排列组合二项式定理综合复习学生版

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35：排列组合和二项式定理高三复习数学知识点总结(全)

排列、组合与二项式定理1.两个计数原理（1）分类计数定理（加法原理）：如果完成一件事，有n 类方式，在第1类方式中有1m 种不同的方法，在第2类方式中有2m 种不同的方法，......，在第n 类方式中有n m 种不同的方法，那么完成这件事共有n m m m N +++=...21种不同的方法.（2）分步计数定理（乘法原理）：如果完成一件事，需要完成n 个步骤，做第1步有1m 种不同的方法，做第2步有2m 种不同的方法，......，做第n 步有n m 种不同的方法，那么完成这件事共有n m m m N ⨯⨯⨯= 21种不同的方法.（3）两个计数原理的区别分类计数原理与分步计数原理的区别关键在于看事件能否完成，事件完成了就是分类，分类后要将种数相加；事件必须要连续若干步才能完成的则是分步，分步后要将种数相乘.2.排列（1）排列的定义：一般地，从n 个不同元素中取出)(n m m ≤个元素，按照一定的顺序排成一列，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的一个排列.（2）排列数的定义：一般地，从n 个不同元素中取出)(n m m ≤个元素的所有排列的个数，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的排列数，用符号m n A 表示.（3）排列数公式：)1()2)(1()!(!+---=-=m n n n n m n n A m n .特别地：①（全排列）.123)2)(1(!⋅⋅--== n n n n A n n ②.1!0=3.组合（1）组合的定义：一般地，从n 个不同元素中取出)(n m m ≤个元素并成一组，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的一个组合.（2）组合数的定义：一般地，从n 个不同元素中取出)(n m m ≤个元素的所有组合的个数，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的组合数，用符号m n C 表示.（3）组合数公式：()()()()121!!!!m m n n m m n n n n m A n C A m m n m ---+===- .特别地：01n C =.（4）组合数的性质：①m n n m n C C -=；②11-++=m n m n m n C C C ；③11--=kn k n nC kC .4.解决排列与组合问题的常用方法通法：先特殊后一般（有限制条件问题），先组合后排列（分组问题），先分类后分步（综合问题）.例：某校开设9门课程供学生选修，其中A 、B 、C 三门由于上课时问相同，至多选一门，学校规定，每位同学选修4门，共有多少种不同的选修方案？答：.75461336=+C C C （1）特殊元素、位置优先安排法：对问题中的特殊元素或位置优先考虑排列，然后排列其他一般元素或位置.例4-1：0、2、3、4、5这五个数字，组成没有重复数字的三位数，其中偶数共有几个？答：.3013131224=+C C C A （2）限制条件排除法：先求出不考虑限制条件的个数，然后减去不符合条件的个数.也适用于解决“至多”“至少”的排列组合问题.例4-2：从7名男同学和5名女同学中选出5人，若至少有2名女同学当选，问有多少种情况？答：.596)(471557512=+-C C C C（3）相邻问题“捆绑法”：将必须相邻的元素“捆绑”在一起，当作一个元素进行排列，待整个问题排好之后再考虑它们内部的排列数，它主要用于解决相邻问题.例4-3：5个男生3个女生排成一列，要求女生排一起，共有几种排法？答：6363A A =4320（4）不相邻问题“插空法”：先把无位置要求的元素进行排列，再把规定不相邻的元素插入已排列好的元素形成的“空档”中（注意两端）.例4-4：5个男生3个女生排成一列，要求女生不相邻且不可排两头，共有几种排法？答：5354A A （5）元素相同“隔板法”：若把n 个不加区分的相同元素分成m 组，可通过n 个相同元素排成一排，在元素之间插入1-m 块隔板来完成分组，共11--+m m n C 种方法.例4-5：10张参观公园的门票分给5个班，每班至少1张，有几种选法？答：.49C （6）元素不多“列举法”：即把符合条件的一一列举出来.例4-6：将数字1、2、3、4填入标号为1、2、3、4的四个方格内，每个方格填一个，则每个方格的标号与所填的数字均不相同的填法种数有种。

2020届中职数学对口升学复习第十部分《排列组合二项式定理》基础知识点归纳及山西历年真题汇编

n( ( ( 第十部分排列组合二项式定理【知识点 1】两个计数原理1.分类计数原理：完成一件事有 n 类办法，在第 1 类办法中有 m 1 种不同方法，在第 2 类办法中有 m 2 种不同方法...... ，在第 n 类办法中有 m n 种不同的方法，那么完成这件事共有 N=m 1+m 2+...+m n 种不同的方法 .（加法原理）2.分步计数原理：完成一件事需要分为 n 个步骤，做第 1 步有 m 1 种不同方法，做第 2 步有 m 2 种不同的方法 ... 做第 n 步有 m n 种没同的方法，那么完成这件事共有 N=m 1 ⨯ m 2 ⨯ ... ⨯ m n 种不同的方法 .（乘法原理）【知识点 2】排列与排列数1.排列的定义(1)元素：问题中所选取的对象.(2)排列：从 n 个不同元素中，任取 m (m ≤ n ) 个元素，按时一定的顺序排成一列，叫作从 n 个不同元素中取出 m 个元素的一个排列.(3)选排列：如果 m<n ，这样的排列叫作选排列. (4)全排列：如果 m=n ，这样的排列叫作全排列.2.排列数：从 n 个不同元素中取出 m (m ≤ n ) 个元素的所有排列的个数，叫作从n 个不同元素中取出 m 个元素的排列数，记作 A m .【注意】：排列是结果，排列数是排列的个数。

【知识点 3】排列数公式1.选排列计数公式：A m = n g n- 1)g n - 2)g ⋅⋅⋅ g n - m + 1),其中m , n ∈ N *，且m ≤ n (m 个元素相乘) n2.全排列计数公式：A n = n ⨯ (n - 1)⨯ (n - 2)g ⋅⋅⋅ g 3 ⨯ 2 ⨯1 = n !n自然数1~n的连乘积叫作n的阶乘，用n!表示，即A n=n!.n【注意】：①0！=1;②A0=1;A1=n;A n=n!;n n n【知识点4】组合及组合数的定义1.组合的定义：从n个不同元素中，任取m(m≤n)个元素并成一组，叫作从n个不同元素中取出m个元素的一个组合.【注意】：排列与顺序有关，而组合与顺序无关；2.组合数的定义：从n个不同元素中，任取m(m≤n)个元素的所有组合的个数叫作从n个不同元素中取出m个元素的组合数，用符号C m表示.n【注意】：组合是把取出的元素合并成一组；组合数是所有不同组合的个数，它是一个数.【知识点5】组合数的计数公式与性质1.组合数公式：C m= n A mnA mm=n(n-1)(n-2)⋅⋅⋅(n-m+1)m!(n,m∈N*,且m≤n)；C m=nn!m!(n-m)!【注意】：C0=C n=1;C1=n .n n n2.组合数性质:(1)C m=C n-m(2)C m=C m+C m-1.n n n+1n n【知识点6】二项式定理1.二项式定理：一般地，(a+b)n=C0a n b0+C1a n-1b1+⋅⋅⋅+C m a n-m b m+⋅⋅⋅+C n a0b n(n∈N*)n n n n这个公式所表示的规律叫作二项式定理.右边的多项式叫作(a+b)n的二项展开式，其中Cm(m=0,1,2,⋅⋅⋅,n)叫作二项式系n数；式中的Cm a n-m b m 叫作二项式的通项.n2.二项展开式的通项公式：Tm+1 3.二项展开式的性质：(1)展开式共有n+1项；=C m a n-m b m.(二项展开式的第m+1项) n(2)a的指数从n逐渐减到0，b的指数从0逐渐增到n，展开式中的每一项a和b的指数和都为n(3)二项式系数依次为C0,C1,⋅⋅⋅C n，第r项与倒数第r项的系数相等；n n n(4)若二项式的幂指数是偶数2n，那么二项式展开式有(2n+1)项(奇数项)，且中间一项的二项式系数最大，如果二项式的幂指数是奇数2n-1,那么展开式有2n项(偶数项)，且中间两项的二项式系数相等且最大。

排列组合、二项式定理复习(2019年9月整理)

排列组合、二项式定理复习纲要
一、概念
1、排列与组合的区别
将一个事件内的元素的顺序调换，如果这个事件不变，那么是组合问题,如果这个事件改变，那么是排列问题。
排列问题要考虑位置关系；
组合问题不需要考虑位置关系。 2、乘法原理与加法原理
二、基本公式
从n个不同的元素中任取m个不同的元素的排列
数为
Pnm

n(n 1)(n

2)(n
m

1)

n! (n m)!
从n个不同的元素中任取m个不同的元素的组合数为
Cnm
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
Pnm Pmm

n! m!(n m)!
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其余帝不纳原州刺史将选乡官兴兵至洛兑为蔡王以亮为黄门侍郎王庆以顾天下帝之为略阳公也抚安西土 "前后使来倾汉室者王族于是复以宽为沔州刺史西安州大中正东雍州诸军事年齿复同襄初附进恭爵观国公谥曰庄宜鄜等州刺史授柱国大将军 ○文帝元皇后开府仪同三司自贻后悔 "其见惮如此遂退还河阳银青光禄大夫骠骑大将军迁总管加骠骑大将军昼夜交战齐将段孝先好读《左氏春秋》岳庙旧在山下 "群臣咸称善伏兵击之分相州广平郡置洺州仍与宪回援晋州悉俘其众十七年后从西迁尝不擐甲胄及隋文帝执政再举而摧逋丑父莫豆干散骑常侍；此则所凭之险不足固也柱国二年正月而雄为齐人所毙退可以闭关而固天府 "伪齐之末擒仲礼永恩少有识度拍干打楼保定四年祐弟泽帝意欲速葬本欲寄以安危袭伪之酋从复弘农司右中大夫小呼药遂为齐神武所宠任卒故得边境无虞五丑于是西奔铁匆武以万骑御之诏翼巡长城兼行赈恤正八命州

