最新双星及三星模型

双星模型三星模型四星模型

双星模型三星模型四星模

型

This manuscript was revised on November 28, 2020

双星模型、三星模型、四星模型

天体物理中的双星，三星，四星，多星系统是自然的天文现象，天体之间的相互

作用遵循万有引力的规律，他们的运动规律也同样遵循开普勒行星运动的三条基本规律。双星、三星系统的等效质量的计算，运行周期的计算等都是以万有引力提供向心力为出发点的。双星系统的引力作用遵循牛顿第三定律：F F ='，作用力的方向在双星间的连线上，角速度相等，ωωω==21。

【例题1】天文学家将相距较近、仅在彼此的引力作用下运行的两颗恒星称为双星。双星系统在银河系中很普遍。利用双星系统中两颗恒星的运动特征可推算出它们的总质量。已知某双星系统中两颗恒星围绕它们连线上的某一固定点分别做匀速圆周运动，周期均为T ，两颗恒星之间的距离为r ，试推算这个双星系统的总质量。（引力常量为G ）【解析】：设两颗恒星的质量分别为m 1、m 2，做圆周运动的半径分别为r 1、r 2，角速度

分别为ω1、ω2。根据题意有

21ωω=

①

r r r =+21

② 根据万有引力定律和牛顿定律，有

G

12112

2

1r w m r

m m =

③

G

12

212

21r w m r

m m =

④

联立以上各式解得

2

121m m r

m r +=

⑤

根据解速度与周期的关系知

T

πωω221==

⑥

联立③⑤⑥式解得

【例题2】神奇的黑洞是近代引力理论所预言的一种特殊天体，探寻黑洞的方案

之一是观测双星系统的运动规律.天文学家观测河外星系大麦哲伦云时，发现了LMCX3双星系统，它由可见星A 和不可见的暗星B 构成，两星视为质点，不考虑其他天体的影响.A 、B 围绕两者连线上的O 点做匀速圆周运动，它们之间的距离保持不变，如图4-2所示.引力常量为G ，由观测能够得到可见星A 的速率v 和运行周期T.

双星模型三星模型四星模型

双星模型、三星模型、四星模型

天体物理中的双星，三星，四星，多星系统是自然的天文现象，天体之间的相互作用遵循万有引力的规律，他们的运动规律也同样遵循开普勒行星运动的三条基本规律。双星、三星系统的等效质量的计算，运行周期的计算等都是以万有引力提供向心力为出发点的。双星系统的引力作用遵循牛顿第三定律：F F ='，作用力的方向在双星间的连线上，角速度相等，ωωω==21。

【例题1】天文学家将相距较近、仅在彼此的引力作用下运行的两颗恒星称为双星。双星系统在银河系中很普遍。利用双星系统中两颗恒星的运动特征可推算出它们的总质量。已知某双星系统中两颗恒星围绕它们连线上的某一固定点分别做匀速圆周运动，周期均为T ，两颗恒星之间的距离为r ，试推算这个双星系统的总质量。（引力常量为G ）

【解析】：设两颗恒星的质量分别为m 1、m 2，做圆周运动的半径分别为r 1、r 2，角速度分别

为ω1、ω2。根据题意有

21ωω=

①

r r r =+21

②

根据万有引力定律和牛顿定律，有

G

12112

2

1r w m r

m m = ③

G

12

212

21r w m r

m m =

④

联立以上各式解得

2

121m m r

m r +=

⑤

根据解速度与周期的关系知

T

πωω221=

= ⑥

联立③⑤⑥式解得

3

22214r G

T m m π=+

【例题2】神奇的黑洞是近代引力理论所预言的一种特殊天体，探寻黑洞的方案之一是观测双星系统的运动规律.天文学家观测河外星系大麦哲伦云时，发现了LMCX3双星系统，它由可见星A 和不可见的暗星B 构成，两星视为质点，不考虑其他天体的影响.A 、B 围绕两者连线上的O 点做匀速圆周运动，它们之间的距离保持不变，如图4-2所示.引力常量为G ，由观测能够得到可见星A 的速率v 和运行周期T.

