第1类计算素数

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高中数学奥赛辅导：第一讲奇数、偶数、质数、合数

高中数学奥赛辅导第一讲奇数、偶数、质数、合数知识、方法、技能Ⅰ.整数的奇偶性将全体整数分为两类，凡是2的倍数的数称为偶数，否则称为奇数.因此，任一偶数可表为2m （m ∈Z ），任一奇数可表为2m+1或2m －1的形式.奇、偶数具有如下性质：（1）奇数±奇数=偶数；偶数±偶数=偶数；奇数±偶数=奇数；偶数×偶数=偶数；奇数×偶数=偶数；奇数×奇数=奇数；（2）奇数的平方都可表为8m +1形式，偶数的平方都可表为8m 或8m +4的形式（m ∈Z ）.（3）任何一个正整数n ，都可以写成l n m2=的形式，其中m 为非负整数，l 为奇数.这些性质既简单又明显，然而它却能解决数学竞赛中一些难题.Ⅱ.质数与合数、算术基本定理大于1的整数按它具有因数的情况又可分为质数与合数两类.一个大于1的整数，如果除了1和它自身以外没有其他正因子，则称此数为质数或素数，否则，称为合数.显然，1既不是质数也不是合数；2是最小的且是惟一的偶质数.定理：（正整数的惟一分解定理，又叫算术基本定理）任何大于1的整数A 都可以分解成质数的乘积，若不计这些质数的次序，则这种质因子分解表示式是惟一的，进而A 可以写成标准分解式：n a n a a p p p A 2121⋅= （*）. 其中i n p p p p ,21<<< 为质数，i α为非负整数，i =1，2，…，n .【略证】由于A 为一有限正整数，显然A 经过有限次分解可分解成若干个质数的乘积，把相同的质因子归类整理可得如（*）的形式（严格论证可由归纳法证明）.余下只需证惟一性.设另有j m n q q q q q q q A m ,,212121<<<⋅= 其中βββ为质数，i β为非负整数，j=1，2，…，m .由于任何一i p 必为j q 中之一，而任一j q 也必居i p 中之一，故n=m .又因 ),,2,1(,,2121n i q p q q q p p p i i n n ==<<<<<则有，再者，若对某个i ，i i βα≠（不妨设i i βα>），用i i p β除等式n n n a n a a p p p p p p βββ 21122121⋅=两端得：.11111111n i i n i i n i i n i p p p p p p p ββββεβαα +-+--⋅=此式显然不成立（因左端是i p 的倍数，而右端不是）.故i i βα=对一切i =1，2，…，n 均成立.惟一性得证.推论：（合数的因子个数计算公式）若n n p p p A ααα 2121=为标准分解式，则A 的所有因子（包括1和A 本身）的个数等于).1()1)(1(21+++n ααα （简记为∏=+n i i 1)1(α）这是因为，乘积2222212111()1()1(21nn p p p p p p p p ++++++⋅++++ αα )nn p α++ 的每一项都是A 的一个因子，故共有∏=+ni i 1)1(α个. 定理：质数的个数是无穷的.【证明】假定质数的个数只有有限多个,,,21n p p p 考察整数.121+=n p p p a 由于1>a 且又不能被),,2,1(n i p i =除尽，于是由算术基本定理知，a 必能写成一些质数的乘积，而这些质数必异于),,2,1(n i p i =，这与假定矛盾.故质数有无穷多个.赛题精讲例1．设正整数d 不等于2，5，13.证明在集合｛2，5，13，d ｝中可以找到两个元素a ,b ，使得a b －1不是完全平方数. （第27届IMO 试题）【解】由于2×5－1=32，2×13－1=52，5×13－1=82，因此，只需证明2d －1，5d －1，13d －1中至少有一个不是完全平方数.用反证法，假设它们都是完全平方数，令2d －1=x 2 ①5d －1=y 2 ②13d －1=z 2 ③x,y,z ∈N *由①知，x 是奇数，设x =2k －1，于是2d －1=（2k －1）2，即d =2k 2－2k+1，这说明d 也是奇数.因此，再由②，③知，y,z 均是偶数.设y=2m ,z =2n ,代入③、④，相减，除以4得，2d =n 2－m 2=(n+m)(n －m)，从而n 2－m 2为偶数，n ，m 必同是偶数，于是m+n 与m －n 都是偶数，这样2d 就是4的倍数，即d 为偶数，这与上述d 为奇数矛盾.故命题得证.例2．设a 、b 、c 、d 为奇数，bc ad d c b a =<<<<并且,0，证明：如果a +d =2k ，b+c=2m ，k,m 为整数，那么a =1. （第25届IMO 试题）【证明】首先易证：.22m k >从而ad d a d a c b a d m k 4)()(,(22+-=+->->于是因为 22)(4)(c b bc c b +=+->.再由,222,2,22a b a b b c a d bc ad k m m k -=⋅-⋅-=-==可得因而))(()2(2a b a b a b m k m -+=⋅-- ①显然，a b a b -+,为偶数，a b m k --2为奇数，并且a b a b -+和只能一个为4n 型偶数，一个为4n+2型偶数（否则它们的差应为4的倍数，然而它们的差等于2a 不是4 的倍数），因此,如果设f e a b m k ⋅=--2，其中e,f 为奇数，那么由①式及a b a b -+,的特性就有（Ⅰ）⎩⎨⎧=-=+-.2,21f a b e a b m 或（Ⅱ）⎩⎨⎧=-=+-.2,21e a b f a b m 由f a b a b a b ef m k 222≤-<-≤-=- 得e=1，从而.2a b f m k --=于是（Ⅰ）或（Ⅱ）分别变为⎪⎩⎪⎨⎧-=-=+--)2(2,21a b a b a b m k m 或⎪⎩⎪⎨⎧=--=+--12),2(2m m k a b a b a b 解之，得1122-+-=⋅m m k a .因a 为奇数，故只能a =1.例3．设n a a a ,,,21 是一组数，它们中的每一个都取1或－1，而且a 1a 2a 3a 4+a 2a 3a 4a 5+…+a n a 1a 2a 3=0，证明：n 必须是4的倍数. （第26届IMO 预选题）【证明】由于每个i a 均为1和－1，从而题中所给的等式中每一项321+++i i i i a a a a 也只取1或－1，而这样的n 项之和等于0，则取1或－1的个数必相等，因而n 必须是偶数，设n=2m. 再进一步考察已知等式左端n 项之乘积=(n a a a 21)4=1，这说明，这n 项中取－1的项（共m 项）也一定是偶数，即m=2k ，从而n 是4的倍数.例4．如n 是不小于3的自然数，以)(n f 表示不是n 的因数的最小自然数[例如)(n f =5].