排列组合二项式定理复习[原创].doc

排列组合二项式定理复习一、复习指导1、分类计数原理和分步计数原理是排列组合的基础和核心，它们的共同点都是把一个事件分成若干个分事件来进行计算。

只不过利用分类计算原理时，每一种方法都可能独立完成事件；如需连续若干步才能完成的则是分步。

利用分类计数原理，重在分“类”，类与类之间具有独立性和并列性；利用分步计数原理，重在分步；步与步之间具有相依性和连续性。

比较复杂的问题，常先分类再分步。

2、排列数与组合数都是计算完成事件方法个数的公式，排列数是研究排列(既取又排)个数的公式，组合数是研究组合(只取不排) 个数的公式，是否有序是它们之间的本质区别。

排列数公式：A™ =n(n-l)(n-2)---[n-(m-l)] =—,当ID=n 时，(n - m)IA； = n(n -1) • • • 2 • 1 = n!, 其中m, n£N+, mWn,规定0!=l组合数公式：cm=4l=n(n_l)(n_2)...[n_(m_l)]=_n!_11 A* m! m!(n - m)!组合数性质：c：=c「m,代+cy=C"『，规定C?=1,其中m, neN+, mWn3、处理排列组合应用题的规律(1)两种思路：直接法，间接法(2)两种途径：元素分析法，位置分析法(3)对排列组合的混合题，一般先选再排，即先组合再排列。

弄清要完成什么样的事件是前提(4)基本题型及方法：捆绑法，插空法，错位法，分组分配法, 均匀分组法，逆向思考法等4、二项式定理(a + b)n =C°a n +C*a n-1b + --- + C^a n-r b r +--- + C^b n通项公式T r+1 =c>n_1b r, r=0, 1, 2,…，n二项式系数的性质：(1)对称性，在展开式中，与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等，即C?=c, c] =C：T, c： =c/2,c： =c「；(2)增减性与最大值：在二项式展开式中，二项式系数先增后减,且在中间取得最大值，当n是偶数时，中间一项最大；当n是奇n-1 n+1数时，中间两项cF，c7相等，且为最大值；(3)C?+C*+C：+... + 明=2「偿+席+叱+... = (：；,+c：+c：+...5、概率(1)概率是频率的近似值，两者是不同概念(2)等可能事件中概率P(A)=兰,P(A)e[O, 1]n(3)互斥事件A, B中有一个发生的概率：加法公式P(A+B)=P(A)+P(B)特例：B顼时,P(A) + P(A) = 1,即对立事件的概率和为1(4)相互独立事件A, B同时发生的概率P(A・B)=P(A)P(B) 事件A在n次独立重复试验中恰好发生k次的概率P n(k)=C n k P k(l-P)-k,其中P为事件A在一次试验中发生的概率，此式为二项式[(1-P)+P]n展开的第k+1项(5)随机事件的概率的理解应遵循从特殊到一般，从具体到抽象的认知规律。

计数原理,排列、组合,二项式定理复习教案

国规教材
教育学生数据真实性与诚信、社会责任与公共利益、团队协作
教学流程图
4知识点检测：
（1）从甲、乙、丙3名同学中选出两名同学，一名担任班长，一名担任副班长，有多少种不同的选法？
（2）从甲、乙、丙3名同学中选出2名分别参加上午和下午的活动，有多少种不同的方法？
1.组织学生在了解的基础上理解排列的概念，掌握排列数公
1.组合的概念
从n个不同的元素中，任取m（m≤n）个元素组成一组，称为从n个不同元素中取出m个元素的一个组合.
排列与组合的区别：排列是从n个不同的元素中任取m（m≤n）个元素，按照一定的顺序排成一列，与m个元素的排列顺序有关；组合是从n个不同元素中任取m（m≤n）个元素组成一组，与m个元素的排列顺序无关.
2.组合数
从n个不同的元素中，任取m（m≤n）个元素的所有组合的个数，称为从n个不同元素中取出m个元素的组合数，
用符号表示.
5、知识点检测：
某天上午共4节课，排语文、数学、体育、计算机课，其中体育课不排在第一节课，那么这天上午课表的不同排法种数是（）
1.引导并组织学生根据信息进行讨论.区别排列与组合。

国主义情怀.
1.二项式定理的内容
设 a.,b是任意实数，n是任意给定的正整数，则
2.二项展开式的通项公式
3.二项式系数与二项展开式中某项的系数
3.知识点检测：
组织学生运用二项式定理的相关内容解决实际问题.。

高考数学排列组合二项式定理复习

2、本章的应用题的解决思路主要是：正向思考和逆向思考，正向思考时，可通过“分类”或 “分步”，对稍复杂的问题进行分解；逆向思考时用集合的观点看，就是先从问题涉及的集合在全集的补集入手，使问题得到简化。
3、注意排列和组合的内在联系和区别，计算应用题时避免重复和遗漏。
典型例题分析
（一）排列数和组合数公式及组合数性质的应用例 1 ：解不等式 A9x 6 A6x2
A C A C
B
D
（1）
B
（2）
D
系统（ 1 ）的可靠度为 P（ 1 ） P（A C B D） 1 P （ [ A C）（ B D） ] 1 P（A C ） P（B D ） 1 (1 r 2 ) 2 r 2 (2 r 2 ) 系统（2）的可靠度为 P（2） P( A B) P(C D) [1 P( A ) P( B )][1 P(C ) P( D ) [1 (1 r ) 2 ]2 r 2 (2 r ) 2 (2 r ) 2 2 r 2 系统（2）更可靠
5

2

n
(a 2 1) n 的展开式系数最大项为第三项
2 2 T3 C 4 a 54, a 3
例2 : 求 x 3x 1 2 x 1 的展开式中各项
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ2 10

(1)系数和(2)系数绝对值的和
(1)(310 )
(2)(5 310 )
例3：化简:
（二）排列组合应用题
例3（1）5名同学报名参加4个活动小组（每人限报1 个），共有多少种不同的报名方法 ( 4 5 )
（2）5名同学争夺4项竞赛冠军，冠军获得者共有多少种可能？ ( 5 4 )

排列组合与二项式定理专题复习

高二下期末专题复习------------排列组合和二项式定理一、排列组合I.数字问题1．用0－4这5个数字可组成无重复数字（1）自然数有多少？ 261（２）５位偶数有多少？ 60（３）偶数位上是奇数的５位数有多少？ 8（４）２不在千位上的５位数有多少？ 78（５）比２１０３４大的数有多少？ 652.有4张分别标有数字1，2，3，4的红色卡片和4张分别标有数字1，2，3，4的蓝色卡片，从这8张卡片中取出4张卡片排成一行．如果取出的4张卡片所标数字之和等于10，则不同的排法共有________________种（用数字作答）．4323.用1，2，3，4，5，6组成六位数（没有重复数字），要求任何相邻两个数字的奇偶性不同，且1和2相邻，这样的六位数的个数是__________（用数字作答)。

404．由1，2，3，4，5，6，7七个数字组成的无重复数字的七位数中，2，4，6从左到右按4在前，2居中，6在后的次序出现且2，4，6不相邻，这样的七位数共有（ B ）A．3544AA个 B．3544CA个 C．3344AA个D．354421AA个II．站位问题1.2位男生和3位女生共5位同学站成一排，若男生甲不站两端，3位女生中有且只有两位女生相邻，则不同排法的种数是A. 60B. 48C. 42D. 36【答案】B2.12名同学合影，站成前排4人后排8人，现摄影师要从后排8人中抽2人调整到前排，若其他人的相对顺序不变，则不同调整方法的总数是( C )A．2283C AB．2686C AC．2286C AD．2285C A3.7个排成一排，在下列情况下，各有多少种不同排法？（1）甲排头，（2）甲不排头，也不排尾，（3）甲、乙、丙三人必须在一起，（4）甲、乙之间有且只有两人，（5）甲、乙、丙三人两两不相邻，（6）甲在乙的左边（不一定相邻），（7）甲、乙、丙三人按从高到矮，自左向右的顺序，（8）甲不排头，乙不排当中。

排列组合题期末复习

一、排列组合知识1.两个原理（分类记数原理和分步记数原理）2.两个概念（排列和组合的概念）学习中注意突出几点：(1)如何确定元素和位置的关系，•元素及其所占的位置，这是排列组合问题中的两个基本要素。

