流体力学教学课件chapter 5 相似原理与量纲分析

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dim q L T M
几何学量纲：0，=0，=0
分 类
运动学量纲：0，0，=0
动力学量纲：0，0，0
• 量纲一的量（无量纲数、纯数，如相似准数）：=0，=0，=0，即
dim q=1，如、及组合量Re等。
vd (LT 1 ) Re , dim Re 2 1 1 LT
3 3 qV 3 D1 3 D2
第二节 量纲分析法
23 将 数用量纲表示：
1 ML

1 (
类似地：
3

1
L T
3
1

1
L
1
1 2 ML T
1 1,
Q D12
1 2,
1 4
20
a1U b1 D c1 FD ; π 2 a 2U b 2 D c 2
dim π1 dim( a1U b1 D c1 FD )
FD 1 Re 同理得 ： 1 2 DU DU 2
M 0 L0 T 0 =[ML-3 ]a1[LT 1 ]b1[L]c1[MLT 2 L-1 ] M : 0 a1 1 a1 1 L : 0 3a1 b1 c1 b1 2 c 1 T : 0 b1 2 1
/ P ) 2
D2 D1
2 (
Q 1 ) D1
3
（5）写出表达式
Q D12
/ P f1 (
p
Q D2 , ) D1 D1
即：
Q D12
2 f ( Re, D D1 )
第二节 量纲分析法
例4 用布金汉定理确定圆管流动中边壁切应力的表达式0。已知0与液体 的密度 ，液体的动力沾滞系数 ，圆管直径D，管壁材料的粗糙度以及 管中断面平均流速有关。
第二节 量纲分析法
定理的解题步骤：
（3）确定 数的个数N( ) =（n-m），并写出其余物理量与基本物理量 组成的 表达式：
b i ci i x1a i x2 x3 xi
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(i 1, 2,
n m)
（4）确定量纲一的数：由量纲和谐原理解指数的联立方程，求出各项 指数a，b，c，从而确定各量纲一的数 （5）将各项代入定理式
a1 1 L : 0 a1 b1 3c1 1 b1 1 c 1 T : 0 b1 1 1 同理得 ： l p 2 3 ; 4 d d v 2 M : 0 c1 1
1 1 Re
故
uk
p

或
u c 2 g h
例2 确定圆管流动中边壁切应力的表达式0。
解(1) 确定与所研究的物理现象有关的n 个物理量：
u
v
13
0
D
0
影响0的独立影响因素有液体的密度 ，液体的 动力沾滞系数 ，圆管直径D，管壁材料的粗糙 度以及管中断面平均流速v。