双星模型三星模型四星模型

双星模型、三星模型、四星模型

天体物理中的双星，三星，四星，多星系统是自然的天文现象，天体之间的相互作用遵循万有引力的

规律，他们的运动规律也同样遵循开普勒行星运动的三条基本规律。双星、三星系统的等效质量的计算，运行周期的计算等都是以万有引力提供向心力为出发点的。双星系统的引力作用遵循牛顿第三定律：

F F ='，作用力的方向在双星间的连线上，角速度相等，ωωω==21。

【例题1】天文学家将相距较近、仅在彼此的引力作用下运行的两颗恒星称为双星。双星系统在银河系中很普遍。利用双星系统中两颗恒星的运动特征可推算出它们的总质量。已知某双星系统中两颗恒星围绕它们连线上的某一固定点分别做匀速圆周运动，周期均为T ，两颗恒星之间的距离为r ，试推算这个双星系统的总质量。（引力常量为G ）

【解析】：设两颗恒星的质量分别为m 1、m 2，做圆周运动的半径分别为r 1、r 2，角速度分别为ω1、ω2。根据题

意有

21ωω=

①

r r r =+21

②

根据万有引力定律和牛顿定律，有

G

12112

2

1r w m r

m m = ③

G 12

212

21r w m r

m m = ④

联立以上各式解得

2

121m m r

m r +=

⑤

根据解速度与周期的关系知

T

πωω221=

= ⑥

联立③⑤⑥式解得

【例题2】神奇的黑洞是近代引力理论所预言的一种特殊天体，探寻黑洞的方案之一是观测双星系统的运动规律.天文学家观测河外星系大麦哲伦云时，发现了LMCX3双星系统，它由可见星A 和不可见的暗星B 构成，两星视为质点，不考虑其他天体的影响.A 、B 围绕两者连线上的O 点做匀速圆周运动，它们之间的距离保持不变，如图4-2所示.引力常量为G ，由观测能够得到可见星A 的速率v 和运行周期T.

核心素养培养双星三星模型——模型建构能力的培养课件

具备模型建构能力的人能够更快地理解新知识，更准确地分析问题，更高效地解决问题，从而提高学习和工作的效率。
03
促进创新和发展
模型建构能力是创新思维的基础，具备这种能力的人更容易产生新的想
法和解决方案，从而推动社会的发展和进步。
如何培养模型建构能力
培养问题意识
要引导学生善于发现问题、提出问题，并尝试从不同的角度去分析和解决问题。
双星三星模型的特点
综合性
双星三星模型涵盖了知识、技能、态度和价值观等多个方面，旨在培养学生
的全面发展。
实践性
该模型强调实践和应用，通过项目式学习和合作学习等方式，让学生在实践
中提升核心素养。
动态性
双星三星模型的评估标准是动态的，根据学生的表现和需求进行适时调整，
以实现个性化发展。
双星三星模型的应用范围
多元评价方式
采用多元的评价方式，全面评价学生的各项核心素养，以便
更好地指导学生全面发展。
05
案例分析
案例一：基于双星三星模型的数学建模教学
总结词
通过双星三星模型，学生能够更好地理解数学建模的过程，提高解决实际问题的能力。
详细描述
在数学教学中，教师采用双星三星模型引导学生进行数学建模，从实际问题出发，通过观察、分析、抽象、建立数学模型，再运用数学工具进行求解，最后回到实际问题进行验证和改进。这种教学方法能够帮助学生更好地理解数学建模的过程，提高解决实际问

