2020届福建省泉州市普通高中毕业班第一次质量检查理科数学(word版,含答案)

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2020届福建省泉州市高三上学期单科质量检测数学(理)试卷(答题全析—小题部分)

位置时球 O
的半径最大，此时球心 O
在线段 O1O2
的中点，在
RtAOO2
中，O2 A

2 3

33 2
3，
市单科质检数学（理科）试题第 5 页（共 8 页）
O2O=
3 2
，则球
O
的半径
R

OA

O2 A2 O2O 2
3 9 4
21 2
；当动点
E
在点
O1 位置时球
O
的
半径最小，此时球心 O 在线段 O1O2 上，三棱锥 E ABC 为正三棱锥，在 RtAOO2 中，O2 A 3 ，
O2O=3 R ，由 OA2 O2 A2 O2O2 得 R2 (
3)2 (3 R)2 解得 R 2 ，所以 2≤R≤
21
．由球
2
O 的表面积 S 4 R2 得16π≤S≤21π ，故选 D．
解法二：如图所示，依题意可知，三棱锥 E ABC 的外接球的球心 O 在上底面等边 A1B1C1 的中心 O1
为顶点的三角形区域(包括边界)．当动直线
y

2x

z 2
过点
C

3 2
,

7 2

时，
z
取得最小值，此时
z

4

3 2

2

7 2

13
，故选
B．
市单科质检数学（理科）试题第 1 页（共 8 页）
4．已知 m, n 是两条不同的直线， , 是两个不重合的平面．给出下列四个命题： ①若， m ，则 m ；②若 m n ， n ，则 m ； ③若， m ，则 m ；④若 m ， m ，则．

