初二图形的平移与旋转提高同步讲义

学科教师辅导讲义
体系搭建
一、平移
1、平移的概念：在平面内，将一个图形沿某个方向移动一定的距离，这样的图形运动称为平移。

平移不改变图形的形状和大小，只改变图形的位置。

2、平移的性质：①一个图形和它经过平移所得的图形中，对应点所连的线段平行且相等；
②对应线段平行且相等，对应角相等。

3、平移作图的步骤与方法：
一般步骤：（1）分析题目要求，找出平移的方向和平移的距离；
（2）分析所作的图形，找出构成图形的关键点；
（3）沿一定的方向，按一定的距离平移各个关键点；
（4）连接所作的各个关键点，并标上相应的字母；
（5）写出结论。

平移作图的方法：“对应点连接法”和“全等图形法”
4、图形的坐标变化与平移：
（1）纵坐标保持不变，横坐标分别加k
①当k为正数时，原图形形状、大小不变，向右平移k个单位长度；
②当k为负数时，原图形形状、大小不变，向左平移k个单位长度；
三、中心对称
1、两个图形形成中心对称的概念及性质
（1）概念：如果把一个图形绕着某一点旋转180︒，他能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这个点对称或中心对称，这个点叫做它们的对称中心。

（2）两个图形形成中心对称的性质
①成中心对称的两个图形中，对称点所连线段经过对称中心，且被对称中心平分。

②关于中心对称的两个图形之间的对应线段平行且相等或在同一条直线上且相等，对应角相等。

2、作成中心对称图形的一般步骤
（1）作出已知图形各顶点（或决定图形形状的关键点）关于中心的对称点——连接关键点和中心，并延长一倍确定关键点的对称点。

（2）把各对称点按已知图形的连接方式依次连接起来，则所得到的图形就是已知图形关于对称中心对称的图形。

3、中心对称图形
把一个图形绕某个点旋转180︒，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点叫做它的对称中心。