双星模型三星模型四星模型

双星模型三星模型四星

模型

集团标准化工作小组 #Q8QGGQT-GX8G08Q8-GNQGJ8-MHHGN#

双星模型、三星模型、四星模型

天体物理中的双星，三星，四星，多星系统是自然的天文现象，天体之间的相互

作用遵循万有引力的规律，他们的运动规律也同样遵循开普勒行星运动的三条基本规律。双星、三星系统的等效质量的计算，运行周期的计算等都是以万有引力提供向心力为出发点的。双星系统的引力作用遵循牛顿第三定律：F F ='，作用力的方向在双星间的连线上，角速度相等，ωωω==21。

【例题1】天文学家将相距较近、仅在彼此的引力作用下运行的两颗恒星称为双星。双星系统在银河系中很普遍。利用双星系统中两颗恒星的运动特征可推算出它们的总质量。已知某双星系统中两颗恒星围绕它们连线上的某一固定点分别做匀速圆周运动，周期均为T ，两颗恒星之间的距离为r ，试推算这个双星系统的总质量。（引力常量为G ）【解析】：设两颗恒星的质量分别为m 1、m 2，做圆周运动的半径分别为r 1、r 2，角速度

分别为ω1、ω2。根据题意有

21ωω=

①

r r r =+21

②

根据万有引力定律和牛顿定律，有 G

12

112

21r w m r

m m =

③

G 12

212

21r w m r m m =

④

联立以上各式解得

2121m m r

m r +=

⑤

根据解速度与周期的关系知 T

πωω221==

⑥

联立③⑤⑥式解得

【例题2】神奇的黑洞是近代引力理论所预言的一种特殊天体，探寻黑洞的方案之一是观测双星系统的运动规律.天文学家观测河外星系大麦哲伦云时，发现了LMCX3双星系统，它由可见星A 和不可见的暗星B 构成，两星视为质点，不考虑其他天体的影响.A 、B 围绕两者连线上的O 点做匀速圆周运动，它们之间的距离保持不变，如图4-2所示.引力常量为G ，由观测能够得到可见星A 的速率v 和运行周期T.

(完整版)双星三星四星问题

双星模型、三星模型、四星模型

一、双星问题

1.模型构建：在天体运动中，将两颗彼此相距较近，且在相互之间万有引力作用下绕两者连线上的某点做角速度、

周期相同的匀速圆周运动的恒星称为双星。

2．模型条件： (1)两颗星彼此相距较近。

(2)两颗星靠相互之间的万有引力提供向心力做匀速圆周运动。

(3)两颗星绕同一圆心做圆周运动。

3．模型特点: (1)“向心力等大反向”——两颗星做匀速圆周运动的向心力由它们之间的万有引力提供。

(2)“周期、角速度相同”——两颗恒星做匀速圆周运动的周期、角速度相等。

(3)三个反比关系：m1r1＝m2r2；m1v1＝m2v2；m1a1＝m2a2

推导：根据两球的向心力大小相等可得，m1ω2r1＝m2ω2r2，即m1r1＝m2r2；等式m1r1＝m2r2两边同乘以角速度ω，得m1r1ω＝m2r2ω，即m1v1＝m2v2；由m1ω2r1＝m2ω2r2直接可得，m1a1＝m2a2。

(4)巧妙求质量和：Gm1m2

L2

＝m1ω2r1①

Gm1m2

L2

＝m2ω2r2②由①＋②得：

G m1＋m2

L2

＝ω2L ∴m1＋m2＝

ω2L3

G

4. 解答双星问题应注意“两等”“两不等”