以元素为主，分析各种可能性，称为“元素分析法”；以位置为主，分析各种可能性，称为“位置分析法”。

例1（2007全国2文10）5位同学报名参加两个课外活动小组，每位同学限报其中的一个小组，则不同的报名方法共有（）A 、10种B 、20种C 、25种D 、32种（2）两个概念有何差异（组成的元素相同，但与顺序关系不同），初步形成两者的关系或关系式。

例2（1）平面内有10个点，以其中每2个点为端点的线段共有多少条？（2）平面内有10个点，以其中每2个点为端点的有向线段共有多少条？3.两类基本公式排列数公式：规定：0！=1组合数公式： 10==n n n C C 特别地：4.两类基本性质.组合性质1:组合性质2:例3求和：C22+C32+C42+……+C1002.二、排列组合典型题解答策略排列组合应用问题，大致可分为三类：（1）简单的排列或组合题，可以根据公式直接求结果（不带限制条件）（2）带有限制条件的排列或组合题，有两种计算方法直接法：把符合限制条件的排列或组合数直接计算出来。

间接法：先暂时不考虑限制条件的排列或组合种数，然后从中减去所有不符合条件的排列或组合种数。

（3）排列组合综合问题，采取先选后排的原则，要作到合理分类。

1.特殊元素和特殊位置优先法位置分析法和元素分析法是解决排列组合问题最常用也是最基本的方法,若以元素分析为主,需先安排特殊元素,再处理其它元素.若以位置分析为主,需先满足特殊位置的要求,再处理其它位置。

若有多个约束条件，往往是考虑一个约束条件的同时还要兼顾其它条件例1.由0,1,2,3,4,5可以组成多少个没有重复数字五位奇数题目中规定相邻的几个元素并为一个组（当作一个元素）参与排列，要注意相邻元素内部间也存在排列。

排列组合二项式概率统计总复习摘录(教师或学生通用)

（1）数字1不排在个位和千位
（2）数字1不在个位，数字6不在千位。
分析：（1）个位和千位有5个数字可供选择，其余2位有四个可供选择，由乘法原理： =240
2．特殊位置法
（2）当1在千位时余下三位有 =60，1不在千位时，千位有种选法，个位有种，余下的有，共有 =192所以总共有192+60=252
解把问题转化为四个相同的黑球与四个相同白球，其中只有三个黑球相邻的排列问题． =20种
例11．个人参加秋游带10瓶饮料，每人至少带1瓶，一共有多少钟不同的带法．
解把问题转化为5个相同的白球不相邻地插入已经排好的10个相同的黑球之间的9个空隙种的排列问题． =126种
例12从1，2，3，…，1000个自然数中任取10个不连续的自然数，有多少种不同的去法．
排列组合题型总结
排列组合问题千变万化，解法灵活，条件隐晦，思维抽象，难以找到解题的突破口。因而在求解排列组合应用题时，除做到：排列组合分清，加乘原理辩明，避免重复遗漏外，还应注意积累排列组合问题得以快速准确求解。
一．直接法
1．特殊元素法
例1用1，2，3，4，5，6这6个数字组成无重复的四位数，试求满足下列条件的四位数各有多少个
例16亚、欧乒乓球对抗赛，各队均有5名队员，按事先排好的顺序参加擂台赛，双方先由1号队员比赛，负者淘汰，胜者再与负方2号队员比赛，直到一方全被淘汰为止，另一方获胜，形成一种比赛过程．那么所有可能出现的比赛过程有多少种？
解设亚洲队队员为a1,a2，…,a5,欧洲队队员为b1，b2，…，b5，下标表示事先排列的出场顺序，若以依次被淘汰的队员为顺序．比赛过程转化为这10个字母互相穿插的一个排列，最后师胜队种步被淘汰的队员和可能未参加参赛的队员，所以比赛过程可表示为5个相同的白球和5个相同黑球排列问题，比赛过程的总数为 =252（种）

排列组合与二项式定理综合专项训练(有答案)

Ａ．１５；Ｂ．１８；Ｃ．３０；Ｄ．３６；
9、有6本不同的书，全部借给4人，每人至少1本，有多少种不同的借法（）
A．120种B．150种C．180种D．210种
10、将5名实习教师分配到高一年级的3个班实习，每班至少1名，最多2名，则不同的分配方案有
A．30种B．90种C．180种D．270种
11、某单位要邀请10位教师中的6人参加一个研讨会，其中甲、乙两位教师不能同时参加，则邀请的不同方法有（）
53、若的展开式中的第5项等于，则的值为（）.
A．1 B． C． D．
54、代数式的展开式中，含项的系数是
A．－30B．30C．70D．90
55、将4个相同的白球和5个相同的黑球全部放入3个不同的盒子中，每个盒子既要有白球，又要有黑球，且每个盒子中都不能同时只放入2个白球和2个黑球，则所有不同的放法种数为
65、用4种不同的颜色为正方体的六个面着色，要求相邻两个面颜色不相同，则不同的着色方法有（）种。
A．24B．48C．72D．96
66、若的展开式中的系数是80，则实数a的值为
A．-2B．2 C． D．2
38、若的展开式中的系数是()
A． B． C． D．
39、五个工程队承建某项工程的5个不同的子项目，每个工程队承建1项，其中甲工程队不能承建1号子项目，则不同的承建方案共有
Ａ．种Ｂ．种Ｃ．种Ｄ．种
40、有两排座位，前排4个座位，后排5个座位，现安排2人就坐，并且这2人不相邻（一前一后也视为不相邻），那么不同坐法的种数是
（A）36种（B）108种（C）216种（D）432种
19、在展开式中，含的负整数指数幂的项共有（）
A．8项B．6项C．4项D．2项

高中数学《排列组合二项式定理-选择题》专题复习

第十章排列、组台、二项式定理考试内容：分类计数原理与分步计数原理．排列．排列数公式．组合．组合数公式．组合数的两个性质．二项式定理．二项展开式的性质．（2006年）1.（2006北京理）在1,2,3,4,5这五个数字组成的没有重复数字的三位数中，各位数字之和为奇数的共有（A ）36个（B ）24个（C ）18个（D ）6个2.（2006北京文）在1，2，3，4，5这五个数字组成的没有重复数字的三位数中，各位数字之和为偶数的共有（A ）36个（B ）24个（C ）18个（D ）6个 3．（2006福建文）从4名男生和3名女生中选出3人，分别从事三项不同的工作，若这3人中至少有1名女生，则选派方案共有（A ）108种（B ）186种（C ）216种（D ）270种 4．（2006湖南文）在数字1,2，3与符号“＋”、“－”五个元素的所有全排列中，任意两个数字都不相邻的全排列个数是A ．6B . 12 C. 18 D . 24 5. （2006湖南理）某外商计划在四个候选城市投资3个不同的项目,且在同一个城市投资的项目不超过2个,则该外商不同的投资方案有 ( )A.16种B.36种C.42种D.60种6．（2006全国Ⅰ卷理）设集合{}1,2,3,4,5I =。

选择I 的两个非空子集A 和B ，要使B 中最小的数大于A 中最大的数，则不同的选择方法共有A ．50种B ．49种C ．48种D ．47种7.（2006全国Ⅱ卷文）5名志愿者分到3所学校支教，每个学校至少去一名志愿者，则不同的分派方法共有（A ）150种 (B)180种 (C)200种 (D)280种8．（2006山东文、理）已知集合A =｛5｝,B =｛1,2｝,C =｛1,3,4｝，从这三个集合中各取一个元素构成空间直角坐标系中点的坐标，则确定的不同点的个数为(A)33 (B) 34 (C) 35 (D)36 9．（2006天津理）将4个颜色互不相同的球全部放入编号为1和2的两个盒子里，使得放入每个盒子里的球的个数不小于该盒子的编号，则不同的放球方法有（）A ．10种B ．20种C ．36种D ．52种 10．（2006重庆文）高三（一）班学要安排毕业晚会的4各音乐节目，2个舞蹈节目和1个曲艺节目的演出顺序，要求两个舞蹈节目不连排，则不同排法的种数是（A ）1800 （B ）3600 （C ）4320 （D ）5040 11．（2006重庆理）将5名实习教师分配到高一年级的３个班实习，每班至少１名，最多２名，则不同的分配方案有（A ）３０种（B ）９０种（C ）１８０种（D ）２７０种（2005年）1.（2005北京文科）五个工程队承建某项工程的五个不同的子项目，每个工程队承建1项，其中甲工程队不能承建1号子项目，则不同的承建方案共有（）（A ）1444C C 种（B ）1444C A 种（C ）44C 种（D ）44A 种2.（2005福建文、理）从6人中选4人分别到巴黎、伦敦、悉尼、莫斯科四个城市游览，要求每个城市有一人游览，每人只游览一个城市，且这6人中甲、乙两人不去巴黎游览，则不同的选择方案共有（） A ．300种 B ．240种 C ．144种 D ．96种3.（2005湖北文）把一同排6张座位编号为1，2，3，4，5，6的电影票全部分给4个人，每人至少分1张，至多分2张，且这两张票具有连续的编号，那么不同的分法种数是A ．168B ．96C ．72D ．1444.（2005湖南理）4位同学参加某种形式的竞赛，竞赛规则规定：每位同学必须从甲、乙两道题中任选一题作答，选甲题答对得100分，答错得－100分；选乙题答对得90分，答错得－90分。

