单调性与最大(小)值(第一课时)1

合集下载

第一章 1.3.1 第1课时单调性与最大(小)值

1.3.1单调性与最大(小)值第1课时函数的单调性学习目标 1.理解函数单调区间、单调性等概念.2.会划分函数的单调区间，判断单调性.3.会用定义证明函数的单调性.知识点一函数的单调性思考画出函数f(x)＝x、f(x)＝x2的图象，并指出f(x)＝x、f(x)＝x2的图象的升降情况如何？答案两函数的图象如下：函数f(x)＝x的图象由左到右是上升的；函数f(x)＝x2的图象在y轴左侧是下降的，在y轴右侧是上升的.梳理一般地，单调性是相对于区间来说的，函数图象在某区间上上升，则函数在该区间上为增函数，该区间称为增区间.反之则为减函数，相应区间称为减区间.因为很多时候我们不知道函数图象是什么样的，而且用上升下降来刻画单调性很粗糙.所以有以下定义：设函数f(x)的定义域为I：(1)如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值x1，x2，当x1<x2时，都有f(x1)<f(x2)，那么就说函数f(x)在区间D上是增函数.(2)如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值x1，x2，当x1<x2时，都有f(x1)>f(x2)，那么就说函数f (x )在区间D 上是减函数. 知识点二函数的单调区间思考我们已经知道f (x )＝x 2的减区间为(－∞，0]，f (x )＝1x 的减区间为(－∞，0)，这两个减区间能不能交换？答案 f (x )＝x 2的减区间可以写成(－∞，0)，而f (x )＝1x 的减区间(－∞，0)不能写成(－∞，0]，因为0不属于f (x )＝1x 的定义域.梳理一般地，有下列常识：(1)函数单调性关注的是整个区间上的性质，单独一点不存在单调性问题，所以单调区间的端点若属于定义域，则该点处区间可开可闭，若区间端点不属于定义域则只能开. (2)单调区间D ⊆定义域I .(3)遵循最简原则，单调区间应尽可能大.类型一求单调区间并判断单调性例1 如图是定义在区间[－5,5]上的函数y ＝f (x )，根据图象说出函数的单调区间，以及在每一单调区间上，它是增函数还是减函数？解 y ＝f (x )的单调区间有[－5，－2]，[－2,1]，[1,3]，[3,5]，其中y ＝f (x )在区间[－5，－2]，[1,3]上是减函数，在区间[－2,1]，[3,5]上是增函数.反思与感悟函数的单调性是在定义域内的某个区间上的性质，单调区间是定义域的子集；当函数出现两个以上单调区间时，单调区间之间可用“，”分开，不能用“∪”，可以用“和”来表示；在单调区间D 上函数要么是增函数，要么是减函数，不能二者兼有. 跟踪训练1 写出函数y ＝|x 2－2x －3|的单调区间，并指出单调性.解先画出f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－2x －3，x <－1或x >3，－(x 2－2x －3)，－1≤x ≤3的图象，如图.所以y ＝|x 2－2x －3|的单调区间有(－∞，－1]，[－1,1]，[1,3]，[3，＋∞)，其中单调减区间是(－∞，－1]，[1,3]；单调增区间是[－1,1]，[3，＋∞). 类型二证明单调性命题角度1 证明具体函数的单调性例2 证明f (x )＝x 在其定义域上是增函数. 证明 f (x )＝x 的定义域为[0，＋∞).设x 1，x 2是定义域[0，＋∞)上的任意两个实数，且x 1<x 2，则f (x 1)－f (x 2)＝x 1－x 2＝(x 1－x 2)(x 1＋x 2)x 1＋x 2＝x 1－x 2x 1＋x 2.∵0≤x 1<x 2，∴x 1－x 2<0，x 1＋x 2>0， ∴f (x 1)－f (x 2)<0，即f (x 1)<f (x 2)，∴f (x )＝x 在它的定义域[0，＋∞)上是增函数.反思与感悟运用定义判断或证明函数的单调性时，应在函数的定义域内给定的区间上任意取x 1，x 2且x 1<x 2的条件下，转化为确定f (x 1)与f (x 2)的大小，要牢记五大步骤：取值→作差→变形→定号→小结.跟踪训练2 求证：函数f (x )＝x ＋1x在[1，＋∞)上是增函数.证明设x 1，x 2是实数集R 上的任意实数，且1≤x 1<x 2，则f (x 1)－f (x 2)＝x 1＋1x 1－(x 2＋1x 2)＝(x 1－x 2)＋(1x 1－1x 2)＝(x 1－x 2)＋x 2－x 1x 1x 2＝(x 1－x 2)(1－1x 1x 2)＝(x 1－x 2)(x 1x 2－1x 1x 2).∵1≤x 1<x 2，∴x 1－x 2<0,1<x 1x 2， ∴x 1x 2－1x 1x 2>0，故(x 1－x 2)(x 1x 2－1x 1x 2)<0，即f (x 1)－f (x 2)<0，即f (x 1)<f (x 2).∴f (x )＝x ＋1x 在区间[1，＋∞)上是增函数.命题角度2 证明抽象函数的单调性例3 已知函数f (x )对任意的实数x 、y 都有f (x ＋y )＝f (x )＋f (y )－1，且当x >0时，f (x )>1.求证：函数f (x )在R 上是增函数.证明方法一设x 1，x 2是实数集上的任意两个实数，且x 1>x 2.令x ＋y ＝x 1，y ＝x 2，则x ＝x 1－x 2>0.f (x 1)－f (x 2)＝f (x ＋y )－f (y )＝f (x )＋f (y )－1－f (y )＝f (x )－1.∵x >0，∴f (x )>1，f (x )－1>0， ∴f (x 1)－f (x 2)>0，即f (x 1)>f (x 2). ∴函数f (x )在R 上是增函数. 方法二设x 1>x 2，则x 1－x 2>0，从而f (x 1－x 2)>1，即f (x 1－x 2)－1>0.f (x 1)＝f [x 2＋(x 1－x 2)]＝f (x 2)＋f (x 1－x 2)－1>f (x 2)，故f (x )在R 上是增函数.反思与感悟因为抽象函数不知道解析式，所以不能代入求f (x 1)－f (x 2)，但可以借助题目提供的函数性质来确定f (x 1)－f (x 2)的大小，这时就需要根据解题需要对抽象函数进行赋值. 跟踪训练3 已知函数f (x )的定义域是R ，对于任意实数m ，n ，恒有f (m ＋n )＝f (m )·f (n )，且当x >0时，0<f (x )<1.求证：f (x )在R 上是减函数.证明 ∵对于任意实数m ，n ，恒有f (m ＋n )＝f (m )·f (n )，令m ＝1，n ＝0，可得f (1)＝f (1)·f (0)， ∵当x ＞0时，0＜f (x )＜1，∴f (1)≠0，∴f (0)＝1.令m ＝x ＜0，n ＝－x ＞0，则f (m ＋n )＝f (0)＝f (－x )·f (x )＝1，∴f (x )f (－x )＝1，又∵－x ＞0时，0＜f (－x )＜1， ∴f (x )＝1f (－x )＞1.∴对任意实数x ，f (x )恒大于0.设任意x 1<x 2，则x 2－x 1>0， ∴0<f (x 2－x 1)<1，∴f (x 2)－f (x 1)＝f [(x 2－x 1)＋x 1]－f (x 1)＝f (x 2－x 1)f (x 1)－f (x 1)＝f (x 1)[f (x 2－x 1)－1]<0， ∴f (x )在R 上是减函数. 类型三单调性的应用命题角度1 利用单调性求参数范围例4 若函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧(3a －1)x ＋4a ，x <1，－ax ，x ≥1是定义在R 上的减函数，则a 的取值范围为( )A.[18，13) B.(0，13)C.[18，＋∞) D.(－∞，18]∪[13，＋∞)答案 A解析要使f (x )在R 上是减函数，需满足： ⎩⎪⎨⎪⎧3a －1<0，－a <0，(3a －1)·1＋4a ≥－a ·1.解得18≤a ＜13.反思与感悟分段函数在定义域上单调，除了要保证各段上单调外，还要接口处不能反超.另外，函数在单调区间上的图象不一定是连续不断的.跟踪训练4 已知函数f (x )＝x 2－2ax －3在区间[1,2]上单调，则实数a 的取值范围为________________. 答案 a ≤1或a ≥2解析由于二次函数开口向上，故其增区间为[a ，＋∞)，减区间为(－∞，a ]，而f (x )在区间[1,2]上单调，所以[1,2]⊆[a ，＋∞)或[1,2]⊆(－∞，a ]，即a ≤1或a ≥2. 命题角度2 用单调性解不等式例5 已知y ＝f (x )在定义域(－1,1)上是减函数，且f (1－a )<f (2a －1)，求a 的取值范围.解 f (1－a )<f (2a －1)等价于 ⎩⎪⎨⎪⎧－1<1－a <1，－1<2a －1<1，1－a >2a －1，解得0<a <23，即所求a 的取值范围是0<a <23.反思与感悟若已知函数f (x )的单调性，则由x 1，x 2的大小，可得f (x 1)，f (x 2)的大小；由f (x 1)，f (x 2)的大小，可得x 1，x 2的大小.跟踪训练5 在例5中若函数y ＝f (x )的定义域为R ，且为增函数，f (1－a )<f (2a －1)，则a 的取值范围又是什么？解 ∵y ＝f (x )的定义域为R ，且为增函数， f (1－a )<f (2a －1)，∴1－a <2a －1，即a >23，∴所求a 的取值范围是(23，＋∞).1.函数y ＝f (x )在区间[－2,2]上的图象如图所示，则此函数的增区间是( )A.[－2,0]B.[0,1]C.[－2,1]D.[－1,1]答案 C2.函数y ＝6x 的减区间是( )A.[0，＋∞)B.(－∞，0]C.(－∞，0)，(0，＋∞)D.(－∞，0)∪(0，＋∞) 答案 C3.在下列函数f (x )中，满足对任意x 1，x 2∈(0，＋∞)，当x 1<x 2时，都有f (x 1)>f (x 2)的是( ) A.f (x )＝x 2 B.f (x )＝1xC.f (x )＝|x |D.f (x )＝2x ＋1答案 B4.已知函数y ＝f (x )满足：f (－2)>f (－1)，f (－1)<f (0)，则下列结论正确的是( ) A.函数y ＝f (x )在区间[－2，－1]上单调递减，在区间[－1,0]上单调递增 B.函数y ＝f (x )在区间[－2，－1]上单调递增，在区间[－1,0]上单调递减 C.函数y ＝f (x )在区间[－2,0]上的最小值是f (－1) D.以上的三个结论都不正确答案 D5.若函数f (x )在R 上是减函数，且f (|x |)>f (1)，则x 的取值范围是( ) A.x <1 B.x >－1 C.－1<x <1 D.x <－1或x >1答案 C1.若f (x )的定义域为D ，A ⊆D ，B ⊆D ，f (x )在A 和B 上都单调递减，未必有f (x )在A ∪B 上单调递减.2.对增函数的判断，对任意x 1<x 2，都有f (x 1)<f (x 2)，也可以用一个不等式来替代： (x 1－x 2)[f (x 1)－f (x 2)]>0或f (x 1)－f (x 2)x 1－x 2>0.对减函数的判断，对任意x 1<x 2，都有f (x 1)>f (x 2)，相应地也可用一个不等式来替代：(x 1－x 2)[f (x 1)－f (x 2)]<0或f (x 1)－f (x 2)x 1－x 2<0.3.熟悉常见的一些函数的单调性，包括一次函数，二次函数，反比例函数等.4.若f (x )，g (x )都是增函数，h (x )是减函数，则：①在定义域的交集(非空)上，f (x )＋g (x )单调递增，f (x )－h (x )单调递增，②－f (x )单调递减，③1f (x )单调递减(f (x )≠0).5.对于函数值恒正(或恒负)的函数f (x )，证明单调性时，也可以作商f (x 1)f (x 2)与1比较.课时作业一、选择题1.函数y ＝1x －1的单调减区间是( )A.(－∞，1)，(1，＋∞)B.(－∞，1)∪(1，＋∞)C.{x ∈R |x ≠1}D.R答案 A解析单调区间不能写成单调集合，也不能超出定义域，故C ，D 不对，B 表达不当.故选A.2.如果函数f (x )在[a ，b ]上是增函数，那么对于任意的x 1，x 2∈[a ，b ](x 1≠x 2)，下列结论中不正确的是( ) A.f (x 1)－f (x 2)x 1－x 2>0B.(x 1－x 2)[f (x 1)－f (x 2)]>0C.若x 1<x 2，则f (a )<f (x 1)<f (x 2)<f (b )D.x 1－x 2f (x 1)－f (x 2)>0 答案 C解析因为f (x )在[a ，b ]上是增函数，对于任意的x 1，x 2∈[a ，b ](x 1≠x 2)，x 1－x 2与f (x 1)－f (x 2)的符号相同，故A ，B ，D 都正确，而C 中应为若x 1<x 2，则f (a )≤f (x 1)<f (x 2)≤f (b ). 3.已知函数f (x )是R 上的增函数，A (0，－1)，B (3,1)是其图象上的两点，那么－1<f (x )<1的解集是( ) A.(－3,0) B.(0,3)C.(－∞，－1]∪[3，＋∞)D.(－∞，0]∪[1，＋∞) 答案 B解析由已知f (0)＝－1，f (3)＝1， ∴－1<f (x )<1，即f (0)<f (x )<f (3)， ∵f (x )在R 上单调递增，∴0<x <3， ∴－1<f (x )<1的解集为(0,3).4.已知函数f (x )在R 上是增函数，则下列说法正确的是( ) A.y ＝－f (x )在R 上是减函数 B.y ＝1f (x )在R 上是减函数 C.y ＝[f (x )]2在R 上是增函数 D.y ＝af (x )(a 为实数)在R 上是增函数答案 A解析设x 1<x 2，因为函数f (x )在R 上是增函数，故必有f (x 1)<f (x 2).所以－f (x 1)>－f (x 2)，A 选项一定成立.其余三项不一定成立，如当f (x )＝x 时，B 、C 不成立，当a <0时，D 不成立. 5.已知函数f (x )在(－∞，＋∞)上是增函数，若a ，b ∈R 且a ＋b >0，则有( ) A.f (a )＋f (b )>－f (a )－f (b ) B.f (a )＋f (b )<－f (a )－f (b ) C.f (a )＋f (b )>f (－a )＋f (－b ) D.f (a )＋f (b )<f (－a )＋f (－b ) 答案 C解析 ∵a ＋b >0，∴a >－b ，b >－a ， ∵f (x )在R 上是增函数， ∴f (a )>f (－b )，f (b )>f (－a )， ∴f (a )＋f (b )>f (－a )＋f (－b ).6.已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋4x ，x ≥0，4x －x 2，x <0，若f (4－a )>f (a )，则实数a 的取值范围是( ) A.(－∞，2) B.(2，＋∞) C.(－∞，－2) D.(－2，＋∞)答案 A解析画出f (x )的图象(图略)可判断f (x )在R 上递增，故f (4－a )>f (a )⇔4－a >a ，解得a <2. 二、填空题7.已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x ＋3a ，x ≥0，x 2－ax ＋1，x <0是(－∞，＋∞)上的减函数，则实数a 的取值范围是________. 答案 [0，13]解析当x <0时，函数f (x )＝x 2－ax ＋1是减函数，解得a ≥0，当x ≥0时，函数f (x )＝－x ＋3a 是减函数，分段点0处的值应满足1≥3a ，解得a ≤13，∴0≤a ≤13.8.已知f (x )是定义在区间[－1,1]上的增函数，且f (x －2)<f (1－x )，则x 的取值范围是________. 答案 [1，32)解析由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧－1≤x －2≤1，－1≤1－x ≤1，x －2<1－x ，解得1≤x <32，故满足条件的x 的取值范围是1≤x <32.9.函数f (x ＋1)＝x 2－2x ＋1的定义域是[－2,0]，则f (x )的单调减区间是________. 答案 [－1,1]解析 f (x ＋1)＝x 2－2x ＋1＝(x －1)2＝(x ＋1－2)2， ∴f (x )＝(x －2)2，x ∈[－1,1]， ∴f (x )在定义域[－1,1]上单调递减.10.已知一次函数y ＝(k ＋1)x ＋k 在R 上是增函数，且其图象与x 轴的正半轴相交，则k 的取值范围是________. 答案 (－1,0)解析依题意⎩⎪⎨⎪⎧k ＋1>0，－kk ＋1>0，解得－1<k <0.三、解答题11.求函数y ＝－x 2＋2|x |＋3的单调增区间.解 ∵y ＝－x 2＋2|x |＋3＝⎩⎪⎨⎪⎧－x 2＋2x ＋3，x ≥0，－x 2－2x ＋3，x <0.函数图象如图所示：∴函数y ＝－x 2＋2|x |＋3的单调增区间是(－∞，－1]和[0,1].12.已知函数f (x )在(0，＋∞)上为增函数，且f (x )<0(x >0)，试判断F (x )＝1f (x )在(0，＋∞)上的单调性并给出证明过程. 解 F (x )在(0，＋∞)上为减函数.证明：任取x 1，x 2∈(0，＋∞)，且x 1<x 2，∴F (x 2)－F (x 1)＝1f (x 2)－1f (x 1)＝f (x 1)－f (x 2)f (x 2)f (x 1). ∵y ＝f (x )在(0，＋∞)上为增函数，且x 1<x 2，∴f (x 1)<f (x 2)，∴f (x 1)－f (x 2)<0.而f (x 1)<0，f (x 2)<0，∴f (x 1)f (x 2)>0.∴F (x 2)－F (x 1)<0，即F (x 1)>F (x 2).∴F (x )在(0，＋∞)上为减函数.13.已知f (x )＝x x －a(x ≠a ). (1)若a ＝－2，试证明f (x )在(－∞，－2)内单调递增；(2)若a >0且f (x )在(1，＋∞)内单调递减，求a 的取值范围.(1)证明任设x 1<x 2<－2，则f (x 1)－f (x 2)＝x 1x 1＋2－x 2x 2＋2＝2(x 1－x 2)(x 1＋2)(x 2＋2). ∵(x 1＋2)(x 2＋2)>0，x 1－x 2<0，∴f (x 1)<f (x 2)，∴f (x )在(－∞，－2)内单调递增.(2)解任设1<x 1<x 2，则f (x 1)－f (x 2)＝x 1x 1－a －x 2x 2－a ＝a (x 2－x 1)(x 1－a )(x 2－a ). ∵a >0，x 2－x 1>0，∴要使f (x 1)－f (x 2)>0，只需(x 1－a )(x 2－a )>0恒成立，∴a ≤1.综上所述0<a ≤1.四、探究与拓展14.若f (x )＝－x 2＋2ax 与g (x )＝a x ＋1在区间[1,2]上都是减函数，则a 的取值范围是____________.答案 (0,1]解析由f (x )＝－x 2＋2ax 在[1,2]上是减函数可得a ≤1，由g (x )＝a x ＋1在[1,2]上是减函数可得a >0.∴0<a ≤1.15.设函数f (x )的定义域是(0，＋∞)，且对任意正实数x ，y 都有f (xy )＝f (x )＋f (y )恒成立，已知f (2)＝1，且x >1时，f (x )>0.(1)求f (12)的值； (2)判断y ＝f (x )在(0，＋∞)上的单调性并给出证明；(3)解不等式f (2x )>f (8x －6)－1.解 (1)对于任意x ，y ∈R 都有f (xy )＝f (x )＋f (y )，∴当x ＝y ＝1时，有f (1)＝f (1)＋f (1)，∴f (1)＝0.当x ＝2，y ＝12时，有f (2×12)＝f (2)＋f (12)，即f (2)＋f (12)＝0，又f (2)＝1，∴f (12)＝－1. (2)y ＝f (x )在(0，＋∞)上为单调增函数，证明如下：设0<x 1<x 2，则f (x 1)＋f (x 2x 1)＝f (x 2)，即f (x 2)－f (x 1)＝f (x 2x 1). 因为x 2x 1>1，故f (x 2x 1)>0，即f (x 2)>f (x 1)，故f (x )在(0，＋∞)上为单调增函数.(3)由(1)知，f (12)＝－1， ∴f (8x －6)－1＝f (8x －6)＋f (12) ＝f (12(8x －6))＝f (4x －3)， ∴f (2x )>f (4x －3)，∵f (x )在定义域(0，＋∞)上为增函数，∴⎩⎪⎨⎪⎧2x >4x －3，4x －3>0.解得解集为{x |34<x <32}.。

