辽宁省丹东市2016届高三总复习质量测试二(二模)理科数学试题及答案

丹东市2016年高三总复习质量测试（二）数学（理科）注意事项：1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试卷和答题卡相应位置上。

2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号，写在本试卷上无效。

3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。

4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

（1）若集合{|210}M x x =+>，2{|2}N x x x =+>，则M N =（A ）1{|2}2x x <<（B ）1{|1}2x x <<（C ）1{|1}2x x -<<（D ）1{|2}2x x -<<（2）若复数(1)(2)i bi -+是纯虚数，则实数b =（A ）2-（B ）1-（C ）1（D ）2（3）北宋欧阳修在《卖油翁》中写道：“（翁）乃取一葫芦置于地，以钱覆其扣，徐以杓酌油沥之，自钱孔入，而钱不湿．因曰：‘我亦无他，唯手熟尔．’”可见技能都能透过反复苦练而达至熟能生巧之境的．若铜钱是半径为1cm 的圆，中间有边长为0.5cm 的正方形孔，你随机向铜钱上滴一滴油，则油（油滴的大小忽略不计）正好落入孔中的概率为 （A ）1π（B ）14π（C ）12（D ）14（4）若2sin 23α=，则1tan tan αα+= （A（B（C ）3 （D ）2（5）设122,3()2log ,3x x f x x x -≤⎧⎪=⎨+>⎪⎩，则[(4)]f f = （A ）4 （B ）1 （C ）1- （D ）2-（6）把“正整数N 除以正整数m记为(mod )N n m ≡，例如82(mod3)≡（A ）14 （B ）17 （C ）22 （D ）23（7）已知定义域为R 的函数()f x 不是偶函数，则下列命题一定为真命题的是 （A ）,()()x f x f x ∀∈-≠R（B ）,()()x f x f x ∀∈-≠-R （C ）000,()()x f x f x ∃∈-≠R（D ）000,()()x f x f x ∃∈-≠-R（8）已知αβ,表示两个不同的平面，,a b 表示两条不同的直线，给出下列两个命题：①若b a αα⊂⊄,，则“//a b ”是“//a α”的充分不必要条件； ②若a b αα⊂⊂,，则“//αβ”是“//a β且//b β”的充分且必要条件． 则判断正确的是（A ）①是真命题②是假命题 （B ）①是假命题②是真命题（C ）①②都是真命题 （D（9）如图，半径为2的圆O 与直线射线PK 从PN 出发，绕点P PM，旋转过程中，PK 与交圆O 于点Q ，设POQ x ∠=，弓形PmQ 的面积()S S x =， 那么()S x 的图象大致是（A ） （B ） （C ） （D ）（10）已知点A 是抛物线C ：22(0)y px p =>与圆D ：222(4)x y a +-=在第一象限内的公共点，且A 到C 的焦点F 距离是a ．若C 上一点P 到其准线距离与圆心D 距离之和的最小值是2a ，则a =42 424242（A ）2（B ）3（C ）2（D ）（11）如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某个多面体的三视图，若该多面体的所 有顶点都在球O 表面上，则球O 的表面积是 （A ）36π （B ）48π （C ）56π （D ）64π（12）若()f x 是定义在R 上的单调递减函数，且()1()f x x f x +<'，则下列结论正确的是 （A ）()0f x > （B ）当且仅当1x ≥时，()0f x > （C ）()0f x <（D ）当且仅当1x <时，()0f x < 第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分。

第13题~第21题为必考题，每个试题考生都必须做答。

第22题～第24题为选考题，考生根据要求做答。

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分。

（13）1201(3)2x dx -⎰的值是 ．（14）已知向量a ，b ，c 满足||||||==≠a b c 0，+=a b ，则向量a 与向量c 的夹角是 ．（15）25()x x y -+的展开式中32x y 项的系数等于 ．（用数字作答）（16）若△ABC 的BC 边上的高AD BC =，则AC ABAB AC+的取值范围是 ．三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

（17）（本小题满分12分）设数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知322n n a S -=． （Ⅰ）求{}n a 的通项公式n a ； （Ⅱ）求证：21243n n n n S S S ++-=⨯．（18）（本小题满分12分）为了研究家用轿车在高速公路上的车速情况，交通部门对100名家用轿车驾驶员进行调查，得到其在高速公路上行驶时的平均车速情况为：在55名男性驾驶员中，平均车速超过100km/h 的有40人，不超过100km/h 的有15人．在45名女性驾驶员中，平均车速超过100km/h 的有20人，不超过100km/h 的有25人．（Ⅰ）完成下面的列联表，并判断是否有99.5%的把握认为平均车速超过100km/h 的人与性别有关．（Ⅱ）以上述数据样本来估计总体，现从高速公路上行驶的大量家用轿车中随机抽取3辆，记这3辆车中驾驶员为男性且车速超过100km/h 的车辆数为X ，若每次抽取的结果是相互独立的，求X 的分布列和数学期望．参考公式与数据：22()()()()()n ad bc a b c d a c b d χ-=++++，其中d c b a n +++=A 1AB 1C 1C E F（19）（本小题满分12分）直三棱柱111ABC A B C -的所有棱长都相等，点F 是棱BC 中点，点E 在棱1CC 上，且1EF AB ⊥．（Ⅰ）求证：14CC CE =；（Ⅱ）求二面角1F AE C --的余弦值．（20）（本小题满分12分）椭圆C：22221(0,0)x y a b a b +=>>的离心率为F 为C 的右焦点，(0,2)A -，直线FA 的斜率为2．（Ⅰ）求C 的方程； （Ⅱ）设00(,)E x y 是C上一点，从坐标原点O向圆E：2200()()3x x y y -+-=作两条切线，分别与C 交于P ，Q 两点，直线OP ，OQ 的斜率分别是1k ，2k ，求证：（i ）1213k k ⋅=-；（ii ）22||||OP OQ +是定值．（21）（本小题满分12分）过点(1,0)P -作曲线x y e =的切线l ． （Ⅰ）求l 的方程； （Ⅱ）若11(,)x aA x e，22(,)x a B x e 是直线l 上的两个不同点，求证：124x x +<-．请考生在第22、23、24题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分。