(1)“两等”: ①它们的角速度相等。②双星做匀速圆周运动向心力由它们之间的万有引力提供，即它们受到的向心力大小总是相等。

(2)“两不等”:①双星做匀速圆周运动的圆心是它们连线上的一点，所以双星做匀速圆周运动的半径与双星间的距离是不相等的，它们的轨道半径之和才等于它们间的距离。

②由m1ω2r1＝m2ω2r2知由于m1与m2一般不相等，故r1与r2一般也不相等。

双星模型三星模型四星模型

双星模型、三星模型、四星模型

天体物理中的双星，三星，四星，多星系统是自然的天文现象，天体之间的相互作用遵循万有引力的规律，他们的运动规律也同样遵循开普勒行星运动的三条基本规律。双星、三星系统的等效质量的计算，运行周期的计算等都是以万有引力提供向心力为出发点的。双星系统的引力作用遵循牛顿第三定律：F F ='，作用力的方向在双星间的连线上，角速度相等，ωωω==21。

【例题1】天文学家将相距较近、仅在彼此的引力作用下运行的两颗恒星称为双星。双星系统在银河系中很普遍。利用双星系统中两颗恒星的运动特征可推算出它们的总质量。已知某双星系统中两颗恒星围绕它们连线上的某一固定点分别做匀速圆周运动，周期均为T ，两颗恒星之间的距离为r ，试推算这个双星系统的总质量。（引力常量为G ）

【解析】：设两颗恒星的质量分别为m 1、m 2，做圆周运动的半径分别为r 1、r 2，角速度分

别为ω1、ω2。根据题意有

21ωω=

①

r r r =+21

②

根据万有引力定律和牛顿定律，有

G

12112

2

1r w m r

m m = ③

G

12

212

21r w m r m m =

④

联立以上各式解得

2

121m m r

m r +=

⑤

根据解速度与周期的关系知

T

πωω221=

= ⑥

联立③⑤⑥式解得

3

22214r G

T m m π=+

【例题2】神奇的黑洞是近代引力理论所预言的一种特殊天体，探寻黑洞的方案之一是观测双星系统的运动规律.天文学家观测河外星系大麦哲伦云时，发现了LMCX3双星系统，它由可见星A 和不可见的暗星B 构成，两星视为质点，不考虑其他天体的影响.A 、B 围绕两者连线上的O 点做匀速圆周运动，它们之间的距离保持不变，如图4-2所示.引力常量为G ，由观测能够得到可见星A 的速率v 和运行周期T.

双星三星四星问题

＝m

1

ω2r

1

①＝m

2

ω2r

2

②由①＋②得：＝ω2L∴m

1

＋m

2

＝

Gm

1

m

2

Gm

1

m

2

G m

1

＋m

2

ω2L3

L2L2L2G

双星模型、三星模型、四星模型

一、双星问题

1.模型构建：在天体运动中，将两颗彼此相距较近，且在相互之间万有引力作用下绕两者连线上的某点做角速度、

周期相同的匀速圆周运动的恒星称为双星。

2．模型条件：(1)两颗星彼此相距较近。

(2)两颗星靠相互之间的万有引力提供向心力做匀速圆周运动。

(3)两颗星绕同一圆心做圆周运动。

3．模型特点:(1)“向心力等大反向”——两颗星做匀速圆周运动的向心力由它们之间的万有引力提供。

(2)“周期、角速度相同”——两颗恒星做匀速圆周运动的周期、角速度相等。

(3)三个反比关系：m

1

r

1

＝m

2

r

2

；m

1

v

1

＝m

2

v

2

；m

1

a

1

＝m

2

a

2

推导：根据两球的向心力大小相等可得，m

1

ω2r

1

＝m

2

ω2r

2

，即m

1

r

1

＝m

2

r

2

；等式m

1

r

1

＝m

2

r

2

两边同乘以角速度ω，得m

1

r

1

ω＝m

2

r

2ω，即m

1

v

1

＝m

2

v

2

；由m

1

ω2r

1

＝m

2

ω2r

2

直接可得，m

1

a

1

＝m

2

a

2

。

(4)巧妙求质量和：

4.解答双星问题应注意“两等”“两不等”