3.2.1函数的单调性与最大小值(第一课时)课件(人教版)

函数有着不同的对应关系 ,那么我们称这样的函数为分段函数
.
f1(x),x A1,
如y=f(x)= …f2(…x),,x A2, 是分段函数.
fn (x),x An
注意:分段函数表示的是一个函数.
3.2.1 单调性和最大（小）值情境导入
思考视察下列各个函数的图象，并探讨下列变化规律： ①随x的增大，y的值有什么变化？ ②能否看出函数的最大、最小值？ ③ 函数图象是否具有某种对称性？
3.2.1 单调性和最大（小）值随堂练习
4、函数y=|x+2|在区间[-3,0]上( ) A.递减 B.递增 C.先递减后递增 D.先递增后递减
解：根据题意画出函数图像，易知选择C
3.2.1 单调性和最大（小）值随堂练习
5、.已知函数y=f(x)在区间[-5,5]上是增函数,那么下列不等式中成立的是( D ) A.f(4)>f(-π)>f(3) B.f(π)>f(4)>f(3) C.f(4)>f(3)>f(π) D.f(-3)>f(-π)>f(-4)
第三章函数概念与性质
3.2.1 单调性和最大（小）值教学目标
1、理解增函数、减函数、单调区间、单调性等概念； 2、掌握增（减）函数的证明和判别； 3、学会运用函数图象理解和研究函数的性质。
2
3.2.1 单调性和最大（小）值重点难点重点：掌握运用定义或图象进行函数的单调性的证明和判别。难点：单调性的证明和判别。
3.2.1 单调性和最大（小）值研探新知
知识点二减函数与单调递减
一般地,设函数f(x)的定义域为I,区间 D⊆I ，如果 ∀x1,x2∈D , 当x1<x2时,都有 f(x1)>f(x2) 那么就称函数f(x)在区间D上单调递减；特别地，当函数 f(x)在它的定义域内最大（小）值随堂练习

1.3.1 单调性与最大（小）值（第1课时）

y
y f ( x)
f ( x1 )
f ( x2 )
x2
x
y
y f ( x)
f ( x1 )
f ( x2 )
O
x1
O
x1
x2
x
二、基础知识讲解 1、增函数: 如果对于定义域 I 内某个区间 D 上的任意两个自变量的值 x1、x2，当 x1<x2 时，都有 f(x1)< f(x2)，那么就说 f(x) 在这个区间D上大，f ( x )增大
二、基础知识讲解 1、增函数: 如果对于定义域 I 内某个区间 D 上的任意两个自变量的值 x1、x2，当 x1<x2 时，都有 f(x1)< f(x2)，那么就说 f(x) 在这个区间D上是增函数.
2、减函数：如果对于定义域 I 内某个区间 D 上的任意两个自变量的值 x1、x2，当 x1<x2 时，都有 f(x1)> f(x2)，那么就说 f(x) 在这个区间D上是减函数.
判断正误：
1、函数f ( x) x2，因为存在f (1) f (2)，所以函数f ( x)是增函数.
(1)对于区间D内的任意两个自变量的值x1，x2，当 x1<x2 时，都有 f(x1)< f(x2)，f(x) 在区间D上才是增函数 ——强调“任意”
2、如图，函数f ( x )在 0, 1 和 1, 2 上均为增函数，则函数在[0, 1]和(1, 2]这两个区间的并集(即[0, 2])上也是增函数。
一、实例探究
某盆地某日温度T与时间t的函数T=f(t)的图象 o f(t)/ C
6
思考：图象从左到右变化趋势？气温随时间增加的变化规律？随着t 的增大，相应的函数值的变化规律是什么?

