树指标m重非齐次马氏链的一个强偏差定理

；； ； —N(4<m 1 )
…
Nk〈4k\4k m，…4g ).
k m L 9 ) ~ k m" k m k " $k 1
定义2.2 设P和Q如前定义，令
D ,P Q)imup 用lnp4) ⑷
<3 '、 Q 4 h(P | Q) % liminf , 1 , ln (
% 0 P — a. s.
< ” | P4 3 )
{N”,3%1 是一列正整数集 N”为 < 的第3 （3%0）层上的顶点数.若用模m的同余关系对非负 整数集N分类得到模m的如下剩余类
收稿日期：2019 - 01 - 20
修改日期：2019 - 04 -22
基金项目：国家自然科学基金（11701139）. 作者简介：金少华（1965 — ）,男，河北省河间人，博士，教授，研究方
6)
我们定义条件母函数和尾概率条件母函数如下:
Ok (s) -
| Xk m - 4k m，…X 1 = 4 1 * —
# s\k Nk X - 4
4 "G
V 4気,…，4k " G.
X0 m —40 m，…X0 1
—4k 1 )，
# # Qk(9 -
Nk(X0 - % |X 电 m - 4 0 m，…，
向：概率论及其应用研究方向,Email： Jin_0510 @ 126.
com
(0 ) = {0 ,m,2m，…,3m，…}
(1) = / , m+1,2m +1 ,…,3m +1 ,…}
(m—1) = {m— 1,2m— 1,…,(3 + 1) m— 1，…}.
当3" $)时，令N卄$均为正整数且不同时
第22卷第4期 2019年7月
高等数学研究
STUDIES IN COLLEGE MATHEMATICS
doi "0. 3969/j. iisn. 1008-1399. 2019. 04. 003
Vol. 22 ,No. 4 July, 2019
树指标m重非齐次马氏链的一个强偏差定理
金少华，徐泽灵，温欣雨
& P • X〉4)，V 4 ，，-，40k G
(8)
此时记｛X。，。" <｝< X(Q).
称h(P | Q)为P相对于Q的样本散度.
3 主要结果及其证明
引理2.1 设概率测度P和Q如前定义，则有
为1)i = 0,1 ,，- ,m—1 ,就得到了模m的非齐次树
<$0, m r…,$ 1 •本文以下恒以 < 表示树<$0,们…,$m 1 .
定义2. 1 设{X。y" <}是定义在概率空间
{Q , F, P}上并在G [ {0,1,2 ,，••}上取值的随机变
设
[ {p0(4<m 1 ) , 4<m 1 "G<m 1 }
(1)
是G<m 1上一概率分布，
Pn = CP3 (夕 I 41 , 42 ,，- , 4e ) ) , V 41 ,，- , 4e , = "G
(2)
是定义在Ge+1上的随机矩阵，如果V/"< , y"Ln,
y有
PnCXa = y\ Xy = 41 , X。2 =42 ,，…,Xy [4m
且X/ ,满足y

)
=Pn(.X = y\ Xy = 41, Xy =42,，…,Xy =4m)
=Pn (y \ 41 , 42 ,，- , 4e ) , V 41 , 42 ,，- , 4m , = "G
且
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高等数学研究
2019年7月
P° (X<m 1= 4<m 1 ) = p0(4< 1 ) , V 4m 1 " G^ 1 则称｛Xyy"<｝为具有初始分布(1)与转移矩阵列 (2)的在G上取值的树 < 上的m重非齐次马尔可 夫氏链•
l~0 4 — >+1
k
X 1 - 4k 1 9，V 40，…，4 k " G.
(7)
定义2.3 称树 < 上的m重非齐次马氏链
X。，。" <｝在概率测度Q下被随机变量X控制，
Q( ?i " 若存在常数P > 0，使得对V4 > 0，0k—m " Lk—m，
…，0k " s(&—1)，有 QX0 > 4lXk m - 4 m，…，X0k 1 —4 1 )
1引言
对非齐次树上非齐次马氏链的强极限定理的研
究是概率论中的重要问题之一.文献 ［1］研究给出
了 Bethe树上非齐次马尔科夫随机场的一类强偏差
定理.文献研究给出了树指标马氏链随机矩阵
的一个强极限定理.本文利用Doob鞅收敛定理研
究给 了一
次
m
次
的一
强 差定理.
0 , 2定义 设 < 是一个具有根顶点。的无限树，
（河北工业大学理学院,天津300401）
摘 要 本文利用Doob鞅收敛定理研究给出了树指标m重非齐次马氏链的一个强偏差定理. 关键词鞅；马氏链；非齐次树；强偏差定理
中图分类号 O177.1
文献标识码 A
文章编号 1008 - 1399（2019）04 - 0021 - 04
A Strong Deviation Theorem of m—ordered Nonhomogeneous Markov Chains Indexed by a Tree
由上述定义知，树 < 上的m重非齐次马氏链的 联合分布为 P (XT” — 4<3 ) — P (、4<3 )
)；； ； —p0(4<m 1
…
p ( 4 4 k
) \4ok m，•… g
k m L 9 ) ~ 0k m " k m k" 0 1
(3 )
设 Q是(0,F)上的另一概率测度,
X。！ " <｝在概率测度Q下的联合分布为 Q(X<3 — 4<3 ) — Q(4<3 )
JIN Shaohua, XU Zeling, and WEN Xinyu ( , , , ) ColegeofScience HebeiUniversityofTechnology Tianjin300401 China
Abstract We establish a strong deviation theorem of m—orderednonhomogeneous Markovchainsona nonhomogenous tree by applying Doob 5 martingale convergence theorem. Keywords martingale, Markov chain, nonhomogeneous tree, strong deviation theorem