【数学】江西省宜春市高安中学2016-2017学年高一(下)期末试卷(文)(解析版)

江西省宜春市高安中学2016-2017学年高一（下）期末数学试卷（文科）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．（5分）不等式＜x的解集是（）A．（1，+∞）B．（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞）C．（﹣1，0）∪（1，+∞）D．（﹣∞，﹣1）∪（0，1）2．（5分）若tanα=3，则的值等于（）A．2 B．3 C．4 D．63．（5分）函数f（x）=cos2x+6cos（﹣x）的最大值为（）A．4 B．5 C．6 D．74．（5分）在数列{a n}中，若为定值，且a4=2，则a2a6等于（）A．32 B．4 C．8 D．165．（5分）在等差数列{a n}中，已知a1+a5+a9=3，则数列{a n}的前9项和S9=（）A．9 B．15 C．18 D．246．（5分）已知a，b，c为△ABC的三个角A，B，C所对的边，若3b cos C=c（1﹣3cos B），则=（）A．2：3 B．4：3 C．3：1 D．3：27．（5分）等比数列{a n}的前n项和为S n，已知a2a5=2a3，且a4与2a7的等差中项为，则S5=（）A．29 B．31 C．33 D．368．（5分）在△ABC中，若2cos B•sin A=sin C，则△ABC的形状一定是（）A．等腰直角三角形B．直角三角形C．等腰三角形D．等边三角形9．（5分）若α，β都是锐角，且，则cosβ=（）A．B．C．或D．或10．（5分）有一长为1千米的斜坡，它的倾斜角为20°，现要将倾斜角改为10°（坡高不变），则斜坡长为________千米．（）A．1 B．2sin10°C．2cos10°D．cos20°11．（5分）数列{a n}满足a n+a n+1=（n∈N*），a2=2，S n是数列{a n}的前n项和，则S21为（）A．5 B．C．D．12．（5分）在等比数列{a n}中，a1=2，前n项和为S n，若数列{a n+1}也是等比数列，则S n=（）A．2n+1﹣2 B．3n C．2n D．3n﹣1二．填空题：（本大题共4个小题，每小题5分，共20分）13．（5分）化简2sin15°sin75°的值为．14．（5分）若sin（α﹣）=，则cos（α+）=．15．（5分）=．16．（5分）数列{a n}的通项公式，其前n项和为S n，则S35=．三、解答题（17题10分，其他题12分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17．（10分）解不等式0＜x2﹣x﹣2≤4．18．（12分）已知函数f（x）=2sinωx cosωx+cos2ωx（ω＞0）的最小正周期为π．（1）求ω的值；（2）求f（x）的单调递增区间．19．（12分）在等差数列{a n}中，a2=4，a4+a7=15．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）设，求b1+b2+b3+…+b10的值．20．（12分）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知a cos B+b cos A=2c cos C．（1）求角C的大小；（2）若a=5，b=8，求边c的长．21．（12分）在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，已知a=，cos A=，B=A+（1）求b的值；（2）求△ABC的面积．22．（12分）已知函数f（x）=，数列{a n}满足a1=1，a n+1=f（），n∈N*．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）令b n=（n≥2），b1=3，S n=b1+b2+…+b n，若S n＜对一切n∈N*成立，求最小正整数m．【参考答案】一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．C【解析】不等式＜x可化为：＞0即x（x﹣1）（x+1）＞0，利用标根法（如图所示），可知﹣1＜x＜0或x＞1．所以原不等式的解集是：（﹣1，0）∪（1，+∞）．故选C.2．D【解析】==2tanα=6故选D.3．B【解析】函数f（x）=cos2x+6cos（﹣x）=1﹣2sin2x+6sin x，令t=sin x（﹣1≤t≤1），可得函数y=﹣2t2+6t+1=﹣2（t﹣）2+，由∉[﹣1，1]，可得函数在[﹣1，1]递增，即有t=1即x=2kπ+，k∈Z时，函数取得最大值5．