几何与立体几何的知识交汇处设计图形．不但考查了立体几何点线面之间的位置关系，而且又能巧妙地考查求轨迹的基本方法，是表现最为活跃的一种创新题型．这类立体几何中的相关轨迹问题，如“线线垂直”问题，很在程度上是找与定直线垂直的平面，而平面间的交线往往就是动点轨迹．【例2】 (1)如图，在正四棱柱ABCD —A 1B 1C 1D 1中，E 、F 、G 、H 分别是CC 1、C 1D 1、DD 1、DC 的中点，N 是BC 的中点，点M 在四边形EFGH 及其内部运动，则M 满足 时，有MN ∥平面B 1BDD 1．(2) 正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，P 在侧面BCC 1B 1及其边界上运动，且总保持AP ⊥BD 1，则动点P 的轨迹是 线段B 1C ．(3) 正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，E 、F 分别是棱A 1B 1，BC 上的动点，且A 1E =BF ，P 为EF 的中点，则点P 的轨迹是 线段MN (M 、N 分别为前右两面的中心)．(4) 已知正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1的棱长为1，在正方体的侧面BCC 1B 1上到点A 距离为233的点的集合形成一条曲线，那么这条曲线的形状是 ，它的长度是 ．若将“在正方体的侧面BCC 1B 1上到点A 距离为23 3 的点的集合”改为“在正方体表面上与点A 距离为233的点的集合” 那么这条曲线的形状又是 ，它的长度又是 ．1AC C 1AEC C 1A AB1A 1(1)(2)(3)(4)DDA ．B ．C ．D ． A【例3】 (1)(04北京)在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，P 是侧面BB 1C 1C 内一动点，若P 到直线BC 与直线C 1D 1的距离相等，则动点P 的轨迹所在的曲线是 ( D )A ． A 直线B ．圆C ．双曲线D ．抛物线 变式：若将“P 到直线BC 与直线C 1D 1的距离相等”改为“P 到直线BC 与直线C 1D 1的距离之比为1：2(或2：1)”， 则动点P 的轨迹所在的曲线是 椭圆 (双曲线)． (2)(06北京)平面α的斜线AB 交α于点B ，过定点A 的动直线l 与AB 垂直，且交α于点C ，则动点C 的轨迹是 (A )A ．一条直线B ．一个圆C ．一个椭圆D ．双曲线的一支解：设l 与l 是其中的两条任意的直线，则这两条直线确定一个平面，且斜线AB 垂直这个平面，由过平面外一点有且只有一个平面与已知直线垂直可知过定点A 与AB 垂直所有直线都在这个平面内，故动点C 都在这个平面与平面α的交线上，故选A ． (3)已知正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1的棱长为1，M 在棱AB 上，且AM =13，点P 到直线A 1D 1的距离与点P 到点M 的距离的平方差为1，则点P 的轨迹为 抛物线 ．(4)已知正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1的棱长为3，长为2的线段MN 点一个端点M 在DD 1上运动，另一个端点N 在底面ABCD 上运动，则MN 的中点P 的轨迹与正方体的面所围成的几何体的体积为 π6． 【例4】 (04重庆)若三棱锥A -BCD 的侧面ABC 内一动点P 到底面BCD 的距离与到棱AB 的距离相等，则动点P 的轨迹与△ABC 组成图形可能是：( D )【例5】 四棱锥P -ABCD ，AD ⊥面P AB ，BC ⊥面P AB ，底面ABCD 为梯形，AD =4，BC =8，AB =6，∠APD =∠CPB ，满足上述条件的四棱锥的顶点P 的轨迹是( )A ．圆B ．不完整的圆C ．抛物线D ．抛物线的一部分 分析：∵AD ⊥面P AB ，BC ⊥平面P AB ∴AD ∥BC 且AD ⊥P A ，CB ⊥PB ∵∠APD =∠CPB ∴tanAPD =tanCPB∴AD P A =CB PB ∴PB =2P A在平面APB 内，以AB 的中点为原点，AB 所在直线为x 轴建立平面直角坐标系，则A (-3，0)、B (3，0)，设P (x ，y )(y ≠0)，则(x -3)2+y 2=4[(x +3)2+y 2](y ≠0)即(x +5)2+y 2=16(y ≠0) ∴P 的轨迹是(B )BABCDA3P A BC D立体几何中的轨迹问题（教师版）1．在正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1的侧面AB 1内有一点P 到直线AB 与到直线B 1C 1的距离相等，则动点P 所在曲线的形状为（D ）．A ．线段B ．一段椭圆弧C ．双曲线的一部分D ．抛物线的一部分 简析 本题主要考查点到直线距离的概念，线面垂直及抛物线的定义．因为B 1C 1⊥面AB 1，所以PB 1就是P 到直线B 1C 1的距离，故由抛物线的定义知：动点的轨迹为抛物线的一段，从而选D ．2．在正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1的侧面AB 1内有一点P 到直线AB 的距离与到直线B 1C 1的距离之比为2：1，则动点P 所在曲线的形状为（B ）．A ．线段B ．一段椭圆弧C ．双曲线的一部分D ．抛物线的一部分3．在正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1的侧面AB 1内有一点P 到直线AB 的距离与到直线B 1C 1的距离之比为1：2，则动点P 所在曲线的形状为（C ）．A ．线段B ．一段椭圆弧C ．双曲线的一部分D ．抛物线的一部分4．在正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，E 为AA 1的中点，点P 在其对角面BB 1D 1D 内运动，若EP 总与直线AC 成等角，则点P 的轨迹有可能是（A ）．A ．圆或圆的一部分B ．抛物线或其一部分C ．双曲线或其一部分D ．椭圆或其一部分 简析 由条件易知：AC 是平面BB 1D 1D 的法向量，所以EP 与直线AC 成等角，得到EP 与平面BB 1D 1D 所成的角都相等，故点P 的轨迹有可能是圆或圆的一部分．5．