如果)(n f ≥3，又可作))((n f f .类似地，如果))((n f f ≥3，又可作)))(((n f f f 等等.如果2)))(((= n f f f f ，就把k 叫做n 的“长度”.如果用n l 表示n 的长度，试对任意的自然数n （n ≥3），求n l ，并证明你的结论.（第3届全国中学生数学冬令营试题）【解】令m t n m ,2=为非负整数，t 为奇数. 当m=0时，2)()(==t f n f ，因而l n =1；当0≠m 时，设u 是不能整除奇数t 的最小奇数，记).(t g u =（1）若.2,2))((,)(,2)(1===<+n m l n f f u n f t g 所以则（2）若.3,2)3()))(((,3)2())((,2)(,2)(111======>+++n m m m l f n f f f f n f f n f t g 所以则故⎪⎩⎪⎨⎧>>==+.,2);)((2)(,,0,2,3;,11其他情形如上且为奇数当为奇数时当t g t g t m t n n l m m n例5．设n 是正整数，k 是不小于2的整数.试证：k n 可表示成n 个相继奇数的和.【证明】对k 用数学归纳法.当k=2时，因),12(312-+++=n n 命题在立.假设k=m 时成立，即,)12()3()1(2n na n a a a nm +=-++++++= （a 为某非负数）则,)()(2221n n n na n n n na n n n m m +-+=+=⋅=+若记n n na b -+=2（显然b 为非负偶数），于是1),12()3()1(21+=-++++++=+=+m k n b b b n nb n m 即时，命题成立，故命题得证.例6．在平面上任画一条所有顶点都是格点的闭折线，并且各节的长相等.能使这闭折线的节数为奇数？证明你的结论. （莫斯科数学竞赛试题）【解】令符合题设条件的闭折线为A 1A 2…A n A 1，则所有顶点i A 的坐标（i i y x ,）符合).,,2,1(,n i Z y x i i =∈并且C n i C Y X i i ,,2,1(22 ==+为一固定的正整数），其中),,,,,2,1(,111111y y x x n i y y Y x x X n n i i i i i i ===-=-=++++ 则由已知有∑==n i i X1,0 ① ∑==n i i Y1,0 ②2222222121n n Y X Y X Y X +==+=+ ③不妨设i i Y X 和中至少有一个为奇数（因为设m t X i m i ,2=是指数最小的，t i 为奇数，用2m 除所有的数后，其商仍满足①、②、③式），于是它们的平方和C 只能为4k+1或4k+2.当C=4k+2时，由③知，所有数对i i Y X 与都必须是奇数，因此，根据①、②式知，n 必为偶数.当C=4k+1时，由③知，所有数对i i Y X 与都必一奇一偶，而由①知，X i 中为奇数的有偶数个（设为2u ），余下的n －2u 个为偶数（与之对应的Y i 必为奇数），再由②知，这种奇数的Yi 也应有偶数个（设为u n 22-=ν），故)(2ν+=u n =偶数. 综上所述，不能作出满足题设条件而有奇数个节的闭折线.例7．求出最小正整数n ，使其恰有144个不同的正因数，且其中有10个连续整数.（第26届IMO 预选题）【解】根据题目要求，n 是10个连续整数积的倍数，因而必然能被2，3，…，10整数.由于8=23，9=32，10=2×5，故其标准分解式中，至少含有23·32·5·7的因式，因此，若设 ,11753254321 ααααα⋅⋅⋅⋅=n 则.1,1,2,34321≥≥≥≥αααα由,144)1)(1)(1)(1(4321=++++ αααα而,482234)1)(1)(1)(1(4321=⋅⋅⋅≥++++αααα故最多还有一个,2),5(0≤≥>j j j αα且为使n 最小，自然宜取.025≥≥α由)0(144)1)(1)(1)(1()0(144)1)(1)(1)(1)(1(54321554321时或时==++++≠=+++++ααααααααααα考虑144的可能分解，并比较相应n 的大小，可知合乎要求的（最小）,2,521==αα,1543===ααα故所求的.11088011753225=⋅⋅⋅⋅=n下面讲一个在指定集合内的“合数”的问题.这种合数与通常的合数有区别，题中的“素元素”是指在该集合内的素数，也与通常的素数有区别.例8．设n>2为给定的正整数，{}.,1*N k kn V n ∈+=试证：存在一数,n V r ∈这个数可用不只一种方式表示成数集V n 中素元素的乘积. （第19届IMO 试题）【证明】由于V n 中的数都不小于),2(1>+n n 因而n V n n n n ∈-⋅---)12()1(,)12(,)1(22. 显然)12()1(,)1(2-⋅--n n n 是V n 中的素元素.又若（2n －1）2不是V n 中素元素，则有 ,)12()1()1(,12-=+⋅+≥≥n bn an b a 使由此有,44b a abn n ++=-于是,31≤≤ab 从而b=1,a =1;b=1,a =2,b=1,a =3,对此就有,8,28,2=n 故n=8.这说明，当2)12(,8-≠n n 时就是V n 中素元素.当)]12)(1[()12()1(,.)12()1(,82222--=--=∈--=≠n n n n r V r n n r n n 且显然令时 )].12)(1[(--n n当n=8时，有1089=136×8+1=9×121=33×33，而9，121，33∈V 8.综上知，命题得证.例9．已知n ≥2，求证：如果n k k ++2对于整数k （30n k ≤≤）是质数，则n k k ++2对于所有整数)20(-≤≤n k k 都是质数.（第28届（1987）国际数学奥林匹克试题6）【证】设m 是使n k k ++2为合数的最小正整数.若n m m p n m n ++-≤<2,23是令的最小质因子，则n m m p ++≤2.（1）若m ≥p ，则p|(m －p)2+(m －p)+n. 又(m －p)2+(m －p)+n ≥n ＞p ，这与m 是使n k k ++2为合数的最小正整数矛盾.（2）若m ≤p －1，则n m p m p n m p m p +---=+--+--))(1()1()1(2被p 整除，且.)1()1(2p n n m p m p >≥+--+--因为n m p m p +--+--)1()1(2为合数，所以.12,1+≥≥--m p m m p 由 ,122n m m p m ++≤≤+ 即 ,01332≤-++n m m 由此得363123n n m <-+-≤ 与已知矛盾.所以，对所有的n k k n k n ++-≤<2,23为质数.（注：可编辑下载，若有不当之处，请指正，谢谢!）。

