经济数学课件10.26

1 P lim 1 Pe rt x x r
x r
， 这就是连续复利计算模型.
本节小结
3.2.3、无穷小量的比较
1、引入无穷小的比较的原因 2、不同无穷小比较时的定义 3、无穷小替换定理及其无穷小的传递性 4、通过举例说明无穷小替换在求极限时的重要作用
r ， t 年共计息 2t 次， 2
(1)
12t 次，则第 t 年末的
若每年计息 x ， 每次利率为
r 次， t 年共计息 x
(3) .
x t 次， 则第 t
r 年末的本利和为: At P (1 ) xt x
上述计息的“次”是确定的时间间隔，因为一年计息次数为有 限次，所以公式 (3) 可认为是按离散情况计算 t 年末本利和 At 的复 利公式,这就是离散复利计算模型．
在自变量的同一变化过程中，若
当 x 0 时，常用的等价无穷小：
x ~ sin x ~ tan x ~ arcsin x ~ arctan x ~ ln
x2 1 cos x ~ 2
1 x
~ e x 1;
其相当于 x ~ 2 1 cos x
4、无穷小的替换定理及其推论的应用
3.2 极限的运算
3.2.3、无穷小的比较 3.2.4、复利模型与连续复利模型
3.2.3 无穷小的比较
1、引入无穷小的比较的原因
由3.1节中有关无穷小的知识，可知无穷小的和、差、 积仍是无穷小，但是无穷小的商却不一定是无穷小.
比如：当 x 0时， 2 x、x
2
2
、sin x 都是无穷小，
2x sin x x 1 但是lim 0, lim 2 , lim x0 x x0 x0 2 x x
3.2.4 复利与连续复利
1、复利计算模型
在 2.4 节的讨论中,有如下模型： 设本金为 P ，年利率为 r ，每年计息一次，按复利计算的第 t 年末的本利和是 At P (1 r )t ,这就是复利计算模型.
2、离散复利计算模型
若改为半年计息一次， 则半年率为
r 则第 t 年末的本利和为： At P(1 ) 2t 2 r 若按月计息，则月息为 ，t 年共计息 12 r 本利和为: At P(1 )12t (2) 12
应用等价去穷小替换时要注意的问题：
应该指出,在用等价无穷小代换时，一般在乘除运算时可施行， 而在和差运行时不能运用. 如在上例中，若因 tan x ~ x ，sin x ~ x 有 tan x sin x xx lim lim 3 0 ,则显然是错误的． 3 x 0 x 0 x x
3、无穷小的替换定理及其推论
定理 3.7（无穷小等价替换定理） 在自变量的同一变化过
' 程中， 若 ~ ' ， ~ ， 且lim 存在， 则 '
推论 (无穷小传递性质) ~ ， ~ , 则 ~ .
' lim lim '
显然，在定理 3.7 中，只替换一个量也成立.
3.2.4、复利与连续复利
1、复利计算模型 2、离散复利计算模型 3、连续复利计算模型
3、连续复利计算模型
因为资金周转过程是不断进行的，计算利息分期越细越合理， 亦即结算次数愈多愈合理，也就是让计息的“次”的时间间隔无限 缩短，从而计息次数 x ，这样进行计算利息就是连续复利.
于是
r At lim P (1 ) xt x x
x r r P lim 1 x x rt rt
可见，尽管都是去穷小，但是其趋向于 0 的速度不一 致.为了刻画无穷小趋近于 0 的速度的快慢，故引入无穷小 的比较.
2、无穷小的比较的定义
定义 3.7 设 ( 0) 和 是同一变化过程中的无穷小，
(1)若 lim 0 ，则称 是比 较高阶的无穷小,记作 ( ) ； (2)若 lim ，则称 是比 较低阶的无穷小； (3) 若 lim 1，则称 与 是等价无穷小，记作 ~ ． (4) 若 lim c ， ( c 0 ) ，则称 与 是同阶无穷小 , 记作 O
tan 2 5 x 例 1 求 lim . x 0 x sin 2 x
解： 当 x 0 时， tan 5 x ~ 5 x ，sin 2 x ~ 2 x
于是
tan 2 5 x (5 x) 2 25 ＝ lim lim ． x 0 x sin 2 x x 0 x 2 x 2
tan x sin x 例 2 求 lim x 0 x3 sin x(1 cos x) 解 因为 tan x sin x cos x x2 当 x 0 时，sin x ~ x , 1 cos x ~ , 于是 2 x2 x tan x sin x sin x(1 cos x) 1 2 ． lim lim lim 3 3 3 x 0 x 0 x 0 x x cos x x cos x 2