已知正方体ABCD A B C D -1111的棱长为a ，定点M 在棱AB 上（但不在端点A ，B 上），点P 是平面ABCD 内的动点，且点P 到直线A D 11的距离与点P 到点M 的距离的平方差为a 2，则点P 的轨迹所在曲线为（A ）． A ．抛物线B ．双曲线C ．直线D ．圆简析在正方体ABCD A B C D -1111中，过P 作PF ⊥AD ，过F 作FE ⊥A 1D 1，垂足分别为F 、E ，连结PE ．则PE 2=a 2+PF 2，又PE 2-PM 2=a 2，所以PM 2=PF 2，从而PM ＝PF ，故点P 到直线AD 与到点M 的距离相等，故点P 的轨迹是以M 为焦点，AD 为准线的抛物线．6．在正方体ABCD A B C D -1111中，点P 在侧面BCC 1B 1及其边界上运动，总有AP ⊥BD 1，则动点P 的轨迹为__________． 简析 在解题中，我们要找到运动变化中的不变因素，通常将动点聚焦到某一个平面．易证BD 1⊥面ACB 1，所以满足BD 1⊥AP 的所有点P 都在一个平面ACB 1上．而已知条件中的点P 是在侧面BCC 1B 1及其边界上运动，因此，符合条件的点P 在平面ACB 1与平面BCC 1B 1交线上，故所求的轨迹为线段B 1C ．本题的解题基本思路是：利用升维，化“动”为“静”，即先找出所有点的轨迹，然后缩小到符合条件的点的轨迹．7．在正四棱锥S-ABCD 中，E 是BC 的中点，点P 在侧面∆SCD 内及其边界上运动，总有PE ⊥AC ，则动点P 的轨迹为_______________．答案 线段MN （M 、N 分别为SC 、CD 的中点）8．若A 、B 为平面α的两个定点，点P 在α外，PB ⊥α，动点C （不同于A 、B ）在α内，且PC ⊥AC ，则动点C 在平面内的轨迹是________．（除去两点的圆） 9．若三棱锥A —BCD 的侧面ABC 内一动点P 到底面BCD 的距离与到棱AB 的距离相等，则动点P 的轨迹与∆ABC 组成的图形可能是：（D ）A A AP PP PB C B C B C B C A B C D简析 动点P 在侧面ABC 内，若点P 到AB 的距离等于到棱BC 的距离，则点P 在∠ABC 的内角平分线上．现在P 到平面BCD 的距离等于到棱AB 的距离，而P 到棱BC 的距离大于P 到底面BCD 的距离，于是，P 到棱AB 的距离小于P 到棱BC 的距离，故动点P 只能在∠ABC 的内角平分线与AB 之间的区域内．只能选D ． 10．已知P 是正四面体S-ABC 的面SBC 上一点，P 到面ABC 的距离与到点S 的距离相等，则动点P 的轨迹所在的曲线是（B ）． A ．圆 B ．椭圆 C ．双曲线 D ．抛物线解题的要领就是化空间问题为平面问题，把一些重要元素集中在某一个平面内，利 用相关的知识去解答，象平面几何知识、解析几何知识等．11．已知正方体ABCD A B C D -1111的棱长为1，在正方体的侧面BCC B 11上到点A 距离为233的点的轨迹形成一条曲线，那么这条曲线的形状是_________，它的长度为__________． 简析以B 为圆心，半径为33且圆心角为π2的圆弧，长度为36π． 12．已知长方体ABCD A B C D -1111中，AB BC ==63,，在线段BD 、A C 11上各有一点P 、Q ，PQ 上有一点M ，且PM MQ =2，则M 点轨迹图形的面积是 ． 提示轨迹的图形是一个平行四边形．13．已知棱长为3的正方体ABCD A B C D -1111中，长为2的线段MN 的一个端点在DD 1上运动，另一个端点N 在底面ABCD 上运动，求MN 中点P 的轨迹与正方体的面所围成的几何体的体积．简析 由于M 、N 都是运动的，所以求的轨迹必须化“动”为“静”，结合动点P 的几何性质，连结DP ，因为MN=2，所以PD=1，因此点P 的轨迹是一个以D 为球心，1为半径的球面在正方体内的部分，所以点P 的轨迹与正方体的表面所围成的几何体的体积为球的体积的18，即1843163⨯⨯=ππ． 14．已知平面//α平面β，直线l α⊂，点l P ∈，平面α、β间的距离为4，则在β内到点P 的距离为5且到直线l 的距离为29的点的轨迹是（ ） 简析：如图，设点P 在平面β内的射影是O ，则OP 是α、β的公垂线，OP=4．在β内到点P 的距离等于5的点到O 的距离等于3，可知所求点的轨迹是β内在以O 为圆心，3为半径的圆上．又在β内到直线l 的距离等于29的点的集合是两条平行直线m 、n ，它们到点O 的距离都等于32174)29(22<=-，所以直线m 、n 与这个圆均相交，共有四个交点．因此所求点的轨迹是四个点，故选C ．16．在四棱锥ABCD P -中，⊥AD 面PAB ，⊥BC 面PAB ，底面ABCD 为梯形，AD=4，BC=8，AB=6，CPB APD ∠=∠，满足上述条件的四棱锥的顶点P 的轨迹是（ ）A ．圆B ．不完整的圆C ．抛物线D ．抛物线的一部分简析：因为⊥AD 面PAB ，⊥BC 面PAB ，所以AD//BC ，且︒=∠=∠90CBP DAP ． 又8BC ,4AD ,CPB APD ==∠=∠，可得CPB tan PB CB PA AD APD tan ∠===∠，即得2ADCBPA PB == 在平面PAB 内，以AB 所在直线为x 轴，AB 中点O 为坐标原点，建立平面直角坐标系，则A （-3，0）、B（3，0）．设点P （x ，y ），则有2y )3x (y )3x (|PA ||PB |2222=+++-=，整理得09x 10y x 22=+++由于点P 不在直线AB 上，故此轨迹为一个不完整的圆，选B ．17．如图，定点A 和B 都在平面α内，定点P ,PB ,α⊥α∉C 是α内异于A 和B 的动点．且AC PC ⊥，那么动点C 在平面α内的轨迹是（ ）A ．一条线段，但要去掉两个点B ．一个圆，但要去掉两个点C ．一个椭圆，但要去掉两个点D ．半圆，但要去掉两个点简析：因为PC AC ⊥，且PC 在α内的射影为BC ，所以BC AC ⊥，即︒=∠90ACB ．所以点C 的轨迹是以AB 为直径的圆且去掉A 、B 两点，故选B ．18．如图，在正方体1111D C B A ABCD -中，P 是侧面1BC 内一动点，若P 到直线BC 与直线11D C 的距离相等，则动点P 的轨迹所在的曲线是（ ）A ．直线B ．圆C ．双曲线D ．抛物线简析：因为P 到11D C 的距离即为P 到1C 的距离，所以在面1BC 内，P 到定点1C 的距离与P 到定直线BC 的距离相等．由圆锥曲线的定义知动点P 的轨迹为抛物线，故选D ．19．已知正方体1111D C B A ABCD -的棱长为1，点P 是平面AC 内的动点，若点P 到直线11D A 的距离等于点P 到直线CD 的距离，则动点P 的轨迹所在的曲线是（ ）A ．