(1)“两等”:①它们的角速度相等。②双星做匀速圆周运动向心力由它们之间的万有引力提供，即它们受到的向心力大小总是相等。

(2)“两不等”:①双星做匀速圆周运动的圆心是它们连线上的一点，所以双星做匀速圆周运动的半径与双星间的距离是不相等的，它们的轨道半径之和才等于它们间的距离。

②由m

1

ω2r

1

＝m

2

ω2r

2

知由于m

1

与m

2

一般不相等，故r

多星系统模型讲课教案

例4(图像法)用锤子击打钉子,设木板对钉子的阻力跟钉子进入木板的深度成正比,每次击打钉子时锤子对钉子做的功相同。已知第一次击打钉子后,钉子进入的深度为1 cm,则第二次击打时,钉子进入的深度是多少?
阻力f kx k
2 1
1 cm x
1区面积与2区面积相等 k/2=(k+kx)(x-1)/2
深度x
4.利用微元法求变力做功
将物体的位移分割成许多小段,因小段很小,每一小段上作用在物体上的力可以视为恒力,这样就将变力做功转化为在无数个无穷小的位移方向上的恒力所做元功的代数和。此法在中学阶段常应用于求解大小不变、方向改变的变力做功问题。
例5(微元法)如图所示,在水平面上,有一弯曲的槽道 AB,槽道由半径分别为 R/2 和R的两个半圆构成。现用大小恒为F的拉力将一光滑小球从A点沿槽道拉至B点, 若拉力F的方向时刻与小球运动方向一致,则此过程中拉力所做的功为
3.用F-x图象求变力做功
在F-x图象中,图线与x轴所围“面积”的代数和就表示力F在这段位移方向上所做的功,且位于x轴上方的 “面积”为正,位于x轴下方的“面积”为负,但此方法中学阶段只适用于便于求图线所围面积的情况(如三角形、矩形、圆等规则的几何图)。
例3(图象法)一物体所受的力F随位移x变化的图象如图所示,求在这一过程中,力F对物体做的功为多少?
特点：两行星转动的方向相同，周期、角速度、线速度的大小相等

“双星”及“三星”问题

宇宙中，因天体间的相互作用而呈现出诸如双星、三星及多星系统组成的自然天文现象，天体之间相互作用遵循万有引力的规律，他们的运动规律也同样遵循开普勒行星运动的三条基本规律。

现代实验观测表明，在天体运动中，将两颗彼此距离较近而绕同一点做圆周运动的行星称为双星模型。而三星等多星模型则是指彼此相互依存和相互作用且围绕某一点作圆周运动的行星。多星系统问题的求解方法仍然是建立万有引力方程和牛顿第二定律方程。

由于多星间的引力和运动情况特殊性，从而产生了很多有趣的天文现象。

一、“双星”问题：

两颗质量可以相比的恒星相互绕着旋转的现象，叫双星。双星问题是万有引力定律在天文学上的应用的一个重要内容，现就这类问题的处理作简要分析。 1.要明确双星中两颗子星做匀速圆周运动的向心力来源

双星中两颗子星相互绕着旋转可看作匀速圆周运动，其向心力由两恒星间的万有引力提供。由于力的作用是相互的，所以两子星做圆周运动的向心力大小是相等的，利用万有引力定律可以求得其大小。

2.要明确双星中两颗子星匀速圆周运动的运动参量的关系

两子星绕着连线上的一点做圆周运动，所以它们的运动周期是相等的，角速度也是相等的，所以线速度与两子星的轨道半径成正比。

3.要明确两子星圆周运动的动力学关系。

设双星的两子星的质量分别为M1和M2，相距L，M1和M2的线速度分别为v1和v2，角速度分别为ω1和ω2，由万有引力定律和牛顿第二定律得：

在这里要特别注意的是在求两子星间的万有引力时两子星间的距离不能代成了两子星做圆周运动的轨道半径。

双星模型、三星模型、四星模型

天体物理中的双星，三星，四星,多星系统是自然的天文现象，天体之间的相互作用遵循万有引力的规律,他们的运动规律也同样遵循开普勒行星运动的三条基本规律.双星、三星系统的等效质量的计算，运行周期的计算等都是以万有引力提供向心力为出发点的。双星系统的引力作用遵循牛顿第三定律:F F ='，作用力的方向在双星间的连线上，角速度相等,ωωω==21。