100以内质数的多种记忆方法

精心整理100以内质数的多种记忆方法100以内质数的多种记忆方法大家都知道，100以内的质数共25个，在教学的过程中如何让学生轻松地记忆下来，为后面的学习奠定基础，是非常重要的。

我在网上搜了些相关的内容，希望给大家以提示。

100以内的质数歌谣“二、三、五、七带十一十三、十七记心里25百以内质数心中记。

100以内质数记忆法100以内的质数共有25个，这些质数我们经常用到，可以用下面的两种办法记住它们。

一、规律记忆法首先记住2和3，而2和3两个质数的乘积为6。

100以内的质数，一般都在6的倍数前、后的位置上。

如5、7、11、13、19、23、29、31、37、41、43……只有25、35、49、55、65、77、85、91、95这几个6的倍数前后位置上的数不是质数，而这几个数都是5或7的倍数。

由此可知：100以内6的倍数前、后位置上的两个数，只要不是5或7的倍数，就一定是质数。

根据这个特点可以记住100以内的质数。

二、分类记忆法我们可以把100以内的质数分为五类记忆。

第一类：20以内的质数，共8个：2、3、5、7、11、13、17、19。

第二类：个位数字是3或9，十位数字相差3的质数，共6个：23、29、53、59、83、89。

第三类：个位数字是1或7，十位数字相差3的质数，共4个：31、37、61、67。

第四类：个位数字是1、3或7，十位数字相差3的质数，共5个：41、43、47、71、73。

第五类：还有2个持数是79和97。

100以内质数及记忆方法方法:2357和11开始。

3、6、917、19、41、431、让学生领会到第三、四、五句中所提到的“二五八十”、“三六九十”、“一四七十”每组中的三个十位上数字都是“加3”递增的。

2、让学生意识到第七句的“七七四九”巧妙运用了乘法口诀“七七四十九”，把“77”和“49”这两个例外数连在一起，可加深对这两个例外数的准确记忆。

注意：阿拉伯数字是原有的，括号里面的是记忆方法（要念的）比如2（二）就是二2（二）3（三）5（五）7（七）11（一十一还有）13（十三和）17（十七）19（十九）23（二十三）29（二十九）31（三一）37（三七）41（四十一）43（四【长音】十三）47（四十七）53（五三）59（五九）61（六十一）67（六十七）71（七十一）73（七三）79（七九没mò忘记100以内质数表还有）83（八三）89（八九）97（九十七）连起来就是“二三五七一十一，还有十三和十七，十九二十三二十九，三一三七四十一，四十三四十七五三五九六十一，六十三六十七七三七九没忘记，100以内质数表还有八三八九九十七正愁学生记不住呢?![思路分析]记住质数就可以，除了质数和1外的其他数都是合数[解题过程]100以内的质数共有25个，这些质数我们经常用到，可以用下面的两种办法记住它们。

第十一讲初等数论-2

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• 分析：分析：
–先明确下各个变量代表的意思：先明确下各个变量代表的意思：先明确下各个变量代表的意思
• x：青蛙A的出发点坐标青蛙A • y：青蛙B的出发点坐标青蛙B • m：青蛙A一次能跳m米青蛙A一次能跳m • n：青蛙B一次能跳n米青蛙B一次能跳n • L：纬度线总长L米纬度线总长L
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gcd（最大公因子）最大公约数 gcd（最大公因子）
• Euclidean算法求两个正整数a和b的 Euclidean算法求两个正整数a 算法求两个正整数 gcd。先令r gcd。先令r0为a，r1为b，接着执行如下运算：下运算：
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最大公约数
• GCD递归定理：对任意非负整数a和任意 GCD递归定理对任意非负整数a 递归定理：正整数b 正整数b，gcd(a, b) = gcd(b, a mod b)。 b)。
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扩展欧几里德算法
程序代码如下：程序代码如下： int extended_ gcd(int a, int &y){ int t, gcd; if (b == 0) { x = 1; y = 0; return a; } gcd = extended_ gcd t = x; x = y; y = t return gcd; } int b, int &x,
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第三章
同余
同余是数论中的重要概念，同余是数论中的重要概念，同余理论是研究整数问题的重要工作之一.本章介绍同余的基本概念，问题的重要工作类和完全剩余系.
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例3. 求 7 的个位数.
7 解：1 ≡ −3(mod10), 7 2 ≡ −1(mod10), 7 4 ≡ 1(mod10)