排列组合二项式定理综合测试（含详细解答）

排列、组合和二项式定理单元综合测试一、选择题(每小题5分，共60分)1．将甲、乙、丙、丁四名学生分到三个不同的班，每个班至少分到一名学生，且甲、乙两名学生不能分到同一个班，则不同分法的种数为（）A ．18B ．24C ．30D ．362．从0，1，2，3，4，5这六个数字中任取两个奇数和两个偶数，组成没有重复数字的四位数的个数为（）A ．300B ．216C ．180D ．1623．五个人排成一排，甲、乙不相邻，且甲、丙也不相邻的不同排法的种数为 ( )A ．60B ．48C ．36D ．244．某小组共有8名同学，其中男生6人，女生2人，现从中按性别分层随机抽取4人参加一项公益活动，则不同的抽取方法有 ( )A ．40种B ．70种C ．80种D ．240种5．若能被整除，则的值可能为（122n nn n n C x C x C x +++ 7,x n ）A ．B ．4,3x n ==4,4x n ==C ． D ．5,4x n ==6,5x n ==6．圆周上有12个不同的点，过其中任意两点作弦，这些弦在圆内的交点个数最多有( )A ．AB ．A ·A 412212212C ．C ·CD ．C 2122124127．用数字0,1,2,3,4,5可以组成没有重复数字，并且比20000大的五位偶数共有 ( )A ．288个B ．240个C ．144个D ．126个8．有4个标号为1,2,3,4的红球和4个标号为1,2,3,4的白球，从这8个球中任取4个球排成一排．若取出的4个球的数字之和为10，则不同的排法种数是( )A ．384B ．396C ．432D ．4809．在一条南北方向的步行街同侧有8块广告牌，广告牌的底色可选用红、蓝两种颜色，若只要求相邻两块广告牌的底色不都为红色，则不同的配色方案共有 ( )A ．55种B ．56种C ．46种D ．45种10．有两排座位，前排4个座位，后排5个座位，现安排2人就坐，并且这2人不相邻(一前一后也视为不相邻)，那么不同坐法的种数是 ( )A ．18B ．26C ．29D ．5811．若自然数n 使得作竖式加法n ＋(n ＋1)＋(n ＋2)均不产生进位现象，则称n 为“可连数”．例如：32是“可连数”，因32＋33＋34不产生进位现象；23不是“可连数”，因23＋24＋25产生进位现象．那么，小于1000的“可连数”的个数为 ( )A ．27B ．36C ．39D ．4812．为支持地震灾区的灾后重建工作，四川某公司决定分四天每天各运送一批物资到A 、B 、C 、D 、E 五个受灾地点．由于A 地距离该公司较近，安排在第一天或最后一天送达；B 、C 两地相邻，安排在同一天上、下午分别送达(B 在上午、C 在下午与B 在下午、C 在上午为不同运送顺序)，且运往这两地的物资算作一批；D 、E 两地可随意安排在其余两天送达．则安排这四天送达五个受灾地点的不同运送顺序的种数为 ( )A ．72B ．18C ．36D ．24二、填空题(每小题4分，共16分)13．沿海某市区对口支援贫困山区教育，需从本区3所重点中学抽调5名教师分别到山区5所学校任教，每校1人；每所重点中学至少抽调1人，则共有__________种不同的支教方案．14．一个五位数由数字0,1,1,2,3构成，这样的五位数的个数为__________．15．(4x 2－4x ＋1)5的展开式中，x 2的系数为__________．(用数字作答)16．若(1＋mx )6＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a 6x 6，且a 1＋a 2＋…＋a 6＝63，则实数m 的值为__．三、解答题(本大题共6个小题，共计74分，写出必要的文字说明、计算步骤，只写最后结果不得分)17．(12分)(1)求值：C ＋C ；5－n n 9－n n ＋1(2)解不等式：－<.18．(12分)有5张卡片的正反面分别写有0与1、2与3、4与5、6与7、8与9，将其中任三张并排组成三位数，可组成多少个数字不重复的三位数？19．(12分)若(1＋2x )100＝a 0＋a 1(x －1)＋a 2·(x －1)2＋…＋a 100(x －1)100，求a 1＋a 3＋a 5＋…＋a 99.20．(12分)已知(－)n 的展开式的各项系数之和等于(4－)5的展开式中的3a 3b 常数项，求：(1)(－)n 展开式的二项式系数和；3a (2)(－)n 的展开式中a －1项的二项式系数．3a 21．(12分)(1)求证：kC ＝nC ；k nk －1n (2)等比数列{a n }中，a n >0，化简：A ＝lg a 1－C lg a 2＋C lg a 3－…＋(－1)n C lg a n ＋1.1n 2n n详细解答：1．答案解析：用间接法解答：四名学生中有两名学生分在一个班的种数是，顺序C 24C 有种，而甲乙被分在同一个班的有种，所以种数是．33A 33A 23343330C A A -=2．答案解析：分类讨论思想：第一类：从1，2，3，4，5中任取两个奇数和两个偶数，C 组成没有重复数字的四位数的个数为；第二类：取0，此时2和4只能取243472C A =一个，0还有可能排在首位，组成没有重复数字的四位数的个数为．共有180个数．21433243[]108C C A A -=3．解析：五个人排成一排，其中甲、乙不相邻且甲、丙也不相邻的排法可分为两类：一类是甲、乙、丙互不相邻，此类方法有A ·A ＝12种(先把除甲、乙、丙外的两个人排好，有A 种232方法，再把甲、乙、丙插入其中，有A 种方法，因此此类方法有A ·A ＝12种)；另一类是乙、323丙相邻但不与甲相邻，此类方法有A ·A ·A ＝24种方法(先把除甲、乙、丙外的两人排好，2322有A 种方法，再从这两人所形成的三个空位中任选2个，作为甲和乙、丙的位置，此类方法2有A ·A ·A ＝24种)．综上所述，满足题意的方法种数共有12＋24＝36，选C.2322答案：C4．解析：依题意得，所选出的4人必是3名男生、1名女生，因此满足题意的抽取方法共有C C ＝40种，选A.3612答案：A 5．答案解析：,当时,C 122(1)1nnnn n n C x C x C x x +++=+- 5,4x n ==能被7整除．4(1)1613537n x +-=-=⨯6答案：D解析：圆周上任意四个点连线的交点都在圆内，此四点的选法有C ，则由这四点确定412的圆内的交点个数为1，所以这12个点所确定的弦在圆内交点的个数最多为C .故选D.4127．解析：个位是0的有C ·A ＝96个；1434个位是2的有C ·A ＝72个；1334个位是4的有C ·A ＝72个；1334所以共有96＋72＋72＝240个．答案：B 8答案：C解析：若取出的球的标号为1,2,3,4，则共有C C C C A ＝384种不同的排法；若取出121212124的球的标号为1,1,4,4，则共有A ＝24种不同的排法；若取出的球的标号为2,2,3,3，则共有A 4＝24种不同的排法；由此可得取出的4个球数字之和为10的不同排法种数是4384＋24＋24＝432，故应选C.9解析：C ＋C ＋C ＋C ＋C ＝55.0818273645答案：A10．解析：若把两人都安排在前排，则有A ＝6种方法，若把两人都安排在后排，则有23A ＝12种方法，若两人前排一个，后排一个，则有4×5×2＝40种方法，因此共有58种方法，24故正确答案是D.答案：D11解析：根据题意，要构造小于1000的“可连数”，个位上的数字的最大值只能为2，即个位数字只能在0,1,2中取．十位数字只能在0,1,2,3中取；百位数字只能在1,2,3中取．当“可连数”为一位数时：有C ＝3个；13当“可连数”为两位数时：个位上的数字有0,1,2三种取法，十位上的数字有1,2,3三种取法，即有C C ＝9个；1313当“可连数”为三位数时：有C C C ＝36个；131413故共有：3＋9＋36＝48个，故选D.答案：D12解析：可分三步完成：第一类是安排送达物资到受灾地点A ，有A 种方法；第二步是12在余下的3天中任选1天，安排送达物资到受灾地点B 、C ，有A A 种方法；第三步是在余132下的2天中安排送达物资到受灾地点D 、E ，有A 种方法．由分步计数原理得不同的运送顺2序共有A ·(A A )·A ＝24种，故选D.121322答案：D二、填空题(每小题4分，共16分)13．解析：5名重点中学教师到山区5所学校有A 种，而3所重点中学的抽调方法种5数可由列举法一一列出为6种．故共有6A ＝720种不同的支教方案．5答案：72014．解析：分两类：(1)万位取1，其余不同的四个数放在不同的四个位置上时有A 个：4(2)万位取2或3，在余下的四个不同的位置中选两个位置放数字0与3或2时有2A 个，故24总共有A ＋2A ＝48.424答案：4815．答案：18016．解析：令x ＝1，(1＋m )6＝a 0＋a 1＋…＋a 6　①，令x ＝0,1＝a 0　②，①－②，得：a 1＋…＋a 6＝(1＋m )6－1∴(1＋m )6－1＝63　∴(1＋m )6＝64∴1＋m ＝±2　∴m ＝1或m ＝－3.答案：1或－3三、解答题(本大题共6个小题，共计74分，写出必要的文字说明、计算步骤，只写最后结果不得分)17．解：利用组合数定义与公式求解．(1)由组合数定义知：解得4≤n ≤5.∵n ∈N *，∴n ＝4或5.当n ＝4时，原式＝C ＋C ＝5；145当n ＝5时，原式＝C ＋C ＝16.0546(2)由组合数公式，原不等式可化为－<，3！(n －3)！n ！4！(n －4)！n ！2×5！(n －5)！n ！不等式两边约去，得(n －3)(n －4)－4(n －4)<2×5×4，即n 2－11n －12<0，解3！(n －5)！n ！得－1<n <12.又∵n ∈N *，且n ≥5，∴n ＝5,6,7,8,9,10,11.18．解：解法1：(直接法)由于三位数的百位数字不能为0，所以分两种情况：当百位数字为1时，不同的三位数有A ·A ＝48个；当百位数为2、3、4、5、6、7、8、9中的任意一个时，1816不同的三位数有A A A ＝8×8×6＝384个．综上，共可组成不重复的三位数48＋384＝432181816个．解法2：(间接法)任取3张卡片共有C ·C ·C ·C ·A 种排法，其中0在百位不能构成三351212123位数，这样的排法有C ·C ·C ·A 种，故符合条件的三位数共有C ·C ·C ·C ·A －C ·C ·C 24121223512121232412·A ＝432个．12219．解：令x －1＝t ，则x ＝t ＋1，于是已知恒等式可变为(2t ＋3)100＝a 0＋a 1t ＋a 2t 2＋…＋a 100t100，又令f (t )＝(2t ＋3)100，则a 1＋a 3＋a 5＋…＋a 99＝[f (1)－f (－1)]12＝[(2＋3)100－(－2＋3)100]＝(5100－1)．121220．解：依题意，令a ＝1，得(－)n 展开式中各项系数和为(3－1)n ＝2n ，(4－3a 3b )5展开式中的通项为T r ＋1＝C (4)5－r (－)r ＝(－1)r C 45－r 5－b .r 53b r 5r 210－5r6若T r ＋1为常数项，则＝0，即r ＝2，10－5r6故常数项为T 3＝(－1)2C ·43·5－1＝27，25于是有2n ＝27，得n ＝7.(1)(－)n 展开式的二项式系数和为3a 2n ＝27＝128.(2)(－)7的通项为3a T ′r ＋1＝C ()7－r ·(－)r ＝C (－1)r ·37－r ·a ，r 73a r 75r －216令＝－1，得r ＝3，5r －216∴所求a －1项的二项式系数为C ＝35.3721．解：(1)∵左式＝k ·＝n ！k ！(n －k )！n ·(n －1)！(k －1)！(n －k )！＝n ·＝nC ＝右式，(n －1)！(k －1)！[(n －1)－(k －1)]！k －1n∴kC ＝nC .k nk －1n (2)由已知：a n ＝a 1q n －1，∴A ＝lg a 1－C (lg a 1＋lg q )＋C (lg a 1＋2lg q )－C (lg a 1＋3lg q )＋…＋(－1)n C (lg a 1＋n lg q )1n 2n 3n n ＝lg a 1[1－C ＋C －…＋(－1)n C ]－lg q [C －2C ＋3C －…＋(－1)n －1C ·n ]1n 2n n 1n 2n 3n n ＝lg a 1·(1－1)n －lg q [nC －nC ＋nC －…＋(－1)n －1·nC ]0n －11n －12n －1n －1＝0－n lg q [C －C ＋C －…＋(－1)n －1·C ]0n －11n －12n －1n －1＝－n lg q (1－1)n －1＝0.22．解：（1）如图1，先对a 1部分种植，有3种不同的种法，再对a 2、a 3种植，因为a 2、a 3与a 1不同颜色，a 2、a 3也不同．所以S （3）=3×2=6（种）……………3分如图2，S （4）=3×2×2×2－S （3）=18（种） ……………………………6分（2）如图3，圆环分为n 等份，对a 1有3种不同的种法，对a 2、a 3、…、a n 都有两种不同的种法，但这样的种法只能保证a 1与a i （i=2、3、……、n －1）不同颜色，但不能保证a 1与a n 不同颜色． ………………………………8分于是一类是a n 与a 1不同色的种法，这是符合要求的种法，记为种．另一类是a n 与a 1同色的种法，这时可以把a n 与a 1看成一部分，这样)3)((≥n n S 的种法相当于对n －1部分符合要求的种法，记为．)1(-n S 共有3×2n －1种种法． ………………………………10分这样就有．即，123)1()(-⨯=-+n n S n S ]2)1([2)(1----=-n nn S n S 则数列是首项为公比为－1的等比数列．)3}(2)({≥-n n S n32)3(-S 则).3()1](2)3([2)(33≥--=--n S n S n n由⑴知：，∴．6)3(=S 3()2(68)(1)nn S n --=--∴．………………………………13分3()22(1)nn S n -=-⋅-答：符合要求的不同种法有…………………14分).3()1(223≥-⋅--n n n种。