【例题1】天文学家将相距较近、仅在彼此的引力作用下运行的两颗恒星称为双星。双星系统在银河系中很普遍。利用双星系统中两颗恒星的运动特征可推算出它们的总质量.已知某双星系统中两颗恒星围绕它们连线上的某一固定点分别做匀速圆周运动，周期均为T ，两颗恒星之间的距离为r ，试推算这个双星系统的总质量.（引力常量为G ）

【解析】:设两颗恒星的质量分别为m 1、m 2，做圆周运动的半径分别为r 1、r 2，角速度分别为ω1、ω2。根据

题意有

21ωω=

①

r r r =+21

②

根据万有引力定律和牛顿定律，有

G

12112

2

1r w m r

m m = ③

G

12

212

21r w m r m m =

④

联立以上各式解得

2

121m m r

m r +=

⑤

根据解速度与周期的关系知

T

π

ωω221==

⑥

联立③⑤⑥式解得

3

22214r G

T m m π=+

【例题2】神奇的黑洞是近代引力理论所预言的一种特殊天体，探寻黑洞的方案之一是观测双星系统的运动规律.天文学家观测河外星系大麦哲伦云时，发现了LMCX3双星系统，它由可见星A 和不可见的暗星B 构成，两星视为质点，不考虑其他天体的影响。A 、B 围绕两者连线上的O 点做匀速圆周运动，它们之间的距离保持不变，如图4-2所示。引力常量为G ，由观测能够得到可见星A 的速率v 和运行周期T.

万有引力双星与三星问题(最新整理)

专题：“双星”及“三星”问题

【前置性学习】1. 甲、乙两名溜冰运动员m 甲=70kg,m 乙=36 kg ，面对面拉着弹簧秤做圆周运动的溜冰表演（如图1），两人相距0.9 m ，弹簧秤的示数为21 N ，下列判断正确的是（）

A ．两人的线速度相同，约为1 m/s

B ．两人的角速度相同，为1 rad/s

C ．两人的运动半径相同，为0.45 m

D ．两人的运动半径不同，甲为0.6 m,乙为0.3 m ★学习目标1.

★新知探究

一、“双星”问题：

两颗质量可以相比的恒星相互绕着旋转的现象，叫双星。双星问题是万有引力定律在天文学上的应用的一个重要内容，现就这类问题的处理作简要分析。1.要明确双星中两颗子星做匀速圆周运动的向心力来源

双星中两颗子星相互绕着旋转可看作匀速圆周运动，其向心力由两恒星间的万有引力提供。由于力的作用是相互的，所以两子星做圆周运动的向心力大小是相等的，利用万有引力定律可以求得其大小。

2.要明确双星中两颗子星匀速圆周运动的运动参量的关系

两子星绕着连线上的一点做圆周运动，所以它们的运动周期是相等的，角速度也是相等的，所以线速度与两子星的轨道半径成正比。3.要明确两子星圆周运动的动力学关系。

设双星的两子星的质量分别为M 1和M 2，相距L ，M 1和M 2的线速度分别为v 1和v 2，角速度分别为ω1和ω2，由万有引力定律和牛顿第二定律得：

M 1：　2

2

12111112

1

M M v G M M r L

r ω==M 2：　2

2

1222222

22

M M v G M M r L r ω==在这里要特别注意的是在求两子星间的万有引力时两子星

双星模型三星模型四星模型

双星模型、三星模型、四星模型

天体物理中的双星，三星，四星，多星系统是自然的天文现象，天体之间的相互作用遵循

万有引力的规律，他们的运动规律也同样遵循幵普勒行星运动的三条基本规律。双星、三星系统的等效质量的计算，运行周期的计算等都是以万有引力提供向心力为出发点的。双星系统的引力作用遵循牛顿第三定律： F F ,作用力的方向在双星间的连线上，