做答时请写清题号。

（22）（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲如图所示，AC 为⊙O 的直径，D 为BC ︵的中点，E 为BC 的中点．（Ⅰ）求证：DE ∥AB ；（Ⅱ）求证：AC ·BC ＝2（23）（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系xOy 中，将曲线1C ：221x y +=上的所有点的横坐标伸长为原来的纵坐标伸长为原来的2倍后，得到曲线2C ；在以O 为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，直线l 的极坐标方程是(2cos sin)6ρθθ-=．（Ⅰ）写出曲线C的参数方程和直线l的直角坐标方程；2（Ⅱ）在曲线C上求一点P，使点P到直线l的距离d最大，并2求出此最大值．（24）（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲设函数()|1||1|=-++．f x x x（Ⅰ）解不等式()4f x≤；（Ⅱ）当()4+++<+，求实数a的取值范围．x x a xf x≤时，|3|||6丹东市2016年高三总复习质量测试（二）数学（理科）答案与评分参考一、选择题： （1）D （2）A （3）B （4）C （5）D（6）B （7）C （8）A （9）A （10）C （11）C（12）A 二、填空题： （13）12（14）30 （15）10- （16）三、解答题： （17）解：（Ⅰ）因为322n n a S -=，所以11322n n a S ++-=，所以11332()0n n n n a a S S ++---=．因为11n n n S S a ++-=，所以13n na a +=，因此{}n a 是等比数列．当1n =时，11322a S -=，因为11S a =，所以12a =． 所以{}n a 的通项公式123n n a -=⨯． …………（6分）（Ⅱ）由（Ⅰ）可得31n n S =-，1131n n S ++=-，2231n n S ++=-， 所以212212(31)(31)(31)43n n n n n n n S S S ++++-=----=⨯， 即21243n n n n S S S ++-=⨯． …………（12分）（18）解：（Ⅰ）因为2100(40251520)8.2497.87960405545χ⨯⨯-⨯=≈>⨯⨯⨯，所以有99.5%的把握认为平均车速超过100km/h 与性别有关．…………（6分）（Ⅱ）根据样本估计总体的思想，从高速公路上行驶的大量家用轿车中随机抽取1辆，驾驶员为男性且车速超过100km/h 的车辆的概率为402=1005．X可取值是0,1,2,3，2~(3,)5X B ，有：00332327(0)()()55125P X C ===， 11232354(1)()()55125P X C ===，22132336(2)()()55125P X C ===，3303238(3)()()53125P X C ===，分布列为27543686()01231251251251255E X =⨯+⨯+⨯+⨯=． …………（12分）（19）方法1：（Ⅰ）设G 为11B C 的中点，则FG BC ⊥，从而FG AF⊥，分别以FB ，AF ，FG 所在直线为x y z ，，轴，建立空间直角坐标系F xyz -．设三棱柱111ABC A B C -的棱长为2，则(000)F ，，，(00)A ，，1(102)B ，，，1(12)AB =，设(10)E a =-，，，(10)FE a =- ，，． 因为1ABFE ⊥，所以10FE AB ⋅= ，12a =，所以14CC CE =．…………（6分）（Ⅱ）(00)FA =，，1(10)2FE =- ，，，设平面AEF的法向量为()x y z =m ，，，则002FA y z FE x ⎧⋅==⎪⎨⋅=-+=⎪⎩m m，，，可得平面AEF的一个法向量为(102)=m ，，，同理可得平面1AEC 的一个法向量为10)=n，cos ⋅〈〉==m n m n m n ， 经观察二面角1F AE C --为钝二面角，所以二面角1F AE C --的余弦值为．…………（12分） 方法2：（Ⅰ）如图，连接1B F ，由直棱柱的性质知，底面ABC ⊥侧面11BB C C ，F 为BC 中点，所以AF BC ⊥，所以AF ⊥侧面11BB C C ，则AF EF ⊥．因为1EF AB ⊥，所以EF ⊥平面1B AF ，1B F EF ⊥，1π2B FB EFC ∠+∠=，11π2B FB BB F ∠+∠=，所以1EFC BB F ∠=∠，所以1B BF △∽FCE △，12BB FC CE BF==，124CC BC FC CE ===． …………（6分）（Ⅱ）设G 为11B C 的中点，则FG BC ⊥，从而FG AF ⊥，分别以FB ，AF ，FG所在直线为x y z ，，轴，建立空间直角坐标系F xyz -．设三棱柱111ABC A B C -的棱长为2，则(000)F ，，，(00)A ，，1(10)2E =-，，，则(00)FA =，，1(10)2FE =-，，．设平面AEF 的法向量为()x y z =m ，，，则002FA y z FE x ⎧⋅==⎪⎨⋅=-+=⎪⎩m m uu ruu u r ，，，可得平面AEF的一个法向量为(102)=m ，，．