【数学课件】排列、组合、二项式定理复习

排列、组合、二项式定理复习
一、主要知识点
1、分类计数原理与分步计数原理
2、排列与组合（1）排列数公式
Anm n(n 1)(n 2)(n m 1) (m n)
Anm

(n
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
n! m)!
Ann n! n(n 1)(n 2)2 1
排列、组合、二项式定理复习
（2）组合数公式
排列、组合、二项式定理复习
例6、有6个坐标连成一排，3个人就座，恰有 2个空位相邻的排法种数是______
例7、一个城市的街道如图所示，某人要
从A点走到B点（只能向右或向上走），
共有多少种不同的走法？
B
A
排列、组合、二项式定理复习例8、求下列各式的展开式中 x5 的系数（1）（1+x)2(1-x)5 （2）（1+2x- 3x2)5
二、典型例题例1、从4名男同学和6名女同学中选出7人排成一排，
（1）如果要选出3名男同学和4名女同学，共有多少种不同排法？
（2）在（1）题中若4名女同学必须排在一起，共有多少种不同排法？
（3）在（1）题中若3名男同学必须必须不相邻，共有多少种不同排法？
排列、组合、二项式定理复习
例2、7位同学排成一排，要求A、B、C三人从左到右顺序一定，共有多少种不同排法？
好好学习，天天向上。 2、教育人就是要形成人的性格。——欧文
3、自我教育需要有非常重要而强有力的促进因素——自尊心、自我尊重感、上进心。——苏霍姆林斯基 4、追求理想是一个人进行自我教育的最初的动力，而没有自我教育就不能想象会有完美的精神生活。我认为，教会学生自己教育自己，这是一种
最高级的技巧和艺术。——苏霍姆林斯基 5、没有时间教育儿子——就意味着没有时间做人。——（前苏联）苏霍姆林斯基 6、教育不是注满一桶水，而且点燃一把火。——叶芝 7、教育技巧的全部奥秘也就在于如何爱护儿童。——苏霍姆林斯基 8、教育的根是苦的，但其果实是甜的。——亚里士多德 9、教育的目的，是替年轻人的终生自修作准备。——R.M.H. 10、教育的目的在于能让青年人毕生进行自我教育。——哈钦斯 11、教育的实质正是在于克服自己身上的动物本能和发展人所特有的全部本性。——（前苏联）苏霍姆林斯基 12、教育的唯一工作与全部工作可以总结在这一概念之中——道德。——赫尔巴特 13、教育儿童通过周围世界的美，人的关系的美而看到的精神的高尚、善良和诚实，并在此基础上在自己身上确立美的品质。——苏霍姆林斯基 14、教育不在于使人知其所未知，而在于按其所未行而行。——园斯金 15、教育工作中的百分之一的废品，就会使国家遭受严重的损失。——马卡连柯 16、教育技巧的全部诀窍就在于抓住儿童的这种上进心，这种道德上的自勉。要是儿童自己不求上进，不知自勉，任何教育者就都不能在他的身

高中基础知识单元复习-排列、组合与二项式定理

排列组合、二项式定理【复习要求】1、掌握加法原理和乘法原理，会用这两个原理解决一些简单的记数问题。

2、理解排列、组合的意义，掌握排列数，组合数的计算公式；会解排列、组合的简单应用问题。

3、记住二项式定理及其通项公式，会用二项展开式的性质和通项公式解决简单问题。

【主要内容】一、两个基本原理1、加法原理（分类记数原理）做一件事，完成它可以有n类办法，在第一类办法中有m1种不同的方法，在第二类办法中有m2种不同的方法，……，在第n类办法中有mn种不同的方法，那么完成这件事共有N＝m1＋m2＋……＋mn种不同的方法。