4、中心对称图形的性质
中心对称图形上的每一对对应点所连成的线段都被对称中心平分。

考点一：图形平移类的问题
例1、如图，将周长为10cm的△ABC沿射线BC方向平移lcm后得到△DEF，则四边形ABFD的周长为（）A．11cm B．12cm
C．13cm D．14cm
例2、如图，长方形ABCD中，AB=6，第一次平移长方形ABCD沿AB的方向向右平移5个单位，得到长方形A1B1C1D1，第2次平移将长方形A1B1C1D1沿A1B1的方向向右平移5个单位，得到长方形A2B2C2D2…，第n次平移将长方形A n﹣1B n﹣1C n﹣1D n﹣1沿A n﹣1B n﹣1的方向平移5个单位，得到长方形A n B n C n D n（n＞2），若AB n的长度为2016，则n的值为（）
A．400 B．401
C．402 D．403
例3、如图，如图，M、N分别是△ABC的边AC和AB的中点，D为BC上任意一点，连接AD，将△AMN沿AD 方向平移到△A1M1N1的位置，且M1N1在BC边上，已知△AMN的面积为7，则图中阴影部分的面积为．
例4、阅读下面材料：
如图1，已知线段AB、CD相交于点O，且AB=CD，请你利用所学知识把线段AB、CD转移到同一三角形中．小强同学利用平移知识解决了此问题，具体做法：
如图2，延长OD至点E，使DE=CO，延长OA至点F，使AF=OB，连接EF，则△OEF为所求的三角形．
请你仔细体会小强的做法，探究并解答下列问题：
如图3，长为2的三条线段AA′，BB′，CC′交于一点O，并且∠B′OA=∠C′OB=∠A′OC=60°；
（1）请你把三条线段AA′，BB′，CC′转移到同一三角形中（简要叙述画法）
（2）连接AB′、BC′、CA′，如图4，设△AB′O、△BC′O、
△CA′O的面积分别为S1、S2、S3，则S1+S2+S3（填“＞”
或“＜”或“=”）．
例1、如图，△ODC是由△OAB绕点O顺时针旋转30°后得到的图形，若点D恰好落在AB上，且∠AOC的度数为100°，则∠DOB的度数是（）
A．40° B．30°
C．38° D．15°
例2、如图，在△ABC中，∠ACB=45°，BC=1，AB=，将△ABC绕点A逆时针旋转得到△AB′C′，其中点B′与点B是对应点，点C′与点C是对应点，且点C、B′、C′在同一条直线上，则CC′的长为（）A．4 B．2
C．2D．3
例3、如图，在Rt△ABC中，AC=BC，∠ACB=90°，点D为边AB上一点，CD绕点D顺时针旋转90°至DE，CE交AB于点G．已知AD=8，BG=6，点F是AE的中点，连接DF，求线段DF的长．
例4、在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，直线MN经过点C，且AD⊥MN于D，BE⊥MN于E．
（1）当直线MN绕点C旋转到图1的位置时，求证：①△ADC≌△CEB；②DE=AD+BE；
（2）当直线MN绕点C旋转到图2的位置时，求证：DE=AD﹣BE；
（3）当直线MN绕点C旋转到图3的位置时，试问DE、AD、BE具有怎样的等量关系？请写出这个等量关系，并加以证明．
例1、下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）
A．B．C．D．
例2、在如图所示的平面直角坐标系中，△OA1B1是边长为2的等边三角形，作△B2A2B1与△OA1B1关于点B1成中心对称，再作△B2A3B3与△B2A2B1关于点B2成中心对称，如此作下去，则△B2n A2n+1B2n+1（n是正整数）的顶点A2n+1的坐标是．
例3、在一次数学社团活动上，小明设计了一个社团标识，如图所示，正方形ABCD与折线D﹣E﹣F﹣B构成了中心对称图形，且DE⊥EF，AD=50，DE与EF长25，那么EF的长是．
P(Practice-Oriented)——实战演练
实战演练
➢课堂狙击
1、如图，在△ABC中，BC=6，∠A=90°，∠B=70°．把△ABC沿BC方向平移到△DEF的位置，若CF=2，则下列结论中错误的是（）
A．BE=2 B．∠F=20°
C．AB∥DE D．DF=6
2、如图，△ABC经过平移得到△DEF，其中点A的对应点是点D，则下列结论不一定正确的是（）
A．BC∥EF B．AD=BE
C．BE∥CF D．AC=EF
3、如图，将△ABC纸片绕点A按逆时针方向旋转某个角后得到△AEF，CB、AF的延长线交于点D，AE∥CB，∠D=40°，则∠BAC的度数为（）
A．30° B．40°
C．50° D．60°
4、如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，∠B=60°，BC=2，△A′B′C是由△ABC绕C点顺时针旋转得到，其中点A′与点A是对应点，点B′与点B是对应点，连接AB′，且A，B′，A′在同一条直线上，则AA′的长为（）
A．6 B．4
C．3 D．3
5、已知点A（a﹣2b，﹣2）与点A′（﹣6，2a+b）关于坐标原点对称，则3a﹣b= ．
6、如图，△ABC与△A′B′C′关于点O成中心对称，∠ABC=45°，∠B′C′A′=80°，∠BAC= °．
7、如图，直角三角形ABO周长为88，在其内部的n个小直角三角形周长之和为．
8、如图，P是等边三角形ABC内一点，将线段AP绕点A顺时针旋转60°得到线段AQ，连接BQ．若PA=6，PB=8，PC=10，则四边形APBQ的面积为．
9、如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，点P在△ABC内，△AP′C是由△BPC绕着点C旋转得到的，PA=，PB=1，∠BPC=135°．则PC= ．
➢课后反击
1、如图是某公园里一处矩形风景欣赏区ABCD，长AB=50米，宽BC=25米，为方便游人观赏，公园特意修建了如图所示的小路（图中非阴影部分），小路的宽均为1米，那小明沿着小路的中间，从出口A到出口B所走的路线（图中虚线）长为（）
A．100米B．99米
C．98米D．74米
2、如图，△ABC经过平移得到△DEF，其中A点（﹣2，4）平移到D点（2，2），则B点（a，b）平移后的对应点E的坐标是（）
A．（a+2，b）B．（a+4，b﹣2）
C．（a+2，b﹣2）D．（a+4，b+2）
3、如图，P是等边三角形ABC内一点，将线段AP绕点A顺时针旋转60°得到AQ，连接BQ．若PA=6，PB=8，PC=10，则三角形PBQ的面积为（）
A．12 B．40
C．30 D．24
4、如图，在Rt△ABC中，AB=AC，D，E是斜边上BC上两点，且∠DAE=45°，将△ADC绕点A顺时针旋转90°后，得到△AFB，连接EF，下列结论：
①BF⊥BC；②△AED≌△AEF；③BE+DC=DE；④BE2+DC2=DE2
其中正确的个数是（）
A．1 B．2
C．3 D．4
5、将五个边长都为3cm的正方形按如图所示摆放，点A、B、C、D分别是四个正方形的中心，则图中四块阴影面积的和是cm2．
6、如图，在矩形ABCD中，AB=3，BC=4，EF过AC、BD的交点O，则图中阴影部分的面积为．
7、已知：如图放置的长方形ABCD和等腰直角三角形EFG中，∠F=90°，FE=FG=4cm，AB=2cm，AD=4cm，且点F、G、D、C在同一直线上，点G和点D重合，现将△EFG沿射线FC向右平移，当点F和点D重合时停止移动，若△EFG与长方形重叠部分的面积是4cm2，则△EFG向右平移了cm．
8、如图①，△ABC与△CDE是等腰直角三角形，直角边AC、CD在同一条直线上，点M，N分别是斜边AB，DE的中点，点P为AD的中点，连接AE、BD、MN．
（1）求证：△PMN为等腰直角三角形；
（2）现将图①中的△CDE绕着点C顺时针旋转α（0°＜α＜90°），得到图②，AE与MP，BD分别交于点G、H，请判断①中的结论是否成立，若成立，请证明；若不成立，请说明理由．
直击中考
1、【2016•德惠市】如图，矩形ABCD中，AB=5，BC=7，则图中五个小矩形的周长之和为．
2、【2016•娄底】如图，将等腰△ABC绕顶点B逆时针方向旋转α度到△A1BC1的位置，AB与A1C1相交于点D，AC与A1C1、BC1分别交于点E、F．
（1）求证：△BCF≌△BA1D．
（2）当∠C=α度时，判定四边形A1BCE的形状并说明理由．
S(Summary-Embedded)——归纳总结
重点回顾
名师点拨
学霸经验
➢本节课我学到
➢我需要努力的地方是。