数学分类六种

数学分类六种
1. 代数：涵盖了代数方程、函数、多项式等方面，着眼于数的符号表示和基本的数学运算。

2. 几何：研究空间和形状的性质和相互关系，包括平面几何、立体几何和非欧几里德几何等多个分支。

3. 数论：研究整数性质和结构，包括素数、同余方程、数的分解、欧拉定理等方面。

4. 概率论与数理统计：研究随机事件的特征、随机变量的分布规律、样本数据的描述和分析方法等。

5. 数值分析：研究数值计算方法，包括数值微积分、数值代数、数值解微分方程等方面。

6. Topology: studies the properties and relationships of spaces and abstract shapes, including the concepts of continuity, convergence, and compactness.。

素数通项公式

素数通项公式素数通项公式是指能够表示出所有素数的通项公式。

素数是指大于1且只能被1和自身整除的自然数，如2、3、5、7等。

对于素数的研究在数学领域具有重要的意义，因为素数是构成其他整数的基本单位，也是许多数论问题的核心。

素数通项公式的提出，可以帮助数学家们更好地理解素数的特性和分布规律。

然而，目前还没有找到一种通用的素数通项公式，能够准确地表示出所有的素数。

这是因为素数的分布规律非常复杂，迄今为止仍然是数论领域的一个未解之谜。

尽管没有找到通用的素数通项公式，但是数学家们已经发现了一些特殊情况下的素数通项公式。

例如，欧拉在18世纪提出了欧拉函数，它可以计算出给定正整数n的素数个数。

欧拉函数的公式中包含了一些特定的数学函数，如幂函数、对数函数等。

数学家们还发现了一些与特定数学函数相关的素数通项公式。

例如，费马素数是指形如2^(2^n)+1的素数，其中n是非负整数。

费马素数通项公式可以表示出所有费马素数。

然而，费马素数通项公式只能得到一部分费马素数，而不能得到全部。

除了特殊情况下的素数通项公式，数学家们也通过计算机模拟和数值计算等方法，得到了大量的素数。

通过这些数值数据，他们可以研究素数的性质和规律。

例如，素数定理是指当自然数n趋向无穷大时，素数的个数近似等于n/ln(n)。

这个定理为研究素数的分布规律提供了一个重要的参考。

尽管目前还没有找到通用的素数通项公式，但是数学家们的研究工作仍在继续。

他们希望通过理论推导和数值计算等方法，找到更多的素数通项公式，揭示素数的奥秘。

同时，他们也希望通过研究素数的特性和分布规律，解决一些与素数相关的数论难题，如哥德巴赫猜想、黎曼猜想等。

素数通项公式是数学领域一个重要的课题，它可以帮助我们更好地理解素数的特性和分布规律。

虽然目前还没有找到通用的素数通项公式，但是数学家们的研究工作仍在不断进行。

他们希望通过研究素数的特性和分布规律，揭示素数的奥秘，解决一些与素数相关的数论难题。

统计素数并求和c语言pta

统计素数并求和c语言pta在计算机科学中，素数是一个非常重要的概念。

所谓素数，是指只能被1和自身整除的自然数。

在数学领域，素数也被称为质数。

素数在密码学、数据加密等领域中扮演着重要的角色。

其特性使得素数成为一种安全的加密算法基础。

因此，对于计算机科学专业的学生来说，掌握素数的性质和求解方法非常关键。

C语言是一个广泛应用于编程和算法实现的语言，对于计算素数也提供了很多实用的方法。

下面将介绍一个简单但高效的算法，通过C语言统计并求和素数。

首先，我们需要了解C语言中常用的数据类型和循环结构。

对于整数类型，我们可以选择使用int型来表示自然数。

而循环结构，比如for循环，可以用来遍历指定范围内的数字。

接下来，我们需要实现一个函数来判断一个数字是否是素数。

一个数字n是素数，当且仅当它不能被2到sqrt(n)之间的任意整数整除。

我们可以通过for循环来判断n是否能被这个范围内的数字整除，如果整除则不是素数，否则是素数。

在函数中，我们需要使用一个标志变量来判断是否有数字可以整除n。

当有数字可以整除n时，将标志变量设置为0，表示不是素数。

如果没有数字可以整除n，则标志变量保持为1，表示是素数。

接着，我们可以编写一个主函数来实现统计和求和素数的功能。

我们需要定义一个变量sum，用于记录所有素数的和。

利用for循环，我们可以遍历指定范围内的数字，并调用判断素数的函数来判断每个数字是否是素数。

如果是素数，将sum加上该素数的值。

最后，在控制台输出sum的值，即为统计并求和素数的结果。

综上所述，通过使用C语言中的数据类型和循环结构，我们可以简单而高效地统计素数并求和。

对于计算机科学专业的学生来说，通过掌握这种方法，可以提高解决问题的能力和编程技巧。

同时，对于密码学和数据加密等领域的研究人员来说，了解素数的性质和应用是非常重要的。

希望通过本文的介绍，读者能够更好地理解素数的概念和求解方法，以及在C语言中实现统计素数并求和的过程。

求100以内的素数和流程图的方法

求100以内的素数和流程图的方法下载温馨提示:该文档是我店铺精心编制而成，希望大家下载以后，能够帮助大家解决实际的问题。

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行测数量关系之数字推理

第二节数字推理的题型

一、一级数列、二级数列、三级数列（一）一级数列 1、自然数列例：1,2,3,4,5,6，…… 2,3,10,15,26,35，（） 2、奇（偶）数数列例：13 24 71 127 183 （）

3、质数数列例：1 1 2 3 4 7 （6）
江苏省考
数字推理 A类 B类 C类数学运算 A类 B类 C类
国考
数学推理 A\B类数学运算 A\B类
09-14年数量关系题量占比变化
考试类别江苏省考 A类 B类 C类国考
数量关系题量占比 09-13年 23.8% 19% 19% 11.1% 14年 14.3% 14.3% 15% 11.1%
36 729 64
512 1024 53
43=26 44=28=16 45=210 64 256 1024
125
625
216 1296