2020届福建省泉州市普通高中毕业班单科质量检查数学(理)试题及答案

绝密★启用前2020届福建省泉州市普通高中毕业班单科质量检查数学（理）试题注意事项：1、答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2、请将答案正确填写在答题卡上一、单选题1．已知集合{}{}2|0,|1M x x x N x x =-<=>，则（）A ．M N ⊆B ．N M ⊆C ．M N =RD ．M N ⋂=∅答案：D解一元二次不等式求得集合M ，由此判断出正确选项. 解：由()210x x x x -=-<解得01x <<，故{}|01M x x =<<，由于{}|1N x x =>，所以M N ⋂=∅.故选：D. 点评：本小题主要考查一元二次不等式的解法，考查集合的包含关系，考查集合的运算，属于基础题. 2．若复数z 满足(1)23z i i -=+，则z =（） A ．1522i -- B ．15i 22-+ C ．5122i - D ．5122i + 答案：A根据复数的除法运算,求得z .再根据共轭复数的概念即可求得z . 解：()123z i i -=+，223(23)(1)253151(1)(1)222i i i i i z i i i i +++++∴====-+--+.因此，1522z i =--. 故选：A. 点评：本题考查了复数的除法运算，共轭复数的概念，属于基础题.3．若,x y 满足约束条件203102x y x y y --≤⎧⎪-+≥⎨⎪≤⎩，则42z x y =+的最小值为（）A ．-17B ．-13C ．163D ．20答案：B根据线性约束条件画出可行域，将目标函数化为直线22zy x =-+，由直线的平移即可求得该直线在y 轴截距最小时对应的最优解，代入42z x y =+计算即可. 解：,x y 满足约束条件203102x y x y y --≤⎧⎪-+≥⎨⎪≤⎩,由此可得可行域如下图所示:该可行域是一个以1,23A ⎛⎫ ⎪⎝⎭,(4,2)B ,37,22C ⎛⎫-- ⎪⎝⎭为顶点的三角形区域（包括边界）.目标函数42z x y =+可化为22z y x =-+当动直线22z y x =-+过点37,22C ⎛⎫-- ⎪⎝⎭时，z 取得最小值，此时min 37421322z ⎛⎫⎛⎫=⨯-+⨯-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 故选：B. 点评：本题考查了线性规划的简单应用，线性目标函数最值的求法，属于基础题. 4．已知,m n 是两条不同的直线，,αβ是两个不重合的平面.给出下列四个命题：①若//,m αββ⊂，则//m α；②若//,m n n α⊂，则//m α； ③若,m αβα⊥⊂，则m β⊥；④若//,m m αβ⊥，则αβ⊥. 其中为真命题的编号是（） A ．①②④ B ．①③C ．①④D ．②④答案：C由面面平行的性质可判断①；对于②,m 可能在α内；对于③,由面面垂直无法判断线面的位置关系；在平面α内找到直线1m 使得1//m m ,即可判断④ 解：①中,若//αβ,则β内任一直线与α平行,①为真命题；②中,若//,m n n α⊂,则m 可能平行于α,也可能在α内,②为假命题；③中,若,m αβα⊥⊂,则m 可能垂直于β,也可能平行于β,也可能与β相交但不垂直,③为假命题；④中,若//m α,则可在α内作一直线1m 使1//m m ,又因为m β⊥,所以1m β⊥,又1m α⊂,则αβ⊥,④为真命题；综上,①④为真命题, 故选:C 点评：本题考查线面、面面的空间位置关系的判定,属于基础题 5．函数()2ln f x x x =的图象大致为（）A ．B ．C ．D ．答案：D首先求出函数的定义域，判定函数的奇偶性及单调性即可得解. 解：解：()2ln f x x x =定义域为()(),00,-∞⋃+∞()()()()22ln ln f x x x x xf x ∴-=--=-=-即函数()f x 是奇函数，图象关于原点对称，由0x ≠，()f x 为奇函数，排除B ；又120e e f ⎛⎫=-< ⎪⎝⎭，排除C ；当0x >时，()2ln 2f x x '=+，令()2ln 20f x x '=+=，解得1ex =，所以函数在10,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，在1,e ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递增，排除A ；故选：D 点评：本题考查函数图象的识别，关键是函数的奇偶性，单调性的应用，属于基础题.6．已知双曲线C ：22221x y a b-=（0a >，0b >）的实轴长为4，左焦点F 到C 的一条渐近线的距离为3，则C 的方程为（）A ．22123x y -=B ．22143x y -= C ．22149x y -=D ．221169x y -= 答案：C根据实轴得到a 的值，然后表示出渐近线，表示出焦点到渐近线的方程，得到b ，从而得到C 的方程. 解：因为实轴长24a =，所以2a =，(),0F c -，由对称性，双曲线的一个焦点到两条渐近线的距离相等，不妨取渐近线为b y xa=，即0bx ay-=，点(),0F c-到渐近线的距离()22b c bcd bca b⋅--===+，所以3b=，所以C的方程为22149x y-=，故选：C.点评：本题考查点到直线的距离，利用双曲线的几何性质求双曲线的方程，属于简单题.7．执行如图所示的程序框图，则输出S的值为（）A．-1010 B．-1009 C．1009 D．1010答案：D根据程序框图,先计算出N和T的含义,再根据S N T=-即可求得输出值.或利用等差数列的求和公式求解.解：依题意：得1352019N=+++⋯+,02462018T=++++⋯+.解法一：(10)(32)(54)(20192018)1010S N T=-=-+-+-++-=,故选:D.解法二：(12019)1010101010102N+⨯==⨯,(02018)1010100910102T+⨯==⨯,所以10101010101010091010(10101009)1010S N T=-=⨯-⨯=⨯-=,故选:D. 点评：本题考查了程序框图的简单应用,数列求和公式的应用,属于中档题.8．明代朱载堉创造了音乐学上极为重要的“等程律”．在创造律制的过程中，他不仅给出了求解三项等比数列的等比中项的方法，还给出了求解四项等比数列的中间两项的方法．比如，若已知黄钟、大吕、太簇、夹钟四个音律值成等比数列，则有大吕，大吕，太簇{}n a 中，k a =（）A ．n k -B ．n -C ．D ．答案：C根据题意可得三项等比数列的中项可由首项和末项表示，四项等比数列的第2、第3项均可由首项和末项表示，从而类比出正项等比数列{}n a 中的k a 可由首项1a 和末项n a 表示. 解：因为三项等比数列的中项可由首项和末项表示，四项等比数列的第2、第3项均可由首项和末项表示，所以正项等比数列{}n a 中的k a 可由首项1a 和末项n a 表示，因为11n n a a q -=，所以=q所以11=k k a a -⎛ ⎝1111=k n n a a a --⎛⎫ ⎪⎝⎭1111=n k k n n na a ----⋅=故选：C. 点评：本题以数学文化为背景，考查类比推理能力和逻辑推理能力，求解时要先读懂题目的文化背景，再利用等比数列的通项公式进行等价变形求解.9．已知抛物线E ：28x y =的焦点为F ，过F 的直线l 与E 交于A ，B 两点，与x 轴交于点C .若A 为线段CF 的中点，则AB =（） A ．9 B ．12C ．18D ．72答案：A解法一：根据A 为线段CF 的中点，得到A 坐标，从而得到直线AF ，与抛物线联立得到12x x +，从而得到12y y +，利用抛物线焦点弦公式，得到AB 的长；解法二：延长BC 交准线2y =-于D ，过点A 作AM 垂直准线交准线于M ，过点B 作BN 垂直准线交准线于N ，准线与y 轴交于点H ，由DMA DNB ∆∆∽，得到AM AD BNDB=，得到BF ，再根据3AF AM ==，得到AB 的长.解：依题意得4p =，焦点()0,2F ，如图，因为A 为线段CF 的中点，所以1A y =，代入抛物线方程得到A x =-所以()A -，解法一：4AF k ==，所以直线AF 的方程为2y x =+，将其代入28x y =，得2160x --=，设()11,A x y ，()22,B x y ，则12x x +=，()121212224454444y y x x x x ⎛⎫⎛⎫+=+++=++== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以12549AB y y p =++=+=，故选：A.解法二：（几何法）延长BC 交准线2y =-于D ，过点A 作AM 垂直准线交准线于M ，过点B 作BN 垂直准线交准线于N ，准线与y 轴交于点H ，FDH ∆中原点O 是线段FH 的中点，所以点C 是线段DF 的中点.易得4FH =，3AM AF AC ===，39AD AC ==，设BF BN k ==，因为DMA DNB ∆∆∽，所以AM AD BNDB=，即3912k k=+，解得6k =，因此369AB =+=，故选：A.点评：本题考查抛物线的几何性质，求抛物线的焦点弦的长，属于中档题. 10．已知log e a π=，ln eb π=，2e lnc π=，则（） A ．a b c << B ．b c a <<C ．b a c <<D ．c b a <<答案：B因为1b c +=，分别与中间量12做比较，作差法得到12b c <<，再由211log e log e 22a ππ==>，最后利用作差法比较a 、c 的大小即可. 解：解：因为1b c +=，分别与中间量12做比较，2223111ln ln e ln 022e 2e b ππ⎛⎫-=-=< ⎪⎝⎭，432211e 1e ln ln e ln 0222c ππ⎛⎫-=-=> ⎪⎝⎭，则12b c <<，211log e log e 22a ππ==>，()112ln ln 20ln ln a c ππππ-=--=+->，所以b c a <<，故选：B . 点评：本题考查作差法比较大小，对数的运算及对数的性质的应用，属于中档题.11．在平面直角坐标系xOy 中，直线l ：40kx y k -+=与曲线y =A ，B 两点，且2AO AB ⋅=，则k =（）AB．2C ．1D答案：C根据直线方程得到l 过定点()4,0P -，过圆心O 作OM l ⊥于M ，由2AO AB ⋅=，得到2AB =，再利用弦长公式，得到k 的值，从而得到答案. 解：直线40kx y k -+=，即()40k x y ++=，所以直线l 过定点()4,0P -，曲线y =3r =的上半圆. 过圆心O 作OM l ⊥于M ，即122AO AB AM AB AB AB ⋅=⋅=⋅=，所以2AB =，圆心到直线l的距离d ==22AB ===，解得1k =±，因为曲线y =0k >，所以1k =. 故选C.点评：本题考查向量的数量积的几何意义，根据弦长求参数的值，考查数形结合的思想，属于中档题. 12．已知正三棱柱111ABC A B C -的所有棱长都为3，D 是11B C 的中点，E 是线段1A D 上的动点.若三棱锥E ABC -的四个顶点都在球O 的球面上，则球O 表面积的取值范围为（） A ．218,2ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．27316,16ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．273,2116ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．[16,21]ππ答案：D由题可知,三棱锥E ABC -的外接球的球心O 在上底面等边111A B C ∆的中心1O 与下底面等边ABC ∆的中心2O 的连线的线段12O O 上,设球O 的半径为R ,1O E x =,1O O y =,则222222R OA O A O O ==+且222211R OE O E O O ==+,易得23O A =,则222R x y =+,()()22233R y =+-,可得2126x y =-,代入222R x y=+中,则()2233R y =-+,由x 的范围可得y 的范围,即可得到2R 的范围,进而求得球的表面积的范围解：如图所示,依题意可知,三棱锥E ABC -的外接球的球心O 在上底面等边111A B C ∆的中心1O 与下底面等边ABC ∆的中心2O 的连线的线段12O O 上,连接OA 、OE ,设OA OE R ==,1O E x =,1O O y =；在1Rt OO E ∆中,22211OE O E O O =+得222R x y =+；在2Rt AOO ∆中,2233O A ==23OO R =-, 由22222OA O A O O =+得222(3)R y =+-；由222R x y =+和222(3)R y =+-得2222(3)y x y +-=+整理得2126x y =-,所以222612(3)3R y y y =-+=-+,又因为0x ≤≤322y ≤≤；当2y =时,2R 的最小值为4；当32y =时,2R 的最小值为214；所以22144R ≤≤,由球O 的表面积24S R π=得1621S ππ≤≤, 故选:D 点评：本题考查棱锥的外接球的表面积问题,考查空间想象能力二、填空题13．已知向量(),2a x =，()2,1b =，且//a b ，则a =______答案：根据向量共线的公式求解得4x =,再根据模长公式求解即可. 解：由//a b 得，1220x ⋅-⨯=，即4x =，所以2||42a =+==故答案为：点评：本题主要考查了向量的平行公式与模长公式,属于基础题型.14．记n S 为数列{}n a 的前n 项和.若120n n a a +-=，593S =，则5a =______. 答案：3由题意可知，数列{}n a 是以12为公比的等比数列，利用593S =结合等比数列求和公式可求出1a 的值，然后利用等比数列的通项公式可求出5a 的值. 解：120n n a a +-=，112n n a a +∴=，所以，数列{}n a 是以12为公比的等比数列，1551113129311612a S a ⎛⎫- ⎪⎝⎭∴===-，解得148a =，因此，45111483216a a ⎛⎫=⨯=⨯= ⎪⎝⎭.故答案为：3. 点评：本题考查等比数列中的项的计算，同时也涉及了等比数列的定义以及等比数列求和公式的应用，考查计算能力，属于基础题.15．已知函数()f x 是定义在R 上的奇函数，当0x >时，()()13f x f x +=；当(]0,1x ∈时，()()ln 2f x x =+，则()()0e f f +-=__________.答案：9-由()f x 是定义在R 上的奇函数()()f e f e -=-，()00f =，再依题意求出()f e 即可得解. 解：解：因为()f x 是定义在R 上的奇函数，所以()()f e f e -=-，()00f =，又23e <<，021e <-<，所以()()()()31929ln 229f e f e f e e =-=-=-+=，故()()09f f e +-=-. 故答案为：9- 点评：本题考查函数值的计算，函数的奇偶性的应用，属于基础题. 16．若函数()sin()(0)6f x x πωω=+>在(,)2ππ单调，且在(0,)3π存在极值点，则ω的取值范围为___________ 答案：413ω<≤先通过函数()f x 在(0,)3π存在极值点，求出ω的范围，再根据在(,)2ππ单调，求出k 和ω之间的不等关系，再结合已求出的ω的范围，得最终ω的范围. 解：解：因为函数()f x 在(0,)3π存在极值点，所以362πππω+>，即1ω>，当,,,26266x x ππωππππωωπ⎛⎫⎛⎫∈+∈++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，又()f x 在(,)2ππ单调，所以3,,() 26622kk k Nωπππππωπππ⎛⎫⎛⎫++⊆++∈⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即262362kkωππππππωππ⎧+≥+⎪⎪⎨⎪+≤+⎪⎩，解得24233k kω+≤≤+，只能取0k=，即2433ω≤≤，综上，413ω<≤，故答案为：413ω<≤.点评：本题考查三角函数的单调性和极值问题，关键是要建立关于k和ω之间的不等关系，是中档题.三、解答题17．如图，四棱锥P ABCD-的底面是正方形，PA⊥平面ABCD，AE PD⊥.（1）证明：AE⊥平面PCD；（2）若AP AB=，求二面角B PC D--的余弦值.答案：（1）证明见解析（2）12-（1）由PA⊥平面ABCD及底面ABCD是正方形可证得CD⊥平面PAD,则CD AE⊥,又由AE PD⊥,即可求证；（2）以A为原点,分别以AB AD AP、、所在的直线为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系A xyz-,由（1）可知AE为平面PCD的一个法向量,求得平面PBC的一个法向量m,进而利用数量积求解即可解：（1）证明:因为PA⊥平面ABCD,CD⊂平面ABCD,所以PA CD⊥,因为底面ABCD是正方形,所以AD CD⊥,又PA AD A ⋂=,所以CD ⊥平面PAD , 因为AE ⊂平面PAD ,所以CD AE ⊥,又因为,AE PD CD PD D ⊥⋂=,,CD PD ⊂平面PCD , 所以AE ⊥平面PCD（2）因为PA ⊥平面ABCD ,底面ABCD 为正方形,所以,,PA AB PA AD AB AD ⊥⊥⊥,以A 为原点,分别以AB AD AP 、、所在的直线为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系A xyz -（如图所示）,设1==PA AB ,则(0,0,0),(1,0,0),(1,1,0),(0,1,0),(0,0,1)A B C D P ,因为AE PD ⊥,所以E 为PD 中点,所以110,,22E ⎛⎫ ⎪⎝⎭,所以11(1,0,1),(1,1,1),0,,22PB PC AE ⎛⎫=-=-= ⎪⎝⎭, 由（1）得110,,22AE ⎛⎫= ⎪⎝⎭为平面PCD 的一个法向量, 设平面PBC 的一个法向量为(),,m x y z =,由00PB m PC m ⎧⋅=⎨⋅=⎩,即00x z x y z -=⎧⎨+-=⎩,令1x =,则1,0z y ==,所以()1,0,1m =,因此112cos ,2122m AE m AE m AE⋅〈〉===⋅⨯, 由图可知二面角B PC D --的大小为钝角,故二面角B PC D --的余弦值为12- 点评：本小题考查线面垂直的判定与性质、二面角的求解及空间向量的坐标运算等基础知识,考查空间想象能力及运算能力18．记n S 为数列{}n a 的前n 项和.已知0n a >，2634n n n S a a =+-.（1）求{}n a 的通项公式；（2）设2211n n n n n a a b a a +++=，求数列{}n b 的前n 项和n T .答案：（1）31n a n =+（2）()92434n nT n n =++（1）根据11,1,2n n n S n a S S n -=⎧=⎨-≥⎩，作差可得2211633n n n n n a a a a a --=+--，再对其因式分解，即可得到13n n a a --=，最后根据等差数列的通项公式计算可得. （2）由（1）可得n b 的通项公式，再用分组求和及裂项相消法求和. 解：解：（1）当1n =时，2111634S a a =+-，所以14a =或1-（不合，舍去）. 因为2634n n n S a a =+-①，所以当2n 时，2111634n n n S a a ---=+-②，由①－②得2211633n n n n n a a a a a --=+--，所以()()1130n n n n a a a a --+--=. 又0n a >，所以13n n a a --=.因此{}n a 是首项为4，公差为3的等差数列. 故()43131n a n n =+-=+.（2）由（1）得()()()()22313433231343134n n n b n n n n +++==+-++++，所以333333222471031347n T n n =+-++-+++-++ ()333333922477103134434nn n n n n ⎛⎫=+-+-++-=+ ⎪+++⎝⎭点评：本小题主要考查递推数列、等差数列的通项公式与数列求和等基础知识，考查推理论证能力与运算求解能力等，考查化归与转化思想、特殊与一般思想等，体现基础性，导向对发展逻辑推理、数学运算等核心素养的关注.19．ABC ∆中，60,2,B AB ABC ==∆的面积为23. （1）求AC（2）若D 为BC 的中点，,EF 分别为边,AB AC 上的点（不包括端点），且120EDF ∠=，求DEF ∆面积的最小值.答案：（1）23;（2）633- （1）利用1sin 2ABCAB B SBC =⋅⋅⋅求出BC ，再利用余弦定理求AC 即可；（2）设(),0,60BDE θθ︒︒∠=∈，在BDE 中，利用正弦定理表示出DE ，在CDF 中，利用正弦定理表示出DF ，再将DEF 的面积表示出来，利用三角函数的性质求其最小值. 解：解：（1）因为60,2,B AB ==所以1133sin 222ABCAB BC B BC B S C =⋅⋅⋅=⨯⨯⋅=，又23ABCS=，所以4BC =，由余弦定理得：2222212cos 24224122AC AB BC AB BC B =+-⋅⋅=+-⨯⨯⨯=，所以23AC =；（2）设(),0,60BDE θθ︒︒∠=∈，则60CDF θ︒∠=-，在BDE 中，由正弦定理得：sin sin BD DEBED B=∠，即()23sin 60θ︒=+，所以()3sin 60DE =+，在CDF 中，由正弦定理得：sin sin CD DFCFD C=∠，由（1）可得22260,,30B BC AC AB C ︒=∴=+=，则()21sin 902DFθ︒+=，所以1cos DF θ=，所以()13sin 24sin 60cos DEFSDE DF EDF θθ︒=⋅⋅⋅∠=+⋅==当15θ︒=时，()()min sin 2601,6DEP Sθ︒+===-故DEF 的面积的最小值为6-. 点评：本题考查正余弦定理的应用，三角形的面积公式以及三角函数性质的应用，是中档题.20．已如椭圆E ：22221x y a b +=（0a b >>）的离心率为12，点2A ⎫⎪⎪⎭，在E 上. （1）求E 的方程：（2）斜率不为0的直线l 经过点1,02B ⎛⎫⎪⎝⎭，且与E 交于P ，Q 两点，试问：是否存在定点C ，使得PCB QCB ∠=∠？若存在，求C 的坐标：若不存在，请说明理由答案：（1）22143x y +=（2）存在x 轴上的定点()8,0C ，使得PCB QCB ∠=∠（1）根据椭圆离心率和过的点，得到关于a ，b 的方程组，解得a ，b 的值，从而得到椭圆的方程；（2）设存在定点C ，对称性可知设(),0C m ，根据PCB QCB ∠=∠，得到0PC QC k k +=，即得12120y y x m x m +=--，直线l 的方程为：12x ty =+与椭圆联立，得到12y y +，12y y ，从而得到m 和t 的关系式，根据对t ∈R 恒成立，从而得到m 的值.解：（1）因为椭圆E 的离心率12e a ==，所以2234a b =①，点A⎭在椭圆上，所以223314a b+=②，由①②解得24a=，23b=.故E的方程为22143x y+=.（2）假设存在定点C，使得PCB QCB∠=∠.由对称性可知，点C必在x轴上，故可设(),0C m.因为PCB QCB∠=∠，所以直线PC与直线QC的倾斜角互补，因此0PC QCk k+=. 设直线l的方程为：12x ty=+，()11,P x y，()22,Q x y由221,2143x tyx y⎧=+⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩消去x，得()22121612450t y ty++-=，()()()()222212412164514418012160t t t t∆=-⨯+⨯-=+⨯+>，所以t∈R，所以122121216ty yt+=-+，122451216y yt=-+，因为0PC QCk k+=，所以1212y yx m x m+=--，所以()()1221y x m y x m-+-=，即12211122y ty m y ty m⎛⎫⎛⎫+-++-=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.整理得()12121202ty y m y y⎛⎫+-+=⎪⎝⎭，所以224511220121621216tt mt t-⎛⎫⎛⎫⨯-+-⨯=⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭，即()21901221216t m tt⎛⎫-+--⎪⎝⎭=+. 所以1901202t t m⎛⎫+-=⎪⎝⎭，即1901202m t⎡⎤⎛⎫+-=⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，对t∈R恒成立，即()96120m t-=对t∈R恒成立，所以8m=.所以存在定点()8,0C，使得PCB QCB∠=∠.点评：本小题主要考查椭圆的几何性质，直线与椭圆的位置关系，椭圆中的定点问题，属于中档题. 21．已知函数()()21e xf x x ax =++.（1）讨论()f x 的单调性；（2）若函数()()21e 1xg x x mx =+--在[)1,-+∞有两个零点，求m 的取值范围.答案：（1）答案不唯一，具体见解析（2）211em -< （1）首先求出函数的导函数因式分解为()()()11e xf x a x x =++'+，再对参数a 分类讨论可得；（2）依题意可得()()21e x g x m x =+'-，当0m 函数在定义域上单调递增，不满足条件；当0m >时，由（1）得()g x '在[)1,-+∞为增函数，因为()01g m '=-，()00g =.再对1m =，1m ，01m <<三种情况讨论可得.解：解：（1）因为()()21xf x x ax e =++，所以()()221e xf x x a x a ⎡⎤=+++⎣⎦'+，即()()()11e xf x a x x =++'+.由()0f x '=，得()11x a =-+，21x =-.①当0a =时，()()21e 0x f x x =+'，当且仅当1x =-时，等号成立. 故()f x 在(),-∞+∞为增函数. ②当0a >时，()11a -+<-，由()0f x >′得()1x a <-+或1x >-，由()0f x <′得()11a x -+<<-；所以()f x 在()(),1a -∞-+，()1,-+∞为增函数，在()()1,1a -+-为减函数.③当0a <时，()11a -+>-，由()0f x >′得()1x a >-+或1x <-，由()0f x <′得()11x a -<<-+；所以()f x 在(),1-∞-，()()1,a -++∞为增函数，在()()1,1a --+为减函数. 综上，当0a =时，()f x 在为(),-∞+∞增函数；当0a >时，()f x 在()(),1a -∞-+，()1,-+∞为增函数，在()()1,1a -+-为减函数；当0a <时，()f x 在(),1-∞-，()()1,a -++∞为增函数，在()()1,1a --+为减函数. （2）因为()()21e 1xg x x mx =+--，所以()()21e x g x m x =+'-，①当0m 时，()0g x '，()g x 在[)1,-+∞为增函数，所以()g x 在[)1,-+∞至多一个零点. ②当0m >时，由（1）得()g x '在[)1,-+∞为增函数. 因为()01g m '=-，()00g =.（ⅰ）当1m =时，()00g '=，0x >时，()0g x '>，10x -<<时，()0g x '<；所以()g x 在[)1,0-为减函数，在[)0,+∞为增函数，()()min 00g x g ==. 故()g x 在[)1,-+∞有且只有一个零点.（ⅱ）当1m 时，()00g '<，()()210m g m e m m '=+->，()00,x m ∃∈，使得()00g x '=，且()g x 在[)01,x -为减函数，在()0,x +∞为增函数.所以()()000g x g <=，又()()()22221e 1110mg m m m m m =+-->+--=，根据零点存在性定理，()g x 在()0,x m 有且只有一个零点. 又()g x 在[)01,x -上有且只有一个零点0. 故当1m 时，()g x 在[)1,-+∞有两个零点.（ⅲ）当01m <<时，()01g m -'=-<，()00g '>，()01,0x ∃∈-，使得()00g x '=，且()g x 在[)01,x -为减函数，在()0,x +∞为增函数. 因为()g x 在()0,x +∞有且只有一个零点0，若()g x 在[)1,-+∞有两个零点，则()g x 在[)01,x -有且只有一个零点.又()()000g x g <=，所以()10g -即()2110e g m -=+-，所以21e m -，即当211em -<时()g x 在[)1,-+∞有两个零点. 综上，m 的取值范围为211em -< 点评：本小题主要考查导数的综合应用，利用导数研究函数的单调性、最值和零点等问题，考查抽象概括、推理论证、运算求解能力，考查应用意识与创新意识，综合考查化归与转化思想、分类与整合思想、函数与方程思想、数形结合思想、有限与无限思想以及特殊与一般思想，考查数学抽象、逻辑推理、直观想象、数学运算、数学建模等核心素养.22．在同一平面直角坐标系xOy 中，经过伸缩变换2,x x y y''=⎧⎨=⎩后，曲线221:1C x y +=变为曲线2C . （1）求2C 的参数方程；（2）设()2,1A ，点P 是2C 上的动点，求OAP △面积的最大值，及此时P 的坐标．答案：（1）2cos ,sin x y αα=⎧⎨=⎩（α为参数）；（2）或( （1）先利用伸缩变换求得曲线2C 的普通方程，再将普通方程转化为参数方程；（2）设()()2cos ,sin 02πP ααα<≤，再利用点到直线的距离公式，求得距离的最大值，结合面积的最大值，求得点P 的坐标.解：（1）由伸缩变换2,x x y y ''=⎧⎨=⎩得到1,2.x x y y ⎧=⎪⎨⎪='⎩'……① 将①代入221x y +=，得到221+=12x y ''（），整理得222:+=14x C y ''. 所以2C 的参数方程为2cos ,sin x y αα=⎧⎨=⎩（α为参数）．（2）设()()2cos ,sin 02πP ααα<≤，直线:20OA x y -=，则P到直线OA的距离为π22sin()2cos2sin224555dααα--==≤，所以111225522225OAPS OA d d=⋅=⋅⋅⋅⋅=△≤.当3π=4α或7π=4α时，OAP△面积的最大值为2，此时P的坐标为2(2,)2-或2(2,)2-.点评：本题考查伸缩变换、曲线普通方程与参数方程的互化、点的参数设法，考查转化与化归思想、数形结合思想的运用，考查运算求解能力.23．已知函数1()||||f x x a xa=++-．（1）证明：()2f x≥；（2）当12a=时，()f x x b+≥，求b的取值范围．答案：（1）证明见解析；（2）1(,]2-∞.（1）利用绝对值不等式直接进行证明；（2）将函数()f x写成分段函数的形式，作出函数的图象，并观察图象求b的取值范围.解：（1）1111()||||||||||2||||2f x x a x a a aa a a a=++-+=+⋅=≥≥；（2）312,,22151()2=,2,22232,2,2x xf x x x xx x⎧-+≤-⎪⎪⎪=++--<<⎨⎪⎪-≥⎪⎩作出()f x的图象，如图由图，可知()f x x b +≥，当且仅当(2)2f b +≥，解得12b =，故b 的取值范围为1(,]2-∞．点评：本题考查绝对值不等式的证明、参数取值范围的求解，考查数形结合思想的运用，考查运算求解能力.。

【数学】福建省泉州市2020届高三上学期单科质量检查数学(理)试题(PDF版)