抛物线B ．双曲线C ．椭圆D ．直线简析：如图4，以A 为原点，AB 为x 轴、AD 为y 轴，建立平面直角坐标系．设P （x ，y ），作AD PE ⊥于E 、11D A PF ⊥于F ，连结EF ，易知1x |EF ||PE ||PF |2222+=+=又作CD PN ⊥于N ，则|1y ||PN |-=．依题意|PN ||PF |=， 即|1y |1x 2-=+，化简得0y 2y x 22=+- 故动点P 的轨迹为双曲线，选B ．20．如图，AB是平面a的斜线段，A为斜足，若点P在平面a内运动，使得△ABP的面积为定值，则动点P的轨迹是（）（A）圆（B）椭圆（C）一条直线（D）两条平行直线分析：由于线段AB是定长线段，而△ABP的面积为定值，所以动点P到线段AB 的距离也是定值．由此可知空间点P在以AB为轴的圆柱侧面上．又P在平面内运动，所以这个问题相当于一个平面去斜切一个圆柱(AB是平面的斜线段)，得到的切痕是椭圆．P的轨迹就是圆柱侧面与平面a的交线．21．如图，动点P在正方体1111ABCD A B C D-的对角线1BD上．过点P作垂直于平面11BB D D的直线，与正方体表面相交于M N，．设BP x=，MN y=，则函数()y f x=的图象大致是（）分析：将线段MN投影到平面ABCD内，易得y为x一次函数．22．已知异面直线a，b成︒60角，公垂线段MN的长等于2，线段AB两个端点A、B分别在a，b上移动，且线段AB长等于4，求线段AB中点的轨迹方程．图5简析：如图5，易知线段AB的中点P在公垂线段MN的中垂面α上，直线'a、'b为平面α内过MN的中点O分别平行于a、b的直线，'a'AA⊥于'A，'b'BB⊥于'B，则P'B'AAB=⋂，且P也为'B'A的中点．由已知MN=2，AB=4，易知,2AP,1'AA==得32'B'A=．则问题转化为求长等于32的线段'B'A的两个端点'A、'B分别在'a、'b上移动时其中点P的轨迹．现以'OB'A∠的角平分线为x轴，O为原点建立如图6所示的平面直角坐标系．A BCDMNPA1 B1C1D1yxOyxOyxOyxO图6设)y ,x (P ，n |'OB |,m |'OA |==， 则)n 21,n 23('B ),m 21,m 23('A - )n m (41y ),n m (43x -=+=222)32()n m (41)n m (43=++- 消去m 、n ，得线段AB 的中点P 的轨迹为椭圆，其方程为1y 9x 22=+．点评：例5和例6分别将立体几何与解析几何中的双曲线与椭圆巧妙地整合在一起，相互交汇和渗透，有利于培养运用多学科知识解决问题的能力．立体几何中的轨迹问题1．在正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1的侧面AB 1内有一点P 到直线AB 与到直线B 1C 1的距离相等，则动点P 所在曲线的形状为 （ ） A ．线段 B ．一段椭圆弧 C ．双曲线的一部分 D ．抛物线的一部分2．在正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1的侧面AB 1内有一点P 到直线AB 的距离与到直线B 1C 1的距离之比为2：1，则动点P 所在曲线的形状为 （ ） A ．线段 B ．一段椭圆弧 C ．双曲线的一部分 D ．抛物线的一部分3．在正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1的侧面AB 1内有一点P 到直线AB 的距离与到直线B 1C 1的距离之比为1：2，则动点P 所在曲线的形状为 （ ） A ．线段 B ．一段椭圆弧 C ．双曲线的一部分 D ．抛物线的一部分4．在正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，E 为AA 1的中点，点P 在其对角面BB 1D 1D 内运动，若EP 总与直线AC 成等角，则点P 的轨迹有可能是 （ ） A ．圆或圆的一部分 B ．抛物线或其一部分 C ．双曲线或其一部分 D ．椭圆或其一部分 5．已知正方体ABCD A B C D -1111的棱长为a ，定点M 在棱AB 上（但不在端点A ，B 上），点P 是平面ABCD 内的动点，且点P 到直线A D 11的距离与点P 到点M 的距离的平方差为a 2，则点P 的轨迹所在曲线为（ ） A ．抛物线B ．双曲线C ．直线D ．圆6．若三棱锥A —BCD 的侧面ABC 内一动点P 到底面BCD 的距离与到棱AB 的距离相等，则动点P 的轨迹与∆ABC 组成的图形可能是 （ ） A A AP PP PB C B C B C B CA B C DA B C D 7．已知P 是正四面体S-ABC 的面SBC 上一点，P 到面ABC 的距离与到点S 的距离相等，则动点P 的轨迹所在的曲线是 （ ）A ．圆B ．椭圆C ．双曲线D ．抛物线8．已知平面//α平面β，直线l α⊂，点l P ∈，平面α、β间的距离为4，则在β内到点P 的距离为5且到直线l 的距离为29的点的轨迹是（ ）A ．一个圆B ．两条平行直线C ．四个点D ．两个点9．在四棱锥ABCD P -中，⊥AD 面PAB ，⊥BC 面PAB ，底面ABCD 为梯形，AD=4，BC=8，AB=6，CPB APD ∠=∠，满足上述条件的四棱锥的顶点P 的轨迹是（ ） A ．圆 B ．不完整的圆 C ．抛物线 D ．抛物线的一部分 10．如图，定点A 和B 都在平面α内，定点P ,PB ,α⊥α∉C 是α内异于A 和B 的动点．且AC PC ⊥，那么动点C 在平面α内的轨迹是（ ）A ．一条线段，但要去掉两个点B ．一个圆，但要去掉两个点C ．一个椭圆，但要去掉两个点D ．半圆，但要去掉两个点11．已知正方体1111D C B A ABCD -的棱长为1，点P 是平面AC 内的动点，若点P 到直线11D A 的距离等于点P 到直线CD 的距离，则动点P 的轨迹所在的曲线是（ ）A ．抛物线B ．双曲线C ．椭圆D ．直线12．如图，AB 是平面a 的斜线段，A 为斜足，若点P 在平面a 内运动，使得△ABP 的面积为定值，则动点P 的轨迹是（ ）A ．圆B ．椭圆C ．一条直线D ．两条平行直线 13．如图，动点P 在正方体1111ABCD A B C D -的对角线1BD 上．过点P 作垂直于平面11BB D D 的直线，与正方体表面相交于M N ，．设BP x =，MN y =，则函数()y f x =的图象大致是（ ）14．