2、熟练掌握各种题型，熟练掌握各种数列的规律及其变式是快速解题的根本。 3、相应的题型和规律需要做适当的训练，但切忌题海战术，要注意归纳典型考题的一般解题思路和方法，举一反三。 4、数字推理题每题用时通常需不超过50秒。 5、数字推理的一般步骤可以归纳为三个环节：观察—假设—验证。

1/3 1/7 7/9 【2014省考A】 A.11/21 B.63/65
1/31
C.13/51
19/45
（）
D.91/165 )【2014省考B】 D.35/22

1 1 8/7 16/11 2 ( A.36/23 B.9/7 C.32/11
因数分解例题：

-2 -2 0 4 10 （）【2013省考C】 A.18 B.16 C.15 D.12 6 10 16 】 A.29 B.31 24

《Java 程序设计》习题答案

第1章Java语言面与向对象的程序设计习题1．Java语言有哪些主要特点?答：（要点）：1．简单易学2．面向对象3．平台无关性4．安全稳定5．支持多线程6．很好地支持网络编程7．Java丰富的类库使得Java可以广泛地应用2．简述面向过程问题求解和面向对象问题求解的异同。

试列举出面向对象和面向过程的编程语言各两种。

答：面向过程问题求解，以具体的解题过程为研究和实现的主体，其思维特点更接近于计算机；面向对象的问题求解，则是以“对象”为主体，“对象”是现实世界的实体或概念在计算机逻辑中的抽象表示，更接近于人的思维特点。

面向过程的编程语言：C，Pascal，Foratn。

面向对象的编程语言：C++，Java，C#。

3．简述对象、类和实体及它们之间的相互关系。

尝试从日常接触到的人或物中抽象出对象的概念。

答：面向对象技术中的对象就是现实世界中某个具体的物理实体在计算机逻辑中的映射和体现。

类是同种对象的集合与抽象。

类是一种抽象的数据类型，它是所有具有一定共性的对象的抽象，而属于类的某一个对象则被称为是类的一个实例，是类的一次实例化的结果。

如果类是抽象的概念，如“电视机”，那么对象就是某一个具体的电视机，如“我家那台电视机”。

4．对象有哪些属性?什么是状态?什么是行为?二者之间有何关系?设有对象“学生”，试为这个对象设计状态与行为。

答：对象都具有状态和行为。

对象的状态又称为对象的静态属性，主要指对象内部所包含的各种信息，也就是变量。

每个对象个体都具有自己专有的内部变量，这些变量的值标明了对象所处的状态。

行为又称为对象的操作，它主要表述对象的动态属性，操作的作用是设置或改变对象的状态。

学生的状态：姓名、性别、年龄、所在学校、所在系别、通讯地址、电话号码、入学成绩等；学生的行为：自我介绍、入学注册、选课、参加比赛等。

5．对象间有哪三种关系?对象“班级”与对象“学生”是什么关系?对象“学生”与对象“大学生”是什么关系?答：对象间可能存在的关系有三种：包含、继承和关联。

《关于素数公式,素数定理 ,哥德巴赫猜想的初等证明》

关于素数公式素数定理哥德巴赫猜的初等证明想[原创]2009.10.26山东省莱西市266618。

摘要:素数(亦称质数)，是数论领域极具神秘色彩的数，有关素数的数学难题，则是数论领域，最具挑战性的经典数学难题之一。

本文从最浅显的数学基础理论入手，通过对传统数学理论的继承与创新,采用新颖的数学思想和数学方法,从本质上揭示出了素数在正整数域中,分布变化的内在规律。

并简明的给出了“素数公式”；“准素数定理”以及“哥德巴赫猜想”的初等证明。

进而使得这门古老的数学基础理论----“数论”焕发出新的生机。

关键词：素数，素数公式，准素数定理，哥德巴赫猜想。

引言数论，是一门古老的数学学科分支，他是研究整数性质和相互关系的理论。

素数及其分布，则是数论领域最有趣的一大分支。

关于素数分布问题,可分为三种类型:一:怎样直接计算和表示出(某个、多个以及所有)素数。

亦即“素数公式”问题。

二:怎样得到和准确表示出给定正整数域中，素数的数量及其分布,亦即“准素数定理”问题。

三:怎样得到和表示出所给定正整数域中，具有某种特性的素数的数量及其分布规律.如: “孪生及比孪生素数问题”;“哥德巴赫猜想问题”，“勒让德猜想问题”等等。

对于素数这三个方面的问题,虽然世界上诸多数学精英做了大量的工作.发现并利用大筛法来获得素数,编制了庞大的素数表数据库。

但是,因所引用的基础的理论存在偏差,确切的说，是所引用定理的切于点不到位和不够精准。

所以导致了在理论层面上，不但没能证明出，表达给定整数域中，任意素数的表达式----素数公式；而且，也没能归纳出有关正整数域中，素数数量分布变化的表达式----准素数定理；因此，也就无法最终解决那些具有某种特性的素数，在正整数域中分布变化规律的诸多难题。

所以数百年来在数学界遗憾的错过了对一个极其重要的数学规律的发现及认知。

下面用初等数学方法对“素数公式”问题、“准素数定理”问题、“哥德巴赫猜想”问题、进行论证。

一：素数公式素数:是指在正整数域内，只能表示为1的整数倍数的数。

利用模n同余类乘群初探素数的分布规律

利⽤模n同余类乘群初探素数的分布规律利⽤模n同余类乘群初探素数的分布规律由模 n 同余类集合构成的 n 阶加群按模 n 同余分类，整数 Z 被分为 n 个⼦集，即 [1]n、[2]n、...、[n]n，简记为 [1]、[2]、...、[n]。