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4．已知 m, n 是两条不同的直线， , 是两个不重合的平面．给出下列四个命题： ①若， m ，则 m ；②若 m n ， n ，则 m ； ③若， m ，则 m ；④若 m ， m ，则．
其中为真命题的编号是
A．①②④
B．①③
C．①④
【解析】①中，若，则内任一直线与平行，①为真命题．
ln π
11．在平面直角坐标系 xOy 中，直线 l : kx y 4k 0 与曲线 y 9 x2 交于 A, B 两点，且 AOAB 2 ，
则k
A． 3 3
B． 2 2
C．1
D． 3
【解析】直线 kx y 4k 0 ，即 k(x 4) y 0 ，所以直线 l 过定点 P(4,0) ，过圆心 O 作 OM l 于
3．选择题答案使用 2B 铅笔填涂，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号；非选择题答案
使用 0.5 毫米的黑色中性（签字）笔或碳素笔书写，字体工整、笔迹清楚．
4．保持答题卡卡面清洁，不折叠、不破损．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．
一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题
相等，不妨取渐近线为 y b x ，即 bx ay 0 ，点 F (c,0) 到渐近线的距离 d b (c) 0 bc b ，
a
a2 b2 c
所以 b 3 ，所以 C 的方程为 x2 y2 1，故选 C． 49
7．执行如图所示的程序框图，则输出 S 的值为
A． 1010
B． 1009
21 4
；所以
4≤R2≤
21 4
，由球
O
的表面积

2020年福建省泉州市高考数学一模试卷(理科)

2020年福建省泉州市高考数学一模试卷（理科）一、单项选择题：本题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一是符合题目要求的.1．（5分）已知集合{0M =，1，2}，2{|20}N x Z x x =∈+-…，则(M N =I ) A ．{1-，0，1}B ．{0，1}C ．{0，1，2}D ．{2-，1-，0，1}2．（5分）已知x ，y R ∈，若x yi +与31ii+-互为共轭复数，则(x y += ) A ．0B ．3C ．1-D ．43．（5分）某旅行社调查了所在城市20户家庭2019年的旅行费用，汇总得到如表格：则这20户家庭该年的旅行费用的众数和中位数分别是( ) A ．1.4，1.4B ．1.4，1.5C ．1.4，1.6D ．1.62，1.64．（5分）记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和．已知25a =-，416S =-，则6(S = ) A ．14-B ．12-C ．17-D ．125．（5分）5(3)(2)x x +-的展开式中，4x 的系数为( ) A ．10B ．38C ．70D ．2406．（5分）已知函数0.3030.341(),(2),(0.2),(log 2)2x x f x a f b f c f -====，则a ，b ，c 的大小关系为( ) A ．c b a <<B ．b a c <<C ．b c a <<D ．c a b <<7．（5分）松、竹、梅经冬不衰，因此有“岁寒三友”之称．在我国古代的诗词和典籍中有很多与松和竹相关的描述和记载，宋代刘学宾的《念奴娇：水轩沙岸》的“缀松黏竹，恍然如对三绝”描写了大雪后松竹并生相依的美景；宋元时期数学名著《算学启蒙》中亦有关于“松竹并生”的问题：松长五尺，竹长两尺，松日自半，竹日自倍，松竹何日而长等现欲知几日后竹长超过松长一倍为了解决这个新问题，设计下面的程序框图，若输入的5x =，2y =，则输出的n 值为( )A ．4B ．5C ．6D ．78．（5分）若[0x ∈，1]时，|2|0x e x a --…，则a 的取值范围为( ) A ．[222ln -，1]B ．[2e -，2]e -C ．[2e -，1]D ．[1-，1]9．（5分）已知函数()sin 2cos2f x a x b x =-，0ab ≠．当x R ∈时，()()3f x f π„，则下列结论错误的是( ) A ．3a bB ．()012f π=C ．2()()515f f ππ-=-D ．42()()155f f ππ-=- 10．（5分）将正整数20分解成两个正整数的乘积有120⨯，210⨯，45⨯三种，其中45⨯是这三种分解中两数差的绝对值最小的，我们称45⨯为20的最佳分解．当(p q p q ⨯„且p ，*)q N ∈是正整数n 的最佳分解时，定义函数()f n q p =-，则数列*{(5)}()n f n N ∈的前2020项的和为( ) A ．101051+B ．1000514-C ．1010512-D ．101051-二、多项选择题：本题共2小题，每小题5分，共10分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．不选或选出的选项中含有错误选项的得0分，只选出部分正确选项的得3分，选出全部正确选项的得5分．11．（5分）如图，正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1，E 是1DD 的中点，则( )A ．直线1//BC 平面1A BDB ．11BC BD ⊥C ．三棱锥11C B CE -的体积为13D ．异面直线1B C 与BD 所成的角为60︒12．（5分）若双曲线22:1(0))C mx ny mn +=<绕其对称中心旋转3π可得某一函数的图象，则C 的离心率可以是( )A 23B ．43C 3D ．2三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.将答案填在答题卡的相应位置.13．（5分）已知向量(1,1)a =r ，(1,)b k =-r ，a b ⊥rr ，则||a b +=r r ． 14．（5分）在数列{}n a 中，11a =，23a =，21n n a a +=，则20192020a a += ．15．（5分）设F 是抛物线2:3E y x =的焦点，点A 在E 上，光线AF 经x 轴反射后交E 于点B ，则点F 的坐标为，||4||AF BF +的最小值为．16．（5分）直四棱柱1111ABCD A B C D -中，底面ABCD 是边长为4的正方形1,23AA =M 是侧面11BCC B 内的动点（不含边界），AM MC ⊥，则1A M 与平面11BCC B 所成角的正切值的取值范围为．四、解答题：共70分o 解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每道试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共60分．。

【KS5U解析】福建省泉州市普通高中2020届高三第一次质量检查数学(理)试题 Word版含解析

（2）以为原点，分别以，，的方向为轴，轴，轴的正方向，建立空间直角坐标系，利用空间向量求二面角的余弦值；
【详解】解：（1）依题意知，由于，所以，
当平面平面时，
平面平面，平面，
所以平面，
由于平面，所以，
由已知，是等边三角形，且为的中点，
所以，，所以，
，则 .
故答案为：2
【点睛】本题主要考查了向量的坐标运算，向量垂直的性质，向量的模的计算.
14.在数列中，，，，则 ____________.
【答案】
【解析】
【分析】
由递推公式可以先计算出前几项，再找出规律，即可得解；
【详解】解：由于，，，
所以，即，
，所以
，所以，
，所以
由此可得数列的奇数项为，偶数项为、、、
，，，
设异面直线与所成的角为，则，又，所以，故D正确；
设平面的法向量为，则，即，取，
则，即，又直线平面，所以直线平面，故A正确；
，故C错误；
故选：ABD
【点睛】本题考查空间向量法在立体几何中的应用，属于中档题.
12.若双曲线：绕其对称中心旋转可得某一函数的图象，则的离心率可以是（）
又，平面，平面，
所以平面，
又平面，所以平面平面 .
（2）以为原点，分别以，，的方向为轴，轴，轴的正方向，建立空间直角坐标系，
则，，，，
，，，
，
设平面的一个法向量，平面的一个法向量
由得；令，解得，，
所以，
由得；令，解得，，

福建省泉州市普通高中2019-2020学年毕业班第一次质量检查(理科)数学试题(带答案解析)