高中数学 1.3.1单调性与最大(小)值(第1课时)课件新人教A版必修1

∵x1＜x2，∴x1－x2＜0. 而x1＋x222＋34x22＋1＞0， ∴f(x1)－f(x2)＜0，即f(x1)＜f(x2)． ∴f(x)＝x3＋x在R上是增函数．
精品
16
探究1 (1)证明函数的单调性的常用方法是利用函数单调性的定义．其步骤是：①取值：在给定区间上任取两个自变量．②作差变形：将f(x1)－f(x2)进行代数恒等变形，一般要出现乘积形式，且含有x1－x2的因式．③判断符号：根据条件判断f(x1) －f(x2)变形后的正负．④得出结论．
精品
28
题型三含参数的函数的单调性
例 3 已知 f(x)＝x2－2(1－a)x＋2 在(－∞，4]上是减函数，求实数 a 的取值范围．
∴f(x)＝2x＋－3x在(－∞，－3)，及(－3，＋∞)上也是减函数．
方法三：定义法(略)
精品
26
探究 2 求函数的单调区间常用方法：①图像法；②利用已知函数的单调性；③定义法．
精品
27
思考题 2 写出下列函数的单调区间． (1)y＝|x－32|； (2)y＝2xx－＋24； (3)y＝|x|(1－x)．【答案】 (1)单调减区间(－∞，32)，单调增区间(32，＋∞) (2)单调减区间(－∞，2)，(2，＋∞) (3)单调增区间0，12，单调减区间(－∞，0]，12，＋∞
精品
12
【证明】 (1)设0＜x1＜x2＜1，则 f(x1)－f(x2)＝x1＋x11－x2＋x12 ＝(x1－x2)＋x11－x12＝(x1－x2)＋x2x－1x2x1 ＝(x1－x2)1－x11x2＝x1－x2x1xx21x2－1.
精品
13
∵0＜x1＜x2＜1， ∴x1－x2＜0,0＜x1x2＜1，∴x1x2－1＜0. ∴f(x1)－f(x2)＞0，即f(x1)＞f(x2)． ∴f(x)＝x＋1x在(0,1)上是减函数．

1.3.1 单调性与最大(小)值—第一课时单调性优秀课件(1)

以作商fx1与 fx2
1
比较.
例9：已知函数f (x) x2 2x 3. (1)画出函数f (x)的图像； (2)根据图像写出函数f (x)的单调区间； (3)利用定义证明函数f (x) x2 2x 3在
区间(,1]上是增函数； (4)当函数f (x)在区间(, m]上是增函数时，
求实数m的取值范围。
1．若 f(x)的定义域为 D，A⊆D，B⊆D，f(x)在 A 和 B 上都单调递减，未必有 f(x)在 A∪B 上单调递减．
如何用x与 f(x)来描述下降的图象？
y
y f(x)
f (x1) f(x2)
O
x1 x2
对于定义域I内的给定区
间D上任取x1, x2,且满足
x1 x2
f(x1) f(x2 )
x
则函数f (x)在给定区间上为减函数。
函数的单调性：
如果函数f(x)在某个区间内是增函数或减函数那么就说函数f(x)在这一区间具有单调性. 这一区间叫做y=f(x)的单调区间.
3．熟悉常见的一些单调性结论，包括一次函数，二次函数，反
比例函数等．
4．若 f(x)，g(x)都是增函数，h(x)是减函数，则：①在定义域的
交集(非空)上，f(x)＋g(x)单调递增，f(x)－h(x)单调递增， ②－f(x)单调递减，③f1x单调递减(f(x)≠0)．
5．对于函数值恒正(或恒负)的函数 f(x)，证明单调性时，也可
(3)若函数f (x) ax2 (a 1)x 5在区间(1 ,1)上 2
是增函数，求实数a的取值范围； (4)讨论函数f (x) x2 2ax 3在区间(2,2)内的
单调性。
例7:已知y=f(x)与y=g(x)均为增函数,判断下列函数