Zn = {[1], [2], ..., [n]} 称为模 n 同余类集合。

易知 Zn 是以 [n] 为单位元（零元）的 n 阶加群.以 Z8 为例，[1] + [7] = [8]，即 [1] 和 [7] 互为逆元（负元），同样互为逆元的还有 [2] 和 [6]、[3] 和 [5]；[4] + [4] = [8]，即 [4] 的逆元是⾃⾝，易知 {[8], [4]} 是 Z8 的唯⼀ 2 阶真⼦群，且为正规⼦群，Z8 关于⼦群 {[8], [4]} 的陪集分解也是唯⼀的，即：Z8 = {[8], [4]} ∪ {[1], [5]} ∪ {[2], [6]} ∪ {[3], [7]}同样 {[8], [4], [2], [6]} 是 Z8 的唯⼀ 4 阶真⼦群，且为正规⼦群，Z8 关于该⼦群的陪集分解也是唯⼀的，即：Z8 = {[8], [4], [2], [6]} ∪ {[1], [5], [3], [7]}模 n 同余类乘群当 n 不为 1 时，Zn 不能构成乘群，这是因为 [1] 成了单位元，⽽零元 [n] 没有逆元，即 [n]·[x] = [1] ⽆解.模 n 同余类乘群 Z'n 是 Zn 的⼦集，其定义为：Z'n = {[k] ∈ Zn | 1 ≤ k ≤ n, gcd(k, n) = 1}考察 Z'24由欧拉函数公式可知，|Z'24| = φ(24) = φ(3)·φ(23) = 2·(23 - 22) = 8，由定义可以具体列出 Z'24，即：Z'24 = {[1], [5], [7], [11], [13], [17], [19], [23]}容易发现其中的同余类的常规代表数中，除了 1 之外都是素数，且 24 的素因数只有 2 和 3，这实际上提供了⼀种求区间 [1, 24] 内有多少个素数的可⾏⽅法.记区间 [m, n] 内的素数个数为 S(m, n)，因为和 24 互素的最⼩素数为 5，⽽ 5×5 > 24，所以S(1, 24) = φ(24) - 1 + 2 = 9考察 Z'48 和 Z'96Z'48 中有φ(48) = φ(3)·φ(24) = 2·(24 - 23) = 16 个同余类，且其常规代表数中⾮素数有 1、5×5、5×7，共计 3 个，于是S(1, 48) = φ(48) - 3 + 2 = 15Z'96 中有φ(96) = 32 个同余类，且其常规代表数中⾮素数有，即 1、5×5、5×7、7×7、5×11、5×13、7×11、7×13、5×17，共计 9 个，于是S(1, 96) = φ(96) - 8 + 2 = 25归纳与分析由上⾯考察的 n = 24, 48, 96 三种情形，便得到了两组等长区间的对⽐数据：9 = S(1, 24) > S(25, 48) = S(1, 48) - S(1, 24) = 15 - 9 = 615 = S(1, 48) > S(49, 96) = 25 - 15 = 10不难发现这⼀类情形的⼀般形式为：n = 3·2k，k ≥ 1 (I)此时有φ(n) = 2kk = 1 时，n = 6，Z'6 = {[1], [5]}k = 2 时，n = 12，Z'12 = {[1], [5], [7], [11]}上⾯具体考察的分别为 k = 3, 4, 5 的情形。

欧拉筛选素数法

欧拉筛选素数法欧拉筛选素数法是一种高效的素数筛选算法，它是由古希腊数学家欧拉发现的。

它的优点在于它可以比较快速地筛选出一定范围内的素数，而且它的实现也比较简单。

本文将介绍欧拉筛选素数法的原理及其具体实现过程。

一、欧拉筛选素数法的原理欧拉筛选素数法的原理是：从2开始，把2的倍数剔除掉，然后再把3的倍数剔除掉，再把下一个没有被剔除的数作为第一个素数，再把它的倍数剔除掉，以此类推，直到剔除掉所有小于指定数的素数。

因此，如果要筛选出小于等于n的所有素数，那么首先需要构造一个大小为n的表，初始时均设置为“真”（即假设所有数都是素数），然后从2开始，把2的倍数剔除掉，然后再把3的倍数剔除掉，再把下一个没有被剔除的数作为第一个素数，再把它的倍数剔除掉，以此类推，直到剔除掉所有小于n的素数。

最后，表中剩下的值为真的数就是素数。

二、欧拉筛选素数法的具体实现1.首先，根据欧拉筛选素数法的原理，需要构造出一个大小为n的表，初始时均设置为“真”（即假设所有数都是素数）。

2.然后，从2开始，把2的倍数剔除掉，然后再把3的倍数剔除掉，再把下一个没有被剔除的数作为第一个素数，再把它的倍数剔除掉，以此类推，直到剔除掉所有小于n的素数。

3.最后，表中剩下的值为真的数就是素数。

这些素数就是欧拉筛选素数法筛选出来的素数。

三、欧拉筛选素数法的优点欧拉筛选素数法具有如下优点：1.算法简单，实现起来比较容易；2.比较快速地筛选出一定范围内的素数；3.能够节省空间，计算的复杂性也较低。

因此，欧拉筛选素数法是一种比较有效的素数筛选算法，它不仅实现方便，而且效率也比较高。

综上所述，欧拉筛选素数法是一种比较有效的素数筛选算法，它的原理是：从2开始，把2的倍数剔除掉，然后再把3的倍数剔除掉，再把下一个没有被剔除的数作为第一个素数，再把它的倍数剔除掉，以此类推，直到剔除掉所有小于指定数的素数。

欧拉筛选素数法的优点在于它可以比较快速地筛选出一定范围内的素数，而且它的实现也比较简单，节省空间，计算复杂性也较低。

六年级数学思维培优秋季-第2讲：分解素因数(含答案解析)