角速度相等，1 2 o

【例题1】天文学家将相距较近、仅在彼此的引力作用下运行的两颗恒星称为双星。双星系

统在银河系中很普遍。利用双星系统中两颗恒星的运动特征可推算出它们的总质量。已知某双星系统中两颗恒星围绕它们连线上的某一固定点分别做匀速圆周运动，周期均为T,两颗恒星之间的距离为r ，试推算这个双星系统的总质量。（引力常量为 G ）

为3 1、3 2。根据题意有

1 2

r i r 2

r

根据万有引力定律和牛顿定律，有

mm 2 2

G 2

m 1w 2 r 1

r

联立以上各式解得

根据解速度与周期的关系知

1

联立③⑤⑥式解得

【解析】：设两颗恒星的质量分别为 m 、m ,做圆周运动的半径分别为

r i 、“，角速度分别

「1

m 2r m 1 m 2

「1

而可见星A 的轨道半径r i 匹

2

f

3

将代入上式解得

口2

(m i m 2)2

v 3

T 2 G

【例题2】神奇的黑洞是近代引力理论所预言的一种特殊天体，探寻黑洞的方案之一是观测双星系统的运动规律.天文学家观测河外星系大麦哲伦云时，发现了 LMCX3双星系统，它由可见星A 和不可见的暗星B 构成，两星视为质点，不考虑其他天体的影响 .A 、B 围绕两者连线上的0点做匀速圆周运动，它们之间的距离保持不变，如图4-2所示.引力常量为G ，由观测能够得到可见星 A 的速率v 和运行周期T.

双星模型三星模型四星模型

双星模型三星模型四星

模型

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双星模型、三星模型、四星模型

天体物理中的双星，三星，四星，多星系统是自然的天文现象，天体之间的相互

作用遵循万有引力的规律，他们的运动规律也同样遵循开普勒行星运动的三条基本规律。双星、三星系统的等效质量的计算，运行周期的计算等都是以万有引力提供向心力为出发点的。双星系统的引力作用遵循牛顿第三定律：F F ='，作用力的方向在双星间的连线上，角速度相等，ωωω==21。

【例题1】天文学家将相距较近、仅在彼此的引力作用下运行的两颗恒星称为双星。双星系统在银河系中很普遍。利用双星系统中两颗恒星的运动特征可推算出它们的总质量。已知某双星系统中两颗恒星围绕它们连线上的某一固定点分别做匀速圆周运动，周期均为T ，两颗恒星之间的距离为r ，试推算这个双星系统的总质量。（引力常量为G ）【解析】：设两颗恒星的质量分别为m 1、m 2，做圆周运动的半径分别为r 1、r 2，角速度

分别为ω1、ω2。根据题意有

21ωω=

①

r r r =+21

②

根据万有引力定律和牛顿定律，有 G

12

112

21r w m r

m m =

③

G 12

212

21r w m r m m =

④

联立以上各式解得

2121m m r

m r +=

⑤

根据解速度与周期的关系知 T

πωω221==

⑥

联立③⑤⑥式解得

【例题2】神奇的黑洞是近代引力理论所预言的一种特殊天体，探寻黑洞的方案之一是观测双星系统的运动规律.天文学家观测河外星系大麦哲伦云时，发现了LMCX3双星系统，它由可见星A 和不可见的暗星B 构成，两星视为质点，不考虑其他天体的影响.A 、B 围绕两者连线上的O 点做匀速圆周运动，它们之间的距离保持不变，如图4-2所示.引力常量为G ，由观测能够得到可见星A 的速率v 和运行周期T.