单调性与最大(小)值教案(第1课时)1

1.3 函数的基本性质1.3.1 单调性与最大（小）值整体设计教学分析在研究函数的性质时，单调性和最值是一个重要内容.实际上，在初中学习函数时，已经重点研究了一些函数的增减性，只是当时的研究较为粗略，未明确给出有关函数增减性的定义，对于函数增减性的判断也主要根据观察图象得出，而本小节内容，正是初中有关内容的深化和提高：给出函数在某个区间上是增函数或减函数的定义，明确指出函数的增减性是相对于某个区间来说的，还说明判断函数的增减性既有从图象上进行观察的较为粗略的方法，又有根据定义进行证明的较为严格的方法、最好根据图象观察得出猜想，用推理证明猜想的正确性,这样就将以上两种方法统一起来了.由于函数图象是发现函数性质的直观载体，因此，在本节教学时可以充分使用信息技术创设教学情境，以利于学生作函数图象，有更多的时间用于思考、探究函数的单调性、最值等性质.还要特别重视让学生经历这些概念的形成过程，以便加深对单调性和最值的理解.三维目标1.函数单调性的研究经历了从直观到抽象，以图识数的过程，在这个过程中，让学生通过自主探究活动，体验数学概念的形成过程的真谛，学会运用函数图象理解和研究函数的性质.2.理解并掌握函数的单调性及其几何意义，掌握用定义证明函数单调性的步骤，会求函数的单调区间，提高应用知识解决问题的能力.3.通过实例，使学生体会、理解到函数的最大（小）值及其几何意义，能够借助函数图象的直观性得出函数的最值，培养以形识数的解题意识.4.能够用函数的性质解决日常生活中的简单的实际问题，使学生感受到学习函数单调性的必要性与重要性，增强学生学习函数的紧迫感，激发学生学习的积极性.重点难点教学重点:函数的单调性和最值.教学难点:增函数、减函数、奇函数、偶函数形式化定义的形成.课时安排2课时设计方案（一）教学过程第1课时函数的单调性导入新课思路1.德国有一位著名的心理学家名叫艾宾浩斯(Hermann Ebbinghaus，1850~1909)，他以自己为实验对象，共做了163次实验，每次实验连续要做两次无误的背诵.经过一定时间后再时，你能看出对应的函数值（记忆量y）有什么变化趋势吗？描出这个函数图象的草图(这就是著名的艾宾浩斯曲线).从左向右看,图象是上升的还是下降的？你能用数学符号来刻画吗？通过这个实验,你打算以后如何对待刚学过的知识?（可以借助信息技术画图象）图1-3-1-1学生：先思考或讨论，回答：记忆量y随时间间隔t的增大而增大；以时间间隔t为x轴，以记忆量y为y轴建立平面直角坐标系，描点连线得函数的草图——艾宾浩斯遗忘曲线如图1-3-1-1所示.遗忘曲线是一条衰减曲线，它表明了遗忘的规律.随着时间的推移，记忆保持量在递减，刚开始遗忘速度最快，我们应利用这一规律，在学习新知识时一定要及时复习巩固，加深理解和记忆.教师提示、点拨，并引出本节课题.思路2.在第23届奥运会上，中国首次参加就获15枚金牌；在第24届奥运会上，中国获5枚金牌；在第25届奥运会上，中国获16枚金牌；在第26届奥运会上，中国获16枚金牌；在第27届奥运会上，中国获28枚金牌；在第28届奥运会上，中国获32枚金牌.按这个变化趋势，2008年，在北京举行的第29届奥运会上，请你预测一下中国能获得多少枚金牌？学生回答(只要大于32就可以算准确),教师：提示、点拨，并引出本节课题.推进新课新知探究提出问题①如图1-3-1-2所示为一次函数y=x，二次函数y=x2和y=-x2的图象,它们的图象有什么变化规律?这反映了相应的函数值的哪些变化规律?图1-3-1-2②函数图象上任意点P(x,y)的坐标有什么意义？③如何理解图象是上升的？2⑤在数学上规定：函数y=x2在区间(0,+∞)上是增函数.谁能给出增函数的定义？⑥增函数的定义中，把“当x1<x2时，都有f(x1)<f(x2)”改为“当x1>x2时，都有f(x1)>f(x2)”,这样行吗?⑦增函数的定义中，“当x1<x2时，都有f(x1)<f(x2)”反映了函数值有什么变化趋势?函数的图象有什么特点?⑧增函数的几何意义是什么？⑨类比增函数的定义，请给出减函数的定义及其几何意义？⑩函数y=f（x）在区间D上具有单调性，说明了函数y=f（x）在区间D上的图象有什么变化趋势？讨论结果:①函数y=x的图象,从左向右看是上升的；函数y=x2的图象在y轴左侧是下降的，在y轴右侧是上升的；函数y=-x2的图象在y轴左侧是上升的，在y轴右侧是下降的.②函数图象上任意点P的坐标(x,y)的意义：横坐标x是自变量的取值,纵坐标y是自变量为x 时对应的函数值的大小.③按从左向右的方向看函数的图象,意味着图象上点的横坐标逐渐增大即函数的自变量逐渐增大.图象是上升的意味着图象上点的纵坐标逐渐变大,也就是对应的函数值随着逐渐增大.也就是说从左向右看图象上升,反映了函数值随着自变量的增大而增大.④在区间(0,+∞)上，任取x1、x2，且x1<x2,那么就有y1<y2,也就是有f(x1)<f(x2).这样可以体会用数学符号来刻画图象上升.⑤一般地，设函数f(x)的定义域为I:如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值x1、x2，当x1<x2时，都有f(x1)<f(x2)，那么就说函数f(x)在区间D上是增函数.⑥可以.增函数的定义：由于当x1<x2时，都有f(x1)<f(x2)，即都是相同的不等号“<”，也就是说前面是“<”，后面也是“<”,步调一致；“当x1>x2时，都有f(x1)>f(x2)”都是相同的不等号“>”，也就是说前面是“>”，后面也是“>”,步调一致.因此我们可以简称为：步调一致增函数.⑦函数值随着自变量的增大而增大;从左向右看,图象是上升的.⑧从左向右看,图象是上升的.⑨一般地，设函数f(x)的定义域为I，如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值x1、x2，当x1<x2时，都有f(x1)>f(x2)，那么就说函数f(x)在区间D上是减函数.简称为：步调不一致减函数.减函数的几何意义：从左向右看,图象是下降的.函数值变化趋势：函数值随着自变量的增大而减小.总结：如果函数y=f（x）在区间D上是增函数(或减函数)，那么就说函数y=f（x）在这一区间具有（严格的）单调性，区间D叫做y=f（x）的单调递增(或减)区间.⑩函数y=f（x）在区间D上，函数值的变化趋势是随自变量的增大而增大（减小），几何意义：从左向右看,图象是上升（下降）的.应用示例思路1例1如图1-3-1-3是定义在区间［－5，5］上的函数y=f(x)，根据图象说出函数的单调区间，以及在每一单调区间上，它是增函数还是减函数？图1-3-1-3活动：教师提示利用函数单调性的几何意义.学生先思考或讨论后再回答，教师点拨、提示并及时评价学生.图象上升则在此区间上是增函数，图象下降则在此区间上是减函数.解：函数y=f(x)的单调区间是［-5,2),［-2,1),［1,3),［3,5］.其中函数y=f(x)在区间［-5,2),［1,3)上是减函数，在区间［-2,1),［3,5］上是增函数.点评：本题主要考查函数单调性的几何意义，以及图象法判断函数单调性.图象法判断函数的单调性适合于选择题和填空题.如果解答题中给出了函数的图象，通常用图象法判断单调性.函数的图象类似于人的照片，我们能根据人的照片来估计其身高，同样我们根据函数的图象可以分析出函数值的变化趋势即单调性.图象法求函数单调区间的步骤是第一步：画函数的图象；第二步：观察图象，利用函数单调性的几何意义写出单调区间.变式训练课本P 32练习1、3.例2物理学中的玻意耳定律p=Vk （k 为正常数）告诉我们，对于一定量的气体，当其体积V 减少时，压强p 将增大.试用函数的单调性证明.活动：学生先思考或讨论，再到黑板上书写.当学生没有证明思路时，教师再提示,及时纠正学生解答过程出现的问题，并标出关键的地方，以便学生总结定义法的步骤.体积V 减少时，压强p 将增大是指函数p=Vk 是减函数；刻画体积V 减少时，压强p 将增大的方法是用不等式表达.已知函数的解析式判断函数的单调性时，常用单调性的定义来解决.解：利用函数单调性的定义只要证明函数p=Vk 在区间(0,+∞)上是减函数即可. 点评：本题主要考查函数的单调性，以及定义法判断函数的单调性.定义法判断或证明函数的单调性的步骤是第一步：在所给的区间上任取．两个自变量x 1和x 2,通常令x 1<x 2；第二步：比．较f(x 1)和f(x 2)的大小,通常是用作差比较法比较大小,此时比较它们大小的步骤是作差、变形、看符号；第三步：再．归纳结论.定义法的步骤可以总结为：一“取(去．)”、二“比．”、三“再(赛．)”,因此简称为：“去比赛．．．”. 变式训练课本P 32练习4.思路2例1（1）画出已知函数f(x)=-x 2+2x+3的图象；（2）证明函数f(x)=-x 2+2x+3在区间(-∞,1］上是增函数；（3）当函数f(x)在区间(-∞,m ］上是增函数时，求实数m 的取值范围.图1-3-1-4解：（1）函数f(x)=-x 2+2x+3的图象如图1-3-1-4所示.(2)设x 1、x 2∈(-∞,1］，且x 1<x 2，则有f(x 1)-f(x 2)=(-x 12+2x 1+3)-(-x 22+2x 2+3)=(x 22-x 12)+2(x 1-x 2)=(x 1-x 2)(2-x 1-x 2).∵x 1、x 2∈(-∞,1］，且x 1<x 2，∴x 1-x 2<0,x 1+x 2<2.∴2-x 1-x 2>0.∴f(x 1)-f(x 2)<0.∴f(x 1)<f(x 2).∴函数f(x)=-x 2+2x+3在区间(-∞,1］上是增函数.（3）函数f(x)=-x 2+2x+3的对称轴是直线x=1，在对称轴的左侧是增函数，那么当区间(-∞,m ］位于对称轴的左侧时满足题意，则有m≤1，即实数m 的取值范围是(-∞,1］.点评：本题主要考查二次函数的图象、函数的单调性及其应用.讨论有关二次函数的单调性问题时，常用数形结合的方法，结合二次函数图象的特点来分析；二次函数在对称轴两侧的单调性相反；二次函数在区间D 上是单调函数，那么二次函数的对称轴不在区间D 内. 判断函数单调性时，通常先画出其图象，由图象观察出单调区间，最后用单调性的定义证明. 判断函数单调性的三部曲：第一步，画出函数的图象，观察图象，描述函数值的变化趋势；第二步，结合图象来发现函数的单调区间；第三步，用数学符号即函数单调性的定义来证明发现的结论.函数的单调性是函数的一个重要性质,是高考的必考内容之一.因此应理解单调函数及其几何意义,会根据定义判断、证明函数的单调性，会求函数的单调区间，能综合运用单调性解决一些问题，会判断复合函数的单调性.函数的单调性与函数的值域、不等式等知识联系极为密切，是高考命题的热点题型.变式训练已知函数f(x)是R 上的增函数，设F(x)=f(x)-f(a-x).(1)用函数单调性定义证明F(x)是R 上的增函数；(2)证明函数y=F(x)的图象关于点(2a ,0)成中心对称图形. 活动：（1）本题中的函数解析式不明确即为抽象函数，用定义法判断单调性的步骤是要按格式书写；（2）证明函数y=F(x)的图象上的任意点关于点(2a ,0)的对称点还是在函数y=F(x)的图象上即可.解：（1）设x 1、x 2∈R ，且x 1<x 2.则F(x 1)-F(x 2)=［f(x 1)-f(a-x 1)］-［f(x 2)-f(a-x 2)］=［f(x 1)-f(x 2)］+［f(a-x 2)-f(a-x 1)］.又∵函数f(x)是R 上的增函数，x 1<x 2，∴a-x 2<a-x 2.∴f(x 1)<f(x 2),f(a-x 2)<f(a-x 1).∴［f(x 1)-f(x 2)］+［f(a-x 2)-f(a-x 1)］<0.∴F(x 1)<F(x 2).∴F(x)是R 上的增函数.（2）设点M(x 0,F(x 0))是函数F(x)图象上任意一点，则点M(x 0,F(x 0))关于点(2a ,0)的对称点M′(a -x 0,-F(x 0)).又∵F(a-x 0)=f(a-x 0)-f(a-(a-x 0))＝f(a-x 0)-f(x 0)＝-［f(x 0)-f(a-x 0)］=-F(x 0),∴点M′(a -x 0,-F(x 0))也在函数F(x)图象上，又∵点M(x 0,F(x 0))是函数F(x)图象上任意一点，∴函数y=F(x)的图象关于点(2a ,0)成中心对称图形. 例2(1)写出函数y=x 2-2x 的单调区间及其图象的对称轴,观察：在函数图象对称轴两侧的单调性有什么特点?(2)写出函数y=|x|的单调区间及其图象的对称轴,观察：在函数图象对称轴两侧的单调性有什么特点?图1-3-1-5(3)定义在［-4,8］上的函数y=f(x)的图象关于直线x=2对称,y=f(x)的部分图象如图1-3-1-5所示,请补全函数y=f(x)的图象,并写出其单调区间,观察：在函数图象对称轴两侧的单调性有什么特点?(4)由以上你发现了什么结论?试加以证明.活动：学生先思考，再回答，教师适时点拨和提示:（1）画出二次函数y=x2-2x的图象，借助于图象解决；（2）类似于（1）；（3）根据轴对称的含义补全函数的图象，也是借助于图象写出单调区间；（4）归纳函数对称轴两侧对称区间上的单调性的异同来发现结论，利用轴对称的定义证明.解：(1)函数y=x2-2x的单调递减区间是(-∞,1),单调递增区间是(1,+∞);对称轴是直线x=1;区间(-∞,1)和区间(1,+∞)关于直线x=1对称,而单调性相反.(2)函数y=|x|的单调递减区间是(-∞,0),单调递增区间是(0,+∞);对称轴是y轴即直线x=0;区间(-∞,0)和区间(0,+∞)关于直线x=0对称,而单调性相反.(3)函数y=f(x),x∈［-4,8］的图象如图1-3-1-6.图1-3-1-6函数y=f(x)的单调递增区间是［-4,-1］,［2,5］;单调递减区间是［5,8］,［-1,2］;区间［-4,-1］和区间［5,8］关于直线x=2对称,而单调性相反,区间［-1,2］和区间［2,5］关于直线x=2对称,而单调性相反.(4)可以发现结论:如果函数y=f(x)的图象关于直线x=m对称,那么函数y=f(x)在直线x=m两侧对称单调区间内具有相反的单调性.证明如下:不妨设函数y=f(x)在对称轴直线x=m的右侧一个区间［a,b］上是增函数,区间［a,b］关于直线x=m的对称区间是［2m-b,2m-a］.由于函数y=f(x)的图象关于直线x=m对称,则f(x)=f(2m-x).设2m-b≤x1<x2≤2m-a,则b≥2m-x1>2m-x2≥a,f(x1)-f(x2)=f(2m-x1)-f(2m-x2).又∵函数y=f(x)在［a,b］上是增函数,∴f(2m-x1)-f(2m-x2)>0.∴f(x1)-f(x2)>0.∴f(x1)>f(x2).∴函数y=f(x)在区间［2m-b,2m-a］上是减函数.∴当函数y=f(x)在对称轴直线x=m的右侧一个区间［a,b］上是增函数时,其在［a,b］关于直线x=m的对称区间［2m-b,2m-a］上是减函数,即单调性相反.因此有结论:如果函数y=f(x)的图象关于直线x=m 对称,那么函数y=f(x)在对称轴两侧的对称单调区间内具有相反的单调性.点评：本题通过归纳——猜想——证明得到了正确的结论,这是我们认识世界发现问题的主要方法,这种方法的难点是猜想,突破路径是寻找共同的特征.本题作为结论记住，可以提高解题速度.图象类似于人的照片，看见人的照片就能估计这个人的身高、五官等特点，同样根据函数的图象也能观察出函数的性质特征.这需要有细致的观察能力.变式训练函数y=f(x)满足以下条件:①定义域是R ;②图象关于直线x=1对称;③在区间［2,+∞)上是增函数.试写出函数y=f(x)的一个解析式f(x)=(只需写出一个即可,不必考虑所有情况).活动：根据这三个条件，画出函数y=f(x)的图象简图（只要能体现这三个条件即可），再根据图象简图，联系猜想基本初等函数及其图象和已有的解题经验写出.解：定义域是R 的函数解析式通常不含分式或根式，常是整式；图象关于直线x=1对称的函数解析式满足：f(x)=f(2-x)，基本初等函数中有对称轴的仅有二次函数，则由①②想到了二次函数；结合二次函数的图象，在区间［2,+∞)上是增函数说明开口必定向上，且正好满足二次函数的对称轴直线x=1不在区间［2,+∞)内，故函数的解析式可能是y=a(x-1)2+b(a>0). 结合二次函数的图象和性质，可知这三条都可满足开口向上的抛物线，故有：形如y=a(x-1)2+b(a>0)，或为y=a|x-1|+b(a>0)等都可以，答案不唯一.知能训练课本P 32练习2.【补充练习】1.利用图象法写出基本初等函数的单调性.解：①正比例函数：y=kx(k≠0)当k>0时，函数y=kx 在定义域R 上是增函数；当k<0时，函数y=kx 在定义域R 上是减函数.②反比例函数：y=xk (k≠0) 当k>0时，函数y=xk 的单调递减区间是(-∞,0)，(0,+∞)，不存在单调递增区间；当k<0时，函数y=x k 的单调递增区间是(-∞,0)，(0,+∞),不存在单调递减区间. ③一次函数：y=kx+b(k≠0)当k>0时，函数y=kx+b 在定义域R 上是增函数；当k<0时，函数y=kx+b 在定义域R 上是减函数.④二次函数：y=ax 2+bx+c(a≠0)当a>0时，函数y=ax 2+bx+c 的单调递减区间是(-∞,a b 2-］，单调递增区间是［ab 2-,+∞)；当a<0时，函数y=ax 2+bx+c 的单调递减区间是［a b 2-,+∞)，单调递增区间是(-∞,a b 2-］. 点评：以上基本初等函数的单调性作为结论记住，可以提高解题速度.2.已知函数y=kx+2在R 上是增函数，求实数k 的取值范围.答案：k ∈(0,+∞).3.二次函数f(x)=x 2-2ax+m 在(-∞,2)上是减函数，在(2,+∞)上是增函数，求实数a 的值. 答案：a=2.4.2005年全国高中数学联赛试卷，8已知f(x)是定义在(0,+∞)上的减函数，若f(2a 2+a+1)<f(3a 2-4a+1)成立，则a 的取值范围是______.分析:∵f(x)的定义域是(0,+∞)，∴⎪⎩⎪⎨⎧>+>++0.14a -3a 0,1a 2a 22解得a<31或a>1. ∵f(x)在(0,+∞)上是减函数，∴2a 2+a+1>3a 2-4a+1.∴a 2-5a<0.∴0<a<5.∴0<a<31或1<a<5,即a 的取值范围是(0,31)∪(1,5). 答案：(0,31)∪(1,5) 点评：本题实质是解不等式，但是这是一个不具体的不等式，是抽象不等式.解与函数有关的抽象不等式时，常用的技巧是利用函数的单调性“剥掉外衣”，转化为整式不等式. 拓展提升问题：1.画出函数y=x1的图象，结合图象探讨下列说法是否正确？（1）函数y=x 1是减函数；（2）函数y=x1的单调递减区间是(-∞,0)∪(0,+∞). 2.对函数y=x 1,取x 1=-1<x 2=2，则f(x 1)=-1<f(x 2)=21，满足当x 1＜x 2时f(x 1)<f(x 2)，说函数y=x 1在定义域上是增函数对吗？为什么？3.通过上面两道题,你对函数的单调性定义有什么新的理解？解答：1.（1）是错误的，从左向右看,函数y=x 1的图象不是下降的. （2）是错误的，函数y=x1的单调递减区间是(-∞,0),(0,+∞).这表示在区间(-∞,0)∪(0,+∞)即定义域上是减函数，在定义域上函数y=x1的图象，从左向右看不是下降的，因此这是错误的. 2.不对.这个过程看似是定义法，实质上不是.定义中x 1、x 2是在某区间内任意取的两个值，不能用特殊值来代替.3.函数单调性定义中的x 1、x 2必须是任意的，应用单调性定义解决问题时，要注意保持其任意性.点评：函数的单调性反映了函数在其定义域的子集上的性质，是函数的“局部性质”；函数y=f(x)在区间(a,b)和(b,c)上均是增（减）函数，那么在区间(a,b)∪(b,c)上的单调性不能确定. 课堂小结本节学习了:①函数的单调性;②判断函数单调性的方法:定义法和图象法.活动：学生先思考或讨论，再回答.教师提示、点拨，及时评价.引导方法：从基本知识和基本技能两方面来总结.作业课本P 39习题1.3A 组2、3、4.设计感想“函数单调性”是一个重要的数学概念，以往的教学方法一般是由教师讲解为主，在单调性的定义教学中，往往缺少从定性的描述到定量表示的思维过程，即缺少“意义建构”.本设计致力于展示概念是如何生成的.在概念的发生、发展中，通过层层设问，调动学生的思维，突出培养了学生的思维能力，体现了教师是用教材教，而不是教教材.本节课是函数单调性的起始课,采用教师启发引导,学生探究学习的教学方法,通过创设情境,引导探究,师生交流,最终形成概念,获得方法.本节课使用了多媒体投影和计算机来辅助教学,为学生提供直观感性的材料,有助于学生对问题的理解和认识.考虑到部分学生数学基础较好、思维较为活跃的特点,对判断方法进行适当的延展,加深对定义的理解,同时也为用导数研究函数单调性埋下伏笔.(设计者：张建国)设计方案（二）教学过程第1课时函数的单调性导入新课思路1.为了预测北京奥运会开幕式当天的天气情况，数学兴趣小组研究了2002年到2006年每年这一天的天气情况，如图1-3-1-7是北京市今年8月8日一天24小时内气温随时间变化的曲线图.图1-3-1-7问题：观察图1-3-1-7，能得到什么信息？(1)当天的最高温度、最低温度以及达到的时刻；(2)在某时刻的温度；(3)某些时段温度升高，某些时段温度降低.引导学生识图，捕捉信息，启发学生思考回答.教师：在生活中，我们关心很多数据的变化规律，了解这些数据的变化规律，对我们的生活是很有帮助的.归纳：用函数观点看，其实这些例子反映的就是随着自变量的变化，函数值是变大或变小.思路2.如图1-3-1-8所示,观察下列各个函数的图象，并说说它们分别反映了相应函数的哪些变化规律：图1-3-1-8随x 的增大，y 的值有什么变化？引导学生回答，点拨提示，引出课题.设计意图:创设情景，引起学生兴趣.推进新课新知探究提出问题问题①:分别作出函数y=x+2,y=-x+2,y=x 2,y=x1的图象，并且观察自变量变化时，函数值的变化规律.如图1-3-1-9所示:图1-3-1-9问题②:能不能根据自己的理解说说什么是增函数、减函数?设计意图:从图象直观感知函数单调性，完成对函数单调性的第一次认识：直观感知. 问题③:如图1-3-1-10是函数y=x+x2(x>0)的图象,能说出这个函数分别在哪个区间为增函数和减函数吗？图1-3-1-10设计意图:使学生体会到用数量大小关系严格表述函数单调性的必要性.问题④:如何从解析式的角度说明f(x)=x 2在［0,+∞)上为增函数？设计意图:把对单调性的认识由感性上升到理性的高度,完成对概念的第二次认识.事实上也给出了证明单调性的方法，为第三阶段的学习作好铺垫.问题⑤:你能用准确的数学符号语言表述出增函数的定义吗?设计意图:让学生由特殊到一般，从具体到抽象归纳出单调性的定义，通过对判断题的辨析，加深学生对定义的理解，完成对概念的第三次认识.活动：先让学生思考或讨论后再回答，经教师提示、点拨，对回答正确的学生及时表扬，对回答不准确的学生提示引导考虑问题的思路.引导方法与过程：问题①：引导学生进行分类描述图象是上升的、下降的(增函数、减函数)，同时明确函数的图象变化（单调性）是对定义域内某个区间而言的，是函数的局部性质. 问题②：这种认识是从图象的角度得到的，是对函数单调性的直观、描述性的认识. 学生的困难是难以确定分界点的确切位置.问题③：通过讨论，使学生感受到用函数图象判断函数单调性虽然比较直观，但有时不够精确，需要结合解析式进行严密化、精确化的研究.问题④：对于学生错误的回答，引导学生分别用图形语言和文字语言进行辨析,使学生认识到问题的根源在于自变量不可能被穷举，从而引导学生在给定的区间内任意取两个自变量x 1、x 2.问题⑤：师生共同探究：利用不等式表示变大或变小,得出增函数严格的定义，然后学生类比得出减函数的定义.归纳总结：1.函数单调性的几何意义：如果函数y=f(x)在区间D 上是增（减）函数，那么在区间D 上的图象是上升的（下降的）.2.函数单调性的定义：略.可以简称为步调一致增函数，步调相反减函数.讨论结果：①(1)函数y=x+2，在整个定义域内y 随x 的增大而增大；函数y=-x+2，在整个定义域内y 随x 的增大而减小.(2)函数y=x 2，在［0,+∞)上y 随x 的增大而增大，在(-∞,0)上y 随x 的增大而减小.(3)函数y=x1，在(0,+∞)上y 随x 的增大而减小，在(-∞,0)上y 随x 的增大而减小.②如果函数f(x)在某个区间上随自变量x 的增大，y 也越来越大，我们说函数f(x)在该区间上为增函数；如果函数f(x)在某个区间上随自变量x 的增大，y 越来越小，我们说函数f(x)在该区间上为减函数.③不能.④(1)在给定区间内取两个数，例如2和3，因为22<32，所以f(x)=x 2在［0,+∞)上为增函数.(2)仿(1)，取多组数值验证均满足，所以f(x)=x 2在［0,+∞)上为增函数.(3)任取x 1、x 2∈［0,+∞),且x 1<x 2,因为x 12-x 22=(x 1+x 2)(x 1-x 2)<0,即x 12<x 22.所以f(x)=x 2在［0,+∞)上为增函数.⑤略应用示例思路1例1课本P 29页例1.思路分析：利用函数单调性的几何意义.学生先思考或讨论，再回答.点评：本题主要考查函数单调性的几何意义.图象法求函数单调区间的步骤:①画函数的图象；②观察图象，利用函数单调性的几何意义写出单调区间.图象法的难点是画函数的图象，常见画法有描点法和变换法.答案：略.变式训练课本P 32练习4.例2课本P 32页例2.思路分析：按题意，只要证明函数p=Vk 在区间（0，+∞）上是减函数即可，用定义证明. 点评：本题主要考查函数的单调性.利用定义证明函数f(x)在给定的区间D 上的单调性的一般步骤：（定义法）①任取x 1、x 2∈D ，且x 1<x 2；②作差f(x 1)－f(x 2)；③变形（通常是因式分解和配方）；④定号（即判断差f(x 1)－f(x 2)的正负）；。