在正方体ABCD A B C D -1111中，点P 在侧面BCC 1B 1及其边界上运动，总有AP ⊥BD 1，则动点P 的轨迹为________．15．在正四棱锥S-ABCD 中，E 是BC 的中点，点P 在侧面∆SCD 内及其边界上运动，总有PE ⊥AC ，则动点P 的轨迹为_______________．16．若A 、B 为平面α的两个定点，点P 在α外，PB ⊥α，动点C （不同于A 、B ）在α内，且PC ⊥AC ，则动点C 在平面内的轨迹是________．17．已知正方体ABCD A B C D -1111的棱长为1，在正方体的侧面BCC B 11上到点A 距离为233的点的轨迹形成一条曲线，那么这条曲线的形状是_________，它的长度为__________．18．已知长方体ABCD A B C D -1111中，AB BC ==63,，在线段BD 、A C 11上各有一点P 、Q ，PQ 上有一点M ，且PM MQ =2，则M 点轨迹图形的面积是 ．19．已知棱长为3的正方体ABCD A B C D -1111中，长为2的线段MN 的一个端点在DD 1上运动，另一个端点N 在底面ABCD 上运动，则MN 中点P 的轨迹与正方体的面所围成的几何体的体积是 ．20．已知异面直线a ，b 成︒60角，公垂线段MN 的长等于2，线段AB 两个端点A 、B 分别在a ，b 上移动，且线段AB 长等于4，求线段AB 中点的轨迹方程．ABC D MNP A 1B 1C 1D 1 yxOyxOyxOyx O。
关于轨迹方程求解策略的探究与思考
教学
２０２０年２月 解法探究
参谋
系，实现点与向量的坐标化．
可以犃犃′ 所在直线为狓 轴，
其中垂线为狔 轴建立直角坐 标系，如图２所示．设点犘 的
坐标为（０，狋）（狋≠０），由题意
（ ） 可推知点犘′ ０，狋４ ．结合点
图２
的坐标，由点斜式可以分别求出犃犘 和犃′犘′的方程为
迹方程或者建立关系式即可，因此适用于动点轨迹特
征鲜明，可直接判断轨迹的问题． 例１ 在 △犃犅犆中，∠犃、∠犅 和 ∠犆所对的边分
别为犪、犫、犮，如果犪、犫、犮 依次可以构成等差数列，并且 大 小关系为犪＞犮＞犫，线段犃犅 长为２，试求点犆 的轨 迹方程．
分析 与 解 答：上 述 是 用
三角形 构 建 的 动 点 轨 迹，按
照步骤首先需要构建直角坐
标系，以直线犃犅 所在边为狓
轴，犃犅 的中点为原点建立直
角坐标系，如图１所示．犪、犫、
犮构成等差数列且犪＞犮＞犫，
图１
则２犮＝犪＋犫，根据图１图形可知，犆犃 ＋ 犆犅 ＝
２ 犃犅 ＝４，其中 犆犅 ＞ 犆犃 ，由式可知动点犆 到
ห้องสมุดไป่ตู้
定点犃 和犅 的距离之和为一定值，显然点犆 的轨迹为
实际上，上述第二步 是 求 轨 迹 方 程 突 破 的 重 难 点，也 是 最 具 有 技 巧 性 的 一 步，采 用 合 理 的 方 法 可 以 显著提升 解 题 效 率．对 于 一 般 的 常 规 问 题，图 形 结 构 较为简单或轨迹条件直白明了则可以采用直译的方 法，即 根 据 条 件 直 接 设 出 构 建 轨 迹 方 法，而 对 于 一 些 运动 复 杂、条 件 隐 晦 的 问 题 则 需 要 采 用 对 应 的 方 法， 常见的有定义 法、参 数 法、点 差 法、交 轨 法 等，下 面 对 上述四种方法加以探究．
解析几何第二章轨迹与方程PPT课件
②在这条曲线上的任意点，总对应着以它为终点的向径，而这向径可由 t
的某一值t0at0 b 通过r t x te 1 y te 2 a t b 完全决定
那么就把 r t x te 1 y te 2 a t b 叫做曲线的向量式参数方程，
其中 t 为参数。
其坐标式参数方程为 xyxytt,at b
例3 一个圆在一直线上无滑动地滚动，求圆周上一定点的轨迹 该定点的轨迹为旋轮线或摆线（cycloid）
三、常见曲线的参数方程
(1) 一个半径为r 的小圆在半径为R 的大圆内无滑动地滚动，小圆周上一 定点P 的运动轨迹称为内摆线(hypocycloid）
一、曲面的方程
求曲线方程一般需要下面的5个步骤：
1）选取适当的坐标系（如题中已给定，这一步 可省）；
2）在曲线上任取一点，也就是轨迹上的流动点；
3）根据曲线上的点所满足的几何条件写出 等式；
4）用点的坐标x,y,z的关系来表示这个等式，并化简 得方程；
5）证明所得的方程就是曲线的方程，也就是证明它符合定
《》
－Chapter 2
§1 平面曲线的方程
Contents
• 一、曲线的方程 • 二、曲线的参数方程 • 三、常见曲线的参数方程
一、曲线的方程
定义1 当平面上取定了坐标系之后，如果一个方程与一条曲线之
间有着关系：
①满足方程的 x , y 必是曲线上某一点的坐标；
②曲线上任何一点的坐标 x , y 满足这个方程，
函数关系. 注意 空间曲面的参数方程的表达式不是惟一的.
二、曲面的参数方程
x xu,v,
高考解析几何轨迹问题解题策略
高考解析几何轨迹问题解题策略
一、轨迹方程的求法
1. 直接法：直接法就是不设出动点的坐标，而是根据题设条件，直接列出轨迹上满足的点的几何条件，并从这个条件对方程进行整理，得到轨迹方程．
2. 定义法：定义法就是根据已知条件，结合所学过的圆锥曲线的定义直接写出曲线的方程．
3. 参数法：参数法是指先引入一个参数，如时间、速度等，根据已知条件，写出参数方程，再消去参数化为普通方程．
4. 交轨法：交轨法是指利用圆锥曲线统一定义，通过求交点坐标来求轨迹方程的方法．
二、轨迹问题的解题策略
1. 转化化归：将待求问题转化为已知问题，将复杂问题转化为简单问题，将抽象问题转化为具体问题，这是解决轨迹问题的基本策略．
2. 设而不求：在轨迹问题中，设点而不求出点的坐标是常用的一种解题策略．
3. 整体代换：在轨迹问题中，有时通过整体代换可以简化运算．
4. 坐标转移：在轨迹问题中，有时可以通过坐标转移来转化问题．
5. 逆向思维：在轨迹问题中，有时通过逆向思维可以简化运算．。
挖掘解析几何题目背后的思考轨迹——换一个角度学习解析几何中的“规律性常识”
挖掘解析几何题目背后的思考轨迹——换一个角度学习解析
几何中的“规律性常识”
肖岚
【期刊名称】《数学教学》
【年(卷),期】2022()1
【摘要】在解析几何教学过程中,圆锥曲线神奇的、统一的、规律性的结论确实令人惊叹,但学生不一定感同身受:第一害怕复杂的运算,第二不愿花费大量的时间,第三即便对规律性常识有印象也不会用.如何解决这些教与学的矛盾?根据学生的心理特点,笔者设计了“我是谁?我从哪里来?我到哪里去?”三个环节的套题来进行习题课的教学,以帮助同学们搭建一个层次丰富的认知体系.