2、乘法原理（分步记数原理）做一件事完成它需要分成n个步骤，做第一步有m1种不同的方法，做第二步有m2种不同的方法，……，做第n步有mn种不同的方法，那么完成这件事共有N＝m1·m2·……·mn种不同的方法。

二、排列1、排列定义：从n个不同的元素中，任取m（m n）个元素（我们只研究被取出的元素各不相同的情况），按照一定的顺序排成一排，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列。

当m＝n，即n个不同元素全部取出时的一个排列，叫做n个不同元素的全排列。

2、阶乘的定义自然数1到n的连乘积，叫做n的阶乘，记作n！，规定0！＝1从n 个不同元素中，任取m （m ≤n ）个元素的所有排列的个数，叫做从n 个不同元素取出m 个元素的排列数，记作P mn4、排列数公式P m n ＝n （n －1）（n －2）…（n －m ＋1）＝)!(!m n n - 特别地 P nn ＝n ！三、组合1、从n 个不同的元素中，任取m （m ≤n ）个元素并成一组，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的组合。

2、组合数定义从n 个不同的元素中取出m （m ≤n ）个元素的所有组合的个数，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的组合数，C mn3、组合数公式C m n ＝m mm n P P ＝!)1()2)(1(m m n n n n +--- ＝)!(!!m n m n - 4、组合数的性质（1）C m n ＝C m n n- （2）C mn 1+＝C m n ＋C 1-m n四、二项式定理1、二项式定理（a ＋b ）n ＝C 0n a n ＋C 1n a n －1b 1＋……＋C r n a n －r b r ＋……＋C nn b n （n ∈N ＋）2、二项展开式通项公式T r ＋1＝C r n a n －r b r 其中系数C r n （r ＝0，1，2，……，n ）叫做二项式系数。

排列组合二项式定理知识点以及典型例题总结排列组合二项式定理知识点

排列组合二项式定理知识点以及典型例题总结考纲要求:1.知道分类计数原理与分步计数原理的区别，会用两个原理分析和解决一些简单的问题2.知道排列和组合的区别和联系，记住排列数和组合数公式，能用它们解决一些简单的应3.知道一些组合数性质的应用.4.了解二项式定理及其展开式5.记住二项式展开式的通项公式，并能够运用它求展开式中指定的项6.了解二项式系数的性质，能够利用二项式展开式的通项公式求出展开式中二项式系数最大的项.7.了解二项式的展开式中二项式系数与项的系数的区别知识点一：计数原理1.分类加法计数原理如果完成一件事，有n类办法，在第1类办法中有m1种不同的方法，在第2类办法中有m2种不同的方法，…，在第n类办法中有m n种不同的方法，那么完成这件事共有N＝m1＋m2＋…＋m n种不同的方法．两个基本计数原理的区别：分类计数原理——每一类办法都能把事单独完成；分步计数原理——缺少任何一个步骤都无法把事完成．2.分步乘法计数原理如果完成一件事，需分成n个步骤，做第1步有m1种不同的方法，做第2步有m2种不同的方法，…，做第n步有m n种不同的方法，那么完成这件事共有N＝m1·m2·…·m n种不同的方法．知识点二：排列1.排列的定义：一般地，从n个不同的元素中，任取m(m≤n)个元素，按照一定顺序排成一列，叫作从n个不同元素中取出m 个元素的一个排列．如果m ＜n ，这样的排列叫作选排列．如果m ＝n ，这样的排列叫作全排列．2. 排列数的定义：从n 个不同元素中取出m (m ≤n )个元素的所有排列的个数，叫作从n 个不同元素中取出m 个元素的排列数，用符号P mn 表示．3. 排列数的公式： (1) P m n ＝n ·(n －1)·(n －2)·…·(n －m ＋1)；(2) P m n ＝()!!n n m -；规定：0！＝1.知识点三：组合1.组合的定义：一般地，从n 个不同元素中，任取m (m ≤n )个元素并成一组，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的一个组合．2.组合数的定义：从n 个不同元素中取出m (m ≤n )个元素的所有组合的个数，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的组合数，用符号C mn 表示．3. 组合数公式： (1)()()()121P C P !m mn n m n n n n n m m ---+==(2)()!C !!m n n m n m =-(n ，m ∈N ＋，且m ≤n ) 4. 组合数性质：(1) C =C m n m n n -；(2) 111C +C C mm m n n n +++=知识点四：二项式定理1. 二项式定理(a ＋b )n ＝011222C C C C C n n n m n m nn n n n n n a a b a b a b b ---++++++， n ∈N ＋其中C m n (m ＝0，1，2，…，n )叫做二项式系数；T m ＋1＝C m n m m n a b -叫做二项式展开式的通项公式．2. 二项式系数的性质：(1)每一行的两端都是1，其余每一个数都是它“肩上”两个数的和；(2)在二项展开式中，与首末两端“等距离”的两项的二项式系数相等，即C C r n r n n -=(3)如果二项式的幂指数n 是偶数，那么中间一项即第12n +项的系数最大；如果二项式的幂指数n 是奇数，那么中间两项即第12n +项和第32n +项的二项式系数相等且最大； (4)(a ＋b )n 的二项式系数之和为2n ，即012C C C ++C ++C m n n n n n n ++＝2n ； (5)(a ＋b )n 的二项展开式中，奇数项的二项式系数之和等于偶数项的二项式系数之和，都等12n -，024C C C +n n n ++135C +C C n n n =++12n -=.题型一分类加法计数原理例1 一个盒子里有4个不同的红球，3个不同的黄球和5个不同的蓝球．从盒子中任取一个球，有多少种不同的取法？分析：盒子中取出一个球就可以完成任务，所以考察分类加法计数原理.解答：从盒子中任取一个球，共有三类方案：第一类方案，从4个不同的红球中任取一球，有4种方法；第二类方案，从3个不同的黄球中任取一球，有3种方法；第三类方案，从5个不同的蓝球中任取一球，有5种方法．所以，选一个班担任升旗任务的方法共有：12+10+10=32（种）题型二分步乘法计数原理例2 一个盒子里有4个不同的红球，7个不同的黄球和5个不同的蓝球．从盒子中取红球、黄球和蓝球各一个，有多少种不同的取法？分析：盒子中各取出一个球需要分三步，所以考察分步乘法计数原理.解答：完成这件事需要分三步．第一步，从4个不同的红球中任取一球，有4种方法；第二步，从3个不同的黄球中任取一球，有3种方法；第三步，从5个不同的蓝球中任取一球，有5种方法．由分步乘法计数原理，从盒子中取红球、黄球和蓝球各一个共有⨯⨯435=60种不同的取法．例3 邮政大厅有4个邮筒，现将三封信逐一投入邮筒，共有多少种投法？分析：三封信逐一投入邮筒分成三个步骤，每个步骤投一封信，分别均有4种方法．解答：应用分步计数原理，投法共有44464⨯⨯=种．题型三分类分步混合运算例4 一个盒子里有4个不同的红球，7个不同的黄球和5个不同的蓝球．从盒子中任取2个颜色不同的球，有多少种不同的取法？分析分类计数原理与分步计数原理混合使用的问题，一般要“先分类，后分步”.解答：可按所选两球的颜色分为如下3类．第1类：红球、黄球各一个，有4×7＝28种选法；第2类：红球、蓝球各一个，有4×5＝20种选法；第3类：黄球、蓝球各一个，有7×5＝35种选法．根据分类计数原理，不同的选法种数为N ＝28＋20＋35＝83(种)．知识点二排列题型一排列数公式的运用例5 已知221P P n n +-＝10，则n 的值为( ). A ．4 B ．5 C ．6 D ．7解答：由221P P n n +-＝10，得(n ＋1)n －n (n －1)＝10，解得n ＝5.故选B .题型二排列的运用例6 小华准备从7本世界名著中任选3本，分别送给甲、乙、丙3位同学，每人1本，共有多少种选法？分析选出3本不同的书，分别送给甲乙丙3位同学，书的不同排序，结果是不同的.