《单调性与最大(小)值》第一课时参考教案

1。

3.1 单调性与最大（小)值（第一课时)一、教学目标1．知识与技能：(1)理解函数单调性的概念(2)学会判断一些简单函数在给定区间上的单调性(3)掌握利用函数图像和单调性定义判断、证明函数单调性的基本方法、步骤2．过程与方法:通过函数单调性概念的学习，让学生体验概念形成的过程，同时了解从特殊到一般、具体到抽象、感性到理性的数学思考的基本方法，培养学生的数学思维能力3．情感态度与价值观：通过函数单调性的探究过程，培养学生细心观察、认真分析、严谨论证的良好思维习惯。

同时，让学生体会到数学来自于生活、又服务于生活。

二、教学重点与难点教学重点：函数单调性的概念教学难点：从图像的直观感知到函数增减的数学符号语言的过渡三、教学模式：引导探究四、教学方法:教师启发讲授五、教学基本流程：六、教学过程：1．创设情境（1）(提问学生)据说,由于某种原因，2008年北京奥运会开幕式时间由原定的7月25日推迟到8月8日，请说明时间调动的原因.(2）由图象可知,7月25日之后的16天内,北京平均气温、平均降雨量和平均降雨天数均呈现上升的趋势。

而8月8日到8月24日，均呈现下降的趋势，比较适宜大型国际体育赛事.（过渡性语言）原来啊，8月8日除了好意头之外，还有这么一个关于天气的原因.从这个事情可以看出，如果我们可以掌握“上升、下降”的变化规律，对我们的生活是十分有帮助的。

同样的，我们之前所学习的函数也有这样的一种变化规律，下面让我们一起来学习一下。

2．探究新知（1）观察图像，感知特征(直观感知）首先，我们看看十分熟悉的两个函数,一次函数x x f =)(和二次函数2)(x x f =，现在，我们一起来观察一下两个图像，有没有发现类似于我们前面天气图像的变化规律?(预测）：学生通过感知，可以看出,从左到右，一次函数x x f =)(的图像是上升的；而二次函数2)(x x f =的图像在y 轴左侧是下降的，在y 轴右侧是上升的。