福建省泉州市普通高中2019-2020学年毕业班第一次质量检查（理科)数学试题1．已知集合{}012M =,,，{}2|20N x x x =∈+-≤Z ，则M N =I （） A ．{}1,0,1- B ．{}0,1 C ．{}0,1,2 D ．{}2,1,0,1-- 2．若x yi +(,)x y ∈R 与31i i +-互为共轭复数，则x y +=（） A ．0 B ．3C ．－1D ．4 3．某旅行社调查了所在城市20户家庭2019年的旅行费用，汇总得到如下表格：则这20户家庭该年的旅行费用的众数和中位数分别是（）A ．1.4，1.4B ．1.4，1.5C ．1.4，1.6D ．1.62，1.6 4．记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和.已知25a =-，416S =-，则6S =（） A ．－14 B ．－12 C ．－17 D ．125．5(3)(2)x x +-的展开式中4x 的系数为（）A ．10B ．38C ．70D ．2406．已知函数41()2x x f x -=，()0.32a f =，()0.30.2b f =，()0.3log 2c f =，则a ，b ，c 的大小关系为（）A ．c b a <<B ．b a c <<C ．b c a <<D ．c a b << 7．松、竹、梅经冬不衰，因此有“岁寒三友”之称.在我国古代的诗词和典籍中有很多与松和竹相关的描述和记载，宋代刘学箕的《念奴娇·水轩沙岸》的“缀松黏竹，恍然如对三绝”描写了大雪后松竹并生相依的美景；宋元时期数学名著《算学启蒙》中亦有关于“松竹并生”的问题：松长五尺，竹长两尺，松日自半，竹日自倍，松竹何日而长等.现欲知几日后，竹长超过松长一倍.为了解决这个新问题，设计下面的程序框图，若输入的5x =，2y =，则输出的n 的值为（）A ．4B ．5C ．6D ．78．若[]0,1x ∈时，|2|0x e x a --≥，则a 的取值范围为（）A ．[]1,1-B ．[]2,2e e --C ．[]2e,1-D ．[]2ln 22,1- 9．已知函数()sin 2cos 2f x a x b x =-，0ab ≠.当x ∈R 时()3f x f π⎛⎫≤⎪⎝⎭，则下列结论错误．．的是（） A．a B ．012f π⎛⎫= ⎪⎝⎭C ．2515f f ππ⎛⎫⎛⎫-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭D ．42155f f ππ⎛⎫⎛⎫-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭10．将正整数20分解成两个正整数的乘积有120⨯，210⨯，45⨯三种，其中45⨯是这三种分解中两数差的绝对值最小的，我们称45⨯为20的最佳分解.当p q ⨯（p q ≤且*,p q ∈N ）是正整数n 的最佳分解时我们定义函数()f n q p =-，则数列(){}5n f ()*n N ∈的前2020项的和为（） A ．101051+ B ．1010514- C ．1010512- D ．101051- 11．如图，正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1，E 是1DD 的中点，则（）A ．直线1//BC 平面1A BDB ．11BC BD ⊥ C ．三棱锥11C B CE -的体积为13 D ．异面直线1B C 与BD 所成的角为60︒12．若双曲线C ：221x y m n+=(0)mn <绕其对称中心旋转3π可得某一函数的图象，则C 的离心率可以是（）A ．3B ．43CD ．213．已知向量(1,1)a =r ，(1,)b k =-r ，a b ⊥r r ，则a b +=r r _________.14．在数列{}n a 中，11a =，23a =，21n n a a +=，则20192020a a +=____________. 15．设F 是抛物线E ：23y x =的焦点，点A 在E 上，光线AF 经x 轴反射后交E 于点B ，则点F 的坐标为___________，||4||AF BF +的最小值为__________.16．直四棱柱1111ABCD A B C D -中，底面ABCD 是边长为4的正方形，1AA =点M 是侧面11BCC B 内的动点（不含边界），AM MC ⊥，则1A M 与平面111BCC B 所成角的正切值的取值范围为__________.17．在平面四边形ABCD 中，2ABC π∠=，2DAC ACB ∠=∠，3ADC π∠=.（1）若6ACB π∠=，BC =BD ；（2）若DC =，求cos ACB ∠.18．如图1，四边形ABCD 是边长为2的菱形，60BAD ∠=︒，E 为CD 的中点，以BE 为折痕将BCE ∆折起到PBE ∆的位置，使得平面PBE ⊥平面ABED ，如图2.（1）证明：平面PAB ⊥平面PBE ；（2）求二面角B PA E --的余弦值.19．已知(1,0)F 是椭圆C ：22221x y a b+=(0)a b >>的焦点，点31,2P ⎛⎫ ⎪⎝⎭在C 上. （1）求C 的方程；（2）斜率为12的直线l 与C 交于()11,A x y ，()22,B x y 两点，当1212340x x y y +=时，求直线l 被圆224x y +=截得的弦长.20．冬天的北方室外温度极低，若轻薄保暖的石墨烯发热膜能用在衣服上，可爱的医务工作者行动会更方便.石墨烯发热膜的制作：从石墨中分离出石墨烯，制成石墨烯发热膜.从石墨分离石墨烯的一种方法是化学气相沉积法，使石墨升华后附着在材料上再结晶.现在有A 材料、B 材料供选择，研究人员对附着在A 材料、B 材料上再结晶各做了50次试验，得到如下等高条形图.（1）根据上面的等高条形图，填写如下列联表，判断是否有99%的把握认为试验成功与材料有关？（2）研究人员得到石墨烯后，再制作石墨烯发热膜有三个环节：①透明基底及UV 胶层；②石墨烯层；③表面封装层.第一、二环节生产合格的概率均为12，第三个环节生产合格的概率为23，且各生产环节相互独立.已知生产1吨的石墨烯发热膜的固定成本为1万元，若生产不合格还需进行修复，第三个环节的修复费用为3000元，其余环节修复费用均为1000元.如何定价，才能实现每生产1吨石墨烯发热膜获利可达1万元以上的目标？附：参考公式：22()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++，其中n a b c d =+++.21．已知函数2()sin 2x f x e x ax x =+--.（1）当0a =时，求()f x 的单调区间；（2）若0x =为()f x 的极小值点，求a 的取值范围.22．在平面直角坐标系xOy 中，已知直线l 的参数方程为,4x t y =⎧⎪⎨=-⎪⎩（t 为参数），圆C 的方程为22(1)1y x +-=，以坐标原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系. （1）求l 和C 的极坐标方程；（2）过O 且倾斜角为α的直线与l 交于点A ，与C 交于另一点B ，若5612ππα≤≤，求||||OB OA 的取值范围. 23．记函数1()212f x x x =++-的最小值为m . （1）求m 的值；（2）若正数a ，b ，c 满足abc m =，证明：9ab bc ca a b c++≥++.参考答案1．B【解析】【分析】用列举法写出集合N ，再根据交集的定义写出M N ⋂．【详解】解：因为{}2|20N x x x =∈+-≤Z所以{}2,1,0,1N =--，又{}012M =,, {}0,1M N ∴=I故选：B【点睛】本题考查了交集的运算问题，属于基础题．2．C【解析】【分析】计算3121i i i+=+-，由共轭复数的概念解得,x y 即可. 【详解】3121i i i+=+-Q ，又由共轭复数概念得：x 1,y 2==-， 1x y ∴+=-.故选：C【点睛】本题主要考查了复数的运算，共轭复数的概念.3．B【解析】【分析】根据众数和中位数的定义解答即可；【详解】解：依题意可得则组数据分别为：1.2，1.2，1.2，1.2，1.4，1.4，1.4，1.4，1.4，1.4，1.6，1.6，1.6，1.8，1.8，1.8，1.8，1.8，2，2；故众数为：1.4，中位数为：1.5，故选：B【点睛】本题考查求几个数的众数与中位数，属于基础题.4．B【解析】【分析】设等差数列{}n a 的公差为d ，依题意列出方程组，再根据前n 项和公式计算可得；【详解】解：设等差数列{}n a 的公差为d ，则()14154414162a d S a d +=-⎧⎪⎨⨯-=+=-⎪⎩解得172a d =-⎧⎨=⎩，所以()616616122S a d ⨯-=+=- 故选：B【点睛】本题考查等差数列的通项公式及求和公式的应用，属于基础题.5．A【解析】【分析】首先求出二项式5(2)x -展开式的通项为()5152rr r r T C x -+=-，再令53r -=，54-=r 分别求出系数，由555(3)(2)(2()3)2x x x x x +--=+-即可得到展开式中4x 的系数.【详解】解：因为555(3)(2)(2()3)2x x x x x +--=+-，而5(2)x -展开式的通项为()5152rr r r T C x -+=-，当54-=r 即1r =时，()114425210T C x x =-=-，当53r -=即2r =时，()223335240T C x x =-=故5(3)(2)x x +-的展开式中4x 的系数为()4031010+⨯-= 故选：A【点睛】本题考查了二项式定理的应用，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．6．A【解析】【分析】首先判断函数的奇偶性与单调性，再根据指数函数、对数函数的性质得到0.321>，0.300.21<<，0.3log 20<，即可得解；【详解】解：因为41()222x x x x f x --==-，定义域为R ，()()22x x f x f x --=-=- 故函数是奇函数，又2x y =在定义域上单调递增，2xy -=在定义域上单调递减，所以()22x x f x -=-在定义域上单调递增，由0.321>，0.300.21<<，0.3log 20<所以()()()0.30.30.320.2log 2f f f >> 即a b c >>故选：A【点睛】本题考查指数函数、对数函数的性质的应用，属于基础题.7．A【解析】【分析】由已知中的程序框图可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量b 的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案．【详解】解：当1n =时，152x =，4y =，满足进行循环的条件，当2n =时，454x =，8y =满足进行循环的条件，当3n =时，1358x =，16y =满足进行循环的条件，当4n =时，40516x =，32y =不满足进行循环的条件，故输出的n 值4．故选：A ．【点睛】本题考查的知识点是程序框图，当循环的次数不多，或有规律时，常采用模拟循环的方法解答，属于基础题．8．D【解析】【分析】由题得22x x x e a x e -≤≤+对[]0,1x ∀∈恒成立，令()()2g 2，x xf x x e x x e =-=+，然后分别求出()()max min ，f xg x 即可得a 的取值范围.【详解】由题得22x x x e a x e -≤≤+对[]0,1x ∀∈恒成立，令()()2g 2，x xf x x e x x e =-=+， ()2x f x e '=-Q 在[]0,1单调递减，且()ln 20f '=，()f x ∴在()0,ln 2上单调递增，在()ln 2,1上单调递减，()()max ln 22ln 22a f x f ∴≥==-，又()g 2xx x e =+在[]0,1单调递增，()()min 01a g x g ∴≤==， ∴a 的取值范围为[]2ln 22,1-.故选：D【点睛】本题主要考查了不等式恒成立问题，导数的综合应用，考查了转化与化归的思想.求解不等式恒成立问题，可采用参变量分离法去求解.9．D 【解析】【分析】依题意，利用辅助角公式得到()()2f x x ϕ=-，且3f π⎛⎫⎪⎝⎭是()f x 的最大值，从而sin 213πϕ⎛⎫⨯-= ⎪⎝⎭，取6π=ϕ，即可得到()2sin 26f x b x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，从而一一验证可得；【详解】解：因为()()sin 2cos 22f x a x b x x ϕ=-=-，其中sin ϕ=，cos ϕ=0ab ≠.当x ∈R 时()3f x f π⎛⎫≤ ⎪⎝⎭，所以3x π=是图象的对称轴，此时，函数取得最大值sin 213πϕ⎛⎫⨯-= ⎪⎝⎭，取6π=ϕ；则1sin 2ϕ==，cos ϕ==，所以a ，故A 正确；()2sin 26f x b x π⎛⎫∴=- ⎪⎝⎭，则2sin 2012126f b πππ⎛⎫⎛⎫=⨯-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故B 正确； 17172sin 22sin 22sin 2sin 556563030f b b b b πππππππ⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴-=⨯--=⨯--=-=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎣⎦，221317172sin 22sin 2sin 2sin 151********f b b b b πππππππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=⨯--=-=-+=- ⎪ ⎪ ⎪⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦故2515f f ππ⎛⎫⎛⎫-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即C 正确； 22192sin 22sin 55630f b b ππππ⎛⎫⎡⎤∴=⨯-=⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦4421332sin 22sin 2sin 2sin 151********f b b b b πππππππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=⨯--=-=-+=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦故42155f f ππ⎛⎫⎛⎫-≠- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即D 错误；故选：D 【点睛】本题考查辅助角公式及三角函数的性质的应用，属于中档题. 10．D 【解析】【分析】首先利用信息的应用求出关系式的结果，进一步利用求和公式的应用求出结果．【详解】解：依题意，当n 为偶数时，22(5)550nnn f =-=；当n 为奇数时，111222(5)5545n n n n f +--=-=⨯，所以01100920204(555)S =++⋯+，101051451-=-g ，101051=-．故选：D 【点睛】本题考查的知识要点：信息题的应用，数列的求和的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于中档题． 11．ABD 【解析】【分析】建立空间直角坐标系，利用空间向量法一一验证即可；【详解】解：如图建立空间直角坐标系，()0,0,0A ，()1,0,0B ，()1,1,0C ，()0,1,0D ，()10,0,1A ，()11,0,1B ，()11,1,1C ，()10,1,1D ，10,1,2⎛⎫ ⎪⎝⎭E ，()1B C 0,1,1=-u u u u r ，()11,1,1BD =-u u u u r ，()1,1,0BD =-u u u r ，()11,0,1BA =-u u u r所以()111011110B C BD =-⨯+⨯+-⨯=u u u r u u u r u g ，即11BC BD ⊥u u u r u u ur u ，所以11B C BD ⊥，故B 正确； ()11011101B C BD =-⨯+⨯+-⨯=u u u r u u u r g，1B C =u u u rBD =u u u r，设异面直线1B C 与BD 所成的角为θ，则111cos 2B C BD B C BD θ==u u u r u u u u ur g u u u r r g u ，又0,2πθ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦，所以3πθ=，故D 正确；设平面1A BD 的法向量为(),,n x y z =r ，则1·0·0n BA n BD ⎧=⎨=⎩u u u v v u u u v v ，即00x y x z -+=⎧⎨-+=⎩，取()1,1,1n =r ，则()10111110n B C =⨯+⨯+⨯-=r u u u r g ，即1C n B ⊥r u u u r，又直线1B C ⊄平面1A BD ，所以直线1//B C 平面1A BD ，故A 正确；111111111111113326C B CE B C CE C CE V B C S V -∆-===⨯⨯⨯⨯=⋅，故C 错误；故选：ABD【点睛】本题考查空间向量法在立体几何中的应用，属于中档题. 12．AD 【解析】【分析】利用双曲线旋转后是函数的图象，求出渐近线的斜率，然后求解双曲线的离心率即可．【详解】解：当0m >，0n <时，由题意可知双曲线的渐近线的倾斜角为：6π，所以斜率为：3，可得：13m n =-，所以双曲线的离心率为：2e ==．当0m <，0n >时，由题意可知双曲线的渐近线的倾斜角为：6π，=3n m =-，所以双曲线的离心率为：e ==．故选：AD ．【点睛】本题考查双曲线的简单性质的应用，属于中档题. 13．2 【解析】【分析】由a b ⊥r r得0a b ⋅=r r ，算出1k=，再代入算出a b +r r即可.【详解】Q (1,1)a =r ，(1,)b k =-r ，a b ⊥r r，10a b k ∴⋅=-+=r r ，解得：1k =，()0,2a b ∴+=r r，则2a b +=r r .故答案为：2 【点睛】本题主要考查了向量的坐标运算，向量垂直的性质，向量的模的计算. 14．43【解析】【分析】由递推公式可以先计算出前几项，再找出规律，即可得解；【详解】解：因为11a =，23a =，21n n a a +=，所以131a a =，即31a =，241a a =，所以413a =351a a =，所以51a =， 461a a =，所以63a =L L由此可得数列{}n a 的奇数项为1，偶数项为3、13、3、13L L 所以2019202014133a a +=+= 故答案为：43【点睛】本题考查由递推公式研究函数的性质，属于基础题. 15．3,04⎛⎫ ⎪⎝⎭ 274【解析】【分析】首先由抛物线的解析式直接得到焦点坐标，设()11,A x y ，()122,B x y ，则()22,B x y -，当直线1AB 的斜率存在时，设直线1AB 的方程为34y k x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，联立直线与抛物线方程，可得根与系数的关系，利用1233||4||444AF BF x x ⎛⎫+=+++ ⎪⎝⎭以及基本不等式计算可得；【详解】解：因为23y x =，23p =，所以32p =，故焦点F 的坐标为3,04⎛⎫⎪⎝⎭，根据抛物线的性质可得B 点关于x 轴对称的点1B 恰在直线AF 上，且1||||B F BF =，设()11,A x y ，()122,B x y ，则()22,B x y -，当直线1AB 的斜率存在时，设直线1AB 的方程为34y k x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，联立得2343y k x y x⎧⎛⎫=-⎪ ⎪⎝⎭⎨⎪=⎩，化简的22223930216k x k x k ⎛⎫-++= ⎪⎝⎭，所以12916x x =，所以121233151527||4||4444444AF BF x x x x ⎛⎫+=+++=++≥= ⎪⎝⎭ 当且仅当124x x =时取等号，当直线1AB 的斜率不存在时，A 点与B 点重合，15||4||52AF BF p +==，综上可得||4||AF BF +的最小值为274故答案为：3,04⎛⎫ ⎪⎝⎭；274. 【点睛】本题考查抛物线的定义标准方程及其性质，直线与抛物线相交问题，焦点弦的相关性质与基本不等式的应用，属于中档题.16．⎤⎥⎝⎦【解析】如图建立空间直角坐标系，(A ，()14,0,0A，(C ，设(),4,M x z，(0z <<，由AM MC ⊥，则0AM MC =u u u u r u u u u rg ，即可得到动点M 的轨迹方程，连接1A M ，1B M ，则11A MB Ð为1A M 与平面11BCC B 所成角，从而11111tan A B A MB MB ∠=，即可求出1A M 与平面111BCC B 所成角的正切值的取值范围；【详解】解：如图建立空间直角坐标系，(A ，()14,0,0A，(C ，设(),4,M x z，(0z <<则(4,4,AM x z =--u u u u r，(,0,CM x z =-u u u u r，因为AM MC ⊥，所以0AM MC =u u u u r u u u u rg ，()(240x x z -+-=，即()(2224x z -+-=，(0z <<，连接1A M ，1B M，则12B M ≤<以111142MB <≤，依题意可得11A B ⊥面11BCC B ，则11A MB Ð为1A M 与平面11BCC B所成角，1111114tan 27A B A MB MB MB ⎛⎤∠==∈ ⎥ ⎝⎦故答案为：27⎛⎤⎥ ⎝⎦本题考查空间向量法解决立体几何问题，线面角的计算，属于中档题. 17．（1）BD =2）3cos 4ACB ∠=【解析】【分析】（1）在Rt ABC ∆中，由已知条件求出相关的边与角，由倍角关系推导求出ADC ∆为等边三角形，再利用余弦定理即求出BD =.（2）由题目已知条件2DAC ACB ∠=∠，可将所要的角转化到ACD ∆中，再将AC 用Rt ABC ∆中边角来表示，利用正弦定理及三角恒等变换求解即可得.【详解】解：（1）在Rt ABC ∆中，由6ACB π∠=，BC =1AB =，3BAC π∠=，2AC =又23DAC ACB π∠=∠=，3ADC π∠=，所以ADC ∆为等边三角形，所以2AD =在ABD ∆中，由余弦定理得，2222cos BD AB AD AB AD BAD =+-⨯⨯∠，即222212212cos73BD π=+-⨯⨯⨯=，解得BD =（2）设ACB θ∠=，AB x =，则2DAC θ∠=，DC =,在Rt ABC ∆中，sin sin AB xAC θθ==，在ACD ∆中，根据正弦定理得，sin sin ACDAC D A CC D =∠∠，sin sin 3xθπ=，sinsin 23sin x πθθ⋅=⋅2sin cos sin xθθθ=⋅解得3cos 4θ=，即3cos 4ACB ∠=【点睛】本小题主要考查解三角形、三角恒等变换等基础知识，考查推理论证能力和运算求解能力等，考查数形结合思想和化归与转化思想等，体现综合性与应用性，导向对发展直观想象、逻辑推理、数学运算及数学建模等核心素养的关注.18．（1）证明见解析（2）7【解析】【分析】（1）依题意可得PE BE ⊥，由面面垂直的性质可得PE ⊥平面ABCD ，从而得到PE AB ⊥，再证AB BE ⊥，即可得到AB ⊥平面PBE ，从而得证；（2）以E 为原点，分别以ED u u u r ，EB u u u r ，EP u u u r的方向为x 轴，y 轴，z 轴的正方向，建立空间直角坐标系E xyz -，利用空间向量求二面角的余弦值；【详解】解：（1）依题意知，因为CD BE ⊥，所以PE BE ⊥，当平面PBE ⊥平面ABED 时，平面PBE ⋂平面ABCD BE =，PE ⊂平面PBE ，所以PE ⊥平面ABCD ，因为AB Ì平面ABCD ，所以PE AB ⊥，由已知，BCD ∆是等边三角形，且E 为CD 的中点，所以BE CD ⊥，//AB CD ，所以AB BE ⊥，又PE BE E ⋂=，PE ⊂平面PBE ，BE ⊂平面PBE ，所以AB ⊥平面PBE ，又AB Ì平面PAB ，所以平面PAB ⊥平面PBE .（2）以E 为原点，分别以ED u u u r ，EB u u u r ，EP u u u r的方向为x 轴，y 轴，z 轴的正方向，建立空间直角坐标系E xyz -，则(0,0,0)E ，(0,0,1)P，B，A ，(0,0,1)EP =u u u r，EA =u u u r ，(2,0,0)BA =u u u r，1)PA =-u u u r，设平面PAB 的一个法向量()111,,m x y z =u r ，平面PAE 的一个法向量()222,,n x y z =r由00BA m PA m ⎧⋅=⎨⋅=⎩u u u v vu u u v v得11112020x x z =⎧⎪⎨+-=⎪⎩；令11y =，解得1z =10x =，所以m =u r，由00EP n EA n ⎧⋅=⎨⋅=⎩u u u v vu u u v v得222020z x =⎧⎪⎨+=⎪⎩；令22y =-，解得2x =，20z =，所以2,0)n =-r，cos ,7m n m n m n ⋅====-⋅u r ru r r u r r .. 【点睛】本小题考查线面垂直的判定与性质、二面角的求解及空间向量的坐标运算等基础知识，考查空间想象能力、推理论证及运算求解能力，考查化归与转化思想、数形结合思想等，体现基础性、综合性与应用性，导向对发展数学抽象、逻辑推理、直观想象等核心素养的关注.19．（1）22143x y +=（2【解析】【分析】（1）由已知可得221a b -=，再点31,2P ⎛⎫⎪⎝⎭在椭圆上得到方程组，解得即可；（2）设直线l 的方程为12y x t =+，联立直线与椭圆，列出韦达定理，由1212340x x y y +=，解得22t =，再由点到线的距离公式及勾股定理计算可得；【详解】解：（1）由己知得221a b -=，因点31,2P ⎛⎫⎪⎝⎭在椭圆上，所以221914a b += 所以24a =，23b =所以椭圆C 的方程为：22143x y +=（2）设直线l 的方程为12yx t =+，联立2212143y x t x y ⎧=+⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，消去y 得2230x tx t ++-=， ()222431230t t t ∆=--=->，解得24t <，12x x t +=-，2123x x t =-，由1212340x x y y +=，即12121134022x x x t x t ⎛⎫⎛⎫+++=⎪⎪⎝⎭⎝⎭，所以()21212220x x t x x t +++=（*）.将12x x t +=-，2123x x t =-代入（*）式，解得22t =，由于圆心O到直线l的距离为d==，所以直线l被圆O截得的弦长为5l===.【点睛】本小题主要考查椭圆的几何性质、直线与椭圆的位置关系等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力等，考查化归与转化思想、数形结合思想、函数与方程思想等，体现基础性、综合性与创新性，导向对发展逻辑推理、直观想象、数学运算、数学建模等核心素养的关注. 20．（1）填表见解析；有99%的把握认为试验成功与材料有关（2）定价至少为2.2万元/吨【解析】【分析】（1）写出列联表，根据列联表求出2K的观测值，结合临界值表可得；（2）生产1吨的石墨烯发热膜，所需的修复费用为X万元，易知X可取0，0.1，0.2，0.3，0.4，0.5，然后根据独立重复事件的概率公式计算概率，写出分布列后求出期望即可．【详解】解：（1）根据所给等高条形图，得列联表：2K的观测值2100(4520530)1250507525k⨯⨯-⨯==⨯⨯⨯，由于12 6.635>，故有99%的把握认为试验成功与材料有关.（2）生产1吨的石墨烯发热膜，所需的修复费用为X 万元. 易知X 可取0，0.1，0.2，0.3，0.4，0.5.202122(0)2312P X C ⎛⎫==⨯= ⎪⎝⎭，212124(0.1)2312P X C ⎛⎫==⨯= ⎪⎝⎭， 222122(0.2)2312P X C ⎛⎫==⨯= ⎪⎝⎭，202111(0.3)2312P X C ⎛⎫==⨯= ⎪⎝⎭， 212112(0.4)2312P X C ⎛⎫==⨯= ⎪⎝⎭，222111(0.5)2312P X C ⎛⎫==⨯= ⎪⎝⎭，则X 的分布列为：修复费用的期望：111111()00.10.20.30.40.50.263612612E X =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=. 所以石墨烯发热膜的定价至少为0.211 2.2++=万元/吨，才能实现预期的利润目标. 【点睛】本小题主要考查等高条形图、独立性检验、分布列与期望等基础知识，考查数据处理能力、运算求解能力、应用意识等，考查统计与概率思想等，考查数学抽象、数学建模、数据分析等核心素养，体现基础性、综合性与应用性.21．（1）递增区间为(0,)+∞，递减区间为(0,)+∞（2）12a ≤ 【解析】【分析】（1）首先求出函数的导函数()cos 2x f x e x '=+-，记()()g x f x '=，则()sin xg x e x '=-，分析()g x 的单调性，即可求出函数的单调性；（2）依题意可得(0)0f '=，记()()g x f x '=，则()sin 2xg x e x a '=--.再令()()h x g x '=，则()cos xh x e x '=-，利用导数分析()h x '的单调性，即可得到()cos x h x e x '=-在,02π⎛⎫- ⎪⎝⎭有零点，即()sin 2x g x e x a '=--在()0,0x 单调递减，在(0,)+∞单调递增，所以0()(0)sin 0212g x g e a a ''≥=--=-，再对a 分类讨论可得；【详解】解：（1）当0a =时，()cos 2xf x e x '=+-，记()()g x f x '=，则()sin xg x e x '=-，当0x >时，e 1x >，1sin 1x -≤≤，所以()sin 0xg x e x '=->，()g x 在(0,)+∞单调递增，所以()(0)0g x g >=，因为()()0f x g x '=>，所以()f x 在(0,)+∞为增函数；当0x <时，1x e <，1cos 1x -≤≤，所以()cos 20xf x e x '=+-<，所以()f x 在(0,)+∞为减函数.综上所述，()f x 的递增区间为(0,)+∞，递减区间为(0,)+∞.·（2）由题意可得()cos 22xf x e x ax '=+--，(0)0f '=. 记()()g x f x '=，则()sin 2xg x e x a '=--.再令()()h x g x '=，则()cos xh x e x '=-.下面证明()cos xh x e x '=-在,02π⎛⎫- ⎪⎝⎭有零点：令()()x h x ϕ'=，则()sin xx e x ϕ'=+在,02π⎛⎫- ⎪⎝⎭是增函数，所以()(0)2x πϕϕϕ⎛⎫'''-<< ⎪⎝⎭.又02πϕ⎛⎫'-< ⎪⎝⎭，(0)0ϕ'>，所以存在1,02x π⎛⎫∈-⎪⎝⎭，()10x ϕ'=，且当1,2x x π⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，()0x ϕ'<，()1,0x x ∈，()0x ϕ'>，所以()x ϕ，即()h x '在1,2x π⎛⎫- ⎪⎝⎭为减函数，在()1,0x 为增函数，又02h π⎛⎫'-> ⎪⎝⎭，(0)0h '=，所以()10h x '<，根据零点存在性定理，存在01,2x x π⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，()00h x '= 所以当()0,0x x ∈，()0h x '<，又0x >，()cos 0xh x e x '=->，所以()h x ，即()sin 2xg x e x a '=--在()0,0x 单调递减，在(0,)+∞单调递增，所以0()(0)sin 0212g x g e a a ''≥=--=-. ①当120a -≥，12a ≤，()0g x '≥恒成立，所以()g x ，即()f x '为增函数，又(0)0f '=，所以当()0,0x x ∈，()0f x '<，()f x 为减函数，(0,)x ∈+∞，()0f x '>，()f x 为增函数，0x =是()f x 的极小值点，所以12a ≤满足题意. ②当12a >，(0)120g a '=-<，令()1xx e x =--，0x > 因为0x >，所以()10xu x e '=->，故()u x 在(0,)+∞单调递增，故()(0)0u x u >=，即有1x e x >+ 故2(2)sin 2221sin 220ag a ea a a a a '=-->+--≥，又()sin 2x g x e x a '=--在(0,)+∞单调递增，由零点存在性定理知，存在唯一实数(0,)m ∈+∞，()0g m '=，当(0,)x m ∈，()0g x '<，()g x 单调递减，即()f x '递减，所以()(0)0f x f ''<=，此时()f x 在(0,)m 为减函数，所以()(0)0f x f <=，不合题意，应舍去. 综上所述，a 的取值范围是12a ≤. 【点睛】本小题主要考查导数的综合应用，利用导数研究函数的单调性、最值和零点等问题，考查抽象概括、推理论证、运算求解能力，考查应用意识与创新意识，综合考查化归与转化思想、分类与整合思想、函数与方程思想、数形结合思想、有限与无限思想以及特殊与一般思想，考查数学抽象、逻辑推理、直观想象、数学运算、数学建模等核心素养.22．（1cos sin 40θρθ+-=；2sin ρθ=（2）13,24⎡⎤⎢⎥⎣⎦【解析】【分析】（1）直接利用转换公式，把参数方程，直角坐标方程与极坐标方程进行转化；（2）利用极坐标方程将||||OB OA 转化为三角函数求解即可. 【详解】（1）因为,4x t y =⎧⎪⎨=-⎪⎩，所以l40y +-=，又cos x ρθ=，sin y ρθ=，222x y ρ+=，lcos sin 40θρθ+-=，C 的方程即为2220x y y +-=，对应极坐标方程为2sin ρθ=.（2）由己知设()1,A ρα，()2,B ρα，则1ρ=22sin ρα=，所以，)21||12sin sin ||4OB OA ραααρ==⨯+12cos 214αα⎤=-+⎦ 12sin 2146πα⎡⎤⎛⎫=-+ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦又5612ππα≤≤，22663πππα≤-≤，当266ππα-=，即6πα=时，||||OB OA 取得最小值12；当262ππα-=，即3πα=时，||||OB OA 取得最大值34.所以，||||OB OA 的取值范围为13,24⎡⎤⎢⎥⎣⎦. 【点睛】本题主要考查了直角坐标方程，参数方程与极坐标方程的互化，三角函数的值域求解等知识，考查了学生的运算求解能力. 23．（1）1m =（2）证明见解析【解析】【分析】（1）将函数()f x 转化为分段函数或利用绝对值三角不等式进行求解；（2）利用基本不等式或柯西不等式证明即可. 【详解】解法一：（1）113,22311(),222113,22x x f x x x x x ⎧-+≤-⎪⎪⎪=-+-<≤⎨⎪⎪->⎪⎩当12x ≤-时，1()22f x f ⎛⎫≥-= ⎪⎝⎭，当1122x -<≤，1()12f x f ⎛⎫≥= ⎪⎝⎭，当12x >时，1()12f x f ⎛⎫>= ⎪⎝⎭，所以min ()1m f x ==解法二：（1）113,22311(),222113,22x x f x x x x x ⎧-+≤-⎪⎪⎪=-+-<≤⎨⎪⎪->⎪⎩如图当12x =时，min ()1m f x == 解法三：（1）111()222f x x x x =++-+-111222x x x ⎛⎫⎛⎫≥+--+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 1112x =+-≥ 当且仅当11022102x x x ⎧⎛⎫⎛⎫+-≤ ⎪⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎨⎪-=⎪⎩即12x =时，等号成立.当12x =时min ()1m f x == 解法一：（2）由题意可知，111ab bc ca c a b++=++，因为0a >，0b >，0c >，所以要证明不等式9ab bc ca a b c++≥++，只需证明111()9a b c c a b ⎛⎫++++≥⎪⎝⎭，因为111()9a b c c a b ⎛⎫++++≥=⎪⎝⎭成立，所以原不等式成立.解法二：（2）因为0a >，0b >，0c >，所以0ab bc ca ++≥>，0a b c ++≥>，又因为1abc =，所以()()9a b c ab bc ac ++++≥=，()()9ab bc ac a b c ++++≥所以9ab bc ca a b c++≥++，原不等式得证.补充：解法三：（2）由题意可知，111ab bc ca c a b++=++，因为0a >，0b >，0c >，所以要证明不等式9ab bc ca a b c++≥++，只需证明111()9a b c a b c ⎛⎫++++≥⎪⎝⎭，由柯西不等式得：2111()9a b ca b c ⎛⎫++++≥= ⎪⎝⎭成立，所以原不等式成立. 【点睛】本题主要考查了绝对值函数的最值求解，不等式的证明，绝对值三角不等式，基本不等式及柯西不等式的应用，考查了学生的逻辑推理和运算求解能力.。