【总页数】4页(P25-28)
【作者】肖岚
【作者单位】上海市七宝中学
【正文语种】中文
【中图分类】G634.6
【相关文献】
1.几何画板轨迹功能在解析几何探究性学习中的应用
2.关于解析几何中一类题目的解法探讨——一种求到二平行直线距离相等的点的轨迹的简便方法
3.例说空间解析几何教学中的两个题目
4.例谈高考解析几何复习中题目的运用与讲解
5.例说解析几何轨迹题的解题规律
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立体几何中轨迹问题的处理技巧与方法
ʏ陈 婷立体几何中的轨迹问题,是立体几何与解析几何的知识交汇点㊂这类问题,立意新颖,重视不同知识的交叉与渗透,重视对数学知识与数学能力的考查与应用,是培养同学们数学核心素养的好素材㊂一㊁直接法直接法就是直接利用立体几何的相关知识,合理分析和研究问题中各个元素之间的关系,或者直接利用轨迹定义进行求解的方法㊂例1 如图1,在正方体A B C D -A 1B 1C 1D 1中,P 是侧面B C C 1B 1上的一个动点,若点P 到直线B C 与直线C 1D 1的距离相等,则动点P 的轨迹是下列哪种线的一部分( )㊂图1A.直线 B .圆C .双曲线 D .抛物线分析:根据题设条件,利用空间点线面的位置关系,直接得到动点P 到直线B C 与到点C 1的距离相等,再结合解析几何中抛物线的定义,可得对应的答案㊂解:根据正方体的性质,可知C 1D 1ʅ平面B C C 1B 1,所以动点P 到直线C 1D 1的距离与到点C 1的距离相等㊂又动点P 到直线B C 与到直线C 1D 1的距离相等,所以动点P 到直线B C 与到点C 1的距离相等㊂根据抛物线的定义,可得动点P 的轨迹是一条抛物线的一部分㊂应选D ㊂二㊁转化法转化法就是将立体几何问题转化为平面几何问题,进行合理 降维 处理,进而应用平面几何㊁解析几何等相关知识来分析与求解的方法㊂例2 (2022年高考北京卷)已知正三棱锥P -A B C 的六条棱长均为6,S 是әA B C 及其内部的点构成的集合㊂设集合T ={Q ɪS |P Q ɤ5},则T 表示的区域的面积为( )㊂A .3π4B .πC .2πD .3π分析:根据题设条件,结合正三棱锥的性质,合理构建点P 在底面әA B C 内的射影点O ,结合集合的创新设置进行合理转化,将空间中的距离问题转化为平面上的距离问题加以分析与求解㊂解:设点P 在底面әA B C 内的射影为点O ㊂依题意知әA B C 是边长为6的正三角形,所以A O =B O =C O =23㊂因为P A =P B =P C =6,所以P O =62-(23)2=26㊂若P Q =5,则O Q =P Q 2-P O 2=1,可知动点Q 的轨迹是在底面әA B C 内,以O 为圆心,半径为r =1的圆及其内部,其对应的面积为πr 2=π㊂应选B ㊂三㊁解析法解析法就是利用解析几何在研究轨迹方面的一整套比较完整的理论体系,通过坐标法进行代数运算与逻辑推理的一种求轨迹的方法㊂解析法是解决立体几何图形的二维轨迹问题的常用方法之一㊂例3 (多选题)如图2所示,在正方体A B C D -A 1B 1C 1D 1中,E 是C C 1的中点,点P 在底面A B C D 内运动,若P D 1,P E 与底面A B C D 所成的角相等,则动点P 的轨迹是( )㊂71知识结构与拓展高一数学 2023年4月Copyright ©博看网. All Rights Reserved.图2A.圆的一部分B.椭圆的一部分C.经过线段B C靠近B的三等分点D.经过线段C D靠近C的三等分点分析:根据题意得D P=2P C,以点D为坐标原点,建立平面直角坐标系,通过坐标法进行讨论求解㊂解:由正方体的性质得D D1ʅ平面A B C D,E Cʅ平面A B C D,所以øD P D1,øC P E分别为P D1,P E与底面A B C D所成的角,所以øD P D1=øC P E㊂因为t a nøD P D1=D D1D P,t a nøC P E= C EP C,又D D1=2C E,所以D P=2P C㊂在平面A B C D中,以D为坐标原点,建立平面直角坐标系,如图3所示㊂图3设正方体的边长为a,点P(x,y),xȡ0,yȡ0,则点D(0,0),C(a,0),所以D P2= x2+y2,P C2=(x-a)2+y2,所以x2+y2= 4(x-a)2+4y2,整理得3x2+3y2-8a x+ 4a2=0,显然3x2+3y2-8a x+4a2=0表示圆的方程,所以动点P的轨迹是圆的一部分,A正确,B错误㊂线段B C靠近B的三等分点的坐标为a,23a,线段C D靠近C的三等分点的坐标为23a,0,分别代入方程3x2+3y2-8a x+4a2=0,可得3a2+3ˑ23a2-8a2+4a2=13a2ʂ0,3ˑ23a2+ 3ˑ02-8aˑ23a+4a2=0,所以23a,0在圆3x2+3y2-8a x+4a2=0上,a,23a不在圆3x2+3y2-8a x+4a2=0上,C错误,D 正确㊂应选A D㊂四㊁性质法性质法就是利用轨迹的相关知识来解决立体几何中轨迹问题的一种基本方法㊂有些空间图形的轨迹不一定是二维的,转化为平面问题比较困难,这时可借助性质法来处理㊂例4已知棱长为3的正方体A B C D-A1B1C1D1中,长为2的线段M N的一个端点M在D D1上运动,另一个端点N在底面A B-C D上运动,则线段M N的中点P的轨迹与正方体的面所围成的几何体的体积为㊂分析:不论әMD N如何变化,点P到点D的距离始终等于1㊂从而点P的轨迹是一个以点D为球心,半径为1的球的18,由此可求出体积㊂解:如图4所示,端点N在正方形A B C D内运动㊂图4因为әMD N为直角三角形,P为斜边MN的中点,所以不论әMD N如何变化,点P到点D的距离始终等于1㊂利用立体几何的性质,可知动点P的轨迹是一个以点D为球心,半径为1的球的18,所以所求体积V= 18ˑ43ˑπˑ13=π6㊂作者单位:江苏省海安高级中学(责任编辑郭正华)8 1知识结构与拓展高一数学2023年4月Copyright©博看网. All Rights Reserved.。
专题：解析几何中的动点轨迹问题
专题：解析几何中的动点轨迹问题学大苏分教研中心 周坤轨迹方程的探求是解析几何中的基本问题之一，也是近几年各省高考中的常见题型之一。
解答这类问题，需要善于揭示问题的内部规律及知识之间的相互联系。
本专题分成四个部分，首先从题目类型出发，总结常见的几类动点轨迹问题，并给出典型例题；其次从方法入手，总结若干技法（包含高考和竞赛要求，够你用的了...）；然后，精选若干练习题，并给出详细解析与答案，务必完全弄懂；最后，回顾高考，列出近几年高考中的动点轨迹原题。
OK ，不废话了，开始进入正题吧...Part 1 几类动点轨迹问题一、动线段定比分点的轨迹例1 已知线段AB 的长为5，并且它的两个端点A 、B 分别在x 轴和y 轴上滑动，点P 在段AB 上，(0)AP PB λλ=>，求点P 的轨迹。