高中数学 1.3.1 单调性与最大(小)值第一课时教案精讲必修1

1.3 函数的基本性质1．3.1 单调性与最大(小)值第一课时第一课时函数的单调性[读教材·填要点]1．定义域为I 的函数f (x )的增减性 2．函数的单调性与单调区间如果函数y ＝f (x )在区间D 上是增函数或减函数，就说函数y ＝f (x )在区间D 上具有(严格)的单调性，区间D 叫做y ＝f (x )的单调区间．[小问题·大思维]1．定义在(a ，b )上的函数f (x )，若存在x 1，x 2∈(a ，b )，使得x 1＜x 2时有f (x 1)＜f (x 2)，那么f (x )在(a ，b )上为增函数，对吗？提示：不对，如函数f (x )＝x 2，(－1＜x ＜1)，存在x 1＝－13，x 2＝12，显然x 1＜x 2，有f (x 1)＝19＜f (x 2)＝14，但f (x )＝x 2在(－1,1)上不是增函数．2．定义在(a ，b )上的函数f (x )，若有无穷多对x 1，x 2∈(a ，b )使得x 1<x 2时有f (x 1)<f (x 2)，那么f (x )在(a ，b )上是增函数，对吗？提示：不对，如上述函数f (x )＝x 2(－1＜x ＜1)．3．画出函数y ＝1x的图象，你认为：若f (x )在区间A 上为减函数，在区间B 上也为减函数，则f (x )在A ∪B 上也为减函数，对吗？提示：不对，如函数f (x )＝1x(x ≠0)，在(－∞，0)上为减函数，在(0，＋∞)上也为减函数，但在(－∞，0)∪(0，＋∞)上既不是增函数，也不是减函数．证明或判断函数的单调性[例1] 求证：函数f (x )＝1x2在(0，＋∞)上是减函数，在(－∞，0)上是增函数．[自主解答] 对于任意的x 1，x 2∈(－∞，0)，且x 1<x 2，有f (x 1)－f (x 2)＝1x 21－1x 22＝x 22－x 21x 21x 22＝x 2－x 1x 2＋x 1x 21x 22∵x 1<x 2<0，∴x 2－x 1>0，x 1＋x 2<0，x 21x 22>0. ∴f (x 1)－f (x 2)<0，即f (x 1)<f (x 2)． ∴函数f (x )＝1x2在(－∞，0)上是增函数．对于任意的x 1，x 2∈(0，＋∞)，且x 1<x 2，有f (x 1)－f (x 2)＝x 2－x 1x 2＋x 1x 21x22.∵0<x 1<x 2，∴x 2－x 1>0，x 2＋x 1>0，x 21x 22>0. ∴f (x 1)－f (x 2)>0，即f (x 1)>f (x 2)． ∴函数f (x )＝1x2在(0，＋∞)上是减函数．——————————————————利用定义证明函数单调性的步骤如下：1取值：设x 1，x 2是该区间内的任意两个值，且x 1<x 2； 2作差变形：作差f x 1－f x 2，并通过因式分解、通分、配方、有理化等手段，转化为易判断正负的式子；3定号：确定f x 1－f x 2的符号；,4结论：根据f x 1－f x 2的符合及定义判断单调性.————————————————————————————————————————1．证明函数f (x )＝x 3＋x 在R 上是增函数．证明：设x 1，x 2∈R ，且x 1<x 2，则f (x 1)－f (x 2)＝(x 31＋x 1)－(x 32＋x 2)＝(x 31－x 32)＋(x 1－x 2) ＝(x 1－x 2)(x 21＋x 1x 2＋x 22＋1) ＝(x 1－x 2)[(x 1＋12x 2)2＋34x 22＋1]．∵x 1<x 2，∴x 1－x 2<0. 又∵(x 1＋12x 2)2＋34x 22＋1>0，∴f (x 1)－f (x 2)<0，即f (x 1)<f (x 2)． ∴f (x )在R 上是增函数．求函数的单调区间[例2] y x 2x [自主解答] y ＝－x 2＋2|x |＋3＝⎩⎪⎨⎪⎧－x －12＋4 x ≥0，－x ＋12＋4x ＜0，函数图象如图所示．函数在(－∞，－1]，[0,1]上是增函数，函数在[－1,0]，[1，＋∞)上是减函数．∴函数的单调增区间是(－∞，－1]和[0,1]，单调减区间是[－1,0]和[1，＋∞)． ——————————————————1对于初等函数y ＝kx ＋b ，y ＝ax 2＋bx ＋c ，y ＝\f(k,x )单调区间的确定，常借助于函数图象去探求，而且这些函数的单调区间作为常识性的内容，可以直接使用.2对于含有绝对值的函数，往往转化成分段函数去处理其图象，借助于图象的变化趋势分析相应函数的单调性区间.————————————————————————————————————————2．求函数f (x )＝|x ＋1|－|2x －4|的单调递减区间．解：f (x )＝|x ＋1|－|2x －4|＝⎩⎪⎨⎪⎧x －5， x <－1，3x －3，－1≤x <2，5－x ， x ≥2.画出函数f (x )的图象如下图所示，函数f (x )的单调减区间是[2，＋∞)．由函数的单调性求参数取值范围[例3] 已知函数f (x )＝x 2－2ax －3在区间[1,2]上单调，求实数a 的取值范围． [自主解答] 函数f (x )＝x 2－2ax －3的图象开口向上，对称轴为直线x ＝a ，画出草图如图所示．由图象可知函数在(－∞，a ]和[a ，＋∞)上分别单调，因此要使函数f (x )在区间[1,2]上单调，只需a ≤1或a ≥2(其中当a ≤1时，函数f (x )在区间[1,2]上单调递增；当a ≥2时，函数f (x )在区间[1,2]上单调递减，从而a ∈(－∞，1]∪[2，＋∞)．“若函数单调增区间为[2，＋∞)，则a 为何值？” 解：∵f (x )开口向上，且函数单调增区间为[2，＋∞)， ∴对称轴x ＝a ＝2，即a ＝2. ——————————————————1已知函数的单调性求参数的取值范围的方法是：视参数为已知数，依据函数的图象或单调性定义，确定函数的单调区间，与已知单调区间比较求参.(2)常见函数的单调性列表如下：函数单调性一次函数y ＝ax ＋b (a ≠0)a >0时，在R 上单调递增； a <0时，在R 上单调递减反比例函数y ＝ax(a ≠0)a >0时，单调减区间是(－∞，0)和(0，＋∞)；a <0时，单调增区间是(－∞，0)和(0，＋∞)二次函数y ＝a (x －m )2＋n (a ≠0)a >0时，单调减区间是(－∞，m ]，单调增区间是[m ，＋∞)；a <0时，单调减区间是[m ，＋∞)，单调增区间是(－∞，m ](3)需注意若一函数在区间[a ，b ]上是单调的，则该函数在此区间的任意子集上也是单调的．————————————————————————————————————————3．若函数f (x )＝(2a －1)x ＋b 是R 上的减函数，则a 的取值范围为________．解析：∵f (x )＝(2a －1)x ＋b 为一次函数， ∴当2a －1<0即a <12时，f (x )是R 上的减函数．答案：(－∞，12)解题高手妙解题同样的结果，不一样的过程，节省解题时间，也是得分！2[巧思] 先求出函数的对称轴x ＝a ，分四种情况a <0,0≤a <1,1≤a <2，a ≥2时，讨论函数f (x )在区间[0,2]上的单调性，再结合图形，可分别求出相应的最小值和最大值．[妙解] ∵f (x )＝(x －a )2－1－a 2，对称轴为直线x ＝a ， ①当a <0时，由图1可知f (x )min ＝f (0)＝－1， f (x )max ＝f (2)＝3－4a .②当0≤a <1时，由图2可知，f (x )min ＝f (a )＝－1－a 2， f (x )max ＝f (2)＝3－4a .③当1≤a <2时，由图3可知，f (x )min ＝f (a )＝－1－a 2，f (x )max ＝f (0)＝－1；④当a ≥2时，由图4可知，f (x )min ＝f (2)＝3－4a ，f (x )max ＝f (0)＝－1.1．函数y ＝x 2＋x ＋1(x ∈R )的递减区间是( )A.⎣⎢⎡⎭⎪⎫－12，＋∞ B ．[－1，＋∞) C.⎝⎛⎦⎥⎤－∞，－12D ．(－∞，＋∞)解析：y ＝x 2＋x ＋1＝(x ＋12)2＋34.其对称轴为x ＝－12，在对称轴左侧单调递减，∴x ≤－12时单调递减．答案：C2．函数f (x )＝|x |和g (x )＝x (2－x )的递增区间依次是( ) A ．(－∞，0]，(－∞，1] B ．(－∞，0]，[1，＋∞) C ．[0，＋∞)，(－∞，1] D ．[0，＋∞)，[1，＋∞)解析：f (x )＝|x |的图象如图甲，g (x )＝x (2－x )＝－x 2＋2x＝－(x 2－2x ＋1)＋1＝－(x －1)2＋1的图象如图乙，易知选C . 答案：C3．已知函数y ＝ax 和y ＝－b x在(0，＋∞)上都是减函数，则函数f (x )＝bx ＋a 在R 上是( )A ．减函数且f (0)<0B ．增函数且f (0)<0C ．减函数且f (0)>0D ．增函数且f (0)>0解析：∵y ＝ax 和y ＝－b x在(0，＋∞)都是减函数， ∴a <0，b <0.f (x )＝bx ＋a 为减函数且f (0)＝a <0.答案：A4．若函数f (x )＝|2x ＋a |的单调递增区间是[3，＋∞)，则a ＝________.解析：由f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－2x －a ，x <－a2，2x ＋a ，x ≥－a2.可得函数f (x )的单调递增区间为[－a2，＋∞)，故3＝－a2，解得a ＝－6.答案：－65．若函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋1，x ≥1，5－x ，x <1，则f (x )的递减区间是________．解析：∵分段函数当x ≥1时，f (x )＝2x ＋1为增函数，当x <1时，f (x )＝5－x 为减函数．答案：(－∞，1)6．已知f (x )＝x 2－1，试判断f (x )在[1，＋∞)上的单调性，并证明．解：f (x )＝x 2－1在 [1，＋∞)上是增函数．证明：任取x 1，x 2∈[1，＋∞)，且x 1＜x 2，则f (x 2)－f (x 1)＝x 22－1－x 21－1 ＝x 22－x 21x 22－1＋x 21－1＝x 2－x 1x 2＋x 1x 22－1＋x 21－1∵1≤x 1＜x 2，∴x 2＋x 1＞0，x 2－x 1＞0，x 22－1＋x 21－1＞0.∴f (x 2)－f (x 1)＞0，即f (x 2)＞f (x 1)．故函数f (x )在[1，＋∞)上是增函数．一、选择题1．下图中是定义在区间[－5,5]上的函数y ＝f (x )，则下列关于函数f (x )的说法错误的是( )A ．函数在区间[－5，－3]上单调递增B ．函数在区间[1,4]上单调递增C ．函数在区间[－3,1]∪[4,5]上单调递减D ．函数在区间[－5,5]上没有单调性解析：若一个函数出现两个或两个以上的单调区间时，不能用∪连接．比如0＜5，但f (0)＞f (5)．答案：C2．函数f (x )＝2x 2－mx ＋3，当x ∈[－2，＋∞)时，f (x )为增函数，当x ∈(－∞，－2]时，函数f (x )为减函数，则m 等于( )A ．－4B ．－8C ．8D ．无法确定解析：由题意可知x ＝－2是f (x )的对称轴，∴m4＝－2，m ＝－8.答案：B3．下列有关函数单调性的说法，不．正确的是( ) A ．若f (x )为增函数，g (x )为增函数，则f (x )＋g (x )为增函数 B ．若f (x )为减函数，g (x )为减函数，则f (x )＋g (x )为减函数 C ．若f (x )为增函数，g (x )为减函数，则f (x )＋g (x )为增函数 D ．若f (x )为减函数，g (x )为增函数，则f (x )－g (x )为减函数解析：∵若f (x )为增函数，g (x )为减函数，则f (x )＋g (x )的增减性不确定．例如f (x )＝x ＋2为R 上的增函数，当g (x )＝－12x 时，则f (x )＋g (x )＝x2＋2为增函数；当g (x )＝－3x ，则f (x )＋g (x )＝－2x ＋2在R 上为减函数．∴不能确定f (x )＋g (x )的单调性．答案：C4．下列函数中，在区间(0,1)上是增函数的是( ) A ．y ＝|x ＋1| B ．y ＝3－x C ．y ＝1x3D ．y ＝－x 2＋4解析：B 、C 、D 在(0,1)上均为减函数，只有A 项在(0,1)上是增函数．答案：A 二、填空题5．已知函数f (x )为区间[－1,1]上的增函数，则满足f (x )<f (12)的实数x 的取值范围为________．解析：∵f (x )在[－1,1]上为增函数，且f (x )<f (12)．∴⎩⎪⎨⎪⎧－1≤x ≤1x <12，得－1≤x <12.答案：[－1，12)6．若f (x )＝－x 2＋2ax 与g (x )＝ax ＋1在区间[1,2]上都是减函数，则a 的取值范围是________．解析：由f (x )＝－x 2＋2ax 在[1,2]上是减函数可得a ≤1，由g (x )＝ax ＋1在[1,2]上是减函数可得a ＞0.∴0＜a ≤1. 答案：(0,1]7．函数f (x )＝|2x －1|的递减区间是________．解析：函数f (x )＝|2x －1|的图象如下所示： ∴递减区间为(－∞，12]．答案：(－∞，12]8．函数f (x )＝－|x |在区间[a ，＋∞)上为减函数，则实数a 的取值范围是________．解析：函数f (x )＝－|x |的图象为：观察图象可知a ≥0. 答案：[0，＋∞) 三、解答题9．证明函数f (x )＝－x 在定义域上是减函数．证明：f (x )＝－x 的定义域为[0，＋∞)，设0≤x 1<x 2，则x 1－x 2<0，且f (x 2)－f (x 1)＝(－x 2)－(－x 1)＝x 1－x 2 ＝x 1－x 2x 1＋x 2x 1＋x 2＝x 1－x 2x 1＋x 2.∵x 1－x 2<0，x 1＋x 2>0，∴f (x 2)－f (x 1)<0，即f (x 2)<f (x 1)．∴f (x )＝－x 在它的定义域[0，＋∞)上是减函数．10．函数f (x )是定义在(0，＋∞)上的减函数，对任意的x ，y ∈(0，＋∞)，都有f (x ＋y )＝f (x )＋f (y )－1，且f (4)＝5.(1)求f (2)的值； (2)解不等式f (m －2)≤3.解：(1)∵f (4)＝f (2＋2)＝2f (2)－1＝5，∴f (2)＝3. (2)由f (m －2)≤3，得f (m －2)≤f (2)． ∵f (x )是(0，＋∞)上的减函数．∴⎩⎪⎨⎪⎧m －2≥2，m －2＞0解得m ≥4.∴不等式的解集为{m |m ≥4}．。