泉州市2020届普通高中毕业班第一次质量检查(理科数学)2020市4月质检解答题参考答案

泉州市 2020 届普通高中毕业班第一次质量检查
理科数学试题答案及评分参考
三、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分．将答案填在答题卡的相应位置。
13．2
14． 4 3
15． ( 3 , 0) ， 27
4
4
16． ( 2 7 , 2] 7
四、解答题：共 70 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。第 17～21 题为必考题，每个试题考
4
4
思路探求 2：由题目已知条件∠DAC 2∠ACB ，可将所要的角转化到 △ACD 中，利用正弦定理求
市质检数学（理科）参考解答与评分标准第 2页共 12页
出 AC ，再将 AC 用 Rt△ABC 中边角来表示，最后再由等量代换求解即可得.
（2）解法二
设∠ACB= ， AB x ，
则∠DAC 2 ， DC 3x .......................................................................7 分
4sin θ cos θ sin θ
解得 cos θ 3 即 cos∠ACB= 3 .....................................................................12 分
又∠DAC 2∠ACB= π ，∠ADC= π ，
3
3
所以 △ADC 为等边三角形，所以 AD 2 .......................................................................4 分
在 △ABD 中，由余弦定理得， BD2 AB2 AD2 2AB AD cos∠BAD ，

2020届福建省泉州市高考数学一模试卷(含解析)

2020届福建省泉州市高考数学一模试卷一、单选题（本大题共12小题，共60.0分）1. 设集合A ={2,3，4，6}，B ={a b |a >b,a ∈A,b ∈A}，则A ∩B =( ) A. {2}B. {2,3}C. {2,3，4}D. {2,3，4，6} 2. 已知复数z 满足1z =1+i(i 是虚数单位)，则z 2=( )A. 2iB. i 2C. −i 2D. −2i3. 将区间[0,1]内的均匀随机数转化为[−2,6]内的均匀随机数，需要采取的变换为( )A. a =6a 1+2B. a =6a 1−2C. a =8a 1+2D. a =8a 1−24. 若{x +y ≥0x−y≤0y ≤a，z =x +2y 的最大值是3，则a 的值是( ) A. 1B. −1C. 0D. 2 5. 已知tanθ=−12，则tan2θ+4tan(θ+π4)=( )A. 1B. −2C. −1D. 06. 下列说法正确的是( )A. 样本10，6，8，5，6的标准差是5.3B. “p ∨q 为真”是“p ∧q 为真”的充分不必要条件C. K 2是用来判断两个分类变量是否相关的随机变量，当K 2的值很小时可以推定两类变量不相关D. 设有一个回归直线方程为ŷ=2−1.5x ，则变量x 毎增加一个单位，y 平均减少1.5个单位 7. 六棱锥P −ABCDEF 中，底面是正六边形，顶点在底面的射影是底面正多边形中心，G 为PB 的中点，则三棱锥D −GAC 与三棱锥P −GAC 体积之比为 ( )A. 1：1B. 1：2C. 2：1D. 3：2 8. 设函数f(x)={1x 为有理数0x 为无理数，若对任意x 的都满足x −f(x)≤g(x)成立，则函数g(x)可以是( ) A. g(x)=xB. g(x)=|x|C. g(x)=x 2D. 不存在这样的函数9. y =√3sin x 2+cos x2在[π,2π]上的最小值是( ) A. 2 B. 1 C. −1 D. −210. 直线l 过抛物线C ：x 2=4y 的焦点且与y 轴垂直，则l 与C 所围成的图形的面积等于( )A. B. 2 C. D.11. 如图，BC 是单位圆(即半径为1的圆)圆A 的一条直径，F 是线段AB 上的一点，且BF ⃗⃗⃗⃗⃗ =2FA⃗⃗⃗⃗⃗ ，若DE 是圆A 中绕圆心A 运动的一条直径，则FD ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅FE⃗⃗⃗⃗⃗ 的值是( ) A. −34B. −89C. −14D. 不确定12. 函数的图象大致是( ) A. B.C. D.二、单空题（本大题共4小题，共20.0分）13. 在某次军事演习中红方为了准确分析战场形势，在两个相距为√3a2的军事基地C 和D ，测得蓝方两支精锐部队分别在A 处和B 处，且∠ADB =30°，∠BDC =30°，∠DCA =60°，∠ACB =45°.如图所示，则蓝方这两支精锐部队的距离为______ ．14. 的展开式中，x 4的系数是________.(用数字作答)15.在平面直角坐标系O中，双曲线x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的右支与焦点为F的抛物线x2=2py(p>0)交于A，B两点，若|AF|+|BF|=6|OF|，则双曲线的离心率为______．16.下面有四个命题：①函数的最小正周期是；②函数的最大值是；③把函数的图象向右平移得的图象；④函数在上是减函数．其中真命题的序号是．三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17.设数列{a n}的前n项和为S n，且满足S1=2，S n+1=3S n+2．(Ⅰ)求通项公式a n；(Ⅱ)设b n=a nS n2，求证：b1+b2+⋯+b n<1．18.如图，已知矩形ABCD中，AB=2，AD=1，M为DC的中点，将△ADM沿AM折起，使得平面ADM⊥平面ABCM，连接BM．(Ⅰ)求证：BM⊥平面ADM；(Ⅱ)求二面角A−DM−C的余弦值；(Ⅲ)若点E是线段DB上的一动点，问点E在何位置时，三棱锥M−ADE的体积为√2．1219.已知椭圆的左、右焦点分别为，点也为抛物线的焦点，过点的直线交抛物线于两点．(Ⅰ)若点满足，求直线的方程；(Ⅱ)为直线上任意一点，过点作的垂线交椭圆于两点，求的最小值．20.同时抛掷两个骰子(各个面上分别标有数字1，2，3，4，5，6)，计算：(1)向上的数相同的概率．(2)向上的数之积为偶数的概率．21. 已知函数f(x)=e x −x −1，(e 是自然对数的底数)．(1)求f(x)的单调区间；(2)若函数F(x)=e x f(x)，证明：F(x)有极大值F(x 0)，且满足1e 2<F(x 0)<14．22. 在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为{x =tan 2αy =2tanα(α为参数).以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为2ρcosθ−ρsinθ+11=0．(1)求C 和l 的直角坐标方程；(2)求C 上的点到l 距离的最小值．23.(不等式选做题)在实数范围内，不等式||x−2|−1|≤1的解集为______ ．【答案与解析】1.答案：B解析：解：当b=2时，ab 的值为32,2,3；当b=3时，ab的值为43,2；当b=4时，ab的值为32，∴B={32,43,2,3}，∴A∩B={2,3}．故选：B．根据a∈A，b∈A且a>b及集合A即可求出集合B，然后进行交集的运算即可．本题考查描述法、列举法的定义，以及元素与集合的关系，交集的运算，属于基础题．2.答案：C解析：解：复数z满足1z=1+i(i是虚数单位)，∴z=11+i =1−i12−i2=12(1−i)，∴z2=1(1−2i−1)=−1i.故选：C．根据复数的代数形式的运算法则，计算即可．本题考查了复数代数形式的运算问题，是基础题．3.答案：D解析：本题考查了随机数．利用已知根据函数的值域求解．解：当a 1∈[0,1]时，a=6a1+2的值域是[2,3]，则A项不符合题意；a =6 a 1−2的值域是[−2,−1]，则B 项不符合题意；a =8 a 1+2的值域为[2,10]，则C 项不符合题意；a =8 a 1−2的值域为[−2,6]，则D 项不符合题意．故选D ．4.答案：A解析：解：作出不等式表示的平面区域，如图z =x +2y 的几何意义是直线y =−12纵截距的一半由{x −y =0y =a，可得x =y =a ，根据图形可知在(a,a)处，z =x +2y 的最大值为3 ∴a +2a =3∴a =1故选A ．作出不等式表示的平面区域，明确目标函数的几何意义，根据z =x +2y 的最大值为3，即可求a 的值．本题考查线性规划知识，考查求函数的最值，正确作出不等式表示的平面区域，明确目标函数的几何意义是关键． 5.答案：D解析：解：∵tanθ=−12，∴tan2θ+4tan(θ+π4)=2tanθ1−tan 2θ+4×tanθ+tan π41−tanθtan π4=2×(−12)1−14+4×−12+11+1×12=−43+43=0．故选：D ．由已知直接利用倍角公式及两角和的正切求解．本题考查三角函数的化简求值，考查倍角公式及两角和的正切，是基础题．6.答案：D解析：解：A ，样本10，6，8，5，6的平均数为7，方差为165，标准差是4√55，故不正确；B ，p ∧q 为真，则p 、q 均为真，p ∨q 为真，p 、q 至少一个为真，故“p ∨q 为真”是“p ∧q 为真”的必要不充分条件，故不正确；C ，K 2的值很小时，只能说两个变量的相关程度低，不能推定两个变量不相关．所以C 错；D ，设有一个回归直线方程为y ̂=2−1.5x ，则变量x 毎增加一个单位，y 平均减少1.5个单位，正确．故选：D ．对四个命题分别进行判断，A ，求出平均数、方差、标准差可得结论；B ，p ∧q 为真，则p 、q 均为真，p ∨q 为真，p 、q 至少一个为真；C ，K 2的值很小时，只能说两个变量的相关程度低，不能推定两个变量不相关；D ，设有一个回归直线方程为y ̂=2−1.5x ，通过回归直线方程的性质，即可得出结论．本题考查命题的真假判断，考查学生分析解决问题的能力，比较基础．7.答案：C解析：试题分析：两三棱锥体积的比即为点D 、点P 分别到同一个平面AGC 的距离之比，设点P 在底面ABCDEF 的射影为O ，因为PO//面GAC ，故点P 到平面AGC 的距离即为点O 到平面AGC 的距离，又因为点O 为线段AD 的中点，故点D 、点O 到同一个平面AGC 的距离之比为2：1，两三棱锥体积的比为2：1。