()()()00P x y A a B b 解：设，，，，，，()()011101a a xx y b b y λλλλλλλ+⋅⎧⎧=+=⎪⎪⎪+⎨⎨++⋅=⎪⎪=⎩⎪+⎩， 2225a b +=代入()()222221125y x λλλ+++=()()222221252511x y λλλ+=++222514P x y λ=+=当时，点的轨迹是圆；① 1P y λ>当时，点的轨迹是焦点在轴上的椭圆;②01P x λ<<当时，点的轨迹是焦点在轴上的椭圆③；例2 已知定点A(3,1),动点B 在圆O 224x y +=上,点P 在线段AB 上,且BP:PA=1:2,求点P 的轨迹的方程.()()113P x y B x y AB BP =-解：设，，，，有()()()()1133131313x x y y ⎧+-=⎪+-⎪⎨+-⎪=⎪+-⎩11332312x x y y -⎧=⎪⎪⎨-⎪=⎪⎩化简即：22114x y +=代入223331422x y --⎛⎫⎛⎫+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭得 所以点P 的轨迹为()22116139x y ⎛⎫-+-= ⎪⎝⎭二、两条动直线的交点问题例3 已知两点P （-1,3），Q （1,3）以及一条直线:l y x =，设长为2的线段AB 在l 上移动（点A 在B 的左下方），求直线PA 、QB 交点M 的轨迹的方程 ()()()11M x y A t t B t t ++解：设，，，，，， ()()1313PM x y PA t t =+-=+-，，，， ()()131113QM x y QB t t =--=+-+-，，，， ////PM PAQM QB ∴，，()()()()()()()1313123x t t y x t t y ⎧+-=+-⎪∴⎨--=-⎪⎩34222x y t x y x t x y +⎧=⎪-+⎪⎨-⎪=⎪-+⎩32242x y x x y x y +-=-+-+()()()()32422x y x y x y x +-+=-+-228y x -=例4 已知12A A 、是双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的两个顶点，线段MN 为垂直于实轴的弦，求直线1MA 与2NA 的交点P 的轨迹()()()()()11111200P x y M x y N x y A a A a --解：设，，，，，，，，，，1122A P A MA P A N k k k k =⎧⎪⎨=⎪⎩ 1111y yx a x ay y x a x a⎧=⎪++⎪⎨-⎪=⎪-+⎩ 1111y y y yx a x a x a x a-⋅=⋅+-+- 22122221y y x a x a =--- 2211221x y a b -= 22221112221y x x a b a a-∴=-= 2212221y b x a a=- 22222y b x a a ∴=-- 222222a y b x a b =-+()2222010x y a b x x a b >>+=≠当时，是焦点在轴上的椭圆,；2220a b x y a =>+=当时，是圆；()2222010x y b a y x a b>>+=≠当时，是焦点在轴上的椭圆,；三、动圆圆心轨迹问题例5 已知动圆M 与定圆2216x y +=相切，并且与x 轴也相切，求动圆圆心M 的轨迹()()0M x y y ≠解：设，，224M x y y +=-当圆与定圆内切时，，224M x y y +=+当圆与定圆内切时， 224x y y ∴+=±222168x y y y +=±+2816y x ±=-M 的轨迹是两条抛物线(挖去它们的交点) ()()2211202088y x y y x y =-≠=-+≠或例6 已知圆221:(3)4C x y ++=，222:(3)100C x y -+=，圆M 与圆1C 和圆2C 都相切，求动圆圆心M 的轨迹()()11113,0,3,0,6,C C C C -=解：,M r 设动圆的半径为12(1),,M C C 若圆与外切与内切则122,10MC r MC r ⎧=+⎪⎨=-⎪⎩121112,MC MC C C +=>12M C C 的轨迹是以、为焦点的椭圆，2126263a a c c ====，，，，22227b a c =-=，2213627x y +=椭圆的方程为12,M C C (2)若圆与、都内切则12210MC r MC r⎧=-⎪⎨=-⎪⎩ 12118MC MC C C +=>12M C C 的轨迹是以、为焦点的椭圆2222842637a a c c b a c =====-=，，，，， 221167x y +=椭圆的方程为四、动圆锥曲线中相关点的轨迹例7 已知双曲线过(3,0)A -和(3,0)B ，它的一个焦点是1(0,4)F -，求它的另一个焦点2F 的轨迹()2F x y 解：设，，2121AF AF BF BF -=-由双曲线定义， ()()()()2222113004530045AF BF =--+-==-+-=，，2255AF BF -=-若，222255AF BF AF BF ∴-=-=，，204F x y =≠±的轨迹是直线（）2255AF BF -=-+若，22106AF BF AB +=>=，2F A B 的轨迹是以、为焦点的椭圆，210,5,26,3,4,a a c c b ===== 22142516x y y +=≠±椭圆方程为（）22204142516x y F x y y =≠±+=≠±的轨迹是直线（）或椭圆（）例8 已知圆的方程为224x y +=，动抛物线过点(1,0)A -和(1,0)B ，且以圆的切线为准线，求抛物线的焦点F 的轨迹方程()F x y l M 解：设焦点，，准线与圆相切于，1111AA l A BB l B ⊥⊥作于，于，1124AF BF AA BB OM +=+==，F A B 的轨迹是以、为焦点的椭圆，2422213a c AB a c b ======，，，，，()221043x y F y +=≠轨迹的方程是Part 2 求动点轨迹的十类方法一、直接法根据已知条件及一些基本公式如两点间距离公式、点到直线的距离公式、直线的斜率公式、切线长公式等，直接列出动点满足的等量关系式，从而求得轨迹方程。
《与圆有关的轨迹问题》课堂实录与课例点评
《与圆有关的轨迹问题》课堂实录与课例点评沙市中学这是湖北省沙市中学的一节随堂调研课。
时间：2011年9月18日，地点：高三(5)班，执教人：吕跃，参与听评课老师：张建功、郭秋、肖述友、镇祥平、熊炜、肖小权及本学科青年老师。