单调性与最大(小)值(第1课时)函数的单调性单调区间 PPT课件

答：(1)是错误的，从左向右看，函数y＝
1 x
的图像不是下降
的．
(2)是错误的，函数y＝
1 x
的单调递减区间应是(－∞，0)，
(0，＋∞)．不能写成(－∞，0)∪(0，＋∞)．
第8页
第一章 1.3 1.3.1 第1课时
高考调研
新课标A版 ·数学 ·必修1
2．对函数y＝
1 x
，取x1＝－1<x2＝2，则f(x1)＝－1<f(x2)＝
答：函数单调性定义中的x1、x2必须是任意的，应用单调性定义解决问题时，要注意保持其任意性．
第10页
第一章 1.3 1.3.1 第1课时
高考调研
新课标A版 ·数学 ·必修1
课时学案
第11页
第一章 1.3 1.3.1 第1课时
高考调研
新课标A版 ·数学 ·必修1
题型一函数的单调性
例1 (1)证明：函数f(x)＝x＋1x在(0,1)上是减函数． (2)证明：函数f(x)＝x3＋x在R上是增函数．注：a3－b3＝(a－b)·(a2＋ab＋b2) 【思路点拨】证明的关键是作差变形，尽量变形成几个最简单的因式的乘积的形式．
高考调研
新课标A版 ·数学 ·必修1
思考题1
(1)已知函数f(x)＝
2 x
＋1，证明：函数f(x)在(0，＋
∞)上是减函数．
(2)证明：函数f(x)＝－ x在定义域上是减函数．
第19页
第一章 1.3 1.3.1 第1课时
高考调研【证明】 (1)
新课标A版 ·数学 ·必修1
第20页
第一章 1.3 1.3.1 第1课时
第17页
第一章 1.3 1.3.1 第1课时

单调性与最大(小)值(第一课时)

1.3.1单调性与最大（小）值（第一课时）数学组4贺彦斌教材分析单调性与最大（小）值这节内容选自人教版A版《普通高中课程标准试验教科书必修1》第一章1.3节函数的基本性质的内容。

函数是描述事物运动变化规律的数学模型，学习函数的变化规律能把握事物的变化规律，因此研究函数的性质非常关键。

学生在此之前已经学习了函数的概念及函数的三种表示法，并且学生学会了从集合的角度来认识函数。

本次课的学习是函数的基本性质的第一课时，研究函数的单调性与最大最小值问题，这一性质是函数最直观的一个性质。

也是为后续学习函数的奇偶性等相关性质奠定基础。

因此，本次课的教学尤为关键。

本次课在教学上我将采取两个课时的时间，在第一课时内完成函数单调性概念的教学并掌握判断简单函数单调性的方法，在第二课时内完成最大（小）值概念的教学，并且能进一步掌握部分函数单调性的判断技巧。

教学目标●知识与技能：了解函数单调性的概念，掌握判断简单函数单调性的方法；●过程与方法：经历情景引入、直观感知、知识形成等过程，掌握数形结合的数学方法，同时学会从直观的图像上发现问题并且掌握作差法，培养学生严谨的数学思维能力；●情感态度与价值观感受数学符号以及图形的魅力，培养学生能从辩证的角度看问题，感受数学与现实生活的联系，体会数学的强大实用功能；教学重难点教学重点：函数单调性的概念以及判断简单函数单调性的方法；教学难点：判断简单函数单调性的方法；重难点突破：学生在学习函数单调性概念的过程中，教师通过引入具体事例加以分析，首先让学生直观感受函数的单调性，进而通过引导探究认识函数的单调性；在判断简单函数的单调性的过程中，教师引导学生通过直接看图像以及做差这两种方法来判断函数的单调性。

教法学法分析新课标的教学理念认为学生是天生的学习者，学生已经具备了一定的生活经验，具备一定数学知识和数学经验。

在教学中力求通过教师的引导，学生根据已有的生活经验进行自主探究，发现数学规律，掌握数学知识，并且能进一步把知识运用到实践中；而教师是学生学习中的引导者、组织者和合作者，教师应该给予学生足够的空间感受数学本身的魅力，感受数学的使用功能。