福建省泉州市2020届高三数学毕业班第一次质量检查试题理

福建省泉州市2020届高三数学毕业班第一次质量检查试题理一、单项选择题:本题共10小题，每小题5分,共50分。

在每小题给出的四个选项中,只有一是符合题目要求的.1.已知集合2{0,1,2},{|20}M N x x x ==∈+-≤Z ,则M∩N = A.{- 1,0,1}B. {0,1}C. {0,1,2}D. {-2,- 1,0,1}2.已知x,y ∈R ,若x+yi 与31ii+-互为共轭复数,则x +y = A.0B.3C.-1D.43.某旅行社调查了所在城市20户家庭2019年的旅行费用，汇总得到如下表格:则这20户家庭该年的旅行费用的众数和中位数分别是 A.1.4,1.4B.1.4,1.5C.1.4,1.6D.1.62,1.64.记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和.已知245,16a s =-=-，则6S = A.-14B.-12C.-17D.125. (x +3)(x - 2)5的展开式中，4x 的系数为 A.10B.38C.70D.2406.已知函数()()()0.3030.341(),2,0.2,log 22x x f x a f b f c f -====,则a,b,c 的大小关系为 A.c <b<a B.b< a< c C.b<c< a D.c<a<b7.松、竹、梅经冬不衰，因此有“岁寒三友”之称。

在我国古代的诗词和典籍中有很多与松和竹相关的描述和记载，宋代刘学宾的《念奴娇：水轩沙岸》的“缀松黏竹，恍然如对三绝”描写了大雪后松竹并生相依的美景；宋元时期数学名著《算学启蒙》中亦有关于“松竹并生”的问题：松长五尺，竹长两尺，松日自半，竹日自倍，松竹何日而长等现欲知几日后竹长超过松长一倍为了解决这个新问题，设计下面的程序框图，若输入的x =5，y =2，则输出的n 值为A.4B.5C.6D.78.若x ∈[0,1]时，|2|0xe x a --≥，则a 的取值范围为 A. [2ln2 - 2,1].[2,2]B e e --C.[2-e,1]D.[-1,1]9.已知函数f(x) = asin2x - bcos2x,ab≠0.当x ∈R 时,()()3f x f π≤,则下列结论错误的是.3A a b =.()012B f π=2.()()515C f f ππ-=-42.()()155D f f ππ-=- 10.将正整数20分解成两个正整数的乘积有1×20,2 ×10,4×5三种,其中4×5是这三种分解中两数差的绝对值最小的，我们称4×5为20的最佳分解.当p×q(p≤q 且p,q ∈N *)是正整数n 的最佳分解时，定义函数f(n) =q-p,则数列*{(5)})(nf n N ∈的前2020项的和为A. 101051+100051.4B -101051.2C -1010.51D -二、多项选择题：本题共2小题，每小题5分，共10分。

2020届福建省泉州市普通高中毕业班第一次质量检查数学(word版,含答案)

福建省泉州市2020届普通高中毕业班第一次质量检查数学一、单项选择题:本题共10小题，每小题5分,共50分。

在每小题给出的四个选项中,只有一是符合题目要求的.1.已知集合2{0,1,2},{|20}M N x x x ==∈+-≤Z ,则M∩N =A.{- 1,0,1}B. {0,1}C. {0,1,2}D. {-2,- 1,0,1} 2.已知x,y ∈R ,若x+yi 与31i i +-互为共轭复数,则x +y = A.0 B.3 C.-1 D.43.某旅行社调查了所在城市20户家庭2019年的旅行费用，汇总得到如下表格:则这20户家庭该年的旅行费用的众数和中位数分别是A.1.4,1.4B.1.4,1.5C.1.4,1.6D.1.62,1.64.记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和.已知245,16a s =-=-，则6S =A.-14B.-12C.-17D.12 5. (x +3)(x - 2)5的展开式中，4x 的系数为A.10B.38C.70D.2406.已知函数()()()0.3030.341(),2,0.2,log 22x x f x a f b f c f -====,则a,b,c 的大小关系为 A.c <b<a B.b< a< c C.b<c< a D.c<a<b7.松、竹、梅经冬不衰，因此有“岁寒三友”之称。

在我国古代的诗词和典籍中有很多与松和竹相关的描述和记载，宋代刘学宾的《念奴娇：水轩沙岸》的“缀松黏竹，恍然如对三绝”描写了大雪后松竹并生相依的美景；宋元时期数学名著《算学启蒙》中亦有关于“松竹并生”的问题：松长五尺，竹长两尺，松日自半，竹日自倍，松竹何日而长等现欲知几日后竹长超过松长一倍为了解决这个新问题，设计下面的程序框图，若输入的x =5，y =2，则输出的n 值为A.4B.5C.6D.7 8.若x ∈[0,1]时，|2|0x e x a --≥，则a 的取值范围为A. [2ln2 - 2,1] .[2,2]B e e -- C.[2-e,1] D.[-1,1]9.已知函数f(x) = asin2x - bcos2x,ab≠0.当x ∈R 时,()()3f x f π≤,则下列结论错误的是 .3A a b = .()012B f π= 2.()()515C f f ππ-=- 42.()()155D f f ππ-=- 10.将正整数20分解成两个正整数的乘积有1×20,2 ×10,4×5三种,其中4×5是这三种分解中两数差的绝对值最小的，我们称4×5为20的最佳分解.当p×q(p≤q 且p,q ∈N *)是正整数n 的最佳分解时，定义函数f(n) =q-p,则数列*{(5)})(n f n N ∈的前2020项的和为A. 101051+ 100051.4B - 101051.2C - 1010.51D -二、多项选择题：本题共2小题，每小题5分，共10分。

2020届泉州市高三毕业班线上质量检测理科数学试题(带答案解析)