[教学实录]老师：同学们，解析几何主要研究两方面的问题：一是求曲线的方程；二是通过研究曲线的方程来进一步研究曲线的性质。
这节课，我们来一起探究一下与圆有关的点的轨迹方程的求法。
(点评：高屋建瓴，直接点题)教师：首先请一个同学回顾求曲线方程的基本步骤。
(板书)学生1：(1)建系，设点 (2)找等量关系(列式)(3)代换，化简 (4)证明完备性(检验)教师：说的非常好！在这四个步骤中较困难的是第(2)与第(4)步，下面我们以一些具体的例子来感受一下。
(点评：先回顾求曲线方程的基本步骤，有助于让学生在做后续的问题时，目标的明确化、思维的清晰化。
)(板书)例1、,135,6,︒=∠+∠=∆C B BC ABC 中求顶点A 的轨迹方程。
教师：(先让学生经过充分的思考)请一个同学说说你的思路。
学生2：(学生边说，教师边板书)先以线段BC 的中点为原点，BC 所连的直线为x 轴，建立坐标系。
再设点A 的坐标为(x,y)。
(学生显的有点紧张，在此处停顿下来)教师：以线段的中点为原点建立坐标系，这是很通常的建系方法，做的很不错，那么怎样寻找等量关系呢？(点评：先对学生的做法表示肯定，消除学生的紧张感，鼓励他继续往下做！)学生2：再根据直线AB 与AC 的夹角为45︒，用夹角公式建立方程。
教师：能给出具体的式子吗？学生2：(教师板书)|1|45tan AB AC ABAC K K K K ⋅+-=︒ 1|33133|=+⋅-++--⇒x y x y x y y y |9||6|22-+=⇒y x y学生3：两边平方，利用平方差公式变形(上台板书)0)6()9(2222=--+y y x0)96)(96(2222=--+-++∴y y x y y x0960962222=--+=-++∴y y x y y x 或教师：对这个结果有不同意见吗？学生3：变形是等价的，没问题(想了想)，要加上0≠y ，因为A 、B 、C 不共线。
轨迹问题解析几何
图2
思维感悟 ：
数学教材始终是高考数学命题的源头活水，高
考试题有相当一部分是源于教材，即从课本的例题、 习题出发，采取科学的组合、加工、扩展或赋予新 的背景等形成的，充分体现了教材的基础作用。因 此，在复习过程中，用好教材是复习的关键，复习 时对教材进行深加工，在每一堂复习课中，尽量引 入一些课本典型例题、习题，从解题思路，解题方 法，解题规律等方面作一些探索，并做一些变式研 究，使之与高考试题接近。
2 3
2
∴重心G的轨迹方程为
y = 3x +
2 3
思维感悟 ：
1. 用参数法求轨迹是高考中常考的重要题型，由于选参灵 活，技巧性强，也是学生较难掌握的一类问题。 2. 用参数法求轨迹方程的基本步骤： 建系 设标 引参 求参数方程 消参 检验
3 . 选用什么变量为参数，要看动点随什么量的变化而变化，
x
2
81
+
y
2
72
=1
(y
≠0)
变式:（2005山东卷）已知动圆过定点 ， 且与直线 x = - p 相切，其中p>0. 求动圆圆心的轨迹的 2 方程.
p ,0 2
解：如图，设M为动圆圆心， 记为 F，过点M作直线 x = - p 的垂线，垂足 2 为Ｎ，由题意知： |MF|=|MN| 即动点M到定点F与定直线 x = - p 的距离 2 相等，由抛物线的定义知，点M的轨 迹为抛物线，其中 F p ,0 为焦点， 2 p x = -准 线 ， 为 2 所 以 轨 迹 方 程 2 为 2 px p 0 . y
例 1
已知直角坐标平面上点Q(2，0)和圆C：x2+y2=1，动点M到圆C 的切线长与|MQ|的比等于常数λ(λ>0)，求动点M的轨迹方程，说 明它表示什么曲线。
高中数学立体几何中动点的轨迹问题公开课教学课件
3 2
B .
2
13 5
FE
A
D
C
.m
3 2
m
3
2 2
D.m 2
13 5
m
3 2
B
C
例2. 在正方体ABCD-A1B1C1D1中，P是侧面BB1C1C内 一动点，若P到直线BC与直线C1D1的距离相等，则动 点P的轨迹所在的曲线是 ( )
A.直线
B.圆
C.双曲线 D.抛物线
空间动点问题策略二： 空间问题平面化
常见的解题策略有: (1)动态问题静态化
(2)空间问题平面化 转化思想
(3)动态问题坐标化
批评指正
思考.已知直线l与平面α成60°角，平面α外的点A在直 线l上， B点在平面α上，且直线AB与直线l成60°角， 则点B的轨迹是
A.一条直线 B.抛物线 C.椭圆 D.双曲线
D1 A1
E D
A
C1
B1 F
C
B
练 习1.如 图 正 方 体ABCD A1B1C1D1中, E为 棱DD1上 的
一 点, DE
1 3
DD1，F为 侧 面CDD1C1上 的 动 点,且
B1F 平 面A1BE ,则B1F与 平 面CDD1C1所 成 角 的 正
切值构成的集合为
A1
D1
B1
C1
A.
A.圆 的 一 部 分
B.椭 圆 的 一 部 分
C.双 曲 线 的 一 部 分 D.抛 物 线 的 一 部 分
D1
C1
探究：
A1
B1
条件变一变, 得到其他选项
A
DP
C
B
练习4.(2008浙江)如图AB是平面α的斜线段,A为 斜足,若点P在平面 α内运动，使得△ABP的面积 为定值,则动点P的轨迹是
高中数学《点的轨迹方程探讨》教学课例分析
高中数学《点的轨迹方程探讨》教学课例分析1 教学设计1.1教学内容分析“曲线的方程”是解析几何中用代数方法研究几何问题的主要内容之一。
求曲线的方程，教材介绍了直接法、待定系数法，同时在例习题中也出现了其它方法（如定义法、相关点代入法、参数法等），但学生对求轨迹方程的方法与技能的掌握有待进一步提高。
因此，在小结复习课里，我以一道课本例题创设问题情境，利用多媒体辅助教学，设计了一节“点的轨迹方程探讨”课。
1.2教学目标提高学生探求曲线轨迹方程的能力；培养学生观察、类比、数形结合的能力；激发学生学习数学的兴趣。
2教学过程2.1创设情境师：罗雪同学在学完课本例题（人民教育出版社高中数学教材第二册(上)的Ｐ.80页例6）“已知点P 是圆1622=+y x 上的一个动点，点A 是x 轴上的定点，坐标为（12，0）。
当点P 在圆上运动时，线段PA 的中点M 的轨迹是什么？”后，提出了如下的问题：已知点P 是定圆C ：222r y x =+上的一个动点，点A 是平面内的一个定点，当点P 在圆Ｃ上运动时，在下列条件下, 线段ＰＡ的中点Ｍ的轨迹分别是什么?(１)定点Ａ在圆Ｃ外；(２)定点Ａ在圆Ｃ内；(３)定点Ａ在圆Ｃ上．师：用几何画板追踪点的轨迹功能进行探讨，你能帮助罗雪同学解决这个问题吗？学生1：线段ＰＡ的中点Ｍ的轨迹仍然是一个圆。
师：能证明吗？学生2：如图1.设点M （x,y ）, 点Ａ（a,b ），图1则点Ｐ为(rcos θ,rsin θ)，根据中点坐标公式，有θcos 22r a x +=, θsin 22r b y +=(其中θ是参数)。