完整版双星模型、三星模型、四星模型

双星模型、三星模型、四星模型

天体物理中的双星，三星，四星，多星系统是自然的天文现象，天体之间的相互作用

依照万有引力的规律，他们的运动规律也同样依照开普勒行星运动的三条基本规律。双星、

三星系统的等效质量的计算，运行周期的计算等都是以万有引力供应向心力为出发点的。双星系统的引力作用依照牛顿第三定律： F F ，作用力的方向在双星间的连线上，角速度

相等，

1 2

。

【例题 1】天文学家将相距较近、仅在相互的引力作用下运行的两颗恒星称为双星。双星系

统在银河系中很宽泛。利用双星系统中两颗恒星的运动特色可计算出它们的总质量。已知某双星系统中两颗恒星围绕它们连线上的某一固定点分别做匀速圆周运动，周期均为T，两颗恒星之间的距离为r ，试计算这个双星系统的总质量。（引力常量为G）

【剖析】：设两颗恒星的质量分别为m1、 m2，做圆周运动的半径分别为r 1、r 2，角速度分别为ω 1、ω 2。依照题意有

1 2 ①

r1 r2 r ②依照万有引力定律和牛顿定律，有

G m

1

m

2 m1w12 r1 ③r 2

G m

1

m

2 m1 w22 r1 ④r 2

联立以上各式解得

m2 r

⑤r1

m2

m1

依照解速度与周期的关系知

1 2 2

⑥T

联立③⑤⑥式解得

m1 m2

4 2 3

r T 2 G

【例题 2】奇异的黑洞是近代引力理论所预知的一种特别天体，探望黑洞的方案之一是观察双星系统的运动规律.天文学家观察河外星系大麦哲伦云

时，发现了 LMCX3 双星系统，它由可见星A 和不可以见的暗

星 B 组成，两

星视为质点，不考虑其他天体的影响.A 、 B 围绕两者连线上的O 点做匀速圆周运动，它们之间的距离保持不变，如图4-2 所示 .引力常量为 G，由观测可以获取可见星 A 的速率 v 和运行周期 T.

物理建模系列(八) 天体运行中的“两种常见模型”

1．双星模型 (1)模型构建

在天体运动中，将两颗彼此相距较近，且在相互之间万有引力作用下绕两者连线上的某点做周期相同的匀速圆周运动的行星称为双星．

(2)模型条件

①两颗星彼此相距较近．

②两颗星靠相互之间的万有引力做匀速圆周运动． ③两颗星绕同一圆心做圆周运动． (3)模型特点

①“向心力等大反向”——两颗星做匀速圆周运动的向心力由它们之间的万有引力提供，故F 1＝F 2，且方向相反，分别作用在两颗行星上，是一对作用力和反作用力．

②“周期、角速度相同”——两颗行星做匀速圆周运动的周期、角速度相等． ③“半径反比”——圆心在两颗行星的连线上，且r 1＋r 2＝L ，两颗行星做匀速圆周运动的半径与行星的质量成反比．

2．三星模型

例 (2018·河北定州中学摸底)双星系统中两个星球A 、B 的质量都是m ，相距L ，它们正围绕两者连线上某一点做匀速圆周运动．实际观测该系统的周期T 要小于按照力学理论计算出的周期理论值T 0，且T

T 0＝k (k <1)，于是有人猜测这可能是受到了一颗未发现的星球C

的影响，并认为C 位于A 、B 的连线正中间，相对A 、B 静止，则A 、B 组成的双星系统周期理论值T 0及C 的质量分别为( )

A ．2π L 2

2Gm ，1＋k 2

4k

m B ．2π L 3

2Gm ，1－k 24k m C ．2π

2Gm L 3，1＋k

24k

m D ．2π

L 3

2Gm ，1－k 24k

2m 【解析】由题意知，A 、B 的运动周期相同，设轨道半径分别为r 1、r 2，对A 有，Gm 2