绝密★启用前2020届泉州市高三毕业班线上质量检测理科数学试题试卷副标题注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上第I 卷（选择题)请点击修改第I 卷的文字说明一、单选题1．集合}230A x x x =-<，2{}0|B x x =-≥，则()A B =R I ð( ) A ．{|02}x x <≤ B ．{} 2|0x x << C ．{|23}x x ≤<D ．{}|03x x <<2．设复数()2112i z i+=-，则z =( )A ．5B ．25C D ．433．如图为服用同等剂量的三种新药后血药浓度() / mg ml 的变化情况，其中点i A 的横坐标表示服用第i 种药后血药浓度达峰(最高浓度)时间，其它点的横坐标分别表示服用三种新药后血药浓度首次降到峰值一半时所用的时间(单位:h )，点i A 的纵坐标表示第i 种药的血药浓度的峰值()1,2,3i =. 记i V 为服用第i 种药后达到血药浓度峰值时，血药浓度提高的平均速度，记i T 为服用第i 种药后血药浓度从峰值首次降到峰值的一半所用的时间，则123,,V V V 中最小的，123,,T T T 中最大的分别是( )○…………外…………线…………○……○…………内…………线…………○……A ．23,V TB ．22,V TC ．13,V TD ．12,V T4．已知{}n a 是公差为3的等差数列.若124,,,a a a 成等比数列，则{}n a 的前10项和10S =( ) A ．165B ．138C ．60D ．305．若()()()()()()523450123452111111x a a x a x a x a x a x +=++++++++++，则4a =( )A ．10B ．10-C ．80D ．80-6．已知函数()f x 满足()()2 f x f x +=-，且当1x >时，()3f x x =，则()f x 的图象在()()0, 0f 处的切线方程为( ) A ．128y x =+ B ．128y x =-+ C ．128y x =- D ．128y x =--7．已知函数2,0()32,0xx b x f x b x ⎧++>=⎨+≤⎩，若()f x 在实数集上为增函数，则常数b 满足（） A ．0b <B ．0b >C ．01b ≤≤D ．1b >8．如图，网格纸上每个小正方形的边长均为1，粗线画出的是某棱锥的三视图，则该棱锥的体积为( )…………装…………○……学校:___________姓名：___________班级：____…………装…………○……A ．32 B ．3 C ．23D ．439．我国南宋著名数学家秦九韶发现了由三角形三边求三角形面积的“三斜求积”公式:设ABC V 三个内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，面积为S ，则“三斜求积”公式为S =若2sin sin 5C c A =，且()()40,a b c a b c +---+=则利用“三斜求积”公式可得ABC V 的面积S =( ) A ．2B ．2C ．4 D10．已知双曲线：()22221,0x y a b a b-=>，点P 的坐标为()1,2-，斜率为18-的直线与双曲线的左右两支分别交于A ，B 两点，直线AP 交双曲线于另一点C ，直线BP 交双曲线于另一点D .当直线CD 的斜率为18-时，此双曲线的离心率为（）A B ．32C D ．52二、多选题11．如图，一个水轮的半径为6m ，水轮轴心O 距离水面的高度为3m ，已知水轮按逆时针匀速转动，每分钟转动5圈，当水轮上点P 从水中浮现时的起始(图中点P )开始计时，记()f t 为点P 距离水面的高度关于时间()t s 的函数，则下列结论正确的是( )…线…………○………线…………○……A．()39f=B．()()71f=C．若()6f t≥，则[]212,512N()t k k k∈++∈D．不论t为何值，()()()4?8f t f t f t++++是定值12．已知()f x是定义在R上的奇函数，()()11f x f x+=-.若()11f=，则( )A．()f x是周期函数B．当n为偶数时，()0f n=C．()()()()222122336616f f f f+++⋅⋅⋅+=D．()()()()()22222233 (4242881)1f f f n f n n n++++++=++第II卷（非选择题)请点击修改第II卷的文字说明三、填空题13．已知向量(1,1),a=(2,1)b=r，若()()a b a bλ-⊥+r rr r，则实数λ的值为________.14．已知数列{}n a的各项均为正数，且2*116N()nn nnaa a na++=+∈，则4725a aa a+=+__________.15．已知()2:20C y px p=>的准线l与x轴交于点A，点,B P在C上，ABFV是面积为2的等腰直角三角形，则C的方程为__________；PFPA的最小值为__________.16．已知三棱锥P ABC-中，平面PAB⊥平面30ABC PAB∠=︒,，…………○…………装………订…………○……学校:___________姓名：_________考号：___________…………○…………装………订…………○……6,10AB PA CA CB ==+=.设直线PC 与平面ABC 所成的角为θ，则tan θ的最大值为__________. 四、解答题17．如图，已知在平面四边形ABCD 中，,CAB a ABC ACB βγ∠=∠=∠=,，且()()2cos sina sin sin cosa cos γβγβ+=--.（1）证明:2CA CB AB +=；（2）若21CA CB DA DC ===,，求四边形ABCD 的面积的取值范围.18．如图，正三棱柱111ABC A B C -的所有棱长都为4,D 是AC 的中点，E 在11A C 边上，113EC A E =.（1）证明:平面1BC D ⊥平面11ACC A ；（2）若F 是侧面11ABB A 内的动点，且//EF 平面1BC D .①在答题卡中作出点F 的轨迹，并说明轨迹的形状(不需要说明理由)； ②求二面角1C BD F --的余弦值的最大值.19．设椭圆22:143x y C +=的右焦点为F ，过F 的直线l 与C 相交于,A B 两点.（1）若2AF FB =u u u r u u u r，求l 的方程；（2）设过点A 作x 轴的垂线交C 于另一点P ，若M 是PAB △的外心，证明:ABMF为定值.20．某游戏棋盘上标有第0,1,2,,100⋅⋅⋅站，棋子开始位于第0站，选手抛掷均匀骰子进行游戏，若掷出骰子向上的点数不大于4，棋子向前跳出一站；否则，棋子向前跳出两站，直到跳到第99站或第100站时，游戏结束.设游戏过程中棋子出现在第n 站的概率为n P .（1）当游戏开始时，若抛掷均匀骰子3次后，求棋子所走站数之和X 的分布列与数学期望；（2）证明:11119)3(183n n n n P P P P n +-+=+≤≤；（3）若最终棋子落在第99站，则记选手落败，若最终棋子落在第100站，则记选手获胜.请分析这个游戏是否公平. 21．已知函数()xaxf x x lnx e =-+. （1）当1a ≥-时，讨论()f x 的极值点个数；（2）若0x >时，()f x e ≤-，求a 的取值范围. 22．在平面直角坐标系xOy 中，直线1l 的参数方程为4,,x t y kt =-⎧⎨=⎩(t 为参数)，直线2l 的普通方程为1y x k=，设1l 与2l 的交点为P ，当k 变化时，记点P 的轨迹为曲线C .以O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系. （1）求C 的极坐标方程；（2）已知点,A B 在C 上，4AOB π∠=，求AOB V 的面积的最大值.23．已知关于x 的不等式2321x x a x -+-≥-的解集为R . （1）求a 的最大值m ；（2）在（1）的条件下，若1p >，且22pq p q m --=-，求p q +的最小值.参考答案1．B 【解析】【分析】利用集合的交、补运算即可求解. 【详解】}{}{(3)003A x x x x x =-<=<<，}{2B x x =≥，}{2R B x x =<ð，则(){}{}{}03202R A B x x x x x x ⋂=<<⋂<=<<ð，故选：B. 【点睛】本题考查了集合的交、补运算，属于基础题. 2．C 【解析】【分析】利用复数的乘除运算以及复数模的求法即可求解. 【详解】复数()2124212125i i iz i i +-+===--，5z == 则复数z，故选：C. 【点睛】本题考查了复数的四则运算以及复数模的求法，属于基础题. 3．B 【解析】【分析】根据图像，依据题意逐个判断得出答案. 【详解】①设(),i i i A x y ，则ii iy V x =，即直线i OA 的斜率，由图可知，直线2OA 的斜率最小，即2V 最小；②根据峰值的一半对应关系得三个点从左到右依次对应132,,A A A 在首次降到峰值一半时对应点，不妨记为132,,B B B ，由图可知2A 到2B 经历的时间最长，所以123,,T T T 中最大的是2T . 故选：B. 【点睛】本题考查了学生的阅读理解能力以及转化与化归的思想，考查了图中量的几何意义，属于基础题. 4．A 【解析】【分析】利用等比中项以及等差数列的通项公式求出13a =，再利用等差数列的通项公式即可求解. 【详解】由124,,a a a 成等比数列得2214a a a =即()()211139a a a +=+解得13a =，101109101034531652S a d ⨯=+⨯=⨯+⨯=. 故选：A. 【点睛】本题考查了等差数列的通项公式、等比中项以及等差数列的通项公式，需熟记公式，属于基础题. 5．D 【解析】【分析】由()()5521211x x +=+-⎡⎤⎣⎦，利用二项式展开式的通项即可求解. 【详解】()()5521211x x +=+-⎡⎤⎣⎦，通项()()515211rrrr T C x -+=+-⎡⎤⎣⎦，故当1r =时，()()()511411+15=211801T C x x -+-=-+⎡⎤⎣⎦，所以480a =-.故选：D 【点睛】本题考查了二项式的展开式，熟记展开式是解题的关键，属于基础题. 6．B 【解析】【分析】根据题意可得()f x 关于直线1x =对称，从而可得()()028f f ==，且()'012k f ==-，利用点斜式即可求解. 【详解】依题意由()()2 f x f x +=-，可得()()1 1f x f x +=-，所以()f x 关于直线1x =对称，所以()()028f f ==，当1x >时，()3f x x =，则21x -<所以()()()332226128f x f x x x x x =-=-=-+-+，所以()231212f x x x '=-+-()'012k f ==-，故切线为：128y x =-+，故选：B. 【点睛】本题考查了函数的对称性以及导数的几何意义，求出函数的导函数以及切点，属于基础题. 7．C 【解析】【分析】由分段函数的单调性，考虑各段的情况，注意在R 上递增，则有0221b b b -≤⎧⎨+≥+⎩，解得不等式，即可求出结果．【详解】因为()f x 在实数集上为增函数，所以001221b b b b -≤⎧⇒≤≤⎨+≥+⎩，故选C. 【点睛】在解决分段函数单调性时，首先每一段函数的单调性都应具备单调递增（或单调递减），其次，在函数分段的分界点处也应该满足函数的单调性，据此建立不等式组，求出不等式组的交集，即可求出结果． 8．A 【解析】【分析】根据三视图得出几何体的直观图，然后再利用三棱锥的体积公式即可求解. 【详解】如图所示：正方体1111ABCD A B C D -的边长为3，,M N 分别为AB ，1DD 的三等分点，且11BM D N ==.三棱锥1N B MB -即为所求三棱锥，11313322V ⎛⎫=⨯⨯⨯= ⎪⎝⎭，故选：A. 【点睛】本题考查了由三视图求几何体的体积，同时考查了椎体的体积公式，属于基础题. 9．B 【解析】【分析】根据正弦定理可得5ac =，代入()()40,a b c a b c +---+=可得2226a c b +-=，再由三斜求体即可解答. 【详解】因为2sin sin 5C c A =，由正弦定理得25c c a =，5ac =，又因为()2240a c b --+=，所以222246a c b ac +-=-=，代入2S ===. 故选：B 【点睛】本题考查了正弦定理以及新定义，需熟记定理的内容，属于基础题. 10．C 【解析】【分析】利用点差法可表示出,M N y y ，由平行关系易知,,P M N 三点共线，从而利用斜率相等的关系构造方程，代入,M N y y 整理可得到,a b 关系，利用双曲线222c a b =+得到关于,a c 的齐次方程，进而求得离心率. 【详解】设()11,A x y ，()22,B x y ，线段AB 的中点(),M M M x y22112222222211x y a b x y a b ⎧-=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩，两式相减得：2121221212y y x x b x x a y y -+=⋅-+2218M M x b a y =⋅=- 228M M b y x a∴=-⋅…①设()33,C x y ，()44,D x y ，线段CD 的中点(),N N N x y同理可得：228N N b y x a=-⋅…②AB CD k k =Q //AB CD ∴，易知,,P M N 三点共线2211N M M N y y x x --∴=++，将①②代入得：2222882211M N M N b b x x a a x x -⋅--⋅-=++即()22410M N b x x a ⎛⎫-⋅-= ⎪⎝⎭ ∴()222244a b c a ==-，即2245c a =e ∴==故选：C 【点睛】本题考查双曲线离心率的求解问题，涉及到点差法的应用；关键是能够利用三点共线得到斜率相等，从而构造出关于,a c 的齐次方程，解齐次方程求得离心率；需要注意的是，在处理弦中点问题时，常采用点差法来得到弦的斜率和中点坐标之间的关系. 11．BD 【解析】【分析】以水轮所在面为坐标平面，以水轮的轴心O 为坐标原点，x 轴和y 轴分别平行和垂直于水面建立平面直角坐标系，从而点P 的纵坐标为6sin 66y t ππ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，逐一判断选项即可求解.【详解】如图，以水轮所在面为坐标平面，以水轮的轴心O 为坐标原点，x 轴和y 轴分别平行和垂直于水面建立平面直角坐标系，依题意得OP 在()t s 内所转过的角度为t ，则66POx t ππ∠=-.则点P 的纵坐标为6sin 66y t ππ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，点P 距离水面的高度关于时间()t s 的函数()6sin 366f t t ππ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭；()36sin 3326f ππ⎛⎫=-+= ⎪⎝⎭，选项A 错误；()16sin 3366f ππ⎛⎫=-+= ⎪⎝⎭，()776sin 3366f ππ⎛⎫=-+= ⎪⎝⎭，()()17f f =，选项B 正确；由()6f t ≥得，1sin 662t ππ⎛⎫-≥ ⎪⎝⎭解得[]()212,612t k k k N ∈++∈，选项C 错误；由()()()37486sin()36sin 36sin 3666666f t f t f t t t t ππππππ⎛⎫⎛⎫++++=-+++++++ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭展开整理得()()()489f t f t f t ++++=为定值，选项D 正确；故答案为：BD. 【点睛】本题考查了三角函数的应用、解三角不等式，两角和与差的正弦公式，属于基础题. 12．ABD 【解析】【分析】根据函数为奇函数以及()()11f x f x +=-，结合周期定义即可判断A ；由函数的周期为4 即可判断B ；根据题意可得()()111f f -=-=-，结合B 项以及函数的周期为4即可求解；由函数的周期为4以及当n 为偶数时，()0f n =即可求解. 【详解】因为()f x 是奇函数，所以()()f x f x -=-，又()()11f x f x +=-，所以()()()2f x f x f x +=-=-.所以()()()42f x f x f x +=-+=，可得函数()f x 的周期为4，选项A 正确；()()()2200f f f -=-=-=，即()()()220f f f -==，又因为函数周期为4，所以当n 为偶数时，()0f n =，选项B 正确；因为()()111f f -=-=-，周期4T=，所以()()()()22222122336613517f f f f +++⋅⋅⋅+=-+=，所以选项C 是错的；()()()()()()222222221223342421357941f f f n f n n +++⋅⋅⋅+++=-+-++⋅⋅⋅++()()()22222215397(41)41n n ⎡⎤=+-+-+⋅⋅⋅--++⎣⎦()()1235794141n n =+++++⋅⋅⋅+-++⎡⎤⎣⎦()()223411212448812n n n n n n ++=+⨯=++=++所以选项D 是正确的. 故选：ABD. 【点睛】本题考查了函数奇偶性、对称性以及周期性的应用，属于中档题. 13．85【解析】【分析】利用向量垂直的性质列方程求解即可. 【详解】()()a b a b λ-⊥+r r r r Q , ()()0a b a b λ∴-⋅+=r rr r ,23(1)50λλ+--=,解得85λ=，故答案为：85【点睛】本题主要考查了向量垂直的性质，数量积的运算，属于容易题. 14．9 【解析】【分析】根据递推关系式可得()()11320n n n n a a a a ++-+=，从而可得{}n a 是首项为10a >，公比为3的等比数列，利用等比数列的通项公式即可求解. 【详解】由2116n n n na a a a ++=+可得：221160n n n n a a a a ++--=，即()()11320n n n n a a a a ++-+=，因为0n a >，所以13n n a a +=，所以{}n a 是首项为10a >，公比为3的等比数列，所以222472525259a a a q a q q a a a a ++===++. 故答案为：9 【点睛】本题考查了递推关系式研究函数的性质，等比数列的通项公式，属于基础题. 15．24y x =2【解析】【分析】根据题意可得到122p p ⋅⋅=，故可求出C 的方程；设(0P x ，焦点()1,0F ，()1,0A -，利用抛物线的定义以及勾股定理可得01,PF x PA =+=，从而PF PA=≥即可求解.【详解】由已知可得AFP ∠为直角，故122p p ⋅⋅=，解得2p =，所以C 的方程为24y x=；由对称性，不妨设(0P x ，因为抛物线C ：24y x =的焦点()1,0F ，()1,0A -，01,PF x PA =+==PF PA==≥，当且仅当01x =时取等号，PF PA取最小值2.故答案为：24y x =；【点睛】本题考查了抛物线的定义以及抛物线的标准方程，需熟记抛物线的定义以及几何性质，属于中档题. 16．34【解析】【分析】利用余弦定理求出PAB △是直角三角形，过点P 作PD AB ⊥，垂足为D ，易得PD =，连接CD ，可得PD ⊥平面ABC，进而可得tan PD CD θ==CD y =，CA x =，即10CB x =-，由180CDA CDB ∠+∠=︒，利用余弦定理可得：()2222229310220932222y x y x y y ⎛⎫⎛⎫+-+-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭+=⨯⨯，化简配方即可求解. 【详解】由已知易得PAB △是直角三角形，过点P 作PD AB ⊥，垂足为D，易得93,22PD AD BD ===，连接CD ，因为平面PAB ⊥平面ABC ，由面面垂直的性质定理，可得PD ⊥平面ABC ，所以PCD θ∠=，tan PD CD θ=CD 取最小值时，tan θ最大. 设CD y =，CA x =，则10CB x =-.因为180CDA CDB ∠+∠=︒，所以cos cos 0CDA CDB ∠+∠=，即()2222229310220932222y x y x y y ⎛⎫⎛⎫+-+-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭+=⨯⨯，所以y =，可得当152x =时，y取得最小值，最小值为即CD 的最小值所以tan θ34=. 故答案为：34【点睛】本题考查了线面角的求法，同时考查了余弦定理的应用，解题的关键是找出线面角，属于中档题.17．（1）证明见解析；（2）⎦⎝. 【解析】【分析】（1）根据题意可得()()cos sin sin cos cos sin sin cos 2sin γαγαγβγβγ+++=，然后再利用两角和的正弦公式的逆应用可得()()sin sin 2sin αγβγγ+++=，从而可得sin sin 2sin βαγ+=，再利用正弦定理即可求解.（2）由（1）可得ABC ∆为是等边三角形，设(),0,ADC ϕϕπ∠=∈，利用三角形的面积公式可得21sin 4ABCD S AC ϕ=，在ADC V 中，由余弦定理求出AC ，然后利用辅助角公式以及三角函数的性质即可求解. 【详解】（1）由cos (sin sin )sin (2cos cos )γαβγαβ+=--得 cos sin cos sin 2sin sin cos sin cos γαγβγγαγβ+=--.整理得()()cos sin sin cos cos sin sin cos 2sin γαγαγβγβγ+++=，即得()()sin sin 2sin αγβγγ+++=. 因为在ABC V 中，αβγπ++=，所以()()()sin sin sin ,sin sin αγπβββγα+=-=+=，所以sin sin 2sin βαγ+=. 由正弦定理得2CA CB AB +=.（2）因为CA CB =，2CA CB AB +=，所以CA CB AB ==,ABC V 为是等边三角形. 设(),0,ADC ϕϕπ∠=∈，则ABCD ACD ABC S S S =+△△ 211sin sin 6022DA DC AC ϕ=⋅⋅+ﾟ21sin 4AC ϕ= 在ADC V 中，由余弦定理得22252cos cos 4AC DA DC DA DC ADC ϕ=+-⋅∠=-.15sin cos 44ABCD S ϕϕ⎫=-⎪⎝⎭()1sin 4ϕϕ=1sin 23πϕ⎛⎫=- ⎪⎝⎭. 因为0ϕπ<<，所以2333πππϕ-<-<，所以sin 13πϕ⎛⎫<-≤ ⎪⎝⎭，得11sin 232πϕ⎛⎫<-≤ ⎪⎝⎭.1sin 23πϕ⎛⎫<-+≤ ⎪⎝⎭.因此，四边形ABCD 面积的取值范围为⎦⎝. 【点睛】本题考查了正弦定理、余弦定理解三角形，同时考查了辅助角公式以及三角函数的性质，综合性比较强，属于中档题.18．（1）证明见解析；（2）①取1AA 的中点M ，11A B 的中点N ，连接MN ，则点F 的轨迹就是线段MN . 【解析】【分析】（1）证出1AA BD ⊥，BD AC ⊥，利用线面垂直的判定定理可得BD ⊥平面11ACC A ，再利用面面垂直的判定定理即可证出面面垂直.（2）①取1AA 的中点M ，11A B 的中点N ，连接MN ，可得点F 的轨迹；②以DA 、DB 所在的直线为x 轴、y 轴建立空间直角坐标系D xyz -，求出平面1DBC 的一个法向量以及平面DBF 的一个法向量，利用空间向量的数量积即可求解. 【详解】（1）在正三棱柱1ABC ABC -中，因为1AA ⊥平面ABC ，BD ⊂平面ABC ，所以1AA BD ⊥.在等边ABC V 中，D 是AC 的中点，所以BD AC ⊥. 又1AA AC A =I ,所以BD ⊥平面11ACC A .又BD ⊂平面1BC D ，所以平面1BC D ⊥平面11ACC A .（2）①取1AA 的中点M ，11A B 的中点N ，连接MN ，则点F 的轨迹就是线段MN . ②由图可知当点F 与点N 重合时，二面角1C BD F --的余弦值取到最大值. 以DA 、DB 所在的直线为x 轴、y 轴建立空间直角坐标系D xyz -.则()0,0,0D，(0,B ，()12,0,4C -，()()N F，()0,DB =u u u r，()12,0,4DC =-u u u u r，()DF =u u u r设平面1DBC 的一个法向量为()111,,m x y z =u r.由10,0,DB m DC m ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩u u u v v u u u u v v得1110,240,x z ⎧=⎪⎨-+=⎪⎩令12x =，解得11z =.所以()2,0,1m =u r.设平面DBF 的一个法向量为()222,,n x y z =r由0,0,DB n DF n ⎧⋅=⎨⋅=⎩u u u v v u u u v v得12220,40,x z ⎧=⎪⎨+=⎪⎩令24x =，解得21z =-. 所以()4,0,1n =-r.因此cos ,85m nm n m n ⋅===⋅v vv v v v . 故二面角1C BD F --的余弦值得最大值为85. 【点睛】本题考查了线面垂直的判定定理、面面垂直的判定定理，空间向量法求面面角，考查了学生的逻辑推理能力，属于中档题. 19．（1）)1y x =-；（2）证明见解析. 【解析】【分析】（1）根据题意，设直线AB 的方程为1x ty =+，代入椭圆方程消x ，根据韦达定理求出两根之和、两根之积，由2AF FB =u u u r u u u r，可得122y y =-，两根之和、两根之积即可求解. （2）由（1）得AB 的中点坐标为2243,3434t t t -⎛⎫ ⎪++⎝⎭，利用弦长公式求出AB ，根据题意可得AB 的垂直平分线方程22343434t y t x t t ⎛⎫+=-- ⎪++⎝⎭，求出点M 的坐标，进而求出MF ，进而可求解. 【详解】（1）由题意知，直线AB 的斜率存在，且不为0，设直线AB 的方程为1x ty =+，代入22143x y +=得()2234690t y ty ++-=，设()()1112,,,A x y B y y ，则122634t y y t -+=+，122934y y t -=+ 若2AF FB =u u u r u u u r，则122y y =-，解得t = 所以，l的方程为)1y x =-（2）由（1）得AB 的中点坐标为2243,3434t t t -⎛⎫ ⎪++⎝⎭所以()212221213434t AB y y t t +=-==++ 因为M 是PAB △的外心，所以M 是线段AB 的垂直平分线与AP 的垂直平分线的交点，AB 的垂直平分线为22343434ty t x t t ⎛⎫+=-- ⎪++⎝⎭令0y =，得2134x t =+，即21,034M t ⎛⎫ ⎪+⎝⎭，所以，22213413434t MF t t +=-=++ ()22221211234433334t AB t t MFt ++===++，所以AB MF 为定值. 【点睛】本题考查了直线与椭圆的位置关系以及椭圆中的定值问题，考查了学生的计算能力，属于中档题.20．（1）分布列见解析，4；（2）证明见解析；（3）不公平.【解析】【分析】（1）由题意可知，随机变量X 的可能取值有3456,、、、根据独立重复实验的概率计算公式求出概率即可.（2）当198n ≤≤时，棋子要到第()1n +站，有两种情况：由第n 站跳1站得到，其概率为23P ；由第()1n -站跳2站得到，其概率为113n P -，从而112133n n n P P P +-=+，同时加上13n P 即可证出.（3）由（2）可得9998972133P P P =+，由1009813P P =，概率不相等，即可得出结论. 【详解】（1）由题意可知，随机变量X 的可能取值有3456,、、、 ()()2213282143,4327339P X P X C ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=====⋅⋅= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，()()2323212115,6339327P X C P X ⎛⎫⎛⎫⎛⎫==⋅⋅==== ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭. 所以，随机变量X 的分布列如下表所示：所以，()842134564279927E X =⨯+⨯+⨯+⨯=；（2）依题意，当198n ≤≤时，棋子要到第()1n +站，有两种情况：由第n 站跳1站得到，其概率为23P ；由第()1n -站跳2站得到，其概率为113n P -. 所以，112133n n n P P P +-=+. 同时加上13n P 得()1111211119833333n n n n n n n P P P P P P P n +--⎛⎫+=++=+≤≤ ⎪⎝⎭；（3）依照（2）的分析，棋子落到第99站的概率为,9998972133P P P =+，由于若跳到第99站时，自动停止游戏，故有1009813P P =. 所以10099P P <，即最终棋子落在第99站的概率大于落在第100站的概率，游戏不公平.【点睛】本题考查了离散型随机变量的分布列，考查了学生分析问题、解决问题的能力，属于中档题. 21．（1）一个极值点；（2）1e a e -≤-.【解析】【分析】（1）求出()()1x x e x a x f x e⎛⎫-+ ⎪⎝⎭'=，令()x e g x a x =+，求出()g x '，利用导数判断()g x 的单调性，从而判断函数()f x 的单调性，从而由极点的定义即可求解.（2）等式可化为()ln x x x e a e x --≤恒成立，令()()ln x x x h x e e x =--，只需()min a h x ≤，利用导数求()min h x 即可.【详解】（1）()()()11'1x x x e x a x a f x x ex e ⎛⎫-+ ⎪⎛⎫⎝⎭=-+= ⎪⎝⎭ 令()xe g x a x=+ 则()()21'x e x g x x-=，当01x <<，()'0g x <，当0,'()0x g x >>，所以()g x 在()0,1递减在(1,)+∞递增，所以()()min 1g x g a e ==+因为1a ≥-所以0a e +>，()0g x >恒成立，则当()'0f x >时，()01,'0x f x <<<时，1x >所以()f x 在()0,1递增，(1,)+∞递减，所以1x =是()f x 唯一极值点，所以()f x 只有一个极值点（2）因为0x >，不等式可化为()ln x x x e a e x --≤恒成立，令()()ln x x x h x e e x =--，只需()min a h x ≤ 因为()()()21ln 1x x x x e e x h x ---+'=，令()l 1x nx x e ϕ=--+，则()11'1x x x xϕ-=-= 当()()()0,10,1,0,'(),'x x x x ϕϕ∈>∈+∞<，所以()x ϕ在()0,1递增，(1,)+∞递减. 有()()221130,120,0e e e e e ϕϕϕ⎛⎫=--<=->= ⎪⎝⎭. 所以()x ϕ在()0,1存在唯一零点0x ，在(1,)+∞存在唯一零点x e =，当00x x <<时，()()0,'0x h x ϕ<<，当01x x <<时，()()0,'0x h x ϕ>>，当1x e <<时，()()0,'0x h x ϕ><，当()(),'0,'0x e x h x ϕ><>，所以()h x 在()00,x 和()1,e 上为减函数在()0,1x 和(,)e +∞上为增函数，所以()min h x 是()0h x 与()h e 较小者，()1e h e e -=-，因为()000ln 10x x x e ϕ=--+=，所以010x e x e +-=，所以()()00001000ln x x e x x e e h x e e x x ---==-=- 综上，()1min e h x e -=-，所以1e a e -≤-.所以，满足题意的a 的取值范围是1e a e -≤-.【点睛】本题考查了导数在研究函数极值中的应用，在研究函数最值中的应用，考查了转化与化归的思想，属于难题.22．（1）4cos ρθ=（0ρ≠且4ρ≠）；（2）2+.【解析】【分析】（1）将直线1l 化为普通方程，与直线2l 联立消去k ，得C 的普通方程，再利用极坐标方程与普通方程的互化即可求解.（2）设()1,A ρθ，()212,0,04B πρθρρ⎛⎫+>> ⎪⎝⎭，根据三角形的面积公式可得1sin cos 244AOB S OA OB ππθθ⎛⎫==+ ⎪⎝⎭V u u u v u u u v ，然后再利用辅助角公式以及三角函数的性质即可求解.【详解】（1）由4x t y kt=-⎧⎨=⎩，消去参数t 得1l 的普通方程()4y k x =-，设(),P x y ，由题意得()4,1.y k x y x k ⎧=-⎪⎨=⎪⎩消去k 得C 的普通方程2240(0)x y x y +-=≠.把222x y p +=，cos x ρθ=代入上式，24cos 0ρρθ-=，可得C 的坐标方程为4cos ρθ=（0ρ≠且4ρ≠）.（2）由题意可设()1,A ρθ，()212,0,04B πρθρρ⎛⎫+>> ⎪⎝⎭，121sin cos 2444AOB S OA OB p p ππθθ⎛⎫===+ ⎪⎝⎭V u u u v u u u v ()21cos 2sin 24cos sin cos 422θθθθθ+⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭224πθ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，所以当cos 214πθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，即()4k k Z πθπ=-∈时， AOB V的面积取得最大值，其最大值为2+.【点睛】本题考查了消参求点的轨迹放方程、普通方程与极坐标方程的互化、三角形的面积公式、二倍角公式、辅助角公式以及三角函数的性质，综合性比较强，属于基础题.23．（1）4；（2）7.【解析】【分析】（1）当1x =时，解得a R ∈；当1x ≠时，分离参数可得2321x x a x -+-≤-，令()2321x x g x x -+-=-，只需()min a g x ≤，根据绝对值的几何意义求出()min g x 即可；（2）由（1）可得22pq p q --=，即()()124p q --=，从而()()123p q p q +=-+-+，利用基本不等式即可求解.【详解】（1）当1x =时，20a ≥⋅恒成立，此时a R ∈.当1x ≠时，原不等式可等价转化为2321x x a x -+-≤-.令()2321x x g x x -+-=-，则原不等式恒成立，只需()min a g x ≤.因为()23244411x x x g x x x -+--=≥=--，当且仅当23x ≤或2x ≥时，“=”号成立，所以()min 4g x =，即4a ≤.综上知，a 的最大值4m =.（2）由（1）可得22pq p q --=，即()()124p q --=.因为10p ->，所以()20q ->，()()12337p q p q +=-+-+≥=.当且仅当12p q -=-，即3,4p q ==时“=”成立，所以p q +的最小值为7.【点睛】本题考查了含参数的绝对值不等式的解法、基本不等式求最值，注意利用基本不等式时验证等号成立的条件，属于基础题.。