【举一反三】 1.两个数的最小公倍数是 140，最大公因数是 4，且小数不能整除大数，这两个数分别是多少？【难度】★★
小结 3
9
自主巩固（30 分钟）
1.写出下列各组数的最小公倍数：
1 与 299（）
12 与 36（
）
13 与 52（）
10 与 14（
）
6 与 15（）
22 与 66（
）
【难度】★
【例】36 和 54 的公因数有_____________．【难度】★ 【举一反三】 1.三个数 16、24 和 30 的公因数有______．【难度】★★
类型二：最大公因数
4
【例】126 和 630 的最大公因数是________________．【难度】★
【举一反三】 1.有 a、b、c、d 四个正整数，已知 a、b 的最大公因数是 60，c、d 的最大公因数是 48，那么 a、b、c、d 这四个数的最大公因数是______．【难度】★★
2.两个数的积是 144，它们的最小公倍数是 36，这两个数各是多少？【难度】★★
7
类型三：概念辨析
【例】下列说法中正确的个数为（）个
（1）若三个正整数只有公因数 1，则这三个数两两互素；
（2）若 m n 3 ，则两个正整数 m、n 的最小公倍数是 m；
（3）互素的两个数没有公因数；
（4）能同时被 6、8 整除的数一定能被 48 整除；
子，则每只猴子可得 15 粒；如果只分给第三群猴子，则每只猴子可得 18 粒．已知第一群猴子猴四十几只，
那么总共有多少粒花生？共有多少只猴子？
【难度】★★★
2.一个正整数被 4 除余 1，被 6 除余 1，被 9 除余 1，则这个数最小是多少？

数学珍宝梅森素数：迄今人类仅发现47个

数学瑰宝梅森素数：迄今人类仅发现 47个10月13日信息，尽人皆知，素数也叫质数，是只好被和自己整除的数，如2、3、5、7、11等等。

2300年前，古希腊数学家欧几里得就已证明素数有无量多个，并提出一些素数可写成“2p-1”的形式，这里的指数p也是一个素数。

这类特别形式的素数拥有独到的性质和无量的魅力，千百年来向来吸引着众多的数学家(包含数学大师费马、笛卡尔、哥德巴赫、欧拉、高斯、哈代等)和无数的业余数学喜好者对它进行研究。

而17世纪法国数学家、法兰西科学院奠定人马林·梅森是此中成就较为卓著的一位，因今后代将“2p-1”型的素数称为“梅森素数”。

迄今为止，人类仅发现47个梅森素数。

因为这类素数珍异而迷人，它被人们称为“数学瑰宝”。

梅森素数向来是数论研究的一项重要内容，也是此刻科学研究的热门和难点之一。

貌似简单研究极难梅森素数貌似简单，但研究难度却极大。

它不单需要高妙的理论和熟练的技巧，并且还需要进行艰巨的计算。

1772年，有“数学英豪”美誉的瑞士数学大师欧拉在双目失明的状况下，靠默算证了然231-1(即2147483647)是第8个梅森素数。

这个拥有10位的素数，可谓当时世界上已知的第1 页最大素数。

欧拉的坚强毅力与解题技巧令人赞美不已；法国大数学家拉普拉斯说的话，或许能够代表我们的心声：“读读欧拉，他是我们每个人的老师。

”在“手算笔录”的年月，人们千辛万苦，仅找到12个梅森素数。

而计算机的产生加快了梅森素数研究进度。

1952年，美国数学家拉婓尔·鲁滨逊等人使用SWAC型计算机在短短的几个月内，就找到了5个梅森素数：2521-1、2607-1、21279-1、22203-1和22281-1。

研究梅森素数不单极富挑战性，并且对研究者来说有一种巨大的骄傲感。

1963年6月2日夜晚8点，当第23个梅森素数211213-1经过大型计算机被找到时，美国广播企业(ABC)中止了正常的节目播放，在第一时间公布了这一重要信息。

解析数论基础电子版

解析数论基础电子版数论基础（Number Theory Fundamentals）是数学中一个重要的主题，它涉及到把数字拆分成较小的数字，以求解未知数。

它也被称为高等代数学。

一、基本概念：1、质数：是一个没有分解因子的正整数，只能被1和它自身整除。

2、整除/约数：所有除了质数的整数都由质数的乘积表示，并且所有能够整除这个数的因子都叫作约数。

3、最大公约数（Greatest Common Divisor，GCD）：最大公约数就是两个或多个数之间最大的公共约数。

4、最小公倍数（Least Common Multiple，LCM）：最小公倍数就是两个或多个数之间最小的公共倍数。

二、整数类型：1、有理数：是指用一对整数表示的特殊数字，它们可以表示为a/b，其中a，b都是整数，b不能为0。

2、无理数：这些特殊的数字不能写成一对整数的形式。

例如，π或者虚数。

3、抽象整数：一个以数字表示的抽象数字，它可以用整数的运算表示。

三、数论算法：1、质数检测：用于判断一个数是否为质数的算法。

2、最大公约数：用于求出两个数之间的最大公约数的算法。

3、埃氏筛：用于求解所有小于某个数的质数的算法。

4、欧几里德算法：用于求最大公约数的一种算法，被广泛应用于数论中。

四、数论的应用：1、素数应用：素数在很多领域都担当着重要的角色，如编码、密码学等；2、图论：数论的图论应用可以帮助我们解决路径优化，最短路径和最小生成树等问题；3、应用于金融：数论还能用于金融领域，如货币合约、投资和风险管理等；4、计算科学领域：数论在计算机科学领域也有着重要的作用，如分布式系统设计、密码学等。