故选B．4．B【解析】由为定值，得数列{a n}是等比数列，∵a4=2，∴a2a6=a42=4，故选B．5．A【解析】∵a1+a5+a9=3=3a5，∴a5=1．则数列{a n}的前9项和S9==9a5=9．故选A．6．C【解析】∵3b cos C=c（1﹣3cos B），∴由正弦定理可得：3sin B cos C=sin C﹣3sin C cos B，∴3sin B cos C+3sin C cos B=3sin（B+C）=3sin A=sin C，∴3a=c，即：=3：1．故选C．7．B【解析】∵数列{a n}是等比数列，a2•a3=2a1=a1q•=a1•a4，∴a4=2．∵a4与2a7的等差中项为，∴a4 +2a7 =，故有a7 =．∴q3==，∴q=，∴a1==16．∴S5==31．故选B．8．C【解答】解析：∵2cos B•sin A=sin C=sin（A+B）⇒sin（A﹣B）=0，又B、A为三角形的内角，∴A=B．故选C．9．A【解析】∵α，β都是锐角，且，∴cosα==，cos（α﹣β）==，则cosβ=cos[α﹣（α﹣β）]=cosαcos（α﹣β）+sinαsin（α﹣β）=+ =，故选A．10．C【解析】设颇高为h，则h=1•sin20°=sin20°，设新斜坡长为x，则x•sin10°=h=sin20°，∴x==2cos10°，故选C．11．B【解析】由a n+a n+1=（n∈N*），a2=2，得，…，∴数列{a n}的所有奇数项项为，所有偶数项为2，∴．故选B．12．C【解析】设等比数列{a n}的公比为q，∵a1=2，数列{a n+1}也是等比数列，∴=（a1+1）（a3+1），即（2q+1）2=3（2q2+1），化为：（q﹣1）2=0，解得q=1．则S n=2n．故选C．二．填空题：（本大题共4个小题，每小题5分，共20分）13．【解析】2sin15°sin75°=2sin15°sin（90°﹣15°）=2sin15°cos15°=sin30°=．故答案为．14．【解析】cos（α+）=cos（α﹣+）=﹣sin（α﹣）=﹣．故答案为．15．【解析】∴，若A为锐角，则A＜，∴cos A=，sin B=此时cos C=cos（π﹣A﹣B）=﹣cos（A+B）=﹣cos A cos B+sin A sin B=若A为钝角，则A，A+B＞π，不合要求故答案为16．630【解析】由，得，，，…，，∴S35=a1+a2+…+a33+a34+a35=﹣（3+7+11+15+…+67）+352=﹣=630．故答案为630．三、解答题（17题10分，其他题12分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17．解：不等式0＜x2﹣x﹣2≤4等价于，即，可化为，解得，如图所示；所以原不等式的解集为{x|﹣2≤x＜﹣1或2＜x≤3}．18．解：（1）f（x）=2sinωx cosωx+cos2ωx=sin2ωx+cos2ωx==．由T=，得ω=1；（2）由（1）得，f（x）=．再由，得．∴f（x）的单调递增区间为[]（k∈Z）．19．解：（1）设等差数列{a n}的公差为d，由已知得，解得∴a n=3+（n﹣1）×1，即a n=n+2．（2）由（1）知，∴b1+b2+b3+…+b10=21+22+…+210==2046．20．解：（1）a cos B+b cos A=2c cos C，∴sin A cos B+sin B cos A=2sin C cos C∴sin（A+B）=sin C=2sin C cos C，sin C≠0，解得cos C=，C∈（0，π），∴C=．（2）由余弦定理可得：c2=52+82﹣2×5×8cos=49，解得c=7．21．解：（1）在△ABC中，∵0＜A＜π，cos A=，B=A+，∴sin A==，sin B=sin（A+）=cos A=，又a=，由得，b===；（2）由（1）得，cos B=cos（A+）=﹣sin A=﹣，∵A+B+C=π，∴C=π﹣（A+B），∴sin C=sin（A+B）=sin A cos B+cos A sin B=×（﹣）+×=，∴△ABC的面积S===．22．解：（1）∵f（x）=，数列{a n}满足a1=1，∴=，∴{a n}是首项为1，公差为的等差数列，∴．（2）当n≥2时，b n===，当n=1时，b1=3，代入上式成立，∴S n=b1+b2+…+b n==，∵S n＜，∴对一切n∈N*成立，又沿n递增，且，∴，∴m≥2013，∴最小正整数m为2013．。