泉州市2020届高三毕业班线上质量检测理科数学试题含解析

【点睛】本题考查了学生的阅读理解能力以及转化与化归的思想，考查了图中量的几何意义,属于基础题.
4.已知是公差为的等差数列。若成等比数列，则的前项和 ( )
A。 B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
利用等比中项以及等差数列的通项公式求出，再利用等差数列的通项公式即可求解.
【详解】由成等比数列得即解得，
故选：A。
【点睛】本题考查了由三视图求几何体的体积，同时考查了椎体的体积公式,属于基础题.
9。我国南宋著名数学家秦九韶发现了由三角形三边求三角形面积的“三斜求积”公式:设三个内角所对的边分别为，面积为，则“三斜求积”公式为。若 ,且则利用“三斜求积”公式可得的面积 ( ）
A。 B。 C. D.
所以，
所以 .
由正弦定理得 .
（2）因为， ,
所以，为是等边三角形。
设，
则
在中,由余弦定理得
.
。
因为，所以 ,
所以，得。
所以。
因此,四边形面积的取值范围为。
【点睛】本题考查了正弦定理、余弦定理解三角形，同时考查了辅助角公式以及三角函数的性质,综合性比较强,属于中档题。
18。如图,正三棱柱的所有棱长都为是的中点, 在边上, .
【答案】B
【解析】
【分析】
根据正弦定理可得，代入可得 ,再由三斜求体即可解答。
【详解】因为，由正弦定理得，，
又因为，
所以，
代入。
故选：B
【点睛】本题考查了正弦定理以及新定义，需熟记定理的内容，属于基础题。
10.已知双曲线：，点的坐标为 ,斜率为的直线与双曲线的左右两支分别交于 , 两点，直线交双曲线于另一点 ,直线交双曲线于另一点。当直线的斜率为时，此双曲线的离心率为（）

1.泉州市2020届高中毕业班理科综合测试试题(一模)

泉州市2020届高中毕业班理科综合测试物理试题部分一、选择题：本题共8小题，每小题6分。

在每小题给出的四个选项中，第14～18题只有一项符合题目要求，第19～21题有多项符合题目要求。

全部选对的得6分，选对但不全的得3分，有选错的得0分。

14．某质点沿一直线运动，其速度的二次方(v2)与位移(x)的关系图线如图所示，则该质点在0~12m的运动过程中A．加速度越来越大B．所用的时间为3sC．经过x=6m时的速度大小为4m/sD．0~6m和6~12m所用的时间之比为1∶115．如图，T1、T2是监测交流高压输电参数的互感器（均视为理想变压器），T1的原、副线圈匝数比为1∶1000，○a、○b是交流电压表或交流电流表，其中交流电压表两端的电压为10V，高压线路输送的电功率是2.2×103kW、电压是22kV，则A．○a是交流电压表B．T2的原、副线圈匝数比为1000∶1C．通过交流电流表的电流为0.1AD．绕制T1原线圈的导线应比副线圈的细16.某同学在练习投篮，篮球第一次击中篮板上的a点，第二次击中a点正上方的b点，若两次篮球抛出点的位置相同，且都是垂直击中篮板，不计空气阻力，与第一次相比，第二次A．篮球击中篮板时，速度较大B．在篮球从投出到击中篮板的过程中，所用时间较多C．在篮球从投出到击中篮板的过程中，速度变化率较大D．在投出过程中，手对篮球的冲量一定较大17．2019年12月27日，我国长征五号遥三运载火箭“胖五”在文昌航天发射场点火升空，把重为8吨的实践二十号卫星成功送入预定的椭圆轨道。

如图，AB为椭圆轨道的长轴，CD为椭圆轨道的短轴，A 点到地心的距离为r，地球半径为R，地球表面重力加速度为g，则A．卫星在A点的速度大于gR2rB．卫星在C点的加速度小于在B点的加速度C．卫星从A点到C点的时间与从C点到B点的时间相等D．卫星与火箭分离时的速度大于11.2km/sA BCD地球卫星交流高压输电线T1bT2av2/(m/s)2x/mO14912618.半径为R、均匀带正电荷的球体在空间产生球对称的电场，场强E沿半径r的变化规律如图所示，图中E0已知，E－r曲线下方与r轴围成的面积中，R～∞部分的面积等于O～R部分面积的2倍。

福建省泉州市2020届高三数学毕业班第一次质量检查试题理参考答案

在 Rt△CDE 中， CE DC sin D 3x sin 3 x ；.........................................8 分 32
在 Rt△ACE
中，
AC
CE sin CAE
3x 2sin 2θ
3x 4sin θ cos θ
...................................9
解：解法一：（1）依题意知，因为 CD ^ BE ，所以 PE ^ BE ，·················································1 分当平面 PBE ^ 平面 ABED 时, 平面 PBE 平面 ABCD = BE ， PE Ì 平面 PBE ，所以 PE ^ 平面 ABCD ，··········································································· 2 分因为 AB 平面 ABCD ,所以 PE ^ AB ，······················································ 3 分由已知， DBCD 是等边三角形，且 E 为 CD 的中点，所以 BE ^ CD ， AB // CD ，所以 AB ^ BE ， ············································· 4 分又 PE BE = E ，所以 AB ^ 平面 PBE ，·····················································5 分又 AB Ì 平面 PAB ，所以平面 PAB ^ 平面 PBE . ·········································