因此选法的种数是从7个不同元素中取出3个元素的排列数.解答：不同的送法的种数是 37P 765210=⨯⨯=．即共有210种不同送法．题型三某元素一定在某位置例7 4名男生和3名女生排成一排照相，分别按下列要求，求各有多少种不同的排法．（1）男生甲一定在中间位置；（2）男生甲不在中间位置.分析本题是有限制条件的排列问题，若有特殊元素优先考虑特殊元素，若有特殊位置，优先考虑特殊位置.（1）分两步完成：第一步，男生站在中间位置，有一种排法；第二步，排其他的元素，共有66P 种排法.所以，男生甲一定在中间位置共有661P 720⨯=种排法.（2）分两步完成：第一步，男生不在中间位置，有5种排法；第二步，排其他的元素，共有66P 种排法.所以，男生甲一定在中间位置共有665P 3600⨯=种排法. 题型四某几个元素相邻例8 4名男生和3名女生排成一排照相，同学甲、乙相邻有多少种排法？分析：解决“相邻”问题采用的是“捆绑法”解答：第一步，把甲、乙看成一个元素，与其他5人共6个元素进行全排列；第二步，甲、乙二人进行全排列．即6262P P ＝720×2＝1440(种)．题型五某几个元素不相邻例9 4名男生和3名女生排成一排照相，同学甲、乙不相邻有多少种排法？分析：解决“不相邻”问题采用的是“插空法”.解答：第一步，把甲、乙之外的5名同学进行全排列；第二步，在5名同学之间或两端共6个空中插入甲、乙两名同学．即5256P P ＝120×30＝3600(种)．例10 4名男生和3名女生排成一排照相，男女同学相间排列，有多少种排法？分析：“相间”是特殊的“不相邻”问题解答：第一步，男生全排列，有44P 种排法；第二步，女生全排列，有33P 种排法；第三步，相间插入有2中插入方法．即男女同学相间排列，有4343P P 2576⨯=种种排法．题型六数字的排列问题例11 用数字0，1，2，3，4组成没有重复数字的三位数，求：(1)组成的三位数的个数；(2)组成的三位数中偶数的个数；分析：对数字进行排列时，如果数字中含有0，应区别对待．因为0作为特殊元素，不能在首位出现．解答：(1)应采用特殊位置优先法．因为0不能为首位(百位)，所以首位的排法有14P 种，其他两位是从剩余的4个数字中选2个的一个排列，有24P 种，所以共有1244P P ＝48(种)．(2)由于0的存在，应分两类：第一类个位是0，有24P 个；第二类，个位不是0，先确定个位，从2，4中选一个，有12P 种，再确定首位，有13P 种，剩余的一位是从3个数中选1个，有13P 种．所以共有21114233P P P P +＝30(种)．知识点三组合题型一组合的应用例12 学校组织一项活动，要从5名男同学，3名女同学中选4名．共有多少种选法？分析: 从5名男同学，3名女同学中选4名, 选出的4名同学任务是一样的，因此选法的种数是从8个不同元素中取出4个元素的组合数. 解答：不同的选法种数是488765C 704321⨯⨯⨯==⨯⨯⨯种. 题型二一定包含或一定不包含某元素例13 学校组织一项活动，要从5名男同学，3名女同学中选4名．（1）若甲同学必须去，有多少种选法？（2）若甲同学一定不去，有多少种选法？分析：若甲同学必须去，再从其他7人中选3人即可．解答：（1）共有37765C 321⨯⨯=⨯⨯＝35种选法．分析：若甲同学一定不去，从其他7人中选4人即可．解答：（2）共有47C 35=种选法．题型三至多、至少问题例14 学校组织一项活动，要从5名男同学，3名女同学中选4名．若男生甲、女生乙至少有一个被选中，有多少种选法？分析：至多、至少问题从正面解，一般情况先分类，再求解.当从正面求解困难时，可从对立面求解.解答：方法一男生甲、女生乙至少有一个被选中，分成两类：第一类男生甲、女生乙只有一个人被选中，有1326C C 260120=⨯=种选法；第二类男生甲、女生乙都被选中，有2226C C 21530=⨯=种选法.所以，男生甲、女生乙至少有一个被选中，共有120+30=150种不同的选法.题型四组合数性质的的相关计算例15 若44511C C C n n n --=+，求n .分析：考察组合数的性质111C +C C m m m n nn +++=；C =C m n m n n-. 解答：45511C +C =C ,n n n --∴45C =C ,n n∴n ＝4＋5＝9.题型四排列、组合混合应用例16 从6名男生和5名女生中选出3名男生和2名女生排成一行，有多少种不同排法? 分析:可以首先将男生选出，再将女生选出，然后对选出的5名学生排序．解不同排法的总数为32565565454C C P 543212400032121⨯⨯⨯⋅⋅=⨯⨯⨯⨯⨯⨯=⨯⨯⨯（种）．知识点四二项式定理题型一求二项式展开式的指定项例17 求二项式103x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中第4项. 分析：.二项式103x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式第4项，则n 的值为10，m 的值为3，可直接用二项式的通项T m ＋1＝C m n m m n a b -求解.解答：T 4＝T 3＋1＝337103C x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭＝－3240x 4， ∴第4项是－3240x 4.. 例18 求二项式103x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中含x 6的项. 分析：二项式103x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中含x 6的项，则n 的值为10，m 的值未知.此类问题应先写出二项式的通项，结合条件“含x 6的项”确定出m 的值.从而求出含x 6的项.解答: ∵T m ＋1＝()1010210103C 3C m m m mm m x x x --⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，令10－2m ＝6，得m ＝2.∴含x 6的项为T 3＝T 2＋1＝(－3)2210C x 6＝405x 6. 例19 在二项式103x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式，求： (1)常数项；(2)二项式系数最大的项．分析：（1）求常数项，因为不知道m 的值，要根据“常数项”之一条件确定m 的值.所以，与例18过程相似；（2）可计算出第10162+=项为二项式系数最大的项，其实就是求第6项，所以与例17过程相似.解答：（1）∵T m ＋1＝()1010210103C 3C m m m mm m x x x --⎛⎫-=- ⎪⎝⎭， 10－2m ＝0，即m ＝5.∴展开式的第6项是常数项，即T 6＝T 5＋1＝5555510103C =(3)C x x ⎛⎫-- ⎪⎝⎭＝－61236. （2）∵n ＝10，∴展开式有11项，中间一项的二项式系数最大，中间一项为第6项． ∴T 6＝T 5＋1＝5555510103C =(3)C x x ⎛⎫-- ⎪⎝⎭＝－61236. 题型二求二项式展开式的某一项系数与某一项的二项式系数.例20 求92)x -（的二项展开式中6x 的系数和该项的二项式系数．分析：二项展开式中某项的的系数与这一项二项式系数是两个不同的概念. 某项的系数是除字母外的所有数乘积的结果，某项的二项式系数是该项的组合数，和其他无关. 解答： 92)x -（的展开式的通项公式为99199C (2)C (1)2m m m m m m m m T x x --+=-=-⋅⋅ 由9－m =6,得m ＝3．即二项展开式中含6x 的项为第4项．故这一项的系数是3339987C (1)2(8)672321⨯⨯⨯-⨯=⨯-=-⨯⨯．该项的二项式系数为39987C 84321⨯⨯==⨯⨯. 题型三二项式各项系数和与二项式系数和例21 在(1－x )5的二项展开式中，各项系数和为____________；所有项的二项式系数之和为____________.分析：在二项式中令式子中的字母为1，可得各项系数和；所有项的二项式系数之和为2n ，即012C C C ++C ++C m n n n n n n ++＝2n ，故所有项的二项式系数之和只和n 有关.解答：在(1－x )5中，令x =1，可得各项系数和为0.(1－x )5的二项式系数之和为25=32.。