第1章 1.3 1.3.1 第1课时函数的单调性

函数的基本性质1．3.1 单调性与最大(小)值第一课时函数的单调性[新知初探]1．定义域为I的函数f(x)的增减性[点睛] 定义中的x 1，x 2有以下3个特征(1)任意性，即“任意取x 1，x 2”中“任意”二字绝不能去掉，证明时不能以特殊代替一般； (2)有大小，通常规定x 1<x 2； (3)属于同一个单调区间． 2．单调性与单调区间如果函数y ＝f(x)在区间D 上是增函数或减函数，那么就说函数y ＝f(x)在这一区间上具有(严格的)单调性，区间D 叫做y ＝f(x)的单调区间．[点睛] 一个函数出现两个或者两个以上的单调区间时，不能用“∪”连接，而应该用“和”连接．如函数y ＝1x 在(－∞，0)和(0，＋∞)上单调递减，却不能表述为：函数y ＝1x 在(－∞，0)∪(0，＋∞)上单调递减．[小试身手]1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)函数y ＝x 2在R 上是增函数．( )(2)所有的函数在其定义域上都具有单调性．( )(3)在增函数与减函数的定义中，可以把“任意两个自变量”改为“存在两个自变量”．( ) 答案：(1)× (2)× (3)×2.函数y ＝f(x)的图象如图所示，其增区间是( ) A ．[－4,4]B ．[－4，－3]∪[1,4]C ．[－3,1]D ．[－3,4] 答案：C3．下列函数f(x)中，满足对任意x 1，x 2∈(0，＋∞)，当x 1<x 2时，都有f(x 1)>f(x 2)的是( ) A ．f(x)＝x 2B ．f(x)＝1xC ．f(x)＝|x|D ．f(x)＝2x ＋1答案：B4．函数f(x)＝－x 2－2x 的单调递增区间是________．答案：(－∞，－1][例1] 求证：函数f(x)＝1x2在(0，＋∞)上是减函数，在(－∞，0)上是增函数．[证明] 对于任意的x 1，x 2∈(－∞，0)，且x 1<x 2，有f(x 1)－f(x 2)＝1x 21－1x 22＝x 22－x 21x 21x 22＝x 2－x 1x 2＋x 1x 21x22.函数单调性的判定与证明∵x1<x2<0，∴x2－x1>0，x1＋x2<0，x21x22>0.∴f (x1)－f (x2)<0，即f (x1)<f (x2)．∴函数f (x)＝1x2在(－∞，0)上是增函数．对于任意的x1，x2∈(0，＋∞)，且x1<x2，有f (x1)－f(x2)＝x2－x1x2＋x1x21x22.∵0<x1<x2，∴x2－x1>0，x2＋x1>0，x21x22>0. ∴f(x1)－f(x2)>0，即f(x1)>f(x2)．∴函数f(x)＝1x2在(0，＋∞)上是减函数．利用定义证明函数单调性的4个步骤[活学活用]1．证明函数f(x)＝x ＋1x在(0,1)上是减函数．证明：设x 1，x 2是区间(0,1)上的任意两个实数，且x 1<x 2，则f(x 1)－f(x 2)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1＋1x 1－⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋1x 2＝(x 1－x 2)＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 1－1x 2＝(x 1－x 2)＋x 2－x 1x 1x 2＝(x 1－x 2)⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1x 1x 2＝x 1－x 2－1＋x 1x 2x 1x 2.∵0<x 1<x 2<1，∴x 1－x 2<0,0<x 1x 2<1，则－1＋x 1x 2<0， ∴x 1－x 2－1＋x 1x 2x 1x 2>0，即f(x 1)>f(x 2)，∴f(x)＝x ＋1x在(0,1)上是减函数.[例2] 画出函数y ＝－x 2＋2|x|＋1的图象并写出函数的单调区间．[解] y ＝⎩⎪⎨⎪⎧－x 2＋2x ＋1，x≥0，－x 2－2x ＋1，x<0，即y ＝⎩⎪⎨⎪⎧－x －12＋2，x≥0，－x ＋12＋2，x<0.函数的大致图象如图所示，单调增区间为(－∞，－1]，[0,1]，单调减区间为(－1,0)，(1，＋∞)．求函数单调区间的2种方法求函数的单调区间法一：定义法．即先求出定义域，再利用定义法进行判断求解．法二：图象法．即先画出图象，根据图象求单调区间． 2．如图所示为函数y ＝f(x)，x ∈[－4,7]的图象，则函数f(x)的单调递增区间是________．解析：由图象知单调递增区间为[－1.5,3]和[5,6]．答案：[－1.5,3]和[5,6]3．求函数f(x)＝1x －1的单调减区间．解：函数f(x)＝1x －1的定义域为(－∞，1)∪(1，＋∞)，设x 1，x 2∈(－∞，1)，且x 1<x 2，则 f(x 1)－f(x 2)＝1x 1－1－1x 2－1＝x 2－x 1x 1－1x 2－1.因为x 1<x 2<1，所以x 2－x 1>0，x 1－1<0，x 2－1<0，所以f(x 1)－f(x 2)>0，即f(x 1)>f(x 2)．所以函数f(x)在(－∞，1)上单调递减，同理函数f(x)在(1，＋∞)上单调递减．综上，函数f(x)的单调递减区间是(－∞，1)，(1，＋∞).题点一：利用单调性比较大小1．若函数f(x)在区间(－∞，＋∞)上是减函数，则下列关系式一定成立的是( ) A ．f(a)>f(2a) B ．f(a 2)<f(a) C ．f(a 2＋a)<f(a)D ．f(a 2＋1)<f(a 2)解析：选D 因为f(x)是区间(－∞，＋∞)上的减函数，且a 2＋1>a 2，所以f(a 2＋1)<f(a 2)．故选D. 题点二：利用单调性解不等式2．已知函数y ＝f(x)是(－∞，＋∞)上的增函数，且f(2x －3)>f(5x ＋6)，求实数x 的取值范围．解：∵函数y ＝f(x)是(－∞，＋∞)上的增函数，且f(2x －3)>f(5x ＋6)，∴2x －3>5x ＋6，解得x<－3.∴x 的取值范围为(－∞，－3)．题点三：已知单调性求参数范围3．已知函数f(x)＝x －a x ＋a2在(1，＋∞)上是增函数，求实数a 的取值范围．解：设1<x 1<x 2，∴x 1x 2>1.∵函数f(x)在(1，＋∞)上是增函数， ∴f(x 1)－f(x 2)＝x 1－a x 1＋a 2－⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2－a x 2＋a 2＝(x 1－x 2)⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋a x 1x 2<0.∵x 1－x 2<0，∴1＋ax 1x 2>0，即a>－x 1x 2.∵1<x 1<x 2，x 1x 2>1，∴－x 1x 2<－1，∴a≥－1. ∴a 的取值范围是[－1，＋∞)．函数单调性的应用(1)函数单调性定义的“双向性”：利用定义可以判断、证明函数的单调性，反过来，若已知函数的单调性可以确定函数中参数的取值范围．(2)若一个函数在区间[a ，b]上是单调的，则此函数在这一单调区间内的任意子集上也是单调的．层级一学业水平达标1．如图是函数y ＝f(x)的图象，则此函数的单调递减区间的个数是( )A ．1B ．2C ．3D ．4解析：选B 由图象，可知函数y ＝f(x)的单调递减区间有2个．故选B. 2．下列函数中，在区间(0,1)上是增函数的是( ) A ．y ＝|x| B ．y ＝3－x C ．y ＝1xD ．y ＝－x 2＋4解析：选A 因为－1<0，所以一次函数y ＝－x ＋3在R 上递减，反比例函数y ＝1x 在(0，＋∞)上递减，二次函数y ＝－x 2＋4在(0，＋∞)上递减．故选A.3．函数y ＝1x 的单调递减区间是( )A ．(0，＋∞)B ．(－∞，0)C ．(－∞，0)和(0，＋∞)D ．(－∞，0)∪(0，＋∞)解析：选C 函数y ＝1x 的定义域是(－∞，0)∪(0，＋∞)．由函数的图象可知y ＝1x在区间(－∞，0)和(0，＋∞)上分别是减函数．4．若函数f(x)＝(2a －1)x ＋b 在R 上是单调减函数，则有( ) A ．a≥12B ．a≤12C ．a>12D ．a<12解析：选D 函数f(x)＝(2a －1)x ＋b 在R 上是单调减函数，则2a －1<0，即a<12.故选D.5．函数f(x)＝|x|，g(x)＝x(2－x)的递增区间依次是( ) A ．(－∞，0]，(－∞，1] B ．(－∞，0]，(1，＋∞) C ．[0，＋∞)，(－∞，1]D ．[0，＋∞)，[1，＋∞)解析：选C 分别作出f(x) 与g(x)的图象得：f(x)在[0，＋∞)上递增，g(x)在(－∞，1]上递增，选C.6．若f(x)在R 上是减函数，则f(－1)________f(a 2＋1)(填“>”或“<”或“≥”或“≤”)．解析：∵f(x)在R 上是减函数，∴对任意x 1，x 2，若x 1<x 2均有f(x 1)>f(x 2)．又∵－1<a 2＋1，∴f(－1)>f(a 2＋1)．答案：>7．已知函数f(x)为定义在区间[－1,1]上的增函数，则满足f(x)<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12的实数x 的取值范围为________．解析：由题设得⎩⎪⎨⎪⎧－1≤x≤1，x<12，解得－1≤x<12.答案：⎣⎢⎡⎭⎪⎫－1，12 8．如果二次函数f(x)＝x 2－(a －1)x ＋5在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1上是增函数，则实数a 的取值范围为________．解析：∵函数f(x)＝x 2－(a －1)x ＋5的对称轴为x ＝a －12且在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1上是增函数，∴a －12≤12，即a≤2. 答案：(－∞，2]9．判断并证明函数f(x)＝－1x ＋1在(0，＋∞)上的单调性．解：函数f(x)＝－1x＋1在(0，＋∞)上是增函数．证明如下：设x 1，x 2是(0，＋∞)上的任意两个实数，且x 1<x 2，则f(x 1)－f(x 2)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－1x 1＋1－⎝ ⎛⎭⎪⎫－1x 2＋1＝x 1－x 2x 1x 2，由x 1，x 2∈(0，＋∞)，得x 1x 2>0，又由x 1<x 2，得x 1－x 2<0，于是f(x 1)－f(x 2)<0，即f(x 1)<f(x 2)， ∴f(x)＝－1x＋1在(0，＋∞)上是增函数．10．作出函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧－x －3，x≤1，x －22＋3，x>1的图象，并指出函数f(x)的单调区间．解：f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧－x －3，x≤1，x －22＋3，x>1的图象如图所示．由图可知，函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧－x －3，x≤1，x －22＋3，x>1的单调减区间为(－∞，1]和(1,2)，单调增区间为[2，＋∞)．层级二应试能力达标1．若函数f(x)在区间(a ，b)上是增函数，在区间(b ，c)上也是增函数，则函数f(x)在区间(a ，b)∪(b ，c)上( )A ．必是增函数B ．必是减函数C ．是增函数或减函数D ．无法确定单调性解析：选D 函数在区间(a ，b)∪(b ，c)上无法确定单调性．如y ＝－1x 在(0，＋∞)上是增函数，在(－∞，0)上也是增函数，但在(－∞，0)∪(0，＋∞)上并不具有单调性．2．下列四个函数在(－∞，0)上为增函数的是( )①y ＝|x|＋1；②y ＝|x|x ；③y ＝－x 2|x|；④y ＝x ＋x |x|. A ．①②B ．②③C ．③④D ．①④ 解析：选C ①y ＝|x|＋1＝－x ＋1(x<0)在(－∞，0)上为减函数；②y ＝|x|x＝－1(x<0)在(－∞，0)上既不是增函数也不是减函数；③y ＝－x 2|x|＝x(x<0)在(－∞，0)上是增函数；④y ＝x ＋x |x|＝x －1(x<0)在(－∞，0)上也是增函数．3．已知函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧ a －3x ＋5，x≤1，2a x，x>1是R 上的减函数，则实数a 的取值范围是( ) A ．(0,3)B ．(0,3]C ．(0,2)D ．(0,2]解析：选D 依题意得实数a 满足⎩⎪⎨⎪⎧ a －3<0，2a>0，a －3＋5≥2a，解得0<a≤2. 4．若函数f(x)＝8x 2－2kx －7在[1,5]上为单调函数，则实数k 的取值范围是( )A ．(－∞，8]B ．[40，＋∞)C ．(－∞，8]∪[40，＋∞)D ．[8,40]解析：选C 由题意知函数f(x)＝8x 2－2kx －7的图象的对称轴为x ＝k 8，因为函数f(x)＝8x 2－2kx －7在[1,5]上为单调函数，所以k 8≤1或k 8≥5，解得k≤8或k≥40，所以实数k 的取值范围是(－∞，8]∪[40，＋∞)．故选C.5．若函数y ＝－b x在(0，＋∞)上是减函数，则b 的取值范围是________．解析：设0<x 1<x 2，由题意知f(x 1)－f(x 2)＝－b x 1＋b x 2＝b x 1－x 2x 1x 2>0. ∵0<x 1<x 2，∴x 1－x 2<0，x 1x 2>0，∴b<0.答案：(－∞，0)6．设f(x)是定义在R 上的增函数，f(xy)＝f(x)＋f(y)，f(3)＝1，则不等式f(x)＋f(－2)>1的解集为________．解析：由条件可得f(x)＋f(－2)＝f(－2x)，又f(3)＝1，∴不等式f(x)＋f(－2)>1，即为f(－2x)>f(3)．∵f(x)是定义在R 上的增函数，∴－2x>3，解得x<－32.故不等式f(x)＋f(－2)>1的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪ x<－32. 答案：⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪ x<－32 7．已知y ＝f(x)在定义域(－1,1)上是减函数，且f(1－a)<f(2a －1)，求a 的取值范围．解：由题意可知⎩⎪⎨⎪⎧ －1<1－a<1，－1<2a －1<1，解得0<a<1.①又f(x)在(－1,1)上是减函数，且f(1－a)<f(2a －1)，∴1－a>2a －1，即a<23，② 由①②可知，a 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫0，23.8．设函数f(x)＝x ＋a x ＋b(a>b>0)，求f(x)的单调区间，并说明f(x)在其单调区间上的单调性．解：在定义域内任取x 1，x 2，且使x 1<x 2，则f(x 2)－f(x 1)＝x 2＋a x 2＋b －x 1＋a x 1＋b＝x 2＋a x 1＋b －x 2＋b x 1＋a x 1＋b x 2＋b＝b －ax 2－x 1x 1＋b x 2＋b . ∵a>b>0，x 1<x 2，∴b －a<0，x 2－x 1>0.只有当x 1<x 2<－b 或－b<x 1<x 2时，函数才单调．当x1<x2<－b或－b<x1<x2时，f(x2)－f(x1)<0.∴y＝f(x)在(－∞，－b)上是单调减函数，在(－b，＋∞)上也是单调减函数．∴y＝f(x)的单调减区间是(－∞，－b)和(－b，＋∞)，无单调增区间．。

高一数学 1.3.1 单调性与最大新小值第一课时课件新人教A版必修1

(2)这个区间也可以是定义域的真子集，如y＝x2 在定义域(－∞，＋∞)不具备单调性，但在(－∞，0] 是减函数，在[0，＋∞)是增函数．
(3) 有的函数不具备单调性，如函数 y ＝
1，x为有理数 0，x为无理数.
它的定义域为 R，但不具备单调性；
(4)单调区间，必须是一个区间，不能是两个区间的并，
1.3 函数的基本性质 1.3.1 单调性与最大（小）值
第1课时函数的单调性
1．理解单调性的定义． 2．运用单调性的定义判断函数的单调性．
自学导引
1．定义域为I的函数f(x)的增减性：
自主探究
2．如果函数y＝f(x)在区间D上是_增__函__数__或 _减__函__数__ ，那么就说函数y＝f(x)在这一区间具有 _(严__格__的__)_单__调__性__ ，区间D叫做y＝f(x)的_单__调__区__间_ ．
＋∞)，但函数 y＝1x在(0，＋∞)上是减函数，却不能
写成在[0，＋∞)上是减函数．
5．求函数的单调区间，就是求函数保持同一单调性不ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ的最大区间．
二、函数单调性的判断与证明 1．函数单调性的判断方法有三种：一是依据单调性的定义；二是依据函数的图象；三是依据已知函数的单调性判断．如已学过的一次函数、二次函数、反比例函数的单调性情况． 2．函数单调性的证明方法：依据定义进行证明．其步骤如下： ①取值：即设x1，x2是该区间上的任意两个值，且x1<x2；
3．判断(证明)函数的单调性判断(证明)函数单调性的步骤
自主探究
1．在增、减函数定义中，能否把“任意”两字去掉？
答：不能．如图所示
虽然f(－1)<f(2)，但f(x)在[－1,2]上并不递增．

3.2.1单调性与最大(小)值第1课时课件(人教版)

3.2.1 单调性与最大（小）值
第1课时函数的单调性
一、情境引入
问题1.如图是
某地国庆节的
温度变化情况，
甲在国庆节时
想到此地旅游，
你能结合天气
预报给一些建
议吗？
问题2：如果把
时间设为x，最
高气温设为y，y
是x的函数吗？
问题3：如果y是x
的函数，那么函
数图象反应了哪
些变化规律？
二、提出问题
探究1：你能画出函数() = 2 的图象，
则函数() = 2 在 0， + ∞ 上是增函数.
减
1. 增函数定义

设函数y=f(x)的定义域为I,区间D I.
y f ( x)
如果任意x1,x2⊆D，当x1 ＞
< x2时,都有f(x1)
＜ f(x2),那么就称函数f(x)在区间D上单调递

O
x1
x2
x
减

增，当函数f(x)在它的定义域上单调递增时，
满足 f(2) > f (1),则函数 f (x)在该区间上
是增函数吗？
辨析2：若函数在区间(1,3)和区间[3,5]
上都是增函数，则在区间(1,5]上也是
增函数.
辨析3：反比例函数() =
义域上是减函数.
1
在整个定

y
f(2)
f(1)
O
1
2
x
小组合作探究
五、举例应用
例物理学中的玻意耳定律 =
减
就称它是增函数.
y f ( x)

探究3：类比增函数的探究方法你能得到
减函数的定义吗？
O