同理可得平面1AEC的一个法向量为10)=n ．所以cos ⋅〈〉==m n m n m n ， 经观察二面角1F AE C --为钝二面角，所以二面角1F AE C --的余弦值为．…………（12分） （20）解：（Ⅰ）由已知得32c a c⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，解得a c ⎧=⎪⎨=⎪⎩ C 的方程是221124x y +=．…………（4分）==，整理得222010010(3)230x k x y k y --+-=，222020020(3)230x k x y k y --+-=．所以1k ，2k 是关于x 方程2220000(3)230x x x y x y --+-=的两根，所以20122033y k k x -⋅=-，因为22001124x y +=，所以220043x y =-，因此201220431333x k k x --⋅==--．…………（8分）设11(,)P x y ，22(,)Q x y ，则2222121219y y x x =，221143x y =-，222243x y =-，所以222212121(4)(4)339x x x x --=，2212+=12xx ，从而22221212843x x y y ++=-=，因此2222221122||||=(+)+(+)=16OP OQ x y x y +．…………（12分）（21）解：（Ⅰ）x y e '=，设切点00(,)x y ，则00001x x y e y e x ⎧=⎪⎨=⎪+⎩，解得00x =，因此0|1x y ='=，l 的方程是1y x =+．…………（4分）（Ⅱ）（方法1）依题意有121211x x ax e a x e ⎧=+⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩，所以1212(1)(1)x x x e x e +=+，设()(1)x f x x e =+，则12()()f x f x =．()(2)x f x x e '=+，当2x <-时，()0f x '<，当2x >-时，()0f x '>；所以()f x 在(,2)-∞-单调递减，在(2,)-+∞单调递增．因为12x x ≠，不妨设12x <-，22x >-．设()()(4)g x f x f x =---，则2(2)()()(4)(2)(1)x x g x f x f x x e e -+'''=+--=+-，当2x >-时，()0g x '>，()g x 在在(2,)-+∞单调递增，所以()(2)0g x g >-=，所以当2x >-时，()(4)f x f x >--．因为22x >-，所以22()(4)f x f x >--，从而12()(4)f x f x >--，因为242x --<-，()f x 在(,2)-∞-单调递减，所以124x x <--，即124x x +<-．…………（12分） （方法2）依题意有121211x x a x e a x e ⎧=+⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩，两式分别相加减得1212121211()211()x x x x a x x e e a x x e e ⎧+=++⎪⎪⎨⎪-=-⎪⎩．可得1212121211211x x x x x x e e x x e e+++=--，从而121212121()21x x x x e x x x x e --++=---． 因为12x x ≠，不妨设120t x x =->，则1t e >，不等式124x x +<-即1241tte t e +-<--，等价于(1)220t t e t e +-+>，设()(1)22t t f t e t e =+-+，则()1t t f t e t e '=-+，设()1t t g t e t e =-+，则()0t g t e t '=>，所以()f t '在(0,)+∞单调递增，()(0)0f t f ''>=，()f t 在(0,)+∞单调递增，()(0)0f t f >=，因此124x x +<-．…………（12分）（23）解：（Ⅰ）由题意知，曲线2C 方程为22()12y+=，参数方程为2sin x y ϕϕ⎧=⎪⎨=⎪⎩（ϕ为参数）．直线l 的直角坐标方程为260x y --=．…………（6分）（Ⅱ）设,2sin )P ϕϕP ，则点P 到直线l 的距离为d ==多以当sin(60)1ϕ-=- 时，d 取最大值150ϕ= ，点P 坐标是3(,1)2-．…………（10分） （24）解：（Ⅰ）不等式()4f x ≤的是解集以下3个不等式组解集的并集：1114x x x ≥⎧⎨-++≤⎩或11114x x x -≤<⎧⎨-+++≤⎩或1114x x x <-⎧⎨-+--≤⎩． 解得不等式()4f x ≥解集为{|22}x x -≤≤． …………（5分）（Ⅱ）在22x -≤≤时，不等式|3|||6x x a x +++<+等价于||3x a +<，等价于33a x a --<<-+．从而[2,2]-⊆(3,3)a a ---+，所以3<232a a ---⎧⎨-+>⎩，得实数a 的取值范围是{|11}a a -<<．…………（10分）。