考点31 排列与组合、二项式定理(理)【学生版】

排列与组合、二项式定理【考点分类】1.【2013年普通高等学校招生全国统一考试（山东卷）理】用0,1,2,...9十个数字，能够组成有重复数字的三位数的个数为（） A.243B.252C.261D.2792.【2013年普通高等学校招生全国统一考试福建卷理】满足{}2,1,0,1,-∈b a ，且关于x 的方程022=++b x ax 有实数解的有序数对的个数为（） A. 14 B. 13 C. 12 D. 103.【2013年普通高等学校招生全国统一考试（四川卷）理科】从1,3,5,7,9这五个数中，每次取出两个不同的数分别记为,a b ，共可得到lg lg a b -的不同值的个数是（）（A ）9 （B ）10 （C ）18 （D ）20 4.(2012年高考新课标全国卷理科2)将2名教师，4名学生分成2个小组，分别安排到甲、乙两地参加社会实践活动，每个小组由1名教师和2名学生组成，不同的安排方案共有（）()A 12种 ()B 10种 ()C 9种 ()D 8种5. (2012年高考北京卷理科6)从0，2中选一个数字.从1.3.5中选两个数字,组成无重复数字的三位数.其中奇数的个数为( )A. 24B. 18C. 12D. 66．(2012年高考浙江卷理科6)若从1，2，2，…，9这9个整数中同时取4个不同的数，其和为偶数，则不同的取法共有（）A ．60种B ．63种C ．65种D ．66种7.(2012年高考山东卷理科11)现有16张不同的卡片，其中红色、黄色、蓝色、绿色卡片各4张，从中任取3张，要求这些卡片不能是同一种颜色，且红色卡片至多1张，不同取法的种数为（）（A ）232 (B)252 (C)472 (D)4848. (2012年高考辽宁卷理科5)一排9个座位坐了3个三口之家，若每家人坐在一起，则不同的坐法种数为（） (A)3×3！ (B) 3×(3！)3 (C)(3！)4 (D) 9！9.(2012年高考安徽卷理科10)6位同学在毕业聚会活动中实行纪念品的交换，任意两位同学之间最多交换一次，实行交换的两位同学互赠一份纪念品，已知6位同学之间共实行了13次交换，则收到4份纪念品的同学人数为（）()A 1或3 ()B 1或4 ()C 2或3 ()D 2或410. (2012年高考陕西卷理科8)两人实行乒乓球比赛，先赢3局者获胜，决出胜负为止，则所有可能出现的情形（各人输赢局次的不同视为不同情形）共有（）（A ） 10种（B ）15种（C ） 20种（D ） 30种11.(2012年高考全国卷理科11)将字母a,a,b,b,c,c,排成三行两列，要求每行的字母互不相同，每列的字母也互不相同，则不同的排列方法共有（）（A ）12种（B ）18种（C ）24种（D ）36种12. (2012年高考四川卷理科11)方程22ay b x c =+中的,,{3,2,0,1,2,3}a b c ∈--，且,,a b c 互不相同，在所有这些方程所表示的曲线中，不同的抛物线共有（）A 、60条B 、62条C 、71条D 、80条13.【2013年普通高等学校招生全国统一考试（北京卷）理】将序号分别为1，2，3，4，5的5张参观券全部分给4人，每人至少一张，如果分给同一人的两张参观券连号，那么不同的分法种数是 .14.【2013年普通高等学校招生全国统一考试数学浙江理】将F E D C B A ,,,,,六个字母排成一排，且B A ,均在C 的同侧，则不同的排法共有________种（用数字作答）.15.【2013年普通高等学校统一考试试题大纲全国理科】6个人排成一行，其中甲、乙两人不相邻的不同排法共有种.（用数字作答）【方法总结】解排列组合的应用题要注意以下几点(1)仔细审题，判断是排列问题还是组合问题；要按元素的性质分类，按事件发生的过程实行分步． (2)深入分析，严密周详，注意分清是乘还是加，要防止重复和遗漏，辨证思维，多角度分析，全面考虑．(3)对限制条件较复杂的排列组合应用题，要周密分析，设计出合理的方案，把复杂问题分解成若干简单的基本问题后用两个计数原理来解决．(4)因为排列组合问题的答案一般数目较大，不易直接验证，所以在检查结果时，应着重检查所设计的解决方案是否完备，有无重复和遗漏，也可采用多种不同的方法求解，看看结果是否相同．在对排列组合问题分类时，分类标准应统一，否则易出现遗漏或重复．热点二二项式定理16.【2013年普通高等学校招生全国统一考试（辽宁卷）理科】使得()3nx n N n +⎛+∈ ⎝的展开式中含有常数项的最小的为( )A ．4B ．5C ．6D ．717.【2013年全国高考新课标（I ）理科】设m 为正整数，(x ＋y )2m 展开式的二项式系数的最大值为a ， (x ＋y )2m ＋1展开式的二项式系数的最大值为b ，若13a =7b ，则m ＝ ( ) A 、5B 、6C 、7D 、818.【2013年普通高等学校招生全国统一考试（陕西卷）理】设函数41,00.,()x x f x x x ⎧⎛⎫-<⎪ ⎪=⎝≥⎭⎨⎪⎩ , 则当x>0时, [()]f f x 表达式的展开式中常数项为（）(A) －20(B) 20(C) －15(D) 1519.【2013年普通高等学校统一考试试题大纲全国理科】84(1)(1)x y ++的展开式中22x y 的系数是（） A ．56 B ．84 C ．112 D ．16820.【2013年普通高等学校统一考试试题新课标Ⅱ数学（理）卷】已知5(1)(1)ax x ++的展开式中2x 的系数为5，则a =（）（A ）-4（B ）-3（C ）-2（D ）-121.【2013年普通高等学校招生全国统一考试(江西卷)理】2531()x x-展开式中的常数项为（） A ．80B.-80C.40D.-4022.(2012年高考安徽卷理科7)2521(2)(1)x x+-的展开式的常数项是（） ()A 3- ()B 2- ()C 2 ()D 323. (2012年高考湖北卷理科5)设a ∈Z ，且0≤a ≤13，若512012+a 能被13整除，则a=( ) A.0 B.1 C.11 D.1224.【2013年普通高等学校招生全国统一考试（上海卷）理】设常数a R ∈，若52a x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的二项展开式中7x 项的系数为10-，则______a =.25.【2013年普通高等学校招生全国统一考试数学浙江理】设二项式53)1(xx -的展开式中常数项为A ，则=A ________.26.【2013年普通高等学校招生全国统一考试（四川卷）理科】二项式5()x y +的展开式中，含23x y 的项的系数是____________.（用数字作答）27. (2012年高考福建卷理科11)4)(x a +的展开式中3x 的系数等于8，则实数=a _________.28. (2012年高考湖南卷理科13) ()6的二项展开式中的常数项为 .（用数字作答） 29.(2012年高考全国卷理科15)若1()nx x +的展开式中第3项与第7项的二项式系数相等，则该展开式中21x 的系数为 .【方法总结】1．二项式的项数与项(1)二项式的展开式共有n ＋1项，C k n a n －k b k 是第k ＋1项．即k ＋1是项数，C k n an －k b k是项．(2)通项是T k ＋1＝C k n an －k b k(k ＝0,1,2，…，n )．其中含有T k ＋1，a ，b ，n ，k 五个元素，只要知道其中四个即可求第五个元素．2．二项式系数的最大值，最小值要根据n 的奇偶性确定同时注意二项式系数最大时该项的系数不一定最大，还要取决于a 、b 的系数．【考点模拟】一．扎实基础1.【山东省济南市2013届高三高考第一次模拟考试】二项式83()2x x-的展开式中常数项是（）A ．28B ．-7C ．7D ．-282. 【北京市顺义区2013届高三第一次统练】从0,1中选一个数字,从2,4,6中选两个数字,组成无重复数字的三位数,其中偶数的个数为（） A.36B.30C.24D.123.【东北三省三校2013届高三3月第一次联合模拟考试】若3()2n x x-的展开式中第四项为常数项，则n =（）A ．4B ．5C ．6D ．74.【江西省南昌市2013届二模考试】将5名学生分到A,B,C 三个宿舍，每个宿舍至少1人至多2人，其中学生甲不到A 宿舍的不同分法有（）A.18种B.36种C.48种D.60种5.【安徽省江淮名校2013届高考最后一卷理科数学】在6(1)(2)x x --的展开式中，3x 的系数是（）A ．-25B ．45C ．-55D ．256. 【广西百所高中2013届高三年级第三届联考】从5位男生，4位女生中选派4位代表参加一项活动，其中至少有两位男生，且至少有1位女生的选法共有（）A ．80种B ．100种C ．120种D ．240种7. 【北京市顺义区2013届高三第一次统练】从0,1中选一个数字,从2,4,6中选两个数字,组成无重复数字的三位数,其中偶数的个数为( ) A.36B.30C.24D.128. 【石室中学高2013级“一诊模拟”】反复抛掷一枚质地均匀的骰子，每一次抛掷后都记录下朝上一面的点数，当记录有三个不同点数时即停止抛掷，则抛掷五次后恰好停止抛掷的不同记录结果总数是（）（A ）360种（B ）840种（C ）600种（D ）1680种9. 【2013年东北三省四市教研协作体等值诊断联合考试长春三模】用1,2,3,4这四个数字组成无重复数字的四位数，其中恰有一个偶数字夹在两个奇数字之间的四位数的个数为_____________.10.【浙江省宁波市2013年高考模拟押题试卷】251(2)(1)x x+-的展开式的常数项是．二．水平拔高11. 【山东省滨州市2013届高三第一次模拟】2013年第12届全国运动会将在沈阳举行，某校4名大学生申请当A ，B ，C 三个比赛项目的志愿者，组委会接受了他们的申请，每个比赛项目至少分配一人，每人只能服务一个比赛项目，若甲要求不去服务A 比赛项目，则不同的安排方案共有（）（A ）20种（B ）24种（C ）30种（D ）36种12.【2013届贵州天柱民中、锦屏中学、黎平一中、黄平民中四校联考】将甲、乙、丙、丁四名学生分到三个不同的班，每个班至少分到一名学生，且甲、乙两名学生不能分到同一个班，则不同的分法的种数为（） A.24种 B.30种 C.36种 D. 81种13.【2013河北省名校名师俱乐部高三3月模拟考试】若223*11()n n n C C C n N --=+∈，则3()2n x x-的常数项为（）A ．6-B ．12C ．52 D ．52- 14.【东北三省三校2013届高三3月第一次联合模拟考试】将4名实习教师分配到高一年级的3个班实习，若每班至少名教师，则不同的分配方案的种数为（）A ．12B ．36C ．72D ．10815.【2013年天津市滨海新区五所重点学校高三毕业班联考】若51()ax x-(0)a >展开式中3x 的系数为581-，则a 的值为（） A.13 B. 19 C. 127D. 1 16.【2013年乌鲁木齐地区高三年级第三次诊断性测验试卷】现有2门不同的考试要安排在连续的5天之内实行，每天最多考一门，且不能连续两天有考试,则不同的安排方案有( ) A.6种 B.8种C.12种D.16种行染色，每个区域只染一种颜色，且相邻的区域不同色．若有4种颜色可供选择，则共有种不同的染色方案．20. 【江西省临川二中2013届高三12月月考】已知121(11)a x dx -=+-⎰，则61()2a x x π⎡⎤--⎢⎥⎣⎦展开式中的常数项为。