（2） 写出各物理量之间的指数乘积的形式
0 K a b D c d e
写出量纲关系式为
[M L1 T 2 ] [M L3 ]a [M L1 T 1 ]b [L]c [L T 1 ]e [L]d
（3）根据量纲和谐原理，确定物理量的指数 [M]: 1 a b [L]: 1 3a b c d e [T]: 2 b e 联立以上三式解得b=1-a,c=a-d-1,e=a+1。 （4）写出各物理量之间的关系式
4. 根据量纲和谐原理，即等式两端的量纲应该相同，确定物理量的指数
a,b,c,d，代入指数方程式即得各物理量之间的关系式。
应用范围：一般情况下，要求相关变量未知数n小于等于4个。
第二节 量纲分析法
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例1：求毕托管测速的表达式
解： （1） 确定与所研究的物理现象有关的n 个物理量： 流速u与毕托管动压孔口A及静压孔口B两点间的压强差△p,流体密度 ,重
例1：液体在水平等直径的管内流动，设两点压强差p与下列 变量有关：管径d ， 、v、l、、管壁粗糙度 ，试求 p的表达式。
（5）写出表达式
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f1 ( π1 , π 2 , π 3 , π 4 ) f1 ( p l f 2 ( , Re, ) 2 v d d
因pl有
l 1 p , , , )0 2 d Re d v
1
第五章 相似原理与量纲分析
第一节 量纲
第二节 量纲分析法 第三节 流动相似理论基础 第四节 模型实验 本章小结
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第五章 量纲分析和相似原理（2学时）
学习要点：
1. 2. 量纲分析的意义和量纲和谐原理。 量纲分析方法：瑞利法和定理。
3.
相似概念。相似准则：雷诺准则、弗劳德准则、欧
拉准则、柯西准则。
• 定理的解题步骤小结：
（1）确定关系式：根据对所研究的现象的认识，确定影响这个现象的各
个物理量及其关系式：
（2）确定基本量：从n个物理量中选取所包含的m个基本物理量作为基 本量纲的代表，一般取m=3。在管流中，一般选d，v， 三个作基本
f (x1 ,x2 ,
xn ) 0
变量，而在明渠流中，则常选用H， v， 。
f (1 , 2 ,
或求得一个参数，如：
n-m ) 0
n-m )
4 f (1 , 2 ,
或求得一个因变量的表达式。
第二节 量纲分析法
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选择基本量时的注意原则：
1）基本变量与基本量纲相对应。即若基本量纲（L,M,T）
为三个，那么基本变量也选择三个；倘若基本量纲只出现 两个，则基本变量同样只须选择两个。 2）选择基本变量时，应选择重要的变量。换句话说，不要 选择次要的变量作为基本变量，否则次要的变量在大多数 项中出现，往往使问题复杂化，甚至要重新求解。
解：（1）确定关系式：
f ( , qV , D1 , , D2 , p ) 0
（2）确定基本量： ， qV，D1 n=6,m=3
（3）写出项： 数n-m=6-3=3 （4）计算指数
1 qV D1 P
1 1 2 2 2
2 qV D1
凡是正确反映客观规律的物理方程，其各项的量纲都必须是一致的，
即只有方程两边量纲相同，方程才能成立。这称为量纲和谐原理。 量纲和谐原理的重要性：
a.一个方程在量纲上应是和谐的，所以可用来检验经验公式的正确性和 完整性。 b.量纲和谐原理可用来确定公式中物理量的指数。 c.可用来建立物理方程式的结构形式。
例2：确定粘性流体流经竖置的单位长度长直圆柱体时的绕流 阻力表达式
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（5）写出表达式
FD f( , Re) 0 2 DU
或求解1
FD f1 ( Re ) DU 2 C D DU 2
22 例3： 已知文丘里流量计是用以测量有压管路的流量，已知压强降落p随流 量qV，流体密度，液体粘性系数 ，管壁粗糙高度 ，流量计长度L以及大 小直径D1，D2变化。试用 定律求出的压强降落p表示的流量公式。 P1 Q D1 L P2=P1 - P D2
特点： （1）无量纲单位，它的大小与所选单位无关； （2）无尺度效应，即具有相似准数特性； （3）可进行超越函数（对数、指数、三角函数）运算。
第一节 量纲

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第一节 量 纲
一、基本概念

二、量纲和谐原理
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二、量纲和谐原理
量纲和谐原理（theory of dimensional homogeneity） ：
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第一节 量 纲
、基本概念
单位（unit） ：量度各种物理量数值大小的标准量，称单位。如长度
单位为m或cm等。——“量”的表征。
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量纲（dimension）：是指撇开单位的大小后，表征物理量的性质和
类别。 如长度量纲为[L]。 ——“质”的表征。 基本量纲（fundamental dimension）：具有独立性的，不能由其他
0 v 8
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第二节 量 纲分析法
一、瑞利法

二、布金汉定理－ 定理
二、布金汉（Buckingham）定理
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定理：对于某个物理现象，如果存在n个变量互为函数，即F(x1,x2,,xn)=0。
而这些变量中含有m个基本量，则可排列这些变量成（n-m）个无量纲
数的函数关系 (1, 2,, n-m)=0，即可合并n个物理量为（n-m）个无 量纲数。 任何物理方程总是齐因次的。因此原则上，经过适当的 变换，物理方程总可以改写为无因次数群间关系的形式。
第二节 量纲分析法
例1：液体在水平等直径的管内流动，设两点压强差p与下列 变量有关：管径d ， 、v、l、、管壁粗糙度 ，试求 p的表达式。
解：(1)确定关系式： f（d, , ,v, l, , p）=0 (2)确定基本量：d, , v (3)写出项： 数N ()=n-m=7-3=4个
量 纲
量纲推导出来的量纲叫做基本量纲。一般取长度、时间、质
量，即[LMT]
导出量纲（derived dimension）:是指由基本量纲导出的量纲。
如：速度：dim v=LT-1；加速度dim a=LT-2；力dim F=MLT-2； 动力粘度dim =ML -1 T-1
第一节 量纲
• 量纲公式:
第一节 量纲

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第五章 相似原理与量纲分析
第一节 量纲
第二节 量纲分析法
第三节 流动相似理论基础 第四节 模型实验 本章小结
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第二节 量 纲分析法

一、瑞利法
二、布金汉定理－ 定理