所以，无论点Ａ在圆外，圆内，还是圆上，线段PA 的中点Ｍ的轨迹都是圆． 师：很好！就此例中探求点的轨迹问题，同学们还能提出哪些问题？2.2提出问题(1)如果定圆Ｃ的圆心不在坐标原点，线段ＰＡ的中点Ｍ的轨迹如何？(2)当点Ａ的坐标满足什么条件时，线段PA 的中点M 的轨迹分别和定圆Ｃ相交，相切，相离？(3)如果把圆换成椭圆，点Ｍ的轨迹如何？(4)如果把圆换成双曲线，点Ｍ的轨迹如何？(5)如果把圆换成抛物线，点Ｍ的轨迹如何？(6)如果点Ｍ是线段ＰＡ的一个三等分点，点Ｍ的轨迹如何？2.3解决问题师：现就同学们比较感兴趣的问题３和问题６进行探讨。
立体几何中的轨迹问题(详细版)
立体几何中的轨迹问题高考数学有一类学科内的综合题，它们的新颖性、综合性，值得我们重视，在知识网络交汇点处设计试题是高考命题改革的一个方向，以空间问题为为背景的轨迹问题作为解析几何与立体几何的交汇点，由于知识点多，数学思想和方法考查充分，求解比较困难。
通常要求学生有较强的空间想象能力，以及能够把空间问题转化到平面上，再结合解析几何方法求解，以下精选几个问题来对这一问题进行探讨，旨在探索题型规律，揭示解题方法。
一、用空间运动的观点来得到点的轨迹。
例1：直线PA 是平面M 的一条斜线，斜足为A ，动直线PB 过点P 且与直线PB 垂直，且交平面M 于点B ，求动点B 的轨迹。
解：先探讨直线PB 的运动轨迹，由于直线PB 始终与PA 垂直，可知PB 的运动轨迹应是直线PA 的垂直平面N 。
再结合点B 一定在平面M 内，所以点B 的轨迹应该是两个平面的交线，所以点B 的轨迹是一条直线。
针对以上解法，我们对这一问题作一深层次的探讨：若直线PA 与平面M 成α角，直线PB 始终与直线PA 成β角，再来求点B 的轨迹。
由上述解法可知，我们只要得到直线PB 的空间轨迹，再来考察该轨迹与平面M 的交线即可。
由简单的模型模拟即可知，直线PB 的轨迹是一个圆锥面，再用一个平面截圆锥面，这一知识在平面解析几何中圆锥曲线的来历中有提到，即所得曲线可能是圆、椭圆、抛物线、双曲线。
因此，我们在以下命题：直线PA 是平面M 的一条斜线，且与平面M 成α角，斜足为A ，动直线PB 过点P 且与直线PB 成β角，交平面M 于点B ，求动点B 的轨迹。
结论： （1）若α=90°，β≠90°，则动点B 的轨迹是一个圆； （2）若α≠90°，β=90°，动点B 的轨迹是一条直线；（3）若α≠90°，β≠90°，则①若90°>α>β，则轨迹是椭圆； ②若α=β，则轨迹是抛物线； ③若α<β，则轨迹是双曲线。
利用《几何画板》对一个解析几何命题链的探究
利用《几何画板》对一个解析几何命题链的探究福建省大田鸿图中学 郭守彦 邮编366100【摘要】探究学习成为高中数学新课程教学与学习的基本要素，信息技术的广泛应用对高中数学学习创设良好的探究情境，并在复杂计算、动态作图、交流反馈等方面提供了强大的支持。
本文是利用《几何画板》在多媒体网络教室中对解析几何中一类定点问题的探究实例，探究的重点主要是通过观察、类比，得出猜想，并通过《几何画板》进行验证，后续过程的探究主要是对验证后命题的证明。
【关键词】 信息技术 几何画板 数学探究 定点数学探究并不是计算机的专利，离开信息技术也可以通过类比、归纳、猜想等手段探究数学问题，但现代信息技术环境下进行数学探究有着传统教学手段不可比拟的优势，信息技术为数学课堂教学中创设了很好的探究情境，特别在复杂数据运算、动态图形、信息获取、交流合作等方面提供了强大的支持。
以下是笔者利用《几何画板》强大的动态作图能力对一个解析几何命题链的探究实例。
命题1：,A B 是抛物线22(0)y px p =>上的两个动点, M 为抛物线的顶点，且MA MB ⊥ ,求证直线AB 过定点.证明：设221212,,,22y y A y B y p p ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,则1222,MA MB p p k k y y ==， 因为MA MB ⊥，所以1MA MB k k ⋅=-，从而2124y y p =-，设直线AB 的方程为x my b =+代入抛物线方程得：()22y p my b =+即2220y pmy pb --=，所以21242y y p pb =-=-，从而2b p =，所以直线AB 过定点()2,0p 这个问题留下了很大的探究空间，首先是M 点位置的开放，然后是把垂直这种特殊位置关系一般化，还可以考虑由抛物线向椭圆和双曲线的迁移，如果这些探究结论得到验证，就可以得到一串命题链，进而形成关于一个二次曲线定点弦的统一命题。
一道解析几何题的探索与思考
得 k 2 + 9 -m 2 > 0 . , , 设点 E ( 则 x 1, F( x 2, y 1) y 2)
ìy = kx + m 消去 y 得 : íy 2 2 +x =1 î9 ( 由 Δ> 0 , k 2 + 9) x 2 + 2 km x +m 2 - 9 = 0 , - 2 km k2 +9
ìy = kx + m , 消去 y 得 : íx 2 y2 2 + 2 =1 îa b ( a 2 k 2 +b 2 ) x 2 + 2a 2 km x + a 2 m 2 - a 2 b 2 = 、 、 , 设点 E ( 0, x 1, F( x 2, P( x 0, y 1) y 2) y 0) 2a 2 km 则 x 1 +x 2 = a 2 k 2 +b 2 ①
x2 y2 定 理 3 若直线 l 与双曲线 2 - 2 = 1 ( a > a b 点 P 为该双曲线上不 0, b > 0 )交于 E 、 F 两点 , 同于 E 、 直线 P E 、 F 的任意一点 , P F 的斜率存在 b2 分 别为 k 1 、 则 k 1 ·k 2 = 2 的充要条件为直线 l k2, a 经过原点 .
一堂解析几何轨迹题的探究课
一堂解析几何轨迹题的探究课
赵秀琴;邵春和
【期刊名称】《数学教学》
【年(卷),期】2005(000)010
【摘要】上海市高二第一学期数学（试验本）第128页复习题第五题。
【总页数】3页(P20-22)
【作者】赵秀琴;邵春和
【作者单位】上海市卢湾高级中学,200023
【正文语种】中文
【中图分类】G633.65
【相关文献】
1.一堂解析几何的探究课 [J], 温丽红
2."一题一课"精雕细琢,反思经验水到渠成——以解析几何的"一题一课"教学设计为例 [J], 陶友根; 段小龙; 胡健
3.开展变式教学探索问题本质——以一堂"一道导数题的深入探究"研讨课为例 [J], 唐胜忠;林荣
4.“一题一课”精雕细琢,反思经验水到渠成——以解析几何的“一题一课”教学设计为例 [J], 陶友根;段小龙;胡健
5.回归教材抓根本,深度学习促生成——一堂高三调研压轴题探究活动课实录与思考 [J], 任卫兵
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