c语言素数个数求法

c语言素数个数求法C语言是一种广泛应用于计算机编程的高级编程语言，它的语法简洁、灵活，并且具有较高的执行效率。

在C语言中，我们可以使用不同的算法来解决各种问题。

本文将介绍如何使用C语言编写一个求解素数个数的程序。

什么是素数呢？素数，又称质数，是指除了1和它本身之外，没有其他因数的自然数。

例如，2、3、5、7、11等都是素数。

求解素数个数的算法有很多种，我们这里介绍其中一种常用的方法——埃拉托斯特尼筛法（Sieve of Eratosthenes）。

埃拉托斯特尼筛法是一种简单而高效的筛法，它的基本思想是从2开始，将每个素数的倍数标记为合数，直到遍历完所有小于或等于给定数的自然数。

具体的实现步骤如下：1. 首先，我们需要定义一个布尔类型的数组prime[]，其中prime[i]的值表示数字i是否为素数。

初始化时，我们将所有元素都设置为true，即默认所有数字都是素数。

2. 然后，我们从2开始遍历数组prime[]。

对于每个素数i，我们将其所有的倍数（除了i本身）标记为合数，即将对应位置的prime[j]设置为false。

3. 遍历完所有小于或等于给定数的自然数后，我们统计数组prime[]中值为true的元素个数，即为素数的个数。

下面是使用C语言实现埃拉托斯特尼筛法求解素数个数的示例代码：```c#include <stdio.h>int countPrimes(int n) {int count = 0;int prime[n+1];// 初始化数组prime[]for (int i = 2; i <= n; i++) {prime[i] = 1;}// 埃拉托斯特尼筛法for (int i = 2; i * i <= n; i++) {if (prime[i] == 1) {for (int j = i * i; j <= n; j += i) {prime[j] = 0;}}}// 统计素数个数for (int i = 2; i <= n; i++) {if (prime[i] == 1) {count++;}}return count;}int main() {int n;printf("请输入一个整数n：");scanf("%d", &n);int num = countPrimes(n);printf("小于或等于%d的素数个数为：%d\n", n, num);return 0;}```在这段代码中，我们定义了一个函数`countPrimes()`来求解小于或等于给定数n的素数个数。

实验报告函数的用法(3篇)

第1篇一、实验目的1. 理解函数的概念及作用。

2. 掌握函数的声明、定义和调用方法。

3. 学习函数的参数传递和返回值。

4. 熟悉函数的嵌套调用和递归调用。

二、实验原理函数是程序设计中的一种基本概念，它将一系列具有特定功能的代码封装在一起，以便重复使用。

函数的主要作用是将复杂的程序分解为多个模块，提高代码的可读性和可维护性。

在C语言中，函数分为两大类：标准函数和自定义函数。

标准函数是C语言库函数，如printf()、scanf()等；自定义函数是由程序员根据实际需求编写的函数。

函数的基本结构如下：```c函数返回类型函数名(参数列表) {// 函数体}```三、实验内容1. 函数的声明函数声明用于告诉编译器函数的存在，包括函数名、返回类型和参数列表。

函数声明格式如下：```c函数返回类型函数名(参数类型参数名);```2. 函数的定义函数定义是函数声明的具体实现，包括函数名、返回类型、参数列表和函数体。

函数体由大括号{}包围，包含一系列执行语句。

```c函数返回类型函数名(参数类型参数名) {// 函数体}```3. 函数的调用函数调用是指程序中调用函数的过程。

调用函数时，需要按照函数的参数列表提供相应的实参。

```c函数名(实参1, 实参2, ..., 实参n);```4. 函数的参数传递函数的参数传递主要有两种方式：值传递和地址传递。

（1）值传递：将实参的值复制给形参，函数内部对形参的修改不会影响实参。

（2）地址传递：将实参的地址传递给形参，函数内部通过修改形参的地址来修改实参的值。

5. 函数的返回值函数的返回值是指函数执行完毕后返回给调用者的值。

函数返回值类型必须与函数声明时指定的返回类型一致。

6. 函数的嵌套调用函数嵌套调用是指在一个函数内部调用另一个函数。

嵌套调用的函数可以递归调用自身。

7. 函数的递归调用递归调用是指函数在执行过程中直接或间接地调用自身。

递归调用分为直接递归和间接递归两种。

圆法和筛法

圆法和筛法圆法和筛法是两种常见的算法，在数学和计算机领域都有广泛的应用。

本文将对圆法和筛法进行详细介绍，并且比较两者的优缺点，帮助读者了解这两种算法的原理和应用场景。

一、圆法圆法是一种求解数学问题的方法，主要用于求解几何问题和解析几何问题。

圆法的基本思路是通过构造圆来解决问题，圆的性质可以帮助我们解决许多复杂的数学问题。

圆法的具体操作方法可以分为以下几步：1.根据问题的要求，确定需要构造的圆的类型和位置。

2.根据已知条件，确定圆的半径和圆心坐标。

3.利用圆的性质，推导出所需要的结论。

举个例子，如果我们需要求解一个三角形的外心，就可以使用圆法。

首先，我们需要构造出三角形的外接圆，然后求出该圆的圆心和半径，最后就可以得出三角形的外心坐标。

通过这种方式，我们可以方便地求解许多几何问题和解析几何问题。

二、筛法筛法是一种求解素数问题的方法，主要用于找出一定范围内的素数。

筛法的基本思路是通过排除法来确定素数，将一定范围内的数进行筛选，最终得到所有的素数。

筛法的具体操作方法可以分为以下几步：1.将一定范围内的数标记为未筛选。

2.从小到大遍历每个数字，如果该数字为未筛选数字，则将其标记为已筛选。

3.对于已筛选数字，遍历其倍数，将其标记为已筛选。

4.重复第2、3步，直到遍历完所有数字。

举个例子，如果我们需要找出100以内的所有素数，就可以使用筛法。

首先，我们将所有数字标记为未筛选，然后从2开始遍历每个数字，如果该数字为未筛选数字，则将其标记为已筛选，并且将其倍数全部标记为已筛选。

最终，所有未筛选数字就是100以内的素数。

通过这种方式，我们可以方便地找出任意范围内的素数。

圆法和筛法是两种完全不同的算法，用于解决不同的问题。

在实际应用中，我们需要根据问题的性质和要求来选择合适的算法。

圆法主要用于解决几何问题和解析几何问题，需要在平面直角坐标系或者三维坐标系中进行操作。

圆法的优点是可以利用圆的性质来简化计算，解决一些复杂的数学问题。